专题08 整式的乘法（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题08 整式的乘法 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．C 2．B 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，由此求解即可． 【详解】 由同底数幂的乘法法则，， 可得：． 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及有理数的乘方运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，以及统一底数的技巧是解题的关键． （1）直接运用同底数幂的乘法法则，将指数相加进行合并化简； （2）先把底数统一，再运用同底数幂的乘法法则计算指数和，最后得出结果． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．C 10．D 11．D 12．A 13．C 14．C 15．C 16．D 17．C 18．B 19．C 20．【答案】10 【分析】 本题考查了积的乘方，根据即可求出答案． 【详解】 解：， 故答案为：10． 21．【答案】 【分析】 本题考查了积的乘方法则，． 根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 22．【答案】72 【分析】 根据幂的运算及逆定理即可求解． 【详解】 解：∵am＝2，an＝3， ∴a3m+2n ＝a3m•a2n ＝（am）3•（an）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72． 【点睛】 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算公式． 23．【答案】12 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵4a＝2，4b＝3， ∴42a+b ＝（4a）2•4b ＝22×3 ＝4×3 ＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式指数幂的混合运算，熟练掌握整数的指数幂的运算是解题的关键， （1）利用负数的奇次幂，零次幂，绝对值的非负性计算即可得到答案； （2）利用幂的乘方，分配律，合并同类项进行计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 25．【答案】； 【分析】 本题主要考查整式的运算相关知识点，解题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方．运用幂的运算法则对原式进行化简，然后将的值代入即可求解． 【详解】 解：化简： 当时，原式． 26．【答案】 【分析】 本题考查幂的运算，熟练掌握幂的乘方、积的乘方运算法则是解题的关键，整理式子，代入即可求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 27．【答案】72 【分析】 先逆用同底数幂的乘法，将原式变形为，再逆用幂的乘方，变形为，最后把已知代入计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：72． 【点睛】 本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则将式子恒等变形是解题的关键． 28．【答案】 【分析】 根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘方，掌握幂的乘方与同底数幂的乘方运算法则是解题的关键． 29．【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆用，代数式求值以及乘方等运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，正确求得的值． 由可得，，解得，将代入代数式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，解得， 将代入可得， 原式， 故答案为：． 30．【答案】（1）24；（2）1 【分析】 本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 31．【答案】（1）12；（2） 【分析】 本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴ ， ． 33．【答案】4 【分析】 本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】 解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 考点03 整式的乘法 1．A 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．B 11．B 12．A 13．B 14．C 15．A 16．C 17．B 18．D 19．B 20．C 21．C 22．C 23．B 24．A 25．B 26．C 27．C 28．B 29．B 30．C 31．C 32．D 33．D 34．D 35．C 36．B 37．C 38．B 39．D 40．B 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式： （1）先计算同底数幂乘除法，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 42．【答案】2 【分析】 本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握算术平方根定义和零指数幂的运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义和零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：2． 43．【答案】 【分析】 本题考查了零指数幂和乘方的运算，根据零指数幂和乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数． 【详解】 解：． 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题考查了零指数幂和立方根．先化简零指数幂，立方根，再运算减法，即可作答． 【详解】 解：， 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题考查了多项式与多项式的乘法，已知多项式乘积不含某项求字母的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再结合关于的多项式与的乘积中不含项，列式，解得，即可作答． 【详解】 解：依题意， ∵关于的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 47．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵； ； ； ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（1）得到规律． 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 48．【答案】10 【分析】 本题考查了含零指数幂的运算，掌握任何非零实数的零次幂为1是解题的关键． 分别计算乘方和零次幂，再相加即可． 【详解】 解：， 故答案为：10． 49．【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：360000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，零指数幂，分别计算乘方、绝对值和零指数幂，然后合并同类项． 【详解】 解： 故答案为：． 51．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求一个数的立方根，求绝对值，零指数幂，整式的混合运算． （1）先计算立方根，绝对值，零指数幂，再计算加法即可； （2）先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 52．【答案】； 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则和合并同类项法则，进行化简，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 53．【答案】（1）平方米     （2）修复完毕的塑胶场地需要费用66000元      【分析】 本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． (1) 小问详解： 解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； (2) 小问详解： 解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 54．【答案】6 【分析】 本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】 解： ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：6． 55．【答案】 【分析】 此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】 解：由题意可得： ． 故答案为：． 56．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），根据同底数幂相乘法则计算，同时根据幂的乘方法则计算，再合并同类项； 对于（2），根据多项式乘以单项式计算，同时根据同底数幂相除计算，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式， ． 57．【答案】2 【分析】 原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项即可确定出a的值. 【详解】 解：(2x+a)（x-1)=2x2 +(a-2)x-a, 由结果中不含x的一次项，得到a-2=0，即 a=2, 故答案为: 2. 【点睛】 本题主要考查合并同类项的知识，由合并同类型的最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即a-2=0. 58．【答案】 【分析】 用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】 ∵， 故答案为：． 59．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的四则运算，掌握相关知识点并正确运算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可求解． （2）先利用积的乘方将化简，再按整式乘除法运算规则从左往右计算，即可求解． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 60．【答案】； 【分析】 本题考查了整式的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质求出和的值，再化简代数式，最后代入求值． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，． 原式 ． 当，时， 原式． 61．【答案】（1）A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个；     （2）a的值为560      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． (1) 小问详解： 解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2) 小问详解： 解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 62．【答案】 【分析】先利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算将a3m-2n进行变形，再将已知式子的值代入即可得出结果． 【详解】解：am=3，an=5， ∴a3m-2n=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷52=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算，掌握基本运算法则是解题的关键． 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的运算，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式和多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 64．【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂除法的逆运用，幂的乘方的逆运用，利用同底数幂除法和幂的乘方的逆运用可将 转化为，再代入已知条件计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 65．【答案】（1）      （2）      （3）      （4）       【分析】 本题考查了幂的运算、多项式乘以多项式、解二元一次方程组、解一元一次不等式组等，关键是熟练应用运算方法进行计算； （1）根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则进行计算即可； （2）根据多项式的乘法法则进行计算即可； （3）将方程② 整体代入方程① 解得的值，再求即可； （4）分别解出不等式的解集，再求其公共解 . (1) 小问详解： 解：原式， ， (2) 小问详解： 解：原式， ； (3) 小问详解： 解： ， 把② 代入① 得：， ， 把代入② 得； ， ， ∴ ； (4) 小问详解： 解： ， 解① 得：， 解② 得：， ∴不等式组的解集为：. 66．【答案】 【分析】 本题考查多项式的乘法，根据多项式乘法的法则，展开乘积后，令一次项的系数为零，即可求出的值． 【详解】 解： 由于积中不含的一次项，则一次项的系数， 解得． 故答案为：． 67．【答案】，． 【分析】 本题考查了整式的混合运算，先算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，然后算多项式除以单项式化成最简，再根据算术平方根，零指数幂，幂的乘方逆用分别求出的值，最后代入即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵，， ∴原式 ． 68．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． （1）先计算乘方，再依次进行同底数幂的乘除法运算； （2）先计算多项式乘多项式，单项式乘以多项式，最后合并同类项． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 69．【答案】，14 【分析】 本题考查整式的混合运算—化简求值，需要先展开括号内的表达式，合并同类项，然后除以 x 进行化简，最后代入数值计算． 【详解】 解： ， 代入 ， 原式． 70．【答案】8 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含关于的一次项和二次项的系数都等于0可得的值，代入计算即可得． 【详解】 解： ， ∵关于的整式的结果不含关于的一次项和二次项， ∴，， ∴， 将代入得：，解得， ∴， 故答案为：8． 71．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的混合运算． （1）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算除法，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 72．【答案】（1）；     （2）① ；② 206000元．      【分析】 此题考查整式乘法的混合运算，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键． （1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解； （2）① 根据等量关系列出方程组求出a，b的值； ② 代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益收益投入，列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ； (2) 小问详解： 解：①A园区改造后长为，宽为， ∵改造后A区的长比宽多100米，改造后B园区的周长比A园区的周长多40米 ∴ ， ∴整理得， ∴解得 ； ② ∵ ∴A园区改造面积为平方米，B园区面积为平方米， ∴根据题意得，（元）． ∴改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和为206000元． 73．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了单项式除以单项式、单项式乘以单项式、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算单项式除以单项式，再计算单项式乘以单项式即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， 解不等式① 可得：， 解不等式② 可得：， ∴原不等式组的解集为． 74．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的运算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算，以及零指数幂． （1）根据同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式除以单项式，进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 75．【答案】，8 【分析】 本题主要考查整式的混合运算以及代数求值，绝对值和平方的非负性，涉及完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式计算括号内，然后合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则进行化简，然后根据绝对值和平方的非负性求出，，再求值即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴且 ∴，， ∴原式． 76．【答案】（1）     （2）     （3） 解：设① ， 则② ， 得，， ．      【分析】 本题考查数字的变化规律，灵活应用题中所给的方法求解，并能准确计算是解题的关键． （1）设① ，则② ，再由求解即可； （2）设① ，则② ，再由求解即可； （3）设① ，则② ，再由求解即可； (1) 小问详解： 解：设① ， 则② ， 得，， 即， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设① ， 则② ， 得，， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 77．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了完全平方公式，平方差公式、整式的加减、多项式除以单项式，掌握是解题的关键； （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式，多项式乘多项式运算展开，合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 78．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算是解题的关键， （1）根据同底数幂乘法幂的乘方混合运算法则计算即可得到答案； （2）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 79．【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键，根据整式的混合运算将式子化简，再代入求值即可． 【详解】 解：原式 ． 当，时， 原式． 80．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的乘法，平方差公式与完全平方公式． （1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 81．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值．先化简表达式，利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并同类项后约分，得到简化形式 ，再代入已知条件  求值． 【详解】 解：原式   ∵  ∴ 原式  82．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项等，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可； （2）利用幂的乘法将的底数变形为，然后再简便运算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 83．【答案】① 9876    ② 7114 【分析】 本题主要考查整式加减运算及代数式的值，解题的关键是理解“开心数”的定义；因此此题可根据“开心数”意义得到最大的“开心数”，然后根据题意可得s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7，t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是，则有，，进而问题可求解． 【详解】 解：由题意可知：千位一定要最大，故千位数字为9，百位数字为8，十位上的数字则为7，个位数的数字为6，所以最大的“开心数”是9876； ∵， ∴s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7， ∴， ∵，， ∴t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是， ∴， ∴， ∵s、t是“开心数”， ∴，， ∴，， ∴当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 当时，，则， 由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则，由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 综上或； 综上所述：满足条件的所有正整数的和为； 故答案为9876；7114． 84．【答案】 【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式法则计算，根据展开式中没有二次项与常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】 解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 故答案为：． 85．【答案】（1），1     （2） 能被整除，理由如下：      （3）      【分析】 本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． (1) 小问详解： 解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 86．【答案】① 38    ② 2488 【分析】 本题考查定义新运算，整式的加减运算，二元一次方程的解，根据“清活数”的值求出的值，再根据的定义求出的值即可，设“清活数”的千位数为，百位数为，根据“清活数”的定义表示出数字，进而表示出，根据能被12整除，求出满足题意的的值，进一步求解即可． 【详解】 解：∵为“清活数” ∴，， ∴； 设“清活数”的千位数为，百位数为，则：十位数字为，个位数字为，， ∴， 当最大时，，，则一定能被12整除， ∴当时，此时最大，为， 当最小时，，， ∵能被12整除，且,四位正整数的各数位上的数字互不相同， ∴， ∴最小，为， ∴满足条件的N的最大值与最小值的平均数为； 故答案为：． 87．【答案】① 2    ② 1384 【分析】 本题考查了整式的加减，解决本题的关键是运用“6月数”的定义解决问题．第一空：根据“6月数”的定义，将三位数代入方程，解关于m的方程即可．第二空：首先通过方程推导出a、b、c的关系，再结合s能被6整除的条件，筛选所有可能的三位数，最后求最大值与最小值的和． 【详解】 解：一个三位数是“6月数”， 所以， 即， 解得：， 因为三位数是“6月数”， 所以足， 即， 得：， 即， 得：， 因为a、b、c均为整数，且，，， 所以c只能取0或4或8， ， 将代入式子可得： ， 所以能被6整除， 当时，若，则不合题意舍去； 若，则，这个三位数是660， 当时，， 由，则， 要使被6整除，，此时，这个三位数是724； 当时，，(不合题意，舍去)， 所以最大值是724，最小值是660，它们的和为， 故答案为：2，． 88．【答案】① 77    ② 527 【分析】 本题主要考查了新定义，整式的加减，不等式的性质，判断出（为完全平方数）是解题的关键． 首先根据定义计算，是去掉百位、十位、个位后得到的三个两位数之和，即56、16、15的和为87；是百位与个位数字之差的2倍，即 ，故和为77；对于三位数，设百位、十位、个位数字分别为、、，根据“三唯数”定义和条件得 ，则，且、、各不相同；由是完全平方数，推导出，结合得，枚举满足条件的、，得到符合条件的为369和527，最大值为527，即可解答． 【详解】 解：当，百位数字为1，十位数字为5，个位数字为6， 去掉百位得56，去掉十位得16，去掉个位得15， 则，； ； 设三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由条件，， ， ， ， 则， ∵是完全平方数， ∴（为完全平方数）， 又∵， ∴， ∴，即， 代入，得，即， 根据枚举从1至8： 当，数字3、6、9各不相同，； 当，但，不符合数字各不相同，舍去； 当，数字5、7、2各不相同，； 其他取值无效，故最大值为527； 故答案为：77 ，527． 89．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了新定义，整式的加法，列代数式，理解新定义是解题的关键．根据题意，可知，，，从而推出或，那么或，那么当时，最大，由，可以得到是18的倍数，，和有倍数关系，然后分或，进行讨论即可得出答案． 【详解】 解： 一个四位自然数，M的千位与个位数字顺次组成的两位数与百位与十位数字顺次组成的两位数之和为100， ， 或， 当时，，， ， 时，最大，且最大值为， ，均为整数， ，和有倍数关系， 或 或 ， 此时或或， 将“荣耀数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到的新数为， 或或， 当，时， ，不符题意； 当，时， ，符题意； 当，时， ，不符题意； 当时，， ， ，均为整数， ，和有倍数关系， 或 ， 将“荣耀数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到的新数为， ， ，， ， 均为整数， 是18的倍数， 当 时，， ， ， 不符合题意； 当 时，， ， ，符合题意； 此时， 那么最大为，最小为， 那么满足条件的M的最大值与最小值之差为， 故答案为：①，②． 考点04 平方差公式 1．B 2．D 3．A 4．C 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行乘方运算，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 6．【答案】6 【分析】 本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】 解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 7．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）① 利用平方差公式计算即可求解；② 利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① ； ② 原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 考点05 完全平方公式 1．D 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．D 8．A 9．B 10．B 11．C 12．B 13．【答案】（1）1     （2）      【分析】 此题考查了完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式，然后合并即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 14．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算括号内，再合并括号内的同类项，结合多项式除以单项式，得，因为，得出，再代入计算，即可作答． 【详解】 解： ∵， ∴， 解得， 故 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，即可作答． （2）先整理原式，再根据平方差公式，完全平方公式进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 16．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式解答即可． 【详解】 解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】1 【分析】 本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，即，即可求出． 【详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：1． 18．【答案】7 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，变形代入计算即可． 【详解】 ， 故， 故答案为：7． 19．【答案】， 【分析】 本题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将题目中的式子化简，然后将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 20．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）按照多项式乘以多项式的运算法则，直接计算即可得到答案； （2）分别利用完全平方公式，平方差公式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到答案． 【详解】 解：（1） （2） 【点睛】 本题考查的是整式的乘法运算，掌握利用多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式进行整式的乘法运算是解题的关键． 21．【答案】，． 【分析】 此题考查了求代数式值的能力，关键是能进行准确化简、计算． 先化简该代数式，再将，代入进行计算． 【详解】 解： ， 当，时． 原式 ． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算，，，进行计算，即可． （1）根据多项式乘以多项式的运算，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1）     （2）48     （3） 解：该三角形为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式的应用，非负数的性质等等，正确理解题意，数形结合是解题的关键． （1）根据大长方形面积等于其内部三个小正方形面积加上6个小长方形的面积进行求解即可； （2）先求出，，再把这2个等式代入（1）所求等式中求解即可； （3）由（3）可得，进而推出，理由非负数的性质即可推出，则该三角形是等边三角形． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 故答案为：； (2) 小问详解： ∵，， ∴，， ∵， ∴； (3) 小问详解： 略 24．【答案】，34 【分析】 本题考查非负数的性质，整式混合运算及化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项化简，根据算术平方根、平方式的非负性计算出x和y的值，最后代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了积的乘方，单项式的乘法，多项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再计算完全平方公式和积的乘方即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值． 先利用完全平方公式和平方差公式展开并化简表达式，然后根据非负数的性质求出和的值，最后代入求值． 【详解】 解： ， ∵， ∴且， ∴，， ∴，， 当，时，原式． 27．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查多项式乘以多项式及完全平方公式与图形的问题，熟练掌握多项式乘以多项式及完全平方公式是解题的关键； （1）根据等积法及题意可直接进行求解； （2）① 根据图形及正方形面积公式可进行求解； ② 利用① 中的公式可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：； 故答案为； (2) 小问详解： 解：① 当把图形看作是边长为的正方形时，面积为， 把图形看作个正方形和个长方形拼成时，面积为， ∴ 故答案为：； ② 因为，， 所以 所以， 所以． 28．【答案】， 【分析】 本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．根据整式的化简法则进行计算即可． 【详解】 解：原式      ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 29．【答案】（1）     （2）25      【分析】 本题考查了绝对值非负性，相反数的定义，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据互为相反数的两个数的和为0可得x和y的值，然后代入A和B，再进行化简即可得结果； （2）先利用整式加减求出，再将，整体代入，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：∵与为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∵，， ∴， ， ∴ ； (2) 小问详解： ∵，， ∴ ， ∵ ∴原式 ， ∴的值为25． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，整式的混合运算，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式进行计算，最后合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式，平方差公式、合并同类项法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 31．【答案】，； 【分析】 本题考查整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，算术平方根与平方的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，将括号内的式子进行化简，再根据多项式除以单项式进行化简，由算术平方根与平方的非负性，求出，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， ∵， ∴， 即， ， 解得， ∴原式． 32．【答案】，18 【分析】 本题主要考查了完全平方公式、多项式乘法法则以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式、多项式乘法法则和非负数的性质是解题的关键． 先根据完全平方公式、多项式乘法法则化简代数式，再利用非负数的性质求出、的值，最后代入求值． 【详解】 解： ， 因为，且，， 所以，， 解得，． 当，时，原式． 33．【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出的值，然后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 34．【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，其运算顺序为先乘方，再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则，运用完全平方公式、平方差公式去括号，合并同类项，然后括号内的数分别相除去括号，完成化简；把变形得到的值，代入化简后的代数式即可得到答案． 【详解】 解： ， ， ， 当时， 原式． 答：化简后的代数式为，其值为． 35．【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）① 利用计算即可； ② 令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】 解：（1）① 由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ② 令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 36．【答案】9或或9 【分析】 本题考查完全平方式，由，再通过比较系数确定参数的值． 【详解】 解： ， 解得或， 故答案为：9或． 37．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了整式的混合运算及二元一次方程组的解法，正确计算是解题的关键． （1）先运用单项式与多项式的乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）先将方程② 去分母化简得方程③ ，再将方程① ③ 进行加减消元即可求解． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）解： ， 由② 得，③ ， 由得，． 将代入③ ， 解得，， 因此，原方程组的解为 ． 38．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是利用完全平方公式求得的值． 根据已知条件，通过平方运算求出的值，再代入代数式计算，即可求解． 【详解】 解：由，两边平方得： ， 所以，， 将代入可得，， 故答案为：． 39．【答案】10 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、完全平方公式的应用以及三角形三边关系，解题的关键是通过配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质确定边长度． 先将给定的等式通过配方法转化为完全平方的形式，求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论三边长度，结合三角形三边关系判断是否成立，进而求出周长． 【详解】 解： 因为每个数的平方是非负的，所以且，解得， 接下来分情况讨论等腰三角形的三边： 当腰长为2时，三边为．因为，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以这种情况不成立； 当腰长为4时，三边为．因为，满足三角形三边关系，所以周长为． 故答案为：10． 40．【答案】，． 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去中括号里面的小括号，然后合并同类项，然后根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可正确计算是解题的关键． 【详解】 解： ； 当，时，原式． 41．【答案】（1）①；②15     （2）10      【分析】 本题考查了完全平方公式与图形面积、算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）① 根据求解即可得； ② 根据求解即可得； （2）先求出和，再根据求解即可得． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． ② ∵，， ∴ ， 故答案为：15． (2) 小问详解： 解：由题意得：，，， ∵， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ． 42．【答案】 【分析】 本题考查了配方法，将转换为即可解答，熟练利用完全平方公式是解题的关键． 【详解】 解：， ， 原式有最小值， 故答案为：． 43．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了平方差公式、完全平方公式、利用整式的乘法进行简便计算． 把转化成的形式，再利用平方差公式进行简便计算； 把转化成的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 44．【答案】（1），； ；     （2）．      【分析】 本题主要考查了乘法公式、整式的乘法，解决本题的关键是利用完全平方公式计算． （1）根据小长方形的摆放位置用含、的代数式把、表示出来； 根据长方形的周长公式可得：，整理可得：小长方形的周长为； （2）根据长方形的面积公式可得：，整理可得：，因为，两边同时平方可得：，利用整体代入法求出的值即可． (1) 小问详解： 解：大长方形的长为，大长方形的宽为， 故答案为：，； 解：大长方形的周长是， ， 整理得：， 小长方形的周长为； (2) 小问详解： 解：图中阴影部分的面积是， ， 整理得：， 即， ， 两边同时平方可得：， 即， 解得：， 即小长方形的面积为． 45．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）米      【分析】 本题考查完全平方公式，平方的非负性，列代数式． （1）由完全平方公式，结合，可得当，时，，从而可得当时，的最小值． （2）对进行整理，利用，即可求得最小值； （3）根据题意可知，，设，可得的表达式，利用，即可求得的最小值； （4）设花园的长为米，则宽为米，可得篱笆总长为，利用，即可求得所需篱笆总长的最小值． (1) 小问详解： 解：∵当，时，， ∴， ∴， ∴当，时，，当且仅当时取等号， ∴当时，， ∴当时，的最小值为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵当，时，， ∴当时，， ∴当时，求的最小值为． (3) 小问详解： 解：用表示图形的面积，例如，四边形的面积为， 根据题意可知，， 设， ∵、的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为． (4) 小问详解： 解：设花园的长为米，，则宽为米， 篱笆总长为（米） ∴为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为米． 46．【答案】13 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 47．【答案】（1）0；（2），70，；（3） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键． （1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算． （2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式． （3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算． 【详解】 （1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 48．【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 （）利用乘法公式计算即可求解； （）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解； （）① 根据图形即可求解；② 由① 结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由乘法公式得，， 即， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：① 由图可得，， 故答案为：； ② ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 49．【答案】23 【分析】 本题考查了完全平方公式，平方的非负性，三角形三边的关系，掌握这些知识是解题的关键；利用完全平方公式及平方的非负性可求得a与b的值，再由三角形三边关系可确定第三边c的范围，根据三边为正整数即可确定c的最大值，从而求出周长的最大值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的三边长、、都是正整数， ∴c可取正整数3到11，最大为11， ∴周长的最大值为． 故答案为：23． 50．【答案】① 3154    ② 9365 【分析】 本题考查了新定义，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 对于最小的“七中数”，千位数字应最小，百位取1时千位为3，十位和个位取最小且与千位、百位不重复的值，即当个位是2时，十位是，与千位上的3重复，故舍去，当个位是4时，十位是，此时满足条件；对于满足条件的自然数N，需为整数且为完全平方数，经检验仅满足，即可作答． 【详解】 解：设一个四位自然数，且均满足互不相同，且都不为0的正整数， 依题意，千位数字a是百位数字b的3倍，十位数字c和个位数字d满足， 故b可取1、2、3，a对应为3、6、9， ∵求最小“七中数”时， ∴取，； 且c、d、a、b互不相同， 当时，与重复； 当时，与重复； 当时，则与重复； 当时，则，满足题意 故最小“七中数”为； ∵对于一个“七中数”，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为x，十位数字和个位数字组成的两位数记为y， ∴，，，， ∵ ∴ ∵是一个完全平方数时， ∴该表达式需为整数， 故需为整数， 即是7的倍数， 则b取1、2、3，c取2至9， 当时， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，是7的倍数， 当时，，不是7的倍数，舍去； ∴当时，，才满足题意； ∴ 此时对应N为； 当时， 则， ∴，不是完全平方数； 故舍去； 当时， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，是7的倍数； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； ∴当时，，才满足题意； ∴， ∵ ∴此情况不符题意； 当时， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，是7的倍数， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； ∴当时，，才满足题意； ∴， 此时对应N为； 当时，， ∴，是完全平方数。 故满足条件的自然数N为， 故答案为：3154，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）计算：结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）计算的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）计算：　　　　　　． 4．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）计算：　　　　　　． 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）计算． （1）； （2）． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）计算的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）下列运算结果正确的是（ ） A. a2+a3=a5 B. （a2）3=a6 C. a2•a3=a6 D. 3a﹣2a=1 5．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）若，，则的值为（       ） A. 12 B. 17 C. 72 D. 18 7．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）下列各式中，计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列计算错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列运算结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知，则的值是（     ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 13．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列运算正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列各式计算正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）下列计算正确的是 (　　) A. (x2)3=x5 B. (x3)5=x15 C. x4·x5=x20 D. -(-x3)2=x6 19．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）若，均为正整数，且，则的值为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或或 20．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）若，，则 　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知am＝2，an＝3，求a3m+2n的值． 23．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）若4a＝2，4b＝3，则42a+b的值为　　　　　． 24．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）计算： （1） （2） 25．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 26．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）若为正整数，且，，则　　　　　　． 27．（八上·重庆川外基础教）已知，，则　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若，，则　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）若，则　　　　． 30．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 31．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 32．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 33．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）若，则n的值是　　　　　　　　． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如果，那么m、n的值分别是（       ） A. ，12 B. 11，12 C. ， D. 11， 2．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（       ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 30 3．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）若关于x的多项式与的乘积中不含x的二次项，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）下列图形都是由同样大小的正方形按规律拼成的，其中第①个图形有个正方形，第②个图形有个正方形，第③个图形有个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图形中正方形的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，…，则第（2025）个图案中基础图形的个数是（     ） A. 6073 B. 6074 C. 6075 D. 6076 7．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）以下说法正确的是（       ） A. 等腰三角形的中线、高、角平分线互相重合 B.  C. 三角形两个内角角平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等 D. 若，则的取值范围为任意实数 11．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，为庆祝抗战胜利80周年，小嘉用棋子摆出一组形如旗帜的图形，按照这种方法摆下去，当摆第80个图形时需要棋子的枚数是（       ） A. 240 B. 241 C. 242 D. 243 12．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）若，则a的值为（       ） A. －7 B. －5 C. 5 D. 7 13．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）若的展开式中不含项，则常数a的值为（     ） A. 0 B. 3 C. 2 D.  14．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）下列运算不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（　　） A. 2 B.  C. 0 D.  16．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）为美化校园环境，学校计划在教学楼走廊打造一面文化墙，文化墙由若干个黑色小正方形瓷砖拼接而成，瓷砖排列遵循统一规律，其中第①个图形需要1块瓷砖，第②个图形需要4块瓷砖，第③个图形需要9块瓷砖，第④个图形需要16块瓷砖……，按此规律排列下去，第⑨个图形需要瓷砖的块数为（       ） A. 79 B. 80 C. 81 D. 82 17．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第幅图有个圆点，第幅图有个圆点，第幅图有个圆点，，按照此规律排列下去，第个图案中黑色圆点的个数为（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 18．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）已知，，则的值为（       ） A. 5 B.  C. 23 D.  19．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，，照这样的规律搭下去，搭9个三角形需要小木棒的根数为（     ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 22．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（     ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 23．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）下列计算中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成，图案①需15根小棒，图案②需23根小棒，图案③需31根小棒，按此规律图案⑥需要的小棒根数为（       ） A. 55 B. 58 C. 63 D. 66 25．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有4张黑色正方形纸片，第②个图中有7张黑色正方形纸片，第③个图中有10张黑色正方形纸片……按此规律排列下去第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（　　） A. 25 B. 28 C. 31 D. 34 26．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）若，，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）用大小完全相同的圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个圆点，第②个图案中有个圆点，第③个图案中有个圆点，第④个图案中有个圆点，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆点的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（       ） A. 或 B.  C.  D. 以上答案均不对 29．（八上·重庆川外基础教）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）已知关于x的多项式A和B如下：，，则下列三个说法中正确的有（　　） ①；②若无论x取何值，的值恒大于0，则；③若多项式，其中C为整式，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 31．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 32．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）有个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（     ） ①；②当时，第四个整式的值为81；③若第三个整式与第二个整式的差为21，则；④第2024个整式为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 33．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）已知整式：，其中系数，，，均为整数，满足，且（其中，1，2），下列说法正确的个数是（     ） ①存在满足条件的整式，当时，； ②若整式满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式共有4个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 34．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 35．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 36．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）在整式x，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在x与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第二个整式为； ②第三次操作后，倒数第二个整式是； ③经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为34； ④经过8次操作后，将得到257个整式． 以上四个结论正确的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 37．（25-26学年八·重庆高新·期中）已知整式，其中n为自然数，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有4个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式共有44个． 其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 38．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）已知整式M：，其中系数均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（       ） ①存在 一个满足条件的整式M，当时，； ②若整式M满足，当时，，则的最小值为； ③若，则满足条件的整式M共有个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 39．（八上·重庆川外基础教）若关于的多项式，其中为正整数，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有15个； ③若多项式为整数），其中，则． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 40．（25-26学年八上·重庆·期中）有依次排列的两个整式： ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串： ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第n次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第n次操作后的整式串共有个整式（n为正整数）；③第2025次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为2．正确的有 （     ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 41．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）计算： （1） （2） 42．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）计算：　　　　　． 43．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）计算：　　　　． 44．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）2025年4月23日，中国科学院团队利用云南天文台1.2米望远镜激光测距系统，成功探测到公里外的远距离逆行轨道卫星单角锥反射器激光回波，实现我国首次地月尺度卫星激光测距．将数据用科学记数法表示为　　　　　． 45．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）计算：　　　　　　． 46．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）若关于的多项式与的乘积中不含项，则常数的值为　　　　　　． 47．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）观察下列等式： ； ； ； …… （1）根据以上等式的规律，填空：； （2）根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； （3）利用（2）中的等式化简：． 48．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）计算：　　　　　　． 49．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）“北斗系统”是我国自主建设运行的全国卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000次，360000000用科学记数法表示为　　　　　； 50．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）计算　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）计算： （1） （2） 52．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）先化简，再求值：，其中， ． 53．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． （1）请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） （2）如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 54．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）若的结果中不含的一次项，则的值为　　　　　　． 55．（八上·重庆川外基础教）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是　　　　　　　　　　　（用含x，y的代数式表示） 56．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）计算： （1）； （2）． 57．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）若(2x＋a)(x－1)的结果中不含x的一次项，则a=　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为　　　　　　． 59．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）计算： （1）； （2）． 60．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）化简求值：，其中． 61．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． （1）该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ （2）根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 62．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）已知am=3，an=5，则a3m-2n=　　　　　　　． 63．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）计算： （1）； （2）． 64．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知，则的值是　　　　　　． 65．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）计算题： （1）计算； （2）计算； （3）解方程组 ； （4）解不等式组 ． 66．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如果的积中不含的一次项，则的值为　　　　　． 67．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）先化简，再求值：，其中，． 68．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）计算： （1）； （2）． 69．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 70．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）若关于的整式的结果不含关于的一次项和二次项，则的值为　　　　　． 71．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）计算： （1） （2） 72．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）某植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米． （1）求A、B两园区的面积之和（备注：要化简）； （2）根据实际需要2023年初对A园区进行改造，改造后长增加米，宽减少米，改造后A区的长比宽多100米，且改造后B园区的周长比A园区的周长多40米． ①求a、b的值； ②改造后当年若A园区全部种植郁金香，B园区全部种植牡丹花，且郁金香、牡丹花两种花当年投入的费用与吸引游客的收益如下表： 郁金香 牡丹花 投入（元/平方米） 18 15 收益（元/平方米） 28 30 求改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 73．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）计算： （1）； （2）解不等式组 ． 74．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）计算 （1） （2） 75．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）先化简，再求值：，   其中a、b满足． 76．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）            ； （2）求            ； （3）求的和；（请写出计算过程） 77．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）计算 （1） （2） 78．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）计算： （1）； （2） 79．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）先化简，再求值 ，其中，． 80．（八上·重庆川外基础教）计算： （1） （2） 81．（八上·重庆川外基础教）先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 82．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）计算 （1） （2）． 83．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是　　　　　　；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为　　　　　　． 84．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）若关于x的多项式与的乘积中没有二次项，且常数项为10，则　　　　　　． 85．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： （1）计算，商式是______，余式是______； （2）试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； （3）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 86．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则　　　　　　．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为　　　　　　　． 87．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）对于一个三位自然数，若满足，那么称这个三位数为“6月数”．例如，三位数220，，是一个“6月数”．若一个三位数是“6月数”，则m值为　　　　　；若一个三位数是“6月数”，记能被6整除时，则满足条件的三位数最大值与最小值的和为　　　　　． 88．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如果一个三位数各个数位上的数字各不相同且十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三唯数”，如：三位数624，，是“三唯数”，把一个三唯数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为，则的值为　　　　　　　　　　；若三位数是“三唯数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的的最大值　　　　　　　　　　． 89．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）一个四位自然数，如果M的千位与个位数字顺次组成的两位数与百位与十位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个数为“荣耀数”，最大的“荣耀数”为　　　　　　　　；将“荣耀数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到的新数为，记，若均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为　　　　　　　　． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）计算： （1）； （2）． 6．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 　　　　　 ． 7．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： （1）比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． （2）请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“ ”中被墨水遮住的部分可能是（     ） A. 6 B.  C. 12 D.  2．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）若关于的二次三项式是完全平方式．则（　　） A.  B. 8 C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）若，则的值为（       ） A. 4 B. 1 C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列关系式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（     ） A.  B.  C. 14 D. 14或 6．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（八上·重庆川外基础教）下列各运算中，正确的是 （　　） A. （m－2）2＝m2－4 B. （a＋1）（－a－1）＝a2－1 C. （1＋2a）2＝1＋2a＋4a2 D. （a＋1）（－1＋a）＝a2－1 8．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）两个正方形，如图摆放，边长分别为，，若，，则图中阴影部分面积的和为（     ）． A. 8 B. 9 C. 102 D. 12 9．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知，则的值为（     ） A. 3 B. 9 C. 49 D. 100 10．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）若，则（     ） A. 3 B. 6 C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 12．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知关于x的多项式M和N如下：，，则下列三个说法中正确的有（       ） ①； ②若无论x取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中A为整式，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 13．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）计算∶ （1）； （2）． 14．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 15．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）计算． （1） （2） 16．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）若是某个整式的平方，则　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）已知，，则　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）若，则的值是 　　　　　． 19．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）化简求值：，其中，． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）整式的计算： （1） （2） 21．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 22．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）计算： （1）； （2）． 23．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值； （3）在（2）的条件下，若分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 24．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）先化简，再求值： ，其中． 25．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）计算： （1） （2） 26．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）先化简，再求值：．其中满足 27．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． （1）如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； （2）①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②运用等积法的思想，解决问题：已知，，求代数式的值． 28．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）先化简，再求值：，其中． 29．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）若． （1）若与为相反数，求的值； （2）若，求的值． 30．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）计算 （1） （2） 31．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）先化简，再求值：，其中 32．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）先化简，再求值：，其中． 33．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）先化简，再求值： ，其中，满足． 34．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）先化简，再求值：，其中a满足． 35．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为                    ； ②若，则                    ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 36．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）若是完全平方式，则　　　　　． 37．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）（1）计算：              （2）解方程组： 38．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若，则代数式的值是　　　　　． 39．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）已知等腰三角形的两边分别为、，且满足，则的周长为　　　　　． 40．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 41．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． （1）①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． （2）如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 42．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）多项式有最小值，最小值为　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）计算： （1）； （2）． 44．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），设小长方形的长，宽为． （1）①用、的代数式表示大长方形的长和宽：________，________； ②若大长方形的周长是，求一个小长方形的周长； （2）若图中阴影部分的面积是，，求图中一个小长方形的面积． 45．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）【发现问题】 我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值． 【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由． 【解决问题】 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为___________； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值． （4）请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？ 46．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）已知，，则的值为　　　　　　． 47．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 48．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为              ； （2）若，求代数式的值； （3）观察图， ①从图中得到                     ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 49．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）已知的三边长、、都是正整数，且满足，周长最大值是　　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）对于一个四位自然数N，如果N满足：各数位上的数字均不等于0且互不相等，千位上的数字是百位上的数字的3倍，个位数字比十位数字小1，则称N为“七中数”，则最小的“七中数”是　　　　　　　　；对于一个“七中数”，若将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为x，十位数字和个位数字组成的两位数记为y，记，若是一个完全平方数时，则满足条件的自然数N为　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）计算：结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了同底数幂的乘法．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算即可． 【详解】 解：， 故选：C 2．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）计算的结果是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】 解：， 故选：． 【点睛】 本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，由此求解即可． 【详解】 由同底数幂的乘法法则，， 可得：． 故答案为：． 4．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及有理数的乘方运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则，以及统一底数的技巧是解题的关键． （1）直接运用同底数幂的乘法法则，将指数相加进行合并化简； （2）先把底数统一，再运用同底数幂的乘法法则计算指数和，最后得出结果． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了整式的运算法则，熟练掌握积的乘方，同底数幂的乘法，单项式乘单项式等相关运算法则是关键． 根据积的乘方，同底数幂乘法，单项式乘单项式的运算法则进行判断即可． 【详解】 解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，正确，该选项符合题意； D、，原计算错误，该选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，幂的乘方，底数不变，指数相乘，积的乘方把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，同底数幂乘除法的指数是相加减，据此求解判断即可． 【详解】 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）计算的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了幂的乘方，解题关键是掌握幂的乘方并能熟练运用求解． 根据幂的乘方法则计算． 【详解】 解：， 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）下列运算结果正确的是（ ） A. a2+a3=a5 B. （a2）3=a6 C. a2•a3=a6 D. 3a﹣2a=1 【答案】B 【详解】试题分析：利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项．A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；B、（a2）3=a6，正确，符合题意；C、a2•a3=a5，故错误；D、3a﹣2a=a，故错误， 考点：（1）幂的乘方与积的乘方；（2）合并同类项；（3）同底数幂的乘法 5．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查幂的运算，包括幂的乘方、同底数幂相乘和积的乘方，根据幂的乘方、同底数幂相乘和积的乘方法则计算即可判断结论． 【详解】 解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）若，，则的值为（       ） A. 12 B. 17 C. 72 D. 18 【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂相乘的逆运算，幂的逆运算，把，代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， 故选：D． 7．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方等知识内容，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 8．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）下列各式中，计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的加法、乘法、幂的乘方和积的乘方．需根据运算法则逐一验证每个选项． 【详解】 解：A、与不是同类项，不能合并，故，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 9．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列计算错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，以及单相式乘单项式的知识点；解题的关键在于熟练掌握各运算法则；运用积的乘方法则时，需注意负数的偶次幂结果为正，奇次幂为负，避免符号错误． 【详解】 选项A、，选项A正确，不符合题意； 选项B、，选项B正确， 不符合题意； 选项C、，选项C错误，符合题意； 选项D、，选项D正确，不符合题意． 故选C． 10．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列运算结果正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A.∵a6÷a3=a3， ∴选项A不符合题意； B.∵（a2）3=a6， ∴选项B不符合题意； C.∵（ab）2=a2b2， ∴选项C不符合题意； D.∵a2•a3=a5， ∴选项D符合题意． 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握． 11．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知，则的值是（     ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将转化为，利用同底数幂相乘的法则与幂的乘方，结合已知条件计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故选A． 13．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列运算正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了合并同类项，幂的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则判断即可． 【详解】 解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意， 故选：C． 14．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列各式计算正确的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，幂的乘方进行计算即可求解．本题考查了幂的运算以及合并同类项，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】 解： ，选项不正确，不符合题意； B． ，选项不正确，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D． ，选项不正确，不符合题意． 故选：C 15．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项． 根据积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项逐一计算后判断即可． 【详解】 解：选项A：，原计算错误； 选项B：，原计算错误； 选项C：，原计算正确； 选项D：不能合并，原计算错误； 故选：C． 16．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查同类项的定义、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则．需要牢记：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项，不是同类项不能合并；同底数幂相乘时，底数不变，指数相加；计算幂的乘方时，底数不变，指数相乘；计算积的乘方时，先把每一个因数乘方，再把所得的幂相乘． 利用同类项的定义、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算即可判断出正确答案． 【详解】 解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项正确； 故答案为：D． 17．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查幂的运算和乘法公式．A选项错误，因为幂的乘方应指数相乘；B选项错误，完全平方公式展开后应有中间项；C选项正确，同底数幂相乘指数相加；D选项错误，积的乘方应每个因子分别乘方． 【详解】 解：∵，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵，∴ C正确； ∵ ，∴ D错误． 故选：C． 18．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）下列计算正确的是 (　　) A. (x2)3=x5 B. (x3)5=x15 C. x4·x5=x20 D. -(-x3)2=x6 【答案】B 【分析】 根据同底数幂相乘、幂的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】 解：A．(x2)3=x6，故本选项不符合题意； B．(x3)5=x15，故本选项符合题意； C．x4·x5=x9，故本选项不符合题意； D．-(-x3)2=-x6 ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 19．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）若，均为正整数，且，则的值为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或或 【答案】C 【分析】 本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，二元一次方程的解，先把化为，化为，得出，即，因为，均为正整数，求出，即可，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵，均为正整数， ∴ 或 ， ∴或， 故选：． 20．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）若，，则 　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了积的乘方，根据即可求出答案． 【详解】 解：， 故答案为：10． 21．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了积的乘方法则，． 根据积的乘方法则进行计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知am＝2，an＝3，求a3m+2n的值． 【答案】72 【分析】 根据幂的运算及逆定理即可求解． 【详解】 解：∵am＝2，an＝3， ∴a3m+2n ＝a3m•a2n ＝（am）3•（an）2 ＝23×32 ＝8×9 ＝72． 【点睛】 此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算公式． 23．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）若4a＝2，4b＝3，则42a+b的值为　　　　　． 【答案】12 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵4a＝2，4b＝3， ∴42a+b ＝（4a）2•4b ＝22×3 ＝4×3 ＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 24．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式指数幂的混合运算，熟练掌握整数的指数幂的运算是解题的关键， （1）利用负数的奇次幂，零次幂，绝对值的非负性计算即可得到答案； （2）利用幂的乘方，分配律，合并同类项进行计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 25．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】 本题主要考查整式的运算相关知识点，解题的关键在于熟练掌握同底数幂的乘法法则、幂的乘方、积的乘方．运用幂的运算法则对原式进行化简，然后将的值代入即可求解． 【详解】 解：化简： 当时，原式． 26．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）若为正整数，且，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查幂的运算，熟练掌握幂的乘方、积的乘方运算法则是解题的关键，整理式子，代入即可求得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 27．（八上·重庆川外基础教）已知，，则　　　　　　　　． 【答案】72 【分析】 先逆用同底数幂的乘法，将原式变形为，再逆用幂的乘方，变形为，最后把已知代入计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：72． 【点睛】 本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则将式子恒等变形是解题的关键． 28．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘方进行计算即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘方，掌握幂的乘方与同底数幂的乘方运算法则是解题的关键． 29．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）若，则　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆用，代数式求值以及乘方等运算，解题的关键是掌握幂的乘方的逆运算，正确求得的值． 由可得，，解得，将代入代数式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，解得， 将代入可得， 原式， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）24；（2）1 【分析】 本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 31．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）12；（2） 【分析】 本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】 解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 32．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）若的积中不含与项． （1）求，的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行展开，根据积中不含与项，得到与项的系数为0，进行求解即可； （2）先化简，再把，的值代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵ ， ∵积中不含与项 ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴ ， ． 33．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）若，则n的值是　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】 解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如果，那么m、n的值分别是（       ） A. ，12 B. 11，12 C. ， D. 11， 【答案】A 【分析】 本题考查整式乘法中多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解答关键．将原式按整式乘法运算展开，与的每一项一一对应即可． 将左边的多项式展开后，与右边的多项式对应项系数比较，即可确定m和n的值． 【详解】 解：原式 ， ∵， ∴，． 故选：A． 2．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个小圆圈，第②个图形中一共有9个小圆圈，第③个图形中一共有12个小圆圈，……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（       ） A. 24 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】A 【分析】 本题考查了图形类规律探索； 由图形得出第n个图形有个圆圈，然后代入计算即可． 【详解】 解：由图得：第1个图形有个圆圈， 第2个图形有个圆圈， 第3个图形有个圆圈， … ∴第n个图形有个圆圈． ∴第⑦ 个图形中小圆圈的个数为， 故选：A． 3．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）若关于x的多项式与的乘积中不含x的二次项，则n的值是（　　） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．要求乘积中不含x的二次项，即展开后项的系数为零，据此求出结论． 【详解】 解：∵ ， ∵乘积中不含x的二次项， ∴， ∴ ， 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了整式的混合运算，单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握计算法则是解题的关键． 根据对应的计算法则对各项进行运算即可求解． 【详解】 A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）下列图形都是由同样大小的正方形按规律拼成的，其中第①个图形有个正方形，第②个图形有个正方形，第③个图形有个正方形，……，按此规律排列下去，则第⑧个图形中正方形的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 观察图形找出正方形的个数之间数量关系即可解答． 【详解】 解：∵第① 个图形有个正方形，第② 个图形有个正方形，第③ 个图形有个正方形，……， ∴第个图的正方形的个数为， ∴第⑧ 个图形中正方形的个数为， 故选． 【点睛】 本题考查的图形找规律的计算，根据图形找出规律是解题的关键． 6．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图是一组有规律的图案，第（1）个图案由4个基础图形组成，第（2）个图案由7个基础图形组成，…，则第（2025）个图案中基础图形的个数是（     ） A. 6073 B. 6074 C. 6075 D. 6076 【答案】D 【分析】 本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．观察发现，后一个图案的基础图案比前一个图案多3个基础图案，然后根据此规律解答即可． 【详解】 解：∵第（1）个图案中基础图形的个数为； 第（2）个图案中基础图形的个数为； 第（3）个图案中基础图形的个数为； … ∴第（n）个图案中基础图形的个数为， ∴第（2025）个图案中基础图形的个数是． 故选：D． 7．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下面四个整式中，表示图中阴影部分面积的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了多项式乘法与图形面积．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】 解：图中阴影部分面积为：或， 故选：B． 8．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查幂的运算，合并同类项，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据幂的运算公式，合并同类项，积的乘方公式逐一判断即可． 【详解】 解：A、，此选择不符合题意； B、，不是同类项不能进行合并，此选择不符合题意； C、，此选择符合题意； D、，此选择不符合题意． 故选：C． 9．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，对四个式子逐一计算，再作判断． 【详解】 解：中没有同类项，不能合并，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 10．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）以下说法正确的是（       ） A. 等腰三角形的中线、高、角平分线互相重合 B.  C. 三角形两个内角角平分线交于一点，这个点到三个顶点的距离相等 D. 若，则的取值范围为任意实数 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、代数恒等式、三角形内心性质以及零指数幂的定义．选项A错误，因为等腰三角形中只有顶角的角平分线、中线和高重合；选项B正确，通过代数变换可验证；选项C错误，内心到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等；选项D错误，因为零指数幂要求底数不为零． 【详解】 解：A、等腰三角形仅顶角的角平分线、中线和高重合，并非所有线都重合，故此选项错误； B、，故此选项正确； C、三角形角平分线交于内心，内心到三边距离相等，但到顶点距离不一定相等，故此选项错误； D、若，则的取值范围为，故此选项错误． 故选：B． 11．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，为庆祝抗战胜利80周年，小嘉用棋子摆出一组形如旗帜的图形，按照这种方法摆下去，当摆第80个图形时需要棋子的枚数是（       ） A. 240 B. 241 C. 242 D. 243 【答案】B 【分析】 本题考查了图形规律的探究．根据图形点的个数变化推出变化的规律即可求解． 【详解】 解：∵第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， 第个图形点的个数为：， ∴第个图形点的个数为： ， ∴第80个图形点的个数为：， 故选：B． 12．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）若，则a的值为（       ） A. －7 B. －5 C. 5 D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 展开左边表达式，与右边比较x的系数，即可求出a的值． 【详解】 ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较x项系数，得 ， ∴． 故选：A． 13．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）若的展开式中不含项，则常数a的值为（     ） A. 0 B. 3 C. 2 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了整式的乘法多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的法则是解题关键，不含哪一项就合并同类项后令该项的系数等于0． 根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项，然后根据展开式中不含x2项，可得x2项的系数等于0，即可求出a的值． 【详解】 ∵的展开式中不含项， ∴ ∴． 故选：B． 14．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）下列运算不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除、合并同类项及积的乘方；因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行求解 【详解】 选项A：根据同底数幂的除法法则，，故，故A计算正确，不符合题意； 选项B：合并同类项时系数相减，故B计算正确，故不符合题意； 选项C：根据同底数幂的乘法法则，，故，但题目中结果为，计算错误，故符合题意； 选项D：根据积的乘方法则，，故，故D计算正确，故不符合题意； 综上，运算不正确的是C； 故选C 15．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）若关于的多项式展开合并后不含项，则的值是（　　） A. 2 B.  C. 0 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了多项式的乘法问题． 先计算，再根据展开合并后不含项作答即可． 【详解】 ， ∵关于的多项式展开合并后不含项， ∴， 即， 故选：A． 16．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）为美化校园环境，学校计划在教学楼走廊打造一面文化墙，文化墙由若干个黑色小正方形瓷砖拼接而成，瓷砖排列遵循统一规律，其中第①个图形需要1块瓷砖，第②个图形需要4块瓷砖，第③个图形需要9块瓷砖，第④个图形需要16块瓷砖……，按此规律排列下去，第⑨个图形需要瓷砖的块数为（       ） A. 79 B. 80 C. 81 D. 82 【答案】C 【分析】 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现瓷砖的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出图形中瓷砖的数量，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：第① 个图形需要1块瓷砖，而， 第② 个图形需要4块瓷砖，而， 第③ 个图形需要9块瓷砖，而， 第④ 个图形需要16块瓷砖，而， …… 第n个图形需要块瓷砖， ∴第⑨ 个图形需要瓷砖的块数为． 故选：C． 17．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第幅图有个圆点，第幅图有个圆点，第幅图有个圆点，，按照此规律排列下去，第个图案中黑色圆点的个数为（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了图形的变化规律，根据第幅图有圆点（个），第幅图有圆点（个），第幅图有圆点（个），    ，从而得出第幅图有圆点（个），从而求解． 【详解】 解：第幅图有圆点（个）， 第幅图有圆点（个）， 第幅图有圆点（个），  ， ∴第幅图有圆点（个）， 故选：．  18．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）已知，，则的值为（       ） A. 5 B.  C. 23 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方．逆用幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 故选：D． 19．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算、合并同类项．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简，进而得出答案． 【详解】 解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、和不是同类项，无法合并，故此选项不合题意． 故选：B． 20．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查指数运算的基本法则，包括同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方运算规则．解决本题的关键是根据关于幂的运算法则计算出正确结果，根据计算结果判断正误． 【详解】 解：A选项：根据同底数幂的乘法法则，可得：，故A选项错误； B选项：和不是同类项，不能合并，故B选项错误； C选项：根据同底数幂的除法法则，可得：，故C选项正确； D选项：根据幂的乘方的法则，可得：，故D选项错误． 故选：C． 21．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）用小木棒按如图的方式搭一行等边三角形，搭1个三角形需3根小木棒，搭2个三角形需5根小木棒，搭3个三角形需7根小木棒，，照这样的规律搭下去，搭9个三角形需要小木棒的根数为（     ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 20 【答案】C 【分析】 本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知每多一个三角形就增加2根小木棒，据此求解即可． 【详解】 解：搭1个三角形需根小木棒， 搭2个三角形需根小木棒， 搭3个三角形需根小木棒， ……， 以此类推可知，搭n个三角形需根小木棒， ∴搭9个三角形需要小木棒的根数为， 故选：C． 22．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）将一些相同的棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形有4个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有12个棋子，第4个图形有16个棋子，……，依此规律，第6个图形有（     ）个棋子． A. 18 B. 20 C. 24 D. 36 【答案】C 【分析】 本题考查图形的变化规律，解题关键是明确题意，找出题目中棋子个数的变化规律． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中棋子的个数，通过归纳得出第n个图形的棋子的个数，最后把代入规律求解即可． 【详解】 解：第1个图形有个棋子， 第2个图形有个棋子， 第3个图形有个棋子， 第4个图形有个棋子， ……， 由此发现，第n个图形有个棋子， ∴第6个图形有个棋子． 故选：C 23．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）下列计算中，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查零指数幂、多项式乘法、幂的乘方和同底数幂除法等基本运算法则，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 根据运算法则对选项逐个进行计算判断即可． 【详解】 选项A：任何非零数的0次幂等于1，，∴ A错误． 选项B：多项式乘法，，∴ B正确． 选项C：幂的乘方，，∴ C错误． 选项D：同底数幂除法，，∴ D错误． 故选：B． 24．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列图案是用长度相同的小棒按一定规律拼搭而成，图案①需15根小棒，图案②需23根小棒，图案③需31根小棒，按此规律图案⑥需要的小棒根数为（       ） A. 55 B. 58 C. 63 D. 66 【答案】A 【分析】 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需小棒的根数依次增加8是解题的关键．根据所给图形，依次求出所需小棒的根数，发现规律即可解决问题． 【详解】 解：由所给图形可知， 图案① 需要的小棒根数为：； 图案② 需要的小棒根数为：； 图案③ 需要的小棒根数为：； ， 所以图案需要的小棒根数为根， 当时， （根， 即图案⑥ 需要的小棒根数为55根． 故选：A． 25．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有4张黑色正方形纸片，第②个图中有7张黑色正方形纸片，第③个图中有10张黑色正方形纸片……按此规律排列下去第⑨个图中黑色正方形纸片的张数为（　　） A. 25 B. 28 C. 31 D. 34 【答案】B 【分析】 本题考查的是图形的变化规律，从题目中找出其中的变化规律是解题的关键． 根据题目中的规律可得：第个图中的黑色正方形纸片张数为：，再计算，即可得出答案． 【详解】 解：由题目可知： 第①个图中有4张黑色正方形纸片，即； 第②个图中有7张黑色正方形纸片，即； 第③个图中有10张黑色正方形纸片，即； ， 按此规律排列下去，第个图中的黑色正方形纸片张数为：， 第⑨个图中黑色正方形纸片张数为：， 故选：B． 26．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）若，，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】 解：， 故选：C． 27．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）用大小完全相同的圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个圆点，第②个图案中有个圆点，第③个图案中有个圆点，第④个图案中有个圆点，…，按此规律排列下去，则第⑨个图案中圆点的个数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了图形类规律的探索，解题的关键是根据前几个图形的数据，正确找出规律，然后求解．先求出前面几个图形中“●”的个数，找到规律，然后求解即可． 【详解】 解：第① 个图案中“●”有：个， 第② 个图案中“●”有：个， 第③ 个图案中“●”有：个， 第④ 个图案中“●”有：个， …… 第个图案中“●”有：个， 第⑨ 个图案中“●”有：个， 故选：C． 28．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（       ） A. 或 B.  C.  D. 以上答案均不对 【答案】B 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，根据非负数的性质，求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】 解：∵， ∴且， 解得：，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8， ∵， ∴不能组成三角形； ②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8， 能组成三角形，周长， ∴三角形的周长为， 故选：B． 29．（八上·重庆川外基础教）下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】 解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 30．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）已知关于x的多项式A和B如下：，，则下列三个说法中正确的有（　　） ①；②若无论x取何值，的值恒大于0，则；③若多项式，其中C为整式，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题考查整式的运算与性质，掌握知识点是解题的关键． 对于说法①，通过展开多项式A并比较系数求出a、b、c、d的值，代入计算即可判断；对于说法②，计算并配方，根据恒正条件得出p的范围，与说法对比；对于说法③，由B可被整除，求出p值，再根据B的另一种表达式求出e、f、m、n，代入计算验证即可． 【详解】 解：∵ ， ∴， 解得， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵恒成立， ， ∴，即，但不一定成立，故②错误； ∵，且， 设，则， ∴， 解得， 又， 令，则， ∴， ∴，故③正确． ∴ 正确的有①和③，共2个． 故选C． 31．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（     ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 本题考查了整式混合运算——化简求值，理解已知中与是关于x的凤鸣多项式，并准确地进行计算是解题的关键． ① 根据已知计算出 的值即可判断；② 根据已知计算出 的值即可判断；③ 根据已知可得，再利用当时，多项式的值是小于的整数，确定出的值即可解答． 【详解】 解：①，， ， 与是关于x的凤鸣多项式，故① 正确； ② ∵，，， ∴， 则 ， ∴，不满足定义， 则与C不是关于x的凤鸣多项式，故② 错误； ③与是关于x的凤鸣多项式， ， ， （m是正整数）， ， ， ， ∵当时，多项式的值是小于45的整数， ， ， ， ， ， ，， ∴满足条件的所有m的值之和为6，故③ 正确． 综上，正确的结论有① ③ ，共2个， 故选：C． 32．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）有个依次排列的整式，第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，将记为，将第二个整式加上作为第三个整式，将记为，将第三个整式与相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（     ） ①；②当时，第四个整式的值为81；③若第三个整式与第二个整式的差为21，则；④第2024个整式为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查整式的加减、列代数式、以及代数式的求值，属于规律性的题目，繁琐，但只要理解题意，掌握规律即可解决，耐心会更好．根据已知条件找到规律即可解决． 【详解】 解：第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为， ， 记为， ， 记为， ，故① 正确； 以此类推： 同理可得：， ， ， ， 由于第一个整式为，第二个整式为， 第二个整式加上作为第三个整式， 第三个整式为：， 第三个整式加上作为第四个整式， 第四个整式为：， 当时，，故② 正确； 第三个整式与第二个整式的差为， 即，解得：，故③ 正确； 根据题意，第五个整式为：第四个整式加， 第五个整式为， 同理第六个整式为， 第七个整式为， 第八个整式为， 第2024个整式为，故④ 正确， 故选：D． 33．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）已知整式：，其中系数，，，均为整数，满足，且（其中，1，2），下列说法正确的个数是（     ） ①存在满足条件的整式，当时，； ②若整式满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式共有4个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题主要考查了整式系数的条件限制，需根据差值范围和求和条件逐一验证三个说法的正确性，由此求解即可． 【详解】 ∵设，，，且（，1，2） ① 当时，，即， 取，，，，则，，， 满足且差值在2到3，总和为，故① 正确； ② 已知且时，即， ∴，唯一解为，，， ∴，故② 正确； ③ 已知，即， 当时，，需有两个和一个，有种整式； 当时，，需所有，有种整式，总计种，故③ 正确； 综上，① ② ③ 均正确，共3个． 故选：D． 34．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】 解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故① 符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故② 符合题意； 满足条件的整式共有个．故③ 符合题意； 故选D 35．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）已知，其中为非负整数，均为正整数．规定： 整式的所有系数的和记作．如：因为，所以；因为，所以；因为，所以．以下说法： ① ②若，则 ③若则所有满足条件的整式的和为 ④若，则所有满足条件的整式有9个． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题主要考查了整式的加法运算，熟练掌握整式的加法运算是解题的关键． 由题意知，即可判定① ；由题意得到，即可求出，从而判定②；先说明，再结合可知，易得或，然后求出满足条件的，然后求和即可判断③ ；由，然后分五种情况，分别求出符合条件的，然后统计即可解答． 【详解】 解：① 由题意得∶，故① 错误； ② ∵， ∴， ∴，故②错误； ③ 由题意得： ， ∵， ∴ ∴或， ∴或， ∴所有满足条件的整式的和为，故③ 正确； ④ ∵， ∴当时，， ∴，即； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，为正整数， ∴ 或 或 或 ， ∴或或或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、为正整数， ∴ 或 ∴或； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵为非负整数，、为正整数， ∴ ， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴ ∵、、为正整数， ∴即此时不满足要求． ∴所有满足条件的整式有9个，即④ 正确． 正确的个数是2． 故选：C． 36．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）在整式x，之间插入它们的平均数：，记作第一次操作，在x与之间和与之间分别插入它们各自的平均数记作第二次操作，以此类推． ①第二次操作后，从左往右第二个整式为； ②第三次操作后，倒数第二个整式是； ③经过四次操作后，若，，则所有整式的值之和为34； ④经过8次操作后，将得到257个整式． 以上四个结论正确的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查整式操作中的规律探索．① 通过计算第二次操作后的序列判断；② 通过计算第三次操作后的整式，找出倒数第二个整式判断；③ 利用操作后整式数量与初始和的关系计算总和；④ 根据操作次数与整式数量的规律判断． 【详解】 解：∵初始整式：x和， 第一次操作：插入平均数，整式为x，，， 第二次操作：在x与之间插入平均数，在与之间插入平均数 ，整式为, ，，，， ∴第二次操作后，从左往右第二个整式为，故① 正确； ∵第三次操作后序列有个整式，计算得整式为：，，，，，，，，， ∴倒数第二个整式（第8个）为，而结论② 为，故② 错误； ∵当，时，初始整式值，，初始平均值 ， 经过四次操作后，整式数量，总和，而结论③ 为34，故③ 错误； ∵第n次操作后整式数量为， ∴第8次操作后整式数量为，故④ 正确； 综上所述，① ④ 正确，正确个数为2个． 故选：B． 37．（25-26学年八·重庆高新·期中）已知整式，其中n为自然数，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有4个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式共有44个． 其中正确的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查整式的性质与组合计数．根据条件，逐项分析说法：①单项式情况有4个；②时和应为，说法错误；③总整式个数为44． 【详解】 解：∵整式满足，且为正整数． 对于①：当为单项式时，，则． ∵为自然数，为正整数， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时无解． ∴有4个单项式，①正确． 对于②：当时，． 时，，有6个整式：、、； 时，，有． 求和得，但②说和为，错误． 对于③：总整式个数： ：，1个； ：，到，对应取值，共11个； ：，到，对应组合，共25个； ：7个； 无解． ∴总数为，③正确． 综上，①和③正确， 故选：C． 38．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）已知整式M：，其中系数均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（       ） ①存在 一个满足条件的整式M，当时，； ②若整式M满足，当时，，则的最小值为； ③若，则满足条件的整式M共有个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查数字规律探索，找到规律是解决问题的关键．，即相邻两数间隔只可为2，3，4，且，对每个选项逐一检验即可． 【详解】 解：①当时，， 即， ，即相邻两数间隔可为2，3，4， 则可分别取0，2，4，8，， 故①正确； ②满足，当时，， 即， ， 则可分别取9，，，， 则满足条件的值可为9， 故②错误； ③，即相邻两数间隔可为2，3，4， 且与间有4个间隔， 或， 当时，间隔和为8，则必为每个间隔为2，只有一种可能； 当时，间隔和为，则四个间隔数可为2，2，2，4（有4种排列方式）或2，2，3，3（有种排列方式），共中可能， ∴共有种，满足条件的整式M共有个， 故③错误； 故选：B． 39．（八上·重庆川外基础教）若关于的多项式，其中为正整数，为整数，为非零整数，下列说法： ①已知，当时，则； ②当时，若，则符合条件的所有整式共有15个； ③若多项式为整数），其中，则． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，解决本题的关键是根据多项式的定义分情况写出所有可能出现的结果即可． 【详解】 ① ∵ ，令 ，则奇次项系数和 ． ， ， ∴， 故① 正确 ②为正整数， 当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或或，共个， 当时，，共个， 一共有个， 故正确； ③ ∵ ， ∴ ，． 解方程：由 得 ，代入 ， 即 ，， 解得 （整数），则 ， ∴ ，正确． 故选：D． 40．（25-26学年八上·重庆·期中）有依次排列的两个整式： ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串： ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第n次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第n次操作后的整式串共有个整式（n为正整数）；③第2025次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为2．正确的有 （     ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【分析】 本题考查整式串的操作规律，通过分析每次操作后整式个数的变化规律和整式和的变化规律，判断各结论的正误，整式个数遵循 的规律，整式和每次操作增加2. 【详解】 解：∵初始整式串：，和为 第一次操作后整式串：，个数为 ，和为 第二次操作后整式串：，个数为 ，和为 第三次操作后整式串个数应为 ，故① 错误 第 次操作后整式个数为 ，故② 正确 第 次操作后整式和为 ， ∴ 第2025次操作后和为 ，故③ 错误 ∵S_n-S_n-1=[2x+2(n-1)]-[2x+2(n-2)]=2，故④ 正确 综上，正确结论有② 和④ ，共2个， 故选：B. 41．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，单项式乘以单项式： （1）先计算同底数幂乘除法，再合并同类项即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 42．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）计算：　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握算术平方根定义和零指数幂的运算法则，是解题的关键．根据算术平方根定义和零指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】 解：． 故答案为：2． 43．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）计算：　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了零指数幂和乘方的运算，根据零指数幂和乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 44．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）2025年4月23日，中国科学院团队利用云南天文台1.2米望远镜激光测距系统，成功探测到公里外的远距离逆行轨道卫星单角锥反射器激光回波，实现我国首次地月尺度卫星激光测距．将数据用科学记数法表示为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数． 【详解】 解：． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了零指数幂和立方根．先化简零指数幂，立方根，再运算减法，即可作答． 【详解】 解：， 故答案为：． 46．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）若关于的多项式与的乘积中不含项，则常数的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了多项式与多项式的乘法，已知多项式乘积不含某项求字母的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理，再结合关于的多项式与的乘积中不含项，列式，解得，即可作答． 【详解】 解：依题意， ∵关于的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， 故答案为：． 47．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）观察下列等式： ； ； ； …… （1）根据以上等式的规律，填空：； （2）根据以上等式的规律，填空：；并用多项式与多项式的乘法证明该等式成立； （3）利用（2）中的等式化简：． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查整式的乘法，解题的关键是掌握整式的乘法运算和探究与表达规律． （1）根据上述式子，即可得出答案； （2）根据上述式子，即可得到规律； （3）利用结论，把看成，进行化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵； ； ； ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（1）得到规律． 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 48．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）计算：　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了含零指数幂的运算，掌握任何非零实数的零次幂为1是解题的关键． 分别计算乘方和零次幂，再相加即可． 【详解】 解：， 故答案为：10． 49．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）“北斗系统”是我国自主建设运行的全国卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过360000000次，360000000用科学记数法表示为　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：360000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 50．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）计算　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，零指数幂，分别计算乘方、绝对值和零指数幂，然后合并同类项． 【详解】 解： 故答案为：． 51．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了求一个数的立方根，求绝对值，零指数幂，整式的混合运算． （1）先计算立方根，绝对值，零指数幂，再计算加法即可； （2）先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 52．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）先化简，再求值：，其中， ． 【答案】； 【分析】 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则和合并同类项法则，进行化简，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 53．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积（阴影面积）进行塑胶场地的修复． （1）请用m、n表示阴影面积．（结果化为最简） （2）如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 【答案】（1）平方米     （2）修复完毕的塑胶场地需要费用66000元      【分析】 本题考查多项式乘多项式的实际应用，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． (1) 小问详解： 解： （平方米）， 即阴影面积为平方米； (2) 小问详解： 解：当，时， ， 则（元）， 答：修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 54．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）若的结果中不含的一次项，则的值为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】 解： ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：6． 55．（八上·重庆川外基础教）如图，向阳小区内有一块长为，宽为的长方形空地，小区管理者计划在中间留一块长为2x，宽为的长方形地块修建一个花坛，然后将剩余部分进行绿化，则绿化部分的面积是　　　　　　　　　　　（用含x，y的代数式表示） 【答案】 【分析】 此题考查了多项式乘多项式；根据大长方形的面积减去小长方形的面积列出代数式，利用多项式乘多项式法则，及去括号合并同类项即可得出结果． 【详解】 解：由题意可得： ． 故答案为：． 56．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了整式的混合运算， 对于（1），根据同底数幂相乘法则计算，同时根据幂的乘方法则计算，再合并同类项； 对于（2），根据多项式乘以单项式计算，同时根据同底数幂相除计算，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式， ． 57．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）若(2x＋a)(x－1)的结果中不含x的一次项，则a=　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x的一次项即可确定出a的值. 【详解】 解：(2x+a)（x-1)=2x2 +(a-2)x-a, 由结果中不含x的一次项，得到a-2=0，即 a=2, 故答案为: 2. 【点睛】 本题主要考查合并同类项的知识，由合并同类型的最后结果中不含x的一次项可知，一次项系数为零，即a-2=0. 58．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）杭州亚运会开幕式上，约105800000名“数字火炬人”和现场火炬手共同点燃了主火炬塔，实现了首个“数实融合”的点火仪式，将数据105800000用科学记数法表示为　　　　　　． 【答案】 【分析】 用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】 ∵， 故答案为：． 59．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的四则运算，掌握相关知识点并正确运算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，即可求解． （2）先利用积的乘方将化简，再按整式乘除法运算规则从左往右计算，即可求解． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 60．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】 本题考查了整式的化简求值，非负数的性质．先根据非负数的性质求出和的值，再化简代数式，最后代入求值． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴，． 原式 ． 当，时， 原式． 61．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销，两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． （1）该店销售记录显示，10月份，两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售，两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份，两种品牌的空气净化器各售出多少个？ （2）根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中A品牌个．"双十一"超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与无关，则的值应该为多少？ 【答案】（1）A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个；     （2）a的值为560      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，整式加减中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个，根据销售，两种品牌的空气净化器的利润相同建立方程求解即可； （2）根据利润等于实际售价减去进价后乘以销售量分别求出A、B两个品牌的利润，二者求和求出总利润，再根据总利润与m的值无关列式求解即可． (1) 小问详解： 解：设A品牌的空气净化器售出x个，则B品牌的空气净化器售出个， 由题意得，， 解得， ∴， 答：A品牌的空气净化器售出12个，B品牌的空气净化器售出8个； (2) 小问详解： 解：由题意得，总利润为 ， ∵全部售出所获得的利润与无关， ∴， ∴， 答：的值应该为560． 62．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）已知am=3，an=5，则a3m-2n=　　　　　　　． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算将a3m-2n进行变形，再将已知式子的值代入即可得出结果． 【详解】解：am=3，an=5， ∴a3m-2n=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷52=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则的逆运算，掌握基本运算法则是解题的关键． 63．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的运算，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式和多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 64．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同底数幂除法的逆运用，幂的乘方的逆运用，利用同底数幂除法和幂的乘方的逆运用可将 转化为，再代入已知条件计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 故答案为：． 65．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）计算题： （1）计算； （2）计算； （3）解方程组 ； （4）解不等式组 ． 【答案】（1）      （2）      （3）      （4）       【分析】 本题考查了幂的运算、多项式乘以多项式、解二元一次方程组、解一元一次不等式组等，关键是熟练应用运算方法进行计算； （1）根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则进行计算即可； （2）根据多项式的乘法法则进行计算即可； （3）将方程② 整体代入方程① 解得的值，再求即可； （4）分别解出不等式的解集，再求其公共解 . (1) 小问详解： 解：原式， ， (2) 小问详解： 解：原式， ； (3) 小问详解： 解： ， 把② 代入① 得：， ， 把代入② 得； ， ， ∴ ； (4) 小问详解： 解： ， 解① 得：， 解② 得：， ∴不等式组的解集为：. 66．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如果的积中不含的一次项，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查多项式的乘法，根据多项式乘法的法则，展开乘积后，令一次项的系数为零，即可求出的值． 【详解】 解： 由于积中不含的一次项，则一次项的系数， 解得． 故答案为：． 67．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】 本题考查了整式的混合运算，先算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项，然后算多项式除以单项式化成最简，再根据算术平方根，零指数幂，幂的乘方逆用分别求出的值，最后代入即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵，， ∴原式 ． 68．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了幂的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算规则是解题的关键． （1）先计算乘方，再依次进行同底数幂的乘除法运算； （2）先计算多项式乘多项式，单项式乘以多项式，最后合并同类项． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 69．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【分析】 本题考查整式的混合运算—化简求值，需要先展开括号内的表达式，合并同类项，然后除以 x 进行化简，最后代入数值计算． 【详解】 解： ， 代入 ， 原式． 70．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）若关于的整式的结果不含关于的一次项和二次项，则的值为　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了多项式乘以多项式中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含关于的一次项和二次项的系数都等于0可得的值，代入计算即可得． 【详解】 解： ， ∵关于的整式的结果不含关于的一次项和二次项， ∴，， ∴， 将代入得：，解得， ∴， 故答案为：8． 71．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的混合运算． （1）先计算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可； （2）先计算除法，再合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 72．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）某植物园中现有A、B两个园区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米． （1）求A、B两园区的面积之和（备注：要化简）； （2）根据实际需要2023年初对A园区进行改造，改造后长增加米，宽减少米，改造后A区的长比宽多100米，且改造后B园区的周长比A园区的周长多40米． ①求a、b的值； ②改造后当年若A园区全部种植郁金香，B园区全部种植牡丹花，且郁金香、牡丹花两种花当年投入的费用与吸引游客的收益如下表： 郁金香 牡丹花 投入（元/平方米） 18 15 收益（元/平方米） 28 30 求改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【答案】（1）；     （2）① ；② 206000元．      【分析】 此题考查整式乘法的混合运算，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系是解决问题的关键． （1）根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A、B两园区的面积，再相加即可求解； （2）① 根据等量关系列出方程组求出a，b的值； ② 代入数值得到整改后A、B两园区的面积之和，再根据净收益收益投入，列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ； (2) 小问详解： 解：①A园区改造后长为，宽为， ∵改造后A区的长比宽多100米，改造后B园区的周长比A园区的周长多40米 ∴ ， ∴整理得， ∴解得 ； ② ∵ ∴A园区改造面积为平方米，B园区面积为平方米， ∴根据题意得，（元）． ∴改造后A、B两园区当年旅游的净收益之和为206000元． 73．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）计算： （1）； （2）解不等式组 ． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了单项式除以单项式、单项式乘以单项式、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算单项式除以单项式，再计算单项式乘以单项式即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， 解不等式① 可得：， 解不等式② 可得：， ∴原不等式组的解集为． 74．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的运算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算，以及零指数幂． （1）根据同底数幂的乘除法，积的乘方，单项式除以单项式，进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 75．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）先化简，再求值：，   其中a、b满足． 【答案】，8 【分析】 本题主要考查整式的混合运算以及代数求值，绝对值和平方的非负性，涉及完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据平方差公式、完全平方公式计算括号内，然后合并同类项，然后根据多项式除以单项式法则进行化简，然后根据绝对值和平方的非负性求出，，再求值即可． 【详解】 解： ， ∵ ∴且 ∴，， ∴原式． 76．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② 得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）            ； （2）求            ； （3）求的和；（请写出计算过程） 【答案】（1）     （2）     （3） 解：设① ， 则② ， 得，， ．      【分析】 本题考查数字的变化规律，灵活应用题中所给的方法求解，并能准确计算是解题的关键． （1）设① ，则② ，再由求解即可； （2）设① ，则② ，再由求解即可； （3）设① ，则② ，再由求解即可； (1) 小问详解： 解：设① ， 则② ， 得，， 即， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设① ， 则② ， 得，， ， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 77．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了完全平方公式，平方差公式、整式的加减、多项式除以单项式，掌握是解题的关键； （1）根据完全平方公式，单项式乘多项式的法则展开，合并同类项即可； （2）根据多项式除以单项式，多项式乘多项式运算展开，合并同类项即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 78．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法，幂的乘方，单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算是解题的关键， （1）根据同底数幂乘法幂的乘方混合运算法则计算即可得到答案； （2）根据单项式乘多项式和多项式乘多项式的运算计算即可得到答案． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 79．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）先化简，再求值 ，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键，根据整式的混合运算将式子化简，再代入求值即可． 【详解】 解：原式 ． 当，时， 原式． 80．（八上·重庆川外基础教）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了整式的乘法，平方差公式与完全平方公式． （1）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式进行计算，最后合并同类项，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 81．（八上·重庆川外基础教）先化简，再求值：，其中m，n满足（）． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值．先化简表达式，利用完全平方公式和多项式乘法展开，合并同类项后约分，得到简化形式 ，再代入已知条件  求值． 【详解】 解：原式   ∵  ∴ 原式  82．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）计算 （1） （2）． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项等，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可； （2）利用幂的乘法将的底数变形为，然后再简便运算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 83．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是　　　　　　；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为　　　　　　． 【答案】① 9876    ② 7114 【分析】 本题主要考查整式加减运算及代数式的值，解题的关键是理解“开心数”的定义；因此此题可根据“开心数”意义得到最大的“开心数”，然后根据题意可得s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7，t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是，则有，，进而问题可求解． 【详解】 解：由题意可知：千位一定要最大，故千位数字为9，百位数字为8，十位上的数字则为7，个位数的数字为6，所以最大的“开心数”是9876； ∵， ∴s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7， ∴， ∵，， ∴t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是， ∴， ∴， ∵s、t是“开心数”， ∴，， ∴，， ∴当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 当时，，则， 由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则，由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 综上或； 综上所述：满足条件的所有正整数的和为； 故答案为9876；7114． 84．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）若关于x的多项式与的乘积中没有二次项，且常数项为10，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式法则计算，根据展开式中没有二次项与常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【详解】 解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 故答案为：． 85．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： （1）计算，商式是______，余式是______； （2）试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； （3）利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】（1），1     （2） 能被整除，理由如下：      （3）      【分析】 本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． (1) 小问详解： 解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 86．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如果一个四位正整数的各数位上的数字互不相同且均不为0，且满足十位数字比千位数字大6，个位数字比百位数字大4，那么称这个四位数为“清活数”．记“清活数”M的千位数字和个位数字之积与百位数字和十位数字之积的和为．例如：四位数1276，∵，，∴1276是“清活数”，；四位数3295，∵，但，∴3295不是“清活数”．若为“清活数”，则　　　　　　．若N为“清活数”，且能被12整除，则满足条件的N的最大值与最小值的平均数为　　　　　　　． 【答案】① 38    ② 2488 【分析】 本题考查定义新运算，整式的加减运算，二元一次方程的解，根据“清活数”的值求出的值，再根据的定义求出的值即可，设“清活数”的千位数为，百位数为，根据“清活数”的定义表示出数字，进而表示出，根据能被12整除，求出满足题意的的值，进一步求解即可． 【详解】 解：∵为“清活数” ∴，， ∴； 设“清活数”的千位数为，百位数为，则：十位数字为，个位数字为，， ∴， 当最大时，，，则一定能被12整除， ∴当时，此时最大，为， 当最小时，，， ∵能被12整除，且,四位正整数的各数位上的数字互不相同， ∴， ∴最小，为， ∴满足条件的N的最大值与最小值的平均数为； 故答案为：． 87．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）对于一个三位自然数，若满足，那么称这个三位数为“6月数”．例如，三位数220，，是一个“6月数”．若一个三位数是“6月数”，则m值为　　　　　；若一个三位数是“6月数”，记能被6整除时，则满足条件的三位数最大值与最小值的和为　　　　　． 【答案】① 2    ② 1384 【分析】 本题考查了整式的加减，解决本题的关键是运用“6月数”的定义解决问题．第一空：根据“6月数”的定义，将三位数代入方程，解关于m的方程即可．第二空：首先通过方程推导出a、b、c的关系，再结合s能被6整除的条件，筛选所有可能的三位数，最后求最大值与最小值的和． 【详解】 解：一个三位数是“6月数”， 所以， 即， 解得：， 因为三位数是“6月数”， 所以足， 即， 得：， 即， 得：， 因为a、b、c均为整数，且，，， 所以c只能取0或4或8， ， 将代入式子可得： ， 所以能被6整除， 当时，若，则不合题意舍去； 若，则，这个三位数是660， 当时，， 由，则， 要使被6整除，，此时，这个三位数是724； 当时，，(不合题意，舍去)， 所以最大值是724，最小值是660，它们的和为， 故答案为：2，． 88．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如果一个三位数各个数位上的数字各不相同且十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三唯数”，如：三位数624，，是“三唯数”，把一个三唯数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为，则的值为　　　　　　　　　　；若三位数是“三唯数”，且是完全平方数，且百位数字小于个位数字，请求出所有符合条件的的最大值　　　　　　　　　　． 【答案】① 77    ② 527 【分析】 本题主要考查了新定义，整式的加减，不等式的性质，判断出（为完全平方数）是解题的关键． 首先根据定义计算，是去掉百位、十位、个位后得到的三个两位数之和，即56、16、15的和为87；是百位与个位数字之差的2倍，即 ，故和为77；对于三位数，设百位、十位、个位数字分别为、、，根据“三唯数”定义和条件得 ，则，且、、各不相同；由是完全平方数，推导出，结合得，枚举满足条件的、，得到符合条件的为369和527，最大值为527，即可解答． 【详解】 解：当，百位数字为1，十位数字为5，个位数字为6， 去掉百位得56，去掉十位得16，去掉个位得15， 则，； ； 设三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为， 由条件，， ， ， ， 则， ∵是完全平方数， ∴（为完全平方数）， 又∵， ∴， ∴，即， 代入，得，即， 根据枚举从1至8： 当，数字3、6、9各不相同，； 当，但，不符合数字各不相同，舍去； 当，数字5、7、2各不相同，； 其他取值无效，故最大值为527； 故答案为：77 ，527． 89．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）一个四位自然数，如果M的千位与个位数字顺次组成的两位数与百位与十位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个数为“荣耀数”，最大的“荣耀数”为　　　　　　　　；将“荣耀数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到的新数为，记，若均为整数，则满足条件的M的最大值与最小值之差为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了新定义，整式的加法，列代数式，理解新定义是解题的关键．根据题意，可知，，，从而推出或，那么或，那么当时，最大，由，可以得到是18的倍数，，和有倍数关系，然后分或，进行讨论即可得出答案． 【详解】 解： 一个四位自然数，M的千位与个位数字顺次组成的两位数与百位与十位数字顺次组成的两位数之和为100， ， 或， 当时，，， ， 时，最大，且最大值为， ，均为整数， ，和有倍数关系， 或 或 ， 此时或或， 将“荣耀数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到的新数为， 或或， 当，时， ，不符题意； 当，时， ，符题意； 当，时， ，不符题意； 当时，， ， ，均为整数， ，和有倍数关系， 或 ， 将“荣耀数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到的新数为， ， ，， ， 均为整数， 是18的倍数， 当 时，， ， ， 不符合题意； 当 时，， ， ，符合题意； 此时， 那么最大为，最小为， 那么满足条件的M的最大值与最小值之差为， 故答案为：①，②． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，利用图中阴影部分面积的等量关系，可以得到的公式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平方差公式在几何图形中的应用． 分别表示出两图中的阴影面积，进而列出等式即可． 【详解】 解：由左图可知：阴影面积， 由右图可知：阴影面积， 即． 故选：B． 2．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了单项式乘单项式、积的乘方、合并同类项以及平方差公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．根据单项式乘单项式法则、积的乘方法则、合并同类项法则以及平方差公式分别判断即可． 【详解】 解：、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查平方差公式的几何意义，掌握知识点是解题的关键． 由大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积，进而可以证明平方差公式，即可解答． 【详解】 解：∵图① 中大正方形的面积减去小正方形的面积为，图② 中矩形的面积为， ∴． 故选A． 4．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】 解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 5．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式的乘法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先进行乘方运算，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解：原式． (2) 小问详解： 解：原式． 6．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）发现：，，，，，，，，依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 　　　　　 ． 【答案】6 【分析】 本题考查了平方差公式和尾数特征．观察时注意4的指数的奇偶性与个位数字的关系，利用平方差公式进行计算，然后利用观察的规律解答． 【详解】 解：，，，，，，，， 观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6； ... ． 由规律可得的个位数字是6， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 7．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： （1）比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． （2）请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 （）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）① 利用平方差公式计算即可求解；② 利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① ； ② 原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“ ”中被墨水遮住的部分可能是（     ） A. 6 B.  C. 12 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．运用完全平方公式求出对照求解即可． 【详解】 解：由， ∴被墨水遮住的部分为， 故选D． 2．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）若关于的二次三项式是完全平方式．则（　　） A.  B. 8 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】 解：， ， 解得． 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）若，则的值为（       ） A. 4 B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查完全平方公式应用；根据题意将展开整理后，然后利用等式的性质即可得到本题答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴； 故选：A； 4．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列关系式中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟记完全平方公式与平方差公式是解答此题的关键．分别根据完全平方公式与平方差公式进行解答即可． 【详解】 解： ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C、D选项错误． 故选：B． 5．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）若可以配成一个完全平方公式，则的值为（     ） A.  B.  C. 14 D. 14或 【答案】D 【分析】 本题主要考查完全平方公式；将多项式配成完全平方公式，得出或，分别计算求解即可． 【详解】 解：原式为，需配成完全平方形式． 首项，故． 常数项，故或． 当为时，展开得，中间项系数为． 由题知中间项系数为，故，解得． 当为时，展开得，中间项系数为． 此时，解得． ∴的值为或， 故选：D． 6．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，观察下列图形由左到右的变化，写出相应的代数恒等式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方公式与图形面积，运用数形结合思想，得出左边的阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，右边的阴影部分的面积为长方形的面积，结合阴影部分的面积不变，得，即可作答． 【详解】 解：观察图形，左边的阴影部分的面积为； 右边的阴影部分的面积为； 结合阴影部分的面积不变，则， 故选：C 7．（八上·重庆川外基础教）下列各运算中，正确的是 （　　） A. （m－2）2＝m2－4 B. （a＋1）（－a－1）＝a2－1 C. （1＋2a）2＝1＋2a＋4a2 D. （a＋1）（－1＋a）＝a2－1 【答案】D 【分析】 根据完全平方公式、平方差公式逐项计算即可． 【详解】 A. 原式＝m2－4m+4，故不正确； B. 原式=-(a+1)2＝-a2－2a-1，故不正确； C. 原式＝1＋4a＋4a2，故不正确； D. 原式＝a2－1，正确． 故选D． 【点睛】 此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2；平方差公式是(a+b)(a-b)=a2-b2． 8．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）两个正方形，如图摆放，边长分别为，，若，，则图中阴影部分面积的和为（     ）． A. 8 B. 9 C. 102 D. 12 【答案】A 【分析】 本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，先推出，再根据求出，由得到，进而利用完全平方公式的变形得到，即可求出，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积和为8． 故选：A． 9．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知，则的值为（     ） A. 3 B. 9 C. 49 D. 100 【答案】B 【分析】 本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【详解】 解：∵，， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）若，则（     ） A. 3 B. 6 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据平方差公式，平方根计算解答即可． 本题考查了平方差公式，平方根，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】 解：， ， 故 故，（舍去）， 故选：B． 11．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（     ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】C 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】 解： ， 故选：C． 12．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知关于x的多项式M和N如下：，，则下列三个说法中正确的有（       ） ①； ②若无论x取何值，的值恒为正数，则； ③若多项式，其中A为整式，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【分析】 本题考查了整式的加减与乘法运算．先根据多项式的乘法法则求出a、b、c、d的值可判断① ；将化为，根据得到，进而可判断② ；先由题意得到e、f、m、n值，设，进而由可求得，，进而可求解． 【详解】 解：∵ ∴，，，， ∴，，， ∴，故① 错误， ∵，，，， ∴， ∵，的值恒为正数， ∴， 则， ， ∵， ∴， ∴，故② 正确； ∵ ∴，，，， 设， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③ 错误， ∴正确的个数为1， 故选：B． 13．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 此题考查了完全平方公式、平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算平方差公式，然后合并即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 14．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算，化简求值，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算括号内，再合并括号内的同类项，结合多项式除以单项式，得，因为，得出，再代入计算，即可作答． 【详解】 解： ∵， ∴， 解得， 故 15．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）计算． （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了单项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算，即可作答． （2）先整理原式，再根据平方差公式，完全平方公式进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 16．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）若是某个整式的平方，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用．根据完全平方公式解答即可． 【详解】 解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）已知，，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，即，即可求出． 【详解】 解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：1． 18．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）若，则的值是 　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，变形代入计算即可． 【详解】 ， 故， 故答案为：7． 19．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】 本题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将题目中的式子化简，然后将、的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解： ， 当，时，原式． 20．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）整式的计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）按照多项式乘以多项式的运算法则，直接计算即可得到答案； （2）分别利用完全平方公式，平方差公式进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到答案． 【详解】 解：（1） （2） 【点睛】 本题考查的是整式的乘法运算，掌握利用多项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式进行整式的乘法运算是解题的关键． 21．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】 此题考查了求代数式值的能力，关键是能进行准确化简、计算． 先化简该代数式，再将，代入进行计算． 【详解】 解： ， 当，时． 原式 ． 22．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查整式的乘法运算，解题的关键是掌握多项式乘以多项式的运算，，，进行计算，即可． （1）根据多项式乘以多项式的运算，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式______； （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，求的值； （3）在（2）的条件下，若分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2）48     （3） 解：该三角形为等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是等边三角形．      【分析】 本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式的应用，非负数的性质等等，正确理解题意，数形结合是解题的关键． （1）根据大长方形面积等于其内部三个小正方形面积加上6个小长方形的面积进行求解即可； （2）先求出，，再把这2个等式代入（1）所求等式中求解即可； （3）由（3）可得，进而推出，理由非负数的性质即可推出，则该三角形是等边三角形． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 故答案为：； (2) 小问详解： ∵，， ∴，， ∵， ∴； (3) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】，34 【分析】 本题考查非负数的性质，整式混合运算及化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项化简，根据算术平方根、平方式的非负性计算出x和y的值，最后代入化简后的式子计算即可． 【详解】 解：原式 ， ， ，， ，， 原式 ． 25．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了积的乘方，单项式的乘法，多项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再计算完全平方公式和积的乘方即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）先化简，再求值：．其中满足 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的化简求值． 先利用完全平方公式和平方差公式展开并化简表达式，然后根据非负数的性质求出和的值，最后代入求值． 【详解】 解： ， ∵， ∴且， ∴，， ∴，， 当，时，原式． 27．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． （1）如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； （2）①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②运用等积法的思想，解决问题：已知，，求代数式的值． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题主要考查多项式乘以多项式及完全平方公式与图形的问题，熟练掌握多项式乘以多项式及完全平方公式是解题的关键； （1）根据等积法及题意可直接进行求解； （2）① 根据图形及正方形面积公式可进行求解； ② 利用① 中的公式可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：； 故答案为； (2) 小问详解： 解：① 当把图形看作是边长为的正方形时，面积为， 把图形看作个正方形和个长方形拼成时，面积为， ∴ 故答案为：； ② 因为，， 所以 所以， 所以． 28．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型．根据整式的化简法则进行计算即可． 【详解】 解：原式      ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 29．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）若． （1）若与为相反数，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）25      【分析】 本题考查了绝对值非负性，相反数的定义，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值求代数式的值，整式的加减中的化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据互为相反数的两个数的和为0可得x和y的值，然后代入A和B，再进行化简即可得结果； （2）先利用整式加减求出，再将，整体代入，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：∵与为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∵，， ∴， ， ∴ ； (2) 小问详解： ∵，， ∴ ， ∵ ∴原式 ， ∴的值为25． 30．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，整式的混合运算，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式进行计算，最后合并同类项即可； （2）根据单项式乘以多项式，平方差公式、合并同类项法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 31．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）先化简，再求值：，其中 【答案】，； 【分析】 本题考查整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，多项式除以单项式，算术平方根与平方的非负性，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式，将括号内的式子进行化简，再根据多项式除以单项式进行化简，由算术平方根与平方的非负性，求出，最后代值计算即可． 【详解】 解： ， ∵， ∴， 即， ， 解得， ∴原式． 32．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，18 【分析】 本题主要考查了完全平方公式、多项式乘法法则以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式、多项式乘法法则和非负数的性质是解题的关键． 先根据完全平方公式、多项式乘法法则化简代数式，再利用非负数的性质求出、的值，最后代入求值． 【详解】 解： ， 因为，且，， 所以，， 解得，． 当，时，原式． 33．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）先化简，再求值： ，其中，满足． 【答案】， 【分析】 本题考查了整式的混合运算化简求值，先利用整式的乘法公式和运算法则进行化简，再根据非负数的性质求出的值，然后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 34．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【分析】 本题考查整式的混合运算，其运算顺序为先乘方，再乘除，后加减，有括号时、先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，熟练掌握整式运算的法则是解题的关键． 根据整式的混合运算法则，运用完全平方公式、平方差公式去括号，合并同类项，然后括号内的数分别相除去括号，完成化简；把变形得到的值，代入化简后的代数式即可得到答案． 【详解】 解： ， ， ， 当时， 原式． 答：化简后的代数式为，其值为． 35．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】（1）①若，，则的值为                    ； ②若，则                    ； 【迁移应用】（2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①20；②13；（2）一块三角板的面积是22． 【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． （1）① 利用计算即可； ② 令，，从而得到、的和与积，再利用计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【详解】 解：（1）① 由题意可知，， ，， ， 故答案为：20； ② 令，， ，， ， 故答案为：13； （2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为， ，，即， ， ， ， 一块三角板的面积是22． 36．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）若是完全平方式，则　　　　　． 【答案】9或或9 【分析】 本题考查完全平方式，由，再通过比较系数确定参数的值． 【详解】 解： ， 解得或， 故答案为：9或． 37．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）（1）计算：              （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了整式的混合运算及二元一次方程组的解法，正确计算是解题的关键． （1）先运用单项式与多项式的乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）先将方程② 去分母化简得方程③ ，再将方程① ③ 进行加减消元即可求解． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）解： ， 由② 得，③ ， 由得，． 将代入③ ， 解得，， 因此，原方程组的解为 ． 38．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）若，则代数式的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是利用完全平方公式求得的值． 根据已知条件，通过平方运算求出的值，再代入代数式计算，即可求解． 【详解】 解：由，两边平方得： ， 所以，， 将代入可得，， 故答案为：． 39．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）已知等腰三角形的两边分别为、，且满足，则的周长为　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、完全平方公式的应用以及三角形三边关系，解题的关键是通过配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质确定边长度． 先将给定的等式通过配方法转化为完全平方的形式，求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论三边长度，结合三角形三边关系判断是否成立，进而求出周长． 【详解】 解： 因为每个数的平方是非负的，所以且，解得， 接下来分情况讨论等腰三角形的三边： 当腰长为2时，三边为．因为，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），所以这种情况不成立； 当腰长为4时，三边为．因为，满足三角形三边关系，所以周长为． 故答案为：10． 40．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去中括号里面的小括号，然后合并同类项，然后根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可正确计算是解题的关键． 【详解】 解： ； 当，时，原式． 41．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． （1）①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． （2）如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①；②15     （2）10      【分析】 本题考查了完全平方公式与图形面积、算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）① 根据求解即可得； ② 根据求解即可得； （2）先求出和，再根据求解即可得． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． ② ∵，， ∴ ， 故答案为：15． (2) 小问详解： 解：由题意得：，，， ∵， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ． 42．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）多项式有最小值，最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了配方法，将转换为即可解答，熟练利用完全平方公式是解题的关键． 【详解】 解：， ， 原式有最小值， 故答案为：． 43．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了平方差公式、完全平方公式、利用整式的乘法进行简便计算． 把转化成的形式，再利用平方差公式进行简便计算； 把转化成的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 44．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在大长方形中放入个相同的小长方形（图中空白部分），设小长方形的长，宽为． （1）①用、的代数式表示大长方形的长和宽：________，________； ②若大长方形的周长是，求一个小长方形的周长； （2）若图中阴影部分的面积是，，求图中一个小长方形的面积． 【答案】（1），； ；     （2）．      【分析】 本题主要考查了乘法公式、整式的乘法，解决本题的关键是利用完全平方公式计算． （1）根据小长方形的摆放位置用含、的代数式把、表示出来； 根据长方形的周长公式可得：，整理可得：小长方形的周长为； （2）根据长方形的面积公式可得：，整理可得：，因为，两边同时平方可得：，利用整体代入法求出的值即可． (1) 小问详解： 解：大长方形的长为，大长方形的宽为， 故答案为：，； 解：大长方形的周长是， ， 整理得：， 小长方形的周长为； (2) 小问详解： 解：图中阴影部分的面积是， ， 整理得：， 即， ， 两边同时平方可得：， 即， 解得：， 即小长方形的面积为． 45．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）【发现问题】 我们学习了《乘法公式》后发现：由得，，当且仅当时取等号．也就是说当时有最小值． 【提出问题】在学习过《二次根式》后，根据乘法公式，猜想与的大小关系，并说明理由． 【解决问题】 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为___________； （2）当时，求的最小值； （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和．求四边形面积的最小值． （4）请利用上述结论解决下面问题，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，一面利用墙体将该区域用篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，如图所示，为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为多少米？ 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）米      【分析】 本题考查完全平方公式，平方的非负性，列代数式． （1）由完全平方公式，结合，可得当，时，，从而可得当时，的最小值． （2）对进行整理，利用，即可求得最小值； （3）根据题意可知，，设，可得的表达式，利用，即可求得的最小值； （4）设花园的长为米，则宽为米，可得篱笆总长为，利用，即可求得所需篱笆总长的最小值． (1) 小问详解： 解：∵当，时，， ∴， ∴， ∴当，时，，当且仅当时取等号， ∴当时，， ∴当时，的最小值为． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：∵当，时，， ∴当时，， ∴当时，求的最小值为． (3) 小问详解： 解：用表示图形的面积，例如，四边形的面积为， 根据题意可知，， 设， ∵、的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最小值为． (4) 小问详解： 解：设花园的长为米，，则宽为米， 篱笆总长为（米） ∴为了围成面积为的花园，所用的篱笆至少为米． 46．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）已知，，则的值为　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查了完全平方公式的应用，求代数式的值，熟练完全平方公式是解题的关键． 由完全平方公式可求得的值，再整体代入即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：13． 47．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）综合与实践 【主题】借助图形直观，感受数与形之间的关系． 【实践操作】在一次数学实践活动中，学校数学兴趣小组准备了如图1所示的三种形状纸片各若干张，其中纸片是边长为的较小正方形纸片，纸片是宽为、长为的长方形纸片，纸片是边长为的较大正方形纸片． （1）小育同学用图1中张纸片，张纸片，张纸片拼出一个面积为的长方形，则______； （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式________________________； 根据得到的代数恒等式，完成填空：若，，则______； 【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形进行变换来得到一些代数恒等式． 通过不同的方法表示同一个正方体的体积，如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________________________________________． 【拓展延伸】 （3）已知，，请运用探索得到的规律求出的值． 【答案】（1）0；（2），70，；（3） 【分析】 本题主要考查了完全平方公式、立方和公式的几何背景及因式分解的应用，熟练掌握代数恒等式的几何意义和公式变形是解题的关键． （1）先将展开，再根据三种纸片的面积确定、、的值，最后计算． （2）先根据图2的面积关系得出代数恒等式，再利用恒等式结合已知条件计算．知识迁移：根据图3正方体的分割，用不同部分的体积和表示正方体体积，得出代数恒等式． （3）先根据已知条件求出的值，再将因式分解，结合前面的结果计算． 【详解】 （1） ∵纸片面积为，纸片面积为，纸片面积为， ∴，，． ∴， 故答案为：． （2）图2大正方形面积为，也可表示为， ∴等式为． ∵，， ∴ ， ， ， 故答案依次为：；． 知识迁移：， 故答案为：． （3）解：，， ， ， 原式． 48．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式． （1）如图，若，，则图中阴影部分的面积为              ； （2）若，求代数式的值； （3）观察图， ①从图中得到                     ； ②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值． 【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 （）利用乘法公式计算即可求解； （）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解； （）① 根据图形即可求解；② 由① 结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由乘法公式得，， 即， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：① 由图可得，， 故答案为：； ② ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 49．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）已知的三边长、、都是正整数，且满足，周长最大值是　　　　　　　　　　　． 【答案】23 【分析】 本题考查了完全平方公式，平方的非负性，三角形三边的关系，掌握这些知识是解题的关键；利用完全平方公式及平方的非负性可求得a与b的值，再由三角形三边关系可确定第三边c的范围，根据三边为正整数即可确定c的最大值，从而求出周长的最大值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的三边长、、都是正整数， ∴c可取正整数3到11，最大为11， ∴周长的最大值为． 故答案为：23． 50．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）对于一个四位自然数N，如果N满足：各数位上的数字均不等于0且互不相等，千位上的数字是百位上的数字的3倍，个位数字比十位数字小1，则称N为“七中数”，则最小的“七中数”是　　　　　　　　；对于一个“七中数”，若将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为x，十位数字和个位数字组成的两位数记为y，记，若是一个完全平方数时，则满足条件的自然数N为　　　　　　　　． 【答案】① 3154    ② 9365 【分析】 本题考查了新定义，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 对于最小的“七中数”，千位数字应最小，百位取1时千位为3，十位和个位取最小且与千位、百位不重复的值，即当个位是2时，十位是，与千位上的3重复，故舍去，当个位是4时，十位是，此时满足条件；对于满足条件的自然数N，需为整数且为完全平方数，经检验仅满足，即可作答． 【详解】 解：设一个四位自然数，且均满足互不相同，且都不为0的正整数， 依题意，千位数字a是百位数字b的3倍，十位数字c和个位数字d满足， 故b可取1、2、3，a对应为3、6、9， ∵求最小“七中数”时， ∴取，； 且c、d、a、b互不相同， 当时，与重复； 当时，与重复； 当时，则与重复； 当时，则，满足题意 故最小“七中数”为； ∵对于一个“七中数”，将它的千位数字和百位数字组成的两位数记为x，十位数字和个位数字组成的两位数记为y， ∴，，，， ∵ ∴ ∵是一个完全平方数时， ∴该表达式需为整数， 故需为整数， 即是7的倍数， 则b取1、2、3，c取2至9， 当时， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，是7的倍数， 当时，，不是7的倍数，舍去； ∴当时，，才满足题意； ∴ 此时对应N为； 当时， 则， ∴，不是完全平方数； 故舍去； 当时， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，是7的倍数； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； ∴当时，，才满足题意； ∴， ∵ ∴此情况不符题意； 当时， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，是7的倍数， 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； 当时，，不是7的倍数，舍去； ∴当时，，才满足题意； ∴， 此时对应N为； 当时，， ∴，是完全平方数。 故满足条件的自然数N为， 故答案为：3154，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $