专题07 轴对称（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题07 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 3．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可． 【详解】 解：选项C中的图形可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其它选项中的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形； 故选：C． 4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义与判别，逐一分析每个选项的图形是否能沿着某一条直线折叠后两边的图形能够互相重叠即可． 【详解】 解：A．该图形能沿着某一条直线折叠后两边的图形能够互相重叠，是轴对称图形，符合题意； B．该图形不能沿着某一条直线折叠后两边的图形能够互相重叠，不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不能沿着某一条直线折叠后两边的图形能够互相重叠，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形不能沿着某一条直线折叠后两边的图形能够互相重叠，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含着对称美学．下列青铜器简笔画图案中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，故该选项符合题意； C、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年八·重庆高新·期中）人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、C、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 7．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ）． A.          B.      C.      D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特点是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 由题知A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：D. 8．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）下面四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“小满”“清明”，是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念进行判断即可，熟练掌握寻找对称轴，对称轴两侧部分折叠后可重合的图形是轴对称图形是解决此题的关键． 【详解】 解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 9．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下面是某四所中学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】 A、不是轴对称图形，本选项不合题意； B、不是轴对称图形，本选项不合题意； C、不是轴对称图形，本选项不合题意； D、是轴对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 10．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 11．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）下列图标中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形的识别，关键是掌握轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】 解：A．没有对称轴，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．没有对称轴，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．有对称轴，是轴对称图形，故选项符合题意； D．没有对称轴，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称图形识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 13．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据轴对称图形的意义，对四个汉字逐一分析，再作判断． 【详解】 解： 不能看作轴对称图形，故A不符合； 不能看作轴对称图形，故B不符合； 能看作轴对称图形，故C符合； 不能看作轴对称图形，故D不符合， 故选：C． 14．（25-26学年八上·重庆铁路中学）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】 解：根据轴对称图形的定义可知，B、C、D均为轴对称图形，A不是轴对称图形 故选：A 15．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了轴对称图形的识别，，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】 解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 16．（25-26学年八上·重庆·期中）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：A，C，D选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 17．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】 解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 18．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）下列图案中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合．‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．不能找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项符合题意； B．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 19．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）下列艺术字中，轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义，结合图形，找出对称轴是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，结合图形，找出对称轴即可求解． 【详解】 解：A、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A ． 20．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】 解：A.该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图标是轴对称图形，符合题意； D. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 21．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在四边形中，，，在内部绕点旋转，两边分别交、于点、，连接，当周长最小时，为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 作点A关于的对称点H，作点A关于的对称点G，连接，与、分别相交于点F、点E，此时的周长最小，通过三角形的内角和定理，可求出，进而求出的度数．最后即可求出的度数． 【详解】 如图，作点A关于的对称点H，作点A关于的对称点G，连接，与、分别相交于点F、点E， ∵， ∴， ∵点G和点H为点A的对称点， ∴，， ∵，即，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了利用轴对称确定最短路径问题，熟练地掌握用轴对称图形的作法，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质是解题的关键． 22．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是（      ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用．根据由将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大的等量关系即可列出方程组． 【详解】 解：设和的度数分别为和， 由题意可得： ， 故选：D． 23．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）以下说法中，正确的命题为（    ） A. 三角形的中线、高、角平分线都是直线 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形是轴对称图形 【答案】D 【分析】 根据三角形的中线、高、角平分线，三角形的外角性质，全等三角形的判定，轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A. 三角形的中线、高、角平分线都是线段，原命题错误； B. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题错误； C. 有两条边和夹角对应相等的两个三角形全等，原命题错误； D. 等腰三角形是轴对称图形，正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的中线、高、角平分线，三角形的外角性质，全等三角形的判定，轴对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键． 24．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】 解：A选项：如下图所示，把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形是轴对称图形，故A选项符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能完全重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：A． 25．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）博物馆是承载历史记忆、传承文化根脉的重要场所，其LOGO设计常融入文化元素与美学理念．下列四大博物馆的LOGO中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）． 根据轴对称图形的定义，依次对每个选项的图形进行分析，判断是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后直线两旁的部分能够重合． 【详解】 解：A、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； B、该图形沿中间竖直的一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； C、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形； D、该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，不是轴对称图形． 故选：B． 26．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A. 直线被线段垂直平分 B. 线段被直线垂直平分 C. 直线经过线段中点，但不垂直 D. 直线与线段垂直，但不经过线段中点 【答案】B 【分析】 成轴对称图形的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分，据此即可得到答案． 【详解】 解：∵与关于直线成轴对称， ∴线段被直线垂直平分． 故选：B 【点睛】 此题考查了成轴对称图形的性质，熟练掌握“成轴对称图形的对应点的连线被对称轴垂直平分”是解题的关键． 27．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 28．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）在下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 29．（八上·重庆川外基础教）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 30．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义可得：A、C、D均能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 31．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，，D是边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点B恰好落在边的中点处，则点D到的距离是（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 作DE⊥AC，证明△CED∽△CAB，然后利用折叠的性质和相似三角形的性质列出方程解答． 【详解】 如图，作DE⊥AC于E，则∠DEC=90°， 又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴∠DEC=∠BAC，DE∥AB， ∵沿直线翻折后，点B恰好落在边的中点处， ∴∠BAD=∠DAC=45°，AC=2AB=8， ∴∠BAD=∠EDA=45°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BAD=∠DAC=45°， ∴∠DAE=∠ADE=45°， ∴DE=AE， ∵DE∥AB， ∴△CED∽△CAB， ∴ ∴， 解得：DE=， 所以点D到AC的距离是． 故选C． 【点睛】 本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、平行线和相似三角形判定和性质求解． 32．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）下列说法不正确的是（       ） A. 等腰三角形是轴对称图形  B. 三角相等的三角形是等边三角形 C. 如果两个三角形成轴对称，那么这两个三角形一定全等  D. 若A,B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质进行解答即可． 【详解】A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边中线、高线或顶角平分线所在的直线，故A正确； B．三角相等的三角形是等边三角形，故B正确． C．根据轴对称的性质知，关于某一条直线对称的两个图形一定全等，故C正确． D．由轴对称的性质可得：若A，B两点关于直线MN对称，则直线MN垂直平分线段AB，故D错误． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质．解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 33．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在的位置上，的延长线与的交点为G．若，则的度数为　　　　　　　． 【答案】(度 【分析】 本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质求出，即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为： 34．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是　　　　　　． 【答案】3 【分析】 通过轴对称可以知道S△BEF=S△CEF，阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半. 【详解】 解：∵△ABC关于直线AD成轴对称， ∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC， ∵E，F是AD上的两点， ∴△EFB与△EFC关于直线AD成轴对称， ∴S△BEF=S△CEF. ∵S△ABC=4×3÷2=6， ∴S阴影部分=S△ABC=3. 故答案为：3 【点睛】 本题考查了轴对称，三角形的面积. 35．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． （1）求证：； （2）若，为的中点，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴；     （2）的度数为      【分析】 本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键； （1）首先推导出，进而利用证得，进而得证； 首先推导出，进而推导出，，由折 叠的性质得出，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 考点02 线段的垂直平分线 1．（八上·重庆川外基础教）到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【详解】 ∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 2．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】 解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 3．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线， CE=4，△ABD的周长为12，则△ABC的周长为(   ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】 解：∵ED是BC的垂直平分线， ∴DB=DC，BC=2CE=8， ∵△ABD的周长为12， ∴AB+BD+AD=AB+AC=12， ∴△ABC的周长=BC+AB+AC=12+8=20， 故选：C． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 4．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故选：C． 5．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 如果两个角是直角，那么这两个角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】 本题主要考查了真假命题，逆命题，解题的关键是掌握以上定义． 先表述出原命题的逆命题，再根据理论知识进行判断真假即可． 【详解】 解：A.该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，该逆命题是假命题，不符合题意； B. 该选项逆命题为：“如果两个数的平方相等，那么这两个有理数相等”，该逆命题是假命题，不符合题意； C. 该选项逆命题为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，不符合题意； D. 该选项逆命题为：“如果同位角相等，那么两直线平行”，该逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等 C. 若两直线垂直，则两直线有交点 D. 若x＝1，则x2＝1 【答案】A 【分析】 交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别利用平行线的判定定理、对顶角的性质、两直线垂直的定义和平方根的定义对四个逆命题的真假进行判断． 【详解】 解：A、逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，是真命题，符合题意； B、逆命题为：相等的角为对顶角，不成立，是假命题，不符合题意； C、逆命题为：两直线有交点，则两直线垂直，此逆命题为假命题，不符合题意； D、逆命题为：若x2＝1，则x＝1，此逆命题为假命题，不符合题意． 故选A． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 7．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（       ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【分析】 根据垂直平分线的性质即可进行解答． 【详解】 解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等， ∴应建在三边垂直平分线的交点， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了三角形的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等，三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等． 8．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）下列各命题的逆命题成立的是（       ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 如果，那么 D. 如果，，那么 【答案】B 【分析】 本题主要考查逆命题的真假．分别写出四个命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】 解：A、逆命题为“若两角相等，则它们是对顶角”，但相等的角不一定是对顶角，故逆命题不成立，本选项不符合题意； B、逆命题为“若内错角相等，则两直线平行”，逆命题成立，本选项符合题意； C逆命题为“若，则”，但时，与可能相等或互为相反数，故逆命题不成立，本选项不符合题意； D、逆命题为“若，则且”，但时，和也可能同为负数，逆命题不成立，本选项不符合题意； 综上，只有选项B的逆命题成立， 故选：B． 9．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）下列各命题的逆命题成立的是（       ） A. 直角都相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】 本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】 ∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）下列命题中逆命题是假命题的是（       ） A. 如果两个三角形的三个角都对应相等，那么这两个三角形全等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 【答案】C 【分析】 首先写出各命题的逆命题（将每个命题的题设与结论调换），然后再证明各命题的正误即可得出答案． 【详解】 解：A、逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三条边都对应相等．是真命题； B、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行．是真命题； C、逆命题为：相等的角是对顶角．是假命题； D、逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上．是真命题． 故选C． 【点睛】 此题考查了命题与逆命题的关系，解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误． 12．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=5cm，AB=8cm，则△EBC的周长为(        ) A. 9cm B. 13cm C. 18cm D. 21cm 【答案】B 【分析】 根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，得到，从而得到△EBC的周长等于． 【详解】 解：∵DE垂直平分AC， ∴， ∵△EBC的周长等于，BC=5cm，AB=8cm， ∴△EBC的周长等于cm， 故选：B． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 13．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，，，则的周长等于（             ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 20 【答案】A 【分析】 根据垂直平分线的性质可得，然后结合可得，即可获得答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 14．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（       ） A. 10 B. 15 C. 11 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式进行计算，即可求解． 【详解】 解：垂直平分， ， ， 的周长为，的长为， ， ， ， 又， ， 故选：D． 15．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】 解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等， 则， ∴点在线段、的垂直平分线上， 即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔， 选项B符合题意． 故选：B． 16．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）下列说法中，正确的有（     ） A. 三角形的三条高所在的直线交于一点 B. 内错角相等 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的线段，叫作这条线段的垂直平分线 【答案】A 【分析】 本题考查三角形的高线，内错角，点到直线的距离，垂直平分线，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、三角形的三条高所在的直线交于一点，原说法正确，符合题意； B、内错角不一定相等，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 17．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，的外角、的平分线、交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（     ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙添加辅助线构造全等三角形． 过点P作于点G，可证明，则有，；同理得，，则，，再利用证明，得，则可判定① ② ③ ；由三角形全等则面积相等可判定④ ；在上截取，连接，先由边角边证明，得，，再由边边边证明，得，即可判定⑤ ，最后确定结果． 【详解】 解：如图，过点P作于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 同理得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴周长为， 即① 正确； ∵ ， 即② 正确； ∵， ∴在线段的垂直平分线上， 即垂直平分线段，但不垂直平分线段， 即③ 错误； ∵，， ∴， ∴ ， 即④ 正确； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 即⑤ 正确； 综上，正确的有① ② ④ ⑤ ，即4个正确， 故选：D． 18．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在中，． （1）用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） （2）推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 【答案】（1） 如图：      （2）①90；② 三角形的内角和等于；③；④；⑤ 同位角相等，两直线平行      【分析】 本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：是边的垂直平分线， ． （三角形的内角和等于）； （等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 19．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于　　　　　　． 【答案】19 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：19． 20．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，．    （1）尺规作图：作的平分线，交于点E；作线段的垂直平分线交于点F，交于点G；连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下，证明：．请完成下列证明的推理过程： 证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵是的平分线， ∴①____________． ∵②____________， ∴． 在和中， ∴， ∴④____________， ∴． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；         （2）①；②；③；④      【分析】 （1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，，由角平分线的定义得到，再证明，即可证明，得到，即． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②；③；④． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，且的周长为，求底边的长度为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】 解：垂直平分， ， 的周长为， ， ， 解得， 底边的长为． 故答案为：10． 22．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，若的周长为19，，则的周长为　　　　　　； 【答案】13 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据是线段的垂直平分线，可得，，由三角形的周长可得的值，根据的周长为，由此即可求解． 【详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为： ． 23．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　　　　　　　　°． 【答案】56 【分析】 先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论． 【详解】 如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=68°． ∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线， ∴∠EAF=∠DAC=34°． ∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°-34°=56°， ∴∠α=56°． 故答案为：56． 24．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 【答案】（1） 解：如图，，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 26．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．试证明线段． 【答案】证明：∵在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴． 【分析】 该题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．根据垂直平分线的性质得出，根据角平分线的性质得出，证明，即可解答． 【详解】 略 27．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题的应用，解题的关键是找出符合条件的点的位置．连接，根据垂直平分线的性质，可得，所以，当点在点处时，的值最小，最小值为的长，即可得到答案． 【详解】 解：连接， ∵垂直平分， ， ， 当点在点处时，的值最小，最小值为的长． 所以的最小值是8． 故答案为：8． 28．（25-26学年八上·重庆·期中）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究：从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算），过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线吗？现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ．    ③   ． 平分 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④                           ． 【答案】第一步：作图如下： 第二步：①；②；③；④ 过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 【分析】 本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出，即可解答． 【详解】 解：第一步：略 第二步：证明：， ． 在和中， ， ． ， 平分． 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④ 过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 29．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 30．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、、的周长为8，则边的长度是　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】 解：、分别为线段、的垂直平分线， ，， 的周长为8， ， ，即， 故答案为：8． 31．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为　　　　． 【答案】19 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 32．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在中，，，． （1）请用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接；（使用基本作图法，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：，， ． 为的垂直平分线， ，， _________①． ， ， ． 又， _________②． 在和中 ， ___________④． 【答案】（1） 如图所示，      （2） ；；；．      【分析】 本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意作的垂直平分线，交于点，交于点，连接； （2）根据等边对等角可得，进而证明，结合公共边，即可证明，从而得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．（25-26学年八·重庆高新·期中）学习了轴对称图形后，小南对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了研究．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：作等腰三角形底边上的高的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在中，，，垂直平分． 求证：是等腰三角形． ∵， ∴平分， ∴            ① ∵垂直平分， ∴，            ②             ∴， ∴， 在和中， ∵，       ③            ， ∴， ∴            ④             ∴是等腰三角形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）；；；      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由三线合一定理可得平分，则，由线段垂直平分线的性质得到，，则可证明，进而证明，再证明，得到，则可证明是等腰三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴平分， ∴ ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 34．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，平分交于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） （2）求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵            ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ∴在和 中， ∴（          ）． ∴          ． ∵是线段的垂直平分线， ∴            ． ∴． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）平分； ；；；．      【分析】 （）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质即可补全填空； 本题考查作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握上述知识是解题关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）已知：在四边形中，，，平分，平分． （1）用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）． （2）求证：． 证明：平分， ①________， ， ， ， ， 在和中， （④_____）， ⑤_______， 同理可得：， ． 【答案】（1） 如图，即为所作；      （2） ；;．      【分析】 本题考查了基本作图——作垂线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． （1）利用基本作图，过点作的垂线即可； （2）证明，得到，同理可得，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，，，点为平面内一动点（点，，三点不共线），连结、． （1）如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转90°得到，连结． 求证：． 小龙同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长到点，使，连结， 在利中， ， ， ，________． ， ∴_______， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ________， ， ， ， ． 【答案】（1） 如图，点E，线段即为所求．      （2），，，      【分析】 本题考查作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形、作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：延长到点，使，连结， 在和中， ， ， ，． ， ∴， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 37．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于　　　　　　　　　　　 ． 【答案】7 【分析】 本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为． 【详解】 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长为． 故答案为：7． 38．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是                 ； 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”—把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：如图2，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）8 【分析】 本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，交于F，证明，则，，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】 解：（1）如图1，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）如图3，延长，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 39．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）求证：等腰三角形两腰上的高相等． （1）作图：用尺规作出腰上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知：　　　　　　　　　　　，求证：　　　　　　　　　　　； （3）证明： 【答案】（1） 如图所示： 高即为所求；     （2）在中，，；；     （3） 证明：， ， 在和中， ， ．      【分析】 本题考查尺规作图作垂线、三角形全等的判定与性质等知识，熟记尺规作图作垂线、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）以为圆心、为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心、适当长度为半径画弧交于点，作直线交边于点，即可得到答案； （2）由（1）的作图，结合求证：等腰三角形两腰上的高相等，写出已知与求证即可得到答案； （3）根据两个三角形全等的判定定理与性质求解即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：已知：在中，，， 求证：； 故答案为：在中，，；； (3) 小问详解： 略 40．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在钝角中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点、（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，求证：．请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：∵是的垂直平分线 ∴       ①       ，， ∴       ②        ∵，     ③      ∴． ∴ ∴     ④      ∴． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2），，，      【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点形成的直线，与边、分别交于点、即可； （2）根据中垂线的性质，三线合一，平行线的判定和性质，进行作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵是的垂直平分线 ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 41．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：①作的平分线，交于点E；②作线段的垂直平分线交于点F，交于点G；连接，（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下证明： 证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵是的平分线 ∴                                  ∵                                  ∴ 在和中， ∴ ∴                       ∴ 【答案】（1） 如图所示：      （2）；；；      【分析】 本题考查了尺规作图，角平分线和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）按照角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法，求解即可； （2）根据全等三角形的判定与性质，以及角平分线和线段垂直平分线的性质求证即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）八年级同学在学习《全等三角形》时遇到一道几何题，已知，如图所示，在中，，点在边上，点在外，点是与的交点，且，平分，证明：． （1）小华同学首先想到过点作的垂线，垂足为，请用尺规完成小华同学的基本作图；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法，不下结论） （2）下面是小华同学的不完整证明，请根据小华同学的证明思路完成对应空白填空． 证明：，， ， 平分， （①             ）， 在和中， （②            ）， （③             ）， ，， 又（④             ）， ， ． 【答案】（1） 如图所示，      （2） ①②③④ 对顶角相等      【分析】 本题考查尺规作图，三角形全等的判定与性质，角平分线性质定理； （1）先作的垂直平分线，再以的中点为圆心画圆交于一点即为所求； （2）根据角平分线上的点到角两边距离相等，判定，三角形全等性质，及对顶角相等直接补充即可得到答案； (1) 小问详解： 解：作的垂直平分线，再以的中点为圆心画圆交于一点即为点； (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． （1）若，，求的度数； （2）试判断与的关系？并证明你的结论． 【答案】（1）；     （2） 解：垂直平分．理由如下： ∵为的平分线， ∴平分．． 又∵于D，于F， ∴． ∴， ∴在与中 ∴． ∴． 又∵AE平分∠BAC．． ∴根据等腰三角形三线合一的性质得 垂直平分．      【分析】 本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质和全等三角形的判定证明线段相等． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线性质得，结合，在中利用内角和求出． （2）先根据角平分线性质得，证明，得，再结合平分，根据等腰三角形三线合一性质，得出结论 (1) 小问详解： 解：∵，， ∴中． ∵为的平分线， ∴平分． ∴， ∵于D， ∴， ∴在中 ∴， (2) 小问详解： 略 44．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，已知等腰的周长是65，腰，腰的垂直平分线交于点D，求的周长． 【答案】40． 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据线段垂直平分线的性质得出线段相等． 先根据等腰三角形性质求出，再由周长求出；接着利用线段垂直平分线的性质得；最后将的周长转化为，从而计算出结果． 【详解】 解：∵等腰的腰， ∴，2分 ∵等腰的周长是65， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长 ． 45．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴     ①      ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（     ③     ） ∴     ④      ∵是线段的垂直平分线 ∴     ⑤      ∴ 【答案】（1） 解：如图：直线即为所求．      （2）①；②；③ASA；④；⑤      【分析】 本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质推理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 46．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 【答案】（1） 解：作图如下：      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质； （1）以B为圆心长为半径画弧与交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交，连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点，此时； （2）①为两个角互余，②为同角的余角相等，③是三角形全等的判定条件，④是由全等三角形的性质得出的对应边相等. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为15，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，再由求得的长，进而得到的长即可． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 48．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ；     （2）      【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 49．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴ ① ( ② )， ∵是的垂直平分线， ∴   ③ ， 又∵ ∴ ( ④ )， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【答案】（1） 解如图所示，即为所求：      （2）①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在中，． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中作图，若，证明：． 【答案】（1）见解析；     （2）见解析．      【分析】 （1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明，从而得出结论． (1) 小问详解： 解：如图，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于两点，过交点作直线，交于点，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，连接． (2) 小问详解： 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． ∵在中，， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】 本题考查作已知线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 51．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）（操作探究）教材利用倍长直角边的方发现了结论：“在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？ 下面是小聪的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空： 如图，在中，，，求证：． （1）尺规作图：作斜边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：如图，作斜边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． ∵由尺规作图可知线段的垂直平分线是． ∴①             ． ∴中②             ． ∵中，，， ∴③             ． ∴． ∴． ∵垂直平分于点E， ∴． 在与中， ． ∴（）． ∴④             ， ∵垂直平分， ∴⑤             ． ∵， ∴． 【答案】（1） 如图：      （2）①；②；③；④；⑤．      【分析】 本题主要考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质，掌握“垂直平分线到线段两端距离相等”和“全等三角形对应边相等”是解题的关键．本题通过尺规作图构造的垂直平分线，利用垂直平分线性质、等腰三角形性质、直角三角形内角和及全等三角形判定与性质，逐步推导结论；核心是通过构造相等线段和全等三角形，将角所对的直角边与斜边建立联系． (1) 小问详解： 分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线 (2) 小问详解： 略 52．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，平分交于点于点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接EF交BD于点．（不写作法，留作图痕迹，要写结论） （2）在（1）中所作的图形中，求证：垂直平分（完成相应填空）． 证明：是的平分线，              ①             ． 又， 在和中，              ③                 又平分，              ④             ． 垂直平分． 【答案】（1） 解：如图所示，      （2），，，      【分析】 本题考查了作垂线，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再证明，得到，根据三线合一进而证明是线段的垂直平分线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：是的平分线， ． 又， 在和中，    又平分， ． 垂直平分． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称点Q的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】 解：P关于y轴的对称点Q的坐标是． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 2．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于y轴的对称点的坐标是，即关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可求出对称点的坐标． 【详解】∵关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变， ∴点关于轴的对称点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的点关于y轴对称，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的规律是：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 3．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】 解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，    已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题主要考查坐标系中的对称；根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数，列式计算即可． 【详解】 解：∵点和关于x轴对称， ∴ ， 解得 ， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  【答案】A 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故选A． 6．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接写出答案． 【详解】 解：点P（-5，7）关于y轴的对称点的坐标为（5，7）， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的变化规律． 7．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【详解】 解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 8．（25-26学年八上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点向左平移4个单位长度得到点，点关于轴对称的点，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查坐标与图形变换，根据点的平移规则：左减右加，关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴点向左平移4个单位长度得到点，即：； ∴点关于轴对称的点的坐标为：； 故选A． 9．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（       ） A.  B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的性质，代数式求值． 两点关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数．据此列方程求解m和n，再代入计算即可． 【详解】 解：∵点和点关于x轴对称， ∴，， 解得，， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标为，从而得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在平面直角坐标系中，点，关于y轴对称，则a的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可求得答案． 【详解】 解：∵点，关于y轴对称， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）点关于y轴的对称点是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据“关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”作答即可． 【详解】 点关于y轴的对称点是， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键． 根据点关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可解答． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 15．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 16．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据点与点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】 点与点关于x轴对称， 纵坐标互为相反数， ， ． 17．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1） 如图所示即为所求      （2）8.5      【分析】 （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余直角三角形的面积进而得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． 【点睛】 此题主要考查了轴对称变换、网格中三角形面积求法，正确找出对应点位置是解题关键． 18．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查直角坐标系中点的特征，整式的计算，熟练掌握坐标系中点的特征与整体代入是解题的关键，根据关于x轴对称的点坐标特征得到，再利用整体代入即可求出的值． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，即， ∴ 故答案为：12． 19．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）点关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【详解】 解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为： 20．（25-26学年八·重庆高新·期中）在平面直角坐标系中，作点关于y轴的对称点，再把点向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查点坐标与轴对称变换、点坐标与平移变换，先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点的坐标，再根据向右平移的坐标变化规律求出点的坐标． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点为， ∴ ， ∵将点向右平移2个单位长度得到点 ， ∴ ，即， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）点关于轴对称点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横坐标和纵坐标的符号是解题关键，关于轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为其相反数，因此对称点的坐标为． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）写出点到轴x的距离：_____； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）4     （3）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由点C的坐标可知，点C到x轴的距离为4； （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点到x轴的距离为4， 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：的面积为． 23．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出和的值，进而计算代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 24．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：元旦用表示（即1月1日），劳动节用表示（即5月1日），端午节用表示（即5月5日）． （1）在给定的坐标系中描点并依次连接； （2）在坐标系中画出图形关于x轴对称的图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查作图—坐标与轴对称变换，（1）根据三个点的坐标描点、连接即可； （2）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）在（1）的条件下，若直线m上各点的纵坐标为，则点C关于直线m的对称点的坐标为_______； （3）在（1）的条件下，求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）；     （3）7．      【分析】 本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，点C关于直线m的对称点的坐标为； (3) 小问详解： 的面积为． 26．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为；      （2）如图，点P即为所求；     （3）或      【分析】 本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 27．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    （1）画出关于轴对称的，并写出，，三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 如下图：    ，，     （2）      【分析】 本题考查轴对称变换，熟练掌握点关于轴对称的坐标变换规律是解题的关键. （1）根据点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到，，三点的坐标，在平面直角坐标系中画出即可； （2）构造一个以，，三点所在的长方形，利用长方形面积减去三个直角三角形的面积，得到的面积即可. (1) 小问详解： 解：根据题意得，与关于轴对称，，，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解： 如图可知，，，， 的面积为： 答：的面积为. 28．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标变换中的轴对称，掌握关于轴对称点的坐标变换规律是解题的关键． 两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此进行计算求解即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， 则，， 因此的值为：， 故答案为：． 29．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）若点与点关于x轴对称，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据“关于x轴对称的点的坐标：横坐标相等，纵坐标互为相反数”求得，，再代入求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，，     （2）      【分析】 此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 31．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查关于轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，掌握关于轴对称的两点的横坐标相等、纵坐标互为相反数是解题的关键． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求得m、n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 32．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系．已知的各顶点坐标分别为，，． （1）画出； （2）画出关于y轴对称的，并写出点坐标为______； （3）求出的面积为______． 【答案】（1） 解：作图如图 ∴为所作的图形．     （2） 作图如图 ∴为所作的图形，． 故答案为：．     （3）3      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的点表示，画轴对称图形，网格中求三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）先描出点，，，再依次连线成三角形即可； （2）分别确定，，关于y轴的对称点，再依次连线成三角形即可； （3）用大三角形的面积减去下方两个小三角形的面积与长方形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图 ． 故答案为：3． 33．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； （2）写出，，三点的坐标：______，______，______； （3）平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______； 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3），      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握关于轴，轴对称的点的特征，是解题的关键； （1）找点，描点，连线画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）根据关于轴，轴对称的点的特征进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知：； (3) 小问详解： 由题意，点关于y轴对称的点的坐标为，关于x轴对称的点的坐标为． 34．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，在正方形网格中，按要求回答下列问题： （1）请直接写出写出点、、的坐标； （2）计算的面积； （3）作出关于轴对称的图形． 【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是；     （2）5；     （3） 如图：即为所求． 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系、根据割补法求三角形的面积、作轴对称图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接读出点A、B、C的坐标即可； （2）根据正方形面积减去三个三角形的面积即可解答； （3）先分别作点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接即可． (1) 小问详解： 解：由直角坐标系可得：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (2) 小问详解： 解：由题意可得：． (3) 小问详解： 略 35．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； （2）已知P为x轴上一点，且的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示和为所求：      （2）点P的坐标为或      【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及利用三角形面积公式求点的坐标． （1）先确定各顶点的位置，并依次在坐标系中连接即可，再找出各顶点关于x轴的对称点，根据关于x轴对称的点的坐标特征可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到对称点后并依次连接即可得到； （2）分① 当点P位于x轴正半轴和① 当点P位于x轴负半轴两种情况，设点P坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知， ① 当点P位于x轴正半轴时， 设点P坐标为， ∴， ∴，即， 解得， ∴点P坐标为； ② 当点P位于x轴负半轴时， 设点P坐标为， ∴， ∴，即， 解得， ∴点P坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 36．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 【答案】（1）图见解析；；     （2）7     （3）或      【分析】 本题主要考查作图﹣轴对称变换、坐标与图形、三角形的面积、绝对值方程等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于y轴对称的点，然后顺次连接即可完成作图，再直接读出点的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列绝对值方程为，求出a的值，即可确定点P的坐标． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． 由图可得，． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 37．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点的坐标为．请按要求分别完成下列各小题： （1）把向下平移6个单位，再向右平移6个单位，得到，画出； （2）画出关于轴对称的； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2） 如图所示，即为所求：      （3）2.5      【分析】 考查知识点坐标平移、x轴对称坐标特征、割补法求面积．方法：坐标变换法、割补法．关键：准确变换坐标；割补法转化面积．易错点：坐标变换方向错；割补面积计算错． （1）画：得顶点坐标，右移6、下移6变换坐标，连接顶点． （2）画：取顶点纵坐标相反数，连接顶点． （3）求面积：用矩形面积减周围直角三角形面积，得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：将放在边长为2的矩形内，矩形面积为； 即的面积为2.5． 38．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； （2）求的面积； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 【答案】（1）如图，即为所求． ；     （2）5；     （3）或．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）过点B作的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标；延长BC至点，使，过点作AC的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为 故答案为： (2) 小问详解： 解：的面积为 (3) 小问详解： 解：过点B作的平行线，交x轴于点， 此时（平行线之间距离处处相等，两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为； 延长至点，使，过点作的平行线，交x轴于点，即， 过点作的平行线，交过点作的平行线点，即， 故，且， 即点到的距离点到的距离（平行线之间距离处处相等）， 此时（两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 故答案为：或 39．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为______； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2） 如下图：      （3）或      【分析】 本题考查作图平移变换、翻折变换（折叠问题），熟练掌握平移的性质、翻折的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法即可解答； （2）利用平移的性质和对称的性质，画出图形即可； （3）利用分类讨论的思想，即点在线段左边时或点在线段右边时，解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：的面积为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在，如下： 由题意可得，， ， 设， 当点在线段左边时，， 的面积为， 解得； 当点在线段右边时，， 的面积为， 解得， 或． 40．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出的坐标． （2）求出的面积． （3）在y轴上作点P，使得的值最小（不要求写作法，只保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）9     （3） 如图，点即为所求．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，轴对称-最短路径问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可得到，即可写出的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则，再由两点之间线段最短即可说理． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为； (3) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． （1）画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为、、），则（______）（______）（______）． （2）在第二象限内的格点上找点，连接，使得，并写出点的坐标． 【答案】（1）0，；3，；1，     （2）或      【分析】 本题主要考查轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意，确定的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可． (1) 小问详解： 根据题意，确定的位置如图所示，然后顺次连接，即为所求； ，，， 故答案为：0，；3，；1，； (2) 小问详解： 如图2， 取，连接， 为小正方形的对角线， ； 取，连接， 由图得，， ； 点的坐标为或． 42．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在平面直角坐标系中，、、 （1）在图中作出关于轴对称的． （2）求的面积． （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标为_____． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3）或      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可； （3）根据关于轴对称的点的特征，求出点坐标，根据两点间距离公式，列出方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 由题意，点坐标为， ∴， 解得或， ∴或． 43．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请你在平面直角坐标系中画出； （2）作出关于轴对称的图形，请直接写出，，的坐标：_____，_____，_____； （3）的面积是_____． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）找点，描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的面积是． 44．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， （1）作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． （2）连接、，求出四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； 、、；     （2）12      【分析】 本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 45．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图， 在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的 （2）写出点的坐标(直接写答案)． （3）的面积为                  ． 【答案】（1） 如图：即为所求.      （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了作图-轴对称变换、三角形面积等知识点，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点确定的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）根据各点在坐标系中的位置写出点的坐标即可； （3）根据进行解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图： ． 故答案为：． 46．（八上·重庆川外基础教）在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）请在图中画出关于轴对称的图形，并直接写出的坐标； （2）若点为轴上一点，坐标为，且，若的面积为10，求点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： ，，     （2）点的坐标为      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、坐标与图形、平面直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先作出点、、关于轴的对称点，然后再顺次连接即可，根据坐标系直接写出的坐标即可； （2）过点作轴的垂线，垂足分别为，根据，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：作出点、、关于轴的对称点顺次连接， 则即为所求作的三角形， 三点的坐标分别为：，，． (2) 小问详解： 解：如图， 过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴，，，，， ∴， ∵点为轴上一点，坐标为，，的面积为10， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 47．（25-26学年八上·重庆·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ΔABC的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出、的坐标； （2）计算的面积； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 【答案】（1） 如图，即为所求；,   ,         （2）3     （3），，      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形，直接写出对应点坐标即可； （2）利用网格即可求出的面积； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解：要使与全等，则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 48．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知中，． （1）在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． （2）的面积为___________． （3）若存在点，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 【答案】（1） ,如图所示：      （2）     （3）,,      【分析】 本题考查网格中的对称图形，熟练掌握网格中的对称图形的性质是解题的关键， （1）根据点的坐标即可画出，再利用关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标相反，得到的坐标，从而得到； （2）由（1）中点的坐标可得，，再利用三角形的面积公式即可得到答案； （3）欲求与全等，已知，即可得到点的位置与点关于对称或与的垂直平分线对称，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题可得: ， ∵与关于轴对称， ∴,,, (2) 小问详解： 解：由（1）知，，，则如图所示： ∴． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴点的位置如图所示： ∴点的位置,,． 49．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上画出点P，使PB+PC最小（不写作法）． 【答案】（1）A1（-3，4），B1（-1，2），C1（-5，1）， 如图所示三角形A1B1C1即为所求； （2）5； （3）如图所示： 【分析】 （1）根据题意画出对应的三角形A1B1C1，并求出三个顶点的坐标即可； （2）根据三角形ABC的面积等于其所在的矩形面积减去周围的几个三角形的面积即可求解； （3）找到C关于x轴的对称点，连接与x轴交于P，即为所求. 【详解】 解：（1）A1（-3，4），B1（-1，2），C1（-5，1）. （2）； （3）找到C关于x轴的对称点，连接与x轴交于P，即为所求. 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，画轴对称图形和最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 50．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是　　　　　　　　　　　　. 【答案】10：51 【分析】根据镜面对称原理,左右颠倒,上下不变即可解题. 【详解】根据镜面对称原理,物体的像与物体本身上下不变,左右颠倒可知,12：01对称之后为10：51. 【点睛】本题考查了镜面对称,属于简单题,熟悉镜面对称的原理是解题关键. 51．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知中， （1）在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． （2）的面积为___________． （3）若存在点D，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 【答案】（1） 及如图所示；      （2）10     （3）或或      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中描点，作关于坐标轴对称的图形，三角形全等的性质； （1）先描点，再依次连接、、三点即可得到，作出、、关于轴的对称点、、，依次连接即可得到； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：；，即可求得点D的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：10； (3) 小问详解： 解：如图，，，， 故答案为：或或． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，中，，点在边上，且，则的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 72° 【答案】D 【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠C的度数． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝∠ABD＝x， 则∠BDC＝2x，∠C＝， 可得 ， 解得：x＝36°， 则， 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 2．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，，D为边上一点，E点在边上，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 该题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 根据三角形外角的定义得出，，再根据等腰三角形的性质得出，即可得出，即可求解； 【详解】 解：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（     ）. A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形-三线合一的性质，熟知等腰三角形底边上的高也是底边上的中线是解题的关键． 先求出的长，然后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】 解：∵在的周长为，，长为， ∴， ∵，， ∴． 故选D． 4．（25-26学年八·重庆高新·期中）下列命题中假命题是（       ） A. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一 C. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】B 【分析】 本题考查等边三角形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质．通过逐一分析各命题的真假即可得出答案． 【详解】 解：A：有一个内角是的等腰三角形，若顶角为，则底角均为；若底角为，则顶角也为，因此是等边三角形，故A为真命题； B：等腰三角形的“三线合一”仅指顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高线互相重合，并非所有角平分线、中线、高线都三线合一，故B为假命题； C：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，是直角三角形的性质，故C真命题； D：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是垂直平分线的性质，故D为真命题； 故选：B． 5．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，平分，点是上一点，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质．先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再根据等腰三角形的“等边对等角”即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C 6．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，过点作，利用平行线的性质可得，根据等腰直角三角形的性质可得，求得即可解答． 【详解】 解：如图，过点作， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：C． 7．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）等腰三角形的顶角为100°，则它的底角是（       ） A. 40° B. 100° C. 40° 或100° D. 80° 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等即可得出结论． 【详解】解：∵一个等腰三角形的顶角为100°， ∴它的底角＝180^°-100^°2＝40°． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． 8．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】 本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质得出，进而求出的度数． 【解答】 解：由作图可知：垂直平分线段， 可得， 则， 故， 故选：A 9．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，中，，与关于直线成轴对称，连接，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查折叠的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，，然后根据等腰三角形的性质可求解． 【详解】 解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，等腰中，，，为上一点，，连接，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰中，，，得出，再由得出，再由即可得出答案． 【详解】 解：∵等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 11．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据题意得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】 解：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 12．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，Rt中，，，是上一点，，且，，与交于点，过点作的垂线交的延长线于点，延长，交于点，，垂足为．有下列结论：①；②；③；④．正确的结论的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明，推出，即可判断① 正确；求出，，得到，证得，进而证明，得到，由此得到② 正确；证明，得到，由此判断故③ 正确；过点E作于点M，得，证得，由全等三角形的性质得对应高，由此，再证，得，由此判断故④ 正确 ． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故② 正确； ∵ ∴， ∴， ∴，故③ 正确； 过点E作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴，  ∴， ∵， ∴，  ∴， ∴， ∴， ∴，故④ 正确；  正确的结论有4个， 故选：A ． 13．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点与重合，若，，则的长度为（       ）． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【分析】 本题主要考查了翻折的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质和翻折的性质得出相等的边和角以及角的度数，然后利用含角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】 解：根据长方形的性质得以及翻折的性质得， ，，， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 14．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角度数为（     ） A. 30° B. 30°或60° C. 15°或30° D. 15°或75° 【答案】D 【分析】 因为三角形的高有三种情况，而直角三角形不合题意，故舍去，所以应该分两种情况进行分析，从而得到答案． 【详解】 （1）当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高在三角形内部，如图， BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角为30°，此时底角为75°； （2）当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高在三角形外部，如图， BD为等腰三角形ABC腰AC上的高，并且BD=AB，根据直角三角形中30°角的对边等于斜边的一半的逆用，可知顶角的邻补角为30°，此时顶角是150°，底角为15°． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质及30°直角三角形的性质的逆用；正确的分类讨论是解答本题的关键． 15．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在正方形中，E为边上的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， 在正方形中，，且， ∴， ∴， ∵E为边上的中点， ∴， ∴， ∴； 故选B． 16．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，等边的顶点A在第一象限，边BC在x轴上，点，，以AB为直角边，按如图所示作等腰直角，，则点D的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理以及解含有的直角三角形，解题的关键在于作辅助线构造含有的直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质确定点的坐标． 作辅助线，根据等边三角形与等腰直角三角形的性质构造含有的直角三角形，再由边长即可求解． 【详解】 解：过点D作轴于点P，如图， 已知，，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴在中，， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵点D在第二象限， ∴点D坐标为． 故选：D． 17．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【分析】 先利用角平分线和平行线的性质证明线段相等（、），再结合直角三角形的边角关系求出的长度，最后将的周长转化为的长度求解． 【详解】 解：∵ 平分，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 在中，，， ∴ ， 的周长 ， ， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定及直角三角形的边角关系，熟练掌握“角平分线平行线得等腰三角形”的模型是解题的关键． 18．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A. 直角都相等 B. 直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半 C. 若，则 D. 三角形的外角和为 【答案】B 【分析】 本题考查了逆命题的概念，以及判断命题真假，解决本题的关键是以此写出各个命题的逆命题并判断真假． 通过写出每个选项的逆命题并判断其真假即可． 【详解】 解：A：原命题真，逆命题“相等的角都是直角”假命题，例如等边三角形的角相等但非直角； B：原命题真，逆命题“若直角三角形中一直角边等于斜边的一半，则该边所对的角为”真命题； ∵设斜边为c，直角边，则，即； C：原命题真，逆命题“若，则且”假命题， 反例，，但； D：原命题真，逆命题“外角和为的多边形是三角形”假命题，所有凸多边形的外角和均为． ∴逆命题是真命题的只有B． 故选：B． 19．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 20．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，、的平分线、相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若，，那么的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，根据角平分线得到，，结合得到，，即可得到，，即可得到答案； 【详解】 解：∵、的平分线、相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 故选：B． 21．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图四边形中，，点E是的中点，平分．下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．以上四个结论中成立的是（     ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明并作出辅助线是解题的关键． 如图，延长交延长线于，根据，得出，证明，得出，，根据平分，得出，即可得，则，即可证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出，即可判断① ② ；根据，得出，即可判断③ ；根据，得出，根据，即可判断④ ； 【详解】 解：如图，延长交延长线于， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，故② 正确； ∴，故① 正确； ∵， ∴，故③ 正确； ∵， ∴， ∴ ，故④ 正确； 综上，正确的有① ② ③ ④ ； 故选：D． 22．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，延长交于，若，则的度数为（       ） A. 24° B. 30° C. 36° D. 45° 【答案】C 【分析】 根据等腰三角形两个底角相等，可得：，，根据传递性，可得：，再根据三角形外角等于其不相邻的两个内角的和，可得：，再根据，得到：，最后根据三角形内角和为，可得：，解出即可得到的大小． 【详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵ ∴ ∴（三角形内角和为） ∴ 故选：C 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与定理． 23．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，，，交于点，，则的长是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在含的中，， ∴． 故选B． 24．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，，根据，可得，，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】 解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 25．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，的两边、的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．利用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再根据等腰三角形的性质得到相等的角，最后结合三角形内角和定理求出的度数． 【详解】 解：∵、的垂直平分线分别交于D、E， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 26．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，平分，过点作的平行线交延长线于点，且，，连接，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线定性质等知识，设，根据平行线定性质和角平分线的定义可得出，根据等角对等边得出，根据等边对等角得出，结合平行线的性质、对顶角的性质得出，根据等角对等边得出，根据等边对等角得出，则，在中，根据三角形三角形的内角和定理可求出，则，，，进而求出，根据等角对等边得出，在中，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，即可求解． 【详解】 解： 设， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在中，， ， 解得， ，，， ， ， ， ， 故选：C． 27．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及坐标与图形性质．作轴于点E，根据全等三角形的性质得到，再根据已知条件求出x的取值范围． 【详解】 解：如图，作轴于点E，则， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵、、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 28．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上满足，以为斜边向三角形外部作等腰直角三角形，连接，，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，过点E作，且使得，连接，由等边对等角和三角形内角和定理可得，，可证明，得到；再证明，得到，据此可得答案． 【详解】 解：如图所示，过点E作，且使得，连接， ∴， ∴； ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 29．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）（多选）（多选）如图，中，，，边的中垂线与的平分线交于点D，分别与边、边交于点E、点F，连接，若，下列结论正确的有（     ） A.  B. 为等腰直角三角形 C.  D. 与的面积之比为 【答案】ABD 【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据垂直平分线的性质即可判断A；过点D作的延长线于点H，于点G，根据角平分线的性质及全等三角形的判定和性质即可判断B；根据角度的计算即可判断C；根据全等三角形的判定和性质及勾股定理即可判断D． 【详解】 解：如图，连接， A、∵边的中垂线与的平分线交于点D， ∴，故选项正确，符合题意； B、∵， ∴， 过点D作，交的延长线于点H，于点G，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故B正确，符合题意； C、∵为等腰直角三角形， ∴， 无法确定的度数，故C错误，不符合题意； D、∵，平分，四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，选项D正确，符合题意； 故选：ABD． 30．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，直角三角形所对直角边等于斜边一半，根据，得到，从而得到，结合即可得到答案； 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 31．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，已知，点在边上，点，在边上，且，若，，则的长为（       ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半及等腰三角形性质，过F作，根据，得到，，结合得到，即可得到答案； 【详解】 解：过F作于H， ∵，，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 32．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得：，根据三角形内角和定理可得：，解方程即可求出的度数． 【详解】 解：平分， ， 垂直平分， ， ， 设， 则， 在中，， ， ， 解得：， ． 故选：D． 33．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，，点是线段的中点，，且交 外角的平分线于点F，若，则一定等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取的中点后证明． 取的中点，连接，过点作，．先证明得，得．，得，得，求出，从而求出． 【详解】 解：取的中点，连接． 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点，点为的中点， ∴，， ∵， ∴，． ∴ ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中 ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选 34．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为　　　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的两个底角相等， 顶角是40°， 它的底角为 ． 故答案为： ． 35．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形；     （2） 证明：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，若，则　　　　． 【答案】 【分析】 题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，已知点在的边上，且．    （1）用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并把证明过程补充完整． 判断：     ①     ，理由如下： ∵（已知） ∴     ②     （     ③     ） 又∵平分（已知） ∴（     ④     ） 又∵ ∴（等量代换） ∴     ⑤     （     ⑥     ） 【答案】（1） 解：即为所求作的的平分线，如图所示：         （2）；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行      【分析】 （1）先以点D为圆心，任意长为半径画弧，与、交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点，交与点E，即可得出的平分线； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，证明，根据平行线的判定得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，理由如下： ∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】 本题主要考查了作一个角的平分线，平行线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行． 38．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】 解：① 当是底角时，则答案为：； ② 当是顶角时，底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 39．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的高有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，交于点．利用尺规作图，过点作于点．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）作法下，求证：． 证明： ①___________ ②___________ 在和中 （④___________） ． 【答案】（1）如图所示，图形即为所求： （2）①；②；③；④ 【分析】 本题考查了尺规作图，等边对等角，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，结合证出，即可完成证明． 【详解】 （1）略 （2）略 40．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】 解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 41．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，已知交于E，且，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，已知是内一点，，连接，，，且，求的度数为　　　　　　度． 【答案】80 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角得到，则可求出，再由三角形内角和定理可推出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 43．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的定义、等边对等角及垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质得到，可得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】 解：点D在的垂直平分线上， ， ． 平分， ， ． ， 在中， ， ， ， ． 44．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在中，，，若，则　　　　　　° 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 首先根据三角形的内角和定理求出的度数，等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角性质求出的度数即可． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 45．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，，可得证明即可求证． 【详解】 略 46．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，在中，，且的面积是24，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查的是轴对称—最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再由等腰三角形的性质，可求出的长，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵的面积是24， ∴， ∴， 即的最小值为8． 故答案为：8 47．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为　　． 【答案】8 【分析】 连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长． 【详解】 解：如图，连接AI，BI， ∵点I为△ABC角平分线交点， ∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI， ∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， ∴DI∥AC，EI∥BC， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB， ∴DA＝DI，EB＝EI， ∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8． 【点睛】 此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线 48．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）（多选）如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴               ， 在与中， ， ∴， ∴               ， ∵， ∴               ， ∴， ∴               ， ∵， ∴． 【答案】（1）图形见解答     （2）∠EAD，DB，∠C，BD      【分析】 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据证明，推出，，再证明，可得结论． (1) 小问详解： 解：图形如图所示： (2) 小问详解： ，理由如下： ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 49．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）【问题背景】 如图，已知 和 ，，，，与交于点，点在上． 【问题探究】 （1）试说明：； 【问题拓展】 （2）若，． ①求的度数； ②判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①； ②．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 （1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）① 结合三角形外角的性质及全等三角形的性质求出，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可求出答案； ② 证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】 （1）略 （2）① 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； ② 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 50．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，，，D为上一点，连接，且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J，先证明得到，再根据含30度角的直角三角形的性质推导出，即，进而利用线段垂直平分线的性质可得结论． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 51．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，，平分交于点，于点，且，则　　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握角平分线的点到两边距离相等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即，然后再根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】 解：∵平分交于点，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：12． 52．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若的面积为12，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接，根据三角形的面积可得，根据等腰三角形的面积可得，即可求解，作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： ∵ ， ， ∵是等腰三角形， ∴， 又∵的面积为12， ∴， ∴， 故答案为：． 53．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明； （2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ，， 又， ， ． 54．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，中，于D，于E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴(ASA)；     （2）      【分析】 （1）证明，再结合已知条件和直角相等即可得到答案； （2）根据得到,得出，再根据即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 55．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． （1）求证：是等腰三角形． （2）求证：垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∵在与中， ∴ ∴， ∴是等腰三角形．     （2） 证明：∵，， ∴． ∴在与中， ∴， ∴，， ∴点，点在线段的垂直平分线上． ∵两确定一条直线， ∴垂直平分．      【分析】 本题考查三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是用角平分线和双垂直模型，找到合适的全等三角形去推出自己想要的条件；本题的易错点在于找全等关系时需要找对判定条件，不要混淆． （1）利用角平分线和双垂直模型，利用角平分线上的点到线段两端距离相等，找到，从而再找条件得到，，得到等腰三角形； （2）根据，找到，，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，点，点在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 56．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，D为延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形等边对等角． （1）利用即可得证； （2）由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，，， ， 由（1）得：， ， 为的外角， ， ． 57．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质．根据三线合一可得是边上的中线，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 58．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点是的中点，P是上任意一点，连接，若，则当的周长取最小值时，　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则可推出当三点共线时的周长有最小值，根据三线合一定理和等边对等角得到，求出的度数，再由等边对等角得到的度数，进而由三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵点是的中点， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 59．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，在中，，点D在线段上，点E在左侧，连接，，，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示，设， ， ， ， ，， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，由已知，可得，推出，利用、，判定，即可求证； （2）由（1）中，可得，根据等腰三角形的顶角，可得底角，由，可得，求出，即可求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ， ，， ， ， ， ， ． 60．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在中，，是的高，在上取一点E，作的中垂线交于点H，交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，即可得出结论； （2）连接并延长交于G，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接并延长交于G， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 61．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1） 证明：与均为等腰直角三角形， ，，， 又， ， 在与中， ， ， ；     （2） 证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，， ， ， ， ，，， 点在的平分线上， 平分．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键． （1）由等腰直角三角形性质得，，，由此可得，利用“”证明即可求解； （2）过点分别作于点，于点，由得到两三角形面积相等，结合，得到，再根据角平分线的判定定理即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 62．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）在中，，现有两点M、N分别沿三角形的边同时运动，已知点M从A 点出发，速度为每秒，沿的方向运动，点N从B点出发，速度为每秒，沿的方向运动．M、N各自到达终点停止运动． （1）求点M、N第一次相遇的时间？ （2）当点M、N运动过程中，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【答案】（1）     （2）能得到，或      【分析】 本题考查等边三角形的性质、行程问题中的相遇关系以及等腰三角形的性质，解题关键是根据路程差或等腰三角形两腰相等的性质，分情况建立方程求解． （1）根据行程追及问题，设运动时间，利用比多走的长度列方程求解第一次相遇时间． （2）分、在不同边上的情况，依据等腰三角形的性质，结合等边三角形特点列方程求解． (1) 小问详解： 设M、运动秒后，、两点重合， 则， 解得： 即当、运动秒时，追上 (2) 小问详解： 设M、运动秒后，可得到以为底边得等腰三角形 当点在上，点在上时，如图1 当时，是等边三角形， 解得： 当点在边上运动时，如图2， 由（1）知秒时两点重合，恰好在处， 是等边三角形 在和中 ， 解得： 综上，当运动2秒或者秒是，能得到以为底的等腰三角形． 63．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证； （1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】 （1）略 （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ． 64．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，，是边上的中线．若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，关键是掌握等腰三角形的轴对称性，点到直线上点的距离，垂线段最短，是解题的关键：根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合点到直线的距离垂线段最短过作边的垂线与，交点即为最小距离和点，即可得到答案； 【详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴过作边的垂线与交于点，与交于点，此时为最小距离和， ， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 65．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，已知，CE平分交AB于点E． （1）尺规作图：作的角平分线AF交CE于点F，交CD于点G（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，求证：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分，∴     ①     ， ①又∵，∴     ②     ，∴，∴     ③     ， ∵是的角平分线，∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【答案】（1） 如图所示即为所求．      （2）①；②；③；④      【分析】 此题考查了基本作图、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，证明是关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）证明即可证明结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 66．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，，若，，则的周长的最小值是　　　　　　　　　　　　；若，当的周长取最小值时，　　　　　　（用含的代数式表示） 【答案】① 7    ② 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及最短路径问题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将转化为，进而结合等腰三角形的性质求解． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质将转化为，结合等腰三角形三线合一求出和的长度，进而在当、、在同一直线上时，求出周长的最小值； （2）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余，结合角的关系求出的度数． 【详解】 解：如图，连接， ∵点D是的中点，， ，， ∵， ， ， ∵垂直平分， ， ， 当、、在同一直线上时， 最小，最小值为， ∴周长最小值； ∵，点是边的中点， ， ， ， ∵， ， 在中，， 故答案为：7；． 67．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）在中，，，，于，为的边上的中线． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及性质． （1）先由含的直角三角形的性质得到，再由勾股定理求出，得到，再根据角的和差即可求解； （2）根据中线得到，再根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵是中线， ∴， ∴在中，． 68．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，是的中线，是的角平分线，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】32° 【分析】 由等腰三角形的三线合一定理，得，然后求出∠ACB，即可求出的度数． 【详解】 解：根据题意， ∵是的中线，， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD平分， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴； 故答案为：32°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确求出． 69．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】 解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， 故答案为：． 70．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，，点是的中点，且，以为直角顶点作等腰直角，点分别是边延长线上的一点，连接．有如下结论：①为直角三角形，且；②；③；④若点为的中点，连接，则．其中正确的有　　　　　　　　　（填写正确结论的番号）． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先根据三线合一定理得到，进而可证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，据此可判断①；利用即可证明，据此可判断②；由全等三角形的性质得到，；由三角形中线平分三角形面积得到，， 过点D作于H，则，，，可证明与不一定相等，据此可判断③；如图所示，延长到T使得，连接，证明，得到，进而证明，得到，则，据此可判断④． 【详解】 解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且，故① 正确； ∵是等腰直角三角形，且为直角顶点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作于H，则， ∴， ∵为定长，而的长是变化的， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； 如图所示，延长到T使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； 故答案为：① ② ④． 71．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，                 ； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2） 解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）；     （3）存在，或      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ① 当时， ∴， 即， ∴； ② 当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③ 当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 72．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 【答案】（1） 如图：      （2），，     （3）3      【分析】 本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据轴对称图形的变换得到，，，依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）分3种情况讨论，当时，当时，当时，即可确定点D的个数． (1) 小问详解： 解：∵、、， ∴它们关于y轴对称的点分别为：，，， 依次连接可得； (2) 小问详解： 解：由（1）得：，，． (3) 小问详解： 解：∵点D是x轴上的一点，且为等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴有2个交点； 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴无交点； 当时，作的垂直平分线，与x轴有1个交点， 综上所述：能使为等腰三角形的点D有3个． 故答案为：3． 73．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，，点为上一点，过点作于点，点为轴上一点，点关于的对称点为点，连接、、，交于点． （1）如图1，点的坐标为______； （2）如图2，延长交于点，交于点，当时．求证：； （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，求点的坐标． 【答案】（1）     （2） 证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点和点关于对称， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ．     （3）      【分析】 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识； （1）可得出，进一步得出结果； （2）根据是等腰直角三角形，得出，根据点和点关于对称，得出，，则，证明，从而推出； （3）证明，推出，得出，根据，得出，求出，进一步得出结果． (1) 小问详解： 解：， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵ ∴， ， ， ， ， ， ， ． 74．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵在与中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）根据得到，根据得到，根据得到，即可得到证明； （2）根据，得到，从而得到，结合即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 75．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若的周长为，，求的周长； （2）若，将分成两个角，且，求的度数． 【答案】（1）16     （2）的度数为．      【分析】 本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可即可求解； （2）根据等边对等角求得，，根据，求得，据此计算即可求解； (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 76．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿DE折叠，使顶点C落在△ABC三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠BOE=　　　　　　　　　　　　度． 【答案】72 【详解】 试题解析：连接OC， 设∠OCE=x°， 由折叠的性质可得：OE=CE， ∴∠COE=∠OCE=x°， ∵三角形三边的垂直平分线的交于点O， ∴OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A， ∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO， ∴∠BOE=∠OEB=2x°， ∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°， ∴x+2x+2x=180， 解得：x=36， ∴∠OBC=∠OCE=36°， ∵BE=BO ∴∠BOE= . 77．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，四边形中，，平分，于E． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：如图，在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴． 在与中 ∴． ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴． ∴．     （2）40．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上取一点F，使，连接，证明，则．而，，故，则，那么； （2）可求，由三线合一性质得． 则．而，故，那么． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵于点， ∴． 由（1）得， 又∵于E， ∴由三线合一得． ∴． 又由（1）得， ∴ ∴ ． 78．（八上·重庆川外基础教）如图所示，在和中，其中与交于点，点在上，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的定义以及等边对等角可得，根据已知得出，进而根据，证明，根据全等三角的性质，即可得证； （2）根据已知得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ 79．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      （2） 证明：延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）延长到点，使得，连接；根据，，，得，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． 80．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角为　　　　　． 【答案】70或20 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：① 当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ∴底角为， ② 当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， ∴底角为 故答案为：70或20． 81．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；     （2） 证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴．      【分析】 （1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 82．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边对等角是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再证明，即可证明，得到； （2）由等边对等角可得，设，则，，再根据建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解；∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 83．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，D在边上，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等的性质可知，，，根据，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 84．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则　　　　　　　　． 【答案】3.5 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点F，由角平分线的定义可得，再证明得出，，求出，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：延长交于点F，如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 答案：3.5． 85．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，D为底边的中点，于点E．利用尺规作图，过点D作于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明： ____________① ， D为底边的中点 ____________② 在和中 （____________④） （____________⑤）（理由） 【答案】（1）      （2）① ，② ，③ ，④ ，全等三角形，对应边相等⑤      【分析】 本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线．熟练掌握基本尺规作图，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． (1) 小问详解： 作法： 在直线的另一侧取点N，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于G，H两点， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M， 作射线交于点F． (2) 小问详解： 略 86．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，． （1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 【答案】（1） 如图：      （2）；；；      【分析】 本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等角对等边． （1）根据角平分线的作图方法作图可得的角平分线，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可； （2）根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，结合题目上下步骤的逻辑关系填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：平分， ， 在与中 ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；；；. 87．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）在学习了三角形全等的相关知识后，数学兴趣小组对构造全等三角形做了如下的探索： 在中，，点在线段上，连接，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形．小巴组的想法是：过点和点分别做边和边的垂线，两垂线相交的三角形即为所求，请你根据小巴组的思路完成以下作图和填空： （1）已于点，用直尺和圆规过点作于点，、相交于点．（只保留作图痕迹）． （2）求证：． 证明：在中，， ∴， ∵， ∴①_______， ∴ ∵， ∴②______， 在和中， ∴（     ④     ）． 【答案】（1） 解：如图即为所求．      （2）①；②；③；④．      【分析】 本题主要考查了尺规作图-作垂线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）根据尺规作图作垂线即可； （2）先根据等腰三角形的性质、角的和差可得，再证明结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 在和中， ∴． 88．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，为线段上一动点，当线段取得最小值时，线段的长度为　　　　　　　　　　　；当为等腰三角形时，　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，度角的性质． 依据题意，根据垂线段最短，可得当时，最短，结合，，则，从而可得；又由，可得，再根据为等腰三角形，进而分类讨论计算可以得解． 【详解】 解：由题意，根据垂线段最短， ∵P为线段上一动点， ∴当时，最短． 如图，此时， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 当为等腰三角形时， 可分三种情况讨论． ①， ∴， ∴； ②， ∴； ③， ∴， ∴，不合题意，舍去； 综上，或． 故答案为：；或． 89．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）将两个等腰直角与如图放置，，，． （1）如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数； （2）当绕着点顺时针旋转至如图2时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； （3）当绕着点顺时针旋转至如图3时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为668时，直接写出点到的距离． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2，延长到点，使，连接， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．     （3）点A到的距离是      【分析】 （1）由，，，得，由，得，则，所以． （2）延长到点，使，连接，可证明，得，，所以，，可证明，进而证明，得，因为，所以． （3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，则，作交的延长线于点，可求得，，，于是得，求得，则点到的距离是． (1) 小问详解： 解：如图1，，，， ， 点、、三点共线， ， ，， ， ， ， 的度数是． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：点到的距离是， 理由：如图3，延长到点，使，连接，则， 点是线段的中点， ， ， ， ， 由（2）得， ， ， 过点A作交的延长线于点， ，，，，， ，，， ， ， 解得， 点到的距离是． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 90．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，则　　　　　　，　　　　　　． 【答案】① .6    ② 15 【分析】 本题考查垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确地添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，则，再根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】 解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∴， ∴； 故答案为：，． 91．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线，相交于，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图， 由（1）知、 在上截取，连接，则， 、、 、 、 ；     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得，； （2）在上截取，连接，则，证得，是等边三角形，进而证得； （3）根据、证得、，进而证得，当、、三点共线时，，取得最大值， 延长、交于点，证得，进而证得． (1) 小问详解： 解：平分 、 、 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的值为，理由如下： 、 、 、 、 当、、三点共线时，，取得最大值 延长、交于点， 、 、、 ． 92．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，，分别为边和上的高，垂直平分边，交于点，则　　　　　；交的延长线于点，连接，则　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 由等腰三角形的“三线合一”得到，，由垂直平分线的性质得到，进而根据“等边对等角”得到，因此，从而在中即可求出．过点F作，交的延长线于点G，则．在等腰中求出底角，在中求出，即可得到，进而求出，因此，即可证明，得到，，从而在中根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵，，，是边上的高， ∴，， ∵垂直平分边， ∴， ∴， ∴， ∵是高， ∴在中，， ∴． 过点F作，交的延长线于点G， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴， ， ∵垂直平分边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 93．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，点在上，连接，，过点作交的延长线于点，若，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，同时还考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，学会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 本题中，先过点作，交于，利用证明得到的值，并利用等腰三角形的性质得到的值，最后求得的值． 【详解】 解：过点作，交于，如图， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 94．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，则的度数为　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．三角形的内角和定理求出，垂直平分线的性质结合等边对等角以及三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数，再根据平角的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵、分别在、的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 95．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在中，，点是直线上一点． （1）如图，若点在边上，且，，求点到边的距离； （2）如图，若点在的延长线上，且，于点，交于点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若点在边上，点在边上，且．连接当取最小值时，直接写出的度数． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解； （2）通过构造等边三角形和全等三角形来探究线段之间的数量关系； （3）利用全等三角形将线段进行转换，根据两点之间线段最短确定最小值. (1) 小问详解： 解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：点到的距离是； (2) 小问详解： 答：，理由如下： 延长至点，使得，连接， 由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 即：； (3) 小问详解： 解：作，，连接， ∴ 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，是等腰三角形，则， ∵≌， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，关键是知识点的灵活应用. 96．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等底同高的三角形是解题的关键，延长交于点，由题可得，易证，得到，进而得到，，所以得到． 【详解】 解：延长交于点，如图： ∵平分，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 97．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）（1）如图1，在中，，，为的中点，是上一点，连接，过作交于，求四边形的面积； （2）如图2，在中，，，为的中点，、分别是、上的一点（点不与、重合，点不与、重合），连接，，若，求线段、、之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，，过点作交延长线于点，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）16； （2）； （3）12 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形中线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质并正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质证明 ， ，，通过证明，得出，即可求解； （2）连接，过点作，交于点，利用等腰三角形的性质得出 ， ，，证明，是等边三角形，证明，再证，得出，再利用线段的和差证明； （3）在上截取，连接，先得出，证明，得出，，证明是等边三角形，,得,，再利用含角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】 解：（1）∵，，为的中点， ∴ ， ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵，，为的中点， ∴ ， ，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 98．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则的最小值为　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查等腰三角形性质及垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到连接交点即为最小距离和，再结合等腰三角形底边三线合一求解即可得到答案； 【详解】 解：∵直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∴连接交于一点即为最小距离和点， ∵，点为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 99．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，，点为上一动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质求线段和的最值问题，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理以及等边对等角；作关于的对称点，连接，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，得出，当重合时取得等号，则，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 解：如图，作关于的对称点，连接，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，    ∴，当重合时取得等于号， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴的面积是 故答案为：． 100．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，的平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若且，则长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角的性质，平行线的性质；证明，根据，即可求解． 【详解】 解：设 依题意，， ∴ ∵ ∴， ∴，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 101．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为                  ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点的坐标为或      【分析】 （1）求出，从而可得，由此即可得； （2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）分两种情况：① 点在轴的正半轴上；② 点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图1，设与交于点， ∵，， ∵，，， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 解：存在，求解过程如下： ∵点在轴上， ∴分以下两种情况： ① 当点在轴的正半轴上时， 如图2，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． ② 当点在轴的负半轴上时， 如图3，过点作轴于点， 同理可证：，， ∴， ∴点的坐标为． 综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 102．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上 (1)如图1所示，若C的坐标是(2，0)，点A的坐标是(﹣2，﹣2)，求点B的坐标. (2)如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，求证：BD = 2AE 【答案】(1) B(0，4)； (2)证明：延长BC，AE交于点F． ∵AC=BC，AC⊥BC，∴∠BAC=∠ABC=45°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAC=22.5°， ∴∠DAE=∠CBD=∠CAF． 在△ACF和△BCD中， ∵ ， ∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD， 在△ABE和△FBE中， ∵ ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE=EF， ∴BD=2AE． 【分析】 （1）过点A作AD⊥OC，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题； （2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE． 【详解】 （1）过点A作AD垂直OC于D． ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠DAC． 在△ADC和△COB中， ∵ ， ∴△ADC≌△COB（AAS）， ∴AD=OC，CD=OB． ∵A（-2，-2），C（2，0）， ∴OD=2，OC=2， ∴OB=CD=2+2=4， ∴点B坐标为（0，4）； （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并证明其全等是解题的关键． 103．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）已知：中，，，连接，在直线右侧作, （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】（1）2；     （2） 证明：如图2，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质代入计算即可； （2）如图2，过点E作，由垂直得结合已知证，得到，，再证得，利用角所对的直角边等于斜边的一半换算即可； （3）当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N，由，设则，解出，分别，，利用全等的性质求出，最后利用三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N， ∵， ∴设则， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 104．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，为边上的高，，把绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，若，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质及利用三角形面积求线段长度．过点D作交的延长线于点G，利用三角形内角和定理得出，再由旋转的性质可知，证明，得到，，通过，，得出为等腰直角三角形，进而得出，则，再证明，此时点F为，中点，设，则，利用得出相关线段的表达式，最后列出方程求解x的值，即可得出的长度． 【详解】 解：如图，过点D作交的延长线于点G，    ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ，，即点F为，中点， ∵， ∴设，则， ∴，，，则，， ∵， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 105．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图1，已知为等边三角形，，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接． （1）求点D到边的距离； （2）如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：； （3）如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，点C到线段的距离是7，当取得最小值时，直接写出与的面积和． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，在上取，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）过点D作交的延长线于点E，根据等边三角形的性质求出，再根据等腰直角三角形求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可； （2）在上取，连接，，证明，得，然后得证结论即可； （3）过点A作，且，连接，再过点C作于点E，证明，得，得出，得出当C、M、P三点共线时，最小，然后根据已知条件求出相关线段，最终求出此时和的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点D作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即点D到边的距离为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点A作，且，连接，再过点C作于点E， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当C、M、P三点共线时，最小， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点M作于点O， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，解得， ∴， ， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 同旁内角互补； B. 面积相等的两个三角形全等； C. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”； D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【答案】D 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理判断逐一分析判断即可． 【详解】 解：A、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是错误； B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是错误； C、等腰三角形的底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合，简称“三线合一”，本选项说法错误； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是正确； 故选：D． 2．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的边长为4，面积为4，则OE+OF的值为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【分析】利用等边三角形的特殊角求出OE与OF的和，可得出其与三角形的变得关系，进而可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60° 又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°， ∴∠BOE=∠COF=30°， ∴OE=OB，同理OF=OC． ∴OE+OF=（OB+OC）=BC． ∵等边三角形的边长为4， ∴OE+OF=． 故选B． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 3．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）下列说法中，正确的是（） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B. 顶角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D. 等边三角形不是轴对称图形 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念，熟知相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】 解：A、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的角平分线互相重合，不符合题意； B、顶角为的等腰三角形是等边三角形，符合题意； C、等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，不符合题意； D、等边三角形是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．在上截取，连接交于点E，得出的最小值，证明是等边三角形，求出结论即可． 【详解】 解：在上截取，连接交于点E， ∵是等边三角形，D为中点， ∴点P和关于对称，， ∴， ∴的最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为13， 故选：B． 5．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 若两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等 C. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三边距离相等 D. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质以及等边三角形的判定． 逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】 解：A：∵等腰三角形只有底边上的高、中线及顶角的角平分线互相重合，而其他高、中线、角平分线不一定重合，∴A错误； B：∵两个三角形有两边及一角对应相等时，若角是两边的夹角符合，全等；若角不是夹角，则不一定全等（如情况），∴B错误； C：∵三角形三边的垂直平分线到三角形三个顶点距离相等，∴C错误； D：∵等腰三角形有一个内角为，则无论该角是顶角还是底角，其余两角均为，∴三角形为等边三角形，∴D正确； 故选：D． 6．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称最短线段问题，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，由轴对称的性质可得，，，，，，即得，可知当点在上时，的周长的最小，最小值，进而得到是等边三角形，即得到，再根据轴对称的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，如图， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∴， 可知当点在上时，的周长的最小，最小值， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：． 7．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，已知，点P是内任意一点，周长的最小值是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则的长是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点N、M，连接，此时周长的最小，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点N、M，连接，此时的周长最小， ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵周长的最小值是， ∴， ∴， 即的长是． 故选：A． 8．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）下列命题中，是真命题的是（） A. 有两个角相等的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 等边三角形有三条对称轴 D. 1的平方根等于它本身 【答案】C 【详解】 本题考查命题的真假判断，涉及等腰三角形与等边三角形的区别、绝对值的性质、等边三角形的对称轴以及平方根的概念． 根据等腰三角形与等边三角形的区别、绝对值的性质、等边三角形的对称轴以及平方根的概念，逐项分析判断即可． 【分析】 解：∵两个角相等的三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形， ∴A是假命题． ∵时，a与b可能相等也可能互为相反数， ∴B是假命题． ∵等边三角形有三条对称轴， ∴C是真命题． ∵1的平方根是，并不都等于1本身， ∴D是假命题． 故选C． 9．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取的中点G，连接，若，则可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，先根据旋转的性质得出，，然后根据等边三角形的判定与性质得出，，则，，最后根据三线合一的性质求解即可． 【详解】 解：∵线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）在等边三角形中，，点E在边上以的速度由点B向点C运动，同时，点F在边上由点C向点A运动，连接，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得与全等，则点F的运动速度是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的对应边相等的性质、等边三角形的性质等知识点，根据对应边分情况讨论是解题的关键． 设点E、F的运动时间为，分别表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①是对应边，②是对应边两种情况求解即可． 【详解】 解：∵在等边三角形中，， ∴，， 设点E、F的运动时间为，， ∴ 若与全等．则有： ① 当时，，解得：， ∴， 故点F的运动速度为：； ② 当时，， ∴，解得：． 故点F的运动速度为． 所以，点F的运动速度为或． 故选：C． 11．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为（   ）. A. 30cm B. 25cm C.  D. 以上答案均不正确 【答案】A 【分析】 先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，A′点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为A′B的长度，然后根据勾股定理计算A′B的长即可． 【详解】 把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，A′点为点A展开后的对应点， 作BH⊥MN于H，BH=×48=24，MH=1，A′N=1， ∴A′H=20−1−1=18， 在Rt△A′BH中，A′B==30cm. 故选A. 【点睛】 此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出正确的平面展开图. 12．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（       ） A. 6.5 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，作于，则，证明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：如图，作于，则， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 13．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟知这些知识是解题的关键．先根据折叠和，证得是等边三角形，再得到是含角的直角三角形，最后根据线段的关系即可求得的长． 【详解】 解：由折叠性质得：，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， ∴，， ∴是直角三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 14．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（     ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由折叠的性质可得，易得是线段的垂直平分线，即可判断① ； 由等边三角形的性质可得，由折叠的性质可得，，进而，即可判断② ；先说明，再运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据角的和差可判断③ ；先证明可得，再说明，即边上的高为，如图：过F作，则四边形是矩形，即，易得边上的高为，无法得到，据此可判断④ ． 【详解】 解：∵将沿折叠，使点落在点处，连接． ∴， ∴是线段的垂直平分线，即，故① 正确； ∵在等边中，， ∴是线段的垂直平分线，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， 在和中， ， ∴，即② 正确； ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，即③正确； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴边上的高为， 如图：过F作，则四边形是矩形，即， ∴边上的高为， ∵无法得到， ∴无法得到，即无法得到，故④ 错误． 综上，正确的有3个. 故选B． 15．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质及判定定理，内角和定理，细心计算角度是关键． 首先证明，得到，得到是等边三角形，② 正确；根据与都是等腰直角三角形，进而推出，再根据三线合一的性质得到① ③ 正确；为等腰三角形，顶角都为，得到，进而根据等边三角形的性质即可推出的度数为④ 正确． 【详解】 解：∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，② 正确 ∴， ∵与都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴为的角平分线， ∵为等腰三角形， ∴垂直平分，① 正确， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴是上边的中线， ∴，③ 正确， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，且是上边的中线， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的度数为，④ 正确， 综上所述，① ② ③ ④ 都正确，正确的个数有4个， 故选D． 16．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论： ①；②；③；④；其中正确的有（     ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定和性质、角平分线的判定定理和等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．根据题意得是等腰直角三角形，则，通过角的转化可得，进而证明即可判断① ；根据角平分线的判定定理可得，再通过角的转换可得，进而可证，再假设，进行判断② 即可；根据进行角的转换即可判断③ ；由③ 可得，结合和进行边的转换即可判断④ ． 【详解】 解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ，故① 正确， 平分， ， ，， ，， ， 又， ， 假设，则为等边三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形且， 是等腰直角三角形， ∴，故② 错误， ∵， ， ∵， ，故③ 正确， ， ∵是等腰直角三角形且， ∴， ， ， ，故④ 正确， 综上所述，① ③ ④ 正确， 故选：D． 17．（25-26学年八上·重庆铁路中学）已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意易得，则，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即最小，则有当点B、P、E三点共线时最小，进而可求解． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过点P作于点E，如图所示：则， ∴， ∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时最小，此时，如图所示： ∴， ∴，， ∵， ∴； 故选：C． 18．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（     ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 【答案】A 【分析】 连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】 解：连接，， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：A． 【点睛】 本题考查轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出周长的最小值为是解题的关键． 19．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，，点为边上的一点，，将沿翻折到所在的平面，得，连接，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，三角形内角和定理的应用；如图，连接，根据折叠的性质可得，，，进而得出是等边三角形，求得，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵，将沿翻折到所在的平面，得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴ 故选：B． 20．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列命题中，是假命题的是（     ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 C. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 D. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】C 【分析】 本题主要考查了真、假命题，根据等腰三角形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和垂直平分线的性质逐一判断． 【详解】 解：A选项：等腰三角形的两个底角相等，是真命题，故A选项不符合题意； B选项：有一个角等于的等腰三角形，其余两角也必为，因此是等边三角形，是真命题，故B选项不符合题意； C选项：两边及其中一边的对角相等（）不能判定三角形全等，是假命题，故C选项符合题意； D选项：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，故D选项不符合题意． 故选：C． 21．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在等边中，D是上一点，于点E，交的延长线于点F，，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识． 作交于点G，可由是等边三角形，推导出是等边三角形，设，则，再证明，则，，所以，，则，由，，得，据此求解得到问题的答案． 【详解】 解：作交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 设， ∵交的延长线于点F，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 22．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，和都是等边三角形，连接和． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质以及角的和差可得，易证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点作于点，过点作延长线于点，由可得，；运用等面积法可得，进而得到平分．再根据角的和差以及角平分线的定义即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点作于点，过点作延长线于点， ∵， ∴， 又∵，且， ∴， ∵， ∴平分． ∵， ∴， ∴． 23．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，，，，，交于点P，若点C在上.    （1），求的度数； （2）连接，求证：. 【答案】（1）     （2） 证明：如图，在上截取，连接，    由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴.      【分析】 （1）先证明，再用证明，得到，再利用外角的性质求出即可； （2）在上取，连接，由得，再用证明，得到，，从而证明是等边三角形，继而得证. (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 24．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 26．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为t s．当时，点P与点Q运动　　　　　　s后，可得到． 【答案】1或1.6或5 【分析】 根据题意，时P点刚好运动一周回到B点，而Q点只能运动到的中点.分情况讨论：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在上，且，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”分别列方程求出t的值即可． 【详解】 解：① 如图1，P在上，Q在上，且， 解得； ② 如图2，P在上，Q在上，且， 则 解得； ③ 如图3，P、Q都在上，且， 则 解得；   综上，点P与点Q运动的时间为1秒或1.6秒或5秒时可得到． 故答案为：1或1.6或5． 【点睛】 本题是一个动点问题，主要考查了“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”这一性质，解题的关键是要运用数形结合和分类讨论的思想，防止漏解． 27．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，的坐标为；      （2）5     （3） 解：如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得，根据是等边三角形，得到即可解答． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴、， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 30．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边上，，交于点H．若，求的长度． 【答案】（1）证明：∵将绕着点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，设交于K，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【分析】 （1）根据将绕着点A逆时针旋转得到，得，即知，，可证明； （2）延长至G，使，连接，设交于K，，证明，得，而，故，又，有，从而； （3）将绕点A逆时针旋转至，作交于M，连接，可知为等边三角形，证明，得，可证，得，，即可求出，，从而． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：将绕点A逆时针旋转至，作交于M，连接，如图： 则， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的长度为13． 【点睛】 本题考查了三角形综合．熟练掌握全等三角的判定及性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形判定和性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线，是解决问题的关键． 31．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】 解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点、、三点共线时．求证：； （2）如图2，当点、、三点不共线时，连接，在上取中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点在射线上运动时（点与A不重合），连接，若，，且，直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴ ∴， ∵． ∴ ， ；     （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 33．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． （1）点P在上运动的过程中，当          时，与的面积相等；（直接写出答案） （2）点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； （3）若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度          （直接写出答案）． 【答案】（1）     （2）或或或     （3）3      【分析】 本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，最短路径问题． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案； （3）最短路径问题，作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小，即可求得结果． (1) 小问详解： 解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； (2) 小问详解： 解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或； (3) 小问详解： 解：如图2， ， 作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小， 延长交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 34．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点．    （1）如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； （3）如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，使得，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， 设， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）结合等边三角形的性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，在判定，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， 由题，为的外角， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，过点A作且使得，连接，，    为等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， （）， ， ， 为等腰直角三角形，因此最小则最小， 当时，最小，此时为等边的高， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等；掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，能构建全等三角形是解题的关键． 35．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知为等边三角形．    （1）如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； （2）如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； （3）如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴；     （2） 证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴平分， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明； （）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：把绕点逆时针旋转得到，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴三点共线， 又由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 36．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______； （2）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是______； （3）在轴正半轴上是否存在点使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． 【答案】（1），，     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解； （2）利用轴对称的性质，作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为点P； （3）过点，分别做轴的垂线，垂足为，，在轴上取，根据可得，由此即可求解出点Q的坐标． (1) 小问详解： 解：若与关于轴成轴对称， 则三个顶点坐标分别为，，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 如图：点是点A关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点P， 此时的值最小， 则点P的坐标为； (3) 小问详解： 存在点Q，点Q的坐标为，理由如下： 如图：过点，分别作轴的垂线，垂足为，， 在轴上取 ， ， ， 解得， ， 由于为定值，且当或时，到的距离不等于到的距离，故不存在符合题意的其它Q点， ∴存在，． 37．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在三角形中，，，点为中点，点在延长线上，连接交于点，沿着翻折得到，其中．则　　　　　　，若，则　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 连接，如图所示，先由等腰直角三角形的判定与性质得到，再由外角性质得到，然后由邻补角定义得到，再根据翻折性质得到，，从而有，根据中点定义得到，即可判定是等边三角形，则得到；由是等边三角形，得到，在中，由含的直角三角形的性质得到即可． 【详解】 解：连接，如图所示： 在三角形中，，， ， 是的一个外角， ， 则， 沿着翻折得到， ，， 则， 点为中点， ， ， 在中，，，则是等边三角形， ， ； 是等边三角形， ， 在中，，，则， ； 故答案为：，． 【点睛】 本题考查三角形综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质、外角性质、邻补角定义、翻折性质、中点定义、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识，熟记三角形相关性质与判定是解决问题的关键． 38．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，是边长为2的等边三角形，D是的中点，F是线段上的动点，连接，以为边在的右侧作等边，连接，则　　　　　　　　；当取得最小值时　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和含直角三角形的性质，掌握以上知识点并熟练运用是解决本题的关键． 在上找一点G，使，连接，根据等边三角形的判定和性质可得，，，，进而证明，则可得到的度数，当时，取得最小值，即也取得最小值，根据全等三角形的性质可得，最后结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】 解：在上找一点G，使，连接，如下图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 根据题意得，当时，取得最小值，如下图： ∵， ∴当取得最小值，也取得最小值， ∵， ∴， ∵是等边三角形且， ∴，， ∴， ∴（符合条件）， ∵等边是边长为2且D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：；． 39．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）等边中，点分别是边上的点（不与端点重合），连接相交于点，且． （1）如图，求的度数； （2）如图，点分别是线段上的动点，连接相交于点，平分，平分，求证：； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上存在一点，当的值最小时，连接交于点，求的值． 【答案】（1）     （2） 证明：如图，作的平分线， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即；     （3）      【分析】 （）由等边三角形的性质得，，进而得，得到，再根据三角形外角性质即可求解； （）作的平分线，交于，可得出，从而，，进而证得，从而得，同理可得，进而即可求证； （）由题意可知是内一点，要求，则考查费马点知识，由等边三角形费马点在重心可确定点的位置，进而利用特殊直角三角形设参求解即可． (1) 小问详解： 解∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：将顺时针旋转得到，将顺时针旋转得到，连接、， 由旋转得，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即当共线时，的值最小，如图， 连接，则是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴垂直平分， 即是三条高线的交点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的重心等，解决问题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 40．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，等边中，点、分别在边、上，且． （1）求证：． （2）连接、交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：三角形是等边三角形， ，． 在和中 ， ．     （2）      【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据等边三角形的性质可得，，即可证得； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，得到，根据含的直角三角形的性质，得到，进而可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∴ ， ， ． ， ， ， ． ， ． 41．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，是等边三角形，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 以作等边，线段上取一点，使，证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得平分，因此得到的度数． 【详解】 解：以为边作等边，线段上取一点，使，连接，如图所示： 则， 是等边三角形 是的外角 在和中， ， ∴是的垂直平分线， 平分 ，即 故答案为：． 42．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，已知是等边三角形，边长，以点为直角顶点向右作等腰直角，连接．则点到所在直线的距离为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握特殊三角形的性质并通过作辅助线构建直角三角形是解题的关键． 通过作辅助线交的延长线于，利用等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等，进而求出的长度，即点到所在直线的距离． 【详解】 解：过点作，交的延长线于． ∵是等边三角形， ∴，． ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 43．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）在等边中，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段（即且），连接． （1）如图，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求证：； （2）如图，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接．试探究与的数量关系如何？并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵线段绕点（与重合）逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴．     （2） 解：过点作于，作于． ∵是等边三角形，， ∴平分，， 又∵，， ∴． ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）利用等边三角形的性质求出相关角度，结合旋转的性质得到等边三角形，再通过角度计算证明三角形的边相等，从而求证． （2）通过作辅助线构造全等三角形的条件，利用等边三角形、旋转的性质以及四边形内角和、全等三角形的判定定理来探究与的数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的相关性质是解题的关键． 44．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，，点为的中点． （1）如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想； ②连接（自己连），求证：． （2）如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 【答案】（1） ① 猜想， 证明：如下图所示，在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ； ② 证明：连接、， ，， ， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ；      （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）① 在上截取，连接，可证，利用全等三角形的性质可得是等腰直角三角形，所以可知； ② 根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据可证是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据等腰三角形的性质可证结论成立； （2）作，使，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知，所以当点，，共线时，取得最小值，可证此时是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形对应角相等可以求出的度数． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如下图所示，作，使，连接，， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点，，共线时，如图② ，取得最小值， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交于边上的点G，与交于点H，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法是　　　　　． 【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 根据等边三角形的性质可推导，可判断① 错误；证明，得到，再由角平分线的性质可判断② 正确；证明得到，然后推导可得，，则，进而可判断③ ④ 正确；由题意得，，则，得到，可判断⑤ 错误，进而可得答案． 【详解】 解：① ∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， 故①错误； ② ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，过点G作于T，于J，于K， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∴， 故②正确； ③如图1， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③ ④正确； ⑤ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误， 答案为：② ③ ④． 46．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）已知，是等边三角形，点D是所在平面内一点，连接、，点E在边上，连接，点F是射线上一点，连接、． （1）如图1，若点D在边左侧平面内，且点F与点E重合，，，，，H在边上，连接，当平分和时，求线段的长； （2）如图2，若点D在线段延长线上，过点C作交延长线于点H，当，且时，求证：； （3）如图3，若点D在射线上，点L、I是线段上两定点（均不与点B、C重合），连接、，满足．点M、R、S分别是线段、和上一点，连接、、．当的周长最小时，作点M关于的对称点N，连接，点P和点Q分别为射线、上一点，连接、，记．若，则当的值最小时，用含α的式子直接写出的度数． 【答案】（1）8     （2） 证明：如图，延长，交点G， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．     （3）或      【分析】 （1）利用角平分线定理得出，，证明，得到，，根据已知条件得出，进而通过等腰三角形的判定定理得出，进而求得结果； （2）延长，交点G，根据等边三角形的性质得出，，从而得到，设，则，，进而得出，证明，，利用全等三角形的性质得出相关线段之间的关系，进而证明出最终结果； （3）分别过点M作关于，的对称点，，连接，，，，的最小值即为，要使的值最小，则时值最小，过点A作交于点M，过点M作关于的对称点N，连接射线，此时分情况讨论，当点D在射线以外时，当点D位于A，C之间时，通过旋转构造全等三角形得出对应角度的表达式，进而求得最终的结果． (1) 小问详解： 解：∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，分别过点M作关于，的对称点，，连接，，，， ∵， ∴要使最小， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴的最小值即为， 要使的值最小，则时值最小， 如图，过点A作交于点M，过点M作关于的对称点N，连接射线， ∴， ∵， ① 当点D在射线以外$ 专题07 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）青铜器是商周时期的文化瑰宝，其纹样与造型蕴含着对称美学．下列青铜器简笔画图案中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八·重庆高新·期中）人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）“二十四节气”是中国人通过观察太阳周年运动，认知一年中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系和社会实践，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ）． A.          B.      C.      D.  8．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）下面四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“小满”“清明”，是轴对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      9．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下面是某四所中学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列手机中的图标是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）下列图标中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）下列4个汉字中，从数学的角度可以看作轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·重庆铁路中学）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号展现一系列完备且完美的世界．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称的是（       ） A.      B.      C.      D.      15．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·重庆·期中）在非物质文化遗产展区，小明看到如下发绣作品，其中作品主体图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）下列图案中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）下列艺术字中，轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在四边形中，，，在内部绕点旋转，两边分别交、于点、，连接，当周长最小时，为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点落在点处，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是（      ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）以下说法中，正确的命题为（    ） A. 三角形的中线、高、角平分线都是直线 B. 三角形的一个外角等于两个内角的和 C. 有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形是轴对称图形 24．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）博物馆是承载历史记忆、传承文化根脉的重要场所，其LOGO设计常融入文化元素与美学理念．下列四大博物馆的LOGO中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（    ） A. 直线被线段垂直平分 B. 线段被直线垂直平分 C. 直线经过线段中点，但不垂直 D. 直线与线段垂直，但不经过线段中点 27．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）在下列图案中，是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  29．（八上·重庆川外基础教）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，，D是边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点B恰好落在边的中点处，则点D到的距离是（       ） A. 2 B.  C.  D. 3 32．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）下列说法不正确的是（       ） A. 等腰三角形是轴对称图形  B. 三角相等的三角形是等边三角形 C. 如果两个三角形成轴对称，那么这两个三角形一定全等  D. 若A,B两点关于直线MN对称，则AB垂直平分MN 33．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在的位置上，的延长线与的交点为G．若，则的度数为　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，已知AD所在直线是△ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是　　　　　　． 35．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）在中，，将沿折叠得到，连接、、，平分，过点作于点． （1）求证：； （2）若，为的中点，求的度数． 考点02 线段的垂直平分线 1．（八上·重庆川外基础教）到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 2．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 3．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线， CE=4，△ABD的周长为12，则△ABC的周长为(   ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 4．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，且的周长为，则的周长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 如果两个角是直角，那么这两个角相等 B. 如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同位角相等 6．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等 C. 若两直线垂直，则两直线有交点 D. 若x＝1，则x2＝1 7．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接、形成了一个三角形，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（       ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边上高的交点 8．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）下列各命题的逆命题成立的是（       ） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，内错角相等 C. 如果，那么 D. 如果，，那么 9．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）下列各命题的逆命题成立的是（       ） A. 直角都相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 10．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）下列命题中逆命题是假命题的是（       ） A. 如果两个三角形的三个角都对应相等，那么这两个三角形全等 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 对顶角相等 D. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 12．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=5cm，AB=8cm，则△EBC的周长为(        ) A. 9cm B. 13cm C. 18cm D. 21cm 13．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，，，则的周长等于（             ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 20 14．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，垂直平分，垂足为点，交于点，的周长为20，的长为8，则为（       ） A. 10 B. 15 C. 11 D. 12 15．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）下列说法中，正确的有（     ） A. 三角形的三条高所在的直线交于一点 B. 内错角相等 C. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的线段，叫作这条线段的垂直平分线 17．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，的外角、的平分线、交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（     ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在中，． （1）用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） （2）推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 19．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，的垂直平分线分别交，于，，若，的周长为，则的周长等于　　　　　　． 20．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，．    （1）尺规作图：作的平分线，交于点E；作线段的垂直平分线交于点F，交于点G；连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下，证明：．请完成下列证明的推理过程： 证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵是的平分线， ∴①____________． ∵②____________， ∴． 在和中， ∴， ∴④____________， ∴． 21．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，且的周长为，求底边的长度为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，若的周长为19，，则的周长为　　　　　　； 23．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=　　　　　　　　°． 24．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小华通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，为底边的中点，于点．利用尺规作图，过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明：，， ___________① ，， ， 为底边的中点， ___________② 在和中 （___________④） ． 25．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F．试证明线段． 27．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在中，，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是　　　　　　． 28．（25-26学年八上·重庆·期中）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究：从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算），过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线吗？现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点，并过点作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作OB的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线，即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ．    ③   ． 平分 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④                           ． 29．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 30．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、、的周长为8，则边的长度是　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为　　　　． 32．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）如图，在中，，，． （1）请用尺规完成基本作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，连接；（使用基本作图法，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：，， ． 为的垂直平分线， ，， _________①． ， ， ． 又， _________②． 在和中 ， ___________④． 33．（25-26学年八·重庆高新·期中）学习了轴对称图形后，小南对等腰三角形底边上的高的垂直平分线进行了研究．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：作等腰三角形底边上的高的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：如图，在中，，，垂直平分． 求证：是等腰三角形． ∵， ∴平分， ∴            ① ∵垂直平分， ∴，            ②             ∴， ∴， 在和中， ∵，       ③            ， ∴， ∴            ④             ∴是等腰三角形． 34．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，平分交于点． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） （2）求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵            ， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ， ∴在和 中， ∴（          ）． ∴          ． ∵是线段的垂直平分线， ∴            ． ∴． 35．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）已知：在四边形中，，，平分，平分． （1）用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为点（只保留作图痕迹）． （2）求证：． 证明：平分， ①________， ， ， ， ， 在和中， （④_____）， ⑤_______， 同理可得：， ． 36．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，，，点为平面内一动点（点，，三点不共线），连结、． （1）如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹）． （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转90°得到，连结． 求证：． 小龙同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长到点，使，连结， 在利中， ， ， ，________． ， ∴_______， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ________， ， ， ， ． 37．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图所示，在中，，，，分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧分别交于E，F，直线交于点D，连接，则的周长等于　　　　　　　　　　　 ． 38．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是                 ； 【方法感悟】 当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”—把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【问题解决】 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，试说明：； 【问题拓展】 （3）如图3，中，，，是的中线，，，且，请直接写出的长． 39．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）求证：等腰三角形两腰上的高相等． （1）作图：用尺规作出腰上的高（保留作图痕迹，不写作法）； （2）已知：　　　　　　　　　　　，求证：　　　　　　　　　　　； （3）证明： 40．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在钝角中，． （1）尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点、（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，过点作交的延长线于点，连接，求证：．请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：∵是的垂直平分线 ∴       ①       ，， ∴       ②        ∵，     ③      ∴． ∴ ∴     ④      ∴． 41．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，． （1）尺规作图：①作的平分线，交于点E；②作线段的垂直平分线交于点F，交于点G；连接，（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）在（1）的条件下证明： 证明：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵是的平分线 ∴                                  ∵                                  ∴ 在和中， ∴ ∴                       ∴ 42．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）八年级同学在学习《全等三角形》时遇到一道几何题，已知，如图所示，在中，，点在边上，点在外，点是与的交点，且，平分，证明：． （1）小华同学首先想到过点作的垂线，垂足为，请用尺规完成小华同学的基本作图；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法，不下结论） （2）下面是小华同学的不完整证明，请根据小华同学的证明思路完成对应空白填空． 证明：，， ， 平分， （①             ）， 在和中， （②            ）， （③             ）， ，， 又（④             ）， ， ． 43．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，为的平分线，且于D，于F，连接交AE于点O． （1）若，，求的度数； （2）试判断与的关系？并证明你的结论． 44．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，已知等腰的周长是65，腰，腰的垂直平分线交于点D，求的周长． 45．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，已知中，平分交于点D． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线垂足为点M，分别交、于点E、F，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，证明：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分 ∴     ①      ∵是线段的垂直平分线 ∴ 在和中， ∴（     ③     ） ∴     ④      ∵是线段的垂直平分线 ∴     ⑤      ∴ 46．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 47．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为15，，则的长为　　　　　　． 48．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 49．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）已知：在中，D为边上一点，平分，于点E， 于点F． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：． 请补全下面的证明过程． 证明：∵平分，，， ∴ ① ( ② )， ∵是的垂直平分线， ∴   ③ ， 又∵ ∴ ( ④ )， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 50．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在中，． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中作图，若，证明：． 51．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）（操作探究）教材利用倍长直角边的方发现了结论：“在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．”我们还能用其他的方法证明这个结论吗？ 下面是小聪的探究过程，请根据他的思路完成以下作图和填空： 如图，在中，，，求证：． （1）尺规作图：作斜边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）证明：如图，作斜边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． ∵由尺规作图可知线段的垂直平分线是． ∴①             ． ∴中②             ． ∵中，，， ∴③             ． ∴． ∴． ∵垂直平分于点E， ∴． 在与中， ． ∴（）． ∴④             ， ∵垂直平分， ∴⑤             ． ∵， ∴． 52．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，平分交于点于点． （1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接EF交BD于点．（不写作法，留作图痕迹，要写结论） （2）在（1）中所作的图形中，求证：垂直平分（完成相应填空）． 证明：是的平分线，              ①             ． 又， 在和中，              ③                 又平分，              ④             ． 垂直平分． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）在平面直角坐标系中，点P关于y轴的对称点Q的坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知点和关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B.  C. 1 D. 无法确定 5．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（       ） A.  B. 0 C. 1 D.  6．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）点关于轴对称的点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点向左平移4个单位长度得到点，点关于轴对称的点，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于轴对称，则代数式的值为（       ） A.  B. 4 C. 2 D. 1 10．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　． 11．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）点关于轴对称的点的坐标为　　　　　． 12．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在平面直角坐标系中，点，关于y轴对称，则a的值为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）点关于y轴的对称点是　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是　　　　　　． 15．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值为　　　　　　． 16．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． 18．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）已知点与点关于x轴对称，则　　　　． 19．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）点关于y轴对称的点的坐标是　　　　　　　． 20．（25-26学年八·重庆高新·期中）在平面直角坐标系中，作点关于y轴的对称点，再把点向右平移2个单位长度得到点，则点的坐标是　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）点关于轴对称点的坐标是　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于轴对称的图形； （2）写出点到轴x的距离：_____； （3）求的面积． 23．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）法定节日的确定为大家带来了很多便利．我们用坐标来表示这些节日：元旦用表示（即1月1日），劳动节用表示（即5月1日），端午节用表示（即5月5日）． （1）在给定的坐标系中描点并依次连接； （2）在坐标系中画出图形关于x轴对称的图形． 25．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）在（1）的条件下，若直线m上各点的纵坐标为，则点C关于直线m的对称点的坐标为_______； （3）在（1）的条件下，求的面积． 26．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出点C关于y轴的对称点的坐标：________； （2）点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请在图中标出P点位置（不写作法，保留作图痕迹）； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：________． 27．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．    （1）画出关于轴对称的，并写出，，三点的坐标； （2）求的面积． 28．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）若点与点关于x轴对称，则的值是　　　　　　． 30．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 31．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　　　． 32．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系．已知的各顶点坐标分别为，，． （1）画出； （2）画出关于y轴对称的，并写出点坐标为______； （3）求出的面积为______． 33．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； （2）写出，，三点的坐标：______，______，______； （3）平面内一点关于y轴对称的点的坐标为______，点关于x轴对称的点的坐标为______； 34．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，在正方形网格中，按要求回答下列问题： （1）请直接写出写出点、、的坐标； （2）计算的面积； （3）作出关于轴对称的图形． 35．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及关于x轴对称的图形； （2）已知P为x轴上一点，且的面积为5，求点P的坐标． 36．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点． （1）请在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）已知P为x轴上一点，若的面积为8，求点P的坐标． 37．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，已知：在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点的坐标为．请按要求分别完成下列各小题： （1）把向下平移6个单位，再向右平移6个单位，得到，画出； （2）画出关于轴对称的； （3）求的面积． 38．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于y轴对称的，并写出点的坐标：______； （2）求的面积； （3）点F在x轴上，若，请直接写出点F的坐标：______． 39．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系．的三个顶点坐标分别为，，． （1）填空：的面积为______； （2）把先向左平移5个单位长度得到，再将沿x轴翻折得到，请在平面直角坐标系中直接画出； （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是的面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 40．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于y轴对称的，并写出的坐标． （2）求出的面积． （3）在y轴上作点P，使得的值最小（不要求写作法，只保留作图痕迹）． 41．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． （1）画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为、、），则（______）（______）（______）． （2）在第二象限内的格点上找点，连接，使得，并写出点的坐标． 42．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在平面直角坐标系中，、、 （1）在图中作出关于轴对称的． （2）求的面积． （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标为_____． 43．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请你在平面直角坐标系中画出； （2）作出关于轴对称的图形，请直接写出，，的坐标：_____，_____，_____； （3）的面积是_____． 44．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， （1）作关于y轴的对称图形，并写出、、的坐标． （2）连接、，求出四边形的面积． 45．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图， 在平面直角坐标系中，． （1）在图中作出关于y轴对称的 （2）写出点的坐标(直接写答案)． （3）的面积为                  ． 46．（八上·重庆川外基础教）在平面直角坐标系中，的各顶点坐标分别为． （1）请在图中画出关于轴对称的图形，并直接写出的坐标； （2）若点为轴上一点，坐标为，且，若的面积为10，求点的坐标． 47．（25-26学年八上·重庆·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ΔABC的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形，并写出、的坐标； （2）计算的面积； （3）如果要使与全等，那么不同于点的格点的坐标是______． 48．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知中，． （1）在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． （2）的面积为___________． （3）若存在点，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 49．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出△A1B1C1三个顶点的坐标； （2）求△ABC的面积； （3）在x轴上画出点P，使PB+PC最小（不写作法）． 50．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是　　　　　　　　　　　　. 51．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知中， （1）在坐标系中画出，并作出关于轴的对称图形，其中点、、分别对应、、． （2）的面积为___________． （3）若存在点D，使与全等，则点的坐标为___________．（写出所有可能的情况） 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，中，，点在边上，且，则的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 72° 2．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，，D为边上一点，E点在边上，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，已知的周长为，长为，则的长为（     ）. A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八·重庆高新·期中）下列命题中假命题是（       ） A. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 B. 等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一 C. 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 5．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，平分，点是上一点，连接，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点C放置在刻度尺的边上，点B落在尺子内部，的中点O刚好在尺子的边上，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）等腰三角形的顶角为100°，则它的底角是（       ） A. 40° B. 100° C. 40° 或100° D. 80° 8．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，中，，与关于直线成轴对称，连接，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，等腰中，，，为上一点，，连接，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，Rt中，，，是上一点，，且，，与交于点，过点作的垂线交的延长线于点，延长，交于点，，垂足为．有下列结论：①；②；③；④．正确的结论的个数是（       ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 13．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点与重合，若，，则的长度为（       ）． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 14．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角度数为（     ） A. 30° B. 30°或60° C. 15°或30° D. 15°或75° 15．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在正方形中，E为边上的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，等边的顶点A在第一象限，边BC在x轴上，点，，以AB为直角边，按如图所示作等腰直角，，则点D的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，中，，平分，平分，，过点作，分别交、于、，设，则周长是（       ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 18．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A. 直角都相等 B. 直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半 C. 若，则 D. 三角形的外角和为 19．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  20．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，、的平分线、相交于点F，过点F作，交于点D，交于点E，若，，那么的周长是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图四边形中，，点E是的中点，平分．下列结论：①；②；③；④四边形的面积等于．以上四个结论中成立的是（     ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 22．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，在中，，在延长线上取一点，在延长线上取一点，使，延长交于，若，则的度数为（       ） A. 24° B. 30° C. 36° D. 45° 23．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，，，交于点，，则的长是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 24．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，的两边、的垂直平分线分别交于D、E，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，平分，过点作的平行线交延长线于点，且，，连接，则（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点，在边上满足，以为斜边向三角形外部作等腰直角三角形，连接，，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）（多选）（多选）如图，中，，，边的中垂线与的平分线交于点D，分别与边、边交于点E、点F，连接，若，下列结论正确的有（     ） A.  B. 为等腰直角三角形 C.  D. 与的面积之比为 30．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 31．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，已知，点在边上，点，在边上，且，若，，则的长为（       ） A. 8 B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连结．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，，点是线段的中点，，且交 外角的平分线于点F，若，则一定等于（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）若一个等腰三角形的顶角为，则它的底角为　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）求证：． 36．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，若，则　　　　． 37．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，已知点在的边上，且．    （1）用直尺和圆规作的平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，判断与的位置关系，并把证明过程补充完整． 判断：     ①     ，理由如下： ∵（已知） ∴     ②     （     ③     ） 又∵平分（已知） ∴（     ④     ） 又∵ ∴（等量代换） ∴     ⑤     （     ⑥     ） 38．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）等腰中，已知一内角等于，求三角形的底角为　　　　　　． 39．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的高有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在中，，交于点．利用尺规作图，过点作于点．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）作法下，求证：． 证明： ①___________ ②___________ 在和中 （④___________） ． 40．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　． 41．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，已知交于E，且，则　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，已知是内一点，，连接，，，且，求的度数为　　　　　　度． 43．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，的平分线交于点，且点在的垂直平分线上，若，求的度数． 44．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在中，，，若，则　　　　　　° 45．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，，，求证：． 46．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，在中，，且的面积是24，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为　　　　　　　　． 47．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为　　． 48．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）（多选）如图，已知中，． （1）请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）： （2）在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系．小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空． 解：，理由如下： ∵平分， ∴               ， 在与中， ， ∴， ∴               ， ∵， ∴               ， ∴， ∴               ， ∵， ∴． 49．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）【问题背景】 如图，已知 和 ，，，，与交于点，点在上． 【问题探究】 （1）试说明：； 【问题拓展】 （2）若，． ①求的度数； ②判断与的数量关系，并说明理由． 50．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，，，D为上一点，连接，且，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． （1）求的度数； （2）求证：． 51．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，，平分交于点，于点，且，则　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，是等腰三角形，O是底边上任意一点，过O作于E，作于F，若的面积为12，则　　　　　． 53．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． （1）求证：； （2）当时，求． 54．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，中，于D，于E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 55．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，，，垂足分别为、，和相交于点，平分． （1）求证：是等腰三角形． （2）求证：垂直平分． 56．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接、、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 57．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为　　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点是的中点，P是上任意一点，连接，若，则当的周长取最小值时，　　　　　　　　． 59．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，在中，，点D在线段上，点E在左侧，连接，，，且，延长交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 60．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在中，，是的高，在上取一点E，作的中垂线交于点H，交于点F，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 61．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：平分． 62．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）在中，，现有两点M、N分别沿三角形的边同时运动，已知点M从A 点出发，速度为每秒，沿的方向运动，点N从B点出发，速度为每秒，沿的方向运动．M、N各自到达终点停止运动． （1）求点M、N第一次相遇的时间？ （2）当点M、N运动过程中，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 63．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在中，，点，，分别在边，，上，且，． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 64．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，，是边上的中线．若点P是线段上的一个动点，点Q为线段上的一个动点，则的最小值是　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，已知，CE平分交AB于点E． （1）尺规作图：作的角平分线AF交CE于点F，交CD于点G（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）问的条件下，求证：，请完成下列证明的推理过程． 证明：∵平分，∴     ①     ， ①又∵，∴     ②     ，∴，∴     ③     ， ∵是的角平分线，∴， 在和中， ， ∴， ∴． 66．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，，若，，则的周长的最小值是　　　　　　　　　　　　；若，当的周长取最小值时，　　　　　　（用含的代数式表示） 67．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）在中，，，，于，为的边上的中线． （1）求的度数； （2）求的长． 68．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，是的中线，是的角平分线，若，则　　　　　　　　　　． 69．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为　　　　　　　． 70．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，，点是的中点，且，以为直角顶点作等腰直角，点分别是边延长线上的一点，连接．有如下结论：①为直角三角形，且；②；③；④若点为的中点，连接，则．其中正确的有　　　　　　　　　（填写正确结论的番号）． 71．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，                 ； （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 72．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于y轴对称的． （2）直接写出、、三点的坐标． （3）已知点D是x轴上的一点，若为等腰三角形，则满足条件的D点有______个． 73．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，，点为上一点，过点作于点，点为轴上一点，点关于的对称点为点，连接、、，交于点． （1）如图1，点的坐标为______； （2）如图2，延长交于点，交于点，当时．求证：； （3）在（2）的条件下，若点的坐标为，求点的坐标． 74．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 75．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）若的周长为，，求的周长； （2）若，将分成两个角，且，求的度数． 76．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿DE折叠，使顶点C落在△ABC三边的垂直平分线的交点O处，若BE=BO，则∠BOE=　　　　　　　　　　　　度． 77．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，四边形中，，平分，于E． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 78．（八上·重庆川外基础教）如图所示，在和中，其中与交于点，点在上，平分，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 79．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 80．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）若等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的底角为　　　　　． 81．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． （1）求证：为等腰三角形； （2）求证：． 82．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，点D，F分别为边上的点，连接，线段交于点G，且．点E为边上一点，连接使得． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 83．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，D在边上，，，则的度数为　　　　　　　　． 84．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，D为边上一点，且平分，过A作于点E．若，，，则　　　　　　　　． 85．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关知识后，小德通过研究发现等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此思路完成以下作图和证明过程： （1）如图，在中，，D为底边的中点，于点E．利用尺规作图，过点D作于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在（1）的条件下，求证：． 证明： ____________① ， D为底边的中点 ____________② 在和中 （____________④） （____________⑤）（理由） 86．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，． （1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程： 证明：平分， ________， 在与中 ，________， ，且 ________， ________， 87．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）在学习了三角形全等的相关知识后，数学兴趣小组对构造全等三角形做了如下的探索： 在中，，点在线段上，连接，在外侧，以为边能否构造一个与全等的三角形．小巴组的想法是：过点和点分别做边和边的垂线，两垂线相交的三角形即为所求，请你根据小巴组的思路完成以下作图和填空： （1）已于点，用直尺和圆规过点作于点，、相交于点．（只保留作图痕迹）． （2）求证：． 证明：在中，， ∴， ∵， ∴①_______， ∴ ∵， ∴②______， 在和中， ∴（     ④     ）． 88．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，为线段上一动点，当线段取得最小值时，线段的长度为　　　　　　　　　　　；当为等腰三角形时，　　　　　　　　　　　． 89．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）将两个等腰直角与如图放置，，，． （1）如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段上的点，满足，，求的度数； （2）当绕着点顺时针旋转至如图2时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； （3）当绕着点顺时针旋转至如图3时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为668时，直接写出点到的距离． 90．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，则　　　　　　，　　　　　　． 91．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，若，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线，相交于，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 92．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，，分别为边和上的高，垂直平分边，交于点，则　　　　　；交的延长线于点，连接，则　　　　　． 93．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，，，点在上，连接，，过点作交的延长线于点，若，则　　　　　． 94．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的垂直平分线上．若，则的度数为　　　　　 95．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）在中，，点是直线上一点． （1）如图，若点在边上，且，，求点到边的距离； （2）如图，若点在的延长线上，且，于点，交于点，连接，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若点在边上，点在边上，且．连接当取最小值时，直接写出的度数． 96．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是　　　　　　． 97．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）（1）如图1，在中，，，为的中点，是上一点，连接，过作交于，求四边形的面积； （2）如图2，在中，，，为的中点，、分别是、上的一点（点不与、重合，点不与、重合），连接，，若，求线段、、之间的数量关系； （3）如图3，在四边形中，，，，过点作交延长线于点，若，，请直接写出的长． 98．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则的最小值为　　　　　　　　． 99．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，，点为上一动点，过点作于点，当取最小值时，则的面积是　　　　　　　　　　　． 100．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，的平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若且，则长为　　　　　　　　　　　． 101．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为                  ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 102．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上 (1)如图1所示，若C的坐标是(2，0)，点A的坐标是(﹣2，﹣2)，求点B的坐标. (2)如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴 于E，求证：BD = 2AE 103．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）已知：中，，，连接，在直线右侧作, （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于F，若；求 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点P．若．求证：； （3）如图3，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点P,请直接写出的值（不需要计算过程）． 104．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，为边上的高，，把绕A点逆时针旋转得到，连接交于点F，若，，则的长为　　　　　　　　． 105．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图1，已知为等边三角形，，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接． （1）求点D到边的距离； （2）如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：； （3）如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，点C到线段的距离是7，当取得最小值时，直接写出与的面积和． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 同旁内角互补； B. 面积相等的两个三角形全等； C. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”； D. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 2．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等边三角形的边长为4，面积为4，则OE+OF的值为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 3．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）下列说法中，正确的是（） A. 等腰三角形的高线、中线、角平分线重合 B. 顶角为的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形底边上的中线是它的对称轴 D. 等边三角形不是轴对称图形 4．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，等边中，D为中点，点P、Q分别为上的点，，在上有一动点E，则的最小值为（　　） A. 11 B. 13 C. 12 D. 10 5．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）下列说法正确的是（     ） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B. 若两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等 C. 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三边距离相等 D. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形 6．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，已知，点P是内任意一点，周长的最小值是，点M和点N分别是射线和射线上的动点，则的长是 （       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）下列命题中，是真命题的是（） A. 有两个角相等的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 等边三角形有三条对称轴 D. 1的平方根等于它本身 9．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，取的中点G，连接，若，则可以表示为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）在等边三角形中，，点E在边上以的速度由点B向点C运动，同时，点F在边上由点C向点A运动，连接，当点E停止运动时，点F随即停止运动．若要在某一时刻使得与全等，则点F的运动速度是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 11．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为（   ）. A. 30cm B. 25cm C.  D. 以上答案均不正确 12．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（       ） A. 6.5 B. 6.8 C. 7 D. 7.2 13．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，若，则（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 14．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在等边中，，为上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，连接．下列结论：①；②；③；④，其中，正确的结论个数是（     ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 15．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接与交于点，若，则下列结论：①垂直平分，②是等边三角形，③，④的度数为，其中正确的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论： ①；②；③；④；其中正确的有（     ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③④ 17．（25-26学年八上·重庆铁路中学）已知等边中，，，若点在线段上运动，当的值最小时，的长为（       ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 18．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（     ） A. 12 B. 13 C. 10 D. 14 19．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，，点为边上的一点，，将沿翻折到所在的平面，得，连接，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列命题中，是假命题的是（     ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 C. 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等 D. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 21．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在等边中，D是上一点，于点E，交的延长线于点F，，，则的长为　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，和都是等边三角形，连接和． （1）求证：； （2）延长交于点，连接，求的度数． 23．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，，，，，交于点P，若点C在上.    （1），求的度数； （2）连接，求证：. 24．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． （1）求证：； （2）求的长． 25．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为　　　　　　． 26．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为t s．当时，点P与点Q运动　　　　　　s后，可得到． 27．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的并写出的坐标； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 28．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，，则的长为　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）（1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：． （2）尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，若，求证：． （3）问题拓展：如图3，中，，点D，E分别在边上，，交于点H．若，求的长度． 31．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）如图，点P是内任意一点，，M，N分别是射线和上的动点，若周长的最小值为5，则的度数为　　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． （1）如图1，当点、、三点共线时．求证：； （2）如图2，当点、、三点不共线时，连接，在上取中点，连接、，求证：； （3）如图3，当点在射线上运动时（点与A不重合），连接，若，，且，直接写出的最小值． 33．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． （1）点P在上运动的过程中，当          时，与的面积相等；（直接写出答案） （2）点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； （3）若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度          （直接写出答案）． 34．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点．    （1）如图1，点D在的边上，连接，，且，延长，相交于点F，若，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，点D在的内部，连接，，，且，连接，，与相交于点P，若，求证：； （3）如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，直接写出四边形的面积． 35．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知为等边三角形．    （1）如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； （2）如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； （3）如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 36．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）若与关于轴成轴对称，则三个顶点坐标分别为______，______，______； （2）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标是______； （3）在轴正半轴上是否存在点使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． 37．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在三角形中，，，点为中点，点在延长线上，连接交于点，沿着翻折得到，其中．则　　　　　　，若，则　　　　　　． 38．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，是边长为2的等边三角形，D是的中点，F是线段上的动点，连接，以为边在的右侧作等边，连接，则　　　　　　　　；当取得最小值时　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）等边中，点分别是边上的点（不与端点重合），连接相交于点，且． （1）如图，求的度数； （2）如图，点分别是线段上的动点，连接相交于点，平分，平分，求证：； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上存在一点，当的值最小时，连接交于点，求的值． 40．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，等边中，点、分别在边、上，且． （1）求证：． （2）连接、交于点，过点作于点，若，，求的长． 41．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，是等边三角形，，，则　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，已知是等边三角形，边长，以点为直角顶点向右作等腰直角，连接．则点到所在直线的距离为　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）在等边中，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段（即且），连接． （1）如图，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求证：； （2）如图，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接．试探究与的数量关系如何？并证明你的猜想． 44．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，，点为的中点． （1）如图1，若，点为外一点，且，连接，过点作的垂线交于，交于点，交的延长线于点． ①猜想的度数，并证明你的猜想； ②连接（自己连），求证：． （2）如图2，若，点、分别是、上的动点，且，连接、，当最小时，求的度数． 45．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交于边上的点G，与交于点H，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法是　　　　　． 46．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）已知，是等边三角形，点D是所在平面内一点，连接、，点E在边上，连接，点F是射线上一点，连接、． （1）如图1，若点D在边左侧平面内，且点F与点E重合，，，，，H在边上，连接，当平分和时，求线段的长； （2）如图2，若点D在线段延长线上，过点C作交延长线于点H，当，且时，求证：； （3）如图3，若点D在射线上，点L、I是线段上两定点（均不与点B、C重合），连接、，满足．点M、R、S分别是线段、和上一点，连接、、．当的周长最小时，作点M关于的对称点N，连接，点P和点Q分别为射线、上一点，连接、，记．若，则当的值最小时，用含α的式子直接写出的度数． 47．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）在中，，、为线段、上一点（均不与端点重合），连接、交于点，连接，． （1）如图1，当时，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图2，在（1）的条件下，若，请证明：； （3）如图3，若，当是等腰三角形时，请直接写出此时的值． 48．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）已知等边，过点作的垂线交延长线于点． （1）如图1，点为内部一点，满足，为延长线上一点．且，连接、，求证：为等边三角形； （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点连接并延长，交于点，连接，若，求证：； （3）如图3，的面积为8，点为线段上一动点，连接、，将沿着直线翻折得到，连接、，当取得最小值时，请直接写出的面积． 49．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）等边中，点D为边上一动点，连接，与关于直线对称，连接． （1）如图1，点E恰好落在平分线上，则求                 °； （2）过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段、和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，，于点H，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 50．（八上·重庆川外基础教）如图，在中，，点为边上的动点，点为延长线上一点，连接． （1）如图1，若且，求线段的长度； （2）如图2，若且点为边上的中点，连接，求证：； （3）如图3，，点在运动过程中，当最小时，将绕点逆时针旋转角度得到，在旋转过程中，当直线与直线形成的夹角为时，延长、相交于点，在射线上取一点，连接、，使，请直接写出此时的度数． 51．（25-26学年八上·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中）已知，在中，，，E是边上一点． （1）如图1，点是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接．若，，求的面积； （2）如图2，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，连接．试探究线段，，之间的数量关系； （3）如图3，连接，为上一点，在的上方以为边作等边，刚好点是点关于直线的对称点，连接，当取最小值的条件下，点是直线上一点，连接，将沿所在直线翻折得到（与在同一平面内），连接，当取最小值时，请直接写出的值． 52．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）在等边中，点D是边上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，则，连接交于点F，交于点H． （1）如图1，当点为中点时，且，求点到直线的距离； （2）如图2，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，在内部有一个动点P，连接，，，若等边的高等于6，当的值最小时，直接写出此时线段的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．A 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．D 8．A 9．D 10．C 11．C 12．B 13．C 14．A 15．B 16．B 17．D 18．A 19．A 20．C 21．B 22．D 23．D 24．A 25．B 26．B 27．A 28．C 29．C 30．B 31．C 32．D 33．【答案】(度 【分析】 本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质求出，即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故答案为： 34．【答案】3 【分析】 通过轴对称可以知道S△BEF=S△CEF，阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半. 【详解】 解：∵△ABC关于直线AD成轴对称， ∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC， ∵E，F是AD上的两点， ∴△EFB与△EFC关于直线AD成轴对称， ∴S△BEF=S△CEF. ∵S△ABC=4×3÷2=6， ∴S阴影部分=S△ABC=3. 故答案为：3 【点睛】 本题考查了轴对称，三角形的面积. 35．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， 在和中 ， ∴；     （2）的度数为      【分析】 本题主要考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键； （1）首先推导出，进而利用证得，进而得证； 首先推导出，进而推导出，，由折 叠的性质得出，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵是沿折叠得到， ∴， ∴； 考点02 线段的垂直平分线 1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 11．C 12．B 13．A 14．D 15．B 16．A 17．D 18．【答案】（1） 如图：      （2）①90；② 三角形的内角和等于；③；④；⑤ 同位角相等，两直线平行      【分析】 本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：是边的垂直平分线， ． （三角形的内角和等于）； （等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 19．【答案】19 【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长， 故答案为：19． 20．【答案】（1） 如图所示，即为所求；         （2）①；②；③；④      【分析】 （1）根据线段垂直平分线和角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，，由角平分线的定义得到，再证明，即可证明，得到，即． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②；③；④． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 21．【答案】10 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．由垂直平分，可得，则可求出的周长为，把的值代入即可求出． 【详解】 解：垂直平分， ， 的周长为， ， ， 解得， 底边的长为． 故答案为：10． 22．【答案】13 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据是线段的垂直平分线，可得，，由三角形的周长可得的值，根据的周长为，由此即可求解． 【详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19， ∴， ∵的周长为， ∴， 故答案为： ． 23．【答案】56 【分析】 先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论． 【详解】 如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=68°． ∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线， ∴∠EAF=∠DAC=34°． ∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线， ∴∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°-34°=56°， ∴∠α=56°． 故答案为：56． 24．【答案】（1） 解：如图，，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】12 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】 解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 26．【答案】证明：∵在的垂直平分线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴． 【分析】 该题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．根据垂直平分线的性质得出，根据角平分线的性质得出，证明，即可解答． 【详解】 略 27．【答案】8 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题的应用，解题的关键是找出符合条件的点的位置．连接，根据垂直平分线的性质，可得，所以，当点在点处时，的值最小，最小值为的长，即可得到答案． 【详解】 解：连接， ∵垂直平分， ， ， 当点在点处时，的值最小，最小值为的长． 所以的最小值是8． 故答案为：8． 28．【答案】第一步：作图如下： 第二步：①；②；③；④ 过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 【分析】 本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出，即可解答． 【详解】 解：第一步：略 第二步：证明：， ． 在和中， ， ． ， 平分． 结论：同学们再进一步研究发现，从任意一个角的顶点出发，在其两边上分别截取等长的线段（自顶点起算）④ 过这两点分别作各自所在边的垂线，那么两垂线的交点与角的顶点连线是角平分线 29．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 30．【答案】8 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】 解：、分别为线段、的垂直平分线， ，， 的周长为8， ， ，即， 故答案为：8． 31．【答案】19 【分析】 根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】 解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 32．【答案】（1） 如图所示，      （2） ；；；．      【分析】 本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意作的垂直平分线，交于点，交于点，连接； （2）根据等边对等角可得，进而证明，结合公共边，即可证明，从而得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 33．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）；；；      【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由三线合一定理可得平分，则，由线段垂直平分线的性质得到，，则可证明，进而证明，再证明，得到，则可证明是等腰三角形． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴平分， ∴ ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 34．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）平分； ；；；．      【分析】 （）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （）由角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质即可补全填空； 本题考查作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握上述知识是解题关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 35．【答案】（1） 如图，即为所作；      （2） ；;．      【分析】 本题考查了基本作图——作垂线，全等三角形的判定与性质．熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． （1）利用基本作图，过点作的垂线即可； （2）证明，得到，同理可得，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】（1） 如图，点E，线段即为所求．      （2），，，      【分析】 本题考查作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形、作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：延长到点，使，连结， 在和中， ， ， ，． ， ∴， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 37．【答案】7 【分析】 本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为． 【详解】 解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长为． 故答案为：7． 38．【答案】（1） （2）证明：如图2，延长至点F，使得，连接，则， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）8 【分析】 本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，交于F，证明，则，，所以，根据线段垂直平分线的性质可得的长． 【详解】 解：（1）如图1，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）如图3，延长，交于F， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴． 39．【答案】（1） 如图所示： 高即为所求；     （2）在中，，；；     （3） 证明：， ， 在和中， ， ．      【分析】 本题考查尺规作图作垂线、三角形全等的判定与性质等知识，熟记尺规作图作垂线、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）以为圆心、为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心、适当长度为半径画弧交于点，作直线交边于点，即可得到答案； （2）由（1）的作图，结合求证：等腰三角形两腰上的高相等，写出已知与求证即可得到答案； （3）根据两个三角形全等的判定定理与性质求解即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：已知：在中，，， 求证：； 故答案为：在中，，；； (3) 小问详解： 略 40．【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2），，，      【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，连接两弧的交点形成的直线，与边、分别交于点、即可； （2）根据中垂线的性质，三线合一，平行线的判定和性质，进行作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵是的垂直平分线 ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，，． 41．【答案】（1） 如图所示：      （2）；；；      【分析】 本题考查了尺规作图，角平分线和线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）按照角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法，求解即可； （2）根据全等三角形的判定与性质，以及角平分线和线段垂直平分线的性质求证即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 42．【答案】（1） 如图所示，      （2） ①②③④ 对顶角相等      【分析】 本题考查尺规作图，三角形全等的判定与性质，角平分线性质定理； （1）先作的垂直平分线，再以的中点为圆心画圆交于一点即为所求； （2）根据角平分线上的点到角两边距离相等，判定，三角形全等性质，及对顶角相等直接补充即可得到答案； (1) 小问详解： 解：作的垂直平分线，再以的中点为圆心画圆交于一点即为点； (2) 小问详解： 略 43．【答案】（1）；     （2） 解：垂直平分．理由如下： ∵为的平分线， ∴平分．． 又∵于D，于F， ∴． ∴， ∴在与中 ∴． ∴． 又∵AE平分∠BAC．． ∴根据等腰三角形三线合一的性质得 垂直平分．      【分析】 本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用角平分线的性质和全等三角形的判定证明线段相等． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线性质得，结合，在中利用内角和求出． （2）先根据角平分线性质得，证明，得，再结合平分，根据等腰三角形三线合一性质，得出结论 (1) 小问详解： 解：∵，， ∴中． ∵为的平分线， ∴平分． ∴， ∵于D， ∴， ∴在中 ∴， (2) 小问详解： 略 44．【答案】40． 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是根据线段垂直平分线的性质得出线段相等． 先根据等腰三角形性质求出，再由周长求出；接着利用线段垂直平分线的性质得；最后将的周长转化为，从而计算出结果． 【详解】 解：∵等腰的腰， ∴，2分 ∵等腰的周长是65， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴的周长 ． 45．【答案】（1） 解：如图：直线即为所求．      （2）①；②；③ASA；④；⑤      【分析】 本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质推理即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 46．【答案】（1） 解：作图如下：      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质； （1）以B为圆心长为半径画弧与交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交，连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点，此时； （2）①为两个角互余，②为同角的余角相等，③是三角形全等的判定条件，④是由全等三角形的性质得出的对应边相等. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 47．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识点，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两端点距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式推出，再由求得的长，进而得到的长即可． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 48．【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ；     （2）      【分析】 本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的周长为， ， ， ， ，， ． 49．【答案】（1） 解如图所示，即为所求：      （2）①；②角平分线上的点到角两边的距离相等或角平分线的性质；③；④等量代换；⑤      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 50．【答案】（1）见解析；     （2）见解析．      【分析】 （1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明，从而得出结论． (1) 小问详解： 解：如图，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于两点，过交点作直线，交于点，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，连接． (2) 小问详解： 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． ∵在中，， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】 本题考查作已知线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 51．【答案】（1） 如图：      （2）①；②；③；④；⑤．      【分析】 本题主要考查垂直平分线性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质，掌握“垂直平分线到线段两端距离相等”和“全等三角形对应边相等”是解题的关键．本题通过尺规作图构造的垂直平分线，利用垂直平分线性质、等腰三角形性质、直角三角形内角和及全等三角形判定与性质，逐步推导结论；核心是通过构造相等线段和全等三角形，将角所对的直角边与斜边建立联系． (1) 小问详解： 分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线 (2) 小问详解： 略 52．【答案】（1） 解：如图所示，      （2），，，      【分析】 本题考查了作垂线，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据角平分线的性质得到，再证明，得到，根据三线合一进而证明是线段的垂直平分线． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：是的平分线， ． 又， 在和中，    又平分， ． 垂直平分． 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．B 3．B 4．B 5．A 6．C 7．C 8．A 9．B 10．【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标为，从而得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可． 【详解】 解：点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解此类问题的关键，根据关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，即可求得答案． 【详解】 解：∵点，关于y轴对称， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 根据“关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”作答即可． 【详解】 点关于y轴的对称点是， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称，准确计算是解题的关键． 根据点关于x轴的对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可解答． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求得，的值，代入式子即可解答．本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，熟练掌握“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称， ，， ． 故答案为：． 16．【答案】3 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 根据点与点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】 点与点关于x轴对称， 纵坐标互为相反数， ， ． 17．【答案】（1） 如图所示即为所求      （2）8.5      【分析】 （1）直接利用关于直线对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用△ABC所在矩形面积减去周围多余直角三角形的面积进而得出答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为． 【点睛】 此题主要考查了轴对称变换、网格中三角形面积求法，正确找出对应点位置是解题关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查直角坐标系中点的特征，整式的计算，熟练掌握坐标系中点的特征与整体代入是解题的关键，根据关于x轴对称的点坐标特征得到，再利用整体代入即可求出的值． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，即， ∴ 故答案为：12． 19．【答案】 【分析】 此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得出答案． 【详解】 解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为： 20．【答案】 【分析】 本题考查点坐标与轴对称变换、点坐标与平移变换，先根据关于y轴对称的点的坐标特征求出点的坐标，再根据向右平移的坐标变化规律求出点的坐标． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点为， ∴ ， ∵将点向右平移2个单位长度得到点 ， ∴ ，即， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横坐标和纵坐标的符号是解题关键，关于轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【详解】 解：点关于轴对称时，横坐标保持不变，纵坐标变为其相反数，因此对称点的坐标为． 故答案为：． 22．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）4     （3）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）由点C的坐标可知，点C到x轴的距离为4； （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点到x轴的距离为4， 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：的面积为． 23．【答案】1 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出和的值，进而计算代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 24．【答案】（1） 如图所示，即为所求．      （2） 如图所示，即为所求． 【分析】 本题主要考查作图—坐标与轴对称变换，（1）根据三个点的坐标描点、连接即可； （2）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）；     （3）7．      【分析】 本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，点C关于直线m的对称点的坐标为； (3) 小问详解： 的面积为． 26．【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为；      （2）如图，点P即为所求；     （3）或      【分析】 本题考查坐标与图形—轴对称变换，熟练掌握轴对称性质是解答的关键． （1）根据轴对称的性质得到对应点，再顺次连接即可画图； （2）问题转化为求的最小值，作C关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求； （3）先由割补法求得，再根据求得，进而可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 27．【答案】（1） 如下图：    ，，     （2）      【分析】 本题考查轴对称变换，熟练掌握点关于轴对称的坐标变换规律是解题的关键. （1）根据点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到，，三点的坐标，在平面直角坐标系中画出即可； （2）构造一个以，，三点所在的长方形，利用长方形面积减去三个直角三角形的面积，得到的面积即可. (1) 小问详解： 解：根据题意得，与关于轴对称，，，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解： 如图可知，，，， 的面积为： 答：的面积为. 28．【答案】 【分析】 本题考查了坐标变换中的轴对称，掌握关于轴对称点的坐标变换规律是解题的关键． 两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此进行计算求解即可． 【详解】 解：点与点关于轴对称， 则，， 因此的值为：， 故答案为：． 29．【答案】 【分析】 此题考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据“关于x轴对称的点的坐标：横坐标相等，纵坐标互为相反数”求得，，再代入求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 30．【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，，     （2）      【分析】 此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 31．【答案】6 【分析】 本题主要考查关于轴对称的点的坐标特征、代数式求值等知识点，掌握关于轴对称的两点的横坐标相等、纵坐标互为相反数是解题的关键． 先根据关于轴对称的点的坐标特征求得m、n的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 32．【答案】（1） 解：作图如图 ∴为所作的图形．     （2） 作图如图 ∴为所作的图形，． 故答案为：．     （3）3      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的点表示，画轴对称图形，网格中求三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）先描出点，，，再依次连线成三角形即可； （2）分别确定，，关于y轴的对称点，再依次连线成三角形即可； （3）用大三角形的面积减去下方两个小三角形的面积与长方形的面积，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图 ． 故答案为：3． 33．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3），      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握关于轴，轴对称的点的特征，是解题的关键； （1）找点，描点，连线画出即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标即可； （3）根据关于轴，轴对称的点的特征进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由图可知：； (3) 小问详解： 由题意，点关于y轴对称的点的坐标为，关于x轴对称的点的坐标为． 34．【答案】（1）点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是；     （2）5；     （3） 如图：即为所求． 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系、根据割补法求三角形的面积、作轴对称图形等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接读出点A、B、C的坐标即可； （2）根据正方形面积减去三个三角形的面积即可解答； （3）先分别作点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接即可． (1) 小问详解： 解：由直角坐标系可得：点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． (2) 小问详解： 解：由题意可得：． (3) 小问详解： 略 35．【答案】（1） 如图所示和为所求：      （2）点P的坐标为或      【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及利用三角形面积公式求点的坐标． （1）先确定各顶点的位置，并依次在坐标系中连接即可，再找出各顶点关于x轴的对称点，根据关于x轴对称的点的坐标特征可知，横坐标不变，纵坐标互为相反数，找到对称点后并依次连接即可得到； （2）分① 当点P位于x轴正半轴和① 当点P位于x轴负半轴两种情况，设点P坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知， ① 当点P位于x轴正半轴时， 设点P坐标为， ∴， ∴，即， 解得， ∴点P坐标为； ② 当点P位于x轴负半轴时， 设点P坐标为， ∴， ∴，即， 解得， ∴点P坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 36．【答案】（1）图见解析；；     （2）7     （3）或      【分析】 本题主要考查作图﹣轴对称变换、坐标与图形、三角形的面积、绝对值方程等知识，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点关于y轴对称的点，然后顺次连接即可完成作图，再直接读出点的坐标即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设点P的坐标为，根据题意可列绝对值方程为，求出a的值，即可确定点P的坐标． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求． 由图可得，． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ∵的面积为8， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 37．【答案】（1） 如图所示，即为所求：      （2） 如图所示，即为所求：      （3）2.5      【分析】 考查知识点坐标平移、x轴对称坐标特征、割补法求面积．方法：坐标变换法、割补法．关键：准确变换坐标；割补法转化面积．易错点：坐标变换方向错；割补面积计算错． （1）画：得顶点坐标，右移6、下移6变换坐标，连接顶点． （2）画：取顶点纵坐标相反数，连接顶点． （3）求面积：用矩形面积减周围直角三角形面积，得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：将放在边长为2的矩形内，矩形面积为； 即的面积为2.5． 38．【答案】（1）如图，即为所求． ；     （2）5；     （3）或．      【分析】 本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）过点B作的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标；延长BC至点，使，过点作AC的平行线，交x轴于点，此时，可得点的坐标，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由图可得，点的坐标为 故答案为： (2) 小问详解： 解：的面积为 (3) 小问详解： 解：过点B作的平行线，交x轴于点， 此时（平行线之间距离处处相等，两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为； 延长至点，使，过点作的平行线，交x轴于点，即， 过点作的平行线，交过点作的平行线点，即， 故，且， 即点到的距离点到的距离（平行线之间距离处处相等）， 此时（两个三角形等高同底，故它们面积相等）， 由图可得，点的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 故答案为：或 39．【答案】（1）     （2） 如下图：      （3）或      【分析】 本题考查作图平移变换、翻折变换（折叠问题），熟练掌握平移的性质、翻折的性质是解答本题的关键． （1）利用割补法即可解答； （2）利用平移的性质和对称的性质，画出图形即可； （3）利用分类讨论的思想，即点在线段左边时或点在线段右边时，解方程即可解答． (1) 小问详解： 解：的面积为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在，如下： 由题意可得，， ， 设， 当点在线段左边时，， 的面积为， 解得； 当点在线段右边时，， 的面积为， 解得， 或． 40．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）9     （3） 如图，点即为所求．      【分析】 本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，轴对称-最短路径问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可得到，即可写出的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则，再由两点之间线段最短即可说理． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为； (3) 小问详解： 略 41．【答案】（1）0，；3，；1，     （2）或      【分析】 本题主要考查轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意，确定的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可． (1) 小问详解： 根据题意，确定的位置如图所示，然后顺次连接，即为所求； ，，， 故答案为：0，；3，；1，； (2) 小问详解： 如图2， 取，连接， 为小正方形的对角线， ； 取，连接， 由图得，， ； 点的坐标为或． 42．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）     （3）或      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）分割法求出三角形的面积即可； （3）根据关于轴对称的点的特征，求出点坐标，根据两点间距离公式，列出方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 由题意，点坐标为， ∴， 解得或， ∴或． 43．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求，      （3）      【分析】 本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）找点，描点，连线，画出即可； （2）根据轴对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （3）利用网格求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的面积是． 44．【答案】（1） 如图，即为所求； 、、；     （2）12      【分析】 本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）通过对称点的坐标求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图， 根据轴对称的性质，找出点、的对称点、， ∴，， 四边形是等腰梯形， ∴四边形的面积为． 45．【答案】（1） 如图：即为所求.      （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了作图-轴对称变换、三角形面积等知识点，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点确定的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）根据各点在坐标系中的位置写出点的坐标即可； （3）根据进行解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图： ． 故答案为：． 46．【答案】（1） 如图所示： ，，     （2）点的坐标为      【分析】 本题主要考查了作轴对称图形、坐标与图形、平面直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先作出点、、关于轴的对称点，然后再顺次连接即可，根据坐标系直接写出的坐标即可； （2）过点作轴的垂线，垂足分别为，根据，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：作出点、、关于轴的对称点顺次连接， 则即为所求作的三角形， 三点的坐标分别为：，，． (2) 小问详解： 解：如图， 过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴，，，，， ∴， ∵点为轴上一点，坐标为，，的面积为10， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 47．【答案】（1） 如图，即为所求；,   ,         （2）3     （3），，      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来画出对称图形，直接写出对应点坐标即可； （2）利用网格即可求出的面积； （3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： (3) 小问详解： 解：要使与全等，则或或或， 观察图形可知，不同于点的格点的坐标是或或． 48．【答案】（1） ,如图所示：      （2）     （3）,,      【分析】 本题考查网格中的对称图形，熟练掌握网格中的对称图形的性质是解题的关键， （1）根据点的坐标即可画出，再利用关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标相反，得到的坐标，从而得到； （2）由（1）中点的坐标可得，，再利用三角形的面积公式即可得到答案； （3）欲求与全等，已知，即可得到点的位置与点关于对称或与的垂直平分线对称，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题可得: ， ∵与关于轴对称， ∴,,, (2) 小问详解： 解：由（1）知，，，则如图所示： ∴． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴点的位置如图所示： ∴点的位置,,． 49．【答案】（1）A1（-3，4），B1（-1，2），C1（-5，1）， 如图所示三角形A1B1C1即为所求； （2）5； （3）如图所示： 【分析】 （1）根据题意画出对应的三角形A1B1C1，并求出三个顶点的坐标即可； （2）根据三角形ABC的面积等于其所在的矩形面积减去周围的几个三角形的面积即可求解； （3）找到C关于x轴的对称点，连接与x轴交于P，即为所求. 【详解】 解：（1）A1（-3，4），B1（-1，2），C1（-5，1）. （2）； （3）找到C关于x轴的对称点，连接与x轴交于P，即为所求. 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，画轴对称图形和最短路径问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 50．【答案】10：51 【分析】根据镜面对称原理,左右颠倒,上下不变即可解题. 【详解】根据镜面对称原理,物体的像与物体本身上下不变,左右颠倒可知,12：01对称之后为10：51. 【点睛】本题考查了镜面对称,属于简单题,熟悉镜面对称的原理是解题关键. 51．【答案】（1） 及如图所示；      （2）10     （3）或或      【分析】 本题考查了平面直角坐标系中描点，作关于坐标轴对称的图形，三角形全等的性质； （1）先描点，再依次连接、、三点即可得到，作出、、关于轴的对称点、、，依次连接即可得到； （2）由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况：；，即可求得点D的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， 故答案为：10； (3) 小问详解： 解：如图，，，， 故答案为：或或． 考点04 等腰三角形 1．D 2．D 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A 13．B 14．D 15．B 16．D 17．D 18．B 19．A 20．B 21．D 22．C 23．B 24．C 25．C 26．C 27．A 28．D 29．ABD 30．C 31．B 32．D 33．D 34．【答案】F度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．根据等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的两个底角相等， 顶角是40°， 它的底角为 ． 故答案为： ． 35．【答案】（1） 证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形；     （2） 证明：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】 【分析】 题目主要考查了等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．先根据，得，则，结合三角形内角和性质以及，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 37．【答案】（1） 解：即为所求作的的平分线，如图所示：         （2）；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行      【分析】 （1）先以点D为圆心，任意长为半径画弧，与、交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接D与该点，交与点E，即可得出的平分线； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，证明，根据平行线的判定得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，理由如下： ∵（已知）， ∴（等边对等角）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；等边对等角；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】 本题主要考查了作一个角的平分线，平行线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行． 38．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论． 根据等腰三角形的性质分类讨论即可． 【详解】 解：① 当是底角时，则答案为：； ② 当是顶角时，底角为：； 所以底角的度数为或． 故答案为：或． 39．【答案】（1）如图所示，图形即为所求： （2）①；②；③；④ 【分析】 本题考查了尺规作图，等边对等角，全等三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，根据垂直的定义得到，结合证出，即可完成证明． 【详解】 （1）略 （2）略 40．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】 解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 41．【答案】 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 42．【答案】80 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等边对等角得到，则可求出，再由三角形内角和定理可推出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 43．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的定义、等边对等角及垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，根据垂直平分线的性质得到，可得，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理可求得的度数． 【详解】 解：点D在的垂直平分线上， ， ． 平分， ， ． ， 在中， ， ， ， ． 44．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键． 首先根据三角形的内角和定理求出的度数，等腰三角形的性质得出，再根据三角形的外角性质求出的度数即可． 【详解】 解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 45．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，，可得证明即可求证． 【详解】 略 46．【答案】8 【分析】 本题考查的是轴对称—最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再由等腰三角形的性质，可求出的长，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即当点A，M，D三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵的面积是24， ∴， ∴， 即的最小值为8． 故答案为：8 47．【答案】8 【分析】 连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长． 【详解】 解：如图，连接AI，BI， ∵点I为△ABC角平分线交点， ∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI， ∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， ∴DI∥AC，EI∥BC， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB， ∴DA＝DI，EB＝EI， ∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8． 【点睛】 此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于作辅助线 48．【答案】（1）图形见解答     （2）∠EAD，DB，∠C，BD      【分析】 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据证明，推出，，再证明，可得结论． (1) 小问详解： 解：图形如图所示： (2) 小问详解： ，理由如下： ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 49．【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①； ②．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 （1）证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）① 结合三角形外角的性质及全等三角形的性质求出，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可求出答案； ② 证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】 （1）略 （2）① 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； ② 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 50．【答案】（1）     （2） 证明：过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质和等边对等角得到，然后根据三角形的外角性质求解即可； （2）过点A作于点H，过点B作交的延长线于点J，先证明得到，再根据含30度角的直角三角形的性质推导出，即，进而利用线段垂直平分线的性质可得结论． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 51．【答案】12 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握角平分线的点到两边距离相等是解题的关键． 由角平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，即，然后再根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】 解：∵平分交于点，，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：12． 52．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，连接，根据三角形的面积可得，根据等腰三角形的面积可得，即可求解，作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： ∵ ， ， ∵是等腰三角形， ∴， 又∵的面积为12， ∴， ∴， 故答案为：． 53．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ．     （2）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明； （2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ，， 又， ， ． 54．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴(ASA)；     （2）      【分析】 （1）证明，再结合已知条件和直角相等即可得到答案； （2）根据得到,得出，再根据即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 55．【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到线段两端的距离相等）． ∵在与中， ∴ ∴， ∴是等腰三角形．     （2） 证明：∵，， ∴． ∴在与中， ∴， ∴，， ∴点，点在线段的垂直平分线上． ∵两确定一条直线， ∴垂直平分．      【分析】 本题考查三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是用角平分线和双垂直模型，找到合适的全等三角形去推出自己想要的条件；本题的易错点在于找全等关系时需要找对判定条件，不要混淆． （1）利用角平分线和双垂直模型，利用角平分线上的点到线段两端距离相等，找到，从而再找条件得到，，得到等腰三角形； （2）根据，找到，，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，点，点在线段的垂直平分线上，即可得垂直平分； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 56．【答案】（1） 证明：∵，D为延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形等边对等角． （1）利用即可得证； （2）由全等三角形对应角相等得到，利用外角的性质求出的度数，即可确定出的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中，，， ， 由（1）得：， ， 为的外角， ， ． 57．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质．根据三线合一可得是边上的中线，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 58．【答案】 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则可推出当三点共线时的周长有最小值，根据三线合一定理和等边对等角得到，求出的度数，再由等边对等角得到的度数，进而由三角形外角的性质可得答案． 【详解】 解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵点是的中点， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 59．【答案】（1）证明：如图所示，设， ， ， ， ，， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，由已知，可得，推出，利用、，判定，即可求证； （2）由（1）中，可得，根据等腰三角形的顶角，可得底角，由，可得，求出，即可求的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ， ，， ， ， ， ， ． 60．【答案】（1） 证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，即可得出结论； （2）连接并延长交于G，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接并延长交于G， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 61．【答案】（1） 证明：与均为等腰直角三角形， ，，， 又， ， 在与中， ， ， ；     （2） 证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，， ， ， ， ，，， 点在的平分线上， 平分．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理是解题的关键． （1）由等腰直角三角形性质得，，，由此可得，利用“”证明即可求解； （2）过点分别作于点，于点，由得到两三角形面积相等，结合，得到，再根据角平分线的判定定理即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 62．【答案】（1）     （2）能得到，或      【分析】 本题考查等边三角形的性质、行程问题中的相遇关系以及等腰三角形的性质，解题关键是根据路程差或等腰三角形两腰相等的性质，分情况建立方程求解． （1）根据行程追及问题，设运动时间，利用比多走的长度列方程求解第一次相遇时间． （2）分、在不同边上的情况，依据等腰三角形的性质，结合等边三角形特点列方程求解． (1) 小问详解： 设M、运动秒后，、两点重合， 则， 解得： 即当、运动秒时，追上 (2) 小问详解： 设M、运动秒后，可得到以为底边得等腰三角形 当点在上，点在上时，如图1 当时，是等边三角形， 解得： 当点在边上运动时，如图2， 由（1）知秒时两点重合，恰好在处， 是等边三角形 在和中 ， 解得： 综上，当运动2秒或者秒是，能得到以为底的等腰三角形． 63．【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、三角形的内角和定理，关键是全等三角形的论证； （1）根据等边对等角可得，结合，可得，进而得出，结论可证； （2）根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】 （1）略 （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ． 64．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，关键是掌握等腰三角形的轴对称性，点到直线上点的距离，垂线段最短，是解题的关键：根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合点到直线的距离垂线段最短过作边的垂线与，交点即为最小距离和点，即可得到答案； 【详解】 解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴过作边的垂线与交于点，与交于点，此时为最小距离和， ， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 65．【答案】（1） 如图所示即为所求．      （2）①；②；③；④      【分析】 此题考查了基本作图、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，证明是关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）证明即可证明结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 66．【答案】① 7    ② 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及最短路径问题，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质将转化为，进而结合等腰三角形的性质求解． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质将转化为，结合等腰三角形三线合一求出和的长度，进而在当、、在同一直线上时，求出周长的最小值； （2）根据等腰三角形的性质和直角三角形两个锐角互余，结合角的关系求出的度数． 【详解】 解：如图，连接， ∵点D是的中点，， ，， ∵， ， ， ∵垂直平分， ， ， 当、、在同一直线上时， 最小，最小值为， ∴周长最小值； ∵，点是边的中点， ， ， ， ∵， ， 在中，， 故答案为：7；． 67．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定及性质． （1）先由含的直角三角形的性质得到，再由勾股定理求出，得到，再根据角的和差即可求解； （2）根据中线得到，再根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵是中线， ∴， ∴在中，． 68．【答案】32° 【分析】 由等腰三角形的三线合一定理，得，然后求出∠ACB，即可求出的度数． 【详解】 解：根据题意， ∵是的中线，， ∴△ABC是等腰三角形， ∴AD平分， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴； 故答案为：32°． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确求出． 69．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】 解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， 故答案为：． 70．【答案】① ② ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先根据三线合一定理得到，进而可证明是等腰直角三角形，得到，同理可得，据此可判断①；利用即可证明，据此可判断②；由全等三角形的性质得到，；由三角形中线平分三角形面积得到，， 过点D作于H，则，，，可证明与不一定相等，据此可判断③；如图所示，延长到T使得，连接，证明，得到，进而证明，得到，则，据此可判断④． 【详解】 解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证明是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且，故① 正确； ∵是等腰直角三角形，且为直角顶点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴，； ∵， ∴， ∵， ∴， 过点D作于H，则， ∴， ∵为定长，而的长是变化的， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； 如图所示，延长到T使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； 故答案为：① ② ④． 71．【答案】（1）     （2） 解：当时，；理由如下： ∵，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴（）；     （3）存在，或      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）当时，与全等，理由为：根据，且度数，求出与度数，再由外角性质得到，根据，利用即可得证； （3）点在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求出夹角的大小即可． 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：存在是等腰三角形；理由如下： ∵是等腰三角形， ，， ① 当时， ∴， 即， ∴； ② 当时，是等腰三角形， ∴，即， ∴； ③ 当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 即， ∴， 此时点与点重合，点和重合， ∵点不与，重合， ∴，舍去， 综合所述，存在是等腰三角形；或． 72．【答案】（1） 如图：      （2），，     （3）3      【分析】 本题考查轴对称变换，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称图形和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据轴对称图形的变换得到，，，依次连接即可得到； （2）由（1）即可得到答案； （3）分3种情况讨论，当时，当时，当时，即可确定点D的个数． (1) 小问详解： 解：∵、、， ∴它们关于y轴对称的点分别为：，，， 依次连接可得； (2) 小问详解： 解：由（1）得：，，． (3) 小问详解： 解：∵点D是x轴上的一点，且为等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴有2个交点； 当时，以点为圆心，为半径画圆交x轴无交点； 当时，作的垂直平分线，与x轴有1个交点， 综上所述：能使为等腰三角形的点D有3个． 故答案为：3． 73．【答案】（1）     （2） 证明：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点和点关于对称， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ．     （3）      【分析】 本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识； （1）可得出，进一步得出结果； （2）根据是等腰直角三角形，得出，根据点和点关于对称，得出，，则，证明，从而推出； （3）证明，推出，得出，根据，得出，求出，进一步得出结果． (1) 小问详解： 解：， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵ ∴， ， ， ， ， ， ， ． 74．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵在与中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）根据得到，根据得到，根据得到，即可得到证明； （2）根据，得到，从而得到，结合即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 75．【答案】（1）16     （2）的度数为．      【分析】 本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理． （1）根据垂直平分线的性质可得，根据三角形的周长公式可即可求解； （2）根据等边对等角求得，，根据，求得，据此计算即可求解； (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 76．【答案】72 【详解】 试题解析：连接OC， 设∠OCE=x°， 由折叠的性质可得：OE=CE， ∴∠COE=∠OCE=x°， ∵三角形三边的垂直平分线的交于点O， ∴OB=OC，且O是△ABC外接圆的圆心， ∴∠OBC=∠OCE=x°，∠BOC=2∠A， ∵∠OEB=∠OCE+∠COE=2x°，BE=BO， ∴∠BOE=∠OEB=2x°， ∵△OBE中，∠OBC+∠BOE+∠OEB=180°， ∴x+2x+2x=180， 解得：x=36， ∴∠OBC=∠OCE=36°， ∵BE=BO ∴∠BOE= . 77．【答案】（1） 证明：如图，在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴． 在与中 ∴． ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴． ∴．     （2）40．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中线平分面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）在上取一点F，使，连接，证明，则．而，，故，则，那么； （2）可求，由三线合一性质得． 则．而，故，那么． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵于点， ∴． 由（1）得， 又∵于E， ∴由三线合一得． ∴． 又由（1）得， ∴ ∴ ． 78．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据角平分线的定义以及等边对等角可得，根据已知得出，进而根据，证明，根据全等三角的性质，即可得证； （2）根据已知得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ 79．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．      （2） 证明：延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 （1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）延长到点，使得，连接；根据，，，得，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． 80．【答案】70或20 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：① 当为锐角三角形时，如图1， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为； ∴底角为， ② 当为钝角三角形时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴三角形的顶角为， ∴底角为 故答案为：70或20． 81．【答案】（1） 证明：设， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形；     （2） 证明：过点作交的延长线于点， ∴，． ∵平分， ， ∴， ， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴．      【分析】 （1）通过设，利用角平分线性质、垂直的性质以及三角形内角和定理，推导出与相等，进而证明，得出为等腰三角形． （2）过点作交延长线于，利用平行线性质、角平分线性质以及等腰三角形的判定与性质，结合垂直的性质，推导出且，从而得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 82．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边对等角是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，再证明，即可证明，得到； （2）由等边对等角可得，设，则，，再根据建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解；∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 83．【答案】F度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由全等的性质可知，，，根据，计算求解即可． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 84．【答案】3.5 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，延长交于点F，由角平分线的定义可得，再证明得出，，求出，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：延长交于点F，如图，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴， 答案：3.5． 85．【答案】（1）      （2）① ，② ，③ ，④ ，全等三角形，对应边相等⑤      【分析】 本题考查尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线．熟练掌握基本尺规作图，全等三角形的判定与性质，是解题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． (1) 小问详解： 作法： 在直线的另一侧取点N，以点D为圆心，以长为半径画弧，交于G，H两点， 分别以点G，H为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点M， 作射线交于点F． (2) 小问详解： 略 86．【答案】（1） 如图：      （2）；；；      【分析】 本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等角对等边． （1）根据角平分线的作图方法作图可得的角平分线，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可； （2）根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，结合题目上下步骤的逻辑关系填空即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：平分， ， 在与中 ， ， ，， ，且， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；；；. 87．【答案】（1） 解：如图即为所求．      （2）①；②；③；④．      【分析】 本题主要考查了尺规作图-作垂线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）根据尺规作图作垂线即可； （2）先根据等腰三角形的性质、角的和差可得，再证明结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 在和中， ∴． 88．【答案】①     ② 或 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，度角的性质． 依据题意，根据垂线段最短，可得当时，最短，结合，，则，从而可得；又由，可得，再根据为等腰三角形，进而分类讨论计算可以得解． 【详解】 解：由题意，根据垂线段最短， ∵P为线段上一动点， ∴当时，最短． 如图，此时， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 当为等腰三角形时， 可分三种情况讨论． ①， ∴， ∴； ②， ∴； ③， ∴， ∴，不合题意，舍去； 综上，或． 故答案为：；或． 89．【答案】（1）     （2） 证明：如图2，延长到点，使，连接， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ．     （3）点A到的距离是      【分析】 （1）由，，，得，由，得，则，所以． （2）延长到点，使，连接，可证明，得，，所以，，可证明，进而证明，得，因为，所以． （3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，则，作交的延长线于点，可求得，，，于是得，求得，则点到的距离是． (1) 小问详解： 解：如图1，，，， ， 点、、三点共线， ， ，， ， ， ， 的度数是． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：点到的距离是， 理由：如图3，延长到点，使，连接，则， 点是线段的中点， ， ， ， ， 由（2）得， ， ， 过点A作交的延长线于点， ，，，，， ，，， ， ， 解得， 点到的距离是． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 90．【答案】① .6    ② 15 【分析】 本题考查垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确地添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，则，再根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】 解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∴， ∴； 故答案为：，． 91．【答案】（1）     （2） 证明：如图， 由（1）知、 在上截取，连接，则， 、、 、 、 ；     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得，； （2）在上截取，连接，则，证得，是等边三角形，进而证得； （3）根据、证得、，进而证得，当、、三点共线时，，取得最大值， 延长、交于点，证得，进而证得． (1) 小问详解： 解：平分 、 、 ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的值为，理由如下： 、 、 、 、 当、、三点共线时，，取得最大值 延长、交于点， 、 、、 ． 92．【答案】①     ② 【分析】 由等腰三角形的“三线合一”得到，，由垂直平分线的性质得到，进而根据“等边对等角”得到，因此，从而在中即可求出．过点F作，交的延长线于点G，则．在等腰中求出底角，在中求出，即可得到，进而求出，因此，即可证明，得到，，从而在中根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵，，，是边上的高， ∴，， ∵垂直平分边， ∴， ∴， ∴， ∵是高， ∴在中，， ∴． 过点F作，交的延长线于点G， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴， ， ∵垂直平分边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：；． 【点睛】 本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 93．【答案】 【分析】 本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，同时还考查了等腰三角形的性质定理，等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”，学会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 本题中，先过点作，交于，利用证明得到的值，并利用等腰三角形的性质得到的值，最后求得的值． 【详解】 解：过点作，交于，如图， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 94．【答案】 【分析】 本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．三角形的内角和定理求出，垂直平分线的性质结合等边对等角以及三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数，再根据平角的定义进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵、分别在、的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 95．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求解； （2）通过构造等边三角形和全等三角形来探究线段之间的数量关系； （3）利用全等三角形将线段进行转换，根据两点之间线段最短确定最小值. (1) 小问详解： 解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：点到的距离是； (2) 小问详解： 答：，理由如下： 延长至点，使得，连接， 由（1）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， 即：； (3) 小问详解： 解：作，，连接， ∴ 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，是等腰三角形，则， ∵≌， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，关键是知识点的灵活应用. 96．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等底同高的三角形是解题的关键，延长交于点，由题可得，易证，得到，进而得到，，所以得到． 【详解】 解：延长交于点，如图： ∵平分，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 97．【答案】（1）16； （2）； （3）12 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形中线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质并正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质证明 ， ，，通过证明，得出，即可求解； （2）连接，过点作，交于点，利用等腰三角形的性质得出 ， ，，证明，是等边三角形，证明，再证，得出，再利用线段的和差证明； （3）在上截取，连接，先得出，证明，得出，，证明是等边三角形，,得,，再利用含角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】 解：（1）∵，，为的中点， ∴ ， ，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）连接，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵，，为的中点， ∴ ， ，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 98．【答案】9 【分析】 本题考查等腰三角形性质及垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到连接交点即为最小距离和，再结合等腰三角形底边三线合一求解即可得到答案； 【详解】 解：∵直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∴连接交于一点即为最小距离和点， ∵，点为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 99．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质求线段和的最值问题，含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理以及等边对等角；作关于的对称点，连接，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，得出，当重合时取得等号，则，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】 解：如图，作关于的对称点，连接，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，    ∴，当重合时取得等于号， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴的面积是 故答案为：． 100．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角的性质，平行线的性质；证明，根据，即可求解． 【详解】 解：设 依题意，， ∴ ∵ ∴， ∴，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 101．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点的坐标为或      【分析】 （1）求出，从而可得，由此即可得； （2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）分两种情况：① 点在轴的正半轴上；② 点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：如图1，设与交于点， ∵，， ∵，，， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为． (3) 小问详解： 解：存在，求解过程如下： ∵点在轴上， ∴分以下两种情况： ① 当点在轴的正半轴上时， 如图2，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． ② 当点在轴的负半轴上时， 如图3，过点作轴于点， 同理可证：，， ∴， ∴点的坐标为． 综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或． 【点睛】 本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 102．【答案】(1) B(0，4)； (2)证明：延长BC，AE交于点F． ∵AC=BC，AC⊥BC，∴∠BAC=∠ABC=45°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠ABC=22.5°，∠DAE=90°﹣∠ABD﹣∠BAC=22.5°， ∴∠DAE=∠CBD=∠CAF． 在△ACF和△BCD中， ∵ ， ∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF=BD， 在△ABE和△FBE中， ∵ ， ∴△ABE≌△FBE（ASA）， ∴AE=EF， ∴BD=2AE． 【分析】 （1）过点A作AD⊥OC，可证△ADC≌△COB，根据全等三角形对应边相等即可解题； （2）延长BC，AE交于点F，可证△ACF≌△BCD，△ABE≌△FBE，即可求得BD=2AE． 【详解】 （1）过点A作AD垂直OC于D． ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠BCD=∠DAC． 在△ADC和△COB中， ∵ ， ∴△ADC≌△COB（AAS）， ∴AD=OC，CD=OB． ∵A（-2，-2），C（2，0）， ∴OD=2，OC=2， ∴OB=CD=2+2=4， ∴点B坐标为（0，4）； （2）略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并证明其全等是解题的关键． 103．【答案】（1）2；     （2） 证明：如图2，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质代入计算即可； （2）如图2，过点E作，由垂直得结合已知证，得到，，再证得，利用角所对的直角边等于斜边的一半换算即可； （3）当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N，由，设则，解出，分别，，利用全等的性质求出，最后利用三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点D在延长线上时，如图，交的延长线于N， ∵， ∴设则， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， 又∵,， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 104．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质及利用三角形面积求线段长度．过点D作交的延长线于点G，利用三角形内角和定理得出，再由旋转的性质可知，证明，得到，，通过，，得出为等腰直角三角形，进而得出，则，再证明，此时点F为，中点，设，则，利用得出相关线段的表达式，最后列出方程求解x的值，即可得出的长度． 【详解】 解：如图，过点D作交的延长线于点G，    ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ，，即点F为，中点， ∵， ∴设，则， ∴，，，则，， ∵， ∴， ∴，解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 105．【答案】（1）     （2） 证明：如图，在上取，连接，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）过点D作交的延长线于点E，根据等边三角形的性质求出，再根据等腰直角三角形求出，根据含角的直角三角形的性质求出即可； （2）在上取，连接，，证明，得，然后得证结论即可； （3）过点A作，且，连接，再过点C作于点E，证明，得，得出，得出当C、M、P三点共线时，最小，然后根据已知条件求出相关线段，最终求出此时和的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图，过点D作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 即点D到边的距离为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点A作，且，连接，再过点C作于点E， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当C、M、P三点共线时，最小， 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点M作于点O， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，解得， ∴， ， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形的综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键． 考点05 等边三角形 1．D 2．B 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 9．D 10．C 11．A 12．C 13．C 14．B 15．D 16．D 17．C 18．A 19．B 20．C 21．【答案】6 【分析】 此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识． 作交于点G，可由是等边三角形，推导出是等边三角形，设，则，再证明，则，，所以，，则，由，，得，据此求解得到问题的答案． 【详解】 解：作交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 设， ∵交的延长线于点F，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵于点E，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 22．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质以及角的和差可得，易证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点作于点，过点作延长线于点，由可得，；运用等面积法可得，进而得到平分．再根据角的和差以及角平分线的定义即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图：过点作于点，过点作延长线于点， ∵， ∴， 又∵，且， ∴， ∵， ∴平分． ∵， ∴， ∴． 23．【答案】（1）     （2） 证明：如图，在上截取，连接，    由（1）知，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴.      【分析】 （1）先证明，再用证明，得到，再利用外角的性质求出即可； （2）在上取，连接，由得，再用证明，得到，，从而证明是等边三角形，继而得证. (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 24．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．【答案】10 【分析】 本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 26．【答案】1或1.6或5 【分析】 根据题意，时P点刚好运动一周回到B点，而Q点只能运动到的中点.分情况讨论：①P在上，Q在上，且②P在上，Q在上，且；③P、Q都在上，且，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”分别列方程求出t的值即可． 【详解】 解：① 如图1，P在上，Q在上，且， 解得； ② 如图2，P在上，Q在上，且， 则 解得； ③ 如图3，P、Q都在上，且， 则 解得；   综上，点P与点Q运动的时间为1秒或1.6秒或5秒时可得到． 故答案为：1或1.6或5． 【点睛】 本题是一个动点问题，主要考查了“直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半”这一性质，解题的关键是要运用数形结合和分类讨论的思想，防止漏解． 27．【答案】（1） 解：如图，即为所求，的坐标为；      （2）5     （3） 解：如图，点P即为所求． 【分析】 本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 略 28．【答案】度 【分析】 本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】 解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 29．【答案】7 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得，根据是等边三角形，得到即可解答． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴、， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 30．【答案】（1）证明：∵将绕着点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，设交于K，如图： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）13 【分析】 （1）根据将绕着点A逆时针旋转得到，得，即知，，可证明； （2）延长至G，使，连接，设交于K，，证明，得，而，故，又，有，从而； （3）将绕点A逆时针旋转至，作交于M，连接，可知为等边三角形，证明，得，可证，得，，即可求出，，从而． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：将绕点A逆时针旋转至，作交于M，连接，如图： 则， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的长度为13． 【点睛】 本题考查了三角形综合．熟练掌握全等三角的判定及性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形判定和性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，添加辅助线，是解决问题的关键． 31．【答案】度 【分析】 本题主要考查了最短路径问题，轴对称和等边三角形性质，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质，分别作点关于的对称点、，分别连、、交、于、，则可证明此时周长的最小，由轴对称性，可证明为等边三角形，． 【详解】 解：分别作点关于的对称点、，分别连接、、交、于、， 由轴对称周长等于 ， 由两点之间线段最短可知，此时周长的最小， ， 由对称得， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 32．【答案】（1） 证明：∵，，，， ∴ ∴， ∵． ∴ ， ；     （2） 证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 33．【答案】（1）     （2）或或或     （3）3      【分析】 本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，最短路径问题． （1）根据题意可推出上的高和上的高相等，所以； （2）根据题意可分为三种情况，对三种情况分类讨论即可得到本题答案； （3）最短路径问题，作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小，即可求得结果． (1) 小问详解： 解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； (2) 小问详解： 解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或； (3) 小问详解： 解：如图2， ， 作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小， 延长交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 34．【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，使得，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， 设， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）结合等边三角形的性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，在判定，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， 由题，为的外角， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，过点A作且使得，连接，，    为等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， （）， ， ， 为等腰直角三角形，因此最小则最小， 当时，最小，此时为等边的高， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等；掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，能构建全等三角形是解题的关键． 35．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴；     （2） 证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴平分， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴；     （3）．      【分析】 （）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明； （）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：把绕点逆时针旋转得到，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴三点共线， 又由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 36．【答案】（1），，     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换、三角形面积计算以及最短路径问题，熟练掌握相关的坐标特征、面积公式和轴对称性质是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征，即纵坐标不变，横坐标互为相反数来求解； （2）利用轴对称的性质，作点A关于y轴的对称点，连接与y轴的交点即为点P； （3）过点，分别做轴的垂线，垂足为，，在轴上取，根据可得，由此即可求解出点Q的坐标． (1) 小问详解： 解：若与关于轴成轴对称， 则三个顶点坐标分别为，，， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 如图：点是点A关于y轴的对称点， 连接，与y轴交于点P， 此时的值最小， 则点P的坐标为； (3) 小问详解： 存在点Q，点Q的坐标为，理由如下： 如图：过点，分别作轴的垂线，垂足为，， 在轴上取 ， ， ， 解得， ， 由于为定值，且当或时，到的距离不等于到的距离，故不存在符合题意的其它Q点， ∴存在，． 37．【答案】①     ② 【分析】 连接，如图所示，先由等腰直角三角形的判定与性质得到，再由外角性质得到，然后由邻补角定义得到，再根据翻折性质得到，，从而有，根据中点定义得到，即可判定是等边三角形，则得到；由是等边三角形，得到，在中，由含的直角三角形的性质得到即可． 【详解】 解：连接，如图所示： 在三角形中，，， ， 是的一个外角， ， 则， 沿着翻折得到， ，， 则， 点为中点， ， ， 在中，，，则是等边三角形， ， ； 是等边三角形， ， 在中，，，则， ； 故答案为：，． 【点睛】 本题考查三角形综合，涉及等腰直角三角形的判定与性质、外角性质、邻补角定义、翻折性质、中点定义、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质等知识，熟记三角形相关性质与判定是解决问题的关键． 38．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和含直角三角形的性质，掌握以上知识点并熟练运用是解决本题的关键． 在上找一点G，使，连接，根据等边三角形的判定和性质可得，，，，进而证明，则可得到的度数，当时，取得最小值，即也取得最小值，根据全等三角形的性质可得，最后结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】 解：在上找一点G，使，连接，如下图： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 根据题意得，当时，取得最小值，如下图： ∵， ∴当取得最小值，也取得最小值， ∵， ∴， ∵是等边三角形且， ∴，， ∴， ∴（符合条件）， ∵等边是边长为2且D是的中点， ∴， ∴， 故答案为：；． 39．【答案】（1）     （2） 证明：如图，作的平分线， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即；     （3）      【分析】 （）由等边三角形的性质得，，进而得，得到，再根据三角形外角性质即可求解； （）作的平分线，交于，可得出，从而，，进而证得，从而得，同理可得，进而即可求证； （）由题意可知是内一点，要求，则考查费马点知识，由等边三角形费马点在重心可确定点的位置，进而利用特殊直角三角形设参求解即可． (1) 小问详解： 解∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：将顺时针旋转得到，将顺时针旋转得到，连接、， 由旋转得，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即当共线时，的值最小，如图， 连接，则是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴垂直平分， 即是三条高线的交点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的重心等，解决问题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 40．【答案】（1） 证明：三角形是等边三角形， ，． 在和中 ， ．     （2）      【分析】 本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）根据等边三角形的性质可得，，即可证得； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，得到，根据含的直角三角形的性质，得到，进而可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ∴ ， ， ． ， ， ， ． ， ． 41．【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 以作等边，线段上取一点，使，证得，根据全等三角形的性质证得，进而证得平分，因此得到的度数． 【详解】 解：以为边作等边，线段上取一点，使，连接，如图所示： 则， 是等边三角形 是的外角 在和中， ， ∴是的垂直平分线， 平分 ，即 故答案为：． 42．【答案】3 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握特殊三角形的性质并通过作辅助线构建直角三角形是解题的关键． 通过作辅助线交的延长线于，利用等边三角形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等，进而求出的长度，即点到所在直线的距离． 【详解】 解：过点作，交的延长线于． ∵是等边三角形， ∴，． ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴． ∵在中，，，， ∴． 故答案为：． 43．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵线段绕点（与重合）逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，． 在中，， ∴， ∴， ∴．     （2） 解：过点作于，作于． ∵是等边三角形，， ∴平分，， 又∵，， ∴． ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．      【分析】 （1）利用等边三角形的性质求出相关角度，结合旋转的性质得到等边三角形，再通过角度计算证明三角形的边相等，从而求证． （2）通过作辅助线构造全等三角形的条件，利用等边三角形、旋转的性质以及四边形内角和、全等三角形的判定定理来探究与的数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的相关性质是解题的关键． 44．【答案】（1） ① 猜想， 证明：如下图所示，在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ； ② 证明：连接、， ，， ， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ；      （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）① 在上截取，连接，可证，利用全等三角形的性质可得是等腰直角三角形，所以可知； ② 根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据可证是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据等腰三角形的性质可证结论成立； （2）作，使，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知，所以当点，，共线时，取得最小值，可证此时是等边三角形，根据等边三角形的性质可证，根据全等三角形对应角相等可以求出的度数． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如下图所示，作，使，连接，， ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点，，共线时，如图② ，取得最小值， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 45．【答案】② ③ ④ 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 根据等边三角形的性质可推导，可判断① 错误；证明，得到，再由角平分线的性质可判断② 正确；证明得到，然后推导可得，，则，进而可判断③ ④ 正确；由题意得，，则，得到，可判断⑤ 错误，进而可得答案． 【详解】 解：① ∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， 故①错误； ② ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图1，过点G作于T，于J，于K， ∵平分，平分， ∴， ∴平分， ∴， 故②正确； ③如图1， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③ ④正确； ⑤ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误， 答案为：② ③ ④． 46．【答案】（1）8     （2） 证明：如图，延长，交点G， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即．     （3）或      【分析】 （1）利用角平分线定理得出，，证明，得到，，根据已知条件得出，进而通过等腰三角形的判定定理得出，进而求得结果； （2）延长，交点G，根据等边三角形的性质得出，，从而得到，设，则，，进而得出，证明，，利用全等三角形的性质得出相关线段之间的关系，进而证明出最终结果； （3）分别过点M作关于，的对称点，，连接，，，，的最小值即为，要使的值最小，则时值最小，过点A作交于点M，过点M作关于的对称点N，连接射线，此时分情况讨论，当点D在射线以外时，当点D位于A，C之间时，通过旋转构造全等三角形得出对应角度的表达式，进而求得最终的结果． (1) 小问详解： 解：∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，分别过点M作关于，的对称点，，连接，，，， ∵， ∴要使最小， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴的最小值即为， 要使的值最小，则时值最小， 如图，过点A作交于点M，过点M作关于的对称点N，连接射线， ∴， ∵， ① 当点D在射线以外时， 将绕点A逆时针旋转至，连接，， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 要使最小，即最小， 则当点，，C三点共线时，最小，即最小，此时点为射线与交点， 在上截取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ② 当点D位于A，C之间时， 如图，在上截取一点，使得，连接， 同理可证：， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，角平分线定理，全等三角形的判定与性质及线段最值问题等知识点． 47．【答案】（1）；     （2） 证明：如图，作，交延长线于，，交延长线于点． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，     （3）或．      【分析】 （1）由已知和三角形的外角的性质可得，从而可得． （2）如图，作，交延长线于，，交延长线于点．根据，得出，根据，得出，在中，，则，证明，得出，根据，得出，则，证明四边形是正方形，得出，从而证，则， （3）如图，当时，根据，长度不变，得出将、、看作圆的一部分，在下方的圆周角为，即圆心角为，则点轨迹为为圆心，为半径的一段弧，对应圆心角，根据是等腰直角三角形，证明，得出，为等边三角形，，设，则，勾股定理求出，即可求解．当时，同理画图求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 在中，， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 如图，当时， ∵， ∴，长度不变， ∴将、、看作圆的一部分，在下方的圆周角为，即圆心角为， ∴点轨迹为为圆心，为半径的一段弧，对应圆心角， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴． ② 如图，当时， ∵长度不变， ∴将、、看作圆的一部分，在下方的圆周角为，即圆心角为， ∴点轨迹为为圆心，为半径的一段弧，对应圆心角， 同① 知四边形是正方形， ∴， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴在垂直平分线上， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 设， ， ， ∴， 综上：或． 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 48．【答案】（1） 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形；     （2） 延长至，使，连接，如下图所示： 点是中点 在和中， ， ， ，， 由（1）得：是等边三角形 在和中， ，    ，      （3）      【分析】 （1）根据题意证明，可得到，，进一步得出结论； （2）延长至，使，连接，可证得，进而得到，，再证明，可得到，最后进一步得出结论； （3）由翻折的性质可知点在关于直线对称的直线上运动，，当时，可取得最小值，过作于点，设，根据含角的直角三角形可知，进而得到，然后根据已知条件可得是等边三角形，，可得到，同理可求得，最后根据三角形面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：沿着直线翻折得到， 当点在上运动时，点在关于直线对称的直线上运动，， 当时，可取得最小值，过作于点， ∵ ∴， ∴, ∴， ∴， 则当取得最小值时，在边上， 如下图所示： 设，则， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，即； 是等边三角形，， ， ， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，图形翻折的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质等知识，找出全等三角形，最值是解题的关键． 49．【答案】（1）15     （2）①；②2      【分析】 （1）根据三线合一的性质可得，则根据对称的性质，由等边三角形及等腰三角形的性质即可求解； （2）① 延长，交于点，证明为等边三角形，再证明，即可得线段、和之间的数量关系； ② 连接，取中点，连接，则当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，即可求得长度． (1) 小问详解： 解：设与交于点，如图， 是等边三角形，点E恰好落在平分线上， ，，， ， 由对称性质得：， ， ， ， 故答案为：15； (2) 小问详解： 解：①，理由如下： 如图，延长，交于点， 设， 由对称的性质得：，，，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ． ； ② 如图，连接，取中点，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 当、、三点共线且与重合时，最短，此时点与点重合，点与点重合， 、分别是、的中点， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，最短距离问题，线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是问题的关键与难点． 50．【答案】（1）     （2） 证明：如图，在上截取，连接，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）设，根据三角形内角和定理得出，进而得出，根据，求得，进而分别求得，根据等角对等边，即可得证； （2）在上截取，连接，过点作于点，则，证明，，根据全等三角形的性质以及线段的和差关系，即可得证； （3）作关于的对称点，则，则在的延长线上，两点重合，延长交于点，得出当时，取得最小值，进而画出图形，设，则，，延长交于点，交于点，证明是的角平分线，是等腰直角三角形，则，，再证，进而得出，则是等腰直角三角形，再根据三角形的内角和定理，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵在中，， ∴， 设， ∴ ∵且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，∵， ∴， 作关于的对称点，则，则在的延长线上，两点重合， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值， 延长交于点， ∴， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴ 如图，延长交于点，交于点， 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， 在中，， ∴， ∴是的角平分线， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 当时，不满足， 如图， 综上所述，． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形外角的性质，垂线段最短，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 51．【答案】（1）2     （2）     （3）      【分析】 （1）过点F作直线于H，证明，可得，由三角形的面积公式可求解； （2）作辅助线如解析图，证明，可得，进一步可得，证明，可得，从而可得结论； （3）作辅助线如解析图，可得当点，P，N三点共线时，有最小值，由折叠的性质可得，进而得，可得当点K落在上时，有最小值，然后由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 解：如图1，过点F作直线于H，则， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的面积； (2) 小问详解： 解：如图2，过点M作，交直线于点G，过点E作，交于Q， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，作点C关于的对称点，连接， ∵点Q是点P关于直线的对称点， ∴平分垂直平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点C与点关于对称， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴当点，P，N三点共线时，有最小值，如图， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴， ∴当点K落在上时，有最小值， ∵为等边三角形，， ∴垂直平分， 如图，设，则， ∴， ∵将沿所在直线翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题是三角形与几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转与折叠的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，最短距离问题等知识，涉及知识点较多，有一定的难度，确定点P的位置是解题的关键． 52．【答案】（1）     （2） 猜想， 证明：如图，在取一点，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即．     （3）4      【分析】 （1）过点作，交延长线于点，先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得； （2）猜想，证明：在取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据线段的和差、等量代换即可得证； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，从而可得，则当点共线时，的值最小，即的值最小，然后利用等边三角形的性质可得，，由此即可得． (1) 小问详解： 解：如图，过点作，交延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，， ∴点到直线的距离． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图，由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小， 设交于点，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴垂直平分，也垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵等边的高等于6，于点， ∴， ∴， 又∵是等边三角形，于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以当的值最小时，线段的长为4． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识，综合性强，较难的是题（3），正确找出当的值最小时，点的位置是解题关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $