专题06 全等三角形（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题06 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 11．A 12．D 13．B 14．B 15．C 16．【答案】 【分析】 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键． 17．【答案】21 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而求出答案. 【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，AB＝6，BC＝7，CA＝8， ∴A′B′＝6，B′C′＝7，C′A′＝8， ∴△A′B′C′的周长是：6+7+8＝21. 故答案为：21. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题的关键． 18．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 考点02 三角形全等的判定 1．B 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．D 9．B 10．D 11．C 12．C 13．C 14．A 15．D 16．A 17．B 18．D 19．B 20．C 21．D 22．B 23．A 24．A 25．A 26．C 27．B 28．D 29．C 30．C 31．A 32．C 33．D 34．B 35．C 36．C 37．A 38．D 39．C 40．D 41．C 42．B 43．B 44．C 45．D 46．【答案】解：∵AB=AC，BD=CE， ∴AD=AE． 又∵∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 【分析】 已知两边，则我们可以利用SSS或SAS来证明，此处应采用SAS来证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，本题比较简单． 47．【答案】12 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握利用证明三角形全等． 利用证明三角形全等即可． 【详解】 解：根据中点的性质得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 48．【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，解决本题的关键是找到一组直角边相等． 根据直角三角形中一组直角边和一组斜边对应相等证明即可． 【详解】 解：∵， ∴与是直角三角形， ∵， 若， 则需或即可， 故答案为：或（答案不唯一） ． 49．【答案】证明：∵在和中， ∴（） 【分析】 本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】 略 50．【答案】① 【分析】 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】 解：带① ② 去，符合ASA判定，选项符合题意； 带② ③ 去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 带② ④ 去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故答案为：① ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解本题的关键． 51．【答案】（1） 证明：∵ ∴ 又∵ ∴；     （2）44°      【分析】 （1）根据等边对等角得到，然后证明出即可； （2）设，根据题意得到，然后表示出，，然后利用三角形内角和列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ 解得 ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 52．【答案】 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】 解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 53．【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ；     （2）2      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 54．【答案】（1） 解：∵D是延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 55．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得到，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 56．【答案】（1） 如图所示：      （2），，，      【分析】 本题考查了作一个角的已知角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，以为边，D为顶点作，交线段于点E，即可作答． （2）分析题意，结合已有的过程，运用全等三角形的判定与性质进行补充，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵， 又∵， 且． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，，， 57．【答案】①，②，③，④，⑤ 内错角相等，两直线平行． 【分析】 本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，逐步分析解答即可． 【详解】 证明：∵， ． ， ，即． 在和中， ； ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④，⑤ 内错角相等，两直线平行． 58．【答案】解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】 略 59．【答案】∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC=DF． 【分析】 根据平行线的性质和全等三角形的判定证明△ABC≌△DEF即可证得结论解答． 【详解】 略 【点睛】 本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 60．【答案】①     ② 18 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由与全等可得两个三角形面积相等． ① 根据的证明方法证明与全等，由此可得关系； ②，由全等可得，同时可得，再由阴影部分的面积求解即可． 【详解】 解：① ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴； ② ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 故答案为：① ；②18． 61．【答案】证明：，理由如下 ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明，，继而证明，得到，即可解答． 【详解】 略 62．【答案】3 【分析】 本题考查三角形全等的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件可证明，则得，则可求． 【详解】 解：在中， ， ， ， ． 故答案为：3． 63．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴；     （2） ∵， ∴， ∴，即， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法即可证明结论． （2）根据全等三角形的性质推出，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 64．【答案】（1） 证明：， ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定、线段的和差计算， （1）先证明，再根据证明全等即可； （2）根据，求出，进而求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ． 65．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】 解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 66．【答案】证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质．根据证明，推出，即可得证． 【详解】 略 67．【答案】证明：∵， ∴，即， ，， ∴， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定及性质． 可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论． 【详解】 略 68．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识．过点C作轴于点D，证明，推出，，据此即可求解． 【详解】 解：过点C作轴于点D， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 69．【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 70．【答案】证明：，， ， 在和中， ∴． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定， 先证明，再利用即可证明． 【详解】 略 71．【答案】2 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．先证明，求得，再由三角形中线的性质即可求解． 【详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又E为的中点， ∴， 故答案为：2． 72．【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，证明，则，再结合对顶角和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】 解：设、相交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 73．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）20      【分析】 (1)根据证明即可； (2)由中线得，再由全等三角形的性质即可求出面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 74．【答案】详见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由平行线的性质得到，再由得到，根据全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】 证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 75．【答案】证明: 【分析】 结合已知条件再加上公共边AD根据“AAS”即可证得△CAB≌△DAB，根据全等三角形的对应边相等即得结果． 【详解】 略 76．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是根据题意，正确得到． （1）由可得，再根据，可得，即可求证； （2）由（1）可得，从而得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴． 77．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，得，由此即可求解； （2）根据题意得到，得，结合题意，设，则，则，由此列式得到，由面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 78．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 证明：连接， 由作图可得， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了基本作图—作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由作图可得，再利用证明即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 79．【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的长为．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可． （1）证即可求解； （2）根据得出，，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴（）， 答：的长为． 80．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 81．【答案】2 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，过点D作于H，得到，证明，推出四边形为矩形，进而得到，，再证明，得到． 【详解】 解：连接，过点D作于H， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 82．【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先根据同角的余角相等得出，再根据证明即可； （2）先根据已知条件证明，再根据证明即可求解． 【详解】 （1）略 （2）略 83．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由全等三角形的性质可得，然后根据三角形内角和可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 84．【答案】（1） 如图所示： ；     （2）①   ②   ③   ④      【分析】 本题考查尺规作图-作两个角相等、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质等知识，熟记尺规作图-作两个角相等、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）尺规作图，作即可得到答案； （2）由等量代换、三角形全等的判定定理与全等性质、等腰三角形性质求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 证明：，， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 85．【答案】28 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和三角形周长解答即可． 【详解】 解：∵点D是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的周长是20，， ∴的周长， 故答案为：28． 86．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）7      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 87．【答案】（1） 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ， ， ． 88．【答案】（1） 解：图形如图所示：      （2） 解：图形如图所示：      （3）①；②；③；④      【分析】 本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）证明，推出可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 89．【答案】4分钟 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，分当时和当时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】 1）当时，（米）， 则（米）， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 2）当时，（米），（米）， 则P运动的时间是：（分钟）， Q运动的时间是：（分钟）， 故不能成立． 总上所述，运动4分钟后，与全等． 90．【答案】三角形的内角和为；对顶角相等；，等式的性质；AAS ；全等三角形的对应边相等； 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定方法，全等三角形的性质，进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】 略 91．【答案】（1），     （2） 与的数量关系：，位置关系：；理由如下： 设与y轴交于点P，与交于点F，如图1， ， ， 在和中，， ， 在和中， ， ， ，，， ，即， ， ， 即，；     （3） ，理由如下： 延长交于点G，如图2， ，，， ， ， 平分， ， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，绝对值和平方的非负性． （1）依据平方与绝对值的非负性，可得，再求解即可； （2）设与y轴交于点P，与交于点F，证明，可得，，再求，可得； （3）延长交于点G，证明，再次证明，推导出，即． (1) 小问详解： 解：已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足， ，， 、B的坐标分别为：，， ， ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 92．【答案】（1）作图见解析；     （2）；；；．      【分析】 （）根据作一个角等于已知角的基本作法作图即可； （）根据全等三角形的判定和性质求解； 本题考查了基本作图，掌握作角等于已知角的基本作法和全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求； (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 93．【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】 解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 94．【答案】（1）     （2）（1）中的结论成立．证明见解析     （3）证明见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． (1) 小问详解： 解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3) 小问详解： 证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 95．【答案】证明：延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．    ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD 【分析】 延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 96．【答案】（1） 解：与全等，理由如下： ，， ， ， 又， ， 在与中， ；     （2）即小明距离地面有高      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． （1）利用，证得与全等即可； （2）根据全等三角形性质可求出和的值，最后根据，即可求出问题答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， 即小明距离地面有高． 97．【答案】（1） 证明：， ． 在与中， ．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据已知条件可推出，再结合，，利用判定定理即可证明． （2）先由（1）中三角形全等得出，再根据三角形外角性质求出，根据三角形的内角和定理和对顶角相等求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ， ，． ∴． 98．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 99．【答案】（1） ；     （2） ， 证明：同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．  ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （3） 成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，  即．  在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可． (1) 小问详解： 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴．  在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 100．【答案】①     ② 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：证明，得到，线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 101．【答案】180 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】 解：∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 102．【答案】（1） 证明：如图1中， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ， 证明：如图2中，作于H． ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴．     （3）．      【分析】 （1）欲证明，只要证明即可； （2）结论：．如图2中，作于H．只要证明，推出，，由，推出即可解决问题； （3）过作于H．再利用（2）中结论即可解决问题； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3中，过作于H． 同理可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，设， 则，， ∴． 【点睛】 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 103．【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质； （1）根据平分，，得到，，根据得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据，得到，结合，得到，结合，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 104．【答案】（1）     （2）与面积之和为      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，当两个三角形的高相等，那么这两个三角形的面积之比等于底之比，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）由已知可得，易证，得到，，根据可求得； （2）由，易证，所以得到，根据两个三角形的高相等，则由面积之比等于底之比，即可求得． (1) 小问详解： 解：，，， ． ，， ． ， ， ，． ， ， ． (2) 小问详解： 解：，， 又，， ，． ， ， ． ，， ， ． 105．【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴；     （2） 解：数量关系为．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴，即．      【分析】 本题考查“一线三垂直”模型下的全等三角形判定与性质，关键是利用同角的余角相等得到角相等，结合已知边相等证明全等，再通过全等的对应边推导线段数量关系． （1）通过垂直关系得到直角，结合直角三角形的余角相等，找到全等的角和边，用判定全等； （2）利用全等三角形的对应边相等，将线段转化为与的和，再代入对应边得到数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 106．【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 107．【答案】证明：，． 在和中， ，． 平分，． 在和中， ． 【分析】 先通过平行线的性质和已知条件证明，再证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 108．【答案】证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】 略 109．【答案】解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．先证明，得出，，再由三角形内角和定理即可判断出； 【详解】 略 110．【答案】（1） 证明：， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据“”证明全等即可； （2）连接，由全等三角形的性质，得到，再结合角平分线的定义和三角形内角和定理得出，然后证明，从而推出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 111．【答案】（1） 证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得．证明即可； （2）由，可得，，根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， 又∵， ∴，， ∴， ∴的度数为． 112．【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】 解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，. 是等腰直角三角形， ， 又∵， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 113．【答案】单元楼的高度为39.6米 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，过点F作于点G，先证明四边形是长方形，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】 解：如图，过点F作于点G， ∴， ∴四边形是长方形，（米），（米）， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：单元楼的高度为39.6米． 114．【答案】（1）解：如图，即为所求． （2），，，． 【分析】 该题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）证明，得出，根据，求出，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）略 115．【答案】（1） 证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ．     （2）     （3）      【分析】 本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ， ， ， 的长是． (3) 小问详解： 解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为12． 116．【答案】（1） 证明：，， ． 在与中 ．     （2） 由（1）得， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ．      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 117．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴    故答案为：. 118．【答案】（1） 解：． 理由如下：如图，延长，交于点H， ∵平分交于F，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴，     （2） 解：，理由如下： 如图，过点D作交延长线于点H，交于点G， 则，， ∵， ∴平分，又， 故由（1）可知．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，添加辅助线是解答的关键． （1）延长，交于点H，先证明得到，则，再证明可得结论； （2）过点D作交延长线于点H，交于点G，根据平行线的性质得到，，进而可得平分，由（1）可知． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 119．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴ ∵；        ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形．      【分析】 （1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． (1) 小问详解： 解：如图1，中，       ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； (2) 小问详解： 如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了三角形的中线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的分类等知识．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形解决问题． 120．【答案】（1） 解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （2） 解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 121．【答案】①     ② 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 根据已知条件可证明，得到，，用线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】 解：， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 作于点，如下图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 122．【答案】（1）     （2） ，理由如下： 如图2，连接，延长至点G，使得，连接， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据中点构造辅助线． （1）证明，得到，，即可得解； （2）连接，可证，得到，，延长至点G，使得，连接，可证，得到，，从而可得，，得到，证得，得到； （3）连接，由共线可得，延长至点H，使得，连接，可证，得到，，从而，连接，令与交于点N，由可得，可证，得到，，，作，可证，得到，推到，，，，最终得出结果． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，证明如下： 如图3，连接，，延长至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵D、Q、M三点共线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 123．【答案】（1） 补全图形，如图： ，，     （2） 成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 124．【答案】（1）     （2） ，证明如下： 过点A作，且，连接，， ∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）过点D作，交于点H．证明，得出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理可得出，，设，则，结合得出，然后解方程即可求解； （2）过点A作，且，连接，，证明，得出，，进而可证，再证明，得出，根据勾股定理可求出，即可出结论； （3）以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，，可证，得出，则，故当A、P、G三点共线时，取最小值，此时，过A作于E，过G作于F，可求出，，根据等面积法求出，进而求出，根据等边对等角、三角形外角的性质等知识可得出，则，然后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：过点D作，交于点H． ∵在等腰中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、G三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， 此时，过A作于E，过G作于F， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 125．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）     （3） 证明：如图③ ，过点B作轴交y轴于点M，过点E作轴交y轴于点N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴P为的中点．      【分析】 本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． （1）由题可知，再根据同角的余角相等即可获证； （2）过点B作轴交y轴于点D，结合（1）中的结论和，用证得，，，即可求得B点的坐标； （3）过点B作轴交y轴于点M，过点E作轴交y轴于点N，由（2）中的经验可同样证得，，进而有，再用证，则有，即可获证结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， 如图② ，过点B作轴交y轴于点D， ∴， 由（1）知， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴B点的坐标为； (3) 小问详解： 略 126．【答案】（1）     （2） 证明：延长到，使，连接，则， 为边的中线， ， ， ，， ， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 即， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （2）延长到，使，则，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． (1) 小问详解： 解：， ， 又，， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 127．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）；      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据得到，结合，得到即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合，即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 128．【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ；     （2） 证明：如下图所示，过点作， 是等边三角形， ，， 中，， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 根据等边三角形的性质可证、、，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 首先证明，根据全等三角形的性质可得，再利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 129．【答案】（1）90     （2） ①，理由如下： 由题（1）知， ， ， ， ； ②，理由如下： 类比题（1），可得， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】 （1）证明，得，即可证明； （2）② 与（1）同理，得，则根据即可证明；②与（1）同理，得，再根据即可证明． (1) 小问详解： 解：， ， ，，， ，， ， ， 故答案为：90； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 130．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC， ∴在中最大， 设，则 ∵ ∴ 解得， ∴ ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：将绕点C逆时针旋转90°，得到,如图， 则 ∵EB⊥AB， ∴ 由（1）得 ∴ 又∵ ∴点F,A,B三点共线， ∵AD+BE＝ED， ∴ 即 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ 且 ∴ ∴； （3）证明：由（1）得 过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，如图， ∵AQ⊥AM，PC⊥BM， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵CM＝AN， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】 （1）由已知首先确定在中最大，再设，则根据三角形内角和为180°列出方程，得出的度数，即可说明； （2）将绕点C逆时针旋转90°，得到,则再证明点F,A,B三点共线，得出即再证明得出通过倒角即可证得； （3）过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，首先证明,得出再证明得出根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作辅助线将已知条件联系在一起是解题关键． 131．【答案】（1），     （2） 证明：由题意可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴；     （3） 解：，理由如下： 如图，过N作轴，交的延长线于点K，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了非负数的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平方式和绝对值的非负性求得m、n，即可求解； （2）由题意可得：，，利用同角的余角相等即可求证； （3）过N作轴，交的延长线于点K，先证明得到，，再证明得到，进而等量代换可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， 即， 则，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 132．【答案】（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 133．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴．     （2） 证明：如图2，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）由“”可证，可得． （2）过点E作，交的延长线于N，由“”可证，可得，由“”可证，可得． （3）设，结合，利用三角形的面积公式求解面积比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于， ， 设，， 由（2）得：， ， ， ， ， ， ， 综上，的值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 134．【答案】3.5或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，；当，时，然后分别列方程求出即可． 【详解】 解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， ∴，， 点为线段的中点， ， 当，时， 即，， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 当，时， 即， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 综上所述，点N的运动速度为3.5或． 故答案为：3.5或． 135．【答案】（1）     （2）     （3） 证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ；      （4） 解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【分析】 本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． (1) 小问详解： 解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 136．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度．先根据已知条件，利用直角三角形两锐角互余的定义求得，再利用“”证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度；过点N作交直线l于点G，利用直角三角形两锐角互余的定义求得，再利用“”证明，得出，由利用三角形面积公式得出，求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】 解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴． 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 故答案为：，． 137．【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，在上截取，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 是等边三角形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）通过在上截取线段构造全等三角形，利用角度关系推导的度数． （2）通过在线段上截取构造全等三角形和等边三角形，利用角度与线段的关系进行证明． （3）利用轴对称和旋转的性质，结合三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：在上截取，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故的度数为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称与旋转的性质以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识并能灵活构造图形是解题的关键． 138．【答案】① 4    ② 36 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的高等知识点，灵活运用等高模型解决三角形面积问题成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得、；设，则，则，即可求得；易得，根据等高模型可得，即，进而求得；如图：过M作，运用三角面积公式可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵于E，于D， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵等高， ∴，即， ∴，解得：； 如图：过M作， ∴，即，解得：， ∴的面积为． 故答案为：4，36． 139．【答案】（1） 证明：∵等边和等边； ∴，； ∵； ∴； ∴     （2） ∵； ∴； ∵，； ∴； ∴； 即； ∵三角形是等腰直角三角形，E为中点 ∴平分； ∴； ∴； 上取一点H，使； ∴是等边三角形； ∴； 即； ∵， ， ； ∴； ∴； 即．      （3）      【分析】 （1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等． （2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了． （3）第三小问，先确定性分析，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如下图所示，∵，； 把绕点E逆时针旋转，得到； ∵； ∴； ∴C，D，M三点共线； 由旋转的性质可知，是等边三角形； ∴; ∴点E的轨迹是射线； 作点B关于直线的对称点N； ∴； ∵； ∴； 即的最小值为． 【点睛】 本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键． 140．【答案】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）AD﹣AB＝2BE （3）3． 【分析】 （1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】 （1）略 （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，    ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 考点03 角的平分线 1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．B 13．D 14．【答案】6 【分析】 本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6． 【详解】 解：过作于， 平分，， ， 点到的距离等于6． 故答案为：6． 15．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】 解：过点作，垂足为，    是的角平分线， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 16．【答案】（1） 证明：是的角平分线，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．【答案】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 【分析】 （1）由条件可利用AAS先证明△BOD≌△COE，即可证明OD=OE； （2）利用角平分线的判定定理即可证明OA平分∠BAC． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，利用三角形全等来找条件是解本题的关键． 19．【答案】（1）如图，作图如下：      （2）；②；；；⑤ 同位角相等，两直线平行      【分析】 本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．【答案】15 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据和面积的两种计算方法可得出，即可求出，再计算周长即可． 【详解】 解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 过点作于点， 是的角平分线， ， ， 即：， ， 的周长为：； 故答案为：． 21．【答案】（1） 即为所求：      （2）①，②，③，④      【分析】 本题主要考查尺规作图，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。 （1）以点为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于两点，，以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）先由三角形的内角和定理可求得，，进而得到，再由角平分线定理可得，最后根据， 即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】如图，射线AD即为所求． AB＝AC；∠BAD＝∠CAD；AD＝AD；∠B＝∠C 【分析】 根据要求作出图形，利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】 解：在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）， ∴∠B=∠C． 故答案为：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠B=∠C． 【点睛】 本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2） ① 垂线的定义；② 两直线平行，同旁内角互补；③；④；⑤．      【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由垂线的定义，得到，由平行线的性质，得到，再结合角平分线的性质，得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．【答案】（1） 解：如图所示      （2）①；②；③；④；⑤ 大边所对角比小边所对角大．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵平分线， ． 在和中， ∴． ． ∵， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：①；②；③；④；⑤ 大边所对角比小边所对角大 25．【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ，， 作交于点， ， 和中， ， ， ， 又，， 点在的角平分线上， 即平分；     （2）四边形的面积为．      【分析】 （1）利用“边角边”证明，由全等三角形性质得，，作交于点，利用“角角边”证明，由全等三角形性质得，最后由角平分线的判定即可得解； （2）由得，利用“”证得，则，根据即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 26．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等． 过点作于点，由角平分线可得，设，，则，再由建立方程求解即可． 【详解】 解：过点作于点 ∵，是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴的长为， 故答案为：． 27．【答案】（1） 如下图，即为所求，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法和作线段的方法，得到点、，然后连接即可； （2）根据角平分线可得，易证得，可得，利用三角形内角和定理可推出，进而得到，最后根据平行线的判定可证得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：平分， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 28．【答案】（1）     （2） 证明：，， ． 在和中 ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ．      【分析】 本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点作交于点，根据角平分线的性质定理得到，从而得到的长，利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）根据题意易证得和，从而得到，，再利用等量代换即可得到． (1) 小问详解： 解：过点作交于点， 平分，， ， ， ． ， ． (2) 小问详解： 略 29．【答案】（1） 如图：      （2），，，，      【分析】 本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． ()根据题意，按照尺规作角平分线的步骤完成作图即可； ()根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证． (1) 小问详解： 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点； 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点； 过点和这个交点作射线，交于点，交于点， (2) 小问详解： 略 30．【答案】（1） 如图所示．      （2） ；；；；      【分析】 （1）以点C为圆心，以小于为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点F； （2）先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明≌，最后根据全等三角形的性质得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等． 31．【答案】（1）证明见解析     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质. （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 32．【答案】4 【分析】 本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】 解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵ ， ∴ ∴， ， 在与中， ∵ ， ∴， ∴，， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，如果，那么的长是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 直接运用全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴． 故选C． 2．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 全等的两个三角形周长一定相等 C. 任意两个三角形一定不全等 D. 等边三角形一定全等 【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，只有三边长都相等的两个三角形全等（或满足其他全等条件），据此可判断A、C、D，根据全等三角形对应边相等即可判断B． 【详解】 解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，例如一个三角形的三边长为，另一个三角形的三边长为，但是这两个三角形不全等，原说法错误，不符合题意； B、全等的两个三角形周长一定相等，原说法正确，符合题意； C、任意两个三角形可能全等，原说法错误，不符合题意； D、只有边长相等的等边三角形才全等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】 解：由边长为的边是对应边，根据全等三角形的性质可得，或， 则D选项符合题意，A、B、C选项不符合题意 故选：D． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等，对应边相等”是解题的关键． 4．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，根据全等三角形的对应角相等得到，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）下列说法中，错误的是（       ） A. 七边形的外角和为 B. 三角形的重心是三角形三条中线的交点 C. 有两个角互余的三角形一定是直角三角形 D. 面积相等的两个三角形是全等三角形 【答案】D 【分析】 本题考查了判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和，三角形重心的定义是解题的关键． 根据全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和和三角形重心的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、任意多边形的外角和均为，该选项正确，不符合题意； B、三角形的重心是三条中线的交点，该选项正确，不符合题意； C、三角形有两个角互余，则第三个角为，∴是直角三角形，该选项正确，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等（如等底等高的三角形面积相等但可能不全等），该选项错误，符合题意． 故选D． 6．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，点在同一条直线上，则的长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等求出，进而求出． 【详解】 解：，， ， ， ， 故选：B． 7．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，≌，若，，则的长为（   ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是根据全等三角形的性质得到边长相等．根据全等三角形的性质可得，，再根据边长的关系求解即可． 【详解】 解：∵≌， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即的长为4． 故选：B． 8．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，，，则（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】 解：， ， ，， ， 故选：D． 9．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知两个三角形全等，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键，根据全等三角形的性质可知是边的对角，然后求出即可． 【详解】 解：边的对角度数为：， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A.  B.  C. 或 D. ，或 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等作出判断即可． 【详解】 解：∵对应角相等， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）．若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是（     ）厘米每秒时，能够使与全等． A. 或2 B. 1或3 C. 3 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 由题可得：厘米，厘米，厘米，厘米，则与全等可分两种情况讨论，即 或，再根据对应边相等列方程求解． 【详解】 解：由题可得：厘米，厘米，厘米，厘米， ∵与全等， ∴或， 当时，则，， 即，解得， 此时； 当时，此时， 即，解得， 根据即，解得， ∴当点Q的运动速度a为或2厘米每秒时，能够使与全等． 故选：A． 12．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】 解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴ ， 解得： ； ②， 则： ， 解得： ； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 13．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，坐标与图形性质，关键是由全等三角形的性质推出，，． 由、的坐标得到，，由全等三角形的性质推出，，，求出，即可得到点的坐标． 【详解】 解：点，的坐标分别是，， ，， ∵， ，，， ， 点的坐标是． 故选：B． 14．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，可得：，从而可得． 【详解】 解：， ， ， ， ， . 故选：B． 15．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，的延长线交于点F，交于点G．若，，，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形外角性质计算出，则根据对顶角相等得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】 解：， ，， ， ， ， ， ．        故选：C． 16．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟知全等三角形的对应角相等是解答的关键． 17．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知△ABC≌△A′B′C′，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则△A′B′C′的周长是　　　　　. 【答案】21 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等进而求出答案. 【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C′，AB＝6，BC＝7，CA＝8， ∴A′B′＝6，B′C′＝7，C′A′＝8， ∴△A′B′C′的周长是：6+7+8＝21. 故答案为：21. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确得出对应边的关系是解题的关键． 18．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】 解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（       ） A. ∠B＝∠DEF B. ∠A＝∠D C. AB∥DE D. AC＝DF 【答案】B 【分析】 根据三角形全等的判定定理（定理和定理）即可得出答案． 【详解】 解：A、利用定理可得，则此项不符合题意； B、此项是，不能得出，则此项符合题意； C、， ， 则利用定理可得，此项不符合题意； D、利用定理可得，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理、平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 2．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，，添加下列哪个条件不能推证（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由平行可得到，又推知，结合全等三角形的判定方法可得出答案． 【详解】 解：， ， ， ． A、当时，根据不能判定，故本选项不合题意； B、当时，可知，可用证明，故本选项符合题意； C、当时，可用证明，故本选项符合题意； D、当时，可用证明，故本选项符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（     ） A. 平分 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】 解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 4．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．由图形可知为公共边，则可再加一组对边相等即可． 【详解】 解：，，用“”证明， 还需添加的一组边相等，即， 故选：． 5．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形全等的判定定理，能熟记并掌握判定定理是解题关键，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用三角形全等的判定定理即可求解． 【详解】 A、可用判定三角形全等； B、可用判定三角形全等； C、所给的条件构成，不能判定三角形全等； D、由可得，所以可用判定三角形全等． 故选：C． 6．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，点，在上，．添加一个条件，不一定能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据全等三角形的判定方法（边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边）求解即可． 【详解】 解：， 添加，可以运用角边角判定，故A不符合题意； 添加，可以运用角角边判定，故B不符合题意； 添加，可以运用边角边判定，故C不符合题意； 添加，不能运用边边角判定，故D符合题意； 故选：D ． 7．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定依次证明即可． 【详解】 解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】 本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 8．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 作轴于点，可证明，由得，，则，所以点的坐标为． 【详解】 解：如图，作轴于点，则，     ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故选：D． 9．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（       ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【分析】 本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】 解：由作法可知，， ， ， ， 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 有两条边对应相等 C. 一条边和一锐角对应相等 D. 一条边和一个角对应相等 【答案】D 【详解】 ∵A、两条直角边对应相等，可利用SAS判定两直角三角形全等， B、两边对应相等，可利用HL或ASA判定两直角三角形全等； C、一条边和一锐角对应相等，可利用AAS或ASA判定两直角三角形全等． D、如果一个三角形的直角边和另一个三角形的斜边相等，则这两个直角三角形不全等，所以一条边和一个角对应相等不能判定两直角三角形全等． 故选D． 11．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，已知，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定方法，根据，结合补充条件，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】 解：∵， 补充， ∴，故A不符合题意； ∵， 补充， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵， 补充， ∴不能判定，全等，故C符合题意； ∵， 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，，，，，则的长度为（     ） A. 9 B. 13 C. 17 D. 26 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂直的性质证得，利用全等三角形的判定方法证得，根据全等三角形的性质证得、，进而计算的长即可． 【详解】 解： 在和中 、 ， 故选：C． 13．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定等知识点的理解和掌握，分别判断选项所添加的条件，再根据三角形全等的判定定理：进行判断即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ A、∵，，，∴，故该选项正确； B、∵，，，∴，故该选项正确； C、添加，无法判断，故该选项不正确； D、∵，，∴，故该选项正确； 故选：C． 14．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）下列说法正确的是（     ） A. 有三条边和三个角分别对应相等的两个三角形全等 B. 有两个角分别对应相等的两个三角形全等 C. 有两条边分别对应相等的两个三角形全等 D. 有一条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、有三条边和三个角分别对应相等的两个三角形全等，该选项符合题意； B、有两个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； C、有两条边分别对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； D、有一条边和一个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：A． 15．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）下列命题中，真命题是（       ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】 本题考查了真假命题．根据对顶角，平行线的性质，全等三角形的判定，垂线段的性质判断即可. 【详解】 解：A、两个相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； B、同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； C、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题； D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，是真命题； 故选：D． 16．（25-26学年八上·重庆铁路中学）下列结论是正确的是(        ) A. 全等三角形的对应角相等 B. 对应角相等的两个三角形全等 C. 有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 相等的两个角是对顶角 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可. 【详解】、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确； 、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误； 、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误； 、相等的角不一定是对顶角，故错误. 故选：. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定以及对顶角的性质.注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等. 17．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（     ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带④去 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】 解：第② 块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：B． 18．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，与相交于点，连接，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形全等的判定、对顶角相等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据定理即可得． 【详解】 解：由对顶角相等得：， 在和中， ， ∴， 故选：D． 19．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（     ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形． 延长相交于点F，证明，可得，再证明，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：如图，延长相交于点F， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B 20．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（       ） A. 12米 B. 16米 C. 28米 D. 40米 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：米，米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 故选：C． 21．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，，要使，还需要添加一个条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 根据题目条件可知证明的条件已经具备“两边相等”，所以只需增加“第三边相等”或者“夹角相等”即可． 【详解】 解：为无意义条件，故A不符合题意， 则是，无法证明，故B不符合题意； 根据可得，则是，无法证明，故C不符合题意； 添加能利用证明，故D符合题意； 故选：D． 22．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】 解：，， ， 即， ， ，故A选项不符合题意； 补充不能证明，故B选项符合题意； ， ，故C选项不符合题意； ， ，故D选项不符合题意； 故选B． 23．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 24．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则可添加的条件为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】 解：∵ A、∵，， ∴， 故选项A符合题意； B、添加不能证明， 故选项B不符合题意； C、添加， 可得， 已经有此条件， ∴不能证明， 故选项C不符合题意； D、添加， 不能证明， ∴不能证明， 故选项D不符合题意． 故选：A． 25．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，将绕点顺时针旋转至，证明，得到，利用三角形外角的性质可推出，据此可得答案． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转至，     ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 26．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在四边形中，连接、相交于点，下列说法不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴；故选项A正确； ∵， ∴；故选项B正确； ∴， ∴；故选项D正确； 在中，为斜边， ∴， ∴；故选项C错误； 故选：C． 27．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）下列说法：（1）的算术平方根是；（2）的平方根是；（3）实数和数轴上的点是一一对应的；（4）三条边对应相等的两个三角形全等；（5）全等三角形对应边上的中线相等．其中正确的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查了平方根，算术平方根，实数与数轴，全等三角形的判定与性质，据此相关性质内容进行逐项判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数，即可作答． 【详解】 解：的算术平方根是，故（1）的说法不正确； ，2的平方根是，故（2）的说法不正确； 实数和数轴上的点是一一对应的，故（3）的说法正确； 三条边对应相等的两个三角形全等，故（4）的说法正确； 全等三角形对应边上的中线相等，故（5）的说法正确； ∴正确说法有（3）、（4）、（5），共3个， 故选：B 28．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，的面积为24，平分，且于点，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【分析】 先证明，得到，利用三角形面积公式得到，，所以．本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：平分，于点， ，， 又∵， ∴， ， 即点D是的中点， ， ． 故选：D． 29．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 ① 由∠E=∠F=90°,∠B=∠C,利用等角的余角相等可得出∠1=∠2,结论① 正确;② 由∠B=∠C,∠E=∠F,AE=AF,即可证出△BAE≌△CAF（AAS）,根据全等三角形的性质可得出BE=CF,结论② 正确;③ 由△BAE≌△CAF可得出AB=AC,结合∠C=∠B,∠CAN=∠BAM即可证出△ACN≌△ABM（ASA）,结论③ 正确；④ 通过证△BDN≌△CDM可得出DN=DM,根据三角形外角的性质结合等腰三角形的性质即可得出CD≠DN结论④ 错误,综上即可得出结论． 【详解】 解：① ∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C, ∴∠BAE=∠CAF, ∵∠BAE=∠BAC+∠2,∠CAF=∠CAB+∠1, ∴∠1=∠2，结论① 正确； ② 在△BAE和△CAF中,    ∠B＝∠C,∠E＝∠F,AE＝AF, ∴BE=CF,结论② 正确; ③ ∵△BAE≌△CAF, ∴AB=AC． 在△ACN和△ABM中， ∠C＝∠B,AC＝AB,∠CAN＝∠BAM, ∴△ACN≌△ABM（ASA），结论③ 正确； ④ ∵△ACN≌△ABM， ∴AN=AM． ∵AB=AC, ∴BN=CM． 在△BDN和△CDM中， ∠BDN＝∠CDM,∠B＝∠C,BN＝CM, ∴△BDN≌△CDM, ∴DN=DM． ∵∠CMD=∠CAB+∠B,∠C=∠B, ∴∠CMD≠∠C, ∴CD≠DM, ∴CD≠DN,结论④ 错误． 故选:C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的性质,逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 30．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 31．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】 解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 32．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在△和△中，已知，还需添加两个条件才能使△≌△，不能添加的一组条件是（       ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 直接利用全等三角形的四组判断方法逐项判断即可． 【详解】 解：∵CB=CE. ∴当，时，满足SAS，可证△≌△，故A不符合题意； 当，时，满足SSS，可证△≌△，故B不符合题意； 当，时，满足是ASS，不能证明△≌△，故C符合题意； 当，时，满足AAS，可证△≌△，故D不符合题意． 故选C． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定方法，灵活运用全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA，AAS）是解答本题的关键． 33．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（     ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【详解】 A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 34．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，垂直定义，同角的余角相等，根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质得出，，进而解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 35．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 36．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，平分交于点，交于点，，则下列结论中：①；②；③，其中正确的有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 由题意得， ，，对于① ：可证，得到的结论；对于② ：可由① 得到，所以，进而证明，易得，结论可判定；对于③ ：可延长交于点，由平分，，证得，将，结论可判定． 【详解】 解：①，， ． ， ， ． ， ，故① 正确； ②， ， ． ，平分， ，， ，即， ， ，故② 正确； ③ 延长交于点，如图， 平分，， ，， ， ， ， ． ，故③ 不正确； 综上所述：以上结论正确的有① ② ； 故选：C 【点睛】 本题主要考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，添加辅助线构造全等，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，学会添加适当的辅助线构造全等是解题的关键． 37．（八上·重庆川外基础教）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】 解：A、添加，无法判定，故此选项符合题意； B、添加， ∴，故添加选项B可以判定，故此选项不符合题意； C、添加， ， ∴，故添加选项C可以判定，故此选项不符合题意； D、添加， ， ∴，故添加选项D可以判定，故此选项不符合题意． 故选：A． 38．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，在中，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 在上截取，连接，，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据直角三角形的性质求解即可得． 【详解】 解：如图，在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 39．（25-26学年八上·重庆·期中）下列给出的四组条件，能画出形状和大小都确定的的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理，三角形的三边关系进行分析即可，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【详解】 解：、，，，不符合构成三角形的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意； 、因为不是和的夹角，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意； 、，，，符合全等三角形的判定定理，所以能画出形状、大小确定的三角形，故符合题意； 、，，，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意； 故选：． 40．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 分别对四个结论进行分析，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定与性质等来判断． 【详解】 解：在中， ∴． ∵，分别平分，， ∴，． ∴． 在中，故① 项正确． ∵，分别为的两条角平分线，且相交于点，根据三角形三条角平分线交于一点， ∴平分．故② 项正确． ∵在，，的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点到边，，的距离相等．故③ 项正确． 如图，在上截取，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由① 知， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴． ∴．故④ 项正确． 综上，① ② ③ ④ 都正确， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 41．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查四边形的内角和，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到点，使，连接，则，根据，得到，，证得，从而得到，，再推导，证得，进而得到，故，完成求解． 【详解】 解：延长到点，使，连接，则， ∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 42．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（     ）个 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的高和角平分线，全等三角形的判定和性质，由三角形的高可得，进而由三角形角平分线的定义可得，即可判定① ；证明，得到，，进而可证明，即可判定② ；由得到，，可得，，可判定③ ④ ，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，故② 正确； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故③ 正确，④ 错误； 综上，正确的有个， 故选：． 43．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为（       ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【分析】 根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【详解】 解：在中， ， ∵、分别平分， ， ， ，所以结论①正确，符合题意； ， 又， ， ， ∵， ，所以结论②正确，符合题意； （全等三角形对应角相等），（全等三角形对应边相等）， （等量代换）， ，， 是的外角， ，所以结论③错误，不符合题意； 又， ， 即，所以结论④正确，符合题意， 综上所述，所有正确结论的序号为① ② ④． 故选：B． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 44．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形中线的定义可得，运用可证明可得，即可判断① ；由全等三角形的性质可得，再根据面积的和差可判定② ；由全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③ ；直接根据全等三角形的判定判断④ 即可． 【详解】 解：是的中线， 在和中， ， ， ，所以①正确； ∵ ∴， ，即和面积相等，所以②正确； ∵， ， ∴，所以③正确； 与BC不一定相等， 不能判断，所以④错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 45．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，在中，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，，则；（3）；（4）的面积为18，且被直线平分；其中正确的说法个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 由正方形的性质可得，再由，，即可判断（1）；证明即可得到，再根据角之间的关系可得，即可判断（2）（3）；作交于，交于，证明，，，得到三角形之间的面积关系，即可判断（4）． 【详解】 解：四边形和都是正方形， ，， ，， ，故（1）正确，符合题意； 在和中， ， ， ，，故（2）正确，符合题意； 如图，令和交于点，和交于点， ，， ， ， ， ，故（3）正确，符合题意； 作交于，交于， 四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可得：， ，， ， ， ， ， ，， ， ，故（4）正确，符合题意； 综上所述，正确的有（1）（2）（3）（4），共4个， 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，找准各个图形之间的面积关系，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 46．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）（多选）如图，已知AB=AC，BD=CE，证明△ABE≌△ACD． 【答案】解：∵AB=AC，BD=CE， ∴AD=AE． 又∵∠A=∠A， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 【分析】 已知两边，则我们可以利用SSS或SAS来证明，此处应采用SAS来证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，本题比较简单． 47．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握利用证明三角形全等． 利用证明三角形全等即可． 【详解】 解：根据中点的性质得， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：12． 48．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，已知，垂足为B，，若直接应用“”判定，则需要添加的一个条件是　　　　　　　　． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，解决本题的关键是找到一组直角边相等． 根据直角三角形中一组直角边和一组斜边对应相等证明即可． 【详解】 解：∵， ∴与是直角三角形， ∵， 若， 则需或即可， 故答案为：或（答案不唯一） ． 49．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：∵在和中， ∴（） 【分析】 本题考查全等三角形的判定（SSS），运用了直接判定的方法，解题关键是识别公共边，找全条件证明． 【详解】 略 50．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是　　　． 【答案】① 【分析】 可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】 解：带① ② 去，符合ASA判定，选项符合题意； 带② ③ 去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 带② ④ 去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故答案为：① ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解本题的关键． 51．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，点、F，分别在边，上，．    （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ 又∵ ∴；     （2）44°      【分析】 （1）根据等边对等角得到，然后证明出即可； （2）设，根据题意得到，然后表示出，，然后利用三角形内角和列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ 解得 ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 52．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】 解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 53．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ；     （2）2      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 54．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，中，D是延长线上一点，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：∵D是延长线上一点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）      【分析】 此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 55．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，其，，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明，得到，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 56．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在中，D为边上一点，满足，连接． （1）尺规作图：以为边，D为顶点作，交线段于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明：∵， 又∵①________， 且． ∴②________． 在和中 ∴（ ④________）， ∴． 【答案】（1） 如图所示：      （2），，，      【分析】 本题考查了作一个角的已知角，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，以为边，D为顶点作，交线段于点E，即可作答． （2）分析题意，结合已有的过程，运用全等三角形的判定与性质进行补充，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵， 又∵， 且． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：，，， 57．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵，    ①   ． ，    ②   ，即． 在和中， （   ④   ）； ． （___⑤_____） 【答案】①，②，③，④，⑤ 内错角相等，两直线平行． 【分析】 本题考查平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差，逐步分析解答即可． 【详解】 证明：∵， ． ， ，即． 在和中， ； ． （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①，②，③，④，⑤ 内错角相等，两直线平行． 58．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．求证：． 【答案】解：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】 略 59．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）（多选）如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求证：AC＝DF． 【答案】∵AC∥DF， ∴∠ACB=∠DFE， ∵BE=CF， ∴BE+CE=CF+CE即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）， ∴AC=DF． 【分析】 根据平行线的性质和全等三角形的判定证明△ABC≌△DEF即可证得结论解答． 【详解】 略 【点睛】 本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 60．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在中，边的高，点E为边上的点，且，，的关系是　　　　　　　　　　　　；若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　； 【答案】①     ② 18 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是由与全等可得两个三角形面积相等． ① 根据的证明方法证明与全等，由此可得关系； ②，由全等可得，同时可得，再由阴影部分的面积求解即可． 【详解】 解：① ∵， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴； ② ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 故答案为：① ；②18． 61．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）已知：如图，点C，D在线段上，，．判断线段与的关系并证明． 【答案】证明：，理由如下 ∵，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先证明，，继而证明，得到，即可解答． 【详解】 略 62．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，则的长为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查三角形全等的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件可证明，则得，则可求． 【详解】 解：在中， ， ， ， ． 故答案为：3． 63．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，已知，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴；     （2） ∵， ∴， ∴，即， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定及性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法即可证明结论． （2）根据全等三角形的性质推出，即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 64．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，点B，E，F，C在同一直线上，． （1）求证：． （2）若，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定、线段的和差计算， （1）先证明，再根据证明全等即可； （2）根据，求出，进而求出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ． 65．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用．如图，延长到，使，连接，证明，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】 解：如图，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 66．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质．根据证明，推出，即可得证． 【详解】 略 67．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ，， ∴， ∴． 【分析】 此题考查全等三角形的判定及性质． 可通过全等三角形的判定定理证，再利用全等三角形的性质来得出的结论． 【详解】 略 68．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在平面直角坐标系中，，若点，，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识．过点C作轴于点D，证明，推出，，据此即可求解． 【详解】 解：过点C作轴于点D， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 69．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在和中，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  【答案】（或） 【分析】 根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 70．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明：，， ， 在和中， ∴． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定， 先证明，再利用即可证明． 【详解】 略 71．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．先证明，求得，再由三角形中线的性质即可求解． 【详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又E为的中点， ∴， 故答案为：2． 72．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，点A在上，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，证明，则，再结合对顶角和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】 解：设、相交于点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 73．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，是的中线，分别过点C、B作及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．    （1）求证：； （2）若的面积为8，的面积为6，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）20      【分析】 (1)根据证明即可； (2)由中线得，再由全等三角形的性质即可求出面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 74．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由平行线的性质得到，再由得到，根据全等三角形的判定与性质即可求证． 【详解】 证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ． 75．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）已知：如图， 【答案】证明: 【分析】 结合已知条件再加上公共边AD根据“AAS”即可证得△CAB≌△DAB，根据全等三角形的对应边相等即得结果． 【详解】 略 76．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在一次户外工程测量中，需要确定被椭圆形障碍物隔开的线段的长度．点B、F、C、E在直线l上（F、C之间被椭圆形障碍物阻挡，无法直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是根据题意，正确得到． （1）由可得，再根据，可得，即可求证； （2）由（1）可得，从而得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴． 77．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼出了两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“字”模型．请结合模型解决下列问题： （1）如图2，已知：在中，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，且，，其余条件与（1）相同，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，得，由此即可求解； （2）根据题意得到，得，结合题意，设，则，则，由此列式得到，由面积公式即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 78．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）由三边分别相等判断三角形全等的结论，我们知道了用直尺和圆规作一个角等于已知角的办法： 第一步：在下图中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； 第二步：任意画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 第三步：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 第四步：过点画射线，则 （1）请根据以上作图步骤，完成尺规作图： 已知： 求作：，使得（只画图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2） 证明：连接， 由作图可得， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了基本作图—作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）由作图可得，再利用证明即可得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 79．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，且测得到点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中，点和点的高度差的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴；     （2）的长为．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可． （1）证即可求解； （2）根据得出，，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴（）， 答：的长为． 80．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，中，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质和已知条件证明，再证明得到，据此可得答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 81．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则　　　　　． 【答案】2 【分析】 此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接，过点D作于H，得到，证明，推出四边形为矩形，进而得到，，再证明，得到． 【详解】 解：连接，过点D作于H， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 82．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点，求证：； （2）如图2，点、分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）先根据同角的余角相等得出，再根据证明即可； （2）先根据已知条件证明，再根据证明即可求解． 【详解】 （1）略 （2）略 83．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在和中，，，，交于点P． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由全等三角形的性质可得，然后根据三角形内角和可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 84．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在中，点、分别在边、上，． （1）请用基本尺规作图：在的右侧作，使射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）问的条件下，若，证明：．请将下列证明过程补充完整． 证明：        ①        在和中 ，       ③               ④        ． 【答案】（1） 如图所示： ；     （2）①   ②   ③   ④      【分析】 本题考查尺规作图-作两个角相等、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质等知识，熟记尺规作图-作两个角相等、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质是解决问题的关键． （1）尺规作图，作即可得到答案； （2）由等量代换、三角形全等的判定定理与全等性质、等腰三角形性质求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 证明：，， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 85．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，点是的中点，交于点，连结，若的周长是20，则的周长等于　　　　　　　　　　　． 【答案】28 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和三角形周长解答即可． 【详解】 解：∵点D是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵的周长是20，， ∴的周长， 故答案为：28． 86．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）7      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 87．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ， ， ． 88．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）在学习了全等三角形和三角形的中线、角平分线、高后，思无涯学习小组通过进一步研究发现：等腰三角形中底边上的中线也是底边上的高，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： 如图，在中，点是的中点． （1）基本尺规作图：作，交线段于点E， （2）连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （3）求证：． 证明：在中，点D是的中点， ∴①          ， 又,    ， 是等腰三角形. 在和中， ②______，，， ， ③          ， 又， ∴④            ， ． 【答案】（1） 解：图形如图所示：      （2） 解：图形如图所示：      （3）①；②；③；④      【分析】 本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据要求作出图形即可； （3）证明，推出可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 89．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，米，于点A，于点B，且米，点P从B向A运动，每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，与全等？ 【答案】4分钟 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，分当时和当时，两种情况进行讨论，求得和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】 1）当时，（米）， 则（米）， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 2）当时，（米），（米）， 则P运动的时间是：（分钟）， Q运动的时间是：（分钟）， 故不能成立． 总上所述，运动4分钟后，与全等． 90．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，完成下面推理过程． 如图所示，点在外部，点在边上，交于，若，求证：． 证明：∵和中，．（                      ） ∵（已知）， 又（                      ） ∴． 又∵， ∴                                            （                      ） 即                      ． 在和中， ∴（                      ） ∴（                      ） 【答案】三角形的内角和为；对顶角相等；，等式的性质；AAS ；全等三角形的对应边相等； 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定方法，全等三角形的性质，进行作答即可，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】 略 91．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、． （1）点的坐标为______，的度数为______； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），     （2） 与的数量关系：，位置关系：；理由如下： 设与y轴交于点P，与交于点F，如图1， ， ， 在和中，， ， 在和中， ， ， ，，， ，即， ， ， 即，；     （3） ，理由如下： 延长交于点G，如图2， ，，， ， ， 平分， ， ，， ， ， ．      【分析】 本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，绝对值和平方的非负性． （1）依据平方与绝对值的非负性，可得，再求解即可； （2）设与y轴交于点P，与交于点F，证明，可得，，再求，可得； （3）延长交于点G，证明，再次证明，推导出，即． (1) 小问详解： 解：已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足， ，， 、B的坐标分别为：，， ， ， ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 92．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． （1）基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④， ∵， ∴． 【答案】（1）作图见解析；     （2）；；；．      【分析】 （）根据作一个角等于已知角的基本作法作图即可； （）根据全等三角形的判定和性质求解； 本题考查了基本作图，掌握作角等于已知角的基本作法和全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求； (2) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 93．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，解题的关键是证明． 过A和B分别作于D，于E，利用已知条件可证明，再有全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】 解：如下图，过A和B分别作于D，于E， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点C的坐标为，点A的坐标为， ， ， ， 点的坐标是， 故答案为： 94．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）综合与实践 （1）操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是          ． （2）开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． （3）拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 【答案】（1）     （2）（1）中的结论成立．证明见解析     （3）证明见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）先证明出，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （2）证明，得出、，再根据线段的和差即可得到数量关系； （3）如图，过点作于，的延长线于．同（1）可证、可得、、；再证明可得． (1) 小问详解： 解：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：仍然成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3) 小问详解： 证明：如图，过点作于，的延长线于． 同（1）可得，， ∴， 在和中， ， ， ． 95．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【答案】证明：延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．    ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD 【分析】 延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 96．（25-26学年八上·重庆铁路中学）小明和爷爷、奶奶在公园里荡秋千，开始时小明坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．如图，小明从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，奶奶在距地面1米高（即）的处接住他后用力一推，爷爷在处接住他．已知奶奶与爷爷到的水平距离，，，，，，设的延长线与地面交于． （1）与全等吗？请说明理由． （2）当爷爷在处接住小明时，求小明距离地面的高． 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： ，， ， ， 又， ， 在与中， ；     （2）即小明距离地面有高      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． （1）利用，证得与全等即可； （2）根据全等三角形性质可求出和的值，最后根据，即可求出问题答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， 即小明距离地面有高． 97．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． 在与中， ．     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． （1）根据已知条件可推出，再结合，，利用判定定理即可证明． （2）先由（1）中三角形全等得出，再根据三角形外角性质求出，根据三角形的内角和定理和对顶角相等求出即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ， ，． ∴． 98．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据等式的性质可得出，根据平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质求出，然后根据邻补角定义求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 99．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，已知和都是等边三角形． （1）观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为               ；               ； （2）如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明； （3）深入研究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点，（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1） ；     （2） ， 证明：同（1）可证， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．  ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （3） 成立．证明：如图，设与交于点O． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，  即．  在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴．      【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可得到，进而根据三角形内角和计算即可； （2）同（1）可证，得到，进而证明，根据等边三角形的判定和性质求出，得到，即可证明； （3）如图，设与交于点O．根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明，得到，进而计算即可． (1) 小问详解： 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ， ∴．  在和中， ， ∴， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ；； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 100．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，在中，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．若，则的长为　　　　　　　　；在此条件下，点M为边上一点，连接，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线于点F，若，则的长为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键：证明，得到，线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 101．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则　　　　　　　　　°． 【答案】180 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，． 通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和． 【详解】 解：∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：180． 102．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）已知：中，． （1）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； （2）如图，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； （3）如图，点在延长线上，且，连接与的延长线交于点，若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵于E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ， 证明：如图2中，作于H． ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴．     （3）．      【分析】 （1）欲证明，只要证明即可； （2）结论：．如图2中，作于H．只要证明，推出，，由，推出即可解决问题； （3）过作于H．再利用（2）中结论即可解决问题； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3中，过作于H． 同理可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，设， 则，， ∴． 【点睛】 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 103．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质； （1）根据平分，，得到，，根据得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据，得到，结合，得到，结合，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 104．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在中， （1）如图1，，为上一点，于点，于点，，，求的长； （2）如图2，点、分别是、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，且，，求与面积之和． 【答案】（1）     （2）与面积之和为      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算，当两个三角形的高相等，那么这两个三角形的面积之比等于底之比，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形面积的计算是解题的关键． （1）由已知可得，易证，得到，，根据可求得； （2）由，易证，所以得到，根据两个三角形的高相等，则由面积之比等于底之比，即可求得． (1) 小问详解： 解：，，， ． ，， ． ， ， ，． ， ， ． (2) 小问详解： 解：，， 又，， ，． ， ， ． ，， ， ． 105．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． （1）证明：； （2）写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴；     （2） 解：数量关系为．理由如下： ∵， ∴，． ∵， ∴，即．      【分析】 本题考查“一线三垂直”模型下的全等三角形判定与性质，关键是利用同角的余角相等得到角相等，结合已知边相等证明全等，再通过全等的对应边推导线段数量关系． （1）通过垂直关系得到直角，结合直角三角形的余角相等，找到全等的角和边，用判定全等； （2）利用全等三角形的对应边相等，将线段转化为与的和，再代入对应边得到数量关系． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 106．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知，是等腰直角三角形，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 107．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，点C在线段AB上，，，CF平分．求证：． 【答案】证明：，． 在和中， ，． 平分，． 在和中， ． 【分析】 先通过平行线的性质和已知条件证明，再证明． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 108．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 【答案】证明：由BE＝CF可得BC＝EF， 又AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， 则∠B=∠DEF， ∴AB∥DE． 【分析】 利用SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得∠B=∠DEF，再由平行线的判定即可得AB∥DE． 【详解】 略 109．（25-26学年八上·重庆·期中）如图所示，在中，，，，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．先证明，得出，，再由三角形内角和定理即可判断出； 【详解】 略 110．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，已知B，C，D三点在同一条直线上，，． （1）求证：； （2）若、的角平分线交于点F，求的度数． 【答案】（1） 证明：， 在和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，平行线的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据“”证明全等即可； （2）连接，由全等三角形的性质，得到，再结合角平分线的定义和三角形内角和定理得出，然后证明，从而推出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 111．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，为线段上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得．证明即可； （2）由，可得，，根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， 又∵， ∴，， ∴， ∴的度数为． 112．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，中，，为的平分线．若点到直线的距离为，则长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质． 延长、交于点F，利用角平分线的定义和全等三角形证明，得出的长度，再通过角度关系证明，从而得到． 【详解】 解：延长、交于点F， 平分，，， ，， ， ， ，. 是等腰直角三角形， ， 又∵， ， 又∵，， ， ． 故答案为：． 113．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，小亮和小强住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小亮家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小强在自己家阳台C处观察E处得到的角度为，小亮站在F处观察楼顶端A的角度为，两人发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼的高度． 【答案】单元楼的高度为39.6米 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，过点F作于点G，先证明四边形是长方形，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案. 【详解】 解：如图，过点F作于点G， ∴， ∴四边形是长方形，（米），（米）， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：单元楼的高度为39.6米． 114．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）（1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）： （2）已知：如图，于G，，求的长． 证明： ①_________， 而， ， 在与中 ， ， ②_________， 又， ， ， ， ③_________， ④_________． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2），，，． 【分析】 该题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作图． （1）根据题意作图即可． （2）证明，得出，根据，求出，即可求解． 【详解】 （1）略 （2）略 115．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图1，在中，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ．     （2）     （3）      【分析】 本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ， ， ， 的长是． (3) 小问详解： 解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为12． 116．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，，，点，分别在，上，延长至点H，使得，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， ． 在与中 ．     （2） 由（1）得， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ．      【分析】 此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 117．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是　　　　　　m． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴    故答案为：. 118．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）在中，． （1）如图1若平分，交于F，过B作，垂足为E，探究、的数量关系； （2）如图2，当点D为线段上一点（不与B，C重合），，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：． 理由如下：如图，延长，交于点H， ∵平分交于F，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴，     （2） 解：，理由如下： 如图，过点D作交延长线于点H，交于点G， 则，， ∵， ∴平分，又， 故由（1）可知．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，添加辅助线是解答的关键． （1）延长，交于点H，先证明得到，则，再证明可得结论； （2）过点D作交延长线于点H，交于点G，根据平行线的性质得到，，进而可得平分，由（1）可知． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 119．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． （1）【初步尝试】如图，在中，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． （2）【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． （3）【综合应用】如图，在中，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴ ∵；        ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形．      【分析】 （1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． (1) 小问详解： 解：如图1，中，       ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； (2) 小问详解： 如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了三角形的中线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的分类等知识．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形解决问题． 120．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】（1） 解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （2） 解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 121．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，在中，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．若，，则的长为　　　　　．在此条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，苦，则的长为　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 根据已知条件可证明，得到，，用线段的和差关系求出的长，即为的长，作于点，证明，得到，根据，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】 解：， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 作于点，如下图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 122．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）在中，． （1）如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． （2）如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2） ，理由如下： 如图2，连接，延长至点G，使得，连接， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵M为中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据中点构造辅助线． （1）证明，得到，，即可得解； （2）连接，可证，得到，，延长至点G，使得，连接，可证，得到，，从而可得，，得到，证得，得到； （3）连接，由共线可得，延长至点H，使得，连接，可证，得到，，从而，连接，令与交于点N，由可得，可证，得到，，，作，可证，得到，推到，，，，最终得出结果． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，证明如下： 如图3，连接，，延长至点H，使得，连接，作交于K，令与交于点N， ∵， ∴， ∴， ∵D、Q、M三点共线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 123．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】（1） 补全图形，如图： ，，     （2） 成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴；     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 124．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）在等腰中，，点D为上一点，连接． （1）如图1，若平分，，求的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） ，证明如下： 过点A作，且，连接，， ∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）过点D作，交于点H．证明，得出，，根据等腰三角形的判定和勾股定理可得出，，设，则，结合得出，然后解方程即可求解； （2）过点A作，且，连接，，证明，得出，，进而可证，再证明，得出，根据勾股定理可求出，即可出结论； （3）以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，，可证，得出，则，故当A、P、G三点共线时，取最小值，此时，过A作于E，过G作于F，可求出，，根据等面积法求出，进而求出，根据等边对等角、三角形外角的性质等知识可得出，则，然后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：过点D作，交于点H． ∵在等腰中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：以B为顶点，为边，在的下方作，且截取，连接，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、G三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， 此时，过A作于E，过G作于F， 则和都是等腰直角三角形， ∴，， 又， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 125．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）在中，动点A在x轴的正半轴上，动点C在y轴的正半轴上，已知，． （1）在图①中，求证：； （2）已知在图②中点A的坐标为，点C的坐标为，求B点的坐标； （3）在图③中，以、为腰在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，，，连接交y轴于点P，求证：P为的中点． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴；     （2）     （3） 证明：如图③ ，过点B作轴交y轴于点M，过点E作轴交y轴于点N， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴P为的中点．      【分析】 本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． （1）由题可知，再根据同角的余角相等即可获证； （2）过点B作轴交y轴于点D，结合（1）中的结论和，用证得，，，即可求得B点的坐标； （3）过点B作轴交y轴于点M，过点E作轴交y轴于点N，由（2）中的经验可同样证得，，进而有，再用证，则有，即可获证结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， 如图② ，过点B作轴交y轴于点D， ∴， 由（1）知， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴B点的坐标为； (3) 小问详解： 略 126．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）在中，为边的中线，，，连接、、． （1）若，求的度数 （2）若，求证： 【答案】（1）     （2） 证明：延长到，使，连接，则， 为边的中线， ， ， ，， ， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， 即， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （2）延长到，使，则，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． (1) 小问详解： 解：， ， 又，， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 127．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，点在边上，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）；      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据得到，结合，得到即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合，即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 128．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知，中，．分别以、为边，向外作等边和等边． （1）如图1，连接线段、．求证：； （2）如图2，连接交于点．求证：为的中点． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ；     （2） 证明：如下图所示，过点作， 是等边三角形， ，， 中，， ，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 根据等边三角形的性质可证、、，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 首先证明，根据全等三角形的性质可得，再利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 129．（25-26学年八上·重庆·期中）在中，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．    （1）如图1，当点D在线段上，如果，则________度． （2）设，． ①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由． ②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由． 【答案】（1）90     （2） ①，理由如下： 由题（1）知， ， ， ， ； ②，理由如下： 类比题（1），可得， ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】 （1）证明，得，即可证明； （2）② 与（1）同理，得，则根据即可证明；②与（1）同理，得，再根据即可证明． (1) 小问详解： 解：， ， ，，， ，， ， ， 故答案为：90； (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 130．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）（多选）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC． （1）猜想△ABC按角分类的类型，并证明你的结论； （2）如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥AB，连接CE和DE，若AD+BE＝ED，求证：∠ECD＝45°； （3）如图2，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM＝AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，求证：NP＝MB+CP． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC， ∴在中最大， 设，则 ∵ ∴ 解得， ∴ ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：将绕点C逆时针旋转90°，得到,如图， 则 ∵EB⊥AB， ∴ 由（1）得 ∴ 又∵ ∴点F,A,B三点共线， ∵AD+BE＝ED， ∴ 即 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵ 且 ∴ ∴； （3）证明：由（1）得 过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，如图， ∵AQ⊥AM，PC⊥BM， ∴ ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∵CM＝AN， ∴ ∵ ∴ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴． 【分析】 （1）由已知首先确定在中最大，再设，则根据三角形内角和为180°列出方程，得出的度数，即可说明； （2）将绕点C逆时针旋转90°，得到,则再证明点F,A,B三点共线，得出即再证明得出通过倒角即可证得； （3）过点A作AQ⊥MN，交PC延长线于点Q，设BC与BM交点为H，首先证明,得出再证明得出根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，通过作辅助线将已知条件联系在一起是解题关键． 131．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）图（1），在平面直角坐标系中，点，，且满足，连接，，，且，于点E，交直线于点P． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）求证：； （3）如图（2），点M在上，连接，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），     （2） 证明：由题意可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴；     （3） 解：，理由如下： 如图，过N作轴，交的延长线于点K，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了非负数的性质、全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平方式和绝对值的非负性求得m、n，即可求解； （2）由题意可得：，，利用同角的余角相等即可求证； （3）过N作轴，交的延长线于点K，先证明得到，，再证明得到，进而等量代换可得结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， 即， 则，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 132．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 133．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）已知：中，，过点A作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：； （2）如图2，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴．     （2） 证明：如图2，过点E作，交的延长线于N， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴．     （3）      【分析】 （1）由“”可证，可得． （2）过点E作，交的延长线于N，由“”可证，可得，由“”可证，可得． （3）设，结合，利用三角形的面积公式求解面积比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在延长线上时，如图，过点作，交的延长线于， ， 设，， 由（2）得：， ， ， ， ， ， ， 综上，的值为． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 134．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在四边形中，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为　　　　　　时，与全等． 【答案】3.5或 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，；当，时，然后分别列方程求出即可． 【详解】 解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， ∴，， 点为线段的中点， ， 当，时， 即，， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 当，时， 即， 解得，， 即此时点N的运动速度为； 综上所述，点N的运动速度为3.5或． 故答案为：3.5或． 135．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小明证明用到的判定定理是：               ；（用字母表示） （2）的取值范围是               ； （3）【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； （4）【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3） 证明：延长至点N，使，连接． ∵点M为的中点， ． 在和中， ， ． ， ． ， ∴． 在和中， ， ， ， ∵ ；      （4） 解：． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【分析】 本题主要考查了三角形三边关系，三角形全等的判定与性质等知识，理解题目中方法“倍长中线法”是解题关键． （1）根据“边角边”证明，即可求解； （2）根据，得到，根据三角形三边关系得到，即可得到； （3）延长至点N，使，连接．先证明，进而证明，得到，即可证明； （4）在的延长线上截取，连接，则．先证明，再证明，即可证明，． (1) 小问详解： 解：∵点D为的中点， ∴， 在和中， ∴（）． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 略 136．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．若，，则的长为　　　　　　　　；在此条件下，点M为边上一点，连接，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余及利用三角形面积公式求线段长度．先根据已知条件，利用直角三角形两锐角互余的定义求得，再利用“”证明，进而通过已知条件利用全等三角形的性质求得的长度；过点N作交直线l于点G，利用直角三角形两锐角互余的定义求得，再利用“”证明，得出，由利用三角形面积公式得出，求得的长度，进而根据线段的和差关系求出结果． 【详解】 解：∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴． 如图，过点N作交直线l于点G， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 故答案为：，． 137．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）已知且，点为直线上一点． （1）如图1，点在线段上，连接，将绕点顺时针方向旋转到，连接，若，求的度数； （2）如图2，当点与点重合时，连接，将绕点顺时针方向旋转到，连接，点为平面内一点，且，连接、，过点作于点，交于点，证明：； （3）如图3，若，连接，，将绕点逆时针方向旋转到，连接，当最小时，将沿翻折得到，连接，直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 证明：在上截取，在上截取，连接，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 是等边三角形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）通过在上截取线段构造全等三角形，利用角度关系推导的度数． （2）通过在线段上截取构造全等三角形和等边三角形，利用角度与线段的关系进行证明． （3）利用轴对称和旋转的性质，结合三角形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：在上截取，连接， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故的度数为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称与旋转的性质以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识并能灵活构造图形是解题的关键． 138．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则　　　　　　，的面积为　　　　　　． 【答案】① 4    ② 36 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的高等知识点，灵活运用等高模型解决三角形面积问题成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得、；设，则，则，即可求得；易得，根据等高模型可得，即，进而求得；如图：过M作，运用三角面积公式可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵于E，于D， ∴，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵等高， ∴，即， ∴，解得：； 如图：过M作， ∴，即，解得：， ∴的面积为． 故答案为：4，36． 139．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵等边和等边； ∴，； ∵； ∴； ∴     （2） ∵； ∴； ∵，； ∴； ∴； 即； ∵三角形是等腰直角三角形，E为中点 ∴平分； ∴； ∴； 上取一点H，使； ∴是等边三角形； ∴； 即； ∵， ， ； ∴； ∴； 即．      （3）      【分析】 （1）本题主要考查全以等边三角形为背景的全等三角形的判定（手拉手模型），直接利用，两个等腰三角形的对应边相等即可证明全等． （2）本题通过，，就可以确定的形状，可以推出，进而得到，然后再线段上取一点H构造等边三角形就可证明结论了． （3）第三小问，先确定性分析，，即对角互补，所以要把，绕着点E逆时针旋转，得到等边三角形，再根据全等的性质可以推出，最后确定点E的轨迹是在射线上运动，之后就是做对称，将军饮马问题，直接可以求出最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如下图所示，∵，； 把绕点E逆时针旋转，得到； ∵； ∴； ∴C，D，M三点共线； 由旋转的性质可知，是等边三角形； ∴; ∴点E的轨迹是射线； 作点B关于直线的对称点N； ∴； ∵； ∴； 即的最小值为． 【点睛】 本题主要考等边为背景下的全等三角形的判定，旋转变换下以等腰直角三角形旋转下的全等构造，进而判定线段相等，考查全等的判定和性质，考查对角互补性的全等构造，确定动点E的轨迹，将军饮马求两条线段的最值，遇到两个共顶点等边三角形，就一定能通过公共角和差，证明全等三角形，确定性分析，构造等边三角形是解决线段和证明的有效路径，求最值，利用旋转寻找动点轨迹是解题关键，将军饮马问题巧转化，求最值也是解题关键． 140．（25-26学年八上·重庆·期中）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 【答案】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）AD﹣AB＝2BE （3）3． 【分析】 （1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【详解】 （1）略 （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F，    ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF，AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH，    ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（     ） A. 等腰三角形两底角相等 B. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 角平分线上的点到角的两边距离相等 D. 三线合一 【答案】B 【分析】 此题考查了角平分线的判定定理．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】 解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：B． 2．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，是中的平分线， 于点，于点，若， 则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是中的平分线， 于点，于点， ∴， 故选：． 3．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】 本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】 解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 4．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，根据证明，即可推出本题的答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴，即是角的平分线， 故选：D． 5．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：如图所示，过点作， 由题意可知：平分，，， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，与均为等腰三角形，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【详解】 本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．过点A作于点M，于点N，证明，即可判断① ③ ④ 正确． 【分析】 解：过点A作于点M，于点N， ∵ ∴ 在和中， ∴，故① 正确， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴，故③ 正确， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴平分，故④ 正确， 在和中， 由于无法判断， 故无法判断，故与不一定相等．故② 错误． 故选：C． 7．（25-26学年八上·重庆铁路中学）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（       ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 【答案】A 【分析】 根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案． 【详解】 如图，    ∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF， ∴M在∠BAC的角平分线上， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 8．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（     ） A.  B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【分析】 此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由 可算出的长度． 【详解】 解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 9．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（     ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】B 【分析】 此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】 解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③；     ④．其中正确的结论有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 对于① ，利用角平分线的性质证明点到两边的距离相等，从而得出平分； 对于② ，通过角平分线性质和三角形内角和定理进行角度推导； 对于③ ，通过构造全等三角形，证明线段之间的关系； 对于④ ，利用三角形外角性质和角平分线性质进行角度关系的推导． 【详解】 ① ：过点作于点， 平分，，，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等， 平分，，， 同理可得， ， 又，， 平分，故① 正确； ② ：设，， 在中， ， 在中， 而， 由三角形内角和， 即， 解得， 那么， 所以， 而，故② 错误； ③ ：在上截取， 平分， ， 又，，根据边角边可得， ，， 由① 知， ， 平分，，， ， 又，， ， ， ，故③ 正确； ④ ：是的外角， 又平分， ， ，故④ 正确． 综上，① ③ ④ 正确，正确的结论有个， 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角性质．通过作辅助线，构造全等三角形，利用角平分线性质进行角度和线段关系的推导是解题的关键． 11．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，在、上分别截取、，使．再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点． 已知，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据，，可得：，，由作图可知，是的平分线，根据角平分线的性质可证，根据等角对等边可知，根据直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半，可得，所以可得，根据即可求出结果． 【详解】 解：，，， ，， ， 由作图可知，是的平分线， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、尺规作图作已知角的平分线、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质． 12．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是6，则的面积是（       ） A. 8 B. 9 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形中线性质，角平分线性质，过作，，根据中线得到，根据角平分线得到，结合，即可得到答案； 【详解】 解：过作，， ， ∵点是的中点，的面积是6， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 13．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（     ） A. ①②③④ B. ①③⑤ C. ①②③ D. ①②④⑤ 【答案】D 【分析】 结合等腰三角形的性质先证，再由全等三角形的性质可推得① 正确；结合三角形内角和定理可证② 正确；由全等三角形的面积相等推得全等三角形内高相等，结合角平分线的判定定理可证④ 正确；结合已证的② ④ 即可推得⑤ 正确；若③ 成立，推得的条件与题意不符，则③ 错误，综上即可得到答案． 【详解】 解：和都是等腰三角形， ，，， 即， 在和中， ， ， ，故① 正确； ， ， 中， 中，, ， ，故② 正确； 作交于点，交于点， ， ， 即， ， 点在的角平分线上， 即平分，故④ 正确； 又， ，故⑤ 正确； 若③ 成立，则， 由② ⑤ 得，， ，， 即， 中， 中， ， ， ， ，推出， 由题意知，不一定等于，故③ 错误． 综上，正确结论有① ② ④ ⑤ ． 故选：． 【点睛】 本题考查的知识点是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 14．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于　　　　　　 【答案】6 【分析】 本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于6． 【详解】 解：过作于， 平分，， ， 点到的距离等于6． 故答案为：6． 15．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度． 【详解】 解：过点作，垂足为，    是的角平分线， ， 的面积是，，， ， 即， ， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； 【答案】（1） 证明：是的角平分线，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ． 17．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，中，平分，，则的面积是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质可得，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：如图所示， 过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）（多选）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 【答案】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 【分析】 （1）由条件可利用AAS先证明△BOD≌△COE，即可证明OD=OE； （2）利用角平分线的判定定理即可证明OA平分∠BAC． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，利用三角形全等来找条件是解本题的关键． 19．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中， ， ， ． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （②             ）              又∵ ， ∵              ∴（⑤            ） 【答案】（1）如图，作图如下：      （2）；②；；；⑤ 同位角相等，两直线平行      【分析】 本题考查的是作角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）根据作已知角的角平分线的步骤作图即可； （2）根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 20．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，已知是的角平分线，，，则的周长为　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形面积的计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据和面积的两种计算方法可得出，即可求出，再计算周长即可． 【详解】 解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 过点作于点， 是的角平分线， ， ， 即：， ， 的周长为：； 故答案为：． 21．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，在中，于点D． （1）尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中 ∵且             ①            ， 在中 ∵ ， ， ，             ②             ， 又∵平分 ∴ ∵             ③              ， ∴             ④             ． 【答案】（1） 即为所求：      （2）①，②，③，④      【分析】 本题主要考查尺规作图，角平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键。 （1）以点为圆心，以适当长度为半径作弧，交，于两点，，以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于一点，作射线，交于点，即为所求． （2）先由三角形的内角和定理可求得，，进而得到，再由角平分线定理可得，最后根据， 即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）（多选）学习了等腰三角形定义后，小明在探究等腰三角形两底角相等时，他的思路是：添加顶角的平分线AD，然后证明，从而得到两底角相等．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点A作∠BAC的平分线交BC于点D（只保留作图痕迹）． 在和中， ∵是等腰三角形，∴____________________．① ∵AD平分∠BAC，∴____________________．② 又____________________．③∴．∴____________________．④ 【答案】如图，射线AD即为所求． AB＝AC；∠BAD＝∠CAD；AD＝AD；∠B＝∠C 【分析】 根据要求作出图形，利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】 解：在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）， ∴∠B=∠C． 故答案为：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠B=∠C． 【点睛】 本题考查作图——复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在四边形中，于点D，． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点E，的延长线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的的平分线中，求的度数． 解：∵， ∴①___________， ∵， ∴②_______， ∵， ∴③_______， ∵平分， ∴④_______ ∴⑤_______． 【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2） ① 垂线的定义；② 两直线平行，同旁内角互补；③；④；⑤．      【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由垂线的定义，得到，由平行线的性质，得到，再结合角平分线的性质，得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） （2）证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 【答案】（1） 解：如图所示      （2）①；②；③；④；⑤ 大边所对角比小边所对角大．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵平分线， ． 在和中， ∴． ． ∵， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：①；②；③；④；⑤ 大边所对角比小边所对角大 25．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在与中，，，过点作，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ，， 作交于点， ， 和中， ， ， ， 又，， 点在的角平分线上， 即平分；     （2）四边形的面积为．      【分析】 （1）利用“边角边”证明，由全等三角形性质得，，作交于点，利用“角角边”证明，由全等三角形性质得，最后由角平分线的判定即可得解； （2）由得，利用“”证得，则，根据即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 26．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，已知中，是的角平分线，于E点，为中边的高，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等． 过点作于点，由角平分线可得，设，，则，再由建立方程求解即可． 【详解】 解：过点作于点 ∵，是的角平分线， ∴， 设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴的长为， 故答案为：． 27．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分，      ①     ， 在与中 ， ，      ③     ， ，，且，      ④     ， ， ． 【答案】（1） 如下图，即为所求，      （2）①；②；③；④      【分析】 本题考查角平分线的作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质和平行线的判定是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法和作线段的方法，得到点、，然后连接即可； （2）根据角平分线可得，易证得，可得，利用三角形内角和定理可推出，进而得到，最后根据平行线的判定可证得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：平分， ， 在与中， ， ， ， ，，且， ， ， ． 故答案为：①；②；③；④． 28．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点Q为的外角的角平分线上一点，且，于点M． （1）若，，求的面积． （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：，， ． 在和中 ， ， ． 在和中 ， ， ． ， ．      【分析】 本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）过点作交于点，根据角平分线的性质定理得到，从而得到的长，利用三角形的面积公式即可得到答案； （2）根据题意易证得和，从而得到，，再利用等量代换即可得到． (1) 小问详解： 解：过点作交于点， 平分，， ， ， ． ， ． (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，已知在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． ∵， ∴， ∴            ①， 又∵            ②， ∴          ③， ∵， ∴        ④， ∵平分， ∴            ⑤， ∴． 【答案】（1） 如图：      （2），，，，      【分析】 本题考查了作角平分线，等角的余角相等，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． ()根据题意，按照尺规作角平分线的步骤完成作图即可； ()根据角平分线的定义，可得，根据等角的余角相等证明，即可得证． (1) 小问详解： 解：以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于两点； 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在内部交于一点； 过点和这个交点作射线，交于点，交于点， (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，，垂足为点，点在的延长线上.    （1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）填空：在（1）的条件下，若，试说明. 证明：∵，， ∴             ，            ， ∵， ∴             ， 又∵平分， ∴2             ， ∴             ， 在和中， ， ∴， ∴. 【答案】（1） 如图所示．      （2） ；；；；      【分析】 （1）以点C为圆心，以小于为半径画弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点F； （2）先根据等腰三角形的性质得，，结合已知条件得，再根据角平分线定义可得，然后根据“”证明≌，最后根据全等三角形的性质得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，证明线段相等的常用方法是证明两个三角形全等． 31．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，平分，，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析     （2）      【分析】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质. （1）根据角平分线的性质得，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）设，则，再证明，根据全等三角形的性质列式求解即可． (1) 小问详解： 证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 设， 则， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 32．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为　　　　　　　 【答案】4 【分析】 本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】 解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵ ， ∴ ∴， ， 在与中， ∵ ， ∴， ∴，， 在与中， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，如果，那么的长是（     ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无法确定 2．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 周长相等的两个三角形一定全等 B. 全等的两个三角形周长一定相等 C. 任意两个三角形一定不全等 D. 等边三角形一定全等 3．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，的延长线交于点．若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）下列说法中，错误的是（       ） A. 七边形的外角和为 B. 三角形的重心是三角形三条中线的交点 C. 有两个角互余的三角形一定是直角三角形 D. 面积相等的两个三角形是全等三角形 6．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，点在同一条直线上，则的长为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，≌，若，，则的长为（   ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，，，则（　　） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 9．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知两个三角形全等，则（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形边长，则（　　） A.  B.  C. 或 D. ，或 11．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）．若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是（     ）厘米每秒时，能够使与全等． A. 或2 B. 1或3 C. 3 D.  12．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 13．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）如图，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，的延长线交于点F，交于点G．若，，，则的度数为（       ）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，已知，，，求的度数． 17．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知△ABC≌△A′B′C′，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则△A′B′C′的周长是　　　　　. 18．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是　　　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（       ） A. ∠B＝∠DEF B. ∠A＝∠D C. AB∥DE D. AC＝DF 2．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，，添加下列哪个条件不能推证（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（     ） A. 平分 B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，已知，若要用“”证明，还需添加的一个条件是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在和中，如果，在下列条件中不能保证的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，点，在上，．添加一个条件，不一定能证明的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 8．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，点、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，垂足为，且．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（       ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 10．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边对应相等 B. 有两条边对应相等 C. 一条边和一锐角对应相等 D. 一条边和一个角对应相等 11．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，已知，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，，，，，则的长度为（     ） A. 9 B. 13 C. 17 D. 26 13．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，点，，，四点在同一条直线上，且，，则添加一个条件后，仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）下列说法正确的是（     ） A. 有三条边和三个角分别对应相等的两个三角形全等 B. 有两个角分别对应相等的两个三角形全等 C. 有两条边分别对应相等的两个三角形全等 D. 有一条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等 15．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）下列命题中，真命题是（       ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 16．（25-26学年八上·重庆铁路中学）下列结论是正确的是(        ) A. 全等三角形的对应角相等 B. 对应角相等的两个三角形全等 C. 有两条边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 相等的两个角是对顶角 17．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了四块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（     ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带④去 18．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，与相交于点，连接，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则的面积为（     ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 20．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，图书馆的左侧有一栋高度为12米的居民房，点位于图书馆与居民房之间，且D、C、E三点共线．测得点到点的距离为28米，点到点的距离为12米，且，则图书馆的高度为（       ） A. 12米 B. 16米 C. 28米 D. 40米 21．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，已知点、、、在同一条直线上，，要使，还需要添加一个条件是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则可添加的条件为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在四边形中，连接、相交于点，下列说法不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）下列说法：（1）的算术平方根是；（2）的平方根是；（3）实数和数轴上的点是一一对应的；（4）三条边对应相等的两个三角形全等；（5）全等三角形对应边上的中线相等．其中正确的个数有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 28．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，的面积为24，平分，且于点，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 29．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在△和△中，已知，还需添加两个条件才能使△≌△，不能添加的一组条件是（       ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 33．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（     ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 34．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，平分交于点，交于点，，则下列结论中：①；②；③，其中正确的有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 37．（八上·重庆川外基础教）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，在中，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年八上·重庆·期中）下列给出的四组条件，能画出形状和大小都确定的的是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 40．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（       ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 41．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，若，则一定等于（　　） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（     ）个 A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．现有下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号为（       ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 44．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 45．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，在中，于点，交于点，，四边形和都是正方形（正方形的四边相等，四个内角都是直角），下列四个说法：（1）；（2）若连接，，则；（3）；（4）的面积为18，且被直线平分；其中正确的说法个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 46．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）（多选）如图，已知AB=AC，BD=CE，证明△ABE≌△ACD． 47．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，测量的长度为，则测量工件内槽宽的长度为　　　　　　． 48．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，已知，垂足为B，，若直接应用“”判定，则需要添加的一个条件是　　　　　　　　． 49．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，已知，．求证：． 50．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是　　　． 51．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，在中，点、F，分别在边，上，．    （1）求证：． （2）若，，求的度数． 52．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是　　　　　　　　． 53．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 54．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，中，D是延长线上一点，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 55．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）如图，将一块等腰直角三角板的直角顶点置于直线上，其，，过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，，，则的长为　　　　　　． 56．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在中，D为边上一点，满足，连接． （1）尺规作图：以为边，D为顶点作，交线段于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）小明同学准备在（1）问所作图形中，求证，他的思路是借助三角形全等完成线段相等的证明，请根据小明的思路完成下列填空． 证明：∵， 又∵①________， 且． ∴②________． 在和中 ∴（ ④________）， ∴． 57．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）如图，点在线段上，且，连接，若． 证明：且．请将以下推导过程补充完成． 证明：∵，    ①   ． ，    ②   ，即． 在和中， （   ④   ）； ． （___⑤_____） 58．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，．求证：． 59．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）（多选）如图，△ABC与△DEF中，B、E、C、F在同一条直线上，BE＝CF，∠A＝∠D，，求证：AC＝DF． 60．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在中，边的高，点E为边上的点，且，，的关系是　　　　　　　　　　　　；若，则图中阴影部分的面积为　　　　　　　　　； 61．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）已知：如图，点C，D在线段上，，．判断线段与的关系并证明． 62．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，则的长为　　　　　　． 63．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，已知，，．求证： （1）； （2）． 64．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，点B，E，F，C在同一直线上，． （1）求证：． （2）若，求线段的长度． 65．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，是中边上的中线，若，则的取值范围为　　　　　． 66．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，．求证：． 67．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点E、F在线段上且F在E的右侧，，．求证：． 68．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在平面直角坐标系中，，若点，，则点的坐标为　　　　　　　　． 69．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，在和中，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：　　　　　　．  70．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，，，垂足分别为，．求证：． 71．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为　　　　　　． 72．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，点A在上，，，则的度数为　　　　　　　　． 73．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，是的中线，分别过点C、B作及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．    （1）求证：； （2）若的面积为8，的面积为6，求的面积． 74．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，点、、、在一条直线上，，．求证：． 75．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）已知：如图， 76．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在一次户外工程测量中，需要确定被椭圆形障碍物隔开的线段的长度．点B、F、C、E在直线l上（F、C之间被椭圆形障碍物阻挡，无法直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 77．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼出了两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“字”模型．请结合模型解决下列问题： （1）如图2，已知：在中，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，且，，其余条件与（1）相同，求的面积． 78．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）由三边分别相等判断三角形全等的结论，我们知道了用直尺和圆规作一个角等于已知角的办法： 第一步：在下图中，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； 第二步：任意画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 第三步：以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； 第四步：过点画射线，则 （1）请根据以上作图步骤，完成尺规作图： 已知： 求作：，使得（只画图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 79．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）小川在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小川用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，且测得到点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得点到的距离为． （1）判断与的数量关系，并证明； （2）求两次摆动中，点和点的高度差的长． 80．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，中，D为上一点，连接，E为外一点，且，延长交的延长线于点F，连接，若，，则　　　　　　　　． 81．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则　　　　　． 82．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）（1）如图1，，射线在这个角的内部，点、分别在的边、上，且，于点，于点，求证：； （2）如图2，点、分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：． 83．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）如图，在和中，，，，交于点P． （1）求证：． （2）若，求的度数． 84．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在中，点、分别在边、上，． （1）请用基本尺规作图：在的右侧作，使射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）在（1）问的条件下，若，证明：．请将下列证明过程补充完整． 证明：        ①        在和中 ，       ③               ④        ． 85．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，点是的中点，交于点，连结，若的周长是20，则的周长等于　　　　　　　　　　　． 86．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）如图，在中，过点作于点，过点作于点，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 87．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 88．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）在学习了全等三角形和三角形的中线、角平分线、高后，思无涯学习小组通过进一步研究发现：等腰三角形中底边上的中线也是底边上的高，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： 如图，在中，点是的中点． （1）基本尺规作图：作，交线段于点E， （2）连接．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （3）求证：． 证明：在中，点D是的中点， ∴①          ， 又,    ， 是等腰三角形. 在和中， ②______，，， ， ③          ， 又， ∴④            ， ． 89．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，米，于点A，于点B，且米，点P从B向A运动，每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，与全等？ 90．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，完成下面推理过程． 如图所示，点在外部，点在边上，交于，若，求证：． 证明：∵和中，．（                      ） ∵（已知）， 又（                      ） ∴． 又∵， ∴                                            （                      ） 即                      ． 在和中， ∴（                      ） ∴（                      ） 91．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别为x轴和y轴上一点，且a，b满足，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接、． （1）点的坐标为______，的度数为______； （2）如图1，若点C在第一象限，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）如图2，若点C的坐标为，连接，平分，与交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 92．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． （1）基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④， ∵， ∴． 93．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，点C的坐标为，点A的坐标为，则B点的坐标是　　　　　　． 94．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）综合与实践 （1）操作判断 飞跃组在学习了三角形全等后展开了探究性学习活动． 如图1，在中，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．由此得到结论：，，之间的数量关系是          ． （2）开放探究 无敌组的同学们提出了如下的问题：如果三个角不是直角，那么结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为在中，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出合理的解释． （3）拓展应用 如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：． 95．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 96．（25-26学年八上·重庆铁路中学）小明和爷爷、奶奶在公园里荡秋千，开始时小明坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．如图，小明从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，奶奶在距地面1米高（即）的处接住他后用力一推，爷爷在处接住他．已知奶奶与爷爷到的水平距离，，，，，，设的延长线与地面交于． （1）与全等吗？请说明理由． （2）当爷爷在处接住小明时，求小明距离地面的高． 97．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，中，是延长线上一点，满足，过点作且，连接并延长，分别交、于点、． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 98．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，在四边形中，连接，已知，且，、是上两点，连接、，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 99．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，已知和都是等边三角形． （1）观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为               ；               ； （2）如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明； （3）深入研究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点，（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 100．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，在中，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．若，则的长为　　　　　　　　；在此条件下，点M为边上一点，连接，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线于点F，若，则的长为　　　　　　　　． 101．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则　　　　　　　　　°． 102．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）已知：中，． （1）如图，点在的延长线上，连，过作于，交于点．求证：； （2）如图，点在线段上，连，过作，且，连交于，连，问与有何数量关系，并加以证明； （3）如图，点在延长线上，且，连接与的延长线交于点，若，请直接写出的值． 103．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 104．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在中， （1）如图1，，为上一点，于点，于点，，，求的长； （2）如图2，点、分别是、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，且，，求与面积之和． 105．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，中，，直线经过点，，垂足分别为、． （1）证明：； （2）写出、、之间的数量关系，并说明理由． 106．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知，是等腰直角三角形，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 107．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，点C在线段AB上，，，CF平分．求证：． 108．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE． 109．（25-26学年八上·重庆·期中）如图所示，在中，，，，试判断与的关系，并说明理由． 110．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，已知B，C，D三点在同一条直线上，，． （1）求证：； （2）若、的角平分线交于点F，求的度数． 111．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，为线段上一点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 112．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，中，，为的平分线．若点到直线的距离为，则长为　　　　　　　　　　　． 113．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，小亮和小强住在同一个小区的不同单元楼，他们想要测量小亮家所在单元楼的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小强在自己家阳台C处观察E处得到的角度为，小亮站在F处观察楼顶端A的角度为，两人发现与互余，已知米，米，米，试求单元楼的高度． 114．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）（1）用直尺和圆规，以为边在四边形外部作，延长交于点（要求：只保留作图痕迹，不写作法和结论）： （2）已知：如图，于G，，求的长． 证明： ①_________， 而， ， 在与中 ， ， ②_________， 又， ， ， ， ③_________， ④_________． 115．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图1，在中，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 116．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，，，点，分别在，上，延长至点H，使得，连接．求证： （1）； （2）． 117．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是　　　　　　m． 118．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）在中，． （1）如图1若平分，交于F，过B作，垂足为E，探究、的数量关系； （2）如图2，当点D为线段上一点（不与B，C重合），，垂足为E，与相交于点F，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 119．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． （1）【初步尝试】如图，在中，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． （2）【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． （3）【综合应用】如图，在中，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 120．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 121．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）如图，在中，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为．若，，则的长为　　　　　．在此条件下，点为边上一点，连接，过点作，且（点在直线的上方），连接交直线于点，苦，则的长为　　　　　． 122．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）在中，． （1）如图1，若，D为上一点，过点B作，垂足为E，过点C作，垂足为F，，，求的长度． （2）如图2，M为中点，点P、Q分别为线段、上的动点（不与B、C重合），且，，，请猜想与的数量关系并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，当D、Q、M三点共线时，直接写出的值． 123．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 124．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）在等腰中，，点D为上一点，连接． （1）如图1，若平分，，求的长； （2）如图2，过点D作，交于点E，交延长线于点F，连接，，用等式表示线段，的数量关系并证明； （3）如图3，，P为上的点，且，连接，当取最小值时，将线段绕点C逆时针旋转得到线段，在的延长线上取一点M，且，连接，若，为锐角，请直接写出的值． 125．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）在中，动点A在x轴的正半轴上，动点C在y轴的正半轴上，已知，． （1）在图①中，求证：； （2）已知在图②中点A的坐标为，点C的坐标为，求B点的坐标； （3）在图③中，以、为腰在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，，，连接交y轴于点P，求证：P为的中点． 126．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）在中，为边的中线，，，连接、、． （1）若，求的度数 （2）若，求证： 127．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，点在边上，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 128．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知，中，．分别以、为边，向外作等边和等边． （1）如图1，连接线段、．求证：； （2）如图2，连接交于点．求证：为的中点． 129．（25-26学年八上·重庆·期中）在中，点D是直线上的一点（不与点B、C重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．    （1）如图1，当点D在线段上，如果，则________度． （2）设，． ①点D是在线段上移动时，如图2，则之间有怎样的数量为关系，试说明理由． ②点D是在线段延长线上移动时，则①中之间数量关系是否成立，如不成立，又有怎样的数量关系，试说明理由． 130．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）（多选）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝2∠ABC＝2∠BAC． （1）猜想△ABC按角分类的类型，并证明你的结论； （2）如图1，若点D是线段AB上一点，连接CD，过点B作BE⊥AB，连接CE和DE，若AD+BE＝ED，求证：∠ECD＝45°； （3）如图2，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM＝AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，求证：NP＝MB+CP． 131．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）图（1），在平面直角坐标系中，点，，且满足，连接，，，且，于点E，交直线于点P． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为______； （2）求证：； （3）如图（2），点M在上，连接，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 132．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 133．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）已知：中，，过点A作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接．求证：； （2）如图2，当点D在延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：； （3）在（2）的条件下，若，请直接写出的值（不需要计算过程）． 134．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在四边形中，，，，点E为线段的中点，点M在线段上，且以的速度由C点向点B运动，同时，点N在线段上由点D向点C运动．当点N的运动速度为　　　　　　时，与全等． 135．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）小明证明用到的判定定理是：               ；（用字母表示） （2）的取值范围是               ； （3）【灵活运用】如图3，，点M为的中点，试说明：； （4）【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 136．（25-26学年八·重庆高新·期中）如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．若，，则的长为　　　　　　　　；在此条件下，点M为边上一点，连接，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为　　　　　　　　． 137．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）已知且，点为直线上一点． （1）如图1，点在线段上，连接，将绕点顺时针方向旋转到，连接，若，求的度数； （2）如图2，当点与点重合时，连接，将绕点顺时针方向旋转到，连接，点为平面内一点，且，连接、，过点作于点，交于点，证明：； （3）如图3，若，连接，，将绕点逆时针方向旋转到，连接，当最小时，将沿翻折得到，连接，直接写出的值． 138．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在中，于点于点，交于，平分交延长线于，连接，．若，，，则　　　　　　，的面积为　　　　　　． 139．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．求证：． （3）如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值． 140．（25-26学年八上·重庆·期中）已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）用两把完全相同的长方形直尺作出的角平分线的方法：如图所示，直尺①边缘压住射线，直尺②边缘压住射线并且与直尺①交于点P，射线就是的角平分线．其理论依据是（     ） A. 等腰三角形两底角相等 B. 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 角平分线上的点到角的两边距离相等 D. 三线合一 2．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，是中的平分线， 于点，于点，若， 则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（　　）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，与均为等腰三角形，连接交于点F，与交于点G，与交于点H，并连接．下列结论：①；②；③；④平分；⑤，正确的个数有（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年八上·重庆铁路中学）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（       ）. A. ∠A的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 8．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，点A，C分别为两边上的点，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（     ） A.  B. 8 C. 6 D. 4 9．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（     ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 10．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，中，点E、F分别在的延长线上，的角平分线交于点P，过点P作于点M，于点N，连结．下列结论：①平分； ②；③；     ④．其中正确的结论有（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 11．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）如图，在中，在、上分别截取、，使．再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线，交于点． 已知，，，则线段的长为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是6，则的面积是（       ） A. 8 B. 9 C.  D.  13．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分；⑤，其中正确结论有（     ） A. ①②③④ B. ①③⑤ C. ①②③ D. ①②④⑤ 14．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，平分，，如果，那么点到的距离等于　　　　　　 15．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； 17．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，中，平分，，则的面积是　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）（多选）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 19．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中， ， ， ． （1）作的角平分线，交于点F，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：，请将以下推导过程补充完整． 证明：∵平分， ∴， 在和中， （②             ）              又∵ ， ∵              ∴（⑤            ） 20．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，在中，已知是的角平分线，，，则的周长为　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，在中，于点D． （1）尺规作图：作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 证明：在中 ∵且             ①            ， 在中 ∵ ， ， ，             ②             ， 又∵平分 ∴ ∵             ③              ， ∴             ④             ． 22．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）（多选）学习了等腰三角形定义后，小明在探究等腰三角形两底角相等时，他的思路是：添加顶角的平分线AD，然后证明，从而得到两底角相等．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点A作∠BAC的平分线交BC于点D（只保留作图痕迹）． 在和中， ∵是等腰三角形，∴____________________．① ∵AD平分∠BAC，∴____________________．② 又____________________．③∴．∴____________________．④ 23．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）如图，在四边形中，于点D，． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点E，的延长线于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的的平分线中，求的度数． 解：∵， ∴①___________， ∵， ∴②_______， ∵， ∴③_______， ∵平分， ∴④_______ ∴⑤_______． 24．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） （2）证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 25．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在与中，，，过点作，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求四边形的面积． 26．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，已知中，是的角平分线，于E点，为中边的高，若，，则的长为　　　　　　． 27．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，已知中，点D在边上，且，连接． （1）请用尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，请完成下面的证明过程： 证明：平分，      ①     ， 在与中 ， ，      ③     ， ，，且，      ④     ， ， ． 28．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，点Q为的外角的角平分线上一点，且，于点M． （1）若，，求的面积． （2）求证：． 29．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，已知在中，． （1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：． ∵， ∴， ∴            ①， 又∵            ②， ∴          ③， ∵， ∴        ④， ∵平分， ∴            ⑤， ∴． 30．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）如图，在中，，垂足为点，点在的延长线上.    （1）尺规作图：作的平分线交于点（按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）填空：在（1）的条件下，若，试说明. 证明：∵，， ∴             ，            ， ∵， ∴             ， 又∵平分， ∴2             ， ∴             ， 在和中， ， ∴， ∴. 31．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，平分，，于点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 32．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，在中，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为　　　　　　　 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $