专题05 三角形（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题05 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·重庆·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）等腰三角形的两边长分别为10，6，则它的周长为　　　　　　. 3．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　　. 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 2．（25-26学年八·重庆高新·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 2，3，5 C. 4，4，8 D. 4，6，12 3．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列各组数可能是一个三角形的边长的是 （       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点，测得米，米．根据三角形三边关系，之间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7米 C. 12米 D. 16米 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）下列线段能构成三角形的是（　　） A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，2，3 D. 2，3，6 6．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）以下列数据为三边长能构成三角形的是（   ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，6，9 D. 3，5，8 10．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（     ） A. 3，6，8 B. 4，4，8 C. 3，6，10 D. 6，7，14 11．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（     ）． A. 3，4，7 B. 3，4，6 C. 3，4，5 D. 3，4，4 12．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（       ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 6，8，20 D. 5，13，15 13．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（　　） A. 4，6，11 B. 6，8，15 C. 1，2，3 D. 3，5，6 14．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）用下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5 B. 8，12，5 C. 5，10，4 D. 3，3，7 15．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）若长度分别为2，，6的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 16．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（       ） A. 15 B. 12 C. 12或15 D. 9 17．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（       ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 4，5，10 18．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·重庆铁路中学）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 20．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）用一根木棒与两根长度分别为5，7的木棒组成三角形，则这根木棒的长度可以是（     ） A. 1 B.  C. 12 D. 15 21．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 22．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 2，2，5 B. 3，4，5 C. 2，3，5 D. 2，4，6 23．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）已知等腰三角形的两边长分别为5厘米和10厘米，则它的周长为（     ） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 25厘米 D. 20厘米或25厘米 24．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 80厘米 D. 110厘米 25．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A. 两点之间的线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 长方形是轴对称图形 D. 长方形的四个角都是直角 26．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）下列各组线段中，能组成三角形的是(　　) A. 4，6，10 B. 3，6，7 C. 5，6，12 D. 2，3，6 27．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（          ） A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm C. 13cm，20cm，6cm D. 5cm，5cm，11cm 28．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是（     ） A. 2 B. 1 C. 13 D. 1或13 29．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是　　　　　　． 30．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知的三边分别为a，b，c，化简：　　　　　　． 32．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知，，是三角形的三边长，化简：　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是　　　　　　． 34．（25-26学年八上·重庆铁路中学）等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知，在中，，且． （1）求a的取值范围； （2）若为等腰三角形，求a的值． 36．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知是的三边长． （1）化简：． （2）若是等腰三角形，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 38．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为　　　　　　． 40．（25-26学年八上·重庆·期中）已知中，，，长为奇数，那么三角形的周长是　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·重庆·期中）一个等腰三角形的周长是． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为，求各边的长． 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（     ） A.     B.     C.     D.     3．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，边上的高是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A. 是的平分线 B. 是边上的高 C. 是边上的中线 D. 是边上的中垂线 6．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，D为中边上的一点，，，，E是上的一点，且的面积等于面积的3倍，的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定 7．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，是的中线，点为的中点，连接，若的面积为2，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列命题错误的是（　　） A. 三角形的三条高交于一点 B. 三角形的三条中线都在三角形内部 C. 直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处 D. 三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等 11．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（        ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 13．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 14．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，若的面积为2，则的面积是　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为　　　　　　　　． AI 16．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，为的中线，为的高，的面积为15，，求的长． 18．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是　　　　　． 19．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则　　　　　　　　　　　 ． 20．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，、分别是，的中点，且，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 21．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则　　　　　　　． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）在中，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，，于点F，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）一个三角形内角的度数比是，其中最大的内角是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）在△ABC中，，则△ABC是（       ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 5．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 8．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(     ) A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，将一副直角三角板如图摆放，点E落在边上，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，，，点尽在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）下列条件不能确定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）具备下列条件的，不是直角三角形的是（     ） A. ， B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·重庆·期中）已知在△ABC中，∠A=∠B —∠C，则△ABC为（        ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 18．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（     ）． A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　） A. 76° B. 60° C. 56° D. 94° 20．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 21．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④，其中是直角三角形的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 22．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 23．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在中，，，则的度数为　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    （1）； （2）． 25．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 26．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，是高，是角平分线，　　　　　　　度． 27．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 28．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数 29．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，求的度数． 30．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，求的度数． 32．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）等腰三角形一个内角为，它的底角为　　　　　　． 33．（25-26学年八上·重庆·期中）一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多，则这个多边形的边数为　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，，求的度数． 35．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）已知中 （1），求的度数 （2）a，b，c是三角形的三边长，且a，b，c都是整数，化简： 36．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为　　　　　　． 37．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是　　　　　　　　　　　　　　　 38．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为　　　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，是高，是的平分线． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 40．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 41．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，在中，，平分，若，，求的度数． 42．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 43．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，，，，若，则　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）已知是的高，，，的度数是　　　　　　． 45．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）在中，，，于D，平分．求的度数． 46．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是　　　　　　　　　　 47．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，为的角平分线，点为上一点（不与、重合），于点．若，，则　　　　　　　　． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）将一幅直角三角尺如图放置，使含角的三角尺的一条直角边与含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED．若∠BAD＝24°，则∠CDE＝（        ） A. 24° B. 20° C. 15° D. 12° 3．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线．若，那么（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，点D在的边的延长线上，点E在边上，连接交于点F，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  5．（八上·重庆川外基础教）如图，已知，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，点A，B分别是的两边，上的点，连接，已知OG平分，平分，与交于点P，若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点C落外的点F处，，，，则（ ） A. 95° B. 105° C. 115° D. 125° 8．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，、的平分线、相交于点，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（     ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 10．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的是（     ） ①；②；③；④ A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 12．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，则　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八·重庆高新·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当　　　　　　　　　　度时，． 14．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，的度数为　　　　　　． 15．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　　　　． 16．（25-26学年八上·重庆铁路中学）（多选）如图所示，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求 （1）求的度数． （2）求的度数 17．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，点O是内一点，延长交于点D，若，，，则　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）将一副三角板按如图方式叠放，那么等于　　　　　　． 19．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则　　　　　°． 20．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 21．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的度数为　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，EF与CD交于点M，CF与BE交于点N． （1）若∠D＝70°，∠BED＝30°，则∠EMA＝　     　（度）； （2）若∠B＝60°，∠BCD＝40°，则∠ENC＝　     　（度）； （3）∠F与∠B、∠D有怎样的数量关系？证明你的结论． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．B 2．【答案】26或22 【分析】因为等腰三角形的两边分别为6cm和10cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当6cm为底边时，其它两边都为10cm，6、10、10可以构成三角形，此时周长为26cm； 当6cm为腰时，其它两边为6cm和10cm，6、6、10可以构成三角形，此时周长为22cm， 故答案为26cm或22cm. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应分类讨论求解． 3．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】 解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 4．【答案】21或18 【分析】根据题意要根据腰的情况分类讨论，第一当腰为5cm是计算周长；第二当腰为8cm计算周长. 【详解】解：根据题意可得第一当腰为5cm时，周长为：5+5+8=18； 当腰为8cm时，周长为:8+8+5=21 故答案为21或18 【点睛】本题主要考查等腰三角形的腰的分类讨论，这是数学中最常用的思想，必须掌握理解. 考点02 三角形的边 1．D 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 11．A 12．D 13．D 14．B 15．C 16．A 17．C 18．B 19．C 20．B 21．C 22．B 23．C 24．C 25．B 26．B 27．A 28．B 29．【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 【详解】 解：其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 30．【答案】22 【分析】 本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】 解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是， 故答案为：22． 31．【答案】 【分析】 本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】 解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系，绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形的三边关系可得，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】 解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∴ 故答案为： 33．【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 34．【答案】22 【分析】 本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】 解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 35．【答案】（1）     （2）10      【分析】 本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的性质，解不等式；掌握这些知识是关键． （1）由，解不等式即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：， 故a的取值范围为； (2) 小问详解： 解：为等腰三角形，或， 则或， ∵， ∴． 36．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】 解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断绝对值内的符号，从而化简计算即可； （2）设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据一腰上的中线将周长分成和两部分，列出方程求解，并检验是否满足三角形三边关系． (1) 小问详解： 解：∵是的三边长， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 一腰上的中线将周长分成两部分：一部分为，另一部分为． 则有两种情况： ①，， 解得，， 但，不满足三角形三边关系，舍去； ②，， 解得，，满足三角形三边关系（，）； ∴腰长为． 38．【答案】15 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】 解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 39．【答案】3或8 【分析】 本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】 解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 40．【答案】18或20 【分析】根据三角形三边关系定理得到第三边的范围，再根据BC为奇数和取值范围确定三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜BC＜8+3， 即：5＜BC＜11， ∵BC为奇数， ∴BC的长为7或9， ∴三角形的周长为18或20. 故答案为：18或20. 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理即三角形任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长是，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． (1) 小问详解： 设底边长为，则腰长是， ， 解得：， 所以， 故该等腰三角形的各边长为：； (2) 小问详解： ① 若底边长为 7 cm ，设腰长为， 则：， 得：，所以三边长分别为：， ② 若腰长为 7 cm ，设底边长为，则：，得， 又因为， 故舍去，综上所述，该等腰三角形的三边长分别为： 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．D 2．D 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B 8．D 9．B 10．A 11．C 12．A 13．B 14．【答案】12 【分析】 由角平分线的性质可得，由三角形的面积关系可求解．本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】 解：，的面积为2， ， ， ， 故答案为：12． 15．【答案】3 【分析】 本题主要考查中线的性质，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】 解：作，    ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 故中边上的高为3． 故答案为：3． 16．【答案】12 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 17．【答案】10 【分析】 由为的中线得的面积是的面积的2倍，求出的面积，然后利用的高结合三角形的面积公式即可求出的长； 本题考查三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的含义，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵为的中线， ∴． ∵的高， ∴， ∴， ∴． 18．【答案】2 【分析】 本题考查了与三角形的中线有关的三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查三角形中的面积关系，数形结合，准确表示出各个三角形面积关系是解决问题的关键． 由题意得到、，数形结合得到，，再对恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：在中，是上的一点，， ，即； 在中，点是的中点， ，即； ，， ， 故答案为：． 20．【答案】6 【分析】 本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵、分别是，的中点， ∴，， ∴； 故答案为：6． 21．【答案】2 【分析】 根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】 解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． 22．【答案】25 【分析】 本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，连接，根据三角形的中线平分面积，得到，，根据等高三角形的面积比等于底边比，得到，，设，根据，列出方程进行求解，再根据分割法求出即可． 【详解】 解：连接， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； 故答案为：25． 考点04 三角形的内角 1．D 2．C 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．C 12．B 13．B 14．A 15．D 16．D 17．C 18．D 19．C 20．B 21．C 22．C 23．【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于，据此求解的度数即可． 【详解】 解：根据题意得，在中，， 则的度数为：， 故答案为：． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据角平分线的定义求得角，然后在直角中，求得的度数，则即可求解． (1) 小问详解： ∵， ∴． (2) 小问详解： ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和定理可求解． 【详解】 解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴． 26．【答案】10 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 故答案为：10． 27．【答案】（1） 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；.     （2） 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ．      【分析】 本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形内角和的性质，解决本题的关键是求解的度数． 由，且是的平分线，可得，再由高线可得垂直即，由三角形内角和即可求解的度数，进而即可得解． 【详解】 解：∵由，且是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 29．【答案】 【分析】 本题考查了对顶角的性质和三角形内角和定理，理解图示是解决本题的关键． 连接，根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理进而即可求解． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴ ． 30．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论已知内角是顶角还是底角． 当角为顶角时，直接得出顶角度数；当角为底角时，利用等腰三角形两底角相等及内角和为，计算顶角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 31．【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的角平分线，高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键． 根据三角形内角和可得，求出后利用三角形的高线、角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：在中，，， ∴． 又∵是的平分线， ∴． 在中，， 又∵是高，所以， ∴， ∴． 32．【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，根据等腰三角形的定义分情况讨论，再利用三角形内角和定理计算底角． 【详解】 解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则， ① 若是顶角，则， ∴， ∴； ② 若是底角，则， ∴， 故答案为：或． 33．【答案】 【分析】 本题考查多边形内角和，外角和定理．根据题意设正多边形每个外角度数为x，则每个内角为，再利用多边形内角与外角互补列出方程求得每个外角度数，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】 解：设正多边形每个外角度数为x， ∵一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多， ∴每个内角为， ∴，解得：， ∴这个多边形的边数为：， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的高和中线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的高求出，最后根据角的和差即可求解． 【详解】 解：，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是三角形内角和及三角形的三边关系、整式的加减运算，熟知三角形中，内角和为及任意两边之和大于第三边是解答此题的关键． （1）先得出，再根据求出结论即可； （2）先得出，再化简绝对值，最后进行整式加减运算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得：， ； (2) 小问详解： 解：∵a，b，c是三角形的三边长， ， ． 36．【答案】 【分析】 根据多边形内角和公式列一元一次方程求解即可． 【详解】 解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得方程， 解方程得 ． 37．【答案】12 【分析】 设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数． 【详解】 解：设这个正多边的外角为x°，由题意得： x+5x=180， 解得：x=30， 360°÷30°=12． 故答案为：12． 【点睛】 此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 38．【答案】 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】 解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）由三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得到，又由直角三角形两锐角互余可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形的面积解答即可求解； 本题考查了三角形的高和角平分线，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，是高， ∴， 即， ∴． 40．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形的高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义求出，再由高的定义求出，再由计算即可得解； （2）由题意求出，再计算出，即可得解． (1) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 41．【答案】50° 【分析】 此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的内角和等于等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由平分，得，，由，得，而，则，． 【详解】 解：在中，平分， ． ． ， ． ． ． 42．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． (1) 小问详解： 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， (2) 小问详解： ， ， 、是角平分线， ， ． 43．【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握这个知识并能灵活应用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由得，由平角定义得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 44．【答案】或 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和． 分高在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 45．【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为以及角平分线的定义是解题的关键．由题意根据三角形内角和以及角平分线的定义与高线的定义进行分析即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．【答案】5 【分析】 本题考查多边形内外角关系，根据正多边形每个内角、外角都相等，结合多边形相邻内外角互补求解即可得到答案； 【详解】 解：设正多边形的内角度数为， ∵一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 47．【答案】B度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据得到，结合得到，结合得到，根据为的角平分线得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 考点05 三角形的外角 1．C 2．D 3．D 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．D 12．【答案】140 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形外角等于不相邻的两内角的和是解题的关键． 先根据三角形外角的性质求得，再根据邻补角互补即可解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：140． 13．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 14．【答案】d度 【分析】 本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】 解： 故答案为： 15．【答案】20° 【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝130°， ∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°， ∴∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠ABF＝50°是解答此题的关键． 16．【答案】（1）∠DAC=20°；     （2）∠AOF=55°．      【分析】 （1）根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的外角性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=70°， ∴∠DAC=180°-90°-70°=20°； (2) 小问详解： 解：∵∠BAC=50°，∠C=70°， ∴∠BAO=25°，∠ABC=60°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO=30°， ∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=55°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO． 17．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，解题关键是牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”． 先利用三角形的外角性质得出，，再结合已知角求解即可可得出的度数． 【详解】 解：∵点O是内一点，延长交于点D， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． 故答案为：． 18．【答案】i度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．【答案】30 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】 解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 20．【答案】（1）的度数是     （2） ， 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． (2) 小问详解： 略 21．【答案】 【分析】 根据三角形外角的性质得出，，，结合平角的定义即可解答； 【详解】 解：如图，设交于点，连接， 则，，， ∴， 又，， ∴． 22．【答案】（1）85；（2）80；（3）∠F＝（∠B+∠D）． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可； （3）利用三角形外角的性质求得∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF，利用角平分线的性质可证得∠B+∠D＝2∠F，从而求得答案. 【详解】（1）∵EF为∠BED的平分线，∠BED＝30°， ∴∠DEM＝∠FEN＝∠BED＝15°． 又∵∠EMA＝∠D+∠DEM，∠D＝70°， ∴∠EMA＝85°． 故答案为：85°． （2）∵CF为∠BCD的平分线，∠BCD＝40°， ∴∠BCN＝∠FCM＝∠BCD＝20°． 又∵∠ENC＝∠B+∠BCN，∠B＝60°， ∴∠ENC＝80°． 故答案为：80°． （3）∠F＝（∠B+∠D）． 证明：∵∠EMA＝∠D+∠DEF＝∠F+∠DCF， ∠ENC＝∠B+∠BCF＝∠F+∠BEF， ∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF． 又∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线， ∴∠DEF＝∠BEF，∠DCF＝∠BCF． ∴∠B+∠D＝2∠F． 即：∠F＝（∠B+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，主要考查学生的计算能力和推理能力． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 5大高频考点概览 考点01 三角形的概念 考点02 三角形的边 考点03 三角形的中线、角平分线、高 考点04 三角形的内角 考点05 三角形的外角 考点01 三角形的概念 1．（25-26学年八上·重庆·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】 解：① 三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ② 三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③ 一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④ 直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤ 三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 故选：B． 2．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）等腰三角形的两边长分别为10，6，则它的周长为　　　　　　. 【答案】26或22 【分析】因为等腰三角形的两边分别为6cm和10cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当6cm为底边时，其它两边都为10cm，6、10、10可以构成三角形，此时周长为26cm； 当6cm为腰时，其它两边为6cm和10cm，6、6、10可以构成三角形，此时周长为22cm， 故答案为26cm或22cm. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应分类讨论求解． 3．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）已知等腰的一个内角是，则它的底角度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键；分别讨论顶角是，底角是即可得解． 【详解】 解：当等腰的顶角是，则它的底角的度数为：， 当等腰的底角为，则它的底角度数为， 综上所述：它的底角的度数为或， 故答案为：或． 4．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如果等腰三角形一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】21或18 【分析】根据题意要根据腰的情况分类讨论，第一当腰为5cm是计算周长；第二当腰为8cm计算周长. 【详解】解：根据题意可得第一当腰为5cm时，周长为：5+5+8=18； 当腰为8cm时，周长为:8+8+5=21 故答案为21或18 【点睛】本题主要考查等腰三角形的腰的分类讨论，这是数学中最常用的思想，必须掌握理解. 考点02 三角形的边 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（       ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【分析】 本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】 A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2．（25-26学年八·重庆高新·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（       ） A. 3，4，5 B. 2，3，5 C. 4，4，8 D. 4，6，12 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边．分别计算各选项两条较短边的和与最长边比较即可． 【详解】 解：A项：，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形，故A正确； B项：，等于第三边，∴不能组成三角形，故B错误； C项：，等于第三边，∴不能组成三角形，故C错误； D项：，∴不能组成三角形，故D错误． 故选：A． 3．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列各组数可能是一个三角形的边长的是 （       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 【详解】解：A、因为4＋4＜9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； B、因为2＋6＝8，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； C、因为3＋4＞5，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确； D、因为1＋2＝3，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形． 4．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）某市文旅局为打造生态旅游线路，计划在某公园的人工湖两岸之间搭建一座景观桥．施工人员在湖边选取观测点，测得米，米．根据三角形三边关系，之间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7米 C. 12米 D. 16米 【答案】D 【分析】 本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形的三边关系可得，从而可得答案. 【详解】 解：∵米，米， ∴， ∴， 故选：D 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）下列线段能构成三角形的是（　　） A. 2，2，4 B. 3，4，5 C. 1，2，3 D. 2，3，6 【答案】B 【详解】试题分析：A、2+2=4，不能构成三角形，故本选项错误； B、3、4、5，满足任意两边之和大于第三边，能构成三角形，故本选项正确； C、1+2=3，不能构成三角形，故本选项错误； D、2+3＜6，不能构成三角形，故本选项错误． 故选B． 考点：三角形三边关系． 6．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据构成三角形的条件，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故A错误； B、，能构成三角形，故B正确； C、，不能构成三角形，故C错误； D、，不能构成三角形，故D错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件进行判断． 7．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，根据任意两边之和大于第三边逐项判断即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】 解：、∵， ∴三条线段首尾相连能组成三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴三条线段首尾相连不能组成三角形，该选项不符合题意； 、∵， ∴三条线段首尾相连不能组成三角形，该选项不符合题意； 、∵， ∴三条线段首尾相连不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：． 8．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了能够组成三角形三边的条件，解决本题的关键是掌握三角形三边的关系． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】 解：A、，不能组成三角形，该选项不符合题意； B、∵，， ∴，， ∴能组成三角形，该选项符合题意； C、，不能组成三角形，该选项不符合题意； D、，不能组成三角形，该选项不符合题意． 故选B． 9．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）以下列数据为三边长能构成三角形的是（   ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 2，6，9 D. 3，5，8 【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 判定构成三角形的标准是任意两边之和大于第三边，据此逐项判断即可． 【详解】 解：根据三角形三边关系，需满足任意两边之和大于第三边，对于每个选项： 选项A、最大边为3，由于，等于第三边，则不能构成三角形； 选项B、最大边为5，由于，大于第三边，则能构成三角形； 选项C、最大边为9，由于，小于第三边，则不能构成三角形； 选项D、最大边为8，由于，等于第三边，则不能构成三角形； 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）下列长度的三根木棒能组成三角形的是（     ） A. 3，6，8 B. 4，4，8 C. 3，6，10 D. 6，7，14 【答案】A 【分析】 此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断各选项是否满足条件即可． 【详解】 选项A：，满足； 选项B：，不满足； 选项C：，不满足； 选项D：，不满足， ∴能组成三角形的是A． 故选：A． 11．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）下列长度的三条线段不能组成三角形的是（     ）． A. 3，4，7 B. 3，4，6 C. 3，4，5 D. 3，4，4 【答案】A 【分析】 本题考查的是三角形三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形三边长关系即可得出答案． 【详解】 解：A、，故不能组成三角形，符合题意； B、，故可以组成三角形，不符合题意； C、，故可以组成三角形，不符合题意； D、，故可以组成三角形，不符合题意， 故选：A． 12．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）下列各组数，可以作为三角形的三边长的是（       ） A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 6，8，20 D. 5，13，15 【答案】D 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，熟知“两边和大于第三边，两边差小于第三边”是解本题的关键． 根据两边和大于第三边，两边差小于第三边进行判断即可． 【详解】 解：根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边， A、，故不能构成三角形，不符合题意； B、，故不能构成三角形，不符合题意； C、，故不能构成三角形，不符合题意； D、，可以构成三角形，符合题意； 故选：D． 13．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（　　） A. 4，6，11 B. 6，8，15 C. 1，2，3 D. 3，5，6 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系， 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，只需验证最小两边之和是否大于最大边即可判断． 【详解】 解：∵选项A：最小两边4和6之和为10，小于最大边11， ∴不能组成三角形； ∵选项B：最小两边6和8之和为14，小于最大边15， ∴不能组成三角形； ∵选项C：最小两边1和2之和为3，等于最大边3， ∴不能组成三角形； ∵选项D：最小两边3和5之和为8，大于最大边6， ∴能组成三角形． 故选：D． 14．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）用下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 2，3，5 B. 8，12，5 C. 5，10，4 D. 3，3，7 【答案】B 【分析】 本题考查构成三角形的条件．解题的关键是计算两条短的线段之和是否大于第三条较长线段的长度．根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】 解：A．，不能组成三角形； B．，能组成三角形； C． ，不能组成三角形； D． ，不能组成三角形； 故选：B． 15．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）若长度分别为2，，6的三条线段能组成一个三角形，则的值可能是（     ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握和运用三角形三边之间的关系是解决本题的关键． 根据三角形三边之间的关系可得，再逐一分析即可． 【详解】 解：长度分别为2，，6的三条线段能组成一个三角形， ，即， 故只有C符合题意， 故选：C． 16．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（       ） A. 15 B. 12 C. 12或15 D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：若3为腰长，6为底边长， 由于，则三角形不存在； 若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：A 17．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）下列各组线段中，能构成三角形的是（       ） A. 2，5，7 B. 4，4，8 C. 4，5，6 D. 4，5，10 【答案】C 【分析】 根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 【详解】 解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边． A、，不能构成三角形，此项不符题意； B、，不能构成三角形，此项不符题意； C、，能构成三角形，此项符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键． 18．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了能够组成三角形三边的条件．注意：用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断即可． 【详解】 解：A、，不能组成三角形；该选项不符合题意； B、，能组成三角形；该选项符合题意； C、，不能够组成三角形；该选项不符合题意； D、，不能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：B． 19．（25-26学年八上·重庆铁路中学）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A. 1，2，3 B. 1，2，4 C. 2，3，4 D. 2，2，4 【答案】C 【分析】 根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可． 【详解】 A、，不能组成三角形，故A选项错误； B、，不能组成三角形，故B选项错误； C、，能组成三角形，故C选项正确； D、，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 20．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）用一根木棒与两根长度分别为5，7的木棒组成三角形，则这根木棒的长度可以是（     ） A. 1 B.  C. 12 D. 15 【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题通过三边关系确定取值范围，结合选项验证即可快速求解．注意需严格满足两边之和与差的条件，避免遗漏边界值． 【详解】 解：设第三边为， 根据三角形三边关系，可得， 因此，第三根木棒的长度需满足， 综上，只有选项B符合条件． 故选：B． 21．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）下列各组长度的线段中，能组成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】 解：、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 、由，此选项三条线段能构成三角形，符合题意； 、由，此选项三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 22．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（       ） A. 2，2，5 B. 3，4，5 C. 2，3，5 D. 2，4，6 【答案】B 【分析】 本题考查三角形三边关系，即较小两边之和大于第三边，只需验证每个选项是否满足此条件即可 【详解】 对于选项A：∵，∴不能组成三角形； 对于选项B：∵，∴能组成三角形； 对于选项C：∵，等于第三边，∴不能组成三角形； 对于选项D：∵，等于第三边，∴不能组成三角形； 故选B 23．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）已知等腰三角形的两边长分别为5厘米和10厘米，则它的周长为（     ） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 25厘米 D. 20厘米或25厘米 【答案】C 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想并验证三角形构成条件是解题的关键． 分腰为厘米和腰为厘米两种情况，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）检验能否构成三角形，进而求周长． 【详解】 解：∵等腰三角形两边长分别为厘米和厘米， ∴可能情况：① 腰为厘米，底为厘米；② 腰为厘米，底为厘米． ① ∵，不满足两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形． ② ∵，，，均成立， ∴可以构成三角形，周长为（厘米）． 故选：． 24．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）一木工将一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米，要另找一根木条，钉成一个三角形木架，应选择下列哪一根（） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 80厘米 D. 110厘米 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．设第三边的长厘米，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】 解：设第三边的长厘米， 一根长100厘米的木条锯成40厘米与60厘米， 满足条件的只有80厘米， 故选：C． 25．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A. 两点之间的线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 长方形是轴对称图形 D. 长方形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】 解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形具有稳定性， 故选：B． 26．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）下列各组线段中，能组成三角形的是(　　) A. 4，6，10 B. 3，6，7 C. 5，6，12 D. 2，3，6 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，进行判断即可得. 【详解】A、4+6=10，不能组成三角形； B、3+6>7，能组成三角形； C、5+6<12，不能组成三角形； D、2+3<6，不能组成三角形， 故选B. 【点睛】本题考查了三角形三边关系，对运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形的掌握情况，注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 27．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（          ） A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm C. 13cm，20cm，6cm D. 5cm，5cm，11cm 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边行分析 【详解】A.3+4＞5,能组成三角形,故此选项正确 B.8+7=15,不能组成三角形,故此选项错误; C.13+6＜20,不能组成三角形,故此选项错误 D.5+5<11,不能组成三角形,故此选项错误 故选:A 【点睛】此题考查三角形三边关系，难度不大 28．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为和两部分，那么这个等腰三角形的底边长是（     ） A. 2 B. 1 C. 13 D. 1或13 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义、二元一次方程组的几何应用、三角形的三边关系定理． 分①；②两种情况，再分别根据等腰三角形的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检验即可得． 【详解】 解：如图，是等腰三角形，是腰上的中线， 设，则， 由题意，分以下两种情况： ① 当时， 则 ， 解得 ， 此时等腰三角形的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ② 当时， 则 ， 解得 ， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为． 故选：B． 29．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是　　　　　　． 【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 【详解】 解：其根据的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 30．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】22 【分析】 本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的性质，题目给出的两边长没有明确腰、底分别是多少，所以分类讨论，再根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】 解：若腰长为4，则三角形的三边长分别为4，4，9， ， 不符合三角形的三边关系， 若腰长为9，则三角形的三边长分别为4，9，9， ， 符合三角形的三边关系， 这个三角形的周长是， 故答案为：22． 31．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）已知的三边分别为a，b，c，化简：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了绝对值的化简、三角形的三边关系，利用绝对值的性质正确化简是解题的关键．根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】 解：∵a，b，c是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知，，是三角形的三边长，化简：　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值的性质，熟练掌握三角形的三边关系，绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形的三边关系可得，然后根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】 解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∴ 故答案为： 33．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是　　　　　　． 【答案】三角形的稳定性 【分析】 本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 34．（25-26学年八上·重庆铁路中学）等腰三角形有两条边长分别为4和9，则它的周长为　　　　　　． 【答案】22 【分析】 本题主要考查等腰三角形的周长，三角形三边关系，解此题的关键在于分情况讨论，需注意三边是否满足三角形的三边关系． 分腰长为4和9两种情况进行讨论，分别判断能否围成三角形，然后求出其周长即可． 【详解】 解：当等腰三角形的腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当等腰三角形的腰长为9时，，能构成三角形，符合题意， ∴其周长为． 故答案为：22． 35．（25-26学年八上·重庆长寿川维中学校·期中）已知，在中，，且． （1）求a的取值范围； （2）若为等腰三角形，求a的值． 【答案】（1）     （2）10      【分析】 本题考查了三角形三边的不等关系：两边之和小球第三边，两边之差大于第三边，等腰三角形的性质，解不等式；掌握这些知识是关键． （1）由，解不等式即可求解； （2）由等腰三角形知，或，由此即可求得a的值，根据（1）中a的范围，最后可确定a的值． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 解得：， 故a的取值范围为； (2) 小问详解： 解：为等腰三角形，或， 则或， ∵， ∴． 36．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】 解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 37．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）已知是的三边长． （1）化简：． （2）若是等腰三角形，一腰上的中线将这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义． （1）利用三角形三边关系（两边之和大于第三边）判断绝对值内的符号，从而化简计算即可； （2）设等腰三角形的腰长为，底边长为，根据一腰上的中线将周长分成和两部分，列出方程求解，并检验是否满足三角形三边关系． (1) 小问详解： 解：∵是的三边长， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， 一腰上的中线将周长分成两部分：一部分为，另一部分为． 则有两种情况： ①，， 解得，， 但，不满足三角形三边关系，舍去； ②，， 解得，，满足三角形三边关系（，）； ∴腰长为． 38．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】 解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 39．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为　　　　　　． 【答案】3或8 【分析】 本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】 解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 40．（25-26学年八上·重庆·期中）已知中，，，长为奇数，那么三角形的周长是　　　　　　　　　　． 【答案】18或20 【分析】根据三角形三边关系定理得到第三边的范围，再根据BC为奇数和取值范围确定三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜BC＜8+3， 即：5＜BC＜11， ∵BC为奇数， ∴BC的长为7或9， ∴三角形的周长为18或20. 故答案为：18或20. 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理即三角形任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边． 41．（25-26学年八上·重庆·期中）一个等腰三角形的周长是． （1）已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； （2）已知其中一边长为，求各边的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）设底边长为，则腰长是，代入求出即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． (1) 小问详解： 设底边长为，则腰长是， ， 解得：， 所以， 故该等腰三角形的各边长为：； (2) 小问详解： ① 若底边长为 7 cm ，设腰长为， 则：， 得：，所以三边长分别为：， ② 若腰长为 7 cm ，设底边长为，则：，得， 又因为， 故舍去，综上所述，该等腰三角形的三边长分别为： 考点03 三角形的中线、角平分线、高 1．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形中线求面积，掌握三角形中线平分三角形面积是关键 根据三角形中线平分面积得到，则，再根据中线平分面积即可求解． 【详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：D ． 2．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）如图，在△中，线段表示的边上的高的图是（     ） A.     B.     C.     D.     【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】 解：过点作的垂线，且垂足在直线上， 所以正确画出边上的高的是D选项， 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，在中，边上的高是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形的高，根据三角形高线的定义过三角形一个顶点作对边的垂线得到的垂线段是三角形该边上的高直接判断即可得到答案； 【详解】 解：由图形可得， 是边上的高，是边上的高，不是的高， 故选D． 4．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 根据三角形的中线的性质，得△ABE的面积是△ABD的面积的一半，△ABD的面积是△ABC的面积的一半，由此即可解决问题； 【详解】 解：∵AD是△ABC的中线， ∴， ∵CE是△ABD的中线， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是掌握三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 5．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A. 是的平分线 B. 是边上的高 C. 是边上的中线 D. 是边上的中垂线 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】 解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 6．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，D为中边上的一点，，，，E是上的一点，且的面积等于面积的3倍，的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 不确定 【答案】B 【分析】 本题考查了同高的三角形面积的计算，解决本题的关键是得到的面积与的面积之间的关系． 根据与同高可得面积比为，再由的面积等于面积的3倍，可得的面积与的面积之间的关系，再由同高计算面积即可． 【详解】 解：∵，， ∴，即， ∵的面积等于面积的3倍， ∴，即， ∵， ∴， 整理可得， ∵与同高，记作h， ∴， 解得． 故选：B ． 7．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】 解：、、分别是的高、角平分线、中线， 结合选项可知，，， 故A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意； 故选：B． 8．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）如图，四个图形中，线段是的高的图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】 解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 9．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，是的中线，点为的中点，连接，若的面积为2，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键． 先根据三角形的中线的性质求得，再根据三角形的中线的性质求． 【详解】 解∶∵点为的中点，的面积为2， ∴ ∵是的中线， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）下列命题错误的是（　　） A. 三角形的三条高交于一点 B. 三角形的三条中线都在三角形内部 C. 直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处 D. 三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等 【答案】A 【分析】 根据三角形的三条高所在直线交于一点，可以判定A与C选项；根据三角形三条中线交于一点即为三角形的重心，可以判定B选项；三角形的三条角平分线交于一点以及角平分线的性质可以判定D选项；于是即可得出答案． 【详解】 解：A、钝角三角形的三条高（线段）不能交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故原命题错误，符合题意； B、三角形的三条中线都在三角形的内部，正确，不符合题意； C、直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处，正确，不符合题意； D、三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等，正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】 此题考查了命题真假的判断，熟练掌握三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的性质是解答此题的关键． 11．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）如图，在中，已知分别为的中点，且，则的面积为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形中线的性质，由点是的中点， 可得，进而由点是的中点，得到，，即得到，最后根据点是边上的中点， 可得，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】 解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：． 12．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）在中，已知点D、E、F分别是、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，，从而可得，再根据三角形的中线可得，由此即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是边上的中点， ∴，， ∴， ∵是边上的中点， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在中，已知D为上一点，E、F分别为、的中点，且，则的面积为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【分析】 本题考查了根据三角形中线求三角形面积，解决本题的关键是利用三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可求解． 【详解】 解：∵F是的中点， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 14．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，是的中线，延长至点E，使，连接，若的面积为2，则的面积是　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 由角平分线的性质可得，由三角形的面积关系可求解．本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 【详解】 解：，的面积为2， ， ， ， 故答案为：12． 15．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，，则中边上的高为　　　　　　　　． AI 【答案】3 【分析】 本题主要考查中线的性质，利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】 解：作，    ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 故中边上的高为3． 故答案为：3． 16．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】 解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 17．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，为的中线，为的高，的面积为15，，求的长． 【答案】10 【分析】 由为的中线得的面积是的面积的2倍，求出的面积，然后利用的高结合三角形的面积公式即可求出的长； 本题考查三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的含义，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵为的中线， ∴． ∵的高， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）如图，在中，是边上靠近的三等分点，是的中点，已知三角形的面积为5，那么图中两个阴影三角形面积之和是　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了与三角形的中线有关的三角形的面积，作辅助线是解题的关键．如图，连接，根据题意可得，，求出，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， 是的中点， ，， ， 即， 是边上靠近的三等分点， ， ， ． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，且，则　　　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查三角形中的面积关系，数形结合，准确表示出各个三角形面积关系是解决问题的关键． 由题意得到、，数形结合得到，，再对恒等变形，转化为，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：在中，是上的一点，， ，即； 在中，点是的中点， ，即； ，， ， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，、分别是，的中点，且，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵、分别是，的中点， ∴，， ∴； 故答案为：6． 21．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】 解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． 22．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则　　　　　　　． 【答案】25 【分析】 本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算，连接，根据三角形的中线平分面积，得到，，根据等高三角形的面积比等于底边比，得到，，设，根据，列出方程进行求解，再根据分割法求出即可． 【详解】 解：连接， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴； 故答案为：25． 考点04 三角形的内角 1．（25-26学年八上·重庆两江育才中学校·期中）在中，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和定理 根据直角三角形的两个锐角互余即可求解 【详解】 解：在中，，， ∴， 故选：D 2．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）如图，，于点F，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，先根据得出，再利用三角形内角和定理即可求得的值． 【详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由三角形内角和定理可知：． 故选：C． 3．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）一个三角形内角的度数比是，其中最大的内角是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了比的应用，三角形内角和． 由三角形内角和乘以最大角的占比即可求出答案． 【详解】 解：∵一个三角形三个内角的度数比是， ∴最大的角是， 故选：C． 4．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）在△ABC中，，则△ABC是（       ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【分析】 根据设出各角的度数，结合三角形内角和定理求出各角，再根据三角形分类特征判定即可． 【详解】 解：在△ABC中，， 设， 由三角形内角和定理可得， 解得， ， 是一个锐角三角形， 故选：C． 【点睛】 本题考查三角形分类，熟练掌握三角形内角和定理，根据各角比例设未知数求解各个角的度数是解决问题的关键． 5．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】 解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在三角形纸片中，，，将对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查折叠的性质和三角形内角和是，熟练掌握三角形内角和是是解题的关键． 先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】 解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 7．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）在一个三角形中，最小的一个角大于，则的形状是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，解决本题的关键是通过反证法利用三角形内角和定理，得出矛盾后确定最大角范围，从而判断形状． 利用三角形内角和定理，结合最小角大于，通过反证法推导出最大角小于，从而判断三角形为锐角三角形． 【详解】 解：∵ 最小角大于， ∴ 每个角都大于， 设三个角为，且，则， ∵， 若，则， 但， ∴，与矛盾， ∴， ∴所有角都小于， ∴是锐角三角形． 故选：A． 8．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 9．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）在中，由下列条件不能判定为直角三角形的是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角形内角和定理．根据三角形内角和定理对四个选项依次判断即可． 【详解】 解：A选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴． ∴为直角三角形． 故A选项不符合题意． B选项：∵， ∴． ∴为直角三角形． 故B选项不符合题意． C选项：由，无法判断为直角三角形． 例如：，符合条件，但不是直角三角形， 故C选项符合题意． D选项：∵，∠A+∠B+∠C=180°， ∴． ∴为直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年八上·重庆松树桥中学校·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查矩形性质，翻折性质，三角形内角和定理等．根据题意利用矩形性质可得，继而求得，再利用折叠性质得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 故选：B． 11．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】 解：∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 12．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）如图，将一副直角三角板如图摆放，点E落在边上，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，根据平行线的性质求出，根据角的和差关系求出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】 解：根据题意知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 13．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，，，点尽在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC． 【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°， ∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-60°=70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC=×50°=25°， 在△ABO中， ∠AOB=180°-∠BAC-∠ABO=180°-70°-25°=85°， ∴∠DOC=∠AOB=85°， 故B选项错误； ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD=（180°-60°）=60°， ∴∠BDC=180°-85°-60°=35°， 故C选项正确； ∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴D到AB、AC、BC的距离相等， ∴AD是△ABC的外角平分线， ∴∠DAC =（180°-70°）=55°， 故D选项正确． ∴∠ADB=∠DOC-∠DAC=85°-55°=30°, 故A选项正确. 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键． 14．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】 解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 15．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）下列条件不能确定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定，根据各选项条件，利用内角和为推导各角度数，判断是否含有角即可得到答案； 【详解】 解：∵三角形内角和为， A选项：设，，， 则， 解得， 即，故为直角三角形。 B选项：∵， ∴， ∴，故为直角三角形， C选项：∵， ∴， 解得：，故为直角三角形， D选项：设，则，， ∴，解得：， ∴，故不为直角三角形， 故选：D． 16．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）具备下列条件的，不是直角三角形的是（     ） A. ， B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，根据各角之间的关系，可求出最大内角的度数，取最大角不是的选项即可． 【详解】 解：A．∵，，， ∴， ∴是直角三角形，选项A不符合题意； B．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，选项B不符合题意； C．∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，选项C不符合题意； D．∵，， ∴最大的内角， ∴是锐角三角形，选项D符合题意． 故选：D． 17．（25-26学年八上·重庆·期中）已知在△ABC中，∠A=∠B —∠C，则△ABC为（        ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 【答案】C 【详解】试题分析：∵∠A=∠B﹣∠C，∠A+∠C+∠B=180°，∴∠B﹣∠C +∠C+∠B=180°，∠B=90°．则该三角形是直角三角形．故选C． 考点：三角形内角和定理． 18．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东，在B处测得灯塔C位于北偏东，则（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查方向角，理解方向角的定义以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 根据方向角的定义，求出、，再根据三角形的内角和定理求出结果即可． 【详解】 解：由方向角的定义可知， ，， ． 故选：D． 19．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　） A. 76° B. 60° C. 56° D. 94° 【答案】C 【分析】 由∠A=52°，根据三角形内角和定理，可求出的和，再根据角平分线的性质，可求出的和，再根据三角形内角和定理求出的度数，依次类推求出∠BD5C的度数． 【详解】 ∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°， 又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1， ∴，， ∴=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°， ∴=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°， 同理=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°， 依此类推，=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，要求学生熟练相关知识点，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 20．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论是（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的高和角平分线，直角三角形的两锐角互余，全等三角形的判定和性质等，由三角形的高可得，进而由角平分线的定义得，即得到，即可判定① ；证明，得到，进而可证，即可判定② ；由全等三角形的性质得，，进而由得，即可判定④ ；延长交于点，可证，得到，即得，由可得，即得，即可判定③ ，综上即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴，， ∴， ∴，故① 正确； ∵是的高，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是的角平分线，平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，② 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④ 正确； 如图，延长交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 即，故③ 错误； 综上所述，正确的结论有① ② ④ ， 故选：． 21．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）以下四个三角形分别满足以下条件：①；②；③；④，其中是直角三角形的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，利用三角形内角和定理分别计算每个条件下的角度，判断是否有角等于． 【详解】 解：∵，且， ∴， ∴无的角，不是直角三角形， 故① 不符题意； ∵，且， ∴， ∴， 故②符题意； 设，则， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故③符题意； ④设，则，， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故④ 符题意 ∴ ②、③、④ 3个是直角三角形， 故选：C． 22．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，、分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且，有以下结论中：①；②；③；④．正确的结论个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，然后由三角形的内角和定理可得，即可判断结论；由垂线的性质可得，由对顶角相等可得，由等式的性质及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，利用可证得，即可判断结论；由全等三角形的性质可得，，由即可判断结论；延长交于点，利用邻补角互补可得，进而可得，利用可证得，于是可得，则，由三角形外角的性质及不等式的性质可得是钝角，因而可得，则，即可判断结论；综上，即可得出答案． 【详解】 解：是的高， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， ， 故结论正确； 是的高，， ， ， ， ， 是的角平分线，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故结论正确； ， ， ， ， ， ， 故结论正确； 如图，延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，是钝角， ， ， 即：， 故结论错误； 综上所述，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】 本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），利用邻补角互补求角度，线段的和与差，三角形外角的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）在中，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理，三角形的三个内角之和等于，据此求解的度数即可． 【详解】 解：根据题意得，在中，， 则的度数为：， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据角平分线的定义求得角，然后在直角中，求得的度数，则即可求解． (1) 小问详解： ∵， ∴． (2) 小问详解： ∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键． 25．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，分别是的角平分线和高，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查三角形的高线及角平分线、三角形内角和，由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和定理可求解． 【详解】 解：∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∴． 26．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，，，是高，是角平分线，　　　　　　　度． 【答案】10 【分析】 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 故答案为：10． 27．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，已知，与相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 即， 在和中， ， ， ；.     （2） 证明：由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ．      【分析】 本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证； （2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 28．（25-26学年八上·重庆复旦中学·期中）如图，是的平分线，是边上的高，若，，求的度数 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形内角和的性质，解决本题的关键是求解的度数． 由，且是的平分线，可得，再由高线可得垂直即，由三角形内角和即可求解的度数，进而即可得解． 【详解】 解：∵由，且是的平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的度数为． 29．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了对顶角的性质和三角形内角和定理，理解图示是解决本题的关键． 连接，根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理进而即可求解． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∴ ． 30．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）若等腰三角形有一个内角为，则它的顶角度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论已知内角是顶角还是底角． 当角为顶角时，直接得出顶角度数；当角为底角时，利用等腰三角形两底角相等及内角和为，计算顶角的度数． 【详解】 解：等腰三角形的一个内角为，需分两种情况讨论： 情况一：若这个的角是顶角， 则该等腰三角形的顶角度数为． 情况二：若这个的角是底角， 因为等腰三角形两底角相等， 所以另一个底角也是． 又因为三角形内角和为， 所以顶角的度数为． 综上，该等腰三角形的顶角度数为或． 故答案为：或． 31．（25-26学年八上·重庆长寿中学校·期中）如图，在中，是高，是的平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查的是三角形的角平分线，高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和定理是解本题的关键． 根据三角形内角和可得，求出后利用三角形的高线、角平分线的性质求解即可． 【详解】 解：在中，，， ∴． 又∵是的平分线， ∴． 在中，， 又∵是高，所以， ∴， ∴． 32．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）等腰三角形一个内角为，它的底角为　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键，根据等腰三角形的定义分情况讨论，再利用三角形内角和定理计算底角． 【详解】 解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则， ① 若是顶角，则， ∴， ∴； ② 若是底角，则， ∴， 故答案为：或． 33．（25-26学年八上·重庆·期中）一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多，则这个多边形的边数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查多边形内角和，外角和定理．根据题意设正多边形每个外角度数为x，则每个内角为，再利用多边形内角与外角互补列出方程求得每个外角度数，再利用外角和定理即可得到本题答案． 【详解】 解：设正多边形每个外角度数为x， ∵一个正多边形的一个内角比它相邻的一个外角多， ∴每个内角为， ∴，解得：， ∴这个多边形的边数为：， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的高和中线的定义，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的高求出，最后根据角的和差即可求解． 【详解】 解：，， ， 是的角平分线， ， 是边上的高， ， ， ． 35．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）已知中 （1），求的度数 （2）a，b，c是三角形的三边长，且a，b，c都是整数，化简： 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是三角形内角和及三角形的三边关系、整式的加减运算，熟知三角形中，内角和为及任意两边之和大于第三边是解答此题的关键． （1）先得出，再根据求出结论即可； （2）先得出，再化简绝对值，最后进行整式加减运算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得：， ； (2) 小问详解： 解：∵a，b，c是三角形的三边长， ， ． 36．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据多边形内角和公式列一元一次方程求解即可． 【详解】 解：设这个多边形的边数为， 根据多边形内角和公式，可得方程， 解方程得 ． 37．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】12 【分析】 设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数． 【详解】 解：设这个正多边的外角为x°，由题意得： x+5x=180， 解得：x=30， 360°÷30°=12． 故答案为：12． 【点睛】 此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 38．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）如图，三角形纸片中，，将沿翻折，使点C落在外的点处．若，则的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】 解：，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 39．（25-26学年八上·重庆璧山中学校·期中）如图，在中，是高，是的平分线． （1）若，求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）由三角形内角和定理得，再根据角平分线的定义得到，又由直角三角形两锐角互余可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形的面积解答即可求解； 本题考查了三角形的高和角平分线，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，是高， ∴， 即， ∴． 40．（25-26学年八上·重庆江津区实验中学·期中）如图，在中，为边上的高，平分交于点E，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形的高的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义求出，再由高的定义求出，再由计算即可得解； （2）由题意求出，再计算出，即可得解． (1) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 41．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，在中，，平分，若，，求的度数． 【答案】50° 【分析】 此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的内角和等于等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． 由平分，得，，由，得，而，则，． 【详解】 解：在中，平分， ． ． ， ． ． ． 42．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． (1) 小问详解： 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， (2) 小问详解： ， ， 、是角平分线， ， ． 43．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，，，，若，则　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，熟练掌握这个知识并能灵活应用是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余求出的度数，由得，由平角定义得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 44．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）已知是的高，，，的度数是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，三角形内角和． 分高在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：当高在内部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以； 当高在外部时， 在中，，， 由直角三角形两锐角互余，得， 又， 所以． 故答案为：或． 45．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）在中，，，于D，平分．求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查三角形内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为以及角平分线的定义是解题的关键．由题意根据三角形内角和以及角平分线的定义与高线的定义进行分析即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 46．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是　　　　　　　　　　 【答案】5 【分析】 本题考查多边形内外角关系，根据正多边形每个内角、外角都相等，结合多边形相邻内外角互补求解即可得到答案； 【详解】 解：设正多边形的内角度数为， ∵一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 47．（25-26学年八上·重庆渝北中学校·期中）如图，为的角平分线，点为上一点（不与、重合），于点．若，，则　　　　　　　　． 【答案】B度 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，根据得到，结合得到，结合得到，根据为的角平分线得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 考点05 三角形的外角 1．（25-26学年八上·重庆开州区文峰·期中）将一幅直角三角尺如图放置，使含角的三角尺的一条直角边与含角的三角尺的一条直角边重合，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再求出即可． 【详解】 解：如图所示，由三角形的外角性质得，， 则， 故选：C． 2．（25-26学年八上·重庆铁路中学）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC边上一点，E点在AC边上，∠ADE＝∠AED．若∠BAD＝24°，则∠CDE＝（        ） A. 24° B. 20° C. 15° D. 12° 【答案】D 【分析】 根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】 解：∵∠ADE＝∠AED， ∴∠ADC﹣∠CDE=∠AED， ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE, ∴∠B+∠BAD﹣∠CDE=∠C+∠CDE， ∵∠B=∠C，∠BAD=24°， ∴2∠CDE=24°， ∴∠CDE=12°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质，熟练运用三角形的外角性质解决问题是关键． 3．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）如图，是中的平分线，是的外角的平分线．若，那么（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的定义与性质，掌握三角形外角的定义与性质是解答本题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据得到，即可得到答案． 【详解】 解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵， ∴． ∴ 故选：D． 4．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）如图，点D在的边的延长线上，点E在边上，连接交于点F，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 首先根据，可以算出，然后设，根据三角形外角的性质可得x的值，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5．（八上·重庆川外基础教）如图，已知，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，点A，B分别是的两边，上的点，连接，已知OG平分，平分，与交于点P，若，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 根据角平分线定义，得到，，利用三角形的外角性质，即可得到结果． 【详解】 解：平分，， ， 平分，， ， 是△的外角， ， 即， 故选：B． 7．（25-26学年八上·重庆梁山初中教·期中）如图，将三角形纸片折叠，为折痕，点C落外的点F处，，，，则（ ） A. 95° B. 105° C. 115° D. 125° 【答案】C 【分析】 先根据三角形的内角和定理可出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠F=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠F=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=65°，然后利用平角的定义即可求出∠1,即． 【详解】 解：如图， ∵∠A=65°，∠B=75°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外， ∴∠F=∠C=40°， 而∠3+∠2+∠5+∠F=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°， ∵，即∠2=35°， ∴∠3+35°+∠4+40°+40°=180°， ∴∠3+∠4=65°， ∴∠1=180°-65°=115°． 即 故选：C． 【点睛】 本题考查了折叠问题中的角度计算问题，注意折叠前后，对应角相等，熟练掌握三角形的内角和定理以及外角性质是解题的关键． 8．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，在中，、的平分线、相交于点，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查角平分线的定义和三角形外角的定义，熟练掌握角平分线和三角形外角的定义是解题的关键，根据角平分线的定义得到，，再由外角的定义得到，代入即可得到答案． 【详解】 解：∵平分、平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：A． 9．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（     ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定① ；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定② ；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③ ；利用三角形外角的性质可得即可判定④ ． 【详解】 解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分，    ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：① ② ④． 故选D． 10．（25-26学年八上·重庆江津二中联·期中）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算． 【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB） ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） ∴∠P=90°+∠A； 故（1）的结论正确； （2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC） ∠P=∠PCE-∠PBC ∴2∠P=∠A 故（2）的结论是错误． （3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（∠FBC+∠ECB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） =180°-（∠A+180°） =90°-∠A． 故（3）的结论正确． 正确的为：（1）（3）． 故选C 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系． （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和； （2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件． 11．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，在中，，的角平分线与角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点．下列结论中，正确的是（     ） ①；②；③；④ A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理等知识，综合性强，难度较大．根据角平分线定义得到，，根据，得到，即可求出，故① 正确；证明，进而证明，故② 正确；先证明，再证明，故③ 正确；延长交于点M，证明，得到，进而证明，即可得到，从而证明，故④ 正确． 【详解】 解：∵的角平分线与角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故② 正确； ∵是外角， ∴， ∵， ∴， ∴，故③ 正确； 如图，延长交于点M， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④ 正确． 故选：D 12．（25-26学年八上·重庆巴川中学校·期中）如图，在中，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】140 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌握三角形外角等于不相邻的两内角的和是解题的关键． 先根据三角形外角的性质求得，再根据邻补角互补即可解答． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 故答案为：140． 13．（25-26学年八·重庆高新·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当　　　　　　　　　　度时，． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 14．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）如图，的度数为　　　　　　． 【答案】d度 【分析】 本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】 解： 故答案为： 15．（25-26学年八上·重庆永川区文理·期中）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝　　　　　． 【答案】20° 【分析】 直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案． 【详解】 ∵AB∥CD， ∴∠ABF+∠EFC＝180°， ∵∠EFC＝130°， ∴∠ABF＝50°， ∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°， ∴∠A＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】 此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，求出∠ABF＝50°是解答此题的关键． 16．（25-26学年八上·重庆铁路中学）（多选）如图所示，在ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求 （1）求的度数． （2）求的度数 【答案】（1）∠DAC=20°；     （2）∠AOF=55°．      【分析】 （1）根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）根据三角形的内角和和角平分线的定义以及三角形的外角性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=70°， ∴∠DAC=180°-90°-70°=20°； (2) 小问详解： 解：∵∠BAC=50°，∠C=70°， ∴∠BAO=25°，∠ABC=60°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO=30°， ∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=55°． 【点睛】 本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．关键是利用角平分线的性质解出∠ABO、∠BAO． 17．（25-26学年八上·重庆綦江区未来学校·期中）如图，点O是内一点，延长交于点D，若，，，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，解题关键是牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”． 先利用三角形的外角性质得出，，再结合已知角求解即可可得出的度数． 【详解】 解：∵点O是内一点，延长交于点D， ∴，， ∴． ∵，，， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·重庆双桥中学·期中）将一副三角板按如图方式叠放，那么等于　　　　　　． 【答案】i度 【分析】 本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则　　　　　°． 【答案】30 【分析】 本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】 解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 20．（25-26学年八上·重庆第二十九中学校·期中）如图，在中，平分，为线段上的一个动点，交的延长线于点． （1）若，，求的度数； （2）当P点在线段上运动时，猜想，与的数量关系，并证明． 【答案】（1）的度数是     （2） ， 证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查了三角形的内角和定理及外角性质、角平分线的定义，特别注意第（2）小题，根据第（1）小题的思路即可推导． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年八上·重庆潼南区初中·期中）如图，的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据三角形外角的性质得出，，，结合平角的定义即可解答； 【详解】 解：如图，设交于点，连接， 则，，， ∴， 又，， ∴． 22．（25-26学年八上·重庆·期中）如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，EF与CD交于点M，CF与BE交于点N． （1）若∠D＝70°，∠BED＝30°，则∠EMA＝　     　（度）； （2）若∠B＝60°，∠BCD＝40°，则∠ENC＝　     　（度）； （3）∠F与∠B、∠D有怎样的数量关系？证明你的结论． 【答案】（1）85；（2）80；（3）∠F＝（∠B+∠D）． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质求解即可； （3）利用三角形外角的性质求得∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF，利用角平分线的性质可证得∠B+∠D＝2∠F，从而求得答案. 【详解】（1）∵EF为∠BED的平分线，∠BED＝30°， ∴∠DEM＝∠FEN＝∠BED＝15°． 又∵∠EMA＝∠D+∠DEM，∠D＝70°， ∴∠EMA＝85°． 故答案为：85°． （2）∵CF为∠BCD的平分线，∠BCD＝40°， ∴∠BCN＝∠FCM＝∠BCD＝20°． 又∵∠ENC＝∠B+∠BCN，∠B＝60°， ∴∠ENC＝80°． 故答案为：80°． （3）∠F＝（∠B+∠D）． 证明：∵∠EMA＝∠D+∠DEF＝∠F+∠DCF， ∠ENC＝∠B+∠BCF＝∠F+∠BEF， ∴∠D+∠DEF+∠B+∠BCF＝∠F+∠DCF+∠F+∠BEF． 又∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线， ∴∠DEF＝∠BEF，∠DCF＝∠BCF． ∴∠B+∠D＝2∠F． 即：∠F＝（∠B+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，主要考查学生的计算能力和推理能力． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $