专题01 实数（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题01 实数 3大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点01 平方根 1．（25-26学年八·重庆高新·期中）实数9的算术平方根是（     ） A. 3 B.  C.  D. 9 2．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）估计的值应在（       ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 3．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列说法正确的是（     ） A. 4的平方根是2 B. 的算术平方根是3 C. 平方根等于本身的数是0 D. 有理数和数轴上的点一一对应 4．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）下列语句中：（1）16的平方根是4；（2）的平方根是；（3）；（4）；（5）125的立方根是；（6）是2的平方根，正确的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）16的平方根是　　　　　　． 6．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）9的算术平方根是　　　　　． 7．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）计算：　　　　　　　　；　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）的算术平方根是　　　　　　． 9．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知的平方根是，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的算术平方根． 考点02 立方根 1．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（       ） A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍 2．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）8的立方根是　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）的立方根是　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）（1）计算：　　　　　．（2）实数的相反数是　　　　　． 6．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）的立方根是　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： （1）x，y的值； （2）的平方根． 8．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）计算：　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）解方程： （1）； （2）． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）下列各数中，最大的数是（       ） A. 1 B. 0 C.  D.  2．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）下列各数中，属于无理数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下列各数中，无理数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）5的相反数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）下列实数中，是无理数的是（       ） A. -3.5 B. 0 C.  D.  6．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）下列各数是无理数的是（       ） A. 0 B.  C. 3.14 D.  7．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列各数中，是无理数的是（       ） A.  B. 0 C.  D. 2 8．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）下列各数中，无理数是（　　） A.  B.  C. 0 D.  9．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）的绝对值是（       ） A. 8 B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）下列各数中，无理数是（） A.  B. 3.14 C. 0 D.  11．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列各数是无理数的是（     ） A.  B.  C. 0.7 D. 0 12．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D.  13．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）以下四个数中，无理数是（       ） A.  B.  C. 0 D. 3 14．（25-26学年八·重庆高新·期中）已知，其中m是整数，则m的值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 15．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）估计的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3间 D. 3和4之间 16．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）下列实数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C. 7 D.  17．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）估算的值是在（       ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 18．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）已知，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）在实数中，无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 20．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）估算（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 21．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）下列各数是无理数的是（     ） A. 3.14159 B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）估算的结果在（       ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 23．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）在实数，，，，，中，中无理数共有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 24．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）估算的值，下列结论正确的是（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 25．（八上·重庆川外基础教）下列各数中，是无理数的是（       ） A.  B. 3.14 C.  D.  26．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）估计的值应在(       ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 27．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）估算的值在（     ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 28．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列选项中，是无理数的是（     ） A. 3.1415 B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A.  B.  C.  D. 3 30．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 31．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，…．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 32．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 33．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）2025年是“十四五”规划收官之年．“十四五”规划把创新提到前所未有的重要位置，我国研发投入再创新高，2024年全社会研发经费投入规模比“十三五”末增长近，增量达到1200000000000元，1200000000000用科学记数法表示为　　　　　． 34．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）（1）计算：． （2）化简：． 35．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）若正整数满足，则　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）计算： （1）； （2）． 37．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）的相反数是　　　　　　　. 38．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）计算： （1） （2） 39．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）计算： （1）； （2）． 40．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则． 根据材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且，则　　 ，　　 ； （2）若，其中p是整数，且，求的值． （3）若，其中a是整数，且，求的值； 41．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和的立方根为是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 42．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．根据定义：　　　　　　；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则　　　　　　． 43．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）计算： （1） （2） 44．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）　　　　　　． 45．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“取经数”，此时，规定．例如，2475中，，2475是“取经数”，；又如2375中，，2375不是“取经数”， （1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； （2）对于一个“取经数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是9的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“取经数”中最大值为　　　　　　　　　． 46．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）若一个四位数满足的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和差数”，则最大的“和差数”为　　　　　　；将和差数的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，当、均为整数时，则满足条件的所有的最小值为　　　　　　． 47．（25-26学年八·重庆高新·期中）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“创新数”，将一个“创新数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“创新数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和，，所以，．根据定义：　　　　　　　　；若“创新数”（，，x，y都是正整数），也是“创新数”，且能被8整除．则　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）阅读材料：一个四位自然数（为数位上的数字且均不为0），把这个四位数分成两个两位数和，若，则称该数为“60”数．例如：四位数4218，把它分成两个两位数42和18，因为，所以4218为“60”数．四位数5324，把它分成两个两位数53和24，因为，所以5324不是“60”数．根据材料，最小的“60”数是　　　　　　．已知是一个“60”数，去掉它的千位数字后得到一个三位数，去掉它的个位数字后得到一个三位数，若与的和能被11整除，则满足条件的的最大值为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）我们规定：若一个四位数的各个数位上的数字均不为0，且千位数字与百位数字之和为10，十位数字与个位数字之差为1，则称为“进取数”．将“进取数”的前两位数与后两位数交换得到，且．例如：四位数3743，因为，，所以3743是“进取数”，且．按照这个规定，最小的“进取数”是　　　　　　　　　　　；若是“进取数”，是5的倍数，则满足条件的的最大值是　　　　　　　　　　． 50．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）一个四位数，且各数位上的数字各不相同，若满足，则称这个四位数为“葫芦数”．例如，四位数1375，因为，所以1375是“葫芦数”．一个“葫芦数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记． （1）按照上述规定，最大的“葫芦数”是_____；_____． （2）若且能被12整除，求满足条件的所有的值． 51．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）一个四位数，数位上数字均不为0，若千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和是7的倍数，则称为“7柒数”．将“7柒数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数交换位置得到，记，例如：对于3425，∵，，则3425是“7柒数”，∴；对于1648，∵而不是整数，∴1648不是“7柒数”，若为最大的“7柒数”，则　　　　　　　　　　　　　；一个四位数是“7柒数”，且A能被3整除，也能被7整除，则满足条件的最大值与最小值之和为　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）对于一个各位数字均不为0的四位数，若（k为正整数），则称这个四位数为“k倍体数”．例如：∵，∴1118是1倍体数；∵，∴1117不是k倍体数．若M是5倍体数且它的十位与个位上的数的和为18，则　　　　　　　　；对于一个k倍体数，我们规定，当时，存在整数u，v使得，成立，则符合题意的所有N中，N的最大值与最小值的差为　　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）对任意一个四位数，将这个四位数千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位数字与十位数字及百位数字与个位数字得到，所以，如果四位数满足千位数字，与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“均衡数”，例如：，因为，所以是一个均衡数，　　　　　；若一个“均衡数”的十位数字比百位数字的倍少，且这个“均衡数”能同时被和整除，则当为最大值时，的值是　　　　　． 54．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位与个位的差是百位与十位差的2倍，则称这个四位数为“双差二倍数”，最小的“双差二倍数”为　　　　　　；若为“双差二倍数”，把的个位和千位交换位置，十位和百位交换位置得到，记，，当为完全平方数，且能被3整除时，满足条件的为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点01 平方根 1．A 2．D 3．C 4．B 5．【答案】 【分析】 根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】 解：， 的平方根是． 6．【答案】3 【分析】 根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】 ∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 7．【答案】①     ② 【分析】 根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】 解：∵ ∴； 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了求一个数的算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 8．【答案】2 【分析】 本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 9．【答案】（1） 的值为 ， 的值为      （2） 的算术平方根是       【分析】 本题主要考查平方根、立方根的计算、解二元一次方程组，掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键，平方根中正的根是算术平方根． 根据平方根、立方根的定义可得方程组 ，解方程组即可求出、的值； 把、的值代入代数式求值，再求出的算术平方根． (1) 小问详解： 解：的平方根是， ， 的立方根是， ， 解方程组 ， 解得： ，  的值为 ， 的值为 ； (2) 小问详解： 解：当 ， 时， 可得：， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 考点02 立方根 1．A 2．D 3．【答案】2 【分析】 立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】 解：∵， ∴8的立方根是2． 4．【答案】 【分析】 此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】 解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 5．【答案】① 0    ② 【分析】 本题主要考查实数的运算，相反数； (1) 先计算立方根，再进行有理数减法运算； (2) 根据相反数的定义求解. 【详解】 解：(1) = ， 所以 = ， 故答案为0. (2) 的相反数是 ， 故答案为 . 6．【答案】-2 【分析】 根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】 解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】 本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 7．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； (2) 小问详解： 解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 8．【答案】0 【分析】 本题考查了绝对值、算术平方根和立方根．先计算绝对值、算术平方根和立方根，再根据有理数的加减法则进行运算，即可作答． 【详解】 解： ， 故答案为：0 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键. （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ； (2) 小问详解： 解：原方程移项变形为 ， ． 考点03 实数及其简单运算 1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．C 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 13．B 14．B 15．B 16．B 17．B 18．B 19．A 20．C 21．C 22．D 23．B 24．A 25．D 26．B 27．A 28．C 29．C 30．D 31．B 32．A 33．【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】 解：． 故答案为：． 34．【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，算术平方根，立方根，乘方，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】 解：（1） ． （2） 35．【答案】4 【分析】 本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算可得，，由此可得结论． 【详解】 解：∵，， 又∵正整数满足， ∴， 故答案为：4． 36．【答案】（1）2     （2）      【分析】 本题考查了实数的运算，零指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，零指数幂的意义等计算即可； （2）根据绝对值的意义，算术平方根的定义，立方根的定义等计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 37．【答案】- 【分析】根据相反数知识直接作答即可. 【详解】的相反数是-，故填-. 【点睛】本题是对无理数的相反数考查，熟练掌握相反数是解决本题的关键，难度较小. 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据乘方的定义、绝对值的性质、立方根和算术平方根的定义化简，再相加减即可； （）先进行乘法运算，再合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确计算是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 40．【答案】（1）2，     （2）     （3）4      【分析】 本题主要考查算术平方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根及实数的运算是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有的整数部分为9，小数部分为，然后问题可求解； （3）由题意易得的整数部分为3，小数部分为，则有，，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 又∵，其中m是整数，且， ∴，， 故答案为：2，； (2) 小问详解： 解：∵，即， ∴， 即的整数部分为9，小数部分为， 又∵，其中p是整数，且， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，即， ∴， ∴， 即的整数部分为3，小数部分为， 又∵，即，其中a是整数，且， ∴，， ∴． 41．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查平方根、立方根的含义、估算无理数大小，熟悉平方根与立方根的含义，理解无理数的整数部分是解本题的关键． （1）由平方根的含义列方程，解方程求解a的值，利用立方根的含义求解b，由无理数的整数部分的含义求解c，从而可得答案； （2）把（1）中的a，b，c的值代入，再求解平方根即可． (1) 小问详解： 解：某正数的两个不同的平方根是和， ∴， 解得， 的立方根为 ， ， 是的整数部分， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵ 的平方根为． 42．【答案】① 595    ② 198 【分析】 本题考查了数字类的新定义题型．正确理解题意是解题关键．根据定义即可计算；确定的值，利用能被整除确定的值即可． 【详解】 解：； ∵， ∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：； ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵为“砺新数”， ∴， ∵，，x、y为整数， ∴，或， 当时，（舍去）， 当时，， 则． 故答案为：；． 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）按顺序先分别进行绝对值的化简、算术平方根的运算、立方根的运算、立方的运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）根据二次根式得的除法运算法则求解即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 44．【答案】 【分析】 本题考查平方根和绝对值等实数的运算，先计算平方根与绝对值，最后进行实数的加减运算． 【详解】 解：． 故答案为：． 45．【答案】① 59    ② 8514 【分析】 本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且a、b均不为0，找到符合条件的a、b的值，即可获得答案． 【详解】 解：（1）5841中，，5841是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，， ， 为9的倍数，且a、b均不为0， 又，a、b在到中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623； 当时，满足条件，此时为8514， 又∵取最大值， ∴为8514． 故答案为：8514． 46．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了实数的新定义运算，代数式求值，根据“和差数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】 解：当千位数字取，百位数字取时，得，此时所得“和差数”最大， ∴最大的“和差数”为； ∵，为整数， ∴是的倍数，且， 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； ∴符合题意的有，，， ∴最小值为， 故答案为：，． 47．【答案】① 607    ② 201 【分析】 本题考查了数字类的新定义题型，整式加减的应用．正确理解题意是解题关键． 根据“创新数”的定义，计算 需去掉各位数字得到四个三位数求和后除以3；对于，先求，结合 是创新数且被8整除的条件确定，进而计算 ． 【详解】 解：由题意得，； ∵ ∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：； ∵能被整除 ∴能被整除， 又∵，，， ∴当时，，（舍去） 当时，为满足能被整除，只能（舍去）， 当时，，， ∴ 则， 故答案为：607，201． 48．【答案】① 1149    ② 4317 【分析】 本题考查了新定义，根据题目所给“60数”的定义，即可得出最小的“60”数；根据“60数”的定义得出，整理得，根据两个两位数相加为整十数，则个位相加必为10得出，进而得出，则a最大为4，此时，求出，根据与的和能被11整除，得出能被11整除，则，即可求出d的值，进而得出b的值． 【详解】 解：∵为数位上的数字且均不为0， ∴最小的“60”数是1149， ， ∵是一个“60”数， ∴， ∴，， ∴， ∴，整理得：， 则a最大为4，此时， ∵，， ∴ ， ∵与的和能被11整除， ∴能被11整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的的最大值为4317． 故答案为：1149，4317． 49．【答案】① 1921    ② 9176 【分析】 本题主要考查了新定义，要使“进取数”最小，那么“进取数”的千位数字为1，则百位数字为9，据此再保证十位数字最小即可保证“进取数”最小，则可得到第一空的答案；设的千位数字为a，十位数字为b，则M的百位数字为，个位数字为，可求出，，进而得到，根据是5的倍数，得到是5的倍数，求出的取值范围，要使M最大，则要使a的值最大，在的每一个值中求出a的最大值，确定b的值，进而求出对应的M，把所有的M比较即可得到答案． 【详解】 解：∵要使“进取数”最小， ∴“进取数”的千位数字要保证最小，即千位数字为1， ∴最小的“进取数”的百位数字为9； 在保证“进取数”的千位数字最小的前提下，十位数字要最小， ∴最小的“进取数”的十位数字为2， ∴最小的“进取数”的个位数字为1， ∴最小的“进取数”为1921； 设的千位数字为a，十位数字为b，则M的百位数字为，个位数字为， ∴， ， ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵， ∴； 当时，则， ∵要使M最大， ∴要保证a最大， ∴， ∴， ∴此时M的最大值为9176； 当时，则， ∵要使M最大， ∴要保证a最大， ∴， ∴， ∴此时M的最大值为9121； 当时，则， ∵要使M最大， ∴要保证a最大， ∴， ∴， ∴此时M的最大值为4621； ∵， ∴M的最大值为； 故答案为：1921；． 50．【答案】（1），；     （2）5137，7315      【分析】 本题考查了新定义运算． （1）最大的“葫芦数”需满足且，且各位数字各不相同．为使M最大，取，则；再取（避免与a重复），则，故；计算时，，，，则； （2）由且被12整除，得为4的倍数；由得，结合葫芦数条件，仅和满足，对应和． (1) 小问详解： 解：由葫芦数定义，，，且数字各不相同． 最大M需a最大， 故，， ∴， ∴， 故； ，， ， ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：，， ． 由，， 得，， 故． 代入得，． ∵能被12整除， ∴被12整除． ∵99与12的最大公因数为3， ∴故为整数． ∵33与4互质， ∴4整除， 即为4的倍数． ∵， ∴， ∴， 即． ∵，且，为4的倍数， ∴或8． 若，则，数字重复，无效． 若，则a，b可能取(4、0，5、1，6、2，7、3，8、4，9、5)． 当，时 ,则 ，数字a，c均为4，重复，无效； 当，时 ,则 ，数字5，1，3，7各异，； 当，时 ,则 ，数字b，c均为2，重复，无效； 当，时 ,则 ，数字7，3，1，5各异，； 当，时 ,则 ，数字b，d均为4，重复，无效； 当，时 ,则 ，数字c为负，不符合题意； 故满足条件的M为5137和7315． 51．【答案】①     ② 7854 【分析】 本题考查了数的表示法、整除的意义、列代数式等知识点，理解“7柒数”的定义是解题的关键． 设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h，则(k为正整数)，根据“7柒数”的定义确定N的值，然后根据的定义求解即可；由题意可得、为7的倍数，再结合A能被3整除可得是3的倍数，即，进而得到，即为整数，再求出A的最大值和最小值，然后求和即可． 【详解】 解：设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h， 则(k为正整数)， 要使N值最大，则m最大，即，， ∴N的最大值为6195， ； ，为7的倍数 又能被3整除 是3的倍数 为整数 不妨令，则（此处枚举最大的A应该从最大的开始，找出对应符合题意的） 不妨令，（此处枚举最大的A应该从最小的开始，找出对应符合题意的） 符合题意的A之和为：． 故答案为：，7854． 52．【答案】① 6499    ② 3737 【分析】 本题考查了新定义运算，先根据5倍体数的定义和十位与个位数字和为18，确定，，由解得，因此．其次，对于k倍体数N，由推导出，结合存在整数u，v的条件，解得且，a的取值范围为1至4，b的取值范围为2至9，列出所有符合条件的N，其中最小值为1261，最大值为4998，差值为3737． 【详解】 解：∵M是5倍体数，即， 又∵十位与个位数字和为18，即， 由于c和d为的非零数字， ∴，， 代入得，解得， ∴； 对于k倍体数，，即， ∴，解得， 此时；， 由存在整数u，v满足，推导出，，，，解得，，且， 代入k倍体数条件，得， ∵， ∴，故， ∴N需满足，，，， 在所有可能的N中，最小值为1261，最大值为4998，差值为． 故答案为：6499，3737． 53．【答案】①     ② 【分析】 本题考查新定义 “均衡数” 的运算与整除问题，运用代数表示与数的整除性质思想，关键是通过数位拆分表示四位数，结合 “均衡数” 的条件、整除规则列方程，易错点是数位对应错误、整除条件（和）的应用遗漏； 答题空1：先对调 的数位得到新数，再代入公式计算； 答题空2：设 “均衡数” 的数位数字，结合条件列方程，利用整除性质确定最大值，再求． 【详解】 答题空1： 解：对调 的千位与十位、百位与个位，得到新数 则； 答题空2： 设： 由 “均衡数” 定义得 因为十位数字比百位数字的倍少，得； 所以 又因为能被整除， 所以， 则为整数， 又因为且为整数，        所以，，； 又因为能被整除， 所以， 则为整数， 又因为且为整数， 所以或或，或或； 因为， ， ， 所以当为最大值时为 ． 54．【答案】① 1245    ② 4138 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，“双差二倍数”的定义，完全平方数的定义，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．根据“双差二倍数”的定义，千位与个位的差是百位与十位差的2倍，即有，要找打最小的M，需让千位a尽可能小，然后依次让百位b，十位c，个位d尽可能小，同时满足数字互不相等且，由此推断验证符合条件的值即可；设，，由此可得，再由，不妨设，则可得，由为完全平方数可得，则，再分和两种情况选取恰当的值一一验证，选取符合条件的值即可求解． 【详解】 求最小“双差二倍数”： 设，满足， 要找打最小的M，需让千位a尽可能小，然后依次让百位b，十位c，个位d尽可能小，同时满足数字互不相等且， 最小时，，，， 则， 由此， 由，且，2，4， ， 验证：，，，，数字互不相等且均不为0， ，，满足条件， 故最小“双差二倍数”为1245； 由题意可设， ， ， ， 由，不妨设， 即， 则， 由于为完全平方数，， 所以需为完全平方数， 又为1至9的不同整数， ， 此时，是完全平方数， 由，且，即， ， 当时，， 结合互不相等且为1至9的整数，试值： 令，则（不符合，舍去）； 令，则（不符合，舍去）； 试，，由， 则，， 此时，且互不相等，则，8，，即，6，8， 令，则， 验证：，，，，数字互不相等且均不为0， ，，满足“双差二倍数”定义， 此时，能被3整除，符合条件， 则； 当时，， 试值发现无符合条件的整数，故舍去； 综上，满足条件的M为4138． 故答案为：1245；4138． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 3大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点01 平方根 1．（25-26学年八·重庆高新·期中）实数9的算术平方根是（     ） A. 3 B.  C.  D. 9 【答案】A 【分析】 本题考查算术平方根，根据算术平方根的概念即可求出答案，解题的关键是正确理解算术平方根的概念． 【详解】 解：， 的算术平方根为3， 故选：A 2．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）估计的值应在（       ） A. 0到1之间 B. 1到2之间 C. 2到3之间 D. 3到4之间 【答案】D 【分析】 本题考查算术平方根的估计，掌握知识点是解题的关键． 通过比较算术平方根估算的范围，进而得到的区间即可． 【详解】 解：∵，，且， ∴． ∴，即． ∴在3到4之间． 故选D． 3．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列说法正确的是（     ） A. 4的平方根是2 B. 的算术平方根是3 C. 平方根等于本身的数是0 D. 有理数和数轴上的点一一对应 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平方根和数轴， 根据平方根的定义解答A，再算术平方根的定义解答B，然后根据平方根等于本身的数解答C，最后根据数轴和实数的关系解答D. 【详解】 ∵4的平方根是，∴A错误； ∵，3的算术平方根是，∴B错误； ∵平方根等于本身只有0，∴C正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，∴有理数与数轴上的点不是一一对应，∴D错误. 故选：C. 4．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）下列语句中：（1）16的平方根是4；（2）的平方根是；（3）；（4）；（5）125的立方根是；（6）是2的平方根，正确的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根，掌握这三个概念及性质的应用是解题关鍵， （1）正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）先求，再求4的平方根；（3）算术平方根的结果具有唯一性；（4）负数的偶次幂为正，正数的算术平方根为正数；（5）正数的立方根是正数；（6）正确． 【详解】 解：（1）16的平方根是，不符合题意； （2）的平方根是，不符合题意； （3），不符合题意； （4），不符合题意； （5）125的立方根是5，不符合题意； （6）是2的平方根，符合题意； 正确个数为1个 故选：． 5．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）16的平方根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平方根的定义，若一个数满足，则称为的平方根，据此找出平方等于的数即可． 【详解】 解：， 的平方根是． 6．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）9的算术平方根是　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】 ∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 7．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）计算：　　　　　　　　；　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】 解：∵ ∴； 故答案为：；． 【点睛】 本题考查了求一个数的算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键． 8．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）的算术平方根是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 9．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）已知的平方根是，的立方根是． （1）求、的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） 的值为 ， 的值为      （2） 的算术平方根是       【分析】 本题主要考查平方根、立方根的计算、解二元一次方程组，掌握平方根，立方根的计算方法是解题的关键，平方根中正的根是算术平方根． 根据平方根、立方根的定义可得方程组 ，解方程组即可求出、的值； 把、的值代入代数式求值，再求出的算术平方根． (1) 小问详解： 解：的平方根是， ， 的立方根是， ， 解方程组 ， 解得： ，  的值为 ， 的值为 ； (2) 小问详解： 解：当 ， 时， 可得：， 的算术平方根是， 的算术平方根是． 考点02 立方根 1．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）如图，某港口有一个体积为的正方体集装箱，为存放更多的货 物，现准备将其改造为一个体积为的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的（       ） A. 2 倍 B. 3 倍 C. 6 倍 D. 9 倍 【答案】A 【分析】 本题考查立方根的应用，掌握立方根的意义是解题的关键．先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论． 【详解】 解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又 ∵， ∴棱长应变为原来的2倍． 故选：A． 2．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了算术平方根、立方根，根据算术平方根和立方根的定义计算出正确结果，再根据计算结果判断正误． 【详解】 解： 表示的算术平方根， ， 故 A选项错误； ， 故B选项错误； = = 3， 故 C选项错误； ， ， 故D选项正确． 故选：D． 3．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）8的立方根是　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】 解：∵， ∴8的立方根是2． 4．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）的立方根是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】 解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 5．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）（1）计算：　　　　　．（2）实数的相反数是　　　　　． 【答案】① 0    ② 【分析】 本题主要考查实数的运算，相反数； (1) 先计算立方根，再进行有理数减法运算； (2) 根据相反数的定义求解. 【详解】 解：(1) = ， 所以 = ， 故答案为0. (2) 的相反数是 ， 故答案为 . 6．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）的立方根是　　　　　　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】 解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】 本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 7．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： （1）x，y的值； （2）的平方根． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； (2) 小问详解： 解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 8．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）计算：　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了绝对值、算术平方根和立方根．先计算绝对值、算术平方根和立方根，再根据有理数的加减法则进行运算，即可作答． 【详解】 解： ， 故答案为：0 9．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键. （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ； (2) 小问详解： 解：原方程移项变形为 ， ． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）下列各数中，最大的数是（       ） A. 1 B. 0 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据正数都大于0，0大于负数，据此即可解答． 【详解】 ∵， ∴最大的数是， 故选：D． 【点睛】 本题考查实数的大小比较，解题关键是熟练掌握实数大小的比较法则． 2．（25-26学年八上·重庆第一中学校·期中）下列各数中，属于无理数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根．根据无理数的定义（无限不循环小数）判断：是无理数，因此也是无理数；其他选项均为有理数． 【详解】 解：对于A：是无理数； 对于B：，是有理数； 对于C：是有限小数，是有理数； 对于D： 是分数，是有理数． 故选：A． 3．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）下列各数中，无理数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根，根据无限不循环小数即为无理数，进行作答即可． 【详解】 解：A、是整数，不是无理数，故该选项不符合题意； B、是无限不循环小数，故该选项符合题意； C、是有限小数，不是无理数，故该选项不符合题意； D、，不是无理数，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）5的相反数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是与之相加为零的数，因此5的相反数是 【详解】 ∵相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数， ∴5的相反数是 故选：D 5．（25-26学年八上·重庆南岸区南坪中学·期中）下列实数中，是无理数的是（       ） A. -3.5 B. 0 C.  D.  【答案】C 【分析】由于无理数就是无限不循环小数．有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、-3.5是有理数，故A选项错误； B.0是有理数，故B选项错误； C.是无理数，故C选项正确； D.=3，是有理数，故D选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，初中常见的无理数有三类：①π类；② 开方开不尽的数，如；③ 有规律但无限不循环的数，如0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）． 6．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）下列各数是无理数的是（       ） A. 0 B.  C. 3.14 D.  【答案】B 【分析】 根据无理数的三种形式：① 开方开不尽的数，② 无限不循环小数，③ 含有π的数，结合选项即可得出答案． 【详解】 解：A．0是有理数，故本选项错误； B．是无理数，故本选项正确； C．3.14是有理数，故本选项错误； D．是有理数，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】 此题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解答本题的关键． 7．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）下列各数中，是无理数的是（       ） A.  B. 0 C.  D. 2 【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数和无理数的定义，无理数指的是无限不循环小数，一般无理数有三种形式：含的式子（例）、带根号且开不尽方的数（例）、无限不循环小数（例，每两个1之间0的个数增加1）．分别根据无理数、有理数的定义即可判定． 【详解】 解：A、是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、是无理数，故本选项符合题意； D、2是整数，属于有理数，故本选项不合题意． 故选：C． 8．（25-26学年八上·重庆第九十五初级中学校·期中）下列各数中，无理数是（　　） A.  B.  C. 0 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；② 开方开不尽的数，如，等；③ 具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】 解：，0，是有理数； 是无理数． 故选B． 9．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）的绝对值是（       ） A. 8 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】 解：的绝对值是8． 故选：A． 10．（25-26学年八上·重庆第二外国语学校·期中）下列各数中，无理数是（） A.  B. 3.14 C. 0 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查无理数，根据无理数是无限不循环小数判断各选项即可． 【详解】 解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、0是整数，属于有理数，不符合题意； D、是开方开不尽的数，且5不是完全平方数， ∴是无理数，符合题意， 故选：D． 11．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）下列各数是无理数的是（     ） A.  B.  C. 0.7 D. 0 【答案】A 【分析】 本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），对每个选项进行判断即可． 【详解】 解：、∵ 是无限不循环小数， ∴ 是无理数，符合题意； b、是整数，属于有理数，不符合题意； 、是有限小数，属于有理数，不符合题意； 、是整数，属于有理数，不符合题意； 故选：． 12．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）﹣3的绝对值是（　　） A. ﹣3 B. 3 C. - D.  【答案】B 【分析】 根据负数的绝对值是它的相反数，可得出答案． 【详解】 根据绝对值的性质得：|-3|=3． 故选B． 【点睛】 本题考查绝对值的性质，需要掌握非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 13．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）以下四个数中，无理数是（       ） A.  B.  C. 0 D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键；根据“无限不循环小数是无理数”进行求解即可． 【详解】 解：是无理数，而其他选项都不符合无理数的概念； 故选B． 14．（25-26学年八·重庆高新·期中）已知，其中m是整数，则m的值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的估算及整数部分的确定．通过比较平方数，确定的整数部分m． 【详解】 解：∵，，且， ∴， 因此，． 故选：B． 15．（25-26学年八上·重庆万州第二高级中学·期中）估计的值应在（　　） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3间 D. 3和4之间 【答案】B 【分析】 将分别与、比较，即可得出答案． 【详解】 故选B． 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小，熟悉掌握夹逼法是解题关键． 16．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）下列实数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C. 7 D.  【答案】B 【分析】 该题考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．选项A、C、D均为有理数，选项B中是非完全平方数的平方根，是无理数． 【详解】 解：选项A：是分数，属于有理数； 选项B：，5不是完全平方数，故是无理数； 选项C：7是整数，属于有理数； 选项D：是有限小数，可化为分数，属于有理数． 故选：B． 17．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）估算的值是在（       ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【分析】 本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．首先估算的范围，再减去2确定结果所在的区间． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 18．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）已知，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的估算，先根据，整理得，即，结合，所以，进行作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 故选：B 19．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）在实数中，无理数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【分析】 本题考查了无理数、算术平方根和立方根，掌握无理数的定义是关键．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【详解】 解：， 则在实数， ，，0，， ， 中，无理数有， 共2个． 故选：A． 20．（25-26学年八上·重庆万州第三中学·期中）估算（　　） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】C 【分析】 本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】 解： ， ， 的值在3和4之间． 故选：C． 21．（25-26学年八上·重庆第八中学校·期中）下列各数是无理数的是（     ） A. 3.14159 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了无理数，立方根等知识，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式，根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：∵无理数是指不能表示为两个整数之比的实数； A．3.14159是有限小数，可化为分数，是有理数； B．，是整数，是有理数； C．，是无理数（5不是完全平方数），故也是无理数； D．是分数，是有理数． 故选：C． 22．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）估算的结果在（       ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】D 【分析】 本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．先估算，进而即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 即估算的结果在8和9之间． 故选：D． 23．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）在实数，，，，，中，中无理数共有（     ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【分析】 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有三种：开不尽方的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻两个之间依次增加个). 【详解】 解：是分数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是整数，是有理数， 是整数，是有理数， 共有个无理数． 故选：B． 24．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）估算的值，下列结论正确的是（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【分析】 本题考查了无理数的估算，由估算方法得，即可求解． 【详解】 解：， ， ， 故选：A． 25．（八上·重庆川外基础教）下列各数中，是无理数的是（       ） A.  B. 3.14 C.  D.  【答案】D 【分析】 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】 A．=2，属于有理数； B．3.14，属于有理数； C．，属于有理数； D．是无理数； 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 26．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）估计的值应在(       ) A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的估算，先估算的大小，进而即可求解． 【详解】 解：∵ ∴ 故选：B． 27．（25-26学年八上·重庆杨家坪中学）估算的值在（     ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【分析】 本题考查了无理数的大小估算，正确的估算出的大小是解题的关键．估算出的大小，继而得出，，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 28．（25-26学年八上·重庆十一中教育·期中）下列选项中，是无理数的是（     ） A. 3.1415 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了无理数，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数）判断即可． 【详解】 A．3.1415是有限小数，可化为分数，是有理数； B．，是整数，是有理数； C．是无理数； D．是分数，是有理数． 故选：C． 29．（25-26学年八上·重庆中教育集团·期中）已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【详解】 解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 30．（25-26学年八上·重庆渝北区重庆渝北区石鞋学校）有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 根据输入数据与输出结果的规则进行计算，判断① ② ③ ；只有三个数字时，当最后输入最大数时得到的结果取最大值，当最先输入最大数时得到的结果取最小值，由此通过计算判断④ ． 【详解】 解：根据题意，依次输入1，2，3，4时， ， ， ，故① 正确； 按照1，3，4，2的顺序输入时， ， ， ，为最小值，故③ 正确； 按照1，3，2，4的顺序输入时， ， ， ，为最大值，故② 正确； 若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k， k的最大值为10， 设b为较大数字，当时， ， 解得， 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 设b为较大数字，当时， ， 则，即 故此时任意输入后得到的最小数是： ， 综上可知，k的最小值是6，故④ 正确； 故选D． 【点睛】 此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力． 31．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，…．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】 解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故① 正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共，，，，共4种结果，故③ 错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故② 错误． 故选：B． 32．（25-26学年八上·重庆长寿实验中学校·期中）有整数序列，，…，（n为正整数，且），构造整式规定：将中x取1时的值记为． 例如：，则；，则． ①当时，若中项的系数比项的系数大1，且项的系数与x项的系数相等，则所有符合条件的整式之和为； ②规定的最大值为20，则n的最小值为4； ③当时，若，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（     ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【分析】 先分析每个小点的说法是否正确，从理清题意、列出条件、求解及验证四个步骤出发，最终再根据所得到的结论推出正确选项． 【详解】 解：说法① ：的表达式为，其中， 由条件可知：且，解得可能的序列为和， 对应分别为和，其和为，① 正确． 说法② ：为在时的值，即， 当时，最大由得， 当时，最大，故n最小值为4，② 正确． 说法③ ：即，且， 符合条件的序列有、、、，共4组，③ 正确． 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 故选：A． 【点睛】 本题考查了整式的综合应用以及逻辑推理能力，难度较大． 33．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）2025年是“十四五”规划收官之年．“十四五”规划把创新提到前所未有的重要位置，我国研发投入再创新高，2024年全社会研发经费投入规模比“十三五”末增长近，增量达到1200000000000元，1200000000000用科学记数法表示为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】 解：． 故答案为：． 34．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，算术平方根，立方根，乘方，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】 解：（1） ． （2） 35．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）若正整数满足，则　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算可得，，由此可得结论． 【详解】 解：∵，， 又∵正整数满足， ∴， 故答案为：4． 36．（25-26学年八上·重庆字水中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2     （2）      【分析】 本题考查了实数的运算，零指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，零指数幂的意义等计算即可； （2）根据绝对值的意义，算术平方根的定义，立方根的定义等计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 37．（25-26学年八上·重庆南开中学教共体学校·期中）的相反数是　　　　　　　. 【答案】- 【分析】根据相反数知识直接作答即可. 【详解】的相反数是-，故填-. 【点睛】本题是对无理数的相反数考查，熟练掌握相反数是解决本题的关键，难度较小. 38．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 39．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据乘方的定义、绝对值的性质、立方根和算术平方根的定义化简，再相加减即可； （）先进行乘法运算，再合并同类项即可； 本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确计算是解题的关键． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 40．（25-26学年八上·重庆万州中学·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则． 根据材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且，则　　 ，　　 ； （2）若，其中p是整数，且，求的值． （3）若，其中a是整数，且，求的值； 【答案】（1）2，     （2）     （3）4      【分析】 本题主要考查算术平方根及实数的运算，熟练掌握算术平方根及实数的运算是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有的整数部分为9，小数部分为，然后问题可求解； （3）由题意易得的整数部分为3，小数部分为，则有，，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 又∵，其中m是整数，且， ∴，， 故答案为：2，； (2) 小问详解： 解：∵，即， ∴， 即的整数部分为9，小数部分为， 又∵，其中p是整数，且， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，即， ∴， ∴， 即的整数部分为3，小数部分为， 又∵，即，其中a是整数，且， ∴，， ∴． 41．（25-26学年八上·重庆第七中学校·期中）已知某正数的两个不同的平方根是和的立方根为是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查平方根、立方根的含义、估算无理数大小，熟悉平方根与立方根的含义，理解无理数的整数部分是解本题的关键． （1）由平方根的含义列方程，解方程求解a的值，利用立方根的含义求解b，由无理数的整数部分的含义求解c，从而可得答案； （2）把（1）中的a，b，c的值代入，再求解平方根即可． (1) 小问详解： 解：某正数的两个不同的平方根是和， ∴， 解得， 的立方根为 ， ， 是的整数部分， ， ∴； (2) 小问详解： 解：∵ 的平方根为． 42．（25-26学年八上·重庆涪陵十四中·期中）对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．根据定义：　　　　　　；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则　　　　　　． 【答案】① 595    ② 198 【分析】 本题考查了数字类的新定义题型．正确理解题意是解题关键．根据定义即可计算；确定的值，利用能被整除确定的值即可． 【详解】 解：； ∵， ∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：； ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵为“砺新数”， ∴， ∵，，x、y为整数， ∴，或， 当时，（舍去）， 当时，， 则． 故答案为：；． 43．（25-26学年八上·重庆青木关中学校·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）按顺序先分别进行绝对值的化简、算术平方根的运算、立方根的运算、立方的运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）根据二次根式得的除法运算法则求解即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，运算法则是解题的关键． (1) 小问详解： ； (2) 小问详解： ． 44．（25-26学年八上·重庆开州中学·期中）　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平方根和绝对值等实数的运算，先计算平方根与绝对值，最后进行实数的加减运算． 【详解】 解：． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·重庆荣昌中学校·期中）一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称为“取经数”，此时，规定．例如，2475中，，2475是“取经数”，；又如2375中，，2375不是“取经数”， （1）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　； （2）对于一个“取经数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是9的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的“取经数”中最大值为　　　　　　　　　． 【答案】① 59    ② 8514 【分析】 本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且a、b均不为0，找到符合条件的a、b的值，即可获得答案． 【详解】 解：（1）5841中，，5841是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设N千位、百位、十位和个位上的数字依次为a、b、c、d，，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为c、d、a、b，且，， ， 为9的倍数，且a、b均不为0， 又，a、b在到中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623； 当时，满足条件，此时为8514， 又∵取最大值， ∴为8514． 故答案为：8514． 46．（25-26学年八上·重庆第三十七中学校·期中）若一个四位数满足的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和差数”，则最大的“和差数”为　　　　　　；将和差数的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，当、均为整数时，则满足条件的所有的最小值为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了实数的新定义运算，代数式求值，根据“和差数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】 解：当千位数字取，百位数字取时，得，此时所得“和差数”最大， ∴最大的“和差数”为； ∵，为整数， ∴是的倍数，且， 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； ∴符合题意的有，，， ∴最小值为， 故答案为：，． 47．（25-26学年八·重庆高新·期中）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“创新数”，将一个“创新数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“创新数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和，，所以，．根据定义：　　　　　　　　；若“创新数”（，，x，y都是正整数），也是“创新数”，且能被8整除．则　　　　　　　　． 【答案】① 607    ② 201 【分析】 本题考查了数字类的新定义题型，整式加减的应用．正确理解题意是解题关键． 根据“创新数”的定义，计算 需去掉各位数字得到四个三位数求和后除以3；对于，先求，结合 是创新数且被8整除的条件确定，进而计算 ． 【详解】 解：由题意得，； ∵ ∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：； ∵能被整除 ∴能被整除， 又∵，，， ∴当时，，（舍去） 当时，为满足能被整除，只能（舍去）， 当时，，， ∴ 则， 故答案为：607，201． 48．（25-26学年八上·重庆云阳县第二初级中学·期中）阅读材料：一个四位自然数（为数位上的数字且均不为0），把这个四位数分成两个两位数和，若，则称该数为“60”数．例如：四位数4218，把它分成两个两位数42和18，因为，所以4218为“60”数．四位数5324，把它分成两个两位数53和24，因为，所以5324不是“60”数．根据材料，最小的“60”数是　　　　　　．已知是一个“60”数，去掉它的千位数字后得到一个三位数，去掉它的个位数字后得到一个三位数，若与的和能被11整除，则满足条件的的最大值为　　　　　　． 【答案】① 1149    ② 4317 【分析】 本题考查了新定义，根据题目所给“60数”的定义，即可得出最小的“60”数；根据“60数”的定义得出，整理得，根据两个两位数相加为整十数，则个位相加必为10得出，进而得出，则a最大为4，此时，求出，根据与的和能被11整除，得出能被11整除，则，即可求出d的值，进而得出b的值． 【详解】 解：∵为数位上的数字且均不为0， ∴最小的“60”数是1149， ， ∵是一个“60”数， ∴， ∴，， ∴， ∴，整理得：， 则a最大为4，此时， ∵，， ∴ ， ∵与的和能被11整除， ∴能被11整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的的最大值为4317． 故答案为：1149，4317． 49．（25-26学年八上·重庆凤鸣山中学·期中）我们规定：若一个四位数的各个数位上的数字均不为0，且千位数字与百位数字之和为10，十位数字与个位数字之差为1，则称为“进取数”．将“进取数”的前两位数与后两位数交换得到，且．例如：四位数3743，因为，，所以3743是“进取数”，且．按照这个规定，最小的“进取数”是　　　　　　　　　　　；若是“进取数”，是5的倍数，则满足条件的的最大值是　　　　　　　　　　． 【答案】① 1921    ② 9176 【分析】 本题主要考查了新定义，要使“进取数”最小，那么“进取数”的千位数字为1，则百位数字为9，据此再保证十位数字最小即可保证“进取数”最小，则可得到第一空的答案；设的千位数字为a，十位数字为b，则M的百位数字为，个位数字为，可求出，，进而得到，根据是5的倍数，得到是5的倍数，求出的取值范围，要使M最大，则要使a的值最大，在的每一个值中求出a的最大值，确定b的值，进而求出对应的M，把所有的M比较即可得到答案． 【详解】 解：∵要使“进取数”最小， ∴“进取数”的千位数字要保证最小，即千位数字为1， ∴最小的“进取数”的百位数字为9； 在保证“进取数”的千位数字最小的前提下，十位数字要最小， ∴最小的“进取数”的十位数字为2， ∴最小的“进取数”的个位数字为1， ∴最小的“进取数”为1921； 设的千位数字为a，十位数字为b，则M的百位数字为，个位数字为， ∴， ， ∴ ， ∵是5的倍数， ∴是5的倍数， ∵， ∴； 当时，则， ∵要使M最大， ∴要保证a最大， ∴， ∴， ∴此时M的最大值为9176； 当时，则， ∵要使M最大， ∴要保证a最大， ∴， ∴， ∴此时M的最大值为9121； 当时，则， ∵要使M最大， ∴要保证a最大， ∴， ∴， ∴此时M的最大值为4621； ∵， ∴M的最大值为； 故答案为：1921；． 50．（25-26学年八上·重庆西南大学附属中学·期中）一个四位数，且各数位上的数字各不相同，若满足，则称这个四位数为“葫芦数”．例如，四位数1375，因为，所以1375是“葫芦数”．一个“葫芦数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新数，记． （1）按照上述规定，最大的“葫芦数”是_____；_____． （2）若且能被12整除，求满足条件的所有的值． 【答案】（1），；     （2）5137，7315      【分析】 本题考查了新定义运算． （1）最大的“葫芦数”需满足且，且各位数字各不相同．为使M最大，取，则；再取（避免与a重复），则，故；计算时，，，，则； （2）由且被12整除，得为4的倍数；由得，结合葫芦数条件，仅和满足，对应和． (1) 小问详解： 解：由葫芦数定义，，，且数字各不相同． 最大M需a最大， 故，， ∴， ∴， 故； ，， ， ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：，， ． 由，， 得，， 故． 代入得，． ∵能被12整除， ∴被12整除． ∵99与12的最大公因数为3， ∴故为整数． ∵33与4互质， ∴4整除， 即为4的倍数． ∵， ∴， ∴， 即． ∵，且，为4的倍数， ∴或8． 若，则，数字重复，无效． 若，则a，b可能取(4、0，5、1，6、2，7、3，8、4，9、5)． 当，时 ,则 ，数字a，c均为4，重复，无效； 当，时 ,则 ，数字5，1，3，7各异，； 当，时 ,则 ，数字b，c均为2，重复，无效； 当，时 ,则 ，数字7，3，1，5各异，； 当，时 ,则 ，数字b，d均为4，重复，无效； 当，时 ,则 ，数字c为负，不符合题意； 故满足条件的M为5137和7315． 51．（25-26学年八上·重庆第十八中学·期中）一个四位数，数位上数字均不为0，若千位数字与百位数字之和为7，十位数字与个位数字之和是7的倍数，则称为“7柒数”．将“7柒数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数交换位置得到，记，例如：对于3425，∵，，则3425是“7柒数”，∴；对于1648，∵而不是整数，∴1648不是“7柒数”，若为最大的“7柒数”，则　　　　　　　　　　　　　；一个四位数是“7柒数”，且A能被3整除，也能被7整除，则满足条件的最大值与最小值之和为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 7854 【分析】 本题考查了数的表示法、整除的意义、列代数式等知识点，理解“7柒数”的定义是解题的关键． 设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h，则(k为正整数)，根据“7柒数”的定义确定N的值，然后根据的定义求解即可；由题意可得、为7的倍数，再结合A能被3整除可得是3的倍数，即，进而得到，即为整数，再求出A的最大值和最小值，然后求和即可． 【详解】 解：设N的千位数为m，百位为n，十位为g，个位为h， 则(k为正整数)， 要使N值最大，则m最大，即，， ∴N的最大值为6195， ； ，为7的倍数 又能被3整除 是3的倍数 为整数 不妨令，则（此处枚举最大的A应该从最大的开始，找出对应符合题意的） 不妨令，（此处枚举最大的A应该从最小的开始，找出对应符合题意的） 符合题意的A之和为：． 故答案为：，7854． 52．（25-26学年八上·重庆巴蜀中学校·期中）对于一个各位数字均不为0的四位数，若（k为正整数），则称这个四位数为“k倍体数”．例如：∵，∴1118是1倍体数；∵，∴1117不是k倍体数．若M是5倍体数且它的十位与个位上的数的和为18，则　　　　　　　　；对于一个k倍体数，我们规定，当时，存在整数u，v使得，成立，则符合题意的所有N中，N的最大值与最小值的差为　　　　　　　　． 【答案】① 6499    ② 3737 【分析】 本题考查了新定义运算，先根据5倍体数的定义和十位与个位数字和为18，确定，，由解得，因此．其次，对于k倍体数N，由推导出，结合存在整数u，v的条件，解得且，a的取值范围为1至4，b的取值范围为2至9，列出所有符合条件的N，其中最小值为1261，最大值为4998，差值为3737． 【详解】 解：∵M是5倍体数，即， 又∵十位与个位数字和为18，即， 由于c和d为的非零数字， ∴，， 代入得，解得， ∴； 对于k倍体数，，即， ∴，解得， 此时；， 由存在整数u，v满足，推导出，，，，解得，，且， 代入k倍体数条件，得， ∵， ∴，故， ∴N需满足，，，， 在所有可能的N中，最小值为1261，最大值为4998，差值为． 故答案为：6499，3737． 53．（25-26学年八上·重庆礼嘉中学校·期中）对任意一个四位数，将这个四位数千位数字与十位数字对调、百位数字与个位数字对调后可以得到一个新的四位数，记．例如，对调千位数字与十位数字及百位数字与个位数字得到，所以，如果四位数满足千位数字，与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“均衡数”，例如：，因为，所以是一个均衡数，　　　　　；若一个“均衡数”的十位数字比百位数字的倍少，且这个“均衡数”能同时被和整除，则当为最大值时，的值是　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查新定义 “均衡数” 的运算与整除问题，运用代数表示与数的整除性质思想，关键是通过数位拆分表示四位数，结合 “均衡数” 的条件、整除规则列方程，易错点是数位对应错误、整除条件（和）的应用遗漏； 答题空1：先对调 的数位得到新数，再代入公式计算； 答题空2：设 “均衡数” 的数位数字，结合条件列方程，利用整除性质确定最大值，再求． 【详解】 答题空1： 解：对调 的千位与十位、百位与个位，得到新数 则； 答题空2： 设： 由 “均衡数” 定义得 因为十位数字比百位数字的倍少，得； 所以 又因为能被整除， 所以， 则为整数， 又因为且为整数，        所以，，； 又因为能被整除， 所以， 则为整数， 又因为且为整数， 所以或或，或或； 因为， ， ， 所以当为最大值时为 ． 54．（25-26学年八上·重庆育才中学·期中）若一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位与个位的差是百位与十位差的2倍，则称这个四位数为“双差二倍数”，最小的“双差二倍数”为　　　　　　；若为“双差二倍数”，把的个位和千位交换位置，十位和百位交换位置得到，记，，当为完全平方数，且能被3整除时，满足条件的为　　　　　　． 【答案】① 1245    ② 4138 【分析】 本题主要考查了新定义下的实数运算，“双差二倍数”的定义，完全平方数的定义，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．根据“双差二倍数”的定义，千位与个位的差是百位与十位差的2倍，即有，要找打最小的M，需让千位a尽可能小，然后依次让百位b，十位c，个位d尽可能小，同时满足数字互不相等且，由此推断验证符合条件的值即可；设，，由此可得，再由，不妨设，则可得，由为完全平方数可得，则，再分和两种情况选取恰当的值一一验证，选取符合条件的值即可求解． 【详解】 求最小“双差二倍数”： 设，满足， 要找打最小的M，需让千位a尽可能小，然后依次让百位b，十位c，个位d尽可能小，同时满足数字互不相等且， 最小时，，，， 则， 由此， 由，且，2，4， ， 验证：，，，，数字互不相等且均不为0， ，，满足条件， 故最小“双差二倍数”为1245； 由题意可设， ， ， ， 由，不妨设， 即， 则， 由于为完全平方数，， 所以需为完全平方数， 又为1至9的不同整数， ， 此时，是完全平方数， 由，且，即， ， 当时，， 结合互不相等且为1至9的整数，试值： 令，则（不符合，舍去）； 令，则（不符合，舍去）； 试，，由， 则，， 此时，且互不相等，则，8，，即，6，8， 令，则， 验证：，，，，数字互不相等且均不为0， ，，满足“双差二倍数”定义， 此时，能被3整除，符合条件， 则； 当时，， 试值发现无符合条件的整数，故舍去； 综上，满足条件的M为4138． 故答案为：1245；4138． 试卷第1页，共3页 / 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