专题10 相似（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题10 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）已知，则的值是（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 设，，代入即可得出答案． 【详解】 解：设，， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查比例的性质，正确理解题意是解题的关键． 2．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，在比例尺为的某城市地图上，若量得A、两所学校的距离是cm，则、两所学校的实际距离是（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 根据比例尺=图上距离∶实际距离，列出比例式直接求解即可． 【详解】 解： 设A、两所学校的实际距离是x，则： ， 解得：cm， ∵630000cm=6300m， ∴A、两所学校的实际距离是6300m． 故选：B． 【点睛】 此题考查了比例尺的定义，解题的关键是熟练掌握比例尺=图上距离∶实际距离． 3．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）下列各组线段是成比例线段的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键． 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； B．，则是成比例线段，故该选项符合题意； C．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意； D．，则不是成比例线段，故该选项不符合题意． 故选：B． 4．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A. 1，2，3，4 B. 2，4，3，5 C. 4，8，5，10 D. 3，9，4，7 【答案】C 【分析】 本题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案，最小数和最大数相乘，另外两数相乘，看它们的积是否相等是解题的关键． 【详解】 A、∵，∴四条线段不成比例； B、∵，∴四条线段不成比例； C、∵，∴四条线段成比例； D、∵，∴四条线段不成比例． 故选：C． 5．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）若，a﹣b+c＝18，则a的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【分析】 设＝k，则可利用k分别表示a、b、c，再利用a﹣b+c＝18，所以2k﹣3k+4k＝18，然后解k的方程，从而得到a的值． 【详解】 解：设＝k， ∴a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵a﹣b+c＝18， ∴2k﹣3k+4k＝18， 解得k＝6， ∴a＝2×6＝12 故选：B． 【点睛】 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质是解决问题的关键． 6．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设, （），代入运算即可． 【详解】 解：∵ = ， ∴ 设, （）， ∴， 故选：C 7．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【分析】 求出折叠后小矩形的一条边长，然后根据相似图形的性质列式计算即可． 【详解】 解：∵大矩形的一条边长为， ∴折叠后小矩形的一条边长为， ∵小矩形和原矩形相似， ∴， 解得（负值已舍去）， 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似图形的性质，熟知相似图形的对应边成比例是解题的关键． 8．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】 解：由题意得： 故选：C． 9．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 【详解】 解：A、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故此选项正确，符合题意； C、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； D、∵，∴，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，求出最小数与最大数的乘积及中间两个数的乘积，若乘积相等则四条线段成比例，反之不成比例，据此判断即可求解，掌握比例线段的定义是解题的关键． 【详解】 解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 11．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A.  B. 2a=3b C.  D. 3a=2b 【答案】B 【分析】 根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：由得，3a=2b， A、由比例的基本性质得： 3a=2b，正确，不符合题意； B、由比例的基本性质得3a=2b，错误，符合题意； C、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； D、由比例的基本性质得：3a=2b，正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】 本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 12．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）若，则函数一定经过第（     ）象限 A. 一二 B. 二三 C. 三四 D. 一四 【答案】A 【分析】 本题主要考查一次函数的性质与图象，属于基础题． 由题意可得， ，分，两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解∶，， 当，， 则直线为，经过第一、二、三象限； 当时，即， 则，直线为，经过第一、二、四象限， 综上所述，该直线必经过第一、二象限， 故选∶A 13．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了成比例线段，根据成比例线段的定义得到，据此代值计算判断即可． 【详解】 解：∵a，b，c，d是成比例线段，，， ∴， ∴， 故选：D． 14．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知，则下列比例式成立的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的基本性质，解题的关键是利用交叉相乘法则或等式变形验证比例式是否与已知条件一致． 根据已知等式，对各选项交叉相乘转化为整式等式，判断是否与已知等式等价；或直接对已知等式变形，推导符合条件的比例式． 【详解】 解：A、，交叉相乘得，与已知条件一致，此选项符合题意； B、，交叉相乘得，与不符，此选项不符合题意； C、，交叉相乘得，虽与已知条件形式不一致，此选项不符合题意； D、，交叉相乘得，化简为，与不符，此选项不符合题意； 故选：A． 15．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（       ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 【答案】C 【分析】 根据在同一时刻物高与影长成正比求解即可． 【详解】 解：由题意得：， ∵米，米，米 ∴ ∴（米）． 故选：C． 【点睛】 本题考查成比例线段的应用．熟练掌握在同一时刻物高与影长成正比是解题的关键． 17．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割比，解题的关键是掌握线段上一点将线段分为一长一短两条线段，当短∶长=长∶全，据此可得小明肚脐至足底的长度于身高比为，列出方程求解即可． 【详解】 解：设小明身高为x， ， 解得：， ∴小明的身高约为， 故选：C． 18．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A. 5 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握黄金分割比，并利用其计算线段长度． 【详解】 解：∵是的黄金分割点（）， ∴． 已知，则． 故选：C． 19．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】 解：由题意得，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 20．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）已知，那么的值是 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】 解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　　　km． 【答案】12.5 【分析】 根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】 设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则： 25：x=1:50000 解得：x=1250000． 1250000cm=12.5km． 故答案为：12.5． 【点睛】 本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题． 22．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质的应用，能根据比例的性质求出，是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 23．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）若，且，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】 解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 24．（25-26学年九上·四川巴中·期末）若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据比例关系，变形为，即可解答． 【详解】 解：由，可得， ， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．直接由黄金比值列式计算即可． 【详解】 解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，的长度为20cm， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）已知，且，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查比例的性质，设，得，代入，求出k的值即可得出a． 【详解】 解：设，得， ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：6． 27．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）若，则　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 根据比例的基本性质得到，代入原式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，代入， ∴=7， 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a是解题的关键． 28．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）若，则＝　　　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了比例的性质，根据已知比例关系，利用分式运算性质，将所求表达式进行化简． 【详解】 解：由，可得． 则． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝　　　　　． 【答案】﹣1或3﹣ 【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】点C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC时，ACAB1；当AC＜BC时，AC=ABAB=3． 故答案为1或3． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 30．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】36 【分析】 本题考查了比例问题． 根据比例关系，将a、c、e用b、d、f表示，然后代入所求表达式． 【详解】 解：由，得，，， 所以． 故答案为：36． 31．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）若线段，则．的比例中项　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查了比例的性质，二次根式的化简，根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则． 【详解】 解：由题意，所以 ． 故答案为：． 32．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）已知线段，是的黄金分割点，且，那么的长是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据黄金分割点的定义， 是较长线段得到，代入数据即可得出的长． 【详解】 解：∵是的黄金分割点，且，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割点的概念．牢记黄金分割比是解题关键． 33．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知，且，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了利用比例的基本性质，将、用、表示，再通过乘法分配律，结合的值整体代入求解 ，体现了“用代数式表示关系”和“整体代入”的数学思想，简化计算过程． 【详解】 解：， ，， ， ， ． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知点P是线段黄金分割点，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】 ∵点P是线段黄金分割点， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 35．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知，若，且，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 36．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为18米，主持人站在点C处自然得体、已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为　　　　　　　　米（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割的应用等知识点，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义得到，求出，即可求解． 【详解】 解：点C是线段上靠近点A的黄金分割点， ∴(米)， ∴(米)， ∴主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 37．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程，代值计算即可． 【详解】 解；∵c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：6． 38．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）若，则　　　　　　　　． 【答案】.75 【分析】 本题考查比例性质，熟记比例性质是解决问题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，代入所求代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：由，设，（其中）， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】 解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：12． 40．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）若，则　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据比例的基本性质得到，，，代入原式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：4． 41．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）若，且，则　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是关键．由已知比例关系可得各分子与分母的对应关系，代入所求式子即可化简得出结果． 【详解】 解：∵， ∴，，，， 则， 故． 故答案为：． 42．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）已知，则　　　　　　　． 【答案】.4 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知线段，点是的黄金分割点，且，则　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了黄金分割的定义，根据定义即可求解，解题的关键是正确理解，线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 【详解】 ∵， ∴根据黄金分割的定义得：， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为　　　　　　（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B），则，再根据即可求解． 【详解】 解：由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B）， ∴线段是较长部分， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 45．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由可设，然后代入化简即可． 【详解】 由可设， 则． 故答案为 ． 46．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）学校要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．若舞台的长为，C为的一个黄金分割点（），则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．根据黄金分割比即可求解． 【详解】 解：由黄金分割的知识可得：． ∵， ∴． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，分式的求值． 设，代入化简即可． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 48．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如果四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值． 【详解】 解：∵m：n=2：8=1：4， ∴x：y=1：4， ∵y=20， ∴x=5， 故答案为：5． 【点睛】 本题主要是要掌握比例线段的性质，属于基础知识． 49．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）已知，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，设，得，代入代数式求值即可． 【详解】 解：设（），则，，， ∴， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）点P是线段的黄金分割点，若，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】 解：点P是线段AB的黄金分割点， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）若，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】 解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 52．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）若线段，，，成比例线段，且，，，则　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查比例线段的定义，根据成比例线段得到比例关系，进而通过等式求解． 【详解】 解：∵线段 a， b， c， d 成比例线段， ∴根据比例线段的定义，有，即． ∴． 代入，，，得， 即 ， ∴， 故答案为：6． 53．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由比例关系通过交叉相乘得到，再代入所求表达式计算即可． 【详解】 解：由， 交叉相乘，得， 即． 代入， 得， 故答案为：． 54．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知是非零实数，且　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分情况讨论当时、当时，利用比例的性质求解即可． 【详解】 ① 当时， ； ②当时， ； 或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 55．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端正稳重，舒展美观．已知一条分割线的端点．分别在习字格的边．上，且，善字的笔画、的位置在的黄金分割点处，若，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键，根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 56．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝　　　． 【答案】 【分析】 根据题意先列出点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，然后表示出，，从而代入得到关于的分式方程，求解并检验即可． 【详解】 解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是上述分式方程的解， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查比例线段的拓展应用，理解题中的新定义，准确根据线段比例列出相应方程并求解是解题关键． 57．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）（）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 【答案】（）；（） 【分析】 本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键． （）设，则，，，再代入分式计算即可； （）设，则，，，再代入中求出的值即可求解； 【详解】 解：（）设，则，，， ∴； （）设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 58．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若，则函数一定经过第　　　　　　　　象限． 【答案】一、二 【分析】 本题主要考查了等比性质的应用和一次函数图象的性质，熟练掌握等比性质的分类讨论及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．先利用等比性质分“”和“”两种情况求的值，再代入函数分析图象经过的象限，找出公共象限． 【详解】 解：， 情况1：若， ∵ 由等比性质， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、三象限， 情况2：若， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、四象限， 综上，函数一定经过第一、二象限， 故答案为：一、二． 59．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解． 【详解】 解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似， ∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽， ∴， 解方程得，(舍弃) 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）如图，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】 ， ， 即， 解得：， 故选择：B 2．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据平行线分线段成比例定理即可完成． 【详解】 ∵ ∴ ∴BC=3CE ∵BC+CE=10 ∴3CE+CE=10 ∴ 故选：C 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 3．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】 解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，DF＝8， ∴， 即＝， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 4．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 5．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，，，，则的长为（       ） A. 4 B. 3 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质可求出的长． 【详解】 解：， ，即， ． 故选：B． 6．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  【答案】D 【分析】 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】 解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 7．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键． 由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答． 【详解】 解：∵，，， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 8．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在中，且，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理并结合线段比例关系推导是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，结合已知的线段比例，推导所求线段的比例． 【详解】 解：， ， ， 设，，则， ， ． 故答案为：B． 9．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比是解题的关键． 根据平行线分线段成比例对各选项判断作答即可． 【详解】 解：∵， ∴，，A、D正确，故不符合要求； ∴，C正确，故不符合要求； ，B错误，故符合要求； 故选：B． 10．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（     ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，根据题意可得到，求出的长，再根据即可得出结果． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故选：A． 11．（2025·四川宜宾·质量监测）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（     ） A. 20 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．过点作于，交于，利用平行线分线段成比例定理，得到，再结合已知的和，求出的长度． 【详解】 解：过点作于，交于， ∵， ∴， ∵木条等距且平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 12．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，直线、交于点，，若，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理易得到，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 14．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　　　　　　　　　． 【答案】5.4 【分析】 由题意利用平行线分线段成比例定理列出比例式，以此进行计算即可得出答案． 【详解】 解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∴， 解得 CN＝3.6， ∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4 故答案为：5.4． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 15．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，直线 ，直线和被，，所截，则的长为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入数值即可求解． 【详解】 解：， ，而， ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】 解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，已知直线，如果，，则线段的长是　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据定理得出线段的比例关系，进而代入已知条件求解． 【详解】 解：∵， ∴（平行线分线段成比例定理）． 已知，， 则， 解得． 故答案为：6． 18．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，．若，，则　　　　　　． 【答案】10 【分析】 根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 19．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，直线、与这三条平行线分别交于点A、C、E和点B、D、F，已知，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例的性质解答，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 20．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】 解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， 解得：． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，尺规作图等，先证明，再根据平行线分线段成比例得出． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据作图可知：是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 22．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：由菱形可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即．      【分析】 （1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 23．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，点、、分别位于的三边上，满足，，如果，那么=　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答． 根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题． 【详解】 ∵ ∵，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，， ．延长交反比例函数的图象于点，连接，点为上一点，连接并延长交于点．当的面积与的面积相等时，直线使得点始终在该直线下方，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线分线段成比例、几何图形面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，易证是中点，进而可表示出点坐标，求出反比例函数表达式，设出点坐标，再表示出点坐标即可得解． 【详解】 如图，连接， ， ， ， ． 为中点，为中点． ． 点坐标为， 点坐标为． 反比例函数表达式为． 设点的坐标为， 点的坐标为． 点的坐标为． ，． ∴点始终在直线的下方， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 25．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，直角梯形为上一点，连、和，若平分，已知　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例；过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作于点，根据已知得出，是等腰直角三角形，进而求得，同理可得是等腰直角三角形，则，设，则，则，根据，，分别求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则，则， ∵，则 ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴，即 解得： ∴ 在中， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，四边形为平行四边形，，相交于点．设和的面积分别为，，则（       ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 【答案】D 【分析】 证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】 解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，、分别是边、上的点，若，，，则的长是（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定及性质；由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 故选：B． 3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，是的中线，点在上且满足，连接，与交于点，则的值为（       ） A.  B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质和判定，利用已知条件熟练运用相关性质是正确解题的关键． 过点E作交于G，得出、，利用性质即可得出． 【详解】 解：过点E作交于G， 是的中线， ,, ,,, ， , , , 设， ,, ,, , 故答案为：C 4．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，G为的重心，过点G作，交AB、AC分别于D、E两点，若的面积为4，则的面积为（       ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【分析】 延长交于H，根据三角形的重心的性质得到，根据相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】 解：如图，延长交于H， ∵G为的重心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积为9． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 5．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，在中，若，，则=（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题重点考查相似三角形的判定与性质，设点E到的距离为h，则，求得，则，由，证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设点E到的距离为h，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质，从而推出，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：设中边上的高为， 则，， ， ， 平行四边形中， ， ,即， 解得， ， ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（     ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】A 【分析】 本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】 解：如图： 由题知，延长， 则，， ， 同理可得， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 9．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，等腰三角形，底边，高，正方形，使其一边在边上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形的边长为（       ） A.  B. 4 C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形对应高的比等于对应边的比是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 设正方形的边长为x， 则， ∵， ∴， ∴即，解得：， ∴这个正方形的边长为． 故选：C． 10．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图所示，若，则需满足（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用相似三角形的判定，有一个公共角，再添加夹着这个公共角的对应边成比例即可． 【详解】 是公共角，要使 只需，即 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定定理，找准对应边是解题的关键． 11．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】 解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 12．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，若，（），连接和相交于，过点作于，若，且，为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（         ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，若已知方程的两根为，，则以，为根的一元二次方程为．先证明，得出，进一步得到，，则根据根与系数的关系得到以、的长度为根的一元二次方程为． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ， 以、为宽和长的矩形的面积等于， ， ， 以、的长度为根的一元二次方程为， 故选：A． 13．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为       （       ） A. 1.2 B. 1.5 C. 1.8 D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作延长线的垂线，垂足为，证明，求出，证明，求出，则，再由求解即可． 【详解】 解：过点作延长线的垂线，垂足为，则 ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明： ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 14．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了相似三角形的判定，根据是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解决问题的关键是掌握相似三角形的判定定理：① 有两个对应角相等的三角形相似；② 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③ 三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【详解】 解：由图得： ∴当或或时，； 当时，． A选项中不是成比例的两边的夹角． 故选：A． 15．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（     ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】 如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 16．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D． 17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，中，D为上一点，E为上一点，交于G，且，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，作交的延长线于点，证明，求出的值，证明，得到，即可． 【详解】 解：作交的延长线于点， 则：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 18．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）由光的反射定律可知入射角等于反射角，小鲁同学利用镜子测量广告牌的高度．如图，小鲁站在点处不动，当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，小鲁的眼睛离地面距离，则这个广告牌的高度为（     ） A. 4.4 B. 4.3 C. 4.2 D. 4.1 【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形性质和判定，根据题意分别证明，，进而求出，再根据计算求解，即可解题． 【详解】 解：， ， 由入射角等于反射角，结合等角的余角相等可推出， ， ， ，， ， ， 解得， 同理可证， ， ，， ， ， 解得， ； 故选：C． 19．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 设CF=x，则CD=4x， DF=3x，BE=EC=2x，进而可以证明△ABE∽△ECF，得到AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．进而可以证明△ABE∽△AEF，AE⊥EF，从而得到结论． 【详解】 ∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD， 设CF=x，则CD=4x， ∴DF=3x，BE=EC=2x， ∴AB：EC=BE：CF=2：1． ∵∠B=∠C=90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC． ∵BE=CE， ∴AB：AE=BE：EF， ∵∠FEC+∠EFC=90°，∠AEB=∠EFC， ∴∠AEB+∠FEC=90°， ∴∠AEF=∠B=90°， ∴△ABE∽△AEF，AE⊥EF， ∴② ③ 正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，① 有两个对应角相等的三角形相似，② 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③ 三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 20．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，则，再证明，得到，则，进而得到，同理可得． 【详解】 解：点D，E为边的三等分点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 21．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断． 【详解】 解：A．∵AB2=BD•BC， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故A不符合题意； B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故B不符合题意； C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B， ∴∠C=∠BAD， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故C不符合题意； D．∵AD•BC=AB•AC， ∴， ∵∠B≠∠BAD， ∴不能判定△ABC与△ABD相似， 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 22．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，在钝角中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（     ） A. 或 B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例以及分类讨论思想是解题的关键． 如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分D与B对应、D与C对应两种情况．分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ① 当D与B对应时，有． ∴，即，解得：； ② 当D与C对应时，有． ∴，即，解得：不符合题意； ∴当时，点D与点B重合，则，解得：（符合题意）， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是或． 故选A． 23．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 24．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，中，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得，，根据反比例函数比例系数的几何意义求得，从而求得，从而求得k的值． 【详解】 解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴 ∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90° ∵ ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∴ ∴，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故选：D． 【点睛】 本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键． 25．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，在中，，，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【分析】 由可得出，结合可得出，进而可得出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出，由可得出，根据相似三角形的性质可得出，据此即可求出的长度． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及平行四边形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出是解题的关键． 26．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，在中，点，分别在，上，则下列等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 证明即可得解； 【详解】 ∵，， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 27．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明．先判定，推出，再求出，，判定，推出． 【详解】 解：如图， ， ， ， ， 每个小正方形的边长都是1， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 28．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】 解：在和中， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 29．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形相似的判定，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的各种判定方法；判定三角形相似的方法有两组相等的角的三角形相似，两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似，三边对应成比例的三角形相似，根据判定方法一一判断即可； 【详解】 解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 30．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（       ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】 解：∵，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故① 正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故② 正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③ 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故④ 正确； 故选D． 31．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在菱形中，交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、于点H，连接CF．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 根据菱形的对称轴即可判断① ，证明，根据相似三角形的性质即可判断② ，设 ，根据已知条件，结合含30度角的直角三角形的性质，进而可得 ，证明，可得，设 ， 则 ，根据，求得，进而即可判断③ ，根据，分别求得，即可求解． 【详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴， A与C关于对称， ， 故① 正确， ， ， 又 ， ， ， ， ， 故② 正确， 菱形中， ，，， 设 ， ， ， Rt中， ， ， ， 设，则， ， 又， ， ， ， ， 故③ 正确， Rt中， ， Rt中， ， ， Rt中， Rt中， ， ， ， ， 故④ 正确， 故正确的为∶ ① ② ③ ④ ． 故选D 【点睛】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 32．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由正方形的性质，利用“SAS”易证，得出，从而可求出，即证明．利用“ASA” 结合角平分线的定义可证明，得出．结合中位线的性质，可证明，从而证明，．得出，．设，正方形的边长是，则，再代入，解得：，（舍去），从而求出． 【详解】 解：∵四边形和四边形是正方形， ． (SAS)， ． ，． ， ． 平分． ， (ASA)． ． 又是的中点， ． ，． ，． 设，正方形的边长是，则 ∴， ，即， 解得，（舍去）， 则 ． 故选C． 【点睛】 本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，较难，熟练掌握上述知识是解题关键． 33．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤，正确的个数是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【分析】 ① 先根据角平分线和平行得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；② 先根据三角形中位线定理得：，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③ 因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④ 根据三角形中位线定理可作判断；⑤ 根据同腰三角形面积的长等于对应底边的长可得：，代入可得结论． 【详解】 解：① ∵平分， ， 是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故① 正确； ∵， ∴， ， 在中， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中， 故② 正确； 由② 知：， ，故③ 正确； 由② 知：是的中位线， ， ，故④ 正确； ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，故⑤ 正确； 综上分析可知：正确的有① ② ③ ④ ⑤ 共5个， 故选：D． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 34．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形（正方形看作第个）的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理可得，利用相似三角形的性质可得，即得，，，进而得到，即可求解，找出正方形边长的变化规律是解题的关键． 【详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 即第个正方形的边长为， ∴第个正方形的面积为， 故选：． 35．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 添加辅助线，过F点作∥，通过证明两组三角形相似，得到和的两个关系式，从而求解． 【详解】 如图所示，过F点作∥，交于点I， 证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成 ，，，， 又 ，即 解得或（舍去） ， FI∥HM ， ， ， 解得： 经检验：符合题意， 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形和勾股定理．本题的关键在于添加辅助线，建立所求线段与已知条件之间的联系． 36．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，在边长为8的正方形中，点、分别是、上的点，连接、，分别交、于点、，连接，点是的中点，连接．若垂直平分，在下列结论中：①；②；③的面积为；④，正确的有（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【分析】 由垂直平分，得点N是的中点，证为的中位线即可判断①；由正方形的性质证，得，由垂直平分，得，再由三角形内角和定理并结合三角形外角的定义及性质即可判断②；作于H，得为等腰直角三角形，求出，再由与中线有关的三角形的面积计算，即可判断③ ；证，，求出，即可判断④ ． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴，即点N是的中点， 又∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵正方形中，为对角线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确； 如图，作于H， ， 则为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，故③ 正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴，故④ 错误； ∴正确的有① ② ③ ， 故选A． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 37．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，交于点，交于点，连接．下列结论：；；当是的中点时，；当时，．其中正确结论的序号是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过证明，得，，即可判断；再证明，即可判断；证明，，求出相关线段长度，可知当是的中点时，即可判断；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确；    设正方形的边长为， ∴ 当是的中点时， 由勾股定理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 当E时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是的角平分线， ∴点到边与边的距离相等， ∴中边的高与中边的高相等， ∵， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故错误， 综上：， 故选：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，掌握知识点的应用是解题的关键． 38．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A.  B. 8 C. 10 D.  【答案】D 【分析】 先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值． 【详解】 解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，    ∵点D（-2，3），AD=5， ∴DH=3， ∴， ∴A（2，0），即AO=2， ∵D（-2，3），A（2，0）， ∴AD所在直线方程为：， ∴E（0，1.5），即EO=1.5， ∴, ∴ED=AD- AE=5-=， ∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED， ∴△AOE ∽△CDE， ∴, ∴, ∴在矩形ABCD中， ∵∠EAO+∠BAF=90°， 又∠EAO+∠AEO=90°， ∴∠AEO=∠BAF， 又∵∠AOE=∠BFA， ∴△BFA∽△AOE， ∴, ∴代入数值，可得AF=2，BF=， ∴OF=AF+AO=4， ∴B（4，）， ∴将B（4，）代入反比例函数，得， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的系数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识．解题关键是通过求证△AOE ∽△CDE，△AOE∽△BFA，得到B点坐标，将B点坐标代入反比例函数，即可得解． 39．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）（多选）如图，请补充一个条件　　　　　　　　　：，使△ACB∽△ADE． 【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或（任选其中一个就可以） 【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB． 【详解】① 补充∠ADE=∠C，理由是： ∵∠A是公共角，∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACB． 故答案为：∠ADE=∠C． ② 补充∠AED=∠B，理由是： ∵A是公共角，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB． ③ 补充，理由是： ∵∠A是公共角， ∴△ADE∽△ACB． 故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 40．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）（多选）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）如果BC=， AC=3，求CD的长． 【答案】（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD=2. 【分析】 （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴CD=2． 【点睛】 考核知识点：相似三角形的判定和性质. 41．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交于点E、F，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意得，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】 解：由题意得，直线为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 42．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）（多选）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 【答案】（1）平行四边形ABCD中， 又 ； （2）DE＝12cm． 【分析】 （1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可. 【详解】 （1）略 （2）平行四边形ABCD中， 由题（1）得 ，即 解得：. 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键. 43．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如果三角形的两个内角∠α与∠β满足，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在中，已知，，，点D在边上，连接．如果为“准互余三角形”，那么线段的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】5或 【分析】 作于M．设．分两种情形：当时；当时，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【详解】 解：过点D作于M．设． 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得． 即； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：5或． 【点睛】 本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 44．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知．求证：． 【答案】证明：， ，， ， ， 又， ． 【分析】 根据可推出，，进一步得出即可证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查相似三角形的证明，熟知两边成比例和夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 45．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 46．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，已知，和相交于，若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】 解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 47．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，已知D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，DEBC，DFAC． （1）求证：△ADE∽△DBF； （2）若，，求△ADE的面积． 【答案】（1） 证明：∵DEBC，DFAC， ∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF， ∴△ADE∽△DBF．     （2）4      【分析】 （1）根据平行线的性质得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，即可证明△ADE∽△DBF； （2）根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵△ADE∽△DBF，， ∴， ∵， ∴， ∴△ADE的面积是4． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． 48．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知：如图，与交于点，，，那么　　　　　　． 【答案】 【分析】 证明，，同理可得，得到，把已知数据代入计算即可． 【详解】 解：， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 49．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与证明，正确理解题意是解题的关键．证得，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 50．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】 解：连接，如图所示， 由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键． 51．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． （1）求证：； （2）若，．求的值． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质， （1）根据角平分线的性质可得，且，可证，由此即可求解； （2）由（1）可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∴，则（负值舍去）， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， ∴． 52．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且．    （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定相似三角形，并证明三角形相似： （1）先证明，得到，等量代换得到，推出，得到，即可； （2）证明，推出，再根据，代换后即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 53．（2025·四川宜宾·质量监测）【基础巩固】 (1)如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】 (2)如图2，四边形为平行四边形，在边上，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值． 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）；（3） 【分析】 （1）证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，得出，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，继而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 （1）略 （2）四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ； （3）过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 54．（25-26学年九上·四川巴中·期末）2025年9月29日，“川超”联赛巴中红叶队主场对阵南充丝绸源点队的比赛在巴中市体育中心举行，小明对球门的高度萌生了探究欲，趁着赛前球员热身训练的间隙，开启了对球门的测量实践．（参考数据：国际上，标准十一人制足球比赛球门高度为2.44米）． （1）测量一：如图1，小明从球门后退24步到点，将随身所带的一面小镜子平放在地面上的点处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿时停止，此时他共后退了39步．已知小明眼睛离地面的高度米，请求出球门高度； （2）测量二：如图2，爸爸从球门后退20步到点处站立不动，小明从点继续后退5步到点处（点、、在同一直线上），此时小明眼睛、爸爸头顶、球门横梁下沿三点共线．已知爸爸身高米，小明目高米，请求出球门高度； （3）根据（1）（2）的计算结果，请计算球门高度的平均值（保留两位小数），并对照参考值说明小明的测量方案是否合理，说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）小明的测量方案不合理， ， 小明的测量方案不合理．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定定理与性质，平行线分线段成比例，平均数熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据题意证明，设，则，，结合相似三角形性质求解，即可解题； （2）连接交于点，根据平行线分线段成比例，推出，证明，利用相似三角形性质先求出，，进而即可求出球门高度； （3）根据平均数概念求出球门高度的平均值，再与参考值比较分析，即可解题． (1) 小问详解： 解：由题意和光的反射原理可知， ， ， 设，则， ， 米， 解得； (2) 小问详解： 解：连接交于点， 由题知， ，， ，， 爸爸身高米，小明眼高米， 解得， ， 解得； (3) 小问详解： 略 55．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，矩形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ∴， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了矩形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据矩形性质证明，结合全等三角形性质进而证明，再根据全等三角形性质分析即可证明； （2）利用矩形性质，以及勾股定理求出，证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形为矩形，， ，，， ∴， ， ， ， ， ， ． 56．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，连接、、，交于点，交对角线于． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ；     （2） 证明：由（1）知，， 四边形是正方形， ， 根据勾股定理得 ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，关键是证明三角形的全等与相似． （1）利用正方形的性质证明，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，从而得证； （2）先根据勾股定理得，利用角平分线的性质结合（1）所得的，证明，得到，根据相似三角形的对应边成比例列式，再等量代换即可证得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 57．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则　　　　　． 【答案】1：5 【分析】 作EF//AB交CM于点F，先证明△DMN≌△EMF，得，MF＝MN＝NF，设，由＝，得CF＝NF＝2MF，可推导出，再由△CEF∽△CAN推导出，则，即可求得． 【详解】 解：如图，作EF//AB交CM于点F， ∵∠MDN＝∠MEF，DM＝EM，∠DMN＝∠EMF， ∴△DMN≌△EMF（SAS）， ∴，MF＝MN＝NF， 设， ∵DE是△ABC的中位线， ∴AE＝CE， ∵， ∴△CEF∽△CAN， ∴＝=，＝＝＝， ∴CF＝NF＝2MF， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1：5． 【点睛】 此题重点考查三角形的中位线、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等高三角形面积的比等于底的比等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 58．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意可判断△ABC与△GEC相似，且面积比为2:1，根据相似三角形的性质可知BC与EC的比，已知BC=2，可算出EC，最终算出BE的长，即得到△ABC平移的距离． 【详解】 解：∵根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， ∴AB∥EG，故△ABC∽△GEC， 又∵ △ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半， ∴,故BC∶EC=， ∵BC=2， ∴EC=， ∴△ABC平移的距离为BE=BC－EC=2－， 故答案为2－． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相似三角形的判定和性质、平移的性质是解答本题的关键． 59．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，中，，，点在线段上，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交圆弧于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 连接，，证明，得到，得到，列出比例式计算即可． 【详解】 解：连接，， 在与中， 由题意，可知： ， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 60．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，在中，E为边上一点，连接，，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，且，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴；     （2），      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）先根据平行四边形、平行线的性质等证明，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证； （2）先利用（1）的结论求出、长度，根据可得出，在中，根据勾股定理可求出的长度，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可曲解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 61．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，是用手电筒光线来测量古城墙高度的示意图，在点P处水平放置一平面镜，光线从点A出发经反射后经过古城墙的顶端C点，已知，则古城墙的高度是　　　　　　． 【答案】8 【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，代入数值进行计算即可． 【详解】 解：根据题意得 ， ， ， ， 即 ． 故答案为：8． 62．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则　　　　　　cm． 【答案】8 【分析】 首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故的长为． 故答案为：8 【点睛】 本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 63．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在正方形中，点是边延长线上一动点，连接、．则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，观察图形可得当经过圆心时，可取得最大值，此时，利用勾股定理求出 的值即可求出的值，进而求出答案． 【详解】 解：如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，， 四边形是正方形， ， ， ， ，即， ， ， ， 当取最大值时，的值最小， 当经过圆心时，最大，令正方形的边长为，则， ， 为最小值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，圆周角定理，利用辅助圆构造相似三角形，找到的比例关系是解题关键． 64．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图①，已知点G在正方形的对角线上，垂足为点E，，垂足为点F． （1）【证明与推断】：①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为                  ； （2）【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转α度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，求的长． 【答案】（1） ① 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形； ②     （2） ，理由：连接， 由旋转性质知， 在和中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴线段与之间的数量关系为；     （3）      【分析】 本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． （1）① 由和，根据三个角是的四边形是矩形可得四边形CEGF是矩形，再由，即可得证． ② 由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理即可求解． （2）连接，由两边成比例且夹角相等证得，即可得解． （3）由，，得，从而，设，则，求得，在中求得，代入，即可求得的长． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 知四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴A、G、F三点共线． ∵，点B、E、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴， 则，， ∴得， 解得：，即． 65．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，BE，CD是的高，连接DE. （1）求证：； （2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：. 【答案】解：（1）∵BE，CD是的高， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴∠ABE=30°， ∴. 由（1）得，即， 又∵， ∴， ∴. 在中，M为BC的中点， ∴， ∴. 【分析】 （1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论； （2）由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而，然后证明，可得，根据中，M为BC的中点，可得，所以DE=DM． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质． 66．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）在中，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 67．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，作交的延长线于点，证明，求出的值，证明，得到，即可． 【详解】 解：作交的延长线于点， 则：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 68．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，坐标原点在边上，在边上，交轴于点，若的面积为，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要涉及反比例函数的性质、矩形的性质以及三角形相似的相关知识．通过设未知数，利用三角形相似得到线段之间的关系，再结合三角形面积公式求出相关乘积，最后根据反比例函数的几何意义求解的值． 【详解】 解：设，则，， 设，， ∵， ∴， ∴， 即 ∴ ∵的面积为， ∴， 即 ∴， ∴， 故答案为：． 69．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，在中，是边上的高，正方形的一边在上，两个顶点、分别在上，且与交于点，如果，那么的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∵， ∴，整理得：， 解得：（负根舍去）， ∴； 故答案为10． 70．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ； ， ； ， ， ， ， 是的切线．     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键。 （1）连接，证明，得到，即可得证． （2）连接，，证明，求得、的长，半径即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接，， 是直径，是圆的切线， ； ， ； ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 圆的半径为． 71．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在中，，点D为中点，点E在上，当为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】 解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 72．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在中，于D， （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质证明即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，； ∴； ∴； ∴； 解得：． 73．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，四边形平行四边形，点在边上，点在对角线上，． （1）求证：； （2）若，，，则的长________． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ； ， ；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握并会应用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由及平行四边形的性质得出，再由，即可证明； （2）由得出，将有关数据代入计算，即可求的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，，， ， ． 故答案为：． 74．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，先证明得到，由平行四边形的性质结合已知条件推出，进而得出，即可得出结论． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 75．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 【答案】（1）证明：， ， ∵四边形为矩形， ， ， ； （2）；（3） 【分析】 （1）根据矩形的性质得，结合，则，证明，即可作答． （2）先由等边三角形的性质得，再结合，得，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）因为，，则 所以，则，得，解得，故．即可作答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：（1）略 （2）∵为等边三角形， ， ， ， ． ， ∴， 即， 解得； （3）， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 76．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． （1）求证：； （2）吗？说明理由 （3）如果的面积为2，求的面积． 【答案】（1） 证明：，， ． 又， ．     （2） 解：，理由如下： ， ． ． ．     （3）24      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 77．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，在矩形中，点在上，连接，作于点． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长与四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， ． ， ． 在和中， ， ；     （2），      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质求得，再利用得到，然后用判定三角形全等的“”求解； （2）求出，证明，得出，求出的长，再利用矩形面积和三角形面积求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 78．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出，是解题关键． 由条件可以得出，可以求出与的相似比为，与相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出，从而可以求出． 【详解】 解：矩形是由三个全等矩形拼成的， ， 四边形，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 79．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点，分别在，上，若满足，则的长为　　　　　　. 【答案】 【分析】 先证明△APM∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出，然后设PM=3x，PQ=2x，利用方程思想即可解决问题. 【详解】 解：如图，设PM交AD于点E， ∵四边形PQNM是矩形，AD⊥BC，∴PM∥BC，AD⊥PM， ∴△APM∽△ABC， ∴， ∵，∴设PM=3x，PQ=2x，则AE=80－2x， ∴，解得x=20，即PM=60mm. 故答案为60mm. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 80．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则　　　　　　． 【答案】.25 【分析】 根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到，，计算出，证出，得到．此题重点考查角平分线的尺规作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，推导出是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 81．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）如图，在边长为10的正方形中放入矩形和正方形，点，分别在边上，且，则阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，证明，得到，设，则，，，证明得到，，再根据，求出的值，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：四边形是边长为的正方形， ， ，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 82．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交于点E，F，则的长度为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意得，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】 解：由题意得，直线为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 83．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，小红在地面处放置一面平面镜，随即面对旗杆，后退至2米处的点，此时恰好能在镜子中看到旗杆顶点的像，经测量，此时小红眼睛到地面的距离米；同时，组员小明在F处竖立了一根高2米的标杆，经测量，此时米，米．已知，，，且、、、、共线， （1）直接写出___________； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 【答案】（1）     （2）学校旗杆的高度为15.6米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）根据已知条件推出，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 故答案为：， (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（米）， 答：学校旗杆的高度为15.6米． 84．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，菱形中，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定． 连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】 解：连接，如图， 四边形为菱形， ，， ， ， ∵， 四边形为平行四边形， 由，可设，，则， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 85．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知：如图，在中，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 86．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）（多选）如图，在平行四边形ABCD中，点О是对角线AC中点，过点О作EFAC分别交边AB，CD于点E，F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当AF平分时，且 CF=5，DF=2，求AD的值． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形ABCD中，点О是对角线AC中点， ∴OA=OC， ∵EFAC， ∴EF是线段AC的垂直平分线， ∴AF=CF，AE=CE， 在等腰三角形AFC中，EOAC，OA=OC， （三线合一）， 又平行四边形ABCD， ， ， ∴AF=AE=CE=CF， 四边形AECF是菱形．     （2）      【分析】 （1）由平行四边形的性质知OA=OC，再由EFAC推出EF是线段AC的垂直平分线，得到AF=CF，AE=CE，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用平行线的性质推出，证出AF=AE=CE=CF，即可得到四边形AECF是菱形； （2）先由AF平分，AF=CF，推出，结合推出，进而推出，代入求解即可求出AD的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵AF平分， ， ∵AF=CF， ， ， 又， ， ， ∵CF=5，DF=2， ∴CD=7， ， ． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定，垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一、相似三角形的判定和性质等知识，涉及知识点较多，难度一般，解题方法不唯一，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 87．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．    （1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 【答案】（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C. 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC. （2）AP的长为或6. 【分析】 （1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC． （2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP. 【详解】 （1）略 （2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5. ∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ. （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示， 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴，即，解得：. ∴. （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示, ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P. ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A．∴BQ=AB． ∴AB=BP，点B为线段AB中点． ∴AP=2AB=2×3=6. 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6. 88．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　　　　　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 89．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， （2）． 【分析】 （1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC； （2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解． 【详解】 （1） 略 （2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴ 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴， ∴= 90．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为　　　　　． 【答案】6或12． 【分析】 此题可以分为当点P在边AB上时与当点P在边AB的延长线上时去分析，由PM∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CM的长． 【详解】 如图1，当点P在边AB上时， ∵AB＝6，AC＝9，AP＝2， ∴BP＝AB−AP＝6−2＝4， ∵PM∥BC， ∴， 即： ∴CM＝6； 如图2，当点P在边AB的延长线上时， ∵AB＝6，AC＝9，AP＝2， ∴BP＝AB＋AP＝6＋2＝8， ∵PM∥BC， ∴， 即：， ∴CM＝12； ∴CM的长为6或12. 故答案为6或12. 【点睛】 本题考查的是平行线，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键. 91．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，在中，与的延长线交于点，与、分别相交于点、． （1）若，，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （2）分别证明，，根据相似三角形的性质证明． (1) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴ ，即， 解得； (2) 小问详解： 略． 92．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为　　　　　　　　． 【答案】24 【分析】 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答． 【详解】 解：设正方形零件的边长为a cm，如下图． ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴. ∵AD是高， ∴， ∴， 即正方形的边长为24cm． 故答案为：24． 【点睛】 本题考查综合考查相似三角形判定，性质的应用，正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 93．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=　　　　． 【答案】 【分析】 首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】 解：连接EF交AC于O， ∵四边形EGFH是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， 在△CFO与△AOE中， ， ∴△CFO≌△AOE（AAS）， ∴AO=CO， ∵AC==， ∴AO=AC=， ∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°， ∴△AOE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE=． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解题的关键． 94．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，F是的中点，交于O点，交的延长线于G点，已知，则　　　　　　． 【答案】45 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，推出，，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：45． 95．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，已知：在中，平分． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的判定； （1）根据两个三角形中两个角相等，即可得到三角形相似； （2）根据等腰三角形的性质得到边长，根据（1）中三角形相似得到边的比例进而即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）易得：， 又∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 即， ∴． 96．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，，点，分别在，上，，交于点，则的面积的最大值是　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质以及三角形面积，解题的关键是证明，推出是解题的关键．连接，过点作于，先证，则△△，△△，再推出，推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题． 【详解】 解：连接，过点作于，如图所示： ，， ， 又∵， ， ，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 一定，当最大时，△的面积最大， 时，最大， 即当时，△的面积最大，最大值， △的面积的最大值， 故答案为：． 97．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 【分析】 【详解】 （1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴即， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用． 98．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】（1）；     （2） （1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度， 故（1）中的两个结论仍然成立；     （3）或      【分析】 （1）先依据和均为等腰直角三角形的条件，得到、、，通过同减公共角得出，即可证明，得出，同时由相似三角形对应角相等得到，结合对顶角相等与三角形内角和定理，推导出直线与所夹的锐角等于等腰直角三角形的底角； （2）无论绕点旋转到任意位置，等腰直角三角形的边长比例关系始终保持不变，且通过同减公共角依旧能推导出，因此的相似关系不会随旋转角度发生改变，依旧能由相似三角形的性质得到，同时沿用对应角相等、对顶角相等与三角形内角和定理，证得与所夹的锐角为，因此（1）中的两个结论仍然成立； （3）先根据等腰直角三角形的边长与勾股定理算出的长度为，再结合所在直线垂直于的条件，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，在中用勾股定理算出的长度为，同时结合旋转的位置特性分两种情况计算的长度，第一种是垂足在线段上时，第二种是垂足在线段的延长线上时，最后直接套用前面已证的的结论，分别算出两种情况对应的长即可． (1) 小问详解： 解：① 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ② ∵， ∴，即， 又∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：已知，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 分两种情况讨论： 情况一：，垂足在线段上，如图： ∵，为等腰直角三角形， ∴为等腰斜边的中线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由（2）的结论，得：； 情况二：，垂足在线段的延长线上，如图： 同理可得：，， ∴， 由（2）的结论，得：； 综上，的长为或． 【点睛】 旋转类几何题，优先抓旋转不变性：旋转前后对应边长度、对应角大小不变，这是找全等或相似的核心；共顶点的两个等腰直角三角形，优先考虑“手拉手模型”，快速锁定全等或相似关系；递进式大题，后面的小问优先套用前面已经证明的通用结论，无需重复推导，简化计算；无图的拓展计算，务必注意旋转的多位置情况，避免漏解． 99．（2025·四川宜宾·质量监测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． （1）求点B、C的坐标； （2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； （3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为点的坐标为；     （2）；     （3）P点的坐标为或．      【分析】 （1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）证明，求得，再求得点的坐标为，据此即可求解； （3）先求得直线的解析式，设P点坐标为，分①和②两种情况讨论，利用相似三角形的性质分别列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：解方程， 解得或， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：，， ， 又点的纵坐标是3， ，， ， ， ， 又∵在中， ， 又， ， ， ， 又∵四边形为矩形， ， 点的坐标为， 将代入到双曲线方程中得 ∴解得 (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， 由题意得：，， 在中， ，， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设P点坐标为， ①， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， 点坐标为； ②， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， 点坐标为， 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是一次函数与反比例函数的综合运用，涉及到求函数解析式、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 100．（25-26学年九上·四川巴中·期末）在一次小组合作探究课上，小明将两个相似平行四边形按如图所示的位置摆放，发现了一些有趣的结论．小组讨论后，提出下列问题，请你帮助解答： （1）如图，与相似，且，直接写出结果：________，________； （2）如图，把（1）的平行四边形分别改为矩形和矩形如图放置，．求的值并判断直线与的位置关系，说明理由； （3）小组在探究中发现，在（2）中，若，，连接，（如图），将矩形绕点旋转任意角度，此时的值可能是一个定值．如果的值是定值，请你求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），     （2） 解：，，理由如下： 四边形和四边形是矩形， ，， ，即， ， ， ， ，，即， 如图所示，延长交于点，交于点， ，， ， ， 即；     （3）的值是定值，这个定值为      【分析】 （1）证明，再结合三角形内角和定理即可得证； （2）延长交于点，交于点，证明，结合三角形内角和定理即可得证； （3）将矩形绕点旋转任意角度，连接，，设与、分别相交于点、，证明，进而结合三角形内角和定理证明，再由勾股定理计算即可得出结果． (1) 小问详解： 解：与相似， ， ， ，即， ， ，， ， ， 如图所示，设与相交于点， ，， ，即， ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的值是定值，这个定值为； 如图所示，将矩形绕点旋转任意角度，连接，，设与、分别相交于点、， 四边形和四边形为矩形， ，， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 的值是定值，这个定值为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 101．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如果三角形的两个内角和满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，在中，，，点是上一点，连接，若是准互余三角形，则的长为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、余角和补角，解决本题的关键是分两种情况讨论． 分两种情况画图说明，① 根据是准互余三角形，可以证明是的平分线，作于点，设，则，在中，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理即可求出的长；② 可以根据是准互余三角形，证明，对应边成比例即可求出的长，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：，，， ， ① 如图1， 是准互余三角形， ， ， ， 是的平分线， 作于点， 则，， 设，则， ， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ； ② 如图2， 是准互余三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ； 故答案为：或． 102．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，如图1，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若与相似，请直接写出点的坐标； （3）如图3，若点坐标为．过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上．求点的坐标． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）或     （3）或      【分析】 （1）先由垂直的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可证明； （2）先求出，进而求出，再求出，再分当时， 当时，两种情况求出的长，进而求出的长即可得到答案； （3）如图中， 过点作 于， 延长交的延长线于，设，则，先证明，推出，由折叠的性质可得，，再证明，推出 进而推出，   在中，根据 ，构建方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时， ， ， ， ； 当时， ∴， ， ， ∴； 综上所述，满足条件的点E的坐标为或； (3) 小问详解： 解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F， ∵， ∴， 设， 则， ∵轴， ∴，    ∴，， ∴， ， ∴， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴， ∴，    在中， ， ∴ ， 解得 或， 或 ． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 103．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，在矩形中，．对角线与交于点，点是边上的一个动点，连接，作，且射线与边交于点． （1）求证：； （2）判断是否为定值，若是，则求出：若不是，请说明理由； （3）连接，，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）是定值，且     （3）2      【分析】 （1）根据得到，根据，得到即可证明． （2）根据得到，证明即可证明． （3）根据得到，，利用勾股定理构造出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 是定值，且，理由如下： ∵矩形中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故． (3) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 整理得， 解得（舍去） 故的长为2． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相似的性质，勾股定理，解方程是解题的关键． 104．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在中，，D为边上一点，连接，过点C作交于点E，交于点F，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， ∴， 又， ， ， ， ， ∴．     （2） 证明：中， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 即；     （3）      【分析】 （1）由推得，结合即可证明，再根据相似三角形的性质证明即可； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）、（2）得：， ， ， 即， ， ， ， 中， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 105．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在菱形中，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，由菱形的性质及，可证，进而可得，设菱形的边长，，则，，由旋转可知：，，进而可证得，得，，易知，可得，则，再证，可得，进而得，在中，则，据此可得，整理得，可得，，即可求解． 【详解】 解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，     ∵四边形是菱形， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，则， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， 则， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ， 在中，则 即：， 整理得：， 即：，亦即， 则，（舍去） ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造与，再利用勾股定理及相似三角形的性质建立等式是解决问题的关键． 106．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质. 延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 107．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： 【问题背景】如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处； （1）【特例探究】如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：； （2）【深入探究】如图3，若把正方形 改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与间也存在着一定的数量关系，请求出与之间的数量关系式； （3）【拓展探究】如图，若把正方形 改成菱形，且，，其他条件不变，当  时，请求出  的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （）由，则，然后通过折叠性质得到，又四边形是正方形，所以，然后证明，得，由翻折的性质可知，，故有，再由，，所以，从而证明，根据相似三角形性质可得，从而求证； （2）由（）同理可证可：，，，然后通过即可求解； （3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，则，再证明，，，可得，设，由菱形性质可得，所以，由勾股定理可得，定义，然后求出的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，理由如下: 同理可证：，， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， 即的长为． 【点睛】 本题是考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 108．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，在中，点是边上一点，点在的延长线上，连结交于点，那么=　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例的常用结论，相似三角形的判定和性质定理．过点作得出，再根据已知条件和比例的性质用参数表示线段从而得出线段的比值 ．正确做出辅助线是解题关键 ． 【详解】 解：如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 109．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）在矩形中，点E和点F分别在边，上，连接与交于点P． （1）如图1，若， ①求证：；②若，求的值； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，连接AP，若，直接写出的长． 【答案】（1） ① 证明：如图1，∵四边形是矩形， ∴， ∵于点P， ∴， ∴， ∴； ②     （2）     （3）      【分析】 （1）① 由矩形的性质得，因为于点P，所以，则，即可证明； ② 由相似三角形的性质得出，得出； （2）证明，得出，证出，，则可得出答案； （3）过点P作于点G，交于点H，作于点L，设，则，由（2）得，得出，证明，得出，证明，得出，则，得出，求出m可得出答案． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是； (2) 小问详解： 解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值是； (3) 小问详解： 解：如图3，过点P作于点G，交于点H，作于点L， ∵，， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长是． 【点睛】 此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强． 110．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，中，是边上的中线，联结，过重心的直线将分成周长相等的两部分，这条直线分别与边相交于点E、F，那么线段的长为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，重心的性质，一元二次方程的解法．如图，过作交直线于，设，由三角形的周长关系可得：，再证明利用相似三角形的性质求解，再证明可得，再解方程可得答案． 【详解】 解：如图，过作交直线于， 设， ， ， ，即， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即：， ∵， ∴， 整理得， 解得或， 当时，当时， ∴或， 故答案为：或． 111．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）；（3）． 【分析】 （1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 112．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． （1）求证：； （2）连接，求的值； （3）如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴．     （2）     （3）      【分析】 （1）先证明，结合，可得结论． （2）由（1）可得：，可得，证明，可得，再进一步求解即可． （3）如图，过作于，证明，设，求解，可得，，，由，可得，证明，设，则，证明，求解，证明，进一步可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 小问详解： 解：如图，过作于， ∵，，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 113．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，点A，B，C在反比例函数的图象上，且直线经过原点，点C在第二象限，连接并延长交x轴于点D，连接，若的面积为5，且，则　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数和反比例函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键. 过点A作轴于N，过点C作轴于M，则，可证，可得，，设C点坐标为 ，A点坐标为，求得，可得B点坐标为，根据面积公式求解即可. 【详解】 解：过点A作轴于N，过点C作轴于M，则，如图： ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∵A、C点在反比例函数的图象上， ∴设C点坐标为 ，A点坐标为 ∴， 则 ∴ ∴ ∴ ∵点A，B在反比例函数y=的图象上，且直线经过原点 ∴B点坐标为 ∵的面积为5 ∴ 解得：； ∴故答案为；. 114．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，在中，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为　　　　　 ；当时，线段的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】① 4    ② 【分析】 连接，利用相似进行转化，先得出是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值，再根据相似的判定和性质证明和，结合和勾股定理即可解答． 【详解】 解：连接，如图所示： 根据题意得， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， 中， ， 即， 是的中点， ， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ， ， ∴， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：4，． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算和勾股定理的应用等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 115．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，正方形中，点是的中点，连接，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点．以为边长作正方形，连接并延长，分别交于点，，连接．则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作于点，根据勾股定理可得，根据四边形是正方形，可得，根据，可得，所以，设，则，，求出的值，进而可以解决问题． 【详解】 解：如图，过点作于点， 设正方形的边长为，是的中点， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ，， ． ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出的长是解决本题的关键 116．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． （1）证明：平行四边形是菱形； （2）如图2，若，连接、、， ①求证：； ②若为中点，、分别与相交于点、，求的值． 【答案】（1） 证明：平行四边形， ， ， 的平分线交于点E，交的延长线于F， ， ， ， ， 平行四边形是菱形；     （2） ① 证明：由题知， 在平行四边形中， 由（1）知，平行四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ； ②．      【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案； （2）① 先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论； ② 利用直角三角形的性质结合勾股定理，求得，，证明，求得，据此计算即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①略 ② 解：作于点， ∵平行四边形中， ∴， ∵为中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 117．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，、是平行四边形对角线上两点，连结、并延长，分别交、于点、，连结，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行且相等可得，，根据有两个角相等的三角形是相似三角形、相似三角形的对应边之比等于相似比可得，推得；同理可得：；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、相似三角形的面积比是相似比的平方可得；根据线段的比可推得；即可求解． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 即， 则， ∴； 同理可得：； ∵，， 即， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， 即； ∴． 故答案为：． 118．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，中，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则　　　　　． 【答案】 【详解】 解：作，垂足为H与交于点． ∵， ∴H为的中点（三线合一）． 又∵点F为的中点， ∴点为的重心． ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴．即 在与中， 即， 解得（负值舍去）． 119．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）点为线段延长线上．连接，若，求的长． 【答案】（1）见详解     （2）     （3）      【分析】 （1）结合矩形的性质以及，得出，证明，即可作答． （2）先结合矩形，运用勾股定理算出，再根据，故，得，又因为，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）过点F作，结合等腰三角形的性质，得，运用矩形的性质，证明，由（1）得，则，，把数值代入，进行计算，得，则，解得，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过点F作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 120．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】 [初步感知]证明，则，由题意知，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，由题意得，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】 [初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知， ∴， 解得， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得， ∴，， ∴，整理得， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，， 设，则， 同理， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理， ∴，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 121．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，在中，，，是边上的一个动点，从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设运动时间为． （1）请说明四边形是否为平行四边形？请说明理由； （2）当是直角三角形时，求出的值． 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 根据题意得，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且 ∴四边形是平行四边形．     （2）或．      【分析】 本题考查了直角三角形的性质、平行四边形的判定以及直角三角形存在性问题，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． （1）根据题意得，，证得，最后根据“一组对边平行且相等”判定平行四边形． （2）分两种情况讨论：当，当，列出方程即可求出t的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，为直角三角形． 122．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：　　　　　　； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 【答案】（1）     （2） 解：和是等腰三角形，且， 两个等腰三角形的底角也相等． ． ，即． ， ． ． ，即     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形、等腰三角形以及正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质推出，然后证明即可求出和的数量关系; （2）先证明得到．进而证明从而根据对应边成比例整理可得结论; （3）根据正方形的性质构造，并由相似比求出的长度，然后在中通过勾股定理建立关于正方形边长的方程，即可求解． (1) 小问详解： 和是等边三角形， ． 在和中， ． ． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接， 根据正方形的性质，， ． ． ． 设，则． 在中， ，解得（舍去），． 故正方形的边长为． 123．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求___________（用含的式子表示）；并直接写出的取值范围___________． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴．     （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （3），      【分析】 （1）先证明，再根据全等三角形的性质及外角的定义得出，由等角对等边即可证明； （2）通过证明和，利用相似三角形的性质证明即可； （3）设，根据比例关系得出，，再根据全等关系得出，再证明，可得是的黄金分割点，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 由（2）得：， ∴， ∴， 如图，当点与点重合时，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 此时，， ∴， ∴是的黄金分割点， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段比例关系的推导，黄金分割的含义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 124．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，交于点H，交延长线于点G．    （1）如图1，求证：； （2）如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；     （2） ① 证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②；③．      【分析】 （1）利用即可证明； （2）① 证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ② 由① 得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③ 证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ① 略； ②，理由如下： 由① 得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③ 由① 得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 125．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H． （1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小； （2）求证：AE2＝EF•EP． 【答案】（1）∠AHG＝70°； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°， ∴∠ECF＝∠P， ∵∠CEF＝∠PEC， ∴△CEF∽△PEC， ∴， ∴EC2＝EF•EP， ∴EA2＝EF•EP． 【分析】 （1）由∠ACB＝∠P+∠CAP，求出∠CAP即可解决问题； （2）连接EC，证明△ECF∽△EPC即可解决问题； 【详解】 （1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵∠ACB＝∠P+∠CAP， ∴∠CAP＝20°， ∵BG⊥AP， ∴∠AGH＝90°， ∴∠AHG＝90°﹣20°＝70°． （2）略 【点睛】 考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 126．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，是等边三角形的边上一点，且现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 借助翻折变换的性质得到，设，则，则的周长为，的周长为，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】 解：设，则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 由折叠得， 的周长为，的周长为， 与的相似比为 ． 故答案为：． 127．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，等腰的面积为，，，作，．点是线段上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，是线段的中点．那么，当点从点运动到点时，点的运动路径长为　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查轨迹，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 过点作于点．当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为，点的运动轨迹是的中位线，利用相似三角形的性质求出可得结论． 【详解】 解：如图，过点作于点． 当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为， 点的运动轨迹是的中位线， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：3． 128．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． （1）当，时， ①求证：； ②连结，，若，求的值； （2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1） ① 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②     （2）的长为3或或．      【分析】 （1）① 根据菱形的性质，证明，根据对应边相等可得； ② 连接，证明，得出，可得，设，则，勾股定理得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． （2）连接，证明，则，是等腰三角形有三种情况：① 当时，② 当时，③ 当时，根据相似三角形的性质与判定进行计算即可求解． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， 由① 知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是等腰三角形有三种情况： ① 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 当时， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③ 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 129．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点，点是的中点，点是线段、上的动点，直线截，所得的三角形与相似，那么点的坐标是　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，运用分类讨论思想是解决此题的关键． 分3种情况讨论：当时，易得点坐标为；当时，易得点坐标为；当时，由于，则，得到，再计算出、，则可利用比例式计算出，于是可得到的长，从而得到点坐标． 【详解】 解：当时， ， 点是的中点， 为的中点，此时点坐标为； 当时， ， 点是的中点， 为的中点，此时点坐标为； 当时，如图， 则， ，， ， ， 点和点， ， 点是的中点， ， ， ， 此时点坐标为， 综上所述，满足条件的点坐标为或或． 故答案为：或或． 130．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，已知边长为10的正方形，点E是边上一动点（与点不重合），连结，点G是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）求当为何值时，的面积最大，最大为多少． 【答案】（1） 解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ；     （2）8；     （3）当时，的面积最大，最大为      【分析】 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：设，则， ， 由（1）知， ， ， ， ， 当时，． 131．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　     　； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　     　； [类比探究] （3）如图3，在中，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，． ①求的值． ②连接，若，直接写出的长度． 【答案】（1）1     （2）     （3）①；②      【分析】 （1）利用正方形性质，证明，即可得出； （2）利用正方形性质，证明，即可得出； （3）① 先做辅助线，证明，再利用等角的正切相等和等面积法求出线段的长度，即可得出；② 由① 得，再利用勾股定理和相似性质求出的长度． (1) 小问详解： 如图1，设与交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴=1； 故答案为：1； (2) 小问详解： 如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． (3) 小问详解： ① 如图4，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴a=（负值舍去）， ∴AH=，DH=， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② ∵， ，， ∴， 由① 得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形，矩形的性质，全等和相似的判定及性质，严格的思维逻辑和集合语言的应用是解题的关键． 132．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，在正五边形中，对角线与交于点M，若，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．根据正多边形的性质得，再结合等腰三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可得，证明，得到关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：∵五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值已舍）， 故答案为：． 133．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，，，，点D，E分别在边上，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 134．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，点G在边上，点E在边的延长线上，射线交对角线于点H，交线段于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长； （3）若，求的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）通过证明，利用相似三角形的性质证明即可； （3）利用三角形的面积比求得，设，则，设，则进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； (3) 小问详解： 解：作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的判定和性质，线段比例关系的推导，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 135．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）（多选）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时，             ；② 当 时，                       （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 【答案】（1）①,②. （2）无变化；理由： 如图2，    ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3），. 【分析】 （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少． ② α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【详解】 （1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1，    ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）略 （3）①如图3，    ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，    ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 136．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． （1）如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； （2）如图②，当时，若，求正方形的边长； （3）如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1） 当时，为的中点， 理由：四边形是正方形， ， ∵， ， 四边形是矩形， ∵为的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴, 当时，为的中点；     （2）正方形的边长为10；     （3）      【分析】 （1）由正方形的性质得，，而，可证明四边形是矩形，则，由折叠得，，从而利用中点的定义得到， ，所以，即当时，为的中点； （2）先证明，得，则，而，所以，则，求得，则，再根据勾股定理求得，所以，则，所以正方形的边长为10； （3）先根据证明，得，再证明，得，由，得，则，所以为的中点，设，，由勾股定理得，求得，则，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， ， 正方形的边长为10； (3) 小问详解： 解：，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 设，，则， ，， ， ， 解关于的方程得， ，， ，， ， ， ， 的值为． 【点睛】 此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 137．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1） 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴；     （2） 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解决此题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质； （1）先根据正方形的性质得到角相等和边相等，进而即可判断三角形全等； （2）先根据（1）中三角形全等得到边相等，再判定三角形相似，运用三角形相似的性质即可得到答案； （3）根据正方形的性质得到平行线，运用平行线分线段成比例即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴． 138．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，矩形中，，对角线，相交于点O，点P为边上一动点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，连接交对角线于点E，连接，当时，求的值． （3）如图3，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点M，线段与相交于点N，当为直角三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据矩形的性质得到，，，求得，根据三角形的面积公式得到，根据相似三角形的性质得到，然后根据勾股定理求的长； （2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到结论； （3）分两种情况讨论：如图，当时，过点O作于H，根据矩形的性质得到，，，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据折叠的性质得到，求得，得到，然后根据勾股定理求出的长；当时，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，然后根据勾股定理求得，． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：分以下两种情况讨论： 如图，当时，过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵将折叠，点A的对应点为点，线段与相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点，线段与相交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题． 139．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，则　　　　　　　　　　　　　（用含a、b、m的代数式表示）． 【答案】 【分析】 作的平分线，交于点F，利用角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，，利用相似三角形的判定与性质求得，；利用相似三角形的判定与性质求得，利用求得，则，最后利用解答即可得出结论． 【详解】 解：作的平分线，交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 140．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图1，在矩形中，点E为射线上一点，点B关于直线的对称点为点F，射线交直线于点M． （1）已知，． ①如图2，若点C与点M重合，求的长； ②若，求的长； （2）延长交直线于点N，连接，当为直角三角形，（）时，求的值．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①，②4或5     （2）或      【分析】 1）①设长度为x，根据对称，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解； ②当点E在点C左侧时，通过条件，可证四边形是正方形，则M点和D点重合，即可求解；当点E在点C右侧时，先证是等腰三角形，通过勾股定理列方程求出的长度，再证，用边的比例关系即可求解． （2）当时，点M和点C重合，通过设元，再利用勾股定理列方程，把用含m的式子表示出来，即可求解；当时，先证是等腰三角形，得到，在通过全等得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：①设长度为x， 四边形是矩形， 又，， 由勾股定理， 由对称可知， ， 则， 解得， 故的长为． ②当点E在点C左侧时， ， 如图， ，即是等腰直角三角形 ， 四边形是正方形， 此时，M点和D点重合，可得； 当点E在点C右侧时， ， 如图，与相交于点N， 四边形是矩形， ， 根据对称可知， ， ， 设长度为y，则， 根据勾股定理可知，解得，即长度为， ， ， ， ． 综上所述，的长为4或5． (2) 小问详解： ， ， 点E为射线上，点M、N在直线上， 当时，点M和点C重合， 如图， 四边形是矩形， ， 根据对称可知， ， ， 设长度为t，长度为1， 则， ， 解得， ； 当时，如图， 四边形是矩形， ， 根据对称可知， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或者． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键 141．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交y轴、x轴于点A和点B，点在x轴上，点D在y轴正半轴上，使得，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点E为直线上一点，直线与直线交于点F，若，求点E的坐标； （3）若点P、Q分别是直线和直线上的点，满足，且使得与相似，请求出点P的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）点P坐标为或或或      【分析】 （1）根据已知条件求出点A，B的坐标，并得到，的长度，利用相似三角形的判定得出，进而得到点D的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式； （2）根据分情况讨论线段关系： ① 当点E在A，B之间时，点F也在B，D之间，过点F作交于点H，过点E作交于点G，根据已知条件得出的比值，利用相似三角形的判定得出，从而得出，设点E坐标为，点F坐标为，得出相关线段的表达式，利用解二元一次方程组得出a，b的值，从而求得点E的坐标； ② 当点E在直线之外时，点F也在直线之外，过点F作交于点H，过点E作交于点G，同理得出的比值，证明出，从而得到，设点E坐标为，点F坐标为，得出相关线段的表达式，利用解二元一次方程组得出a，b的值，从而求得点E的坐标； （3）先根据已知条件利用勾股定理求出，，的长度，再利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意需满足或或或，此时分情况讨论： ① 当时，作，过点Q作交于点P，此时，点Q与点C重合，同时满足，过点P作，证明，从而求得此时点P的坐标； ② 当或时，过点B作交直线于点Q，作，，设直线与y轴的交点为E，证明出，得到，进而利用勾股定理求得点E的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线求得点Q的坐标，通过勾股定理求出的长度，结合相似三角形的线段比，设点P坐标为，求出长度的表达式，列出方程解出n的值，此时点，的坐标即可求得； ③ 当时，在延长线上取一点Q作，过点Q作交延长线于点P，与y轴交点E，再过点P作轴交y轴于点F，先证得，得出，设点P坐标为，求出，的表达式，再证明，继而求得，的表达式，从而求出点E的坐标表达式，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求得点Q的坐标表达式，结合的长度表达式利用勾股定理列出关于n的方程，并解得n的值，点P坐标即可求出． (1) 小问详解： 解：∵直线交x、y轴于B、A两点， 当时，解得， ∴点B坐标为，即， 当时， ∴点A坐标为，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点D坐标为， 设直线解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴需分类讨论，的情况： ① 当点E在A，B之间时，点F也在B，D之间， 如图，过点F作交于点H，过点E作交于点G， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点C为， ∴， 设点E坐标为，点F坐标为， ∴，，，， ∴， ∴ ，解得 ， ∴点E坐标为； ② 当点E在直线之外时，点F也在直线之外， 如图，过点F作交于点H，过点E作交于点G， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点C为， ∴， 设点E坐标为，点F坐标为， ∴，，，， ∴， ∴ ，解得 ， ∴点E坐标为， 综上所述，点E的坐标为或． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 在中， 又∵， ∴， 在中， ∵， ∴为直角三角形，即， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为， ∵，且， ∴或或或， ① 当时， 如图，作，过点Q作交于点P， 此时，点Q与点C重合，同时满足， ∴，， 过点P作， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴点P坐标为； ② 当或时， 如图，过点B作交直线于点Q，作，， 设直线与y轴的交点为E， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴由线段垂直平分线的性质可知，与关于点B对称， ∴， 设点P坐标为， ∴， ∴，解得或， 当时，当时， ∴为，为； ③ 当时， 如图，在延长线上取一点Q作，过点Q作交延长线于点P，与y轴交点E，再过点P作轴交y轴于点F， ∵，， ∴， ∴， 设点P为， 由② 可知，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得，解得， ∴点Q坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得，（和情况① 重复，舍去）， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用及一次函数与几何综合． 142．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）【问题情境建构函数】 （1）如图1，在矩形中，是的中点，垂足为．设，，试用含的代数式表示 【由数想形   新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示．若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请证明，并在图2上补全函数图象． 【数形结合深度探究】 （3）（I）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论： ①函数值随的增大而增大； ②函数值的取值范围是： ③存在一条直线与该函数图象有四个交点； ④在图象上存在四点，使得四边形是平行四边形． 其中正确的有___________．（写出所有正确的序号） （II）若将（1）中的“改成“”，此时关于的函数表达式是___________；一般地，当取任意实数时，利用数形结合思想，直接写出满足不等式的的取值范围___________．（答案用含的代数式表示） 【答案】（1）； （2）函数图象关于原点对称，理由如下： 若为图象上任意一点，则, 设关于原点的对称点为, 则， 当时， 也在函数的图象上， 当取任意实数时，函数的图象关于原点对称； （3）① ④ ；（II）， 【分析】 （1）证得, 得出, 由题意, 利用勾股定理求得，, 即可得到,从而得到; （2）把点的对称点代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性； （3）观察图象即可判断； （II）分析函数的解析式，列不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在矩形中， ， ， ， ， ， ， , 点是的中点， 在中， ， ； （2）略 （3）（I）观察图象，① 函数值随的 增大而增大；故正确， ② 函数值的取值范围是; 故错误， ③ 存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误， ④ 在图象上存在四点, 使得四边形是平行四边形， 故正确故答案为：① ④ ； （II）关 于的函数表达式为函数, 当时 ，图象在第一象限，函数值随的增大而增大， 由得， 解得. 故答案为：，． 【点睛】 本题考查矩形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、函数定义及表达式推导、函数对称性分析、函数性质探究和数形结合思想．解题关键是将几何中边长、垂直关系转化为代数函数表达式，通过代入验证函数值是否为证明函数图象对称性，结合函数表达式代数特征与图象几何特征分析函数性质． 143．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，点，，，，…，在射线上，点，，，，…，在射线上，，，，…，为阴影三角形，若，的面积为1、4，则面积小于的阴影三角形共有　　　　　个． 【答案】6 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积，根据相似三角形的性质得出，继而可得出规律：…；…根据，的面积为1、4，进而得出前几个三角形的面积，即可求解． 【详解】 解：由题意得，因此可知==，==， 由，，得，，所以可得， 得出规律：…；…又，的面积分别为1、4， ∴，，继而可推出，，，，， 故可得小于2025的阴影三角形的有：，，，，，，共6个． 故答案为：． 144．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长，相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，若是以为底的等腰三角形，求的值； （3）如图2，在中，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证出即可得证； （2）是以为底的等腰三角形，即，导角证明，则，再证明即可求解； （3）由题易得点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，先证，得到，进而设参，再证，设参，然后在 中，利用勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴设， ∴在中，由勾股定理可得， ∵是以为底的等腰三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， 连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接， ∵点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得： 则， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 整理可得：， 解得或（舍）， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得， 即． 145．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，中，D是的中点． （1）如图②，延长至点E，使，延长交于点F，当时，直接写出的值； （2）如图①，延长至点E，使，延长交于点F，证明（1）中的结论仍然成立． （3）如图③，G是边上一点，延长至点E，使，延长交于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】（1）     （2） 解：如图，取的中点H，连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，，即可求解； （2）取的中点H，连接，根据可证得，可得，再根据，可得，根据相似三角形的性质可得，进而可得； （3）取的中点H，连接，方法同（2）根据可证得，可得，再由可得，得到，进而可得． (1) 小问详解： 解：中，点D是的中点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，取的中点H，连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 146．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）连接．点为反比例函数的图象上一点，连接．若，求点的横坐标； （3）过点作互相垂直的直线，分别交反比例函数的图象于点（点异于点），直线交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为     （2）或1或或     （3）      【分析】 （1）代入到求出反比例函数的表达式，从而得到点的坐标，再代入点到即可求出一次函数的表达式； （2）设与轴交于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，利用三角形的面积公式得到，得出，再根据题意分① 点在直线右侧；② 点在直线左侧两种情况讨论，过点作轴交直线于点，设，表示出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，解出的值即可解答； （3）过点作轴的平行线，使得，作轴于点，连接，设直线、分别与轴交于点、，设，，，先证出得到，整理可得；再通过证明推出，进而证出，得到，即，同理可得，联立① 和② 两个方程求出的值，即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：代入到，得， 反比例函数的表达式为， 代入到，得， ， 代入和到，得 ， 解得： ， 一次函数的表达式为， 综上所述，一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：设与轴交于点， 令，则， 解得：， ， ， ， ① 当点在直线右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 设， 代入到，则， 解得：， ， ， ， ， 解得：，， 点的横坐标为或； ② 当点在直线左侧时，如图，过点作轴交直线于点， 设，同理① 中的方法可得， ， ， ， 解得：，， 点的横坐标为或1； 综上所述，点的横坐标为或1或或． (3) 小问详解： 解：如图，过点作轴的平行线，使得，作轴于点，连接，设直线、分别与轴交于点、， 设，，， ， ， ， 又， ，即， ， ， ，即， ， ，， ， 整理得：； ， ， 又， ， ， ， 轴， ， ，即， 又， ， ，即， ，即， 同理可得， 得， 整理得：， 得， ， 解得：，（舍去）， 点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要运用数形结合和分类讨论思想解决问题，还涉及较大的计算量，适合有能力解决难题的学生． 147．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． （1）填空：点A的坐标为________，点D的坐标为________，直线的解析式为________； （2）直线上有一点M，设点M的横坐标为m，若与相似，求m的值； （3）在直线上找一点N，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求点N的坐标． 【答案】（1），，     （2）1或     （3）或      【分析】 （1）由，得到，，再由，得到，求出，，即可求A、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意可知只有和两种情况，分别讨论求解即可； （3）设，，，由题意可知、是菱形的对角线，则 ，求出或，即可求点N的坐标． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵点M的横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， ∴， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴与相似时，只有和两种情况，此时M点在x轴下方， ∴， 当时， ∴， 解得或（舍）； 当时， ∴， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为1或； (3) 小问详解： 解：设，，， ∵四边形是菱形， ∴、是菱形的对角线， ∴ ， 解得或， ∴或． 【点睛】 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 148．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）中，，过点A作直线，使，点D在直线上（不与点A重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交直线于点E． （1）如图1，点D在射线上， ①求证：；②求证：； （2）如图2，点D在射线上，线段，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明． （3）若，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） ① 证明：∵当时， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 证明：∵， ∴， 又∵ ∴；     （2） 结论：．证明如下： 如图2中，当时， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）或      【分析】 （1）① 当时，可得是等边三角形，根据即可判定； ② 由根据全等三角形的性质得到，进而得到； （2）当时，可得是等腰直角三角形，判定，可得，进而得出； （3）分两种情况：点E在线段上，点E在的延长线上，分别画出图形，依据，，即可得到线段的长度． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题可得， 分两种情况： ① 如图所示，当点E在线段上时，过点A作于H，过点D作于G． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ② 如图所示，当点E在的延长线上时， 过D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述所，线段的长度为或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质以及等边三角形和等腰直角三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解． 149．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【答案】【认识研究对象】； 【探索研究方法】① 证明：∵，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ② 证明：∵是类黄金三角形，且， ∴， 由① 知， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据黄金分割点的定义，点是边的黄金分割点； 【尝试问题解决】 【分析】 本题考查黄金分割，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征，根据比例式适当构造相似三角形． 【认识研究对象】直接利用“类黄金三角形”定义，代入边长计算即可； 【探索研究方法】① 通过证明，利用相似三角形对应边成比例推导； ② 结合“类黄金三角形”定义与① 的结论，证明，从而判定是的黄金分割点； 【尝试问题解决】在上取点，使，连接．根据“类黄金三角形”的定义，将其转化为比例式，结合公共角，可证，由相似得，结合已知，推导得出，代入定义式求出的长即可． 【详解】 【认识研究对象】 解：∵是类黄金三角形，且， ∴根据定义，最长边与最短边的乘积等于第三边的平方，即． ∵，， ∴， ∴； 【探索研究方法】 ① 略 ② 略 【尝试问题解决】 解：如图，在上取点，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 150．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，、均在上方，且在的左侧，当点在上运动时，作等腰，则，两点间距离的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰直角三角形及动点问题，相似三角形的判定和性质，根据题意利用相似三角形的判定和性质得出，确定E在垂直的直线上运动，O，E两点间距离的最小值即是O到这条直线的垂线段的长，再由勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，点C在上运动时， ∴C为主动点，E为从动点，D为定点，设和都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且点都在上，过点D作于Q，设交于点P，连接并延长交于M，如图： 和都是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在垂直于的直线上运动， 当时，如图所示， 过E作于M，交于N，则直线即为E的运动轨迹，的长为O，E两点间距离的最小值， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 151．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）【综合与实践】 【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，当G为的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，延长至点， ∴，且， ∴， （2）（3）的长为或或2 【分析】 （1）利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可； （2）过点G作，交于点H，利用三角形的中位线定理得到，；设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】 （1）略； （2）过点G作，交于点H，如图， ∵，G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负数不合题意，舍去）， ∴． ∴； （3）的长为或或2．理由： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得， 解得，经检验符合题意； ∴或； 第二种情况，如图所示，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或2． 【点睛】 本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 152．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，一次函数的图象交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，在轴的正半轴上有一点，且，连接． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）点是线段上的一点，点是轴上的一动点，连接，，，其中．求出的周长最小值及此时点的坐标： （3）在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），反比例函数的解析式为；     （2），     （3）存在，符合条件的P点的坐标为或．      【分析】 （1）把点坐标代入反比例函数的解析式，求出点坐标，作轴于点，得到，平行线分线段成比例，求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设（），则，，根据列出方程，求解即可；② 点P在射线上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为（），证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，，和的长，代入后求解即可． (1) 小问详解： 解：对于一次函数， 令，则，令，则， ∴，，即，， 作轴于点， 则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作轴于点， 则， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ：直线的解析式为， ∴当时， ∴； (3) 小问详解： 解：存在； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ① 当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设（）， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴； ② 当点P在射线上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为（）， ∵，， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，符合条件的P点的坐标为或． 【点睛】 本题考查反比例函数与一次函数，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定及性质，两点间距离公式，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 153．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，是边长为8的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接． （1）如图1，当点在线段上运动时，证明：； （2）如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值； （3）如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论； （2）如图2，过点作于点，先根据等边三角形的性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可； （3）如图3，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，根据等边三角形的性质可得，，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2，过点作于点，     ∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图3，过点作于点，     ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，    又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， ∴，    ∵， ∴， 即， 整理得， 解得， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键． 154．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，矩形的两边在坐标轴上，且，，，与交于点，且四边形的面积为3，则经过点的双曲线的解析式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程．过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，则，证明，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可得解． 【详解】 解：过作，交于，过作于， 设，， 由题意可知：，，，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值已舍去） ∴，， ∴的坐标为， ∴， ∴经过的双曲线的解析式就是， 故答案为：． 155．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）以的边为边向外作等边，以边为底向外作等腰．其中，．取的中点，连接，．    （1）如图1，若，此时与的位置关系是_____；线段与线段的数量关系是_____． （2）如图2，若为任意的锐角三角形．请猜想线段与线段的数量关系．并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）如图3．若中，，，取的中点．动点在线段上运动，点为平面上任意一点，满足．请探究的最小值是多少．并说明你的理由． 【答案】（1）垂直， （2），证明见解析 （3）的最小值为，理由见解析 【分析】 （1）连接，由直角三角形斜边中线得，结合等边、等腰三角形性质证D、A、E共线；利用三线合一得、的垂直关系，通过三角函数得数量关系． （2）取、中点构造辅助线，由中位线得边的关系，通过三角函数得线段比例；证角相等后得三角形相似，推导与的数量关系． （3）先计算边长，作垂线得基础线段长；由相似得角的关系，证四点共圆得角相等；证直角三角形后利用斜边中线得长，通过三角不等式求最小值． 【详解】 （1）解：连接，    ∵等边， ∴ ∵ = ∴ ∴点D、A、E三点共线． ∵点M是的中点，是直角的中线， ∴， 又=， ∴垂直平分平分， ∴． 又可知，垂直平分平分， ∴． ∴则 ∴，即． 故答案为：垂直，． （2）解：猜想，证明如下：    分别取、的中点S、T，连接、、、， ∴，且、均为的中位线， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 即． （3）解：在中 由，得； 由勾股定理，； 因是中点，故． 作于，在中，    故，． 作于，点Q在边上． 在中， 故，． 因，故对应角相等：，； 对应边成比例：． 延长交于，由（即）， 得B、K、P、A四点共圆． 由圆周角定理，（）． 由，得， 故P、N、K、M四点共圆，进而（同弧所对圆周角相等）． 由，得P、N、M、Q四点共圆，则， ∴，即是直角三角形． ∵， ∴是的中点， 由直角三角形斜边中线性质，． 由三角不等式：， 当B、N、O三点共线且在B、O之间时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】 本题考查了等边三角形与等腰三角形的性质、直角三角形的性质与勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与圆周角定理、直角三角形斜边中线性质，解题的关键是构造辅助线，利用图形性质建立角与边的关系，结合几何定理推导． 156．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，点，分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，延长交轴于点，连结，则点坐标为　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 9 【分析】 作于M，于N，于H，连接．利用角平分线的性质得出，设，则，则，即可求得，利用勾股定理得到，通过证得，得到，即可求得． 【详解】 解：作于M，于N，于H，连接．则四边形是矩形， ∵的两条外角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴； 设，则， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴或（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的两条外角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是9， 故答案为：，9． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，解题的关键是证得． 157．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知在平面直角坐标系中，正方形的边长是1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于N，连接． （1）如图1，若点M在线段上，求证：； （2）如图2，在点P、M、N运动的过程中，满足的点M在的延长线上时，求证：； （3）是否存在满足条件的点P，使得PC=？若存在，请求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3）存在，      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，恰当作出辅助线，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，推导出，由，推出，即可证明； （2）先推导出，进而判定出，推出，由此即可证明； （3）先推导出点P在上，再判定出，求出，，即可得求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 这样的点P存在．理由：如图，取的中点H，连接， 在中，， 根据勾股定理得， 由(2)知， ∴， ∴， ∴点P在上， 过点P作于G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 158．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，设，证明，得出成比例线段，求出，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：如答图，连接，设， 在矩形中， 则，． 是中点， ，． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】 本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键． 159．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线l：上，过点B作的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，与相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ① 证明∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ②     （2）或或      【分析】 (1)① 由，可得，进而可得，即可证得结论；② 过点作，过点作轴于，如图，设，则，得到证明，推出，设则 ，由，建立方程求解即可； (2)分两种情况∶Ⅰ．过点作 于M，当在线段或延长线上时，如，图，设，则 ，根据∽，可得出 再由 或 ，建立方程求解即可；过点作于，当在线段的延长线上时，如图，同理建立方程求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 过点作于，过点作轴于，如图， ∵点在直线上， 设 ， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∵， ∴， ， 解得∶或(舍去)， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴； (2) 小问详解： 存在点，使得以为顶点的三角形与相似， 理由如下∶ Ⅰ．过点作于，当在线段或延长线上时，如图，图， 由 (1) ② 可知∶， 设 则，， ， ，， ， ，即 ， ， 在中， ， ， ∴以为顶点的三角形与相似， 则或 ， 或 ， 解得 ， 或； ．过点作于点M，当在线段的延长线上时，如图， 由(1) ② 可知∶ ， 设则 ，， ， ，， ， ，即 ， ， 中， ， ∴以为顶点的三角形与相似，需满足 即， 解得：或(舍去)， ； 综上所述，以为顶点的三角形与相似，则的长度为：或或． 【点睛】 本题考查一次函数图象及应用，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度． 160．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．    ①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________； （2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；    （3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，点M、N分别在边上，求的值． 【答案】（1）：=，1； （2），理由如下： 作， 由折叠性质知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3） 【分析】 （1）证，可得，证四边形是平行四边形，进而即可求解； （2）作，由折叠性质知，证，进而即可求解； （3）作，连接，证得，由 ， 可得，证，进而即可求解； 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：=，1． （2）略； （3）作，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形的全等证明及性质、相似三角形的性质及证明、勾股定理等，正确做出辅助线是解题的关键． 161．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且．若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出正确的辅助线，逐步推理是解题的关键．过点作的平行线交的延长线于点，进一步证明，再利用相似的性质进行线段的转换，即可解答． 【详解】 解：如图， 过点作的平行线交的延长线于点， ， ． ， ． ． ， ， ． ． 为中点， ． ， ． ， ． ，， ． ． ， ， ． 故答案为：． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A. 3：4 B. 4：3 C. ：2 D. 2： 【答案】C 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方，周长的比等于相似比解答. 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：2. 故选C 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比． 2．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答． 【详解】 解：，与的面积分别是和， 与的相似比为， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是， 故选：D． 3．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）与的相似比为1：4，则与的周长比为（       ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 【答案】C 【分析】 根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题． 【详解】 ∵与的相似比为1：4， ∴与的周长比为1：4， 故选：C． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 4．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知，且相似比为1：2，则和的周长比为（       ） A. 1：4 B.  C. 2：1 D. 1：2 【答案】D 【分析】 根据相似三角形的性质可直接进行求解． 【详解】 解：∵，且相似比为1：2， ∴和的周长比为1：2； 故选D． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 5．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（       ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 【答案】A 【分析】 根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】 解：∵与位似 ∴ ∵与的位似比是1:2 ∴与的相似比是1:2 ∴与的周长比是1:2 故选：A． 【点睛】 本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质． 6．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，已知和的相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，进而可得答案． 【详解】 ∵和的相似比是，的面积是1， ∴， ∵的面积是1， ∴S△ABC=4， ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3， 故选：B 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题关键． 8．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，图形平移的性质，熟练掌握相似三角形的性质及图形平移的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质，得到，即可列方程求出，再求出，即可根据图形平移的性质得到答案． 【详解】 解：设与相交于点G， 沿方向平移得到， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：2． 9．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）若，且，则和对应边上的中线比为　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应边上的中线比等于相似比． 【详解】 解：∵，且， ∴ 相似比为， 又 ∵ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比， ∴ 中线比为， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： （1）当t为何值时，与相似； （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或     （2） 解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， ∴， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在矩形中，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． （1）当秒时，S的值是多少？ （2）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）；     （2），或．      【分析】 本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． (1) 小问详解： 解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：点在上， 即， 此时，，，， 情况1：当时， ， 即， 解得， 情况2：当时， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 12．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，在中，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】 解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 13．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　　． 【答案】 【分析】 根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】 解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线， ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝()2＝， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 14．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过　　　　　　　　　　s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，① 设经过x秒后，得，② 设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】 解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ① 设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ② 设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 15．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，在矩形中，．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． （1）当秒时，S的值是多少？ （2）当t等于多少秒时，S的值是； （3）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）S的值是24；     （2）当秒时，S的值是；     （3）当秒或秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似      【分析】 本题主要考查了割补法算面积，矩形的性质，相似三角形性质，解决此题的关键是正确的计算； （1）运用矩形的性质和线段的和差得到相关线段的长度，运用直角梯形的面积公式和三角形的面积公式即可得到答案； （2）运用（1）中的思路，分情况讨论进而得到答案； （3）运用三角形相似的性质得到线段的比例即可得到答案； (1) 小问详解： 解：由题可知：当秒时，， ∵，， ∴，， ∴的面积为 ， ， ∴S的值是24． (2) 小问详解： 解：由题可知分以下两种情况； ① 当点F在边上时，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得： ∵， ∴取； ② 当点F在边上时，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴当秒时，S的值是； (3) 小问详解： 解：由题可知分以下两种情况； 当时， 即， 解得：，， ∵， ∴当秒时， 当时，, 即， 解得：， ∵， ∴当秒时， 综上可知：当秒或秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似． 16．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，点D、E分别在的边、的延长线上，如果，，，那么　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：6． 17．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，在中，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】 解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 18．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足． （1）求点，点的坐标． （2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A(1，0)，B(0，)（2）（3）； 【分析】 （1）根据条件，可求得OB=，OA=1，根据图象可知A（1，0），B（0，）； （2）在直角三角形中的勾股定理和动点运动的时间和速度分别把相关的线段表示出来，设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由，易得PQ=，S=S△ABC-S△APC=-t （3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论：① △ABP∽△AOB；② △ABP∽△BOA． 【详解】 解：（1） ， ， 点，点分别在轴，轴的正半轴上 （2）∵OB=，OA=1，∠AOB=90°， ∴, AC＝4， 同理：， ∵，即：， ∴， 过P作PQ⊥CA于Q， ∵，， ∴， ∴S=S△ABC-S△APC=-t （3）由（2）得AC＝4，，， ∴AB2+BC2＝22+（2）2＝16＝AC2． ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°． 以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，分两种情况： ① △ABP∽△AOB ∴ ∴ ∴ 点P与点C重合P1（－3，0）； ② △ABP∽△BOA， ∴， ∴， ∴， ∴ 过P作PQ⊥CA于Q， ∵PQ⊥CA，BO⊥CA， ∴PQ∥BO， ∴△CPQ∽△CBO， ∴， ∴CQ=2，PQ=， ∴， ∴P2（－1，）， ∴存在这样的点P，． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，坐标与图形，非负数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 19．（25-26学年九上·四川资阳·期中）（多选）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M． ①AC与BD之间的数量关系为　     　； ②∠AMB的度数为　     　； 【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数； 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离． 【答案】【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；【类比探究】，∠AMB=90°；【实际应用】4或5 【分析】 操作发现:如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题． 类比探究:如图（2），证明△COA∽△ODB，可得，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题． 实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】 解：操作发现:如图（1）中，设OA交BD于K． ∵∠AOB＝∠COD＝45°， ∴∠COA＝∠DOB， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO， ∵∠MKA＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝45°， 故答案为AC＝BD，∠AMB＝45° 类比探究:如图（2）中， 在△OAB和△OCD中， ∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°， ∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB， ∴， ∴△COA∽△ODB， ∴，∠MAK＝∠OBK， ∵∠AKM＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝90°． 实际应用:如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD． 在Rt△DCE中， ∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1， ∴∠CEH＝60°， ∵∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝30°， ∴EH＝EC＝， ∴CH＝， 在Rt△BCH中，BH＝， ∴BE＝BH﹣EH＝4， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝4． 如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H． 同法可得BH＝，EH＝， ∴BE＝+＝5， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝5． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 20．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　　　　　． 【答案】（0，3）、（4，0）、（，0） 【分析】 分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标． 【详解】 解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA， 由点C是AB的中点，可得P为OB的中点， 此时P点坐标为（0，3）； 当PC∥OB时，△ACP∽△ABO， 由点C是AB的中点，可得P为OA的中点， 此时P点坐标为（4，0）； 当PC⊥AB时，如图， ∵∠CAP＝∠OAB， ∴Rt△APC∽Rt△ABO， ∴， ∵点A（8，0）和点B（0，6）， ∴AB＝＝10， ∵点C是AB的中点， ∴AC＝5， ∴， ∴AP＝ ， ∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝， 此时P点坐标为（，0）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）． 故答案为（0，3）、（4，0）、（，0） 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 21．（25-26学年九上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线过点B交x轴于点C． （1）求直线的关系式； （2）若点P是直线上一动点，求点P的坐标； （3）若点E是第一象限内一动点，以点C、A、E为顶点的三角形与相似时（与为对应边），请求出符合条件的点E的坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法求解即可， （2）先求出，设，然后分当点P在点C的上方时和当点P在点C的下方时两种情况求解； （3）利用勾股定理求出， 设，则，，然后分当时和当时两种情况列式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵对于，当时， ∴， 把代入，得， ∴， (2) 小问详解： 当时，∴， ∴， ∵对于，当时，∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， 当点P在点C的上方时， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． 当点P在点C的下方时， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点P的坐标为或； (3) 小问详解： ∵， ∴ ∴， 设，则，， 如图，当时， ， ， 解得（舍去）， ∴． 如图，当时， ， ， 解得（舍去）， ∴． 综上可知，点E的坐标为或． 【点睛】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】 解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意知：，可得：，再由，代入即可求得答案． 【详解】 由题意知：， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故选：C 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的实际应用问题，熟练地掌握相似三角形的判定和性质、并正确的列出相似比的关系式是解题的关键，属于基础应用题型． 3．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质定理，根据相似三角形的判定定理证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：由题意得：，， ， 由光的反射原理可得：， ， ， 米，米，米， 米． 故选：B． 4．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 【答案】A 【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此， ∵，即，∴楼高=10米．故选A． 5．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（　　） A. 21.6m B. 6.6m C. 20.6m D. 7.6m 【答案】B 【分析】 根据即可求得的长，进而求得树高 【详解】 解：依题意， cm，cm，m，m， m m 故选B 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判$ 专题10 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）已知，则的值是（       ） A. 1 B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，在比例尺为的某城市地图上，若量得A、两所学校的距离是cm，则、两所学校的实际距离是（   ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）下列各组线段是成比例线段的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A. 1，2，3，4 B. 2，4，3，5 C. 4，8，5，10 D. 3，9，4，7 5．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）若，a﹣b+c＝18，则a的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 8．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（　　）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如果和都不为零，且，那么下列比例中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（　　） A.  B. 2a=3b C.  D. 3a=2b 12．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）若，则函数一定经过第（     ）象限 A. 一二 B. 二三 C. 三四 D. 一四 13．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知，则下列比例式成立的是（       ）． A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（     ）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，某一时刻两个建筑物和在太阳光照射下影子的端点刚好重合在地面的点E处，若米，米，米（点B、D、E在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内），则建筑物的高度为（       ） A. 8米 B. 16米 C. 24米 D. 32米 17．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）黄金分割在生活中处处可见，即使是一片银杏叶，也蕴含着“黄金分割”．成都人民公园的银杏大道上，一片飘落的银杏叶主脉可看作线段．是的黄金分割点．若这片银杏叶主脉的长度为，则的长为（     ）． A. 5 B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）已知，那么的值是 　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地的实际距离是　　　　　　km． 22．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）若，且，则　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·四川巴中·期末）若，则　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为　　　　　　cm． 26．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）已知，且，则的值为　　　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）若，则　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）若，则＝　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）已知：点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝　　　　　． 30．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）若线段，则．的比例中项　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）已知线段，是的黄金分割点，且，那么的长是　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知，且，，则　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知点P是线段黄金分割点，，若，则　　　　　　． 35．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知，若，且，则　　　　　　． 36．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，在九年级颁奖典礼上，舞台的长为18米，主持人站在点C处自然得体、已知点C是线段上靠近点A的黄金分割点，则主持人与点A的距离为　　　　　　　　米（结果保留根号） 37．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若，，则线段　　　　　　． 38．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）若，则　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为　　　　　　． 40．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）若，则　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）若，且，则　　　　　． 42．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）已知，则　　　　　　　． 43．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知线段，点是的黄金分割点，且，则　　　　． 44．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为　　　　　　（结果保留根号）． 45．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，则　　　　　　． 46．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）学校要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．若舞台的长为，C为的一个黄金分割点（），则的长为　　　　　　． 47．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如果四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为　　　　　　． 49．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）已知，则的值为　　　　　　． 50．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）点P是线段的黄金分割点，，若，则　　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）若，则　　　　　　　　． 52．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）若线段，，，成比例线段，且，，，则　　　　　　　　． 53．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知是非零实数，且　　　　　　． 55．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端正稳重，舒展美观．已知一条分割线的端点．分别在习字格的边．上，且，善字的笔画、的位置在的黄金分割点处，若，则的长为　　　　　　． 56．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝　　　． 57．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）（）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 58．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若，则函数一定经过第　　　　　　　　象限． 59．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为　　　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）如图，，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 2．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知，那么下列结论正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，，，，，则的长为（       ） A. 4 B. 3 C.  D. 2 6．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D.  7．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  8．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在中，，且，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（     ） A.  B.  C. 2 D.  11．（2025·四川宜宾·质量监测）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（     ） A. 20 B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，，，，，的值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，直线、交于点，，若，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM＝4，MB＝6，CD＝9，那么ND＝　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，直线 ，直线和被，，所截，，则的长为　　　　　　　　　　 16．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则　　　　　． 17．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，已知直线，如果，，则线段的长是　　　　　． 18．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，．若，，则　　　　　　． 19．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、C、E和点B、D、F，已知，，，则的长为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知两条直线被三条平行线所截，截得线段长度如图所示，则x的值为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）在平行四边形中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点，若，则　　　． 22．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； （2）求证：． 23．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，点、、分别位于的三边上，满足，，如果，那么=　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有，两点，其中点在点右侧，连接，， ．延长交反比例函数的图象于点，连接，点为上一点，连接并延长交于点．当的面积与的面积相等时，直线使得点始终在该直线下方，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，直角梯形为上一点，连、和，若平分，已知　　　　　　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（       ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 2．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，、分别是边、上的点，，若，，，则的长是（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，是的中线，点在上且满足，连接，与交于点，则的值为（       ） A.  B.  C. 4 D.  4．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，G为的重心，过点G作，交AB、AC分别于D、E两点，若的面积为4，则的面积为（       ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 5．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，在中，，若，，则=（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．（25-26学年九上·四川巴中·期末）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（     ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 9．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，等腰三角形，底边，高，正方形，使其一边在边上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形的边长为（       ） A.  B. 4 C.  D. 6 10．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图所示，若，则需满足（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，若，（），连接和相交于，过点作于，若，且，为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（         ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，四边形为矩形，矩形外有定点E，连接交于点F，且，已知，则面积为       （       ） A. 1.2 B. 1.5 C. 1.8 D. 2 14．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，下列条件不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（     ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 16．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，中，D为上一点，E为上一点，，交于G，且，，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）由光的反射定律可知入射角等于反射角，小鲁同学利用镜子测量广告牌的高度．如图，小鲁站在点处不动，当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；当将镜子移动至处，他恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出．经测得，小鲁的眼睛离地面距离，则这个广告牌的高度为（     ） A. 4.4 B. 4.3 C. 4.2 D. 4.1 19．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 20．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（     ） A.  B. 2 C.  D. 3 21．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（     ） A. 或 B.  C.  D. 或 23．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（   ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，在中，，，，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 26．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，在中，点，分别在，上，，则下列等式成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 2 28．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（       ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 31．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在菱形中，，交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、于点H，连接CF．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 32．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，正方形和正方形的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．O是的中点，的平分线过点D，交于点H，连接交于点M，连接交于点N．则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤，正确的个数是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 34．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，按这样的规律进行下去，第个正方形（正方形看作第个）的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点M．若，则有长为（ ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，在边长为8的正方形中，点、分别是、上的点，连接、，分别交、于点、，连接，点是的中点，连接．若垂直平分，在下列结论中：①；②；③的面积为；④，正确的有（     ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 37．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：；；当是的中点时，；当时，．其中正确结论的序号是（     ） A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A.  B. 8 C. 10 D.  39．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）（多选）如图，请补充一个条件　　　　　　　　　：，使△ACB∽△ADE． 40．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）（多选）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）如果BC=， AC=3，求CD的长． 41．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，分别交于点E、F，则的长为　　　　　　． 42．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）（多选）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 43．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如果三角形的两个内角∠α与∠β满足，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．如图，在中，已知，，，点D在边上，连接．如果为“准互余三角形”，那么线段的长为　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知．求证：． 45．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG． （1）求证：四边形ABCG是平行四边形； （2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长． 46．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，已知，和相交于，若，则　　　　　　． 47．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，已知D，E，F分别是△ABC的AB，AC，BC边上的点，DEBC，DFAC． （1）求证：△ADE∽△DBF； （2）若，，求△ADE的面积． 48．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知：如图，，与交于点，，，那么　　　　　　． 49．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，，，则的值是　　　　　　　． 50．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． （1）求证：； （2）若，．求的值． 52．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，在中，，点D是边的中点，连接，点E在上，连接，且．    （1）求证：； （2）如果，求证：． 53．（2025·四川宜宾·质量监测）【基础巩固】 (1)如图1，在四边形中，对角线平分，，求证：； 【尝试应用】 (2)如图2，四边形为平行四边形，在边上，，点在延长线上，连结，，，若，，，求的长； 【拓展提高】 (3)如图3，在中，是上一点，连结，点，分别在，上，连结，，，若，，，，，求的值． 54．（25-26学年九上·四川巴中·期末）2025年9月29日，“川超”联赛巴中红叶队主场对阵南充丝绸源点队的比赛在巴中市体育中心举行，小明对球门的高度萌生了探究欲，趁着赛前球员热身训练的间隙，开启了对球门的测量实践．（参考数据：国际上，标准十一人制足球比赛球门高度为2.44米）． （1）测量一：如图1，小明从球门后退24步到点，将随身所带的一面小镜子平放在地面上的点处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿时停止，此时他共后退了39步．已知小明眼睛离地面的高度米，请求出球门高度； （2）测量二：如图2，爸爸从球门后退20步到点处站立不动，小明从点继续后退5步到点处（点、、在同一直线上），此时小明眼睛、爸爸头顶、球门横梁下沿三点共线．已知爸爸身高米，小明目高米，请求出球门高度； （3）根据（1）（2）的计算结果，请计算球门高度的平均值（保留两位小数），并对照参考值说明小明的测量方案是否合理，说明理由． 55．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，矩形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接、，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 56．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，，连接、、，交于点，交对角线于． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 57．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则　　　　　． 58．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，已知BC=2，△ABC平移的距离为　　　　　． 59．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交圆弧于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为　　　　　　　　． 60．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，在中，E为边上一点，连接，，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，且，求和的长． 61．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，是用手电筒光线来测量古城墙高度的示意图，在点P处水平放置一平面镜，光线从点A出发经反射后经过古城墙的顶端C点，已知，则古城墙的高度是　　　　　　． 62．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在中，D，E，F分别是，，上的点，且，，，，则　　　　　　cm． 63．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在正方形中，点是边延长线上一动点，连接、．则的最小值为　　　　　　． 64．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图①，已知点G在正方形的对角线上，，垂足为点E，，垂足为点F． （1）【证明与推断】：①求证：四边形是正方形； ②推断：的值为                  ； （2）【探究与证明】：将正方形绕点C顺时针方向旋转α度，如图②所示，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展与运用】：正方形在旋转过程中，当A，G，F三点在同一直线上时，如图③所示，延长交于点H．若，求的长． 65．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，BE，CD是的高，连接DE. （1）求证：； （2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：. 66．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）在中，，点C在线段上，过点C作于点E，于点F，使得四边形为正方形，此时，则阴影部分面积为　　　　　　． 67．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，D为中上一点，E为上一点，连接，交于点M，满足，则　　　　　． 68．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，坐标原点在边上，在边上，，交轴于点，若的面积为，则的值是　　　　　　　　　　　． 69．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，在中，是边上的高，正方形的一边在上，两个顶点、分别在上，且与交于点，如果，那么的长为　　　　　　　　　　　． 70．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求的半径． 71．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 72．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在中，，于D， （1）求证：； （2）若，，求的长． 73．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，四边形平行四边形，点在边上，点在对角线上，，． （1）求证：； （2）若，，，则的长________． 74．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于　　　　　　　． 75．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 76．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． （1）求证：； （2）吗？说明理由 （3）如果的面积为2，求的面积． 77．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，在矩形中，点在上，连接，作于点． （1）若，求证：； （2）若，，，求的长与四边形的面积． 78．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、分别交于点．设，，的面积依次为．若，则的值为　　　　　　． 79．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，有一块三角形余料，，高线，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点，分别在，上，若满足，则的长为　　　　　　. 80．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；作射线，交于点E，交延长线于点F，则　　　　　　． 81．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）如图，在边长为10的正方形中放入矩形和正方形，点，分别在边上，且，则阴影部分的面积为　　　　　　． 82．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线，分别交于点E，F，则的长度为　　　　　　　　　　． 83．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，小红在地面处放置一面平面镜，随即面对旗杆，后退至2米处的点，此时恰好能在镜子中看到旗杆顶点的像，经测量，此时小红眼睛到地面的距离米；同时，组员小明在F处竖立了一根高2米的标杆，经测量，此时米，米．已知，，，且、、、、共线， （1）直接写出___________； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆的高度． 84．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，菱形中，，垂足为点，分别与、及的延长线交于点、、，且，则的值为　　　　　　． 85．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知：如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若面积为6，，求的长． 86．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）（多选）如图，在平行四边形ABCD中，点О是对角线AC中点，过点О作EFAC分别交边AB，CD于点E，F． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）当AF平分时，且 CF=5，DF=2，求AD的值． 87．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．    （1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长． 88．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为　　　　　　　　　　　　cm． 89．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值． 90．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为　　　　　． 91．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，在中，与的延长线交于点，与、分别相交于点、． （1）若，，，求的长； （2）求证：． 92．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为　　　　　　　　． 93．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长=　　　　． 94．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在平行四边形中，E是的中点，F是的中点，交于O点，交的延长线于G点，已知，则　　　　　　． 95．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，已知：在中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的值． 96．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则的面积的最大值是　　　． 97．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 98．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 99．（2025·四川宜宾·质量监测）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B、C在x轴上，交y轴于点E，连接，线段的长是方程的两个根． （1）求点B、C的坐标； （2）点F在边上，且F点的纵坐标是3，连接，过点F作直线，交于点G，若矩形的面积等于66，双曲线的一个分支过点G，求k的值； （3）在（2）的条件下，在直线上并且在直线的右侧是否存在点P，使得以O、F、P为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 100．（25-26学年九上·四川巴中·期末）在一次小组合作探究课上，小明将两个相似平行四边形按如图所示的位置摆放，发现了一些有趣的结论．小组讨论后，提出下列问题，请你帮助解答： （1）如图，与相似，且，直接写出结果：________，________； （2）如图，把（1）的平行四边形分别改为矩形和矩形如图放置，．求的值并判断直线与的位置关系，说明理由； （3）小组在探究中发现，在（2）中，若，，连接，（如图），将矩形绕点旋转任意角度，此时的值可能是一个定值．如果的值是定值，请你求出这个定值；如果不是，请说明理由． 101．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如果三角形的两个内角和满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，在中，，，，点是上一点，连接，若是准互余三角形，则的长为　　　　　　　． 102．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，如图1，已知点，点在线段上，且，若点在轴的正半轴上，连接，过点作，点是射线上一点，过点作轴，垂足为点． （1）求证：； （2）如图2，连接，若与相似，请直接写出点的坐标； （3）如图3，若点坐标为．过点作轴，且和的延长线交于点，若点关于直线的对称点正好落在线段上．求点的坐标． 103．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，在矩形中，，．对角线与交于点，点是边上的一个动点，连接，作，且射线与边交于点． （1）求证：； （2）判断是否为定值，若是，则求出：若不是，请说明理由； （3）连接，，若，求的长． 104．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在中，，，D为边上一点，连接，过点C作交于点E，交于点F，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 105．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在菱形中，，点是上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接与交于点，若，则　　　　　　　　　　． 106．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，在正方形中，为上一点，且分别为上的动点，且，若，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 107．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究： 【问题背景】如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处； （1）【特例探究】如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：； （2）【深入探究】如图3，若把正方形 改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与间也存在着一定的数量关系，请求出与之间的数量关系式； （3）【拓展探究】如图，若把正方形 改成菱形，且，，其他条件不变，当  时，请求出  的长． 108．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，在中，点是边上一点，，点在的延长线上，，连结交于点，那么=　　　　． 109．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）在矩形中，点E和点F分别在边，上，连接与交于点P． （1）如图1，若， ①求证：；②若，求的值； （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，连接AP，若，直接写出的长． 110．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，中，，是边上的中线，联结，过重心的直线将分成周长相等的两部分，这条直线分别与边相交于点E、F，那么线段的长为　　　　　　． 111．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 112．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图1，已知中，顶点、在直线右侧，满足． （1）求证：； （2）连接，求的值； （3）如图2，过点作于点交边于点．当，且点在线段延长线上时，求的长． 113．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，点A，B，C在反比例函数的图象上，且直线经过原点，点C在第二象限，连接并延长交x轴于点D，连接，若的面积为5，且，则　　　　　　　　　　　　　． 114．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，在中，，，，的顶点D在上运动，且，，F为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为　　　　　 ；当时，线段的长为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 115．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，正方形中，点是的中点，连接，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于点．以为边长作正方形，连接并延长，分别交于点，，连接．则的值为　　　　　　　　　　　． 116．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以为邻边作平行四边形． （1）证明：平行四边形是菱形； （2）如图2，若，连接、、， ①求证：； ②若为中点，，、分别与相交于点、，求的值． 117．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，、是平行四边形对角线上两点，，连结、并延长，分别交、于点、，连结，则的值为　　　　　　． 118．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，中，，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则　　　　　． 119．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在矩形中，连接，过作于．交于点，． （1）求证：； （2）若，求的长； （3）点为线段延长线上．连接，若，求的长． 120．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 121．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，在中，，，，是边上的一个动点，从点出发以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度向终点运动，过点作于点，连接，设运动时间为． （1）请说明四边形是否为平行四边形？请说明理由； （2）当是直角三角形时，求出的值． 122．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． （1）如图①，在等边中，点是边上一点，连接，以为边作等边，连接．则与的数量关系是：　　　　　　； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为8，，求正方形的边长． 123．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求___________（用含的式子表示）；并直接写出的取值范围___________． 124．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    （1）如图1，求证：； （2）如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 125．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC延长线上一点，连接AP，分别交BD，CD于点E，F，过点B作BG⊥AP于G，交线段AC于H． （1）若∠P＝25°，求∠AHG的大小； （2）求证：AE2＝EF•EP． 126．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，是等边三角形的边上一点，且现将折叠，使点与点重合，折痕为，点、分别在和上，且的值为　　　　　． 127．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，等腰的面积为，，，作，．点是线段上一动点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，是线段的中点．那么，当点从点运动到点时，点的运动路径长为　　　　　． 128．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． （1）当，时， ①求证：； ②连结，，若，求的值； （2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，，若，，则当为何值时，是等腰三角形． 129．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点和点，点是的中点，点是线段、上的动点，直线截，所得的三角形与相似，那么点的坐标是　　　　　． 130．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，已知边长为10的正方形，点E是边上一动点（与点不重合），连结，点G是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）求当为何值时，的面积最大，最大为多少． 131．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： [观察与猜想] （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，的值为 　     　； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 　     　； [类比探究] （3）如图3，在中，，， ，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，． ①求的值． ②连接，若，直接写出的长度． 132．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，在正五边形中，对角线与交于点M，若，则的长为　　　　　　． 133．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则　　　　　　． 134．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，点G在边上，点E在边的延长线上，，射线交对角线于点H，交线段于点F． （1）求证：； （2）若，，求线段的长； （3）若，求的值（用含n的式子表示）． 135．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）（多选）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当时，             ；② 当 时，                       （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长. 136．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． （1）如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； （2）如图②，当时，若，求正方形的边长； （3）如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 137．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，求的值． 138．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，矩形中，，，对角线，相交于点O，点P为边上一动点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，连接交对角线于点E，连接，当时，求的值． （3）如图3，若以为折痕，将折叠，点A的对应点为点M，线段与相交于点N，当为直角三角形，请直接写出的长． 139．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，则　　　　　　　　　　　　　（用含a、b、m的代数式表示）． 140．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图1，在矩形中，点E为射线上一点，点B关于直线的对称点为点F，射线交直线于点M． （1）已知，． ①如图2，若点C与点M重合，求的长； ②若，求的长； （2）延长交直线于点N，连接，当为直角三角形，（）时，求的值．（用含m的代数式表示） 141．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交y轴、x轴于点A和点B，点在x轴上，点D在y轴正半轴上，使得，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点E为直线上一点，直线与直线交于点F，若，求点E的坐标； （3）若点P、Q分别是直线和直线上的点，满足，且使得与相似，请求出点P的坐标． 142．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）【问题情境建构函数】 （1）如图1，在矩形中，，是的中点，，垂足为．设，，试用含的代数式表示 【由数想形   新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图象如图2所示．若取任意实数，此时的函数图象是否具有对称性？若有，请证明，并在图2上补全函数图象． 【数形结合深度探究】 （3）（I）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论： ①函数值随的增大而增大； ②函数值的取值范围是： ③存在一条直线与该函数图象有四个交点； ④在图象上存在四点，使得四边形是平行四边形． 其中正确的有___________．（写出所有正确的序号） （II）若将（1）中的“改成“”，此时关于的函数表达式是___________；一般地，当取任意实数时，利用数形结合思想，直接写出满足不等式的的取值范围___________．（答案用含的代数式表示） 143．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，点，，，，…，在射线上，点，，，，…，在射线上，，，，，…，为阴影三角形，若，的面积为1、4，则面积小于的阴影三角形共有　　　　　个． 144．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图1，在中，E为边上一点，交于D，延长，相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，若是以为底的等腰三角形，，求的值； （3）如图2，在中，，D为直线下方一点，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，若，求的长． 145．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，中，，D是的中点． （1）如图②，延长至点E，使，延长交于点F，当时，直接写出的值； （2）如图①，延长至点E，使，延长交于点F，证明（1）中的结论仍然成立． （3）如图③，G是边上一点，，延长至点E，使，延长交于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）． 146．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）连接．点为反比例函数的图象上一点，连接．若，求点的横坐标； （3）过点作互相垂直的直线，分别交反比例函数的图象于点（点异于点），直线交轴于点．若，求点的坐标． 147．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，，点（A点在C点的左侧），连接，过点A作的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知，直线交x轴于点E． （1）填空：点A的坐标为________，点D的坐标为________，直线的解析式为________； （2）直线上有一点M，设点M的横坐标为m，若与相似，求m的值； （3）在直线上找一点N，直线上找一点P，直线上找一点Q，使得四边形是菱形，求点N的坐标． 148．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）中，，，过点A作直线，使，点D在直线上（不与点A重合），作射线，将射线绕点B顺时针旋转后交直线于点E． （1）如图1，点D在射线上，， ①求证：；②求证：； （2）如图2，点D在射线上，，线段，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明． （3）若，，，请直接写出线段的长． 149．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）【综合与实践】 【认识研究对象】教材121页给出了如下定义：如图1，如果点把线段分成两条线段和，且，则我们称点为线段的黄金分割点．类似，我们可以定义：如果一个三角形中，其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方，那么就称该三角形为“类黄金三角形”． 如图2，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 【探索研究方法】如图3，已知是“类黄金三角形”，且．若，小滨同学过点作于点，发现了两个结论： ①； ②点是边的黄金分割点； 请给出证明． 【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现：类似问题，可以通过构造相似三角形等方法解决．于是开展新的探究，请解决以下问题： 如图4，已知是“类黄金三角形”，且．若，，求的长． 150．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，、均在上方，且在的左侧，当点在上运动时，作等腰，则，两点间距离的最小值为　　　　　　　　　　　． 151．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）【综合与实践】 【问题背景】 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当G为的中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请直接写出的长． 152．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，一次函数的图象交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，在轴的正半轴上有一点，且，连接． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）点是线段上的一点，点是轴上的一动点，连接，，，其中．求出的周长最小值及此时点的坐标： （3）在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 153．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，是边长为8的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接． （1）如图1，当点在线段上运动时，证明：； （2）如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当时，求的值； （3）如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 154．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，矩形的两边在坐标轴上，且，，，与交于点，且四边形的面积为3，则经过点的双曲线的解析式为　　　　　　　　　　　． 155．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）以的边为边向外作等边，以边为底向外作等腰．其中，．取的中点，连接，．    （1）如图1，若，此时与的位置关系是_____；线段与线段的数量关系是_____． （2）如图2，若为任意的锐角三角形．请猜想线段与线段的数量关系．并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）如图3．若中，，，，取的中点．动点在线段上运动，点为平面上任意一点，满足．请探究的最小值是多少．并说明你的理由． 156．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，点，分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，延长交轴于点，连结，则点坐标为　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　． 157．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知在平面直角坐标系中，正方形的边长是1，点P为正方形内一动点，若点M在上，且满足，延长交于N，连接． （1）如图1，若点M在线段上，求证：； （2）如图2，在点P、M、N运动的过程中，满足的点M在的延长线上时，求证：； （3）是否存在满足条件的点P，使得PC=？若存在，请求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 158．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点G，连接DG，，点E为DG的中点，连接OE交CD于点F，若，，则DF的长为　　　　　　． 159．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线l：上，过点B作的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C． （1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，与相交于点D． ①若，求证：． ②若，求四边形的面积． （2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与相似？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 160．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）（1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．    ①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________； （2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；    （3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值． 161．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且．若，，则　　　　　　　　． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=3：4，则△ABC与△DEF的周长比为 A. 3：4 B. 4：3 C. ：2 D. 2： 2．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如果，与的面积分别是和，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）与的相似比为1：4，则与的周长比为（       ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 4．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知，且相似比为1：2，则和的周长比为（       ） A. 1：4 B.  C. 2：1 D. 1：2 5．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，与位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则与的周长之比是（       ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶3 D. 1∶9 6．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）已知，若，，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，已知和的相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，将沿方向平移得到，与重叠部分（图中阴影部分）的面积是的面积的．已知，则平移的距离为　　　　　． 9．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）若，且，则和对应边上的中线比为　　　　　． 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，已知中，．如果点P由B出发沿方向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为t（单位：）解答下列问题： （1）当t为何值时，与相似； （2）是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 11．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在矩形中，，点分别从三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． （1）当秒时，S的值是多少？ （2）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似？请说明理由． 12．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝　　． 14．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过　　　　　　　　　　s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 15．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，在矩形中，，．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． （1）当秒时，S的值是多少？ （2）当t等于多少秒时，S的值是； （3）若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 16．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，点D、E分别在的边、的延长线上，，如果，，，那么　　　　　　． 17．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足． （1）求点，点的坐标． （2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设的面积为，点P的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（25-26学年九上·四川资阳·期中）（多选）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M． ①AC与BD之间的数量关系为　     　； ②∠AMB的度数为　     　； 【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数； 【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离． 20．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线过点B交x轴于点C． （1）求直线的关系式； （2）若点P是直线上一动点，，求点P的坐标； （3）若点E是第一象限内一动点，以点C、A、E为顶点的三角形与相似时（与为对应边），请求出符合条件的点E的坐标． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在地面上点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，且测得，那么该古城墙的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，小明为了测量树的高度，在离点米的处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到树梢（点），已知小明的眼睛（点）到地面的高度是米，则树的高度为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 5．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（　　） A. 21.6m B. 6.6m C. 20.6m D. 7.6m 6．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为．若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（       ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D.  8．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为，则像的长为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 　　　　　cm的地方． 10．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，光源P在横杆正上方，在灯光下的影子为，，，，点P到的距离是2.7m，则与间的距离是　　　　　　m. 11．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高． 12．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，在晚上，身高是的王磊由路灯走向路灯，当他走到点时，发现他身后的影子的顶部刚好接触到路灯的底部；当他再向前步行到达点时，发现他身前的影子的顶部刚好接触到路灯的底部．已知两个路灯的高度都是． （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王磊走到路灯时，他在路灯照射下的影长是多少？ 13．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）成都熊猫基地瞭望塔可以看到熊猫基地的全貌，还可以看到339电视塔，成为了成都的新地标，也是去成都观光旅游的新景点．小辉想利用所学知识测量瞭望塔的高度，测量方法如下：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到瞭望塔的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，如图，其中，，三点在同一直线上．已知小辉的眼睛距离地面的高度约为，测得，，请你帮助他求出该瞭望塔的高度．． 14．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） （1）计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； （2）计算路灯A的高度． 15．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）小颖对成都市回澜塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小颖眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出回澜塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 16．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影长为米，旗杆落在地面部分的影长米，另一部分影长落在某一建筑的墙上处，米，求学校旗杆的高度． 17．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．根据上面活动报告，解答下列问题： 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 ．．． ．．． ．．． 反思 ．．． ．．． ．．． （1）利用方案测得旗杆的高度为___________米； （2）请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 18．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长； （2）求手电筒灯泡到地面的高度． 19．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）元通塔位于四川崇州市元通镇，塔体高大、宏伟，高八层，耸立江中特别耀眼，特别引人注目．构造精美，独特，外观特别雄伟、壮观，且修建于1000多年以前，文井江、味江、泊江等三条河流在塔下交汇，景观美不胜收，是四川古建筑的标志性景观之一．暑假期间小张同学所在的实践小组到此进行了一次实践活动，欲测量该古塔的高度，测量过程见下表． 主题 元通古塔高度估测 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；步骤2：将标杆沿着的方向平移22米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米（以上数据均为近似值）． 依据小张实践小组方法所得到的相关数据，请求出元通塔的大致高度． 20．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）文殊院与大慈寺、宽窄巷子一起并称为成都三大历史文化名城保护街区，千佛和平塔就位于成都文殊院中．塔壁上铸999尊浮雕佛像，连同底层中央铜铸释迦牟尼佛像1尊，共1000尊，故得名千佛塔（如图1）．爱好文物的小航决定利用所学相似三角形的知识测量千佛和平塔的高度．如图2，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古塔，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A，F，D在一直线上；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助小航求出该千佛和平塔的高度． 21．（25-26学年九上·四川资阳·期中）如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米． 22．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）（多选）如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G． （1）求证：△CAF∽△CBE； （2）若AF平分∠BAC，求证：AC2＝2AG•AF． 23．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）用硬纸板复制视力表中 0.1，0.2，0.3，0.5，1.0 所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤．    取编号为①②的两个“E”，按图（1）的方式把它们放置在水平桌面上． （1）如图（2），将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点 O 看去，点，，O 在一条直线上为止，这时我们说在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．我们知道，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同，请你利用图（2）写出理论依据． （2）由标准视力表中的，为，可计算出时， ______． 24．（25-26学年九上·四川成都·期中）某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的坐标为（　　） A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4） 2．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，若点的对应点在第三象限，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形(点的对应点分别为点)，已知，，的面积为2，则的面积为（        ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 4．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，与位似，点O为位似中心，且B为的中点，则与的周长比为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，与是点O为位似中心的位似图形，．若，则的值是（     ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（       ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 9．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 10．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，将△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，下列说法错误的是（       ） A. △ABC与△DEF是位似图形 B. △ABC 与△DEF是相似图形 C. △ABC与△DEF的周长比是1∶2 D. △ABC与△DEF的面积比是1∶2 11．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若与关于点O位似，且，则点的坐标为（　　） A.  B.  C. 或 D. 或 12．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，已知，任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，得，则下列说法正确的有（       ） ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长比为1：2；④若的面积为4，则的面积为1． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，五边形和五边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则五边形和五边形的面积比为（       ）． A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点O为位似中心，其位似比，若点，则其对应点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大到原来的4倍，得到．若点A的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 17．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知与是相似比为的位似图形，点为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，且与在点的两侧，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（       ） A.  B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C.  D.  20．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4）若点A的坐标为（5，6），则点A′的坐标为 　　　． 21．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是　　　　　　． 22．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，． （1）画出绕点O顺时针旋转后得到的； （2）在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为； （3）直接写出线段与线段的位置关系与数量关系． 23．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）如图，，，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得． （1）在图中第一象限内画出符合要求的；（不要求写画法） （2）计算的面积； （3）内一点，内与点P对应的点的坐标为______． 24．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为． （1）在y轴上确定一个点P，使的值最小（要求保留画图痕迹），最小值是 ___________． （2）画出关于原点的位似，要求新图形与原图形的位似比为，并写出所画图中点的坐标（只需画出一个满足题意的即可）． 25．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，与位似，点为位似中心，已知，若的周长为5，则的周长为　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）与为位似图形其位似中心为P，则的坐标为　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，已知OD：OA＝1：2，若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 30．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）．    （1）将先向左平移4个单位，再向上平移1个单位后得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的． （2）请以O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形，使与的相似比为，并直接写出点的坐标为________． 31．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标； （3）点为轴上一点，求的最小值． 32．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出向下平移3个单位长度得到的； （2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且相似比为； （3）若是边上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为，请写出点的坐标． 33．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）在平面直角坐标系中，已知，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小，则点A对应点的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　 34．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______； （2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______； （3）△A2B2C2的面积是_______平方单位． 35．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在平面直角坐系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的（点，，的对应点分别是，，）； （2）以原点为位似中心，在轴的右侧画出．使与位似，且相似比为，请写出点的坐标（点，，的对应点分别是，，）； （3）请在图中画出与的位似中心，并写出点的坐标． 36．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）将向左平移5个单位长度后得到的，请写出的坐标； （2）以原点为位似中心，在第三象限画出，使它与的位似比为2； （3）点P是x轴上一点，当的周长最小时，请直接写出P的坐标． 37．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数可用点表示，比如，复数对应复平面内点；复数对应复平面内点．若点A对应复数，点B对应复数，则线段的长是　　　　　　；以原点O为位似中心，作的位似图形，且点A对应点，若与的位似比为，则对应的复数是　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6．C 7．B 8．C 9．B 10．D 11．B 12．A 13．D 14．A 15．C 16．C 17．C 18．C 19．D 20．【答案】 【分析】 本题考查比例的知识，解题的关键是掌握比例的性质，根据题意，设，依次求出，，代入计算，即可． 【详解】 解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 21．【答案】12.5 【分析】 根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离． 【详解】 设甲、乙两地间的实际距离为xcm，则： 25：x=1:50000 解得：x=1250000． 1250000cm=12.5km． 故答案为：12.5． 【点睛】 本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题． 22．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质的应用，能根据比例的性质求出，是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 23．【答案】6 【分析】 本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】 解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 24．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据比例关系，变形为，即可解答． 【详解】 解：由，可得， ， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．直接由黄金比值列式计算即可． 【详解】 解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，的长度为20cm， ∴， 故答案为：． 26．【答案】6 【分析】 本题主要考查比例的性质，设，得，代入，求出k的值即可得出a． 【详解】 解：设，得， ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：6． 27．【答案】7 【分析】 根据比例的基本性质得到，代入原式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴，代入， ∴=7， 故答案为：7． 【点睛】 本题考查了比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积用b表示出a是解题的关键． 28．【答案】 【分析】 该题考查了比例的性质，根据已知比例关系，利用分式运算性质，将所求表达式进行化简． 【详解】 解：由，可得． 则． 故答案为：． 29．【答案】﹣1或3﹣ 【分析】分AC＞BC、AC＜BC两种情况，根据黄金比值计算即可． 【详解】点C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC时，ACAB1；当AC＜BC时，AC=ABAB=3． 故答案为1或3． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，掌握黄金比值是、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 30．【答案】36 【分析】 本题考查了比例问题． 根据比例关系，将a、c、e用b、d、f表示，然后代入所求表达式． 【详解】 解：由，得，，， 所以． 故答案为：36． 31．【答案】厘米 【分析】 本题考查了比例的性质，二次根式的化简，根据比例中项的定义，若是和的比例中项，则． 【详解】 解：由题意，所以 ． 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 根据黄金分割点的定义， 是较长线段得到，代入数据即可得出的长． 【详解】 解：∵是的黄金分割点，且，， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割点的概念．牢记黄金分割比是解题关键． 33．【答案】 【分析】 本题考查了利用比例的基本性质，将、用、表示，再通过乘法分配律，结合的值整体代入求解 ，体现了“用代数式表示关系”和“整体代入”的数学思想，简化计算过程． 【详解】 解：， ，， ， ， ． 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】 ∵点P是线段黄金分割点， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键． 35．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 36．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割的应用等知识点，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义得到，求出，即可求解． 【详解】 解：点C是线段上靠近点A的黄金分割点， ∴(米)， ∴(米)， ∴主持人与点A的距离为米， 故答案为：． 37．【答案】6 【分析】 本题主要考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程，代值计算即可． 【详解】 解；∵c是a、b的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：6． 38．【答案】.75 【分析】 本题考查比例性质，熟记比例性质是解决问题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，代入所求代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：由，设，（其中）， 故答案为：． 39．【答案】12 【分析】 本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】 解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：12． 40．【答案】4 【分析】 本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据比例的基本性质得到，，，代入原式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∴． 故答案为：4． 41．【答案】.5 【分析】 本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是关键．由已知比例关系可得各分子与分母的对应关系，代入所求式子即可化简得出结果． 【详解】 解：∵， ∴，，，， 则， 故． 故答案为：． 42．【答案】.4 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，代入原式化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 43．【答案】 【分析】 此题考查了黄金分割的定义，根据定义即可求解，解题的关键是正确理解，线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 【详解】 ∵， ∴根据黄金分割的定义得：， ∴，整理得：， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B），则，再根据即可求解． 【详解】 解：由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B）， ∴线段是较长部分， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由可设，然后代入化简即可． 【详解】 由可设， 则． 故答案为 ． 46．【答案】 【分析】 本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．根据黄金分割比即可求解． 【详解】 解：由黄金分割的知识可得：． ∵， ∴． 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，分式的求值． 设，代入化简即可． 【详解】 解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 48．【答案】5 【分析】 因为四条线段成比例，可根据前两条线段，确定其比例，进而求出x的值． 【详解】 解：∵m：n=2：8=1：4， ∴x：y=1：4， ∵y=20， ∴x=5， 故答案为：5． 【点睛】 本题主要是要掌握比例线段的性质，属于基础知识． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查比例的性质，设，得，代入代数式求值即可． 【详解】 解：设（），则，，， ∴， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】 解：点P是线段AB的黄金分割点， 故答案为：． 51．【答案】 【分析】 本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】 解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 52．【答案】6 【分析】 本题考查比例线段的定义，根据成比例线段得到比例关系，进而通过等式求解． 【详解】 解：∵线段 a， b， c， d 成比例线段， ∴根据比例线段的定义，有，即． ∴． 代入，，，得， 即 ， ∴， 故答案为：6． 53．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由比例关系通过交叉相乘得到，再代入所求表达式计算即可． 【详解】 解：由， 交叉相乘，得， 即． 代入， 得， 故答案为：． 54．【答案】或 【分析】 分情况讨论当时、当时，利用比例的性质求解即可． 【详解】 ① 当时， ； ②当时， ； 或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 55．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键，根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 56．【答案】 【分析】 根据题意先列出点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，然后表示出，，从而代入得到关于的分式方程，求解并检验即可． 【详解】 解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是上述分式方程的解， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查比例线段的拓展应用，理解题中的新定义，准确根据线段比例列出相应方程并求解是解题关键． 57．【答案】（）；（） 【分析】 本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键． （）设，则，，，再代入分式计算即可； （）设，则，，，再代入中求出的值即可求解； 【详解】 解：（）设，则，，， ∴； （）设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 58．【答案】一、二 【分析】 本题主要考查了等比性质的应用和一次函数图象的性质，熟练掌握等比性质的分类讨论及一次函数图象与系数的关系是解题的关键．先利用等比性质分“”和“”两种情况求的值，再代入函数分析图象经过的象限，找出公共象限． 【详解】 解：， 情况1：若， ∵ 由等比性质， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、三象限， 情况2：若， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 函数为， ∴ 函数过第一、二、四象限， 综上，函数一定经过第一、二象限， 故答案为：一、二． 59．【答案】 【分析】 将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解． 【详解】 解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似， ∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽， ∴， 解方程得，(舍弃) 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键． 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A 11．A 12．A 13．B 14．【答案】5.4 【分析】 由题意利用平行线分线段成比例定理列出比例式，以此进行计算即可得出答案． 【详解】 解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝， ∴， 解得 CN＝3.6， ∴ND＝CD﹣CN＝9﹣3.6＝5.4 故答案为：5.4． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 15．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入数值即可求解． 【详解】 解：， ，而， ， 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】 解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 17．【答案】6 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是根据定理得出线段的比例关系，进而代入已知条件求解． 【详解】 解：∵， ∴（平行线分线段成比例定理）． 已知，， 则， 解得． 故答案为：6． 18．【答案】10 【分析】 根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题主要查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例的性质解答，即可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 20．【答案】 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】 解：∵两条直线被三条平行线所截， ∴， 解得：． 故答案为：． 21．【答案】2 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，尺规作图等，先证明，再根据平行线分线段成比例得出． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据作图可知：是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 22．【答案】（1） 证明：由菱形可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即．      【分析】 （1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 23．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答． 根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题． 【详解】 ∵ ∵，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 24．【答案】3 【分析】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行线分线段成比例、几何图形面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 连接，易证是中点，进而可表示出点坐标，求出反比例函数表达式，设出点坐标，再表示出点坐标即可得解． 【详解】 如图，连接， ， ， ， ． 为中点，为中点． ． 点坐标为， 点坐标为． 反比例函数表达式为． 设点的坐标为， 点的坐标为． 点的坐标为． ，． ∴点始终在直线的下方， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 25．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例；过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作于点，根据已知得出，是等腰直角三角形，进而求得，同理可得是等腰直角三角形，则，设，则，则，根据，，分别求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则，则， ∵，则 ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴，即 解得： ∴ 在中， 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．D 2．B 3．C 4．C 5．C 6．D 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．A 13．A 14．A 15．D 16．D 17．D 18．C 19．B 20．B 21．D 22．A 23．B 24．D 25．B 26．C 27．A 28．D 29．D 30．D 31．D 32．C 33．D 34．C 35．D 36．A 37．A 38．D 39．【答案】∠ADE=∠C或∠AED=∠B或（任选其中一个就可以） 【分析】由∠A是公共角，且DE与BC不平行，可得当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ACB． 【详解】① 补充∠ADE=∠C，理由是： ∵∠A是公共角，∠ADE=∠C， ∴△ADE∽△ACB． 故答案为：∠ADE=∠C． ② 补充∠AED=∠B，理由是： ∵A是公共角，∠AED=∠B， ∴△ADE∽△ACB． ③ 补充，理由是： ∵∠A是公共角， ∴△ADE∽△ACB． 故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握判定定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 40．【答案】（1）∵∠DBC=∠A，∠C=∠C， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD=2. 【分析】 （1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】 证明：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴CD=2． 【点睛】 考核知识点：相似三角形的判定和性质. 41．【答案】 【分析】 由题意得，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】 解：由题意得，直线为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 42．【答案】（1）平行四边形ABCD中， 又 ； （2）DE＝12cm． 【分析】 （1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可. 【详解】 （1）略 （2）平行四边形ABCD中， 由题（1）得 ，即 解得：. 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键. 43．【答案】5或 【分析】 作于M．设．分两种情形：当时；当时，结合角平分线的性质，相似三角形的判定和性质分别求解即可． 【详解】 解：过点D作于M．设． 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得． 即； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：5或． 【点睛】 本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 44．【答案】证明：， ，， ， ， 又， ． 【分析】 根据可推出，，进一步得出即可证． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查相似三角形的证明，熟知两边成比例和夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 45．【答案】（1）证明：∵△AEB∽△DEC， ∴∠B＝∠BCD， ∴AB∥CD， 即AB∥CG， ∵CD＝2AB，CG＝CD， ∴AB＝CG， ∴四边形ABCG是平行四边形；     （2）      【分析】 （1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝CD，可得AB＝CG，即可证明； （2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3， ∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3， ∵∠GAD＝90°， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： BE＝， 即BE＝， ∵△AEB∽△DEC， ∴， ∴CE＝2， ∴BC＝BE+CE＝3， ∴AG＝BC＝3． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质． 46．【答案】 【分析】 根据，即可求得，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得，即可求得，即可解题．本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键． 【详解】 解：， ∴，， ，， ， ， ∴， ， ． 故答案为：． 47．【答案】（1） 证明：∵DEBC，DFAC， ∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF， ∴△ADE∽△DBF．     （2）4      【分析】 （1）根据平行线的性质得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，即可证明△ADE∽△DBF； （2）根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵△ADE∽△DBF，， ∴， ∵， ∴， ∴△ADE的面积是4． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． 48．【答案】 【分析】 证明，，同理可得，得到，把已知数据代入计算即可． 【详解】 解：， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与证明，正确理解题意是解题的关键．证得，进而即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 50．【答案】 【分析】 连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】 解：连接，如图所示， 由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键． 51．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质， （1）根据角平分线的性质可得，且，可证，由此即可求解； （2）由（1）可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得， ∴，则（负值舍去）， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得， ∴． 52．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是确定相似三角形，并证明三角形相似： （1）先证明，得到，等量代换得到，推出，得到，即可； （2）证明，推出，再根据，代换后即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 53．【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）；（3） 【分析】 （1）证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，得出，即可求解； （3）过点作交的延长线于点，证明，得出，继而证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 （1）略 （2）四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得：， ； （3）过点作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 54．【答案】（1）     （2）     （3）小明的测量方案不合理， ， 小明的测量方案不合理．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定定理与性质，平行线分线段成比例，平均数熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解题的关键． （1）根据题意证明，设，则，，结合相似三角形性质求解，即可解题； （2）连接交于点，根据平行线分线段成比例，推出，证明，利用相似三角形性质先求出，，进而即可求出球门高度； （3）根据平均数概念求出球门高度的平均值，再与参考值比较分析，即可解题． (1) 小问详解： 解：由题意和光的反射原理可知， ， ， 设，则， ， 米， 解得； (2) 小问详解： 解：连接交于点， 由题知， ，， ，， 爸爸身高米，小明眼高米， 解得， ， 解得； (3) 小问详解： 略 55．【答案】（1） 证明：四边形为矩形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ∴， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了矩形性质，全等三角形性质和判定，勾股定理，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据矩形性质证明，结合全等三角形性质进而证明，再根据全等三角形性质分析即可证明； （2）利用矩形性质，以及勾股定理求出，证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形为矩形，， ，，， ∴， ， ， ， ， ， ． 56．【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ；     （2） 证明：由（1）知，， 四边形是正方形， ， 根据勾股定理得 ， 平分， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，关键是证明三角形的全等与相似． （1）利用正方形的性质证明，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，从而得证； （2）先根据勾股定理得，利用角平分线的性质结合（1）所得的，证明，得到，根据相似三角形的对应边成比例列式，再等量代换即可证得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 57．【答案】1：5 【分析】 作EF//AB交CM于点F，先证明△DMN≌△EMF，得，MF＝MN＝NF，设，由＝，得CF＝NF＝2MF，可推导出，再由△CEF∽△CAN推导出，则，即可求得． 【详解】 解：如图，作EF//AB交CM于点F， ∵∠MDN＝∠MEF，DM＝EM，∠DMN＝∠EMF， ∴△DMN≌△EMF（SAS）， ∴，MF＝MN＝NF， 设， ∵DE是△ABC的中位线， ∴AE＝CE， ∵， ∴△CEF∽△CAN， ∴＝=，＝＝＝， ∴CF＝NF＝2MF， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1：5． 【点睛】 此题重点考查三角形的中位线、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等高三角形面积的比等于底的比等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 58．【答案】 【分析】 根据题意可判断△ABC与△GEC相似，且面积比为2:1，根据相似三角形的性质可知BC与EC的比，已知BC=2，可算出EC，最终算出BE的长，即得到△ABC平移的距离． 【详解】 解：∵根据题意，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF， ∴AB∥EG，故△ABC∽△GEC， 又∵ △ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半， ∴,故BC∶EC=， ∵BC=2， ∴EC=， ∴△ABC平移的距离为BE=BC－EC=2－， 故答案为2－． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，掌握相似三角形的判定和性质、平移的性质是解答本题的关键． 59．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 连接，，证明，得到，得到，列出比例式计算即可． 【详解】 解：连接，， 在与中， 由题意，可知： ， ∴，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故答案为：． 60．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴；     （2），      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是： （1）先根据平行四边形、平行线的性质等证明，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证； （2）先利用（1）的结论求出、长度，根据可得出，在中，根据勾股定理可求出的长度，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可曲解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 61．【答案】8 【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，代入数值进行计算即可． 【详解】 解：根据题意得 ， ， ， ， 即 ． 故答案为：8． 62．【答案】8 【分析】 首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，则，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故的长为． 故答案为：8 【点睛】 本题主要考查平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，掌握这些性质及判定是解题的关键． 63．【答案】 【分析】 如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，，先证明，得到，再证明，得到，由此可得当最大时，的值最小，观察图形可得当经过圆心时，可取得最大值，此时，利用勾股定理求出 的值即可求出的值，进而求出答案． 【详解】 解：如图，以为直径作圆，在圆上找一点，使得，连接，， 四边形是正方形， ， ， ， ，即， ， ， ， 当取最大值时，的值最小， 当经过圆心时，最大，令正方形的边长为，则， ， 为最小值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，圆周角定理，利用辅助圆构造相似三角形，找到的比例关系是解题关键． 64．【答案】（1） ① 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是正方形； ②     （2） ，理由：连接， 由旋转性质知， 在和中， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴线段与之间的数量关系为；     （3）      【分析】 本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． （1）① 由和，根据三个角是的四边形是矩形可得四边形CEGF是矩形，再由，即可得证． ② 由正方形性质知、，据此可得，，利用平行线分线段成比例定理即可求解． （2）连接，由两边成比例且夹角相等证得，即可得解． （3）由，，得，从而，设，则，求得，在中求得，代入，即可求得的长． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 知四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴A、G、F三点共线． ∵，点B、E、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴， 则，， ∴得， 解得：，即． 65．【答案】解：（1）∵BE，CD是的高， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴∠ABE=30°， ∴. 由（1）得，即， 又∵， ∴， ∴. 在中，M为BC的中点， ∴， ∴. 【分析】 （1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论； （2）由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而，然后证明，可得，根据中，M为BC的中点，可得，所以DE=DM． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质． 66．【答案】6 【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设正方形的边长为x，则，证明，可得，，在中，利用勾股定理可求出x的值，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】 解：设正方形的边长为x，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中， ∴，即， 解得：， 即，， ∴阴影部分面积为． 故答案为：6 67．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，作交的延长线于点，证明，求出的值，证明，得到，即可． 【详解】 解：作交的延长线于点， 则：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 68．【答案】 【分析】 本题主要涉及反比例函数的性质、矩形的性质以及三角形相似的相关知识．通过设未知数，利用三角形相似得到线段之间的关系，再结合三角形面积公式求出相关乘积，最后根据反比例函数的几何意义求解的值． 【详解】 解：设，则，， 设，， ∵， ∴， ∴， 即 ∴ ∵的面积为， ∴， 即 ∴， ∴， 故答案为：． 69．【答案】10 【分析】 本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∵， ∴，整理得：， 解得：（负根舍去）， ∴； 故答案为10． 70．【答案】（1） 证明：如图，连接， 平分， ； ， ； ， ， ， ， 是的切线．     （2）      【分析】 本题考查了切线的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键。 （1）连接，证明，得到，即可得证． （2）连接，，证明，求得、的长，半径即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，连接，， 是直径，是圆的切线， ； ， ； ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 圆的半径为． 71．【答案】3或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】 解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 72．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．     （2）      【分析】 此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）首先根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质证明即可； （2）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，； ∴； ∴； ∴； 解得：． 73．【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ； ， ；     （2）      【分析】 本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握并会应用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由及平行四边形的性质得出，再由，即可证明； （2）由得出，将有关数据代入计算，即可求的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，，， ， ． 故答案为：． 74．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，先证明得到，由平行四边形的性质结合已知条件推出，进而得出，即可得出结论． 【详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 75．【答案】（1）证明：， ， ∵四边形为矩形， ， ， ； （2）；（3） 【分析】 （1）根据矩形的性质得，结合，则，证明，即可作答． （2）先由等边三角形的性质得，再结合，得，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）因为，，则 所以，则，得，解得，故．即可作答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】 解：（1）略 （2）∵为等边三角形， ， ， ， ． ， ∴， 即， 解得； （3）， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 76．【答案】（1） 证明：，， ． 又， ．     （2） 解：，理由如下： ， ． ． ．     （3）24      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 77．【答案】（1） 证明：在矩形中，， ． ， ． 在和中， ， ；     （2），      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质求得，再利用得到，然后用判定三角形全等的“”求解； （2）求出，证明，得出，求出的长，再利用矩形面积和三角形面积求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 78．【答案】8 【分析】 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式，得出，是解题关键． 由条件可以得出，可以求出与的相似比为，与相似比为，由相似三角形的性质，就可以求出，从而可以求出． 【详解】 解：矩形是由三个全等矩形拼成的， ， 四边形，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：8． 79．【答案】 【分析】 先证明△APM∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出，然后设PM=3x，PQ=2x，利用方程思想即可解决问题. 【详解】 解：如图，设PM交AD于点E， ∵四边形PQNM是矩形，AD⊥BC，∴PM∥BC，AD⊥PM， ∴△APM∽△ABC， ∴， ∵，∴设PM=3x，PQ=2x，则AE=80－2x， ∴，解得x=20，即PM=60mm. 故答案为60mm. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 80．【答案】.25 【分析】 根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到，，计算出，证出，得到．此题重点考查角平分线的尺规作图、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，推导出是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵由作图可知，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 81．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，证明，得到，设，则，，，证明得到，，再根据，求出的值，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：四边形是边长为的正方形， ， ，， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 82．【答案】 【分析】 由题意得，直线为线段的垂直平分线，由勾股定理得，进而可得，证明，可得，即，求出，即可得出答案． 【详解】 解：由题意得，直线为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图基本作图、勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 83．【答案】（1）     （2）学校旗杆的高度为15.6米      【分析】 本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）根据已知条件推出，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 故答案为：， (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（米）， 答：学校旗杆的高度为15.6米． 84．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定． 连接，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】 解：连接，如图， 四边形为菱形， ，， ， ， ∵， 四边形为平行四边形， 由，可设，，则， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即的值为． 故答案为：． 85．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练运用以上知识点是解题的关键． （1）先根据等边对等角得，再根据垂直平分线的性质得，可得，从而可得结论； （2）作于H，由，可得，可得，由三角形的面积可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，再证明得，代值计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 86．【答案】（1） 证明：∵平行四边形ABCD中，点О是对角线AC中点， ∴OA=OC， ∵EFAC， ∴EF是线段AC的垂直平分线， ∴AF=CF，AE=CE， 在等腰三角形AFC中，EOAC，OA=OC， （三线合一）， 又平行四边形ABCD， ， ， ∴AF=AE=CE=CF， 四边形AECF是菱形．     （2）      【分析】 （1）由平行四边形的性质知OA=OC，再由EFAC推出EF是线段AC的垂直平分线，得到AF=CF，AE=CE，再由等腰三角形三线合一的性质得出，再利用平行线的性质推出，证出AF=AE=CE=CF，即可得到四边形AECF是菱形； （2）先由AF平分，AF=CF，推出，结合推出，进而推出，代入求解即可求出AD的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵AF平分， ， ∵AF=CF， ， ， 又， ， ， ∵CF=5，DF=2， ∴CD=7， ， ． 【点睛】 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定，垂直平分线的性质、等腰三角形三线合一、相似三角形的判定和性质等知识，涉及知识点较多，难度一般，解题方法不唯一，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 87．【答案】（1）证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C. 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC. （2）AP的长为或6. 【分析】 （1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC． （2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论． （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长； （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP. 【详解】 （1）略 （2）在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5. ∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ. （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示， 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴，即，解得：. ∴. （II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示, ∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P. ∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A．∴BQ=AB． ∴AB=BP，点B为线段AB中点． ∴AP=2AB=2×3=6. 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6. 88．【答案】 【分析】 根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答． 【详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵AE=2cm， ∴BE=AB-AE=6-2=4（cm）， ∵G是EF的中点， ∴EG=BG=EF， ∴∠BEG=∠ABD， ∴∠BEG=∠BDC， ∴△EBF∽△DCB， ∴， ∴， ∴BF=6， ∴EF=（cm）， ∴BG=EF=（cm）， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 89．【答案】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE， ∴∠AFE=∠AGC=90°， ∵∠EAF=∠GAC， ∴∠AED=∠ACB， ∵∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ABC， （2）． 【分析】 （1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC； （2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解． 【详解】 （1） 略 （2）由（1）可知：△ADE∽△ABC， ∴ 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°， ∴∠EAF=∠GAC， ∴△EAF∽△CAG， ∴， ∴= 90．【答案】6或12． 【分析】 此题可以分为当点P在边AB上时与当点P在边AB的延长线上时去分析，由PM∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CM的长． 【详解】 如图1，当点P在边AB上时， ∵AB＝6，AC＝9，AP＝2， ∴BP＝AB−AP＝6−2＝4， ∵PM∥BC， ∴， 即： ∴CM＝6； 如图2，当点P在边AB的延长线上时， ∵AB＝6，AC＝9，AP＝2， ∴BP＝AB＋AP＝6＋2＝8， ∵PM∥BC， ∴， 即：， ∴CM＝12； ∴CM的长为6或12. 故答案为6或12. 【点睛】 本题考查的是平行线，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键. 91．【答案】（1）     （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即．      【分析】 本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （2）分别证明，，根据相似三角形的性质证明． (1) 小问详解： 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴ ，即， 解得； (2) 小问详解： 略． 92．【答案】24 【分析】 根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答． 【详解】 解：设正方形零件的边长为a cm，如下图． ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴. ∵AD是高， ∴， ∴， 即正方形的边长为24cm． 故答案为：24． 【点睛】 本题考查综合考查相似三角形判定，性质的应用，正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 93．【答案】 【分析】 首先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AOE（AAS），即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】 解：连接EF交AC于O， ∵四边形EGFH是菱形， ∴EF⊥AC，OE=OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB， 在△CFO与△AOE中， ， ∴△CFO≌△AOE（AAS）， ∴AO=CO， ∵AC==， ∴AO=AC=， ∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°， ∴△AOE∽△ABC， ∴， ∴， ∴AE=． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解题的关键． 94．【答案】45 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质求出，推出，，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：45． 95．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的判定； （1）根据两个三角形中两个角相等，即可得到三角形相似； （2）根据等腰三角形的性质得到边长，根据（1）中三角形相似得到边的比例进而即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）易得：， 又∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 即， ∴． 96．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质以及三角形面积，解题的关键是证明，推出是解题的关键．连接，过点作于，先证，则△△，△△，再推出，推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题． 【详解】 解：连接，过点作于，如图所示： ，， ， 又∵， ， ，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 一定，当最大时，△的面积最大， 时，最大， 即当时，△的面积最大，最大值， △的面积的最大值， 故答案为：． 97．【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 【分析】 【详解】 （1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴即， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用． 98．【答案】（1）；     （2） （1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度， 故（1）中的两个结论仍然成立；     （3）或      【分析】 （1）先依据和均为等腰直角三角形的条件，得到、、，通过同减公共角得出，即可证明，得出，同时由相似三角形对应角相等得到，结合对顶角相等与三角形内角和定理，推导出直线与所夹的锐角等于等腰直角三角形的底角； （2）无论绕点旋转到任意位置，等腰直角三角形的边长比例关系始终保持不变，且通过同减公共角依旧能推导出，因此的相似关系不会随旋转角度发生改变，依旧能由相似三角形的性质得到，同时沿用对应角相等、对顶角相等与三角形内角和定理，证得与所夹的锐角为，因此（1）中的两个结论仍然成立； （3）先根据等腰直角三角形的边长与勾股定理算出的长度为，再结合所在直线垂直于的条件，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，在中用勾股定理算出的长度为，同时结合旋转的位置特性分两种情况计算的长度，第一种是垂足在线段上时，第二种是垂足在线段的延长线上时，最后直接套用前面已证的的结论，分别算出两种情况对应的长即可． (1) 小问详解： 解：① 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ② ∵， ∴，即， 又∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：已知，，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 分两种情况讨论： 情况一：，垂足在线段上，如图： ∵，为等腰直角三角形， ∴为等腰斜边的中线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由（2）的结论，得：； 情况二：，垂足在线段的延长线上，如图： 同理可得：，， ∴， 由（2）的结论，得：； 综上，的长为或． 【点睛】 旋转类几何题，优先抓旋转不变性：旋转前后对应边长度、对应角大小不变，这是找全等或相似的核心；共顶点的两个等腰直角三角形，优先考虑“手拉手模型”，快速锁定全等或相似关系；递进式大题，后面的小问优先套用前面已经证明的通用结论，无需重复推导，简化计算；无图的拓展计算，务必注意旋转的多位置情况，避免漏解． 99．【答案】（1）点的坐标为点的坐标为；     （2）；     （3）P点的坐标为或．      【分析】 （1）利用因式分解法解方程即可求解； （2）证明，求得，再求得点的坐标为，据此即可求解； （3）先求得直线的解析式，设P点坐标为，分①和②两种情况讨论，利用相似三角形的性质分别列式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：解方程， 解得或， ， ，， 点的坐标为，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：，， ， 又点的纵坐标是3， ，， ， ， ， 又∵在中， ， 又， ， ， ， 又∵四边形为矩形， ， 点的坐标为， 将代入到双曲线方程中得 ∴解得 (3) 小问详解： 解：存在，理由如下， 由题意得：，， 在中， ，， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设P点坐标为， ①， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， 点坐标为； ②， 则， ， ， ， 解得或， 又因为P点在直线的右侧， 点坐标为， 综上所述：P点的坐标为或． 【点睛】 本题考查的是一次函数与反比例函数的综合运用，涉及到求函数解析式、相似三角形的判定和性质、解一元二次方程、勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 100．【答案】（1），     （2） 解：，，理由如下： 四边形和四边形是矩形， ，， ，即， ， ， ， ，，即， 如图所示，延长交于点，交于点， ，， ， ， 即；     （3）的值是定值，这个定值为      【分析】 （1）证明，再结合三角形内角和定理即可得证； （2）延长交于点，交于点，证明，结合三角形内角和定理即可得证； （3）将矩形绕点旋转任意角度，连接，，设与、分别相交于点、，证明，进而结合三角形内角和定理证明，再由勾股定理计算即可得出结果． (1) 小问详解： 解：与相似， ， ， ，即， ， ，， ， ， 如图所示，设与相交于点， ，， ，即， ； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的值是定值，这个定值为； 如图所示，将矩形绕点旋转任意角度，连接，，设与、分别相交于点、， 四边形和四边形为矩形， ，， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 的值是定值，这个定值为． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 101．【答案】或或 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、余角和补角，解决本题的关键是分两种情况讨论． 分两种情况画图说明，① 根据是准互余三角形，可以证明是的平分线，作于点，设，则，在中，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理即可求出的长；② 可以根据是准互余三角形，证明，对应边成比例即可求出的长，进而根据勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：，，， ， ① 如图1， 是准互余三角形， ， ， ， 是的平分线， 作于点， 则，， 设，则， ， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ； ② 如图2， 是准互余三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ； 故答案为：或． 102．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）或     （3）或      【分析】 （1）先由垂直的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，由此即可证明； （2）先求出，进而求出，再求出，再分当时， 当时，两种情况求出的长，进而求出的长即可得到答案； （3）如图中， 过点作 于， 延长交的延长线于，设，则，先证明，推出，由折叠的性质可得，，再证明，推出 进而推出，   在中，根据 ，构建方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时， ， ， ， ； 当时， ∴， ， ， ∴； 综上所述，满足条件的点E的坐标为或； (3) 小问详解： 解：如图2中， 过点作于， 延长交的延长线于F， ∵， ∴， 设， 则， ∵轴， ∴，    ∴，， ∴， ， ∴， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ∴， ∴，    在中， ， ∴ ， 解得 或， 或 ． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 103．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．     （2）是定值，且     （3）2      【分析】 （1）根据得到，根据，得到即可证明． （2）根据得到，证明即可证明． （3）根据得到，，利用勾股定理构造出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 是定值，且，理由如下： ∵矩形中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 故． (3) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 整理得， 解得（舍去） 故的长为2． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相似的性质，勾股定理，解方程是解题的关键． 104．【答案】（1） 证明：∵， ， ∴， 又， ， ， ， ， ∴．     （2） 证明：中， ， ， ， ∴， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 即；     （3）      【分析】 （1）由推得，结合即可证明，再根据相似三角形的性质证明即可； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（1）、（2）得：， ， ， 即， ， ， ， 中， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】 本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 105．【答案】 【分析】 延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，由菱形的性质及，可证，进而可得，设菱形的边长，，则，，由旋转可知：，，进而可证得，得，，易知，可得，则，再证，可得，进而得，在中，则，据此可得，整理得，可得，，即可求解． 【详解】 解：延长，交延长线于，在上截取，连接，，过于，     ∵四边形是菱形， ∴，， 则，， ∴， ∴，即：， 设菱形的边长，， 则，， 由旋转可知：，， ∴， 又∵，则， ∴， 又∵，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，则， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，， ∴，则， 则， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ， 在中，则 即：， 整理得：， 即：，亦即， 则，（舍去） ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，添加辅助线构造与，再利用勾股定理及相似三角形的性质建立等式是解决问题的关键． 106．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质. 延长到H，使得，连接，证明，得到，则，故当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值即为的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 107．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， 由翻折的性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （）由，则，然后通过折叠性质得到，又四边形是正方形，所以，然后证明，得，由翻折的性质可知，，故有，再由，，所以，从而证明，根据相似三角形性质可得，从而求证； （2）由（）同理可证可：，，，然后通过即可求解； （3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，则，再证明，，，可得，设，由菱形性质可得，所以，由勾股定理可得，定义，然后求出的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，理由如下: 同理可证：，， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得， 即的长为． 【点睛】 本题是考查了正方形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 108．【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例的常用结论，相似三角形的判定和性质定理．过点作得出，再根据已知条件和比例的性质用参数表示线段从而得出线段的比值 ．正确做出辅助线是解题关键 ． 【详解】 解：如图，过点作交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∴， ∴ ． 故答案为： ． 109．【答案】（1） ① 证明：如图1，∵四边形是矩形， ∴， ∵于点P， ∴， ∴， ∴； ②     （2）     （3）      【分析】 （1）① 由矩形的性质得，因为于点P，所以，则，即可证明； ② 由相似三角形的性质得出，得出； （2）证明，得出，证出，，则可得出答案； （3）过点P作于点G，交于点H，作于点L，设，则，由（2）得，得出，证明，得出，证明，得出，则，得出，求出m可得出答案． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长是； (2) 小问详解： 解：如图2，∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的值是； (3) 小问详解： 解：如图3，过点P作于点G，交于点H，作于点L， ∵，， ∴， 设，则， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴的长是． 【点睛】 此题重点考查矩形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强． 110．【答案】或 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，重心的性质，一元二次方程的解法．如图，过作交直线于，设，由三角形的周长关系可得：，再证明利用相似三角形的性质求解，再证明可得，再解方程可得答案． 【详解】 解：如图，过作交直线于， 设， ， ， ，即， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即：， ∵， ∴， 整理得， 解得或， 当时，当时， ∴或， 故答案为：或． 111．【答案】（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）；（3）． 【分析】 （1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 112．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴．     （2）     （3）      【分析】 （1）先证明，结合，可得结论． （2）由（1）可得：，可得，证明，可得，再进一步求解即可． （3）如图，过作于，证明，设，求解，可得，，，由，可得，证明，设，则，证明，求解，证明，进一步可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． (3) 小问详解： 解：如图，过作于， ∵，，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 113．【答案】 【分析】 本题主要考查一次函数和反比例函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键. 过点A作轴于N，过点C作轴于M，则，可证，可得，，设C点坐标为 ，A点坐标为，求得，可得B点坐标为，根据面积公式求解即可. 【详解】 解：过点A作轴于N，过点C作轴于M，则，如图： ∴ ∴ ∵ ∴，则 ∵A、C点在反比例函数的图象上， ∴设C点坐标为 ，A点坐标为 ∴， 则 ∴ ∴ ∴ ∵点A，B在反比例函数y=的图象上，且直线经过原点 ∴B点坐标为 ∵的面积为5 ∴ 解得：； ∴故答案为；. 114．【答案】① 4    ② 【分析】 连接，利用相似进行转化，先得出是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值，再根据相似的判定和性质证明和，结合和勾股定理即可解答． 【详解】 解：连接，如图所示： 根据题意得， ， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， 中， ， 即， 是的中点， ， ∴当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ， ， ∴， 解得：， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：4，． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算和勾股定理的应用等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 115．【答案】 【分析】 过点作于点，根据勾股定理可得，根据四边形是正方形，可得，根据，可得，所以，设，则，，求出的值，进而可以解决问题． 【详解】 解：如图，过点作于点， 设正方形的边长为，是的中点， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， ，， ． ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出的长是解决本题的关键 116．【答案】（1） 证明：平行四边形， ， ， 的平分线交于点E，交的延长线于F， ， ， ， ， 平行四边形是菱形；     （2） ① 证明：由题知， 在平行四边形中， 由（1）知，平行四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， ，，， ， 在和中， ， ； ②．      【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案； （2）① 先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论； ② 利用直角三角形的性质结合勾股定理，求得，，证明，求得，据此计算即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①略 ② 解：作于点， ∵平行四边形中， ∴， ∵为中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 117．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行且相等可得，，根据有两个角相等的三角形是相似三角形、相似三角形的对应边之比等于相似比可得，推得；同理可得：；根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、相似三角形的面积比是相似比的平方可得；根据线段的比可推得；即可求解． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 即， 则， ∴； 同理可得：； ∵，， 即， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， 即； ∴． 故答案为：． 118．【答案】 【详解】 解：作，垂足为H与交于点． ∵， ∴H为的中点（三线合一）． 又∵点F为的中点， ∴点为的重心． ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴．即 在与中， 即， 解得（负值舍去）． 119．【答案】（1）见详解     （2）     （3）      【分析】 （1）结合矩形的性质以及，得出，证明，即可作答． （2）先结合矩形，运用勾股定理算出，再根据，故，得，又因为，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）过点F作，结合等腰三角形的性质，得，运用矩形的性质，证明，由（1）得，则，，把数值代入，进行计算，得，则，解得，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：过点F作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， 由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 即． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 120．【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】 [初步感知]证明，则，由题意知，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，由题意得，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】 [初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知， ∴， 解得， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得， ∴，， ∴，整理得， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，， 设，则， 同理， ∴，即， 解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理， ∴，即， 解得， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】 本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 121．【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 根据题意得，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且 ∴四边形是平行四边形．     （2）或．      【分析】 本题考查了直角三角形的性质、平行四边形的判定以及直角三角形存在性问题，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题． （1）根据题意得，，证得，最后根据“一组对边平行且相等”判定平行四边形． （2）分两种情况讨论：当，当，列出方程即可求出t的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 若时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 当， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：当或时，为直角三角形． 122．【答案】（1）     （2） 解：和是等腰三角形，且， 两个等腰三角形的底角也相等． ． ，即． ， ． ． ，即     （3）      【分析】 本题考查了等边三角形、等腰三角形以及正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质推出，然后证明即可求出和的数量关系; （2）先证明得到．进而证明从而根据对应边成比例整理可得结论; （3）根据正方形的性质构造，并由相似比求出的长度，然后在中通过勾股定理建立关于正方形边长的方程，即可求解． (1) 小问详解： 和是等边三角形， ． 在和中， ． ． 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，连接， 根据正方形的性质，， ． ． ． 设，则． 在中， ，解得（舍去），． 故正方形的边长为． 123．【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴．     （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （3），      【分析】 （1）先证明，再根据全等三角形的性质及外角的定义得出，由等角对等边即可证明； （2）通过证明和，利用相似三角形的性质证明即可； （3）设，根据比例关系得出，，再根据全等关系得出，再证明，可得是的黄金分割点，进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 由（2）得：， ∴， ∴， 如图，当点与点重合时，此时取最小值， ∵， ∴， ∴， 此时，， ∴， ∴是的黄金分割点， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段比例关系的推导，黄金分割的含义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 124．【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；     （2） ① 证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②；③．      【分析】 （1）利用即可证明； （2）① 证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ② 由① 得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③ 证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ① 略； ②，理由如下： 由① 得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③ 由① 得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 125．【答案】（1）∠AHG＝70°； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴A，C关于BD对称，∠ACB＝∠ACD＝45°， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ACB＝∠P+∠CAE＝45°，∠ECF+∠ECA＝45°， ∴∠ECF＝∠P， ∵∠CEF＝∠PEC， ∴△CEF∽△PEC， ∴， ∴EC2＝EF•EP， ∴EA2＝EF•EP． 【分析】 （1）由∠ACB＝∠P+∠CAP，求出∠CAP即可解决问题； （2）连接EC，证明△ECF∽△EPC即可解决问题； 【详解】 （1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝45°， ∵∠ACB＝∠P+∠CAP， ∴∠CAP＝20°， ∵BG⊥AP， ∴∠AGH＝90°， ∴∠AHG＝90°﹣20°＝70°． （2）略 【点睛】 考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 126．【答案】 【分析】 主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 借助翻折变换的性质得到，设，则，则的周长为，的周长为，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】 解：设，则， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 由折叠得， 的周长为，的周长为， 与的相似比为 ． 故答案为：． 127．【答案】3 【分析】 本题考查轨迹，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 过点作于点．当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为，点的运动轨迹是的中位线，利用相似三角形的性质求出可得结论． 【详解】 解：如图，过点作于点． 当点与重合时，点与重合，当点与重合时，点的对应点为， 点的运动轨迹是的中位线， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：3． 128．【答案】（1） ① 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②     （2）的长为3或或．      【分析】 （1）① 根据菱形的性质，证明，根据对应边相等可得； ② 连接，证明，得出，可得，设，则，勾股定理得到，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解． （2）连接，证明，则，是等腰三角形有三种情况：① 当时，② 当时，③ 当时，根据相似三角形的性质与判定进行计算即可求解． (1) 小问详解： ① 略 ② 解：连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， 由① 知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 是等腰三角形有三种情况： ① 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 当时， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③ 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为3或或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 129．【答案】或或 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，坐标与图形，运用分类讨论思想是解决此题的关键． 分3种情况讨论：当时，易得点坐标为；当时，易得点坐标为；当时，由于，则，得到，再计算出、，则可利用比例式计算出，于是可得到的长，从而得到点坐标． 【详解】 解：当时， ， 点是的中点， 为的中点，此时点坐标为； 当时， ， 点是的中点， 为的中点，此时点坐标为； 当时，如图， 则， ，， ， ， 点和点， ， 点是的中点， ， ， ， 此时点坐标为， 综上所述，满足条件的点坐标为或或． 故答案为：或或． 130．【答案】（1） 解：四边形是正方形， ， ，， ， ， ；     （2）8；     （3）当时，的面积最大，最大为      【分析】 此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：设，则， ， 由（1）知， ， ， ， ， 当时，． 131．【答案】（1）1     （2）     （3）①；②      【分析】 （1）利用正方形性质，证明，即可得出； （2）利用正方形性质，证明，即可得出； （3）① 先做辅助线，证明，再利用等角的正切相等和等面积法求出线段的长度，即可得出；② 由① 得，再利用勾股定理和相似性质求出的长度． (1) 小问详解： 如图1，设与交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴=1； 故答案为：1； (2) 小问详解： 如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． (3) 小问详解： ① 如图4，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， 在中， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴a=（负值舍去）， ∴AH=，DH=， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② ∵， ，， ∴， 由① 得， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了正方形，矩形的性质，全等和相似的判定及性质，严格的思维逻辑和集合语言的应用是解题的关键． 132．【答案】 【分析】 本题考查正多边形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．根据正多边形的性质得，再结合等腰三角形的性质可得，再利用三角形的内角和定理可得，进而可得，证明，得到关于的一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：∵五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得（负值已舍）， 故答案为：． 133．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】 解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 134．【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）先证明，再根据全等三角形的性质即可证明； （2）通过证明，利用相似三角形的性质证明即可； （3）利用三角形的面积比求得，设，则，设，则进而求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； (3) 小问详解： 解：作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得，即， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的判定和性质，线段比例关系的推导，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 135．【答案】（1）①,②. （2）无变化；理由： 如图2，    ∵∠ECD=∠ACB， ∴∠ECA=∠DCB， 又∵， ∴△ECA∽△DCB， ∴． （3），. 【分析】 （1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少． ② α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可． （2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可． （3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可． 【详解】 （1）①当α=0°时， ∵Rt△ABC中，∠B=90°， ∴AC=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴,BD=8÷2=4， ∴． ②如图1，    ， 当α=180°时， 可得AB∥DE， ∵， ∴ （2）略 （3）①如图3，    ， ∵AC=4，CD=4，CD⊥AD， ∴AD= ∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴BD=AC=． ②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，    ， ∵AC=，CD=4，CD⊥AD， ∴AD=， ∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE==2， ∴AE=AD-DE=8-2=6， 由（2），可得 ， ∴BD=． 综上所述，BD的长为或． 136．【答案】（1） 当时，为的中点， 理由：四边形是正方形， ， ∵， ， 四边形是矩形， ∵为的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴, 当时，为的中点；     （2）正方形的边长为10；     （3）      【分析】 （1）由正方形的性质得，，而，可证明四边形是矩形，则，由折叠得，，从而利用中点的定义得到， ，所以，即当时，为的中点； （2）先证明，得，则，而，所以，则，求得，则，再根据勾股定理求得，所以，则，所以正方形的边长为10； （3）先根据证明，得，再证明，得，由，得，则，所以为的中点，设，，由勾股定理得，求得，则，所以． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， ， 正方形的边长为10； (3) 小问详解： 解：，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 设，，则， ，， ， ， 解关于的方程得， ，， ，， ， ， ， 的值为． 【点睛】 此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 137．【答案】（1） 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴；     （2） 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解决此题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质； （1）先根据正方形的性质得到角相等和边相等，进而即可判断三角形全等； （2）先根据（1）中三角形全等得到边相等，再判定三角形相似，运用三角形相似的性质即可得到答案； （3）根据正方形的性质得到平行线，运用平行线分线段成比例即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴． 138．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据矩形的性质得到，，，求得，根据三角形的面积公式得到，根据相似三角形的性质得到，然后根据勾股定理求的长； （2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，求得，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到结论； （3）分两种情况讨论：如图，当时，过点O作于H，根据矩形的性质得到，，，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据折叠的性质得到，求得，得到，然后根据勾股定理求出的长；当时，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，然后根据勾股定理求得，． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：分以下两种情况讨论： 如图，当时，过点O作于H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴，， ∵将折叠，点A的对应点为点，线段与相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将折叠，点A的对应点为点，线段与相交于点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题． 139．【答案】 【分析】 作的平分线，交于点F，利用角平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，，利用相似三角形的判定与性质求得，；利用相似三角形的判定与性质求得，利用求得，则，最后利用解答即可得出结论． 【详解】 解：作的平分线，交于点F，如图， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形与相似三角形是解题的关键． 140．【答案】（1）①，②4或5     （2）或      【分析】 1）①设长度为x，根据对称，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解； ②当点E在点C左侧时，通过条件，可证四边形是正方形，则M点和D点重合，即可求解；当点E在点C右侧时，先证是等腰三角形，通过勾股定理列方程求出的长度，再证，用边的比例关系即可求解． （2）当时，点M和点C重合，通过设元，再利用勾股定理列方程，把用含m的式子表示出来，即可求解；当时，先证是等腰三角形，得到，在通过全等得到，即可求解． (1) 小问详解： 解：①设长度为x， 四边形是矩形， 又，， 由勾股定理， 由对称可知， ， 则， 解得， 故的长为． ②当点E在点C左侧时， ， 如图， ，即是等腰直角三角形 ， 四边形是正方形， 此时，M点和D点重合，可得； 当点E在点C右侧时， ， 如图，与相交于点N， 四边形是矩形， ， 根据对称可知， ， ， 设长度为y，则， 根据勾股定理可知，解得，即长度为， ， ， ， ． 综上所述，的长为4或5． (2) 小问详解： ， ， 点E为射线上，点M、N在直线上， 当时，点M和点C重合， 如图， 四边形是矩形， ， 根据对称可知， ， ， 设长度为t，长度为1， 则， ， 解得， ； 当时，如图， 四边形是矩形， ， 根据对称可知， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或者． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键 141．【答案】（1）     （2）或     （3）点P坐标为或或或      【分析】 （1）根据已知条件求出点A，B的坐标，并得到，的长度，利用相似三角形的判定得出，进而得到点D的坐标，最后利用待定系数法求得直线的解析式； （2）根据分情况讨论线段关系： ① 当点E在A，B之间时，点F也在B，D之间，过点F作交于点H，过点E作交于点G，根据已知条件得出的比值，利用相似三角形的判定得出，从而得出，设点E坐标为，点F坐标为，得出相关线段的表达式，利用解二元一次方程组得出a，b的值，从而求得点E的坐标； ② 当点E在直线之外时，点F也在直线之外，过点F作交于点H，过点E作交于点G，同理得出的比值，证明出，从而得到，设点E坐标为，点F坐标为，得出相关线段的表达式，利用解二元一次方程组得出a，b的值，从而求得点E的坐标； （3）先根据已知条件利用勾股定理求出，，的长度，再利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，根据题意需满足或或或，此时分情况讨论： ① 当时，作，过点Q作交于点P，此时，点Q与点C重合，同时满足，过点P作，证明，从而求得此时点P的坐标； ② 当或时，过点B作交直线于点Q，作，，设直线与y轴的交点为E，证明出，得到，进而利用勾股定理求得点E的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立直线求得点Q的坐标，通过勾股定理求出的长度，结合相似三角形的线段比，设点P坐标为，求出长度的表达式，列出方程解出n的值，此时点，的坐标即可求得； ③ 当时，在延长线上取一点Q作，过点Q作交延长线于点P，与y轴交点E，再过点P作轴交y轴于点F，先证得，得出，设点P坐标为，求出，的表达式，再证明，继而求得，的表达式，从而求出点E的坐标表达式，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求得点Q的坐标表达式，结合的长度表达式利用勾股定理列出关于n的方程，并解得n的值，点P坐标即可求出． (1) 小问详解： 解：∵直线交x、y轴于B、A两点， 当时，解得， ∴点B坐标为，即， 当时， ∴点A坐标为，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点D坐标为， 设直线解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵， ∴需分类讨论，的情况： ① 当点E在A，B之间时，点F也在B，D之间， 如图，过点F作交于点H，过点E作交于点G， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点C为， ∴， 设点E坐标为，点F坐标为， ∴，，，， ∴， ∴ ，解得 ， ∴点E坐标为； ② 当点E在直线之外时，点F也在直线之外， 如图，过点F作交于点H，过点E作交于点G， ∵， ∴设，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点C为， ∴， 设点E坐标为，点F坐标为， ∴，，，， ∴， ∴ ，解得 ， ∴点E坐标为， 综上所述，点E的坐标为或． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴，， 在中， 又∵， ∴， 在中， ∵， ∴为直角三角形，即， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为， ∵，且， ∴或或或， ① 当时， 如图，作，过点Q作交于点P， 此时，点Q与点C重合，同时满足， ∴，， 过点P作， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴点P坐标为； ② 当或时， 如图，过点B作交直线于点Q，作，， 设直线与y轴的交点为E， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴由线段垂直平分线的性质可知，与关于点B对称， ∴， 设点P坐标为， ∴， ∴，解得或， 当时，当时， ∴为，为； ③ 当时， 如图，在延长线上取一点Q作，过点Q作交延长线于点P，与y轴交点E，再过点P作轴交y轴于点F， ∵，， ∴， ∴， 设点P为， 由② 可知，则， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴点E坐标为， 设直线的解析式为， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得，解得， ∴点Q坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得，（和情况① 重复，舍去）， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用及一次函数与几何综合． 142．【答案】（1）； （2）函数图象关于原点对称，理由如下： 若为图象上任意一点，则, 设关于原点的对称点为, 则， 当时， 也在函数的图象上， 当取任意实数时，函数的图象关于原点对称； （3）① ④ ；（II）， 【分析】 （1）证得, 得出, 由题意, 利用勾股定理求得，, 即可得到,从而得到; （2）把点的对称点代入解析式也成立，即可证明函数图象是否具有对称性； （3）观察图象即可判断； （II）分析函数的解析式，列不等式求解即可． 【详解】 解：（1）在矩形中， ， ， ， ， ， ， , 点是的中点， 在中， ， ； （2）略 （3）（I）观察图象，① 函数值随的 增大而增大；故正确， ② 函数值的取值范围是; 故错误， ③ 存在一条直线与该函数图象有三个交点；故错误， ④ 在图象上存在四点, 使得四边形是平行四边形， 故正确故答案为：① ④ ； （II）关 于的函数表达式为函数, 当时 ，图象在第一象限，函数值随的增大而增大， 由得， 解得. 故答案为：，． 【点睛】 本题考查矩形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理、函数定义及表达式推导、函数对称性分析、函数性质探究和数形结合思想．解题关键是将几何中边长、垂直关系转化为代数函数表达式，通过代入验证函数值是否为证明函数图象对称性，结合函数表达式代数特征与图象几何特征分析函数性质． 143．【答案】6 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积，根据相似三角形的性质得出，继而可得出规律：…；…根据，的面积为1、4，进而得出前几个三角形的面积，即可求解． 【详解】 解：由题意得，因此可知==，==， 由，，得，，所以可得， 得出规律：…；…又，的面积分别为1、4， ∴，，继而可推出，，，，， 故可得小于2025的阴影三角形的有：，，，，，，共6个． 故答案为：． 144．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证出即可得证； （2）是以为底的等腰三角形，即，导角证明，则，再证明即可求解； （3）由题易得点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上，连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接，先证，得到，进而设参，再证，设参，然后在 中，利用勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴设， ∴在中，由勾股定理可得， ∵是以为底的等腰三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，        ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图，点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， 连接，延长交于点F，过点D作交延长线于点G，连接， ∵点D关于直线的对称点E恰好在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴设， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 由勾股定理得： 则， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， 整理可得：， 解得或（舍）， ∴， ∴ ∴在中，由勾股定理可得， 即． 145．【答案】（1）     （2） 解：如图，取的中点H，连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，，即可求解； （2）取的中点H，连接，根据可证得，可得，再根据，可得，根据相似三角形的性质可得，进而可得； （3）取的中点H，连接，方法同（2）根据可证得，可得，再由可得，得到，进而可得． (1) 小问详解： 解：中，点D是的中点， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图，取的中点H，连接， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 146．【答案】（1）一次函数为，反比例函数为     （2）或1或或     （3）      【分析】 （1）代入到求出反比例函数的表达式，从而得到点的坐标，再代入点到即可求出一次函数的表达式； （2）设与轴交于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，利用三角形的面积公式得到，得出，再根据题意分① 点在直线右侧；② 点在直线左侧两种情况讨论，过点作轴交直线于点，设，表示出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，解出的值即可解答； （3）过点作轴的平行线，使得，作轴于点，连接，设直线、分别与轴交于点、，设，，，先证出得到，整理可得；再通过证明推出，进而证出，得到，即，同理可得，联立① 和② 两个方程求出的值，即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：代入到，得， 反比例函数的表达式为， 代入到，得， ， 代入和到，得 ， 解得： ， 一次函数的表达式为， 综上所述，一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2) 小问详解： 解：设与轴交于点， 令，则， 解得：， ， ， ， ① 当点在直线右侧时，如图，过点作轴交直线于点， 设， 代入到，则， 解得：， ， ， ， ， 解得：，， 点的横坐标为或； ② 当点在直线左侧时，如图，过点作轴交直线于点， 设，同理① 中的方法可得， ， ， ， 解得：，， 点的横坐标为或1； 综上所述，点的横坐标为或1或或． (3) 小问详解： 解：如图，过点作轴的平行线，使得，作轴于点，连接，设直线、分别与轴交于点、， 设，，， ， ， ， 又， ，即， ， ， ，即， ， ，， ， 整理得：； ， ， 又， ， ， ， 轴， ， ，即， 又， ， ，即， ，即， 同理可得， 得， 整理得：， 得， ， 解得：，（舍去）， 点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要运用数形结合和分类讨论思想解决问题，还涉及较大的计算量，适合有能力解决难题的学生． 147．【答案】（1），，     （2）1或     （3）或      【分析】 （1）由，得到，，再由，得到，求出，，即可求A、D点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意可知只有和两种情况，分别讨论求解即可； （3）设，，，由题意可知、是菱形的对角线，则 ，求出或，即可求点N的坐标． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵点， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵点M的横坐标为m， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时， 解得， ∴， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴与相似时，只有和两种情况，此时M点在x轴下方， ∴， 当时， ∴， 解得或（舍）； 当时， ∴， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为1或； (3) 小问详解： 解：设，，， ∵四边形是菱形， ∴、是菱形的对角线， ∴ ， 解得或， ∴或． 【点睛】 本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，菱形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 148．【答案】（1） ① 证明：∵当时， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 证明：∵， ∴， 又∵ ∴；     （2） 结论：．证明如下： 如图2中，当时， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；     （3）或      【分析】 （1）① 当时，可得是等边三角形，根据即可判定； ② 由根据全等三角形的性质得到，进而得到； （2）当时，可得是等腰直角三角形，判定，可得，进而得出； （3）分两种情况：点E在线段上，点E在的延长线上，分别画出图形，依据，，即可得到线段的长度． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题可得， 分两种情况： ① 如图所示，当点E在线段上时，过点A作于H，过点D作于G． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ② 如图所示，当点E在的延长线上时， 过D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述所，线段的长度为或． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质以及等边三角形和等腰直角三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等求解． 149．【答案】【认识研究对象】； 【探索研究方法】① 证明：∵，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ② 证明：∵是类黄金三角形，且， ∴， 由① 知， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据黄金分割点的定义，点是边的黄金分割点； 【尝试问题解决】 【分析】 本题考查黄金分割，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据定义理解“类黄金三角形”的特征，根据比例式适当构造相似三角形． 【认识研究对象】直接利用“类黄金三角形”定义，代入边长计算即可； 【探索研究方法】① 通过证明，利用相似三角形对应边成比例推导； ② 结合“类黄金三角形”定义与① 的结论，证明，从而判定是的黄金分割点； 【尝试问题解决】在上取点，使，连接．根据“类黄金三角形”的定义，将其转化为比例式，结合公共角，可证，由相似得，结合已知，推导得出，代入定义式求出的长即可． 【详解】 【认识研究对象】 解：∵是类黄金三角形，且， ∴根据定义，最长边与最短边的乘积等于第三边的平方，即． ∵，， ∴， ∴； 【探索研究方法】 ① 略 ② 略 【尝试问题解决】 解：如图，在上取点，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 150．【答案】 【分析】 本题考查等腰直角三角形及动点问题，相似三角形的判定和性质，根据题意利用相似三角形的判定和性质得出，确定E在垂直的直线上运动，O，E两点间距离的最小值即是O到这条直线的垂线段的长，再由勾股定理及含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，点C在上运动时， ∴C为主动点，E为从动点，D为定点，设和都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且点都在上，过点D作于Q，设交于点P，连接并延长交于M，如图： 和都是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点在垂直于的直线上运动， 当时，如图所示， 过E作于M，交于N，则直线即为E的运动轨迹，的长为O，E两点间距离的最小值， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 151．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，延长至点， ∴，且， ∴， （2）（3）的长为或或2 【分析】 （1）利用正方形的性质和全等三角形的判定定理解答即可； （2）过点G作，交于点H，利用三角形的中位线定理得到，；设，则，再利用相似三角形的判定与性质解答即可； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】 （1）略； （2）过点G作，交于点H，如图， ∵，G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴． 设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负数不合题意，舍去）， ∴． ∴； （3）的长为或或2．理由： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得， 解得，经检验符合题意； ∴或； 第二种情况，如图所示，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或2． 【点睛】 本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 152．【答案】（1），反比例函数的解析式为；     （2），     （3）存在，符合条件的P点的坐标为或．      【分析】 （1）把点坐标代入反比例函数的解析式，求出点坐标，作轴于点，得到，平行线分线段成比例，求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设（），则，，根据列出方程，求解即可；② 点P在射线上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为（），证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，，和的长，代入后求解即可． (1) 小问详解： 解：对于一次函数， 令，则，令，则， ∴，，即，， 作轴于点， 则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作轴于点， 则， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 设直线的解析式为，则 ， 解得 ， ：直线的解析式为， ∴当时， ∴； (3) 小问详解： 解：存在； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ① 当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设（）， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴； ② 当点P在射线上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为（）， ∵，， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，符合条件的P点的坐标为或． 【点睛】 本题考查反比例函数与一次函数，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定及性质，两点间距离公式，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 153．【答案】（1） 证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴；     （2）；     （3）．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质可证明,可得结论； （2）如图2，过点作于点，先根据等边三角形的性质和度角的直角三角形的性质求出，，结合（1）证明，推出，利用相似三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可； （3）如图3，过点作于点，先证明，得出，进而可证明，可得，结合已知可得，设，可得，根据等边三角形的性质可得，，则，然后在直角三角形中，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图2，过点作于点，     ∵是边长为8的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图3，过点作于点，     ∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，    又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∵是边长为8的等边三角形， ∴，， ∴，    ∵， ∴， 即， 整理得， 解得， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的求解、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，具有较强的综合性，熟练掌握相关图形的性质、正确添加辅助线是解题的关键． 154．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的性质，解一元二次方程．过作，交于，过作于，设，，由题意可知：，，，则，证明，，然后根据相似三角形的性质和解方程求出点坐标即可得解． 【详解】 解：过作，交于，过作于， 设，， 由题意可知：，，，则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（负值已舍去） ∴，， ∴的坐标为， ∴， ∴经过的双曲线的解析式就是， 故答案为：． 155．【答案】（1）垂直， （2），证明见解析 （3）的最小值为，理由见解析 【分析】 （1）连接，由直角三角形斜边中线得，结合等边、等腰三角形性质证D、A、E共线；利用三线合一得、的垂直关系，通过三角函数得数量关系． （2）取、中点构造辅助线，由中位线得边的关系，通过三角函数得线段比例；证角相等后得三角形相似，推导与的数量关系． （3）先计算边长，作垂线得基础线段长；由相似得角的关系，证四点共圆得角相等；证直角三角形后利用斜边中线得长，通过三角不等式求最小值． 【详解】 （1）解：连接，    ∵等边， ∴ ∵ = ∴ ∴点D、A、E三点共线． ∵点M是的中点，是直角的中线， ∴， 又=， ∴垂直平分平分， ∴． 又可知，垂直平分平分， ∴． ∴则 ∴，即． 故答案为：垂直，． （2）解：猜想，证明如下：    分别取、的中点S、T，连接、、、， ∴，且、均为的中位线， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， 即． （3）解：在中 由，得； 由勾股定理，； 因是中点，故． 作于，在中，    故，． 作于，点Q在边上． 在中， 故，． 因，故对应角相等：，； 对应边成比例：． 延长交于，由（即）， 得B、K、P、A四点共圆． 由圆周角定理，（）． 由，得， 故P、N、K、M四点共圆，进而（同弧所对圆周角相等）． 由，得P、N、M、Q四点共圆，则， ∴，即是直角三角形． ∵， ∴是的中点， 由直角三角形斜边中线性质，． 由三角不等式：， 当B、N、O三点共线且在B、O之间时，等号成立， 故的最小值为． 【点睛】 本题考查了等边三角形与等腰三角形的性质、直角三角形的性质与勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆的判定与圆周角定理、直角三角形斜边中线性质，解题的关键是构造辅助线，利用图形性质建立角与边的关系，结合几何定理推导． 156．【答案】①     ② 9 【分析】 作于M，于N，于H，连接．利用角平分线的性质得出，设，则，则，即可求得，利用勾股定理得到，通过证得，得到，即可求得． 【详解】 解：作于M，于N，于H，连接．则四边形是矩形， ∵的两条外角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴； 设，则， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴或（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的两条外角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是9， 故答案为：，9． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，解题的关键是证得． 157．【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3）存在，      【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，恰当作出辅助线，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，推导出，由，推出，即可证明； （2）先推导出，进而判定出，推出，由此即可证明； （3）先推导出点P在上，再判定出，求出，，即可得求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 这样的点P存在．理由：如图，取的中点H，连接， 在中，， 根据勾股定理得， 由(2)知， ∴， ∴， ∴点P在上， 过点P作于G， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 158．【答案】 【分析】 连接，设，证明，得出成比例线段，求出，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】 解：如答图，连接，设， 在矩形中， 则，． 是中点， ，． ， ， ， ． ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】 本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造相似三角形是关键． 159．【答案】（1） ① 证明∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ②     （2）或或      【分析】 (1)① 由，可得，进而可得，即可证得结论；② 过点作，过点作轴于，如图，设，则，得到证明，推出，设则 ，由，建立方程求解即可； (2)分两种情况∶Ⅰ．过点作 于M，当在线段或延长线上时，如，图，设，则 ，根据∽，可得出 再由 或 ，建立方程求解即可；过点作于，当在线段的延长线上时，如图，同理建立方程求解即可． (1) 小问详解： ① 略 ② 过点作于，过点作轴于，如图， ∵点在直线上， 设 ， ，， ， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 设，则， 在中， ∵， ∴， ， 解得∶或(舍去)， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∴； (2) 小问详解： 存在点，使得以为顶点的三角形与相似， 理由如下∶ Ⅰ．过点作于，当在线段或延长线上时，如图，图， 由 (1) ② 可知∶， 设 则，， ， ，， ， ，即 ， ， 在中， ， ， ∴以为顶点的三角形与相似， 则或 ， 或 ， 解得 ， 或； ．过点作于点M，当在线段的延长线上时，如图， 由(1) ② 可知∶ ， 设则 ，， ， ，， ， ，即 ， ， 中， ， ∴以为顶点的三角形与相似，需满足 即， 解得：或(舍去)， ； 综上所述，以为顶点的三角形与相似，则的长度为：或或． 【点睛】 本题考查一次函数图象及应用，涉及等腰三角形性质与判定，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据已知用含未知数的代数式表达相关线段的长度． 160．【答案】（1）：=，1； （2），理由如下： 作， 由折叠性质知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3） 【分析】 （1）证，可得，证四边形是平行四边形，进而即可求解； （2）作，由折叠性质知，证，进而即可求解； （3）作，连接，证得，由 ， 可得，证，进而即可求解； 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：=，1． （2）略； （3）作，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，（舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查三角形的全等证明及性质、相似三角形的性质及证明、勾股定理等，正确做出辅助线是解题的关键． 161．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出正确的辅助线，逐步推理是解题的关键．过点作的平行线交的延长线于点，进一步证明，再利用相似的性质进行线段的转换，即可解答． 【详解】 解：如图， 过点作的平行线交的延长线于点， ， ． ， ． ． ， ， ． ． 为中点， ． ， ． ， ． ，， ． ． ， ， ． 故答案为：． 考点04 相似三角形的性质 1．C 2．D 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．【答案】2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，图形平移的性质，熟练掌握相似三角形的性质及图形平移的性质是解题的关键．根据相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质，得到，即可列方程求出，再求出，即可根据图形平移的性质得到答案． 【详解】 解：设与相交于点G， 沿方向平移得到， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：2． 9．【答案】.5 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应边上的中线比等于相似比． 【详解】 解：∵，且， ∴ 相似比为， 又 ∵ 相似三角形对应边上的中线比等于相似比， ∴ 中线比为， 故答案为：． 10．【答案】（1）或     （2） 解：不存在，理由如下： 假设存在某时刻，使线段恰好把的面积平分， 在中， ∴， 如图，过P作于点D，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵线段恰好把的面积平分， ∴，即， 此时， 此方程无解， ∴不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分．      【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用、勾股定理，一元二次方程的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． （1）分两种情况：当时，当时，再利用相似三角形的性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，过P作于点D，则，可得，从而得到，再由线段恰好把的面积平分，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：， ∴， 当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得：； 综上所述，当t或时，与相似； (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1）；     （2），或．      【分析】 本题主要考查了矩形的性质、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例的分类讨论是解题的关键． （1）当时，先计算各点移动的距离得到相关线段长度，再用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求出的面积． （2）点在上时，先表示出、、、的长度，分“”和“”两种相似情况，利用相似三角形对应边成比例列方程求解． (1) 小问详解： 解：当时, ，，， ，， 矩形面积：， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：点在上， 即， 此时，，，， 情况1：当时， ， 即， 解得， 情况2：当时， ，即 解得， 综上，或时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似． 12．【答案】或 【分析】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】 解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 13．【答案】 【分析】 根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】 解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线， ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝()2＝， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 14．【答案】或 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，① 设经过x秒后，得，② 设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】 解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ① 设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ② 设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 15．【答案】（1）S的值是24；     （2）当秒时，S的值是；     （3）当秒或秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似      【分析】 本题主要考查了割补法算面积，矩形的性质，相似三角形性质，解决此题的关键是正确的计算； （1）运用矩形的性质和线段的和差得到相关线段的长度，运用直角梯形的面积公式和三角形的面积公式即可得到答案； （2）运用（1）中的思路，分情况讨论进而得到答案； （3）运用三角形相似的性质得到线段的比例即可得到答案； (1) 小问详解： 解：由题可知：当秒时，， ∵，， ∴，， ∴的面积为 ， ， ∴S的值是24． (2) 小问详解： 解：由题可知分以下两种情况； ① 当点F在边上时，即， ∵，， ∴，，， ∴， 解得： ∵， ∴取； ② 当点F在边上时，即， ∴， 解得：（舍去）， ∴当秒时，S的值是； (3) 小问详解： 解：由题可知分以下两种情况； 当时， 即， 解得：，， ∵， ∴当秒时， 当时，, 即， 解得：， ∵， ∴当秒时， 综上可知：当秒或秒时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似． 16．【答案】6 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：6． 17．【答案】或 【分析】 分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】 解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 18．【答案】（1）A(1，0)，B(0，)（2）（3）； 【分析】 （1）根据条件，可求得OB=，OA=1，根据图象可知A（1，0），B（0，）； （2）在直角三角形中的勾股定理和动点运动的时间和速度分别把相关的线段表示出来，设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由，易得PQ=，S=S△ABC-S△APC=-t （3）由于∠ABP=∠AOB=90°，所以分两种情况讨论：① △ABP∽△AOB；② △ABP∽△BOA． 【详解】 解：（1） ， ， 点，点分别在轴，轴的正半轴上 （2）∵OB=，OA=1，∠AOB=90°， ∴, AC＝4， 同理：， ∵，即：， ∴， 过P作PQ⊥CA于Q， ∵，， ∴， ∴S=S△ABC-S△APC=-t （3）由（2）得AC＝4，，， ∴AB2+BC2＝22+（2）2＝16＝AC2． ∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°． 以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似，分两种情况： ① △ABP∽△AOB ∴ ∴ ∴ 点P与点C重合P1（－3，0）； ② △ABP∽△BOA， ∴， ∴， ∴， ∴ 过P作PQ⊥CA于Q， ∵PQ⊥CA，BO⊥CA， ∴PQ∥BO， ∴△CPQ∽△CBO， ∴， ∴CQ=2，PQ=， ∴， ∴P2（－1，）， ∴存在这样的点P，． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，坐标与图形，非负数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件． 19．【答案】【操作发现】①AC=BD；②∠AMB=45°；【类比探究】，∠AMB=90°；【实际应用】4或5 【分析】 操作发现:如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题． 类比探究:如图（2），证明△COA∽△ODB，可得，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题． 实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】 解：操作发现:如图（1）中，设OA交BD于K． ∵∠AOB＝∠COD＝45°， ∴∠COA＝∠DOB， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO， ∵∠MKA＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝45°， 故答案为AC＝BD，∠AMB＝45° 类比探究:如图（2）中， 在△OAB和△OCD中， ∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°， ∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB， ∴， ∴△COA∽△ODB， ∴，∠MAK＝∠OBK， ∵∠AKM＝∠BKO， ∴∠AMK＝∠BOK＝90°． 实际应用:如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD． 在Rt△DCE中， ∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1， ∴∠CEH＝60°， ∵∠CHE＝90°， ∴∠HCE＝30°， ∴EH＝EC＝， ∴CH＝， 在Rt△BCH中，BH＝， ∴BE＝BH﹣EH＝4， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝4． 如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H． 同法可得BH＝，EH＝， ∴BE＝+＝5， ∵△DCA∽△ECB， ∴AD：BE＝CD：EC＝， ∴AD＝5． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 20．【答案】（0，3）、（4，0）、（，0） 【分析】 分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标． 【详解】 解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA， 由点C是AB的中点，可得P为OB的中点， 此时P点坐标为（0，3）； 当PC∥OB时，△ACP∽△ABO， 由点C是AB的中点，可得P为OA的中点， 此时P点坐标为（4，0）； 当PC⊥AB时，如图， ∵∠CAP＝∠OAB， ∴Rt△APC∽Rt△ABO， ∴， ∵点A（8，0）和点B（0，6）， ∴AB＝＝10， ∵点C是AB的中点， ∴AC＝5， ∴， ∴AP＝ ， ∴OP＝OA﹣AP＝8﹣＝， 此时P点坐标为（，0）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（，0）． 故答案为（0，3）、（4，0）、（，0） 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 21．【答案】（1）     （2）或     （3）或      【分析】 （1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法求解即可， （2）先求出，设，然后分当点P在点C的上方时和当点P在点C的下方时两种情况求解； （3）利用勾股定理求出， 设，则，，然后分当时和当时两种情况列式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵对于，当时， ∴， 把代入，得， ∴， (2) 小问详解： 当时，∴， ∴， ∵对于，当时，∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， 当点P在点C的上方时， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． 当点P在点C的下方时， 则， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，点P的坐标为或； (3) 小问详解： ∵， ∴ ∴， 设，则，， 如图，当时， ， ， 解得（舍去）， ∴． 如图，当时， ， ， 解得（舍去）， ∴． 综上可知，点E的坐标为或． 【点睛】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，难度较大，属中考压轴题． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．D 8．【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质在凸透镜成像中的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质，由物距与像距的比例关系，得到物高与像高的比例关系，进而求出像的长度． 【详解】 解：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9．【答案】60 【分析】 先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算． 【详解】 解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴△OAB∽△ODC， ∴，即， 解得OE=60cm． 答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方． 故答案为：60． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 10．【答案】1.8 【分析】根据AB∥CD，可知△PAB∽△PCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD， 假设CD到AB距离为x,则 ， 又∵AB=2m，CD=6m， ∴， ∴x=1.8m. 故答案为1.8m. 【点睛】此题考查相似三角形的应用，解题关键在于先证明△PAB∽△PCD. 11．【答案】 【分析】 由题可得，则由即可求解,本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 12．【答案】（1）两个路灯之间的距离是米；     （2）他在路灯照射下的影长是米      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质在实际问题中的应用，关键是通过相似三角形对应边成比例建立方程求解． （1）利用相似三角形对应边成比例，设，结合，根据列方程求解； （2）当王磊走到路灯时，利用，根据相似三角形对应边成比例列方程求解影长． (1) 小问详解： 解：依题意画出图形，如图， ∵两个路灯的高度都是，王磊的身高不变，他走到点时，发现他身后的影子的顶部刚好接触到路灯的底部，到达点时，发现他身前的影子的顶部刚好接触到路灯的底部， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴(米)， 答：两个路灯之间的距离为米； (2) 小问详解： 解：当王磊走到路灯时，他在路灯照射下的影长为，如图， 设他在路灯照射下的影长为米， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：他在路灯照射下的影长是米． 13．【答案】 【分析】 根据题意可得：，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：解：由题意得：，，， ， ， ， ， ， 该瞭望塔的高度为． 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．【答案】（1）1.5米     （2）12米      【分析】 本题考查相似三角形的应用．解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． （1）证明，利用对应边成比例可得长； （2）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； ∴王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴路灯A的高度为12米． 15．【答案】小雁塔的高度为41米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，先证明，再由三角形的性质得出，再证明 利用相似三角形性质得出，再代入计算即可得出答案. 【详解】 解：根据题意得，， ， ，即① ； ，， ， ，即② ， 由① ② 得， 解得， ， 解得， 答：回澜塔的高度为41米. 16．【答案】学校旗杆的高度为米 【分析】 本题考查了相似三角形的应用；作于点．根据同一时刻物高与影长成正比，列出比例式，求得，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，作于点． 根据题意得：， ∴， 解得：米． 则 答：学校旗杆的高度为米． 17．【答案】（1）     （2）见解析；旗杆的高度为米     （3）旗杆的高度为米      【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用举例． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知四边形和四边形均为矩形，从而得到、、、以及的长，再证明，得到，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得， ，即， 米， 利用方案测得旗杆的高度为米； 故答案为：． (2) 小问详解： 补全测量示意图如下所示，过点作， ，        又， ， ， ， ，即， 米， 旗杆的高度为15米； (3) 小问详解： 如下图所示，过点作于点，与交于点， ， 四边形和四边形均为矩形， 米，米，米， （米）， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为5.585米. 18．【答案】（1）3     （2）      【分析】 此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． (2) 小问详解： 解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 19．【答案】米 【分析】 本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】 解：设米，米． 由题意得， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 经检验，是原方程的解， 答：元通塔的高度为米． 20．【答案】千佛和平塔的高度为 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，设，由题意可证得，，得，，由，可得，进而列出关于的方程，即可求出建筑物的高度，根据相似三角形的性质得比例式，列出方程是解决问题得关键． 【详解】 解：设， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意， 则， 解得：， 答：千佛和平塔的高度为． 21．【答案】3m 【分析】 根据垂直的定义得到∠FOE＝90°，推出，证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再根据相似三角形的性质列方程组，再解方程组即可得到结论． 【详解】 解：∵EO⊥BF， ∴∠FOE＝90°， ∵AB⊥BF，CO⊥BF， ∴， ∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF， ∴ ∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m， ∴ 整理得： 解得：AB＝3． 答：围墙AB的高度是3m． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的应用，熟练的利用相似三角形的性质列方程组是解本题的关键. 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵EF⊥AC， ∴∠FEC＝90°＝∠ABC， 又∵∠FCE＝∠ACB， ∴△CEF∽△CAB， ∴ ＝ ， 又∵∠ACF＝∠BCE， ∴△CAF∽△CBE； （2）∵△CAF∽△CBE， ∴∠CAF＝∠CBE， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠CAF， ∴∠BAF＝∠CBE， ∴∠BAF+∠AFB＝∠CBE+∠AFB＝90°， 即∠ABF＝∠BGA＝90°， ∵∠BAG＝∠BAF， ∴△ABF∽△AGB， ∴ ＝ ， ∴AB2＝AG•AF， ∵正方形ABCD中，AC2＝2AB2， ∴AC2＝2AG•AF 【分析】 （1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE （2）根据题意求出△ABF∽△AGB，再转化相关关系即可解答. 【详解】 略 【点睛】 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 23．【答案】（1） 解：由题意得， ∴， ∴， ， ， ∴用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的应用， （1）根据题意证明，从而得到，即可得到即可证明； （2）把，为，代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，为， ， ． 24．【答案】17米 【分析】 过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题． 【详解】 解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H． 由题意得：，，， ∵， ∴   ， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为17米． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键． 考点06 位似 1．A 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C 13．A 14．A 15．C 16．C 17．B 18．B 19．C 20．【答案】 【分析】 根据位似比等于相似比，原点O为位似中心，利用B、B′的横纵坐标之比等于、的坐标之比即可求得答案． 【详解】 点B、B′的坐标分别为（8，2）、（16，4）若点A的坐标为（5，6）， 设点A′的坐标为， 则， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了位似比等于相似比，求位似图形对应的坐标，理解位似比等于相似比是解题的关键． 21．【答案】或 【分析】 本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】 解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 22．【答案】（1） 如图1，即为所求；          （2） 如图1，即为所求；      （3），      【分析】 （1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称； （2）根据位似进行作图即可； （3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由中心对称、位似的性质可知，． 【点睛】 本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键． 23．【答案】（1） 解：符合要求的，如图所示：      （2）8     （3）      【分析】 本题考查了画位似图形，位似图形的性质，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）利用网格的特征，列式计算，求出的面积，即可作答． （3）根据位似图形的性质，且结合内一点，则内与点P对应的点的坐标为，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，的面积 (3) 小问详解： 解：∵以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得，且内一点， ∴内与点P对应的点的坐标为． 24．【答案】（1）如图，点为所作；的最小值是     （2） 解：如图，为所作，点的坐标为． 【分析】 本题考查最短路径问题（利用轴对称）以及位似图形的画法，解题的关键是掌握轴对称的性质和位似图形的定义与画法． （1）利用轴对称性质找到点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，再用勾股定理求的最小值； （2）在第四象限画出 ，把点、、 的横纵坐标都乘以 得到、、 的坐标，然后描点即可． (1) 小问详解： 解：的最小值是， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 25．【答案】9 【分析】 本题主要考查了位似的性质、位似比等于相似比等知识点，掌握位似三角形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 根据位似的性质求解即可． 【详解】 解：∵与是位似图形，且位似中心为O，， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为9． 故答案为：9． 26．【答案】10 【分析】 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．利用位似的性质得，，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】 解：∵与位似，点O为位似中心， ∴，， ∴的周长：的周长， ∴的周长为． 故答案为：10． 27．【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．根据位似中心的定义作出位似中心，即可解答． 【详解】 解：如图，连接，与交于点P， 则点P为位似中心，点P的坐标为， 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 直接利用位似图形的性质得出面积比，进而得出答案． 【详解】 解：∵△DEF是△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，OD：OA＝1：2， ∴S△DEF：S△ABC＝1：4， ∵△ABC的面积为5， ∴△DEF的面积为：． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键． 29．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、位似图形的绘制以及相似比的计算，熟练掌握轴对称的坐标特征、位似的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、的坐标，再连接三点得到三角形． （2）根据位似中心和点的坐标，确定位似比，进而求出、的坐标，再连接三点得到三角形． （3）通过对应点的坐标求出相似比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可得，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 30．【答案】（1） 如图，即为所求，         （2） 如图，即为所求，          【分析】 本题主要考查了位似变换、平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点的坐标为， 故答案为：． 31．【答案】（1） 描点，连接，即为所求；      （2） 描点，连接，如图；      （3）      【分析】 本题主要考查了位似变换、轴对称变换，勾股定理，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． （1）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （2）把、、的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （3）由两点之间线段最短可知，连接，交轴于点，点即为所求，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 如图，，关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，． (2) 小问详解： ，，的坐标都乘以得到的坐标，，， ∴即为所求，． (3) 小问详解： 连接，交轴于点，则， 由两点之间线段最短，可知此时最小，最小值为， 32．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 （1）根据平移的性质得到其对应点，再首尾顺次连接即可得出答案； （2）根据位似图形的性质，分别画出点、、即可； （3）根据位似图形的性质，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由于点P的坐标为，相似比为 根据题意得：点的坐标为． 【点睛】 本题主要考查了作图平移变换，位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 33．【答案】或 【分析】 本题考查了位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，结合题意即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵，，以原点O为位似中心，按位似比把缩小， ∴位似系数为或， 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，即； 当位似系数为时，点的对应点的坐标为，， 综上，点A对应点的坐标分别为或， 故答案为：或． 34．【答案】（1）（2，﹣2）； （2）（1，0）； （3）10． 【分析】 （1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标； （2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标； （3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积． 【详解】 （1）如图所示：C1（2，﹣2）； 故答案为（2，﹣2）； （2）如图所示：C2（1，0）； 故答案为（1，0）； （3）∵，，， ∴△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）． 故答案为10． 【点睛】 本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质． 35．【答案】（1）画图见解析     （2）画图见解析，点的坐标为     （3）画图见解析，点的坐标为      【分析】 本题考查了图形的平移变换、位似变换及位似中心的确定，解题的关键是掌握平移坐标变化规律、位似的坐标性质及位似中心的找法． （1）根据“左减右加，上加下减”计算平移后各点坐标，再描点画图． （2）以原点为位似中心，相似比且在轴右侧，通过原坐标乘以得到对应点坐标． （3）连接对应点连线，其交点即为位似中心，通过计算确定位似中心坐标． (1) 小问详解： 解：将向左平移个单位，向上平移个单位得； 向左平移个单位，向上平移个单位得； 向左平移个单位，向上平移个单位得 描点连接得． (2) 小问详解： 解：以原点为位似中心，相似比且在轴右侧，的对应点坐标为． 描点连接得（见上图）， 故点的坐标为． (3) 小问详解： 解：作射线、、，交点即为位似中心（见上图）． 设直线的解析式为 将和代入解析式，得到方程组： ， 解方程组得，代入得， 因此，直线的解析式为， ∵，，故直线为， 联立求解得 ． 所以位似中心的坐标为． 36．【答案】（1） 如图，即为所求． ，，     （2） 如图，即为所求．      （3）点P的坐标为      【分析】 本题考查作图-位似变换、轴对称-最短路线问题、作图-平移变换，熟练掌握位似的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据位似的性质作图即可． （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由图可得，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时的周长为，为最小值， 则点P即为所求， ∴点P的坐标为． 37．【答案】①     ② 或 【分析】 本题考查了新定义，两点间的距离公式，位似的性质． 先根据复数对应点坐标，利用距离公式求长度；再根据以原点为位似中心的位似变换性质，直接缩放点A坐标得到坐标，从而得到对应复数． 【详解】 解：∵点A对应复数，故坐标为；点B对应复数，故坐标为． ∴线段的长度为． ∵以原点O为位似中心，位似比为，即相似比为， ∴点A的对应点的坐标为即或即， 故对应的复数为或． 故答案为：，或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $