精品解析：四川省自贡市田家炳中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025年九年级上学期数学期中学情调查 一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故不合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是分式方程，故不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 2. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得， 而，即． 所以k的值为． 故选A． 3. 若点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， 而离直线的距离最远， 点离直线最近， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质由得到图象开口向下，当时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，从而可判断抛物线增减性． 【详解】解：对于二次函数的图象， 当时，，图像与y轴交点坐标为，A选项说法不正确； 抛物线对称轴为直线，B选项说法不正确； 抛物线顶点坐标为，C选项说法不正确； ∵， ∴图像开口向下， 当时，y随x的增大而增大，D选项说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合思想． 5. 将二次函数配方为的形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】（k-2）x2-2kx+k-6=0， ∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根， ∴， 解得：且k≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性． 通过表格数据发现二次函数图像关于直线对称，进而结合表格作答即可． 【详解】解：∵由表格数据，当和时，y值均为， ∴对称轴为直线． 由表格可知方程（，，，为常数）的负数解的取值范围是， 则方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是． 故选：D． 8. 一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为，由此可解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后总传染人数为，第二轮后总传染人数为， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 9. 若α，β是方程的两个根，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系，，，由此可解． 【详解】由题意得，，， ． 10. 如图选项中，能描述函数与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断直线解析式中的符号，再判断抛物线中的符号，如果一致则符合题意，据此即可求解． 【详解】A．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＞0，b＞0，故选项A不符合题意； B．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＞0，b＜0，故选项B符合题意； C．y＝ax+b的a＜0，b＞0，的a＜0，b＜0，故选项C不符合题意； D．y＝ax+b的a＞0，b＜0，的a＜0，b＜0，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系，分a＞0及a＜0两种情况寻找两函数图像是解题的关键． 11. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程跟的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意得出，进而根据根的判别式的意义判断A，B选项，根据根与系数的关系式得出，进而判断C选项，根据，，得出，，进而求得的值，即可判断D选项，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程存在两实数根， ∴ A． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； B． 若，则，∴，故该选项正确，不符合题意； C． ∵，当，和异号，当时，和同号，故该选项不正确，符合题意； D． ∵，若，则 ∴，则 ∵ ∴，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及，即可判断④；根据图象可判断当时，y有最小值，且为．又可求出，结合对于任意实数m，都有，即可得出，即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，且， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象关于直线对称， ∴其对称轴为直线，即， ∴， ∴． 由图象可知该抛物线开口向上， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴． 由图象结合题意可知当时，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴， 由③可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 由图象可知当时，y有最小值，且为． ∵， 又∵对于任意实数m，都有， ∴，即， ∴，故⑤错误． 故选C 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】-4 【解析】 【分析】在一元二次方程的一般形式：中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，由此求解即可． 【详解】解：一元二次方程x2－4x＋1＝0一次项系数是：－4． 故答案为：－4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，准确掌握一般式中的相关概念是解题的关键． 14. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】解出一元二次方程的两根，结合三边关系直接求解即可得到答案． 【详解】解：解方程得：，， ∵，， ∴不符合题意，符合， ∴这个三角形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元二次二次方程及三角形的三边关系，解题的关键是解出一元二次方程的解结合三边关系判断． 15. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，设小路的宽为，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，根据花圃的面积是，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽是，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故答案为：． 16. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 【答案】（-1，-3） 【解析】 【分析】将抛物线的一般式转化为顶点式，再根据顶点式即可求出结论． 【详解】解：y＝2x2＋4x－1=2（x＋1）2－3 ∴抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为：（-1，-3）． 【点睛】此题考查的是求抛物线的顶点坐标，掌握将抛物线的一般式转化为顶点式是解决此题的关键． 17. 已知方程的两个实数根分别为，则______． 【答案】 ± 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形求出的值，最后开平方得到的结果． 【详解】∵方程中，，，， ∴，， ∴， 对等式两边开平方，得． 故答案为：． 18. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，，解得， 则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=-3； 当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得b=， 所以b的值为-3或， 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点． 三．解答题一（共4小题，每题8分，共32分） 19. 解下列方程：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题利用分解因式法解方程即可． 【详解】解：整理得， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式． 【答案】y＝﹣x2 【解析】 【分析】由函数图象可设该抛物线的解析式是y=ax2，再结合图象，只需把（10，-4）代入求出a的值即可． 【详解】解：设该抛物线的解析式是y＝ax2， 由图象知，点（10，﹣4）在函数图象上，代入得： 100a＝﹣4， 解得：a＝﹣． 故该抛物线的解析式是y＝﹣x2． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解. 21. 如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米宽的门，墙的最大可用长度为米，如果羊圈的总面积为平方米，求边的长． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为米，则的长为米，根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为米，则的长为米， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ， 答：边的长为米． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明： ， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）14 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若，则方程总是有实数根； （2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①若为底边，则为腰长，，， ∴， 解得：， 此时原方程化为， ∴，即， 此时三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若为腰，则中一边为腰， 把代入方程，， ∴， 则原方程化为， ， ∴，， 此时三边为6，6，2能构成三角形， 综上所述：三边为6，6，2， ∴周长为． 【点睛】本题主要考查了根的判别式及三角形的三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． 四．解答题二（共2小题，每题10分，共20分） 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行求解； （2）根据根与系数的关系进行求解； （3）利用完全平方公式进行变形，然后根据根与系数的关系进行求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得； 【小问2详解】 解：， 解得或（不符合题意，舍去） ∴； 【小问3详解】 解： ， 将，代入上式得， ∴（负值已舍）． 【点睛】重点掌握根的判别式和根与系数的关系． 24. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当时，该商家获得的利润最大，； 【解析】 【分析】（1）根据图形找点代入求解即可得到答案； （2）根据数量乘以利润单价得到解析式，结合函数性质求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴， 且有：，即：， ∴； 【小问2详解】 解：设利润为w，由题意可得， ， ∵， ∴当时，该商家获得的利润最大，； 【点睛】本题考查求一次函数解析式，二次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意得到等量关系式． 五．解答题三（共2小题，25题12分，26题14分共26分） 25. 如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】（1） （2） （3）当时，一次函数值大于二次函数值 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，理解题意，熟练掌握二次函数及一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与轴的两个交点，然后将点代入一次函数解析式即可确定的值． （2）先求两个函数的交点的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可． （3）根据图象可得：在线段部分，直线函数值在抛物线函数值上方，结合，，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：，， ∵二次函数的图象与轴交于点（在的左侧）， ∴抛物线与轴交于，， ∵直线经过点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由上可得直线解析式为：， 把代入中得：， 整理得， 解得： (舍)，， 把代入， 得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据图象可得：在线段部分，直线函数值在抛物线函数值上方， ∵，， ∴， ∴当时，一次函数值大于二次函数值． 26. 综合与探究 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为； （3）存在，，，， 【解析】 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为斜边时，则，即可求解；当为斜边时，同理可解． 【小问1详解】 解：将，代入，得 抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：过作轴，交于点 当时， 设直线的表达式为将，代入，得 设， 当时， 当时， 【小问3详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：m=， 即点或； 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为： ，，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级上学期数学期中学情调查 一．选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 3. 若点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系为（） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象与y轴交点的坐标是 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 5. 将二次函数配方为的形式为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（　　） …… …… …… …… …… …… A. B. C. D. 8. 一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人．根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若α，β是方程的两个根，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 3 10. 如图选项中，能描述函数与y＝ax+b，（ab＜0）的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 关于的一元二次方程存在两实数根，下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 和一定异号 D. 若，则 12. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④，⑤．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 一元二次方程的一次项系数是______． 14. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为__________． 15. 如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，设小路的宽为，可列方程______． 16. 抛物线y＝2x2＋4x－1的顶点坐标是___________． 17. 已知方程的两个实数根分别为，则______． 18. 将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为___ 三．解答题一（共4小题，每题8分，共32分） 19. 解下列方程：． 20. 如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式． 21. 如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米宽的门，墙的最大可用长度为米，如果羊圈的总面积为平方米，求边的长． 22. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 四．解答题二（共2小题，每题10分，共20分） 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． （3）在（2）的条件下，求的值． 24. 2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数关系式； （2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？ 五．解答题三（共2小题，25题12分，26题14分共26分） 25. 如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出当为何值时，一次函数的值大于二次函数的值． 26. 综合与探究 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； （3）点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $