专题11 锐角三角函数（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题11 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先利用直角三角形斜边与中线的关系先求出斜边的长，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正弦值． 【详解】 解：在Rt△ABC中， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴AB＝2CD＝5． ∴BC＝ ＝ ＝4． ∴sinA＝ ＝． 故选：A． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”． 2．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，在中，，，，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】 在中： 故选：B 3．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查锐角三角函数的定义，理解余弦的定义是解题的关键．利用勾股定理求得的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案． 【详解】 解：在中，，， ， ． 故选：B． 4．（2026·四川巴中平昌中学·二模）已知为锐角，则的值为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解． 【详解】 解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 5．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在中，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】 ∵ 在中，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 6．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在中，，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了锐角三角函数，勾股定理．利用勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【详解】 解：∵，，， ， ． 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解． 【详解】 解：作PM⊥x轴于点M， ∵P（3，4）， ∴PM=4，OM=3， 由勾股定理得：OP=5， ∴， 故选：D 【点睛】 本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，一个角的正弦值等于它所在直角三角形的对边与斜边之比． 8．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和性质，特殊角的三角函数值，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据非负数的性质，绝对值和平方项均为零，从而求出和的度数，再根据三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】 解：∵，且， ∴， 即， ∵，均为锐角， ∴， ∴， 故选：D． 9．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（       ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】C 【分析】 根据折叠的性质可得，设，则，则，在中勾股定理建列方程，求得，进而求得，根据，可得，即，求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处， ,， ，， 设，则，， 在中， 即， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选C． 【点睛】 本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 10．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12， ∴BC==5， ∴sin∠A==， 故选：D. 11．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么tanA等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据cosA=得到，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，再根据正切的定义即可求得结果. 【详解】 解：如图所示 ∵∠C=90°，cosA= 设AC=3x，AB=5x, ∴在Rt△ABC中，, ∴tanA= 故选D. 【点睛】 本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值. 12．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正弦值，勾股定理．解题的关键在于构造含有的直角三角形．如图，延长到，连接，由图可知，勾股定理求的值，代入中计算求解即可． 【详解】 解：如图，延长到，连接 由图可知： ∵， ∴ 故选D． 13．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）cos30°=（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】直接根据特殊角的锐角三角函数值求解即可. 【详解】 故选C. 【点睛】考点：特殊角的锐角三角函数 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握特殊角的锐角三角函数值，即可完成. 14．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在中，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键． 根据正弦的定义即可解答． 【详解】 解：∵在中，，， ∴． 故选：C． 15．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）下列结论中正确的有（        ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查三角函数的基本性质，包括特殊角的值和余角恒等式． 通过直接计算和恒等式变换判断各结论的正确性． 【详解】 解：∵ ， ∴，故① 错误； ，故② 正确； ∵ ，即根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ，故③ 正确； ∵ ，且为锐角，结合根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦， ∴ ， ∴ ，故④ 正确； 综上，正确的结论有② 、③ 、④ ，共3个， 故选：C． 16．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，在中，，点是延长线上的一点，且，则的值为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设AC=x，根据三角函数可得，BC=，AB=2x，求出DC即可． 【详解】 解：设AC=x， ∵，， tan∠ABC=, , BC=， sin∠ABC=, , AB=2x， BD=2x， DC=2x+=， tan∠DAC=， 故选：C． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数和求三角函数值，解题关键是根据三角函数的定义，利用特殊角，表示出相关线段长． 17．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度数为（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 【答案】C 【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA=，tanB=1，进而得出∠A=30°，∠B=45°，即可得出答案． 【详解】∵|sinA-|+（1-tanB）2=0， ∴|sinA-|=0，（1-tanB）2=0， ∴sinA=，tanB=1， ∴∠A=30°，∠B=45°， ∴∠C的度数为：180°-30°-45°=105°． 故选C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及偶次方的性质，正确得出sinA=，tanB=1是解题的关键． 18．（2026·四川巴中平昌中学·二模）下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②在中，．则，；③若、互为余角，则；④若为锐角，则．其中真命题有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题主要考查了锐角三角函数的定义、解直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的取值范围及互余角的三角函数关系是解题的关键． 逐一分析四个命题的真假，根据锐角三角函数的定义、解直角三角逐一分析四个命题的真假即可． 【详解】 解：锐角的正弦、余弦、正切值均为正数，故① 是真命题； 在中，，与是比例关系（如、也满足），故② 是假命题； 、互余，即，则，（如时，），故③ 是假命题； 为锐角（），余弦值随角度增大而减小，且、，，故④ 是真命题； 综上，真命题有① 和④ ，共2个． 故选：B． 19．（2026·四川巴中平昌中学·二模）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】(1) 2 (2)， 【分析】 本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再化简计算各数，然后进行加减计算； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） 或 ∴，． 20．（2026·四川巴中平昌中学·二模）中，，，于点D，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形．先求得，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在与中，． ∴． ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题考查特殊角的三角形函数值、负指数幂，零指数幂和解一元二次方程； （1）先计算绝对值，二次根式的性质化简根和幂运算，再合并即可得解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 22．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）计算：． 【答案】 【分析】 先利用无理数大小估算及不等式的性质确定的符号，然后计算负整数指数幂、求一个数的算术平方根、特殊角的三角函数、化简绝对值，最后按照实数的混合运算法则—先乘除后加减进行计算即可． 【详解】 解：， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了负整数指数幂，求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数，无理数大小估算，不等式的性质，化简绝对值，实数的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 23．（2025·四川宜宾·质量监测）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的化简、负整数指数幂的运算、一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握实数的混合运算规则和一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先分别计算特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简和负整数指数幂，再进行加减运算． （2）先将方程整理为一般式，再通过因式分解法求解． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， ， 或， ，． 24．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）（1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）0 （2）， （3）， 【分析】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程、实数的运算及分式的化简求值，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键． （1）先将特殊三角函数值和指数化简，再按照实数的混合运算法则进行计算即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）先按照分式的性质化简，再根据x的方程求值． 【详解】 解：（1）， ， ， ； （2）， 因式分解得， 解得，； （3）， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， ， ． 25．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）利用乘方、绝对值和特殊三角函数值计算； （2）利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1） （2）解： ∴或 ∴，． 26．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的实数运算，涉及二次根式的运算、负整数幂的运算，熟练掌握相关运算法则并正确运算是解答的关键． （1）利用二次根式的性质、负整数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别求解即可； （2）原方程化为，利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解：将方程化为， ， 或， 解得：． 27．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】 解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 28．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）解方程或计算： （1）． （2）． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴或 ∴， (2) 小问详解： 解：原式 29．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标； （3）在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）点E的坐标为或     （3）      【分析】 （1）把点代入求得，再把点A坐标代入反比例函数解析式求得，联立方程组 ，求解即可； （2）设，可得、，分类讨论：① 若E为的中点，② 若F为的中点，③ 若G为的中点，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）求得，利用锐角三角函数可得，，分类讨论：当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接，利用锐角三角函数列方程求解；当点P在直线右侧时，故此情况不存在，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点在一次函数的图象上， 把点代入得， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B， 联立方程组得， ， 解得 或 ， ∴； (2) 小问详解： 解：设， ∵点F在反比例函数的图象上，点G在一次函数的图象上， ∴、， ① 若E为的中点， ∴， 整理得，方程无解， ∴该情况不存在； ② 若F为的中点，如图1， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； ③ 若G为的中点，如图2， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点E的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵一次函数的图象与x轴交于点C． 把代入得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在反比例函数图象上， 设， 当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 解得或（舍）， ∴； 当点P在直线右侧时， ∵， ∴当时，点P在的延长线上， ∴此种情况不存在， 综上所述，点P坐标为． 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与坐标轴的交点问题、锐角三角函数、平行线的性质、中点坐标公式、解一元二次方程、用待定系数法求反比例函数解析式及两点间的距离公式，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 30．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2） 【分析】 本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，实数的运算，解一元二次方程 ； （1）根据特殊角的三角函数，绝对值，零指数幂，负整数指数幂的运算性质计算即可． （2）采用因式分解法解一元二次方程计算即可． 【详解】 解：（1） ， ； （2） ， ， ， ， ， 解得：． 31．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）计算或解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的乘法，实数的混合运算，以及解二元一次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先把第1项和第4项代入特殊角的三角函数值，第2项根据零指数幂的意义，第3项根据算术平方根的意义化简，再进一步计算即可； （2）用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， 即，开平方，得，， ∴，． 32．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出先向右平移5个单位，再向上平移4个单位的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧画出放大后的图形； （3）直接写出______． 【答案】（1） 如图即为所求；      （2） 如图即为所求；      （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的图形平移，位似图形的作图，锐角三角函数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键 （1）根据向右平移横坐标加、向上平移纵坐标加，画出平移后各顶点坐标，再连接成三角形； （2）连接并延长至，使，同理确定，再连接成三角形； （3）先根据勾股定理求出长度，由面积组合法求得，再根据求出长， 由勾股定理求得长后，即可求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接并延长至，使，同理确定，再连接成三角形； (3) 小问详解： 解：过点作于点． 由、，根据勾股定理得 ，， 由面积组合得： ， 由面积公式：， ∴， 解得 ， 由勾股定理： ， ∴． 故答案为：． 33．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2）， 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值． （1）根据非零的零次幂等于1，绝对值，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，特殊角的三角函数值，可得答案； （2）根据因式分解法，可得方程的解． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）， ， ，． 34．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）（1）计算：． （2）解方程：． （3）已知 ①化简A； ②若点在反比例函数的图象上，求A的值． 【答案】（1） （2） （3）① ；② 【分析】 （1）先计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，化简二次根式以及零指数幂，然后计算乘法，接着从左到右进行计算即可； （2）先去分母，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （3）① 先对括号内的分式进行化简进行加法运算，然后将除法化成乘法，即可得出答案； ② 由题意可知，然后代入求值即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ； 经检验，是原方程的根； 所以原方程的解为； （3）① ； ②点在反比例函数的图象上， ； 【点睛】 本题考查了特殊三角函数的混合运算，解分式方程，分式的化简求值，零指数幂，反比例函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 35．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）计算或化简： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先利用二次根式乘法法则计算第一项，再用平方差公式计算第二项，完全平方公式展开第三项，最后合并同类项； （2）先代入特殊三角函数值，再按四则运算顺序计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的运算、乘法公式（平方差、完全平方）、特殊三角函数值的计算，熟练掌握运算法则、乘法公式及特殊三角函数值是解题的关键． 36．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及解一元二次方程． （1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义和绝对值的性质化简，再算加减； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得． 37．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）计算： （1）计算：； （2）因式分解：； （3）解方程：； （4）解方程：； （5）解不等式：； （6）解不等式：． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）     （6） 或       【分析】 本题考查实数的混合运算，因式分解，解方程和不等式，熟练掌握相关运算法则，解方程和不等式的步骤，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； （4）两边平方，解无理方程即可； （5）将不等式转化为一元二次不等式，再进行求解即可； （6）将不等式转化为的形式，再转化为两个一元一次不等式组进行求解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 去分母，得， 整理，得， ， 解得或； 经检验：是原方程的增根，舍去；是原方程的解； ∴方程的解为； (4) 小问详解： ， ， ， ， 解得或； 经检验：是原方程的解，是原方程的增根，舍去； 故； (5) 小问详解： ， ， ， ， 或 ， 解得或无解； 故； (6) 小问详解： ， ， ， ， 或 ， 解得或． 38．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）（1）计算：． （2）解方程（用公式法）：    （3）解方程（用配方法）：． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】 本题主要考查了实数的运算，解方程及特殊角的三角函数值，掌握实数的运算法则，公式法和配方法解方程的方法是解答关键. （1）根据负数的奇次方的计算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则来计算求解； （2）先求出判别式，确定有根后，再用求根公式法求解； （3）移项，再将方程左边进行配方，再开方求解. 【详解】 解：（1） ； （2）在中 ， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ，； （3）由得， ， ， ， ，. 39．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上，即可得S△OBD，S△AOC|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值． 【详解】 过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°． ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC． 又∵∠AOB=90°，tan∠BAO，∴，∴，即，解得：k=±4． 又∵k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及锐角三角函数的定义．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 40．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角．此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图1，在中，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．如图2，在等腰三角形中，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形．则　　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：第一种情况：若，时，； 第二种情况：若，时， ∴， 作于点M，作于点H， 设，则， 则有， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：若，时，如图， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述：满足条件时，或或． 故答案为：或或． 41．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点E、F，连接，，与相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有：　　　　　　　　　　　　　　　　． （填序号） 【答案】① ② ④ 【分析】 本题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，所以，则，所以，可判断① 正确；可求得，则，可判断② 正确；设，作于点，于点，则，求得，则，可判断④ 正确；再证明，则，求得，可判断⑤ 错误；再证明，得，则，可判断③ 错误，于是得到问题的答案． 【详解】 解：四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ，，， ，， ， ， ， ，故① 正确； ，， ， ，故② 正确； 设，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ，即故④正确； ， ， ， ， ， ，故⑤错误； ，， ， ， ， ， ， ，故③ 错误， 故答案为：① ② ④． 42．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论． 【详解】 解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K． 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 如图，易知三角板的为直角，直尺的两条边平行，则可得的对顶角和的同位角互为余角，即可求解． 【详解】 如图，根据题意可知为直角，直尺的两条边平行， ∴，，， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导． 2．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【分析】 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，得到，故① 正确；由直角三角形的性质可得，即可得，故② 错误；通过证明 ，可得，作于G，根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出，可求，故③ 正确；根据三角形的面积公式计算，可判断④ 正确，设，，可求，，可得，故⑤ 正确；即可求解． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴，，故① 正确； 如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴，故② 错误； ∵，，F是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于G，则， ∴ ， ∴， ∴，故③ 正确； ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴，故④ 正确； ∵ ， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤ 正确； 故选C． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由改为，已知原传送带长为4米．    （1）求新传送带的长度；（结果保留根号） （2）如果需要在货物着地点的左侧留出2米的通道，试判断距离点5米的货物是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0．1米参考数据：，，） 【答案】（1）4米； （2）货物DEFG不用挪走，理由： 在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2． 在Rt△ACM中，CM＝． ∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2．08． ∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2， ∴货物DEFG不需要挪走． 【分析】 （1）先根据AB的长度求出AM的高度，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出AC的长度； （2）先利用AM的高度求出CM的长度，进而求出CB的长度，然后利用DC=DB-CB求出DC，最后用DC的长度与2进行比较即可，若DC的长度大于2则货物不用搬走，反之则需要搬走． 【详解】 解：（1）如图，      在Rt△ABM中， AM＝ABsin45°＝2． 在Rt△ACM中， ∵∠ACM＝30°， ∴AC＝2AM＝4． 即新传送带AC的长度约为4米； （2）略 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】 （1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③ ，在矩形中，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④ ，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】 解：（1）如图① ，是的垂直平分线， ， 由折叠得， 在中， ， ， 由折叠得，； （2）如图② ，由（1）得， 在矩形中， ， 在中， 是的垂直平分线， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （3）如图③ ，在矩形中， 是的垂直平分线， 由折叠得， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，解得， ； 如图④ ，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中， 是的垂直平分线， 由折叠得， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，解得， ； 综上得，或． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 5．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在中，，为锐角且． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． (1) 小问详解： 解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． (2) 小问详解： ∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． (3) 小问详解： 在中，， ∴． ∴的值为． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 6．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． （1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_____； （2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； （3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出的值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含有的直角三角形的边长关系，勾股定理，正确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）可得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答； （2）可得为等腰直角三角形，当时，可得，当重合时，最小即可解答； （3）分类讨论，即点落在上方或下方两种即可解答． (1) 小问详解： 解：，， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当时，最小，即； (3) 小问详解： 解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 在直角三角形中， ， ； 如图，当点落在下方时，过点作交于点， 同理可得四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 7．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）当点E为的中点时，求的长； （3）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1） 证明：∵是边上的高， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）解析式为，当时，y有最大值为      【分析】 （1）利用AA证明，即可； （2）过点E作于点N，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出BM=3，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解； （3）延长交的延长线于点G．根据，可得，再证得，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点E作于点N， 在平行四边形中， 又∵是边上的高， ∴AM⊥AD， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，； ； (3) 小问详解： 解：延长交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵ABCD， ∴，∠EGC=∠BFE=90°， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴当时，y有最大值为． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键． 8．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知如图，矩形中，点是上一动点，沿折叠，使点落在点处，射线交射线于点．当时，　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了矩形与折叠问题，解直角三角形的相关计算，勾股定理，由勾股定理求出，由矩形的性质可得出，进而根据可求出，由翻折可知，最后再根据，求出． 【详解】 解：如图，设与交于点O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 故答案为：2． 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，点D是以为直径的上一点，过点B作的切线，交的延长线于点C，E是的中点，连接并延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）条件下，求、、弧围成的阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，， 为的直径， 在中， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线；     （2）的半径为；     （3）阴影部分的面积为      【分析】 （1）连接、，证即可； （2）根据，得出，根据三角函数求出长度即可求出半径； （3）根据（2）中数据求出，的长度，再根据阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积计算阴影部分的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 即的半径为； (3) 小问详解： 由（2）知，， ， ，， ， 阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积， 阴影部分的面积为． 【点睛】 本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握切线定理，特殊角三角函数，扇形面积等知识是解题的关键． 10．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿翻折，点A的对应点为点F，线段恰好经过点C．若，，则的长度为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质和锐角三角函数的概念．过E作于G，设，则，由勾股定理求出，由三角形的面积法求出，再根据可得，根据将沿翻折，点A的对应点为点F，求出，是等腰直角三角形，故，而，故，，可得从而可求出值，即可得出答案． 【详解】 解：过E作于G，如图： 由，，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点A的对应点为点F， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 11．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在中，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点C作，且，过点B作交的延长线于点H，连接交于点F，当点E与点F重合时，取得最小值，最小值为，计算其长度即可． 【详解】 解：过点C作，且，过点B作交的延长线于点H，连接交于点F， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴当G，E，B三点共线时，取得最小值即点E与点F重合，取得最小值， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了两点之间线段最短，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握两点之间线段最短，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 12．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 【答案】（1）四边形是正方形， ， 即，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． （2）（3） 【分析】 （1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出， （2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解， （3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理． 【详解】 解：（1）略 （2）作于点， ∴， ∴， 在矩形中， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）作于H，交于G， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 过点，交于点M， 则四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴， ，，， ． 13．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图1，在中，，．、分别是、边的中点，连接．现将绕点逆时针旋转，连接，并延长交于点． （1）如图2，点正好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图3，若恰好平分，求出的长． 【答案】（1） ① 证明：在中， ∴， ∵、分别是、边的中点， ∴，， ∴， ∵旋转，点正好落在边上， ∴三点共线，， ∴在中， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中， ∴； ②     （2）的长为      【分析】 （1）① 运用中位线的判定得到，，结合旋转得到，在中，如图所示，过点作于点，由解直角三角形的计算得到，由此即可求解； ② 如图所示，过点作于点，则，根据解直角三角形的计算得到，列方程求解得到，运用勾股定理即可求解； （2）如图所示，设交于点，可证，运用相似三角形，解直角三角形的计算，数形结合分析，分别计算出的值即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 如图所示，过点作于点，则，， 由① 的计算得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， 在中，； (2) 小问详解： 解：如图所示，设交于点， ∵旋转， ∴， ∴，即， 根据上述计算得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由上述计算得到， ∴四点共圆， 设交于点，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，即， 整理得， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴ ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查相似三角形，解直角三角形，中位线，旋转等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作图，正确运用解直角三角形的计算公式是解题的关键． 14．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）为反比例函数第四象限上一点，过点作轴于点，使与相似，求满足条件的点坐标； （3）在（）的条件下，点为平面内任意一点，将绕点顺时针旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若恰好有两个点落在上，请直接写出的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；     （2）或；     （3）或．      【分析】 ()由待定系数法即可求解； ()当与相似，或，即或，即可求解； ()若恰好有两个点落在 上，只能是点落在 函数上，设点，得到点的坐标，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点的坐标为， 设一次函数的表达式为 ， 将点代入得： ， ∴， 即一次函数的表达式为：； (2) 小问详解： 由一次函数的表达式知，点， 在中， ， 则与相似， 或， 即或， 设点， 则或， 解得：或(负值已舍去)， ∴点的坐标为：或； (3) 小问详解： 当点的坐标为时， 则，， 若恰好有两个点落在上，只能是点落在函数上， 设点， 则点的坐标分别为、， 将上式两个点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： (不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 当点的坐标为，同理可得：， 解得： (不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】 本题考查了反比例函数综合应用，三角形相似、解直角三角形、图象的旋转，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 15．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）我们把对角互补，且只有一组邻边相等的四边形叫做“补邻四边形”．如图，在中，，点、分别在边、上．如果四边形是“补邻四边形”，那么四边形的面积是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】 解：作于点， ， ， 在中， ， ， ， ∵四边形是“补邻四边形”， 分情况讨论， ① 当时， ∵， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ② 当时， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③ 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ∴四边形的面积是； ④ 当时， 同理， ， 设，则， ， ∴，即， 解得：， 则， ∴四边形的面积； 故答案为：或． 16．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，是的直径，点、是上的点，且，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接交于点，则， ， 交的延长线于点 是的切线；     （2）     （3）      【分析】 （1）连接交于点，可证明，再通过，得到，推出，则，得证； （2）易得为等边三角形，可得，进而利用勾股定理即可得解； （3）作于点，则四边形是矩形，由，得，由，得到，，，根据，得到，解得，，由勾股定理得到，再计算，由得到，再证明，得，可得到的长度 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，由（1）得， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：作于点，则 由（1）可知 又 ， 四边形是矩形 ， 于点 是直径 的长是． 【点睛】 本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的中位线定理、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 17．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 【答案】① ③ ④ 【分析】 ①利用折叠性质得到，，在中求出，从而得到． ②在中，由，利用三角函数求出． ③构造全等三角形，证明． ④利用胡不归模型，将转化为某线段，再求垂线段最短． 【详解】 解：① ∵四边形是正方形，对折使与重合，折痕为， ∴，， ∵过折叠使落在上的处， ∴， 在中， ∴， ∴，故①正确． ② ∵ 在中，故② 错误． ③由折叠可得，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④过作于，连接， ∵， ∴， ∴， 当时，取最小值，即取最小值， 此时，在中，， ∴， ∴的最小值是，故④正确； 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数以及胡不归模型的应用，熟练掌握折叠前后图形的对应关系和转化思想是解题的关键． 18．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点，交于点，连接，若，轴，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作于，交于，作于，过点作于，由，得，设，即得再证明四边形是矩形，得到，，，由是以为斜边的等腰直角三角形，可证明，从而可得，，再证明四边形是矩形，可得，进而可得，解方程即可得答案． 【详解】 解：过点作于，交于，作于，过点作于，如图：        ， ，即， 设， 反比例函数的图象经过点， ， 轴，， ， 四边形是矩形， ，， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， 轴，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，正方形、矩形的判定与性质，平行四边形的性质，三角函数，综合性较强，有一定难度，熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 19．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，连接，若，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 作，，，垂足分别为H，G，F，则四边形为矩形，得到，，，，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出，的长，正切的定义求出，勾股定理求出x的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：作，，，垂足分别为H，G，F，则四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，， 则，， ∴，， ∴， ∴在中， 由勾股定理，得，即， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∵，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键． 20．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． （1）求的值及线段的长； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； （3）将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 【答案】（1）；     （2）；的面积为     （3）      【分析】 （1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． (1) 小问详解： 解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为， 令，则，即， 所以， 故． (2) 小问详解： 解：如图所示， 由题意可得：，， 故的横坐标为，D的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设， 设直线的表达式为， 则 ， 解得： ， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故， 解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． (3) 小问详解： 解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线， 把代入得：， 解得：， ∴， 的图象沿着直线翻折后，如图所示， 是公共角， ∵时， ∴， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． 21．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点M不与原点重合．对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为．点关于直线的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“双称点”． （1）已知点，、点Q是点P关于点M的“双称点”． ①当时，则点Q的坐标为______； ②试判断的长度是否为定值，若是，请求出的长；若不是，请用m的代数式表示； （2）若点，，其中，点Q是点P关于点M的“双称点”，则当P，Q，M三点构成的三角形为等边三角形时，求出n的值； （3）已知点，是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“双称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1）①；②的长度是定值，的长为2     （2）     （3）当最大时，的长为或      【分析】 （1）① 根据“双称点”的定义画出点的位置．再根据中点坐标公式和轴对称的性质即可写出点的坐标； ② 由题意可得，轴，根据两点的距离求解即可； （2）连接，，，，利用中心对称的性质得到，利用轴对称的性质得到，则根据直角三角形的判定定理得到，利用菱形的判定定理得到，再解直角三角形即可得出结论； （3）画出图形，可得在绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大，根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，点，，如图： 点是点关于点的“双称点”， ，， ， ， ． 故答案为：； ②的长度为定值，的长为2．理由： 点，，点关于点的对称点为， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 轴， ． 的长度为定值，的长为2； (2) 小问详解： 解：连接，，，，如图， 点关于点的对称点为， ， ，， ， ． ，， ． 点关于直线的对称点为， ，，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 当，，三点构成的三角形为等边三角形时， ． ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ． ， ， ； (3) 小问详解： 解：∵是边长为2的等边三角形, ∴， 连接，，交于点，如图： 由“双称点”的定义得为的中点，为的中点， ，，， 当最大时，最大， ∵ ∴在绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大， 当点在左侧时，如图：过点作于点，连接， 是边长为2的等边三角形 ，， ∴ 点， ， ， ． 当点在右侧时，如图：过点作于点， 是边长为2的等边三角形 ，， ∴ 点， ， ， ． 综上，当最大时，的长为或． 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，几何变换的特征与性质，中心对称和轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 22．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，在中，，，D为边上一动点，连接，过点D作，射线交于点E，过点B作与交于点F． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的长； （3）若，过点F作且，连接，．当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴，即．     （2）的长为或     （3）      【分析】 （1）利用已知条件证明，得到，进而求证出； （2）设，则，根据，得出，解得，，分情况讨论和的长度，利用勾股定理及相似三角形的判定与性质得出的长度即可； （3）延长与交点N，过点H作交的延长线于点M，根据得出，利用相似三角形的判定得出，，求得和的长度，再利用勾股定理得出的长度，最后通过相似三角形对应边比例关系及线段之间的等量关系求得最终结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知，设，则， ∵，，， ∴， 解得，， 此时分情况讨论和的长度： ① 如图，当时，则： 过点E作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴； ② 如图，当时，则： 过点E作交于点G， 同理可得，， ∴，， 在中，由勾股定理得：, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 综上所述，的长为或． (3) 小问详解： 解：如图，延长与交于点N，过点H作交的延长线于点M， ∵，， ∴，， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形及分类讨论思想，解题关键在于掌握相似三角形的判定与性质． 23．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）（1）［探究新知］如图（1），中，，求的值；（提示，在上取一点，连接，使得） （2）［新知应用］如图（2），在中，为边上一点，为延长线上一点，连接，且，若，求的值． （3）［拓展延伸］在第（2）小题的条件下，若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 本题考查了三角函数的应用，勾股定理，三角形中位线性质定理，全等三角形的性质和判定. （1）在上取一点，连接，使得，根据三角函数得到，根据勾股定理得到，进而得到，根据等边对等角及三角形外角的性质得到，进而计算即可； （2）作，作，交于N，交于M，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出； （3）作，作，交于N，交于M，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出． 【详解】 （1）解：在上取一点，连接，使得， ∵中，， ∴， 即， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：作于F，作交于N，交于M， 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在中，为中位线， ， ， ，而， ， ∵ ∴， ， 为的角平分线，即 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：作于F，作交于N，交于M， 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在中，为中位线， ， ， ，而， ， ∵ ∴， ， 为的角平分线，即 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ． 24．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． （1）______（用含有的代数式表示）； （2）如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时． ①证明：    ②计算：的长度 （3）若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． 【答案】（1）     （2） ① 证明：∵， ， ， 点在上， ， ， 又， ， ， ． ②2     （3）或      【分析】 （1）根据点的坐标可得点的纵坐标为 3 ，则，可得，从而得的长； （2）① 求出，证明，推出；② 利用平行线的性质和等腰三角形的判定和性质证明即可； （3）连接交于，过点作于，由折叠的性质得，分三种情况讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，分别计算和的长确定点的坐标即可解答． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，且， ， ∵点在反比例函数上，点的纵坐标为 3 ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： ①略 ②， ， 根据折叠可得， ， ， ． (3) 小问详解： 解：连接交于，过点作于， 由折叠的性质得， 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ② 当时，如图4， 在中， ， ， ， ， ， ， ． ③ 当时， ， ，即， ， 此时三点共线且点与点重合，不符合题意，舍去， 综上所述，所求点坐标为或． 【点睛】 本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 考点03 应用举例 1．（2025·四川宜宾·质量监测）宜宾中心现为川南第一高楼，外观设计融入宜宾的大江文化与自然风貌，以风帆为造型，寓意扬帆起航，象征宜宾在时代大潮中开拓进取，成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量宜宾中心的高度，如图，在地面观测点处测得楼顶的仰角为，沿水平方向向楼底行走100米到达观测点处，测得楼顶的仰角为，已知观测点与楼底在同一直线上，求宜宾中心的高度．（结果保留整数） （参考数据：） 【答案】宜宾中心的高度约为288米． 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握利用三角函数建立方程求解高度的方法是解题的关键．设宜宾中心的高度米，利用中得到，再在中用表示，最后根据列方程求解． 【详解】 解：设米， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴在中， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 答：宜宾中心的高度约为288米． 2．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．） 【答案】古树的高度约为 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，求出，即可求解． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点F，则， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ，， ， 在中， 答：古树的高度约为． 3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】 解；设， ∵， ∴， 在中， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：桥塔的高度为． 4．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，为路面水平线，某驾驶员开车时视线经过点A，F形成盲区、．已知都垂直于，，． （1）求该驾驶员开车时盲区的总面积； （2）若，试求驾驶员开车时眼睛离地面的距离（精确到，参考数据：）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，关键是作出辅助线构造直角三角形． （1）先证明四边形是矩形，得到，求出，再求出，进而求出结论； （2）过点P作于点G，交于点H，则，设，得出，列方程解决即可； (1) 小问详解： 解：∵都垂直于，， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴该驾驶员开车时盲区的总面积是． (2) 小问详解： 过点P作于点G，交于点H， ， 设， ， ， 同（1）， ， ， 解得：， ． 5．（2026·四川巴中平昌中学·二模）一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道下滑，已知该运动员滑行距离为米，则高度下降了　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡比问题，根据坡比定义求出坡角为，再利用正弦函数计算下降高度即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设斜坡的坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∵运动员滑行距离为米，即斜边长度为米， ∴下降的高度为：（米）， 故答案为：． 6．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米     （2）米      【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． (2) 小问详解： 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， 设米，则（米）， ∵在中， ∴（米）， ∵在中， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 7．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位． 国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】 本题主要考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． 由题意易得，，然后可设，则有，，进而根据三角函数可建立方程求解即可． 【详解】 解：由题意得：，， 设，则有， ∴在中， 在中， ∴，解得：， ∴． 答：小雁塔的高度的． 8．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段表示三片风叶，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为的标杆影长为． （1）直接写出的度数及的长； （2）求风叶转动时点B到地面的最小距离． 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）先由等边对等角以及三角形内角和性质列式计算得，运用平行线的性质证明，代入数值计算，即可作答． （2）先证明四边形为矩形，易得故，结合算出，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，同一时刻测得高为的标杆影长为． ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图2，作于H点，于点G， ∵， ∴， 则四边形为矩形， 由题意可知， ， ∴点B到地面的最小距离为． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底行走80米到达观测点处，测得塔顶的仰角为．已知观测点，与塔底在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，） 【答案】塔的高度约为213米 【分析】 本题考查了直角三角形的三角函数在实际测量中的应用，解题的关键是设塔高为未知数，结合两个仰角分别表示出线段长度，再根据已知距离建立方程求解． 【详解】 解：设塔的高度为米． 在中，， ． 在中， ， ， 解得． 答：塔的高度约为213米． 10．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：） 【答案】8米 【分析】 过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF=，解得 米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米． 【详解】 解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米， ∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°， ∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形， ∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米， ∵∠MEF=45°，∠EFM=90°， ∴MF=EF=x, ∴FB=FE+EB=x+3.5， ∴tan∠MBF=， ∴解得 米， 经检验米符合题意， ∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米． 【点睛】 本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键． 11．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 【答案】千米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， 在中，千米， ∴（千米）， 在中， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 12．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为　　　　　　　　　　　m（结果保留根号）． 【答案】 【分析】 在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长． 【详解】 解：过点D作交于点E，如图： 则四边形BCED是矩形， ∴BC=DE，BD=CE， 由题意可知：，， 在中， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 13．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【分析】 过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】 解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ， 在中， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，在中，，，，，则（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，，，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（2026·四川巴中平昌中学·二模）已知为锐角，则的值为（） A.  B.  C.  D.  5．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在中，，，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）在中，若，满足，且，均为锐角，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（       ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 10．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么tanA等于（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）cos30°=（ ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在中，，，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）下列结论中正确的有（        ） ①；②；③；④若为锐角，且，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（   ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，那么∠C的度数为（　　） A. 75° B. 90° C. 105° D. 120° 18．（2026·四川巴中平昌中学·二模）下列给出的四个命题：①所有锐角三角函数值都是正数；②在中，，．则，；③若、互为余角，则；④若为锐角，则．其中真命题有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 19．（2026·四川巴中平昌中学·二模）（1）计算：． （2）解方程：． 20．（2026·四川巴中平昌中学·二模）中，，，，于点D，则的值为　　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）（1）计算：； （2）解方程：． 22．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）计算：． 23．（2025·四川宜宾·质量监测）（1）计算： （2）解方程： 24．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）（1）计算：； （2）解方程：； （3）先化简，再求值：，其中x满足． 25．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）（1）计算： （2）解方程： 26．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）计算： （1）； （2）． 27．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，三个顶点都在格点上，已知小方格的边长为1，则　　　　　． 28．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）解方程或计算： （1）． （2）． 29．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标； （3）在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 31．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）计算或解方程∶ （1）； （2）． 32．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出先向右平移5个单位，再向上平移4个单位的图形； （2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧画出放大后的图形； （3）直接写出______． 33．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）（1）计算：． （2）解方程：． 34．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）（1）计算：． （2）解方程：． （3）已知 ①化简A； ②若点在反比例函数的图象上，求A的值． 35．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）计算或化简： （1） （2） 36．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）计算 （1） （2） 37．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）计算： （1）计算：； （2）因式分解：； （3）解方程：； （4）解方程：； （5）解不等式：； （6）解不等式：． 38．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）（1）计算：． （2）解方程（用公式法）：    （3）解方程（用配方法）：． 39．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为　　　　　　　　　． 40．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角．此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图1，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．如图2，在等腰三角形中，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形．则　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E、F，连接，，与相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有：　　　　　　　　　　　　　　　　． （填序号） 42．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为　　　　　　　　． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若，则度数是(     ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）如图，已知正方形，延长至点E使，连接，，与交于点N，取得中点F，连接，，交于于点M，交于点O，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（     ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图是某货站传送货物的平面示意图为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角使其由改为，已知原传送带长为4米．    （1）求新传送带的长度；（结果保留根号） （2）如果需要在货物着地点的左侧留出2米的通道，试判断距离点5米的货物是否需要挪走，并说明理由（结果精确到0．1米参考数据：，，） 4．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 5．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在中，，，为锐角且． （1）求的面积； （2）求的值； （3）求的值． 6．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得． （1）问题解决：如图，当，将沿翻折后，使点与点重合，则_____； （2）问题探究：如图，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值； （3）拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，请直接写出的值． 7．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，平行四边形中，边上的高，点E为边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线的垂线，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）当点E为的中点时，求的长； （3）设的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？ 8．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知如图，矩形中，点是上一动点，沿折叠，使点落在点处，射线交射线于点．当时，　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，点D是以为直径的上一点，过点B作的切线，交的延长线于点C，E是的中点，连接并延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； （3）在（2）条件下，求、、弧围成的阴影部分的面积． 10．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，中，，，点D，E分别在边，上，连接，将沿翻折，点A的对应点为点F，线段恰好经过点C．若，，则的长度为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在中，，D、E分别是边上的动点，且，则的最小值为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别为和上的点，连接，交于点O，若．求证：； 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点E为边上一点，点F为对角线上一点，连接，交于点O，若，，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在矩形中，，点E为边上一点，点F为边上一点，若平分，且，求的长． 13．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图1，在中，，，．、分别是、边的中点，连接．现将绕点逆时针旋转，连接，并延长交于点． （1）如图2，点正好落在边上． ①求证：； ②求的长； （2）如图3，若恰好平分，求出的长． 14．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）为反比例函数第四象限上一点，过点作轴于点，使与相似，求满足条件的点坐标； （3）在（）的条件下，点为平面内任意一点，将绕点顺时针旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若恰好有两个点落在上，请直接写出的坐标． 15．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）我们把对角互补，且只有一组邻边相等的四边形叫做“补邻四边形”．如图，在中，，，点、分别在边、上．如果四边形是“补邻四边形”，那么四边形的面积是　　　　　　． 16．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，是的直径，点、是上的点，且，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长； （3）若，求的长． 17．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点．有如下结论：①；②；③；④为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，以为斜边构造等腰，反比例函数的图象经过点，交于点，连接，若，轴，，则的值为　　　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，在中，，点在边上，，点在的延长线上，连接，若，则的长为　　　　　． 20．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中， 直线分别与y轴、x轴相交于点 A，，过点A的直线与双曲线交于C，D两点（点C在点D的右侧）． （1）求的值及线段的长； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，，求的值及的面积； （3）将直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，再将的图象沿着直线翻折，翻折后的图象交直线于点（点在点的左侧）．当时，求的值． 21．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点M不与原点重合．对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为．点关于直线的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“双称点”． （1）已知点，、点Q是点P关于点M的“双称点”． ①当时，则点Q的坐标为______； ②试判断的长度是否为定值，若是，请求出的长；若不是，请用m的代数式表示； （2）若点，，其中，点Q是点P关于点M的“双称点”，则当P，Q，M三点构成的三角形为等边三角形时，求出n的值； （3）已知点，是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“双称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 22．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，在中，，，，D为边上一动点，连接，过点D作，射线交于点E，过点B作与交于点F． （1）若，求证：； （2）在（1）的条件下，若，求的长； （3）若，过点F作且，连接，．当时，求的长． 23．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）（1）［探究新知］如图（1），中，，，求的值；（提示，在上取一点，连接，使得） （2）［新知应用］如图（2），在中，，为边上一点，，为延长线上一点，连接，且，若，求的值． （3）［拓展延伸］在第（2）小题的条件下，若，求的值（用含的代数式表示）． 24．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图（1），平面直角坐标系中，已知点，反比例函数的图象分别交矩形的两边，于、两点（、不与重合），沿着将矩形折叠使、两点重合． （1）______（用含有的代数式表示）； （2）如图（2），当点恰好落在矩形的对角线上时． ①证明：    ②计算：的长度 （3）若折叠后，连接，是等腰三角形，求此时点的坐标． 考点03 应用举例 1．（2025·四川宜宾·质量监测）宜宾中心现为川南第一高楼，外观设计融入宜宾的大江文化与自然风貌，以风帆为造型，寓意扬帆起航，象征宜宾在时代大潮中开拓进取，成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量宜宾中心的高度，如图，在地面观测点处测得楼顶的仰角为，沿水平方向向楼底行走100米到达观测点处，测得楼顶的仰角为，已知观测点与楼底在同一直线上，求宜宾中心的高度．（结果保留整数） （参考数据：） 2．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（结果保留整数，参考数据：，，．） 3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）在综合与实践活动中，某学习小组计划测量内江麻柳坝大桥桥塔的高度（如图甲）．他们设计了如下方案：如图乙，点B、D、C依次在同一条水平直线上，在B处测得桥塔顶部A的仰角为，在C处测得桥塔顶部A的仰角为，又测得，，垂足为D，求桥塔的高度（结果保留根号）． 4．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，为路面水平线，某驾驶员开车时视线经过点A，F形成盲区、．已知都垂直于，，． （1）求该驾驶员开车时盲区的总面积； （2）若，试求驾驶员开车时眼睛离地面的距离（精确到，参考数据：）． 5．（2026·四川巴中平昌中学·二模）一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道下滑，已知该运动员滑行距离为米，则高度下降了　　　　　　米． 6．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 7．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）小雁塔是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，塔形秀丽，被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位． 国庆假期，小红利用所学知识来测量塔的高度，测角仪和塔底A在同一水平面，如图，她先在C处测得塔顶B的仰角为，然后沿直线向远离塔的方向前进24米到达D处，测得塔顶B的仰角为，求小雁塔的高度．（结果精确到．参考数据：） 8．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）风力发电是我国电力资源的重要组成部分，嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算，如图（图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段表示三片风叶，，某时刻的影子恰好重合为线段于点D，测得，同一时刻测得高为的标杆影长为． （1）直接写出的度数及的长； （2）求风叶转动时点B到地面的最小距离． 9．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）2025年10月16日，位于成都交子公园商圈核心、天府双塔之下的创新型社交商业空间“双塔双集”正式亮相，其“零搭建”数字科技展场成为热门打卡地．某数学实践小组来到现场，计划测量天府双塔其中一座塔的高度．如图，在地面观测点处测得塔顶的仰角为，沿水平方向向塔底行走80米到达观测点处，测得塔顶的仰角为．已知观测点，与塔底在同一直线上，求塔的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，，） 10．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：） 11．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）2025年11月3日，用于防灾减灾、国土资源勘查、水利气象等领域的长征七号改运载火箭，在文昌航天发射场成功发射遥感四十六号卫星，火箭从地面到达点C处时，在A处测得C点的仰角，它沿铅垂线上升到达B处时，此时在A处测得B点的仰角，若千米，求的长．（结果保留根号） 12．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为　　　　　　　　　　　m（结果保留根号）． 13．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．D 11．D 12．D 13．C 14．C 15．C 16．C 17．C 18．B 19．【答案】(1) 2 (2)， 【分析】 本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再化简计算各数，然后进行加减计算； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） 或 ∴，． 20．【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形．先求得，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在与中，． ∴． ∴， 故答案为：． 21．【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题考查特殊角的三角形函数值、负指数幂，零指数幂和解一元二次方程； （1）先计算绝对值，二次根式的性质化简根和幂运算，再合并即可得解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：（1） ； （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 22．【答案】 【分析】 先利用无理数大小估算及不等式的性质确定的符号，然后计算负整数指数幂、求一个数的算术平方根、特殊角的三角函数、化简绝对值，最后按照实数的混合运算法则—先乘除后加减进行计算即可． 【详解】 解：， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了负整数指数幂，求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数，无理数大小估算，不等式的性质，化简绝对值，实数的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 23．【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的化简、负整数指数幂的运算、一元二次方程的解法等知识点，熟练掌握实数的混合运算规则和一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）先分别计算特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简和负整数指数幂，再进行加减运算． （2）先将方程整理为一般式，再通过因式分解法求解． 【详解】 解：（1） ； （2）， ， ， ， 或， ，． 24．【答案】（1）0 （2）， （3）， 【分析】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程、实数的运算及分式的化简求值，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键． （1）先将特殊三角函数值和指数化简，再按照实数的混合运算法则进行计算即可； （2）用因式分解法解方程即可； （3）先按照分式的性质化简，再根据x的方程求值． 【详解】 解：（1）， ， ， ； （2）， 因式分解得， 解得，； （3）， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， ， ． 25．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则； （1）利用乘方、绝对值和特殊三角函数值计算； （2）利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1） （2）解： ∴或 ∴，． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的实数运算，涉及二次根式的运算、负整数幂的运算，熟练掌握相关运算法则并正确运算是解答的关键． （1）利用二次根式的性质、负整数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别求解即可； （2）原方程化为，利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解：将方程化为， ， 或， 解得：． 27．【答案】2 【分析】 本题考查了正切的定义，根据网格线的特点可得，，，进而可知是直角三角形，再利用正切的定义即可解答． 【详解】 解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：2． 28．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴或 ∴， (2) 小问详解： 解：原式 29．【答案】（1），     （2）点E的坐标为或     （3）      【分析】 （1）把点代入求得，再把点A坐标代入反比例函数解析式求得，联立方程组 ，求解即可； （2）设，可得、，分类讨论：① 若E为的中点，② 若F为的中点，③ 若G为的中点，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）求得，利用锐角三角函数可得，，分类讨论：当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接，利用锐角三角函数列方程求解；当点P在直线右侧时，故此情况不存在，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点在一次函数的图象上， 把点代入得， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B， 联立方程组得， ， 解得 或 ， ∴； (2) 小问详解： 解：设， ∵点F在反比例函数的图象上，点G在一次函数的图象上， ∴、， ① 若E为的中点， ∴， 整理得，方程无解， ∴该情况不存在； ② 若F为的中点，如图1， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； ③ 若G为的中点，如图2， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点E的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵一次函数的图象与x轴交于点C． 把代入得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在反比例函数图象上， 设， 当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 解得或（舍）， ∴； 当点P在直线右侧时， ∵， ∴当时，点P在的延长线上， ∴此种情况不存在， 综上所述，点P坐标为． 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与坐标轴的交点问题、锐角三角函数、平行线的性质、中点坐标公式、解一元二次方程、用待定系数法求反比例函数解析式及两点间的距离公式，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 30．【答案】（1）2；（2） 【分析】 本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，实数的运算，解一元二次方程 ； （1）根据特殊角的三角函数，绝对值，零指数幂，负整数指数幂的运算性质计算即可． （2）采用因式分解法解一元二次方程计算即可． 【详解】 解：（1） ， ； （2） ， ， ， ， ， 解得：． 31．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，二次根式的乘法，实数的混合运算，以及解二元一次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先把第1项和第4项代入特殊角的三角函数值，第2项根据零指数幂的意义，第3项根据算术平方根的意义化简，再进一步计算即可； （2）用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， 即，开平方，得，， ∴，． 32．【答案】（1） 如图即为所求；      （2） 如图即为所求；      （3）      【分析】 本题考查平面直角坐标系中的图形平移，位似图形的作图，锐角三角函数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键 （1）根据向右平移横坐标加、向上平移纵坐标加，画出平移后各顶点坐标，再连接成三角形； （2）连接并延长至，使，同理确定，再连接成三角形； （3）先根据勾股定理求出长度，由面积组合法求得，再根据求出长， 由勾股定理求得长后，即可求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接并延长至，使，同理确定，再连接成三角形； (3) 小问详解： 解：过点作于点． 由、，根据勾股定理得 ，， 由面积组合得： ， 由面积公式：， ∴， 解得 ， 由勾股定理： ， ∴． 故答案为：． 33．【答案】（1）2 （2）， 【分析】 本题主要考查了实数的混合运算和解一元二次方程，解题关键是熟练掌握零指数幂的性质、负整数指数幂和特殊角的三角函数值． （1）根据非零的零次幂等于1，绝对值，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，特殊角的三角函数值，可得答案； （2）根据因式分解法，可得方程的解． 【详解】 解：（1）原式 ． （2）， ， ，． 34．【答案】（1） （2） （3）① ；② 【分析】 （1）先计算特殊角的三角函数值，化简绝对值，化简二次根式以及零指数幂，然后计算乘法，接着从左到右进行计算即可； （2）先去分母，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （3）① 先对括号内的分式进行化简进行加法运算，然后将除法化成乘法，即可得出答案； ② 由题意可知，然后代入求值即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）， ， ， ， ； 经检验，是原方程的根； 所以原方程的解为； （3）① ； ②点在反比例函数的图象上， ； 【点睛】 本题考查了特殊三角函数的混合运算，解分式方程，分式的化简求值，零指数幂，反比例函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先利用二次根式乘法法则计算第一项，再用平方差公式计算第二项，完全平方公式展开第三项，最后合并同类项； （2）先代入特殊三角函数值，再按四则运算顺序计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的运算、乘法公式（平方差、完全平方）、特殊三角函数值的计算，熟练掌握运算法则、乘法公式及特殊三角函数值是解题的关键． 36．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，以及解一元二次方程． （1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义和绝对值的性质化简，再算加减； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得． 37．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）     （6） 或       【分析】 本题考查实数的混合运算，因式分解，解方程和不等式，熟练掌握相关运算法则，解方程和不等式的步骤，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可； （4）两边平方，解无理方程即可； （5）将不等式转化为一元二次不等式，再进行求解即可； （6）将不等式转化为的形式，再转化为两个一元一次不等式组进行求解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 去分母，得， 整理，得， ， 解得或； 经检验：是原方程的增根，舍去；是原方程的解； ∴方程的解为； (4) 小问详解： ， ， ， ， 解得或； 经检验：是原方程的解，是原方程的增根，舍去； 故； (5) 小问详解： ， ， ， ， 或 ， 解得或无解； 故； (6) 小问详解： ， ， ， ， 或 ， 解得或． 38．【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】 本题主要考查了实数的运算，解方程及特殊角的三角函数值，掌握实数的运算法则，公式法和配方法解方程的方法是解答关键. （1）根据负数的奇次方的计算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则来计算求解； （2）先求出判别式，确定有根后，再用求根公式法求解； （3）移项，再将方程左边进行配方，再开方求解. 【详解】 解：（1） ； （2）在中 ， ， 所以方程有两个不相等的实数根， ，； （3）由得， ， ， ， ，. 39．【答案】 【分析】 首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上，即可得S△OBD，S△AOC|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值． 【详解】 过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO=∠ODB=90°，∴∠OBD+∠BOD=90°． ∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠AOC=90°，∴∠OBD=∠AOC，∴△OBD∽△AOC． 又∵∠AOB=90°，tan∠BAO，∴，∴，即，解得：k=±4． 又∵k＜0，∴k=﹣4． 故答案为﹣4． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及锐角三角函数的定义．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 40．【答案】或或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：第一种情况：若，时，； 第二种情况：若，时， ∴， 作于点M，作于点H， 设，则， 则有， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种情况：若，时，如图， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 综上所述：满足条件时，或或． 故答案为：或或． 41．【答案】① ② ④ 【分析】 本题重点考查正方形的性质、等边三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形和等边三角形的性质得，，，，则，，所以，则，所以，可判断① 正确；可求得，则，可判断② 正确；设，作于点，于点，则，求得，则，可判断④ 正确；再证明，则，求得，可判断⑤ 错误；再证明，得，则，可判断③ 错误，于是得到问题的答案． 【详解】 解：四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ，，， ，， ， ， ， ，故① 正确； ，， ， ，故② 正确； 设，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ，即故④正确； ， ， ， ， ， ，故⑤错误； ，， ， ， ， ， ， ，故③ 错误， 故答案为：① ② ④． 42．【答案】 【分析】 如图，设交与点J，过点J作于点K．首先利用相似三角形的性质证明，再想办法求出，可得结论． 【详解】 解：如图，设交与点J，交与点T．过点J作于点K． 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图基本作图，矩形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点02 解直角三角形 1．B 2．C 3．【答案】（1）4米； （2）货物DEFG不用挪走，理由： 在Rt△ABM中，BM＝ABcos45°＝2． 在Rt△ACM中，CM＝． ∴CB＝CM﹣BM＝2﹣2≈2．08． ∵DC＝DB﹣CB≈5﹣2.08＝2.92＞2， ∴货物DEFG不需要挪走． 【分析】 （1）先根据AB的长度求出AM的高度，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出AC的长度； （2）先利用AM的高度求出CM的长度，进而求出CB的长度，然后利用DC=DB-CB求出DC，最后用DC的长度与2进行比较即可，若DC的长度大于2则货物不用搬走，反之则需要搬走． 【详解】 解：（1）如图，      在Rt△ABM中， AM＝ABsin45°＝2． 在Rt△ACM中， ∵∠ACM＝30°， ∴AC＝2AM＝4． 即新传送带AC的长度约为4米； （2）略 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】 （1）由折叠可知，再根据三角函数得到，，再根据折叠即可解答． （2）由矩形的性质得，由三角函数得到，再根据垂直平分线和中位线得，，再根据即可解答． （3）如图③ ，在矩形中，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，由折叠设，则，得，解得；如图④ ，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时，由垂直平分线得，再由勾股定理得，，设，由折叠得，得，解得即可解答． 【详解】 解：（1）如图① ，是的垂直平分线， ， 由折叠得， 在中， ， ， 由折叠得，； （2）如图② ，由（1）得， 在矩形中， ， 在中， 是的垂直平分线， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （3）如图③ ，在矩形中， 是的垂直平分线， 由折叠得， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，解得， ； 如图④ ，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中， 是的垂直平分线， 由折叠得， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，解得， ； 综上得，或． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键． 5．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． (1) 小问详解： 解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． (2) 小问详解： ∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． (3) 小问详解： 在中，， ∴． ∴的值为． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 6．【答案】（1）；     （2）；     （3）或．      【分析】 本题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含有的直角三角形的边长关系，勾股定理，正确画出图形，作出正确的辅助线是解题的关键． （1）可得为等边三角形，则可得，解直角三角形即可解答； （2）可得为等腰直角三角形，当时，可得，当重合时，最小即可解答； （3）分类讨论，即点落在上方或下方两种即可解答． (1) 小问详解： 解：，， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 为等腰直角三角形， 根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当时，最小，即； (3) 小问详解： 解：如图，当在上方时，连接，延长交于点，则， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， 在直角三角形中， ， ； 如图，当点落在下方时，过点作交于点， 同理可得四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 7．【答案】（1） 证明：∵是边上的高， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）解析式为，当时，y有最大值为      【分析】 （1）利用AA证明，即可； （2）过点E作于点N，可得四边形为矩形，从而得到，再由勾股定理求出BM=3，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解； （3）延长交的延长线于点G．根据，可得，再证得，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点E作于点N， 在平行四边形中， 又∵是边上的高， ∴AM⊥AD， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，； ； (3) 小问详解： 解：延长交的延长线于点G． ∵， ∴， ∴， ∵ABCD， ∴，∠EGC=∠BFE=90°， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴当时，y有最大值为． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键． 8．【答案】2 【分析】 本题主要考查了矩形与折叠问题，解直角三角形的相关计算，勾股定理，由勾股定理求出，由矩形的性质可得出，进而根据可求出，由翻折可知，最后再根据，求出． 【详解】 解：如图，设与交于点O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 故答案为：2． 9．【答案】（1） 证明：连接，， 为的直径， 在中， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， 即， ， 为的半径， 为的切线；     （2）的半径为；     （3）阴影部分的面积为      【分析】 （1）连接、，证即可； （2）根据，得出，根据三角函数求出长度即可求出半径； （3）根据（2）中数据求出，的长度，再根据阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积计算阴影部分的面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ， ， ， ， 即的半径为； (3) 小问详解： 由（2）知，， ， ，， ， 阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积， 阴影部分的面积为． 【点睛】 本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握切线定理，特殊角三角函数，扇形面积等知识是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质和锐角三角函数的概念．过E作于G，设，则，由勾股定理求出，由三角形的面积法求出，再根据可得，根据将沿翻折，点A的对应点为点F，求出，是等腰直角三角形，故，而，故，，可得从而可求出值，即可得出答案． 【详解】 解：过E作于G，如图： 由，，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿翻折，点A的对应点为点F， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 过点C作，且，过点B作交的延长线于点H，连接交于点F，当点E与点F重合时，取得最小值，最小值为，计算其长度即可． 【详解】 解：过点C作，且，过点B作交的延长线于点H，连接交于点F， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴当G，E，B三点共线时，取得最小值即点E与点F重合，取得最小值， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了两点之间线段最短，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握两点之间线段最短，勾股定理，三角函数的应用，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 12．【答案】（1）四边形是正方形， ， 即，， ， 又， ， 在和中 ， ． ． （2）（3） 【分析】 （1）根据，利用同角的余角相等得出，再根据即可证出， （2）作于点，由，得到，设，则，，，由，得到，，，由，得到，求出，，同理，，得到，，即可求解， （3）作于H，交于G，则，，结合（2）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键是：连接辅助线，熟练掌握相关性质定理． 【详解】 解：（1）略 （2）作于点， ∴， ∴， 在矩形中， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）作于H，交于G， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 过点，交于点M， 则四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴， ，，， ． 13．【答案】（1） ① 证明：在中， ∴， ∵、分别是、边的中点， ∴，， ∴， ∵旋转，点正好落在边上， ∴三点共线，， ∴在中， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中， ∴； ②     （2）的长为      【分析】 （1）① 运用中位线的判定得到，，结合旋转得到，在中，如图所示，过点作于点，由解直角三角形的计算得到，由此即可求解； ② 如图所示，过点作于点，则，根据解直角三角形的计算得到，列方程求解得到，运用勾股定理即可求解； （2）如图所示，设交于点，可证，运用相似三角形，解直角三角形的计算，数形结合分析，分别计算出的值即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 如图所示，过点作于点，则，， 由① 的计算得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， 在中，； (2) 小问详解： 解：如图所示，设交于点， ∵旋转， ∴， ∴，即， 根据上述计算得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由上述计算得到， ∴四点共圆， 设交于点，过点作于点，过点作于点， ∵平分， ∴，， ∴， ∴，， 设，则， 在中，即， 整理得， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴ ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查相似三角形，解直角三角形，中位线，旋转等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作图，正确运用解直角三角形的计算公式是解题的关键． 14．【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；     （2）或；     （3）或．      【分析】 ()由待定系数法即可求解； ()当与相似，或，即或，即可求解； ()若恰好有两个点落在 上，只能是点落在 函数上，设点，得到点的坐标，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入反比例函数表达式得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵点的坐标为， 设一次函数的表达式为 ， 将点代入得： ， ∴， 即一次函数的表达式为：； (2) 小问详解： 由一次函数的表达式知，点， 在中， ， 则与相似， 或， 即或， 设点， 则或， 解得：或(负值已舍去)， ∴点的坐标为：或； (3) 小问详解： 当点的坐标为时， 则，， 若恰好有两个点落在上，只能是点落在函数上， 设点， 则点的坐标分别为、， 将上式两个点的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得： (不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 当点的坐标为，同理可得：， 解得： (不合题意的值已舍去)， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】 本题考查了反比例函数综合应用，三角形相似、解直角三角形、图象的旋转，利用分类讨论思想求解是解题的关键． 15．【答案】或 【分析】 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．分四种情况讨论，作于点，利用四边形的面积，列式计算即可求解． 【详解】 解：作于点， ， ， 在中， ， ， ， ∵四边形是“补邻四边形”， 分情况讨论， ① 当时， ∵， ∴， ∴点和点重合， ∴这种情况不符合题意，舍去； ② 当时， ∴这种情况不符合题意，舍去； ③ 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 作于点， ， ， ， ， ∴四边形的面积是； ④ 当时， 同理， ， 设，则， ， ∴，即， 解得：， 则， ∴四边形的面积； 故答案为：或． 16．【答案】（1） 证明：连接交于点，则， ， 交的延长线于点 是的切线；     （2）     （3）      【分析】 （1）连接交于点，可证明，再通过，得到，推出，则，得证； （2）易得为等边三角形，可得，进而利用勾股定理即可得解； （3）作于点，则四边形是矩形，由，得，由，得到，，，根据，得到，解得，，由勾股定理得到，再计算，由得到，再证明，得，可得到的长度 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，由（1）得， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：作于点，则 由（1）可知 又 ， 四边形是矩形 ， 于点 是直径 的长是． 【点睛】 本题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的中位线定理、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 17．【答案】① ③ ④ 【分析】 ①利用折叠性质得到，，在中求出，从而得到． ②在中，由，利用三角函数求出． ③构造全等三角形，证明． ④利用胡不归模型，将转化为某线段，再求垂线段最短． 【详解】 解：① ∵四边形是正方形，对折使与重合，折痕为， ∴，， ∵过折叠使落在上的处， ∴， 在中， ∴， ∴，故①正确． ② ∵ 在中，故② 错误． ③由折叠可得，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④过作于，连接， ∵， ∴， ∴， 当时，取最小值，即取最小值， 此时，在中，， ∴， ∴的最小值是，故④正确； 故答案为：① ③ ④． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数以及胡不归模型的应用，熟练掌握折叠前后图形的对应关系和转化思想是解题的关键． 18．【答案】 【分析】 过点作于，交于，作于，过点作于，由，得，设，即得再证明四边形是矩形，得到，，，由是以为斜边的等腰直角三角形，可证明，从而可得，，再证明四边形是矩形，可得，进而可得，解方程即可得答案． 【详解】 解：过点作于，交于，作于，过点作于，如图：        ， ，即， 设， 反比例函数的图象经过点， ， 轴，， ， 四边形是矩形， ，， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ，， 轴，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上的点与系数的关系，等腰直角三角形性质，全等三角形判定与性质，正方形、矩形的判定与性质，平行四边形的性质，三角函数，综合性较强，有一定难度，熟练掌握和灵活运用相关性质定理、判定定理，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 19．【答案】 【分析】 作，，，垂足分别为H，G，F，则四边形为矩形，得到，，，，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出，的长，正切的定义求出，勾股定理求出x的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】 解：作，，，垂足分别为H，G，F，则四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，， 则，， ∴，， ∴， ∴在中， 由勾股定理，得，即， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∵，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形是解题的关键． 20．【答案】（1）；     （2）；的面积为     （3）      【分析】 （1）将代入直线中，可得的值，再由勾股定理求长； （2）如图1所示，由两点在双曲线上，故设．可得直线的表达式为，又在直线上，故，从而，所以双曲线的表达式为，再根据的面积求解即可； （3）先求出直线沿轴翻折得到新直线，新直线与轴相交于点，先根据折叠画出双曲线图象沿着直线翻折后得到的图形，再根据相似三角形的性质，得出，得出，设，则，求出，得出点的坐标，再求出折叠前的坐标，代入得出即可答案． (1) 小问详解： 解：将代入直线中，得，故， ∴直线的表达式为， 令，则，即， 所以， 故． (2) 小问详解： 解：如图所示， 由题意可得：，， 故的横坐标为，D的纵坐标为， 又因为两点在双曲线上， 故设， 设直线的表达式为， 则 ， 解得： ， 由待定系数法可得直线的表达式为， 又因为在直线上， 故， 解得：， 所以双曲线的表达式为， 的面积 ． (3) 小问详解： 解：∵，，关于轴对称的点坐标为，， 设直线沿轴翻折得到的新直线解析式为， 代入，得：， 解得：， ∴直线沿轴翻折得到新直线， 把代入得：， 解得：， ∴， 的图象沿着直线翻折后，如图所示， 是公共角， ∵时， ∴， ， ， 点M在直线上， ∴设，则， 解得：， ， 点关于直线的对称点为，即， 根据折叠可知：在原反比例函数上的对应点为， 将代入可得：． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键． 21．【答案】（1）①；②的长度是定值，的长为2     （2）     （3）当最大时，的长为或      【分析】 （1）① 根据“双称点”的定义画出点的位置．再根据中点坐标公式和轴对称的性质即可写出点的坐标； ② 由题意可得，轴，根据两点的距离求解即可； （2）连接，，，，利用中心对称的性质得到，利用轴对称的性质得到，则根据直角三角形的判定定理得到，利用菱形的判定定理得到，再解直角三角形即可得出结论； （3）画出图形，可得在绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大，根据勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：① 当时，点，，如图： 点是点关于点的“双称点”， ，， ， ， ． 故答案为：； ②的长度为定值，的长为2．理由： 点，，点关于点的对称点为， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 轴， ． 的长度为定值，的长为2； (2) 小问详解： 解：连接，，，，如图， 点关于点的对称点为， ， ，， ， ． ，， ． 点关于直线的对称点为， ，，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 当，，三点构成的三角形为等边三角形时， ． ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ． ， ， ； (3) 小问详解： 解：∵是边长为2的等边三角形, ∴， 连接，，交于点，如图： 由“双称点”的定义得为的中点，为的中点， ，，， 当最大时，最大， ∵ ∴在绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大， 当点在左侧时，如图：过点作于点，连接， 是边长为2的等边三角形 ，， ∴ 点， ， ， ． 当点在右侧时，如图：过点作于点， 是边长为2的等边三角形 ，， ∴ 点， ， ， ． 综上，当最大时，的长为或． 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，几何变换的特征与性质，中心对称和轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 22．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴，即．     （2）的长为或     （3）      【分析】 （1）利用已知条件证明，得到，进而求证出； （2）设，则，根据，得出，解得，，分情况讨论和的长度，利用勾股定理及相似三角形的判定与性质得出的长度即可； （3）延长与交点N，过点H作交的延长线于点M，根据得出，利用相似三角形的判定得出，，求得和的长度，再利用勾股定理得出的长度，最后通过相似三角形对应边比例关系及线段之间的等量关系求得最终结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知，设，则， ∵，，， ∴， 解得，， 此时分情况讨论和的长度： ① 如图，当时，则： 过点E作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴； ② 如图，当时，则： 过点E作交于点G， 同理可得，， ∴，， 在中，由勾股定理得：, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 同理在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， 综上所述，的长为或． (3) 小问详解： 解：如图，延长与交于点N，过点H作交的延长线于点M， ∵，， ∴，， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形及分类讨论思想，解题关键在于掌握相似三角形的判定与性质． 23．【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】 本题考查了三角函数的应用，勾股定理，三角形中位线性质定理，全等三角形的性质和判定. （1）在上取一点，连接，使得，根据三角函数得到，根据勾股定理得到，进而得到，根据等边对等角及三角形外角的性质得到，进而计算即可； （2）作，作，交于N，交于M，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出； （3）作，作，交于N，交于M，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出． 【详解】 （1）解：在上取一点，连接，使得， ∵中，， ∴， 即， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：作于F，作交于N，交于M， 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在中，为中位线， ， ， ，而， ， ∵ ∴， ， 为的角平分线，即 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：作于F，作交于N，交于M， 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在中，为中位线， ， ， ，而， ， ∵ ∴， ， 为的角平分线，即 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ． 24．【答案】（1）     （2） ① 证明：∵， ， ， 点在上， ， ， 又， ， ， ． ②2     （3）或      【分析】 （1）根据点的坐标可得点的纵坐标为 3 ，则，可得，从而得的长； （2）① 求出，证明，推出；② 利用平行线的性质和等腰三角形的判定和性质证明即可； （3）连接交于，过点作于，由折叠的性质得，分三种情况讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，分别计算和的长确定点的坐标即可解答． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，且， ， ∵点在反比例函数上，点的纵坐标为 3 ， ， ， ， 故答案为：； (2) 小问详解： ①略 ②， ， 根据折叠可得， ， ， ． (3) 小问详解： 解：连接交于，过点作于， 由折叠的性质得， 当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ② 当时，如图4， 在中， ， ， ， ， ， ， ． ③ 当时， ， ，即， ， 此时三点共线且点与点重合，不符合题意，舍去， 综上所述，所求点坐标为或． 【点睛】 本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 考点03 应用举例 1．【答案】宜宾中心的高度约为288米． 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握利用三角函数建立方程求解高度的方法是解题的关键．设宜宾中心的高度米，利用中得到，再在中用表示，最后根据列方程求解． 【详解】 解：设米， ∵，， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴在中， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 答：宜宾中心的高度约为288米． 2．【答案】古树的高度约为 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，求出，即可求解． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点F，则， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， 解得：， ，， ， 在中， 答：古树的高度约为． 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案． 【详解】 解；设， ∵， ∴， 在中， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：桥塔的高度为． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，关键是作出辅助线构造直角三角形． （1）先证明四边形是矩形，得到，求出，再求出，进而求出结论； （2）过点P作于点G，交于点H，则，设，得出，列方程解决即可； (1) 小问详解： 解：∵都垂直于，， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴该驾驶员开车时盲区的总面积是． (2) 小问详解： 过点P作于点G，交于点H， ， 设， ， ， 同（1）， ， ， 解得：， ． 5．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡比问题，根据坡比定义求出坡角为，再利用正弦函数计算下降高度即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：设斜坡的坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∵运动员滑行距离为米，即斜边长度为米， ∴下降的高度为：（米）， 故答案为：． 6．【答案】（1）10米     （2）米      【分析】 本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． (2) 小问详解： 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， 设米，则（米）， ∵在中， ∴（米）， ∵在中， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查解直角三角形的应用，灵活运用三角函数解决实际问题是解题的关键． 由题意易得，，然后可设，则有，，进而根据三角函数可建立方程求解即可． 【详解】 解：由题意得：，， 设，则有， ∴在中， 在中， ∴，解得：， ∴． 答：小雁塔的高度的． 8．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）先由等边对等角以及三角形内角和性质列式计算得，运用平行线的性质证明，代入数值计算，即可作答． （2）先证明四边形为矩形，易得故，结合算出，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵图中所有点均在同一平面，太阳光线视为平行光线， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，同一时刻测得高为的标杆影长为． ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图2，作于H点，于点G， ∵， ∴， 则四边形为矩形， 由题意可知， ， ∴点B到地面的最小距离为． 【点睛】 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，相似三角形的应用，矩形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．【答案】塔的高度约为213米 【分析】 本题考查了直角三角形的三角函数在实际测量中的应用，解题的关键是设塔高为未知数，结合两个仰角分别表示出线段长度，再根据已知距离建立方程求解． 【详解】 解：设塔的高度为米． 在中，， ． 在中， ， ， 解得． 答：塔的高度约为213米． 10．【答案】8米 【分析】 过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF=，解得 米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米． 【详解】 解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米， ∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°， ∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形， ∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米， ∵∠MEF=45°，∠EFM=90°， ∴MF=EF=x, ∴FB=FE+EB=x+3.5， ∴tan∠MBF=， ∴解得 米， 经检验米符合题意， ∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米． 【点睛】 本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键． 11．【答案】千米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意可得：，然后在，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，再在Rt△ABD中，根据求出，即可解答． 【详解】 解：由题意得：， 在中，千米， ∴（千米）， 在中， ∴， ∴千米， ∴（千米）， 答：的长为千米． 12．【答案】 【分析】 在中，利用，求出，再加上1m即为AC的长． 【详解】 解：过点D作交于点E，如图： 则四边形BCED是矩形， ∴BC=DE，BD=CE， 由题意可知：，， 在中， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 13．【答案】 【分析】 过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】 解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ， 在中， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $