专题07 圆（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题07 圆 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．A 考点02 过三点的圆 1．D 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 考点03 垂直于弦的直径 1．C 2．A 3．C 4．A 5．B 6．【答案】或 【分析】 分圆心在弦和的同侧和之间两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 解：当圆心在弦和的同侧，如图：连接、，过作于，且直线交于， ， ， ，， ，， ， 同理， ∴，， ； 如图：圆心在弦和弦之间， 同理可得、， ∴， 所以弦和之间的距离是或． 7．【答案】6 【分析】 连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA． 【详解】 解：连接OA、OB、OP， ∵∠C＝30°， ∴∠APB＝∠C＝30°， ∵， ∴PB＝AB， ∴∠PAB＝∠APB＝30° ∴∠ABP＝120°， ∵PB＝AB， ∴OB⊥AP，AD＝PD， ∴∠OBP＝∠OBA＝60°， ∵OB＝OA， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝6， 则Rt△PBD中，PD＝cos30°•PB＝×6＝3， ∴AP＝2PD＝6， 故答案为6． 【点睛】 本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路. 考点04 圆心角 1．B 2．【答案】证明：连结OC、OD，如图， ∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点， ∴OM=ON， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC=∠OND=90°， 在Rt△OMC和Rt△OND中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴∠COM=∠DON， ∴ = ． 【分析】 连结OC、OD，由M，N分别是AO，BO的中点得到OM=ON，再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND，则∠COM=∠DON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 = ． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． 3．【答案】2 【分析】 根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可． 【详解】 解：连接OC， ∵C为的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝n， ∴CM＝＝， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM． 考点05 圆周角 1．A 2．C 3．C 4．A 5．A 6．B 7．B 8．【答案】证明：∵是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴． ， ， ， ， 【分析】 本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的性质，等角对等边；根据圆内接四边形可得，进而可得根据可得，则，根据等角对等边，即可得证． 【详解】 略 9．【答案】35°或145° 【分析】 根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】 ① 当点O在三角形的内部时， 则∠BAC=∠BOC=35°； ② 当点O在三角形的外部时， 则∠BAC=（360°-70°）=145° 故答案为35°或145°． 【点睛】 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 10．【答案】 【分析】 首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点F与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】 解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点F在以O为圆心，为半径的劣弧上运动，连接，交于N，当点F与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 考点06 弧长和扇形面积 1．B 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．【答案】 【分析】 本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】 解：如图：     ∵是正三角形，边长为， ∴，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2） ①即为所求： ②      【分析】 本题考查了图形的变换：中心对称与旋转变换，画旋转图形，旋转经过的路径长； （1）根据A、D两点的坐标即可确定对称中心； （2）① 确定A、B、C三个顶点旋转的对应点，依次连接即可； ② 求出的长，由弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 解： 由中点坐标公式得：， 即对称中心的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 连接OA，根据勾股定理可得， ∴点A经过的路径的长为． 9．【答案】厘米 【分析】 本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．先画出圆锥侧面展开图，再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】 解：画出圆锥侧面展开图，点A在点处，连接，如图所示： 根据题意得：，点为的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为：， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 连接，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，然后根据阴影的面积求解即可． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵， ， ， ∵， ， ∵，， ， ， ∵， ， 的面积， ∵， 阴影的面积． 11．【答案】5 【分析】 根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】 设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查圆锥的面积公式，掌握侧面积是解题的关键． 以为轴旋转，形成圆锥，圆锥的高为，底面半径为，母线，全面积为底面积与侧面积之和． 【详解】 在中，，， 由勾股定理得． 以为轴旋转一周，所得几何体为圆锥，高，底面半径，母线． 圆锥的底面积， 侧面积， 全面积． 故答案为：24π． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，角直角三角形的性质，解题的关键是找出旋转角，熟记弧长公式． 根据旋转得出旋转角为，求出的度数即可，然后求出，则，然后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】 解：旋转角为， ∵，， 又由旋转知， ∴； 又∵，， ∴， ∴顶点A从开始到结束所经过的路径长为：． 故答案为： ． 14．【答案】（1），     （2） ① 如图，即为所求，，； ② 如图，即为所求．      【分析】 （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）① 利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； ② 利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再利用扇形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： ① 略； ② ∵， ∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 15．【答案】 【分析】 本题考查几何图形的规律探索与递推关系，涉及正三角形内接与外切于圆的构造，以及弓形面积的计算．关键在于找出每个正三角形对应的半径规律，进而计算每一段弓形面积的表达式，并发现其可能存在的等比或等差关系，从而求出的值．由于小圆O半径为1，且各三角形依次为内接与外切交替出现，应分析相邻三角形之间的半径关系，再结合弓形面积公式进行递推． 【详解】 解：因为小圆 O 的半径为 1，且 为正三角形，所以． 过点 O 作于点 E， 因为， 所以 又， 所以， 所以， 在中，由勾股定理，得 ． 所以． 又, 所以．依次可得 则． 因为, 所以． 所以． 又, 所以． 又, 所以 当 时，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查对正三角形内接与外切关系的理解，以及弓形面积的计算．关键在于识别构造规律：内接，外切交替，外切正三角形的外接圆半径是前一个内切圆半径的2倍，从而计算弓形面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（       ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 根据点P到圆心O的距离小于圆的半径，可知点P在内． 本题主要考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离小于圆的半径，点在圆内，是解题关键． 【详解】 ∵的半径为6，点P到圆心O的距离为4，且， ∴点P在内． 故选：A． 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直线必经过圆心．其中假命题的个数是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】分别利用确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：① 不在同一直线的三点确定一个圆，本项错误； ② 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，本项错误； ③ 在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，本项错误； ④ 平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，本项错误； ⑤ 垂直于弦的直线不一定经过圆心，本项错误. 故假命题的个数是5个， 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外心的性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大． 2．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 根据圆中的有关概念、定理进行分析判断． 【详解】 解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确． 故选：B． 3．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）内接于，若，，，则的半径是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理逆定理，三角形的外心的确定，解题的关键是熟练掌握锐角三角形外心在三角形内部，钝角三角形外心在三角形外部，直角三角形外心在斜边中点处． 先根据勾股定理逆定理确定是直角三角形，再根据直角三角形外心在斜边中点处求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵内接于， 则圆心为斜边的中点， ∴的半径， 故答案为：5． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】 解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 2．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为(   ) A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】A 【分析】 连接OC，先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长． 【详解】 连接OC， ∵CD⊥AB，CD=8， ∴PC=CD=×8=4， 在Rt△OCP中，设OC=x，则OA=x， ∵PC=4，OP=AP-OA=8-x， ∴OC2=PC2+OP2， 即x2=42+（8-x）2， 解得x=5， ∴⊙O的直径为10． 故选A． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理作出辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为H，在中，由勾股定理即可求出答案． 【详解】 解：连接，过点O作，垂足为H， ∴， 在中， ∴ 即直尺的宽度为． 故选：C． 4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 【答案】A 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所在的弧是解答关键． 连接，根据垂径定理得到，，再勾股定理得到来求解． 【详解】 解：连接， ∵是中弦的中点， ，． 设的半径为， 则， ． ， 即：， 解得：， 即的半径为． 故选：A． 5．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为F，则，先证明四边形是矩形，设，再用含x的式子表示出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：连接，过点O作，垂足为F，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵，的直径为20， ∴，， ∴， 在中，∵，即， ∴（负舍）， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）的半径为，是的两条弦，，．则和之间的距离是　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】或 【分析】 分圆心在弦和的同侧和之间两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 解：当圆心在弦和的同侧，如图：连接、，过作于，且直线交于， ， ， ，， ，， ， 同理， ∴，， ； 如图：圆心在弦和弦之间， 同理可得、， ∴， 所以弦和之间的距离是或． 7．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，＝，则PA的长为　　　　　． 【答案】6 【分析】 连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA． 【详解】 解：连接OA、OB、OP， ∵∠C＝30°， ∴∠APB＝∠C＝30°， ∵， ∴PB＝AB， ∴∠PAB＝∠APB＝30° ∴∠ABP＝120°， ∵PB＝AB， ∴OB⊥AP，AD＝PD， ∴∠OBP＝∠OBA＝60°， ∵OB＝OA， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝6， 则Rt△PBD中，PD＝cos30°•PB＝×6＝3， ∴AP＝2PD＝6， 故答案为6． 【点睛】 本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路. 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）下列关于圆的叙述正确的有（     ） 圆内接四边形的对角互补； 相等的圆周角所对的弧相等； 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； 同圆中的平行弦所夹的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【详解】试题解析：① 圆内接四边形的对角互补；正确； ② 相等的圆周角所对的弧相等；错误； ③ 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误； ④ 同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个， 故选B． 2．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证： ． 【答案】证明：连结OC、OD，如图， ∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点， ∴OM=ON， ∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC=∠OND=90°， 在Rt△OMC和Rt△OND中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL）， ∴∠COM=∠DON， ∴ = ． 【分析】 连结OC、OD，由M，N分别是AO，BO的中点得到OM=ON，再根据“HL”可判断Rt△OMC≌Rt△OND，则∠COM=∠DON，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到 = ． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． 3．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC=∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD=2CM，代入求出即可． 【详解】 解：连接OC， ∵C为的中点， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a， ∴OM＝ON＝n， ∴CM＝＝， ∵CM⊥OA， 即OM⊥CD， 由垂径定理得：CD＝2CM＝2， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间关系、垂径定理，角平分线性质等知识点，关键是求出CM的长和得出CD=2CM． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，四边形内接于是的直径，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可． 【详解】 解：∵四边形内接与，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补． 2．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是(             ). A. 1：2：3：4 B. 4：2：3：1 C. 4：3：1：2 D. 4：1：3：2 【答案】C 【分析】由四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°. ∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2. 故选C. 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质. 3．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，是内接三角形，是中点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 连接，根据圆周角定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． 故选：C 4．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，点、、、都在上，，则的度数（       ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】A 【分析】 由垂径定理可知，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】 解：∵OA⊥BC， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，垂径定理．解题的关键在于明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角定理，根据圆周角得到，然后根据等边对等角求的度数即可． 【详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径所对的圆周角是直角；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（     ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了弦的定义，等弧定义，圆周角定理推论，三角形外心定义等知识，根据相关知识逐项判定即可求解． 【详解】 解：①直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； ②长度相等的两条弧是等弧，错误，少了前提条件“在同圆或等圆”，不合题意； ③直径所对的圆周角是直角，正确，符合题意； ④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点，错误，三角形外心是三边垂直平分线的交点，不合题意． 故选：B 7．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是 （       ） A. 4 B.  C.  D. 9.6 【答案】B 【分析】 AB是圆O的直径，AB⊥CD，得到∠ACB=90°，∠AEC=90°，，再由含30度角的直角三角形的性质得到AB=2BC=12，，然后利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】 解：∵AB是圆O的直径，AB⊥CD， ∴∠ACB=90°，∠AEC=90°，， 又∵∠BAC=30°， ∴AB=2BC=12，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，直角所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理． 8．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 【答案】证明：∵是圆内接四边形， ∴， ∵ ∴． ， ， ， ， 【分析】 本题考查了圆内接四边形对角互补，平行线的性质，等角对等边；根据圆内接四边形可得，进而可得根据可得，则，根据等角对等边，即可得证． 【详解】 略 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为　　　　　　　　　　　． 【答案】35°或145° 【分析】 根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可． 【详解】 ① 当点O在三角形的内部时， 则∠BAC=∠BOC=35°； ② 当点O在三角形的外部时， 则∠BAC=（360°-70°）=145° 故答案为35°或145°． 【点睛】 本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念以及圆周角定理，掌握三角形的外心的概念、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 10．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，等边中，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 　　　　　　． 【答案】 【分析】 首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点F与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】 解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点F在以O为圆心，为半径的劣弧上运动，连接，交于N，当点F与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，是的圆周角，若的半径为5，，则弧长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由圆周角定理求得∠AOB=90°，再由弧长公式即可求得弧AB的长． 【详解】 解：∵是的圆周角， ， ∴∠AOB=2∠ACB=90°， ∴弧AB的长为， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆周角定理、弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键． 2．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，已知等边三角形的边长为2，以边为直径的交于点D，则阴影部分的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质和判定，求扇形的面积，先证明是等边三角形，再根据扇形面积公式求出答案即可． 【详解】 ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股定理和圆锥的侧面展开图．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】 解：如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．    ∵， ∴ ，即． ∵， ∴ ． ∴ 小虫爬行的最短距离为． 故选：D 4．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了求扇形面积，直径所对的弦是圆的直径；连接，设是的中点．点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，．根据线段扫过面积即可求解． 【详解】 连接，设是的中点． ∵半径为2，． ∴， 中，； 中，． 点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，． 线段扫过面积 5．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由圆周角定理求出OCB=∠OBC=∠B=60°，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】 解：如图，连接OC ∵∠ADC=120°， ∴∠ABC=60°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°， OB=OC=BC=1， ∴的长为 ， 故选：A． 【点睛】 本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键． 6．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查扇形面积的计算和菱形的相关知识，首先算出扇形的圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】 解：连接， 四边形为菱形，点在以点为圆心的上， 三角形为正三角形， ， ， ， 故选：C． 7．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是　　　　　　　　　　　　　　　．(结果保留π) 【答案】 【分析】 本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】 解：如图：     ∵是正三角形，边长为， ∴，， ∴的长为： ， ∴“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． （1）对称中心的坐标为______； （2）将绕点O顺时针旋转90°得到． ①在直角坐标系中画出； ②求点A经过的路径的长． 【答案】（1）     （2） ①即为所求： ②      【分析】 本题考查了图形的变换：中心对称与旋转变换，画旋转图形，旋转经过的路径长； （1）根据A、D两点的坐标即可确定对称中心； （2）① 确定A、B、C三个顶点旋转的对应点，依次连接即可； ② 求出的长，由弧长公式即可求解． (1) 小问详解： 解： 由中点坐标公式得：， 即对称中心的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 连接OA，根据勾股定理可得， ∴点A经过的路径的长为． 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题考查了圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题关键．先画出圆锥侧面展开图，再利用弧长公式求出圆心角的度数，然后根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】 解：画出圆锥侧面展开图，点A在点处，连接，如图所示： 根据题意得：，点为的中点，设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为，根据题意得： ， 解得：， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程为：， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 连接，由等腰三角形的性质得到，即可求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，由垂径定理得到，求出的面积，扇形的面积，然后根据阴影的面积求解即可． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵， ， ， ∵， ， ∵，， ， ， ∵， ， 的面积， ∵， 阴影的面积． 11．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为　　　　　cm． 【答案】5 【分析】 根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据圆锥的侧面积的计算公式计算即可． 【详解】 设圆锥的母线长为Rcm， 圆锥的底面周长＝2π×2＝4π， 则×4π×R＝10π， 解得，R＝5（cm） 故答案为:5 【点睛】 本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 12．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知在中，，，以边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得几何体的全面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查圆锥的面积公式，掌握侧面积是解题的关键． 以为轴旋转，形成圆锥，圆锥的高为，底面半径为，母线，全面积为底面积与侧面积之和． 【详解】 在中，，， 由勾股定理得． 以为轴旋转一周，所得几何体为圆锥，高，底面半径，母线． 圆锥的底面积， 侧面积， 全面积． 故答案为：24π． 13．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，角直角三角形的性质，解题的关键是找出旋转角，熟记弧长公式． 根据旋转得出旋转角为，求出的度数即可，然后求出，则，然后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】 解：旋转角为， ∵，， 又由旋转知， ∴； 又∵，， ∴， ∴顶点A从开始到结束所经过的路径长为：． 故答案为： ． 14．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）按要求完成下列各题： （1）解方程； （2）如图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一个，顶点A，B，C均在格点上． ①若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． ②将以A点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 【答案】（1），     （2） ① 如图，即为所求，，； ② 如图，即为所求．      【分析】 （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）① 利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； ② 利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，再利用扇形面积公式求解． (1) 小问详解： 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； (2) 小问详解： ① 略； ② ∵， ∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 15．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，小圆的半径为，，，，，为正整数依次为同心圆的内接正三角形和外切正三角形，由弦和弧围成的弓形面积阴影部分记为，由弦和弧围成的弓形面积记为由此下去，由弦和弧围成的弓形面积记为，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查几何图形的规律探索与递推关系，涉及正三角形内接与外切于圆的构造，以及弓形面积的计算．关键在于找出每个正三角形对应的半径规律，进而计算每一段弓形面积的表达式，并发现其可能存在的等比或等差关系，从而求出的值．由于小圆O半径为1，且各三角形依次为内接与外切交替出现，应分析相邻三角形之间的半径关系，再结合弓形面积公式进行递推． 【详解】 解：因为小圆 O 的半径为 1，且 为正三角形，所以． 过点 O 作于点 E， 因为， 所以 又， 所以， 所以， 在中，由勾股定理，得 ． 所以． 又, 所以．依次可得 则． 因为, 所以． 所以． 又, 所以． 又, 所以 当 时，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查对正三角形内接与外切关系的理解，以及弓形面积的计算．关键在于识别构造规律：内接，外切交替，外切正三角形的外接圆半径是前一个内切圆半径的2倍，从而计算弓形面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆 6大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 过三点的圆 考点03 垂直于弦的直径 考点04 圆心角 考点05 圆周角 考点06 弧长和扇形面积 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知的半径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在（       ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 考点02 过三点的圆 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）下列命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直线必经过圆心．其中假命题的个数是（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）内接于，若，，，则的半径是　　　　　　　　． 考点03 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为(   ) A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 3．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心，另一边所在直线与半圆相交于点，量出半径，弦，则直尺的宽度为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A. 5 B. 6.5 C. 7.5 D. 8 5．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 6．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）的半径为，是的两条弦，，，．则和之间的距离是　　　　　　　　　　　　　 ． 7．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，＝，则PA的长为　　　　　． 考点04 圆心角 1．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）下列关于圆的叙述正确的有（     ） 圆内接四边形的对角互补； 相等的圆周角所对的弧相等； 正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； 同圆中的平行弦所夹的弧相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB．求证： ． 3．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图所示，已知C为的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝　　　　　． 考点05 圆周角 1．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，四边形内接于是的直径，连接．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是(             ). A. 1：2：3：4 B. 4：2：3：1 C. 4：3：1：2 D. 4：1：3：2 3．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，是内接三角形，是中点，若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，点、、、都在上，，，则的度数（       ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 50° 5．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，是的外接圆，作于点，连接，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）下列说法：①直径是圆中最长的弦；②长度相等的两条弧是等弧；③直径所对的圆周角是直角；④三角形的外心是三角形三个内角平分线的交点．其中是真命题的有（     ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E点，且BC＝6，∠BAC＝30°，则CD的值是 （       ） A. 4 B.  C.  D. 9.6 8．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，四边形内接于与的延长线交于．求证：． 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC=70°，则∠BAC的度数为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 　　　　　　． 考点06 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，是的圆周角，若的半径为5，，则弧长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，已知等边三角形的边长为2，以边为直径的交于点D，则阴影部分的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，求小虫爬行的最短距离是多少?（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是　　　　　　　　　　　　　　　．(结果保留π) 8．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，和关于某一点中心对称，其中点，，，． （1）对称中心的坐标为______； （2）将绕点O顺时针旋转90°得到． ①在直角坐标系中画出； ②求点A经过的路径的长． 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中） 如图，是圆锥底面的直径，已知，圆锥的母线长为．若一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，为半圆的直径，点为半圆上的一点，，垂足为点，延长与半圆交于点．若，，则图中阴影部分的面积为 　　　　　　　　　 ． 11．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知圆锥的底面半径为2cm，侧面积为10πcm2，则该圆锥的母线长为　　　　　cm． 12．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知在中，，，，以边所在的直线为轴，将旋转一周，则所得几何体的全面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）按要求完成下列各题： （1）解方程； （2）如图，网格中最小的正方形的边长为1个单位长度，网格中有一个，顶点A，B，C均在格点上． ①若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标． ②将以A点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求出线段在旋转过程中扫过的图形的面积． 15．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，小圆的半径为，，，，，为正整数依次为同心圆的内接正三角形和外切正三角形，由弦和弧围成的弓形面积阴影部分记为，由弦和弧围成的弓形面积记为由此下去，由弦和弧围成的弓形面积记为，则等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $