专题04 二次函数（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·四川巴中平昌中学·二模）若二次函数的图像经过原点，则的值必为　　　　　　. 3．（2026·四川巴中平昌中学·二模）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是　　　　　　． 4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）当　　　　　　　　时，是二次函数． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）二次函数的图象经过下列点中的（     ） A.  B.  C.  D.  考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 3．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（     ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）对于抛物线下列判断正确的是（     ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是（-1，3） C. 对称轴为直线 D. 当时， 7．（2026·四川巴中平昌中学·二模）抛物线是由某个抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式为，则的值是（） A. 1 B. 3 C.  D.  9．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 10．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）下列关于抛物线说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 13．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（       ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 17．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（　   　） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）函数的最小值是　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是　　　　　　． 23．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为　　　　　． 25．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）若点，在抛物线上，则它的对称轴是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）关于抛物线，下列说法错误的是（       ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 3．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 4．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 8．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（       ） A. 1或0 B. 1或 C. 或 D. 0或 11．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A.      B.      C.      D.      12．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 13．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  18．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（       ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 19．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 20．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中(       ) A. (－1，1) B. (1，－1) C. (－1，－1) D. (1，1) 21．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，若开口向下的抛物线（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有（     ） ①abc＞0；②2a+b=0；③函数的最大值为-5a；④若关于x的方程无实数根，则-1＜a＜0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（       ） A. 16 B. 11 C. 7 D. 4 23．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（       ） A.  B. 3 C.  D.  24．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A. ①②⑤ B. ①②③ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 26．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 27．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 29．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集，则（       ） A. 有最大值； B. ； C. 的解集为； D. 的解集为或． 30．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，二次函数图象与轴交于，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点）．下列结论：①；②；③；④关于的方程没有实数根．正确结论的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 31．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 32．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）某学校航模组设计制作的火箭升空后离地面的高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面　　　　　　m处打开． 33．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，求的面积； （3）抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 34．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）已知抛物线，经过点和点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 35．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 36．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）已知关于方程，其中是实数． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值． 37．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知自变量为的函数，下列结论：①当自变量时，函数值；②自变量在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与轴有公共点；④无论何值，图象经过两个定点．其中正确结论有　　　　　　（填写序号） 38．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有　　　　　　　　　．（填番号）． 39．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． （3）若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 40．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降　　　　　　　　米，水面宽8米． 41．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）如果，那么拋物线的对称轴为直线__________； （2）如果点、在直线上，求拋物线的表达式和顶点坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出不等式的解集． 42．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，四边形是矩形，．求经过三点的抛物线的最低点的坐标． 43．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B．    （1）________，_________； （2）①求点B的坐标； ②结合图象直接写出不等式的解集． 44．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图像与x轴交于A、B两点，A（－1，0）请回答下列问题 （1）求出抛物线的解析式； （2）求抛物线与y轴的交点C的坐标； （3）求△ABD的面积？ 45．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知二次函数的图象经过点.    （1）求的值和图象的顶点坐标．        （2）点在该二次函数图象上.    ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 46．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是　　　　　　． 47．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）求出当的面积为3时，的值； （3）在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 48．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，抛物线经过点，与 轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在y轴上，且，求点D的坐标； （3）点M在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 49．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点．抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； （3）如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标 50．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，经过点的抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，，求点的坐标； （3）如果是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点与分别在直线两侧，点在射线上．当四边形面积最大时，求的值． 53．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长． （3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． 当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围； 设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 54．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线的解析式． （2）若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． （3）若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是　　　　　　　　　　　　 57．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 58．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．正确的结论有　　　　　　　　　　（填序号）． 59．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． （1）已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； （2）如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 60．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 61．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． （1）求抛物线的解析式； （2）点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若直线与抛物线交于点、，连接和，直接写出的正切值． （3）在（2）的条件下，为抛物线上的一点（点与点不重合），当的面积与的面积相等时，求出点的坐标． （4）如图2，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点、点的对应点分别为、当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 3．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有最大值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点 4．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，则函数与轴的交点横坐标为a，b，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知抛物线与轴只有一个公共点，则　　　　　　． 8．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知二次函数y＝2(x－1)2的图象如图所示，△ABO的面积是　　　　　　　　.    9．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知二次函数的图象分别经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若在抛物线上，求出点的坐标． 10．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是　　　　　　． x 0 1 2 13 12．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)． (1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是                      ； (2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是                       ； (3)若抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析式． 16．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为                           ； （2）不等式的解集为                    ； （3）若当时，求的取值范围． 18．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是　　　　　　． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为　　　　　　　　 2．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 3．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为　　　　　　　　　　　　　m． 4．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第天（且为整数）的售价（元/千克）与的函数关系式，销量（千克）与的函数关系式为，已知第5天售价为80元/千克，第10天售价为70元/千克． （1）试确定m，n的值； （2）假设该农产品的成本为10元/千克，每天直播需支付给平台和人工费用共140元，第x天的销售利润为W元，求第x天的销售利润W元与x之间的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在试销售的30天中，销售利润不低于1180元的共有多少天？ 5．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 6．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 7．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 8．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）某商品进价每件元，如果售价为每件元，每个月可卖出件，如果售价超过元，但不超过元，每件商品的售价每上涨元，每个月少卖件，如果售价超过元，若再涨价，每件商品的售价每涨元，每个月少卖件．设该商品的售价为元． （1）每件商品的利润为               元，若超过元，但不超过元，每月售          件，若超过元，每月售                 件．（用含的式子表示） （2）若售价超过元但不超过元，售价为多少元时月利润可达到元？ （3）若售价超过元，售价为多少元时可获得最大月利润？最大月利润为多少元？ 9．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 10．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出40件，每件可盈利60元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）为了尽快减少库存，且商场平均每天要盈利3000元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到3300元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天最多盈利多少元？达到最大值时应降价多少元？ 11．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量p（千克） 600 450 300 150 0 （1）请直接写出p与x之间的函数关系式： （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元()的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值． 12．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值． 13．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 14．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个． 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴． 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？ 15．（25-26学年九上·四川资阳·期中）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． （1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 16．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)； （3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 17．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（10）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： 方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．若，设厘米，该水槽的横截面面积为平方厘米，请你写出关于的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①比较，确定哪种水槽的水的流量较大． 18．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 19．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．D 2．【答案】3 【分析】由二次函数的解析式知二次项系数不为0，即，∴，再根据二次函数的图象经过原点，把(代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】由二次函数的解析式为知，∴， ∵二次函数的图象经过坐标原点(， ∴代入二次函数， 得出：，即： 解得：或 ∵ 故答案是：． 【点睛】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 3．【答案】 【分析】 由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】 解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 4．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】 解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．B 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C 13．C 14．C 15．B 16．D 17．A 18．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线，最值为．根据二次函数的性质判断即可． 【详解】 解：∵, ∴抛物线开口向上， ∵函数的顶点坐标是， ∴函数的最小值是． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数顶点式的性质，可直接写出顶点坐标． 【详解】 二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为， 由于函数是顶点式，因此顶点坐标为． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数平移．根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】 解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得， 即． 故答案为： 22．【答案】 【分析】 本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是． 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】 解：由 题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 24．【答案】 【分析】 本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下， 新抛物线解析式是：， 故答案是：． 25．【答案】（1）     （2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）      【分析】 （1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式． （2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数表达式为 ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= ∴ (2) 小问详解： 解：令y=0，即=0 解得：x=3或x=-1 故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．D 3．A 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．C 11．C 12．B 13．D 14．C 15．B 16．C 17．B 18．D 19．C 20．D 21．B 22．A 23．D 24．B 25．A 26．C 27．D 28．C 29．ABD 30．A 31．C 32．【答案】37 【分析】 把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可． 【详解】 解： ∵， ∴点火升空的最高点距地面， 故答案为：37． 【点睛】 本题考查二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键． 33．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得： 或 ∴或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求解析，二次函数的性质； （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决． （2）利用配方法求顶点坐标即可； (1) 小问详解： 解：因为抛物线经过点和点 所以 ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为． (2) 小问详解： ∵， ∴顶点坐标为． 35．【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴ ， 解得 ； 抛物线的关系式为． 36．【答案】（1）△= = = = ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】 （1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立； （2）将将代入原方程得到，再根据方程得到，，代入代数式，配方可得m的最小值． 【详解】 解：（1）略 （2）∵为方程的实数根， ∴将代入原方程得： ，， ∴， ==， ∵，， 原式= = = 故原代数式的最小值为． 【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 37．【答案】③ ④④ ③ 【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的性质，将代入，即可判断① ，，函数为，是一次函数，无最大或最小值，故② 错误，分，根据一次函数与二次函数的性质，即可判断③ ，根据得出图象必过定点．即可判断④ ． 【详解】 （1）当时，① 错误． （2）当，函数为，是一次函数，无最大或最小值．∴② 错误． （3）若，则，与轴有公共点． 若，则③ 正确． （4）． 当时，；当时，．图象必过定点． ∴④ 正确． 38．【答案】② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点位置得，则；由于抛物线与轴一个交点在点与点之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与轴另一个交点在点与点之间，即有；由于，，则；由于，则，利用，，所以． 【详解】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴一个交点在点与点之间，而对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点在点与点之间， ，所以②正确； ，， ∴ ，所以③错误； ， ， ，即， 而， ， ，所以④正确． ∴正确的有② ④ ， 故答案为：② ④ ． 39．【答案】（1）；     （2）当时，有面积最大值，此时点的坐标为；     （3）存在，点的坐标为或或．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． (1) 小问详解： 解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴二次函数表达式为； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得 ， 解得： ， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； (3) 小问详解： 解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得： ， ∴ ， 解得： （不合题意，舍去）或 ， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ， ∴ ， 解得： （不合题意，舍去）或 ， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ， ∴ ， 解得： 或 ， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 40．【答案】 【分析】 根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 41．【答案】（1）     （2）；顶点坐标为     （3）      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． （3）根据函数图象，写出直线在抛物线上方时的自变量的取值范围，即可求解． (1) 小问详解： 解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： (2) 小问详解： 解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴                      解得 ∴.         故顶点坐标为 (3) 小问详解： 如图所示， ∵， 根据函数图象可得的解集为： 42．【答案】所求抛物线的最低点的坐标为 【分析】 本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意以及矩形的性质得出，设经过三点的抛物线为，待定系数法求得解析式，进而化为顶点式，即可求解． 【详解】 ∵． ∵是矩形， ∴． 设经过三点的抛物线为， 则有 解得． ∴抛物线为． 即． ∴所求抛物线的最低点的坐标为． 43．【答案】（1），4     （2）①；②      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的交点；函数与方程；函数与不等式等方面的知识点，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）① 直线和抛物线的解析式联立即可求出点B的坐标； ② 根据图像可知直线在抛物线上方的部分是，因此得到不等式的解集． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴将代入，得：， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 由（1）得，直线和抛物线的解析式分别为，． 两个解析式联立得 ， 解得 或 （不合题意，舍去） 即点B的坐标为． ② 由图象知，不等式的解集为． 44．【答案】（1）；（2）抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3）；（3）8 【分析】 （1）把抛物线解析式设为顶点式，然后代入A点坐标求解即可； （2）令，求得，即可得到C点坐标； （3）先求出B点坐标得到AB的长，再由进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于A（-1，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）令，则， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3）； （3）∵抛物线顶点坐标为（1，4）， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）， ∴AB=4， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，利用二次函数的对称性求与x轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 45．【答案】（1）；（2）① 11；②. 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）① 把m=2代入解析式即可求n的值； ② 由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）① 当m=2时，n=11， ② 点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 46．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的最值，通过配方确定二次函数的对称轴为直线，最小值为；可知当时，；进而得由对称性可知：当时，；即可求解； 【详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，最小值为； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，； ∵在时最大值为，最小值为2， ∴； 故答案为： 47．【答案】（1）     （2）的值为     （3）或或或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：① 当时， ② 当时， ③ 当时，三种情况分别讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． (3) 小问详解： 解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ① 当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ② 当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③ 当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 48．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3） 【分析】 （1）待定系数法即可得到结论； （2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论． 【详解】 （1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3）， ∴OC=3， ∵OC=3OB， ∴OB=1， ∴B（﹣1，0）， 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得 ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，﹣3），C（0，﹣3）， ∴AF∥x轴， ∴F（﹣1，﹣3）， ∴BF=3，AF=3， ∴∠BAC=45°， 设D（0，m），则OD=|m|， ∵∠BDO=∠BAC， ∴∠BDO=45°， ∴OD=OB=1， ∴|m|=1， ∴m=±1， ∴D1（0，1），D2（0，﹣1）； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n）， ①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F， 则△ABF≌△NME， ∴NE=AF=3，ME=BF=3， ∴|a﹣1|=3， ∴a=4或a=﹣2， ∴M（4，5）或（﹣2，5）； ②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3， 则N在x轴上，M与C重合， ∴M（0，﹣3）， 综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）． 【点睛】 1、二次函数的综合，2、待定系数法求二次函数的解析式，3、全等三角形的判定和性质，4、平行四边形的判定和性质 49．【答案】（1），；     （2）时，四边形的面积最大     （3）或或或      【分析】 利用待定系数法求二次函数解析式，然后化为顶点式即可得顶点坐标； 设，由可求得，即可得到答案； 根据题意分情况讨论，① 平行四边形以为边时，则，设Q点的坐标是，点的坐标是，可列方程求出点；② 平行四边形以为对角线时，则的中点为 可设点的坐标是，点的坐标是，根据坐标中点公式列方程即可解答． (1) 小问详解： 解：抛物线的图象经过点， 　， 解得， 抛物线的解析式是， 化为顶点式为：， ∴顶点E的坐标是； (2) 小问详解： 解：令，即， 解得，， ，． 点的横坐标是， ， 连结，如下图所示： ； ∴， 当时，四边形的面积最大为； (3) 小问详解： ① 平行四边形以为边时，直线l：，可设点的坐标是，点的坐标是， ， ∴， 当，如图，解得：，， 此时Q点的坐标分别是，； 当，如图， 解得：，   不合题意，舍去，此时Q点的坐标是； ② 平行四边形以为对角线时，如图， 根据平行四边形的对角线相互平分可知，两点到轴距离相等； 设点坐标为，则点的坐标是， 得到， 整理得， 解得：，   不合题意，舍去， 此时点的坐标是， 综上所述，满足条件的点坐标为：或或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式有关知识．分情况讨论平行四边形的边长与坐标的关系是解题的关键． 50．【答案】（1）     （2）；     （3）存在；或或或      【分析】 （1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，② 当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； (1) 小问详解： 解：在中， 令，得， ， 令，得， ，    把两点的坐标代入中得， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则 ， 解得 ， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得 ， 点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ② 当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】 此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 51．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）的坐标为或     （3）的坐标为或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；② 当在第一象限，在第四象限时；③ 当在第四象限，在第三象限时；④ 当在第四象限，在第一象限时． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； (3) 小问详解： 解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ② 当在第一象限，在第四象限时，    是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得 （小于0，舍去）或 ， ， 的坐标为； ③ 当在第四象限，在第三象限时，如图：    是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得 ， 解得 或 （大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④ 当在第四象限，在第一象限，如图：    是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得 （舍去）或 ， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 52．【答案】（1）抛物线解析式为     （2）点的坐标为，或     （3）      【分析】 （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点符合．取关于轴的对称点．射线与抛物线的交点也符合．设为．将代入，得出射线为．联立抛物线解析式得出点的坐标，即可求解； （3）由（2）得，，则，为定值．则的最大值由确定．作轴于，与直线交于．设，则．表示出根据二次函数的性质得出当时，得出最大值，进而将代入，即可求解． (1) 小问详解： ∵在轴， ∴可设抛物线为． 将代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线对称轴为． 点关于对称轴的对称点符合． 取关于轴的对称点． 射线与抛物线的交点也符合． 设为．将代入， 得 解得． ∴射线为． 由， 得．解得，或． 当时，． 综上，点的坐标为，或． (3) 小问详解： ∵（2）中确定的点与分别在直线的两侧， ∴点的坐标为， ∵， ，即，为定值． ∴的最大值由确定． 由（2）可知，射线为， ∵ ∴直线为． ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点， ∴另一个交点． 作轴于，与直线交于． 设，则． 则． ∴ ． 当时，取最大值． 将代入，得． 【点睛】 本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 53．【答案】（1）此抛物线对应的函数表达式为；     （2）线段的长为；     （3）；或．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）待定系数法求解析式； （）根据对称轴求得点，的横坐标，即可求解； （）根据题意分最高点为点和最高点为点，两种情况讨论即可求解； 由题意可得点在线段上，然后分在上方和在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为， ∴，， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称， ∴， 解得：， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴线段的长为； (3) 小问详解： 解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知： 点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意， 点A在左侧，点B在右侧； 可得： 解得：； 图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大； 则最低点即为抛物线顶点； 当，即时；点为图象G的最高点； 则； 由可得：； 当，即时； 点为图象G的最高点；则； 由得：； ∴综上，h的取值范围为：； 由题意，，即， 当线段与图象有公共点时，， 解得：， 当时，代入抛物线表达式可得， 设线段与抛物线的交点为点，则， 由题意可知点在线段上； 当，即时，则点在点上方， ∴， 又， 解得：； 当，即时；则点在点下方， ∴， 又， 解得：， 综上所述：或． 54．【答案】（1）     （2），     （3）存在，，      【分析】 （1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； (2) 小问详解： 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； (3) 小问详解： 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 55．【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据题意令代入二次函数解析式求得x的值，随即得出二次函数与x的坐标A，B，利用待定系数法根据点B和点C的坐标求得直线的解析式； （2）过点E作轴，交直线于点F，设，，求得的距离，通过“铅垂法”列出面积的表达式，得出，此时表达式为二次函数，并且时面积有最大值，将代入到二次函数中得到点E的坐标； （3）根据题意设，此时以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况讨论，根据不同的情况最终得出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入： ，解得 ， ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：如图，过点E作轴，交直线于点F， 设，则， 即， ∵， ∴当时，的面积最大．此时． (3) 小问详解： 解：存在．点P的坐标为或或． 设， 以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况： ① 如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴，即， 则，解得，， ∴点P的坐标为或； ② 如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为； ③ 如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，，则． ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的解析式表达，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合性强，难度大． 56．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质． 抛物线开口向上，，与y轴交点在负半轴，；由对称轴，可得，利用这几个关系式可求出其他结论． 【详解】 解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：① ② ③． 57．【答案】（1）     （2）     （3），最大值为      【分析】 （1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； (3) 小问详解： 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 58．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，则可判断① 符合题意；由当时，，即，可判断② 符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③ 符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④ 不符合题意． 【详解】 解：观察图象，可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故① 结论正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴当时，，即，故② 结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③ 结论正确； 当时，函数有最大值， 若m为任意实数，则， ∴，故④ 结论不正确， 综上，正确的结论是① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 59．【答案】（1）：y=     （2）① 直线的关联抛物线；②；      【分析】 （1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）① 连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ② 根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得 ， 直线的关联抛物线； (2) 小问详解： 解：① 如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得 ， 直线的关联抛物线； ② 如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 60．【答案】（1）     （2）     （3）存在，M点的坐标为或或      【分析】 （1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 依题意，得 ， 解得 或 （不合题意舍去）， ∴； (3) 小问详解： 解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得 ， 解得 （舍去）或 ， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴ ， 整理得 ， 解得 （舍）或 ， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得 ， 解得 或 ， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】 本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 61．【答案】（1）     （2）8     （3）存在，点D坐标为或或      【分析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得： ， ∴直线的解析式为：， 联立 ，解得： 或 ， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ① 点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 62．【答案】（1）     （2）3     （3）或或     （4）      【分析】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）用待定系数法即可求解； （2）证明为直角三角形且为直角，即可求解； （3）设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点，进而求解； （4）过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，通过作图可知：四边形和四边形是平行四边形，此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度，而、为定值，此时四边形的周长最小，进而求解． (1) 小问详解： 解：将点，，代入得： ，解得 ， 抛物线的表达式为：． (2) 小问详解： 联立和得： ，解得，． 故点、的坐标分别为、． 则，，， ． 为直角三角形且为直角， ． (3) 小问详解： 设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点， 则点， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 联立和得： ，解得（舍去），． 点． 联立和得： ，解得． ，． 综上所述，点的坐标为：或或． (4) 小问详解： 过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，连接，如图， 作图可知：四边形和四边形是平行四边形， ，，，． ，． ∴四边形是平行四边形， ． ∵关于直线的对称点， ． ． ． 此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度， 而、为定值， ∴此时四边形的周长最小． ∵关于直线的对称点， ． ∵四边形是平行四边形，，， ． 设直线解析式为， 则 ，解得 ， 直线解析式为． 令，，解得． ． ． 即抛物线向右平移个单位后，四边形的周长最小， 此时抛物线为． 则抛物线的顶点坐标为：． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．【答案】2 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系． 抛物线与x轴只有一个公共点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式为零． 【详解】 令，得方程， 由于抛物线与x轴只有一个公共点， 因此方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：2． 8．【答案】1 【分析】题目条件为二次函数顶点式，可直接得出顶点坐标A（1,0），再带入x=0可求出B点坐标（0,2），最后由三角形面积公式可求解． 【详解】解：由 y＝2(x－1)2 得， 顶点坐标为（1,0），即A(1,0), 当x=0时,y=2, ∴B(0,2), ∴  故答案为1. 【点睛】本题考查二次函数与y轴交点以及顶点坐标求法，本题条件为顶点式，可直接写出坐标，难度不大． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是运用待定系数法求解析式． （1）直接将点，，代入二次函数解析式，然后解方程组即可； （2）将代入二次函数解析式求得m，即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：将点，，代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为． (2) 小问详解： 解：当时， 所以点P的坐标为． 10．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式可变形为，然后根据图象可进行求解． 【详解】 解：由不等式可变形为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 故答案为． 11．【答案】1 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】 解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 12．【答案】或 【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 13．【答案】 【分析】 本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】 解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 15．【答案】(1)－1，3；(2)－1＜x＜3；(3) 二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋． 【分析】 （1）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点A、B关于对称轴对称，求出点B的坐标即可； （2）根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，即可判定不等式的解集； （3）根据抛物线经过点A，将其代入，用含a的式子表示出c，求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线解析式，即可求出a的值，进而求出c的值即可． 【详解】 解：（1）根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线x=． ∵点A（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0）， ∴一元二次方程的解为：﹣1，3； 故答案为﹣1，3； （2）∵二次函数与y轴正半轴交于点C， ∴抛物线的开口向下， ∴当ax2﹣2ax+c＞0时，不等式的解集为：﹣1＜x＜3； 故答案为﹣1＜x＜3； （3）∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a+2a+c=0，即：c=﹣3a， ∴﹣=﹣3a﹣a=﹣4a． ∵抛物线的顶点坐标（1，﹣4a）在直线y=2x上， ∴﹣4a=2×1，解得：a=﹣，∴c=﹣3a=3×=， ∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点，及二次函数与不等式的关系，在第（3）小题中，用含a的式子表示c是解答此题的关键． 16．【答案】 【分析】 先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】 解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 17．【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （）根据题意解方程组得到二次函数的解析式为，求得抛物线与轴的交点坐标为，于是得到当时，的取值范围为． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 则设， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 18．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质．根据二次函数图象与x轴有交点，可得判别式，解得或；由二次函数开口向下，且当时y随x增大而减小，可得对称轴，结合判别式结果可得a的取值范围． 【详解】 ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴判别式， 即， 化简得， 解得或． ∵二次函数开口向下，对称轴为， 且当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴满足． 综合以上，得或． 故答案为：或． 考点06 实际问题与二次函数 1．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】 解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 2．【答案】（1）每件衬衫的售价90元     （2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元      【分析】 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 (2) 小问详解： 解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 3．【答案】0.3 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】 解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，        解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 4．【答案】（1），     （2），第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元     （3）日销售利润不低于1180元的共有9天      【分析】 （1）用待定系数法可得，的值； （2）根据销售利润=（售价-成本）乘以销量减去直播需支付给平台和人工费用，列出函数解析式，再根据函数性质求解即可； （3）把代入（2）中所求函数解析式，得到一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得， ； (2) 小问详解： 解：； ， ， 抛物线开口向下，又， 当时，的值最大，最大值为1212元， 即第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元． (3) 小问详解： 解：当时，，整理得， ，， 是整数， 可取10，11，12，13，14，15，16，17，18， 日销售利润不低于1180元的共有9天． 【点睛】 本题考查一次函数，二次函数的应用、一元二次方程、不等式问题，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式，根据函数的性质求解． 5．【答案】（1）38，10640；     （2）当或360时有最大值元；     （3），且为10的整数倍.      【分析】 （1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. (1) 小问详解： 解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10640； (2) 小问详解： 由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向下，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 (3) 小问详解： 由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 6．【答案】（1）y＝﹣40x+880；（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元 【分析】 （1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y； （2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：（1）由题意得：y＝80+20×， ∴y＝﹣40x+880； （2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元． 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系. 7．【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】 解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得： ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）； （2）根据题意，得： ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值， 即， 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元． 【点睛】 本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题． 8．【答案】（1），，     （2）若超过元但是不超过元，售价为元时利润可达到元     （3）当售价超过元，售价为元时，可获得月利润最大，最大月利润为元      【分析】 本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）由利润售价成本销售量列出方程解答即可； （3）设售价超过元，售价为元时，可获得月利润为元，根据（2）的方法列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设该商品的售价为元．则每件商品的利润为元， 若超过元，但不超过元，每月售件， 若超过元，但少于元时，每月售件， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 由题意得， 解得或（不合题意，舍去） 答：若超过元但是不超过元，售价为元时利润可达到元； (3) 小问详解： 售价超过元，售价为元时，可获得月利润为元 当售价超过元，售价为元时，可获得月利润最大，最大月利润为元． 9．【答案】（1）     （2）销售价应定为15元     （3），当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题． （1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围； （2）根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值； （3）根据销售利润销售量每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得 ， 解得 ， ∴y与x之间的函数关系式； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元； (3) 小问详解： 解：根据题意得：， 对称轴为直线，在对称轴的左侧随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大为200． 即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 10．【答案】（1）每件衬衫应降价30元     （2） 商场平均每天盈利不能达到3300元，理由如下： 设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：，即， ∵， ∴此方程无解， ∴该商场平均每天盈利不能达到3300元；     （3）商场平均每天最多盈利3200元，达到最大值时应降价20元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．（1）设每件衬衫降价x元，则每天多销售件，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利=3000元为等量关系列出方程求解即可．（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利=3300元为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． (1) 小问详解： 解：设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：， 解得，， ∵要扩大销售，减少库存， ∴每件衬衫应降价30元； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元， ， 当时，该函数取得最大值为3200元， 所以，商场平均每天盈利最多3200元，达到最大值时应降价20元． 11．【答案】（1）     （2）这批农产品的销售价格为元/千克，日销售利润最大，     （3）      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设出p与x之间的函数关系式为，将表格数据代入求解，即可解题； （2）设日销售利润为，根据“日销售利润每千克利润日销售量”建立关系式，再结合二次函数的最值情况求解，即可解题； （3）根据“日获利日销售利润支出的相关费用”建立关系式，再结合二次函数最值情况，以及当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，建立等式求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：由表格可知，销售价格x每增加元，日销售量p就减少千克， 设出p与x之间的函数关系式为， 根据表格数据可得 ， 解得 ， p与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为， 则， ， 在时，取得最大值， 即这批农产品的销售价格为元/千克，日销售利润最大，最大为元； (3) 小问详解： 解：若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元()的相关费用， 则日获利， 整理得， 即对称轴为直线， 当时， 当时，农经公司的日获利的最大值为2430元， 即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时， 当时，农经公司的日获利的最大值为2430元， 即， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，． 12．【答案】(1) y=﹣x+3;(2) m=2;(3) 【详解】试题分析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式； （2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值； （3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值. 试题解析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； 令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3， ∴点B的坐标（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得 ，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． （2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形， ∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3， 把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2， ∵点M不能与点C重合， ∴点P的横坐标为m=2． （3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m ∴M（m，﹣m2+2m+3）， ∵直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∴N（m，﹣m+3）， ∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形， ∴MN=OC=3， ∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解， 或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0， 解得m=， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为． 点睛：（1）解第2小题的关键是由“△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”结合∠MNC是锐角可得∠NMC=90°，从而得到CM∥x轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了. 13．【答案】（1）y＝﹣2x+160     （2）销售单价应定为50元     （3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元      【分析】 （1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． (1) 小问详解： 解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得： ， 解得 ， ∴y＝﹣2x+160； (2) 小问详解： 根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； (3) 小问详解： 设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】 本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 14．【答案】任务1：平均增长率为；任务2：该零件的实际售价应定为40元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设平均增长率为，根据该零件7月份生产500个，9月份生产720个，列出方程进行求解即可； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，根据利润等于单件利润乘以销量加上政府补贴，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：任务1：设平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：平均增长率为：； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 当时，销售数量为，符合题意； 答：该零件的实际售价应定为40元． 15．【答案】（1）今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；     （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．      【分析】 （1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． (1) 小问详解： 解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. (2) 小问详解： 解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出：， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， 最大利润为：， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点睛】 本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 16．【答案】（1）A原料的单价为元，B原料的单价为3元     （2）每盒产品的成本为40元     （3）当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000 元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）根据（1）中原料和原料单价，结合生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元，即可解答． （3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定拋物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设原料单价为元，A原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ∴， 答：A原料单价为元，原料单价为元． (2) 小问详解： 解：∵A原料单价为元，原料单价为元， ∴每盒产品的成本是：（元）， 答：每盒产品的成本为40 元． (3) 小问详解： 解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元， 根据题意，得， ， ， ∴抛物线开口向下， ∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元． 17．【答案】①；时，的值最大，最大值为；②最大值为，等腰梯形的水槽的水流量较大 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ①已知正方形的周长，可求出其边长，即的长，即可表示出的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． ②本题已知了正方形的边长，可设为那么也为可用正方形的边长求得．过、作的垂线，通过构建的直角三角形，用表示出和的长，即可求出上底的长，然后根据梯形的面积公式即可求得的函数关系式，根据函数的性质即可求得函数的最大值． 【详解】 解：方案①， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ， ∴等腰梯形的水槽的水流量较大． 18．【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元     （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． (2) 小问详解： 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 19．【答案】（1）     （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元     （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元      【分析】 本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值． （1）根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． (1) 小问详解： 解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知： ， 解得： ， 与之间的函数关系式为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； (3) 小问详解： 解：根据故意得： ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】 解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 2．（2026·四川巴中平昌中学·二模）若二次函数的图像经过原点，则的值必为　　　　　　. 【答案】3 【分析】由二次函数的解析式知二次项系数不为0，即，∴，再根据二次函数的图象经过原点，把(代入二次函数解析式，求出的值即可． 【详解】由二次函数的解析式为知，∴， ∵二次函数的图象经过坐标原点(， ∴代入二次函数， 得出：，即： 解得：或 ∵ 故答案是：． 【点睛】此题考查二次函数的基本性质，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方． 3．（2026·四川巴中平昌中学·二模）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】 解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）当　　　　　　　　时，是二次函数． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】 解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）二次函数的图象经过下列点中的（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】 A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式，顶点坐标为．已知抛物线解析式为顶点式，直接求出顶点坐标． 【详解】 解：∵为抛物线的顶点式， 根据顶点式的特点，顶点坐标为. 故选：B． 2．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】 解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了抛物线的顶点坐标．根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接读取h和k的值． 【详解】 解：∵ 抛物线方程为，可化为， ∴ 顶点坐标为． 故答案为：D． 4．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选B． 5．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵ 原抛物线为向右平移1个单位， ∴ 新解析式为 故选C． 6．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）对于抛物线下列判断正确的是（     ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是（-1，3） C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】D 【分析】 根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，可判断A；由顶点式可以得到顶点坐标，可判断B；根据函数表达式可得对称轴，可判断C；令x=3代入解析式可得y的值，可判断D． 【详解】 解：∵抛物线， ∴a=-2＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误； 顶点坐标是（2，3），故选项B错误； 对称轴为x=2，故选项C错误； x=3时，y=1，，故选项D正确； 故选D． 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标． 7．（2026·四川巴中平昌中学·二模）抛物线是由某个抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了抛物线的平移变换与顶点式的应用，熟练掌握抛物线平移的 “左加右减、上加下减” 规则是解题的关键．根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，将给定抛物线反向平移（向左平移2个单位，再向下平移1个单位）即可得到原抛物线． 【详解】 解：抛物线 可化为顶点式 ，顶点为 ． ∵ 该抛物线是由原抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到， ∴ 原抛物线的顶点应为新抛物线顶点向左平移2个单位、向下平移1个单位，即横坐标 ，纵坐标 ， ∴ 原抛物线解析式为 ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式为，则的值是（） A. 1 B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律．根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得． 【详解】 解：抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，即， 故选：C． 9．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】 解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． A、图象的开口向上的说法错误； B、当时，y随x的增大而减小的说法正确； C、当时，y随x的增大而减小的说法错误； D、图象的对称轴是直线的说法错误． 故选：B． 10．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）把抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的几何变换；掌握二次函数的平移不改变二次项的系数；规则为：左加右减，上加下减是解决本题的突破点．根据规则直接写抛物线的解析式即可． 【详解】 解：抛物线向左平移3个单位，得到， 再向下平移5个单位，得到， 故选：A． 11．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知， ，若抛物线 与线段间有两个交点，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，灵活运用二次函数的图像及性质是解答本题的关键． 根据二次函数解析式得到对称轴直线为，根据二次函数与线段恰有两个交点得到，分类讨论：当在函数图像上，当在函数图像上，由此即可求解． 【详解】 解：∵ ∴对称轴直线为， ∵抛物线与线段恰有两个交点， ∴， 当在函数图像上时，则有：， 解得，或 当在函数图像上时，则有：， 解得(舍)或； 当时，抛物线与线段恰有两个交点， 故答案为： C． 12．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）下列关于抛物线说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，函数有最小值2 【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的应用－销售问题，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数有最大值2． 故选C． 13．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 14．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】 解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 15．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，掌握当抛物线开口方向向上时，离对称轴越远，函数值越大成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】 解：∵, ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 16．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（       ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【分析】 分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】 解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 17．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（　   　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数图象的平移和旋转．先通过平移变换得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式． 【详解】 解：把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，解析式为； ∵绕原点旋转，顶点变为，开口方向由向上变为向下， ∴旋转后的解析式为． 故选：A． 18．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）函数的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线，最值为．根据二次函数的性质判断即可． 【详解】 解：∵, ∴抛物线开口向上， ∵函数的顶点坐标是， ∴函数的最小值是． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）抛物线的顶点坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数顶点式的性质，可直接写出顶点坐标． 【详解】 二次函数的顶点式为 ，其中顶点坐标为， 由于函数是顶点式，因此顶点坐标为． 故答案为：． 20．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 21．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数平移．根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】 解：将抛物线向右平移3个单位长度，得， 再向上平移2个单位长度，得， 即． 故答案为： 22．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了抛物线的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 根据平移规律计算即可． 【详解】 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是． 故答案为：． 23．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】 解：由 题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 24．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下， 新抛物线解析式是：， 故答案是：． 25．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知：抛物线的顶点坐标为（1，－4），且经过点（－2，5）． （1）求此二次函数的表达式； （2）求此抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】（1）     （2）此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0）      【分析】 （1）设顶点式，然后把（-2,5）代入求出a，即可得到抛物线解析式． （2）将（1）中的y=0,解出一元二次方程的根即可． (1) 小问详解： 解：设二次函数表达式为 ∵ 图像经过（-2，5） ∴ 5= ∴ (2) 小问详解： 解：令y=0，即=0 解得：x=3或x=-1 故此抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0） 【点睛】 本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目给定条件，选择恰当的方法设出解析式，也考查了二次函数的性质． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）若点，在抛物线上，则它的对称轴是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是明确在抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称．根据两点的纵坐标相同，横坐标的和的一半就是对称轴即可求解． 【详解】 解：点，在抛物线上，则它的对称轴是， 故选：D． 2．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）关于抛物线，下列说法错误的是（       ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】 解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 3．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若二次函数的图象经过点，，则与的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握其性质特征是解决此题的关键． 先求出抛物线的对称轴，即可根据二次函数的对称性解答． 【详解】 解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 当时，随的增大而增大， ， 故选：． 4．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 【详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故① 正确； 对称轴为直线， 整理得，故② 正确； 由图象可知，当时，即图象在x轴上方时， 或，故③ 错误， 由图象可知，当时，， 当时，， ， 即， 则，故④ 不正确； ， ， ， ， ， 即，故⑤ 错误． 则正确的有① ② ，共2个， 故选：C． 5．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】 解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 6．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）二次函数与一次函数，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是二次函数图象与一次函数图象共存的问题，从二次函数图象出发逐个分析的符号以及与轴的交点位置，再与一次函数图象得出的符号进行比较，从而可得结论． 【详解】 解：A、由抛物线知，，；由直线知，，都经过，故本选项正确； B、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； C、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误； D、由抛物线知，，；由直线知，，故本选项错误． 故选：A． 7．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）对于二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，下列说法正确的是（　　） A. 图象开口向上 B. 对称轴是x＝2 C. 当x＞1时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有两个交点 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】A．a=﹣1＜0，故抛物线开口向下，故错误； B．函数对称轴x1，故错误； C．当x＞1时，y随x的增大而减小，正确； D．△=b2﹣4ac=4﹣4×4=﹣12＜0，图象与x轴无交点，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的基本性质，是一道基本题，难度不大． 8．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知点A（3，y1），B（4，y2），C（﹣3，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】D 【分析】 求得抛物线对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质，开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，即可得到答案． 【详解】 解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大． 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 首先联立两个函数求出交点坐标，然后由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】 解：由 ，解得 或 ， ∴一次函数与二次函数的交点为，， A、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，由一次函数与二次函数可知，两图象交于点，则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（       ） A. 1或0 B. 1或 C. 或 D. 0或 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可． 【详解】 解：二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴函数的最大值为2， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为3， ∴当，即时，时，， ， 解得，（舍去）， 当，即时，时，， ， 解得（舍去），， 故选：C． 11．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（   ） A.      B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答． 【详解】 解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意； C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意； D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质． 12．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 ① 由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．② 把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③ 由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④ 由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】 解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故① 正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故② 正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③ 错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④ 正确， 综上所述，① ② ④ 正确， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 13．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 ∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 【详解】 14．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如果三点和在抛物线的图象上，那么之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据a＝－1判断出开口向下，再求出抛物线的对称轴为直线，由此可得抛物线的增减性以及点关于对称轴的对称点，进而比较即可． 【详解】 解：∵a＝－1＜0， ∴抛物线的开口向下， ∵a＝－1，b＝5， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随着x的增大而增大，点关于对称轴的对称点为， ， ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 15．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可 【详解】 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴x=， ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间 ∴-3＜c＜-2＜0， ∴0；故①正确； ∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0）， ∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∵b=-2a ∴c=， ∴-3＜＜-2， ∴﹣2＜b，故②错误； ∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确； ∵a＞0，∴-a＜0 ∵b=-2a ∴3a+2b=-a＜0 ∴2c﹣a＞2（a+b+c）， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n）， ∴a+b+c=n， ∴2c﹣a＞2n；故④错误； 故选：B 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：① 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；② 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③ 常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）． 16．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）一次函数与二次函数在同一个坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 该题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图像和性质，可先根据一次函数的图象判断a，b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】 解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，，对称轴应在y轴左侧，故B错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴左侧，故C正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，，对称轴应在y轴右侧，故D错误； 故选：C． 17．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知二次函数（其中是自变量且），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（       ） A. 或 B.  C. 或 D.  【答案】B 【分析】 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上，然后由时，的最大值为，可得时，，得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】 解：∵二次函数（其中是自变量且）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴或（不符合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的应用．解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（       ） A. 二次函数图象的对称轴是直线 B. 二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】 解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 19．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤；⑥若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断． 【详解】解：抛物线与轴交于点，其对称轴为直线 抛物线与轴交于点和，且 由图象知：，， 故结论① 正确； 抛物线与x轴交于点 故结论② 正确； 当时，y随x的增大而增大；当时，随的增大而减小 结论③ 错误； ， 抛物线与轴交于点和 的两根是和 ， 即为：，解得，； 故结论④ 正确； 当时， 故结论⑤ 正确； 抛物线与轴交于点和， ，为方程的两个根 ，为方程的两个根 ，为函数与直线的两个交点的横坐标 结合图象得：且 故结论⑥ 成立； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键在于二次函数的系数所表示的意义，以及与一元二次方程的关系,这是二次函数的重点知识. 20．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中(       ) A. (－1，1) B. (1，－1) C. (－1，－1) D. (1，1) 【答案】D 【分析】将p+q=0代入二次函数，变形得y=x2+p（x-1），若图象一定过某点，则与p无关，令p的系数为0即可． 【详解】∵p+q=0， ∴y=x2+px+q=x2+px-p=x2+p(x-1)， ∵图象必经某点， ∴图像与p的值无关， ∴x-1=0，即x=1， 当x=1时，y=1， ∴它的图象必经过（1，1） 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，在这里解定点问题，应把p当做变量，令其系数为0进行求解． 21．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，若开口向下的抛物线（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有（     ） ①abc＞0；②2a+b=0；③函数的最大值为-5a；④若关于x的方程无实数根，则-1＜a＜0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据抛物线的开口方向、对称轴方程和与y轴的交点可判断① 和② ；根据抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标（3，0），可设抛物线的解析式为，将x=1代入求解可判断③ ；转化为一元二次方程，利用判别式小于0解不等式即可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线交y轴正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴，即2a+b=0，故② 正确 ∴b=-2a＞0， ∴abc＜0，故① 错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 故可设抛物线的解析式为， ∵a＜0， ∴当x=1时，y有最大值，最大值为-4a，故③ 错误； ∵方程无实数解， ∴方程无实数解， 则， 解得：，故④ 正确， 综上，正确的有② 和④ ， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的性质、一元二次方程根的判别式与根的关系，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根，则的最小值是（       ） A. 16 B. 11 C. 7 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、二次函数的最值问题，由题意可得，，，求出，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵已知m，n是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值随着的增大而增大， ∴当时，的值最小为， 故选：A． 23．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线（a＞0）与y轴交于点B，直线y＝x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D，求出A、B、C三点的坐标，再根据点A在直线y＝x上建立关于a的方程，求出a值，最后求得OA长度． 【详解】 抛物线顶点为，直线y＝x经过抛物线顶点D， ， 又点C恰为线段AB中点 ，； 又点A在直线y＝x上， ， 解得：或（舍去）； ， ． 故选D． 【点睛】 本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质． 24．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】 解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 25．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）函数的图像与x轴交于点，顶点坐标为，其中．以下结论正确的是（　　）． ①； ②（t为任意实数）； ③函数在和x＝﹣2处的函数值相等； ④函数的图像与的函数图像总有两个不同交点； ⑤函数在内既有最大值又有最小值． A. ①②⑤ B. ①②③ C. ①③⑤ D. ②③④⑤ 【答案】A 【分析】 根据顶点坐标得到抛物线对称轴，结合与x轴交点判断出a，b，c的符号，再利用二次函数的图像与性质逐一判断各结论即可解答． 【详解】 解：∵顶点坐标为，，抛物线与轴交于点， ∴抛物线开口向下，即，对称轴为直线， ∵对称轴公式为， ∴， ， ， 把代入得，将代入得， ∴， ， ； ①，，，，即①正确； ② ∵抛物线开口向下，顶点是最高点，即对任意实数，都有 ， 两边减得，即，即②正确． ③ ∵对称轴为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，距离不相等， ∴两处函数值不相等，即③错误； ④联立 ，整理得， 判别式，代入得 ， 当时，没有两个交点，因此不是总有两个不同交点， ∴函数的图像与的函数图像不总有两个不同交点，即④错误； ⑤ ∵对称轴在区间内，抛物线开口向下， ∴时函数取得最大值， 又∵到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴当时取得最小值， ∴在区间内既有最大值又有最小值，即⑤正确． 综上，正确结论为① ② ⑤，即选项A符合题意． 26．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（       ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断① ②；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断③；根据抛物线与x轴的交点个数，据此可判断④． 【详解】 解：函数图象开口方向向上， ， 对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ， ，故①错误； 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故③错误； 抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴，故④ 正确； 综上所述，正确的有② ④ ， 故选：C． 27．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在同一直角坐标系中,一次函数y=ax-b和二次函数y=ax2-b的图象大致为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可得出答案． 【详解】A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向上，故A错误； B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B错误； C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，故C错误； D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，此时二次函数y=ax2+b的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故D正确； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题关键. 28．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．① 根据图像分别判断，，的符号即可；② 将点代入函数即可得到答案；③ 根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④ 由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】 解：由题图可知，， ，故① 正确； 当时，，即，故② 正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③ 错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④ 正确． 综上，① ② ④ 正确． 故选：C． 29．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集，则（       ） A. 有最大值； B. ； C. 的解集为； D. 的解集为或． 【答案】ABD 【分析】 本题考查了解不等式的相关问题-已知不等式解集求参数，由不等式解集确定二次函数开口方向及系数关系，代入各选项验证即可． 【详解】 解：由解集知，二次函数开口向下（），故有最大值，故A正确； 方程的两根为和，可得，， 代入可得，因为，则，即，故B正确； 将代入化简为，因为，解得，所以的解集为，故C错误； 将，代入，化简得，解得，即或，故D正确， 综上所述，ABD正确． 故选：ABD． 30．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，二次函数图象与轴交于，顶点坐标为，与轴的交点在，之间（包含端点）．下列结论：①；②；③；④关于的方程没有实数根．正确结论的个数是（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【分析】 本题考查抛物线的图象与性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数与一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 当时，计算，进而可判断② ；当时，，则，则，即，即可判断① ；由得，，根据图象的对称轴为，则即可判断③ ；由与无交点，得到方程无解，即可判断④． 【详解】 解：由顶点坐标为得对称轴为直线，而抛物线与轴交于， ∴抛物线与轴另一交点为， ∴当时，，即，故② 正确； 当时，，则， ∴，即，故① 正确； 由得，， 根据图象的对称轴为， ∴ ，故③ 正确； 的顶点为，开口向上，则当时，有最小值， 而与无交点，即方程无解， 关于的方程没有实数根，故④ 正确， 故正确的有① ② ③④ ，共4个， 故选：A． 31．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中，正确的有（     ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． ① 根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可； ② 根据对称轴求解即可； ③ 根据抛物线与x轴的交点个数求解即可； ④ 根据轴对称性求出当时的函数值大小即可； ⑤ 由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断． 【详解】 解：图象开口向下， ， 图象交轴于正半轴， ， 对称轴是直线， ， ， ， ，故① 错； ， ，故② 对； 图象与轴两个交点， △，即，故③ 对； 根据图像可知关于对称的点为， 故图象与轴交点在和3之间，且开口向下， 时，，故④ 对； 由图象知：时，， ， ，即，故⑤ 错；共三个对， 故选：C． 32．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）某学校航模组设计制作的火箭升空后离地面的高度与飞行时间满足函数关系式为．如果火箭在点火升空到最高点时打开降落伞，那么降落伞将在离地面　　　　　　m处打开． 【答案】37 【分析】 把二次函数配方为顶点式，写出最大值解题即可． 【详解】 解： ∵， ∴点火升空的最高点距地面， 故答案为：37． 【点睛】 本题考查二次函数的最值，运用配方法配成顶点式是解题的关键． 33．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线的顶点，求的面积； （3）抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得： 或 ∴或． 【点睛】 本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键． 34．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）已知抛物线，经过点和点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了待定系数法求解析，二次函数的性质； （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决． （2）利用配方法求顶点坐标即可； (1) 小问详解： 解：因为抛物线经过点和点 所以 ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为． (2) 小问详解： ∵， ∴顶点坐标为． 35．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知抛物线经过点和．求二次函数解析式； 【答案】 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴ ， 解得 ； 抛物线的关系式为． 36．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）已知关于方程，其中是实数． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程有两个实数根为，求代数式的最小值． 【答案】（1）△= = = = ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】 （1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立； （2）将将代入原方程得到，再根据方程得到，，代入代数式，配方可得m的最小值． 【详解】 解：（1）略 （2）∵为方程的实数根， ∴将代入原方程得： ，， ∴， ==， ∵，， 原式= = = 故原代数式的最小值为． 【点睛】 此题主要考查了根与系数的关系和根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 37．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知自变量为的函数，下列结论：①当自变量时，函数值；②自变量在实数范围内，函数有最大或最小值；③图象与轴有公共点；④无论何值，图象经过两个定点．其中正确结论有　　　　　　（填写序号） 【答案】③ ④④ ③ 【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的性质，将代入，即可判断① ，，函数为，是一次函数，无最大或最小值，故② 错误，分，根据一次函数与二次函数的性质，即可判断③ ，根据得出图象必过定点．即可判断④ ． 【详解】 （1）当时，① 错误． （2）当，函数为，是一次函数，无最大或最小值．∴② 错误． （3）若，则，与轴有公共点． 若，则③ 正确． （4）． 当时，；当时，．图象必过定点． ∴④ 正确． 38．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与轴的交点为，其中，有下列结论：①；②；③；④；共中正确的结论有　　　　　　　　　．（填番号）． 【答案】② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点． 由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴为直线得，由抛物线与轴的交点位置得，则；由于抛物线与轴一个交点在点与点之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与轴另一个交点在点与点之间，即有；由于，，则；由于，则，利用，，所以． 【详解】 解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴一个交点在点与点之间，而对称轴为直线， 抛物线与轴另一个交点在点与点之间， ，所以②正确； ，， ∴ ，所以③错误； ， ， ，即， 而， ， ，所以④正确． ∴正确的有② ④ ， 故答案为：② ④ ． 39．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与轴交于点，是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若点在直线的下方，则当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出此时点的坐标以及的面积的最大值． （3）若是轴上的一动点，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；     （2）当时，有面积最大值，此时点的坐标为；     （3）存在，点的坐标为或或．      【分析】 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，解一元二次方程等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． （）直接运用待定系数法求解即可； （）过点作轴的平行线交直线于点，连接，再求得直线的解析式为，设 ，，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （）由题意可得: ，，设，，然后分为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． (1) 小问详解： 解：由二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点， 将点，点，点的坐标分别代入得： ， 解得： ， ∴二次函数表达式为； (2) 小问详解： 解：如图，过点作轴的平行线交直线于点，连接， 设直线的解析式为，将点，点坐标分别代入，得 ， 解得： ， ∴直线得解析式为， 设，， 则 ∵ ， ∵， ∴当时，面积有最大值，此时点的坐标为； (3) 小问详解： 解：存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形；理由如下： 由题意可得：，， 设，， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得： ， ∴ ， 解得： （不合题意，舍去）或 ， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ， ∴ ， 解得： （不合题意，舍去）或 ， ∴点的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ， ∴ ， 解得： 或 ， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或． 40．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降　　　　　　　　米，水面宽8米． 【答案】 【分析】 根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】 解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 41．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）如果，那么拋物线的对称轴为直线__________； （2）如果点、在直线上，求拋物线的表达式和顶点坐标； （3）在（2）的条件下，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）     （2）；顶点坐标为     （3）      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）由题意知是抛物线上关于对称轴对称的两点，据此即可求解； （2）由题意可得点的坐标，将其代入即可求出抛物线的解析式． （3）根据函数图象，写出直线在抛物线上方时的自变量的取值范围，即可求解． (1) 小问详解： 解：若， 则是抛物线上关于对称轴对称的两点 故抛物线的对称轴为直线：， 故答案为： (2) 小问详解： 解：∵点在上， ∴， . ∴ 将代入得： ∴                      解得 ∴.         故顶点坐标为 (3) 小问详解： 如图所示， ∵， 根据函数图象可得的解集为： 42．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，四边形是矩形，．求经过三点的抛物线的最低点的坐标． 【答案】所求抛物线的最低点的坐标为 【分析】 本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意以及矩形的性质得出，设经过三点的抛物线为，待定系数法求得解析式，进而化为顶点式，即可求解． 【详解】 ∵． ∵是矩形， ∴． 设经过三点的抛物线为， 则有 解得． ∴抛物线为． 即． ∴所求抛物线的最低点的坐标为． 43．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B．    （1）________，_________； （2）①求点B的坐标； ②结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），4     （2）①；②      【分析】 本题考查了一次函数与二次函数的交点；函数与方程；函数与不等式等方面的知识点，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）① 直线和抛物线的解析式联立即可求出点B的坐标； ② 根据图像可知直线在抛物线上方的部分是，因此得到不等式的解集． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与直线经过点， ∴将代入，得：， 解得：， ∴将代入，得：， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：① 由（1）得，直线和抛物线的解析式分别为，． 两个解析式联立得 ， 解得 或 （不合题意，舍去） 即点B的坐标为． ② 由图象知，不等式的解集为． 44．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图，抛物线的顶点坐标D（1，4），且图像与x轴交于A、B两点，A（－1，0）请回答下列问题 （1）求出抛物线的解析式； （2）求抛物线与y轴的交点C的坐标； （3）求△ABD的面积？ 【答案】（1）；（2）抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3）；（3）8 【分析】 （1）把抛物线解析式设为顶点式，然后代入A点坐标求解即可； （2）令，求得，即可得到C点坐标； （3）先求出B点坐标得到AB的长，再由进行求解即可． 【详解】 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4）， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于A（-1，0）， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）令，则， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，3）； （3）∵抛物线顶点坐标为（1，4）， ∴抛物线对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）， ∴AB=4， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，利用二次函数的对称性求与x轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 45．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知二次函数的图象经过点.    （1）求的值和图象的顶点坐标．        （2）点在该二次函数图象上.    ①当时，求的值； ②若到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2）① 11；②. 【分析】（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a； （2）① 把m=2代入解析式即可求n的值； ② 由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得. ∵， ∴顶点坐标为. （2）① 当m=2时，n=11， ② 点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 46．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知在时最大值为，最小值为2，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的最值，通过配方确定二次函数的对称轴为直线，最小值为；可知当时，；进而得由对称性可知：当时，；即可求解； 【详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，最小值为； ∵当时，； ∴由对称性可知：当时，； ∵在时最大值为，最小值为2， ∴； 故答案为： 47．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． （1）求抛物线的解析式； （2）求出当的面积为3时，的值； （3）在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）的值为     （3）或或或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：① 当时， ② 当时， ③ 当时，三种情况分别讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． (3) 小问详解： 解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ① 当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ② 当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③ 当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 48．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，抛物线经过点，与 轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在y轴上，且，求点D的坐标； （3）点M在抛物线上，点 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D1（0，1），D2（0，﹣1）；（3）存在，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3） 【分析】 （1）待定系数法即可得到结论； （2）连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D（0，m），则OD=|m|即可得到结论； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，5）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论． 【详解】 （1）由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3）， ∴OC=3， ∵OC=3OB， ∴OB=1， ∴B（﹣1，0）， 把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得 ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3； （2）设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F， ∵A（2，﹣3），C（0，﹣3）， ∴AF∥x轴， ∴F（﹣1，﹣3）， ∴BF=3，AF=3， ∴∠BAC=45°， 设D（0，m），则OD=|m|， ∵∠BDO=∠BAC， ∴∠BDO=45°， ∴OD=OB=1， ∴|m|=1， ∴m=±1， ∴D1（0，1），D2（0，﹣1）； （3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n）， ①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F， 则△ABF≌△NME， ∴NE=AF=3，ME=BF=3， ∴|a﹣1|=3， ∴a=4或a=﹣2， ∴M（4，5）或（﹣2，5）； ②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3， 则N在x轴上，M与C重合， ∴M（0，﹣3）， 综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，5）或（0，﹣3）． 【点睛】 1、二次函数的综合，2、待定系数法求二次函数的解析式，3、全等三角形的判定和性质，4、平行四边形的判定和性质 49．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点．抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； （3）如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标 【答案】（1），；     （2）时，四边形的面积最大     （3）或或或      【分析】 利用待定系数法求二次函数解析式，然后化为顶点式即可得顶点坐标； 设，由可求得，即可得到答案； 根据题意分情况讨论，① 平行四边形以为边时，则，设Q点的坐标是，点的坐标是，可列方程求出点；② 平行四边形以为对角线时，则的中点为 可设点的坐标是，点的坐标是，根据坐标中点公式列方程即可解答． (1) 小问详解： 解：抛物线的图象经过点， 　， 解得， 抛物线的解析式是， 化为顶点式为：， ∴顶点E的坐标是； (2) 小问详解： 解：令，即， 解得，， ，． 点的横坐标是， ， 连结，如下图所示： ； ∴， 当时，四边形的面积最大为； (3) 小问详解： ① 平行四边形以为边时，直线l：，可设点的坐标是，点的坐标是， ， ∴， 当，如图，解得：，， 此时Q点的坐标分别是，； 当，如图， 解得：，   不合题意，舍去，此时Q点的坐标是； ② 平行四边形以为对角线时，如图， 根据平行四边形的对角线相互平分可知，两点到轴距离相等； 设点坐标为，则点的坐标是， 得到， 整理得， 解得：，   不合题意，舍去， 此时点的坐标是， 综上所述，满足条件的点坐标为：或或或． 【点睛】 本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式有关知识．分情况讨论平行四边形的边长与坐标的关系是解题的关键． 50．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标； （3）如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）；     （3）存在；或或或      【分析】 （1）求出点和，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）在直线上取一点，使，连接交于点P，证明，则当A、、P三点共线时，有最小值为．求出，得到的最小值为，求出直线的解析式为，进一步得到，求出直线解析式为，联立直线与直线即可求出交点P的坐标； （3）求出平移后新抛物线为，设点M的坐标为，要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形：①当为对角线时，② 当为对角线时，③当为对角线时，分别画出图形进行解答即可； (1) 小问详解： 解：在中， 令，得， ， 令，得， ，    把两点的坐标代入中得， ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在直线上取一点，使，连接交于点P， 垂直平分，， ， 为定值， 当A、、P三点共线时，有最小值为． 点B为的中点， 在中， 令，得（舍）， ， ， 的最小值为， 设直线解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ， ， ， ， 设直线解析式为， 则 ， 解得 ， 直线解析式为， 直线与直线的交点P的坐标满足方程组： ， 解得 ， 点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：将抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，， 相当于将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位， ∴平移后新抛物线为 设点M的坐标为， ， 要使点M与以上三点围成平行四边形，可能有以下三种情形： ①当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ② 当为对角线时，点N的坐标为， 此时若点N在抛物线上， 则，解得， ， ③当为对角线时，点N的坐标为； 此时若点N在抛物线上， 则，解得， 当时，得到， 当时，得到 综上，点M的坐标为或或或． 【点睛】 此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、平行四边形的性质、二次函数的图象和性质、二次函数的平移、勾股定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 51．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）的坐标为或     （3）的坐标为或或或      【分析】 （1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；② 当在第一象限，在第四象限时；③ 当在第四象限，在第三象限时；④ 当在第四象限，在第一象限时． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； (3) 小问详解： 解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ② 当在第一象限，在第四象限时，    是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得 （小于0，舍去）或 ， ， 的坐标为； ③ 当在第四象限，在第三象限时，如图：    是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得 ， 解得 或 （大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④ 当在第四象限，在第一象限，如图：    是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得 （舍去）或 ， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 52．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，经过点的抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，，求点的坐标； （3）如果是抛物线第一象限上动点，（2）中确定的点与分别在直线两侧，点在射线上．当四边形面积最大时，求的值． 【答案】（1）抛物线解析式为     （2）点的坐标为，或     （3）      【分析】 （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点符合．取关于轴的对称点．射线与抛物线的交点也符合．设为．将代入，得出射线为．联立抛物线解析式得出点的坐标，即可求解； （3）由（2）得，，则，为定值．则的最大值由确定．作轴于，与直线交于．设，则．表示出根据二次函数的性质得出当时，得出最大值，进而将代入，即可求解． (1) 小问详解： ∵在轴， ∴可设抛物线为． 将代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为． (2) 小问详解： ∵， ∴抛物线对称轴为． 点关于对称轴的对称点符合． 取关于轴的对称点． 射线与抛物线的交点也符合． 设为．将代入， 得 解得． ∴射线为． 由， 得．解得，或． 当时，． 综上，点的坐标为，或． (3) 小问详解： ∵（2）中确定的点与分别在直线的两侧， ∴点的坐标为， ∵， ，即，为定值． ∴的最大值由确定． 由（2）可知，射线为， ∵ ∴直线为． ∵抛物线对称轴为，与轴的一个交点， ∴另一个交点． 作轴于，与直线交于． 设，则． 则． ∴ ． 当时，取最大值． 将代入，得． 【点睛】 本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 53．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为，点、点均在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为，点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数表达式． （2）当点、点关于此抛物线的对称轴对称时，连接，求线段的长． （3）将此抛物线上、两点之间的部分（包括、两点）记为图象． 当图象对应的函数值随的增大先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求的取值范围； 设点的坐标为，点的坐标为，连接，当线段和图象有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）此抛物线对应的函数表达式为；     （2）线段的长为；     （3）；或．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的最值，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）待定系数法求解析式； （）根据对称轴求得点，的横坐标，即可求解； （）根据题意分最高点为点和最高点为点，两种情况讨论即可求解； 由题意可得点在线段上，然后分在上方和在下方两种情况列出不等式组，解不等式组求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线（、为常数）的对称轴为直线，与轴交点的坐标为， ∴，， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵点在点的左侧，点的横坐标为，点的横坐标为，点、点关于此抛物线的对称轴直线对称， ∴， 解得：， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴线段的长为； (3) 小问详解： 解：当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大，可知： 点A和点B分别在对称轴的两侧，结合题意， 点A在左侧，点B在右侧； 可得： 解得：； 图象G在时，y随x的增大而先减小；在时，y随x的增大而增大； 则最低点即为抛物线顶点； 当，即时；点为图象G的最高点； 则； 由可得：； 当，即时； 点为图象G的最高点；则； 由得：； ∴综上，h的取值范围为：； 由题意，，即， 当线段与图象有公共点时，， 解得：， 当时，代入抛物线表达式可得， 设线段与抛物线的交点为点，则， 由题意可知点在线段上； 当，即时，则点在点上方， ∴， 又， 解得：； 当，即时；则点在点下方， ∴， 又， 解得：， 综上所述：或． 54．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2），     （3）存在，，      【分析】 （1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； (2) 小问详解： 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； (3) 小问详解： 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 55．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线的解析式． （2）若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． （3）若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据题意令代入二次函数解析式求得x的值，随即得出二次函数与x的坐标A，B，利用待定系数法根据点B和点C的坐标求得直线的解析式； （2）过点E作轴，交直线于点F，设，，求得的距离，通过“铅垂法”列出面积的表达式，得出，此时表达式为二次函数，并且时面积有最大值，将代入到二次函数中得到点E的坐标； （3）根据题意设，此时以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况讨论，根据不同的情况最终得出点P的坐标． (1) 小问详解： 解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入： ，解得 ， ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： 解：如图，过点E作轴，交直线于点F， 设，则， 即， ∵， ∴当时，的面积最大．此时． (3) 小问详解： 解：存在．点P的坐标为或或． 设， 以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况： ① 如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴，即， 则，解得，， ∴点P的坐标为或； ② 如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为； ③ 如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，，则． ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】 本题考查了一次函数的解析式表达，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合性强，难度大． 56．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是　　　　　　　　　　　　 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质． 抛物线开口向上，，与y轴交点在负半轴，；由对称轴，可得，利用这几个关系式可求出其他结论． 【详解】 解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：① ② ③． 57．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3），最大值为      【分析】 （1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； (3) 小问详解： 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 58．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，．给出下列4个结论：①；②；③；④若m为任意实数，则．正确的结论有　　　　　　　　　　（填序号）． 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 由图象可知，则可判断① 符合题意；由当时，，即，可判断② 符合题意；由抛物线的对称轴为直线，即，得到，进一步得到，可得，即可判断③ 符合题意；当时，函数有最大值，由，可得，则可判断④ 不符合题意． 【详解】 解：观察图象，可知， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故① 结论正确； ∵抛物线与x轴交于， ∴当时，，即，故② 结论正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③ 结论正确； 当时，函数有最大值， 若m为任意实数，则， ∴，故④ 结论不正确， 综上，正确的结论是① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 59．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． （1）已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； （2）如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）：y=     （2）① 直线的关联抛物线；②；      【分析】 （1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）① 连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ② 根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得 ， 直线的关联抛物线； (2) 小问详解： 解：① 如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得 ， 直线的关联抛物线； ② 如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【点睛】 本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 60．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，过点C的直线与抛物线相交于点D，若，求点D的坐标； （3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点M，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，M点的坐标为或或      【分析】 （1）用待定系数法求函数的解析式，即可作答； （2）设与x轴交于E，得到，求得，解方程组，即可得到结论； （3）设，，根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程，求出M点的横坐标，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． ∴将代入 ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：依题意，设与x轴交于E， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴令，则， 即， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 依题意，得 ， 解得 或 （不合题意舍去）， ∴； (3) 小问详解： 解：依题意，设，， 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 由（2）得， ∵ ∴ 整理得 ， 解得 （舍去）或 ， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 ∴ ， 整理得 ， 解得 （舍）或 ， 把代入，得， ∴M点的坐标为； 当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∴与互相平分 同理得 ， 解得 或 ， 把代入，得； 把代入，得； ∴或 综上所述：M点的坐标为或或 【点睛】 本题考查了二次函数与特殊四边形的综合，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 61．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． （1）求抛物线的解析式； （2）点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）8     （3）存在，点D坐标为或或      【分析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： 解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得： ， ∴直线的解析式为：， 联立 ，解得： 或 ， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ① 点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 62．（2026·四川巴中平昌中学·二模）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若直线与抛物线交于点、，连接和，直接写出的正切值． （3）在（2）的条件下，为抛物线上的一点（点与点不重合），当的面积与的面积相等时，求出点的坐标． （4）如图2，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点、点的对应点分别为、当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）     （2）3     （3）或或     （4）      【分析】 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）用待定系数法即可求解； （2）证明为直角三角形且为直角，即可求解； （3）设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点，进而求解； （4）过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，通过作图可知：四边形和四边形是平行四边形，此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度，而、为定值，此时四边形的周长最小，进而求解． (1) 小问详解： 解：将点，，代入得： ，解得 ， 抛物线的表达式为：． (2) 小问详解： 联立和得： ，解得，． 故点、的坐标分别为、． 则，，， ． 为直角三角形且为直角， ． (3) 小问详解： 设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点， 则点， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 联立和得： ，解得（舍去），． 点． 联立和得： ，解得． ，． 综上所述，点的坐标为：或或． (4) 小问详解： 过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，连接，如图， 作图可知：四边形和四边形是平行四边形， ，，，． ，． ∴四边形是平行四边形， ． ∵关于直线的对称点， ． ． ． 此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度， 而、为定值， ∴此时四边形的周长最小． ∵关于直线的对称点， ． ∵四边形是平行四边形，，， ． 设直线解析式为， 则 ，解得 ， 直线解析式为． 令，，解得． ． ． 即抛物线向右平移个单位后，四边形的周长最小， 此时抛物线为． 则抛物线的顶点坐标为：． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解满足（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足． 【详解】 解：时，， 时，， ∴时，有一个根满足， 即方程必有一个解x满足． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A. 开口向上 B. 顶点坐标是 C. 图象与轴交点的坐标是 D. 图象在轴上截得的线段长度是4 【答案】D 【分析】 根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】 解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 3．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）对于二次函数,下列说法正确的是（ ） A. 当x>0，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有最大值－3 C. 图像的顶点坐标为（－2，－7） D. 图像与x轴有两个交点 【答案】B 【详解】 二次函数, 所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误，不符合题意； 当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确，符合题意； 顶点坐标为（2，-3），选项C错误，不符合题意； 顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，不符合题意， 故答案选B 4．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知二次函数图象如图所示，有下列6个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥若方程有两个根，则这两个根的和为2．其中正确的结论有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线开口方向及与轴的交点可确定、的符号，根据对称轴为可得出的符号，即可判断① ；根据二次函数图像的对称性得出图像与轴的另一个交点在和之间，可得时，即可判断② ；根据图像与轴有两个交点可得一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，即可判断③ ；根据对称轴得出，结合时，即可判断④ ；根据当时，函数有最大值，最大值为，得到，即可判断⑤ ；由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，即可判断⑥ ；综上即可得答案． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，与轴交于轴正半轴， ∴，， ∵抛物线的对称轴为， ∴，， ∴，故① 正确， ∵抛物线轴的一个交点在和之间， ∴图像与轴的另一个交点在和之间， ∴时，即，故② 错误， ∵图像与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，故③ 错误， 由图像可知：时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④ 正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴， ∴，故⑤ 正确， ∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴对称的两个根的和为2， ∴若方程有两个根，则这两个根的和为2，故⑥ 正确， 综上所述：正确的结论有① ④ ⑤ ⑥ ，共个， 故选：D． 5．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，则函数与轴的交点横坐标为a，b，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图像，数形结合即可求解． 【详解】 解：二次函数与x轴的交点横坐标为m，n， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知：． 故选：B． 6．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．由题意得，二次函数图象开口向上，则有，且方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出的取值范围． 【详解】 解：当时，x的取值范围为或， 二次函数图象开口向上，且方程的解为，， ，是方程的两根， ， 解得：， 又， 当时，有最大值4，即， 解得：， a的范围是． 故选：A． 7．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知抛物线与轴只有一个公共点，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键在于明确交点个数与判别式的关系． 抛物线与x轴只有一个公共点，即对应的一元二次方程有两个相等的实数根，判别式为零． 【详解】 令，得方程， 由于抛物线与x轴只有一个公共点， 因此方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：2． 8．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知二次函数y＝2(x－1)2的图象如图所示，△ABO的面积是　　　　　　　　.    【答案】1 【分析】题目条件为二次函数顶点式，可直接得出顶点坐标A（1,0），再带入x=0可求出B点坐标（0,2），最后由三角形面积公式可求解． 【详解】解：由 y＝2(x－1)2 得， 顶点坐标为（1,0），即A(1,0), 当x=0时,y=2, ∴B(0,2), ∴  故答案为1. 【点睛】本题考查二次函数与y轴交点以及顶点坐标求法，本题条件为顶点式，可直接写出坐标，难度不大． 9．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知二次函数的图象分别经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若在抛物线上，求出点的坐标． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是运用待定系数法求解析式． （1）直接将点，，代入二次函数解析式，然后解方程组即可； （2）将代入二次函数解析式求得m，即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：将点，，代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为． (2) 小问详解： 解：当时， 所以点P的坐标为． 10．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，已知二次函数（）与一次函数（）的图象交于点，，，则不等式的解集是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；由不等式可变形为，然后根据图象可进行求解． 【详解】 解：由不等式可变形为， ∴由图象可知：不等式的解集是； 故答案为． 11．（25-26学年九上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是　　　　　　． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】 解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． 12．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点，则能使成立的x的取值范围是　　　　　． 【答案】或 【分析】 此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用函数图象得出正确信息是解题的关键．利用一次函数图象在二次函数图象下方时，，据此可得的取值范围． 【详解】 解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点， ∴一次函数图象在二次函数图象下方时，，即或， 故答案为：或． 13．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】 解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知二次函数的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 函数的对称轴为：，则另外一个交点在：，即可求解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个解， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴二次函数与轴的另一个交点坐标为， ∴方程另一个解． 15．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，且A(－1，0)． (1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是                      ； (2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是                       ； (3)若抛物线的顶点在直线y＝2x上，求此抛物线的解析式． 【答案】(1)－1，3；(2)－1＜x＜3；(3) 二次函数的解析式为y＝－x2＋x＋． 【分析】 （1）根据抛物线解析式，求出对称轴，根据点A、B关于对称轴对称，求出点B的坐标即可； （2）根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，即可判定不等式的解集； （3）根据抛物线经过点A，将其代入，用含a的式子表示出c，求出抛物线的顶点坐标，将其代入直线解析式，即可求出a的值，进而求出c的值即可． 【详解】 解：（1）根据题意可知，抛物线的对称轴是：直线x=． ∵点A（﹣1，0），∴点B的坐标为（3，0）， ∴一元二次方程的解为：﹣1，3； 故答案为﹣1，3； （2）∵二次函数与y轴正半轴交于点C， ∴抛物线的开口向下， ∴当ax2﹣2ax+c＞0时，不等式的解集为：﹣1＜x＜3； 故答案为﹣1＜x＜3； （3）∵抛物线经过点A（﹣1，0），∴a+2a+c=0，即：c=﹣3a， ∴﹣=﹣3a﹣a=﹣4a． ∵抛物线的顶点坐标（1，﹣4a）在直线y=2x上， ∴﹣4a=2×1，解得：a=﹣，∴c=﹣3a=3×=， ∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+x+． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与x轴的交点，及二次函数与不等式的关系，在第（3）小题中，用含a的式子表示c是解答此题的关键． 16．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】 解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为，根据图象回答下列问题： （1）方程的两个根为                           ； （2）不等式的解集为                    ； （3）若当时，求的取值范围． 【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据抛物线与轴的交点的横坐标就是二次方程的两个实数根，可直接得结论； （）观察图象，在轴下方的部分总小于，于是得到结论； （）根据题意解方程组得到二次函数的解析式为，求得抛物线与轴的交点坐标为，于是得到当时，的取值范围为． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴的根为，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：因为二次函数的图象与轴交于、， 观察图象可知：当时，图象总在轴的下方， 所以不等式的解集为：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴的一个交点坐标为， 则设， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 18．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知二次函数．（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的图像和性质．根据二次函数图象与x轴有交点，可得判别式，解得或；由二次函数开口向下，且当时y随x增大而减小，可得对称轴，结合判别式结果可得a的取值范围． 【详解】 ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴判别式， 即， 化简得， 解得或． ∵二次函数开口向下，对称轴为， 且当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴满足． 综合以上，得或． 故答案为：或． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意得抛物线过点，设抛物线解析式为，代入得，求出，得到抛物线的解析式为，令，求出的值，即可得到答案． 【详解】 解：根据题意得抛物线过点， 设抛物线解析式为， ， ， 抛物线的解析式为， ， 令， 解得， 碗中汤面的水平宽度为， 故答案为： ． 2．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）每件衬衫的售价90元     （2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元      【分析】 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 (2) 小问详解： 解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 3．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为　　　　　　　　　　　　　m． 【答案】0.3 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【详解】 解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，        解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 4．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第天（且为整数）的售价（元/千克）与的函数关系式，销量（千克）与的函数关系式为，已知第5天售价为80元/千克，第10天售价为70元/千克． （1）试确定m，n的值； （2）假设该农产品的成本为10元/千克，每天直播需支付给平台和人工费用共140元，第x天的销售利润为W元，求第x天的销售利润W元与x之间的函数关系式，并求出第几天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？ （3）在试销售的30天中，销售利润不低于1180元的共有多少天？ 【答案】（1），     （2），第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元     （3）日销售利润不低于1180元的共有9天      【分析】 （1）用待定系数法可得，的值； （2）根据销售利润=（售价-成本）乘以销量减去直播需支付给平台和人工费用，列出函数解析式，再根据函数性质求解即可； （3）把代入（2）中所求函数解析式，得到一元二次方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：把，代入得： ， 解得， ； (2) 小问详解： 解：； ， ， 抛物线开口向下，又， 当时，的值最大，最大值为1212元， 即第14天的销售利润最大，最大日销售利润是1212元． (3) 小问详解： 解：当时，，整理得， ，， 是整数， 可取10，11，12，13，14，15，16，17，18， 日销售利润不低于1180元的共有9天． 【点睛】 本题考查一次函数，二次函数的应用、一元二次方程、不等式问题，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式，根据函数的性质求解． 5．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）“五一”迎来旅游小高峰，很多旅游景点在小长假都接待了不少游玩的旅客，某民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，该民宿需对每个被居住的房间每天支出20元的各种费用，设房间定价为x元／间（为10的整数倍）． （1）若房间定价为300元时，则可租出去______个房间．此时，利润为______元； （2）为了进一步提高服务质量，针对游客居住的房间，该民宿对每个被居住的房间每天支出的费用提高为30元每间，当为多少时，民宿利润最大？ （3）在（2）的条件下，该民宿空闲房间数不能超过20间，所获利润不低于10360元，直接写出房间定价的范围． 【答案】（1）38，10640；     （2）当或360时有最大值元；     （3），且为10的整数倍.      【分析】 （1）由题意，民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，进而可以租出去38个房间，进而求出利润； （2）设利润为元，则，由于 为10的整数倍及二次函数的性质可以判定得解； （3）由题意，令，则当或，又获利润不低于10360元，则，又该民宿空闲房间数不能超过20间，故，进而可以判定求解. (1) 小问详解： 解：由题意，∵民宿共有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴ ∴ ∴房间定价为300元时，则可租出去38个房间； ∴此时利润（元） 故答案为：38，10640； (2) 小问详解： 由题意，设利润为元， ∴ ∵ ∴开口向下，对称轴为直线， 又∵ 为10的整数倍， ∴当或时，有最大值 (3) 小问详解： 由题意，令 ∴或 又∵所获利润不低于10360元， ∴ ∵该民宿空闲房间数不能超过20间 ∴ 解得： ∴，且为10的整数倍. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式等相关知识和内容，解题时要熟练掌握并能灵鹤运用二次函数的性质是关键. 6．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）y＝﹣40x+880；（2）当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元 【分析】 （1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y； （2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】 解：（1）由题意得：y＝80+20×， ∴y＝﹣40x+880； （2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0， ∴二次函数图象开口向下， ∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元． 答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360元． 【点睛】 本题考查二次函数的应用,关键在于理解题意找出等量关系. 7．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量（瓶）与每瓶售价（元）之间满足一次函数关系（其中，且为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求与之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 【分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】 解：（1）设与之间的函数关系式为（），根据题意，得： ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）； （2）根据题意，得： ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，随的增大而增大， ∵，且为整数， ∴当时，有最大值， 即， 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元． 【点睛】 本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题． 8．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）某商品进价每件元，如果售价为每件元，每个月可卖出件，如果售价超过元，但不超过元，每件商品的售价每上涨元，每个月少卖件，如果售价超过元，若再涨价，每件商品的售价每涨元，每个月少卖件．设该商品的售价为元． （1）每件商品的利润为               元，若超过元，但不超过元，每月售          件，若超过元，每月售                 件．（用含的式子表示） （2）若售价超过元但不超过元，售价为多少元时月利润可达到元？ （3）若售价超过元，售价为多少元时可获得最大月利润？最大月利润为多少元？ 【答案】（1），，     （2）若超过元但是不超过元，售价为元时利润可达到元     （3）当售价超过元，售价为元时，可获得月利润最大，最大月利润为元      【分析】 本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）由利润售价成本销售量列出方程解答即可； （3）设售价超过元，售价为元时，可获得月利润为元，根据（2）的方法列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：设该商品的售价为元．则每件商品的利润为元， 若超过元，但不超过元，每月售件， 若超过元，但少于元时，每月售件， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 由题意得， 解得或（不合题意，舍去） 答：若超过元但是不超过元，售价为元时利润可达到元； (3) 小问详解： 售价超过元，售价为元时，可获得月利润为元 当售价超过元，售价为元时，可获得月利润最大，最大月利润为元． 9．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于20元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）若此类产品的日销售利润为150元，求销售价应定为多少元； （3）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）销售价应定为15元     （3），当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题． （1）设函数关系式，把，代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于20元/千克，得出自变量x的取值范围； （2）根据日销售利润为150元，列出一元二次方程，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值； （3）根据销售利润销售量每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可． (1) 小问详解： 解：设y与x之间的函数关系式，把，代入得 ， 解得 ， ∴y与x之间的函数关系式； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元； (3) 小问详解： 解：根据题意得：， 对称轴为直线，在对称轴的左侧随着x的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大为200． 即当销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 10．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出40件，每件可盈利60元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）为了尽快减少库存，且商场平均每天要盈利3000元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到3300元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天最多盈利多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）每件衬衫应降价30元     （2） 商场平均每天盈利不能达到3300元，理由如下： 设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：，即， ∵， ∴此方程无解， ∴该商场平均每天盈利不能达到3300元；     （3）商场平均每天最多盈利3200元，达到最大值时应降价20元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值．（1）设每件衬衫降价x元，则每天多销售件，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利=3000元为等量关系列出方程求解即可．（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利=3300元为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利y元，由（1）可知商场平均每天盈利y元与每件衬衫应降价x元之间的函数关系为，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． (1) 小问详解： 解：设每件衬衫降价x元，则每天多销售件， 根据题意得：， 解得，， ∵要扩大销售，减少库存， ∴每件衬衫应降价30元； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设商场平均每天盈利y元，每件衬衫应降价x元， ， 当时，该函数取得最大值为3200元， 所以，商场平均每天盈利最多3200元，达到最大值时应降价20元． 11．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表： 销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量p（千克） 600 450 300 150 0 （1）请直接写出p与x之间的函数关系式： （2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ （3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元()的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值． 【答案】（1）     （2）这批农产品的销售价格为元/千克，日销售利润最大，     （3）      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）设出p与x之间的函数关系式为，将表格数据代入求解，即可解题； （2）设日销售利润为，根据“日销售利润每千克利润日销售量”建立关系式，再结合二次函数的最值情况求解，即可解题； （3）根据“日获利日销售利润支出的相关费用”建立关系式，再结合二次函数最值情况，以及当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，建立等式求解，即可解题． (1) 小问详解： 解：由表格可知，销售价格x每增加元，日销售量p就减少千克， 设出p与x之间的函数关系式为， 根据表格数据可得 ， 解得 ， p与x之间的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设日销售利润为， 则， ， 在时，取得最大值， 即这批农产品的销售价格为元/千克，日销售利润最大，最大为元； (3) 小问详解： 解：若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元()的相关费用， 则日获利， 整理得， 即对称轴为直线， 当时， 当时，农经公司的日获利的最大值为2430元， 即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时， 当时，农经公司的日获利的最大值为2430元， 即， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，． 12．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值； （3）当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，求m的值． 【答案】(1) y=﹣x+3;(2) m=2;(3) 【详解】试题分析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c列出方程组求得b、c的值即可得到抛物线的解析式，在所得抛物线的解析式中，由y=0可得关于x的一元二次方程，解方程可求得B的坐标；有B、C的坐标用“待定系数法”可求得直线BC的解析式； （2）由△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形可得，CM∥x轴，由点C的坐标（0，3）可得点M的纵坐标为3，把y=3代入抛物线的解析式解得x的值即可得到m的值； （3）由已知把M、N的坐标用含“m”的代数式表达出来，进一步表达出MN的长，根据题意可得MN=OC=3即可列出关于“m”的方程，解方程即可求得m的值. 试题解析： （1）把点A（﹣1，0），点C（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c，得 ，解得 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3； 令﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3， ∴点B的坐标（3，0）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，把C（0，3），B的坐标（3，0）代入，得 ，解得： ，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3． （2）∵△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形， ∴CM∥x轴，即点M的纵坐标为3， 把y=3代入y=﹣x2+2x+3，得x=0或2， ∵点M不能与点C重合， ∴点P的横坐标为m=2． （3）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，P的横坐标为m ∴M（m，﹣m2+2m+3）， ∵直线BC的解析式为y=﹣x+3． ∴N（m，﹣m+3）， ∵以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形， ∴MN=OC=3， ∴﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=3，化简得m2﹣3m+3=0，无解， 或（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）=3，化简得m2﹣3m﹣3=0， 解得m=， ∴当以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形时，m的值为． 点睛：（1）解第2小题的关键是由“△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形”结合∠MNC是锐角可得∠NMC=90°，从而得到CM∥x轴；（2）解第3小题的关键是由“以C、O、M、N为顶点的四边形是以OC为一边的平行四边形”得到MN是OC的对边，从而得到MN=OC=3，这样即可列出关于“m”的方程解得m的值了. 13．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ （3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+160     （2）销售单价应定为50元     （3）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润1248元      【分析】 （1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160； （2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元； （3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． (1) 小问详解： 解：设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b， 把（35，90），（40，80）代入得： ， 解得 ， ∴y＝﹣2x+160； (2) 小问详解： 根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200， 解得x1＝50，x2＝60， ∵规定销售单价不低于成本且不高于54元， ∴x＝50， 答：销售单价应定为50元； (3) 小问详解： 设每天获利w元， w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55， 而x≤54， ∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元）， 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元． 【点睛】 本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． 14．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源，新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇，天府科技园工作实验室借助智能化，对某款电动车的零部件进行一体化加工，以相同的生产效率提升，该零件7月份生产500个，9月份生产720个． 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零部件售价为50元/个时，月销售量为800个，若在此基础上售价每下降2元，则月销售量将增加20个．为刺激经济的快速增长，政府给予实验室支持，当销量不低于900个时，每个将有5元的科技创新补贴． 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元，而且尽可能让车企得到实惠，社会普及增加，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务1：平均增长率为；任务2：该零件的实际售价应定为40元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：设平均增长率为，根据该零件7月份生产500个，9月份生产720个，列出方程进行求解即可； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，根据利润等于单件利润乘以销量加上政府补贴，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：任务1：设平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：平均增长率为：； 任务2：设该零件的实际售价应定为元，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 当时，销售数量为，符合题意； 答：该零件的实际售价应定为40元． 15．（25-26学年九上·四川资阳·期中）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价． （1）求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元； （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；     （2）当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．      【分析】 （1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可； （2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案． (1) 小问详解： 解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 元， 答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元. (2) 小问详解： 解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大， 根据题意得出：， 整理得：， 根据二次函数的性质得出：当时，利润最大， 最大利润为：， 答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元． 【点睛】 本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键． 16．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）民族要复兴，乡村必振兴．乡村振兴战略是践行“共同富裕”理念的重大战略，是我党心系人民的深刻体现，更是全面建设社会主义现代化国家的全局性、历史性任务．某村在乡村振兴行动中，村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B 原料单价的 倍，若用1000 元收购A原料会比用1000元收购B原料少．生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元．市场调查发现：该产品每盒的售价是80 元时，每天可以销售600盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求A，B两种原料的单价； （2）求每盒产品的成本(成本原料费其他成本)； （3）设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，每天的利润最大？ 【答案】（1）A原料的单价为元，B原料的单价为3元     （2）每盒产品的成本为40元     （3）当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000 元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元，然后再根据题意列分式方程求解即可； （2）根据（1）中原料和原料单价，结合生产该产品每盒需要A 原料和B原料，每盒还需其他成本16元，即可解答． （3）直接根据“总利润单件利润销售数量”列出解析式即可，解析式形式为二次函数，先确定拋物线的开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设原料单价为元，A原料单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， ∴， 答：A原料单价为元，原料单价为元． (2) 小问详解： 解：∵A原料单价为元，原料单价为元， ∴每盒产品的成本是：（元）， 答：每盒产品的成本为40 元． (3) 小问详解： 解：设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元， 根据题意，得， ， ， ∴抛物线开口向下， ∴当每盒产品的售价为90元时，每天利润最大，最大利润为25000元． 17．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．初三（10）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： 方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．若，设厘米，该水槽的横截面面积为平方厘米，请你写出关于的函数关系式（不必写出的取值范围），并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①比较，确定哪种水槽的水的流量较大． 【答案】①；时，的值最大，最大值为；②最大值为，等腰梯形的水槽的水流量较大 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． ①已知正方形的周长，可求出其边长，即的长，即可表示出的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． ②本题已知了正方形的边长，可设为那么也为可用正方形的边长求得．过、作的垂线，通过构建的直角三角形，用表示出和的长，即可求出上底的长，然后根据梯形的面积公式即可求得的函数关系式，根据函数的性质即可求得函数的最大值． 【详解】 解：方案①， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ， ∴等腰梯形的水槽的水流量较大． 18．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）某旅游村一家特色菜馆，希望在五一节期间获得好的收益．经测算知，某“特殊菜”的成本价为每份30元，若每份卖50元，平均每天将销售120份；若价格每提高1元，则平均每天少销售2份．五一节期间，为了更好地维护景区形象，物价局规定每份“特色菜”售价不能高于75元．设每份“特色菜”的售价上涨元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）当每份“特色菜”的售价上涨多少元时，菜馆才能实现每天销售利润3000元？ （2）五一节期间，求每份“特色菜”的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元     （2）每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每份“特色菜”的售价上涨x元（x为正整数），根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据物价局规定可得，再列出关于的二次函数，求出最值即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，每份售价为元，销售量为份． 利润 令，得． 整理得：，解得， 售价不能高于75元，即，， ∴舍去． 答：当每份售价上涨10元时，可实现每天利润3000元． (2) 小问详解： 解： ， ，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵，且x为正整数，对称轴为直线在取值范围内， ∴当时，（元）．此时售价为（元） 答：每份售价定为70元时，每天利润最大，最大利润为3200元． 19．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1）     （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元     （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元      【分析】 本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值． （1）根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． (1) 小问详解： 解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知： ， 解得： ， 与之间的函数关系式为：； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； (3) 小问详解： 解：根据故意得： ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $