专题06 旋转（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题06 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，若，则旋转角的度数为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质；首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，然后利用已知条件可以求出，即可求解． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转到处，， ，， ， 即旋转角的度数为 故选：B． 2．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，将绕点C旋转得到，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在边上，，则（             ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等边对等角，先根据旋转的性质得到，，再由等边对等角得到，利用三角形外角的性质得到，由此可得答案． 【详解】 解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 3．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD，过点A作AE⊥射线CD于点E，则∠CAE的度数是（　　） A. 90﹣α B. α C.  D.  【答案】C 【分析】先利用旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到然后利用互余表示出，从而利用互余可得到的度数. 【详解】线段绕点逆时针旋转（）得到线段， ，， ， ， ， ， ， . 故选：. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等. 5．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（        ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 此题主要考查了坐标与图形——平移和旋转的变化．先根据把点向右平移6个单位得到点，可得点的坐标为，然后分两种情况，即可求解 【详解】 解：∵把点向右平移6个单位得到点， ∴点的坐标为：， 如图所示： 将点绕原点逆时针旋转得到点，则其坐标为：， 将点绕原点顺时针旋转得到点，则其坐标为：， 故符合题意的点的坐标为：或． 故选：C． 6．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】 解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 7．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 过作轴于H，连接，先求出点的坐标为，根据将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，每6次一个循环，得出第次旋转结束时点B的对应点与点正好关于原点对称，通过关于原点对称点的特点即可求出结果． 【详解】 解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵B的坐标是，， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与B1关于原点对称， ∴的坐标为， ∴第次旋转结束时点B的对应点的坐标为． 8．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，在中，,，将点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查旋转性质,三角形内角和定理,等边三角形的判定性质．根据题意可知,即,得到是等边三角形,据此即可求得本题答案． 【详解】 解：∵,, ∴, ∵将绕点顺时针旋转至，即其中一个旋转角为, ∴, ∴是等边三角形, ∴, 故选： B． 9．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在RtABC中，BAC＝90°，将ABC绕点A顺时针旋转90°后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C．若C＝32°，则B的大小是（ ） A. 32° B. 64° C. 77° D. 87° 【答案】C 【详解】 解：根据旋转可得：， 则， 则 ， 则， 则根据旋转图形的性质可得：． 故选：C. 10．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在△ABC中，∠B＝42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（　　） 如 A. 24° B. 25° C. 26° D. 27° 【答案】D 【分析】由旋转的性质得出∠B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，由AC'＝AC得出∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，由B'A∥BC得出∠B'C'C＝138°，求出∠AC'C＝∠C＝∠AC'B='69°，再由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质得：∠B'＝∠B＝42°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC， ∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'， ∵B'A∥BC， ∴∠B'+∠B'C'C＝180°， ∴∠B'C'C＝180°﹣42°＝138°， ∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'＝×138°＝69°， ∴∠BAC'＝∠AC'C﹣∠B＝69°﹣42°＝27°； 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；解答关键是根据图形旋转说明角的相等和线段相等． 11．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】 解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 12．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（     ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 【答案】A 【分析】 首先利用已知条件求出，然后利用旋转角的定义即可求解． 【详解】 解： 是由绕点旋转得到的， 和为旋转角， 旋转角的度数为． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角． 13．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】 轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 14．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，的顶点坐标为，，．将绕原点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）是内一点，求点旋转后对应点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 此题考查了旋转作图和坐标系中绕原点旋转的坐标规律； （1）分别作出点，绕原点逆时针旋转的对应点，，顺次连接、、即可； （2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点旋转后对应点的坐标为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得点绕原点逆时针旋转得到点，绕原点逆时针旋转得到点， 将点绕原点逆时针旋转后对应点的坐标为． 15．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是　　　　　　　　． 【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】 解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为： 16．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：在正方形中，有，，， 根据旋转的性质，可知：， ∴，，， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 （1）证明即可得解； （2）设，可得，，进而可得，，在中，利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，有， ∴， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 17．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图：      （2）的坐标， 如图所示，      （3）的面积为（或3.5）      【分析】 本题考查的是作图—旋转变换及求网格图中三角形的面积，根据题意作出各点在旋转变换下的对应点是解答此题的关键． （1）作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出各点绕原点B逆时针旋转所得的对称点，再顺次连接即可，再写出点的坐标； （3）用边长为3的正方形的面积减去三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：三个顶点的坐标分别为， 各点关于原点的对称点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得， (2) 小问详解： 解：绕点B逆时针旋转后，各点的对应点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，的坐标； (3) 小问详解： 解：； 答：的面积为． 18．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． (1) 小问详解： 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 19．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程； （2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有； （3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长． 【答案】（1）如图， ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即； （3）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即的长． 【详解】 解：（1）略 （2）解：，理由： 如图，把绕A点旋转到，使与重合， 则， ∵， ∴， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵中，，， ∴，由勾股定理得：，        如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接． 则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得： ， 即． 【点睛】 本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形． 20．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】 解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在第二象限画，使与的位似比为，并分别写出点，，的坐标； （2）将绕点顺时针旋转，得到，请画出，并计算旋转过程中点经过的路径长度． 【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； ，，     （2） 解：如图所示：即为所求；       【分析】 本题主要考查了位似作图、旋转变换、点的坐标、弧长公式等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）利用位似中心的对应点的坐标特征，得点、、，再顺次连接即可，然后写出各个坐标即可． （2）根据旋转的性质作出对应点、、，再利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴由勾股定理得，， 旋转过程中点所经过的路径长为． 22．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求；      （2） 解：如图所示即为所求；      （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，找旋转中心，坐标与图形； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转变换的定义与性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，点M的坐标为； 故答案为：． 23．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2022的坐标为 　　　． 【答案】（1，﹣1） 【分析】 先利用勾股定理以及正方形、旋转的性质求出对应边长，再通过边长找出对应的前几个坐标，会发现：关于B的坐标，是每8个一循环，找到第2022个是对应的循环中的第6个，从而确定B2022坐标． 【详解】 ∵点A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1， ∴B（1，1）， 连接OB，如图：    由勾股定理得：OB＝， 由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°， ∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），B6（1，﹣1），…， 发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6， ∴点B2022的坐标为（1，﹣1）， 故答案为：（1，﹣1）． 【点睛】 本题主要是图形旋转类的坐标规律问题，利用图形以及旋转的性质求出对应前几个相应点的坐标，从而发现其中规律，应用规律进行求解是解决此类问题的关键． 24．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转90°得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【详解】 解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知：如图，在中，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质．利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再由旋转的性质得到，据此由线段的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是，的延长线与相交于点，连接． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：∵将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由旋转的性质可得，，即可证明为等边三角形，易得，进而可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）首先根据平行线的性质证明，再证明，易得，然后在中，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，即， 又∵为等边三角形， ∴， ∴在中，． 27．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）[方法探索] （1）如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接． 接着写下去： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，若，求度数． （3）如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长． 【答案】（1）     （2）90°     （3）      【分析】 （1）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，根据勾股定理即可求出． （2）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，则可得到． （3）将绕点A逆时针旋转90°得到，连接，过B点作于M点，易证明是等腰直角三角形， 是直角三角形，用勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 由旋转得到， ， △为等边三角形 ， ， ， 在中，由勾股定理可得： ==； (2) 小问详解： 如图，把绕着点B顺时针旋转得到，连接， 由逆时针旋转60°得到， ，，，， 为等边三角形， ∴， ，， ，即三点共线． ， 在中，， ， 是直角三角形，且． (3) 小问详解： 将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，过B点做于M点， ，， ， ， 在中，， ， 由旋转90°所得， ，，， 则， 在中， ，， ， 在中， 【点睛】 本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，还考查了等边三角形的判定与性质，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键． 28．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；按照这种旋转方式依次进行下去……，则点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，通过图形旋转，找到所有B点坐标之间的关系是本题的关键． 过旋转发现每两个偶数之间的相差相同长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】 解：点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：PB＝QC； （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 【答案】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ， ∴AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC， ∴∠BAP=∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中 ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）， ∴PB=QC； （2）5. 【分析】 （1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案； （2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可 .直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】 （1） 略 （2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°， ∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC， ∴QC=4， ∴△PQC是直角三角形， ∴PC==5． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理 .证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键 . 30．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1．若AC＝6，BC＝8，则DB1的长为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】根据勾股定理可以得出AB的长度，从而得知CD的长度，再根据旋转的性质可知BC=B1C，从而可以得出答案. 【详解】∵在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵点D为AB的中点， ∴， ∵将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1． ∴CB1＝BC＝8， ∴DB1＝CB1-CD=8﹣5＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边中点的性质和旋转的性质，能够根据勾股定理求出AB的长是解题的关键. 31．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【分析】 （1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】 本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 32．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【详解】 解：作轴于点，轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，是等腰直角三角形斜边上一点，将旋转到的位置，作，与交于． （1）求的度数； （2）线段相等吗？线段有无确定的数量关系？请说明你判断的理由． 【答案】（1）     （2） 线段有确定的数量关系． 理由：连接． 由（1），． ∵． ∴． 又由（1），． ∴． 即．      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，则，根据三线合一的性质，即可得出； （2）证明得出，由（1）可得，则，勾股定理可得，等量代换可得 (1) 小问详解： 由旋转，． ∴． ∴． ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 34．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点，，的坐标； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形，并写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示，即为所作，    ，，；     （2）如上图所示，即为所作， ，，；     （3）．      【分析】 （）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可； 本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解题的关键． (1) 小问详解： ，，；        (2) 小问详解： ，，； (3) 小问详解： 的面积为． 35．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定．根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 36．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 【答案】（1）， （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】 本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 37．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵将顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 38．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，在中，，点、分别是、的中点．将绕点旋转得．连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，设四边形的面积为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形；     （2）四边形的面积为      【分析】 本题考查图形旋转的性质，菱形的判定定理以及菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键． （1）根据旋转得，，可证四边形是平行四边形；再由是的中点及，得，进而可证四边形是菱形； （2）由得菱形边长为，设，，则，利用菱形对角线垂直，结合勾股定理得，再由完全平方公式求得，最后用菱形面积公式求得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，令和的交点为， ∵， ∴， 设，，则， 由（1）得四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 整理得，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 41．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）将两块全等的三角板如图①楔放，其中∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠A'＝∠A＝30°． （1）将图①中的△A'B'C顺时针旋转45°得图②，点P'是A'C与AB的交点，点Q是A'B'与BC的交点，求证：CP'＝CQ； （2）在图②中，若AP'＝3，求CQ长． 【答案】（1）证明：∵将△A′B′C顺时针旋转45°， ∴∠ACA′＝45°，AC＝A′C，∠A＝∠A′， ∵∠A′CB′＝∠ACB＝90°， ∴∠BCA′＝∠ACA′＝45°，且AC＝A′C，∠A＝∠A′， ∴△A′CQ≌△ACP′（ASA） ∴CP′＝CQ； （2） 【分析】 （1）由“ASA”可证△A′CQ≌△ACP′，可得CP′=CQ； （2）由直角三角形的性质和全等三角形的性质可求CP′=CQ=． 【详解】 解：（1）略 （2）如图② ，过点P′作P′E⊥AC， ∵∠A＝30°，AP′＝3，P′E⊥AC， ∴P′E＝1.5， ∵∠ACA′＝45°，P′E⊥AC， ∴CE＝P′E＝1.5， ∴P′C＝， ∴CP′＝CQ＝． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△A′CQ≌△ACP′是本题的关键． 42．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． （1）求直线的解析式； （2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； （3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）或；     （3）或；      【分析】 （1）先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标； （3）先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， ∴令，则， ∴点A为， ∴， ∵， ∴点C为，点D为， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，令，则， ∴点B为， ∵ ，解得 ， ∴点P的坐标为； ∴； ∵点Q在直线上，则设点Q为，则 当点Q在点B的下方时，如下图： ∵，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点Q在点P的上方时，如上图： ， ∴， ∴ 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 综合上述，点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线， ∴直线为， 令，则， ∴点E的坐标为， 即； 当作为矩形的边时，如图： ∴点N的坐标为， ∴点M的坐标为； 当作为矩形的对角线时，如图： ∴点F的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 综合上述，则点M的坐标为或； 【点睛】 本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题． 43．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，求点的坐标； （2）若点是轴上一个动点， ①当时，求点的坐标． ②求周长的最小值． 【答案】（1）     （2）①或；②      【分析】 （1）先理解题意，分别过点C和点A作，，根据旋转的性质，证明，再结合，，即可作答． （2）① 先求出，再结合，则，得，再根据，故或，即可作答． ② 先理解题意，作点关于轴的对称点，故，运用勾股定理得，周长，即可作答． (1) 小问详解： 解：过点B作直线轴，再分别过点C和点A作，，如图所示： ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 则， 即点 则， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ∴在中， ∵， ∴， ∵点是轴上一个动点， ∴ 则， ∵ 则或， ∴点的坐标为或； ② 如图所示：作点关于轴的对称轴点， ∵点在轴的正半轴上，， ∴， 则， 连接交轴于一点，连接， ∵旋转 ∴， ∵ ∴ 则周长 ． 【点睛】 本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径，旋转性质，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 44．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）（多选）如图，在正方形ABCD中，，E为BD上的动点，连接AE并延长交正方形ABCD的边于点F，将AF绕点A逆时针旋转90°得到AG，点E的对应点为点H． （1）连接DH，求证：； （2）当时，求BF的长； （3）连接BH，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB，， 根据旋转可知，，AH=AE， ∴， ∴， 在△ABE和△ADH中 ， ∴（SAS）．     （2）3     （3）      【分析】 （1）根据正方形的性质得出AD=AB，，根据旋转得出，AH=AE，根据余角的性质得出，利用“SAS”证明即可； （2）根据旋转得出，在Rt△ABF中，根据勾股定理求出BF的长即可； （3）延长BD取DM=BD，连接AM，交PD于点 H，连接BH，此时BH+AH最小，过点M作MN⊥AD的延长线于点N，根据DP为BM的垂直平分线，得出BH=MH，从而得出，即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据旋转可知，， ∵AB=4，， ∴在Rt△ABF中，根据勾股定理可得： ． (3) 小问详解： ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， BD平分∠ABC和∠ADC， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， ∴， ∴PD⊥BD， ∴点H总是在PD上， ∴延长BD取DM=BD，连接AM，交PD于点 H，连接BH，此时BH+AH最小，过点M作MN⊥AD的延长线于点N，如图所示： ∵BD=DM， ∴DP为BM的垂直平分线， ∴BH=MH， ∵在△ABD与△NMD中 ， ∴（AAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即BH+AH最小值为． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，根据题意找出使BH+AH取最小值时，点H的位置，是解题的关键． 45．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是　　　　　　．（填写所有正确结论的序号） 【答案】① ② ③ 【分析】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ， ，故① 正确， ，，， ∴ ，，， 平分，故③ 正确， ， ， ，故② 正确， ， ， ∴， ∴的面积，故④ 错误； 故答案为：① ② ③ ． 46．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 过点O作于点E，过点B作于点D，过点A作于点C，得到直线是线段的垂直平分线，直线是反比例函数图象的对称轴，根据全等三角形的判定和性质，反比例函数k值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 【详解】 解：过点O作于点E，过点B作轴于点D，过点A作轴于点C， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线是反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， 同理可证，， ∵点恰好落在双曲线上， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）点的坐标为______，点的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求      （2） 如图，即为所求      （3）；      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的点、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出点、的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）图可知，，由（2）图可知， 故答案为：；． 2．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ．    （1）将向右平移4个单位，画出平移后的； （2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是________； （3）在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）如图，即为所作．    （2）平行四边形； （3）存在，满足条件的点坐标为，，． 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质结合平行四边形的判定方法得出答案； （3）直接利用平行四边形的判定方法得出符合题意的答案． 【详解】 解：（1）略 （2）如图，即为所作，四边形是平行四边形，故答案为平行四边形． （3）存在．满足条件的点坐标为，，． 【点睛】 此题主要考查了平移变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 3．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度） （1）请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）在轴上找一点，使得的值最小，请写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所作，且，，；      （2） 如图所示，即为所求．      （3） 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，       【分析】 （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接，再结合直角坐标系写出，，三点的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 可知，， 此时， ∴此时的值最小，最小值为的长，则点即为所作； ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，，得：， ∴． 【点睛】 本题考查轴对称性质，作中心对称图形，作旋转图形，待定系数法确定函数解析式等知识点，掌握中心对称图形、旋转图形及轴对称的性质是解题的关键． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查识别轴对称图形与中心对称图形．识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】 A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意． 故选D． 2．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】 解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：根据中心对称图形的概念：中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 因此，符合此定义的只有选项B． 故选：B． 4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】 解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度．下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查中心对称图形的概念，根据“如果一个图形绕着某一点旋转，旋转后的图形能和原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形”，逐项判断，即可求解． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 6．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）下列四个图形中，中心对称图形是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的概念结合各图形的特点求解． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 7．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，清楚辨认轴对称图形和中心对称图形是解题的关键． 首先认识沿一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形完全重合，这个图形叫做中心对称图形，再判断每一个选项的图形是否符合题意即可． 【详解】 解：对于A：是轴对称图形，不是中心对称图形，∴不符合题意； 对于B：是中心对称图形，不是轴对称图形，∴不符合题意； 对于C：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴不符合题意； 对于D：是轴对称图形，也是中心对称图形，∴符合题意； 故选：D． 8．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（       ） A.  刘徽的割圆术 B.  中国七巧板 C.  杨辉三角 D.  赵爽弦图 【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的定义；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； C、该图形不是中心对称图形，故该选项是错误的； D、该图形是中心对称图形，故该选项是正确的； 故选：D 10．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图①所示，小明将四张牌放在桌上，然后蒙上眼睛，请一位同学上前，将某一张牌旋转180°，小明解开蒙具，看到四张牌如图②所示，他很快就确定被旋转的牌是（       ） A. 方块4 B. 黑桃5 C. 梅花6 D. 红桃7 【答案】A 【分析】 根据图①与图②一模一样，可知旋转的牌是一个中心对称图形，由此进行求解即可 【详解】 解：∵图①与图②一模一样， ∴可知旋转的牌是一个中心对称图形， 在这四张牌中，只有方片4是中心对称图形， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够判断出旋转的牌是中心对称图形． 11．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】 解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 13．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 菱形 【答案】D 【分析】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称时坐标变化特点：横纵坐标均互为相反数即可解答． 【详解】 解：关于原点的对称点坐标为， 点关于原点对称的点的坐标为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于原点对称点的坐标的特征，根据关于原点对称点的横坐标和纵坐标均互为相反数，即可解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标为． 故选：D． 3．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）若点与点关于原点对称，则（       ） A. 8 B.  C. 9 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的性质，负整数指数幂；正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而代入代数式求值，即可求解． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴ ∴ 故选：D． 4．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若点关于原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反． 根据若点关于原点对称的点位于第一象限，判断出点在第三象限，然后解不等式即可得到的取值范围． 【详解】 解：∵点关于原点对称的点是第一象限的点， ∴在第三象限， ， 解得：， 故选：A． 5．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列命题是真命题的有（     ）个． （1）以2，为根的一元二次方程可以是 （2）一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是， （3）在中，点G是的重心，是中线，则． （4）已知点，把点A向右平移3个单位到点B，则B关于原点对称点C的坐标为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 该题考查了命题，解一元二次方程，一元二次方程的解，重心，点的平移和对称，逐一判断每个命题的真假：命题（1）验证方程的根；命题（2）利用根与系数的关系；命题（3）根据重心性质；命题（4）通过坐标平移和对称变换． 【详解】 解：（1）方程可化为，解得或，并非和，∴该命题为假命题． （2）∵一个根为，代入方程得，∴；方程变为，根的和为，∴另一根为，符合，∴该命题为真命题． （3）重心将中线分为，即，但命题说，错误，∴该命题为假命题． （4）点向右平移个单位得，关于原点对称点为，符合，∴该命题为真命题． 综上，真命题有个． 故选：B． 6．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知点与点关于原点对称，则的立方根是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，求出x和y的值，再计算，最后求立方根． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 9．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知点和关于原点对称，则的值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】 解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值为　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】 解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 11．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）在平面直角坐标系中，先将点向左平移4个单位长度得到点，再作点关于原点的对称点，则此时点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据点的平移特征，向左平移4个单位长度得到点的坐标，再根据关于原点的对称的点的坐标特征“横纵坐标均与原来点的坐标相反”，可得点的坐标即可． 【详解】 解：将点向左平移4个单位长度得到点， 则， 作点关于原点的对称点， 则． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了点的平移以及关于原点的对称点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 12．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知点和点关于原点中心对称，则的值为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题主要考查了根据关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征“横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算的值． 【详解】 解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，； ∴． 故答案为8． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．B 2．C 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．A 12．A 13．C 14．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）      【分析】 此题考查了旋转作图和坐标系中绕原点旋转的坐标规律； （1）分别作出点，绕原点逆时针旋转的对应点，，顺次连接、、即可； （2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点旋转后对应点的坐标为． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可得点绕原点逆时针旋转得到点，绕原点逆时针旋转得到点， 将点绕原点逆时针旋转后对应点的坐标为． 15．【答案】厘米 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，图形的旋转的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】 解：∵， ∴， 又， 由旋转的性质得：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为： 16．【答案】（1） 证明：在正方形中，有，，， 根据旋转的性质，可知：， ∴，，， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴；     （2）．      【分析】 （1）证明即可得解； （2）设，可得，，进而可得，，在中，利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，有， ∴， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握旋转的性质是解答本题的关键． 17．【答案】（1） 如图：      （2）的坐标， 如图所示，      （3）的面积为（或3.5）      【分析】 本题考查的是作图—旋转变换及求网格图中三角形的面积，根据题意作出各点在旋转变换下的对应点是解答此题的关键． （1）作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可作出； （2）作出各点绕原点B逆时针旋转所得的对称点，再顺次连接即可，再写出点的坐标； （3）用边长为3的正方形的面积减去三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：三个顶点的坐标分别为， 各点关于原点的对称点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得， (2) 小问详解： 解：绕点B逆时针旋转后，各点的对应点分别为：，依次描出这三个点，再顺次连接，得，的坐标； (3) 小问详解： 解：； 答：的面积为． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． (1) 小问详解： 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 19．【答案】（1）如图， ∵把绕点A逆时针旋转至，使与重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）根据已知条件证明，进而得到，即可得到答案； （2）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，根据（1），要使，需证明，因此需证明F、D、G在一条直线上，即，即； （3）先作辅助线，把绕A点旋转到，使和重合，连接，根据已知条件证明，设，则，，然后再中根据勾股定理即可求出x的值，即的长． 【详解】 解：（1）略 （2）解：，理由： 如图，把绕A点旋转到，使与重合， 则， ∵， ∴， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵中，，， ∴，由勾股定理得：，        如图，把绕A点旋转到，使和重合，连接． 则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得： ， 即． 【点睛】 本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形． 20．【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 【详解】 解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：． 21．【答案】（1） 解：如图所示：即为所求； ，，     （2） 解：如图所示：即为所求；       【分析】 本题主要考查了位似作图、旋转变换、点的坐标、弧长公式等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． （1）利用位似中心的对应点的坐标特征，得点、、，再顺次连接即可，然后写出各个坐标即可． （2）根据旋转的性质作出对应点、、，再利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴由勾股定理得，， 旋转过程中点所经过的路径长为． 22．【答案】（1） 解：如图所示即为所求；      （2） 解：如图所示即为所求；      （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，找旋转中心，坐标与图形； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转变换的定义与性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，点M的坐标为； 故答案为：． 23．【答案】（1，﹣1） 【分析】 先利用勾股定理以及正方形、旋转的性质求出对应边长，再通过边长找出对应的前几个坐标，会发现：关于B的坐标，是每8个一循环，找到第2022个是对应的循环中的第6个，从而确定B2022坐标． 【详解】 ∵点A的坐标为（1，0）， ∴OA＝1， ∵四边形OABC是正方形， ∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1， ∴B（1，1）， 连接OB，如图：    由勾股定理得：OB＝， 由旋转的性质得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝， ∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， 相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°， ∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），B5（0，﹣），B6（1，﹣1），…， 发现是8次一循环，则2022÷8＝252…6， ∴点B2022的坐标为（1，﹣1）， 故答案为：（1，﹣1）． 【点睛】 本题主要是图形旋转类的坐标规律问题，利用图形以及旋转的性质求出对应前几个相应点的坐标，从而发现其中规律，应用规律进行求解是解决此类问题的关键． 24．【答案】 【分析】 本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，结合勾股定理求出，求出结合勾股定理即可得到答案． 【详解】 解：∵顺时针旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质．利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再由旋转的性质得到，据此由线段的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 26．【答案】（1） 解：∵将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了旋转的性质、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由旋转的性质可得，，即可证明为等边三角形，易得，进而可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）首先根据平行线的性质证明，再证明，易得，然后在中，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）可知，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得，即， 又∵为等边三角形， ∴， ∴在中，． 27．【答案】（1）     （2）90°     （3）      【分析】 （1）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，根据勾股定理即可求出． （2）把绕着点顺时针旋转得到，连接，易证明是等边三角形，是直角三角形，则可得到． （3）将绕点A逆时针旋转90°得到，连接，过B点作于M点，易证明是等腰直角三角形， 是直角三角形，用勾股定理即可求出． (1) 小问详解： 由旋转得到， ， △为等边三角形 ， ， ， 在中，由勾股定理可得： ==； (2) 小问详解： 如图，把绕着点B顺时针旋转得到，连接， 由逆时针旋转60°得到， ，，，， 为等边三角形， ∴， ，， ，即三点共线． ， 在中，， ， 是直角三角形，且． (3) 小问详解： 将绕点A顺时针旋转90°得到，连接，过B点做于M点， ，， ， ， 在中，， ， 由旋转90°所得， ，，， 则， 在中， ，， ， 在中， 【点睛】 本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，还考查了等边三角形的判定与性质，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键． 28．【答案】 【分析】 此题考查了点的坐标规律变换，勾股定理，通过图形旋转，找到所有B点坐标之间的关系是本题的关键． 过旋转发现每两个偶数之间的相差相同长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标． 【详解】 解：点，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 29．【答案】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ， ∴AP=AQ，∠PAQ=60°， ∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC， ∴∠BAP=∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中 ， ∴△BAP≌△CAQ（SAS）， ∴PB=QC； （2）5. 【分析】 （1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠PAQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案； （2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可 .直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】 （1） 略 （2）解：∵由（1）得△APQ是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°， ∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC， ∴QC=4， ∴△PQC是直角三角形， ∴PC==5． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理 .证明△BAP≌△CAQ是解（1）的关键，证明∠PQC=90°是解（2）的关键 . 30．【答案】3 【分析】根据勾股定理可以得出AB的长度，从而得知CD的长度，再根据旋转的性质可知BC=B1C，从而可以得出答案. 【详解】∵在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， ∵点D为AB的中点， ∴， ∵将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1． ∴CB1＝BC＝8， ∴DB1＝CB1-CD=8﹣5＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形斜边中点的性质和旋转的性质，能够根据勾股定理求出AB的长是解题的关键. 31．【答案】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【分析】 （1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】 本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 32．【答案】 【分析】 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【详解】 解：作轴于点，轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 33．【答案】（1）     （2） 线段有确定的数量关系． 理由：连接． 由（1），． ∵． ∴． 又由（1），． ∴． 即．      【分析】 （1）根据旋转的性质可得，则，根据三线合一的性质，即可得出； （2）证明得出，由（1）可得，则，勾股定理可得，等量代换可得 (1) 小问详解： 由旋转，． ∴． ∴． ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 34．【答案】（1）如图所示，即为所作，    ，，；     （2）如上图所示，即为所作， ，，；     （3）．      【分析】 （）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可； 本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解题的关键． (1) 小问详解： ，，；        (2) 小问详解： ，，； (3) 小问详解： 的面积为． 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定．根据旋转的性质求出和度数，利用三角形外角的性质即可． 【详解】 解：将绕点顺时针旋转得到． ，，， 点，，在同一条直线上， ． ． 故答案为：． 36．【答案】（1）， （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】 本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 37．【答案】 【分析】 本题主要考查了图形和平面直角坐标系，图形旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，根据条件证明，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ∴， ∵将顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 38．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】 解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 39．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 40．【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴平行四边形为菱形；     （2）四边形的面积为      【分析】 本题考查图形旋转的性质，菱形的判定定理以及菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键． （1）根据旋转得，，可证四边形是平行四边形；再由是的中点及，得，进而可证四边形是菱形； （2）由得菱形边长为，设，，则，利用菱形对角线垂直，结合勾股定理得，再由完全平方公式求得，最后用菱形面积公式求得结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，令和的交点为， ∵， ∴， 设，，则， 由（1）得四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 整理得，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 答：四边形的面积为． 41．【答案】（1）证明：∵将△A′B′C顺时针旋转45°， ∴∠ACA′＝45°，AC＝A′C，∠A＝∠A′， ∵∠A′CB′＝∠ACB＝90°， ∴∠BCA′＝∠ACA′＝45°，且AC＝A′C，∠A＝∠A′， ∴△A′CQ≌△ACP′（ASA） ∴CP′＝CQ； （2） 【分析】 （1）由“ASA”可证△A′CQ≌△ACP′，可得CP′=CQ； （2）由直角三角形的性质和全等三角形的性质可求CP′=CQ=． 【详解】 解：（1）略 （2）如图② ，过点P′作P′E⊥AC， ∵∠A＝30°，AP′＝3，P′E⊥AC， ∴P′E＝1.5， ∵∠ACA′＝45°，P′E⊥AC， ∴CE＝P′E＝1.5， ∴P′C＝， ∴CP′＝CQ＝． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△A′CQ≌△ACP′是本题的关键． 42．【答案】（1）；     （2）或；     （3）或；      【分析】 （1）先求出，然后求出点C和点D的坐标，利用待定系数法，即可求出解析式； （2）先求出点B和点P的坐标，然后求出四边形的面积，然后分类讨论：当点Q在点B的下方时；当点Q在点P的上方时；分别求出三角形的面积，即可求出点Q的坐标； （3）先求出直线为，然后得到，然后分情况进行分析：当作为矩形的边时；当作为矩形的对角线时；分别求出两种情况的点M的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、点B， ∴令，则， ∴点A为， ∴， ∵， ∴点C为，点D为， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，令，则， ∴点B为， ∵ ，解得 ， ∴点P的坐标为； ∴； ∵点Q在直线上，则设点Q为，则 当点Q在点B的下方时，如下图： ∵，点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 当点Q在点P的上方时，如上图： ， ∴， ∴ 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 综合上述，点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵直线向下平移1个单位长度得到直线， ∴直线为， 令，则， ∴点E的坐标为， 即； 当作为矩形的边时，如图： ∴点N的坐标为， ∴点M的坐标为； 当作为矩形的对角线时，如图： ∴点F的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴点M的坐标为； 综合上述，则点M的坐标为或； 【点睛】 本题考查了矩形的性质，一次函数的图像和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出图形，从而运用分类讨论的思想进行解题． 43．【答案】（1）     （2）①或；②      【分析】 （1）先理解题意，分别过点C和点A作，，根据旋转的性质，证明，再结合，，即可作答． （2）① 先求出，再结合，则，得，再根据，故或，即可作答． ② 先理解题意，作点关于轴的对称点，故，运用勾股定理得，周长，即可作答． (1) 小问详解： 解：过点B作直线轴，再分别过点C和点A作，，如图所示： ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， 则， 即点 则， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ∴在中， ∵， ∴， ∵点是轴上一个动点， ∴ 则， ∵ 则或， ∴点的坐标为或； ② 如图所示：作点关于轴的对称轴点， ∵点在轴的正半轴上，， ∴， 则， 连接交轴于一点，连接， ∵旋转 ∴， ∵ ∴ 则周长 ． 【点睛】 本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，最短路径，旋转性质，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 44．【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB，， 根据旋转可知，，AH=AE， ∴， ∴， 在△ABE和△ADH中 ， ∴（SAS）．     （2）3     （3）      【分析】 （1）根据正方形的性质得出AD=AB，，根据旋转得出，AH=AE，根据余角的性质得出，利用“SAS”证明即可； （2）根据旋转得出，在Rt△ABF中，根据勾股定理求出BF的长即可； （3）延长BD取DM=BD，连接AM，交PD于点 H，连接BH，此时BH+AH最小，过点M作MN⊥AD的延长线于点N，根据DP为BM的垂直平分线，得出BH=MH，从而得出，即可求出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 根据旋转可知，， ∵AB=4，， ∴在Rt△ABF中，根据勾股定理可得： ． (3) 小问详解： ∵四边形ABCD为正方形， ∴，， BD平分∠ABC和∠ADC， ∴， 根据解析（1）可知，， ∴， ∴， ∴PD⊥BD， ∴点H总是在PD上， ∴延长BD取DM=BD，连接AM，交PD于点 H，连接BH，此时BH+AH最小，过点M作MN⊥AD的延长线于点N，如图所示： ∵BD=DM， ∴DP为BM的垂直平分线， ∴BH=MH， ∵在△ABD与△NMD中 ， ∴（AAS）， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即BH+AH最小值为． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，根据题意找出使BH+AH取最小值时，点H的位置，是解题的关键． 45．【答案】① ② ③ 【分析】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ， ，故① 正确， ，，， ∴ ，，， 平分，故③ 正确， ， ， ，故② 正确， ， ， ∴， ∴的面积，故④ 错误； 故答案为：① ② ③ ． 46．【答案】6 【分析】 过点O作于点E，过点B作于点D，过点A作于点C，得到直线是线段的垂直平分线，直线是反比例函数图象的对称轴，根据全等三角形的判定和性质，反比例函数k值的几何意义解答即可． 本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质． 【详解】 解：过点O作于点E，过点B作轴于点D，过点A作轴于点C， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴直线是反比例函数图象的对称轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， 同理可证，， ∵点恰好落在双曲线上， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1） 解：如图，即为所求      （2） 如图，即为所求      （3）；      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、绕点逆时针旋转后的点、的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点、、关于原点成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可； （3）根据平面直角坐标系写出点、的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）图可知，，由（2）图可知， 故答案为：；． 2．【答案】（1）如图，即为所作．    （2）平行四边形； （3）存在，满足条件的点坐标为，，． 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质结合平行四边形的判定方法得出答案； （3）直接利用平行四边形的判定方法得出符合题意的答案． 【详解】 解：（1）略 （2）如图，即为所作，四边形是平行四边形，故答案为平行四边形． （3）存在．满足条件的点坐标为，，． 【点睛】 此题主要考查了平移变换、旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 3．【答案】（1） 解：如图所示，即为所作，且，，；      （2） 如图所示，即为所求．      （3） 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，       【分析】 （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接，再结合直角坐标系写出，，三点的坐标即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 可知，， 此时， ∴此时的值最小，最小值为的长，则点即为所作； ∵，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，，得：， ∴． 【点睛】 本题考查轴对称性质，作中心对称图形，作旋转图形，待定系数法确定函数解析式等知识点，掌握中心对称图形、旋转图形及轴对称的性质是解题的关键． 考点03 中心对称图形 1．D 2．D 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．D 10．A 11．C 12．D 13．D 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．B 2．D 3．D 4．A 5．B 6．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标都互为相反数，求出x和y的值，再计算，最后求立方根． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】 解：点与点关于原点对称， 则， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】 解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 10．【答案】5 【分析】 根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】 解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 11．【答案】 【分析】 根据点的平移特征，向左平移4个单位长度得到点的坐标，再根据关于原点的对称的点的坐标特征“横纵坐标均与原来点的坐标相反”，可得点的坐标即可． 【详解】 解：将点向左平移4个单位长度得到点， 则， 作点关于原点的对称点， 则． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了点的平移以及关于原点的对称点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的变化规律． 12．【答案】8 【分析】 本题主要考查了根据关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征“横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，列出方程求解n和m，再计算的值． 【详解】 解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，； ∴． 故答案为8． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，将绕点顺时针旋转到处，此时点刚好落在边上，若，则旋转角的度数为(       ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，将绕点C旋转得到，点A对应点D，点B对应点E，点B刚好落在边上，，则（             ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段BD，过点A作AE⊥射线CD于点E，则∠CAE的度数是（　　） A. 90﹣α B. α C.  D.  5．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）在平面直角坐标系中，把点向右平移6个单位得到点，再将点绕原点旋转得到点，则点的坐标是（        ） A.  B.  C. 或 D. 或 6．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，在中，,，将点顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在RtABC中，BAC＝90°，将ABC绕点A顺时针旋转90°后得到A（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接C．若C＝32°，则B的大小是（ ） A. 32° B. 64° C. 77° D. 87° 10．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在△ABC中，∠B＝42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B'A∥BC，则∠BAC'的度数为（　　） 如 A. 24° B. 25° C. 26° D. 27° 11．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，是由绕点旋转得到的．若，，，则的度数为（     ） A. 60° B. 50° C. 40° D. 10° 13．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（       ）． A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，的顶点坐标为，，．将绕原点逆时针旋转得到． （1）画出； （2）是内一点，求点旋转后对应点的坐标． 15．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，正方形的边长为6，E，F分别是，边上的点，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． 17．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）求的面积． 18．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 19．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）综合与实践 （1）问题情境：如图①，在正方形中，已知，点E，F分别在上，．把绕点A逆时针旋转90°得到，使与重合，则能证得，请写出推理过程； （2）问题探究：如图②，若，都不是直角，则当与满足数量关系______时，仍有； （3）拓展应用：如图③，在中，，点D，E均在边上，且．若，，求的长． 20．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接，的长为　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以点为位似中心，在第二象限画，使与的位似比为，并分别写出点，，的坐标； （2）将绕点顺时针旋转，得到，请画出，并计算旋转过程中点经过的路径长度． 22．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 23．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2022的坐标为 　　　． 24．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，在正方形内有一点，连接，，，将顺时针旋转90°得到，连接，点恰好在线段上，若，，则的长度为　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知：如图，在中，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，的对应点分别是，的延长线与相交于点，连接． （1）求证： （2）若，求的长． 27．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）[方法探索] （1）如图1，在等边中，点在内，且，，，求的长． 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把绕着点顺时针旋转得到，连接，分别证明和是特殊三角形，从而得解．请在此思路提示下，求出的长．解：把绕着点顺时针旋转得到，连接． 接着写下去： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： （2）如图2，点在等边外，且，，若，求度数． （3）如图3，在中，，，是外一点，连接、、．已知，．求的长． 28．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；按照这种旋转方式依次进行下去……，则点的坐标为　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC． （1）求证：PB＝QC； （2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度． 30．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1．若AC＝6，BC＝8，则DB1的长为　　　　　　　　． 31．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 32．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，是等腰直角三角形斜边上一点，将旋转到的位置，作，与交于． （1）求的度数； （2）线段相等吗？线段有无确定的数量关系？请说明你判断的理由． 34．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点，，的坐标； （2）画出将绕原点逆时针方向旋转后的图形，并写出点，，的坐标； （3）求的面积． 35．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 37．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是　　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点的中心对称图形； （2）将绕点E逆时针旋转得到，画出； （3）若由绕者某点旋转得到的，则这点的坐标为_________． 40．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）如图，在中，，点、分别是、的中点．将绕点旋转得．连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，设四边形的面积为，求的值． 41．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）将两块全等的三角板如图①楔放，其中∠A'CB'＝∠ACB＝90°，∠A'＝∠A＝30°． （1）将图①中的△A'B'C顺时针旋转45°得图②，点P'是A'C与AB的交点，点Q是A'B'与BC的交点，求证：CP'＝CQ； （2）在图②中，若AP'＝3，求CQ长． 42．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线（）交于点P，． （1）求直线的解析式； （2）连接、，若直线上存在一点Q，使得，求点Q的坐标； （3）将直线向下平移1个单位长度得到直线，直线l与x轴交于点E，点N为直线l上的一点，在平面直角坐标系中，是否存在点M，使以点O，E，N，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 43．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，求点的坐标； （2）若点是轴上一个动点， ①当时，求点的坐标． ②求周长的最小值． 44．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）（多选）如图，在正方形ABCD中，，E为BD上的动点，连接AE并延长交正方形ABCD的边于点F，将AF绕点A逆时针旋转90°得到AG，点E的对应点为点H． （1）连接DH，求证：； （2）当时，求BF的长； （3）连接BH，请直接写出的最小值． 45．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是　　　　　　．（填写所有正确结论的序号） 46．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段与反比例函数相交于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在双曲线上，则的面积为　　　　　　　　　　　　　． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，解答下列问题： （1）作出绕点逆时针旋转的； （2）作出关于原点成中心对称的； （3）点的坐标为______，点的坐标为______． 2．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ．    （1）将向右平移4个单位，画出平移后的； （2）以点为对称中心，画出与成中心对称的，此时四边形的形状是________； （3）在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为个单位长度） （1）请画出关于原点对称的图形，并写出，，三点的坐标． （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）在轴上找一点，使得的值最小，请写出点的坐标． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）下列食品标识图中，依次表示绿色饮品、绿色食品、有机食品和速冻食品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，汤洪波、唐胜杰、江新林3名航天员领命出征，将在太空开展涉及微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域的大量空间科学实（试）验，完成舱内外设备安装、调试、维护维修等各项任务，展现了中国航天科技的新高度．下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）下列四个图形中，中心对称图形是（       ） A.      B.      C.      D.      7．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      9．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（       ） A.  刘徽的割圆术 B.  中国七巧板 C.  杨辉三角 D.  赵爽弦图 10．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）如图①所示，小明将四张牌放在桌上，然后蒙上眼睛，请一位同学上前，将某一张牌旋转180°，小明解开蒙具，看到四张牌如图②所示，他很快就确定被旋转的牌是（       ） A. 方块4 B. 黑桃5 C. 梅花6 D. 红桃7 11．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 菱形 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）若点与点关于原点对称，则（       ） A. 8 B.  C. 9 D.  4．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若点关于原点对称的点位于第一象限，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列命题是真命题的有（     ）个． （1）以2，为根的一元二次方程可以是 （2）一元二次方程的一个根是2，则它的另一个根是， （3）在中，点G是的重心，是中线，则． （4）已知点，把点A向右平移3个单位到点B，则B关于原点对称点C的坐标为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知点与点关于原点对称，则的立方根是　　　　　． 8．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知点和关于原点对称，则的值是　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）若点与点关于原点成中心对称，则的值为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）在平面直角坐标系中，先将点向左平移4个单位长度得到点，再作点关于原点的对称点，则此时点的坐标为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知点和点关于原点中心对称，则的值为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $