专题03 一元二次方程（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题03 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．B 7．C 8．B 9．B 10．B 11．C 12．A 13．B 14．C 15．C 16．D 17．D 18．A 19．A 20．C 21．B 22．B 23．B 24．D 25．A 26．C 27．D 28．A 29．C 30．D 31．C 32．B 33．C 34．B 35．B 36．C 37．D 38．A 39．D 40．C 41．C 42．B 43．A 44．D 45．A 46．A 47．【答案】 【分析】 将，代入中，即可得到k值． 【详解】 解：将代入中，得到： 故答案为： 【点睛】 本题考查知道一元二次方程的解的应用，根据相关知识点解题是重点． 48．【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：4． 49．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义、常数项概念可得 ，求解即可求得答案． 【详解】 解：由题意得， ， 解得， 故答案为：． 50．【答案】4 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】 解：将代入得，， 解得， 故答案为：． 51．【答案】 【分析】 此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0． 【详解】 解：∵是一元二次方程， ， 解得：， 又， ， ∴， 故答案为：． 52．【答案】2025 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 53．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况． 【详解】 解：根据一元二次方程的定义，可知： ， 解得： ， 所以． 故答案为：． 54．【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于的一元一次方程是解题的关键．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可． 【详解】 解：把方程看作关于的一元二次方程， 方程的解是， 或， 解得：，， 故答案为：，． 55．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】 解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 56．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 57．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 58．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解的定义．把方程的解代入方程得到，即可求出答案． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得， 故答案为： 59．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】 解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 60．【答案】 【分析】 本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 61．【答案】（1）     （2）的值为、、     （3）的最小值为5      【分析】 本题考查了分式的混合运算、一元二次方程和完全平方公式的运用，理解题意是解决本题的关键． （1）按照题意进行拆分即可； （2）联立两个函数解析式并进行分类讨论求解即可； （3）将点代入可得，，将两者进行相加进行化简并结合完全平方公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ ； (2) 小问详解： 解：根据题意得， ， 当时， 解得， 则仅有一个交点，符合条件； 当时， 方程为一元二次方程，在中，， ， 令，此时仅有一个交点， ∴， 解得， 综上所述，的值为、、； (3) 小问详解： 解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 考点02 配方法 1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 7．A 8．A 9．C 10．D 11．A 12．【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】 解： ， 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）根据直接开平方法即可求出答案． （2）根据配方法即可求出答案． （3）根据公式法即可求出答案． （4）根据因式分解法即可求出答案． (1) 小问详解： 解： ， ， ， 解得：； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得：； (3) 小问详解： ， ， ， ， 解得：； (4) 小问详解： ， ， ， 解得：． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查配方法，先移项，二次项系数化，两边同时加上将方程配成完全平方式即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 15．【答案】7 【分析】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】 解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 16．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别计算算术平方根、负整数指数幂，乘方，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】 解：（1） ， ∴，； （2） 17．【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【分析】 （1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】 解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 18．【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 【分析】 此题考查了二次根式的化简、负整数指数幂、完全平方公式的展开，以及一元二次方程的解法、一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）需先化简二次根式、计算负指数幂，再展开完全平方公式后计算加减； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 （1）解：原式 （2）解： （3）解： 解不等式① ，移项，合并同类项得； 解不等式② ，去分母得， 移项，合并同类项得，； 故不等式组的解集为：． 19．【答案】（1），3；（2）或；（3） 【分析】 本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的定义，构成三角形的条件，一元二次方程解的定义，勾股定理等知识， （1）利用配方法得到，据此可得答案； （2）利用完全平方公式把已知条件式变形为，再根据非负数的性质得到，，据此分腰长为4和腰长为5，根据构成三角形的条件和勾股定理求出底边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）利用配方法得到求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，进而可得的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当腰长为4时，则底边长为5， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 当腰长为5时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3） ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， 是的一个根， ， ， 四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点03 公式法 1．B 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．A 13．D 14．A 15．A 16．A 17．A 18．D 19．B 20．A 21．C 22．B 23．B 24．【答案】k＞﹣4 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：k＞﹣4. 故答案为k＞﹣4. 【点睛】 本题考查了根的判别式，牢记当△＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】 解：根据题意得， 解得， 即实数的取值范围为． 故答案为：． 27．【答案】 【详解】 解：∵方程无实数根， ∴△=， 解得：． 故答案为． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 29．【答案】k＜3 【分析】 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】 解：由题意可知：Δ＝4﹣4（k﹣2）＞0， ∴k＜3， 故答案为k＜3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 30．【答案】＞ 【分析】 由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】 解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 31．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 32．【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 33．【答案】且 【分析】 根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 34．【答案】且 【分析】 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围． 【详解】 ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 35．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 36．【答案】（1） 证明：， ∴原方程有两个实数根     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用公式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根小于3 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的 关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根小于3 ， 找出关于的一元一次不等式 37．【答案】（1）     （2）；      【分析】 此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和一元二次方程的解法是关键． （1）计算乘方、负整数指数幂、绝对值和零指数幂后，再计算加减法即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴， ， 38．【答案】 【分析】 方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围． 【详解】 ∵，，， 由题意知，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 39．【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】 解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴ ， 解得 ． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 40．【答案】且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0，且有两个实数根时判别式”是解题的关键． 根据“方程有两个实数根”的条件，先确定方程是一元二次方程（二次项系数不为0），再利用判别式求解a的范围． 【详解】 解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 该方程是一元二次方程，且判别式， ∵ 一元二次方程二次项系数不为0， ∴ ， ∵ 判别式， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上，且， 故答案为：且． 41．【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负，据此解答即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得，即， ∴且． 故答案为：且． 42．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了实数的混合运算，绝对值化简，负整数指数幂，零指数幂，分母有理化，一元二次方程公式法，解题的关键是熟练的掌握每个知识点，准确化简，再根据运算法则进行计算，每一步的化简与计算都非常易错，一元二次方程公式法中，公式记错也是易错点； （1）先化简绝对值，根据 判断，则化简后为；再计算负整数指数幂，公式；再计算零指数幂，公式；再计算最后一部分，进行分母有理化，上下同乘；最后把每一部分按照根据“先乘方，后乘除，最后加减”的顺序进行计算即可． （2）解一元二次方程，形如，可采用公式法，先验证判别式，，方程有两个不相等的实数根；，方程没有实数根；，方程有两个相等的实数根；两根分别，，找到代入公式即可． (1) 小问详解： (2) 小问详解： 解： ∵ ∴方程有两个不相等的根． ； 故． 43．【答案】（1） 证明： ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：原方程可化为： 或 解得： ， 由题意可得： 解得： 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 44．【答案】三 【分析】 若一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则b2﹣4ac＜0，求得n的取值范围，确定函数图象的情况． 【详解】 解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根， ∴b2﹣4ac＜0 ∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0 ∴n＜﹣1 ∴n+1＜0，﹣n＞0 ∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】 本题考查了一次函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数n的取值范围． 45．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、绝对值和解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据零指数幂、立方根、绝对值和二次根式的混合运算法则进行求解即可； （2）根据一元二次方程的配方法解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ∵ ∴ ∴，． 考点04 因式分解法 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程，选取合适的方法解方程． （1）根据公式法可以解答本题； （2）根据提公因式法可以解答本题． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ∴， ∴或， ∴，． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， 移项，得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：， 变形得：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， ∴，． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法解方程，熟练掌握是解题的关键． (1) 先把方程移项，再利用因式分解法求解即可． (2)先把方程移项，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴； (2) 小问详解： 解： ∴ ． 13．【答案】（1）是“黄金方程”， 理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”；     （2）的最小值为．      【分析】 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 14．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练运用直接开平方法、因式分解法等解方程的方法是解答本题的关键． （1）利用直接开平方法，通过移项、开平方求解方程； （2）利用因式分解法，将二次三项式分解为两个一次式的乘积，进而求解方程． (1) 小问详解： 解： ， ， ， 解得：，． (2) 小问详解： ， ， 解得：，． 15．【答案】10 【分析】 本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的边的值，再根据周长公式进行计算．通过求解一元二次方程得到根，结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定有效边长，进而计算周长． 【详解】 解：解方程 ， 因式分解得 ， 所以 或 ， 等腰三角形的边长是方程的解，因此边长可能为 2 或 4， 若腰长为 2，底边为 4，则 ，不满足三角形两边之和大于第三边，故无效， 若腰长为 4，底边为 2，则 ，，满足三角形三边关系， 因此三角形边长为 4、4、2，周长为 ， 故答案为：10． 16．【答案】﹣1或4 【详解】 解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 17．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 则， ， 直接开平方得， ，； (2) 小问详解： 解：， 展开得， ， 则， 或， 解得，． 18．【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据题意列出一元二次方程，进而根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 （1）原方程可化为． 再化为． ∴，或． ∴． （2）由题意，得． 即． 即． ， ∴． 19．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原方程化为， 则， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：原方程化为， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 20．【答案】（1），     （2），．      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解可得； （2）直接运用因式分解法求解可得． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， ，． 21．【答案】， 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，直接把方程化为两个一次方程求解即可. 【详解】 解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：， 22．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 先移项，然后再利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， 移项得：， 因式分解得： ∴或， ，． 23．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或 ，． 24．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）移项后根据因式分解法计算即可． (1) 小问详解： ， ， ， ，； (2) 小问详解： ， ， ， ， ，． 25．【答案】（1） （2）, 【分析】 本题考查了实数的混合运算，利用因式分解法解方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先利用立方根的概念、负整数指数幂、绝对值及零次幂的定义化简，再进行加减运算； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 （1）解：原式； （2）解：移项，得，即， 提取公因式，得， 整理得， 或， 解得, ． 26．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了一元二次方程，二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，二次根式化简，绝对值，负整数指数幂，再加减即可； （2）利用因式分解法即可解答． 【详解】 （1）解： ； （2） 可得或， 解得． 27．【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，利用不同的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）观察发现利用求根公式求解即可； （2）首先将常数与未知数放在等号同一边，发现利用十字相乘法求解即可； （3）首先利用完全平方公式展开，移项后发现利用十字相乘法求解即可； （4）首先利用多项式乘多项式展开，移项后发现利用十字相乘法求解即可； (1) 小问详解： 解： ∴， ， ∴，； (2) 小问详解： 解： ∴，； (3) 小问详解： 解： ∴，； (4) 小问详解： 解： ∴，． 28．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂的意义，解一元二次方程． （1）先根据开方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减； （2）先移项，再用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ， ， ， ， 或， ． 29．【答案】±1 【分析】首先设原式=（x+y+a）（x-y+b），进而求出即可． 【详解】解：原式=（x+y+a）（x-y+b） =x2-y2+（a+b）x+（-a+b）y+ab  故a+b=m，-a+b=5，ab=-6， 解得：a=-2，b=3，m=1；a=-3，b=2，m=-1， ∴m=±1． 故答案为±1． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 30．【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；     （2）或4．      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 31．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 32．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 33．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）先配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后接两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 方程化为一般式为， ∴， 或， 解得：． 34．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟记公式法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （3）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 则方程的解为：，； (2) 小问详解： 解：， ， 则， 解得或， ，； (3) 小问详解： 解：， ， 解得或， ，． 35．【答案】（1），；     （2），；     （3），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； (3) 小问详解： 解：， 或， ∴，． 36．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法、公式法），熟练掌握一元二次方程的不同解法并根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）先将式子变形，把提取公因式转化为，再用因式分解法解方程； （2）先将左边展开，整理成一元二次方程的一般形式，再用公式法或配方法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 其中，，， ∴， ∴， ∴，． 37．【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别根据算术平方根的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的代数意义以及零指数幂的运算法则化简各项后再合并即可； （2）方程移项后运用因式分解法进行解答即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，． 38．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法即可求解； （2）由因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ，，， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 方程整理得：， ∴， ∴或， 解得：． 39．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握其解法． （1）先整理为，再利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． (1) 小问详解： 解： 则或， 解得，； (2) 小问详解： 解： 则或， 解得，． 40．【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据因式分解法求解即可； （2）先求出根的判别式，再根据求根公式求解即可； （3）利用直接开平方法求解即可； （4）根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ，，，， ∴， 解得，； (3) 小问详解： 解：， 开方得， ∴，， 解得，； (4) 小问详解： 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 41．【答案】（1） 证明： 无论取任何实数时， 无论取任何实数，原方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：解关于的一元二次方程得 ，， ∵原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7， ∴ 或 分别解两个不等式组得：无解或 ． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 42．【答案】（1），；     （2），；      【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． （1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． （2）利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， 可得或， 解得，． 43．【答案】（1）； （2） 或 ． 【分析】 此题考查了负整数指数幂和绝对值、算术平方根、因式分解法解一元二次方程，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）先分别计算负整数指数幂和绝对值、算术平方根，再进行加减运算即可； （2）先移项整理，然后提取因式进行因式分解，再来解方程即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解：， ， ∴或， 解得： 或 ． 44．【答案】， 【分析】 先将小括号内进行通分计算，括号外面的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算，解方程求出x，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】 解：原式 ， ∵x2+2x﹣3＝0， ∴ 得x1＝1，x2＝﹣3， 由题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 当x＝﹣3时，原式． 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 45．【答案】（1） ，     （2） ，     （3）     （4）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解分式方程，求不等式组的解集． （1）用直接开平方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可； （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验； （4）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． (1) 小问详解： ， ， 解得 ， (2) 小问详解： ， ， ， 或， ，； (3) 小问详解： ， 两边都乘以，得 ， 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解； (4) 小问详解： ， 解① 得， 解② 得， ∴不等式组的解集是． 46．【答案】（1）     （2），     （3），     （4），     （5），      【分析】 本题主要考查了求解一元二次方程、完全平方公式的运用，熟练运用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可； （3）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可； （4）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可； （5）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，． (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ，． (4) 小问详解： 解：， ， ， ， ，． (5) 小问详解： 解： ， ， ， ， ，． 47．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关知识点是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 则， 解得，． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 解得，． 48．【答案】（1），；     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； (1) 小问详解： 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法： （1）利用求根公式即可求解； （2）利用平方差公式进行因式分解即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 求根公式为，代入得， 因此，； (2) 小问详解： 解： ： 对于，展开得，解得； 对于，展开得，解得． ∴． 50．【答案】（1）或     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程． （1）仿照例题进行解答即可； （2）令，然后转化成，再根据判别式得到，最后仿照例题解答即可； （3）令，得到，然后根据判别式得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， 或 ， 解得：或， ∴不等式的解集是或； (2) 小问详解： 解：令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 或 ， ∴或， ∴或； (3) 小问详解： 解：令， ， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， ， 或 ， ∴或． 51．【答案】（1）和， 0     （2）当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为     （3），，      【分析】 本题考查了解一元二次方程、因式分解、乘法公式等知识点，掌握“零值”和“对称值”定义是解题的关键． （1）由，再结合“零值”和“对称值”即可求解； （2）由题意令其“零值”为t，则，即可知，   ，可求得或，再求出对应的m即可； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为3，设两个“零值”为和可求得， ，即，． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为． 故答案为：和，0． (2) 小问详解： 解：∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则，      ∴，                             ∴，，                                              ∴或，                                           当“零值”为时，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为； ． (3) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴．                                                          ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴，    ∴． ∴， ∴，． ∴，， 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．A 2．B 3．A 4．A 5．A 6．D 7．C 8．C 9．A 10．【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求值，即可解题． 【详解】 解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：10． 11．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系，可得出，再将其代入，即可求出结论． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 利用根与系数的关系得到两根之和，并将所求表达式分组变形后代入求值． 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，掌握以上知识是关键． 【详解】 解：∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， 且a满足方程，即 ， ∴ ， 原式 ， 代入，，得原式， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：已知一元二次方程，其中，，． 根据根与系数的关系，有： ， ， 代入表达式得： ． 故答案为：． 14．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 【详解】 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， ， ， 解得，． 检验：当时，原方程可化为， ， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， ， 方程无实数根，不符合题意． 故答案为： 15．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：一元二次方程， ，，， 则由一元二次方程根与系数的关系，有： ，， ， 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． (1) 小问详解： 解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； (2) 小问详解： 解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 17．【答案】 【分析】 由题意可知实数、关于x的方程的两个不相等的实数根，则，再由进行求解即可． 【详解】 解：∵实数、满足，，且， ∴实数、关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确得到是解题的关键． 18．【答案】11． 【分析】 根据根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵的两个根为、， ∴， ∵ 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，，则，． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案． 【详解】 解：，是方程的两个根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程解的定义，将代入已知方程求得，然后根据根与系数的关系知，最后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】 解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，即；， ∴． 故答案为：4． 21．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】 解：∵ 是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系，得，， ∴ ． 故答案为：3． 22．【答案】7 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．由、是方程的两个根知，，再整体代入计算即可． 【详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴，，即， ∴ 故答案为：7． 23．【答案】1 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 24．【答案】2028 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】 解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 25．【答案】2023 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代入求值，理解并掌握一元二次方程的解的含义，代入求值的方法是解题的关键． 根据一元二次方程的根，可得，根据根与系数的关系得，将代数式变形得，代入求值即可． 【详解】 解：设分别为一元二次方程的两个实数根， 原式． 故答案为： 2023． 26．【答案】2 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，可得两根之和与两根之积，再将所求代数式变形得，再代入进行求值． 【详解】 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故答案为：2． 27．【答案】1 【分析】 将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解． 【详解】 解：∵，为一元二次方程的两个实数根， ∴m+n=2，mn=-2， ∴， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键． 28．【答案】 【分析】 本题考查的是分式的化简求值以及一元二次方程中根与系数的关系，掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，再将数值代入，即可求解本题． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 29．【答案】（1）      （2）       【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 即， ； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系可得：，， ，即， ，即， ， 解得或， 由（1）知，， ． 【点睛】 一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；，是一元二次方程的两根时，一元二次方程根与系数的关系为：，． 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． (1) 小问详解： 解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； (2) 小问详解： ∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：① ． ∵② ， 联立① ② 解得： ∴， 解得：． 31．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根     （2）的值为或      【分析】 本题考查一元二次方程根的情况以及根与系数的关系，掌握相关计算公式是解题的关键． （1）计算根的判别式，根据其结果判断方程根的情况； （2）利用方程根与系数的关系，进行代数变换，即可求得的值． (1) 小问详解： 解：在方程中， ，，， ∴， 即， 故方程有两个不相等的实数根． (2) 小问详解： 解：∵此方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∴， 即 ， 又∵， 得方程， 化简得， 解得或． 32．【答案】17 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系得到两根之和，并由方程得，将所求代数式变形为后代入求值． 【详解】 方程的两根分别为和， ，且， ， ． 故答案为：17． 33．【答案】（1）证明： ∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1） ＝4k2﹣4k+4 ＝（2k﹣1）2+3， ∵（2k﹣1）2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】 （1）先计算判别式的值，再进行配方法得到△＝（2k﹣1）2+3，则根据非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，再利用2（x1+x2）﹣x1x2＝0得到2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0，然后解一次方程即可． 【详解】 （1）略 （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1， ∵x1（x2﹣2）＝2x2， ∴2（x1+x2）﹣x1x2＝0， ∴2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0， ∴k＝． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，找出关于k的方程 34．【答案】1 【详解】解：由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1， 由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2 （x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0， ∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1．∵m≥﹣1，∴m=1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件． 35．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，根据一元二次方程根与系数之间的关系，结合两个根的平方和为7，得到关于的一元二次方程，求出的值，再根据方程有实数根，选择合适的值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴或， 当时，原方程化为：，，满足题意； 当时，原方程化为：，，不满足题意； ∴； 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 37．【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程； （1）根据题意得出，列出不等式，即可求解； （2）根据根与系数的关系得：，，代入得出关于的一元二次方程，结合（1）的结论，即可求解． (1) 小问详解： 由题意得：此方程的根的判别式 整理得： 解得 故实数k的取值范围为： (2) 小问详解： 由根与系数的关系得：， ∵ ∴可得 ∴ 整理得： 解得或 由（1）可知， 则． 38．【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：11． 39．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）①②3      【分析】 此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系，求出的值，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵，为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 由① 知：， ∴，， ∴菱形的面积为． 40．【答案】（1）m的取值范围为m≤5     （2）m的值为5      【分析】 （1）由关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根可知，根的判别式：△，由此列出关于“m”不等式可求得m的取值范围； （2）由关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2可得：x1+x2=6，x1x2=m+4．结合2x1=|x2|+3，分和两种情况讨论，先求出的值，再由x1x2=m+4可求出m的值. (1) 小问详解： ∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． (2) 小问详解： ∵方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2=6① ，x1x2=m+4② ． ∵2x1=|x2|+3， ∴当x2≥0时，有2x1=x2+3 ③ ；当x2＜0时，有2x1=-x2+3 ④ ； 联立① ③ ，解出：x1=x2=3， ∴3×3=m+4， ∴m=5； 联立① ④ ，解得：x1=-3，x2=9（不合题意，舍去）． 综上所述：m的值为5． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）分x2≥0及x2<0两种情况找出关于x1、x2的二元一次方程组． 41．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．由题意可得，，再将所求代数式变形为，最后整体代入即可求解． 【详解】 解：，是方程的两个实数根， ，，即， ， 故答案为：． 42．【答案】2 【分析】 本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据一元二次方程根的定义推出，最后整体代入即可解决问题． 【详解】 解：∵、是方程的两根， ∴当时， ， 将代入中， ， 同理可得，， ∵、是方程的两根， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． (2) 小问详解： 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． (2) 小问详解： ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 45．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根与系数的关系，利用和代入代数式，化简后得，又和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得，然后代入的值计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 又∵和是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴原式， 故答案为：． 46．【答案】（1）m≥且m≠2；（2）. 【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）由可得：或当时，利用△=0可求出的值，利用，可求出方程的解；当时，由根与系数的关系可得出解之即可得出的值，结合（1）可知此情况不存在．综上即可得出结论． 试题解析：(1)∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 解得：且m≠2. (2)由可得：或 当时,    解得：    此时 当时,    且m≠2， ∴此时方程无解. 综上所述：若,m的值为,方程的根为. 47．【答案】(1) 1;(2) 5. 【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值； （2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为，根据根与系数的关系，可得，再将x12+x22-x1x2变形为（x1+x2）2-3x1x2，则可求得答案． 【详解】（1）由题意得 解得，因此实数的最大整数值为1. （2）当时， ∴此一元二次方程为：x2+2x+1=0， ∴ 所以 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=−，=． 48．【答案】（1） 证明：， ∴， ∴方程总有两个实数根；     （2）的周长为．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可得出结论； （2）分两种情况讨论：当为腰长时，当为底长时，分别求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当为腰长时，将代入原方程，得： ， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， ∴此时的周长为， 当为底长时，， 解得：， ∴， ∵， 此时，边长为的三条线段不能组成三角形， ∴的周长为． 49．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解、一元一次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：是方程的解，代入方程等式成立；牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】 ∵是方程的两个实数根， ∴将代入原方程得：， ∴， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式的求值，灵活运用这些知识是解题的关键．把代入方程得，即，由根与系数的关系得，，代入化简即可． 【详解】 解：∵，是方程的根， ∴，即， ，， ∴ 故答案为：． 51．【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． (2) 小问详解： 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 52．【答案】① 是    ② 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）通过求解一元二次方程 的根，判断是否有一个根是另一个根的2倍； （2）根据“倍根方程”的定义，设根为和，利用根与系数的关系得到，再结合点在双曲线上，代入求解． 【详解】 解：（1）解方程， 因式分解得， 解得，， 由于，即一个根是另一个根的2倍， 因此方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）设方程的两个根为和，根据根与系数的关系，有：，，即：， 由得 ， 代入得：， 则， 点在双曲线上，故， 代入：， 解得， 验证判别式：，方程有两个实数根，符合条件． 故答案为：． 53．【答案】（1）证明：a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 ， ∵ ∴ 即 ∴无论 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2） ． 【分析】 （1）应用根的判别式直接判断就可以. （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长 【详解】 （1）略； （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴， 解得. 当时， 周长 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 54．【答案】（1），；（2）存在， 【分析】 （1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】 本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 55．【答案】0 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，由根与系数的关系可得，则可得到，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴， 故答案为：0． 56．【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义和根与系数的关系解题的关键是利用根的定义对高次项进行降次变形，再结合根与系数的关系求值． 先利用方程的根的定义得到，将代数式中的降次变形，再结合根与系数的关系求出的值，进而得出结果． 【详解】 解：因为是一元二次方程的根，将代入方程得： ，即， 由，得， 将代入原式： ， 对于方程，两根满足． 故． 故答案为：3． 57．【答案】（1）（2） 【详解】 解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0，即， ∴； （2）根据题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵ ∴m=2． 58．【答案】 【分析】 ，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】 解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 59．【答案】-1 【分析】设方程的两根分别为m、n，根据根与系数的关系得到m+n＝a，mn＝2a，再由m2+n2＝5得(m+n)2﹣2mn＝5，所以a2﹣4a＝5，解得a1＝﹣1，a2＝5，然后根据判别式确定满足条件的a的值． 【详解】设方程的两根分别为m、n， 则m+n＝a，mn＝2a， ∵m2+n2＝5， ∴(m+n)2﹣2mn＝5， ∴a2﹣4a＝5，解得a1＝﹣1，a2＝5， 当a＝5时，原方程变形为x2﹣5x+10＝0，△＝25﹣4×10＜0，方程没有实数解， ∴a＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 60．【答案】（1）     （2）m＝－2      【分析】 （1）根据根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 解：依题意可知：Δ≥0， 即， ∴. (2) 小问详解： 解：依题意可知： ， ∵ ∴ ∴ 解得：m＝10或－2 又∵             ∴m＝－2 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握韦达定理、根与系数的关系是解题关键． 61．【答案】（1） 解：方程总有实数根， 理由：∵为关于x的一元二次方程， ∴， ∵恒成立， ∴方程总有实数根．     （2）或     （3）7或8      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的性质． （1）对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．在本题中通过计算判别式的值来判断方程根的情况即可； （2）在方程中，利用根与系数的关系求出和的值，再结合完全平方公式以及已知条件可得到关于m的方程，进而求解m的值； （3）等腰三角形的两腰长度相等，需要分情况讨论已知边长3是腰长还是底边长，再结合方程的根来确定三角形三边的长度，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出三角形的周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知， ， ∵， ∴， 即，解得或． (3) 小问详解： 解：将方程因式分解得， 此时两根为2或m， ① 若3为腰长，则，三边为3，3，2，周长为， ② 若3为底边长，则，三边为2，2，3，周长为， 综上所述，的周长为7或8． 62．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： 解得； (2) 小问详解： 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． 63．【答案】证明：∵， ∴该一元二次方程总有两个实数根； 动点所形成的函数图象经过点 【分析】 （1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系进行说明即可； （2）根据x1+x2=-和n=x1+x2-5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案． 【详解】 略 动点所形成的函数图象经过点，理由如下： ∵，， ∴， ∵当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 64．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查探究一元二次方程根与系数关系，读懂题意，熟练运用（1）中得到的结论是解决问题的关键． （1）对比与可得，； （2）由（1）中结论，得到，，再由，代值求解即可得到答案； （3）由勾股定理得到，再由（1）中结论得到，，从而建立一元二次方程求解得到或，分情况验证是否满足题目要求即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， 对比与可得，，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：的两个根是和， ，， ； (3) 小问详解： 解：在中，斜边长为13，三角形另两边、，则， 三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 即， ， 则， 解得或； 当时，，则，解得或，不符合题意； 当时，，解得或，符合题意； 综上所述，． 65．【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根．     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于m的等式，解出m即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， ∴ ∴即： ∴，． 66．【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】 解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 67．【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程中， ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2） 1      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意知，，由，可得，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的值是1． 68．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）及完全平方公式的变形应用；掌握利用判别式确定参数取值范围，再结合韦达定理和代数式变形求解参数，且最终筛选符合条件的解，是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，利用判别式求出的取值范围； （2）依据韦达定理得出两根之和与两根之积的表达式；接着通过完全平方公式变形为含两根之和与两根之积的式子，列方程求解；最后结合的取值范围，确定的值为． (1) 小问详解： ∵有两个实数根， ∴， ∴， 解得：． (2) 小问详解： ∵，， ∵， ∴， 即， 解得或 ， ∵， ∴． 69．【答案】2008 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，根据m、n是方程的两根，可得，，然后整理得出表示与的式子，最后整体代入进行计算即可得出结果． 【详解】 解：m、n是方程的两个根， ，， ， 即 故答案为：2008． 70．【答案】5 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，由 m 是方程的根得到，由根与系数的关系得到，将所求式子变形后代入求值． 【详解】 解：∵ m 是方程 的实数根， ∴，即． 又∵ m， n 是方程 的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系，有． ∴．    故答案为 5． 71．【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；     （2）m的值为3或      【分析】 本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 72．【答案】（1） 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根；     （2）或．      【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 73．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】 解：∵两实数根，， ∴，， 由  ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式  ， 即 ， 故  不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 74．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值； （2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值； （3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：∵，是方程的二根， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴，， ∴、是方程的解， ∴， ∴， ∵是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数的最小值是； (3) 小问详解： 存在，当时，．理由如下： ∵ ， 由① 得：， 由② 得：， ∴，即， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 则， ∵ 和 是关于，的方程组 的两个不相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法． 75．【答案】（1），，，     （2）5     （3）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； (2) 小问详解： 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴； 故答案为：． 76．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 77．【答案】 【分析】 先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】 ∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】 此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 考点06 实际问题与一元二次方程 1．C 2．A 3．D 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．D 11．B 12．A 13．A 14．A 15．C 16．A 17．D 18．A 19．C 20．A 21．D 22．A 23．A 24．C 25．C 26．D 27．A 28．D 29．B 30．B 31．D 32．A 33．A 34．C 35．C 36．【答案】 【分析】 设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（30−2x）cm，宽为（20−2x）cm，然后根据底面积是即可列出方程求出即可． 【详解】 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 ． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 37．【答案】（1）30个，1050元     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． (1) 小问详解： 解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； (2) 小问详解： 设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 38．【答案】 【分析】利用min{a，b}的含义分类讨论：若x≥-x时，代入解方程即可，若x＜-x时，代入解方程即可. 【详解】解：① 当x≥-x，即x≥0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=-x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴-x=x2-1 解得 ∵此时x≥0，故不符合，故舍去； ② 当x＜-x，即x＜0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴x=x2-1 解得： ∵此时x＜0，故不符合，故舍去； 综上所述：方程min{x，-x}=x2-1的解是：. 【点睛】此题考查的是利用min{a，b}的含义进行分类讨论题，分类讨论时要注意先写清前提条件，解出方程后再根据前提条件判断方程的解是否满足即可. 39．【答案】（1）     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 40．【答案】（1）该型号自行车的进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价100元或200元时，每月可获利30000元． 【分析】（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，根据利润＝售价﹣进价结合按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设该型号自行车降价y元，则平均每月可售出（50+y）辆，根据总利润＝每辆的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1+50%）x元， 依题意，得：8×[0.9×（1+50%）x﹣x]＝7×[（1+50%）x﹣100﹣x]， 解得：x＝1000， ∴（1+50%）x＝1500． 答：该型号自行车的进价为1000元，标价为1500元． （2）设该型号自行车降价y元，则平均每月可售出（50+y）辆， 依题意，得：（1500﹣1000﹣y）（50+y）＝30000， 整理，得：y2﹣300y+20000＝0， 解得：y1＝100，y2＝200． 答：该型号自行车降价100元或200元时，每月可获利30000元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 41．【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【分析】 （1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】 解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 42．【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 43．【答案】20% 【分析】 设该商品平均降价率为x，根据“原价25元的商品，连续两次降价后，现价为16元”得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】 解：设该商品平均降价率为x， 根据题意得：25×（1−x）2＝16， 解得：x＝20%或x＝−180%（舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 44．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每人需送出张贺卡，进而求出全组共送的数量，再根据等量关系“全组共送贺卡张”， 列方程即可． 【详解】 解：这个小组共有人，每人需送出张贺卡， 全组共送贺卡张， 全组共送贺卡张， ， 故答案为：． 45．【答案】2米 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设道路的宽为x米，由题意易得方程，进而求解即可． 【详解】 解：设道路的宽为x米． 根据题意，得：， 整理得：，即， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：道路的宽应为2米． 46．【答案】这种台灯售价定为元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】 解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 47．【答案】边的长为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设边的长为，则边的长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并结合墙的长度为，即可得出结果． 【详解】 解：设边的长为，则边的长为． 由题意，得 整理，得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为． 48．【答案】（1）     （2）6元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． (1) 小问详解： 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 49．【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 50．【答案】（1）     （2）m的值为      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； (2) 小问详解： 解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 51．【答案】（1）该电商这两年销售额的平均年增长率为     （2）每件售价应为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该电商这两年销售额的平均年增长率，根据题意列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件，根据要每天获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该电商这两年销售额的平均年增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商这两年销售额的平均年增长率为； (2) 小问详解： 解：设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 要尽量减少库存， ， （元）． 答：每件售价应为元． 52．【答案】30 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． 设班级学生总人数为x名，则每名同学发送条短信，总短信数为，解一元二次方程即可． 【详解】 设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信． 根据题意，得．整理得． 解方程，得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 故答案为：30． 53．【答案】（1）240元     （2）降价40元      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设每台B款电器的售价为元，根据等量关系“用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”，列方程解答即可； （2）每台A款电器应降价m元，根据“每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台”，可知A款电器的销售量为台，由此列出方程解答即可． (1) 小问详解： 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每台B款电器的售价为240元； (2) 小问详解： 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每台A款电器应降价40元． 54．【答案】（1）2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率；     （2）每件衬衫应降价20元；      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． (1) 小问详解： 解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2) 小问详解： 解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 55．【答案】（1）月平均增长率是；     （2）售价应降低元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 56．【答案】（1）A型充电器售价200元，B型充电器售价240元．     （2）每台B型充电器应降价30元．      【分析】 本题考查分式方程和一元二次方程的应用． （1）通过设A型售价为x元，B型售价为元，根据购买数量相等列分式方程求解； （2）设每台B型降价m元，根据利润目标列一元二次方程，并选择符合减少库存条件的解． (1) 小问详解： 解：设A型充电器售价为x元，则B型充电器售价为元． 根据题意，得 ． 解得． 检验：当时，，且符合题意， 故原方程的解为． ∴B型充电器售价为元． 答：A型充电器售价200元，B型充电器售价240元； (2) 小问详解： 解：设每台B型充电器降价m元．降价后每台利润为元． 降价后每月售出台数为台． 根据题意，得． 整理得，． 解得，． ∵要尽快减少库存， ∴选择降价较多的． 答：每台B型充电器应降价30元． 57．【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 58．【答案】（1）     （2）70      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 59．【答案】（1）八、九两月的月平均增长率为．     （2）当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设八、九两月的月平均增长率为x，利用九月的销售量＝七月的销售量八、九两月的月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润＝每箱的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设八、九两月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：八、九两月的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元． 60．【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是     （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元      【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． (1) 小问详解： 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 61．【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔每个应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． (1) 小问详解： 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 62．【答案】（1）20%     （2）18个      【分析】 （1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2) 小问详解： 设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 63．【答案】（1）     （2）该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，        根据题意得：，        解得：，（不符合题意，舍去）．        答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，        根据题意得：，        整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．        答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 64．【答案】（1）A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元     （2）商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元      【分析】 本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，然后根据题意可得方程组为 ，进而求解即可； （2）设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，则有销售量为个，然后可得方程，进而求解即可 (1) 小问详解： 解：设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，由题意得： ， 解得： ； 答：A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元． (2) 小问详解： 解：设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，由题意得： ， 解得：， ∵商场为了尽快将A款巧克力销售完， ∴； 答：商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元． 65．【答案】（1）设该玩偶销售量的月增长率为；     （2）该玩偶每个售价应定为108元．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该玩偶销售量的月增长率为x，根据该玩偶9月初售出500个，11月初售出980个列出方程求解即可； （2）设该玩偶每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该玩偶销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得，（不合题意，舍去） 答：设该玩偶销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该玩偶每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该玩偶每个售价应定为108元． 66．【答案】（1）     （2）条      【分析】 本题考查一元二次方程的应用， （1）设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量（前三季度生产量的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设前三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为； (2) 小问详解： 设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴， 答：应该再增加条生产线． 67．【答案】（1）50     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行验根． （1）设每张话剧票的原定零售票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可； （2）设平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每张话剧票的原定零售票价为元，则降价后的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每张话剧票的原定零售票价为50元． (2) 小问详解： 解：设原定票价平均每次的降价率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：原定票价平均每次的降价率为． 68．【答案】（1）     （2）降价4元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x，根据第一周销售50盒，第三周的销售量达到72盒，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该口味月饼每盒降价y元，根据利润（售价成本）销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该口味月饼每盒降价y元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当该口味月饼每盒降价4元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元． 69．【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．根据题意正确的表示单价，销售量，并正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量根据，计算求解，然后补表即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量为件， 补表如下： 故答案为：，，； 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2) 小问详解： 解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵当时，，与题意矛盾， ∴（舍去）， ∴， ∴， ∴第二个月的单价应为元． 70．【答案】（1）     （2）5元      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 71．【答案】（1）某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元     （2），     （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元      【分析】 （1）根据盈利单件利润销售数量即可得出结论； （2）根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据盈利单件利润销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． (1) 小问详解： 解：当天获利：（元）； 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； (2) 小问详解： 解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题关键． 72．【答案】（1）     （2）3元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 73．【答案】（1）20元；（2）30元 【分析】 （1）利用题意得出关于x的分式方程，解得x的值并检验和作答即可； （2）设该花卉每盆售价是x元，由题意得关于x 的一元二次方程，解得x的值并根据销量尽可能大得出答案即可. 【详解】 解：（1）设该花卉每盆批发价是x元，由题意得： (3600) /(x)=(3600) /(( 1-10% )x)-20， 解得：x=20， 经检验x=20是原方程的解． 答：该花卉每盆批发价是20元． （2）设该花卉每盆售价是x元，由题意得： （x-20）[25-（x-25）]=200， 化简得：x2-70x+1200=0， 解得：x1=30，x2=40， ∵销量尽可能大， ∴x=30． 答：该花卉每盆售价是30元． 【点睛】 本题考查了分式方程、一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 74．【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为     （2）该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据一元二次方程的增长率模型可得方程，解方程后根据题意舍去不合题意的根即可得到答案； （2）设该商品每件降价y元，则每件盈利元，利用总利润等于单件的利润乘以销售量得到方程，解方程并根据尽可能让利于顾客即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设该商品每件降价y元，则每件盈利元，月销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让利于顾客， ∴， ∴ 答：该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元． 75．【答案】 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用已知表示出八、九月份的用户数量进而得出等式求出答案． 【详解】 解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为x，则八月份用户数量为亿，九月份用户数量为亿， 根据题意可得方程为：． 故答案为：． 76．【答案】（1）哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元     （2）m的值为4      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）由（1）得出计划购买敖丙手办10个，哪吒手办17个，根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， ， 解得 ， 经检验是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元； (2) 小问详解： 由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个， 根据题意得，， 解得 或（舍去）， 答：m的值为4． 77．【答案】（1） 解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得 ， 整理得：， ， 解方程得，， ，； 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是、；     （2） 解：当，即时， 解得，， ，得，，均不符合题意，舍去， 这两个正方形的面积之和不可能等于．      【分析】 本题考查了列一元二次方程解决实际问题，此题等量关系是：两个正方形的边长之和一定．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． （1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，根据“两个正方形的面积之和等于”作为相等关系列方程，解方程即可求解； （2）由题意建立方程，解方程发现一个根比14大，一个根为负数，均不符合题意． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 78．【答案】（1）720个     （2）每天要盈利1600元，每个应降价4元      【分析】 （1）先根据增长率求出3月份生产量，再求4月份的生产量即可； （2）关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，列出一元二次方程，求解并进行判断即可． (1) 小问详解： 3月份的产量为：（个） 4月份的产量为：（个） (2) 小问详解： 设每个“冰墩墩”降价x元（x≤10），则每天可多售5x件．根据题意得， 整理得， 解得， ∵ ∴ 所以，如果每天要盈利1600元，每个应降价4元 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 79．【答案】（1）经过4秒，是等腰三角形；     （2）经过3秒，的面积是矩形的面积的；     （3）经过秒或秒，是直角三角形．      【分析】 （1）由是等腰三角形，则，再列方程求解即可； （2）由的面积是矩形的面积的列方程，解方程可得答案； （3）先分别表示，，，再根据是直角三角形分三种情况讨论即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故经过4秒，是等腰三角形； (2) 小问详解： 解：根据题意得，， 整理得，，即， ∴， ∴经过3秒，的面积是矩形的面积的； (3) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴当时，则， ∴，（负值舍去）； 当时，即， ∴或（不合题意舍去）， 当时，不存在，舍去， 综上所述，经过秒或秒，是直角三角形． 【点睛】 本题考查了四边形的综合题，等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，分类讨论是解题的关键． 80．【答案】① 4    ② 【分析】 本题利用了菱形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定与性质以及解一元二次方程等知识求解．过点作于点，过点作于，连接，设，在中，利用勾股定理求出x，从而求出，利用及勾股定理求出a，从而求出． 【详解】 由题中的两个图可得：， 过点作于点，过点作于，连接，设， ∵四边形是菱形， 在中， 解得（舍去）， ∴，， ∴四边形是矩形， 故答案为：4，． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）关于的方程，下列说法错误的是（     ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】 解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 2．（25-26学年九上·四川巴中·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】 解：选项A：含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； 选项B：含有分式，不是整式方程，故不符合题意； 选项C：是一元二次方程，故符合题意； 选项D：化简后为，是一元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【详解】∵（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴m﹣1≠0， 解得，m≠1， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的定义．理解定义是解题的关键 4．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】 解： A．没有规定是常数，，故此选项不符合题意； B．是一元二次方程，故此选项符合题意； C．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D．含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选： B． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”，“一个未知数”，“未知数的最高次数是2”，“二次项的系数不等于0”，“整式方程”． 5．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】 解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 6．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】 解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 7．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、没有说明，故本选项不符合题意． 故选：C． 8．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（       ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣4 D. 4 【答案】B 【分析】 根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1， ∴将代入得，，解得：． 故选：B． 【点睛】 此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念． 9．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次为 3 次，不符合题意． 故选：B． 10．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）一元二次方程的一次项系数是（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，b叫做一次项系数解答即可． 【详解】 解：根据题意，得一元二次方程的一次项系数， 故选：B． 11．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】 解：A、，含有两个未知数，且未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、，即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； C、，即，是一元二次方程，符合题意； D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 12．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即可求解．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程必须满足四个条件：① 未知数的最高次数是；② 二次项系数不为；③ 是整式方程；④ 含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】 解：A、∵只含未知数，且最高次数为，是整式方程，∴是一元二次方程，符合题意； B、∵方程中含有分式，不是整式方程，∴不是一元二次方程，不符合题意； C、∵方程中含有两个未知数和，∴不是一元方程，不符合题意； D、化简方程， ⇒ ⇒ ⇒ ，化简后是一元一次方程，∴不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 13．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A.  B.  C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是将根代入方程建立关于的方程求解． 【详解】 解：将代入方程，得， 即，解得． 故选：B． 14．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】 解：A、是二元一次方程，此项不符合题意； B、是一元一次方程，此项不符合题意； C、是一元二次方程，此项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，则此项不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键． 15．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）下列方程中是一元二次方程的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义分析判断即可． 【详解】 A选项：是分式方程，不是一元二次方程，故A错误； B选项：是二元一次方程，故B错误； C选项：是一元二次方程，故C正确； D选项：是二元二次方程，故D错误． 故选C． 【点睛】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 16．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（       ）． A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式，其中 a为二次项系数、为一次项系数、c为常数项是解题的关键． 直接根据一元二次方程的一般式的定义求解即可． 【详解】 解：∵方程可写为， ∴一次项系数为． 故选D． 17．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（       ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 把代入方程得，然后解关于的方程． 【详解】 解：把代入方程，得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键． 18．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，进行判断． 【详解】 A．中，只含未知数x，最高次项为，次数为2，且为整式方程，故此选项符合定义； B．中含有分式，不是整式方程，故此选项不符合定义； C．中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故此选项不符合定义； D．中未知数次数为1，不是二次方程，故此选项不符合定义． 故选：A． 19．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数．一次项系数．常数项分别是() A. 1，，8 B. ，2，8 C. 1，2， D. 1，2，8 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】 化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是8． 故选A． 20．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）解决此题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，根据定义判断各选项． 【详解】 解：∵一元二次方程需满足：① 一个未知数；② 最高次数为2；③ 整式方程． A：，最高次数为1，不符合条件② ，故错误； B：，分母含未知数，不是整式方程，不符合条件③ ，故错误； C：，满足所有条件，是一元二次方程，故正确； D：，最高次数为3，不符合条件② ，故错误． 故选:C． 21．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（       ） A. 3，5 B. 3，﹣5 C. ﹣4，5 D. ﹣4，﹣5 【答案】B 【分析】 将一元二次方程转化为一般形式，然后求解． 【详解】 解：将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式为 则二次项系数为，一次项系数为 故选B 【点睛】 本题考查的知识点是二元一次方程的一般形式，解题关键是熟记其一般形式为． 22．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】 解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 23．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）下列是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】 解：A．的分母含未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．未知数x的次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； D．中未知数的最高次项的次数是3，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 24．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．该方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 25．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程；熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、是分式方程，故不符合题意； C、化简后为，是一元一次方程，故不符合题意； D、是二元一次方程，故不符合题意． 故选：A． 26．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 1、3、6 B. 1、3、-6 C. 1、-3、6 D. 1、-3、-6 【答案】C 【分析】 将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】 解：方程可化为：x2-3x+6=0， 二次项系数为1、一次项系数为-3、常数项为6． 故选C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 27．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】D 【分析】 将n代入方程，提公因式化简即可. 【详解】 解：∵n（）是关于x的方程的根， ∴，即n(n+m+2)=0, ∵， ∴n+m+2=0，即m+n=-2， 故选：D. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,提公因式求出m+n是解题关键. 28．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（   ） A.  B. 1 C. 1或 D. 或0 【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的定义．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】 解：把代入方程得：， 整理得， 开方得：或， ∵，即， ∴． 故选：A． 29．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）下列方程中，是一元二次方程的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项是否符合条件即可． 【详解】 解： A、，未知数的最高次数为3，不符合定义； B、，化简得，即，最高次数为1，不符合定义； C、，最高次数为2，且是整式方程，符合定义； D、，含有分式，不是整式方程，不符合定义． 故选：C． 30．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B. （为常数） C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】 解：A、有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 31．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是2是解题关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】 解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，选项错误； B、不是整式方程，不是一元二次方程，选项错误； C、是一元二次方程，选项正确； D、整理得，含有一个未知数，但未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，选项错误； 故选：C 32．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】 解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵是一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 33．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】 解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 34．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D. 0 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】 解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 35．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程，只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 解：、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 36．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）下列方程中，判断中错误的是（       ） A. 方程是分式方程 B. 方程是二元二次方程 C. 方程是无理方程 D. 方程是一元二次方程 【答案】C 【分析】逐一进行判断即可． 【详解】A. 方程是分式方程，正确，故该选项不符合题意；        B. 方程是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意； C. 方程是一元二次方程，错误，故该选项符合题意； D. 方程是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键． 37．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）一元二次方程x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A. 1，2，﹣1 B. 1，﹣2，1 C. ﹣1，﹣2，1 D. 1，﹣2，﹣1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案． 【详解】一元二次方程整理成一般形式为：x2﹣2x﹣1=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、﹣2、﹣1． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 38．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（     ） A. 2026 B.  C. 0 D. 4052 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值．利用m满足原方程的条件，得到的值，然后代入所求表达式进行化简计算，即可作答． 【详解】 解：∵为一元二次方程的一个根， ∴， 即， 则 ， 故选：A 39．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、当时，方程变为，的最高次数为，故不是一元二次方程，不符合题意； B、中含有两个未知数和 ，故不是一元二次方程，不符合题意； C、中含有分式 ，分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，移项、合并同类项得：，是整式方程，只含有一个未知数，且的最高次数为，故是一元二次方程，符合题意； 故选：D ． 40．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的核心特征：只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程且二次项系数不为0． 根据一元二次方程的定义，逐一判断各选项是否满足“整式方程、只有一个未知数、最高次数2、二次项系数非零”的条件，进而得出答案． 【详解】 解：A、方程含，属于分式方程，并非整式方程，不满足一元二次方程定义，此选项不符合题意； B、方程含和两个未知数，是二元方程，不满足“只含一个未知数”的条件，此选项不符合题意； C、方程可化为，是只含一个未知数、最高次数为2的整式方程，且二次项系数，满足一元二次方程定义，此选项符合题意； D、方程未明确，当时，方程变为一元一次方程，不满足定义，此选项不符合题意； 故选：C． 41．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把代入原方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】 解：关于x的方程的一个根为3， 把，代入方程，得 ， 解得：， 故选：C． 42．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得． 故选：B． 43．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 把代入方程，得出，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【详解】 解：把代入方程 得，解得，， 而， 所以． 故选：A． 【点睛】 本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 44．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A. m＝4 B. m＝2 C. m＝2或m＝﹣2 D. m＝﹣2 【答案】D 【分析】根据常数项为0，可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可． 【详解】由题意得：m2-4=0，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 45．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（     ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】 解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 46．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】 解：方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 47．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为　　　　． 【答案】 【分析】 将，代入中，即可得到k值． 【详解】 解：将代入中，得到： 故答案为： 【点睛】 本题考查知道一元二次方程的解的应用，根据相关知识点解题是重点． 48．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）已知是方程的一个根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：4． 49．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则k值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义、常数项概念可得 ，求解即可求得答案． 【详解】 解：由题意得， ， 解得， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）若是一元二次方程的解，则m的值　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 把代入方程即可求解． 【详解】 解：将代入得，， 解得， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0． 【详解】 解：∵是一元二次方程， ， 解得：， 又， ， ∴， 故答案为：． 52．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 53．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，先求出使得未知数最高次数为的的值，再排除二次项系数为的情况． 【详解】 解：根据一元二次方程的定义，可知： ， 解得： ， 所以． 故答案为：． 54．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，那么方程的解是　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据题意得到关于的一元一次方程是解题的关键．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，然后解两个一次方程即可． 【详解】 解：把方程看作关于的一元二次方程， 方程的解是， 或， 解得：，， 故答案为：，． 55．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】 解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 56．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知是关于的方程的一个根，则　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 57．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）若是关于的一元二次方程的解，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解的定义．把方程的解代入方程得到，即可求出答案． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的解， ∴， 解得， 故答案为： 59．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）一元二次方程化成一般形式后为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】 解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 60．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】 解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 61．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． （1）将函数拆分成整式与真分式的和的形式； （2）若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； （3）若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 【答案】（1）     （2）的值为、、     （3）的最小值为5      【分析】 本题考查了分式的混合运算、一元二次方程和完全平方公式的运用，理解题意是解决本题的关键． （1）按照题意进行拆分即可； （2）联立两个函数解析式并进行分类讨论求解即可； （3）将点代入可得，，将两者进行相加进行化简并结合完全平方公式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ ； (2) 小问详解： 解：根据题意得， ， 当时， 解得， 则仅有一个交点，符合条件； 当时， 方程为一元二次方程，在中，， ， 令，此时仅有一个交点， ∴， 解得， 综上所述，的值为、、； (3) 小问详解： 解：由题意得，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 配方时“配一次项系数一半的平方”，由此判断即可． 【详解】 解：方程配方得：， 即：， 故选：C． 【点睛】 本题考查配方法，掌握配方法所需要配的数字的构成是解题关键． 2．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据配方法计算即可． 【详解】 故选A． 【点睛】 本题考查用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 先移项，再配方，即可得出答案． 【详解】 解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 故选：C． 4．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】 解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 5．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 方程左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】 解：， ， ， 故选：D. 【点睛】 本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 6．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）方程经过配方法化为的形式，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）用配方法解方程：，则配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先等式两边同时除以2，变成，然后再配成完全平方式即可． 【详解】 解：方程两边同时除以2，得到， 即：， 整理变形为：， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程中的配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 9．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 10．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）将一元二次方程配方，其正确的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方将二次方程转化为完全平方形式，需先使二次项系数为1，再计算一次项系数一半的平方并加至两边，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵原方程为， ∴ 两边除以2，得， ∴ 一次项系数一半为，其平方为， ∴ 两边加，得， 整理得． 故选：D． 11．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（　　） A. =1 B. =1 C. =7 D. =4 【答案】A 【详解】 用配方法解方程-4x+3=0， 移项得：-4x=-3， 配方得：-4x+4=1， 即=1． 故选：A． 12．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）一元二次方程，配方为，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】 解： ， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 （1）根据直接开平方法即可求出答案． （2）根据配方法即可求出答案． （3）根据公式法即可求出答案． （4）根据因式分解法即可求出答案． (1) 小问详解： 解： ， ， ， 解得：； (2) 小问详解： ， ， ， ， 解得：； (3) 小问详解： ， ， ， ， 解得：； (4) 小问详解： ， ， ， 解得：． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）把方程化成的形式为　　　　　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查配方法，先移项，二次项系数化，两边同时加上将方程配成完全平方式即可． 【详解】 解： ， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）将一元二次方程化成的形式，则　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 直接根据配方法的步骤解题即可． 【详解】 解：方程移项得， 配方得， 即， ，， ． 故答案为：7． 16．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）（1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解方程即可； （2）分别计算算术平方根、负整数指数幂，乘方，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】 解：（1） ， ∴，； （2） 17．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）解方程： （1）x2－6x－4＝0；              （2）3x(x－2)＝2x－4． 【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【分析】 （1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】 解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 18．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）（1）计算： （2）解方程： （3）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 或 ；（3） 【分析】 此题考查了二次根式的化简、负整数指数幂、完全平方公式的展开，以及一元二次方程的解法、一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）需先化简二次根式、计算负指数幂，再展开完全平方公式后计算加减； （2）利用直接开平方法解方程即可； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】 （1）解：原式 （2）解： （3）解： 解不等式① ，移项，合并同类项得； 解不等式② ，去分母得， 移项，合并同类项得，； 故不等式组的解集为：． 19．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的值． 【答案】（1），3；（2）或；（3） 【分析】 本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的定义，构成三角形的条件，一元二次方程解的定义，勾股定理等知识， （1）利用配方法得到，据此可得答案； （2）利用完全平方公式把已知条件式变形为，再根据非负数的性质得到，，据此分腰长为4和腰长为5，根据构成三角形的条件和勾股定理求出底边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）利用配方法得到求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，进而可得的值． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当腰长为4时，则底边长为5， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 当腰长为5时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3） ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， 是的一个根， ， ， 四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·四川巴中·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程中根的判别式等于零，即可求解． 【详解】 解：根据题意得，，， ∴， 故选：． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式判断根的情况，掌握根的判别式的知识是解题的关键． 2．（2025·四川宜宾·质量监测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（       ） A. －1 B. －1或 C.  D. 1或 【答案】B 【分析】 根据题意，进行分类讨论即可． 【详解】 解：若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴， 解得：或（舍去）， 若，即：时，， ∴得，不成立，舍去， ∴x的值为－1或， 故选：B． 【点睛】 本题考查新定义以及一元二次方程，理解材料中的定义，准确进行分类讨论，并准确求解一元二次方程是解题关键． 3．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 5．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】C 【分析】 根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根， ∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0， 解得k≤且k≠0， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：① 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；② 当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③ 当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 6．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴关于一元二次方程没有实数根． 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 直接利用根的判别式进行判断即可得到答案. 【详解】 解：∵△＝32﹣4×1×5＝﹣11＜0， ∴方程无实数根． 故选A． 【点睛】 本题主要考查根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：① 当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；② 当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③ 当△＜0时，方程无实数根． 8．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根，进行判断． 【详解】 解：A、，方程没有实数根； B、，方程有两个相等的实数根； C、，方程没有实数根； D、△，方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】 本题考查了用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况的方法． 9．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键． 然后根据根的判别式与方程根的情况的关系逐项判断即可． 【详解】 解：A、，方程有两个相等实数根，故此项不符合题意； B、，方程没有实数根，故此项符合题意； C、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意； D、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意． 故选：B． 10．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知、、为常数，点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【分析】 根据点在第四象限，得出，进而根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】 解：点在第四象限， ， ， 方程的判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】 本题考查了第四象限点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，得出是解题的关键． 11．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 【答案】C 【详解】试题解析：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根, 解得：且 则的最大整数值是 故选C. 12．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）关于x的方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【详解】分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 详解： 方程有两个不相等的实数根. 故选A. 点睛：考查一元二次方程根的判别式, ，方程有两个不相等的实数根. ，方程有两个相等的实数根. ，方程无实数根. 13．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 14．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是【 】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【详解】 ∵a=1，b=1，c=﹣2， ∴b2﹣4ac=1+8=9＞0． ∴方程有两个不相等的实数根．故选A． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程（a≠0）的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 15．（25-26学年九上·四川成都·期中）一元二次方程根的情况是（       ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．通过计算判别式的值，判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】 解：∵， ∴，    ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 16．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）一元二次方程的根的情况为（       ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可得出结论． 【详解】 解：∵ ∴， ∴方程没有实数根． 故选A． 17．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A. 1或 B.  C. 1 D. 2 【答案】A 【分析】 该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，再根据“有两个相等的实数根”列出关于m的方程求解即可． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵方程有两个相等的实数根，且，，， ∴， 解得：或，均满足， ∴为或． 18．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；通过计算每个一元二次方程的判别式，判断实数根的情况，若判别式大于零，则有两个不相等的实数根，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：A、中，，，则，故无实数根，不符合题意； B、中，，，则，有两个相等的实数根，不符合题意； C、中，，，则，无实数根，不符合题意； D、中，，，则，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 19．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的实数根与判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键． 根据一元二次方程实数根与判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可． 【详解】 解：① 若，即， 则是原方程的解，即方程至少有一个根， ∴由一元二次方程的实数根与判别式的关系系可知：，故① 正确； ② ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， 又∵方程的判别式为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故② 正确； ③是方程的一个根， ∴， ∴， ∴或，即有两种可能性，故③ 错误； ④ 若是一元二次方程的根， ∴根据求根公式得：或， ∴或， ∴，故④ 正确． 故选：B． 20．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据“有两个不相等的实数根”得出判别式，进而建立不等式求解． 【详解】 解：对于方程，其中，， 方程有两个不相等的实数根， ． 即，解得． 故选：A． 21．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】 解：由题可得： , 解得：且； 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 22．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④存在实数，使得； 其中正确的（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【分析】 根据一元二次方程根与判别式的关系，一元二次方程解的含义，逐个判断即可． 【详解】 解：∵ ∴是一元二次方程的一个解，即方程有解， ∴，① 正确； 方程有两个不相等的实根，则，即 方程的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根，② 正确； 若c是方程的一个根，则，即 ∴或，③ 错误； 由可得， 即 ∵ ∴ ∴ 所以只需要满足即可得到，④ 正确； 故选：B 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程解的含义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的有关性质． 23．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握是解决问题的关键．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根；一元二次方程有两个相等的实数根；一元二次方程没有实数根． 根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，得，从而可以列出关于m的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， 故选：B． 24．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　． 【答案】k＞﹣4 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【详解】 解：∵关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＞0， 解得：k＞﹣4. 故答案为k＞﹣4. 【点睛】 本题考查了根的判别式，牢记当△＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 25．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】 解：根据题意得， 解得， 即实数的取值范围为． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）已知关于 的一元二次方程无实数根，那么m的取值范围是　　　　． 【答案】 【详解】 解：∵方程无实数根， ∴△=， 解得：． 故答案为． 28．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　　　　　　． 【答案】k＜3 【分析】 根据根的判别式即可求出答案． 【详解】 解：由题意可知：Δ＝4﹣4（k﹣2）＞0， ∴k＜3， 故答案为k＜3． 【点睛】 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 30．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　． 【答案】＞ 【分析】 由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】 解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 31．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 32．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）解方程：（用公式法） 【答案】 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 33．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， 且△， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 34．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义． 由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围． 【详解】 ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， ∵方程是一元二次方程， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 35．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用开平方的方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】 本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 36．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：， ∴原方程有两个实数根     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得 ，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用公式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根小于3 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的 关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根小于3 ， 找出关于的一元一次不等式 37．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）计算： （1）计算： （2）解方程：； 【答案】（1）     （2）；      【分析】 此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则和一元二次方程的解法是关键． （1）计算乘方、负整数指数幂、绝对值和零指数幂后，再计算加减法即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴， ， 38．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围． 【详解】 ∵，，， 由题意知，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 39．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 （1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】 解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴ ， 解得 ． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 40．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若关于x的方程有两个实数根，则a应满足　　　　　　　　 【答案】且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握“一元二次方程二次项系数不为0，且有两个实数根时判别式”是解题的关键． 根据“方程有两个实数根”的条件，先确定方程是一元二次方程（二次项系数不为0），再利用判别式求解a的范围． 【详解】 解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 该方程是一元二次方程，且判别式， ∵ 一元二次方程二次项系数不为0， ∴ ， ∵ 判别式， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 综上，且， 故答案为：且． 41．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负，据此解答即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴且， 解得，即， ∴且． 故答案为：且． 42．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）计算，解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题考查了实数的混合运算，绝对值化简，负整数指数幂，零指数幂，分母有理化，一元二次方程公式法，解题的关键是熟练的掌握每个知识点，准确化简，再根据运算法则进行计算，每一步的化简与计算都非常易错，一元二次方程公式法中，公式记错也是易错点； （1）先化简绝对值，根据 判断，则化简后为；再计算负整数指数幂，公式；再计算零指数幂，公式；再计算最后一部分，进行分母有理化，上下同乘；最后把每一部分按照根据“先乘方，后乘除，最后加减”的顺序进行计算即可． （2）解一元二次方程，形如，可采用公式法，先验证判别式，，方程有两个不相等的实数根；，方程没有实数根；，方程有两个相等的实数根；两根分别，，找到代入公式即可． (1) 小问详解： (2) 小问详解： 解： ∵ ∴方程有两个不相等的根． ； 故． 43．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ∴方程总有两个实数根；     （2）      【分析】 （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：原方程可化为： 或 解得： ， 由题意可得： 解得： 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 44．（25-26学年九上·四川资阳·期中）若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　　　　　　　　　　象限． 【答案】三 【分析】 若一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则b2﹣4ac＜0，求得n的取值范围，确定函数图象的情况． 【详解】 解：∵a＝n，b＝﹣2，c＝﹣1，方程无实数根， ∴b2﹣4ac＜0 ∴（﹣2）2﹣4×（﹣1）×n＜0 ∴n＜﹣1 ∴n+1＜0，﹣n＞0 ∴一次函数y＝（n+1）x﹣n中，一次项的系数小于0，常数项大于0，其图象不经过第三象限． 故答案为：三． 【点睛】 本题考查了一次函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数n的取值范围． 45．（25-26学年九上·四川资阳·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算、零次幂、绝对值和解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． （1）根据零指数幂、立方根、绝对值和二次根式的混合运算法则进行求解即可； （2）根据一元二次方程的配方法解方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ∵ ∴ ∴，． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）方程x（x+3）＝0的根是（　　） A. x＝0 B. x＝﹣3 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝0，x2＝﹣3 【答案】D 【分析】 根据因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】 解： ∴ 故选：D 【点睛】 此题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． 2．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）等边三角形的三边分别为，，，且满足方程，则方程的两根为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程解，等边三角形的性质的定义，根据已知条件可知，原方程化为，解方程，即可求解． 【详解】 解：∵等边三角形的三边分别为，，， ∴， ∴原方程可化为， 解得：， 故选：B． 3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 10或14 【答案】C 【分析】 首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案． 【详解】 x2﹣8x+12＝0 解得， ① 当等腰三角形的三边为时，此时能组成三角形，三角形的周长是 ① 当等腰三角形的三边为时，，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去； 故选C 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 4．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）方程的解是（     ） A. 2或0 B. 或0 C.  D. 或0 【答案】B 【分析】 本题主要考查了因式分解法解高次方程，熟练掌握提取公因式法、平方差公式因式分解的方法是解题的关键． 先对方程左边提取公因式，再用平方差公式因式分解，最后利用零乘积性质求解方程的解． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴或或． 故方程的解为或0． 故选：B． 5．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）若 , 则=（    ） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键．通过设 ，将方程转化为关于的方程，求解后根据算术平方根的非负性排除无效解． 【详解】 解：设，则原方程化为， ∵， ∴， ∴或， 又∵（算术平方根非负）， ∴不符合题意，舍去， ∴． 故选：D． 6．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）已知方程的解是，则另一个方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】 解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 7．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】 解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 8．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）若，则的值为（       ） A. 1 B. 9 C. 9或1 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 利用换元法解一元二次方程求出，然后可得的值． 【详解】 解：令，则可得， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键． 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(       ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 【答案】B 【分析】 本题考查因式分解法解一元二次方程，构成三角形的条件，利用因式分解法求出x的值后，再根据三角形三边间的关系取舍，从而依据三角形周长公式计算可得． 【详解】 解：∵， ∴， 则或， 解得或， 当时，2，2，4不能构成三角形，舍去； 当时，此三角形的周长为， 故选：B． 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程，选取合适的方法解方程． （1）根据公式法可以解答本题； （2）根据提公因式法可以解答本题． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解： ， ∴， ∴或， ∴，． 11．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查利用公式法、因式分解法解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是快速解题的关键． （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， 移项，得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：， 变形得：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， ∴，． 12．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的方法：因式分解法解方程，熟练掌握是解题的关键． (1) 先把方程移项，再利用因式分解法求解即可． (2)先把方程移项，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴； (2) 小问详解： 解： ∴ ． 13．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）是“黄金方程”， 理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”；     （2）的最小值为．      【分析】 本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 14．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，熟练运用直接开平方法、因式分解法等解方程的方法是解答本题的关键． （1）利用直接开平方法，通过移项、开平方求解方程； （2）利用因式分解法，将二次三项式分解为两个一次式的乘积，进而求解方程． (1) 小问详解： 解： ， ， ， 解得：，． (2) 小问详解： ， ， 解得：，． 15．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的边的值，再根据周长公式进行计算．通过求解一元二次方程得到根，结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定有效边长，进而计算周长． 【详解】 解：解方程 ， 因式分解得 ， 所以 或 ， 等腰三角形的边长是方程的解，因此边长可能为 2 或 4， 若腰长为 2，底边为 4，则 ，不满足三角形两边之和大于第三边，故无效， 若腰长为 4，底边为 2，则 ，，满足三角形三边关系， 因此三角形边长为 4、4、2，周长为 ， 故答案为：10． 16．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　　　． 【答案】﹣1或4 【详解】 解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0， 将左边因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0， 解得：x1=4，x2=﹣1． ∴实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4 17．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， 移项得， 则， ， 直接开平方得， ，； (2) 小问详解： 解：， 展开得， ， 则， 或， 解得，． 18．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）（1）解方程：． （2）为何值时，代数式与的值相等？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据题意列出一元二次方程，进而根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 （1）原方程可化为． 再化为． ∴，或． ∴． （2）由题意，得． 即． 即． ， ∴． 19．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）解方程： （1）； （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原方程化为， 则， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：原方程化为， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 20．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），．      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）直接运用因式分解法求解可得； （2）直接运用因式分解法求解可得． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，． (2) 小问详解： 解：， ， 或， ，． 21．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法，直接把方程化为两个一次方程求解即可. 【详解】 解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：， 22．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 先移项，然后再利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：， 移项得：， 因式分解得： ∴或， ，． 23．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或 ，． 24．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法求解即可； （2）移项后根据因式分解法计算即可． (1) 小问详解： ， ， ， ，； (2) 小问详解： ， ， ， ， ，． 25．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）, 【分析】 本题考查了实数的混合运算，利用因式分解法解方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先利用立方根的概念、负整数指数幂、绝对值及零次幂的定义化简，再进行加减运算； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 （1）解：原式； （2）解：移项，得，即， 提取公因式，得， 整理得， 或， 解得, ． 26．（25-26学年九上·四川巴中·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了一元二次方程，二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，二次根式化简，绝对值，负整数指数幂，再加减即可； （2）利用因式分解法即可解答． 【详解】 （1）解： ； （2） 可得或， 解得． 27．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），     （2），     （3），     （4），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，利用不同的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）观察发现利用求根公式求解即可； （2）首先将常数与未知数放在等号同一边，发现利用十字相乘法求解即可； （3）首先利用完全平方公式展开，移项后发现利用十字相乘法求解即可； （4）首先利用多项式乘多项式展开，移项后发现利用十字相乘法求解即可； (1) 小问详解： 解： ∴， ， ∴，； (2) 小问详解： 解： ∴，； (3) 小问详解： 解： ∴，； (4) 小问详解： 解： ∴，． 28．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂的意义，解一元二次方程． （1）先根据开方、绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义化简，再算加减； （2）先移项，再用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ， ， ， ， 或， ． 29．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）若能分解为两个一次因式的积，则的值为　　　　　　. 【答案】±1 【分析】首先设原式=（x+y+a）（x-y+b），进而求出即可． 【详解】解：原式=（x+y+a）（x-y+b） =x2-y2+（a+b）x+（-a+b）y+ab  故a+b=m，-a+b=5，ab=-6， 解得：a=-2，b=3，m=1；a=-3，b=2，m=-1， ∴m=±1． 故答案为±1． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 30．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；     （2）或4．      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 31．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 32．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， 不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根．     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握，方程有两个不相等的实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，得到，再根据平方的非负性，即可证明结论； （2）将代入方程，求出，再根据因式分解法解二元一次方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入方程，得：． 解得：． 当时，方程为， ， ，， 方程的另一个根是． 33．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程； （1）先配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后接两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； (2) 小问详解： 解：， 方程化为一般式为， ∴， 或， 解得：． 34．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟记公式法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． （1）由公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （3）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 则方程的解为：，； (2) 小问详解： 解：， ， 则， 解得或， ，； (3) 小问详解： 解：， ， 解得或， ，． 35．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），；     （2），；     （3），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （）利用直接开平方法求解即可； （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； (3) 小问详解： 解：， 或， ∴，． 36．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法、公式法），熟练掌握一元二次方程的不同解法并根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）先将式子变形，把提取公因式转化为，再用因式分解法解方程； （2）先将左边展开，整理成一元二次方程的一般形式，再用公式法或配方法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 其中，，， ∴， ∴， ∴，． 37．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）计算： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）     （2），      【分析】 本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别根据算术平方根的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的代数意义以及零指数幂的运算法则化简各项后再合并即可； （2）方程移项后运用因式分解法进行解答即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，． 38．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法即可求解； （2）由因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ，，， ∴， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：， 方程整理得：， ∴， ∴或， 解得：． 39．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握其解法． （1）先整理为，再利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． (1) 小问详解： 解： 则或， 解得，； (2) 小问详解： 解： 则或， 解得，． 40．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据因式分解法求解即可； （2）先求出根的判别式，再根据求根公式求解即可； （3）利用直接开平方法求解即可； （4）根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ，，，， ∴， 解得，； (3) 小问详解： 解：， 开方得， ∴，， 解得，； (4) 小问详解： 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 41．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明： 无论取任何实数时， 无论取任何实数，原方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于3，另一个小于8，列出不等式组，求出m的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：解关于的一元二次方程得 ，， ∵原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7， ∴ 或 分别解两个不等式组得：无解或 ． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，当时，方程有两个实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 42．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）解方程： （1）； （2）； 【答案】（1），；     （2），；      【分析】 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． （1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程． （2）利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ，； (2) 小问详解： 解：， ， 可得或， 解得，． 43．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2） 或 ． 【分析】 此题考查了负整数指数幂和绝对值、算术平方根、因式分解法解一元二次方程，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）先分别计算负整数指数幂和绝对值、算术平方根，再进行加减运算即可； （2）先移项整理，然后提取因式进行因式分解，再来解方程即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解：， ， ∴或， 解得： 或 ． 44．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）先化简再求值：（x+1﹣）÷，其中x是方程x2+2x﹣3＝0的根． 【答案】， 【分析】 先将小括号内进行通分计算，括号外面的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算，解方程求出x，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】 解：原式 ， ∵x2+2x﹣3＝0， ∴ 得x1＝1，x2＝﹣3， 由题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 当x＝﹣3时，原式． 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 45．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）解方程或不等式组． （1）； （2）； （3）； （4） ． 【答案】（1） ，     （2） ，     （3）     （4）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解分式方程，求不等式组的解集． （1）用直接开平方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可； （3）两边都乘以化为整式方程求解，然后检验； （4）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． (1) 小问详解： ， ， 解得 ， (2) 小问详解： ， ， ， 或， ，； (3) 小问详解： ， 两边都乘以，得 ， 解得 检验：当时，， ∴是原方程的解； (4) 小问详解： ， 解① 得， 解② 得， ∴不等式组的解集是． 46．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）解方程． （1） ； （2）； （3）； （4） ； （5）． 【答案】（1）     （2），     （3），     （4），     （5），      【分析】 本题主要考查了求解一元二次方程、完全平方公式的运用，熟练运用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可； （3）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可； （4）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可； （5）首先整理成一元二次方程的一般式，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ． (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ，． (3) 小问详解： 解：， ， ， ， ，． (4) 小问详解： 解：， ， ， ， ，． (5) 小问详解： 解： ， ， ， ， ，． 47．（25-26学年九上·四川成都·期中）解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关知识点是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 则， 解得，． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 解得，． 48．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）解方程： （1） （2）． 【答案】（1），；     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； (1) 小问详解： 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 49．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法： （1）利用求根公式即可求解； （2）利用平方差公式进行因式分解即可求解． (1) 小问详解： 解： ， 求根公式为，代入得， 因此，； (2) 小问详解： 解： ： 对于，展开得，解得； 对于，展开得，解得． ∴． 50．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1） 或（2） ， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）直接写出不等式的解集是___________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 【答案】（1）或     （2）或     （3）或      【分析】 本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程． （1）仿照例题进行解答即可； （2）令，然后转化成，再根据判别式得到，最后仿照例题解答即可； （3）令，得到，然后根据判别式得到，进而求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， 或 ， 解得：或， ∴不等式的解集是或； (2) 小问详解： 解：令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 或 ， ∴或， ∴或； (3) 小问详解： 解：令， ， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， ， 或 ， ∴或． 51．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式 若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义 和 为多项式 的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： 当或时， 的值为0，则多项式 的“零值”为 和 的“对称值”为 ． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式 的“零值”为          ，“对称值”为          ； （2）若关于x的多项式 的两个“零值”相等，求m的值以及多项式 的“对称值”； （3）若关于x的多项式 有一个“零值”为，关于x的另一个多项式 与多项式 的“对称值”相同，且多项式 的两个“零值”之比是， 求a，b，c的值． 【答案】（1）和， 0     （2）当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为     （3），，      【分析】 本题考查了解一元二次方程、因式分解、乘法公式等知识点，掌握“零值”和“对称值”定义是解题的关键． （1）由，再结合“零值”和“对称值”即可求解； （2）由题意令其“零值”为t，则，即可知，   ，可求得或，再求出对应的m即可； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为3，设两个“零值”为和可求得， ，即，． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为． 故答案为：和，0． (2) 小问详解： 解：∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则，      ∴，                             ∴，，                                              ∴或，                                           当“零值”为时，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为3；当m=，“对称值”为； ． (3) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴．                                                          ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴，    ∴． ∴， ∴，． ∴，， 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键． 直接根据根与系数的关系，，代入计算即可． 【详解】 解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 2．（2025·四川宜宾·质量监测）设a，b是方程的两个实数根，则的值是（       ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，求解即可． 【详解】 ∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即， ∴ 故选：B． 3．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（       ） A.  B. 5 C. 或5 D. 2或 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．设方程的两根分别为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再由两根互为相反数，可得，即可求解． 【详解】 解：设方程的两根分别为， ∴， ∵一元二次方程的两根互为相反数， ∴， 解得：， 当时，原方程为， 此时方程无解，故不符合题意，舍去； 当时，原方程为， 此时， 即两根之积是． 故选：A 4．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】 解：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故选：A． 【点睛】 本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 5．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知，且，，则（       ） A.  B. 2 C. 3 D. 9 【答案】A 【分析】 将方程3x2＋2021x＋6＝0的两边同时÷x2可得出6（）2＋2021＋3＝0，由xy≠1，可得出，y为一元二次方程6x2＋2021x＋3＝0的两个不相等的解，再利用根与系数的关系即可求出的值． 【详解】 解：当x＝0时，方程左边＝6≠0， ∴x≠0． 将方程3x2＋2021x＋6＝0的两边同时÷x2得6（）2＋2021＋3＝0． ∵xy≠1，即y≠， ∴，y为一元二次方程6x2＋2021x＋3＝0的两个不相等的解， ∴＝＝． 故选：A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−，两根之积”是解题的关键． 6．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为（                 ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由于m、n是方程x2+x-2012=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2012=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果. 【详解】解：∵m、n是方程x2+x-2012=0的两个实数根， ∴m+n=-1， 并且m2+m-2012=0， ∴m2+m=2012， ∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2012-1=2011． 故选D． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 7．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C.  D. 2 【答案】C 【分析】 直接利用根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根， ∴x1•x2＝． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一元二次方程（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两个根为x1,x2,则x1+x2=-，x1•x2=． 8．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A.  B.  C. 2011 D. 2023 【答案】C 【分析】 本题考查了根与系数的关系、一元二次方程根的定义、代数式求值等知识点，若是一元二次方程的两根，是解题的关键． 先根据方程根的定义得到，再根据根与系数的关系得到，则，再然后利用整体代入法求解即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴，即， ∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 9．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（       ） A. 3 B.  C. 3或1 D. 或1 【答案】A 【分析】 本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】 解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．（25-26学年九上·四川巴中·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及代数式求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入代数式求值，即可解题． 【详解】 解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故答案为：10． 11．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）若 ，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系，可得出，再将其代入，即可求出结论． 【详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知实数a，b分别是方程两根，则的值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用根与系数的关系得到两根之和，并将所求表达式分组变形后代入求值． 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，掌握以上知识是关键． 【详解】 解：∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， 且a满足方程，即 ， ∴ ， 原式 ， 代入，，得原式， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则 ．请解决下面的问题：已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：已知一元二次方程，其中，，． 根据根与系数的关系，有： ， ， 代入表达式得： ． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再代入代数式进行计算即可．本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 【详解】 解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， ， ， 解得，． 检验：当时，原方程可化为， ， 方程有实数根，符合题意； 当时，原方程可化为， ， 方程无实数根，不符合题意． 故答案为： 15．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）已知一元二次方程的两个根为，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入代数式计算即可得到答案． 【详解】 解：一元二次方程， ，，， 则由一元二次方程根与系数的关系，有： ，， ， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． (1) 小问详解： 解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； (2) 小问详解： 解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知实数、满足，，且，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意可知实数、关于x的方程的两个不相等的实数根，则，再由进行求解即可． 【详解】 解：∵实数、满足，，且， ∴实数、关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，正确得到是解题的关键． 18．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）若的两个根为、，则的值是　　　　　　． 【答案】11． 【分析】 根据根与系数的关系求解． 【详解】 解：∵的两个根为、， ∴， ∵ 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个根为，，则，． 19．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知，是方程的两个根，那么　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果一元二次方程的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，即，由题意可得，即，于是可推出，进而可得，化简即可得出答案． 【详解】 解：，是方程的两个根， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程解的定义，将代入已知方程求得，然后根据根与系数的关系知，最后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】 解：∵是方程的两个不相等的实数根， ∴，即；， ∴． 故答案为：4． 21．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）已知是方程的两个根，则　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】 解：∵ 是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系，得，， ∴ ． 故答案为：3． 22．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，，是一元二次方程的两根时，，．由、是方程的两个根知，，再整体代入计算即可． 【详解】 解：∵、是方程的两个根， ∴，，即， ∴ 故答案为：7． 23．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知是方程的两个实数根，则代数式　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义及根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算． 【详解】 解：∵ 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ， 代入得：． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知a和b是方程的两个解，则的值为　　　　　　　　． 【答案】2028 【分析】 本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】 解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 25．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）设分别为一元二次方程的两个实数根，则　　　　　　　　　　　． 【答案】2023 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代入求值，理解并掌握一元二次方程的解的含义，代入求值的方法是解题的关键． 根据一元二次方程的根，可得，根据根与系数的关系得，将代数式变形得，代入求值即可． 【详解】 解：设分别为一元二次方程的两个实数根， 原式． 故答案为： 2023． 26．（25-26学年九上·四川成都·期中）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，可得两根之和与两根之积，再将所求代数式变形得，再代入进行求值． 【详解】 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故答案为：2． 27．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解． 【详解】 解：∵，为一元二次方程的两个实数根， ∴m+n=2，mn=-2， ∴， 故答案为：1． 【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键． 28．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）若，是一元二次方程的两根，则的值是　　　　 【答案】 【分析】 本题考查的是分式的化简求值以及一元二次方程中根与系数的关系，掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，再将数值代入，即可求解本题． 【详解】 解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 29．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）      （2）       【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）先通过一元二次方程的根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式对已知式子变形求解，最后根据（1）所求的的取值范围确定的值即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 即， ； (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系可得：，， ，即， ，即， ， 解得或， 由（1）知，， ． 【点睛】 一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；，是一元二次方程的两根时，一元二次方程根与系数的关系为：，． 30．（2025·四川宜宾·质量监测）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式是解题关键． （1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围； （2）由一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，进而求得k． (1) 小问详解： 解：方程中， ，，， 由题意可知：， 解得：； (2) 小问详解： ∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴，即：① ． ∵② ， 联立① ② 解得： ∴， 解得：． 31．（25-26学年九上·四川巴中·期末）已知关于的一元二次方程． （1）不解方程，说明此方程的根的情况； （2）设此方程的两个实数根分别是，，且满足，求的值． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根     （2）的值为或      【分析】 本题考查一元二次方程根的情况以及根与系数的关系，掌握相关计算公式是解题的关键． （1）计算根的判别式，根据其结果判断方程根的情况； （2）利用方程根与系数的关系，进行代数变换，即可求得的值． (1) 小问详解： 解：在方程中， ，，， ∴， 即， 故方程有两个不相等的实数根． (2) 小问详解： 解：∵此方程的两个实数根分别是，， ∴，， ∴， 即 ， 又∵， 得方程， 化简得， 解得或． 32．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】17 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，利用根与系数的关系得到两根之和，并由方程得，将所求代数式变形为后代入求值． 【详解】 方程的两根分别为和， ，且， ， ． 故答案为：17． 33．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k﹣1＝0 （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2为该方程的两个实数根，且满足x1（x2﹣2）＝2x2，求k的值． 【答案】（1）证明： ∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1） ＝4k2﹣4k+4 ＝（2k﹣1）2+3， ∵（2k﹣1）2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【分析】 （1）先计算判别式的值，再进行配方法得到△＝（2k﹣1）2+3，则根据非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，再利用2（x1+x2）﹣x1x2＝0得到2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0，然后解一次方程即可． 【详解】 （1）略 （2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1， ∵x1（x2﹣2）＝2x2， ∴2（x1+x2）﹣x1x2＝0， ∴2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0， ∴k＝． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，找出关于k的方程 34．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两实数根，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，实数m的值为　　　　　　　　． 【答案】1 【详解】解：由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1， 由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2 （x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0， ∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1．∵m≥﹣1，∴m=1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件． 35．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，且两个根的平方和为7，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，根据一元二次方程根与系数之间的关系，结合两个根的平方和为7，得到关于的一元二次方程，求出的值，再根据方程有实数根，选择合适的值即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴或， 当时，原方程化为：，，满足题意； 当时，原方程化为：，，不满足题意； ∴； 故答案为：． 36．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 37．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程，若有两个实数根和． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程； （1）根据题意得出，列出不等式，即可求解； （2）根据根与系数的关系得：，，代入得出关于的一元二次方程，结合（1）的结论，即可求解． (1) 小问详解： 由题意得：此方程的根的判别式 整理得： 解得 故实数k的取值范围为： (2) 小问详解： 由根与系数的关系得：， ∵ ∴可得 ∴ 整理得： 解得或 由（1）可知， 则． 38．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：11． 39．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， ∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2）①②3      【分析】 此题考查了根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系，求出的值，进而求出的长，根据菱形的面积公式进行计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵，为该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 由① 知：， ∴，， ∴菱形的面积为． 40．（2026·四川巴中平昌中学·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2满足2x1=|x2|+3，求m的值． 【答案】（1）m的取值范围为m≤5     （2）m的值为5      【分析】 （1）由关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根可知，根的判别式：△，由此列出关于“m”不等式可求得m的取值范围； （2）由关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2可得：x1+x2=6，x1x2=m+4．结合2x1=|x2|+3，分和两种情况讨论，先求出的值，再由x1x2=m+4可求出m的值. (1) 小问详解： ∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． (2) 小问详解： ∵方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2=6① ，x1x2=m+4② ． ∵2x1=|x2|+3， ∴当x2≥0时，有2x1=x2+3 ③ ；当x2＜0时，有2x1=-x2+3 ④ ； 联立① ③ ，解出：x1=x2=3， ∴3×3=m+4， ∴m=5； 联立① ④ ，解得：x1=-3，x2=9（不合题意，舍去）． 综上所述：m的值为5． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）分x2≥0及x2<0两种情况找出关于x1、x2的二元一次方程组． 41．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．由题意可得，，再将所求代数式变形为，最后整体代入即可求解． 【详解】 解：，是方程的两个实数根， ，，即， ， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）若、是方程的两根，则的值是　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据一元二次方程根的定义推出，最后整体代入即可解决问题． 【详解】 解：∵、是方程的两根， ∴当时， ， 将代入中， ， 同理可得，， ∵、是方程的两根， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 43．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． (2) 小问详解： 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 44．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． (1) 小问详解： 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． (2) 小问详解： ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 45．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根与系数的关系，利用和代入代数式，化简后得，又和是方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得，然后代入的值计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 又∵和是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴原式， 故答案为：． 46．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）分已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）若|x1|=|x2|，求m的值及方程的根． 【答案】（1）m≥且m≠2；（2）. 【详解】试题分析：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围； （2）由可得：或当时，利用△=0可求出的值，利用，可求出方程的解；当时，由根与系数的关系可得出解之即可得出的值，结合（1）可知此情况不存在．综上即可得出结论． 试题解析：(1)∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 解得：且m≠2. (2)由可得：或 当时,    解得：    此时 当时,    且m≠2， ∴此时方程无解. 综上所述：若,m的值为,方程的根为. 47．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的最大整数值； （2）在（1）的条件下，方程的实数根是，求代数式的值． 【答案】(1) 1;(2) 5. 【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值； （2）根据（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为，根据根与系数的关系，可得，再将x12+x22-x1x2变形为（x1+x2）2-3x1x2，则可求得答案． 【详解】（1）由题意得 解得，因此实数的最大整数值为1. （2）当时， ∴此一元二次方程为：x2+2x+1=0， ∴ 所以 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，=−，=． 48．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）已知在等腰三角形中，三边长分别为a、b、c，其中，b、c恰好是方程的两个实数根． （1）求证：方程总有两个实数根 （2）求△ABC的周长 【答案】（1） 证明：， ∴， ∴方程总有两个实数根；     （2）的周长为．      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式得到，即可得出结论； （2）分两种情况讨论：当为腰长时，当为底长时，分别求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当为腰长时，将代入原方程，得： ， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， ∴此时的周长为， 当为底长时，， 解得：， ∴， ∵， 此时，边长为的三条线段不能组成三角形， ∴的周长为． 49．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）已知是方程的两个实数根，则　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解、一元一次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：是方程的解，代入方程等式成立；牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】 ∵是方程的两个实数根， ∴将代入原方程得：， ∴， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）若，是方程的两根，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式的求值，灵活运用这些知识是解题的关键．把代入方程得，即，由根与系数的关系得，，代入化简即可． 【详解】 解：∵，是方程的根， ∴，即， ，， ∴ 故答案为：． 51．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． (2) 小问详解： 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 52．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”，那么 （1）根据以上定义，一元二次方程　　　　　　（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点是在双曲线图象上的点，同时关于的方程也是倍根方程，则　　　　　　． 【答案】① 是    ② 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确求出一元二次方程的解是解题的关键． （1）通过求解一元二次方程 的根，判断是否有一个根是另一个根的2倍； （2）根据“倍根方程”的定义，设根为和，利用根与系数的关系得到，再结合点在双曲线上，代入求解． 【详解】 解：（1）解方程， 因式分解得， 解得，， 由于，即一个根是另一个根的2倍， 因此方程是“倍根方程”， 故答案为：是； （2）设方程的两个根为和，根据根与系数的关系，有：，，即：， 由得 ， 代入得：， 则， 点在双曲线上，故， 代入：， 解得， 验证判别式：，方程有两个实数根，符合条件． 故答案为：． 53．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】（1）证明：a=1,b=-（2k+1）,c=4k-3 ， ∵ ∴ 即 ∴无论 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. （2） ． 【分析】 （1）应用根的判别式直接判断就可以. （2）先根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积再用勾股定理求出k，继而求得周长 【详解】 （1）略； （2）∵两条直角边的长 b和c恰好是这个方程的两个根 ∴根据韦达定理可知 ∴， 解得. 当时， 周长 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 54．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在， 【分析】 （1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【详解】 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0， ∴m<5， 将x1=1代入原方程得：m=3， 又∵x1•x2=2m−1=5， ∴x2=5，m=3； （2）设存在实数m，满足，那么 有， 即， 整理得：， 解得或． 由（1）可知， ∴舍去，从而， 综上所述：存在符合题意． 【点睛】 本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，． 55．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则k的值为　　　　　　　　　　　 【答案】0 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，由根与系数的关系可得，则可得到，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∵， ∴， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴， 故答案为：0． 56．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）一元二次方程的两根分别是、，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的定义和根与系数的关系解题的关键是利用根的定义对高次项进行降次变形，再结合根与系数的关系求值． 先利用方程的根的定义得到，将代数式中的降次变形，再结合根与系数的关系求出的值，进而得出结果． 【详解】 解：因为是一元二次方程的根，将代入方程得： ，即， 由，得， 将代入原式： ， 对于方程，两根满足． 故． 故答案为：3． 57．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值． 【答案】（1）（2） 【详解】 解：（1）∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0，即， ∴； （2）根据题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵ ∴m=2． 58．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 ，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案． 【详解】 解：∵是方程的根 ∴， ∴ ∴k=-4 故答案是-4． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键． 59．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）关于x的方程x2﹣ax+2a＝0的两根的平方和是5，则a的值　　　　　． 【答案】-1 【分析】设方程的两根分别为m、n，根据根与系数的关系得到m+n＝a，mn＝2a，再由m2+n2＝5得(m+n)2﹣2mn＝5，所以a2﹣4a＝5，解得a1＝﹣1，a2＝5，然后根据判别式确定满足条件的a的值． 【详解】设方程的两根分别为m、n， 则m+n＝a，mn＝2a， ∵m2+n2＝5， ∴(m+n)2﹣2mn＝5， ∴a2﹣4a＝5，解得a1＝﹣1，a2＝5， 当a＝5时，原方程变形为x2﹣5x+10＝0，△＝25﹣4×10＜0，方程没有实数解， ∴a＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 60．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知关于x的方程有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）     （2）m＝－2      【分析】 （1）根据根的判别式得到关于m的不等式，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可得解． (1) 小问详解： 解：依题意可知：Δ≥0， 即， ∴. (2) 小问详解： 解：依题意可知： ， ∵ ∴ ∴ 解得：m＝10或－2 又∵             ∴m＝－2 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握韦达定理、根与系数的关系是解题关键． 61．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知关于x的一元二次方程：． （1）判断方程的根的情况； （2）若方程的两个根分别为，，且满足，求m的值； （3）若等腰的一边长为3，另两边的长恰好是此方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 解：方程总有实数根， 理由：∵为关于x的一元二次方程， ∴， ∵恒成立， ∴方程总有实数根．     （2）或     （3）7或8      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的性质． （1）对于一元二次方程，其判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．在本题中通过计算判别式的值来判断方程根的情况即可； （2）在方程中，利用根与系数的关系求出和的值，再结合完全平方公式以及已知条件可得到关于m的方程，进而求解m的值； （3）等腰三角形的两腰长度相等，需要分情况讨论已知边长3是腰长还是底边长，再结合方程的根来确定三角形三边的长度，最后根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出三角形的周长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知， ， ∵， ∴， 即，解得或． (3) 小问详解： 解：将方程因式分解得， 此时两根为2或m， ① 若3为腰长，则，三边为3，3，2，周长为， ② 若3为底边长，则，三边为2，2，3，周长为， 综上所述，的周长为7或8． 62．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得： 解得； (2) 小问详解： 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 【点睛】 此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． 63．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求证：该一元二次方程总有两个实数根； 若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 【答案】证明：∵， ∴该一元二次方程总有两个实数根； 动点所形成的函数图象经过点 【分析】 （1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系进行说明即可； （2）根据x1+x2=-和n=x1+x2-5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案． 【详解】 略 动点所形成的函数图象经过点，理由如下： ∵，， ∴， ∵当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 64．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，回答下列问题： （1）______，______．（用表示） （2）若方程的两个根是和，求的值． （3）已知直角，斜边长为13，三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题考查探究一元二次方程根与系数关系，读懂题意，熟练运用（1）中得到的结论是解决问题的关键． （1）对比与可得，； （2）由（1）中结论，得到，，再由，代值求解即可得到答案； （3）由勾股定理得到，再由（1）中结论得到，，从而建立一元二次方程求解得到或，分情况验证是否满足题目要求即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， 对比与可得，，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：的两个根是和， ，， ； (3) 小问详解： 解：在中，斜边长为13，三角形另两边、，则， 三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 即， ， 则， 解得或； 当时，，则，解得或，不符合题意； 当时，，解得或，符合题意； 综上所述，． 65．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根．     （2），      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于m的等式，解出m即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， ∴ ∴即： ∴，． 66．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　． 【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】 解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 67．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程中， ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；     （2） 1      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意知，，由，可得，计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的值是1． 68．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足，求实数k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）及完全平方公式的变形应用；掌握利用判别式确定参数取值范围，再结合韦达定理和代数式变形求解参数，且最终筛选符合条件的解，是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，利用判别式求出的取值范围； （2）依据韦达定理得出两根之和与两根之积的表达式；接着通过完全平方公式变形为含两根之和与两根之积的式子，列方程求解；最后结合的取值范围，确定的值为． (1) 小问详解： ∵有两个实数根， ∴， ∴， 解得：． (2) 小问详解： ∵，， ∵， ∴， 即， 解得或 ， ∵， ∴． 69．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）已知 m、n 是方程的两个根，则　　　　　　． 【答案】2008 【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解，根据m、n是方程的两根，可得，，然后整理得出表示与的式子，最后整体代入进行计算即可得出结果． 【详解】 解：m、n是方程的两个根， ，， ， 即 故答案为：2008． 70．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，由 m 是方程的根得到，由根与系数的关系得到，将所求式子变形后代入求值． 【详解】 解：∵ m 是方程 的实数根， ∴，即． 又∵ m， n 是方程 的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系，有． ∴．    故答案为 5． 71．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根；     （2）m的值为3或      【分析】 本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 72．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， 不论为何值时，方程总有实数根；     （2）或．      【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练地运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键． （1）计算判别式的值得到，利用非负数的意义得到，然后根据判别式得到结论； （2）利用根与系数的关系得到，将变形为，然后解关于m的方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据题意得， ∵即： ， ∴， 解得， ∴m的值为或． 73．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键；利用根与系数的关系得到关于的方程，然后解方程即可． 【详解】 解：∵两实数根，， ∴，， 由  ， 代入得 ， 即 ， 化简得 ， 即， 解得 ，， 又判别式  ， 即 ， 故  不符合，舍去， 符合， 故答案为：． 74．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知，是方程的二根，则 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于，的方程组 的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）根据，是方程的二根，求出，的值，即可求出的值； （2）根据，，得出，，、是方程的解，再根据，即可求出的最小值； （3）运用根与系数的关系求出，，再解，即可求出的值． (1) 小问详解： 解：∵，是方程的二根， ∴，， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴，， ∴、是方程的解， ∴， ∴， ∵是正数， ∴， ∴， ∴， ∴正数的最小值是； (3) 小问详解： 存在，当时，．理由如下： ∵ ， 由① 得：， 由② 得：， ∴，即， 由题意思可知，，是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 则， ∵ 和 是关于，的方程组 的两个不相等的实数解， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 【点睛】 本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．也考查了一元二次方程根的判别式，不等式、二元一次方程组及一元二次方程的解法． 75．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程的解为_________ （2）利用上述方法求下列方程中的值： （3）拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 【答案】（1），，，     （2）5     （3）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； (2) 小问详解： 解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴； 故答案为：． 76．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．由m，n是方程的两个实数根可得：，代入所求式子即可得到答案． 【详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 77．（25-26学年九上·四川资阳·期中）设是方程的两实数根，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】 ∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】 此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意可知：裁剪后的底面的长为cm，宽为cm，从而根据底面积可以列出相应的方程即可． 【详解】 解：由题意可得，裁剪后的底面的长为cm，宽为cm， ∴， 故选：C． 【点睛】 题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据面积列出方程是解题关键． 2．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是，根据关键语句“连续两次降价后为81元”可得答案． 【详解】 解：由题意得：． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 3．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：， 故选：D． 4．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（       ） A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 【答案】B 【分析】 根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，由此列出方程即可得． 【详解】 解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 则可列方程为， 故选：B． 【点睛】 本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 5．（25-26学年九上·四川成都·期中）随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解增长率的计算，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． 根据年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，则2023年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年国产新能源汽车出口量为，即达到了210万辆，由此列式即可． 【详解】 解：设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆， ∴， 故选：B ． 6．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：根据题意得：． 故选：C． 7．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．根据日平均增长率x，分别计算三天的下载量：首日40万次，第二天万次，第三天万次，三天总和等于万次，进行作答． 【详解】 解：∵首日下载量：40万次， ∴第二天下载量：万次， ∴第三天下载量：万次， ∴三天累计下载量：万次， 故选：C 8．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）开州区政府一直致力于推销开州土特产，每年都取得了骄人的成绩，为老百姓谋福利、做实事，其中开州冰薄月饼在2023年中秋节期间成交额达到了1500万元，创下了历年来最好成绩，在区政府每年的助推下，开州冰薄作为开州特产之一，取得了看得见的成果，预计到2025年，冰薄月饼成交额将达到3000万元，设平均每年的成交额增长率为x，可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为．根据题意得出2024年成交额达到了台，2025年为台，列出方程即可． 【详解】 解：根据题意：2025年为台． 则； 故选：C． 9．（25-26学年九上·四川巴中·期末）2023年光雾山红叶节期间，接待游客约60万人次；2025年，新增低空飞行、玻璃水滑道等体验项目后，游客量跃升至102.2万人次．若设这两年游客量的年平均增长率为，则根据题意列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据年平均增长率的定义，从2023年到2025年经过2年，增长率为x，列方程即可． 【详解】 解：设年平均增长率为x， 由题意可得， 故选：C． 10．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 直接利用直角三角形面积求法列出方程即可． 【详解】 解：由题意可得：， 即，故D正确． 故选：D 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，难度不大． 11．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，设长比宽多步，则长为步，宽为步，再根据矩形面积公式，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键． 【详解】 解：设长比宽多步， 由题意得，， 故选B． 12．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 ∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x， ∴第二个月进馆人次，第三个月进馆人次， 根据题意得：． 故选：A． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题依题意可知四月份的人数＝25（1＋x），则五月份的人数为：25（1＋x）（1＋x），列方程25（1＋x）2＝64即可得出答案． 【详解】 解：设每月的平均增长率为x，依题意得： ． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2＝现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用＋，减少用−． 14．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破． 把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可． 【详解】 解：由题意得：． 故选：A． 15．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支，以及1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，列出一元二次方程即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】 解：由题意，得：1个主干上有x个支干，x个支干上共有个小分支， ∴可列方程为：， 故选C． 16．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）随着人工智能技术的飞速发展，华兴科技股份有限公司也投入大量资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，则该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设年平均增长率为x， ∵ 2024年投入为1200万元， 2025年投入为万元， 2026年投入为万元， ∴ ， 故选：A 17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用—增长率问题． 根据一月份的营业额，计算二月份和三月份的营业额，利用第一季度总营业额列方程即可． 【详解】 解：一月份营业额为200万元， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， ∴第一季度总营业额为． 故选：D． 18．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出、年投入研发资金，结合到年累计三年共投入研发资金万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 19．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽为∶ m，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解∶道路的宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得∶． 故选∶C． 20．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】 解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 21．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得： ； 故选D． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 22．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（       ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】A 【分析】 设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，根据花草的种植面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】 解：设小路宽为，则种植花草部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积， 依题意得： 解得：，（不合题意，舍去）， ∴小路宽为． 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设每个支干分出个小分支，根据题意列出方程并求解即可，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设每个支干分出个小分支， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 故选：． 24．（25-26学年九上·四川资阳·期中）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可. 【详解】 设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得： 故选：C. 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系. 25．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，理解连续两次降价的关系是解题关键． 设平均每次降价的百分率为x，根据连续两次降价，每次降价后的价格是原价的倍，据此列出方程即可． 【详解】 解：∵原价为144元，连续两次降价，每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后的价格为：元， 第二次降价后的价格为：元， 根据题意，第二次降价后售价为121元， ∴列方程：． 故选C． 26．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 通过连续两次降价后，我省某地的房屋价格原价为8400元/米，售价变为6000元/米，可列方程． 【详解】 解：设连续两次降价， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查增长率问题，知道经过两次变化，知道变化前和变化后的结果，从而可列方程． 27．（2025·四川宜宾·质量监测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，熟练掌握根据图形边长关系列方程的方法是解题的关键． 先根据车道宽度米，求出停车位区域的长和宽，再根据停车位面积=停车位长×停车位宽列出方程，最后对照选项选出正确答案． 【详解】 解：设停车场内车道的宽度为米， 根据题意得，， 故选：A． 28．（2025·四川宜宾·质量监测）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（     ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 29．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 11或8 D. 以上都不对 【答案】B 【详解】试题分析：求出方程的解，根据三角形的三边关系看是否能组成三角形，再求出三角形的周长即可． 解：x2-7x+10=0， ∴（x-2）（x-5）=0，x-2=0，x-5=0， ∴x1=2，x2=5， 根据三角形的三边关系定理，x=2不合题意，x=5能组成三角形， ∴第三边的长是5，周长是2+4+5=11， 故选B． 考点：1．解一元二次方程——因式分解法；2．三角形的三边关系． 30．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式列出方程即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】 解：设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成为长为，宽为的矩形， 由题意得，， 故选：． 31．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】 第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2， 所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850， 故答案为：D. 32．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案． 设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】 解：利用平移，原图可转化为如图， 设小路宽为， 根据题意得：． 故选：A． 33．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，初三我班劳动实践基地为一块长、宽的矩形菜园．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了面积问题一元二次方程的应用，解决此题的关键是理解题意列出方程；根据小道是等宽的可以把所有的种植面积平移到一起，相当于种植面积是以长为，宽为的长方形，进而得到方程即可； 【详解】 解：由题意可得方程为：． 故选A． 34．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出二月份产值为万元，三月份产值为万元，再根据第一季度总产值为330万元列出方程即可得． 【详解】 解：∵某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为， ∴该厂二月份产值为万元，三月份产值为万元， ∵第一季度总产值为330万元， ∴可列方程为， 故选：C． 35．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（     ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④ 【答案】C 【分析】 先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断① 正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断② 错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③ 正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④ 正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤ 正确． 【详解】 解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论① 正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论② 错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③ 正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④ 正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤ 正确； 综上，所有正确结论的序号是① ③ ④ ⑤ ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 36．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）一张长为，宽为的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，设正方形的边长为，依据题意可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 设剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（30−2x）cm，宽为（20−2x）cm，然后根据底面积是即可列出方程求出即可． 【详解】 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 ． 故答案为：． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 37．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）30个，1050元     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键． （1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价元，则每件利润元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程，解方程，再进行取舍即可． (1) 小问详解： 解：（个）； （元）． 答：平均每天可以售出30个模型，此时每天获利1050元； (2) 小问详解： 设每个模型应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又每个模型盈利不超过25元， ． 答：每个模型应降价20元． 38．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】利用min{a，b}的含义分类讨论：若x≥-x时，代入解方程即可，若x＜-x时，代入解方程即可. 【详解】解：① 当x≥-x，即x≥0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=-x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴-x=x2-1 解得 ∵此时x≥0，故不符合，故舍去； ② 当x＜-x，即x＜0时，根据min{a，b}的含义 ∴min{x，-x}=x 又∵min{x，-x}=x2-1 ∴x=x2-1 解得： ∵此时x＜0，故不符合，故舍去； 综上所述：方程min{x，-x}=x2-1的解是：. 【点睛】此题考查的是利用min{a，b}的含义进行分类讨论题，分类讨论时要注意先写清前提条件，解出方程后再根据前提条件判断方程的解是否满足即可. 39．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）     （2）20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可； （2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价降低y元， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∵， ∴为了尽量减少库存，售价应降低20元． 40．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同． （1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？ （2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出50辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出5辆，求该型号自行车降价多少元时，每月可获利30000元？ 【答案】（1）该型号自行车的进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价100元或200元时，每月可获利30000元． 【分析】（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1+50%）x元，根据利润＝售价﹣进价结合按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设该型号自行车降价y元，则平均每月可售出（50+y）辆，根据总利润＝每辆的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1+50%）x元， 依题意，得：8×[0.9×（1+50%）x﹣x]＝7×[（1+50%）x﹣100﹣x]， 解得：x＝1000， ∴（1+50%）x＝1500． 答：该型号自行车的进价为1000元，标价为1500元． （2）设该型号自行车降价y元，则平均每月可售出（50+y）辆， 依题意，得：（1500﹣1000﹣y）（50+y）＝30000， 整理，得：y2﹣300y+20000＝0， 解得：y1＝100，y2＝200． 答：该型号自行车降价100元或200元时，每月可获利30000元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 41．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）（多选）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【分析】 （1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】 解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 42．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． 43．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）某商场在促销活动中，将原价25元的商品，连续两次降价后，现价为16元．则降价率为　　　　　　　　　　　． 【答案】20% 【分析】 设该商品平均降价率为x，根据“原价25元的商品，连续两次降价后，现价为16元”得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】 解：设该商品平均降价率为x， 根据题意得：25×（1−x）2＝16， 解得：x＝20%或x＝−180%（舍去）． 故答案为：20%． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 44．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每人需送出张贺卡，进而求出全组共送的数量，再根据等量关系“全组共送贺卡张”， 列方程即可． 【详解】 解：这个小组共有人，每人需送出张贺卡， 全组共送贺卡张， 全组共送贺卡张， ， 故答案为：． 45．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，在长、宽的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 【答案】2米 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设道路的宽为x米，由题意易得方程，进而求解即可． 【详解】 解：设道路的宽为x米． 根据题意，得：， 整理得：，即， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：道路的宽应为2米． 46．（25-26学年九上·四川成都·期中）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 【答案】这种台灯售价定为元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；设这种台灯应涨价元，那么就少卖出个，根据利润每个台灯的利润销售量，可列方程求解． 【详解】 解：设这种台灯应涨价元，依题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去） （元） 答：这种台灯售价定为元． 47．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 【答案】边的长为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设边的长为，则边的长为，根据矩形面积公式列出一元二次方程，解方程并结合墙的长度为，即可得出结果． 【详解】 解：设边的长为，则边的长为． 由题意，得 整理，得， 解得，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：边的长为． 48．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 【答案】（1）     （2）6元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，根据2022年的种植面积2020年的种植面积建立方程，解方程即可得； （2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，根据利润（售价进价）销售量建立方程，解方程可得的值，再根据该水果售价不能超过15元/千克即可得． (1) 小问详解： 解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克， 由题意得：， 解得或， ∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克， ， 解得， 所以， 答：售价应上涨6元． 49．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）     （2）50      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 50．（2025·四川宜宾·质量监测）今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 【答案】（1）     （2）m的值为      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款电视机每次降价的百分率是x，根据原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据商家所获的总利润为元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该款电视机每次降价的百分率是x， 由题意得： 解得：，不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是； (2) 小问详解： 解：由题意得： 整理得： 解得：，. 尽可能让利于顾客， . 答：m的值为 51．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元． （1）求该电商这两年销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？ 【答案】（1）该电商这两年销售额的平均年增长率为     （2）每件售价应为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该电商这两年销售额的平均年增长率，根据题意列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件，根据要每天获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设该电商这两年销售额的平均年增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：该电商这两年销售额的平均年增长率为； (2) 小问详解： 解：设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 要尽量减少库存， ， （元）． 答：每件售价应为元． 52．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　名． 【答案】30 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意准确列出方程是解题的关键． 设班级学生总人数为x名，则每名同学发送条短信，总短信数为，解一元二次方程即可． 【详解】 设班级学生总人数为x名，则每名同学需发送条祝福短信． 根据题意，得．整理得． 解方程，得． 由于x表示人数，不符合题意，舍去． 则这个班级的学生总人数是名． 故答案为：30． 53．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）某商场有A，B两款电器．已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求每台B款电器的售价； （2）经统计，商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元．为了尽快减少库存，该商场决定采取适当的降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）240元     （2）降价40元      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用． （1）设每台B款电器的售价为元，根据等量关系“用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”，列方程解答即可； （2）每台A款电器应降价m元，根据“每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台”，可知A款电器的销售量为台，由此列出方程解答即可． (1) 小问详解： 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每台B款电器的售价为240元； (2) 小问详解： 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每台A款电器应降价40元． 54．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． （1）求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率；     （2）每件衬衫应降价20元；      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键； （1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果． (1) 小问详解： 解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x 由题意得： 解得：或（不合题意，舍去） 答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； (2) 小问详解： 解：设每件衬衫应降价m元 由题意得： 整理得：，即 解得：或 因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存 所以 答：每件衬衫应降价20元． 55．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是；     （2）售价应降低元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率是， 利用10月份的销售量月份的销售量（月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为件，利用每天销售该公仔获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率是，依题意得： ， 解得：，(不合题意，舍去)， 答：月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为)元，每天的销售量为 件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要尽量减少库存， ， 答：售价应降低元． 56．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． （1）该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ （2）每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 【答案】（1）A型充电器售价200元，B型充电器售价240元．     （2）每台B型充电器应降价30元．      【分析】 本题考查分式方程和一元二次方程的应用． （1）通过设A型售价为x元，B型售价为元，根据购买数量相等列分式方程求解； （2）设每台B型降价m元，根据利润目标列一元二次方程，并选择符合减少库存条件的解． (1) 小问详解： 解：设A型充电器售价为x元，则B型充电器售价为元． 根据题意，得 ． 解得． 检验：当时，，且符合题意， 故原方程的解为． ∴B型充电器售价为元． 答：A型充电器售价200元，B型充电器售价240元； (2) 小问详解： 解：设每台B型充电器降价m元．降价后每台利润为元． 降价后每月售出台数为台． 根据题意，得． 整理得，． 解得，． ∵要尽快减少库存， ∴选择降价较多的． 答：每台B型充电器应降价30元． 57．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）日平均增长率为     （2）每个玩偶降价元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 58．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 【答案】（1）     （2）70      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔6月份的销售量=该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用总利润=每个该品牌头盔的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． (1) 小问详解： 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该品牌头盔的实际售价应定为m元/个，则每个该品牌头盔的销售利润为元，月销售量为个， 根据题意得：， 解得，， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． ∴该品牌头盔的实际售价应定为70元/个． 59．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱． （1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率； （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？ 【答案】（1）八、九两月的月平均增长率为．     （2）当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． （1）设八、九两月的月平均增长率为x，利用九月的销售量＝七月的销售量八、九两月的月平均增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱，利用总利润＝每箱的销售利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设八、九两月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：八、九两月的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设该水果每箱降价y元，则每箱盈利元，月销售量为箱， 依题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)． 答：当该水果每箱降价3元时，超市十月获利4565元． 60．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是     （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元      【分析】 本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． (1) 小问详解： 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； (2) 小问详解： 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 61．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为     （2）该品牌头盔每个应涨价5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． (1) 小问详解： 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 62．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）20%     （2）18个      【分析】 （1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可； （2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可． (1) 小问详解： 解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 根据题意得：， 解这个方程得，，， 经检验，符合本题要求． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． (2) 小问详解： 设该市在2022年可以改造个老旧小区， 由题意得：， 解得． ∵为正整数，∴最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式． 63．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）     （2）该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，        根据题意得：，        解得：，（不符合题意，舍去）．        答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，        根据题意得：，        整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．        答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 64．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）商场两次购进两款巧克力．第一次购进A款巧克力50件，款巧克力70件，共4300元，第二次购进A款巧克力120件，款巧克力90件，共7200元． （1）求两款巧克力的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款巧克力销售完，决定对A款巧克力进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降1元，每周就可以多卖10个，请问商场将每个A款巧克力降价多少元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元？ 【答案】（1）A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元     （2）商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元      【分析】 本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，然后根据题意可得方程组为 ，进而求解即可； （2）设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，则有销售量为个，然后可得方程，进而求解即可 (1) 小问详解： 解：设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，由题意得： ， 解得： ； 答：A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元． (2) 小问详解： 解：设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，由题意得： ， 解得：， ∵商场为了尽快将A款巧克力销售完， ∴； 答：商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元． 65．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）今年的“双十一”购物节期间，某官方旗舰店开展“拉布布”系列商品促销活动．商家记录了拉布布玩偶从9月初至11月初的销售数据，9月初售出500个，11月初售出980个，9月至11月的销量月增长率保持一致． （1）求该玩偶销量的月增长率； （2）若玩偶的成本价为58元/个，通过市场调研发现，当售价定为98元/个时，月销量可达800个；若在此基础上售价每提升2元/个，则月销量会减少20个．为了实现月销售利润达到35000元，并尽可能让利于顾客，问该玩偶每个的定价应为多少元？ 【答案】（1）设该玩偶销售量的月增长率为；     （2）该玩偶每个售价应定为108元．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该玩偶销售量的月增长率为x，根据该玩偶9月初售出500个，11月初售出980个列出方程求解即可； （2）设该玩偶每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解；设该玩偶销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得，（不合题意，舍去） 答：设该玩偶销售量的月增长率为； (2) 小问详解： 解：设该玩偶每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得， 解得，， 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该玩偶每个售价应定为108元． 66．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）年月日，龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，条生产线最大产能是万个/季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1）     （2）条      【分析】 本题考查一元二次方程的应用， （1）设前三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量（前三季度生产量的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出结论； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：设前三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：前三季度生产量的平均增长率为； (2) 小问详解： 设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴， 答：应该再增加条生产线． 67．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张话剧票的原定零售票价； （2）为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求平均每次降价的百分率． 【答案】（1）50     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要对分式方程的解进行验根． （1）设每张话剧票的原定零售票价为元，则降价后的价格为元，根据按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可； （2）设平均每次的降价率为，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，列出方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：设每张话剧票的原定零售票价为元，则降价后的价格为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每张话剧票的原定零售票价为50元． (2) 小问详解： 解：设原定票价平均每次的降价率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：原定票价平均每次的降价率为． 68．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗，某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼进行零售，当以80元/盒的价格售出时，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）但经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，后续销售量还会持续降低，现甜品店为了尽快售完剩余月饼，故采用降价促销，经过调查发现，当该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加2盒．已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元？ 【答案】（1）     （2）降价4元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x，根据第一周销售50盒，第三周的销售量达到72盒，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该口味月饼每盒降价y元，根据利润（售价成本）销售量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该口味月饼每盒降价y元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当该口味月饼每盒降价4元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元． 69．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）某批发商以每件元的价格购进件T恤，第一个月以单价元销售，售出了件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二个月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低x元． （1）填表 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（件） 200 ______ ______ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利元，那么第二个月的单价应为多少元？ 【答案】（1），，     （2）      【分析】 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．根据题意正确的表示单价，销售量，并正确的列方程是解题的关键． （1）由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量根据，计算求解，然后补表即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． (1) 小问详解： 解：由题意知，第二月的单价为元，销售量为件，清仓时的销售量为件， 补表如下： 故答案为：，，； 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 (2) 小问详解： 解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵当时，，与题意矛盾， ∴（舍去）， ∴， ∴， ∴第二个月的单价应为元． 70．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）     （2）5元      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出数量关系，列出等式是解题关键． （1）设月平均增长率为x，那么3月份销售额为，4月份销售额为，根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可； （2）设售价应降低元，那么每天可以卖出千克，每千克的利润为元，然后根据题意可列出关于的一元二次方程，解出，再舍去不合题意的解即可． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为x，根据题意，得 ． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元，根据题意，得 ． 整理得， 解得：，． ∵要尽量减少库存， ∴不合题意，舍去， ， 答：售价应降低5元． 71．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 【答案】（1）某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元     （2），     （3）每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元      【分析】 （1）根据盈利单件利润销售数量即可得出结论； （2）根据每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额； （3）根据盈利单件利润销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值． (1) 小问详解： 解：当天获利：（元）； 答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元； (2) 小问详解： 解：∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：， ∵商城要尽快减少库存， ． 答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题关键． 72．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）     （2）3元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x．根据两年时间种植面积由80公顷变为公顷列出方程求解即可； （2）设售价应降低y元，则每千克的利润为元，销售量为，再由总利润为1750列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为x． 由题意，得， 解得（舍去）． 答：该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率为． (2) 小问详解： 解：设售价应降低y元． 由题意，得， 整理得 解得． ∵要尽快减少库存， ∴． 答：售价应降低3元． 73．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）某花店用3600元按批发价购买了一批花卉，若将批发价降低，则可以多购买该花卉20盆，市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆．若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）该花卉每盆批发是多少元？ （2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？ 【答案】（1）20元；（2）30元 【分析】 （1）利用题意得出关于x的分式方程，解得x的值并检验和作答即可； （2）设该花卉每盆售价是x元，由题意得关于x 的一元二次方程，解得x的值并根据销量尽可能大得出答案即可. 【详解】 解：（1）设该花卉每盆批发价是x元，由题意得： (3600) /(x)=(3600) /(( 1-10% )x)-20， 解得：x=20， 经检验x=20是原方程的解． 答：该花卉每盆批发价是20元． （2）设该花卉每盆售价是x元，由题意得： （x-20）[25-（x-25）]=200， 化简得：x2-70x+1200=0， 解得：x1=30，x2=40， ∵销量尽可能大， ∴x=30． 答：该花卉每盆售价是30元． 【点睛】 本题考查了分式方程、一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键． 74．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）某商场今年初以每件40元的进价购进一品商品，当商品销售价为60元时，一月份销售64件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三月份这两个平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均销售增长率； （2）从四月起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店按原售价的几折出售，商场月获利2240元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为     （2）该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据一元二次方程的增长率模型可得方程，解方程后根据题意舍去不合题意的根即可得到答案； （2）设该商品每件降价y元，则每件盈利元，利用总利润等于单件的利润乘以销售量得到方程，解方程并根据尽可能让利于顾客即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设二、三这两个月的月平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设该商品每件降价y元，则每件盈利元，月销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽可能让利于顾客， ∴， ∴ 答：该店按原售价的9折出售，商场月获利2240元． 75．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，直接利用已知表示出八、九月份的用户数量进而得出等式求出答案． 【详解】 解：设八、九月份用户数量的月平均增长率为x，则八月份用户数量为亿，九月份用户数量为亿， 根据题意可得方程为：． 故答案为：． 76．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多7个，购买哪吒手办共需1105元，敖丙手办共需500元． （1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ （2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值． 【答案】（1）哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元     （2）m的值为4      【分析】 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）由（1）得出计划购买敖丙手办10个，哪吒手办17个，根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为元，根据题意得， ， 解得 ， 经检验是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：哪吒手办的单价为65元，敖丙手办的单价为50元； (2) 小问详解： 由（1）可得计划购买敖丙手办个，哪吒手办个， 根据题意得，， 解得 或（舍去）， 答：m的值为4． 77．（25-26学年九上·四川成都·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？请说明理由； （2）这两个正方形的面积之和可能等于吗？请说明理由． 【答案】（1） 解：设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， 依题意列方程得 ， 整理得：， ， 解方程得，， ，； 因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是、；     （2） 解：当，即时， 解得，， ，得，，均不符合题意，舍去， 这两个正方形的面积之和不可能等于．      【分析】$ 专题03 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）关于的方程，下列说法错误的是（     ） A. 二次项系数为1 B. 一次项系数为 C. 常数项为0 D. 它是一元二次方程 2．（25-26学年九上·四川巴中·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知是关于的一元二次方程，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  6．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ）． A. 9，5， B. 9，4， C. 9，，4 D. 9，，5 7．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（       ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣4 D. 4 9．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）一元二次方程的一次项系数是（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  11．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A.  B.  C. 5 D. 7 14．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）下列方程中是一元二次方程的是（          ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数是（       ）． A.  B. 0 C. 1 D. 2 17．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（       ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 18．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数．一次项系数．常数项分别是() A. 1，，8 B. ，2，8 C. 1，2， D. 1，2，8 20．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）下列方程中是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（       ） A. 3，5 B. 3，﹣5 C. ﹣4，5 D. ﹣4，﹣5 22．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）下列是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）一元二次方程 x2-3x=﹣6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（       ） A. 1、3、6 B. 1、3、-6 C. 1、-3、6 D. 1、-3、-6 27．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 28．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是（   ） A.  B. 1 C. 1或 D. 或0 29．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）下列方程中，是一元二次方程的为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B. （为常数） C.  D.  31．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D.  33．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（     ） A. 1 B.  C. 1或 D. 0 35．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）下列方程中，判断中错误的是（       ） A. 方程是分式方程 B. 方程是二元二次方程 C. 方程是无理方程 D. 方程是一元二次方程 37．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）一元二次方程x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(　　) A. 1，2，﹣1 B. 1，﹣2，1 C. ﹣1，﹣2，1 D. 1，﹣2，﹣1 38．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知为一元二次方程的一个根，那么的值为（     ） A. 2026 B.  C. 0 D. 4052 39．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  41．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 1 42．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（       ） A. 4 B. 2 C.  D.  43．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A. m＝4 B. m＝2 C. m＝2或m＝﹣2 D. m＝﹣2 45．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（     ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 46．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 47．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0有一根为x＝﹣3，则k的值为　　　　． 48．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）已知是方程的一个根，则的值是　　　　　　　　． 49．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则k值为　　　　　　． 50．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）若是一元二次方程的解，则m的值　　　　　　　　　. 51．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　． 52．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　． 53．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知是关于的一元二次方程，则　　　　　　　　　　　． 54．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知关于的方程（为常数，）的解是，那么方程的解是　　　　　　． 55．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则　　　　　　　　． 56．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知是关于的方程的一个根，则　　　　． 57．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　　　　　　． 58．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）若是关于的一元二次方程的解，则的值为　　　　　　． 59．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）一元二次方程化成一般形式后为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的　　　　　　． 61．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）材料1：如果一个有理函数的分子多项式的次数小于分母多项式的次数，则称该分式为真分式．如果一个有理函数的分子多项式的次数大于或等于分母多项式的次数，则称该分式为假分式． 材料2：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 已知函数． （1）将函数拆分成整式与真分式的和的形式； （2）若直线与函数的图象恰好只有一个交点，求实数的值； （3）若点都在函数图象上，当时，求的最小值． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）用配方法解方程，下列配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）用配方法解方程时，应将其变形为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（        ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）方程经过配方法化为的形式，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）用配方法解方程：，则配方结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）用配方法解方程时，配方后正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）将一元二次方程配方，其正确的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（　　） A. =1 B. =1 C. =7 D. =4 12．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）一元二次方程，配方为，则的值是　　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）解下列方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 14．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）把方程化成的形式为　　　　　　　　　　　； 15．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）将一元二次方程化成的形式，则　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）（1）解方程：； （2）计算： 17．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）解方程： （1）x2－6x－4＝0；              （2）3x(x－2)＝2x－4． 18．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）（1）计算： （2）解方程： （3）解不等式组： 19．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的值． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·四川巴中·期末）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2025·四川宜宾·质量监测）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若max=，则x的值是（       ） A. －1 B. －1或 C.  D. 1或 3．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 4．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 5．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  6．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）关于方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 7．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）一元二次方程x2+3x+5＝0的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 8．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是(     ) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）下列一元二次方程没有实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知、、为常数，点在第四象限，则关于的一元二次方程的根的情况为（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 11．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1 12．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）关于x的方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 13．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（       ） A.  B.  C. 且 D. 且 14．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是【 】 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 15．（25-26学年九上·四川成都·期中）一元二次方程根的情况是（       ）． A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 16．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）一元二次方程的根的情况为（       ） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 17．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A. 1或 B.  C. 1 D. 2 18．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）对于一元二次方程（a≠0），下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的个数为（     ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 20．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.  B.  C. 且 D. 且 22．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④存在实数，使得； 其中正确的（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 23．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（　　） A.  B. 且 C. 且 D.  24．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）关于x的方程x2＋4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　． 25．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为　　　　　　． 26．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　　　　　　　． 27．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）已知关于 的一元二次方程无实数根，那么m的取值范围是　　　　． 28．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　　　　　　． 30．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是　． 31．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）解方程：（用公式法） 33．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是　　　　　　． 35．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 36．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个根小于3，求k的取值范围． 37．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）计算： （1）计算： （2）解方程：； 38．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 40．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）若关于x的方程有两个实数根，则a应满足　　　　　　　　 41．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）计算，解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 43．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于，求的取值范围． 44．（25-26学年九上·四川资阳·期中）若关于x的一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第　　　　　　　　　　象限． 45．（25-26学年九上·四川资阳·期中）（1）计算： （2）解方程： 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）方程x（x+3）＝0的根是（　　） A. x＝0 B. x＝﹣3 C. x1＝0，x2＝3 D. x1＝0，x2＝﹣3 2．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）等边三角形的三边分别为，，，且满足方程，则方程的两根为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 10或14 4．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）方程的解是（     ） A. 2或0 B. 或0 C.  D. 或0 5．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）若 , 则=（    ） A. 或 B. 或 C.  D.  6．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）已知方程的解是，则另一个方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 8．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）若，则的值为（       ） A. 1 B. 9 C. 9或1 D. 无法确定 9．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形的周长为(       ) A. 8 B. 11 C. 8或10 D. 8或11 10．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）解方程： （1）； （2）． 11．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）解方程： （1）； （2）． 12．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2） 13．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 14．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）解方程： （1） （2） 15．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是　　　． 17．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）（1）解方程：． （2）为何值时，代数式与的值相等？ 19．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）解方程： （1）； （2） 20．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）解一元二次方程： （1） （2） 21．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）一元二次方程的根是　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）解方程：． 23．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）解方程：． 24．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）解下列一元二次方程． （1）； （2）． 25．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期末）（1）计算： （2）解方程： 26．（25-26学年九上·四川巴中·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 27．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）解方程： （1） （2） （3） （4） 28．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）计算与解方程 （1）计算：； （2）解方程： 29．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）若能分解为两个一次因式的积，则的值为　　　　　　. 30．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 31．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）解下列方程 （1）； （2）． 32．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 33．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 34．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）解方程： （1）； （2）； （3）． 35．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）用适当的方法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 36．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）解方程 （1） （2） 37．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）计算： （1）计算： （2）解方程： 38．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）解方程： （1）； （2）． 39．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 40．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 41．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围． 42．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）解方程： （1）； （2）； 43．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 44．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）先化简再求值：（x+1﹣）÷，其中x是方程x2+2x﹣3＝0的根． 45．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）解方程或不等式组． （1）； （2）； （3）； （4） ． 46．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）解方程． （1） ； （2）； （3）； （4） ； （5）． 47．（25-26学年九上·四川成都·期中）解方程 （1） （2） （3） 48．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）解方程： （1） （2）． 49．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）解方程 （1）； （2）． 50．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式，， 解：可化为， 材料2：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1） 或（2） ， 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． （1）直接写出不等式的解集是___________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的的值． 51．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于x的二次多项式 若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义 和 为多项式 的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如： 当或时， 的值为0，则多项式 的“零值”为 和 的“对称值”为 ． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式 的“零值”为          ，“对称值”为          ； （2）若关于x的多项式 的两个“零值”相等，求m的值以及多项式 的“对称值”； （3）若关于x的多项式 有一个“零值”为，关于x的另一个多项式 与多项式 的“对称值”相同，且多项式 的两个“零值”之比是， 求a，b，c的值． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A.  B.  C.  D.  2．（2025·四川宜宾·质量监测）设a，b是方程的两个实数根，则的值是（       ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2027 3．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则两根之积是（       ） A.  B. 5 C. 或5 D. 2或 4．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（       ） A. 0 B. －10 C. 3 D. 10 5．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知，且，，则（       ） A.  B. 2 C. 3 D. 9 6．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为（                 ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x+1＝0的两个实数根，则x1•x2等于（　　） A. ﹣2 B. ﹣ C.  D. 2 8．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）若、是方程的两个实数根，则代数式的值为（     ） A.  B.  C. 2011 D. 2023 9．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（       ） A. 3 B.  C. 3或1 D. 或1 10．（25-26学年九上·四川巴中·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）若 ，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知实数a，b分别是方程两根，则的值是　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）阅读材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则 ．请解决下面的问题：已知一元二次方程有两个实数根，则的值等于　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）已知一元二次方程的两个根为，则的值为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知实数、满足，，且，则的值是　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）若的两个根为、，则的值是　　　　　　． 19．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知，是方程的两个根，那么　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则　　　　　． 21．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）已知是方程的两个根，则　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于　　　　　　． 23．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知是方程的两个实数根，则代数式　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知a和b是方程的两个解，则的值为　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）设分别为一元二次方程的两个实数根，则　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·四川成都·期中）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是　　　　　　． 27．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 28．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）若，是一元二次方程的两根，则的值是　　　　 29．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 30．（2025·四川宜宾·质量监测）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根， （1）求的取值范围： （2）若，试求的值． 31．（25-26学年九上·四川巴中·期末）已知关于的一元二次方程． （1）不解方程，说明此方程的根的情况； （2）设此方程的两个实数根分别是，，且满足，求的值． 32．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为　　　　　　． 33．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）已知关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k﹣1＝0 （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若x1，x2为该方程的两个实数根，且满足x1（x2﹣2）＝2x2，求k的值． 34．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）已知x1，x2是一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两实数根，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，实数m的值为　　　　　　　　． 35．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，，且两个根的平方和为7，则　　　　　　． 36．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数　　　　　． 37．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）已知关于x的一元二次方程，若有两个实数根和． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 38．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 39．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）若为该方程的两个实数根，且满足． ①求k的值； ②若菱形的一条对角线的长为，另一条对角线的长为，求菱形的面积． 40．（2026·四川巴中平昌中学·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m+4=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若x1，x2满足2x1=|x2|+3，求m的值． 41．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）若、是方程的两根，则的值是　　　　　． 43．（25-26学年九上·四川广安友谊中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 44．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 45．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式　　　　　　． 46．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）分已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m=0有两个实数根x1，x2． （1）求m的取值范围． （2）若|x1|=|x2|，求m的值及方程的根． 47．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的最大整数值； （2）在（1）的条件下，方程的实数根是，求代数式的值． 48．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）已知在等腰三角形中，三边长分别为a、b、c，其中，b、c恰好是方程的两个实数根． （1）求证：方程总有两个实数根 （2）求△ABC的周长 49．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）已知是方程的两个实数根，则　　． 50．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）若，是方程的两根，则　　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 52．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”，那么 （1）根据以上定义，一元二次方程　　　　　　（填“是”或“不是”）“倍根方程”； （2）若点是在双曲线图象上的点，同时关于的方程也是倍根方程，则　　　　　　． 53．（25-26学年九上·四川南充白塔中学·期中）已知 关于x的一元二次方程． 求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 54．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）已知关于x的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由． 55．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若满足，则k的值为　　　　　　　　　　　 56．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）一元二次方程的两根分别是、，则　　　　　　． 57．（25-26学年九上·四川资阳·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为，且满足，求实数的值． 58．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为　　　　　　　　． 59．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）关于x的方程x2﹣ax+2a＝0的两根的平方和是5，则a的值　　　　　． 60．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）已知关于x的方程有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值． 61．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）已知关于x的一元二次方程：． （1）判断方程的根的情况； （2）若方程的两个根分别为，，且满足，求m的值； （3）若等腰的一边长为3，另两边的长恰好是此方程的两个根，求的周长． 62．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 63．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求证：该一元二次方程总有两个实数根； 若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 64．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）设一元二次方程有两个根，，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，回答下列问题： （1）______，______．（用表示） （2）若方程的两个根是和，求的值． （3）已知直角，斜边长为13，三角形另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 65．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 66．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　． 67．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 68．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）已知关于x的方程有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足，求实数k的值． 69．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）已知 m、n 是方程的两个根，则　　　　　　． 70．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　． 71．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，且，求m的值． 72．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）证明：不论m为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为，且满足，求m的值． 73．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）已知关于x的一元二次方程两实数根，满足 ，求k的值为　　　　　； 74．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）如果方程有两个实数根，，那么，，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知，是方程的二根，则 （2）已知、、满足，，求正数的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于，的方程组 的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 75．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：方程的解为_________ （2）利用上述方法求下列方程中的值： （3）拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 76．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　． 77．（25-26学年九上·四川资阳·期中）设是方程的两实数根，则　　　　　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）小匡同学从市场上买一块长80cm、宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）某商品原价100元，经连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（       ） A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 5．（25-26学年九上·四川成都·期中）随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(       ) A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）2025年2月份，我国自主研发的软件一经发布，便占据各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为40万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了200万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）开州区政府一直致力于推销开州土特产，每年都取得了骄人的成绩，为老百姓谋福利、做实事，其中开州冰薄月饼在2023年中秋节期间成交额达到了1500万元，创下了历年来最好成绩，在区政府每年的助推下，开州冰薄作为开州特产之一，取得了看得见的成果，预计到2025年，冰薄月饼成交额将达到3000万元，设平均每年的成交额增长率为x，可列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川巴中·期末）2023年光雾山红叶节期间，接待游客约60万人次；2025年，新增低空飞行、玻璃水滑道等体验项目后，游客量跃升至102.2万人次．若设这两年游客量的年平均增长率为，则根据题意列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为x，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽多多少步？若设长比宽多步，则下列符合题意的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出个支干，每个支干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）随着人工智能技术的飞速发展，华兴科技股份有限公司也投入大量资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2024年投入研发资金为1200万元，到2026年累计共投入研发资金4368万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，则该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均月增长率为x， 则由题意列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·四川宜宾第二中学校·期中）随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在年投入研发资金为万元，到年累计共投入研发资金万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·四川阆中中学校·期中）如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（       ） A.  B.  C. 或 D.  23．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）生物学家研究发现，很多植物的生长都有下面的规律，即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出小分支的个数是（     ） A.  B.  C.  D. 或 24．（25-26学年九上·四川资阳·期中）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年九上·四川德阳第二中学校·期中）由于国家出台对房屋的限购令，我市某地的房屋价格原价为8400元/米，通过连续两次降价后，售价变为6000元/米，下列方程中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  27．（2025·四川宜宾·质量监测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为350平方米．设停车场内车道的宽度为米，根据题意，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（2025·四川宜宾·质量监测）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（     ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 29．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）以2、4为两边长的三角形的第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 8 B. 11 C. 11或8 D. 以上都不对 30．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（　　） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）如图，初三我班劳动实践基地为一块长、宽的矩形菜园．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为．设小道的宽为，根据题意可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）某厂一月份产值为100万元，设平均月增长率为，结果第一季度总产值为330万元，则列方程为（   ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（     ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④ 36．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）一张长为，宽为的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，设正方形的边长为，依据题意可列方程为　　　　　　． 37．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭发射成功．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价5元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不超过25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 38．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是　　　　　　　　． 39．（25-26学年九上·四川眉山彭山区第一中学·期中）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红． （1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是万件，问月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 40．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同． （1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？ （2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出50辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出5辆，求该型号自行车降价多少元时，每月可获利30000元？ 41．（25-26学年九上·四川内江第六中学·期中）（多选）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 42．（25-26学年九上·四川内江第一中学·期中）某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 43．（25-26学年九上·四川叙永第一中学校·期中）某商场在促销活动中，将原价25元的商品，连续两次降价后，现价为16元．则降价率为　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程　　　　　　． 45．（25-26学年九上·四川泸县五中学·期中）如图，在长、宽的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 46．（25-26学年九上·四川成都·期中）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 47．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，用长为的防护网靠着一段墙（墙的长度为）围成一个面积为的矩形花坛，求边的长． 48．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率； （2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？ 49．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 50．（2025·四川宜宾·质量监测）今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措．某商家在“双十一购物节”对一款“1级”节能洗衣机和一款“2级”节能液晶电视机实行降价促销． （1）原售价为每台元的“2级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少？ （2）经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台；如果售价每降价元，那么平均每月可多售出2台．已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售．根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴．若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求m的值． 51．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元． （1）求该电商这两年销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？ 52．（25-26学年九上·四川广安第二中学校·期中）毕业前夕，班主任王老师让每一名同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条祝福短信，这个班级的学生总人数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　名． 53．（25-26学年九上·四川渠县中学·期中）某商场有A，B两款电器．已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求每台B款电器的售价； （2）经统计，商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元．为了尽快减少库存，该商场决定采取适当的降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台．该商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？ 54．（25-26学年九上·四川内江隆昌第二中学·期中）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件． （1）求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率； （2）某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ 55．（25-26学年九上·四川成都玉林中学·期中）2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？ 56．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）2025年双十一购物节，成都某商场有型、型两款最受顾客喜爱的手机充电器，已知每台型充电器的售价比每台型充电器售价少40元，消费者用600元购入型充电器的数量与用720元购入型充电器的数量相等． （1）该商场每台型充电器与每台型充电器的售价分别为多少元？ （2）每台型充电器的进价为140元，据统计，商场每月卖出型充电器50台．双十一购物节前夕，为了尽快减少库存，商场决定对型充电器进行降价促销活动，调查发现，每台型充电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出10台，若商家要想每月销售型充电器的利润达到5600元，则每台型充电器应降价多少元？ 57．（25-26学年九上·四川德阳第五中学·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 58．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为50元个，测算在市场中，当售价为60元个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元个？ 59．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）某超市以每箱21元的进价购进某种水果，售价为35元/箱，七月份售出256箱，八、九月份该水果十分畅销，销量持续上涨，九月份销量达到400箱． （1）求八，九月份该水果销量的月平均增长率； （2）十月份该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在九月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市十月份可获利4565元？ 60．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期中）全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 61．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 62．（25-26学年九上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 63．（25-26学年九上·四川射洪中学校·期中）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 64．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）商场两次购进两款巧克力．第一次购进A款巧克力50件，款巧克力70件，共4300元，第二次购进A款巧克力120件，款巧克力90件，共7200元． （1）求两款巧克力的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款巧克力销售完，决定对A款巧克力进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降1元，每周就可以多卖10个，请问商场将每个A款巧克力降价多少元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元？ 65．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）今年的“双十一”购物节期间，某官方旗舰店开展“拉布布”系列商品促销活动．商家记录了拉布布玩偶从9月初至11月初的销售数据，9月初售出500个，11月初售出980个，9月至11月的销量月增长率保持一致． （1）求该玩偶销量的月增长率； （2）若玩偶的成本价为58元/个，通过市场调研发现，当售价定为98元/个时，月销量可达800个；若在此基础上售价每提升2元/个，则月销量会减少20个．为了实现月销售利润达到35000元，并尽可能让利于顾客，问该玩偶每个的定价应为多少元？ 66．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）年月日，龙芯产品发布暨用户大会举行．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产万个，第三季度生产万个．试回答下列问题： （1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，条生产线最大产能是万个/季度，若每增加条生产线，每条生产线的最大产能将减少万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 67．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）2025年国庆期间，某话剧院开展“铭记历史，致敬英雄”系列活动，对团体购买话剧《抗战中的文艺》的票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元． （1）求每张话剧票的原定零售票价； （2）为了进一步传播英雄事迹，该剧院决定对现场购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张元，求平均每次降价的百分率． 68．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗，某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼进行零售，当以80元/盒的价格售出时，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）但经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，后续销售量还会持续降低，现甜品店为了尽快售完剩余月饼，故采用降价促销，经过调查发现，当该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加2盒．已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第五周销售这种口味月饼可获利2080元？ 69．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）某批发商以每件元的价格购进件T恤，第一个月以单价元销售，售出了件，第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二个月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低x元． （1）填表 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（件） 200 ______ ______ （2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利元，那么第二个月的单价应为多少元？ 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 70．（25-26学年九上·四川遂宁中学校·期中）随着生鲜电商平台日益火爆，其背后的数学逻辑也愈发引人深思．据统计：某生鲜电商平台今年2月份的销售额是200万元，4月份的销售额是242万元． （1）若该平台今年2月份到4月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）经市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为24元/千克时，每天能销售300千克，售价每降低1元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利5600元，则售价应降低多少元？ 71．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加___________件，每件商品，盈利___________元（用含x的代数式表示）； （3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？ 72．（25-26学年九上·四川南充南部县第二中学·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了公顷． （1）求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率； （2）某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/时，每天能售出，售价每降低1元、每天可多售出，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 73．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）某花店用3600元按批发价购买了一批花卉，若将批发价降低，则可以多购买该花卉20盆，市场调查反映，该花卉每盆售价25元时，每天可卖出25盆．若调整价格，每盆花卉每涨价1元，每天要少卖出1盆． （1）该花卉每盆批发是多少元？ （2）若每天所得的销售利润为200元时，且销量尽可能大，该花卉每盆售价是多少元？ 74．（25-26学年九上·四川广元利州区·期中）某商场今年初以每件40元的进价购进一品商品，当商品销售价为60元时，一月份销售64件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三月份这两个平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均销售增长率； （2）从四月起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店按原售价的几折出售，商场月获利2240元？ 75．（25-26学年九上·四川泸州泸县四中学·期中）某人工智能大模型七月份用户数量为1.25亿，九月份用户数量增长至1.8亿，已知该智能模型的用户数量在逐月增加，设八、九月份用户数量的月平均增长率为，则根据题意可列方程为　　　　　　　　　　　　． 76．（25-26学年九上·四川达州第一中学校·期中）米小果等同学打算团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，哪吒手办的单价是敖丙手办单价的倍，经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多7个，购买哪吒手办共需1105元，敖丙手办共需500元． （1）求哪吒手办和敖丙手办的单价分别是多少元？ （2）经由米小果的争取，商家同意哪吒手办的单价降低元，敖丙手办的单价降低元，结果购买哪吒手办的数量比原计划增加了个，购买敖丙手办的数量比原计划增加了2个，最终总费用比原计划多了100元，求m的值． 77．（25-26学年九上·四川成都·期中）将一条长为的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形． （1）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？请说明理由； （2）这两个正方形的面积之和可能等于吗？请说明理由． 78．（25-26学年九上·四川成都清合教·期中）2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每个应降价多少元？ 79．（25-26学年九上·四川自贡荣县中学校·期中）在矩形中，，，点从点开始以的速度沿边向点移动，点从点开始以的速度沿边向点移动，分别从点同时出发，设运动时间为秒． （1）经过几秒，是等腰三角形？ （2）是否存在某个时刻，使的面积是矩形面积的？ （3）是否存在某个时刻，使成为直角三角形？为什么？ 80．（25-26学年九上·四川成都·期中）如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长为　　　　　　，的长为　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $