专题05 反比例函数（期中真题汇编，四川专用）九年级数学上学期

专题05 反比例函数 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．B 2．A 3．B 4．D 5．D 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 7．【答案】8 【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （）图象上点的横纵坐标之积为常数 ． 设反比例函数解析式为 ，利用点 求出 ，再代入其他点求出 和 ，最后计算 ． 【详解】 解：设反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴ ． 8．【答案】 【分析】 反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 9．【答案】4 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 【详解】 解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B 9．D 10．D 11．C 12．C 13．B 14．B 15．C 16．B 17．A 18．B 19．A 20．D 21．A 22．A 23．D 24．D 25．B 26．B 27．D 28．D 29．B 30．D 31．D 32．C 33．D 34．【答案】5 【分析】把P（m,n）分别代入两函数即可求出mn，与2n-m的值，即可进行计算. 【详解】把P（m,n）分别代入两函数得 mn=-3,2n-m=8,∴mn+2n-m=-3+8=5 【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数的图像，解题的关键是把点的坐标代入解析式求得关系式. 35．【答案】3 【分析】 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】 解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键． 36．【答案】四 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 37．【答案】-8 【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=-8，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式． 【详解】解：∵S矩形PAOB=8， ∴|k|=8， ∵图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k=-8， 故答案为-8． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 38．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一和第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵反比例函数中的， ∴函数图象位于第一和第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且 ∴， 故答案为：． 39．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数k的几何意义，直接根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】 解：点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点． ， 反比例函数图象在第二、四象限， ． 故答案为：． 40．【答案】 【分析】 根据题意求得，，进而即可求解． 【详解】 解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 41．【答案】（1），；     （2），；     （3）或．      【分析】 （1）先由，则设，，再运用勾股定理列式，得出，求出，再把点代入中，进行计算，即可作答． （2）易得反比例函数，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （3）先分别求出点，点，再结合相似三角形的判定与性质，进行分类讨论，即和，列式代入数值进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：过点A作轴于E． ∵， 设， ∴， 又∵， ∴在中， 即， ∴， ∴点代入反比例函数表达式中得， ∴反比例函数为， 把点代入中， 得， ∴点； (2) 小问详解： 解：由（1）得出反比例函数为， 依题意，把点分别代入中， 得 ， 可得 ， ∴一次函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：∵ ﹐ 令，得； 令，得， ∴点，点， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 若， 则 即， ∴， ∴点 ∵点，点，点， ∴； 若． 则， 即， ∵， ∴点， 综上，点P坐标为或． 【点睛】 本题考查了三角函数的相关运算以及勾股定理，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 42．【答案】6 【分析】 本题考查了待定系数法求反比例函数的系数k，把代入解析式，就可以得到k的值． 【详解】 解：根据题意，得． 故答案为：6． 43．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，分别计算各点的函数值，然后比较大小即可． 【详解】 解：对于点，有； 对于点，有； 对于点，有． ∵， ∴． 故答案为：． 45．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】 解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第二、四象限，， 则． 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性．根据解析式可得反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】 解；∵在中，， ∴反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 47．【答案】 【分析】 设点A的坐标是，则，把代入得到，求出，，求出，得到，证明，则，求出k即可．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，数形结合是解题的关键． 【详解】 解：设点A的坐标是，则， 把代入得到， ∵， ∴， ∴， 当时，，即， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∵， 即， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 48．【答案】 【分析】 本题考查了比较反比例函数值的大小． 根据反比例函数的解析式，得出反比例函数经过的象限，结合点，的坐标，即可求解． 【详解】 解：∵反比例函数的解析式为，， 故反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 49．【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质，对于函数，当时，为负数，且随的增大而减小，趋近于但不等于，据此进行作答即可． 【详解】 解：依题意，当时，； 当时，随的增大而减小，且趋近于但不等于， 因此，的取值范围是， 故答案为：． 50．【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，求出的面积是解题的关键． 连接，根据点B与点A关于x轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数k的几何意义可求出k的值． 【详解】 解：如图，连接， ∵点B是点A关于x轴的对称点， ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∴． 又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 51．【答案】（1），     （2）x的取值范围是或     （3）存在，P的坐标为或      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3），设点的坐标为，则，即可求解． (1) 小问详解： （1）将点A的坐标代入得：， 解得， 故一次函数的表达式为① ， 令，则，故点； 在中，，，则， 而，则， 则点M的坐标为，则点C的纵坐标为3， 将点M的坐标代入并解得， 故反比例函数表达式为② (2) 小问详解： 联立① ② 得：，解得或， 故点N、E的横坐标分别为2，， 从函数图象看，，自变量x的取值范围是或； (3) 小问详解： ∵，则， 则， 设点P的坐标为， 则， 解得， 故点P的坐标为或． 【点睛】 本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 52．【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；     （2）     （3）不等式的解集为或．      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． (1) 小问详解： 解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则 ， 解得 ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． (3) 小问详解： 解：根据图象得：不等式的解集为或． 53．【答案】 【分析】 先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可． 【详解】 解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点， ∴，，则，，， ∵沿折叠得到， ∴，， 设，则，， 解得，，则， 设直线的表达式为， 则 ，解得 ， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组 ，解得 ， ∴， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键． 54．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，根据围成图形面积求比例系数问题， （1）将代入，求出，即，再代入即可求出b； （2）求出，，结合，根据列方程解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意将代入，得，解得， ∴， 将代入得，解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∵线段轴，点在点下方， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴即， 解得． 55．【答案】（1）；；     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，利用待定系数法求出函数的解析式，然后求出点E的坐标即可； （2）根据函数图象得出关于的不等式的解集即可； （3）作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时，的周长最小，求得直线的解析式为，再求出点P的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴点，，， ∵点是边的中点， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴点坐标为． (2) 小问详解： 解：根据函数图象可得：当或时，反比例函数在一次函数的上面， ∴关于的不等式的解集为或； (3) 小问详解： 解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，即的周长最小， ∵点D的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴点P的坐标为． 【点睛】 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 56．【答案】① ② ④ 【详解】依题意EF∥CD,∴△CEF与△DEF的面积相等(均已EF为底，EF,CD间的距离为高)∵EF∥CD即AB∥EF∴△AOB∽△FOE；∵CE∥X轴，DF∥Y轴∴四边形ACEF,BEFD均为平行四边形∴AC=EF=BD即故① ② ④ 正确 57．【答案】（1）；     （2）     （3）存在，或      【分析】 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识，找到各个条件之间的关系是解题的关键． （1）先将点代入，求得一次函数的解析式，再求得点坐标，进而可求反比例函数的解析式； （2）设点，求得点，根据，得方程，由 为反比例函数的图像上一点，可得答案； （3）由点，点，点，可得，，，根据或时，可得两三角形相似即可求得的长，进而可求坐标． (1) 小问详解： 解：一次函数与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点， ， ， 反比例函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：设点， 与轴交于点， 点， ， ， ， ， ， 为反比例函数的图像上一点， ， 点； (3) 小问详解： 解：点，点，点， ，，， ， ， 当或时， 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 或， 或16， 点或． 58．【答案】（1）双曲线表达式为，直线的表达式为     （2）的取值范围或     （3）平移后的直线为或      【分析】 本题主要考查反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）联立得 ，从而求得点，然后根据图象即可求解； （）设平移后的直线为，令，整理得，然后根据平移后的直线与双曲线只有一个交点，则有，再求出的值即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与双曲线 交于点， ∴，， 解得：，， ∴双曲线表达式为，直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：由（）得双曲线 表达式为，直线的表达式为， 联立得 ， 解得 或 ， ∴， ∴反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围或； (3) 小问详解： 解：平移后的直线为， 令，整理得：， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴，解得：， ∴平移后的直线为或． 59．【答案】3 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，坐标与图形变化旋转，明确三角形的面积等于三角形的面积是解题的关键．令点关于中心点的对应点为，由旋转的性质可知，，，，，故可设，则，由三角形面积公式可得，解得． 【详解】 解：令点关于中心点的对应点为， 由旋转的性质可知，，，，，， 设，则， 由题意可知， 解得． 故答案为：3． 60．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，先根据点，求出反比例函数的解析式，再代入其他点的横坐标求出对应的纵坐标，最后比较大小，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 61．【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； (3) 小问详解： 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 62．【答案】− 【分析】 把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可． 【详解】 ∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)， ∴b=，b=a−1， ∴=a−1， a−a−2=0， (a−2)(a+1)=0， 解得a=2或a=−1， ∴b=1或b=−2， ∴的值为−. 故答案为：−. 【点睛】 此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程 63．【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为；     （2）点的坐标为；     （3）或或．      【分析】 本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，三角形的面积，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）运用待定系数法即可求得反比例函数表达式，再联立方程组求得点B的坐标； （）设直线交轴于点，则，设，且，则，由，建立方程求解即可求得点的坐标； （）根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立得 ， 解得： ， ， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 解：设直线交轴于点， 令，得， 解得：， ∴， 设，且， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：设， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴由中点坐标公式和平行四边形的性质得 或 或 ， ∴ 或 或 ， ∴或或． 64．【答案】（1），     （2）     （3）存在；或      【分析】 (1)把代入解析式确定即可，把，代入解析式计算即可． (2)确定，，设，根据的面积是的面积的3倍，得到计算即可． (3)分点E在上和的延长线上，两种情况计算即可． (1) 小问详解： 把代入解析式得 ， ∴双曲线的解析式为； 把，代入解析式得 ， 解得 ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： ∵双曲线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵直线的解析式为， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， 解得， ∴． (3) 小问详解： 存在；理由如下： 过点B作垂足为F， ∵，，， ∴，，，． 当点E在上时，， 故不成立； 当点E在的延长线上时， 若， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 若， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故存在这样的点E，且其坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 65．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质与两点间距离公式，解题的关键是根据 建立等式，通过因式分解和符号分析求解． 【详解】 解：由题意，， ， ， 移项得， 因式分解得， 即． 且， ， 即， 又，， ， 故答案为：． 66．【答案】 【分析】 根据反比例函数的定义知m2-5=-1，且m-2≠0，据此可以求得m的值． 【详解】 ∵y=（m-2）x m^2−5是y关于x的反比例函数， ∴m2-5=-1，且m-2≠0， ∴（m+2）（m-2）=0，且m-2≠0， ∴m+2=0，即m=-2； 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 67．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，设与轴交于点，由题意得，，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，设与轴交于点， ∵反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 68．【答案】 【分析】 此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】 解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 69．【答案】2 【分析】 设点A的坐标为（a，b），结合AC=2，BD=1，EF=3可把点B、C、D的坐标及k1和k2用含a，b的式子表达出来，利用已知条件列出等式即可求得k1-k2的值． 【详解】 设点A的坐标为，则由题意可得点C的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， ∴，BD=， ∵BD=1， ∴，解得：， ∴． 故答案为2． 【点睛】 熟悉“反比例函数的图象和性质”及“平行于坐标轴的直线上两点间的距离与它们坐标间的关系”是正确解答本题的关键． 70．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出A点坐标，从而确定函数的解析式，再求B点坐标即可； （2）设直线与y轴的交点为F，直线与y轴的交点为H，过点H作交于点G，求出直线的解析式为，可得，设直线与x轴的交点为M，直线与x轴的交点为N，证明，得到，再证明，得到，从而确定点，通过求直线的解析式为，可求点； （3）设，，当时，根据根与系数的关系可知，则，连接，则的面积为8，通过求直线的解析式为，得到，再由面积，求出a的值，确定A点坐标后即可求函数的解析式． (1) 小问详解： 解：∵点A的纵坐标为6， ∴， 解得， ∴， 将A点代入中，， ∴反比例函数的解析式为， 当时，解得或， ∴； (2) 小问详解： 解：存在点E，使得，理由如下： 设直线与y轴的交点为F，直线与y轴的交点为H，过点H作交于点G， ∵， ∴， ∵，B点与C点关于原点对称， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， 设直线与x轴的交点为M，直线与x轴的交点为N， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得或， ∴； (3) 小问详解： 解：设，，当时，整理得， ∴， ∴， ∵B点与C点关于原点对称， ∴， 连接， ∵的面积为16，则的面积为8， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【点睛】 本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 71．【答案】 【分析】 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】 解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 72．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数交点情况，两点间距离公式，根据题意得到直线的解析式为，结合反比例函数求出点的坐标，进而求出，设点的坐标为，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】 解：， 平分一象限， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， ， ，点在反比例函数图象上， 设点的坐标为， ， 整理得， 令，则， 代入上式得：， 解得或， 当时，，解得或， 经检验，或，使得，是该方程的解； 当时，，解得， 经检验，，使得，是该方程的解； ， ， 点的坐标为； 故答案为：． 73．【答案】（1），，     （2） ① 结合表格数据画图如下： ② 不存在，理由： 所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园；     （3）①或；② 原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一）      【分析】 （1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）① 根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ② 根据所画的图象交点情况分析即可； （3）① 设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ② 利用① 中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． (1) 小问详解： 解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：① 根据题意列表如下： ② 略 0 10 20 30 30 0 40 20 (3) 小问详解： 解：① 设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ② 由① 题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念． 74．【答案】（1），     （2）     （3） 的面积的最小值为4， 证明：如图② 中，连接， 由（2）可知点P在上， 设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴， ∴， ∴），， ∴，， ∴的面积， ∴的面积的最小值为4．      【分析】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． （1）设．根据已知条件得到，求得，得到，根据正方形的性质设，根据等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理得到，，过点E作于M，根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到； （2）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，，求得，设，得到，再利用面积公式即可得到； （3）如图② 中，由（2）可知点P在上，设直线的解析式为，把代入得到，进一步求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，． 如图， 过点E作于M， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 略 75．【答案】或 【分析】 本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论． 分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可． 【详解】 解：如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点E， 设， ∴， ， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， （负舍），则， ∴ 如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点F， 设， 由题意，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴ 故答案为：或． 76．【答案】（1），     （2）或     （3）或或      【分析】 （1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得 ，求解即可得点F坐标． （2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可． （3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得， 解得： ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 联立两函数解析式，得 ，解得： ， ， ∴． (2) 小问详解： 解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ 设直线为， 将点，代入中， 则 解得 ， 所以直线的解析式为， 设点，过点P作轴交直线于点Q，则 ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（其中，方程无解）， 故点P的横坐标为或． (3) 小问详解： 解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图， ∵，， 又∵点M在x轴上， ∴点F向上平移3个单位， ∴点E向上平移3个单位， ∴点N纵坐标为9，把代入，得， ∴， ∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴； 同理可得； 连接交于P， ∵， ∴点P为与的中点， ∴， ∴ ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型． 77．【答案】 【分析】 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点、坐标是本题的关键． 由三角形相似，可得，设，则，可得点，，进而求得，，由反比例函数的性质可得，可求的值，即可求解． 【详解】 解：如图过点作轴 直线与轴交于点，与轴交于点， 点，点 ，， 四边形为矩形， ， ，， ， 轴 ， ， ， 设，则， ， ， 轴 ， ，即， ， 点， 点，点都在反比例函数上， ， ， ， 故选：C． 78．【答案】（1）24     （2）①；②      【分析】 本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：； (2) 小问详解： 解：①如图，过点M作轴于点N， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：反比例函数解析式为， 设点M的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵点M是反比例函数的图象上的一点， ∴， 解得：， ∵点M在点P的右侧， ∴点M的坐标为． 79．【答案】． 【详解】试题分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，所以图中阴影部分的面积：，因为，所以=． 故答案为． 考点：图形的变化规律类问题． 80．【答案】（1）或；     （2）① 点在某一函数图象上运动，；②或．      【分析】 （1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）① 设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ② 分三种情况讨论，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； (2) 小问详解： 解：① 点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ② 当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 81．【答案】（1）,     （2）P 点坐标为或     （3）是，定值为1      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是利用函数交点求解析式、利用面积公式列方程、通过坐标与勾股定理探究定值． （1） 将点代入直线方程求，求得点坐标，再利用中心对称性质确定点坐标； （2） 设点坐标，利用“割补法”表达出的面积，并建立方程求解； （3） 设点坐标，求出、坐标，利用勾股定理分别表示AP²、BP²、EF²，再计算比值． (1) 小问详解： 解：∵ 点在上， ∴ ，解得， 即，将其代入反比例函数中，可得， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 A与点B关于原点对称， ∴点． (2) 小问详解： 解：设（），利用面积“割补法”，得 （图1） 或（图2） 解得或，此时或． 综上， P 点坐标为或． (3) 小问详解： 解：是定值，定值为． 设（），又 设直线的解析式为（）． ∴ ， 解得，，代入，得直线的解析式为， 令，得． 设直线与交于原点，且． 在上取点，在上取点． 因，故为直角三角形． 由勾股定理得：． ∵，， ， 根据上述结果可知，因与相互垂直，故. ∴，    直线过，方程为， 令，解得． ， ， 又， 故． 答：该值为定值1． 82．【答案】（1），     （2）①；②      【分析】 本题考查一次函数与反比例函数综合，矩形的判定与性质，勾股定理； （1）把代入一次函数与反比例函数计算即可； （2）① 先求出，，再根据四边形为矩形，得到，则，最后根据轴，得到，即可得到； ② 由，得到，，，过作交于，则，，得到，，再根据，解得，即可求出点纵坐标，代入解析式求出点横坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵一次函数与反比例函数相交于点， ∴把代入得， ∴， 把代入得，解得； (2) 小问详解： 解：① 由（1）得反比例函数，， ∴， ∴， ∴， ∵过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴； ② ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 过作交于， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴（负值舍去）， ∴点纵坐标为， ∴点横坐标为， ∴． 83．【答案】（1）； （2）① 证明：如图2，过点C作轴于点W，则，， 联立方程组 ， 解得 ， ， 、， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得 ， 解得 ， ， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得 ， 解得 ， ， 当时，解得， ， ，， ， ， ， ， 直线与直线为“等腰三角线”； ② 【分析】 （1）过点P作轴于点H，则，根据题意可证明，进一步求出，再利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）① 过点C作轴于点W，则，，先求出点A、B坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，继而得到它们与x轴的交点坐标，从而得到，进一步证明，即可得出结论； ② 过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则，利用角的转换得到，继而可得，从而，所以，再设，则，利用勾股定理建立方程，求出，即可进一步求得答案． 【详解】 解：（1）过点P作轴于点H， 直线与直线为“等腰三角线”， ， ， ， 点P、Q的坐标分别为、， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为；   （2）① 略 ② 如图3，过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则， ， ， 由① 可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，反比例函数与一次函数的图象的交点问题，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，解直角三角形等知识，综合运用反比例函数与几何图形的性质是解题的关键． 84．【答案】（1），     （2）点P的坐标为 或     （3）解：直线不过定点，理由： 设，，且， 则 同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ， ， 所以或， 第一种情况， 设直线为，与双曲线相交， 所以， 整理得， 所以，， 由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即， 所以，， 、都不是常数，所以不过定点， 综上所述：直线不过定点．      【分析】 （1）反比例函数的表达式为，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于这里，所以将点、分别代入函数表达式即可求解； （2）四边形是菱形时，则邻边，设，令，利用两点距离公式建立方程，即可求得P点的坐标； （3）设，，且，利用勾股定理建立方程，得到，直线与抛物线联立方程，解得直线，，不确定（但由决定的)或，即可得出直线不过定点． (1) 小问详解： 解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，； 故，． (2) 小问详解： 解：设在双曲线上， 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序， 所以 两点距离公式： 令，相减得， 前半部分： ， 后半部分： 中，令， 则， 代回，则， 则原方程为， 乘得：， ， 除以5得： ， ， 所以， (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中几何与代数的结合以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 85．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，直角坐标系，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质．如图，过点作轴，交的延长线于点，作轴，交的延长线于点，设，则，结合可得，，则，，，，进而得到，，，，，根据，，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作轴，交的延长线于点，作轴，交的延长线于点， 设，则， ，， ， ， ，，，， ，，，，， ， ， ， 故答案为：． 86．【答案】（1），；     （2）点的坐标为或或；     （3）的长为2．      【分析】 （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意平移直线与，有一个交点，利用根的判别式求得点的坐标为；再根据题意将直线向下平移个单位，得到直线解析式为，联立得，据此求解即可； （3）先求得点的坐标为，先后利用待定系数法求得直线、直线的解析式，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：对于直线， 当时，， ∴交点为， 将代入得，； (2) 小问详解： 解：由（1）得双曲线的解析式为， 对于直线， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个， ∴双曲线上只有三个不同的点到的距离相等， ∴平移直线与双曲线只有一个交点时， 设平移后直线的解析式为， 联立得， 整理得， ， 解得（舍去）， ∴， ∴，， 此时点的坐标为； ∴平移后直线的解析式为，令，则， ∴直线是由直线向上平移个单位， 则直线向下平移个单位， 其解析式为， 联立得， 整理得， ， ∴， 则或， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； (3) 小问详解： 解：∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为，即的长为2． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的综合等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 87．【答案】（1）反比例函数的解析式为，     （2）点的坐标为或或     （3）点的坐标为或或或      【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识并分类讨论． （1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式和直线的解析式，再联立两个解析式即可求出点的坐标； （2）过作轴交直线于点，过作轴于直线点，先求出，推出，得到，设，则，得到，根据，，结合和的面积相等，即可求解； （3）由题意可得，，分三种情况：当为菱形的边，且时，当为菱形的边，且时，当为菱形的对角线时，根据菱形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将点分别代入和得： ，， ，， 反比例函数的解析式为，直线的解析式为， 联立 ， 解得 或 ， ； (2) 小问详解： 如图，过作轴交直线于点，过作轴于直线点， 直线过原点且与双曲线关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， ， 设，则， ， ，， 和的面积相等， ， 解得或或或（舍去）， 点的坐标为或或； (3) 小问详解： ，， ，， 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， 或； 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， ； 当为菱形的对角线时， ，的中点坐标为， ， ，； 综上所述，点的坐标为或或或． 88．【答案】（1），     （2）或或或或     （3）      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数综合题，反比例函数的性质，用待定系数法求函数解析式，函数图象的旋转变换，坐标变换． （1）根据题意列方程得到，求得点，把点代入得到； （2）设出点C坐标，利用两点距离公式求出、、，进而分类讨论建立方程求解即可； （3）由题意点，，可知，建立如图新的坐标系即可求直线的解析式，利用方程组求出M、N的坐标，根据△计算即可． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）知，则，， 设， 则，，， 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得或9， ∴或； 当时，则， 解得， ∴或； 综上，或或或或． (3) 小问详解： 解：如图，过点E作轴于点G，过点F作轴于点H． ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 以O为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立新的平面直角坐标系， 在新坐标系中，，． 设直线的解析式为（）， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 由题意可知，曲线l的解析式为， 联立 解得 或 ， ∴，， ∴． 89．【答案】（1）是     （2）①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立 ，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形；     ②或或或      【分析】 （1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）① 联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到求出A、B两点的坐标；先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； ② 设点Q的坐标为，分情况讨论：① 当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；② 当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③ 当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④ 当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是； (2) 小问详解： 证明：① 略 ② 解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ① 如图，当时，     ，， ，解得： ， ； ② 如图，当时，     ，， ，解得： ， ； ③ 如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，        ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得： ， ， ④ 如图，当时，     ，， ，解： ， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】 本题是反函数综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 90．【答案】（1）①4；②4     （2）①24；②      【分析】 （1）① 先用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，再根据面积公式计算即可；② 过点P作于点E，连结，，设，，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可； （2）① 设，，根据，列方程求解，得到，从而得到，再将P，Q两点的坐标代入反比例函数的解析式，列方程求解， 解得答案； ② 分别求出线段与此时反比例函数的函数图象有交点的两个临界状态时的m的值，即可求得答案．具体是先求出，的坐标，求出直线的解析式，并利用一元二次方程根的判别式求出当直线与双曲线有唯一交点时的m的值，再根据轴对称的性质，求出点，在双曲线上时的m的值，最后根据图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① 把的坐标代入，得， ， 反比例函数得解析式为， 设， 则，， 的面积为． 故答案为：4． ② 过点P作于点E，连结，， 四边形是矩形， ，，，，， 四边形和都是矩形， ，，， 设，，则，，， ， ， 点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即线段的长为4； (2) 小问详解： 解：① 设，，（）， ， ， 解得， ， ， ， 点P和点Q都在反比例函数在第一象限的函数图象上， ， 解得，； ② 由① 知，，，反比例函数解析式为， 对于直线， 当时， 当时， ，两点均在直线的上方， 点，均在直线的下方， 若线段与此时反比例函数的函数图象有交点， 则点，应都在第三象限， 过点P作轴，交直线于点M，连结，过点Q作轴，交直线于点N，连结， 直线与直线平行，且直线与x轴成角， 直线与x轴成角， 与直线成角， 点P和点Q关于直线的对称点，， 被直线垂直平分， ， ， ， 当时， ，且， ，即， 同理可得，， 当时， ，且， ，即， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 令， 方程整理得， 当直线与双曲线只有一个交点时，， 即， 解得， ， ； 由对称性可知，当时，即直线经过原点时，点，恰在反比例函数的图象上， ， 解得或11（舍去）， 同时， 解得或10（舍去）， ； 根据图形可得． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与面积问题，相似三角形的判定与性质，图形轴对称的性质，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解反比例函数的图象与几何变换的联系是解题的关键． 91．【答案】（1）直线的解析式为；     （2）     （3）直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或．      【分析】 （1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而得出点G在上，且轴，即时，最小，进而求出点G坐标，作点G关于y轴的对称点，连接，则，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）设直线上点，由，得到，则，当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似，得到在右边，再根据或分情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立 解得， 或 ， ∵点E在第一象限内， ∴； (2) 小问详解： 解：如图1，过点G作轴于H， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点G在上，且轴，即时，最小，则最小，如图2， ∴ 作点关于y轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴当在上时最小，此时，的周长最小，其值为， 即周长的最小值为； (3) 小问详解： 解：设直线上点， ∵， ∴，， ∵， ∴当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似， ∴在右边，则， 当时，则，，解得，此时； 当时，则，，解得，此时； 综上所述，直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，相似三角形判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 92．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 利用正比例函数的解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式； 设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； 如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则，证明≌，则，，设，表示，根据点在反比例函数的图象上，代入列方程可得的值，分三种情况：① 当是的对角线时，如图，连接，交于点，② 当是的对角线时，如图，③ 当是的对角线时，如图，即可解答 【详解】 反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 把坐标代入得，， ， 反比例函数的表达式为； 如图，设点，则， 点在反比例函数图象上， ， 整理得：， 解得负值已舍去， ； 如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则， 由旋转得：，， ， ， ， ≌， ，， 设， ， ，， ， 即， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：舍，， ，； 分三种情况： ① 当是的对角线时，如图，连接，交于点， 是的中点，是的中点， ， 是菱形， ，， 的中点的坐标为， ， ； ② 当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； ③ 当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； 综上， 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质与判定、菱形的性质、一元二次方程的解法等知识点，关键是数形结合的思想． 考点03 实际问题与反比例函数 1．A 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）下列各式中，y是x的反比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知函数是关于的反比例函数，则的值为（       ） A. 1 B. －1 C.  D.  4．（2026·四川巴中平昌中学·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）下列关于的函数中，属于反比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）若函数是反比例函数，则　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）反比例函数的图象经过点、及，则　　　　　　． 8．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）若函数是反比例函数，则　　　　． 9．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）函数 是反比例函数，则m的值是　　　　　　　　　　． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（       ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 该函数图象与x轴的交点为（1，0） D. 当时，y的取值范围是 3．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.      4．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·四川巴中·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A. 随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 6．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）若，反比例函数的图象在（     ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 7．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）已知是反比例函数的图像上三点，则下列结论正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y和y＝﹣kx+k（k≠0）的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）已知点，，均在反比例函数的图像上，则有（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（2026·四川巴中平昌中学·二模）已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么、、、0的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 15．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而减小 D. 若点，都在图象上，且，则 16．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·四川成都·期中）反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是(     ) A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）已知点(-2，)，(3，)是反比例函数图象上的两点，则有（        ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　　） A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 23．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A. 8 B.  C. 16 D.  24．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（    ） A.  若点 ，都在图象上，且，则 B.  图象分布在第二、四象限 C.  图象经过点 D.  当时，y 随 x 的增大而减小 25．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  26．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 27．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（       ） A. 5 B. 8 C.  D.  28．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（   ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 29．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 30．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）函数与函数y=kx+k在同一坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  33．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，、、是分别以、、为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点均在反比例函数的图象上．则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）点P（m,n）是函数和图像的一个交点，则mn+2n-m的值为　　　　　　. 35．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第　　　　　　象限． 37．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=　　　　　　． 38．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为　　　　　　　　　　．（请用“＜”连接） 39．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值是　　　　　　． 40．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）若点都在反比例函数的图象上，则　　　　　　　（填“”或“”）． 41．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，点B的坐标为． （1）求点A、B坐标； （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）在y轴上存在一点P，使与相似，求P点的坐标． 42．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）已知反比例函数的图象经过点，则　　　　． 43．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是　　　　　　． 44．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小为　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 45．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则　　　　　　　　　　　； 46．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是　　　　　． 47．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂直线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为　　　　　　　　． 48．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知点，在反比例函数的图象上，则有　　　　　　．（填“”“”或“”） 49．（25-26学年九上·四川成都·期中）考察函数的图象，当时，y的取值范围是　　　　　　． 50．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接，若的面积为18，则k的值为　　　　　　． 51．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，． （1）求a的值和反比例函数的解析式． （2）若，直接写出自变量x的取值范围． （3）若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 52．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 53．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为　　　　　　． 54．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． （1）求，的值； （2）若的面积为，求的值． 55．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在边上，反比例函数与一次函数的图象交于点、． （1）求反比例函数和点、的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集 （3）在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标． 56．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE． 有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④． 其中正确的结论是　　　　　　　　　　　　　　　　．（把你认为正确结论的序号都填上） 57．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 58．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线与双曲线  交于， 两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求双曲线和直线的表达式； （2）请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； （3）将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式． 59．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段两端点分别在轴负半轴，轴负半轴上，△的面积为1，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数第一象限的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为　　　　　　． 60．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，，，， 则 ，，的大小关系为　　　　　　． 61．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 62．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为　　　　　　　　　　. 63．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； （3）在反比例函数图象上取一点，在轴上取一点，当为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点的坐标． 64．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）若点P是第二象限内反比例函数图像上的一点，的面积是的面积的3倍，求点P的坐标； （3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 65．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则　　　　　． 66．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）函数，其中是的反比例函数，则的值是　　　　　　　　　　. 67．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则　　　　　　． 68．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 　　　　　　　． 69．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是　　　　　　　． 70．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点的左侧），连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接交轴于点． （1）若点的纵坐标为6，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若的面积为16，求反比例函数的表达式． 71．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 　　　　　． 72．（25-26学年九上·四川巴中·期末）小红在制作装饰图案时，需要将角三等分，她运用古希腊数学家帕普斯（Pappus）研究“三等分角”问题时提出的方法，借助反比例函数的图象进行构造．如图，在平面直角坐标系中，将的顶点与原点重合，边与轴正方向重合，且，反比例函数的图象与射线交于点，以为圆心、的长为半径画弧，交反比例函数图象于点，分别过点和点作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，得到，此时．请写出点的坐标为　　　　　　　　． 73．（25-26学年九上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． （1）建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； （2）图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； （3）深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 0 10 20 30 30 0 40 20 74．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图①，在中，于点D，，，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G，H在上，设，连接． （1）当矩形是正方形时，直接写出                      ，                      ； （2）设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 75．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时，　　　　　　． 76．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标； （2）点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； （3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 77．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则　　　　　　． 78．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）求m的值． （2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接．若，求点M的坐标． ②过点M作于点D，若，求M的坐标． 79．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如下图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则　　　　　　．（用n的代数式表示） 80．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． （1）若，求点的“完美三角点”的坐标． （2）若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 81．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图1，已知反比例函数与直线交于点，两点（点在点的左侧）．点是双曲线上第一象限内一动点． （1）求反比例函数解析式及点坐标； （2）当的面积为8时，求此时点坐标； （3）如图2，当点在点左侧时，过点作直线的垂线，交于，交轴于点，交轴于，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 82．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， （1）求、的值； （2）若反比例函数图像上有一点，当满足时，则称点为反比例函数的“倍数点”，过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、，延长交轴于点，连接，当点在直线下方时． ①试判断与的数量关系； ②试求倍数点的坐标． 83．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】 （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示） 84．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． （1）求； （2）点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； （3）点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 85．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知点、都是双曲线在第一象限内的点（点在点的右侧），过点作轴与过点作轴的直线交于点，连接并延长交双曲线于点，连接，的面积用表示，的面积用表示，若，则　　　　　　　　．（用含和的代数式表示） 86．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知：双曲线． （1）若直线与双曲线交于点，求和的值； （2）在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； （3）若点，点在双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 87．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知：如图，反比例函数的图象与直线交于点和点． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）连接并延长交双曲线于点，在双曲线上找点（点不与点重合）使和的面积相等，求点的坐标； （3）点在轴的负半轴上，点在平面内上，点，以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 88．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图1，反比例函数的图象经过点和点． （1）求a、k的值； （2）y轴上存在点C，使得点A、B、C构成等腰三角形，求点C坐标； （3）如图2所示，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线，过点，的直线与曲线l相交于点M、N，求的面积． 89．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． （2）如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 90．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的函数图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接． （1）若点P的坐标为 ①如图1，连接，则的面积为_____； ②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长． （2）如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的函数图象上，且线段． ①求k的值． ②分别作点P和点Q关于直线的对称点，，连接．若线段与此时反比例函数的函数图象有交点，请直接写出m的取值范围． 91．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值； （3）如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 92．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图，将点绕点顺时针旋转90°得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为 ，若，则关于的函数图象是（    ）  A.   B.   C.   D.   E. E.  试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数 3大高频考点概览 考点01 反比例函数的概念 考点02 反比例函数的图象和性质 考点03 实际问题与反比例函数 考点01 反比例函数的概念 1．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）下列各式中，y是x的反比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数的定义．反比例函数定义为形如的函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、不是反比例函数，故该选项不符合题意； B、是反比例函数，故该选项符合题意； C、不是y是x的反比例函数，故该选项不符合题意； D、不是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据反比例函数的定义，即可判断． 【详解】 解：A、，y是x的反比例函数，故A符合题意； B、，y不是x的反比例函数，故B不符合题意； C、，y不是x的反比例函数，故C不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键，一般地，形如且k是常数的函数叫做反比例函数． 3．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）已知函数是关于的反比例函数，则的值为（       ） A. 1 B. －1 C.  D.  【答案】B 【分析】 根据反比例函数的定义确定m的值即可． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴ ， 解得：； 故选：B 【点睛】 本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是根据反比例函数的定义确定m的值，难度不大． 4．（2026·四川巴中平昌中学·二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义，熟知一般地，形如，其中是常数的函数叫做反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】 解：A、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； B、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； C、不符合的形式，不是反比例函数，不符合题意； D、可化为，符合的形式，是反比例函数，符合题意， 故选：D． 5．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）下列关于的函数中，属于反比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是． 【详解】 解：A．该函数属于正比例函数，故本选项错误． B．该函数属于正比例函数，故本选项错误． C．该函数是关于的函数，故本选项错误． D．该函数属于反比例函数，故本选项正确． 故选：D． 6．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）若函数是反比例函数，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即可解答． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴ ， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）反比例函数的图象经过点、及，则　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （）图象上点的横纵坐标之积为常数 ． 设反比例函数解析式为 ，利用点 求出 ，再代入其他点求出 和 ，最后计算 ． 【详解】 解：设反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴ ． 8．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）若函数是反比例函数，则　　　　． 【答案】 【分析】 反比例函数满足的次数为，且系数不为，据此列方程和不等式求解即可． 【详解】 解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26学年九上·四川达州高级中学·期中）函数 是反比例函数，则m的值是　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 【详解】 解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 考点02 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，解题人多关键是根据反比例函数的图象和性质，当且时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，即可． 【详解】 解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一、三象限中，每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）已知反比例函数经过平移后可以得到函数，关于新函数，下列结论正确的是（       ） A. 当时，y随x的增大而增大 B. 该函数的图象与y轴有交点 C. 该函数图象与x轴的交点为（1，0） D. 当时，y的取值范围是 【答案】C 【分析】 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的，根据两个函数的图像，可排除A，B，C选项，将y=0代入函数可得到函数与x轴交点坐标为（1,0），故C选项正确． 【详解】 解：函数与函数的图象如下图所示： 函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位长度后得到的， A、由图象可知函数，当时，y随x的增大而减小，选项说法错误，与题意不符； B、函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与y轴无交点，选项说法错误，与题意不符； C、将y=0代入函数中得，，解得，故函数与x轴交点坐标为（1,0），选项说法正确，与题意相符； D、当时， ，有图像可知当时，y的取值范围是，故选项说法错误，与题意不符； 故选：C． 【点睛】 本题考查反比例函数的图象，以及函数图象的平移，函数与数轴的交点求法，能够画出图象，并掌握数形结合的方法是解决本题的关键． 3．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】 解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 4．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查的是反比例函数的图像与性质，判断出解题的关键．先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】 函数的图象经过一，三象限， 且反比例函数的图象与函数的图象没有交点， 反比例函数的图象经过二，四象限， ， 点、、在的图象上， 点、在第二象限，在第四象限， 在第二象限内，反比例函数随的增大而增大， 且， ， 在第四象限， ， ， 故选：C． 5．（25-26学年九上·四川巴中·期末）关于反比例函数，下列说法错误的是（     ） A. 随的增大而减小 B. 图象位于第一、三象限 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 【答案】A 【分析】 本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数，，图象位于第一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】 解：∵， ∴的图象位于第一、三象限内，图象与坐标轴不相交，每个象限内，y随x的增大而减小，当时，，故B、C、D正确，A错误， 故选：A． 6．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）若，反比例函数的图象在（     ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【分析】 本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】 解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 7．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）已知是反比例函数的图像上三点，则下列结论正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据反比例函数的图像与性质即可得． 【详解】 解：在反比例函数中， 此反比例函数的图像位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， 是反比例函数的图像上三点， ，即， 故选：B． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键． 8．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y和y＝﹣kx+k（k≠0）的图象大致是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答，即可求解． 【详解】 解：A、当时，，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意； B、当时，，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； C、当时，，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意； D、当时，，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、三、四象限，故本选项错误，不合题意； 故选：B 【点睛】 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． 9．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）已知点，，均在反比例函数的图像上，则有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】 解：∵｜k｜+1＞0， ∴反比例函数在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵－5＜－3＜0＜3， ∴a＜c＜0＜b， 故选：D． 【点睛】 本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 10．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】 A．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象应经过二、三、四象限，故此选项错误； B．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴正半轴相交，且经过一、二、四象限，故此选项错误； C．反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象应经过一、二、四象限，故此选项错误； D．反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置． 11．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是反比例函数及一次函数图象，分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； B、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故本选项错误； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故本选项正确； D、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误． 故选：C． 12．（2026·四川巴中平昌中学·二模）已知点，，都在反比例函数（m为常数）的图象上，那么、、、0的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，牢记“当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用反比例函数的性质可得出，即可求解． 【详解】 解：， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限，且同一象限内y随x的增大而减小， ， ． 故选：C． 13．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）已知点是反比例函数图象上的点，若，则一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了两函数的性质；反比例函数中，当时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小判定则可． 【详解】 解：， 双曲线在第一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 又， ∴在第一象限，在第三象限 ； 故选：B． 14．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数图象交于点，则不等式的解集是（     ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 此题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题以及一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】 解：把点，代入得： ， 解得： ，（舍去）， ∴点，， 观察函数图象发现：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， 则不等式的解集为：或． 故选：B． 15．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，随的增大而减小 D. 若点，都在图象上，且，则 【答案】C 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数（）的性质逐一分析选项． 【详解】 解：对于反比例函数，． A选项：图象应分布在第一、三象限，此选项不符合题意； B选项：当时，，图象经过，此选项不符合题意； C选项：当时，在第一象限，随的增大而减小，此选项符合题意； D选项：若但不在同一象限，如，，则，，，此选项不符合题意． 故选：C． 16．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直接计算各点在反比例函数上的纵坐标值，然后比较大小． 【详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∴ ， 故选：B． 17．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】 解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 18．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】 解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方， 不等式组的解是． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题关键． 19．（25-26学年九上·四川成都实验外国语学校·期中）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质，根据双曲线 关于原点对称，直线也经过原点，因此两个交点关于原点对称求解即可. 【详解】 解：∵ 已知交点坐标为，且双曲线与直线的交点关于原点对称， ∴ 另一个交点的坐标为， 故选A. 20．（25-26学年九上·四川成都·期中）反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， A、，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意； B、，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意； C、，故点不在反比例函数图象上，该选项不符合题意； D、，故点在反比例函数图象上，该选项符合题意； 故选：D． 21．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）已知点(-2，)，(3，)是反比例函数图象上的两点，则有（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由反比例函数图象分布于第二、四象限，从而可得：，＞ 从而可得答案． 【详解】 解：反比例函数图象分布于第二、四象限， 而图象上的位于第二象限， ； 位于第四象限， ． 因此，， 故选：． 【点睛】 本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 22．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　　） A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 【答案】A 【分析】 直接利用正比例函数的性质得出M，N两点关于原点对称，进而得出答案． 【详解】 解：∵直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点， ∴M，N两点关于原点对称， ∵点M的坐标是（1，2）， ∴点N的坐标是（-1，-2）． 故选A． 【点睛】 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出M，N两点位置关系是解题关键． 23．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A. 8 B.  C. 16 D.  【答案】D 【分析】 连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】 解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 24．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（    ） A.  若点 ，都在图象上，且，则 B.  图象分布在第二、四象限 C.  图象经过点 D.  当时，y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【分析】 本题考查反比例函数的性质． 根据反比例函数的图象和性质逐一判断选项即可． 【详解】 解：∵反比例函数中，， ∴图象分布在第一、三象限，故选项B错误； 当时，，图象经过点，而非，故选项C错误； 选项A中，当时，，当时，，此时满足，但，不满足，故选项A错误； 选项D中，当时，函数在第一象限，随的增大而减小，故选项D正确． 故选：D． 25．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为2，则k的值为（     ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为．从而可求解． 【详解】 解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ∵， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， 故选：B． 26．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3． 【详解】 ∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点， 且A，B两点的横坐标分别是2和4， ∴当x=2时，y=2，即A（2，2）， 当x=4时，y=1，即B（4，1）， 如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则S△AOC=S△BOD=×4=2， ∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC， ∴S△AOB=S梯形ABDC， ∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=×（1+2）×2=3， ∴S△AOB=3， 故选B． 【点睛】 本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=|k|是解题的关键． 27．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点在轴上，若点，且平行四边形的面积是5，则实数的值为（       ） A. 5 B. 8 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】 解：如图，延长交y轴于点D， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：． 28．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线（，）经过、的中点N、F，连接、、．若，则k的值是（   ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了反比例函数系数的几何意义，正方形的性质，先求出点坐标，利用待定系数法即可解决问题；求出点坐标是解题的关键． 【详解】 解：∵N、F是、的中点， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵N是中点， ∴， ∴， 把代入，得到， 故选：D． 29．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）关于反比例函数的图象和性质，下列说法正确的是（    ） A. 图象经过点 B. 图象关于原点中心对称 C. 图象位于二、四象限 D. y的值随x值的增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】 解：A．当时，，所以图象经过点，说法不正确，不合题意； B．反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，符合题意； C．，则图象位于第一、三象限，故说法不正确，不合题意； D．，则图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，故说法错误，不符合题意； 故选：B． 30．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 31．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 32．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）函数与函数y=kx+k在同一坐标系中的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】 解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0， ∴一次函数y＝−kx＋k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 33．（2025·四川宜宾·质量监测）如图，、、是分别以、、为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点均在反比例函数的图象上．则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及一元二次方程的解法，熟练掌握等腰直角三角形斜边中点的坐标规律和反比例函数的性质是解题的关键． 先设出第一个等腰直角三角形的直角边长，利用斜边中点在反比例函数上求出该边长，再依次求出后两个等腰直角三角形的直角边长，最后得到三个中点的纵坐标并求和． 【详解】 解：设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 解得（舍去负根）， ∴． 设， ∵是等腰直角三角形，是斜边中点， ∴， ∵在上， ∴， 代入，得， ∴， 解得（舍去负根）， ∴． ∴， 故选：D． 34．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）点P（m,n）是函数和图像的一个交点，则mn+2n-m的值为　　　　　　. 【答案】5 【分析】把P（m,n）分别代入两函数即可求出mn，与2n-m的值，即可进行计算. 【详解】把P（m,n）分别代入两函数得 mn=-3,2n-m=8,∴mn+2n-m=-3+8=5 【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数的图像，解题的关键是把点的坐标代入解析式求得关系式. 35．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，反比例函数的图像上有一点P，轴于点A，点B在y轴上，则的面积为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 设，则，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】 解：设， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键． 36．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第　　　　　　象限． 【答案】四 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】 解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 37．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，点P在反比例函数y=（x＜0）的图象上，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，已知矩形PAOB的面积为8，则k=　　　　　　． 【答案】-8 【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|=-8，再根据图象在二、四象限可确定k＜0，进而得到解析式． 【详解】解：∵S矩形PAOB=8， ∴|k|=8， ∵图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k=-8， 故答案为-8． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 38．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为　　　　　　　　　　．（请用“＜”连接） 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，由于，函数图象位于第一和第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，据此进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵反比例函数中的， ∴函数图象位于第一和第三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且 ∴， 故答案为：． 39．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数k的几何意义，直接根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】 解：点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点． ， 反比例函数图象在第二、四象限， ． 故答案为：． 40．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）若点都在反比例函数的图象上，则　　　　　　　（填“”或“”）． 【答案】 【分析】 根据题意求得，，进而即可求解． 【详解】 解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 41．（2026·四川巴中平昌中学·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，点B的坐标为． （1）求点A、B坐标； （2）求反比例函数和一次函数的解析式； （3）在y轴上存在一点P，使与相似，求P点的坐标． 【答案】（1），；     （2），；     （3）或．      【分析】 （1）先由，则设，，再运用勾股定理列式，得出，求出，再把点代入中，进行计算，即可作答． （2）易得反比例函数，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答． （3）先分别求出点，点，再结合相似三角形的判定与性质，进行分类讨论，即和，列式代入数值进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：过点A作轴于E． ∵， 设， ∴， 又∵， ∴在中， 即， ∴， ∴点代入反比例函数表达式中得， ∴反比例函数为， 把点代入中， 得， ∴点； (2) 小问详解： 解：由（1）得出反比例函数为， 依题意，把点分别代入中， 得 ， 可得 ， ∴一次函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：∵ ﹐ 令，得； 令，得， ∴点，点， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 若， 则 即， ∴， ∴点 ∵点，点，点， ∴； 若． 则， 即， ∵， ∴点， 综上，点P坐标为或． 【点睛】 本题考查了三角函数的相关运算以及勾股定理，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 42．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）已知反比例函数的图象经过点，则　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了待定系数法求反比例函数的系数k，把代入解析式，就可以得到k的值． 【详解】 解：根据题意，得． 故答案为：6． 43．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）已知，，在反比例函数的图象上，、、的大小关系是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象和性质，由可得反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，当时，；当时，，且在每一象限内，的值随着的增大而增大， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 44．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小为　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，分别计算各点的函数值，然后比较大小即可． 【详解】 解：对于点，有； 对于点，有； 对于点，有． ∵， ∴． 故答案为：． 45．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）如图，过反比例函数上一点作轴于．若，则　　　　　　　　　　　； 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】 解：根据题意可知：， 又反比例函数的图象位于第二、四象限，， 则． 故答案为：． 46．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性．根据解析式可得反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，再由即可得到答案． 【详解】 解；∵在中，， ∴反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 47．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在正比例函数的第一象限的上，过点作轴于点，点在点右侧的轴上，且，过点作轴的垂直线，交过点A的反比例函数的图象于点，连接，，若的面积为，那么的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设点A的坐标是，则，把代入得到，求出，，求出，得到，证明，则，求出k即可．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，数形结合是解题的关键． 【详解】 解：设点A的坐标是，则， 把代入得到， ∵， ∴， ∴， 当时，，即， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∵， 即， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 48．（25-26学年九上·四川成都·期中）已知点，在反比例函数的图象上，则有　　　　　　．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 本题考查了比较反比例函数值的大小． 根据反比例函数的解析式，得出反比例函数经过的象限，结合点，的坐标，即可求解． 【详解】 解：∵反比例函数的解析式为，， 故反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴． 故答案为：． 49．（25-26学年九上·四川成都·期中）考察函数的图象，当时，y的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的图象和性质，对于函数，当时，为负数，且随的增大而减小，趋近于但不等于，据此进行作答即可． 【详解】 解：依题意，当时，； 当时，随的增大而减小，且趋近于但不等于， 因此，的取值范围是， 故答案为：． 50．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接，若的面积为18，则k的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，求出的面积是解题的关键． 连接，根据点B与点A关于x轴对称，求出，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函数系数k的几何意义可求出k的值． 【详解】 解：如图，连接， ∵点B是点A关于x轴的对称点， ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∴． 又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 51．（25-26学年九上·四川绵阳安州区东辰国际学校·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于N、E两点，直线NE与坐标轴交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，交反比例函数图象于点M，已知点A坐标为，． （1）求a的值和反比例函数的解析式． （2）若，直接写出自变量x的取值范围． （3）若点D在x轴正半轴上，且，连接，，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）x的取值范围是或     （3）存在，P的坐标为或      【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3），设点的坐标为，则，即可求解． (1) 小问详解： （1）将点A的坐标代入得：， 解得， 故一次函数的表达式为① ， 令，则，故点； 在中，，，则， 而，则， 则点M的坐标为，则点C的纵坐标为3， 将点M的坐标代入并解得， 故反比例函数表达式为② (2) 小问详解： 联立① ② 得：，解得或， 故点N、E的横坐标分别为2，， 从函数图象看，，自变量x的取值范围是或； (3) 小问详解： ∵，则， 则， 设点P的坐标为， 则， 解得， 故点P的坐标为或． 【点睛】 本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 52．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；     （2）     （3）不等式的解集为或．      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． （1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． (1) 小问详解： 解：反比例函数的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则 ， 解得 ， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：由（1）知直线，， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． (3) 小问详解： 解：根据图象得：不等式的解集为或． 53．（25-26学年九上·四川达州万源中学·期末）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可． 【详解】 解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点， ∴，，则，，， ∵沿折叠得到， ∴，， 设，则，， 解得，，则， 设直线的表达式为， 则 ，解得 ， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组 ，解得 ， ∴， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键． 54．（25-26学年九上·四川巴中·期末）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线在第二象限交于点，与轴交于点，点是双曲线上的点，线段轴，点在点下方． （1）求，的值； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查一次函数和反比例函数图象的交点问题，根据围成图形面积求比例系数问题， （1）将代入，求出，即，再代入即可求出b； （2）求出，，结合，根据列方程解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意将代入，得，解得， ∴， 将代入得，解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ， ∵线段轴，点在点下方， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∴即， 解得． 55．（25-26学年九上·四川德阳成都外国语学校·期末）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点在边上，反比例函数与一次函数的图象交于点、． （1）求反比例函数和点、的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集 （3）在轴上找一点，使的周长最小，请求出此时点的坐标． 【答案】（1）；；     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，利用待定系数法求出函数的解析式，然后求出点E的坐标即可； （2）根据函数图象得出关于的不等式的解集即可； （3）作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接，此时，的周长最小，求得直线的解析式为，再求出点P的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴点，，， ∵点是边的中点， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得：， ∴点坐标为． (2) 小问详解： 解：根据函数图象可得：当或时，反比例函数在一次函数的上面， ∴关于的不等式的解集为或； (3) 小问详解： 解：如图，作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时最小，即的周长最小， ∵点D的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴点P的坐标为． 【点睛】 本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键． 56．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE． 有下列四个结论： ①△CEF与△DEF的面积相等； ②△AOB∽△FOE； ③△DCE≌△CDF； ④． 其中正确的结论是　　　　　　　　　　　　　　　　．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】① ② ④ 【详解】依题意EF∥CD,∴△CEF与△DEF的面积相等(均已EF为底，EF,CD间的距离为高)∵EF∥CD即AB∥EF∴△AOB∽△FOE；∵CE∥X轴，DF∥Y轴∴四边形ACEF,BEFD均为平行四边形∴AC=EF=BD即故① ② ④ 正确 57．（25-26学年九上·四川成都第四十九中学校·期中）如图，一次函数与x轴交于点，与y轴交于点B，并与反比例函数（）的图象交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）已知P为反比例函数（）的图象上一点，且，求点P的坐标； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？如存在，求出D点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）     （3）存在，或      【分析】 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定等知识，找到各个条件之间的关系是解题的关键． （1）先将点代入，求得一次函数的解析式，再求得点坐标，进而可求反比例函数的解析式； （2）设点，求得点，根据，得方程，由 为反比例函数的图像上一点，可得答案； （3）由点，点，点，可得，，，根据或时，可得两三角形相似即可求得的长，进而可求坐标． (1) 小问详解： 解：一次函数与轴交于点， ， ， 一次函数的解析式为：， 当时，， 点， ， ， 反比例函数的解析式为：； (2) 小问详解： 解：设点， 与轴交于点， 点， ， ， ， ， ， 为反比例函数的图像上一点， ， 点； (3) 小问详解： 解：点，点，点， ，，， ， ， 当或时， 以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似， 或， 或16， 点或． 58．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系 中，直线与双曲线  交于， 两点，与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为． （1）求双曲线和直线的表达式； （2）请直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围； （3）将直线向下平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，请求出直线的解析式． 【答案】（1）双曲线表达式为，直线的表达式为     （2）的取值范围或     （3）平移后的直线为或      【分析】 本题主要考查反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移，一元二次方程根的判别式等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）联立得 ，从而求得点，然后根据图象即可求解； （）设平移后的直线为，令，整理得，然后根据平移后的直线与双曲线只有一个交点，则有，再求出的值即可． (1) 小问详解： 解：∵直线与双曲线 交于点， ∴，， 解得：，， ∴双曲线表达式为，直线的表达式为； (2) 小问详解： 解：由（）得双曲线 表达式为，直线的表达式为， 联立得 ， 解得 或 ， ∴， ∴反比例函数值大于一次函数值的自变量的取值范围或； (3) 小问详解： 解：平移后的直线为， 令，整理得：， ∵平移后的直线与双曲线只有一个交点， ∴，解得：， ∴平移后的直线为或． 59．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段两端点分别在轴负半轴，轴负半轴上，△的面积为1，将线段绕平面内一点旋转，点的对应点在反比例函数第一象限的图象上，点的对应点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是点的横坐标的倍，则的值为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，坐标与图形变化旋转，明确三角形的面积等于三角形的面积是解题的关键．令点关于中心点的对应点为，由旋转的性质可知，，，，，故可设，则，由三角形面积公式可得，解得． 【详解】 解：令点关于中心点的对应点为， 由旋转的性质可知，，，，，， 设，则， 由题意可知， 解得． 故答案为：3． 60．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为 ，，，， 则 ，，的大小关系为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质，先根据点，求出反比例函数的解析式，再代入其他点的横坐标求出对应的纵坐标，最后比较大小，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得， ∴解析式为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， 故答案为：． 61．（25-26学年九上·四川成都列五中学·期中）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． (1) 小问详解： 解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得： ， ∴一次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； (3) 小问详解： 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 62．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为　　　　　　　　　　. 【答案】− 【分析】 把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得的值即可． 【详解】 ∵函数与y=x−1的图象的交点坐标为(a，b)， ∴b=，b=a−1， ∴=a−1， a−a−2=0， (a−2)(a+1)=0， 解得a=2或a=−1， ∴b=1或b=−2， ∴的值为−. 故答案为：−. 【点睛】 此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程 63．（25-26学年九上·四川成都郫都区第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； （3）在反比例函数图象上取一点，在轴上取一点，当为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为；     （2）点的坐标为；     （3）或或．      【分析】 本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，三角形的面积，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （）运用待定系数法即可求得反比例函数表达式，再联立方程组求得点B的坐标； （）设直线交轴于点，则，设，且，则，由，建立方程求解即可求得点的坐标； （）根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论． (1) 小问详解： 解：∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立得 ， 解得： ， ， ∴点的坐标为； (2) 小问详解： 解：设直线交轴于点， 令，得， 解得：， ∴， 设，且， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：设， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴由中点坐标公式和平行四边形的性质得 或 或 ， ∴ 或 或 ， ∴或或． 64．（25-26学年九上·四川资阳安岳中学·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）若点P是第二象限内反比例函数图像上的一点，的面积是的面积的3倍，求点P的坐标； （3）若点E在x轴的负半轴上，是否存在以点E，C，D为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3）存在；或      【分析】 (1)把代入解析式确定即可，把，代入解析式计算即可． (2)确定，，设，根据的面积是的面积的3倍，得到计算即可． (3)分点E在上和的延长线上，两种情况计算即可． (1) 小问详解： 把代入解析式得 ， ∴双曲线的解析式为； 把，代入解析式得 ， 解得 ∴直线的解析式为． (2) 小问详解： ∵双曲线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∵直线的解析式为， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， 解得， ∴． (3) 小问详解： 存在；理由如下： 过点B作垂足为F， ∵，，， ∴，，，． 当点E在上时，， 故不成立； 当点E在的延长线上时， 若， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 当点E在的延长线上时， 若， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 故存在这样的点E，且其坐标为或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 65．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的性质与两点间距离公式，解题的关键是根据 建立等式，通过因式分解和符号分析求解． 【详解】 解：由题意，， ， ， 移项得， 因式分解得， 即． 且， ， 即， 又，， ， 故答案为：． 66．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）函数，其中是的反比例函数，则的值是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据反比例函数的定义知m2-5=-1，且m-2≠0，据此可以求得m的值． 【详解】 ∵y=（m-2）x m^2−5是y关于x的反比例函数， ∴m2-5=-1，且m-2≠0， ∴（m+2）（m-2）=0，且m-2≠0， ∴m+2=0，即m=-2； 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 67．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，设与轴交于点，由题意得，，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，设与轴交于点， ∵反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 68．（25-26学年九上·四川成都盐道街中学·期中）如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】 解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 69．（25-26学年九上·四川成都石室联合中学·期中）如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 设点A的坐标为（a，b），结合AC=2，BD=1，EF=3可把点B、C、D的坐标及k1和k2用含a，b的式子表达出来，利用已知条件列出等式即可求得k1-k2的值． 【详解】 设点A的坐标为，则由题意可得点C的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， ∴，BD=， ∵BD=1， ∴，解得：， ∴． 故答案为2． 【点睛】 熟悉“反比例函数的图象和性质”及“平行于坐标轴的直线上两点间的距离与它们坐标间的关系”是正确解答本题的关键． 70．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点的左侧），连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接交轴于点． （1）若点的纵坐标为6，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，反比例函数图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若的面积为16，求反比例函数的表达式． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）先求出A点坐标，从而确定函数的解析式，再求B点坐标即可； （2）设直线与y轴的交点为F，直线与y轴的交点为H，过点H作交于点G，求出直线的解析式为，可得，设直线与x轴的交点为M，直线与x轴的交点为N，证明，得到，再证明，得到，从而确定点，通过求直线的解析式为，可求点； （3）设，，当时，根据根与系数的关系可知，则，连接，则的面积为8，通过求直线的解析式为，得到，再由面积，求出a的值，确定A点坐标后即可求函数的解析式． (1) 小问详解： 解：∵点A的纵坐标为6， ∴， 解得， ∴， 将A点代入中，， ∴反比例函数的解析式为， 当时，解得或， ∴； (2) 小问详解： 解：存在点E，使得，理由如下： 设直线与y轴的交点为F，直线与y轴的交点为H，过点H作交于点G， ∵， ∴， ∵，B点与C点关于原点对称， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ，解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， 设直线与x轴的交点为M，直线与x轴的交点为N， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，解得或， ∴； (3) 小问详解： 解：设，，当时，整理得， ∴， ∴， ∵B点与C点关于原点对称， ∴， 连接， ∵的面积为16，则的面积为8， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【点睛】 本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 71．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 　　　　　． 【答案】 【分析】 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】 解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 72．（25-26学年九上·四川巴中·期末）小红在制作装饰图案时，需要将角三等分，她运用古希腊数学家帕普斯（Pappus）研究“三等分角”问题时提出的方法，借助反比例函数的图象进行构造．如图，在平面直角坐标系中，将的顶点与原点重合，边与轴正方向重合，且，反比例函数的图象与射线交于点，以为圆心、的长为半径画弧，交反比例函数图象于点，分别过点和点作轴和轴的平行线，两线交于点，连接，得到，此时．请写出点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数交点情况，两点间距离公式，根据题意得到直线的解析式为，结合反比例函数求出点的坐标，进而求出，设点的坐标为，根据建立方程求解，即可解题． 【详解】 解：， 平分一象限， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， ， ，点在反比例函数图象上， 设点的坐标为， ， 整理得， 令，则， 代入上式得：， 解得或， 当时，，解得或， 经检验，或，使得，是该方程的解； 当时，，解得， 经检验，，使得，是该方程的解； ， ， 点的坐标为； 故答案为：． 73．（25-26学年九上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． （1）建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； （2）图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； （3）深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【答案】（1），，     （2） ① 结合表格数据画图如下： ② 不存在，理由： 所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园；     （3）①或；② 原矩形长为米，宽为米，（答案不唯一）      【分析】 （1）根据“新花园的周长是原花园的一半”，以及“新花园面积也是原花园的一半”建立关于的函数关系式，并求出的取值范围，即可解题； （2）① 根据列表、描点、连线的步骤画出这两个函数的图象即可； ② 根据所画的图象交点情况分析即可； （3）① 设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半，推出有解，结合一元二次方程根的判别式列不等式求解，即可解题； ② 利用① 中的结论，结合条件原矩形的长和宽均为正整数，找出存在这种“减半”矩形的原矩形即可． (1) 小问详解： 解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：① 根据题意列表如下： ② 略 0 10 20 30 30 0 40 20 (3) 小问详解： 解：① 设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ② 由① 题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 【点睛】 本题考查了求一次函数解析式，反比例函数解析式，画函数图象，根据图象交点情况求方程的解，一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于正确理解“减半”矩形的概念． 74．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图①，在中，于点D，，，，点E是上一动点（不与点A，D重合），在内作矩形，点F在上，点G，H在上，设，连接． （1）当矩形是正方形时，直接写出                      ，                      ； （2）设的面积为，矩形的面积为，令，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）； （3）如图②，点是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求面积的最小值，并说明理由． 【答案】（1），     （2）     （3） 的面积的最小值为4， 证明：如图② 中，连接， 由（2）可知点P在上， 设直线的解析式为， 把代入得到，， ∴， ∴， ∴），， ∴，， ∴的面积， ∴的面积的最小值为4．      【分析】 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型． （1）设．根据已知条件得到，求得，得到，根据正方形的性质设，根据等腰直角三角形的性质可得，根据勾股定理得到，，过点E作于M，根据三角形的面积公式得到，根据三角函数的定义得到； （2）根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，，求得，设，得到，再利用面积公式即可得到； （3）如图② 中，由（2）可知点P在上，设直线的解析式为，把代入得到，进一步求得，，根据三角形的面积公式即可得到结论． (1) 小问详解： 解：设， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，． 如图， 过点E作于M， ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴设，， ∴， ∴，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 略 75．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时，　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论． 分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可． 【详解】 解：如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点E， 设， ∴， ， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， （负舍），则， ∴ 如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点F， 设， 由题意，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴ 故答案为：或． 76．（25-26学年九上·四川成都树德中学·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数交于两点和F．且点在反比例函数图象上． （1）求反比例函数的解析式以及点F的坐标； （2）点P在反比例函数第一象限的图象上，连接，和，若，求点P的横坐标； （3）点M在x轴上运动，点N在反比例函数的图象上运动，以点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】（1），     （2）或     （3）或或      【分析】 （1）把代入，求得，则点，再把点代入，求得，即可得反比例函数解析式；然后联立两函数解析式，得 ，求解即可得点F坐标． （2）过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G，得四边形为矩形，则，所以，，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，过点P作轴交直线于点Q，则，根据，则，从而得，求解即可． （3）当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，分别求出点M坐标即可． (1) 小问详解： 解：把代入，得， 解得： ∴ 把代入，得， 解得：， ∴ 联立两函数解析式，得 ，解得： ， ， ∴． (2) 小问详解： 解：过点E，F，C作x、y轴的垂线，交于点I，H，G， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴ 设直线为， 将点，代入中， 则 解得 ， 所以直线的解析式为， 设点，过点P作轴交直线于点Q，则 ∴ ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴或， 解得或（其中，方程无解）， 故点P的横坐标为或． (3) 小问详解： 解：当为平行四边形的边时，则有和，当为平行四边形的对角线时，则有，如图， ∵，， 又∵点M在x轴上， ∴点F向上平移3个单位， ∴点E向上平移3个单位， ∴点N纵坐标为9，把代入，得， ∴， ∴点E向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴点F向上平移3个单位，向左平移个单位，与点重合， ∴； 同理可得； 连接交于P， ∵， ∴点P为与的中点， ∴， ∴ ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 综上，点E，F，M和N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为或或． 【点睛】 本题考查待定系数法求反比例函数、一次函数解析式，反比例函数图象性质，坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的性质，平移中的坐标变换．此题属一次函数与反比例函数、几何图形的综合题目，属中考试常考题型． 77．（25-26学年九上·四川隆昌第一中学·期中）直线与轴、轴交于．，与双曲线（是常数）交于点，四边形为矩形，在的图像上，且轴于，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，利用参数表示点、坐标是本题的关键． 由三角形相似，可得，设，则，可得点，，进而求得，，由反比例函数的性质可得，可求的值，即可求解． 【详解】 解：如图过点作轴 直线与轴交于点，与轴交于点， 点，点 ，， 四边形为矩形， ， ，， ， 轴 ， ， ， 设，则， ， ， 轴 ， ，即， ， 点， 点，点都在反比例函数上， ， ， ， 故选：C． 78．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）求m的值． （2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接． ①连接．若，求点M的坐标． ②过点M作于点D，若，求M的坐标． 【答案】（1）24     （2）①；②      【分析】 本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：； (2) 小问详解： 解：①如图，过点M作轴于点N， 对于， 当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵轴，点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：反比例函数解析式为， 设点M的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点M的坐标为； ②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵点M是反比例函数的图象上的一点， ∴， 解得：， ∵点M在点P的右侧， ∴点M的坐标为． 79．（25-26学年九上·四川达州通川区第八中学·期中）在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如下图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则　　　　　　．（用n的代数式表示） 【答案】． 【详解】试题分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，所以图中阴影部分的面积：，因为，所以=． 故答案为． 考点：图形的变化规律类问题． 80．（25-26学年九上·四川四川师大附·期中）定义：点关于原点的对称点为，以为边作等边，则称点为的“完美三角点”． （1）若，求点的“完美三角点”的坐标． （2）若点是双曲线上一动点，当点的“完美三角点”点在第四象限时， ①如图1，请问点是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由． ②如图2，已知点，点是线段上的动点，点在轴上，若以、这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）或；     （2）① 点在某一函数图象上运动，；②或．      【分析】 （1）则，可求；设，有，通过解方程可得，再进行运算即可； （2）① 设则，可求；设，有，通过解方程可得，，据此求解即可； ② 分三种情况讨论，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 设， ∴等边， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 整理得， 解得， 当时，， 当时，， ∴点N的坐标是或； (2) 小问详解： 解：① 点在某一函数图象上运动，理由如下， 设， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在第四象限，， ∴，， ∴ ∴，即； ② 当为平行四边形的边时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为1， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； 当为平行四边形的对角线时，C与B重合时， 通过平移可求得N的横坐标为3， ∵， ∴， ∴这一临界点通过平移可求得， ∴； C与A重合时，同理可得， 此时， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查反比例函数综合题，平行四边形的判定与性质，对新定义的理解是解题的关键. 81．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）如图1，已知反比例函数与直线交于点，两点（点在点的左侧）．点是双曲线上第一象限内一动点． （1）求反比例函数解析式及点坐标； （2）当的面积为8时，求此时点坐标； （3）如图2，当点在点左侧时，过点作直线的垂线，交于，交轴于点，交轴于，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）,     （2）P 点坐标为或     （3）是，定值为1      【分析】 本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是利用函数交点求解析式、利用面积公式列方程、通过坐标与勾股定理探究定值． （1） 将点代入直线方程求，求得点坐标，再利用中心对称性质确定点坐标； （2） 设点坐标，利用“割补法”表达出的面积，并建立方程求解； （3） 设点坐标，求出、坐标，利用勾股定理分别表示AP²、BP²、EF²，再计算比值． (1) 小问详解： 解：∵ 点在上， ∴ ，解得， 即，将其代入反比例函数中，可得， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 A与点B关于原点对称， ∴点． (2) 小问详解： 解：设（），利用面积“割补法”，得 （图1） 或（图2） 解得或，此时或． 综上， P 点坐标为或． (3) 小问详解： 解：是定值，定值为． 设（），又 设直线的解析式为（）． ∴ ， 解得，，代入，得直线的解析式为， 令，得． 设直线与交于原点，且． 在上取点，在上取点． 因，故为直角三角形． 由勾股定理得：． ∵，， ， 根据上述结果可知，因与相互垂直，故. ∴，    直线过，方程为， 令，解得． ， ， 又， 故． 答：该值为定值1． 82．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于点， （1）求、的值； （2）若反比例函数图像上有一点，当满足时，则称点为反比例函数的“倍数点”，过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、，延长交轴于点，连接，当点在直线下方时． ①试判断与的数量关系； ②试求倍数点的坐标． 【答案】（1），     （2）①；②      【分析】 本题考查一次函数与反比例函数综合，矩形的判定与性质，勾股定理； （1）把代入一次函数与反比例函数计算即可； （2）① 先求出，，再根据四边形为矩形，得到，则，最后根据轴，得到，即可得到； ② 由，得到，，，过作交于，则，，得到，，再根据，解得，即可求出点纵坐标，代入解析式求出点横坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵一次函数与反比例函数相交于点， ∴把代入得， ∴， 把代入得，解得； (2) 小问详解： 解：① 由（1）得反比例函数，， ∴， ∴， ∴， ∵过点、分别作轴的平行线，且两组平行线分别相交于点、， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴； ② ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 过作交于， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴（负值舍去）， ∴点纵坐标为， ∴点横坐标为， ∴． 83．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若，则直线与直线称为“等腰三角线”；反之，若直线与直线为“等腰三角线”，则 【构建联系】 （1）如图1，若直线与直线为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为、，求直线的解析式； 【深入探究】 （2）如图2，直线与双曲线交于点A、B，点C是双曲线上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为，直线、分别与x轴于点D、E； ①求证：直线与直线为“等腰三角线”； ②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接，当时，求出线段的值（用含n的代数式表示） 【答案】（1）； （2）① 证明：如图2，过点C作轴于点W，则，， 联立方程组 ， 解得 ， ， 、， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得 ， 解得 ， ， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入，得 ， 解得 ， ， 当时，解得， ， ，， ， ， ， ， 直线与直线为“等腰三角线”； ② 【分析】 （1）过点P作轴于点H，则，根据题意可证明，进一步求出，再利用待定系数法求出直线解析式即可； （2）① 过点C作轴于点W，则，，先求出点A、B坐标，再利用待定系数法求出直线和的解析式，继而得到它们与x轴的交点坐标，从而得到，进一步证明，即可得出结论； ② 过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则，利用角的转换得到，继而可得，从而，所以，再设，则，利用勾股定理建立方程，求出，即可进一步求得答案． 【详解】 解：（1）过点P作轴于点H， 直线与直线为“等腰三角线”， ， ， ， 点P、Q的坐标分别为、， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入，得 ， 解得 ， 直线的解析式为；   （2）① 略 ② 如图3，过点C作轴于点G，作CE的中垂线交CG于点H，则， ， ， 由① 可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了反比例函数与几何图形的综合应用，反比例函数与一次函数的图象的交点问题，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，解直角三角形等知识，综合运用反比例函数与几何图形的性质是解题的关键． 84．（25-26学年九上·四川成都树德实验中学·期中）已知：在平面直角坐标系中，点在反比例函数上． （1）求； （2）点在反比例函数的图象上，点在平面上，若四边形是菱形．求点的坐标； （3）点在反比例函数的图象上，直线与反比例函数相交于点，且点在第一象限，点在第三象限．若时，则直线是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标：若不是，请说明理由． 【答案】（1），     （2）点P的坐标为 或     （3）解：直线不过定点，理由： 设，，且， 则 同理可得 则 两边同乘： 展开左边第一项得 展开左边第二项（对称的，交换，）得 相加合并对称项： 等式右边 左右相等 两边除以： 设 分组：， 即， ， ， 所以或， 第一种情况， 设直线为，与双曲线相交， 所以， 整理得， 所以，， 由，得 所以直线：，截距任意（由决定的），所以不过定点， 第二种情况：，即， 所以，， 、都不是常数，所以不过定点， 综上所述：直线不过定点．      【分析】 （1）反比例函数的表达式为，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于这里，所以将点、分别代入函数表达式即可求解； （2）四边形是菱形时，则邻边，设，令，利用两点距离公式建立方程，即可求得P点的坐标； （3）设，，且，利用勾股定理建立方程，得到，直线与抛物线联立方程，解得直线，，不确定（但由决定的)或，即可得出直线不过定点． (1) 小问详解： 解：对于点，代入，得， 对于点，代入，得，； 故，． (2) 小问详解： 解：设在双曲线上， 菱形的性质：四边相等，对角线互相垂直平分 按照四边形顶点顺序， 所以 两点距离公式： 令，相减得， 前半部分： ， 后半部分： 中，令， 则， 代回，则， 则原方程为， 乘得：， ， 除以5得： ， ， 所以， (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、平面直角坐标系中几何与代数的结合以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 85．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知点、都是双曲线在第一象限内的点（点在点的右侧），过点作轴与过点作轴的直线交于点，连接并延长交双曲线于点，连接，的面积用表示，的面积用表示，若，则　　　　　　　　．（用含和的代数式表示） 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，直角坐标系，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质．如图，过点作轴，交的延长线于点，作轴，交的延长线于点，设，则，结合可得，，则，，，，进而得到，，，，，根据，，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作轴，交的延长线于点，作轴，交的延长线于点， 设，则， ，， ， ， ，，，， ，，，，， ， ， ， 故答案为：． 86．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知：双曲线． （1）若直线与双曲线交于点，求和的值； （2）在（1）的条件下，直线分别交轴、轴于点、，若的顶点在双曲线上，点在平面内，且的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标； （3）若点，点在双曲线的第二象限，连接并延长交双曲线于点，连接交双曲线于点（点在点的左侧），连接交轴于点，若点的横坐标为，求的长． 【答案】（1），；     （2）点的坐标为或或；     （3）的长为2．      【分析】 （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意平移直线与，有一个交点，利用根的判别式求得点的坐标为；再根据题意将直线向下平移个单位，得到直线解析式为，联立得，据此求解即可； （3）先求得点的坐标为，先后利用待定系数法求得直线、直线的解析式，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：对于直线， 当时，， ∴交点为， 将代入得，； (2) 小问详解： 解：由（1）得双曲线的解析式为， 对于直线， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵的面积是某个定值，符合条件的点有且只有三个， ∴双曲线上只有三个不同的点到的距离相等， ∴平移直线与双曲线只有一个交点时， 设平移后直线的解析式为， 联立得， 整理得， ， 解得（舍去）， ∴， ∴，， 此时点的坐标为； ∴平移后直线的解析式为，令，则， ∴直线是由直线向上平移个单位， 则直线向下平移个单位， 其解析式为， 联立得， 整理得， ， ∴， 则或， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或； (3) 小问详解： 解：∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴ ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为，即的长为2． 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数与一次函数的综合等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 87．（25-26学年九上·四川双流棠湖中学）已知：如图，反比例函数的图象与直线交于点和点． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）连接并延长交双曲线于点，在双曲线上找点（点不与点重合）使和的面积相等，求点的坐标； （3）点在轴的负半轴上，点在平面内上，点，以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，     （2）点的坐标为或或     （3）点的坐标为或或或      【分析】 本题考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识并分类讨论． （1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式和直线的解析式，再联立两个解析式即可求出点的坐标； （2）过作轴交直线于点，过作轴于直线点，先求出，推出，得到，设，则，得到，根据，，结合和的面积相等，即可求解； （3）由题意可得，，分三种情况：当为菱形的边，且时，当为菱形的边，且时，当为菱形的对角线时，根据菱形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：将点分别代入和得： ，， ，， 反比例函数的解析式为，直线的解析式为， 联立 ， 解得 或 ， ； (2) 小问详解： 如图，过作轴交直线于点，过作轴于直线点， 直线过原点且与双曲线关于原点对称， 点与点关于原点对称， ， ， ， 设，则， ， ，， 和的面积相等， ， 解得或或或（舍去）， 点的坐标为或或； (3) 小问详解： ，， ，， 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， 或； 当为菱形的边，且时， 设，则， ， 解得（舍去）或， ， 四边形是菱形， ，， ； 当为菱形的对角线时， ，的中点坐标为， ， ，； 综上所述，点的坐标为或或或． 88．（25-26学年九上·四川成都青羊实验学校·期中）如图1，反比例函数的图象经过点和点． （1）求a、k的值； （2）y轴上存在点C，使得点A、B、C构成等腰三角形，求点C坐标； （3）如图2所示，将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到曲线，过点，的直线与曲线l相交于点M、N，求的面积． 【答案】（1），     （2）或或或或     （3）      【分析】 本题考查反比例函数与一次函数综合题，反比例函数的性质，用待定系数法求函数解析式，函数图象的旋转变换，坐标变换． （1）根据题意列方程得到，求得点，把点代入得到； （2）设出点C坐标，利用两点距离公式求出、、，进而分类讨论建立方程求解即可； （3）由题意点，，可知，建立如图新的坐标系即可求直线的解析式，利用方程组求出M、N的坐标，根据△计算即可． (1) 小问详解： 解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， ∴点， 把点代入得， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）知，则，， 设， 则，，， 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得或9， ∴或； 当时，则， 解得， ∴或； 综上，或或或或． (3) 小问详解： 解：如图，过点E作轴于点G，过点F作轴于点H． ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 以O为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立新的平面直角坐标系， 在新坐标系中，，． 设直线的解析式为（）， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 由题意可知，曲线l的解析式为， 联立 解得 或 ， ∴，， ∴． 89．（25-26学年九上·四川成都成华区嘉祥外国语学校·期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）． （2）如图在直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【答案】（1）是     （2）①直线与双曲线相交于A，B两点， 联立 ，解得：，， 当时，；当时，， 点A在第二象限，点B在第四象限， 点A的坐标为，点B的坐标为； ，，， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中， ， ， 四边形是勾股四边形；     ②或或或      【分析】 （1）根据矩形的性质证明全等三角形，即可得到答案； （2）① 联立直线与双曲线，求出和的值，即可得到求出A、B两点的坐标；先利用勾股定理的逆定理，得到，再利用平行四边形的性质，证明，进而即可证明结论； ② 设点Q的坐标为，分情况讨论：① 当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；② 当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标；③ 当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，先证明是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可即可求得点的坐标；④ 当时，利用全等三角形的性质和平移的性质，即可求得点的坐标． (1) 小问详解： 解：四边形是矩形， ，，， 在和中， ， ， 矩形是勾股四边形， 故答案为：是； (2) 小问详解： 证明：① 略 ② 解：由（2）可知，，，， 设点Q的坐标为， ① 如图，当时，     ，， ，解得： ， ； ② 如图，当时，     ，， ，解得： ， ； ③ 如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，        ，， 直线， 令，则，解得：， ， ，轴， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，解得： ， ， ④ 如图，当时，     ，， ，解： ， ， 综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或． 【点睛】 本题是反函数综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数与一次函数交点问题，勾股定理，平移的性质等知识，运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题是解题关键． 90．（25-26学年九上·四川成都七中育才学校·期中）在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的函数图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接． （1）若点P的坐标为 ①如图1，连接，则的面积为_____； ②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长． （2）如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的函数图象上，且线段． ①求k的值． ②分别作点P和点Q关于直线的对称点，，连接．若线段与此时反比例函数的函数图象有交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①4；②4     （2）①24；②      【分析】 （1）① 先用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，再根据面积公式计算即可；② 过点P作于点E，连结，，设，，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可； （2）① 设，，根据，列方程求解，得到，从而得到，再将P，Q两点的坐标代入反比例函数的解析式，列方程求解， 解得答案； ② 分别求出线段与此时反比例函数的函数图象有交点的两个临界状态时的m的值，即可求得答案．具体是先求出，的坐标，求出直线的解析式，并利用一元二次方程根的判别式求出当直线与双曲线有唯一交点时的m的值，再根据轴对称的性质，求出点，在双曲线上时的m的值，最后根据图象即可得到答案． (1) 小问详解： 解：① 把的坐标代入，得， ， 反比例函数得解析式为， 设， 则，， 的面积为． 故答案为：4． ② 过点P作于点E，连结，， 四边形是矩形， ，，，，， 四边形和都是矩形， ，，， 设，，则，，， ， ， 点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即线段的长为4； (2) 小问详解： 解：① 设，，（）， ， ， 解得， ， ， ， 点P和点Q都在反比例函数在第一象限的函数图象上， ， 解得，； ② 由① 知，，，反比例函数解析式为， 对于直线， 当时， 当时， ，两点均在直线的上方， 点，均在直线的下方， 若线段与此时反比例函数的函数图象有交点， 则点，应都在第三象限， 过点P作轴，交直线于点M，连结，过点Q作轴，交直线于点N，连结， 直线与直线平行，且直线与x轴成角， 直线与x轴成角， 与直线成角， 点P和点Q关于直线的对称点，， 被直线垂直平分， ， ， ， 当时， ，且， ，即， 同理可得，， 当时， ，且， ，即， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 令， 方程整理得， 当直线与双曲线只有一个交点时，， 即， 解得， ， ； 由对称性可知，当时，即直线经过原点时，点，恰在反比例函数的图象上， ， 解得或11（舍去）， 同时， 解得或10（舍去）， ； 根据图形可得． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数与面积问题，相似三角形的判定与性质，图形轴对称的性质，一元二次方程根的判别式等知识，正确理解反比例函数的图象与几何变换的联系是解题的关键． 91．（25-26学年九上·四川成都第十二中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，经过两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，已知点的坐标为． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）若轴上有一动点，直线上有一动点．当最小时，求周长的最小值； （3）如图2，直线上是否存在一点，使得与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为；     （2）     （3）直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或．      【分析】 （1）先确定出点A，C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再用待定系数法求出反比例函数解析式，联立求出点E坐标； （2）先判断出，进而得出点G在上，且轴，即时，最小，进而求出点G坐标，作点G关于y轴的对称点，连接，则，再判断出点F在上时，的周长最小，即可求出答案； （3）设直线上点，由，得到，则，当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似，得到在右边，再根据或分情况讨论，根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立 解得， 或 ， ∵点E在第一象限内， ∴； (2) 小问详解： 解：如图1，过点G作轴于H， 由（1）知，，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点G在上，且轴，即时，最小，则最小，如图2， ∴ 作点关于y轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴当在上时最小，此时，的周长最小，其值为， 即周长的最小值为； (3) 小问详解： 解：设直线上点， ∵， ∴，， ∵， ∴当在左边时，是钝角三角形，不可能与相似， ∴在右边，则， 当时，则，，解得，此时； 当时，则，，解得，此时； 综上所述，直线上存在一点，使得与相似， 点的坐标为或． 【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标的求法，三角形的面积的求法，相似三角形判定和性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 92．（25-26学年九上·四川成都锦江区嘉祥外国语学校·期中）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上不与点重合的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图，将点绕点顺时针旋转90°得到点，当点恰好落在的图象上时，平面内是否存在一点使得、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 利用正比例函数的解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的表达式； 设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点的坐标即可； 如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则，证明≌，则，，设，表示，根据点在反比例函数的图象上，代入列方程可得的值，分三种情况：① 当是的对角线时，如图，连接，交于点，② 当是的对角线时，如图，③ 当是的对角线时，如图，即可解答 【详解】 反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 把坐标代入得，， ， 反比例函数的表达式为； 如图，设点，则， 点在反比例函数图象上， ， 整理得：， 解得负值已舍去， ； 如图，过点作轴，过点作于，过点作于，则， 由旋转得：，， ， ， ， ≌， ，， 设， ， ，， ， 即， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：舍，， ，； 分三种情况： ① 当是的对角线时，如图，连接，交于点， 是的中点，是的中点， ， 是菱形， ，， 的中点的坐标为， ， ； ② 当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； ③ 当是的对角线时，如图， ， 不可能是菱形， 此种情况不符合题意； 综上， 【点睛】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质与判定、菱形的性质、一元二次方程的解法等知识点，关键是数形结合的思想． 考点03 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·四川成都第二十中学校·期中）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为 ，若，则关于的函数图象是（    ）  A.   B.   C.   D.   E. E.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了反比例函数的应用，由题可得剪去的是两个一样的矩形，两个矩形的面积和为， 则有， 然后根据即可求解， 解题关键是正确的列出函数的关系式． 【详解】 解：∵剪去的是两个一样的矩形，两个矩形的面积和为， ∴， ∴是的反比例函数， ∵， ∴函数图象为选项， 故选：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $