四川省达州市渠县中学2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中数学模拟试题（一）

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟试题（一） 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．菱形和矩形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 2．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．y2+x＝1 B．x2+1＝0 C．x2+1＝0 D．x（x﹣4）＝x2+1 3．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝88°，BA＝BE，则∠BAE的度数为（　　） A．40° B．68° C．75° D．30° 5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A．3：4 B．3：1 C．9：1 D．9：16 6．根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3＝0有一个根的近似值（精确到0.1）是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3 ﹣0.36 ﹣0.01 0.36 0.75 A．1.5 B．1.2 C．1.3 D．1.4 7．如图，在矩形ABCD中分别以B，D为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与AD，BC相交于点E和点F．若AB＝2，AD＝4，则EO的长为（　　） A． B． C．1 D． 8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　） A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．用配方法解方程x2+6x＝2时，方程的两边同时加上 　　 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 10．若，则　　 ． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D为AB的中点，CD＝5，则AC边为______. 12．关于x的方程x2﹣2x+3m＝0的一个根为3，则m＝　　 ． 13．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D．作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝10，BF＝16，则EF的长为　　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．按要求解下列方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）； （2）6x2﹣3x＝2x﹣1（公式法）． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元． （1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售 　　 顶头盔，每月销售利润为 　　 元． （2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价． 17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE．过点O，E作直线BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEGF是矩形； （2）若四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，则矩形OEGF的面积为 　6　 ． 18．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N． （1）求证：△BFM∽△NFA； （2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AC＝BC，DN＝8，ME：EN＝1：2，求线段AC的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知线段AB＝10m，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 　　 ．（保留根号） 20．如图，延长AB到点E，使AE＝AC，以正方形ABCD的对角线AC为一边，以AE为另一边作菱形AEFC．若菱形AEFC的面积为，则正方形ABCD的边长为_______. 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0，若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，则k的值为　 ． 22．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC边上的一点，，D为AC边上的一点，连接AP，PD，若∠APD＝60°，则CD的长为　　 ． 23．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则HC：AC的值为　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°．OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：OM＝ON． （2）若正方形ABCD的边长为4，OE：ME＝1：3，求MN的长． 25．阅读材料：我们把b2﹣4ac叫做一元二次方程根的判别式，用Δ表示．如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为________； （2）若关于x的全整根方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x﹣6与x轴交于点C，与y轴交于点B．直线l2经过A，B两点，点A是x轴正半轴上一点，且OA＝4CO． （1）求直线l2的解析式； （2）点P是直线l2上一动点，在坐标平面内有一点Q．以B，P，C，Q四点为顶点的四边形为菱形时，求出点Q的坐标； （3）在直线l1上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与△ABC相似（相似比不为1）？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟试题（一） 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．菱形和矩形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直 【解答】解： ∵菱形、矩形都是特殊的平行四边形， ∴菱形和矩形都具有的性质即为平行四边形所具有的性质， ∴A、C、D都不正确， 故选：B． 2．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．y2+x＝1 B．x2+1＝0 C．x2+1＝0 D．x（x﹣4）＝x2+1 【解答】解：A．y2+x＝1，有2个未知数不是一元二次方程，故此选项不合题意； B．x2+1＝0，是一元二次方程，故此选项符合题意； C．x2+1＝0，有分式，故此选项不合题意； D．x（x﹣4）＝x2+1整理得：﹣4x﹣1＝0，是一元一次方程，故此选项不合题意； 故选：B． 3．如图，a∥b∥c，m分别交a、b、c于点A、B、C，n分别交a、b、c于点D、E、F，若AB＝6，BC＝4，EF＝3，则线段DE的长为（　　） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝6，BC＝4，EF＝3， ∴，即， ∴， 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝88°，BA＝BE，则∠BAE的度数为（　　） A．40° B．68° C．75° D．30° 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝88°， ∴， ∵BA＝BE， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴． 故选：B． 5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（　　） A．3：4 B．3：1 C．9：1 D．9：16 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB， ∴△DFE∽△BFA， ∵DE：EC＝3：1， ∴DE：DC＝3：4， ∴DE：AB＝3：4， ∴S△DFE：S△BFA＝9：16， 故答案为：D． 6．根据下面表格中的取值，方程x2+x﹣3＝0有一个根的近似值（精确到0.1）是（　　） x 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+x﹣3 ﹣0.36 ﹣0.01 0.36 0.75 A．1.5 B．1.2 C．1.3 D．1.4 【解答】解：∵x＝1.3时，x2+x﹣3＝﹣0.01；x＝1.4时，x2+x﹣3＝0.36， ∴方程x2+x﹣3＝0有一个根在1.3与1.4之间， ∴当根的近似值精确到0.1时，方程的一个根为1.3． 故选：C． 7．如图，在矩形ABCD中分别以B，D为圆心，以大于的长为半径画圆弧，连接圆弧的两个交点并延长，分别与AD，BC相交于点E和点F．若AB＝2，AD＝4，则EO的长为（　　） A． B． C．1 D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，∠A＝90°， ∵AD＝4，AB＝2， ∴，， 由作图可得：EF是BD的垂直平分线， ∴∠BOE＝∠DOE＝90°，BE＝DE， 设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x， ∴22+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝2.5， ∴BE＝DE＝2.5， ∴， 故选：A． 8．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PDEC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　） A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【解答】解：①如图，延长FP交AB于G，连PC，延长AP交EF于H， ∵GF∥BC， ∴∠DPF＝∠DBC， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠DBC＝45° ∴∠DPF＝∠DBC＝45°， ∴∠PDF＝∠DPF＝45°， ∴PF＝EC＝DF， ∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2， ∴DPEC． 故①正确； ②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8， 故②正确； ③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°， ∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形， 除此之外，△APD不是等腰三角形， 故③错误． ④∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， 由正方形为轴对称图形， ∴AP＝PC， ∴AP＝EF， 故④正确； ⑤由EF＝PC＝AP， ∴当AP最小时，EF最小， 则当AP⊥BD时，即APBD2时，EF的最小值等于2， 故⑤正确； ⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC， ∴PG＝PE， ∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°， ∴△AGP≌△FPE（SAS）， ∴∠BAP＝∠PFE， ∵GF∥BC， ∴∠AGP＝90°， ∴∠BAP+∠APG＝90°， ∵∠APG＝∠HPF， ∴∠PFH+∠HPF＝90°， ∴AP⊥EF， 故⑥正确； 本题正确的有：①②④⑤⑥； 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．用配方法解方程x2+6x＝2时，方程的两边同时加上 　9　 ，使得方程左边配成一个完全平方式． 【解答】解：x2+6x＝2， x2+2×3x+32＝2+32， x2+2×3x+9＝2+9， （x+3）2＝11， 即方程的两边同时加上9，使得方程左边配成一个完全平方式， 故答案为：9． 10．若，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴， 即． 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，点D为AB的中点，CD＝5，则AC边为___6___. 【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AB＝2CD＝10， ∴AC6． 故答案为：6． 12．关于x的方程x2﹣2x+3m＝0的一个根为3，则m＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+3m＝0的一个根是3， ∴32﹣2×3+3m＝0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 13．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D．作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝10，BF＝16，则EF的长为　26　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAF+∠DAE＝90°， BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， ∴∠AFB＝∠AED＝90°， ∵∠BAF+∠ABF＝90°， ∴∠ABF＝∠DAE， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE＝10，AE＝BF＝16（全等三角形的对应边相等）， ∴EF＝AE+AF＝16+10＝26． 故答案为：26． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．按要求解下列方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）； （2）6x2﹣3x＝2x﹣1（公式法）． 【解答】解：（1）原方程配方可得： x2﹣2x+1＝2+1， （x﹣1）2＝3， ， ， ∴，． （2）∵a＝6，b＝﹣5，c＝1， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×6×1＝25﹣24＝1， ∴， ∴，． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4（2m﹣2） ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：由条件可知（x﹣2）[x﹣（m﹣1）]＝0， ∴x1＝2，x2＝m﹣1， 不妨设AB＝2，AC＝m﹣1， 当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形，则2＝m﹣1，解得m＝3， 此时AB＝AC＝2，BC＝5， 由于2+2＝4＜5，这不能围成三角形，则m＝3不符合题意； 当AC＝BC时，△ABC为等腰三角形，则5＝m﹣1，解得m＝6， 此时AC＝BC＝5，AB＝2， 由于5+2＞5，这能围成三角形，符合题意； ∴当△ABC是等腰三角形时，m＝6． 16．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价1元，每月多售出20顶，已知头盔的进价为每顶50元． （1）若每顶头盔降价10元，则每月可销售 　400　 顶头盔，每月销售利润为 　8000　 元． （2）若商店为了减少库存，准备降价销售这批头盔，同时确保每月的销售利润为7500元，求头盔的销售单价． 【解答】解：（1）每顶头盔降价10元，则每月可销售200+10×20＝400（顶）， 每月销售利润为（80﹣50﹣10）×400＝8000（元）， 故答案为：400；8000； （2）设降价x元，每月的利润为7500元， 根据题意，得（80﹣x﹣50）（200+20x）＝7500， 化简方程可得 x2﹣20x+75＝0， 解得 x1＝15，x2＝5， ∵商店要减少库存， ∴x＝15． 80﹣15＝65（元）． 答：头盔的销售单价为65元． 17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD边的中点，连接OE．过点O，E作直线BC的垂线，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形OEGF是矩形； （2）若四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，则矩形OEGF的面积为 　6　 ． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD， ∵E是CD边的中点， ∴DE＝CE， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥BC， 即OE∥FG， ∵OF⊥BC，EG⊥BC， ∴OF∥EG， ∴四边形OFGE是平行四边形， ∵∠OFG＝90°， ∴四边形OEGF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝∠COD＝90°，OB＝OD3， ∴BC＝CD5， ∵E是CD边的中点， ∴OECD， ∵OF⊥BC， ∴S△BOCBC•OFOB•OC， ∴OF， ∴矩形OEGF的面积＝OF•OE6， 故答案为：6． 18．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N． （1）求证：△BFM∽△NFA； （2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AC＝BC，DN＝8，ME：EN＝1：2，求线段AC的长． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AB， ∴∠BFM＝∠AFN＝90°， ∵BE是△ABC的高， ∴∠BEA＝90°， ∴∠ABE+∠EAB＝90°，∠ANF+∠EAB＝90°， ∴∠FBM＝∠ANF， 又∵∠BFM＝∠AFN＝90°， ∴△BFM∽△NFA； （2）解：DF2＝FM•FN，理由如下： ∵△BFM∽△NFA， ∴， ∴FM•FN＝BF•AF， ∵AD、BE是△ABC的两条高， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠BDF＝90°，∠BFD＝∠AFD＝90°， ∴∠FAD＝∠FDB， ∴△BDF∽△DFA， ∴， ∴BF•AF＝DF2， ∴DF2＝FM•FN； （3）解：∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC， ∵∠FAN+∠N＝∠ABD+∠BAD＝∠EMN+∠N＝90°， ∴∠FAN＝∠EMN＝∠BMF，∠FDB＝∠N＝∠FAD， ∴△BFM∽△NEM，△NEM∽△DFB， ∵ME：EN＝1：2， ∴， ∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM， ∵DF2＝FM•FN，DN＝8， ∴（4FM）2＝FM•（4FM+8）， 解得：，FM＝0（不符合题意舍去）， ∴，， ∴， ∵∠N＝∠N，∠MEN＝∠AFN， ∴△MEN∽△AFN， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BFD中， ， 在Rt△ABD与Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴， 解得：； B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．已知线段AB＝10m，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为 　5（1）　 ．（保留根号） 【解答】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点， 且AC＞BC，AC为较长线段； 则AC＝105（1）． 故答案为：5（1）． 20．如图，延长AB到点E，使AE＝AC，以正方形ABCD的对角线AC为一边，以AE为另一边作菱形AEFC．若菱形AEFC的面积为，则正方形ABCD的边长为___4____. 【解答】解：设正方形的边长为BC＝a， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， 依题意，得：，即， 解得a＝4（舍去负值）． 故答案为：4． 21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2+3＝0，若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝14，则k的值为　﹣2　 ． 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2+3）＝4（k2﹣2k+1）﹣4k2﹣12＝4k2﹣8k+4﹣4k2﹣12＝﹣8k﹣8≥0，， 解得：k≤﹣1． ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝14， 即x1x2﹣（x1+x2）+1＝14， ∴k2+3﹣2（k﹣1）+1＝14， 整理，得，k2﹣2k﹣8＝0， 解得：k1＝4，k2＝﹣2（舍去）， 所以k的值是﹣2． 故答案为：﹣2． 22．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC边上的一点，，D为AC边上的一点，连接AP，PD，若∠APD＝60°，则CD的长为　　 ． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝3，， ∴BP＝1，CP＝2， ∵∠APC是△ABP的外角， ∴∠APC＝∠B+∠BAP， 又∵∠APC＝∠APD+∠DPC，且∠APD＝60°， ∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠DPC， ∴60°+∠BAP＝60°+∠DPC， ∴∠BAP＝∠DPC， ∵∠B＝∠C， ∴△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 23．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别与AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则HC：AC的值为　5：6　 ． 【解答】解：连接BD，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AC⊥BD，AD＝BC， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∵DE∥BF， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴DE＝BF， 由AE：FB＝1：2，可设FB＝DE＝2x，AE＝x，则BC＝AD＝3x， ∴CF＝BF+BC＝5x， ∴AE：CF＝x：5x＝1：5， ∵AE∥CF， ∴△AEH∽△CFH， ∴AH：CH＝AE：CF＝1：5， ∴HC：AC＝5：6， 即HC：AC的值为． 故答案为：5：6． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°．OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN． （1）求证：OM＝ON． （2）若正方形ABCD的边长为4，OE：ME＝1：3，求MN的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，∠DAB＝∠ABC＝90°，OA＝OB， ∵∠EOF＝90°， ∴∠AOM＝90°﹣∠MOB＝∠BON，∠OAM＝∠OAB+∠BAM＝45°+90°＝135°＝180°﹣∠OBA＝∠OBN， 在△AOM和△BON中， ， ∴△AOM≌△BON（ASA）， ∴OM＝ON； （2）解：过O作OG⊥AD于G，如图所示： ∵在正方形ABCD中，OA＝OD，∠OAD＝45°， ∴OG＝AGAD4＝2， ∵OG⊥AD，∠MAB＝90°， ∴OG∥AB， ∴， ∴， ∴AM＝6， ∵△AOM≌△BON， ∴AM＝BN＝6， ∴AN＝10， 在Rt△AMN中，MN2． 25．阅读材料：我们把b2﹣4ac叫做一元二次方程根的判别式，用Δ表示．如果Δ的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．例如：方程2x2﹣x﹣1＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用Q（a，b，c）表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“关爱码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“全整根方程”． ①当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是　　 ； ②若该全整根方程的“关爱码”是﹣1，则m的值为　﹣1或3　 ； （2）若关于x的全整根方程x2+（1﹣m）x+m+4＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 【解答】解：（1）①当m＝2时，x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝2， ∴x2﹣3x+2＝0是“全整根方程”， ∵， 即当m＝2时，该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ②∵该全整根方程x2﹣（m+1）x+m＝0的“关爱码”是﹣1， ∴，[﹣（m+1）]2﹣4m≥0， 解得m1＝﹣1，m2＝3， 当m1＝﹣1时，[﹣（m+1）]2﹣4m≥0， 当m1＝3时，[﹣（m+1）]2﹣4m≥0， 故答案为：﹣1或3； （2）由题意可得，， ∴（m+n）（m﹣n﹣2）＝0， ∵m，n均为正整数， ∴m+n＞0， ∴m﹣n﹣2＝0， 解得m﹣n＝2． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x﹣6与x轴交于点C，与y轴交于点B．直线l2经过A，B两点，点A是x轴正半轴上一点，且OA＝4CO． （1）求直线l2的解析式； （2）点P是直线l2上一动点，在坐标平面内有一点Q．以B，P，C，Q四点为顶点的四边形为菱形时，求出点Q的坐标； （3）在直线l1上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与△ABC相似（相似比不为1）？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）直线l1：y＝2x﹣6与x轴交于点C，与y轴交于点B， 当x＝0时，得：y＝﹣6； 当y＝0时，得：2x﹣6＝0， 解得：x＝3， ∴B（0，﹣6），C（3，0）， ∴OC＝3， ∵点A是x轴正半轴上一点，且OA＝4CO， ∴OA＝12， ∴A（12，0）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线l2的解析式为； （2）设， ∵B（0，﹣6），C（3，0）， 则，，BC2＝32+62＝45， 设Q（m，n）， ①当BP＝CP时， ∴， 解得：， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当BP＝BC时， ∴， 解得：t＝6或t＝﹣6， ∴P（6，﹣3）或P（﹣6，﹣9）， 当P（6，﹣3）时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴Q（9，3）； 当P（﹣6，﹣9）时，根据中点坐标公式得： ， 解得：， ∴Q（﹣3，﹣3）， 综上所述，或Q（9，3）或Q（﹣3，﹣3）； （3）在直线l1上存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与△ABC相似（相似比不为1）；理由如下： 设M（m，2m﹣6）， ∵C（3，0），B（0，﹣6）， ∴MC2＝（m﹣3）2+（2m﹣6）2＝5（m﹣3）2，MB2＝m2+（2m﹣6+6）2＝5m2， 由勾股定理得：， 由题意知，点M与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与△ABC相似时，分△M1BA∽△ABC，△M2AC∽△ABC两种情况； 当△M1BA∽△ABC时，得：， ∴， 解得：， ∴， 解得：m＝12（负值已舍去）， ∴M1（12，18）； 当△M2AC∽△ABC时，得：， ∴， 解得：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴M2（﹣2.4，﹣10.8）， 综上所述，在直线l1上存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与△ABC相似（相似比不为1）；点M的坐标为（12，18）或（﹣2.4，﹣10.8）． 学科网（北京）股份有限公司 $