四川省达州市渠县中学2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中数学模拟试题（二）

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟试题（二） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．x（x﹣3）﹣x2＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣3x﹣2＝0 D．2x2﹣y﹣1＝0 2．下列命题是假命题的是（　　） A．两组边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 3．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则该菱形ABCD的面积是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 5．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则m3﹣2m2的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是（　　） A．△ABD B．△CDF C．△BCD D．△ACE 7．如图，四边形OABC是正方形，O，A两点的坐标分别是O（0，0），A（﹣4，0），点B在第二象限，则点B的坐标是（　　） A．（4，4） B．（4，﹣4） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣4，4） 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则 　　 ． 10．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　　 ． 11．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 　　 ． 12．为迎接杭州亚运会，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），其余部分铺设草坪，草坪的总面积为560平方米，根据题意列出的方程为__________． 13．如图，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC的平分线交AC于点D，在BD的延长线上取一点E，使得BD＝DE，连接CE，则的值为________. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（9分）用适当的方法解下列方程． （1）x2﹣10x+16＝0； （2）3x2﹣6x﹣1＝0； （3）x（x﹣2）+（x﹣2）＝0． 15．（8分）如图，等边△ABC的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，CE＝4，∠BAD＝∠E． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）求AD的长． 16．（10分）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为　　 盒，每天盈利　　 元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 17．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　 ；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 18．（11分）如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE、OE交DC于点F． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AD＝6，求OF的长． （3）如图2，连接AE交OD于点G，若AB＝3，DE＝2，求BG的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．关于x一元二次方程x2﹣2026x+m＝0有一个根是x＝1，则m的值是　　 ． 20．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为　　 cm． 21．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是________. 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是边AB的中点，连接DE与AC相交于点O，作OH⊥BC，则BH的长是 　　 ． 23．如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，连接EF，AH⊥EF于点H，交BC于点G，若BG＝2，CG＝1，则DE的长为　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． ∴a＝1，b＝﹣7，c＝12． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×12＝1＞0． ∴． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，． 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 25．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，OB＝3，求AE的长． 26．（12分）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． 实践探究：（1）如图1，若∠CBE＝15°，则的值为 　　 ； （2）如图2，当CE＝4，AF•FD＝12时，求的值； 问题解决：（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期期中数学模拟试题（二） （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．x（x﹣3）﹣x2＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣3x﹣2＝0 D．2x2﹣y﹣1＝0 【解答】解：A选项，原方程化简得：﹣3x＝0，不符合题意； B选项，没有强调a≠0，不符合题意； C选项，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，符合题意； D选项，含有2个未知数，不符合题意； 故选：C． 2．下列命题是假命题的是（　　） A．两组边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法是假命题，不符合题意； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，不符合题意； 有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意， 故选：A． 3．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm， ∴， ∴， 解得：DF＝27cm． ∴BF＝BD+DF＝72cm， ∴BF＝BD+DF＝72cm， 故选：C． 4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则该菱形ABCD的面积是（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【解答】解：菱形ABCD的面积AC•BD6×4＝12， 故选：B． 5．若m是方程x2﹣x﹣1＝0的根，则m3﹣2m2的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1， ∴m3﹣2m2＝m（m2﹣m）﹣m2＝m﹣m2＝﹣1． 故选：A． 6．如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是（　　） A．△ABD B．△CDF C．△BCD D．△ACE 【解答】解：∵BD⊥AC、CE⊥AB， ∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°， ∵∠FBE＝∠ABD， ∴△FBE∽△ABD， ∵∠BFE＝∠CFD， ∴△BFE∽△CFD， ∵∠FCD＝∠ACE， ∴△CFD∽△CAE， ∴△BFE∽△CAE， 综上所述，图中与△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE这3个， 图中与△BEF不相似的三角形是△BCD． 故选：C． 7．如图，四边形OABC是正方形，O，A两点的坐标分别是O（0，0），A（﹣4，0），点B在第二象限，则点B的坐标是（　　） A．（4，4） B．（4，﹣4） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣4，4） 【解答】解：∵四边形OABC是正方形，O，A两点的坐标分别是O（0，0），A（﹣4，0）， ∴AB＝AO＝4， 又∵点B在第二象限， ∴点B的坐标是（﹣4，4）， 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（　　） A．1.2 B．1.5 C．2 D．2.4 【解答】解：连接AP，如图： ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠AEP＝∠AFP＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， 要使EF最小，只要AP最小即可， 当AP⊥BC时，AP最短， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∵△ABC的面积4×35×AP， ∴AP＝2.4， 即EF＝2.4， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若，则 　　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∴1， 故答案为：． 10．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程， ∴|m|＝1，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 11．当四边形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此四边形为“特征四边形”．已知一个菱形是“特征四边形”，这个菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是 　1：　 ． 【解答】解：∵菱形中一个内角α是另一个内角β的两倍， ∴α＝2β， ∵菱形相邻的内角互补， ∴α+β＝180°， ∴2β+β＝180°， ∴β＝60°， ∴菱形最短的对角线与最长的对角线长度之比是1：． 故答案为：1：． 12．为迎接杭州亚运会，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），其余部分铺设草坪，草坪的总面积为560平方米，根据题意列出的方程为 　（30﹣x）（20﹣x）＝560　 ． 【解答】解：∵道路的宽为x米， ∴铺设草坪的面积等于长为（30﹣x）米、宽（20﹣x）米的矩形面积． ∵草坪的面积为560平方米， ∴（30﹣x）（20﹣x）＝560． 13．如图，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC的平分线交AC于点D，在BD的延长线上取一点E，使得BD＝DE，连接CE，则的值为________. 【解答】解：∵BC＝2AB，BD＝DE ∴， ∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBE， ∴△BDF∽△BEC， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（9分）用适当的方法解下列方程． （1）x2﹣10x+16＝0； （2）3x2﹣6x﹣1＝0； （3）x（x﹣2）+（x﹣2）＝0． 【解答】解：（1）x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣8＝0， 解得x1＝2，x2＝8； （2）3x2﹣6x﹣1＝0， 3x2﹣6x＝1， ， ， ， ∴， ∴，； （3）提公因式可得： （x+1）（x﹣2）＝0， ∴x+1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝2． 15．（8分）如图，等边△ABC的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，CE＝4，∠BAD＝∠E． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）求AD的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ECA＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAD＝∠E， ∴△ABD∽△ECA． （2）解：∵等边△ABC的边长为2，CE＝4， ∴BA＝CA＝BC＝2， ∵△ABD∽△ECA， ∴， ∴BDCA2＝1， ∴ED＝BD+BC+CE＝1+2+4＝7， ∵∠BAD＝∠E，∠D＝∠D， ∴△ABD∽△EAD， ∴， ∴AD2＝BD•ED＝1×7＝7， ∴AD或AD（不符合题意，舍去）， ∴AD的长为． 16．（10分）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为　40　 盒，每天盈利　400　 元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【解答】解：（1）根据题意得：当销售价为110元/盒时，每天的销售量为204＝40（盒）； 每天盈利（110﹣100）×40＝400（元）． 故答案为：40，400； （2）设每盒茶叶降价x元，则每盒的销售利润为（120﹣x﹣100）元，每天可售出（204）盒， 根据题意得：（120﹣x﹣100）（204）＝432， 整理得：x2﹣10x+16＝0， 解得：x1＝2，x2＝8． 答：当每盒茶叶降价2元或8元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 17．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　①　 ；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【解答】解：（1）解方程①得， x1＝0，x2＝1． 因为|1﹣0|＝1， 所以方程①符合题意； 解方程②得， x1＝﹣1，x2＝5． 因为|﹣1﹣5|＝6≠1， 所以方程②不符合题意， 故答案为：①； （2）由x2+2ax＝0得， x1＝0，x2＝﹣2a． 因为此方程为“差根方程”， 所以|﹣2a﹣0|＝1， 解得； （3）令AB＝m，AC＝n， 则m2+n2＝BC2＝7． 又因为|m﹣n|＝1， 则（m﹣n）2＝1， 所以m2+n2﹣2mn＝1， 则mn＝3． 因为（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13， 所以m+n（舍负）， 所以这个“差根方程”为． 18．（11分）如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且，连接CE、OE交DC于点F． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）若AD＝6，求OF的长． （3）如图2，连接AE交OD于点G，若AB＝3，DE＝2，求BG的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC，AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∵DEAC ∴OC＝DE， ∵DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠COD＝90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：由（1）可知，OA＝DE， ∵DE∥AC， ∴四边形OADE是平行四边形， ∴OE＝AD＝6， ∵四边形OCED是矩形， ∴OFOE＝3； （3）解：由（2）可知，四边形OADE是平行四边形， ∴OA＝DE＝2，OG＝DGOD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OB， ∴OD＝OB， ∴OGOD， ∴BG＝OB+OG． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．关于x一元二次方程x2﹣2026x+m＝0有一个根是x＝1，则m的值是　2025　 ． 【解答】解：由条件可得：12﹣2026×1+m＝0， 计算得：1﹣2026+m＝0，即﹣2025+m＝0， 解得：m＝2025． 故答案为：2025． 20．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦AC长为80cm，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦BC长为　　 cm． 【解答】解：∵二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦BC长为xcm， 且二胡的琴弦AC长为80cm 则有， 解得， 故答案为：． 21．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是___a≤2且a≠1_____. 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2x+1＝0有实数根， ∴， 解得：a≤2且a≠1， ∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1． 故答案为：a≤2且a≠1． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是边AB的中点，连接DE与AC相交于点O，作OH⊥BC，则BH的长是 　2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝4，BC＝6， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，AB∥CD，∠B＝90°， ∵点E是边AB的中点， ∴AEAB＝2， ∵AB∥CD， ∴△OAE∽△OCD， ∴， ∵OH⊥BC， ∴∠OHC＝90°， ∴∠B＝∠OHC＝90°， ∴OH∥AB， 由平行线分线段成比例定理得：， ∴CH＝2BH， ∴BC＝BH+CH＝3BH＝6 ∴BH＝2． 故答案为：2． 23．如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABF，连接EF，AH⊥EF于点H，交BC于点G，若BG＝2，CG＝1，则DE的长为　0.6　 ． 【解答】解：如图，连接EG， ∵BG＝2，CG＝1， ∴BC＝BG+CG＝2+1＝3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝3， 由旋转可得AE＝AF，DE＝BF， ∵AG⊥EF， ∴H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴EG＝FG， 设DE＝x，则BF＝DE＝x，FG＝BF+BG＝x+2，CE＝CD﹣DE＝3﹣x， ∴EG＝x+2， 在Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2， ∴（3﹣x）2+12＝（x+2）2， 解得x＝0.6； 即DE＝0.6； 故答案为：0.6． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2． ∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0． ∴a＝1，b＝﹣7，c＝12． ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×1×12＝1＞0． ∴． 解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，． 当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣8（x2+x）+12＝0． （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 【解答】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣8y+12＝0， 解得y1＝2，y2＝6， 当x2+x＝2时，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1； 当x2+x＝6时，即x2+x﹣6＝0， 解得x3＝2，x4＝﹣3； ∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1，x3＝2，x4＝﹣3； （2）设x＝a2+b2（x≥0），则x2﹣3x﹣10＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣2（舍去）， ∴a2+b2＝5． 25．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且 BE＝DF，AC＝EF，连接AE、CE、CF、AF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若，OB＝3，求AE的长． 【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD． ∵BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形， 又∵AC＝EF， ∴四边形AECF是正方形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形． 由勾股定理得：． 又∵四边形AECF是正方形，AC＝EF，且AC、EF互相平分， ∴OE＝OA＝2， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2． 26．（12分）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． 实践探究：（1）如图1，若∠CBE＝15°，则的值为 　　 ； （2）如图2，当CE＝4，AF•FD＝12时，求的值； 问题解决：（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值． 【解答】解：（1）根据折叠的性质，得BF＝BC，∠FBE＝∠CBE＝15°， ∴∠FBC＝∠FBE+∠CBE＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD， ∴∠AFB＝∠FBC＝30°， ∵∠A＝90°， ∴BF＝2AB， ∴BC＝2AB， ∴， 故答案为：； （2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴， ∴AF•DF＝AB•DE， ∵CE＝4，AF•FD＝12，AB＝CD＝DE+CE， ∴（4+DE）•DE＝12， 解得：DE＝2或﹣6（不合题意，舍去）， ∴AB＝4+2＝6， ∵EF＝CE＝4， ∴DF2， ∴AF2， ∴BC＝AD＝AF+DF＝224， ∴； （2）过N作NG⊥BF于点G，如图， ∵BM平分∠ABF，AD⊥AB，NG⊥BF， ∴AN＝GN， ∵BN＝BN， ∴Rt△ABN≌Rt△GBN（SAS）， ∴BG＝AB， ∵∠NGF＝∠A＝90°，∠NFG＝∠BFA， ∴△NGF∽△BAF， ∴， ∵NF＝AN+FD， ∴AD＝BC＝2NF， ∴AB＝2GN， 设AN＝GN＝a，FD＝b，则NF＝a+b，AB＝2a，AD＝BF＝BC＝2a+2b， ∴FG＝BF﹣BG＝2b， 在Rt△NFG中，由勾股定理得：FG2+GN2＝NF2， 即（2b）2+a2＝（a+b）2， 即b， ∴BC＝2a+2aa， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $