2026-2027学年四川甘孜州九年级数学上学期期中模拟仿真卷

**基本信息** 立足数学核心素养，以北师大版九年级上册前三章为范围，通过秦九韶“大衍求一术”（第7题）、校园花圃设计（第17题）等文化与生活情境，分层考查特殊四边形、相似、一元二次方程等知识，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|知识覆盖|命题特色| |----|----------|----------| |解答题|特殊四边形判定（第16题）、相似应用（第18题）、方程应用（第17题）|第17题结合栅栏围花圃实践，考查建模与二次函数最值，体现应用意识；第20题几何综合题，融合平行四边形性质与逻辑推理，发展推理能力| |B卷解答题|中外比定义（第25题）、动态几何（第28题）|第25题引入数学文化定义，第28题通过正方形动态运动考查空间观念，适配能力提升需求|

2026-2027学年上学期期中模拟卷（甘孜州专用） 九年级数学上册 注意事项： 1．本试卷分第A卷和第B卷两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．请将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：第一章~第三章（北师大版2024）。 4．考试结束后，只交答题卡。 A卷 第Ⅰ卷(选择题) 一、单项选择题 1.关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　） A．邻边相互垂直 B．对角线相互垂直 C．是中心对称图形 D．对边相等 2.关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 4.已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 5.下列关于菱形的说法中正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线相等且互相平分且平分 C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相平分的四边形是菱形 6.正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分 7.我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（    ） A． B． C． D． 8.如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 9.将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，CE交BO于点E，过点B作，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第ⅠⅠ卷(非选择题) 二、填空题 11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°． 12.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________． 13.如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上移动，点关于直线的对称点记为，连接、、．当四边形为正方形时，的长为________． 14.方程的两个根分别是，则 三、解答题 15.（1）解方程：； （2）解不等式组：． 16.如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 17.综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 18.如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 (1)求证：四边形是菱形： (2)若平行四边形的周长为，求的长． 19.已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20.如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． B卷 一、填空题 21.若，则的值为 ． 22.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为 ． 23.如图，把放大后得到，则与的相似比是 ． 24.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为 ． 二、解答题 25.定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） 26.如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 27.国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 28.如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 参考答案 1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.A 8.D 9.C 10.D 11. 12. 13. 14. 15.解：（1）， 方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，． （2）， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为． 16.证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 17.解：（1）设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大 18.（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2）解：∵ ∴ ∵平行四边形的周长为22， ∴菱形的周长为： ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵． 19.（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20.（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 21.4 22.195 23.1：3 24． 25.（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． 26.证明：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）∵是等边三角形，，， ∴， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 27.解：（1）设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 28.解：（1）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $