专题08 二次根式（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题08 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）在3.14，，，，，，中，无理数的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 4．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）已知，则的算术平方根是（       ） A.  B.  C. ±2 D. 2 5．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（       ） A. 2a B. 0 C.  D. 2b 6．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）函数中自变量的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　　． 8．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）若是二次根式，则x的取值范围是　　　　　　． 9．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若有意义，则的取值范围是　　　　　　． 10．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）若式子有意义，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知x，y为实数，且，则　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）代数式的值最大时，的值为　　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）已知，则为　　　　　　． 15．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）计算：　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如果，那么的平方根是　　　　　　． 17．（25-26学年八上·四川成都·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）若，则的值为　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如果函数，其中表示当时对应的函数值，那么的值为　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知实数x、y满足值是　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若，则的值是　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知实数满足，那么的值为　　　　　． 24．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）已知，则　　　　　　． 25．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）已知，则　　　　　　． 26．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）若，则代数式　　　　　　． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（        ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川成都·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）计算：（1） （2） 9．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为　　　　　　　 ． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）若的小数部分是，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）下列运算中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）下列计算，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）下列二次根式中，可以与合并的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D. 8 8．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（       ） A.  B. 3 C. 5 D.  9．（25-26学年八上·四川成都·期中）比较大小：　　　　　　　　（填“>”或“<”或“=”号）； 10．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）计算 （1） （2） 11．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知，． （1）求的值； （2）已知m为a的整数部分，为b的小数部分．求的值． 12．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若表示的整数部分，表示它的小数部分，则的值为　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）（1）若m，n是实数，且，求的算术平方根； （2）已知，，求代数式的值． 15．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 （1）求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； （2）已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 16．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）已知，．则与的大小关系是　　　　． 17．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）计算： （1） （2） 18．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 19．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）（1）已知的平方根是，的立方根为2，求的值； （2）已知，，求的值． 20．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 21．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 22．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）计算： （1） （2） 23．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）（1）计算：． （2）解二元一次方程组： ． 24．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：      ． ，即．     , ． 请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题： （1）计算： （2）计算： （3）若，求的值． 25．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 26．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）计算 （1）； （2） ． 27．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）北师大（2024版）八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式； （海伦公式）； （秦九韶公式）， 请选择合适的公式解决以下问题． （1）若一个三角形的三边长分别是，这个三角形的面积为　　　　　　　　　　　； （2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为　　　　　　　　　　　 28．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 29．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）计算（要求写出演算过程）： （1）； （2）； （3）． 30．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）计算： （1）计算： （2） （3）解方程： （4）解二元一次方程组 31．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）已知：，． （1）化简，； （2）求代数式的值； （3）若为整数部分，为小数部分，求的值． 32．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 33．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，，　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）xy 35．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）（1）计算： （2）解方程： 36．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）比较大小：　　　　　（填“＞”、“＜”或“＝”） 38．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）计算 （1） （2） （3） （4） 39．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）先化简，再求值：，其中． 40．（25-26学年八上·四川成都·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 41．（25-26学年八上·四川成都·期中）已知，，求的值． 42．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）已知，n是m的小数部分，求的值　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）计算 （1）； （2）解方程组 ． （3）． 44．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）计算： （1）； （2）． 45．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）阅读下面问题：；；． （1）根据以上规律，化简：             ； （2）（为正整数）=             ； （3）比较和的大小． 46．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 47．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知． （1）求的值； （2）若为的小数部分，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 48．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）阅读下列材料，解答相应的问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：__________． （2）请直接写出的化简结果：________． （3）计算：． 49．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 50．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．    （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 51．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）（1）计算：； （2）； （3）解方程：． 52．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4） 53．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于点P，Q，点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，令，． （1）分别求出x和y的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 54．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知，． （1）求的值． （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 55．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．A 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．【答案】x≥1 【分析】 根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】 解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 8．【答案】 【分析】 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，即，据此求得的取值范围． 【详解】 解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案． 【详解】 解：有意义的条件是， 解不等式得， 故答案为：． 10．【答案】 【详解】 解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入计算式子的值． 【详解】 解：∵ 二次根式、有意义， ∴ 且， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】 解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式和立方根的性质，准确识图判断出、的正负情况是解题的关键．根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后利用二次根式和立方根的性质化简即可． 【详解】 解：由图可知，，，， ，， ． 故答案为： ． 14．【答案】4 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，依据二次根式中的被开方数是非负数，即可得到a的值，然后求出b的值，从而得出结果． 【详解】 解：， ，， ， ， ， 故答案为：4． 15．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次根式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用运算法则运算求解即可． 【详解】 解：； 故答案为：；． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，根据二次根式的被开方数非负的性质，确定 x 的值，再代入求 y 的值，最后计算并求其平方根即可得到答案． 【详解】 解：∵式子有意义， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】 解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 根据根式的非负性，得出 ，解不等式求出x值，将x值代入式子求出y，即可求出结果． 【详解】 根据题意可得 ， 解得， ∴， ∴． 故：答案为． 【点睛】 本题重点考察了根式的基本性质，非负性，利用根式的非负性求解是本题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，熟练掌握是解题的关键． 由二次根式的性质可知，，然后结合题意，代入 ，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴ 。 代入 ，得 ， ∵，即 ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 21．【答案】3 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，代入求值，利用二次根式有意义的条件，得到x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：根据被开方数为非负数得到 ， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 22．【答案】9 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：，， 解得：， 当时，， ∴， 故答案为：． 23．【答案】2025 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，实数的运算，根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【详解】 解：∵实数m满足， ∴， ∴， ∴， 原式化为, 整理得：， 两边同时平方得：， 则， 故答案为：2025． 24．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的运算和代数式求值，熟练掌握完全平方公式变形，灵活应用整体思想是解题的关键． 将已知的式子变形后可得，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 25．【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的性质，先求出，再根据二次根式的性质：化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式求值，首先根据二次根式有意义的条件可以确定的值，进而求出的值，再将的值代入要求的式子即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：由题意得， ， ∴， ∴， ∴代数式， 故答案为：． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．【答案】（1）；（2） 【分析】 ⑴先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则计算. ⑵先利用二次根式的完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】 解：（1） = = = = = = =3+ （2） = = = 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键. 9．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则，求出m，n，即可得答案． 【详解】 解：， ，        ， 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．B 9．【答案】< 【分析】 本题考查二次根式的大小比较，将各数写成某数的算术平方根的形式，比较被开方数即可． 【详解】 解：∵， ∴ 故答案为： 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 11．【答案】（1）11     （2）      【分析】 本题考查了无理数的估算，分母有理数，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别整理得，，再分别代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，，则，故，即，则，得，即，然后代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：， ， 则 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ∵， ∴， 则， ∴， ∵m为a的整数部分， 即； ∵ ∴， 则， ∴， ∵为b的小数部分， ∴， ∴． 12．【答案】1 【分析】 先求出的整数部分，小数部分，再代入，即可求解． 【详解】 解：∵，表示的整数部分，表示它的小数部分， ∴ ， ∴． 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求出的整数部分和小数部分是解题的关键． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 14．【答案】（1）；（2）11 【分析】 本题主要考查了求代数式的值，分母有理化，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式有意义可得m，n的值，再根据算术平方根的定义解答； （2）先分母有理化求出x，y，再求出，然后根据完全平方公式解答． 【详解】 解：（1）∵m，n是实数，且， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴的算术平方根是． （2）∵， ， ∴， ∴． 15．【答案】（1）落到地面的时间为；     （2） 由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害．      【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． (1) 小问详解： 解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； (2) 小问详解： 略 16．【答案】 【分析】 本题考查的是分母有理化，通过对进行分母有理化，化简后得到，与的值相同，因此与相等． 【详解】 解：已知，对分母进行有理化：分子和分母同时乘以， 得， 又， 所以 ． 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，零次幂，负指数幂的运算，二次根式的混合运算， （1）先算乘方，零次幂，负指数幂，再根据实数的混合运算即可求解； （2）先根据二次根式的乘除法运算法则，二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减混合运算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴ ． 19．【答案】（1）16；（2）13． 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方根的概念，立方根的概念． （1）根据平方根和立方根的定义求出a和b的值，再代入计算； （2）直接代入a和b的值，利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】 解：（1）∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得：，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 20．【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，以及根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握实数的性质以及平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先计算0指数幂、绝对值、二次根式化简和负指数幂，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算各各项，再进行加减运算即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的定义解方程即可； (1) 小问详解： 解： 原式 ； (2) 小问详解： 解： 原式 ； (3) 小问详解： 解：移项，得， 两边同除以2，得， 两边同时开平方，得， 解得，； (4) 小问详解： 两边同除以2，得， 两边同时开立方，得， 解得． 21．【答案】（1） 14     （2）       【分析】 本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式、分式通分及平方差公式，结合与的和、积简化计算． （1）先求与，再用完全平方公式将转化为计算； （2）先通分分式，再因式分解为含、、的形式，代入值计算． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解： ∵， ∴原式． 22．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的性质及二次根式的运算法则． （1）先化简绝对值与各二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘法，再化简根式，并同类二次根式后再进行二次根式的除法运算． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 23．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握二次根式混合运算法则和加减消元法是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求解； （2）根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】 解：（1） ； （2） 得， 解得： 将代入① 得， 解得； ∴原方程组的解为 ． 24．【答案】（1）      （2）      （3）       【分析】 本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得； (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解：由题意得， ∴． ∴， ∴． 25．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 26．【答案】（1）1     （2） 【分析】 本题考查了实数的运算以及解二元一次方程组，掌握实数的运算法则以及解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）分别根据0次幂，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质，二次根式的化简依次化简即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解： 得：， 得：，解得． 将代入① 得：，解得． 故原方程组的解为 27．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键． （1）利用秦九韶公式计算即可； （2）利用海伦公式求出三角形的面积，再利用三角形面积公式求出这个三角形三条边上的高，即可求解． 【详解】 解：（1）由题意得，，，， ∴，， ∴这个三角形的面积； 故答案为：； （2）由题意得，，，， ∴， ∴这个三角形的面积， ∴这个三角形三条边上的高之和为； 故答案为：． 28．【答案】（1）     （2）11      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把整理得，再把，分别代入，进行计算，即可作答． （2）把，分别代入，进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，， ∵， ∴ ； (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∵， ． 29．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和正确化简根式是解题的关键． （1）先计算乘除，再进行加减计算； （2）先分别计算化简乘方，绝对值和分母有理化，再进行加减计算； （3）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 30．【答案】（1）     （2）     （3）     （4） 【分析】 本题考查实数的运算及二次根式的运算，利用平方根解方程以及解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据零指数幂，负指数幂以及绝对值的定义进行计算即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可； （3）利用平方根的概念进行求解即可； （4）利用加减消元法，将原方程组中的方程② 得到，再与方程① 相减即可求出y的值，代入求出相应的x的值即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： 得：③ 得：， ， 把代入② 得：， ， 原方程组的解为 ． 31．【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查二次根式的化简，因式分解以及无理数的估算，熟练掌握其运算方法是正确解答的关键． （1）将，分别进行化简即可； （2）先将代数式进行因式分解，再将，化简结果代入计算即可； （3）根据无理数的估算求出、的值，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：， ． (2) 小问详解： 解：，， ． (3) 小问详解： 解：，， 且为整数部分，为小数部分， ，． ． 32．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂，正确求解是解答的关键． （1）先化简二次根式和绝对值，再加减计算即可； （2）先化简二次根式和零指数幂运算，再加减计算求解即可； （3）先计算二次根式的乘除运算，再加减计算即可； （4）先化简二次根式，再二次根式的加减运算即可； （5）先化简二次根式，再二次根式的加减运算即可； （6）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ； (6) 小问详解： 解： ． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了代数式的求值以及平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式以及代数式的求值方法是解题的关键． （1）利用平方差公式，将转化为，然后代入和的值进行计算即可． （2）直接代入和的值进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴ ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴ 35．【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查实数的运算，解二元一次方程组． （1）根据有理数乘方，算术平方根，绝对值的代数意义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ， ，得， 解得：， 把代入① ，得， 解得， ∴方程组的解为： ． 36．【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的变形运算，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质是解题的关键．利用完全平方公式求出，再代入表达式进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 37．【答案】＞． 【分析】 先通分，然后比较分子的大小即可． 【详解】 ∵＝，＝， 5＝＝，11＝， ∴﹣5＞﹣5， 即5﹣5＞6， ∴＞， 故答案为：＞． 【点睛】 本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 38．【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题考查了解一元二次方程和实数的混合运算，涉及二次根式、负整数指数幂、零指数幂、绝对值和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，化简二次根式，再计算加减即可； （3）利用开平方法解方程即可； （4）先计算乘法，化简二次根式，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解： ∴，； (4) 小问详解： 解：原式 ． 39．【答案】， 【分析】 本题考查的是整式的化简求值以及实数运算，根据平方差公式、完全平方公式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 40．【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根和立方根解方程，熟练掌握二次根式的相关运算法则，平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再计算加减运算即可； （2）先根据分配律和完全平方公式进行化简，然后再计算加减运算即可； （3）将常数项移到等式右边，然后开平方求解即可； （4）将系数化为，然后开立方求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (4) 小问详解： 解：， ， ， ． 41．【答案】19 【分析】 将x、y分母有理化，求出、，根据即可求值． 【详解】 解：，， ，， ． 42．【答案】7 【分析】 本题主要考查了二次根式的分母有理化、无理数的小数部分确定以及代数式求值，熟练掌握分母有理化方法和完全平方公式是解题的关键．首先对进行分母有理化，得到．然后确定的小数部分．最后计算表达式的值． 【详解】 解：， ∴m的整数部分为2，小数部分． ∴ ． 故答案为7． 43．【答案】（1）；     （2） ；     （3）．      【分析】 （1）分别计算绝对值、零次幂、二次根式化简，再进行加减运算． （2）利用加减消元法消除，求出后再求． （3）分别利用平方差公式、二次根式乘法法则展开，再化简计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， 得， 解得， 把代入① 得， 解得， 所以方程组的解为 ； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查了绝对值、零次幂、二次根式的运算，解二元一次方程组以及平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行化简计算； （2）根据立方根、平方根、绝对值的计算，需注意绝对值的非负性． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 45．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题目中的例子，可以写出的值； （2）根据题目中的例子，可以写出的值； （3）根据题目中的例子，可以得到，，然后即可比较和的大小． (1) 小问详解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， 故答案为：； (3) 小问详解： ， ， ． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算以及分母有理化运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 46．【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式除法法则计算即可； （2）化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）先计算乘除，再计算加减； （4）利用完全平方公式，平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 ． 47．【答案】（1）17     （2）     （3）2021      【分析】 本题考查了二次根式的分母有理化，无理数的估算，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，接着算得以及，然后代入中算得答案； （2）由，估算出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可； （3）先算出，将化简成，然后代入和，算得答案即可． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ， ， ， 的整数部分是4，小数部分是， 为的小数部分， ； (3) 小问详解： 解：， ， ． 48．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母分别乘即可； （2）分子分母分别乘即可； （3）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 49．【答案】（1）＜；（2）+3 【分析】 （1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可． 【详解】 解：（1）， ， 而， ∴＞， ∴＜； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝＝， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y＝有最大值是+3． 【点睛】 本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键． 50．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． (1) 小问详解： 解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； (2) 小问详解： 解：当，时，原式． 51．【答案】（1）（2）0（3） 【分析】 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，平方差公式，运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可作答． （3）先移项，再系数化为1，最后开方，即可作答． 【详解】 解：（1） ； （2） ； （3）∵， ∴， 则， ∴ 解得． 52．【答案】（1）     （2）2     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式性质化简，再合并即可； （2）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可； （3）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可； （4）利用平方差和完全平方公式展开，同时进行二次根式的加减运算，再合并即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 53．【答案】（1），；     （2）39     （3）7      【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用网格的性质，勾股定理求出，再结合数轴得出结果即可； （2）根据完全平方公式进行化简求值即可； （3）先利用分母有理化求出t的值，化简得到，，再整体代入求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得， ∵点A所表示的数为1， ∴点P表示的数记为，点Q表示的数记为， ∵，， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 54．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ， ∴，， ∴ ； (2) 小问详解： ∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 55．【答案】（1）8；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）先分母有理化得到，则，再利用完全平方公式即可得到答案； （2）先得到，则可求出，，进而把所求式子变形得，进一步变形得到，据此可得答案； （3）先分母有理化求出，从而得，两边平方得， 即，得出， 再把所求式子的分母变形为，从而求出分母值；进一步把分子可变形为 ，从而求出分子值，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）∵， ∴ ， ∴， 两边平方得， 即， ∴， ∴，  ， ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【详解】 解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 2．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）在3.14，，，，，，中，无理数的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数，也考查了求算术平方根，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】 解：3.14是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是无理数； ，是无理数，故是无理数； 是无理数； ，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 综上所述，无理数有、、、，共4个， 故选：D． 3．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）使有意义的x的取值范围是（　　） A. x≤3 B. x＜3 C. x≥3 D. x＞3 【答案】C 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 解：∵式子有意义， ∴x-3≥0， 解得x≥3． 故选C． 【点睛】 本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 4．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）已知，则的算术平方根是（       ） A.  B.  C. ±2 D. 2 【答案】D 【分析】 根据二次根式有意义的条件求出b，进而求出a，根据算术平方根的概念计算即可． 【详解】 解：由题意得：b-8≥0，8-b≥0， 解得：b=8， 则a=2， ∴=4， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2， 故选：D． 【点睛】 本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 5．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：（       ） A. 2a B. 0 C.  D. 2b 【答案】C 【分析】 本题考查了实数与数轴、算术平方根．由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可． 【详解】 解：由数轴得，，， ∴， ∴ ； 故选：C． 6．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）函数中自变量的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】 本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 7．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　　． 【答案】x≥1 【分析】 根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】 解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 8．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）若是二次根式，则x的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．二次根式的被开方数是非负数，即，据此求得的取值范围． 【详解】 解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）若有意义，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可得到答案． 【详解】 解：有意义的条件是， 解不等式得， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）若式子有意义，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知x，y为实数，且，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入计算式子的值． 【详解】 解：∵ 二次根式、有意义， ∴ 且， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）代数式的值最大时，的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．利用二次根式大于等于，则时，代数式的值最大，即可得解． 【详解】 解：，， ，且当时，取最小值0， 当时，代数式的值最大，最大值为． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）实数，在数轴上的位置如图，则化简　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴，绝对值，二次根式和立方根的性质，准确识图判断出、的正负情况是解题的关键．根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后利用二次根式和立方根的性质化简即可． 【详解】 解：由图可知，，，， ，， ． 故答案为： ． 14．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）已知，则为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，依据二次根式中的被开方数是非负数，即可得到a的值，然后求出b的值，从而得出结果． 【详解】 解：， ，， ， ， ， 故答案为：4． 15．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）计算：　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次根式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用运算法则运算求解即可． 【详解】 解：； 故答案为：；． 16．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如果，那么的平方根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，根据二次根式的被开方数非负的性质，确定 x 的值，再代入求 y 的值，最后计算并求其平方根即可得到答案． 【详解】 解：∵式子有意义， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 17．（25-26学年八上·四川成都·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】 解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）若，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根式的非负性，得出 ，解不等式求出x值，将x值代入式子求出y，即可求出结果． 【详解】 根据题意可得 ， 解得， ∴， ∴． 故：答案为． 【点睛】 本题重点考察了根式的基本性质，非负性，利用根式的非负性求解是本题的关键． 19．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如果函数，其中表示当时对应的函数值，那么的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，熟练掌握是解题的关键． 由二次根式的性质可知，，然后结合题意，代入 ，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴ 。 代入 ，得 ， ∵，即 ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知实数x、y满足值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件及乘方的运算，关键是掌握二次根式中被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，进而可得出，然后可得，再进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴ ∴ ∴，则， ∴． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，代入求值，利用二次根式有意义的条件，得到x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】 解：根据被开方数为非负数得到 ， 解得， ∴， ∴， 故答案为：3． 22．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若，则的值是　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：，， 解得：， 当时，， ∴， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）已知实数满足，那么的值为　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件，实数的运算，根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【详解】 解：∵实数m满足， ∴， ∴， ∴， 原式化为, 整理得：， 两边同时平方得：， 则， 故答案为：2025． 24．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的运算和代数式求值，熟练掌握完全平方公式变形，灵活应用整体思想是解题的关键． 将已知的式子变形后可得，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴； 故答案为：． 25．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次根式的性质，先求出，再根据二次根式的性质：化简即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 26．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）若，则代数式　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的被开方数的非负性、代数式求值，首先根据二次根式有意义的条件可以确定的值，进而求出的值，再将的值代入要求的式子即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：由题意得， ， ∴， ∴， ∴代数式， 故答案为：． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】 解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 2．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算，掌握运算法则是解决问题的关键． 根据二次根式的运算法则判断即可． 【详解】 解：，故此选项不符合题意； B．不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式），逐一检查各选项． 【详解】 解：A：，被开方数含有分母， 不是最简二次根式； B：，被开方数含有分母， 不是最简二次根式； C：7是质数， 是最简二次根式； D：，且9是完全平方数， ，不是最简二次根式； 故选：C． 4．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】 解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 6．（25-26学年八上·四川成都·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】 解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 7．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）下列运算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】 解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 8．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）计算：（1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】 ⑴先把各二次根式化为最简二次根式，然后利用二次根式的乘除法则计算. ⑵先利用二次根式的完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】 解：（1） = = = = = = =3+ （2） = = = 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用运算法则是解题的关键. 9．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则，求出m，n，即可得答案． 【详解】 解：， ，        ， 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次根式的化简，二次根式的减法和乘法运算，根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】 解：A、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）若的小数部分是，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可． 【详解】 解：， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 3．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）下列运算中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质、二次根式加减运算及二次根式除法运算等知识，熟练掌握二次根式性质及混合运算法则是解决问题的关键． 【详解】 解：A、由算术平方根定义，，错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了算术平方根，二次根式的性质以及二次根式的加减运算．根据算术平方根，二次根式的性质和运算法则逐一计算可得． 【详解】 解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）下列计算，正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可；本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【详解】 A．，故本选项不符合题意 B．，故本选项不符合题意 C．，故本选项不符合题意 D．，故本选项符合题意 故选：D． 6．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）下列二次根式中，可以与合并的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，先对各选项的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可求解． 【详解】 解：A、，与不能合并，不符合题意； B、，与不能合并，不符合题意； C、，与能合并，符合题意； D、与不能合并，不符合题意， 故选：C． 7．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D. 8 【答案】A 【分析】 本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为，运用二次根式混合运算法则计算即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】 解：如图所示： 面积为10的正方形边长为、面积为12的正方形边长为、面积为3的正方形边长为， 空白的长为，宽为；空白的长为，宽为； 空白部分的面积为， 故选：A． 8．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，求的值为（       ） A.  B. 3 C. 5 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的估算，求代数式的值，估算出，从而可得，，代入所求式子计算即可得解，正确估算出是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·四川成都·期中）比较大小：　　　　　　　　（填“>”或“<”或“=”号）； 【答案】< 【分析】 本题考查二次根式的大小比较，将各数写成某数的算术平方根的形式，比较被开方数即可． 【详解】 解：∵， ∴ 故答案为： 10．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ． 11．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知，． （1）求的值； （2）已知m为a的整数部分，为b的小数部分．求的值． 【答案】（1）11     （2）      【分析】 本题考查了无理数的估算，分母有理数，二次根式的混合运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别整理得，，再分别代入，进行计算，即可作答． （2）由（1）得，，则，故，即，则，得，即，然后代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：， ， 则 ； (2) 小问详解： 解：由（1）得，， ∵， ∴， 则， ∴， ∵m为a的整数部分， 即； ∵ ∴， 则， ∴， ∵为b的小数部分， ∴， ∴． 12．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）若表示的整数部分，表示它的小数部分，则的值为　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 先求出的整数部分，小数部分，再代入，即可求解． 【详解】 解：∵，表示的整数部分，表示它的小数部分， ∴ ， ∴． 故答案为：1 【点睛】 本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，求出的整数部分和小数部分是解题的关键． 13．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】 解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）（1）若m，n是实数，且，求的算术平方根； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）11 【分析】 本题主要考查了求代数式的值，分母有理化，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式有意义可得m，n的值，再根据算术平方根的定义解答； （2）先分母有理化求出x，y，再求出，然后根据完全平方公式解答． 【详解】 解：（1）∵m，n是实数，且， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴的算术平方根是． （2）∵， ， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 （1）求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； （2）已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】（1）落到地面的时间为；     （2） 由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害．      【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． (1) 小问详解： 解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）已知，．则与的大小关系是　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是分母有理化，通过对进行分母有理化，化简后得到，与的值相同，因此与相等． 【详解】 解：已知，对分母进行有理化：分子和分母同时乘以， 得， 又， 所以 ． 故答案为：． 17．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了含有乘方的有理数的混合运算，零次幂，负指数幂的运算，二次根式的混合运算， （1）先算乘方，零次幂，负指数幂，再根据实数的混合运算即可求解； （2）先根据二次根式的乘除法运算法则，二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减混合运算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴ ． 19．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）（1）已知的平方根是，的立方根为2，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）16；（2）13． 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方根的概念，立方根的概念． （1）根据平方根和立方根的定义求出a和b的值，再代入计算； （2）直接代入a和b的值，利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】 解：（1）∵的平方根是，的立方根为2， ∴，， 解得：，， ∴； （2）∵，， ∴ ． 20．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题考查了实数的混合运算，以及根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握实数的性质以及平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先计算0指数幂、绝对值、二次根式化简和负指数幂，再进行二次根式的加减运算即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算各各项，再进行加减运算即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的定义解方程即可； (1) 小问详解： 解： 原式 ； (2) 小问详解： 解： 原式 ； (3) 小问详解： 解：移项，得， 两边同除以2，得， 两边同时开平方，得， 解得，； (4) 小问详解： 两边同除以2，得， 两边同时开立方，得， 解得． 21．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） 14     （2）       【分析】 本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式、分式通分及平方差公式，结合与的和、积简化计算． （1）先求与，再用完全平方公式将转化为计算； （2）先通分分式，再因式分解为含、、的形式，代入值计算． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解： ∵， ∴原式． 22．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的性质及二次根式的运算法则． （1）先化简绝对值与各二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘法，再化简根式，并同类二次根式后再进行二次根式的除法运算． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 23．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）（1）计算：． （2）解二元一次方程组： ． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，掌握二次根式混合运算法则和加减消元法是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则即可求解； （2）根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】 解：（1） ； （2） 得， 解得： 将代入① 得， 解得； ∴原方程组的解为 ． 24．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：      ． ，即．     , ． 请你根据小明的分析过程，尝试解决如下问题： （1）计算： （2）计算： （3）若，求的值． 【答案】（1）      （2）      （3）       【分析】 本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键． （1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由题意得； (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解：由题意得， ∴． ∴， ∴． 25．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 26．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）计算 （1）； （2） ． 【答案】（1）1     （2） 【分析】 本题考查了实数的运算以及解二元一次方程组，掌握实数的运算法则以及解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）分别根据0次幂，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质，二次根式的化简依次化简即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解： 得：， 得：，解得． 将代入① 得：，解得． 故原方程组的解为 27．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）北师大（2024版）八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为，，则有下列面积公式； （海伦公式）； （秦九韶公式）， 请选择合适的公式解决以下问题． （1）若一个三角形的三边长分别是，这个三角形的面积为　　　　　　　　　　　； （2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为　　　　　　　　　　　 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次根式的应用，三角形面积公式，理解题意是解题的关键． （1）利用秦九韶公式计算即可； （2）利用海伦公式求出三角形的面积，再利用三角形面积公式求出这个三角形三条边上的高，即可求解． 【详解】 解：（1）由题意得，，，， ∴，， ∴这个三角形的面积； 故答案为：； （2）由题意得，，，， ∴， ∴这个三角形的面积， ∴这个三角形三条边上的高之和为； 故答案为：． 28．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）11      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把整理得，再把，分别代入，进行计算，即可作答． （2）把，分别代入，进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意，， ∵， ∴ ； (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∵， ． 29．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）计算（要求写出演算过程）： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则和正确化简根式是解题的关键． （1）先计算乘除，再进行加减计算； （2）先分别计算化简乘方，绝对值和分母有理化，再进行加减计算； （3）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 30．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）计算： （1）计算： （2） （3）解方程： （4）解二元一次方程组 【答案】（1）     （2）     （3）     （4） 【分析】 本题考查实数的运算及二次根式的运算，利用平方根解方程以及解二元一次方程组，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）根据零指数幂，负指数幂以及绝对值的定义进行计算即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可； （3）利用平方根的概念进行求解即可； （4）利用加减消元法，将原方程组中的方程② 得到，再与方程① 相减即可求出y的值，代入求出相应的x的值即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： 得：③ 得：， ， 把代入② 得：， ， 原方程组的解为 ． 31．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）已知：，． （1）化简，； （2）求代数式的值； （3）若为整数部分，为小数部分，求的值． 【答案】（1），     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查二次根式的化简，因式分解以及无理数的估算，熟练掌握其运算方法是正确解答的关键． （1）将，分别进行化简即可； （2）先将代数式进行因式分解，再将，化简结果代入计算即可； （3）根据无理数的估算求出、的值，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：， ． (2) 小问详解： 解：，， ． (3) 小问详解： 解：，， 且为整数部分，为小数部分， ，． ． 32．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂，正确求解是解答的关键． （1）先化简二次根式和绝对值，再加减计算即可； （2）先化简二次根式和零指数幂运算，再加减计算求解即可； （3）先计算二次根式的乘除运算，再加减计算即可； （4）先化简二次根式，再二次根式的加减运算即可； （5）先化简二次根式，再二次根式的加减运算即可； （6）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ； (6) 小问详解： 解： ． 33．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，，　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，，再把所求式子通分变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 34．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）xy 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了代数式的求值以及平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式以及代数式的求值方法是解题的关键． （1）利用平方差公式，将转化为，然后代入和的值进行计算即可． （2）直接代入和的值进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴ ； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴ 35．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查实数的运算，解二元一次方程组． （1）根据有理数乘方，算术平方根，绝对值的代数意义将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ， ，得， 解得：， 把代入① ，得， 解得， ∴方程组的解为： ． 36．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）若，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了完全平方公式的变形运算，二次根式的混合运算，正确掌握相关性质是解题的关键．利用完全平方公式求出，再代入表达式进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 37．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）比较大小：　　　　　（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】＞． 【分析】 先通分，然后比较分子的大小即可． 【详解】 ∵＝，＝， 5＝＝，11＝， ∴﹣5＞﹣5， 即5﹣5＞6， ∴＞， 故答案为：＞． 【点睛】 本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 38．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题考查了解一元二次方程和实数的混合运算，涉及二次根式、负整数指数幂、零指数幂、绝对值和立方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、立方根、绝对值，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的除法，化简二次根式，再计算加减即可； （3）利用开平方法解方程即可； （4）先计算乘法，化简二次根式，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解： ∴，； (4) 小问详解： 解：原式 ． 39．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查的是整式的化简求值以及实数运算，根据平方差公式、完全平方公式的运算法则把原式化简，把a的值代入计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 40．（25-26学年八上·四川成都·期中）计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，利用平方根和立方根解方程，熟练掌握二次根式的相关运算法则，平方根、立方根的定义是解决本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再计算加减运算即可； （2）先根据分配律和完全平方公式进行化简，然后再计算加减运算即可； （3）将常数项移到等式右边，然后开平方求解即可； （4）将系数化为，然后开立方求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (4) 小问详解： 解：， ， ， ． 41．（25-26学年八上·四川成都·期中）已知，，求的值． 【答案】19 【分析】 将x、y分母有理化，求出、，根据即可求值． 【详解】 解：，， ，， ． 42．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）已知，n是m的小数部分，求的值　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了二次根式的分母有理化、无理数的小数部分确定以及代数式求值，熟练掌握分母有理化方法和完全平方公式是解题的关键．首先对进行分母有理化，得到．然后确定的小数部分．最后计算表达式的值． 【详解】 解：， ∴m的整数部分为2，小数部分． ∴ ． 故答案为7． 43．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）计算 （1）； （2）解方程组 ． （3）． 【答案】（1）；     （2） ；     （3）．      【分析】 （1）分别计算绝对值、零次幂、二次根式化简，再进行加减运算． （2）利用加减消元法消除，求出后再求． （3）分别利用平方差公式、二次根式乘法法则展开，再化简计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ， 得， 解得， 把代入① 得， 解得， 所以方程组的解为 ； (3) 小问详解： 解： ． 【点睛】 本题主要考查了绝对值、零次幂、二次根式的运算，解二元一次方程组以及平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 44．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行化简计算； （2）根据立方根、平方根、绝对值的计算，需注意绝对值的非负性． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 45．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）阅读下面问题：；；． （1）根据以上规律，化简：             ； （2）（为正整数）=             ； （3）比较和的大小． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题目中的例子，可以写出的值； （2）根据题目中的例子，可以写出的值； （3）根据题目中的例子，可以得到，，然后即可比较和的大小． (1) 小问详解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： ， 故答案为：； (3) 小问详解： ， ， ． 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算以及分母有理化运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 46．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）计算题： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；     （2）；     （3）；     （4）．      【分析】 本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式除法法则计算即可； （2）化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可； （3）先计算乘除，再计算加减； （4）利用完全平方公式，平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：原式 ． 47．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知． （1）求的值； （2）若为的小数部分，求的值； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1）17     （2）     （3）2021      【分析】 本题考查了二次根式的分母有理化，无理数的估算，二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先化简和，接着算得以及，然后代入中算得答案； （2）由，估算出其整数部分，再通过减去其整数部分算出其小数部分即可； （3）先算出，将化简成，然后代入和，算得答案即可． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， ； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，， ， ， ， 的整数部分是4，小数部分是， 为的小数部分， ； (3) 小问详解： 解：， ， ． 48．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）阅读下列材料，解答相应的问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：__________． （2）请直接写出的化简结果：________． （3）计算：． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分子分母分别乘即可； （2）分子分母分别乘即可； （3）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解： ． 49．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 【答案】（1）＜；（2）+3 【分析】 （1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可． 【详解】 解：（1）， ， 而， ∴＞， ∴＜； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝＝， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y＝有最大值是+3． 【点睛】 本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键． 50．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．    （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． (1) 小问详解： 解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； (2) 小问详解： 解：当，时，原式． 51．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）（1）计算：； （2）； （3）解方程：． 【答案】（1）（2）0（3） 【分析】 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，平方差公式，运用平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再进行乘除运算，最后进行加减运算，即可作答． （3）先移项，再系数化为1，最后开方，即可作答． 【详解】 解：（1） ； （2） ； （3）∵， ∴， 则， ∴ 解得． 52．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）计算． （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）     （2）2     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式性质化简，再合并即可； （2）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可； （3）利用二次根式的四则混合法则进行计算即可； （4）利用平方差和完全平方公式展开，同时进行二次根式的加减运算，再合并即可； (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 53．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于点P，Q，点P表示的数记为m，点Q表示的数记为n，令，． （1）分别求出x和y的值； （2）求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1），；     （2）39     （3）7      【分析】 本题考查了勾股定理，实数与数轴，完全平方公式的运用，分母有理化，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用网格的性质，勾股定理求出，再结合数轴得出结果即可； （2）根据完全平方公式进行化简求值即可； （3）先利用分母有理化求出t的值，化简得到，，再整体代入求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得， ∵点A所表示的数为1， ∴点P表示的数记为，点Q表示的数记为， ∵，， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 54．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知，． （1）求的值． （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，估算无理数的大小等知识点，正确化简x，y，求出a、b的值是解此题的关键． （1）先进行分母有理化，再求和的值，再根据完全平方公式将代数式变形，最后代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a、b的值，再直接代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵， ， ∴，， ∴ ； (2) 小问详解： ∵， ∴，， 由（1）知，， ∴，， ∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 55．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【分析】 本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）先分母有理化得到，则，再利用完全平方公式即可得到答案； （2）先得到，则可求出，，进而把所求式子变形得，进一步变形得到，据此可得答案； （3）先分母有理化求出，从而得，两边平方得， 即，得出， 再把所求式子的分母变形为，从而求出分母值；进一步把分子可变形为 ，从而求出分子值，据此代值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）∵， ∴ ， ∴， 两边平方得， 即， ∴， ∴，  ， ∴ ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $