专题05 因式分解（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题05 因式分解 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列各式不是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）下列各式的因式分解中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（     ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 8．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若关于的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A.  B. 5 C.  D. 1 9．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）计算，，则　　　　　　． 10．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）已知则　　　　　　． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（       ） A. 6或﹣2 B. ﹣2 C. 6 D. ﹣6或2 2．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若，则的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 3．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）已知a，b，c为三边，且满足，则是（       ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定 4．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）分解因式：　　　　　． 5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）分解因式 （1） （2） 6．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 7．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； （1）用配方法将分解因式； （2）用配方法将分解因式； （3）已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 8．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）分解因式：　　　　　　． 9．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）（1）分解因式： （2）分解因式： （3）计算： （4）计算： 10．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）分解因式： （1） （2） 11．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）因式分解 （1）； （2）； （3）； 12．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值． （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 13．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）阅读材料并解决问题． ①分解因式： ； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_________ ； （2）当_________时，多项式有最_________值（填大或小）． （3）请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 14．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）因式分解： （1）． （2）． 15．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）． 16．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． 首先把二次项系数分解为；再分解常数项；最后验算“交叉相乘之和”． ①，②，③，④． 发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，即，则．像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）①_____；②_____； 【探究与拓展】我们已经知道：．反过来，就得到． （2）请你仔细体会上述方法并尝试进行分解因式： ①_____； ②若a、b均为整数，且a、b满足，求的值． 17．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）因式分解： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）如果，那么　　　　　　． 19．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）若x、y满足的，则m的最小值　　　　　　． 20．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知，则代数式的值为　　　　　． 21．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫做“试根法”． 【解决问题】 （1）当______时，多项式，所以可以因式分解为______； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 22．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）因式分解： （1）； （2） 23．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）分解因式： （1） （2） 24．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法） ②（拆项法） ③=          ． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 25．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）计算：　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 2大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列各式不是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解．因式分解要求将多项式表示为几个整式的乘积，且等号两边必须恒等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、是因式分解，故该选项不符合题意； B、不是因式分解，故该选项符合题意； C、是因式分解，故该选项不符合题意； D、是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查因式分解的意义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、等号右边不是积的形式，该选项不符合题意； B、中等号右边不是整式的积的形式，该选项不符合题意； C、，符合因式分解的定义，该选项符合题意； D、，是乘法运算，该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）下列从左到右的变形属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可． 【详解】 解：A. 右边为，是和的形式，未形成积的形式，不属于因式分解，不符合题意； B. 左边为单项式，因式分解对象应为多项式，此选项不符合要求，不符合题意； C. 左边为，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解，不符合题意； D. 左边提取公因式，得到，符合因式分解的定义，属于因式分解，符合题意． 故选：D． 4．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）下列各式的因式分解中正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了因式分解的判断，把一个多项式表示成几个整式的积的形式叫做因式分解；根据因式分解的定义进行判断即可． 【详解】 解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，故不符合题； B、不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、是几个整式的积的形式，是因式分解，故符合题意； D、是积的形式，但不是整式的积，不是因式分解，故不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】 解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 6．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，进行判断即可． 【详解】 解：A、，是整式的乘法，不属于因式分解，该选项不符合题意； B、中，不属于因式分解，该选项不符合题意； C、，不属于因式分解，该选项不符合题意； D、，是因式分解，该选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（     ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】 解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 8．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若关于的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A.  B. 5 C.  D. 1 【答案】C 【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 【详解】解：根据题意设， ∴-p=-a-2，2a=-6， 解得：a=-3，p=-1． 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 9．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）计算，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查代数式求值，掌握提公因式法是解题的关键． 将所求代数式因式分解为，然后利用已知条件代入计算即可． 【详解】 解：， 当，时，原式． 故答案为：． 10．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）已知则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解，将式子提公因式分解后，把相关式子的值代入即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为： 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）若多项式x2﹣3（m﹣2）x+36能用完全平方公式分解因式，则m的值为（       ） A. 6或﹣2 B. ﹣2 C. 6 D. ﹣6或2 【答案】A 【分析】 根据完全平方公式即可求解． 【详解】 ∵多项式x2﹣3（m﹣2）+36能用完全平方公式分解因式， ∴﹣3（m﹣2）＝±12． ∴m＝6或﹣2， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的特点． 2．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）若，则的值为（       ） A. 3 B. 4 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了求代数式的值．对所求式子因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】 解： ， ∵， ∴原式， 故选：C． 3．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）已知a，b，c为三边，且满足，则是（       ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状． 本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】 ， ， ， ， 或， 或， ∴是等腰三角形， 故选：C． 4．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）分解因式：　　　　　． 【答案】 【分析】 直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】 ， 故填 【点睛】 本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 【详解】 5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）分解因式 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查分解因式； （1）先提公因式，再结合完全平方公式即可求出； （2）先提公因式，再结合平方差公式即可求出． (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ． 6．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，综合运用公式法及提公因式法因式分解是解决问题的关键． （1）先分别由平方差公式、提公因式法因式分解，再提公因式即可得到答案； （2）先提公因式，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）多项式及通过因式分解写成和的形式之后，可以解决较复杂多项式的因式分解及一些实际问题．我们把多项式和称为完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 例如：分解因式； 原式 ； （1）用配方法将分解因式； （2）用配方法将分解因式； （3）已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】（1）     （2）     （3）5      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，解答的关键是正确理解题意． （1）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （2）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （3）利用配方法分解因式的方法可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ，， ，， ，， 则三边为2，2，1，满足，可构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 8．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）分解因式：　　　　　　． 【答案】 【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底. 9．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）（1）分解因式： （2）分解因式： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）；（2）（3）（4） 【分析】 本题主要考查了分解因式，实数的混合运算，幂的混合运算等知识， （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （3）先计算零指数幂，乘方，求算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可． （4）先计算幂的乘方运算，积的乘方运算，然后再计算幂的乘除法即可． 【详解】 解：（1） （2） （3） （4） 10．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）分解因式： （1） （2） 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了因式分解，包括提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式和平方差公式的形式是解题的关键． （1）先提取公因式，再看是否能运用完全平方公式继续分解． （2）先将式子变形，使两项有相同公因式，然后提取公因式，最后看是否能用平方差公式进一步分解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 11．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）因式分解 （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了因式分解，先考虑提公因式法，再考虑公式法或其它方法进行因式分解； （1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先变形，后提公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）先利用完全平方公式展开，再利用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 12．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： （1）若是多项式的一个因式，求的值； （2）若和是多项式的两个因式，试求，的值． （3）在（2）的条件下，把多项式因式分解． 【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）将代入多项式并使多项式等于，求； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于，解二元一次方程组，求，； （3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：是多项式的一个因式， 当时，，解得； (2) 小问详解： 和是多项式的两个因式， ，解得 ． ，． (3) 小问详解： 解：由（2）得即为， ． 【点睛】 本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． 13．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）阅读材料并解决问题． ①分解因式： ； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_________ ； （2）当_________时，多项式有最_________值（填大或小）． （3）请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）     （2）2，小     （3）当时，多项式有最小值，最小值为14      【分析】 本题主要考查了利用配方法进行因式分解，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先利用配方法进行整理，再利用平方差公式进行因式分解； （2）利用配方法进行整理，再求出最值即可； （3）利用配方法进行整理，再求出最值即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， 当时，多项式有最小值， 故答案为：2，小； (3) 小问详解： 解： 当时，多项式有最小值，最小值为14． 14．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的步骤和方法． （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 15．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）因式分解： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 16．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． 首先把二次项系数分解为；再分解常数项；最后验算“交叉相乘之和”． ①，②，③，④． 发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数－1，即，则．像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）①_____；②_____； 【探究与拓展】我们已经知道：．反过来，就得到． （2）请你仔细体会上述方法并尝试进行分解因式： ①_____； ②若a、b均为整数，且a、b满足，求的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，②或者 【分析】 本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）① 利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； ② 利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （2）① 利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解； ② 利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）① ∵ ∴， ∴； 故答案为：； ② ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）① 根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当，时，，， ∴； 当，时，，，； 综上，的值为或． 17．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得出结果． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）如果，那么　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】 解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 19．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）若x、y满足的，则m的最小值　　　　　　． 【答案】66 【分析】 依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】 解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 20．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）已知，则代数式的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的，，两式相加得：，整体代入即可． 【详解】 解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 21．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫做“试根法”． 【解决问题】 （1）当______时，多项式，所以可以因式分解为______； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 【答案】（1）1，     （2），；     （3）      【分析】 本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， 故答案为：1，； (2) 小问详解： 解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 22．（25-26学年八上·四川内江第一中学·期中）因式分解： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 23．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）分解因式： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 24．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项；2．分解常数项；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．得出原二次三项式的两个因式． 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式：（写出过程） ①（分组分解法） ②（拆项法） ③=          ． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）①，②，③     （2）7      【分析】 本题考查因式分解的方法，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）① 将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；② 将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③ 直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① ； ② ； ③； 故答案为：，， (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 25．（25-26学年八上·四川内江第六中学·期中）计算：　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了利用因式分解进行简便计算，设，可得：原式，把分子进行因式分解，约去分子、分母的公因式，再把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】 解：设， ， ， 原式． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点01 用提公因式法分解因式 1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．【答案】 【分析】 本题主要考查代数式求值，掌握提公因式法是解题的关键． 将所求代数式因式分解为，然后利用已知条件代入计算即可． 【详解】 解：， 当，时，原式． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查因式分解，将式子提公因式分解后，把相关式子的值代入即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴． 故答案为： 考点02 用公式法分解因式 1．A 2．C 3．C 4．【答案】 【分析】 直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】 ， 故填 【点睛】 本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 【详解】 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查分解因式； （1）先提公因式，再结合完全平方公式即可求出； （2）先提公因式，再结合平方差公式即可求出． (1) 小问详解： 解： ， ； (2) 小问详解： 解： ， ． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，综合运用公式法及提公因式法因式分解是解决问题的关键． （1）先分别由平方差公式、提公因式法因式分解，再提公因式即可得到答案； （2）先提公因式，再由完全平方差公式因式分解即可得到答案． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】（1）     （2）     （3）5      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，解答的关键是正确理解题意． （1）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （2）根据配方法分解因式的方法进行求解即可； （3）利用配方法分解因式的方法可得，再根据偶次方的非负性求解即可得． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：， ， ， ，， ，， ，， 则三边为2，2，1，满足，可构成三角形， 此时等腰三角形的周长为． 8．【答案】 【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可得. 【详解】， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底. 9．【答案】（1）；（2）（3）（4） 【分析】 本题主要考查了分解因式，实数的混合运算，幂的混合运算等知识， （1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． （3）先计算零指数幂，乘方，求算术平方根，化简绝对值，再计算加减法即可． （4）先计算幂的乘方运算，积的乘方运算，然后再计算幂的乘除法即可． 【详解】 解：（1） （2） （3） （4） 10．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了因式分解，包括提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），熟练掌握提取公因式的方法以及完全平方公式和平方差公式的形式是解题的关键． （1）先提取公因式，再看是否能运用完全平方公式继续分解． （2）先将式子变形，使两项有相同公因式，然后提取公因式，最后看是否能用平方差公式进一步分解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 11．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了因式分解，先考虑提公因式法，再考虑公式法或其它方法进行因式分解； （1）先提公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）先变形，后提公因式，再利用平方差公式分解即可； （3）先利用完全平方公式展开，再利用完全平方公式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 12．【答案】（1）     （2），     （3）      【分析】 （1）将代入多项式并使多项式等于，求； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于，解二元一次方程组，求，； （3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：是多项式的一个因式， 当时，，解得； (2) 小问详解： 和是多项式的两个因式， ，解得 ． ，． (3) 小问详解： 解：由（2）得即为， ． 【点睛】 本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． 13．【答案】（1）     （2）2，小     （3）当时，多项式有最小值，最小值为14      【分析】 本题主要考查了利用配方法进行因式分解，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先利用配方法进行整理，再利用平方差公式进行因式分解； （2）利用配方法进行整理，再求出最值即可； （3）利用配方法进行整理，再求出最值即可． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解： ， 当时，多项式有最小值， 故答案为：2，小； (3) 小问详解： 解： 当时，多项式有最小值，最小值为14． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的步骤和方法． （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 15．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ． 16．【答案】（1）①，②；（2）①，②或者 【分析】 本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）① 利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； ② 利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （2）① 利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解； ② 利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）① ∵ ∴， ∴； 故答案为：； ② ∵ ∴， ∴， 故答案为：； （2）① 根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当，时，，， ∴； 当，时，，，； 综上，的值为或． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可得出结果． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】9 【分析】 本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【详解】 解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 19．【答案】66 【分析】 依据题意得，，结合，，从而可得，进而可以判断得解． 本题主要考查了完全平方公式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键． 【详解】 解：由题意得， ，， 的最小值为66； 故答案为：66． 20．【答案】 【分析】 本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的，，两式相加得：，整体代入即可． 【详解】 解： ， ，， ， 当，时，原式， 故答案为：． 21．【答案】（1）1，     （2），；     （3）      【分析】 本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． （1）将代入即可； （2）由题意得，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式，设另一个因式为，则，再由系数关系求a、b即可． (1) 小问详解： 解：当时，， ∴， 故答案为：1，； (2) 小问详解： 解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； (3) 小问详解： 解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 24．【答案】（1）①，②，③     （2）7      【分析】 本题考查因式分解的方法，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）① 将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；② 将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③ 直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． (1) 小问详解： 解：① ； ② ； ③； 故答案为：，， (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 25．【答案】 【分析】 本题考查了利用因式分解进行简便计算，设，可得：原式，把分子进行因式分解，约去分子、分母的公因式，再把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】 解：设， ， ， 原式． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $