专题06 勾股定理（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题06 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（       ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（       ） A. 6，8，10 B. 5，12，11 C. 7，8，9 D. 2，3，5 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】 A．，是勾股数； B．，不是勾股数； C．，不是勾股数； D． ，不是勾股数； 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（     ） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．由题意得，在直角三角形中，知道两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】 解：由题意可知，两段木杆和地面构成直角三角形，则由勾股定理得： 折断的部分长为， 故木杆折断之前的高度是．   故选： B． 4．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A. 5，6，7 B. 3，4，5 C. 1，2， D. ，，1 【答案】B 【分析】 勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】 解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了勾股数，注意：① 一组勾股数中的三个数必须是正整数，例如：2．5、6、6．5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．② 一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．③ 记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；掌握勾股数的定义是解题的关键． 5．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可． 【详解】 解：根据题意得，旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为， 旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， ∴是直角三角形． 根据勾股定理，折断的旗杆为， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：B． 6．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）在Rt△ABC中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则AB的长为（　　） A. 49 B.  C. 3 D. 7 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积等于以两条直角边为边长的正方形的面积和，据此求解即可． 【详解】解：∵以直角边为边长的两个正方形的面积为35和14， ∴AB2＝AC2+BC2＝35+14＝49， ∴AB＝7（负值舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． 7．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（       ） A. 7 B. 33 C. 231 D. 569 【答案】C 【分析】 本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】 在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 8．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，，则为（       ） A.  B. 10 C. 25 D. 5 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理；由勾股定理得，由此即可求解． 【详解】 解：∵， 又由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 9．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查三角形中求面积，涉及勾股定理求线段长、角平分线性质及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 首先，在中，由勾股定理求出，然后过点作于点，如图所示，由角平分线性质得到，最后由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】 解：在中，，，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图所示： 的平分线交于点，，， ， 的面积是， 故选：B． 10．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（       ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题主要查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】 解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵且，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：B 11．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（       ）尺 A. 14 B.  C.  D. 16 【答案】B 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】 解：如图，一条直角边(即大树的长)长14尺， 另一条直角边长(尺， 因此葛藤长(尺． 故选：B． 12．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 此题考查勾股定理的证明，关键是直角三角形中勾股定理的运用． 根据勾股定理求得，进而求得的值即可． 【详解】 解：∵，，，，，是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∵、、和是四个全等的直角三角形， ∴， ， ∴小正方形的面积是4 故选：C． 13．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】 解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； C、∵， ∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意； 故选：D． 14．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（     ） A. 2 B.  C.  D. 2.3 【答案】B 【分析】 本题考查的是实数与数轴．根据勾股定理求出，进而即可得出结论． 【详解】 解：在中，，， ． 以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示的实数是． 故选：B． 15．（25-26学年八上·四川成都·期中）下列各组数据中，不是勾股数的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，7，9 C. 8，15，17 D. 7，24，25 【答案】B 【分析】 判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】 、，能构成直角三角形，都是正整数，故选项错误； 、，不能构成直角三角形，故选项正确； 、，能构成直角三角形，都是正整数，故选项错误； 、，能构成直角三角形，都是正整数，故选项错误. 故选：. 【点睛】 此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键. 16．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（     ） A. 2.2米 B. 1.9米 C. 2.5米 D. 2米 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设竿的长度为x米，则门宽为米，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：设竿的长度为x米，则门宽为米， 根据勾股定理，得， 解得， 则竿的长度为米． 故选：C． 17．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，一个底面周长为、高为的圆柱状模型，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），装饰带的最短长度为（     ）． A. 30 B.  C.  D. 18 【答案】A 【分析】 此题主要考查了平面展开—最短路线问题，以及勾股定理．解题时注意：圆柱的侧面展开图是长方形．由勾股定理及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】 解：如图，沿展开，，且点为的中点， ，， ∴装饰带的长度， 故选：A． 18．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】 解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 19．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】由已知条件和勾股定理可知：设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，根据作图可知：AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，即AP＝（﹣1）a，从而求出的值. 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a， ∵CD＝BC＝a， ∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a， ∵AP＝AD， ∴AP＝（﹣1）a， ∴＝． 故选A． 【点睛】此题考查的是勾股定理及尺规作图，根据尺规作图判断图中相等的线段是解决此题的关键. 20．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知点，则点P到原点的距离为（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查平面直角坐标系内的点到坐标原点的距离，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理列式计算即可． 【详解】 解：∵点， ∴点P到原点的距离为， 故选：B． 21．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（        ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．将盒子分情况展开，根据勾股定理求出线段的长度比较即可． 【详解】 解：如图，把侧面展平，侧面展开即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把底面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是， 故选：A． 22．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）在中，，，，，平分，则的值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积公式．过点D作，根据角平分线性质得出，再证明，设，则，利用勾股定理列出方程求解x的值，从而求得，再利用三角形面积公式即可求得结果． 【详解】 解：如图，过点D作， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B． 23．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　       ） A. 14 B. 16 C. 20 D. 18 【答案】A 【分析】 本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】 解：∵中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：A． 24．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】 解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 25．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（     ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，由题意知，，， ， ， ， 根据题意，（海里），（海里）， （海里）， 我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）． 故选：D． 26．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图，在中，垂直平分斜边，交于点 D，E为垂足，连接，若 ，，则的长是（   ） A.  B.  C.  D. 4 【答案】A 【分析】 本题主要考查垂直平分线的性质，勾股定理．由勾股定理求出，由垂直平分线的性质可得，则，再由勾股定理可得到的长． 【详解】 解：∵ 在 中，， ， ∴， ∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴在 中，， 故选： A． 27．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故选：A． 【点睛】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 28．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可得出结论． 【详解】 解：如图， ∵圆柱的底面半径为6， ∴侧面展开后， ∴， 又高为4， ∴ ∴最少要用到的胶带长度为． 故选：D． 29．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图所示，正方形ABCD的边长为1，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由正方形的性质可得AB=BC=1，由勾股定理可求AC==AP，即可求点P的横坐标． 【详解】 ∵四边形ABCD是边长为1的正方形， ∴AB=BC=1， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径画圆交轴负半轴于点P， ∴AP=， ∵点A（1，0）， ∴点P的横坐标为：． 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，熟练运用正方形的性质是本题的关键． 30．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B. 3 C.  D. 9 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可． 【详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 31．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，点为数轴原点，点对应实数为3，，连接，，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的应用．根据题意，先用勾股定理求出的长度，可得的长度即可． 【详解】 解：由题意得 故点对应的实数为． 故答案为：． 32．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】16 【分析】 根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：16． 【点睛】 本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键． 33．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是　　　． 【答案】64 【分析】 根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】 解：由勾股定理得，， ∴AB＝8（舍负）， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：64． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 34．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为　　　　　　　　　　　．（容器厚度忽略不计） 【答案】15 【分析】 本题主要考查勾股定理中的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；将圆柱进行展开，然后根据两点之间线段最短结合勾股定理可进行求解． 【详解】 解：如图，将圆柱形容器侧面展开，作点B的对称点D，连接， 则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离， 由题意得：底面圆的周长为，高为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为15． 35．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3，以，为直角边作，，以点A为圆心，以长为半径作弧，交该数轴于点D，则点D对应的数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意结合勾股定理可求出长，即得长，即可求出长，再根据数轴的性质即可得出D点对应的数． 【详解】 根据题意可知AB=2，OA=1．　 在中，， ∴， ∴， ∵D点在O点左面， ∴D点对应的数为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查数轴、勾股定理以及圆的基本性质．利用勾股定理求出的长是解答本题的关键． 36．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为　　　　　　　　． 【答案】5或 【分析】 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】 解：① 长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ② 长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 37．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： （1）海港C会不会受到台风的影响？ （2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】（1） 解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．     （2）受台风影响的时间为      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，     所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 38．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图所示，一棵高24米的大树处发生断裂，断裂后树的顶部落在离底部12米处，这棵大树在距离地面　　　　　　米处发生断裂． 【答案】9 【分析】 本题考查勾股定理的应用，运用勾股定理列出方程是解题的关键．设，则，根据勾股定理得到，从而列出方程求解即可． 【详解】 解：标记字母如下： 由题意可知：，，， 设，则， ∴， 解得：，即这棵大树在距离地面9米处发生断裂 故答案为：9． 39．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，是等边三角形，点A与点B均在数轴上，且点A表示的数为，边上的高，则点B表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的化简，勾股定理等知识，运用勾股定理求出是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质求出，从而得到，继而得解． 【详解】 解：∵是等边三角形，边上的高， ∴， ∴， 解得：， ∴， 又∵点A表示的数为， ∴点B表示的数为：， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）求的周长； （3）在轴上找出点，使值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图1：即为所求；      （2）；     （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为      【分析】 此题主要考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用勾股定理求出每条边的长度，再相加，即可作答； （3）利用勾股定理以及绝对值的性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，， 则的周长； (3) 小问详解： 解：依题意，， 则，此时的值最小． 故点P的坐标为． 41．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，    在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 42．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】 解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 43．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】（1）     （2）     （3） 解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．      【分析】 本题主要考查勾股定理的运用， （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，进行比较即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； (2) 小问详解： 解：，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 44．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再折回向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，先求得点到点的水平距离，再求得垂直距离，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】 根据题意，点到点的水平距离为， 点到点的垂直距离为， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，根据题意分别求得水平距离和垂直距离是解题的关键． 45．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E．若，，则的周长为　　　　　　　　　 cm． 【答案】18 【分析】 由垂直平分可知，从而，根据勾股定理，求得，进而求得的周长． 【详解】 ∵且平分 ∴ 中， ∴ ∴的周长 故答案为18． 【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理及三角形周长的计算；能够根据垂直平分线的性质作线段的等量代换是解题的关键． 46．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 47．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米     （2）8米      【分析】 （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 48．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 　　　　　． 【答案】或 【分析】 第一种情况：过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．第二种情况：过点作轴于点，结合图形，结合勾股定理，即可作答．此题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的性质，熟练运用勾股定理和等面积法求线段的长度是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点Q作轴于点A，    ∵是的“关联点”， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作轴于点，如图：    ∵是的“关联点”， ，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为或． 49．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】 由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】 本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 50．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为　　　　　　（杯壁厚度不计）． 【答案】 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】 解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 由题意得，， ， ∴， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：． 51．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为，盒子高为．在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点到顶点镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是　　　　　　　　　　　　． 【答案】130 【分析】 本题主要考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用正六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将正六棱柱侧面展开后，再利用勾股定理即可解答． 【详解】 解：如图所示，正六棱柱侧面展开后，这圈彩带的长度最短为的长， 由勾股定理得， 这圈彩带的长度至少为， 故答案为：． 52．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． （1）已知点，则线段的中点坐标为___________； （2）如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，中点坐标公式，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于，根据的坐标，根据勾股定理得到结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点作轴于， ∵， ∴中点的坐标为，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在 中，， 由勾股定理得，． 53．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 54．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及其关于y轴对称的图形； （2）的面积为_______； （3）在轴上找一点，使得有最小值，该最小值为_______． 【答案】（1） 如图，和即为所求      （2）；     （3）．      【分析】 （本题主要考查了轴对称图形的绘制、三角形面积的计算（割补法）、最短路径问题（轴对称+勾股定理）．熟练掌握轴对称的性质、割补法求面积、“将军饮马”模型是解题的关键． （1）先确定、、三点坐标，画出；再根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相反，纵坐标不变）得到、的坐标，进而画出． （2）用“割补法”计算的面积，通过矩形面积减去周围三角形面积求解． （3）利用轴对称性质，作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为，此时的最小值为的长度，用勾股定理计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为 ； (3) 小问详解： 解：作关于轴的对称点，连接， 则有最小值等于的长度为． 55．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点：作直线分别交于点．若，的长为，则的长为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，先利用基本作图得到垂直平分，得到，，利用角的转化得到，求出，最后在中用勾股定理即可． 【详解】 解：由基本作图得到垂直平分， ，， ， 平行于， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 56．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长． 【详解】 解：如图：连接AE、AF、EN， 四边形ABCD是正方形 设AB=BC=CD=AD=a，， 在与中， ， ， 是等腰三角形， 又， 垂直平分EF， ， 又， ， 在中，， ， 解得a=20， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键． 57．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为     （2）小明需后退      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． (1) 小问详解： 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． (2) 小问详解： 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 58．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处．则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；首先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，，得出，设，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：解：∵，，， ∴， ∵将沿着直线翻折，使点C落在斜边上的点E处， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：，即， 解得：． 故答案为：． 59．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在等腰中，，，D为边上一点，连结，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点E． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）先由得，再推出，进而可由证明； （2）连结，先由已知推出，，再由勾股定理得，，设，在中由勾股定理得，解方程即可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连结， ∵，， ∴，，， ∴在中由勾股定理得，， ∴为等腰直角三角形，令， ∴在中由勾股定理得，即， 解得，即． 60．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，每个小正方形网格的边长均为1．已知，两村庄的坐标分别是，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______； （3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和． 【答案】（1） 画出坐标系如下：      （2）     （3）如图，       【分析】 本题考查了坐标与轴对称，最短距离及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． （1）根据点A、B的坐标即可画出坐标系； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解； （3）连接与y轴的交点即为点P的位置，利用勾股定理即可求得最短距离． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：村庄，关于轴对称，且， 则， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵村庄，关于轴对称， ∴连接与y轴的交点即为点P的位置，， ∴， 故此时汽车到，两村庄的距离和为． 61．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，小正方形的面积为4，则大正方形的面积为　　　　　　． 【答案】34 【分析】 本题考查了“赵爽弦图”，完全平方公式的变形应用；由题意得，由得，利用完全平方公式展开再相加即可求得，进而求得大正方形的面积． 【详解】 解：由题意知，小正方形的边长为，则， ∴① ， ∵， ∴② ， 得：， ∴， ∵，大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积为， 故答案为：34． 62．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 【答案】（1）风筝的垂直高度为米     （2）风筝的垂直高度下降米      【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． (1) 小问详解： 在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． (2) 小问详解： 解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 63．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：    （1）． （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴；     （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴．      【分析】 （1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 64．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． （1）求梯子的顶端A 距地面有多高； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】（1）梯子的顶端A距地面     （2）梯子的底端B在水平方向上滑动了      【分析】 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． (1) 小问详解： 解：． 答：梯子的顶端A距地面． (2) 小问详解： 解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 65．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）在直角坐标系内的位置如图所示． （1）请直接写出、的坐标； （2）请在这个坐标系内画出，使与关于轴对称； （3）计算面积； （4）在轴上找一点，使得的值最小，则的最小值为_____． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所求；     （3）     （4） 如图：       【分析】 本题主要考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，割补法求三角形的面积，勾股定理，解题的关键是熟知轴对称的性质． （1）根据点、在坐标中的位置即可解答； （2）根据轴对称的性质即可在图中画出关于y轴的对称图形； （3）根据网格利用割补法计算即可． （4）作出点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，点P即为所求的点，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：根据图形得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：作出点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，点P即为所求的点， ， 的最小值为． 故答案为：． 66．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． （1）求E站应建在离A点多少处？ （2）若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】（1）E站应建在离A点处     （2）2小时      【分析】 本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． (1) 小问详解： 解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； (2) 小问详解： 解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 67．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）（多选）如图1，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． （1）求的长； （2）求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取一点G，使，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）10     （2） 证明：在直角△BCE中，， ∴， ∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°， ∴∠EAF=∠EBC， 在△AEF和△BEC中， ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴AF=BC；     （3）DG=2DE      【分析】 （1）先求出AC=15，然后利用面积法求解即可； （2）先求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC； （3）如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：在直角△ADC中， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N， ∵BE=BG，BT⊥GE， ∴GT=ET， ∵， ∴，    ∴EM=EN， ∴DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠BDT=45°， ∴BT=DT， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴DG=2DE； 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 68．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）某直角三角形的面积为，斜边长为7，该直角三角形的周长为　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查了勾股定理，完全平方公式，设直角三角形的两条直角边为a、b，根据勾股定理和面积公式，得到，，利用完全平方公式求出，进而求得周长，即可作答． 【详解】 解：设直角三角形的两条直角边为a、b， ∵斜边为， 则， ∵某直角三角形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴（舍去负值） 即周长为． 故答案为：15 69．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A、C两点分别在x轴、y轴上，轴，，B点的坐标为，将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点E，则点E坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可． 【详解】 解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 70．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在数轴上，点所对应的实数为0，点对应的实数为2，过作数轴的垂线段，使得，再以为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据数轴上点的位置求出的长，然后利用勾股定理求出的长即可得到的长，从而可以得到答案． 【详解】 解：∵数轴上A、C表示的数分别是0、2， ∴， ∵，， ∴， 由作图方式可知，， ∴点D表示的实数为， 故答案为：． 71．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． （1）求风筝的高度； （2）若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 【答案】（1）米     （2）26      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理求得的长即可． (1) 小问详解： 解：由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． (2) 小问详解： 解： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， 即的长度为26米． 72．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出，结合题干条件得，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：依题意，连接， ∵， ∴， 则， ∵在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 73．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度的直角三角形、三角形外角的性质、勾股定理等知识点．由题意可知垂直平分线段，则，由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：由作图可知：垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 74．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面处的食物，已知处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理的应用，正确利用展开图进行计算是解题关键．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】 解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，     连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 75．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为8米；     （2）小明需后退2米．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出米，，由勾股定理得米，即可得解． (1) 小问详解： 解：设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为8米； (2) 小问详解： 解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴米，， 米， 米，米， 在中，， 由勾股定理得：米， 米 答：小明需后退2米． 76．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，把直角沿折叠后，使点B落在边上点E处，若，，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了折叠问题，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是先由，，，根据勾股定理求得，再由折叠得，，，则，，即可根据勾股定理列方程得，求得，即可求得． 【详解】 解：，，， ， 由折叠得，，， ，， ，且， ， ， ， 故答案为：6． 77．（25-26学年八上·四川成都·期中）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？    【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】 解：过点作， 由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 78．（25-26学年八上·四川成都·期中）王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求解即可，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∴电梯内能放入这些木条的最大长度是， 故答案为：． 79．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． （1）如图1，的长度为________，中边上的高的长度为________． （2）如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边），因为，（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 【答案】（1），     （2） ，理由如下： 构造，如图所示： 由勾股定理，得， 在中，， ；     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为． 80．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，   在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：如图① ，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，    在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 81．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化.树形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. (1) 【思想应用】已知m， n均为正实数，且m+n=2求的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图， AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m， BE=n. ①用含m的代数式表示CE=_______， 用含n的代数式表示DE=          ; ②据此求的最小值; (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值. 【答案】（1）①，；②；（2）20. 【分析】 （1）① 利用勾股定理得到CE=，DE=； ② 根据CE+DE=+，利用两点之间线段得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD=，从而求解； （2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，利用勾股定理得到CE=，DE=；根据两点之间线段得到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），根据四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD即可得到最小值． 【详解】 解：（1）① 在Rt△ACE中，， 在Rt△BDE中，DE=； ②CE+DE=+， 而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形， ∴AH=BD=2，DH=AB=2， 在Rt△CHD中，CD=， ∴CE+DE的最小值为，即的最小值为； （2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x， 在Rt△ACE中，CE=， 在Rt△BDE中，DE= ∴CE+DE=+， 而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∵四边形ABDH为矩形， ∴AH=BD=7，DH=AB=16， 在Rt△CHD中，CD= ∴CE+DE的最小值为20，即的最小值为20． 【点睛】 本题考查了勾股定理的实际应用，灵活运用两点之间线段最短得到CE+DE≥CD是解题的关键，同时也考查了数形结合思想的应用． 82．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，图形的折叠问题．先过D作于G，设，则，根据在中，根据勾股定理可得关于x的方程，进而得到，再根据面积法得到，根据勾股定理得到中，可得，即可得到D的坐标． 【详解】 解：如图，过D作于G， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， ∵， 在中，， ，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 83．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】 解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：24． 84．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式； （2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明； （3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦． 【答案】（1）（49﹣1），（49＋1）     （2）（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2， 证明（ⅰ）：弦﹣股＝；     （3）m，      【分析】 （1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半； （2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证； （3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1． (1) 小问详解： 解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：（49﹣1），（49＋1）； (2) 小问详解： 当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，， 它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）． 如证明（ⅰ）：弦﹣股＝； 如证明（ⅱ）：； (3) 小问详解： 当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，． 【点睛】 本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般． 85．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】 解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 86．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 87．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】 解：如图， 根据题意，，， ∵点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故选：． 88．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．    （1）直接写出与的关系； （2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：； （3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长． 【答案】（1）且     （2） 如图2中，设交于O． 由（1）可知≌， ∴，. ∵， ∴， ∴. ∵，， ∴， 即， ∴；     （3）      【分析】 对于（1），先证明≌即可得出数量关系，再根据角之间的关系得出位置关系； 对于（2），设交于O，先证明，可得结论； 对于（3），连接，首先证明，利用勾股定理求出线段，再证明≌推出，即可解决问题． (1) 小问详解： 结论：且． 理由：如图1中，延长交一点O．    ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴≌， ∴，. ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3中，连接，    ∵，， ∴，. ∵， ∴. ∵，， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴≌， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 89．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1）10；（2）13；（3） 【分析】 （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】 解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （3）如图所示，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 90．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】（1）秋千的长度是     （2）此时踏板离地的垂直高度为      【分析】 （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； (2) 小问详解： 解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得：或（舍去）， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【点睛】 本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 91．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知：长方形的对边互相平行且相等，四个角都是直角． 如图1，四边形为长方形，，Q为长方形内一点，且，过点Q作直线，分别交边所在直线于点E，点F． （1）求证：； （2）当F是的中点时，求的值； （3）连接，若是以为底角的等腰三角形，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1， 连接， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）     （3）或9      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，证明，从而得出结论； （2）可证得，从而得出，设，可表示出，可得出，在中，根据勾股定理列出方程，求得x的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当时，，延长，交于G，可证得，从而，进而得出，进而得出是等边三角形，进一步得出结果；当时，，作于H，设，则，可表示出，，从而得出，进一步得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点F是的中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图2， 当时，， 延长，交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（舍负）， ∴， 如图3， 作于H， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或9． 92．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是　　　　　　　． 【答案】25 【分析】 本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】 解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比① ②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 93．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在等腰中，，点为上一点，连接，过点作交于点，延长到点使得，连接，的角平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）若平分，，求的长． 【答案】（1） ∵的角平分线交于点， ∴ ∵， ∴；     （2） ，理由如下： 如图所示，在上取点H，使 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵在等腰中，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴；     （3）      【分析】 （1）首先由角平分的定义得到，然后证明即可； （2）如图所示，在上取点H，使，证明出，得到，然后根据勾股定理求解即可； （3）如图所示，过点D作于点M，首先求出，然后得到，然后证明出，得到，然后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，过点D作于点M ∵平分， ∴ ∴ ∵在等腰中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵，平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】 此题考查了角平分的定义，全等三角形的性质和判定，勾股定理，二次根式的混合运算，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 94．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析     （2）      【分析】 本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． (1) 小问详解： 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． (2) 小问详解： 解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 95．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】 解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 96．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知：是等边三角形，动点在所在的直线上，以为边在逆时针方向作等边三角形，其中，探究并解决下列问 （1）如图1，若点在线段上，且，，则_______，_______； （2）如图2，若点在的延长线上，请你利用图补充完成图形，探究，，三者之间的数量关系并证明． （3）在点运动过程中，当取得最小值时，求的值． 【答案】（1），；     （2） 补全图形：以为边逆时针作等边，连接，如图， ，理由如下： 过作于，在延长线上取一点，使得，连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ， ，， 即， 又， ， ∴；     （3）．      【分析】 （1）通过等边三角形性质证，得，进而求得；作，用勾股定理求（即）． （2）补全图形后，构造辅助线，利用全等三角形和勾股定理推导、、的数量关系； （3）确定点的运动轨迹，利用垂线段最短找到最小值的位置，再通过全等和勾股定理计算． (1) 小问详解： 解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于，则， ∵是等边三角形，，，， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∵是等边三角形， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）得， ∴， ∴， ∴点在过点与夹角为的直线上运动， 当时，取得最小值，过作于， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短的性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是解题的关键． 97．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】 （1）①如图2，在中，若，则　　． ②如图2，在中，若，求证：； 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度　　 【答案】（1）①； ② 证明：∵折叠， ∴ ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即；     （2） ，理由如下， 如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即；     （3）或      【分析】 （1）① 根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； ② 根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论； （2）结论，根据（1）② 的方法证明即可； （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，① 若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；② 若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不能为直角顶点，分两种情况讨论， ① 若，如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ② 若，如图， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， 综上所述，或 【点睛】 本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 98．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图1，，，，其中、满足． （1）直接写出、的值； （2）如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接交于点，求的长； （3）如图3，点为线段上的一个动点，连接，和关于对称，当为直角三角形时，求的长． 【答案】（1）     （2）     （3）的长为或3      【分析】 本题考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）由折叠的性质及平行线的性质得，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解； （3）分两种情况：；；利用折叠的性质及勾股定理求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由折叠的性质知：， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故； (3) 小问详解： 解：连接，如图， 由折叠的性质得：， 当时， ∵， ∴点H在线段上， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； 当时，此时点H在线段上， ∴四边形为正方形， ∴； 综上，的长为或3． 99．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，数形结合是解题的关键． 仿照题干中的方法构造图形：，，，，，是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，则，，，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值；过点作的垂线交于点F，则四边形是长方形，再利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】 解：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，， 设， 则，，， 当，，三点共线时，取得最小值， 即取得最小值； 过点作的垂线交于点F， 则四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，， 即取得最小值为20； 故答案为：20． 100．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，点，以点为顶点作且，点，分别在，轴上，点是的中点，点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了中点坐标公式，勾股定理，配方法的应用，设点的坐标为，可得，，利用勾股定理化简后可得，即得到，可知当时，的值最小，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵点是的中点，点，分别在，轴上， ∴，， ∵是直角三角形，且， ∴， 即， 整理得，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最小，的最小值， 故答案为：． 101．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在轴、轴的正半轴上，连接，将沿着翻折，点落在该坐标平面内，设这个落点为，交轴于点，已知，． （1）求的面积； （2）点的坐标； （3）若为轴上一动点，直接写出当为等腰三角形时的点坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或或      【分析】 （1）首先证明是等腰三角形，在直角中利用勾股定理即可求得的长，进而求得的面积； （2）作轴于点F，根据的面积求得D的纵坐标，然后在直角中，利用勾股定理求得的长，从而求得，即可得到D的坐标； （3）由（2）知点的坐标，设，分三种情况讨论，利用两点间距离公式列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵矩形中，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴； 设，则， 在中，，则， 解得； 则， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，作轴于点F， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 又∵ ， ∴； ∴， 在中，， 则； ∴D坐标为； (3) 小问详解： 解：由（2）知， 设， 由题意得， ∴，， 当为等腰三角形时，则， 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴或； 当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上，当为等腰三角形时的，点坐标为或或或 或． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解． 102．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图1，平面直角坐标系中，轴，轴，点A坐标为，点C坐标为，点D在边上，，点P在边上，将矩形沿直线翻折，点O落在边上点E处． （1）求点E的坐标． （2）如图2，若点M从点D出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当M与点E重合时运动停止；设点M的运动时间为t秒，以点D、E、M为顶点的三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； （3）在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）过点E作，则，，利用勾股定理求得，，问题可解； （2）分类讨论，当点M在上时，； 当点M在上时，； 当点M在上时，，利用面积公式列代数式求解即可； （3）同第（2）问，分类讨论，列代数式分别表示出的三边，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：过点E作，如图1． 四边形是矩形，点A坐标为， ，． ，矩形沿直线翻折，点O落在边上点E处． ． 在中，， ， ． (2) 小问详解： 点M从点D出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向匀速运动， ，，， ，， 当点M在上时，，； 当点M在上时，，如图3， ； 当点M在上时，，如图4， ； ． (3) 小问详解： ，， 当点M在上时，不能构成等腰． 当点M在上时，，如图5， ，，，，， ，，． ，，或（舍去）； ， ； ，，方程无解，不存在t； ，，． ， ； 当点M在上时，，过点M作，如图6， ，，， ， ，，． ，，（舍去）或； ，， ； ，， （舍去）或； ，， ； ，，（舍去）． 综上可知，当为等腰三角形时，M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的性质，勾股定理，图形与坐标，列代数式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识，解一元二次方程是解题的关键． 103．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． （1）①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）①；②     （2）     （3）      【分析】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）① 根据勾股定理即可表示出的长；② 过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． (1) 小问详解： 解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ② 过点作，过点作，连接，如图，    ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． (2) 小问详解： 解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． (3) 小问详解： 解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 104．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）计算： （1）已知，都是有理数，并且满足，求的平方根； （2）若，，是实数，且，平面直角坐标系中有点，，求之间的距离． 【答案】（1）的平方根为     （2）之间的距离为      【分析】 （1）由，都是有理数，可得是有理数，是含的无理数部分，即可得，，解方程再代入求值即可； （2）原式移项、配方可得，由偶次方的非负性可得 ，解得 ，即可得点、坐标，根据两点间距离公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，都是有理数， ∴是有理数，是含的无理数部分， ∵， ∴ ， 解得 ， 当 时，，的平方根是； 当 时，，无意义，舍去； 故的平方根为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 解得 ， ∴，， ∴． 故之间的距离为． 【点睛】 本题考查了实数的计算，以及有理数的含义与应用，偶次方的非负性、完全平方公式、平面直角坐标系中求两点间的距离等知识，判断出是有理数及熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 105．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且a，b满足． （1）如图1，求a和b的值； （2）在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点(不与A，C重合)，连接，过点A作，垂足为点E．连接，当点D在线段上运动时(不与A，C重合)，的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】（1）     （2）存在点P，点P的坐标为：，，，     （3）的大小不变化，这个定值为      【分析】 本题考查非负数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，坐标与图形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）设为，则，，，再分① 当时，② 当时，③ 当时，三种情况列出方程求解即可； （3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质得到，，则，设，则，继而求出，再用等边对等角求得，最后可得． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵，，， ∴，， 点P在x轴上，不妨设为， 则，，， 要使得是等腰三角形，则或或， ① 当时，即， 解得：， ∴，； ② 当时，即， 解得：(与点A重合，舍去)， ∴； ③ 当时，即， 解得：， ∴； 综上所述：存在点P，使是等腰三角形，点P的坐标为：，，，； (3) 小问详解： 的大小不变化，这个定值为，理由如下： 如下图所示：取的中点P，连接，， ∵，，，点P是的中点， ∴，， ∴， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴的大小不变化，这个定值为． 106．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，为等边三角形，是中点，和分别为线段和线段上的两点，，，，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 延长至点使得，连接、，作于点，于点，于点，根据等边三角形的性质得到，通过证明和得到，，，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到和，则有，设，则，根据线段的和差列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】 解：如图，延长至点使得，连接、，作于点，于点，于点， 则， ∵为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于三角形综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 107．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，在中，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点D、E分别在边和边上，连接和BD，若，求的最小值； （3）在（2）的条件下，求的面积． 【答案】（1）；     （2）     （3）．      【分析】 本题考查了三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段和的最值问题以及面积计算，综合性强．掌握通过作辅助线构造直角三角形、利用全等三角形进行线段转化、运用“两点之间线段最短”求最值以及灵活运用面积公式是解题的关键． （1）本小题通过点A作的垂线，将一般三角形问题转化为解直角三角形问题。利用含角和角的直角三角形的性质，分步求出和，最后应用勾股定理求得； （2）解题核心是构造全等三角形实现线段转化，通过证明 ，将转化为．利用“两点之间线段最短”原理，当B、D、F三点共线时取得最小值，即的长度，最终通过解等腰三角形求得最小值为； （3）本问在（2）问的基础上，利用已得的角度关系，通过作多条垂线构造直角三角形．通过设未知数建立方程，逐步求出相关线段长度，最后运用三角形面积公式计算得出面积为． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点M， ∵，， ∴ 在中，， ， ∵， ∴， 在中，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点A作线段，使，，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 当B、D、F三点共线时有最小值，长度为，如下图， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点A作， ∵ ∴， 在中，， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：过点G作于点Q，于点P， 于点R， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， 解得， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 108．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）在中，如图，点是边的中点，点是边上的点，在边的延长线上，且，连接，若，，，则的长度为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的性质与运用，添加常用辅助线是解答的关键． 延长至E，使，过P作交延长线于F，连接，先证明得到，，进而利用平行线的判定与性质得到，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用线段垂直平分线性质得到，在中，利用勾股定理求得，进而求得即可求解． 【详解】 解：延长至E，使，过P作交延长线于F，连接， ∵点是边的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， ∵，，即垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 则． 故答案为：． 109．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图1，中，，于点，，． （1）求，的长； （2）若点是射线上的一个动点，作于点，连结． ①当时，求的长． ②设直线交直线于点，若，求的长． 【答案】（1）；     （2）①；②或      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，合理作出辅助线结合分类讨论思想是解题的关键． （1）运用勾股定理运算求解即可； （2）① 证出，再利用全等的性质求解即可； ② 分类讨论点的位置，过点作于点，证出，结合勾股定理运算求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴； ② 当点在线段上时，过点作于点如图所示： ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 当点在线段延长线上时，过点作于点如图所示： ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 同上同理可证， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为或． 110．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，为边长为4的等边三角形，，分别为，上两点，连接，交于点，连接，若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，证明，推出得到，推出，，再证明，得到，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴， 故答案为：． 111．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）已知，，．且满足，，平面内有一点(其中是常数)．请回答下列问题：    （1）求、、三点的坐标； （2）若点在第二象限，连接，请用含的代数式表示四边形的面积，并求出当时，的值； （3）若点是由点沿轴正方向平移距离得到的，连接、，请问在四边形边上是否存在点使得为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：，， 解得：，，， ，，； (2) 小问详解： ，， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ，，， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得； 当时，设，则有， 解得：， ； 当时，可得．    综上所述，或或或． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． 112．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． （1）求证：； （2）当点E是边的中点时，求的长； （3）当时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵将沿直线翻折到， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据矩形和折叠的性质易证，即得出； （2）连接，易证，得出．设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可； （3）分类讨论：① 当点F在B点上方时和② 当点F在B点下方时，分别根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：分类讨论：① 当点F在B点上方时，如图， 设，则， 根据（1）可得， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ② 当点F在B点下方时，如图， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上可知的长为或． 【点睛】 本题考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程求解是解题关键． 113．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，已知在中，，点在边上，连接；过点作，交边于点． （1）如果点在线段的垂直平分线上， ①求证：； ②如果，求的度数； （2）如果，，且是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1） ① 证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； ②     （2）或      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键﹒ （1）① 根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，根据证明，即可证明； ② 设，可以得到，，由① 得，根据，得到，即可求出； （2）先根据勾股定理求出﹒ ① 当时，由（1）① 可知，，过点P作于点M，得到，证明求出，设，根据勾股定理得，求出，即可求出； ② 当时，证明，得到，设，则，根据勾股定理得，即可求出﹒ (1) 小问详解： 解：① 略 ② 设， ∵， ∴， ∴， 由① 得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 分两种情况： ① 如图3，当时， 由（1）① 可知，， 过点P作于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 设，在和中，根据勾股定理得 ∴， 即， ∴； ② 如图4，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴﹒ 综上所述，的长等于或﹒ 114．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）在综合与实践课上，蓉宝同学将正方形纸片沿过点A的直线折叠，如图1，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求正方形的边长； （3）如图2，过点F作于点M，连接，求的度数． 【答案】（1） 证明:∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴；     （2）6     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据证明，即可得证； （2）设正方形的边长为，分别表示出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）过点作，交于点，交于点，易得，根据折叠的性质，全等三角形的性质，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵折叠， ∴， 设正方形的边长为，则：， 由（1）知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴正方形的边长为6； (3) 小问详解： 解：过点作，交于点，交于点，则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 115．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图1，和均为等腰直角三角形，，，，绕点B逆时针旋转． （1）如图2．证明：； （2）图2中，当绕点B逆时针旋转至时，求的值． （3）如图3．取的中点F．当旋转至时，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．     （2）     （3）      【分析】 (1) 由和均为等腰直角三角形，证明，，,从而得到，即可证明结论； (2）证明，利用勾股定理求出，从而求出的值； (3）过点C作，垂足为点G，证明是等腰三角形，再由，证明，从而得到，根据勾股定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：如图，过点C作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， 又由（1），知，点F是DB的中点， ∴， 在中，． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一，勾股定理等知识，本题的关键是熟练运用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质解题． 116．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质解答即可． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出线段长度的最小值的条件． 【详解】 解：根据垂线段最短，得到且为的交点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴， 故答案为：． 117．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了立体图形的平面展开图、勾股定理及最短距离问题，关键是找出从到的不同路径 ． 先将正方体表面展开，找出、两点之间的不同展开路径，通过计算比较得出结论 ． 【详解】 解：如图，有两种展开方法： 方法一：∵， ∴， 方法二：∵， ∴． ∵， ∴最短距离是： ． 故答案为： ． 118．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为　　　　　　． 【答案】 【详解】 如图，延长BG交CH于点E，易证△ABG≌△BCE≌△CDH，所以AG=BE=CH，BG=CE=DH，所以GE=12-9=3，HE=12-9=3，Rt△GHE，由勾股定理得GH=. 故答案为. 点睛：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质及勾股定理，由于正方形是最特殊的四边形，它有所有四边形的性质，既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以正方形中的问题较多的通过全等三角形来解决，求线段的长通常要结合勾股定理求解. 119．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 首先确定，，进而可得，结合题意确定点的运动规律，进而可得第2025秒时，点运动到点，然后分点在第四象限和点在第一象限两种情况讨论，结合全等三角形的性质确定点的坐标即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，点关于轴对称，点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动， 又∵， ∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示， 此时可分两种情况讨论， 当点在第四象限时，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点在第一象限时，过点作轴于点， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的定义、坐标与图形、点的坐标规律探索、勾股定理等知识，解题关键是确定点的运动规律，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 120．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知，，且厘米，厘米，点P以每秒2厘米的速度从点B开始沿射线运动，同时点Q在线段上由点C向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）当时，______厘米，______厘米； （2）如图①，点P在线段上时，经过几秒时，与全等?此时点Q的速度是多少? （3）如图②，是否存在点P，使得是直角三角形?若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，6     （2）当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒     （3）满足条件的t的值为或．      【分析】 本题考查全等三角形的性质和勾股定理，解一元二次方程． （1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）分两种情形：①；②，分别构建方程解决问题即可； （3）分三种情形：① 当为斜边时；② 当为斜边时；③ 当为斜边时，利用勾股定理分别构建方程即可解决问题． (1) 小问详解： 解：时，(厘米)， ∵厘米， ∴(厘米) ， 故答案为：4；6； (2) 小问详解： 解：由题意得厘米，当时，(厘米)， 当时，(厘米)， 若使与全等，需分两种情况： ① 当且时，如解图1，则， ∴， 解得，此时， ∴点的速度为（厘米/秒）； ② 当且时，， 即， 解得，此时， ∴点的速度为（厘米/秒） 综上所述，当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒； (3) 小问详解： 解：如图② 中，作于H， 在中， ，， ∴， ∵， ， ① 当为斜边时， 由勾股定理得， 整理得， ， 此情况不存在； ② 当为斜边时， 由勾股定理得， 解得； ③ 当为斜边时， 由勾股定理得， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为或． 121．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当时，求出的长； （3）在点的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， ∴；     （2）或；     （3）存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或．      【分析】 （1）利用矩形对边平行得角相等，结合翻折的角相等，推导等腰三角形得线段相等； （2）分在上方、下方两种情况，结合（）的结论，用勾股定理构造方程求解； （3）分、两种等腰情况，每种情况再分在上方、下方，共种情况，结合翻折性质与勾股定理列方程分析是否存在解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：情况：在下方时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则，， 由（1）得． 在中，由勾股定理得即， 解得； 情况：在上方时，如图， 设，则，， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，即 解得； 综上，或； (3) 小问详解： 解：①当时， 由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 子情况：在上方，如图， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， 由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， 设，则，． 由（）得， 在中，即， 解得， ∴， 又∵， ∴； 子情况：在上方时，如图， 设，则，． 由（）得， ， ∴； 综上，存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形与翻折的性质，结合分类讨论思想利用勾股定理构造方程是解题的关键． 122．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿直线翻折，点A与点E重合．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】 解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即的长为． 故答案为：． 123．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，．其中D，F分别是，边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点D逆时针旋转得到，连接，，．已知，且G为中点，连接，则周长的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称，勾股定理，熟练掌握“一线三等角”和“将军饮马”模型是解题的关键． 根据题目中给出的和，且顶点在同一条直线上，作辅助线构造和全等，通过角度转化找出动点E与成角的射线上移动，再通过轴对称发现当三点共线时，的周长最小，结合勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图在线段上取一点H，使得，连接， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 结合题意可知动点E在与成角的射线上移动， 如图，作点G关于直线对称的点P，连接；延长，过点P作垂线，交于点Q， 由轴对称可得， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， 由勾股定理得， 根据图形可知， 当三点共线时，值最小，此时，同时的周长最小，为． 故答案为：． 124．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）已知，是等腰直角三角形，其中，，D是边上一点． （1）如图1，若，且满足，求的长度； （2）如图2，E为延长线上一点，连接，过点C作于点F，点A作于点G，当D点为中点时，连接D，G，若，，求的长（用含m，n的式子表示）； （3）如图3，当D点为中点时，连接并延长至点F，使得．是以D为直角顶点的等腰直角三角形，将绕点D旋转，已知，，当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）的值为2或或或或．      【分析】 （1）作于点，求得，利用三角形的性质结合勾股定理求解即可； （2）延长和交于点，证明，得到，，再证明是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：延长和交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，，D点为中点， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当，作，垂足为点， 当点在上方时，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴； 当，作，垂足为点，作于点， 当点在上方时，如图，作的垂直平分线交于点，取的中点，连接， ∴， ∴同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ∴，， ∴， ∴； 当点在下方时， 如图，作于点，作的垂直平分线交于点， 同理，，，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，的值为2或或或或． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质与判定，勾股定理，30度角直角三角形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题． 125．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知等边三角形，点在直线上，连接，点在射线上，连接，且， （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：；若，，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，将以直线为对称轴折叠得到，连接，（k为常数），求的值（用含k式子表示）． 【答案】（1） 证：三角形是等边三角形 ， 三角形为等边三角形 即 是外角 ∴在，中 设，， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ，， ， 在中，， 即，解得， ．     （2）      【分析】 （1）证明：利用等边三角形的性质（三边相等、三个角都是）以及三角内角和定理推论，得到对应角相等和对应边相等，再根据全等三角形的判定定理进行证明，求AC的长：设，根据表示出，再结合等边三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中建立方程求解； （2）利用折叠的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的性质和判定，证明，为等边三角形，设，通过证明，即可表示出，利用勾股定理即可表示出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，作，交延长线于点，如图所示， 与关于直线对称， ， ， 三角形是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，且 为等边三角形， ， ， 在，中， ， ， 令， ， ， 在中， ，， ． 【点睛】 本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理，掌握等边三角形的判定是解题关键． 126．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 　　　　　． 【答案】 【分析】 在上取一点，连接，使,在上截取，连接， 作直线, 因为, ,所以，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值，于是得到问题的答案． 【详解】 解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线，    ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 127．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，，，，分别为，上的两点，，若点关于的对称点在上，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质．先证明四边形是菱形，推出，求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】 解：如图， 由对称的性质得，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 128．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． （3）是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点P的坐标为；     （2）     （3）点P的坐标为或．      【分析】 此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； (3) 小问详解： 解：如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 129．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）（1）如图1，在，，，，求边上高的长； （2）如图2，在中，，，，线段与线段交于点（点不在上），连接． ①在（1）的条件下，若，求的长； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②的度数为或 【分析】 （1）先由勾股定理求出，设边上的高为，再由面积法得到，即可求解； （2）① 过点作于点，根据平行线间的距离相等得到，然后对，运用勾股定理求解； ② 当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点，先证明，则设，， 在，中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，联立① ② 解得，再代入求解即可；当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点，同上可证明，设，则，作点作的对称点，连接，则为等边三角形，则，则，然后再根据等腰三角形的性质求解；当，在左侧时，则为等边三角形，可求；当，在右侧时，同理． 【详解】 解：（1）∵，，， ∴, 设边上的高为， 则， ∴； （2）① 过点作于点， ∵， ， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ② 当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点， 则，，则由平行线间的距离相等得到， 由旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 联立① ② 解得， 代入② 求得（负值舍去）， ∴，， ∴，而 ∴为等腰直角三角形， ∴； 当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点， ∴ 同上可证明， ∴， 设，则， 作点作关于的对称点，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，在左侧时，如图： ∵， ∴， ∴为多边形三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 当，在右侧时，如图： ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 综上所述：为等腰三角形时，的度数为或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，难度较大，解题的关键是注意分类讨论的思想． 130．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）定义：如果一条线段的长度是另一条线段长度的倍，就称这条线段是另一条线段的“向阳线段”，例如若，则就称是的“向阳线段”．已知：如下图所示，在中，且，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的，连接，，当是的“向阳线段”时，　　　　　　． 【答案】或 【分析】 设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，根据“向阳线段”的定义可得．分两种情况讨论：① 过点作，交延长线于点，设，则，利用勾股定理解得的值，进而确定，，的值，证明，结合全等三角形的性质证明，易得，可求得的值，即可计算的值；② 过点作，交延长线于点，设，则，利用勾股定理解得的值，进而确定，，的值，证明，易得，进一步证明为直角三角形，四边形为矩形，然后解得的值，即可计算的值． 【详解】 解：∵在中，，， 可设，则， ∴， ∵将沿直线翻折，得到对应的， ∴，，， ∵是的“向阳线段”， ∴， 分两种情况讨论： ① 如下图，过点作，交延长线于点， 设，则， 在和中， 可有， 即，解得， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 如下图，过点作，交延长线于点， 设，则， 在和中， 可有， 即，解得， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，运用分类讨论的思想分析问题． 131．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，三角形中，，点在上，，点在的延长线上，且，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，理解已知条件，添加适当辅助线是解题关键．作于点F，交于点T作，垂足为G，交于H．求出， ．设，求出，进而得到，证明，得到．再证明，得到，设，根据勾股定理得，求出即，，，． 设，则，根据勾股定理得，求出．再证明，得到，进而得到，即可求出 ∴． 【详解】 解：如图，作于点F，交于点T，作，垂足为G，交于H． ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设， 在和中，根据勾股定理得， 解得， 即，， ∴， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：11 132．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图1，在中，，． （1）如图2，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接． ①求证：； ②请猜想与的关系，并证明你的结论； （2）如图3，，点是内部一点，，且，点、分别是、边上的动点.当的值最小时，求的值．（用含的式子表示） 【答案】（1） ① ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又， ∴； ②     （2）      【分析】 （1）①利用证明； ② 先利用证明，从而可利用全等三角形的性质得到，，再根据，得出，，从而可得出，根据三线合一可得，从而可利用勾股定理得到； （2）先利用两点之间线段最短与垂线段最短，得出的最小值为，并画出此时的图形，再利用等腰三角形的性质及勾股定理，分别求得与，再求即可. (1) 小问详解： 解：① 略 ②如图，连接并延长交的延长线于点， ，， ，， ， 是边的中点， ， 又， ， ，， 是斜边边上的中线， ， 又， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即（负值已舍去）； (2) 小问详解： 过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接 则， 又， 四边形是正方形， 垂直平分， ，点是内部一点， 在上， 、分别是、边上的动点，作点关于的对称点， ，过点作于点F， 则， ∴， ∴的最小值为，如图， 四边形是正方形， ， ∴，，，，， ， ，， ， ， ， 又， ， 解得：（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 又， . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质综合（），正方形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短，垂直平分线的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 133．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最大值为　　　　　　，最小值为　　　　　　． 【答案】①     ② 4 【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，确定点F的运动轨迹是解题的关键．以为边作等边三角形，连接直线，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒先证明，可得，可得点F在过点H且垂直的直线上运动，再证明四边形是矩形，求出，，即可得到的最小值为4﹒再求出的最大值为，连接，得到，，得到的最大值为﹒ 【详解】 解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒ ∵，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点H且垂直的直线上运动， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F在直线上运动， ∴当时，即点F与点N重合，的最小值为4﹒ ∵E为边上一动点，， ∴的最大值为，即的最大值为，记为， 连接， ∴， ∴， ∴的最大值为﹒ 故答案为：，4 134．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，四边形中，对角线，点F为上一点，连接交于点E，若，，，，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长、，交于点，先证明为等腰直角三角形，再判定，然后在等腰直角三角形中，由勾股定理得与的值，设，则，判定，从而，解得的值，最后根据，可得答案． 【详解】 解：延长、，交于点，如图： ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 在等腰直角三角形中，，， 由勾股定理得， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 135．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在中,， ， ，点 在 上，将 沿 折叠,点落在点处，与 相交于点 ，若，则的长是　　　　　　　　　　.    【答案】 【分析】利用平行线的性质及折叠的性质得到，即AB⊥CE，再根据勾股定理求出,再利用面积法求出CE. 【详解】∵， ∴, 由折叠得： , ∵, ∴, ∴, ∴AB⊥CE， ∵， ， ， ∴, ∵, ∴, ∴CE=, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为：. 【点睛】此题考查平行线的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求三角形的高线，题中求出AB⊥CE是解题的关键. 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 6、8、10 B. 1、、2 C. 2、3、4 D. 7、24、25 【答案】C 【分析】 根据勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】 解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，熟知该定理的内容是解题关键，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D． 【详解】 解：A、∵， ∴是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴不是直角三角形，符合题意； C、∵，， ∴，解得：， ∴是直角三角形，不符合题意； D、设，则， 解得：， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形那是直角三角形，以及三角形的内角和为． 3．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）在中，a、b、c分别是的对边，在下列条件中，不能确定的形状是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，在三角形中若两较小的边的长的平方和等于较大边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断B；根据三角形内角和是180度可判断C、D；由不能确定的形状是直角三角形，据此可判断A． 【详解】 解：A、由不能确定的形状是直角三角形，故此选项符合题意； B、∵， ∴可设， ∴， ∴能确定的形状是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴能确定的形状是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，∴能确定的形状是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形，逐一判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 5．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据用勾股定理的逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D． 【详解】 解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 6．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（） A. 6，8，10 B. 5，4，3 C. 2，3，4 D. 17，8，15 【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】 解：A、，∴，能作为直角三角形三边长，故此选项不符合题意； B、，∴，能作为直角三角形三边长，故此选项不符合题意； C、，∴，不能作为直角三角形三边长，故此选项符合题意； D、，∴，能作为直角三角形三边长，故此选项不符合题意； ∴不能作为直角三角形三边长的是C． 故选：C． 7．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）以下列各组数据作为三角形的边长，不能组成直角三角形的是（     ） A.  B.  C. 5，12，13 D.  【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．要判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，就是要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，依次对各个选项验证即可． 【详解】 解：A、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； B、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； C、∵，故此选项中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． 8．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 【答案】B 【分析】 根据BC2﹣AC2＝AB2，可得△ABC为直角三角形，∠A＝90°，从而求得∠C． 【详解】 解：∵BC2﹣AC2＝AB2，即BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴， 故选：B. 【点睛】 此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，求得∠A＝90°． 9．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C. ，， D.  【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D． 【详解】 解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意； ，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 10．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）已知三条线段的长度分别为如下数据，那么以这三条线段为边不能构成直角三角形的是（       ） A. 1，1， B. ，， C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】B 【分析】 勾股定理的逆定理：三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一判断即可. 【详解】 解： 故A不符合题意； 故B符合题意； 故C不符合题意； 故D不符合题意； 故选B 【点睛】 本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解本题的关键. 11．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（     ） A. 3，4，5 B. ，， C. 6，8，10 D. 8，15，17 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边满足其中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A、，所以3，4，5作为三角形的边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，所以，，作为三角形的边长不能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，所以6，8，10作为三角形的边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，所以8，15，17作为三角形的边长能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 【答案】D 【分析】 根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可． 【详解】 解： A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断． 13．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A. ，， B. 2，2，4 C. 6，8，10 D. ，， 【答案】C 【分析】 题目主要考查勾股定理逆定理，理解题意，熟练掌握运用勾股定理逆定理是解题关键．运用勾股定理逆定理验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断直角三角形． 【详解】 解：A、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； B、，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，故符合题意； D、，，则，故不能组成直角三角形，故不符合题意， 故选：C． 14．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可． 【详解】 解：A. 若，则有，则，故是直角三角形，该选项不符合题意； B. 若，设，则，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意； C. 若，设，，，则有，解得，则，，，故不是直角三角形，该选项符合题意； D. 若，则有， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 15．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中），，为三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是利用三角形内角和定理或勾股定理的逆定理，判断三角形是否有直角或三边是否满足勾股关系． 分别分析每个选项，通过内角和推导角的度数，或通过三边比例验证勾股关系，找出不能判定的选项． 【详解】 解：A、∵，且， ∴，能判定为直角三角形，此选项不符合题意； B、∵，即， 又， ∴，能判定为直角三角形，此选项不符合题意； C、设，，，则，， ∵，且，不满足三角形三边关系（无法构成三角形），不可能为直角三角形，此选项符合题意； D、∵，由勾股定理的逆定理，能判定为直角三角形，此选项不符合题意． 故选：C． 16．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求四边形的面积，即可求解； (1) 小问详解： 解：连接， ， ， 故B、D之间的距离为； (2) 小问详解： 解：， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积 ． 17．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，在四边形中，，，，且． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求三角形的面积， 对于（1），先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形， 即可得出答案； 对于（2），根据可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 18．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　　　　　　　　　　三角形． 【答案】直角 【分析】 结合网格图，先根据勾股定理求出、和，再根据勾股定理的逆定理即可作答． 【详解】 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】 本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 19．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）居民从点A到点C将少走路程     （2）这片绿地的面积是       【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； (2) 小问详解： 解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 20．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【分析】 先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 21．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A，B，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． （1）判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1）是，理由见解析     （2）百米      【分析】 本题主要考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得． (1) 小问详解： 解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近道路； (2) 小问详解： 解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， 百米． 22．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：，， ， ∴； (2) 小问详解： 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 23．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 【答案】（1） 解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知， ，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴．     （2）线段的长度为．      【分析】 本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 24．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． （1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长． （2）计算喷泉到小路的最短距离． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用勾股定理求出，得到，再用勾股定理求出，即可解决； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：（1）在中，， ． 在中，， 供水点到喷泉，需要铺设的管道总长． (2) 小问详解： 解：，，， ， 是直角三角形， ， 喷泉到小路的最短距离是． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握其性质是解题的关键． 25．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，在直角三角形，． （1）求的长． （2）试判断的形状． （3）求出四边形的面积． 【答案】（1）5     （2）直角三角形     （3）36      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：，，， ； (2) 小问详解： 解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； (3) 小问详解： 解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 26．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）；     （2）这块空地的面积为．      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． (2) 小问详解： 解：连接，如图，    ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（       ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 5，12，13 2．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（       ） A. 6，8，10 B. 5，12，11 C. 7，8，9 D. 2，3，5 3．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处．木杆折断之前的高度是（     ） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 4．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）下列各组数中，是勾股数的是（       ） A. 5，6，7 B. 3，4，5 C. 1，2， D. ，，1 5．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杯折断之前的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）在Rt△ABC中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则AB的长为（　　） A. 49 B.  C. 3 D. 7 7．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（       ） A. 7 B. 33 C. 231 D. 569 8．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，，则为（       ） A.  B. 10 C. 25 D. 5 9．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（       ） A.  B.  C. 1 D.  11．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（       ）尺 A. 14 B.  C.  D. 16 12．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图是“赵爽弦图”，其中，，，是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么小正方形的面积是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 14．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，原点为，点在数轴上，且，，于，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点右侧），则点表示的数为（     ） A. 2 B.  C.  D. 2.3 15．（25-26学年八上·四川成都·期中）下列各组数据中，不是勾股数的是（       ） A. 3，4，5 B. 5，7，9 C. 8，15，17 D. 7，24，25 16．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，某人持竿进门，已知门高为2米．将竿横放则比门宽长1米，将竿斜放则刚好与门框对角线长度相等，则竿的长度为（     ） A. 2.2米 B. 1.9米 C. 2.5米 D. 2米 17．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，一个底面周长为、高为的圆柱状模型，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，且装饰带经过A，C两点（接头不计），装饰带的最短长度为（     ）． A. 30 B.  C.  D. 18 18．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（　　） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知点，则点P到原点的距离为（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 3 21．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（        ）． A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）在中，，，，，平分，则的值为（    ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　       ） A. 14 B. 16 C. 20 D. 18 24．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（     ） A. 16海里小时 B. 20海里小时 C. 32海里小时 D. 34海里小时 26．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图，在中，垂直平分斜边，交于点 D，E为垂足，连接，若 ，，则的长是（   ） A.  B.  C.  D. 4 27．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，小明想用彩色胶带装饰他的笔筒，这条胶带沿着这个圆柱的表面，从点A粘贴到点C，再从圆柱另外一面粘贴到A，已知它的底面直径为6，圆柱高为4，最少要用到的胶带长度为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图所示，正方形ABCD的边长为1，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B. 3 C.  D. 9 31．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，点为数轴原点，点对应实数为3，，连接，，以为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点对应的实数为 　　　　　　　　　 ． 32．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当，时，阴影部分的面积为　　　　　　． 33．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是　　　． 34．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，一个圆柱形容器的高为，底面半径为，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为　　　　　　　　　　　．（容器厚度忽略不计） 35．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3，以，为直角边作，，以点A为圆心，以长为半径作弧，交该数轴于点D，则点D对应的数为　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为　　　　　　　　． 37．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： （1）海港C会不会受到台风的影响？ （2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 38．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图所示，一棵高24米的大树处发生断裂，断裂后树的顶部落在离底部12米处，这棵大树在距离地面　　　　　　米处发生断裂． 39．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，是等边三角形，点A与点B均在数轴上，且点A表示的数为，边上的高，则点B表示的数为　　　　　　． 40．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）求的周长； （3）在轴上找出点，使值最小，请直接写出点的坐标． 41．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）综合实践 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． （1）【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ （2）【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端下滑的距离是多少米？ （3）【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 44．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走，再折回向北走到处往东一拐，仅走就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，E．若，，则的周长为　　　　　　　　　 cm． 46．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在数轴上点A表示的实数是　　　　　　． 47．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 48．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 　　　　　． 49．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为　　　　　． 50．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为　　　　　　（杯壁厚度不计）． 51．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图，一个正六棱柱礼品盒底面边长为，盒子高为．在正六棱柱礼盒的侧面上从顶点到顶点镶有一圈彩带用作装饰，则这圈彩带的长度至少是　　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 在平面直角坐标系内有两点，连接M，N，则线段的中点坐标为．例如，点，则线段的中点坐标为，即． （1）已知点，则线段的中点坐标为___________； （2）如图，坐标为坐标为，点坐标为，连接，．线段是的中线，求的长． 53．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，绳长为．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计，都看作一点） （1）求的长． （2）如图2，若滑块水平向左滑动，求物体上升的高度． 54．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出及其关于y轴对称的图形； （2）的面积为_______； （3）在轴上找一点，使得有最小值，该最小值为_______． 55．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点：作直线分别交于点．若，的长为，则的长为　　　　　　　． 56．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为　　　　　　　　　 57．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 58．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在中，，，，点在上，将沿着所在直线翻折，使点落在斜边上的点处．则的长为　　　　　　　　． 59．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在等腰中，，，D为边上一点，连结，过点A作的垂线，过点B作的垂线，两条垂线交于点E． （1）证明：； （2）若，求的长． 60．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，每个小正方形网格的边长均为1．已知，两村庄的坐标分别是，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______； （3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和． 61．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为，，斜边长为，若，小正方形的面积为4，则大正方形的面积为　　　　　　． 62．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中） “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度． （2）如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？ 63．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：    （1）． （2）． 64．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． （1）求梯子的顶端A 距地面有多高； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 65．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）在直角坐标系内的位置如图所示． （1）请直接写出、的坐标； （2）请在这个坐标系内画出，使与关于轴对称； （3）计算面积； （4）在轴上找一点，使得的值最小，则的最小值为_____． 66．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． （1）求E站应建在离A点多少处？ （2）若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 67．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）（多选）如图1，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． （1）求的长； （2）求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取一点G，使，请猜想与的数量关系，并说明理由． 68．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）某直角三角形的面积为，斜边长为7，该直角三角形的周长为　　　　　　． 69．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A、C两点分别在x轴、y轴上，轴，，B点的坐标为，将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点E，则点E坐标为　　　　　　． 70．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在数轴上，点所对应的实数为0，点对应的实数为2，过作数轴的垂线段，使得，再以为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为　　　　　　　　　　　 71．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． （1）求风筝的高度； （2）若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 72．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则　　　　　　　　　　　． 73．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接，则的长为　　　　　　　　　　　． 74．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，圆柱体的高为，底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，想吃到和它相对的侧面处的食物，已知处距上底，则蚂蚁沿侧面爬行的最短路径是　　　　　　　　　　　． 75．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 76．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，把直角沿折叠后，使点B落在边上点E处，若，，则　　　　　　． 77．（25-26学年八上·四川成都·期中）【问题解决】 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高，救人时云梯伸长至最长． 【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两处个求救点的救援． 【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，． 【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离为多少米才能把完成处救援任务？    78．（25-26学年八上·四川成都·期中）王叔叔家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是　　　　　　．（结果保留根号） 79．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想方法，通过数与形之间的对应关系和相互转化可以解决许多数学问题，同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点A，B，C都在格点上． （1）如图1，的长度为________，中边上的高的长度为________． （2）如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边），因为，（勾股定理），，所以．请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． （3）请运用上面“数形结合”的数学思想方法，求的最小值． 80．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长为　　　　　　． 81．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化.树形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的. (1) 【思想应用】已知m， n均为正实数，且m+n=2求的最小值通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题:如图， AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE=m， BE=n. ①用含m的代数式表示CE=_______， 用含n的代数式表示DE=          ; ②据此求的最小值; (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值. 82．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，长方形，，将其沿折叠，A点落在O点，C点落在D点，折痕为，则D的坐标为 　　　　　　　　　　　　　　　． 83．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，已知在中，，，，分别以，、为直径作半圆，则阴影部分的面积等于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 84．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是（9﹣1），（9＋1）；勾是五时，股和弦的算式分别是（25﹣1），（25＋1）．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式； （2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明； （3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数，且m＞4）的代数式来表示股和弦． 85．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接，，则的最小值为　　　　　　　　　　． 86．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为　　　　　　． 87．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高，点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从点爬到点，然后再爬回点，则小虫爬行的最短路程为　　　　　． 88．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图1，已知和为等腰直角三角形，按如图的位置摆放，直角顶点C重合．    （1）直接写出与的关系； （2）将按如图2的位置摆放，使点A、D、E在同一直线上，求证：； （3）将按如图3的位置摆放，使，，，求的长． 89．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是______．    （2）类比迁移：已知a，b均为正数，且．求的最小值． （3）方法应用：已知a，b均为正数，且，，是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）． 90．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度； （2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 91．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知：长方形的对边互相平行且相等，四个角都是直角． 如图1，四边形为长方形，，Q为长方形内一点，且，过点Q作直线，分别交边所在直线于点E，点F． （1）求证：； （2）当F是的中点时，求的值； （3）连接，若是以为底角的等腰三角形，求的长． 92．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是　　　　　　　． 93．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在等腰中，，点为上一点，连接，过点作交于点，延长到点使得，连接，的角平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （3）若平分，，求的长． 94．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 95．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）青朱出入图（图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述．将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，正方形和正方形的面积之和为，则图中的阴影部分面积为　　　　　　　． 96．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）已知：是等边三角形，动点在所在的直线上，以为边在逆时针方向作等边三角形，其中，探究并解决下列问 （1）如图1，若点在线段上，且，，则_______，_______； （2）如图2，若点在的延长线上，请你利用图补充完成图形，探究，，三者之间的数量关系并证明． （3）在点运动过程中，当取得最小值时，求的值． 97．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图2）．于是，由，，可得． 【感知】 （1）①如图2，在中，若，则　　． ②如图2，在中，若，求证：； 【探究】 （2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图3），即在中，，请探索线段之间的等量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图4，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度　　 98．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图1，，，，其中、满足． （1）直接写出、的值； （2）如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，连接交于点，求的长； （3）如图3，点为线段上的一个动点，连接，和关于对称，当为直角三角形时，求的长． 99．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例如：已知，均为正实数，且求的最小值，如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． 则，；因此当，，三点共线时有最小值，最小值为根据上述的方法，代数式的最小值为　　　　　　． 100．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，点，以点为顶点作且，点，分别在，轴上，点是的中点，点，则的最小值为　　　　　　． 101．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在轴、轴的正半轴上，连接，将沿着翻折，点落在该坐标平面内，设这个落点为，交轴于点，已知，． （1）求的面积； （2）点的坐标； （3）若为轴上一动点，直接写出当为等腰三角形时的点坐标． 102．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图1，平面直角坐标系中，轴，轴，点A坐标为，点C坐标为，点D在边上，，点P在边上，将矩形沿直线翻折，点O落在边上点E处． （1）求点E的坐标． （2）如图2，若点M从点D出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向匀速运动，当M与点E重合时运动停止；设点M的运动时间为t秒，以点D、E、M为顶点的三角形的面积记为S，请用含t的式子表示S； （3）在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标． 103．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． （1）①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． （2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． （3）若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 104．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）计算： （1）已知，都是有理数，并且满足，求的平方根； （2）若，，是实数，且，平面直角坐标系中有点，，求之间的距离． 105．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且a，b满足． （1）如图1，求a和b的值； （2）在x轴上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，已知等腰直角中，，，点D是腰上的一点(不与A，C重合)，连接，过点A作，垂足为点E．连接，当点D在线段上运动时(不与A，C重合)，的大小是否发生变化？若改变，求出的最大值；若不改变，求出这个定值． 106．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，为等边三角形，是中点，和分别为线段和线段上的两点，，，，，则　　　　　　． 107．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，在中，，，． （1）如图1，求的长； （2）如图2，点D、E分别在边和边上，连接和BD，若，求的最小值； （3）在（2）的条件下，求的面积． 108．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）在中，如图，点是边的中点，点是边上的点，在边的延长线上，且，连接，若，，，则的长度为　　　　　　　　　　． 109．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图1，中，，于点，，． （1）求，的长； （2）若点是射线上的一个动点，作于点，连结． ①当时，求的长． ②设直线交直线于点，若，求的长． 110．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，为边长为4的等边三角形，，分别为，上两点，连接，交于点，连接，若，，则　　　　　　　　　　　． 111．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）已知，，．且满足，，平面内有一点(其中是常数)．请回答下列问题：    （1）求、、三点的坐标； （2）若点在第二象限，连接，请用含的代数式表示四边形的面积，并求出当时，的值； （3）若点是由点沿轴正方向平移距离得到的，连接、，请问在四边形边上是否存在点使得为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 112．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． （1）求证：； （2）当点E是边的中点时，求的长； （3）当时，直接写出的长． 113．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，已知在中，，点在边上，连接；过点作，交边于点． （1）如果点在线段的垂直平分线上， ①求证：； ②如果，求的度数； （2）如果，，且是以为腰的等腰三角形，求的长度． 114．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）在综合与实践课上，蓉宝同学将正方形纸片沿过点A的直线折叠，如图1，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求正方形的边长； （3）如图2，过点F作于点M，连接，求的度数． 115．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图1，和均为等腰直角三角形，，，，绕点B逆时针旋转． （1）如图2．证明：； （2）图2中，当绕点B逆时针旋转至时，求的值． （3）如图3．取的中点F．当旋转至时，求的长度． 116．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，在锐角中，，点E为线段中点，点P为线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点P的对应点是点，在旋转的过程中，线段长度最小值是 　　　　　　　　　　　． 117．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）棱长分别为，的两个正方体如图放置，点，，在同一直线上，顶点在棱上，点是棱的靠近点的三等分点，一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点爬到点，它爬行的最短距离是　　　　　　　　　　 118．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为　　　　　　． 119．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为　　　　　　　　． 120．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）已知，，且厘米，厘米，点P以每秒2厘米的速度从点B开始沿射线运动，同时点Q在线段上由点C向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）当时，______厘米，______厘米； （2）如图①，点P在线段上时，经过几秒时，与全等?此时点Q的速度是多少? （3）如图②，是否存在点P，使得是直角三角形?若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 121．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当时，求出的长； （3）在点的运动过程中，是否存在是以为腰的等腰三角形，若不存在请说明理由，若存在，直接写出的长． 122．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，将沿直线翻折，点A与点E重合．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为　　　　　　　　． 123．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，．其中D，F分别是，边上的动点，在运动过程中始终保持，连接，并将绕点D逆时针旋转得到，连接，，．已知，且G为中点，连接，则周长的最小值为　　　　　　　　． 124．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）已知，是等腰直角三角形，其中，，D是边上一点． （1）如图1，若，且满足，求的长度； （2）如图2，E为延长线上一点，连接，过点C作于点F，点A作于点G，当D点为中点时，连接D，G，若，，求的长（用含m，n的式子表示）； （3）如图3，当D点为中点时，连接并延长至点F，使得．是以D为直角顶点的等腰直角三角形，将绕点D旋转，已知，，当为直角三角形时，直接写出的值． 125．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知等边三角形，点在直线上，连接，点在射线上，连接，且， （1）如图1，当点在边上时，过点作交于点，求证：；若，，求的长； （2）如图2，点在的延长线上，将以直线为对称轴折叠得到，连接，（k为常数），求的值（用含k式子表示）． 126．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 　　　　　． 127．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）如图，，，，分别为，上的两点，，若点关于的对称点在上，则　　　　　　　　　　　． 128．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，，，P为边上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点处． （1）如图1，连接，当点在线段上时，求点P的坐标． （2）如图2，当点P与点D重合时，沿将折叠得，与x轴交于点E，求的面积． （3）是否存在点P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 129．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）（1）如图1，在，，，，求边上高的长； （2）如图2，在中，，，，线段与线段交于点（点不在上），连接． ①在（1）的条件下，若，求的长； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若为等腰三角形，求的度数． 130．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）定义：如果一条线段的长度是另一条线段长度的倍，就称这条线段是另一条线段的“向阳线段”，例如若，则就称是的“向阳线段”．已知：如下图所示，在中，且，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的，连接，，当是的“向阳线段”时，　　　　　　． 131．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，三角形中，，点在上，，点在的延长线上，且，若，，则的长为　　　　　　． 132．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图1，在中，，． （1）如图2，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接． ①求证：； ②请猜想与的关系，并证明你的结论； （2）如图3，，点是内部一点，，且，点、分别是、边上的动点.当的值最小时，求的值．（用含的式子表示） 133．（25-26学年八上·四川成都·期中）如图，在中，，，，点在边上，且，为边上一动点，以为边在上方作等边三角形，连接，则的最大值为　　　　　　，最小值为　　　　　　． 134．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）如图，四边形中，对角线，点F为上一点，连接交于点E，若，，，，，则　　　　　　　　． 135．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，在中,， ， ，点 在 上，将 沿 折叠,点落在点处，与 相交于点 ，若，则的长是　　　　　　　　　　.    考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 6、8、10 B. 1、、2 C. 2、3、4 D. 7、24、25 2．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（       ） A. ，， B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）在中，a、b、c分别是的对边，在下列条件中，不能确定的形状是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（       ）． A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（） A. 6，8，10 B. 5，4，3 C. 2，3，4 D. 17，8，15 7．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）以下列各组数据作为三角形的边长，不能组成直角三角形的是（     ） A.  B.  C. 5，12，13 D.  8．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 9．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A.  B.  C. ，， D.  10．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）已知三条线段的长度分别为如下数据，那么以这三条线段为边不能构成直角三角形的是（       ） A. 1，1， B. ，， C. 6，8，10 D. 5，12，13 11．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是（     ） A. 3，4，5 B. ，， C. 6，8，10 D. 8，15，17 12．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（       ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、（） 13．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A. ，， B. 2，2，4 C. 6，8，10 D. ，， 14．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中），，为三边，下列条件中不能判定为直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）某校为加强学生劳动教育，将劳动基地按班级进行分配，如图是八年级劳动实践基地的示意图形状，经过同学共同努力，测得，，，，． （1）求B、D之间的距离； （2）求四边形的面积． 17．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）如图，在四边形中，，，，且． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 18．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是　　　　　　　　　　三角形． 19．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 20．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 21．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边有两个取水点A，B，村庄修建了道路和，其中．由于某种原因，道路不再通行，村庄为了方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（点A，H，B在同一条直线上），并修建道路．经测量：百米，百米，百米． （1）判断是否为从村庄C到河边的最近道路，并说明理由； （2）求原来的路线的长． 22．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米． （1）求的度数； （2）现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）． 23．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知，，，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段的长度． 24．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． （1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长． （2）计算喷泉到小路的最短距离． 25．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，在直角三角形，． （1）求的长． （2）试判断的形状． （3）求出四边形的面积． 26．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．    （1）求边的长； （2）求这块空地的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．D 2．A 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．B 10．B 11．B 12．C 13．D 14．B 15．B 16．C 17．A 18．A 19．A 20．B 21．A 22．B 23．A 24．C 25．D 26．A 27．A 28．D 29．D 30．C 31．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理的应用．根据题意，先用勾股定理求出的长度，可得的长度即可． 【详解】 解：由题意得 故点对应的实数为． 故答案为：． 32．【答案】16 【分析】 根据勾股定理求得的长度，再根据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以为直径的半圆的面积，之后再加上的面积， 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 以为直径半圆的面积：； 的面积为：， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：16． 【点睛】 本题主要考查学生对图形的分解计算能力，先利用勾股定理求出的值是解题的关键． 33．【答案】64 【分析】 根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】 解：由勾股定理得，， ∴AB＝8（舍负）， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：64． 【点睛】 本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 34．【答案】15 【分析】 本题主要考查勾股定理中的最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键；将圆柱进行展开，然后根据两点之间线段最短结合勾股定理可进行求解． 【详解】 解：如图，将圆柱形容器侧面展开，作点B的对称点D，连接， 则即为壁虎捕捉蚊子的最短距离， 由题意得：底面圆的周长为，高为， ∴，， ∴， ∴； 故答案为15． 35．【答案】 【分析】 根据题意结合勾股定理可求出长，即得长，即可求出长，再根据数轴的性质即可得出D点对应的数． 【详解】 根据题意可知AB=2，OA=1．　 在中，， ∴， ∴， ∵D点在O点左面， ∴D点对应的数为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查数轴、勾股定理以及圆的基本性质．利用勾股定理求出的长是解答本题的关键． 36．【答案】5或 【分析】 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】 解：① 长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ② 长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 37．【答案】（1） 解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响．     （2）受台风影响的时间为      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则，     所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 38．【答案】9 【分析】 本题考查勾股定理的应用，运用勾股定理列出方程是解题的关键．设，则，根据勾股定理得到，从而列出方程求解即可． 【详解】 解：标记字母如下： 由题意可知：，，， 设，则， ∴， 解得：，即这棵大树在距离地面9米处发生断裂 故答案为：9． 39．【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的化简，勾股定理等知识，运用勾股定理求出是解题的关键．根据含30度角的直角三角形的性质求出，从而得到，继而得解． 【详解】 解：∵是等边三角形，边上的高， ∴， ∴， 解得：， ∴， 又∵点A表示的数为， ∴点B表示的数为：， 故答案为：． 40．【答案】（1） 如图1：即为所求；      （2）；     （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为      【分析】 此题主要考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用勾股定理求出每条边的长度，再相加，即可作答； （3）利用勾股定理以及绝对值的性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，， 则的周长； (3) 小问详解： 解：依题意，， 则，此时的值最小． 故点P的坐标为． 41．【答案】5 【分析】 首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】 解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，    在中，∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 42．【答案】 【分析】 本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】 解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 43．【答案】（1）     （2）     （3） 解：能，理由如下， 云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于， ∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员．      【分析】 本题主要考查勾股定理的运用， （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理可得，根据即可求解； （3）根据题意可得相对安全的距离为不小于，运用勾股定理可得高的墙头处墙角与云梯底端的距离，进行比较即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意，， ∴这架云梯顶端距地面的距离的高为； (2) 小问详解： 解：，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 44．【答案】 【分析】 根据题意，先求得点到点的水平距离，再求得垂直距离，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】 根据题意，点到点的水平距离为， 点到点的垂直距离为， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，根据题意分别求得水平距离和垂直距离是解题的关键． 45．【答案】18 【分析】 由垂直平分可知，从而，根据勾股定理，求得，进而求得的周长． 【详解】 ∵且平分 ∴ 中， ∴ ∴的周长 故答案为18． 【点睛】 本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理及三角形周长的计算；能够根据垂直平分线的性质作线段的等量代换是解题的关键． 46．【答案】 【详解】 解：由勾股定理得，斜边长， 则点A对应的数为． 47．【答案】（1）米     （2）8米      【分析】 （1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； (2) 小问详解： 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 48．【答案】或 【分析】 第一种情况：过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．第二种情况：过点作轴于点，结合图形，结合勾股定理，即可作答．此题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的性质，熟练运用勾股定理和等面积法求线段的长度是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点Q作轴于点A，    ∵是的“关联点”， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作轴于点，如图：    ∵是的“关联点”， ，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为或． 49．【答案】 【分析】 由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】 由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】 本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 50．【答案】 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，轴对称的性质和勾股定理，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程，根据勾股定理求出最后结果即可． 【详解】 解：如图，将杯平面展开，作B点纵向的对称点C，连接，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程， 由题意得，， ， ∴， 根据勾股定理有： ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故答案为：． 51．【答案】130 【分析】 本题主要考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用正六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将正六棱柱侧面展开后，再利用勾股定理即可解答． 【详解】 解：如图所示，正六棱柱侧面展开后，这圈彩带的长度最短为的长， 由勾股定理得， 这圈彩带的长度至少为， 故答案为：． 52．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，中点坐标公式，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据中点坐标公式即可得到结论； （2）过点作轴于，根据的坐标，根据勾股定理得到结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴线段的中点坐标为，即， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：过点作轴于， ∵， ∴中点的坐标为，即， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在 中，， 由勾股定理得，． 53．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，在中，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）在中，利用勾股定理求出的长，求出变化的长度就是物体上升的高度． (1) 小问详解： 解：由题意，得． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 答：的长为． (2) 小问详解： 如图． 由题意，得， 所以． 在中，由勾股定理，得， ． 答：物体上升的高度为． 54．【答案】（1） 如图，和即为所求      （2）；     （3）．      【分析】 （本题主要考查了轴对称图形的绘制、三角形面积的计算（割补法）、最短路径问题（轴对称+勾股定理）．熟练掌握轴对称的性质、割补法求面积、“将军饮马”模型是解题的关键． （1）先确定、、三点坐标，画出；再根据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标相反，纵坐标不变）得到、的坐标，进而画出． （2）用“割补法”计算的面积，通过矩形面积减去周围三角形面积求解． （3）利用轴对称性质，作关于轴的对称点，连接与轴的交点即为，此时的最小值为的长度，用勾股定理计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积为 ； (3) 小问详解： 解：作关于轴的对称点，连接， 则有最小值等于的长度为． 55．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，先利用基本作图得到垂直平分，得到，，利用角的转化得到，求出，最后在中用勾股定理即可． 【详解】 解：由基本作图得到垂直平分， ，， ， 平行于， ， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 56．【答案】 【分析】 连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长． 【详解】 解：如图：连接AE、AF、EN， 四边形ABCD是正方形 设AB=BC=CD=AD=a，， 在与中， ， ， 是等腰三角形， 又， 垂直平分EF， ， 又， ， 在中，， ， 解得a=20， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键． 57．【答案】（1）旗杆的高度为     （2）小明需后退      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． (1) 小问详解： 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． (2) 小问详解： 解：过E作，垂足为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 58．【答案】 【分析】 本题主要考查翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；首先由勾股定理求出，由折叠的性质可得，，得出，设，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】 解：解：∵，，， ∴， ∵将沿着直线翻折，使点C落在斜边上的点E处， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：，即， 解得：． 故答案为：． 59．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）先由得，再推出，进而可由证明； （2）连结，先由已知推出，，再由勾股定理得，，设，在中由勾股定理得，解方程即可得的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连结， ∵，， ∴，，， ∴在中由勾股定理得，， ∴为等腰直角三角形，令， ∴在中由勾股定理得，即， 解得，即． 60．【答案】（1） 画出坐标系如下：      （2）     （3）如图，       【分析】 本题考查了坐标与轴对称，最短距离及勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． （1）根据点A、B的坐标即可画出坐标系； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求解； （3）连接与y轴的交点即为点P的位置，利用勾股定理即可求得最短距离． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：村庄，关于轴对称，且， 则， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵村庄，关于轴对称， ∴连接与y轴的交点即为点P的位置，， ∴， 故此时汽车到，两村庄的距离和为． 61．【答案】34 【分析】 本题考查了“赵爽弦图”，完全平方公式的变形应用；由题意得，由得，利用完全平方公式展开再相加即可求得，进而求得大正方形的面积． 【详解】 解：由题意知，小正方形的边长为，则， ∴① ， ∵， ∴② ， 得：， ∴， ∵，大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积为， 故答案为：34． 62．【答案】（1）风筝的垂直高度为米     （2）风筝的垂直高度下降米      【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理计算直角边的长度． （1）在中，由勾股定理求的长，结合小明身高得； （2）先求回收线后风筝线的长度，在新直角三角形中用勾股定理求新垂直高度，计算下降距离． (1) 小问详解： 在中，， 由勾股定理得：（米）． ，米， （米）， 答：风筝的垂直高度为米． (2) 小问详解： 解：如图，设回收后风筝位于点F， 回收后风筝线长为（米）， 在中，（米）． 风筝下降高度（米）． 答：风筝的垂直高度下降米． 63．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴；     （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴．      【分析】 （1）由题意易证．再根据等腰三角形的定义得出，，即可证； （2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查等腰三角形的定义，三角形全等的判定和性质，勾股定理．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 64．【答案】（1）梯子的顶端A距地面     （2）梯子的底端B在水平方向上滑动了      【分析】 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． (1) 小问详解： 解：． 答：梯子的顶端A距地面． (2) 小问详解： 解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 65．【答案】（1）     （2） 如图，即为所求；     （3）     （4） 如图：       【分析】 本题主要考查作图——轴对称变换，轴对称——最短路线问题，割补法求三角形的面积，勾股定理，解题的关键是熟知轴对称的性质． （1）根据点、在坐标中的位置即可解答； （2）根据轴对称的性质即可在图中画出关于y轴的对称图形； （3）根据网格利用割补法计算即可． （4）作出点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，点P即为所求的点，再利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：根据图形得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：作出点A关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，点P即为所求的点， ， 的最小值为． 故答案为：． 66．【答案】（1）E站应建在离A点处     （2）2小时      【分析】 本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得的长是解答的关键． （1）设，则，根据勾股定理得到，进而列方程求解即可； （2）利用勾股定理求得即可求解． (1) 小问详解： 解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； (2) 小问详解： 解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 67．【答案】（1）10     （2） 证明：在直角△BCE中，， ∴， ∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°， ∴∠EAF=∠EBC， 在△AEF和△BEC中， ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴AF=BC；     （3）DG=2DE      【分析】 （1）先求出AC=15，然后利用面积法求解即可； （2）先求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC； （3）如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：在直角△ADC中， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N， ∵BE=BG，BT⊥GE， ∴GT=ET， ∵， ∴，    ∴EM=EN， ∴DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠BDT=45°， ∴BT=DT， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴DG=2DE； 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 68．【答案】15 【分析】 本题考查了勾股定理，完全平方公式，设直角三角形的两条直角边为a、b，根据勾股定理和面积公式，得到，，利用完全平方公式求出，进而求得周长，即可作答． 【详解】 解：设直角三角形的两条直角边为a、b， ∵斜边为， 则， ∵某直角三角形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴（舍去负值） 即周长为． 故答案为：15 69．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可． 【详解】 解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 70．【答案】 【分析】 本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据数轴上点的位置求出的长，然后利用勾股定理求出的长即可得到的长，从而可以得到答案． 【详解】 解：∵数轴上A、C表示的数分别是0、2， ∴， ∵，， ∴， 由作图方式可知，， ∴点D表示的实数为， 故答案为：． 71．【答案】（1）米     （2）26      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理求得的长即可． (1) 小问详解： 解：由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． (2) 小问详解： 解： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， 即的长度为26米． 72．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得出，结合题干条件得，再把，代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：依题意，连接， ∵， ∴， 则， ∵在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 73．【答案】 【分析】 本题主要考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度的直角三角形、三角形外角的性质、勾股定理等知识点．由题意可知垂直平分线段，则，由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，最后根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】 解：由作图可知：垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 74．【答案】 【分析】 本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理的应用，正确利用展开图进行计算是解题关键．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】 解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，     连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为． 75．【答案】（1）旗杆的高度为8米；     （2）小明需后退2米．      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出米，，由勾股定理得米，即可得解． (1) 小问详解： 解：设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为8米； (2) 小问详解： 解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴米，， 米， 米，米， 在中，， 由勾股定理得：米， 米 答：小明需后退2米． 76．【答案】6 【分析】 本题考查了折叠问题，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是先由，，，根据勾股定理求得，再由折叠得，，，则，，即可根据勾股定理列方程得，求得，即可求得． 【详解】 解：，，， ， 由折叠得，，， ，， ，且， ， ， ， 故答案为：6． 77．【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】 解：过点作， 由题意，得， A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能把完成处救援任务． 78．【答案】米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求解即可，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∴电梯内能放入这些木条的最大长度是， 故答案为：． 79．【答案】（1），     （2） ，理由如下： 构造，如图所示： 由勾股定理，得， 在中，， ；     （3）      【分析】 本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，三角形的三边关系，利用数形结合的思想，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，设中边上的高的长度为，再根据即可求出的长； （2）依据题意构造，由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接，设，结合勾股定理得到，再结合两点间线段最短求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 设边上的高的长度为， ， 又∵， ∴ ， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：， 如图，在正方形网格中构造和，使得三点共线，，，，，连接， 设，则， 由勾股定理得：，， ， ，， 的最小值为． 80．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，   在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：如图① ，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，    在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 81．【答案】（1）①，；②；（2）20. 【分析】 （1）① 利用勾股定理得到CE=，DE=； ② 根据CE+DE=+，利用两点之间线段得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD=，从而求解； （2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，利用勾股定理得到CE=，DE=；根据两点之间线段得到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），根据四边形ABDH为矩形，利用勾股定理计算出CD即可得到最小值． 【详解】 解：（1）① 在Rt△ACE中，， 在Rt△BDE中，DE=； ②CE+DE=+， 而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形， ∴AH=BD=2，DH=AB=2， 在Rt△CHD中，CD=， ∴CE+DE的最小值为，即的最小值为； （2）如（1）中图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x， 在Rt△ACE中，CE=， 在Rt△BDE中，DE= ∴CE+DE=+， 而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号）， ∵四边形ABDH为矩形， ∴AH=BD=7，DH=AB=16， 在Rt△CHD中，CD= ∴CE+DE的最小值为20，即的最小值为20． 【点睛】 本题考查了勾股定理的实际应用，灵活运用两点之间线段最短得到CE+DE≥CD是解题的关键，同时也考查了数形结合思想的应用． 82．【答案】 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，图形的折叠问题．先过D作于G，设，则，根据在中，根据勾股定理可得关于x的方程，进而得到，再根据面积法得到，根据勾股定理得到中，可得，即可得到D的坐标． 【详解】 解：如图，过D作于G， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， 设，则， ∵， 在中，， ，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 83．【答案】 【分析】 此题主要考查了勾股定理、扇形面积的计算，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 阴影部分面积可以看成是以为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形的面积减去一个以为直径的半圆的面积． 【详解】 解：∵， ∴， ∴直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：24． 84．【答案】（1）（49﹣1），（49＋1）     （2）（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2， 证明（ⅰ）：弦﹣股＝；     （3）m，      【分析】 （1）根据推论即可发现：股和弦分别是勾的平方减1的一半和勾的平方加1的一半； （2）把（1）中发现的关系运用字母表示即可，然后发现勾、股、弦之间的关系，并验证； （3）发现：股和弦总是相差为2．主要是考虑勾和股之间的关系即是勾的一半的平方再减1． (1) 小问详解： 解：由题意得勾是七时，股和弦的算式分别是：（49﹣1），（49＋1）； (2) 小问详解： 当n≥3，且n为奇数时，勾、股、弦分别为：n，， 它们之间的关系为：（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）． 如证明（ⅰ）：弦﹣股＝； 如证明（ⅱ）：； (3) 小问详解： 当m＞4，且m为偶数时，勾、股、弦分别为：m，． 【点睛】 本题考查了勾股定理及规律的探索，解决本题的关键是能够根据具体数字发现规律，用字母表示推广到一般． 85．【答案】 【分析】 本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，由轴对称的性质可得，，，进而可得，可知当O，P，三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】 解：如图，取点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，连接，，， 则可知，，， ∴， 即当O，P，三点共线时，的最小值为， ∵直线l垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴，， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 86．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 87．【答案】 【分析】 本题主要考查了平面展开图最短路径问题，先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】 解：如图， 根据题意，，， ∵点位于圆周顶面处， ∴，， ∴小虫爬行的最短路程． 故选：． 88．【答案】（1）且     （2） 如图2中，设交于O． 由（1）可知≌， ∴，. ∵， ∴， ∴. ∵，， ∴， 即， ∴；     （3）      【分析】 对于（1），先证明≌即可得出数量关系，再根据角之间的关系得出位置关系； 对于（2），设交于O，先证明，可得结论； 对于（3），连接，首先证明，利用勾股定理求出线段，再证明≌推出，即可解决问题． (1) 小问详解： 结论：且． 理由：如图1中，延长交一点O．    ∵和为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴≌， ∴，. ∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图3中，连接，    ∵，， ∴，. ∵， ∴. ∵，， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴≌， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 89．【答案】（1）10；（2）13；（3） 【分析】 （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可； （3）如图所示，，，， ，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可． 【详解】 解：（1）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，，，，， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵，，， ∴由长方形的性质，， ∴， ∴， ∴的最小值为13， 故答案为：13； （3）如图所示，，，， ， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． 90．【答案】（1）秋千的长度是     （2）此时踏板离地的垂直高度为      【分析】 （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； (2) 小问详解： 解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则 ， 解得：或（舍去）， 即此时踏板离地的垂直高度为． 【点睛】 本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． 91．【答案】（1） 证明：如图1， 连接， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）     （3）或9      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，证明，从而得出结论； （2）可证得，从而得出，设，可表示出，可得出，在中，根据勾股定理列出方程，求得x的值，进一步得出结果； （3）分两种情形：当时，，延长，交于G，可证得，从而，进而得出，进而得出是等边三角形，进一步得出结果；当时，，作于H，设，则，可表示出，，从而得出，进一步得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点F是的中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：如图2， 当时，， 延长，交于G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（舍负）， ∴， 如图3， 作于H， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或9． 92．【答案】25 【分析】 本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】 解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比① ②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 93．【答案】（1） ∵的角平分线交于点， ∴ ∵， ∴；     （2） ，理由如下： 如图所示，在上取点H，使 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵在等腰中，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴；     （3）      【分析】 （1）首先由角平分的定义得到，然后证明即可； （2）如图所示，在上取点H，使，证明出，得到，然后根据勾股定理求解即可； （3）如图所示，过点D作于点M，首先求出，然后得到，然后证明出，得到，然后根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，过点D作于点M ∵平分， ∴ ∴ ∵在等腰中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵，平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】 此题考查了角平分的定义，全等三角形的性质和判定，勾股定理，二次根式的混合运算，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 94．【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析     （2）      【分析】 本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． (1) 小问详解： 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． (2) 小问详解： 解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 95．【答案】8 【分析】 本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用表示后计算即可． 【详解】 解∶如图2， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ， 朱入与朱出的三角形全等， ， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ， ， 阴影部分面积为 ， ∵，正方形和正方形的面积之和为25， ∴， ， 即阴影部分的面积为8， 故答案为∶8． 96．【答案】（1），；     （2） 补全图形：以为边逆时针作等边，连接，如图， ，理由如下： 过作于，在延长线上取一点，使得，连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ， ，， 即， 又， ， ∴；     （3）．      【分析】 （1）通过等边三角形性质证，得，进而求得；作，用勾股定理求（即）． （2）补全图形后，构造辅助线，利用全等三角形和勾股定理推导、、的数量关系； （3）确定点的运动轨迹，利用垂线段最短找到最小值的位置，再通过全等和勾股定理计算． (1) 小问详解： 解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于，则， ∵是等边三角形，，，， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∵是等边三角形， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）得， ∴， ∴， ∴点在过点与夹角为的直线上运动， 当时，取得最小值，过作于， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短的性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定是解题的关键． 97．【答案】（1）①； ② 证明：∵折叠， ∴ ∵， 又， ∴， ∴， ∴， 即；     （2） ，理由如下， 如图，将沿折叠， ∵， ∴点落在上的点处， ∴，，， ∵，， ∴ ∴， ∴， 即；     （3）或      【分析】 （1）① 根据折叠的性质可得，根据三角形外角的性质，可得，即可求解； ② 根据折叠的性质与三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，进而根据等量代换可得结论； （2）结论，根据（1）② 的方法证明即可； （3）根据折叠的性质，结合图形可知点不能为直角顶点，分两种情况讨论，① 若，过点作于点，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解；② 若，根据等腰三角形的性质与判定得出，即可求解． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，∵点在上，以为顶点的三角形若为直角三角形，则点不能为直角顶点，分两种情况讨论， ① 若，如图，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ② 若，如图， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴， 综上所述，或 【点睛】 本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题的关键． 98．【答案】（1）     （2）     （3）的长为或3      【分析】 本题考查了非负数的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键． （1）由非负数的性质即可求解； （2）由折叠的性质及平行线的性质得，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解； （3）分两种情况：；；利用折叠的性质及勾股定理求解． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：由折叠的性质知：， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故； (3) 小问详解： 解：连接，如图， 由折叠的性质得：， 当时， ∵， ∴点H在线段上， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； 当时，此时点H在线段上， ∴四边形为正方形， ∴； 综上，的长为或3． 99．【答案】20 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，数形结合是解题的关键． 仿照题干中的方法构造图形：，，，，，是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，则，，，当，，三点共线时，取得最小值，即取得最小值；过点作的垂线交于点F，则四边形是长方形，再利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】 解：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，， 设， 则，，， 当，，三点共线时，取得最小值， 即取得最小值； 过点作的垂线交于点F， 则四边形是长方形， ∴，，， ∴， 在中，， 即取得最小值为20； 故答案为：20． 100．【答案】 【分析】 本题考查了中点坐标公式，勾股定理，配方法的应用，设点的坐标为，可得，，利用勾股定理化简后可得，即得到，可知当时，的值最小，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：设点的坐标为， ∵点是的中点，点，分别在，轴上， ∴，， ∵是直角三角形，且， ∴， 即， 整理得，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最小，的最小值， 故答案为：． 101．【答案】（1）     （2）     （3）或或或或      【分析】 （1）首先证明是等腰三角形，在直角中利用勾股定理即可求得的长，进而求得的面积； （2）作轴于点F，根据的面积求得D的纵坐标，然后在直角中，利用勾股定理求得的长，从而求得，即可得到D的坐标； （3）由（2）知点的坐标，设，分三种情况讨论，利用两点间距离公式列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵矩形中，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴； 设，则， 在中，，则， 解得； 则， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，作轴于点F， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 又∵ ， ∴； ∴， 在中，， 则； ∴D坐标为； (3) 小问详解： 解：由（2）知， 设， 由题意得， ∴，， 当为等腰三角形时，则， 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴或； 当时，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上，当为等腰三角形时的，点坐标为或或或 或． 【点睛】 本题主要考查了折叠的性质，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解． 102．【答案】（1）     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）过点E作，则，，利用勾股定理求得，，问题可解； （2）分类讨论，当点M在上时，； 当点M在上时，； 当点M在上时，，利用面积公式列代数式求解即可； （3）同第（2）问，分类讨论，列代数式分别表示出的三边，利用等腰三角形的性质，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：过点E作，如图1． 四边形是矩形，点A坐标为， ，． ，矩形沿直线翻折，点O落在边上点E处． ． 在中，， ， ． (2) 小问详解： 点M从点D出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向匀速运动， ，，， ，， 当点M在上时，，； 当点M在上时，，如图3， ； 当点M在上时，，如图4， ； ． (3) 小问详解： ，， 当点M在上时，不能构成等腰． 当点M在上时，，如图5， ，，，，， ，，． ，，或（舍去）； ， ； ，，方程无解，不存在t； ，，． ， ； 当点M在上时，，过点M作，如图6， ，，， ， ，，． ，，（舍去）或； ，， ； ，， （舍去）或； ，， ； ，，（舍去）． 综上可知，当为等腰三角形时，M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了矩形的折叠问题，等腰三角形的性质，勾股定理，图形与坐标，列代数式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识，解一元二次方程是解题的关键． 103．【答案】（1）①；②     （2）     （3）      【分析】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）① 根据勾股定理即可表示出的长；② 过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． (1) 小问详解： 解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ② 过点作，过点作，连接，如图，    ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． (2) 小问详解： 解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． (3) 小问详解： 解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 104．【答案】（1）的平方根为     （2）之间的距离为      【分析】 （1）由，都是有理数，可得是有理数，是含的无理数部分，即可得，，解方程再代入求值即可； （2）原式移项、配方可得，由偶次方的非负性可得 ，解得 ，即可得点、坐标，根据两点间距离公式即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，都是有理数， ∴是有理数，是含的无理数部分， ∵， ∴ ， 解得 ， 当 时，，的平方根是； 当 时，，无意义，舍去； 故的平方根为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 解得 ， ∴，， ∴． 故之间的距离为． 【点睛】 本题考查了实数的计算，以及有理数的含义与应用，偶次方的非负性、完全平方公式、平面直角坐标系中求两点间的距离等知识，判断出是有理数及熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 105．【答案】（1）     （2）存在点P，点P的坐标为：，，，     （3）的大小不变化，这个定值为      【分析】 本题考查非负数的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，坐标与图形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）设为，则，，，再分① 当时，② 当时，③ 当时，三种情况列出方程求解即可； （3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质得到，，则，设，则，继而求出，再用等边对等角求得，最后可得． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵，，， ∴，， 点P在x轴上，不妨设为， 则，，， 要使得是等腰三角形，则或或， ① 当时，即， 解得：， ∴，； ② 当时，即， 解得：(与点A重合，舍去)， ∴； ③ 当时，即， 解得：， ∴； 综上所述：存在点P，使是等腰三角形，点P的坐标为：，，，； (3) 小问详解： 的大小不变化，这个定值为，理由如下： 如下图所示：取的中点P，连接，， ∵，，，点P是的中点， ∴，， ∴， 设， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴的大小不变化，这个定值为． 106．【答案】 【分析】 延长至点使得，连接、，作于点，于点，于点，根据等边三角形的性质得到，通过证明和得到，，，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到和，则有，设，则，根据线段的和差列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】 解：如图，延长至点使得，连接、，作于点，于点，于点， 则， ∵为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于三角形综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 107．【答案】（1）；     （2）     （3）．      【分析】 本题考查了三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段和的最值问题以及面积计算，综合性强．掌握通过作辅助线构造直角三角形、利用全等三角形进行线段转化、运用“两点之间线段最短”求最值以及灵活运用面积公式是解题的关键． （1）本小题通过点A作的垂线，将一般三角形问题转化为解直角三角形问题。利用含角和角的直角三角形的性质，分步求出和，最后应用勾股定理求得； （2）解题核心是构造全等三角形实现线段转化，通过证明 ，将转化为．利用“两点之间线段最短”原理，当B、D、F三点共线时取得最小值，即的长度，最终通过解等腰三角形求得最小值为； （3）本问在（2）问的基础上，利用已得的角度关系，通过作多条垂线构造直角三角形．通过设未知数建立方程，逐步求出相关线段长度，最后运用三角形面积公式计算得出面积为． (1) 小问详解： 解：如图，过点A作于点M， ∵，， ∴ 在中，， ， ∵， ∴， 在中，， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点A作线段，使，，连接， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， 当B、D、F三点共线时有最小值，长度为，如下图， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 过点A作， ∵ ∴， 在中，， ， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：过点G作于点Q，于点P， 于点R， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， 解得， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 108．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的性质与运用，添加常用辅助线是解答的关键． 延长至E，使，过P作交延长线于F，连接，先证明得到，，进而利用平行线的判定与性质得到，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用线段垂直平分线性质得到，在中，利用勾股定理求得，进而求得即可求解． 【详解】 解：延长至E，使，过P作交延长线于F，连接， ∵点是边的中点， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴，则， ∵，，即垂直平分， ∴， 在中，， ∴， 则． 故答案为：． 109．【答案】（1）；     （2）①；②或      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，合理作出辅助线结合分类讨论思想是解题的关键． （1）运用勾股定理运算求解即可； （2）① 证出，再利用全等的性质求解即可； ② 分类讨论点的位置，过点作于点，证出，结合勾股定理运算求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴； ② 当点在线段上时，过点作于点如图所示： ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 当点在线段延长线上时，过点作于点如图所示： ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， 同上同理可证， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为或． 110．【答案】 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，证明，推出得到，推出，，再证明，得到，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴， 故答案为：． 111．【答案】（1），，     （2）     （3）或或或      【分析】 （1）利用非负数的性质求出、、的值可得结论； （2）证明，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解； （3）分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：，， 解得：，，， ，，； (2) 小问详解： ，， ， ， ， ， ； (3) 小问详解： ，，， ， 当点在上，时， ； 当点在上时，，可得； 当时，设，则有， 解得：， ； 当时，可得．    综上所述，或或或． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识及分类讨论是解题的关键． 112．【答案】（1） 证明：∵将沿直线翻折到， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据矩形和折叠的性质易证，即得出； （2）连接，易证，得出．设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可； （3）分类讨论：① 当点F在B点上方时和② 当点F在B点下方时，分别根据勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接，如图． ∵点E是边的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴； (3) 小问详解： 解：分类讨论：① 当点F在B点上方时，如图， 设，则， 根据（1）可得， 在中，， ∴， 解得：， ∴； ② 当点F在B点下方时，如图， ∴． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 综上可知的长为或． 【点睛】 本题考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程求解是解题关键． 113．【答案】（1） ① 证明：∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； ②     （2）或      【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活应用是解题关键﹒ （1）① 根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，根据证明，即可证明； ② 设，可以得到，，由① 得，根据，得到，即可求出； （2）先根据勾股定理求出﹒ ① 当时，由（1）① 可知，，过点P作于点M，得到，证明求出，设，根据勾股定理得，求出，即可求出； ② 当时，证明，得到，设，则，根据勾股定理得，即可求出﹒ (1) 小问详解： 解：① 略 ② 设， ∵， ∴， ∴， 由① 得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 分两种情况： ① 如图3，当时， 由（1）① 可知，， 过点P作于点M， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 设，在和中，根据勾股定理得 ∴， 即， ∴； ② 如图4，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴﹒ 综上所述，的长等于或﹒ 114．【答案】（1） 证明:∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴；     （2）6     （3）      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据证明，即可得证； （2）设正方形的边长为，分别表示出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）过点作，交于点，交于点，易得，根据折叠的性质，全等三角形的性质，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵折叠， ∴， 设正方形的边长为，则：， 由（1）知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴正方形的边长为6； (3) 小问详解： 解：过点作，交于点，交于点，则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 115．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴．     （2）     （3）      【分析】 (1) 由和均为等腰直角三角形，证明，，,从而得到，即可证明结论； (2）证明，利用勾股定理求出，从而求出的值； (3）过点C作，垂足为点G，证明是等腰三角形，再由，证明，从而得到，根据勾股定理求出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：如图，过点C作于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， 又由（1），知，点F是DB的中点， ∴， 在中，． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三线合一，勾股定理等知识，本题的关键是熟练运用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质解题． 116．【答案】 【分析】 根据垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质解答即可． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找出线段长度的最小值的条件． 【详解】 解：根据垂线段最短，得到且为的交点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴， 故答案为：． 117．【答案】 【分析】 本题考查了立体图形的平面展开图、勾股定理及最短距离问题，关键是找出从到的不同路径 ． 先将正方体表面展开，找出、两点之间的不同展开路径，通过计算比较得出结论 ． 【详解】 解：如图，有两种展开方法： 方法一：∵， ∴， 方法二：∵， ∴． ∵， ∴最短距离是： ． 故答案为： ． 118．【答案】 【详解】 如图，延长BG交CH于点E，易证△ABG≌△BCE≌△CDH，所以AG=BE=CH，BG=CE=DH，所以GE=12-9=3，HE=12-9=3，Rt△GHE，由勾股定理得GH=. 故答案为. 点睛：本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质及勾股定理，由于正方形是最特殊的四边形，它有所有四边形的性质，既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以正方形中的问题较多的通过全等三角形来解决，求线段的长通常要结合勾股定理求解. 119．【答案】或或 【分析】 首先确定，，进而可得，结合题意确定点的运动规律，进而可得第2025秒时，点运动到点，然后分点在第四象限和点在第一象限两种情况讨论，结合全等三角形的性质确定点的坐标即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，点关于轴对称，点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动， 又∵， ∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示， 此时可分两种情况讨论， 当点在第四象限时，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点在第一象限时，过点作轴于点， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的定义、坐标与图形、点的坐标规律探索、勾股定理等知识，解题关键是确定点的运动规律，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 120．【答案】（1）4，6     （2）当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒     （3）满足条件的t的值为或．      【分析】 本题考查全等三角形的性质和勾股定理，解一元二次方程． （1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）分两种情形：①；②，分别构建方程解决问题即可； （3）分三种情形：① 当为斜边时；② 当为斜边时；③ 当为斜边时，利用勾股定理分别构建方程即可解决问题． (1) 小问详解： 解：时，(厘米)， ∵厘米， ∴(厘米) ， 故答案为：4；6； (2) 小问详解： 解：由题意得厘米，当时，(厘米)， 当时，(厘米)， 若使与全等，需分两种情况： ① 当且时，如解图1，则， ∴， 解得，此时， ∴点的速度为（厘米/秒）； ② 当且时，， 即， 解得，此时， ∴点的速度为（厘米/秒） 综上所述，当时，Q的速度为厘米/秒或当时，Q的速度为2厘米/秒； (3) 小问详解： 解：如图② 中，作于H， 在中， ，， ∴， ∵， ， ① 当为斜边时， 由勾股定理得， 整理得， ， 此情况不存在； ② 当为斜边时， 由勾股定理得， 解得； ③ 当为斜边时， 由勾股定理得， 解得； 综上所述，满足条件的t的值为或． 121．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴， ∴；     （2）或；     （3）存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或．      【分析】 （1）利用矩形对边平行得角相等，结合翻折的角相等，推导等腰三角形得线段相等； （2）分在上方、下方两种情况，结合（）的结论，用勾股定理构造方程求解； （3）分、两种等腰情况，每种情况再分在上方、下方，共种情况，结合翻折性质与勾股定理列方程分析是否存在解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：情况：在下方时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则，， 由（1）得． 在中，由勾股定理得即， 解得； 情况：在上方时，如图， 设，则，， 由（1）得， 在中，由勾股定理得，即 解得； 综上，或； (3) 小问详解： 解：①当时， 由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 子情况：在上方，如图， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， 由翻折得：，． 子情况：在下方，如图， 设，则，． 由（）得， 在中，即， 解得， ∴， 又∵， ∴； 子情况：在上方时，如图， 设，则，． 由（）得， ， ∴； 综上，存在以为腰的等腰三角形，的长为或或或． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形与翻折的性质，结合分类讨论思想利用勾股定理构造方程是解题的关键． 122．【答案】 【分析】 本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．当点F恰好落在边上时，先求出，可得，设，则，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】 解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，即的长为． 故答案为：． 123．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，轴对称，勾股定理，熟练掌握“一线三等角”和“将军饮马”模型是解题的关键． 根据题目中给出的和，且顶点在同一条直线上，作辅助线构造和全等，通过角度转化找出动点E与成角的射线上移动，再通过轴对称发现当三点共线时，的周长最小，结合勾股定理即可求解． 【详解】 解：如图在线段上取一点H，使得，连接， ， ， ， ∵在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 结合题意可知动点E在与成角的射线上移动， 如图，作点G关于直线对称的点P，连接；延长，过点P作垂线，交于点Q， 由轴对称可得， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， 由勾股定理得， 根据图形可知， 当三点共线时，值最小，此时，同时的周长最小，为． 故答案为：． 124．【答案】（1）；     （2）；     （3）的值为2或或或或．      【分析】 （1）作于点，求得，利用三角形的性质结合勾股定理求解即可； （2）延长和交于点，证明，得到，，再证明是等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：延长和交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵，，D点为中点， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当，作，垂足为点， 当点在上方时，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在下方时，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴； 当，作，垂足为点，作于点， 当点在上方时，如图，作的垂直平分线交于点，取的中点，连接， ∴， ∴同理，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∴， 在中， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）， ∴，， ∴， ∴； 当点在下方时， 如图，作于点，作的垂直平分线交于点， 同理，，，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，的值为2或或或或． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质与判定，勾股定理，30度角直角三角形的性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题． 125．【答案】（1） 证：三角形是等边三角形 ， 三角形为等边三角形 即 是外角 ∴在，中 设，， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ，， ， 在中，， 即，解得， ．     （2）      【分析】 （1）证明：利用等边三角形的性质（三边相等、三个角都是）以及三角内角和定理推论，得到对应角相等和对应边相等，再根据全等三角形的判定定理进行证明，求AC的长：设，根据表示出，再结合等边三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中建立方程求解； （2）利用折叠的性质得到对应边相等和对应角相等，再结合等边三角形的性质和判定，证明，为等边三角形，设，通过证明，即可表示出，利用勾股定理即可表示出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 连接，作，交延长线于点，如图所示， 与关于直线对称， ， ， 三角形是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，且 为等边三角形， ， ， 在，中， ， ， 令， ， ， 在中， ，， ． 【点睛】 本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理，掌握等边三角形的判定是解题关键． 126．【答案】 【分析】 在上取一点，连接，使,在上截取，连接， 作直线, 因为, ,所以，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值，于是得到问题的答案． 【详解】 解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线，    ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 127．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质．先证明四边形是菱形，推出，求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】 解：如图， 由对称的性质得，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 128．【答案】（1）点P的坐标为；     （2）     （3）点P的坐标为或．      【分析】 此题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，解题的关键是根据题意分情况讨论． （1）首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，设，则，在中，利用勾股定理得到，求出，得到，进而可求出点P的坐标； （2）首先根据平行线的性质和折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）过点C作交于点E，交于点F，根据题意得到，然后分两种情况讨论：和，分别根据勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠，点C落在点处， ∴，，， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵沿将折叠得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； (3) 小问详解： 解：如图所示，过点C作交于点E，交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 当时， ∴，， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 129．【答案】（1）；（2）①；②的度数为或 【分析】 （1）先由勾股定理求出，设边上的高为，再由面积法得到，即可求解； （2）① 过点作于点，根据平行线间的距离相等得到，然后对，运用勾股定理求解； ② 当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点，先证明，则设，， 在，中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，联立① ② 解得，再代入求解即可；当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点，同上可证明，设，则，作点作的对称点，连接，则为等边三角形，则，则，然后再根据等腰三角形的性质求解；当，在左侧时，则为等边三角形，可求；当，在右侧时，同理． 【详解】 解：（1）∵，，， ∴, 设边上的高为， 则， ∴； （2）① 过点作于点， ∵， ， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ② 当，在下方时，如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点，过点作于点， 则，，则由平行线间的距离相等得到， 由旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 联立① ② 解得， 代入② 求得（负值舍去）， ∴，， ∴，而 ∴为等腰直角三角形， ∴； 当，在上方时，如图，过点作于，过点作交于点， ∴ 同上可证明， ∴， 设，则， 作点作关于的对称点，连接，则， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当，在左侧时，如图： ∵， ∴， ∴为多边形三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 当，在右侧时，如图： ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； 综上所述：为等腰三角形时，的度数为或． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，难度较大，解题的关键是注意分类讨论的思想． 130．【答案】或 【分析】 设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，根据“向阳线段”的定义可得．分两种情况讨论：① 过点作，交延长线于点，设，则，利用勾股定理解得的值，进而确定，，的值，证明，结合全等三角形的性质证明，易得，可求得的值，即可计算的值；② 过点作，交延长线于点，设，则，利用勾股定理解得的值，进而确定，，的值，证明，易得，进一步证明为直角三角形，四边形为矩形，然后解得的值，即可计算的值． 【详解】 解：∵在中，，， 可设，则， ∴， ∵将沿直线翻折，得到对应的， ∴，，， ∵是的“向阳线段”， ∴， 分两种情况讨论： ① 如下图，过点作，交延长线于点， 设，则， 在和中， 可有， 即，解得， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 如下图，过点作，交延长线于点， 设，则， 在和中， 可有， 即，解得， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、矩形的判定与性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，运用分类讨论的思想分析问题． 131．【答案】11 【分析】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，理解已知条件，添加适当辅助线是解题关键．作于点F，交于点T作，垂足为G，交于H．求出， ．设，求出，进而得到，证明，得到．再证明，得到，设，根据勾股定理得，求出即，，，． 设，则，根据勾股定理得，求出．再证明，得到，进而得到，即可求出 ∴． 【详解】 解：如图，作于点F，交于点T，作，垂足为G，交于H． ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设， 在和中，根据勾股定理得， 解得， 即，， ∴， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：11 132．【答案】（1） ① ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 又， ∴； ②     （2）      【分析】 （1）①利用证明； ② 先利用证明，从而可利用全等三角形的性质得到，，再根据，得出，，从而可得出，根据三线合一可得，从而可利用勾股定理得到； （2）先利用两点之间线段最短与垂线段最短，得出的最小值为，并画出此时的图形，再利用等腰三角形的性质及勾股定理，分别求得与，再求即可. (1) 小问详解： 解：① 略 ②如图，连接并延长交的延长线于点， ，， ，， ， 是边的中点， ， 又， ， ，， 是斜边边上的中线， ， 又， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即（负值已舍去）； (2) 小问详解： 过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线相交于点，连接 则， 又， 四边形是正方形， 垂直平分， ，点是内部一点， 在上， 、分别是、边上的动点，作点关于的对称点， ，过点作于点F， 则， ∴， ∴的最小值为，如图， 四边形是正方形， ， ∴，，，，， ， ，， ， ， ， 又， ， 解得：（负值已舍去）， ， ， ， ， ， 又， . 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质综合（），正方形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短，垂直平分线的判定与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 133．【答案】①     ② 4 【分析】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，确定点F的运动轨迹是解题的关键．以为边作等边三角形，连接直线，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒先证明，可得，可得点F在过点H且垂直的直线上运动，再证明四边形是矩形，求出，，即可得到的最小值为4﹒再求出的最大值为，连接，得到，，得到的最大值为﹒ 【详解】 解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点B作于N，过点D作于G，连接﹒ ∵，， ∴， ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在过点H且垂直的直线上运动， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F在直线上运动， ∴当时，即点F与点N重合，的最小值为4﹒ ∵E为边上一动点，， ∴的最大值为，即的最大值为，记为， 连接， ∴， ∴， ∴的最大值为﹒ 故答案为：，4 134．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长、，交于点，先证明为等腰直角三角形，再判定，然后在等腰直角三角形中，由勾股定理得与的值，设，则，判定，从而，解得的值，最后根据，可得答案． 【详解】 解：延长、，交于点，如图： ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 在等腰直角三角形中，，， 由勾股定理得， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 135．【答案】 【分析】利用平行线的性质及折叠的性质得到，即AB⊥CE，再根据勾股定理求出,再利用面积法求出CE. 【详解】∵， ∴, 由折叠得： , ∵, ∴, ∴, ∴AB⊥CE， ∵， ， ， ∴, ∵, ∴, ∴CE=, ∴, ∵, ∴, ∴, 故答案为：. 【点睛】此题考查平行线的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求三角形的高线，题中求出AB⊥CE是解题的关键. 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．D 8．B 9．D 10．B 11．B 12．D 13．C 14．C 15．C 16．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）可得，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，求四边形的面积，即可求解； (1) 小问详解： 解：连接， ， ， 故B、D之间的距离为； (2) 小问详解： 解：， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积 ． 17．【答案】（1） 解：在中，， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求三角形的面积， 对于（1），先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形， 即可得出答案； 对于（2），根据可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 18．【答案】直角 【分析】 结合网格图，先根据勾股定理求出、和，再根据勾股定理的逆定理即可作答． 【详解】 由图可知，，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】 本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 19．【答案】（1）居民从点A到点C将少走路程     （2）这片绿地的面积是       【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识． （1）连接，求出的长即可； （2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； (2) 小问详解： 解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 20．【答案】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【分析】 先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 21．【答案】（1）是，理由见解析     （2）百米      【分析】 本题主要考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）运用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再根据垂线段最短即可求解； （2）设百米，百米，在中，根据勾股定理可得． (1) 小问详解： 解：是，理由如下： 百米，百米，百米， ，， ， 是直角三角形， ， 是为从村庄C到河边的最近道路； (2) 小问详解： 解：设百米， ， 百米，百米， 在中，，即， 解得， 百米． 22．【答案】（1）     （2）米      【分析】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练的掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：，， ， ∴； (2) 小问详解： 解：设米，则米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离的长）为米． 23．【答案】（1） 解：与的位置关系为，理由： 根据题意可知， ，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴．     （2）线段的长度为．      【分析】 本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理可得，根据勾股定理的逆定理可得，从而可得与的位置关系； （2）作，交延长线于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可得线段的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：作，交延长线于点，则四边形是长方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴线段的长度为． 24．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用勾股定理求出，得到，再用勾股定理求出，即可解决； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：（1）在中，， ． 在中，， 供水点到喷泉，需要铺设的管道总长． (2) 小问详解： 解：，，， ， 是直角三角形， ， 喷泉到小路的最短距离是． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握其性质是解题的关键． 25．【答案】（1）5     （2）直角三角形     （3）36      【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）在中，利用勾股定理求出的长， （2）然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形； （3）利用（2）的结论，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． (1) 小问详解： 解：，，， ； (2) 小问详解： 解：是直角三角形， ，， ，， ， 是直角三角形； (3) 小问详解： 解：，，，，，， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为36． 26．【答案】（1）；     （2）这块空地的面积为．      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，纯然垂直平分线的性质，掌握勾股定理及其逆定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及中点的性质即可求解； （2）连接，把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． (1) 小问详解： 解：∵， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴． (2) 小问详解： 解：连接，如图，    ∵，E是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴这块空地得面积为：． 答：这块空地的面积为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $