专题03 轴对称（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）小官同学在历史课上学习了青铜器与甲骨文，了解了汉字与甲骨文的联系．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ）． A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．若，则（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，则　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图：点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 4．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（        ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 9．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 11．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 12．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，垂直平分分别交边于点D，E，若、，则的周长为　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线． 14．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则　　　　　　． 15．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）点A（－2，3）关于x轴对称的点的坐标是(     ) A. （－2，－3） B. （2，3） C. （－2，3） D. （2，－3） 4．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知点，，则和满足（　　） A. 关于y轴对称 B. 直线过原点 C. 关于x轴对称 D.  5．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是，，，，将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（       ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5.5 6．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知：点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于轴对称，则的值为（       ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 201 7．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）在平面直角坐标系中，点与关于y轴对称，则（     ） A. 2 B. 8 C. -2 D. -8 8．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）若为实数，满足，则点关于轴的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知点与点关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B. 1 C.  D.  10．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（       ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 12．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）若点的坐标为，则它关于轴对称点的坐标为　　　　　　． 14．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）黑板上写着 ，那么正对着黑板的镜子里的像是　　　　　　　　. 15．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的△； （2）请直接写出点、、的坐标． 16．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）已知和关于轴对称，则的值为　　　　　　． 17．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）在平面直角坐标系中，点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称，则＝　　　　　． 21．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 22．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标）分别为，，，直线与轴平行且经过点． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于直线对称的图形； （3）已知是内部一点，写出关于直线的对称点的坐标． 23．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）已知点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，． （1）求出的面积； （2）在图中作出关于y轴的对称图形； （3）写出点的坐标． 25．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． （1）写出、、的坐标． （2）在图中作出关于轴的对称图形； （3）求的面积； 26．（25-26学年八上·四川成都·期中）若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）已知点和关于y轴对称，则　　　　　　． 28．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 29．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）已知， （1）画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； （2）求的面积； 30．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，如图所示建立平面直角坐标系，在中，点，，． （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标是                    ； （2）作出关于轴对称的图形；（点对应点为点，点对应点为点，点对应点为点） （3）连接，，求的面积． 31．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出点的坐标（直接写答案）：______，_____，________． （3）的面积为_____（直接写答案）． （4）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 32．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上．    （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上求作点，使得最小，直接写出点坐标； 33．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的图形，并写出顶点，，的坐标； （2）求的面积． 34．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）请画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标． （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 35．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形，并写出点、、的坐标； （2）求的面积； （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 36．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的；并写出各点的坐标． （2）若P是x轴上一点，且是的面积的4倍，请求出点P的坐标． 37．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，如图所示建立平面直角坐标系，在中，点，，．    （1）若点H与点A关于x轴对称，则点H的坐标是______； （2）作出关于y轴对称的图形；（点A对应点为点D，点B对应点为点E，点C对应点为点F） （3）连接，，求的面积． 38．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）在平面直角坐标系xOy中，，，，，，若点P关于某直线l的对称点落在长方形内（不包含边界），则称点P是长方形的“l封闭点”；已知点，若点P是长方形的“l封闭点”，则直线l可以是　　　　　　（填序号）①x轴；②y轴；③一三象限角平分线；④长方形的对称轴；若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则求点Q横坐标x的取值范围为　　　　　　． 39．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______； （3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和． 40．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画，使与关于x轴对称； （2）求的面积； （3）在y轴上作一点P，使得最大． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 3．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）下列四个命题： ①等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；②实数与数轴上的点是一一对应的； ③三角形的一个外角大于任何一个内角；④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．其中真命题是（     ） A. ②④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 5．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则(       ) A. 40° B. 36° C. 80° D. 25° 6．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（     ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 8．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，点E，F分别在直线，上．按以下步骤作图： ①以点E为圆心，适当长为半径画弧，分别与射线，线段相交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点H； ③作射线，与相交于点G． 若，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 7 12．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A. 17 B. 18 C. 20 D. 22 13．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 14．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，点为上一点，连接、、，过点作交的延长线于点，若，则下列说法：①若，则；②；③；④；⑤其中正确的个数是（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 15．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，，，，则　　　　　　　　　． 16．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在中，若的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点也是图中的格点，且为等腰三角形，则符合条件的点有　　　　　　个． 19．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上 动点，则的最小值为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．则的周长是 　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，中，，D在边上，，求的度数． 22．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是　　　　　　． 23．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有　　　　　　　　个． 24．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 25．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）（1）如图①，在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：． （2）【探究】如图②，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 26．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 27．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，等腰的底边，面积为，是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在上运动，的最小值是　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 29．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 30．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为　　　　　　． 31．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么　　　　　　　　； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 32．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图：是一钢架，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管、、、添加的钢管长度都与相等，若时，最多能添这样的钢管5根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点． （1）求证：垂直平分． （2）若，，求的长． 34．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④正确的有　　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是　　　　　　　　　　　cm． 37．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，平分，于点，于点，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：平分，，， ．（依据：___________） ，， ． 在和中， ． ． ___________．（依据：等角对等边） 又平分， ．（依据：___________） 38．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，已知：点、、在同一条直线上，且，，，、相交于点． （1）求证： （2）若，求的度数 40．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，点，分别在直角边，上，且，交于点． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 41．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且，求证：是等腰三角形． 42．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 43．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过　　　　　　　　　秒时，与全等． 44．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 45．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，若，则的度数是 　　　　　　　　　 ． 46．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，，，，则的面积为　　　　　． 47．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是　　　　　度． 48．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．有下列结论①；②垂直平分；③平分；④．则结论正确的有　　　　　　　．（填序号） 49．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 50．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 51．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，连接，且，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）如图②，若点从点出发沿轴向左移动，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接．当点在线段上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，三点共线，求此时的度数及点的坐标． 52．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，　　　　　　　　　　　　 ．（用含α的代数式表示） 53．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 54．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为　　　　　　　． 55．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 56．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 57．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在中，，过点作交于点，若，，则的长为　　　　　　． 58．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）（多选）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）    （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 59．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且，点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． （1）的值为 ________ ；的度数为________ ； （2）如图1，若点C在线段上，过点C作交于点F，求证：； （3）如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点P，求的值． 60．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．        （1）点，运动几秒后，，两点重合？ （2）点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由． （3）点，运动几秒后，可得到直角三角形？ 61．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则　　　　　　，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则　　　　　　． 62．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）已知是边长为6的等边三角形，D为中点． （1）如图1，连接，E为线段上的一个动点，以为边长向下作等边三角形，连接，证明：． （2）在（1）的条件下，求的最小值． （3）如图2，G，H分别为上的动点，连接交于点I，，连接交于点J，连接并延长交于点K，，试探究的数量关系． 63．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 64．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，在中，，，点E，F分别在边上，与交于点Q，若，，，则的值为　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，正方形ABCD中，H为CD上一动点（不含C、D），连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接AE，EH．下列结论：①AG＝EG；②∠EAH＝45°；③BD＝2GF；④GE平分∠FEC．正确的是 　　　　　（填序号）． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（       ） A. 45°或75° B. 45°或30° C. 30°或75° D. 45°或60° 4．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A. 3 B. 3或6 C. 6 D. 6或12 5．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（       ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 6．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③⑤ 8．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知，，，，和交于O点，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，在等边中，点，分别在边上，且 与相交于点，于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 11．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 12．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接交于点，求证：为的中点． 14．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为　　　　　　． 15．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）已知的三边长分别为，，． （1）若满足，试判断的形状； （2）化简：． 16．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 17．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，若当的最小值为时，以的长为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，已知等边三角形与等边三角形的顶点、、在同一直线上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）设，若， ①写出与PE的数量关系，并证明你的结论； ②探究之间满足的数量关系，并说明理由． 19．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，求的长． 20．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，求的长． 21．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为　　　　　　　，点的坐标为　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，．    （1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标； （2）如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长； （3）如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积． 23．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，中，，，以为边向外作等边，连接，则的最大值为　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）已知和均为等边三角形． （1）如图1，当点为的中点时，求的度数； （2）如图2，连接、、，求的度数； （3）如图3，已知，于点，若点在线段上运动，连接，求的最小值． 25．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知 ，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图3，已知点在等边三角形 外，点、点位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 26．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，　　　　　　　　　　　 27．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； （1）如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； （2）如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； （3）如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 28．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为　　　　　　　　　　时，是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．A 2．B 3．B 4．A 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题关键是构造全等三角形，转化角的关系． 本题应构造，，进而可以得到，再利用三角形内角和是求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵点关于、的对称点是、， ∴，， 又∵， ∴， 同理可证， ∴，， ∴ 故答案为： ． 11．【答案】2度 【分析】 本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由，可得，由折叠前后对应角相等，可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：，，， ， 由折叠得，， ， ， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查轴对称的性质． 利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论. 【详解】 解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．C 8．【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【分析】 交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】 解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 9．【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】 解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 10．【答案】证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ． 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据证明，即可证明． 【详解】 略 11．【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．【答案】8 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质；由性质得，则易得的周长为，即可求解．掌握线段垂直平分线的性质是关键． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：8． 13．【答案】证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE=AC，DE=DC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，且AD平分CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 【分析】 由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴；     （2）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 考点03 画轴对称的图形 1．D 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 9．B 10．C 11．A 12．B 13．【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】 解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 14．【答案】50281 【分析】 根据镜面对称的性质，进行解答即可． 【详解】 解：根据镜面对称的性质可知：18502镜子里的像是50281． 故答案为：50281． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 15．【答案】（1） 如图所示，△即为所求；      （2）点、、的坐标分别为，，      【分析】 此题考查了坐标系中轴对称作图，正确作图是关键． （1）作出点关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据（1）中的作图写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点、、的坐标分别为，，． 16．【答案】1 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化，灵活利用轴对称的特点“关于轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数”求点坐标是解题的关键．根据关于轴对称点的特征确定出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】 解：和关于y轴对称， ， 故答案为：1． 17．【答案】 【分析】 本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可解答． 【详解】 解：点关于y轴对称的点B的横坐标是2，纵坐标不变，仍为1， 因此点B的坐标为， 故答案为． 18．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标互为相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进一步计算即可． 【详解】 解：∵和点关于轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 19．【答案】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 20．【答案】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称， ∴ ， 解得： ， 则＝． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 21．【答案】（1） 关于y轴对称的，如图所示，   点的坐标为；     （2） 如图所示，       【分析】 本题考查了作轴对称图形，图形与坐标，掌握轴对称图形的性质及最短路径问题是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）作点A关于x轴的对称点，再连接交x轴于点P，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作法得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 22．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求；      （3）．      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点横坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点纵坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 点关于直线对称点的横坐标为，纵坐标为， 点关于直线的对称点的坐标是， 故答案为：． 23．【答案】1 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出和的值，进而计算代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 24．【答案】（1）     （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）关键（2）所求即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得． 25．【答案】（1）     （2） 解：如图所示；      （3）4      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，作轴对称图形，求三角形的面积， 对于（1），根据点所在的象限直接写出答案即可； 对于（2），分别作三个顶点关于y轴对称的点，再依次连接； 对于（3），根据矩形的面积减去三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：点; (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 26．【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 27．【答案】6 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】 解：∵点和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 28．【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，，     （2）      【分析】 此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点关于y轴对称的点的坐标特点，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，根据轴对称的性质写出点的坐标； （2）的外接矩形面积减去其周围三角形的面积，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，就是所求的三角形，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：． 30．【答案】（1）     （2） 如图所示．      （3）的面积为      【分析】 本题考查坐标轴对称的点的坐标特征，轴对称图形的作图，格点三角形的面积计算，用割补法计算三角形面积是解题关键． （1）直接应用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”求解； （2）先求出、、关于轴的对称点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）用包含的矩形面积，减去周围多余三角形的面积，得到的面积． (1) 小问详解： 解：关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 已知，故点的坐标为． 答：． (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点的对称点为， 点的对称点为， 点的对称点为 将、、依次相连即为． (3) 小问详解： 解：连接、． 已知，，， 以，，，为顶点作矩形， 可知矩形的长为横坐标之差：， 宽为的纵坐标之差：， 故矩形的面积为， 以、为顶点的三角形面积为：； 以、为顶点的三角形面积为：； 以、为顶点的三角形面积为：． 故． 答：的面积为． 31．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）     （4）由图可知，       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用割补法求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得 (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 此时点P的坐标为． 32．【答案】（1）如图，即为所求，         （2）     （3）如图，              【分析】 （1）分别找到点关于轴的对称点，依次连接即可得到，根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点的坐标； （2）运用割补法，用所在的矩形面积，减去多余的三个三角形面积即可； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，所得点即为所求． (1) 小问详解： 解：点的坐标为，点与点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 点的坐标为． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：作B点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D， ， 根据两点之间线段最短，可得点即为所求，由图可知D点坐标为：． 【点睛】 本题考查了画轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标特点，求三角形面积及利用对称关系求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质，运用割补法求三角形面积是解本题关键． 33．【答案】（1）图见解析，顶点，，的坐标分别为，，；     （2）7      【分析】 本题考查的是作图—轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图所示： 由图可知，顶点，，的坐标分别为，，； (2) 小问详解： 解：． 34．【答案】（1）作图见解析     （2）作图见解析，，，     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查轴对称的点的坐标变换规律，熟练掌握轴对称的点的坐标变换规律是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中，标出点、、，首尾依次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标变换规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同，得到点、、的坐标，依次连接即可； （3）根据和三角形面积公式，列出方程，解出方程即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求； (2) 小问详解： 解：根据关于轴对称的点的坐标变换规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同，得，，， 如图所示，即为所求； 答：点、、的坐标为，，； (3) 小问详解： 解：由于为轴上一点，，则， ， 解得， 由于，则点的横坐标为：或， 因此，点的坐标为或． 35．【答案】（1） 如图，即为所求， ，，     （2）     （3）或      【分析】 本题考查坐标与轴对称，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点、、的坐标即可； （2）利用分割法求面积即可； （3）根据关于轴对称的点的特征，写出点的坐标，再根据两点间的距离公式列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ∵与点关于轴对称， ∴， ∴，解得或， ∴或． 36．【答案】（1） 如图所示： ，，     （2）P的坐标为或      【分析】 考查关于x轴对称的点的坐标性质、三角形面积计算．解题关键是掌握轴对称点的坐标变化规律，利用“底高”计算三角形面积；易错点是轴对称点的坐标符号错误，或计算面积时忽略绝对值（导致点P的位置漏解）． （1）先确定各顶点坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标不变、纵坐标取反”，写出的坐标； （2）先计算的面积，再根据面积倍数关系列出的面积方程，结合三角形面积公式求出点P的坐标（注意绝对值的两种情况）． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： ，点C到的垂直距离为，故 由题意，． 的长度为，设，以为底，高为，则： 解得或，即或． 37．【答案】（1）     （2）见解析     （3）9      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积． （1）根据关于x轴对称，横坐标相等纵坐标互为相反数进行求解即可； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）利用割补法求解三角形面积即可． (1) 小问详解： 解：，点H与点A关于x轴对称， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 如图，即为所求； (3) 小问详解： 如图，连接，，    ． 38．【答案】① ② ③ ④    ② 【分析】 本题主要考查了新定义，坐标与图形变化−轴对称等知识点，画出图形，根据“封闭点”的定义判断即可；分情况画出图形，根据“封闭点”的定义解答即可，理解和掌握新定义是解本题的关键． 【详解】 （1）如图， 分别作出点关于①x轴的对称点；关于②y轴的对称点；关于③ 一三象限角平分线的对称点；关于④ 长方形的对称轴的对称点和，可知② ③ ④ 符合题意． 故答案为：② ③ ④ ， （2）当点Q在y轴的左侧时，如图，过点Q作x轴的平行线，交y轴于点E，交于点F，则， ∵点Q是长方形的“y轴封闭点”， ∴， 当点Q在y轴的右侧时，如图，过点Q作x的平行线，交y轴于点E，交于点G，则， ∵点Q是长方形的“y轴封闭点”， ∴． 当点Q在y轴上时，点Q关于y轴的对称点是其本身，符合题意． 综上可知，若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则点Q横坐标的取值范围是， 故答案为：点Q横坐标x的取值范围为 ． 39．【答案】（1）见解析     （2）     （3）图形见解析，      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系和轴对称的性质： （1）根据平面直角坐标系的定义即可求得答案． （2）根据轴对称的性质可知，点的坐标为． （3）连接，线段与轴的交点即为点． (1) 小问详解： 解：所作图形如图所示： (2) 小问详解： 解：根据轴对称的性质可知，点的坐标为． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：连接，线段与轴的交点即为点． ． ∵点，点关于轴对称， ∴． ∴， 即此时汽车到，两村庄的距离和最短，． ∴此时汽车到，两村庄的距离和为． 40．【答案】（1） 解：如图：即为所求，      （2）     （3） 解：延长交y轴于P，此时最大，则点P即为所求． 【分析】 本题考查了轴对称变换作图，轴对称的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据割补法求面积即可得到结论； （3）根据延长交y轴于P，根据两边之差小于第三边即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得： , (3) 小问详解： 略 考点04 等腰三角形 1．C 2．A 3．B 4．A 5．B 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C 11．B 12．C 13．D 14．B 15．【答案】 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． 【详解】 解：在中，，，， 则， 故答案为：． 16．【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，分的角为顶角和底角，两种情况进行求解即可． 【详解】 解：①的角可以为顶角； ② 当的角为底角时，顶角的度数为：； 故答案为：或 17．【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而求出角的度数． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而推出，再结合三角形内角和求出，最后计算的度数． 【详解】 解： 是的垂直平分线， ，则， 在中，根据三角形内角和为，可得， ． 故答案为：． 18．【答案】8 【分析】 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当以AB为底边时，或当以AB为腰时，分别作出符合条件的图即可解题． 【详解】 解：分情况讨论： 当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个； 当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个， 综上所述，符合题意的店C共有8个， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19．【答案】 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，线段和最短问题，作点关于的对称点，作，根据，推出的最小值为线段的长度；即可求解； 【详解】 解：作点关于的对称点，作，如图所示： ∵平分， ∴必在上； ∵， ∴的最小值为线段的长度； ∵， ∴； ∵， ∴，解得； ∴， ∴， 即的最小值为：； 故答案为： 20．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等．首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，可证得；同理可得，根据的周长公式，求解即可． 【详解】 解：∵， ， 平分， ， ， ， 同理， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 在中，，， ， ， ， ， ． 22．【答案】6 【分析】 先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 23．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】 解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ① 当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ② 当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③ 当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 24．【答案】（1） 证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即；     （2）等腰三角形， 理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1）证明：如图，过点作交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：， 证明如下： 如图所示，分别延长，，交于点， 与（1）同理可得，， ，， 又， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定与性质、平行线的性质； （1）过点作交于点，得出，进而结合，得出再根据平行线的性质得出，，再根据判定得出，即可得证； （2）分别延长，，交于点，同理可得，由此得到，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，进而得出结论． 【详解】 略 26．【答案】4 【分析】 过点P作于点E，得到，根据，计算即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，角的平分线的性质定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点P作于点E， ∵P是平分线上一点，，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．【答案】16 【分析】 如图作于H，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】 解：如图作于H，连接．    ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时，最小值就是线段的长， ∵， ∴， 根据垂线段最短， ∴当时最小， ∴的值最小为16． 故答案为：16． 【点睛】 本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型． 28．【答案】解：（其他形式正确也可） ∵BD平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵CD平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】 此题主要根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角得，，即可得出所求的结论． 【详解】 略 29．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵ ， ∴；     （2）；     （3） 证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴ ， ∴， ∴，， ∵，    ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 30．【答案】4 【分析】 过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，则，，最后根据含角直角三角形的特征，即可求解． 【详解】 解：过点E作于点F， ∵平分，，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，等角对等边，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半． 31．【答案】（1）     （2） ① ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）① 根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；② 点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ (2) 小问详解： ① 略 ② 略 32．【答案】 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得,, 然后根据已知可得, 且, 从而可得, 且, 进行计算即可解答. 【详解】 ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵ , ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, , ∵最多能添这样的钢管根， ∴, 且,, ∴, 且,, 解得: , 故答案为:. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 33．【答案】（1） ， ． 在和中， ， ， ． 又， ，， 垂直平分．     （2）6      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，所对的直角边等于斜边的一半，正确理解题意并灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）先用证明，再用全等三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）利用全等三角形的性质以及直角三角形两锐角互余证明，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ． 34．【答案】①②③ 【分析】 利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等，，根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】 解：如图，    ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ① 由得到，故① 正确； ② 由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故② 正确； ③ 由得到， 则， 故③ 正确； ④，， ，， ，④ 错误； 正确结论为① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 35．【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 36．【答案】 【分析】 因为是的垂直平分线，所以，则，连接交于点，连接，此时值最小，即周长最小，最小值为，根据等腰三角形三线合一可知是的高，利用三角形面积可求出长，则题目可解． 【详解】 解：∵，为边的中点， ∴， 若周长最小，只需最小， 是的垂直平分线， ， ， ∴连接交于点，连接，此时值最小等于， 为边的中点，， ， ，面积是， ， 周长最小值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解题的关键． 37．【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等，，，，等腰三角形三线合一 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先根据角平分线的性质定理得到，再证明，得到，证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可得到． 【详解】 证明：平分，，， ．（依据：角平分线上的点到角两边的距离相等） ，， ． 在和中， ． ． ．（依据：等角对等边） 又平分， ．（依据：等腰三角形三线合一） 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等，，，，等腰三角形三线合一． 38．【答案】13 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】 解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 39．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴，     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）先求得，再利用证明即可； （2）利用得到，，推出，利用邻补角的性质求得，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．【答案】（1） 证明：是等腰直角三角形，，点是的中点． ，，， ，， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ；     （2）4．      【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可知，，，利用可证结论成立； （2）根据全等三角形的性质可知，可知，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， ， ∵，， ． 41．【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．证明，得到，进而得到，即可得证． 【详解】 略 42．【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴． 43．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 44．【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 45．【答案】n度 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵中，边的垂直平分线分别交边于点D、E， ∴， ， ， ， ， ， 即， 由① ② 组成的方程组 ， 解得． 故答案为：． 46．【答案】 【分析】 首先作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高等于，即可求出面积． 【详解】 解：作于E，作交的延长线于F.    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，的高即为， ∴. 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 47．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 48．【答案】 【分析】 本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，根据作图可知，，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知；由等腰三角形的性质可知垂直平分；由作图可知平分；根据可得． 【详解】 解：由作图可知，， 是的垂直平分线， ， 故正确； 在中，， ， 由作图可知是的平分线， ， ∴， 在和中， ， ， ， 垂直平分， 故错误； ， ， 平分， 故正确； ， ， 垂直平分， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的有． 故答案为： ． 49．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 50．【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）4，1，2，3，，     （3）10      【分析】 题目主要考查作轴对称图形，写出点的坐标，利用网格画等腰三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）结合图形写出点的坐标即可； （3）分三种情况以点为圆心、长为半径画圆，以点为圆心、长为半径画圆，两圆的交点连接可得的垂直平分线，结合图形即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； (3) 小问详解： 如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个 故答案为：10． 51．【答案】（1）；     （2） 解：是等腰直角三角形， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ；     （3），点的坐标为．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系的相关知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出点的坐标． （2）要证明，需证明，根据已知条件寻找全等的条件． （3）先根据，，三点共线推出角的关系，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数，最后求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点． ，， ，． ， ． 又， ． 在和中， ， ． ，． ， 点的坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，，三点共线，由（2）知， ． 是等腰直角三角形， ， ， ． ． ， 是等腰直角三角形， ． ， 点的坐标为． 52．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称 最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】 解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 53．【答案】（1） 解：如图，即为所求； ；     （2） 解：如图，点P即为所求． ；     （3） 解：如图，点Q即为所求． ．      【分析】 本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 54．【答案】4 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形、垂直平分线的性质等知识点，正确的分类并画出图形是解题的关键．分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P；再作的垂直平分线与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可解答． 【详解】 解：如图： 分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P, 当时，可得满足条件， 当时，可得满足条件， 如图：作的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，当时，可得满足条件， 综上，满足题意的点P有4个． 故答案为：4． 55．【答案】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴；     （2）      【分析】 （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的内角和可得，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 56．【答案】（1）① 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）① 先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；② 由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【详解】 （1）① 略 ② 解：由① 可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 57．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．取的中点，连接，斜边上的中线得到，进而得到，根据等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，推出，作于点，易得，为等腰直角三角形，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】 解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 58．【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC    ∵AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD．        在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90°，CD=ED， 又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°， ∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE＋BE， ∴AB=AC＋CD． （2）AB＝AC＋CD； （3）AB＝CD﹣AC 【分析】 （1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论； （2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC； （3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）证明：在AB取一点E使AC=AE，    在△ACD和△AED中， , ∴△ACD≌△AED， ∴∠C=∠AED，CD=DE， 又∵∠C=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠EDB=∠B， ∴ED=EB， ∴CD=EB， ∴AB=AC+CD； （3）猜想：AB=CD﹣AC    证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，    在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD=∠AED，CD=DE， ∴∠ACB=∠FED， 又∵∠ACB=2∠B              ∴∠FED=2∠B， 又∵∠FED=∠B＋∠EDB，        ∴∠EDB=∠B， ∴DE=BE，              ∴BE=CD， ∵AB=BE-AE           ∴AB=CD﹣AC． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 59．【答案】（1）1，     （2）见解析     （3）① 不变，，理由见解析；②的值为2      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）判断出是等腰直角三角形，从而得出结果； （2）由推出，进而证明，进一步得证； （3）① 类比（2）作交的延长线于F，同理（2）证明，进一步得出结论； ② 取的中点H，连接，可得，再推出，进而求出的值． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故答案为：1，； (2) 小问详解： 证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：① 不变，，理由如下： 如图，作交的延长线于F， 同理（2）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 如图，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由① 知， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．【答案】（1）12秒     （2）存在，4或16     （3）或或15或18      【分析】 （1）设点M，N运动x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可； （2）首先假设是等腰三角形，不难得到在上运动时点N在点M前方，如图所示，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值． （3）分情况讨论，利用角所对的直角边等于斜边的一半解题即可． (1) 小问详解： 设点、运动秒后，、两点重合， 由题意可得：， 解得：， 即当、运动12秒时，，两点重合； (2) 小问详解： 当点、运动4或16秒时，存在以为底的等腰三角形，理由如下： 由（1）可知：当、运动12秒时，，两点重合， 当、分别在、上时，， ， ，成立； 如图，当、都在BC上时，，    ， ， ， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 解得：，成立； 综上，满足条件的的值为4或16； (3) 小问详解： 当点在上运动时， 如图，若，    ，， ， ， ，即， 解得：； 如图，若，    由，则， 解得：； 当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形； 当点在上运动时， 如图，当点位于中点处时，    由时等边三角形知，即是直角三角形， 则， 解得：； 如图，当点位于中点处时， 由时等边三角形知，即是直角三角形， 则； 综上，当或或15或18时，可得到直角三角形． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 61．【答案】① 1    ② 【分析】 过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 62．【答案】（1） 证明：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴．     （2）     （3）， 理由如下： 延长至M，使得，连接． ∵， ∴， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质证明，即可证明； （2）将沿所在直线折叠得，作于H，先根据全等三角形的性质求出，进而求出，最后根据勾股定理求出即可； （3）延长至M，使得，连接，先根据证明，进而证明，然后求出，再根据求出，证明，求出，最后根据等量代换得到即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将沿所在直线折叠得，作于H， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 可知，当B，F，H共线时，最小，此时最小值为， ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 63．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 64．【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，过作交直线于，连接，由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：过作交直线于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 解得， 故答案为：． 65．【答案】① ② ③ 【分析】 连接GC，延长EG交AD于点L，可证△ADG≌△CDG，进而可得∠GEC＝∠GCE，由此可得出GE＝GC，再由FH＝AF，即可得出∠HAE＝45°，连接AC交BD于点O，则BD＝2OA，证明△AOG≌△GFE，即可得出OA＝GF，进而可得BD＝2FG，过点G作MN⊥BC于点N，交AD于点M，由于G是动点，GN的长度不确定，而FG＝OA是定值，即可得出GE不一定平分∠FEC． 【详解】 解：连接GC，延长EG交AD于点L， ∵四边形ABCD为正方形， ∴ADCB，AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°， ∵DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝GC，∠HCG＝∠DAG， ∵∠HCG+∠GCB＝90°， ∴∠DAG+∠GCB＝90°， ∵GE⊥AH， ∴∠AGL＝90°， ∴∠ALG+∠LAG＝90°， ∵ADCB， ∴∠ALG＝∠GEC， ∴∠GEC+∠LAG＝90°， ∴∠GEC＝∠GCE， ∴GE＝GC， ∴AG＝EG，故①正确； ∵GE⊥AH， ∴∠AGE＝90°， ∵AG＝EG， ∴∠EAH＝45°，故②正确； 连接AC交BD于点O，则BD＝2OA， ∵∠AGF+∠FGE＝∠GEF+∠EGF＝90°， ∴∠AGF＝∠GEF， ∵AG＝GE，∠AOG＝∠EFG＝90°， ∴△AOG≌△GFE（AAS）， ∴OA＝GF， ∵BD＝2OA， ∴BD＝2GF，故③正确． 过点G作MN⊥BC于点N，交AD于点M，交BC于点N， ∵G是动点， ∴GN的长度不确定，而FG＝OA是定值， ∴GE不一定平分∠FEC， 故④错误； 故答案为：① ② ③． 【点睛】 本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点05 等边三角形 1．A 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．C 10．【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴．     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论； （3）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴． 11．【答案】（1） 结论：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由，求出，再根据平行线的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ． 12．【答案】度 【分析】 本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】 解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．【答案】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， ． 在和中， ， ， 即平分， 又， ， 即为的中点． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握三角形全等判定的方法是解题的关键.利用等腰三角形和等边三角形的性质，，继而利用边边边可证得，根据等腰三角形“三线合一”即可解题． 【详解】 略 14．【答案】10 【分析】 本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 15．【答案】（1）是等边三角形     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的判定、绝对值与偶次方的非负性、三角形的三边关系、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先根据绝对值与偶次方的非负性可得，，则，再根据等边三角形的判定即可得； （2）先根据三角形的三边关系可得，，则，，，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． (1) 小问详解： 解：∵，且， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． (2) 小问详解： 解：∵的三边长分别为，，， ∴，， ∴，，， ∴ ． 16．【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；     （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴．      【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．【答案】a 【分析】 本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 过点C作，使，连接，证明，可得，当A，Q，E三点共线时，取得最小值，等于的长，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】 解：如图，过点C作，使，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当A，Q，E三点共线时，取得最小值，等于的长， 又的最小值为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：a 18．【答案】（1） 证明：∵与均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ；     （2） ①； 证明：如图，过点C作于点M，过点C作于点N， 由（1）得：， 又∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 在上截取一点F，使得，在上截取一点G，使得，连接， 由（1）得：， ∴， ∵， 又∵是等边三角形， ∴， ， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ∵ ， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴，即．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质得出相等边和角，证明即可得出结论； （2）①如图，过点C作于点M，过点C作于点N，根据，可得，再由，可得，从而得到，即可解答；②在上截取一点F，使得，在上截取一点G，使得，连接，由（1）得：，可得，证明，可得，再证明，可得，从而得到，证明，可得，再结合，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大． 19．【答案】， 【分析】 利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，可求得的长；利用证明，从而得到，又可求得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求得的长． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，证明等边三角形是解题的关键． 20．【答案】（1）证明见解析     （2）      【分析】 （）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．【答案】①     ② 【分析】 本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．观察所给图形可得，每4个为一组，由于，，分别求出的坐标，然后找出规律，再根据规律即可求解． 【详解】 解： 观察所给图形，看出，每4个为一组， ∵，， ∴ 点、在轴下方，分别是2组和506组中第二点， 点的坐标为， ∵ ，是等边三角形， ∴ 的横坐标为，纵坐标为，即， ∵ ，是等边三角形， ∴ 的横坐标为，纵坐标为，即， …… ∴ 点的坐标为， ∴ 点的坐标为． 故答案为： ， ． 22．【答案】（1），     （2）6     （3）8      【分析】 （1）如图1，作于，由，可得，，证明，则，，进而可得，； （2）如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，证明，则，证明，根据，计算求解即可； （3）如图3，在上截取，使，连接，则是等边三角形，证明，则，由，求得，如图3，作于，于，则，，，，，证明，则，根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：如图1，作于，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，； (2) 小问详解： 解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，    ∴， ∵平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为6； (3) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴，， 如图3，在上截取，使，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3，作于，于，则， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线，含的直角三角形．熟练掌握一线三垂直的全等模型，由构造等边三角形证明全等是解题的关键． 23．【答案】8 【分析】 如图，在直线的上方作等边三角形，连接，只要证明，推出，推出点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，的值最大． 【详解】 解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．【答案】（1）；     （2）；     （3）的最小值为．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的性质，三角形的外角性质． （1）利用等边对等角以及三角形的外角性质即可求解； （2）利用证明，推出，再利用三角形的外角性质求得，据此求解即可； （3）连接，证明，求得，得到点在射线上运动，当时，的值最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； (3) 小问详解： 解：连接， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 25．【答案】（1） ，理由： ，均为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ．     （2） ，证明：如图， 在线段上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形， ，． ，， ． ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质得到，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据题意作出适当的辅助线，再结合图形计算，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 26．【答案】或 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 故答案为：或． 27．【答案】（1） 证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴点E是的中点；     （3）当在的延长线上，；当在线段上，      【分析】 （1）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，进而推出，得到，，再通过证明，得到，再结合得到，最后根据等量代换以及中点的定义即可证明； （3）分2种情况讨论：① 当在的延长线上；② 当在线段上，先证明，得到，，进而证明，得到，得到，再由，分别求解的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当在的延长线上， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当在线段上， 如图，延长至点使得，连接， 同理① 可得，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当在的延长线上，；当在线段上，． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 28．【答案】或或 【分析】 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学校徽中的图案是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 2．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】 解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）小官同学在历史课上学习了青铜器与甲骨文，了解了汉字与甲骨文的联系．下面四个选项分别是用甲骨文书写的虎、牛、龙、兔，其中可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查轴对称图形的识别．把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁部分的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可解答． 【详解】 解：仔细观察四个甲骨文字形，其中选项 B（“牛”字的甲骨文）可沿中间竖直线对折，左右两边能够重合，故它是轴对称图形；其他三个图形均不具备这样的对称性． 故选：B 4．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形的判断，关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】 解：A、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合． 【详解】 解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意． 故选：A． 6．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项A能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选A． 7．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）下列“表情”中属于轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，能沿一条直线对折直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，分别判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：C. 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，根据定义判断即可解答. 8．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）下列图形不是轴对称图形的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 9．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，．若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由轴对称图形的性质和平行线的性质推出，，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】 解：∵与关于直线成轴对称， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，解题关键是构造全等三角形，转化角的关系． 本题应构造，，进而可以得到，再利用三角形内角和是求解． 【详解】 解：如图，连接， ∵点关于、的对称点是、， ∴，， 又∵， ∴， 同理可证， ∴，， ∴ 故答案为： ． 11．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】2度 【分析】 本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由，可得，由折叠前后对应角相等，可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：，，， ， 由折叠得，， ， ， 故答案为：． 12．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图：点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查轴对称的性质． 利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论. 【详解】 解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了作线段垂直平分线，垂直平分线的性质，根据题意可得，则点在线段的垂直平分线上，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， 故可判断D选项正确． 故选：D． 2．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，中，，的垂直平分线交于点，的周长是21，则的长度为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得出，由的周长是21得出，结合计算即可得出答案． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长是21， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）下列各命题的逆命题成立的是（　　） A. 两条直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】首先将各个选项的逆命题，再判定是否成立，A选项成立，B选项正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，C选项明显不成立，D选项对应角相等的三角形不一定全等.故选A. 【详解】解：A选项逆命题为：同位角相等，两条直线平行，逆命题成立； B选项逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立； C选项逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立； D选项逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立. 故选A. 【点睛】此题主要考查逆命题的判定，熟练掌握概念，即可得解. 4．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（        ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【分析】 根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】 解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】 解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵ ，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】 本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 6．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】 解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知是的平分线， 即， ∵，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 不能判定是等腰三角形，故选项C不符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，由作图可知：平分，，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由作图可知：平分，， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 8．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）命题“如果a+b=0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】如果a，b互为相反数，那么a+b=0 【分析】 交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题. 【详解】 解：逆命题为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b=0. 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题． 9．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是　　　　　　　　　　． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】 解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 10．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 【答案】证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ． 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据证明，即可证明． 【详解】 略 11．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　　　　　 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】 原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，垂直平分分别交边于点D，E，若、，则的周长为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质；由性质得，则易得的周长为，即可求解．掌握线段垂直平分线的性质是关键． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：8． 13．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线． 【答案】证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE=AC，DE=DC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，且AD平分CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 【分析】 由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC． 14．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴；     （2）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了坐标平面内的轴对称变换．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：点关于x轴的对称点坐标是． 故选：D． 2．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征的知识，解题的关键是理解关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出和的值； 【详解】 解：若，关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 横坐标关系：； 纵坐标关系：， 因此，，，对应选项C， 故选：C． 3．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）点A（－2，3）关于x轴对称的点的坐标是(     ) A. （－2，－3） B. （2，3） C. （－2，3） D. （2，－3） 【答案】A 【分析】 根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可 【详解】 解：点A（－2，3）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-3）， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 4．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）已知点，，则和满足（　　） A. 关于y轴对称 B. 直线过原点 C. 关于x轴对称 D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，根据和横坐标相同，纵坐标互为相反数可知和都在直线上，且二者关于x轴对称，进而可得，据此可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴和都在直线上，且二者关于x轴对称， ∴直线不过原点，， 故选：C． 5．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是，，，，将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（       ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5.5 【答案】D 【分析】 本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．由图可知点C、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、B两盏灯笼，然后问题可求解 【详解】 解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b， ∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴， ∵，， ∴C，D关于y轴对称，只需要A，B关于y轴对称即可， ∵，， ∴可以将点向右平移到，平移5.5个单位， 或可以将向右平移到，平移5.5个单位， 故选：D． 6．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知：点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于轴对称，则的值为（       ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 201 【答案】B 【分析】 关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】 解：∵点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称， ∴m-1=2，n-1=-3， 解得：m=3，n=-2， 则=1． 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 7．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）在平面直角坐标系中，点与关于y轴对称，则（     ） A. 2 B. 8 C. -2 D. -8 【答案】A 【分析】 本题考查坐标与图形变化—轴对称，理解关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题关键． 根据关于y轴对称的点，求出a和b的值，再计算． 【详解】 ∵点与关于y轴对称， ∴ , ， ∴ ． 故选：A． 8．（25-26学年八上·四川嘉祥外国语学校·期中）若为实数，满足，则点关于轴的对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了绝对值的非负性质，关于对称轴对称的点的坐标特点，利用非负数的性质求出a和b的值，得到点P的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征求解． 【详解】 解：∵，且，， ∴且， ∴且， ∴，， ∴点P的坐标为， 点P关于x轴的对称点Q，x坐标不变，y坐标取相反数， ∴ Q的坐标为， 故选：C． 9．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）已知点与点关于x轴对称，则的值为（       ） A. 0 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了点关于坐标轴对称．两点关于x轴对称，它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此即可求出m，n，代入代数式即可得到答案． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴ ，解得 ， ∴， 故选：B． 10．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）点P在第三象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6，那么点P关于y轴对称点的坐标是（　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查点到坐标轴的距离、坐标与图形变换-轴对称，熟知点关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 由已知可确定P的坐标为，再由点P关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点的坐标为． 【详解】 解：∵P到x轴的距离是2，到y轴的距离是6， ∴，， ∵点P在第三象限内， ∴，， ∴P的坐标为， ∴点P关于y轴对称点的坐标是． 故选：C． 11．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（       ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 【答案】A 【分析】 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】 解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】 解：过点作轴于M，过点作轴于N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 13．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）若点的坐标为，则它关于轴对称点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】 解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）黑板上写着 ，那么正对着黑板的镜子里的像是　　　　　　　　. 【答案】50281 【分析】 根据镜面对称的性质，进行解答即可． 【详解】 解：根据镜面对称的性质可知：18502镜子里的像是50281． 故答案为：50281． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 15．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）请在图中画出关于轴对称的△； （2）请直接写出点、、的坐标． 【答案】（1） 如图所示，△即为所求；      （2）点、、的坐标分别为，，      【分析】 此题考查了坐标系中轴对称作图，正确作图是关键． （1）作出点关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）根据（1）中的作图写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点、、的坐标分别为，，． 16．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）已知和关于轴对称，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标变化，灵活利用轴对称的特点“关于轴对称的两点纵坐标不变，横坐标互为相反数”求点坐标是解题的关键．根据关于轴对称点的特征确定出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】 解：和关于y轴对称， ， 故答案为：1． 17．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）若点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可解答． 【详解】 解：点关于y轴对称的点B的横坐标是2，纵坐标不变，仍为1， 因此点B的坐标为， 故答案为． 18．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）已知直角坐标系中点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标互为相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进一步计算即可． 【详解】 解：∵和点关于轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 19．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可. 【详解】点关于轴对称的点的坐标是. 故答案为. 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 20．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）在平面直角坐标系中，点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称，则＝　　　　　． 【答案】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标相等，纵坐标互为相反数，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点A（3，a﹣b）与B（2a﹣b，﹣4）关于x轴对称， ∴ ， 解得： ， 则＝． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键． 21．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 关于y轴对称的，如图所示，   点的坐标为；     （2） 如图所示，       【分析】 本题考查了作轴对称图形，图形与坐标，掌握轴对称图形的性质及最短路径问题是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得； （2）作点A关于x轴的对称点，再连接交x轴于点P，即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作法得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． 22．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标）分别为，，，直线与轴平行且经过点． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于直线对称的图形； （3）已知是内部一点，写出关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2） 如图所示，即为所求；      （3）．      【分析】 本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点横坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点纵坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 点关于直线对称点的横坐标为，纵坐标为， 点关于直线的对称点的坐标是， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）已知点和点关于轴对称，则　　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，代数式求值，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出和的值，进而计算代数式的值． 【详解】 解：∵点和点关于轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 24．（25-26学年八上·四川成都实验外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，． （1）求出的面积； （2）在图中作出关于y轴的对称图形； （3）写出点的坐标． 【答案】（1）     （2） 解：如图所示，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）关键（2）所求即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由（2）可得． 25．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． （1）写出、、的坐标． （2）在图中作出关于轴的对称图形； （3）求的面积； 【答案】（1）     （2） 解：如图所示；      （3）4      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，作轴对称图形，求三角形的面积， 对于（1），根据点所在的象限直接写出答案即可； 对于（2），分别作三个顶点关于y轴对称的点，再依次连接； 对于（3），根据矩形的面积减去三个三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：点; (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：． 26．（25-26学年八上·四川成都·期中）若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）已知点和关于y轴对称，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】 解：∵点和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 28．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于y轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示， 由图知，，，     （2）      【分析】 此题考查了图形与坐标，轴对称图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）作出点关于y轴对称的对应点，，，顺次连接即可得到，并写出点的坐标即可； （2）利用包含三角形的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 29．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）已知， （1）画出关于轴对称的三角形，并写出的坐标； （2）求的面积； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点关于y轴对称的点的坐标特点，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可，根据轴对称的性质写出点的坐标； （2）的外接矩形面积减去其周围三角形的面积，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，就是所求的三角形，点的坐标为； (2) 小问详解： 解：． 30．（25-26学年八上·四川成都第十八中学校）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，如图所示建立平面直角坐标系，在中，点，，． （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标是                    ； （2）作出关于轴对称的图形；（点对应点为点，点对应点为点，点对应点为点） （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）     （2） 如图所示．      （3）的面积为      【分析】 本题考查坐标轴对称的点的坐标特征，轴对称图形的作图，格点三角形的面积计算，用割补法计算三角形面积是解题关键． （1）直接应用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”求解； （2）先求出、、关于轴的对称点、、的坐标，再顺次连接即可； （3）用包含的矩形面积，减去周围多余三角形的面积，得到的面积． (1) 小问详解： 解：关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 已知，故点的坐标为． 答：． (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 点的对称点为， 点的对称点为， 点的对称点为 将、、依次相连即为． (3) 小问详解： 解：连接、． 已知，，， 以，，，为顶点作矩形， 可知矩形的长为横坐标之差：， 宽为的纵坐标之差：， 故矩形的面积为， 以、为顶点的三角形面积为：； 以、为顶点的三角形面积为：； 以、为顶点的三角形面积为：． 故． 答：的面积为． 31．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴对称的． （2）写出点的坐标（直接写答案）：______，_____，________． （3）的面积为_____（直接写答案）． （4）在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）     （4）由图可知，       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用割补法求解即可； （4）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得 (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 此时点P的坐标为． 32．（25-26学年八上·四川达州渠县三汇中学·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，三点在格点上．    （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上求作点，使得最小，直接写出点坐标； 【答案】（1）如图，即为所求，         （2）     （3）如图，              【分析】 （1）分别找到点关于轴的对称点，依次连接即可得到，根据关于轴对称的点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到点的坐标； （2）运用割补法，用所在的矩形面积，减去多余的三个三角形面积即可； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，所得点即为所求． (1) 小问详解： 解：点的坐标为，点与点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 点的坐标为． (2) 小问详解： 解：． (3) 小问详解： 解：作B点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D， ， 根据两点之间线段最短，可得点即为所求，由图可知D点坐标为：． 【点睛】 本题考查了画轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标特点，求三角形面积及利用对称关系求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质，运用割补法求三角形面积是解本题关键． 33．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于y轴对称的图形，并写出顶点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）图见解析，顶点，，的坐标分别为，，；     （2）7      【分析】 本题考查的是作图—轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． (1) 小问详解： 解：如图所示： 由图可知，顶点，，的坐标分别为，，； (2) 小问详解： 解：． 34．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出． （2）请画出关于轴对称的，并写出各顶点的坐标． （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析     （2）作图见解析，，，     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查轴对称的点的坐标变换规律，熟练掌握轴对称的点的坐标变换规律是解题的关键． （1）在平面直角坐标系中，标出点、、，首尾依次连接即可； （2）根据关于轴对称的点的坐标变换规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同，得到点、、的坐标，依次连接即可； （3）根据和三角形面积公式，列出方程，解出方程即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求； (2) 小问详解： 解：根据关于轴对称的点的坐标变换规律，横坐标互为相反数，纵坐标相同，得，，， 如图所示，即为所求； 答：点、、的坐标为，，； (3) 小问详解： 解：由于为轴上一点，，则， ， 解得， 由于，则点的横坐标为：或， 因此，点的坐标为或． 35．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形，并写出点、、的坐标； （2）求的面积； （3）点与点关于轴对称，若，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， ，，     （2）     （3）或      【分析】 本题考查坐标与轴对称，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点、、的坐标即可； （2）利用分割法求面积即可； （3）根据关于轴对称的点的特征，写出点的坐标，再根据两点间的距离公式列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ∵与点关于轴对称， ∴， ∴，解得或， ∴或． 36．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的；并写出各点的坐标． （2）若P是x轴上一点，且是的面积的4倍，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 如图所示： ，，     （2）P的坐标为或      【分析】 考查关于x轴对称的点的坐标性质、三角形面积计算．解题关键是掌握轴对称点的坐标变化规律，利用“底高”计算三角形面积；易错点是轴对称点的坐标符号错误，或计算面积时忽略绝对值（导致点P的位置漏解）． （1）先确定各顶点坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标不变、纵坐标取反”，写出的坐标； （2）先计算的面积，再根据面积倍数关系列出的面积方程，结合三角形面积公式求出点P的坐标（注意绝对值的两种情况）． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： ，点C到的垂直距离为，故 由题意，． 的长度为，设，以为底，高为，则： 解得或，即或． 37．（25-26学年八上·四川成都金牛区成都外国语学校·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，如图所示建立平面直角坐标系，在中，点，，．    （1）若点H与点A关于x轴对称，则点H的坐标是______； （2）作出关于y轴对称的图形；（点A对应点为点D，点B对应点为点E，点C对应点为点F） （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）     （2）见解析     （3）9      【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了割补法求三角形的面积． （1）根据关于x轴对称，横坐标相等纵坐标互为相反数进行求解即可； （2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得； （3）利用割补法求解三角形面积即可． (1) 小问详解： 解：，点H与点A关于x轴对称， ， 故答案为：； (2) 小问详解： 如图，即为所求； (3) 小问详解： 如图，连接，，    ． 38．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）在平面直角坐标系xOy中，，，，，，若点P关于某直线l的对称点落在长方形内（不包含边界），则称点P是长方形的“l封闭点”；已知点，若点P是长方形的“l封闭点”，则直线l可以是　　　　　　（填序号）①x轴；②y轴；③一三象限角平分线；④长方形的对称轴；若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则求点Q横坐标x的取值范围为　　　　　　． 【答案】① ② ③ ④    ② 【分析】 本题主要考查了新定义，坐标与图形变化−轴对称等知识点，画出图形，根据“封闭点”的定义判断即可；分情况画出图形，根据“封闭点”的定义解答即可，理解和掌握新定义是解本题的关键． 【详解】 （1）如图， 分别作出点关于①x轴的对称点；关于②y轴的对称点；关于③ 一三象限角平分线的对称点；关于④ 长方形的对称轴的对称点和，可知② ③ ④ 符合题意． 故答案为：② ③ ④ ， （2）当点Q在y轴的左侧时，如图，过点Q作x轴的平行线，交y轴于点E，交于点F，则， ∵点Q是长方形的“y轴封闭点”， ∴， 当点Q在y轴的右侧时，如图，过点Q作x的平行线，交y轴于点E，交于点G，则， ∵点Q是长方形的“y轴封闭点”， ∴． 当点Q在y轴上时，点Q关于y轴的对称点是其本身，符合题意． 综上可知，若点Q是长方形的“y轴封闭点”，则点Q横坐标的取值范围是， 故答案为：点Q横坐标x的取值范围为 ． 39．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，每个小正方形网格的边长均为．已知，两村庄的坐标分别是，． （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）若村庄，关于轴对称，则村庄的坐标是______； （3）一辆汽车在轴上行驶，当行驶到点时，汽车到，两村庄的距离和最短，请在图中画出点，并求出此时汽车到，两村庄的距离和． 【答案】（1）见解析     （2）     （3）图形见解析，      【分析】 本题主要考查平面直角坐标系和轴对称的性质： （1）根据平面直角坐标系的定义即可求得答案． （2）根据轴对称的性质可知，点的坐标为． （3）连接，线段与轴的交点即为点． (1) 小问详解： 解：所作图形如图所示： (2) 小问详解： 解：根据轴对称的性质可知，点的坐标为． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：连接，线段与轴的交点即为点． ． ∵点，点关于轴对称， ∴． ∴， 即此时汽车到，两村庄的距离和最短，． ∴此时汽车到，两村庄的距离和为． 40．（25-26学年八上·四川师范大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画，使与关于x轴对称； （2）求的面积； （3）在y轴上作一点P，使得最大． 【答案】（1） 解：如图：即为所求，      （2）     （3） 解：延长交y轴于P，此时最大，则点P即为所求． 【分析】 本题考查了轴对称变换作图，轴对称的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点A、B、C关于x轴的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据割补法求面积即可得到结论； （3）根据延长交y轴于P，根据两边之差小于第三边即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意得： , (3) 小问详解： 略 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据，即可得出答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是求出． 2．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A. 8 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 3．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】 解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 4．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）下列四个命题： ①等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合；②实数与数轴上的点是一一对应的； ③三角形的一个外角大于任何一个内角；④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．其中真命题是（     ） A. ②④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【分析】 本题考查了命题的真假，等腰三角形的三线合一，实数与数轴，三角形的外角性质以及角平分线的性质，熟练掌握基础知识点是解题关键； ① 根据等腰三角形的三线合一判断即可；② 根据实数与数轴的关系判断即可；③ 根据三角形外角性质判断即可；④ 根据角平分线性质判断即可． 【详解】 解：①等腰三角形的底边上的角平分线、中线、高线互相重合；故原命题错误； ②实数与数轴上的点是一一对应的；故原命题正确； ③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；故原命题错误； ④角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；故原命题正确； 故命题正确的有：② ④ ． 故选：A． 5．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则(       ) A. 40° B. 36° C. 80° D. 25° 【答案】B 【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B． 【详解】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CD＝DA， ∴∠C＝∠DAC， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B， 设∠B＝α， 则∠BDA＝∠BAD＝2α， 又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴α×2α＋2α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠B＝36°． 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用． 6．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查坐标与图形，过点作，则：，根据轴，得到，，进而求出点的坐标即可． 【详解】 解：∵轴，， ∴， 过点作，则轴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即：； 故选C． 7．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（     ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了角的平分线，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可． 【详解】 解：∵和的平分线交于点E，， ∴，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为． 故选：A． 8．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，点E，F分别在直线，上．按以下步骤作图： ①以点E为圆心，适当长为半径画弧，分别与射线，线段相交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧所在圆的半径相等），两弧在的内部相交于点H； ③作射线，与相交于点G． 若，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了尺规作图作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握上述知识点是解题关键． 根据题目中尺规作图的步骤可判断出为平分线，根据等腰三角形等边对等角的性质可得，借助内错角相等两直线平行可判断． 【详解】 解：A．根据题目中信息，只能判断出，并不存在倍数关系，不符合题意． B．由尺规作图得为平分线， ， ， ， ， ．符合题意． C．题目中并没有给出任何角度，也没法从题目中等量关系求出角度，无法得到，不符合题意． D．尺规作图时，半径并非某个定值，所以无法保证，不符合题意． 故选：B． 9．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为 （       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形，是解题的关键． 根据角平分线平行可以证明等腰三角形，所以可得，，从而由求出，即可求解的长． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 此题考查了轴对称—最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键． 作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小，由等腰直角三角形的性质可求，可求，即可求解． 【详解】 解：如图所示，作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小， 过点C作轴，过点作轴，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 则此时坐标为． 的值为2． 故选：C． 11．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】 解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 12．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A. 17 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【分析】 本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键． 运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，同理：，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长为． 故选：C． 13．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在等腰中，，平分，交边于点，过点作，交延长线于点，连接．下列说法：①；②；③；④．其中说法正确的有（       ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识．利用等角的余角相等证明① 正确；延长和相交于点，证明，推出，再证明，得到，可证明② 正确；利用直角三角形斜边中线的性质可判断④ 正确；过点作于点，作于点，利用等积法证明，可推出是的角平分线，据此可判断③ 正确． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，① 正确； 延长和相交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即，② 正确； ∵，， ∴，，④ 正确； 过点作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴，③ 正确； 综上，① ② ③ ④ 均正确， 故选：D． 14．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作交的延长线于点，点为上一点，连接、、，过点作交的延长线于点，若，则下列说法：①若，则；②；③；④；⑤其中正确的个数是（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 由角平分线的定义结合内角和可得，故② 符合题意；证明，故① 符合题意；如图，过作于，交的延长线于，证明，可得，故③ 符合题意；如图，过作，，连接，而，证明，，可得，故④ 不符合题意； 如图，过分别作的垂线，垂足分别为，过作于，连接，证明，可得，同理可得：，再结合三角形的面积公式可得：，故⑤ 符合题意，从而可得答案. 【详解】 解：∵， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴平分， ∴，， ∴，故② 符合题意； ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故① 符合题意； 如图，过作于，交的延长线于， ∵， ∴， ∴根据平行线间的距离处处相等可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③ 符合题意； 如图，过作，，连接，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④ 不符合题意； 如图，过分别作的垂线，垂足分别为，过作于，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 同理可得： ∴，故⑤ 符合题意， 故选：B 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 15．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，，，，则　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． 【详解】 解：在中，，，， 则， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查等边对等角，分的角为顶角和底角，两种情况进行求解即可． 【详解】 解：①的角可以为顶角； ② 当的角为底角时，顶角的度数为：； 故答案为：或 17．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，在中，若的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质与三角形内角和定理，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而求出角的度数． 先根据线段垂直平分线的性质得到，从而推出，再结合三角形内角和求出，最后计算的度数． 【详解】 解： 是的垂直平分线， ，则， 在中，根据三角形内角和为，可得， ． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知，是两个格点，若点也是图中的格点，且为等腰三角形，则符合条件的点有　　　　　　个． 【答案】8 【分析】 根据等腰三角形的性质，分情况讨论：当以AB为底边时，或当以AB为腰时，分别作出符合条件的图即可解题． 【详解】 解：分情况讨论： 当以AB为底边时，如图，符合条件的点C有4个； 当以AB为腰时，如图，符合条件的点C有4个， 综上所述，符合题意的店C共有8个， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上 动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，等边对等角，线段和最短问题，作点关于的对称点，作，根据，推出的最小值为线段的长度；即可求解； 【详解】 解：作点关于的对称点，作，如图所示： ∵平分， ∴必在上； ∵， ∴的最小值为线段的长度； ∵， ∴； ∵， ∴，解得； ∴， ∴， 即的最小值为：； 故答案为： 20．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．则的周长是 　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等．首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，可证得；同理可得，根据的周长公式，求解即可． 【详解】 解：∵， ， 平分， ， ， ， 同理， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 21．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，中，，D在边上，，求的度数． 【答案】 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】 在中，，， ， ， ， ， ． 22．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，，是斜边上的高，若，则的长度是　　　　　　． 【答案】6 【分析】 先根据直角三角形的两个锐角互余求得，再利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】 解：∵在中，，， ∴，， ∵是斜边上的高， ∴，则， ∴， ∴，则． 23．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有　　　　　　　　个． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】 解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ① 当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ② 当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③ 当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即；     （2）等腰三角形， 理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形．      【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）（1）如图①，在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：． （2）【探究】如图②，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：如图，过点作交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：， 证明如下： 如图所示，分别延长，，交于点， 与（1）同理可得，， ，， 又， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定与性质、平行线的性质； （1）过点作交于点，得出，进而结合，得出再根据平行线的性质得出，，再根据判定得出，即可得证； （2）分别延长，，交于点，同理可得，由此得到，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，进而得出结论． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 【答案】4 【分析】 过点P作于点E，得到，根据，计算即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，角的平分线的性质定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，过点P作于点E， ∵P是平分线上一点，，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，等腰的底边，面积为，是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在上运动，的最小值是　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 如图作于H，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】 解：如图作于H，连接．    ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时，最小值就是线段的长， ∵， ∴， 根据垂线段最短， ∴当时最小， ∴的值最小为16． 故答案为：16． 【点睛】 本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型． 28．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（其他形式正确也可） ∵BD平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵CD平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】 此题主要根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角得，，即可得出所求的结论． 【详解】 略 29．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， 在△BAC和△DAE中， ∵ ， ∴；     （2）；     （3） 证明：延长BF到G，使得， ∵， ∴， 在△AFB和△AFG中， ∴ ， ∴， ∴，， ∵，    ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴在△CGA和△CDA中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 （1）先根据等角的余角相等证得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质求得，再根据直角三角形的两锐角互余求得即可求解； （3）延长BF到G，使得，根据全等三角形的判定与性质证明，得到即可证得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线段的和差等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形求解线段问题是解答的关键． 30．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，，平分，交于点D，，垂足为C．若，则的长为　　　　　　． 【答案】4 【分析】 过点E作于点F，根据角平分线的性质得出，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，则，，最后根据含角直角三角形的特征，即可求解． 【详解】 解：过点E作于点F， ∵平分，，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：4． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，等角对等边，含角直角三角形的特征，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等；三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角之和；两直线平行，内错角相等；含角直角三角形，角所对的边是斜边的一半． 31．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么　　　　　　　　； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1）     （2） ① ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）① 根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；② 点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ (2) 小问详解： ① 略 ② 略 32．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图：是一钢架，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管、、、添加的钢管长度都与相等，若时，最多能添这样的钢管5根，则的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得,, 然后根据已知可得, 且, 从而可得, 且, 进行计算即可解答. 【详解】 ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵ , ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, , ∵最多能添这样的钢管根， ∴, 且,, ∴, 且,, 解得: , 故答案为:. 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键. 33．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点． （1）求证：垂直平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1） ， ． 在和中， ， ， ． 又， ，， 垂直平分．     （2）6      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定定理，所对的直角边等于斜边的一半，正确理解题意并灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）先用证明，再用全等三角形的性质以及等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）利用全等三角形的性质以及直角三角形两锐角互余证明，再利用所对的直角边等于斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ． ， ． ，， ， ． ， ， ， ． 34．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），给出以下四个结论：①②是等腰直角三角形③④正确的有　　　　　　　　　　　　． 【答案】①②③ 【分析】 利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等，，根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断． 【详解】 解：如图，    ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ① 由得到，故① 正确； ② 由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故② 正确； ③ 由得到， 则， 故③ 正确； ④，， ，， ，④ 错误； 正确结论为① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 35．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在等腰三角形中，，，点为线段上一点，，，若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后利用含直角三角形的性质得到，，进而可计算的值． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴和是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6． 36．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点、，若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值是　　　　　　　　　　　cm． 【答案】 【分析】 因为是的垂直平分线，所以，则，连接交于点，连接，此时值最小，即周长最小，最小值为，根据等腰三角形三线合一可知是的高，利用三角形面积可求出长，则题目可解． 【详解】 解：∵，为边的中点， ∴， 若周长最小，只需最小， 是的垂直平分线， ， ， ∴连接交于点，连接，此时值最小等于， 为边的中点，， ， ，面积是， ， 周长最小值， 故答案为：． 【点睛】 本题考查轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解题的关键． 37．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，平分，于点，于点，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：平分，，， ．（依据：___________） ，， ． 在和中， ． ． ___________．（依据：等角对等边） 又平分， ．（依据：___________） 【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等，，，，等腰三角形三线合一 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先根据角平分线的性质定理得到，再证明，得到，证明是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可得到． 【详解】 证明：平分，，， ．（依据：角平分线上的点到角两边的距离相等） ，， ． 在和中， ． ． ．（依据：等角对等边） 又平分， ．（依据：等腰三角形三线合一） 故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等，，，，等腰三角形三线合一． 38．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，则的周长是　　　　　　　． 【答案】13 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的应用，正确的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明和是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】 解：∵平分， ∵， 同理， ∴的周长． 故答案为：13． 39．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，已知：点、、在同一条直线上，且，，，、相交于点． （1）求证： （2）若，求的度数 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴，     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）先求得，再利用证明即可； （2）利用得到，，推出，利用邻补角的性质求得，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，点，分别在直角边，上，且，交于点． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：是等腰直角三角形，，点是的中点． ，，， ，， ∴， ， ， ， ， 在和中， ， ；     （2）4．      【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可知，，，利用可证结论成立； （2）根据全等三角形的性质可知，可知，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ， ， ∵，， ． 41．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在和中，，，点、、、在同一条直线上，且，求证：是等腰三角形． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．证明，得到，进而得到，即可得证． 【详解】 略 42．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． ∵， ∴在和中， ∴．     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和直角三角形的性质可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴， ∴． 43．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，在中，已知，，是的高且，．直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM 上以每秒2厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，经过　　　　　　　　　秒时，与全等． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，由题意可得，设经过秒，与全等，由题意可得，，分两种情况：当点在线段上时，那么点在射线上；当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上；分别利用全等三角形的判定与性质，建立一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过秒，与全等， 由题意可得：，， 当点在线段上时，那么点在射线上，如图， ∵，， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在线段的延长线上时，那么点在射线反向延长线上，如图， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，经过或秒时，与全等， 故答案为：或． 44．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，求出的度数是解题的关键．由是△的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，由是△的外角，利用三角形的外角性质，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】 解：是的高，， ， ， ， 又CE是的角平分线， ， ， ． 45．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交边于点D、E，若，则的度数是 　　　　　　　　　 ． 【答案】n度 【分析】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵中，边的垂直平分线分别交边于点D、E， ∴， ， ， ， ， ， 即， 由① ② 组成的方程组 ， 解得． 故答案为：． 46．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，，，，则的面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 首先作，作交的延长线于F，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，证明，得出的高等于，即可求出面积． 【详解】 解：作于E，作交的延长线于F.    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，的高即为， ∴. 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解决本题的关键是会作辅助线，构造全等三角形． 47．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）等腰三角形的一个内角是，则它的顶角是　　　　　度． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用．由于等腰三角形的内角度可能是顶角或底角，因此需要分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：若是顶角，则顶角为； 若是底角，则顶角． 故答案为：或． 48．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．有下列结论①；②垂直平分；③平分；④．则结论正确的有　　　　　　　．（填序号） 【答案】 【分析】 本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，根据作图可知，，可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知；由等腰三角形的性质可知垂直平分；由作图可知平分；根据可得． 【详解】 解：由作图可知，， 是的垂直平分线， ， 故正确； 在中，， ， 由作图可知是的平分线， ， ∴， 在和中， ， ， ， 垂直平分， 故错误； ， ， 平分， 故正确； ， ， 垂直平分， ， ， 故正确； 综上所述，结论正确的有． 故答案为： ． 49．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 50．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； （2）直接写出，，三点的坐标：（    ），（    ），（    ）． （3）点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【答案】（1） 如图，即为所求．      （2）4，1，2，3，，     （3）10      【分析】 题目主要考查作轴对称图形，写出点的坐标，利用网格画等腰三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）结合图形写出点的坐标即可； （3）分三种情况以点为圆心、长为半径画圆，以点为圆心、长为半径画圆，两圆的交点连接可得的垂直平分线，结合图形即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； (3) 小问详解： 如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个 故答案为：10． 51．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图①，在平面直角坐标系中，，连接，且，连接． （1）直接写出点的坐标； （2）如图②，若点从点出发沿轴向左移动，连接，以为直角顶点作等腰直角，连接．当点在线段上时，求证：； （3）在（2）的条件下，若，，三点共线，求此时的度数及点的坐标． 【答案】（1）；     （2） 解：是等腰直角三角形， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ；     （3），点的坐标为．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系的相关知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出点的坐标． （2）要证明，需证明，根据已知条件寻找全等的条件． （3）先根据，，三点共线推出角的关系，再结合等腰直角三角形的性质求出的度数，最后求出点的坐标． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点． ，， ，． ， ． 又， ． 在和中， ， ． ，． ， 点的坐标为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：，，三点共线，由（2）知， ． 是等腰直角三角形， ， ， ． ． ， 是等腰直角三角形， ． ， 点的坐标为． 52．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，　　　　　　　　　　　　 ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称 最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】 解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 53．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ；     （2） 解：如图，点P即为所求． ；     （3） 解：如图，点Q即为所求． ．      【分析】 本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 54．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P在x轴上运动，当以点A，P，O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定、坐标与图形、垂直平分线的性质等知识点，正确的分类并画出图形是解题的关键．分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P；再作的垂直平分线与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可解答． 【详解】 解：如图： 分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P, 当时，可得满足条件， 当时，可得满足条件， 如图：作的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，当时，可得满足条件， 综上，满足题意的点P有4个． 故答案为：4． 55．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴；     （2）      【分析】 （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的内角和可得，进而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 56．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）数学活动课上，同学们利用全等三角形的学习经验，对以和为腰的等腰三角形，从特殊情形到一般情形进行如下探究： 【独立思考】（1）如图1，，即△ABC为等边三角形，D，E分别是上的点，且． ①求证：； ②求的度数； 【实践探究】（2）如图2，在等腰中，，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，在等腰中，，D，E分别是上的点，且，当的值最小时，求的度数． 【答案】（1）① 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点C作于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等： （1）① 先由等边对等角和三角形内角和定理得到，再证明，即可证明；② 由全等三角形的性质得到，则可推出 ，即可得到； （2）如图所示，过点C作于点M，则，由三线合一定理得到，再证明，得到，即可得到． （3）如图所示，在下方，过点C作，且，连接．证明，得到，则当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小，求出，得到，再由，得到，即可求出． 【详解】 （1）① 略 ② 解：由① 可知， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，在下方，过点C作，且，连接． ∵，, ∴， ∴， ∴ 当的值最小时，即的值最小， ∴当A，D，P三点共线时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 57．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在中，，过点作交于点，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线，含30度角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．取的中点，连接，斜边上的中线得到，进而得到，根据等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，推出，作于点，易得，为等腰直角三角形，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】 解：取的中点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为： 58．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）（多选）（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）    （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【答案】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC    ∵AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD．        在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90°，CD=ED， 又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°， ∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE＋BE， ∴AB=AC＋CD． （2）AB＝AC＋CD； （3）AB＝CD﹣AC 【分析】 （1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论； （2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC； （3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论． 【详解】 （1）略 （2）证明：在AB取一点E使AC=AE，    在△ACD和△AED中， , ∴△ACD≌△AED， ∴∠C=∠AED，CD=DE， 又∵∠C=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠EDB=∠B， ∴ED=EB， ∴CD=EB， ∴AB=AC+CD； （3）猜想：AB=CD﹣AC    证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE，    在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD=∠AED，CD=DE， ∴∠ACB=∠FED， 又∵∠ACB=2∠B              ∴∠FED=2∠B， 又∵∠FED=∠B＋∠EDB，        ∴∠EDB=∠B， ∴DE=BE，              ∴BE=CD， ∵AB=BE-AE           ∴AB=CD﹣AC． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 59．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点D是边的中点，且，点C是射线上的动点，连接，以为边作等腰直角，且，连接． （1）的值为 ________ ；的度数为________ ； （2）如图1，若点C在线段上，过点C作交于点F，求证：； （3）如图2，当点C在的延长线上时， ①判断的值是否发生改变，请说明理由； ②若平分，与交于点P，求的值． 【答案】（1）1，     （2）见解析     （3）① 不变，，理由见解析；②的值为2      【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）判断出是等腰直角三角形，从而得出结果； （2）由推出，进而证明，进一步得证； （3）① 类比（2）作交的延长线于F，同理（2）证明，进一步得出结论； ② 取的中点H，连接，可得，再推出，进而求出的值． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 故答案为：1，； (2) 小问详解： 证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：① 不变，，理由如下： 如图，作交的延长线于F， 同理（2）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 如图，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由① 知， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 60．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．        （1）点，运动几秒后，，两点重合？ （2）点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由． （3）点，运动几秒后，可得到直角三角形？ 【答案】（1）12秒     （2）存在，4或16     （3）或或15或18      【分析】 （1）设点M，N运动x秒后重合，表示出M，N的路程，N的路程比M多，列出方程求解即可； （2）首先假设是等腰三角形，不难得到在上运动时点N在点M前方，如图所示，可证出，可得，设出运动时间，表示出的长，列出方程，可解出未知数的值． （3）分情况讨论，利用角所对的直角边等于斜边的一半解题即可． (1) 小问详解： 设点、运动秒后，、两点重合， 由题意可得：， 解得：， 即当、运动12秒时，，两点重合； (2) 小问详解： 当点、运动4或16秒时，存在以为底的等腰三角形，理由如下： 由（1）可知：当、运动12秒时，，两点重合， 当、分别在、上时，， ， ，成立； 如图，当、都在BC上时，，    ， ， ， 是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 解得：，成立； 综上，满足条件的的值为4或16； (3) 小问详解： 当点在上运动时， 如图，若，    ，， ， ， ，即， 解得：； 如图，若，    由，则， 解得：； 当点在上运动时，点也在上，此时，，不能构成三角形； 当点在上运动时， 如图，当点位于中点处时，    由时等边三角形知，即是直角三角形， 则， 解得：； 如图，当点位于中点处时， 由时等边三角形知，即是直角三角形， 则； 综上，当或或15或18时，可得到直角三角形． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角的直角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 61．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则　　　　　　，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则　　　　　　． 【答案】① 1    ② 【分析】 过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 62．（25-26学年八上·四川成都第十二中学）已知是边长为6的等边三角形，D为中点． （1）如图1，连接，E为线段上的一个动点，以为边长向下作等边三角形，连接，证明：． （2）在（1）的条件下，求的最小值． （3）如图2，G，H分别为上的动点，连接交于点I，，连接交于点J，连接并延长交于点K，，试探究的数量关系． 【答案】（1） 证明：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴．     （2）     （3）， 理由如下： 延长至M，使得，连接． ∵， ∴， ∴，． 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质证明，即可证明； （2）将沿所在直线折叠得，作于H，先根据全等三角形的性质求出，进而求出，最后根据勾股定理求出即可； （3）延长至M，使得，连接，先根据证明，进而证明，然后求出，再根据求出，证明，求出，最后根据等量代换得到即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将沿所在直线折叠得，作于H， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 可知，当B，F，H共线时，最小，此时最小值为， ∴． (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 63．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 64．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图，在中，，，点E，F分别在边上，与交于点Q，若，，，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，过作交直线于，连接，由和可得是等腰直角三角形，由，得到，由得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：过作交直线于，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， 中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， 解得， 故答案为：． 65．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，正方形ABCD中，H为CD上一动点（不含C、D），连接AH交BD于G，过点G作GE⊥AH交BC于E，过E作EF⊥BD于F，连接AE，EH．下列结论：①AG＝EG；②∠EAH＝45°；③BD＝2GF；④GE平分∠FEC．正确的是 　　　　　（填序号）． 【答案】① ② ③ 【分析】 连接GC，延长EG交AD于点L，可证△ADG≌△CDG，进而可得∠GEC＝∠GCE，由此可得出GE＝GC，再由FH＝AF，即可得出∠HAE＝45°，连接AC交BD于点O，则BD＝2OA，证明△AOG≌△GFE，即可得出OA＝GF，进而可得BD＝2FG，过点G作MN⊥BC于点N，交AD于点M，由于G是动点，GN的长度不确定，而FG＝OA是定值，即可得出GE不一定平分∠FEC． 【详解】 解：连接GC，延长EG交AD于点L， ∵四边形ABCD为正方形， ∴ADCB，AD＝CD，∠ADG＝∠CDG＝45°， ∵DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝GC，∠HCG＝∠DAG， ∵∠HCG+∠GCB＝90°， ∴∠DAG+∠GCB＝90°， ∵GE⊥AH， ∴∠AGL＝90°， ∴∠ALG+∠LAG＝90°， ∵ADCB， ∴∠ALG＝∠GEC， ∴∠GEC+∠LAG＝90°， ∴∠GEC＝∠GCE， ∴GE＝GC， ∴AG＝EG，故①正确； ∵GE⊥AH， ∴∠AGE＝90°， ∵AG＝EG， ∴∠EAH＝45°，故②正确； 连接AC交BD于点O，则BD＝2OA， ∵∠AGF+∠FGE＝∠GEF+∠EGF＝90°， ∴∠AGF＝∠GEF， ∵AG＝GE，∠AOG＝∠EFG＝90°， ∴△AOG≌△GFE（AAS）， ∴OA＝GF， ∵BD＝2OA， ∴BD＝2GF，故③正确． 过点G作MN⊥BC于点N，交AD于点M，交BC于点N， ∵G是动点， ∴GN的长度不确定，而FG＝OA是定值， ∴GE不一定平分∠FEC， 故④错误； 故答案为：① ② ③． 【点睛】 本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，等边的边，点是的中点，点为延长线上一点，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的知识点是等边三角形的性质、线段中点的有关计算，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质得出，结合点是的中点，即可得解． 【详解】 解：等边的边，点是的中点， ，， ， ， ． 故选：． 2．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在等边中，，平分，点在的延长线上，且．则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查等边三角形的性质及三角形的外角，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，运用三角形的外角性质得，再由等角对等边，解答即可． 【详解】 解：∵等边的边长，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，是等边三角形，点与点分别在边与上，将沿直线折叠，使得的对应点落到边上，当为直角三角形时，的度数为（       ） A. 45°或75° B. 45°或30° C. 30°或75° D. 45°或60° 【答案】A 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质．先根据等边三角形性质得，因此当为直角三角形时，有以下两种情况：① 当时，则，由折叠的性质可得出的度数；② 当为直角时，则，进而得，由折叠的性质可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】 解：为等边三角形， ， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ① 当时，如图1所示：    则， 由折叠的性质得：， ② 当为直角时，如图2所示：    则， ， 由折叠的性质得：， 综上所述：的度数为或． 故选：A． 4．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A. 3 B. 3或6 C. 6 D. 6或12 【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：① 点P在上，② 点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】 解：① 如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ② 如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 5．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（       ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解； ② 因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③ 证明且，即可证得是等边三角形； ④ 首先证明，则，． 【详解】 解：① 如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故① 正确； ② 由① 知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故② 不正确； ③ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③ 正确； ④ 如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④ 正确； 本题正确的结论有：① ③ ④ ， 故选A． 6．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，根据性质得到边长与的关系是解题的关键．由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的性质可知，进一步可证，同理可证，，，归纳可得，最后代入即可得解． 【详解】 解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， 的边长为． 故选：C． 7．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°其中完全正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③⑤ 【答案】D 【分析】 ①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE； ②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③根据② △CQB≌△CPA（ASA），可知③正确； ④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误； ⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确． 【详解】 解：∵等边△ABC和等边△CDE， ∴， ∴，即， ∴， ∴AD=BE， ∴①正确， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴ ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴ ， ∴PQ∥AE②正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ③正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴ ， 即DP=QE， ∵ ， ∴∠DQE≠∠CDE，故④错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， ∴⑤正确． 故选：D． 8．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（       ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】 解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 9．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知，，，，和交于O点，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的常见模型――“手拉手”模型，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点． 证即可判断；在上截取，证即可判断D；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断C． 【详解】 解：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴，故① 正确，符合题意； 设和交于点， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故② 正确，符合题意； 在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故④ 正确，符合题意； ∵， ∴， ∴点到边的距离相等， ∴平分 没理由能证明平分，故③ 错误，不符合题意； ∴正确的有3个， 故选：C． 10．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，在等边中，点，分别在边上，且 与相交于点，于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ∴．     （2）     （3）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论； （3）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴． 11．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 结论：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由，求出，再根据平行线的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ． 12．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】 解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接交于点，求证：为的中点． 【答案】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， ． 在和中， ， ， 即平分， 又， ， 即为的中点． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握三角形全等判定的方法是解题的关键.利用等腰三角形和等边三角形的性质，，继而利用边边边可证得，根据等腰三角形“三线合一”即可解题． 【详解】 略 14．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，在三角形中，是边上的高，E为边上一点，P为上一个动点，若，则的最小值为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查轴对称求最短距离，等边三角形的判定与性质，先证明三角形是等边三角形，连接、，由等边三角形的性质有，所以的最小值是的最小值，根据垂线段最短，求出时的长即可． 【详解】 解：∵，， ∴三角形是等边三角形，即：， 如图，连接、， 是等边三角形，， ∴， ， ，即的最小值就是的最小值， 当时，最小， 此时，，， ， 的最小值是10． 故答案为：10． 15．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）已知的三边长分别为，，． （1）若满足，试判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）是等边三角形     （2）      【分析】 本题考查了等边三角形的判定、绝对值与偶次方的非负性、三角形的三边关系、整式加减的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先根据绝对值与偶次方的非负性可得，，则，再根据等边三角形的判定即可得； （2）先根据三角形的三边关系可得，，则，，，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． (1) 小问详解： 解：∵，且， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． (2) 小问详解： 解：∵的三边长分别为，，， ∴，， ∴，，， ∴ ． 16．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；     （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴．      【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，若当的最小值为时，以的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】a 【分析】 本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 过点C作，使，连接，证明，可得，当A，Q，E三点共线时，取得最小值，等于的长，再证明是等边三角形，即可求解． 【详解】 解：如图，过点C作，使，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当A，Q，E三点共线时，取得最小值，等于的长， 又的最小值为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：a 18．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，已知等边三角形与等边三角形的顶点、、在同一直线上，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）设，若， ①写出与PE的数量关系，并证明你的结论； ②探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵与均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∵ ， ∴， ；     （2） ①； 证明：如图，过点C作于点M，过点C作于点N， 由（1）得：， 又∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； ②，理由如下： 在上截取一点F，使得，在上截取一点G，使得，连接， 由（1）得：， ∴， ∵， 又∵是等边三角形， ∴， ， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ∵ ， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴，即．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质得出相等边和角，证明即可得出结论； （2）①如图，过点C作于点M，过点C作于点N，根据，可得，再由，可得，从而得到，即可解答；②在上截取一点F，使得，在上截取一点G，使得，连接，由（1）得：，可得，证明，可得，再证明，可得，从而得到，证明，可得，再结合，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质应用，三角形面积关系等，综合性强，难度较大． 19．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，是的角平分线，于点，连接，求的长． 【答案】， 【分析】 利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，可求得的长；利用证明，从而得到，又可求得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求得的长． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，证明等边三角形是解题的关键． 20．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点，． （1）求证：是等边三角形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析     （2）      【分析】 （）由垂直的定义得到，求出，即可证明是等边三角形； （）由含度角的直角三角形的性质求出，得到，再由等边三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．（25-26学年八上·四川成都青羊实验中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…，按此规律排下去，则点的坐标为　　　　　　　，点的坐标为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．观察所给图形可得，每4个为一组，由于，，分别求出的坐标，然后找出规律，再根据规律即可求解． 【详解】 解： 观察所给图形，看出，每4个为一组， ∵，， ∴ 点、在轴下方，分别是2组和506组中第二点， 点的坐标为， ∵ ，是等边三角形， ∴ 的横坐标为，纵坐标为，即， ∵ ，是等边三角形， ∴ 的横坐标为，纵坐标为，即， …… ∴ 点的坐标为， ∴ 点的坐标为． 故答案为： ， ． 22．（25-26学年八上·四川成都第二十中学校·期中）在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴上一动点，连接，以为腰作等腰，．    （1）如图1，点B在x轴负半轴上，点C的坐标是，直接写出点A和点B的坐标； （2）如图2，点B在x轴负半轴上，交x轴于点D，若平分．且点C的纵坐标是，求线段的长； （3）如图3，点B在x轴正半轴上，以为边在左侧作等边，连接，，若，且，求的面积． 【答案】（1），     （2）6     （3）8      【分析】 （1）如图1，作于，由，可得，，证明，则，，进而可得，； （2）如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，证明，则，证明，根据，计算求解即可； （3）如图3，在上截取，使，连接，则是等边三角形，证明，则，由，求得，如图3，作于，于，则，，，，，证明，则，根据，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：如图1，作于，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，； (2) 小问详解： 解：如图2，作轴，交轴于，交的延长线于，    ∴， ∵平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为6； (3) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴，， 如图3，在上截取，使，连接，    ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3，作于，于，则， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线，含的直角三角形．熟练掌握一线三垂直的全等模型，由构造等边三角形证明全等是解题的关键． 23．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，中，，，以为边向外作等边，连接，则的最大值为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 如图，在直线的上方作等边三角形，连接，只要证明，推出，推出点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，的值最大． 【详解】 解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为， 故答案为：8． 【点睛】 本题考查旋转变换、轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）已知和均为等边三角形． （1）如图1，当点为的中点时，求的度数； （2）如图2，连接、、，求的度数； （3）如图3，已知，于点，若点在线段上运动，连接，求的最小值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）的最小值为．      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30度角的直角三角形的性质，三角形的外角性质． （1）利用等边对等角以及三角形的外角性质即可求解； （2）利用证明，推出，再利用三角形的外角性质求得，据此求解即可； （3）连接，证明，求得，得到点在射线上运动，当时，的值最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； (3) 小问详解： 解：连接， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 当时，的值最小， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 25．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）探究等边三角形“手拉手”问题． （1）如图1，已知 ，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图3，已知点在等边三角形 外，点、点位于线段的异侧，连接、．若，猜想线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ，理由： ，均为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ．     （2） ，证明：如图， 在线段上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形， ，． ，， ． ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，三角形的内角和等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先证出，再根据全等三角形的性质得到，最后根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）根据题意作出适当的辅助线，再结合图形计算，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 26．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，在中，，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，　　　　　　　　　　　 【答案】或 【分析】 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 故答案为：或． 27．（25-26学年八上·四川成都树德实验中学·期中）在等腰三角形中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段； （1）如图1，若，点E是线段上一点，在上取一点G，且，证明：； （2）如图2，若，点E是线段上一点，连接与线段交于O点，过点F作于点H，若，证明：点E是的中点； （3）如图3，若，点E是射线上一点，连接与线段交于O点，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴；     （2） 证明：∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴点E是的中点；     （3）当在的延长线上，；当在线段上，      【分析】 （1）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，再利用全等三角形判定即可证明； （2）根据三角形内角和定理得到，由旋转的性质得，，，则有，进而推出，得到，，再通过证明，得到，再结合得到，最后根据等量代换以及中点的定义即可证明； （3）分2种情况讨论：① 当在的延长线上；② 当在线段上，先证明，得到，，进而证明，得到，得到，再由，分别求解的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 当在的延长线上， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 当在线段上， 如图，延长至点使得，连接， 同理① 可得，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当在的延长线上，；当在线段上，． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 28．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为　　　　　　　　　　时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $