专题02 全等三角形（期中真题汇编，四川专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】 解：两个三角形全等，由图可知， 则夹角即为对应角， 的度数是． 故选：C． 2．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，若，则的对应边是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的性质，根据给定的几何语言，找到对应边即可． 【详解】 解：∵， ∴；即：的对应边是； 故选A． 3．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等即可求出结果． 【详解】 解：∵两个三角形全等，同时在第一个三角形中，为，两边的夹角，在第二个三角形中，为边的对角， ∴． 故选：A． 4．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等，对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】 解：由边长为的边是角的对应边，再根据全等三角形的性质可得 故选：D． 5．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，点在同一直线上，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握基本性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为（     ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质求出和的长可得结论． 【详解】 解：， ， ， ， ， 故选：C． 7．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 根据题意可得，然后分两种情况讨论：若，若，结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 故答案为：或 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 8．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，已知，点D是上一点，交于点E． （1）探索与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：，理由如下： ， ， ；     （2）3      【分析】 本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ； ． 9．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，，B，C，D在同一直线上，且，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由可知，，作答即可． 【详解】 解：， ． 故答案为：7． 10．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，，，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】 解：， ． 又， ． 故答案为：． 11．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）中，点A、B、C坐标为，，，如果要使与全等，那么D的坐标是　　　　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，全等三角形的性质，分情况进行讨论是解决本题的关键． 根据题意分点在的上方、点在的下方两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案． 【详解】 解：如图所示， 与有一条公共边， 当点在的下方时，点有两种情况：①坐标是，②坐标为， 当点在的上方时，坐标为． 点的坐标是或或． 故答案为：或或． 12．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，进而可知． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，.若，，则中边的长是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）已知，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．先根据全等三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为　　　　　　s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】 解：作于E，作于F． 分以下情况：① 如图1，P在上，Q在上，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ② 当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，     ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 16．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为　　　　． 【答案】2或 【分析】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知，下列条件中，能用证明的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定．根据三角形全等的判定条件即可解答． 【详解】 解：在中， ， 要能用证明它们全等，则缺， 故选：A． 2．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】 解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 3．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可． 【详解】 解：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即射线是的平分线． 故选：A． 4．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（      ） A. 两边和夹角对应相等 B. 两角和夹边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形全等的判定：、、、和（仅直角三角形），熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得． 【详解】 解：A、两边和夹角对应相等能判定两个三角形全等，则此项不符合题意； B、两角和夹边对应相等能判定两个三角形全等，则此项不符合题意； C、三个角对应相等不能判定两个三角形全等，则此项符合题意； D、斜边和一条直角边对应相等能判定两个三角形全等，则此项不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】 解：， ， ， 添加， ， 故选项不符合题意； 添加， ， 故选项不符合题意； 添加， ， 故选项不符合题意； 添加，不能判定， 故选项符合题意， 故选：． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 6．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，已知，要用证明，应补充的条件是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】 解：在和中， ， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】 解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 8．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（       ） A. 两条直角边对应相等 B. 一条边和一个锐角对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 一条直角边和一条斜边对应相等 【答案】C 【分析】 两个直角三角形的判定方法有： 利用以上方法逐一判断各选项可得答案． 【详解】 解：由两条直角边对应相等，两直角边夹的直角相等，利用边角边公理可判断两个直角三角形全等，故不符合题意； 由一条边和一个锐角对应相等，再加上两个直角对应相等，可利用角角边定理或角边角公理判断两个直角三角形全等，故不符合题意， 两个锐角对应相等，没有边的对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故符合题意； 一条直角边和一条斜边对应相等，直接利用斜边直角边公理判定两个直角三角形全等，故不符合题意； 故选： 【点睛】 本题考查的是直角三角形全等的判定方法，掌握判定直角三角形全等是解题的关键． 9．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，若，，则，判定的根据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．由，，，则可依据判定，由此可得出答案． 【详解】 解：在和中， ， ∴． 故选：B． 10．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握“”等判定方法是解题的关键，据此逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、∵，，，∴不能证明，故该选项是符合题意的； B、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； C、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； D、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 11．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明 和 全等，必须添加． 【详解】 解：∵， ， ∵， A．，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；        C．，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D．，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意； 故选：A． 12．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）下列说法正确的个数是（          ） ①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形三条高都在三角形内部 ③周长相等的两个三角形全等 ④全等三角形面积相等 ⑤三角形中最小的内角不能大于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 本题考查三角形有关的线段和内角，全等三角形的判定与性质，根据相关知识点逐个判断即可． 【详解】 ① 三角形的三条角平分线只在三角形的内部，说法错误； ② 钝角三角形的高可能在三角形外部，说法错误； ③ 周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误； ④ 全等三角形面积相等，说法正确； ⑤ 三角形中最小的内角不能大于，说法正确； ∴正确的有④ ⑤ 共2个， 故选：B． 13．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，根据“画与有一条公共边且全等的格点三角形”条件进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】 解：如图所示： 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的和和 当与有一条公共边且全等的格点三角形时，即图中的； 但都在同一个格点上， ∴画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画4个， 故选：B 14．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，已知，，要使，需要添加的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据，可得，然后根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】 解：， ， A. 若，则， 不能使，故选项不符合题意； B. 若， ，，此时符合， 不能使，故选项不符合题意； C. 若，则， ， ，， ，故选项符合题意； D. 若，不能使，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题主要考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），两直线平行内错角相等，等式的性质，利用邻补角互补求角度，等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角． 15．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（     ） A. 2或9 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】 解：由题意得：，， 若，， 根据证得， ，即； 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为2或9秒时．与全等． 故选：A． 16．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，灵活添加辅助线（倍长中线法）构造全等三角形是解答的关键． 延长到E，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系得到即可求解． 【详解】 解：延长到，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴即， ∴， 故选：D． 17．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 因为∠ABC=∠DCB，BC是公共边，结合选项条件对选项逐一进行分析判断即可． 【详解】 A、补充，不能判定，故A错误； B、补充，可根据判定，故B正确； C、补充，可根据判定，故C正确； D、补充，可根据判定，故D正确． 故选A． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 18．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 19．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题是坐标与图形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，求点的坐标等知识，构造全等三角形是解题的关键；过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A，则可证明，从而有；设，则，又，，由此可求得a的值，从而求得点Q的坐标． 【详解】 解：过点Q作x轴的垂线，垂足为点B，过点P作直线的垂线，垂足为点A， 则， ， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为； 故选：B． 20．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（       ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 21．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（       ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【分析】 由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】 ∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】 本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 22．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接、．下列说法中正确的有（　　） ①和面积相等；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出① 正确，然后利用“边角边”证明，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得． 【详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴和面积相等，故① 正确； ∵是的中线， ∴，和不一定相等，故② 错误； 在和中， ， ∴，故③ 正确； ∴， ∴，故④ 正确； 没有条件可以证明，故⑤ 不一定正确， 综上所述，正确的结论为：① ③ ④ ， 故选：C． 23．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（　　）时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等． A. 1或 B. 1或 C. 2或 D. 1 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定的应用，一元一次方程的应用，设点的运动速度是，有两种情况：①，②，，列出方程，求出方程的解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】 解：设点的运动速度是， ∵， ∴三点构成的三角形与三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则， 解得：， 故选：A． 24．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（     ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【详解】 A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 25．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的判定条件（确定唯一三角形的依据），解题的关键是掌握“、、、、可确定唯一三角形，而（两边及其中一边的对角）无法确定唯一三角形”这一核心规则． 先明确每个选项给出的条件类型（角与边的位置关系）；再根据三角形判定定理判断：若条件为、、、或直角三角形的，则能画出唯一三角形；若为，则不能；最后筛选出符合“不能画出唯一三角形”的选项． 【详解】 解：根据三角形判定定理、、、、可确定唯一三角形，不能）分析各选项： A、已知，，，其中是与的夹边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； B、已知，，，其中是的对边，是的邻边，符合条件，无法确定唯一，此选项符合题意； C、已知，，，其中是与的夹角，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意； D、已知，，，其中是斜边，是直角边，符合判定，能画出唯一，此选项不符合题意． 故选：B． 26．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，平面上有与，其中与相交于P点，若，，， ，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体数学思想求出．易证，由全等三角形的性质可知：，再根据已知条件和四边形的内角和为，即可求出的度数． 【详解】 解：在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 27．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(       ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【详解】 解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 28．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动．当点的运动速度为（       ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或6 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，，根据等腰三角形的性质得到，再利用全等三角形的判定方法得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程即可． 【详解】 解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，，， 点为的中点， ， ， ， 当，时，， 即，，解得，； 当，时，， 即，，解得，， 综上所述，点的运动速度为或． 故选：D． 29．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）已知，，．若，，的度数（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据三角形全等的性质可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故选：A． 30．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断① 正确；利用得出，利用8字形可得，可判断② 正确；证明，得，可判断③ 正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④ 正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故① 正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故② 正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③ 正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④ 正确． 故选：D． 31．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．①根据于点及三角形高的定义可对结论①进行判断；②根据点为的中点得，再根据的边上的高与的边上的高相同，则可对结论②进行判断；③先证明，再根据平分得，则，然后根据于点得，则，由此可对结论③进行判断；④根据平分得，根据于点得，由此可依据“”判定和全等，则，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】 解：①于点， 线段为的高， 故结论①不正确； ②点为的中点， ， 的边上的高与的边上的高相同， 与面积相等， 故结论②正确； ③，， ， 平分， ， ， 于点， ， ， 故结论③正确； ④平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是② ③ ④，共3个． 故选：D． 32．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图．，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 33．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）（多选）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE． 【答案】证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS） 【分析】 根据SAS证明△ABE≌△DCE即可． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查学生对全等三角形的判定(SAS)这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握． 34．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明；在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】 略 35．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知：如图A、E、B在一条直线上，B、D、C在一条直线上，且，，交于F点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，，， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）直接证明即可； （2）求出，证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，，，，求证：． 【答案】证明：∵， 在和中， ∵，， ∴() ， ∴， ， 即． 【分析】 利用证明，即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 37．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作轴于点T．证明，可得结论． 【详解】 解：如图中，过点作轴于点． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 38．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）在四边形中，为对角线．        （1）尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求；         （2） ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴．      【分析】 本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 40．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为， （1）请你求出教学楼的高度． （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）教学楼的高度为     （2） ，理由如下： 由（1）得，， ∵， ∴．      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，再结合证明，即可得到结论． （2）由得出，又因为，故，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． (2) 小问详解： 略 41．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在长方形中，，,点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿向点C运动．设点P的运动时间为t秒,当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，沿向点D运动，当　　　　　　　　秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与全等． 【答案】2或2.5 【分析】 此题主要分两种情况① 当时，;当时，，然后分别 计算出t的值. 【详解】 设点Q的运动速度为vcm/秒， 分两种情况进行讨论： ① 当时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ② 当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2.5时与全等． 故答案为2或2.5． 42．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是　　　　　　（只需要填写一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合已知条件解答即可． 【详解】 解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 43．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】 解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 44．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，相交于点O，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中， ∵， ， 由（1）可知， 45．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 46．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在等腰直角中，，过点作直线，于，于，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，可得，即可利用“角角边”证明． 【详解】 略 47．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知，，求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，利用证明，则可证明． 【详解】 略． 48．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，，，，，垂足分别为、，若，，则　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，由全等三角形的性质求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 49．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 50．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 51．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【分析】 （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 52．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． （1）若，，则______（直接写出答案）． （2）线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 【答案】（1）3     （2） ．理由如下： 在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，在上截取，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，即可得解； （2）同（1）理，先证明，再证明，即可得到结论； (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 53．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵G为的中点． ， ， ∴E为的中点． ， ；     （2） 证明：由（1）知：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 54．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：正确掌握相关性质内容是解题的关键． ① 根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；② 当是的中线时，，进而可以进行判断；③ 作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④ 过作，于点，，由③ 知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【详解】 解：① 在中，， ， 平分，平分， ，， ，故① 正确； ② 只有当是的中线时，，故② 错误； ③ 如图，作的平分线交于点， 由① 得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③ 正确； ④ 过作，于点，， 由③ 知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④ 正确． 综上所述：正确的有① ③ ④ ， 故答案为：① ③ ④ ． 55．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为1.4m和1.7m，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用，可证明得到，据此求出的长，进而求出点D与地面的距离即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵爸爸在距地面高的C处接住她， ∴点E到地面的距离为， ∴点D到地面的距离为， ． 56．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）（多选）如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF.试说明:BF=DE. 【答案】在△ABC和△CDA中，∵AB=CD，BC=DA，CA=AC，∴△ABC≌△CDA(SSS)，∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)． 在△BCF和△DAE中，∵BC=DA，∠1=∠2，CF=AE，∴△BCF≌△DAE(SAS)，∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)． 【详解】 试题分析：先利用“SSS”证明△ABC≌△CAD，得到∠1=∠2，然后根据“SAS”可判断△BCF≌△DAE，即可得出结论． 试题解析： 略 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，解答时要认真分析所给条件，选择合理、简单的方法进行解答． 57．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据，可得． （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． (2) 小问详解： 略 58．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 59．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 60．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等     （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 61．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，点在同一直线上，，，，与交于点．    （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， . 在和中， ， ；     （2）      【分析】 （）利用Z证明即可求证； （）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 62．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．        （1）猜想线段、、之间的数量关系并证明； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）13      【分析】 （1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 63．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明． 【答案】（1）20°     （2） ∵点D是中点，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，     （3） ．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴．      【分析】 此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据和可得结论； （2）首先根据点D是中点，，可得出，判断出，即可得出； （3）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 64．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为　　　　　　　　 【答案】6 【分析】 如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E， PD于QE交于点D，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案. 【详解】 解：如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E， PD于QE交于点D，则 A，C的面积分别为9和4， 正方形，A，B，C， 同理可得： 故答案为：6． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. 65．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ；     （2） 证明：， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ；     （3） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形．      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 66．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：． 【答案】证明：∵DE=BF， ∴DE+EF=BF+EF； ∴DF=BE； 在Rt△ADF和Rt△BCE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴∠B=∠D， ∴． 【分析】 利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用． 67．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 【答案】（1）=     （2） 解：猜想．    证明如下： ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴．     （3） 解：过点作于，于，则，    ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ 又∵，， ∴平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、互为“兄弟三角形”的定义，类比推理是关键： （1）根据互为“兄弟三角形”的定义得到，结合图形计算，得到答案； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：=； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 68．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）证明：∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）8 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】 解：（1）略； （2）略； （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 69．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】[模型呈现]； [模型应用]； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，   由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】 [模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中，    由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]略 70．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形．过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，证明，得出，设，在中，，建立方程得出，进而勾股定理求得结果． 【详解】 解：如图，过C作于点F； 则， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 71．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明：，． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，． （2） （3），证明 延长交于点， 同（1）法可得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握利用角平分线构造全等三角形是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可； （3）延长交于点，证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】 解：（1）略； （2）延长交于点， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴； （3）略． 72．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】 （1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】 （1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 73．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）等腰中，，点A是x轴上一个动点，点B在y轴上且点，直角边交x轴于点D； （1）如图1，若，求C点的坐标； （2）如图2，若，作，且，连接交y轴于点P，直接写出点P的坐标（用含m的式子表示）； （3）移动点A使交y轴于点F，若D恰好为中点时，连接，求证：． 【答案】（1）C点的坐标为；     （2）点P的坐标为；     （3） 证明：过点C作交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵D恰好为中点， ∴， ∵等腰，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）作轴于点，证明，利用全等三角形的性质即可求解； （2）作轴于点，由（1）知，，再证明，利用全等三角形的性质即可求解； （3）过点C作交y轴于点，证明，求得，推出，再证明，据此即可证明． (1) 小问详解： 解：作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴C点的坐标为； (2) 小问详解： 解：作轴于点， 由（1）知，， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了坐标与图，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解答时证明三角形的全等是关键． 74．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．    （1）如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； （2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； （3）如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 【答案】（1）     （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （3）的长度不变，      【分析】 （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． (1) 小问详解： 解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 75．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，点，，且a，b满足．    （1）如图1，求的面积； （2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P为x正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当点P在x正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 【答案】（1）     （2） 解：线段、、之间的数量关系为； 证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ， ，即、、三点共线， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 即；         （3）是定值，且      【分析】 （1）根据非负数的性质得到，，进而可得与的长，进一步可求出结果； （2）是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论； （3）是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， 、， ，， 的面积； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 是定值，且； 作于，在上截取，连接，如图，则， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即是定值． 【点睛】 本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质．作可得，根据即可求解． 【详解】 解：作，如图所示：     ∵是的角平分线，，, ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，则为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的应用，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据题意，易得，利用角平分线得，结合三角形内角和定理，得到结果 ． 【详解】 解∶ ， ． 和的平分线相交于点， ，． ． ． 故选：B． 【点睛】 3．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（       ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【分析】 根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】 解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 4．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE=DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB=∠DBE-∠BAD=（∠CBE-∠BAC）=∠ACB． 【详解】如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DF=DE， 又∵∠ACD=136°，∠BCD=44°， ∴∠ACB=92°，∠DCF=44°， ∴CD平分∠BCF， 又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∴DF=DG， ∴DE=DG， ∴BD平分∠CBE， ∴∠DBE=∠CBE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC， ∴∠ADB=∠DBE-∠BAD=（∠CBE-∠BAC）=∠ACB=×92°=46°， 故选D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，解题关键在于掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（     ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等判定定理及角平分线判定定理，解决本题的关键是灵活使用全等的方法证明两个三角形全等． ① ：根据题意得，进而利用“”进行证明全等；② ：根据可得，则，进而利用“”进行证明全等；③ ：根据可得，再依据角平分线判定定理进行判断即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴，故① 正确； ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ， ∴，故② 正确； ∴， 又∵于点E，于点F， ∴点D在的平分线上，故③ 正确， 综上所述，正确的有：① ② ③ ， 故选D． 6．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂线段最短，角平分线的尺规作图及性质，全等三角形性质与判定，勾股定理，熟练掌握角平分线性质是解题的关键． 由垂线段最短可知，当时，长度最小，由作图过程可知平分，结合角平分线性质得到，证明，利用全等三角形性质得到，根据勾股定理求出，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】 解：由垂线段最短可知，当时，长度最小， 由作图过程可知平分， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 故选：C． 7．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】A 【分析】 作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】 作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，    ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°， ∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°， 故选A． 【点睛】 此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 8．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，是的角平分线，于点E．若的面积为15，，，则的长是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查角平分线的性质、三角形面积，过点D作于点F，根据角平分线的性质得，再利用求解即可． 【详解】 解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵的面积为15， ∴，即， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识．由三角形内角和求得的度数，由角平分线可求得的度数；由高及三角形内角和可求得的度数，则由即可求解． 【详解】 解：由三角形内角和得， 由尺规作图知，平分， ∴； ∵是高， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（       ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的性质，作，垂足为，根据角平分线的性质，得到，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】 解：作，垂足为， ∵平分，于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 11．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（       ） A. 30 B. 15 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理．作于点，根据三角形的角平分线的性质定理求得，利用三角形的面积公式得到，再根据三角形的中线性质即可求解． 【详解】 解：作于点， ∵，平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上中线， ∴， 故选：C． 12．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 18 D. 20 【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】 解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 13．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（       ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断① ；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断② ；由角平分线的定义可以判断③ ；由全等三角形的性质可以判断④ ； 【详解】 解：① 过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故① 正确； ② ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故② 错误； ③ ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③ 正确； ④ 由② 可知（）， （）， ∴，， ∴，④ 正确， 故选：C． 14．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，的外角，的平分线、交于点，于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（       ） ①平分； ②：； ③若，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式、三角形的外角性质等，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和三角形的相关定理进行推理计算. 本题需要逐一分析四个结论，通过角平分线的性质、三角形面积公式、三角形外角与内角的关系以及线段的和差关系来判断每个结论的正确性. 【详解】 结论① ： 过点作于， 平分，根据角平分线的性质，可得， 又平分，根据角平分线的性质，可得， ， 又，根据角平分线的判定定理，可知平分， 故① 正确； 结论② ： 三角形的面积公式为（为底，为高）， 对于和，以为底时，高分别为，由① 知， ，故② 正确； 结论③ ： 平分，平分，平分 ， ，故③ 正确； 结论④ ： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 故④ 正确． 故选：D． 15．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】 解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 16．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质可得，根据、得到，利用三角形内角和定理得到的度数即可． 【详解】 解：， 平分 ． 答：的度数为． 17．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查作图基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图方法及性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，，则，，，设，则，由勾股定理得，，求出的值，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ，， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， 的面积为． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，于于F，若，    （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；其中结论正确的序号是　　　　　　　　　　． 【答案】① ② ③ 【分析】 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断① ② ；由可得，再由，证得即可判断③ ；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④ ． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故① ② 符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③ 符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④ 不符合题意； 综上，正确的是① ② ③ ， 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 20．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则的长为　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了作角平分线、角平分的性质和等腰直角三角形的性质，过D点作于E点，则为等腰直角三角形，求得DE，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】 解：过D点作于E点，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， 由作法得平分， 而，， ∴， 故答案为：2． 21．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，四边形中，，，于D． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：作于E， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．     （2）4      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的判定即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的面积是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积． 作于，利用角平分线的性质定理证明，代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】 解：如图，作于H， 平分，，， ， ， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在的边上分别取点M、N，连接，平分，平分.若的长为2，的面积为2，的面积为6，则的长为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了三角形角平分线的性质定理，面积关系的运用，掌握定理内容是关键；过点P分别作的垂线，垂足分别，连接；由角平分线的性质定理易得，再由的面积为2可求得，根据的面积为6可得四边形的面积，再由面积关系即可求解． 【详解】 解：如图，过点P分别作的垂线，垂足分别为，连接； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵的面积为2，， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：8． 24．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，于点，于点．有下列结论：平分；；；．其中正确的结论有　　　　　　　　　　　　．（填序号） 【答案】 【分析】 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分；根据三角形内角和定理可得：，根据角平分线的性质可得：，整理可得：；利用可证，根据全等三角形的性质可得：，同理可证，可证；根据三角形外角的性质可证． 【详解】 解：如下图所示，过点作， 平分， ， 平分， ， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， 在中，， ， ， 整理可得：， 故正确； 如下图所示，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， 故正确； 是的外角， ， 平分， ， ， ， 故错误． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是根据角平分线的性质、全等三角形的性质找角与边之间的关系． 25．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． (1) 小问详解： 证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 考点04 定义、命题、定理 1．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）下列命题中，属于假命题的是（   ） A. 两点确定一条直线                                               B. 负数的偶次幂是正数 C. 锐角的补角是钝角                                               D. 若，则x的值为0 【答案】D 【分析】 本题主要考查了判断命题真假，两点确定一条直线，乘方计算，补角的定义，绝对值的意义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】 解：A、两点确定一条直线，原命题是真命题，不符合题意； B、负数的偶次幂为正数，原命题是真命题，不符合题意； C、锐角的补角是钝角，原命题是真命题，不符合题意； D、若，则x的值为非正数，原命题为假命题，符合题意， 故选D． 2．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下列命题中，真命题的是（       ） A. 不是对顶角的两个角不相等 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 若，则 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【分析】 本题考查了命题与定理，熟练掌握相交线和平行线的有关性质、对顶角的定义、绝对值的性质是解题关键．根据相关数学定义、性质及判定定理对各选项依次分析判断． 【详解】 A．相等的角不一定是对顶角，则本选项是假命题，不符合题意； B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，则本选项是假命题，不符合题意； C．若，，，则本选项是假命题，不符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，则本选项是真命题，符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，那么　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】① 两条直线都垂直于同一条直线    ② 这两条直线平行 【分析】 本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】 解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 4．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果　　　　　　，那么　　　　　　　　． 【答案】① 两个角是对顶角    ② 这两个角相等 【分析】 把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】 解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 5．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等 【分析】 命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】 题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 【点睛】 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，若，则的对应边是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知图中的两个三角形全等，则度数是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，点在同一直线上，若，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，的两条高，相交于点F，若，，，则的面积为（     ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 7．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，已知，点D是上一点，交于点E． （1）探索与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 9．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，，B，C，D在同一直线上，且，，则　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，，，，则　　　　　　． 11．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）中，点A、B、C坐标为，，，如果要使与全等，那么D的坐标是　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，，若，，则　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，.若，，则中边的长是　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）已知，，，则的度数为　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为　　　　　　s时，与全等． 16．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，已知，下列条件中，能用证明的是（       ） A.  B.  C.  D. 以上都不对 2．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 4．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（      ） A. 两边和夹角对应相等 B. 两角和夹边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 斜边和一条直角边对应相等 5．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，已知，要用证明，应补充的条件是（ ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（       ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 8．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（       ） A. 两条直角边对应相等 B. 一条边和一个锐角对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 一条直角边和一条斜边对应相等 9．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，若，，则，判定的根据是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）下列说法正确的个数是（          ） ①三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部 ②三角形三条高都在三角形内部 ③周长相等的两个三角形全等 ④全等三角形面积相等 ⑤三角形中最小的内角不能大于 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图所示是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形．画与有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（     ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 14．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，已知，，要使，需要添加的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（     ） A. 2或9 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 16．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，点、在线段的同侧，连接、、、，已知，老师要求同学们补充一个条件使．以下是四个同学补充的条件，其中错误的是　　 A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·四川巴中中学·期中）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，点在直线的下方，则的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在中，D是上一点，点F是边右侧一点，连接交于点E，，，若，则的长是（       ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 1 21．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（       ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 22．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，是的中线，E、F分别是和延长线上的点，且，连接、．下列说法中正确的有（　　） ①和面积相等；②；③；④；⑤． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 23．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（　　）时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等． A. 1或 B. 1或 C. 2或 D. 1 24．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（     ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 25．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）根据下列已知条件，不能画出唯一的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 26．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，平面上有与，其中与相交于P点，若，，， ，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是(       ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 28．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点匀速运动，同时，点在线段上由点向点匀速运动．当点的运动速度为（       ）时，能够在某一时刻使与全等． A. 2 B. 4 C. 2或3 D. 4或6 29．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）已知，，．若，，的度数（       ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 31．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，在中，，，分别为边，上的点，平分，于点，为的中点，延长交于点，则下列结论：①线段是的高；②与面积相等；③；④．其中正确的结论有． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 32．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图．，． （1）求证：； （2）若，求的长． 33．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）（多选）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE，求证：△ABE≌△DCE． 34．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，与相交于点，．求证：． 35．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）已知：如图A、E、B在一条直线上，B、D、C在一条直线上，且，，交于F点，连接． （1）求证：； （2）求证：． 36．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，，，，求证：． 37．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，为等腰直角三角形，若，，则点的坐标为　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）在四边形中，为对角线．        （1）尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若，求证：． 39．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D． 40．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为， （1）请你求出教学楼的高度． （2）请你判断、与之间的数量关系，并说明理由． 41．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，在长方形中，，,点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿向点C运动．设点P的运动时间为t秒,当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，沿向点D运动，当　　　　　　　　秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与全等． 42．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是　　　　　　（只需要填写一个）． 43．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为　　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，相交于点O，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 45．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 46．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在等腰直角中，，过点作直线，于，于，求证：． 47．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知，，求证：． 48．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，，，，，垂足分别为、，若，，则　　． 49．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 50．（25-26学年八上·四川广安第二中学校·期中）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）先阅读材料，再结合要求回答问题． （1）如图1，在四边形中，，．，分别是，上的点，且线段，，满足．试探究图中与之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连结．显然可得出．请你按照小王同学的方法证明这个结论． 【灵活应用】 （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且满足，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 52．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）如图，的角平分线、相交于点F，若，交于A，交于B． （1）若，，则______（直接写出答案）． （2）线段与、有怎样的数量关系？写出说明理由． 53．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： （1）； （2）． 54．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点，、交于点F．则下列说法正确的是（　　） ①；②；③；④． 55．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在距地面1.5m高的C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为1.4m和1.7m，，求妈妈在B处接住小丽时，小丽距离地面的高度　　　　　　． 56．（25-26学年八上·四川眉山仁寿县坝达初级中学校·期中）（多选）如图,已知AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF.试说明:BF=DE. 57．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）若，求的度数； （2）若，，求证：． 58．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 59．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 　　 ． 60．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 61．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，点在同一直线上，，，，与交于点．    （1）求证：． （2）若，，求的度数． 62．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．        （1）猜想线段、、之间的数量关系并证明； （2）若，，求的周长． 63．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图1，在中，，，点是的中点，点是边上一点．直线垂直于直线，垂足为点F，交于点G． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）如图2，直线垂直于直线，垂足为点H，交的延长线于点M，找出图中与相等的线段，并证明． 64．（25-26学年八上·四川成都棠湖外国语学校·期中）如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，A，B，C，若A，C的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为　　　　　　　　 65．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在等腰直角三角形中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点G，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，判断的形状，并说明理由． 66．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：． 67．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 68．（25-26学年八上·四川绵阳梓潼中学·期中）（1）如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：≌； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，D、A、E三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是16，求与的面积之和． 69．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 70．（25-26学年八上·四川成都石室中学·期中）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，且交于点，则的值为　　　　　 71．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，证明：，． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 72．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 73．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）等腰中，，点A是x轴上一个动点，点B在y轴上且点，直角边交x轴于点D； （1）如图1，若，求C点的坐标； （2）如图2，若，作，且，连接交y轴于点P，直接写出点P的坐标（用含m的式子表示）； （3）移动点A使交y轴于点F，若D恰好为中点时，连接，求证：． 74．（25-26学年八上·四川渠县中学·期中）等腰中，，，点、点分别是轴、轴上两个动点，直角边交轴于点，斜边交轴于点．    （1）如图（1），已知点的横坐标为，直接写出点的坐标； （2）如图（2），当等腰运动到使点恰为中点时，连接，求证：； （3）如图（3），若点在轴上，且，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连结交轴于点，问当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化?若变化请说明理由，若不变化，请求出的长度． 75．（25-26学年八上·四川达州通川区第八中学·期中）如图，点，，且a，b满足．    （1）如图1，求的面积； （2）如图2，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P为x正半轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q，当点P在x正半轴上移动时，线段和线段中哪一条线段长为定值，并求出该定值． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·四川广安代中学校·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 2．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在中，和的平分线相交于点，则为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（       ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 4．（25-26学年八上·四川自贡汇东实验学校·期中）如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·四川广安友谊中学·期中）如图，于点E，于点F，，与相交于点D，有以下结论：①；②；③点D在的平分线上．其中正确的是（     ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 6．（25-26学年八上·四川南充南部县第二中学·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，的面积是24．当长度最小时，的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·四川南部中学·期中）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 8．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，是的角平分线，于点E．若的面积为15，，，则的长是（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 9．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，在中，，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，已知平分，于，若，，，则的面积为（       ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 11．（25-26学年八上·四川德阳第二中学校·期中）如图，在中，于点，为边上中线，与交于点，连接．若平分，，，则的面积为（       ） A. 30 B. 15 C.  D.  12．（25-26学年八上·四川达州通川区蒲家中学校·期中）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　） A. 12 B. 24 C. 18 D. 20 13．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（       ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 14．（25-26学年八上·四川阆中中学校·期中）如图，的外角，的平分线、交于点，于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（       ） ①平分； ②：； ③若，则； ④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年八上·四川达州高级中学·期中）如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为　　　　． 16．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点，求的度数． 17．（25-26学年八上·四川成都玉林中学·期中）如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为　　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·四川南充嘉陵第一中学·期中）如图，于于F，若，    （1）求证：平分； （2）已知，求的长． 19．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③；④平分；其中结论正确的序号是　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·四川成都七中育才学校·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则的长为　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，四边形中，，，于D． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，在中，，是的角平分线，，则的面积是　　　　　． 23．（25-26学年八上·四川南充高级中学·期中）如图，在的边上分别取点M、N，连接，平分，平分.若的长为2，的面积为2，的面积为6，则的长为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·四川南充白塔中学·期中）如图，在中，，的平分线，交于点，于点，于点．有下列结论：平分；；；．其中正确的结论有　　　　　　　　　　　　．（填序号） 25．（25-26学年八上·四川自贡荣县中学校·期中）如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 考点04 定义、命题、定理 1．（25-26学年八上·四川隆昌第一中学·期中）下列命题中，属于假命题的是（   ） A. 两点确定一条直线                                               B. 负数的偶次幂是正数 C. 锐角的补角是钝角                                               D. 若，则x的值为0 2．（25-26学年八上·四川内江威远中学校·期中）下列命题中，真命题的是（       ） A. 不是对顶角的两个角不相等 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 若，则 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 3．（25-26学年八上·四川射洪中学校·期中）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果　　　　　　　　　　　　　　　　　 ，那么　　　　　　　　　　　　　　 ． 4．（25-26学年八上·四川资阳安岳中学·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果　　　　　　，那么　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·四川宜宾第二中学校·期中）请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点04 定义、命题、定理 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．A 3．A 4．D 5．A 6．C 7．【答案】或或 【分析】 根据题意可得，然后分两种情况讨论：若，若，结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵点A坐标为，点B坐标为， ∴， 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 如图，若， ∴， ∴点C的坐标为； 故答案为：或 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 8．【答案】（1） 解：，理由如下： ， ， ；     （2）3      【分析】 本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题的关键： （1）根据全等三角形的性质，得到，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，根据线段的和差关系即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， ； ． 9．【答案】7 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由可知，，作答即可． 【详解】 解：， ． 故答案为：7． 10．【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系求得的长即可． 【详解】 解：， ． 又， ． 故答案为：． 11．【答案】或或 【分析】 本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，全等三角形的性质，分情况进行讨论是解决本题的关键． 根据题意分点在的上方、点在的下方两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案． 【详解】 解：如图所示， 与有一条公共边， 当点在的下方时，点有两种情况：①坐标是，②坐标为， 当点在的上方时，坐标为． 点的坐标是或或． 故答案为：或或． 12．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，进而可知． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．【答案】度 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．先根据全等三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．【答案】2或4 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】 解：作于E，作于F． 分以下情况：① 如图1，P在上，Q在上，     ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ② 当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，     ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 16．【答案】2或 【分析】 本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．B 10．A 11．A 12．B 13．B 14．C 15．A 16．D 17．A 18．C 19．B 20．A 21．A 22．C 23．A 24．D 25．B 26．C 27．D 28．D 29．A 30．D 31．D 32．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴． 33．【答案】证明：在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS） 【分析】 根据SAS证明△ABE≌△DCE即可． 【详解】 略 【点睛】 此题主要考查学生对全等三角形的判定(SAS)这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握． 34．【答案】证明；在和中， ， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】 略 35．【答案】（1） 证明：∵在和中， ， ∴， ∴；     （2） 证明：∵，，， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）直接证明即可； （2）求出，证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 36．【答案】证明：∵， 在和中， ∵，， ∴() ， ∴， ， 即． 【分析】 利用证明，即可得到结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 37．【答案】 【分析】 过点作轴于点T．证明，可得结论． 【详解】 解：如图中，过点作轴于点． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 38．【答案】（1） 如图，即为所求；         （2） ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴．      【分析】 本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 39．【答案】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE， ∴∠A＝∠D． 【分析】 由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质． 40．【答案】（1）教学楼的高度为     （2） ，理由如下： 由（1）得，， ∵， ∴．      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，再结合证明，即可得到结论． （2）由得出，又因为，故，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． (2) 小问详解： 略 41．【答案】2或2.5 【分析】 此题主要分两种情况① 当时，;当时，，然后分别 计算出t的值. 【详解】 设点Q的运动速度为vcm/秒， 分两种情况进行讨论： ① 当时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ② 当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2.5时与全等． 故答案为2或2.5． 42．【答案】 （答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合已知条件解答即可． 【详解】 解：添加的条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 43．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 【详解】 解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 44．【答案】（1） 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在中， ∵， ， 由（1）可知， 45．【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】 略 46．【答案】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，可得，即可利用“角角边”证明． 【详解】 略 47．【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定定理，利用证明，则可证明． 【详解】 略． 48．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，再利用证明，由全等三角形的性质求出的长，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】 解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 49．【答案】（1）；理由见解析     （2）小丽距地面的高为      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． (1) 小问详解： 解：，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2) 小问详解： ∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 50．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 51．【答案】（1）． 理由：如图1，延长到点，使，连接， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ； （2）结论仍成立，理由： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）；理由如下： 延长至点，使，连接，如图3所示， ，， ， 在△和△中， ， ， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ． 【分析】 （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）延长至点，使，连接，证出，由证明，得出，，证出，再由证明，得出，即可得出结论． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 52．【答案】（1）3     （2） ．理由如下： 在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，在上截取，连接，先证明，得到，，再证明，得到，进而得出，即可得解； （2）同（1）理，先证明，再证明，即可得到结论； (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 略 53．【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵G为的中点． ， ， ∴E为的中点． ， ；     （2） 证明：由（1）知：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 54．【答案】① ③ ④ 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理：正确掌握相关性质内容是解题的关键． ① 根据三角形内角和定理可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断；② 当是的中线时，，进而可以进行判断；③ 作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断；④ 过作，于点，，由③ 知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【详解】 解：① 在中，， ， 平分，平分， ，， ，故① 正确； ② 只有当是的中线时，，故② 错误； ③ 如图，作的平分线交于点， 由① 得， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ，故③ 正确； ④ 过作，于点，， 由③ 知，为的角平分线， ， ， ，， ，故④ 正确． 综上所述：正确的有① ③ ④ ， 故答案为：① ③ ④ ． 55．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的应用，可证明得到，据此求出的长，进而求出点D与地面的距离即可得到答案． 【详解】 解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵爸爸在距地面高的C处接住她， ∴点E到地面的距离为， ∴点D到地面的距离为， ． 56．【答案】在△ABC和△CDA中，∵AB=CD，BC=DA，CA=AC，∴△ABC≌△CDA(SSS)，∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)． 在△BCF和△DAE中，∵BC=DA，∠1=∠2，CF=AE，∴△BCF≌△DAE(SAS)，∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)． 【详解】 试题分析：先利用“SSS”证明△ABC≌△CAD，得到∠1=∠2，然后根据“SAS”可判断△BCF≌△DAE，即可得出结论． 试题解析： 略 点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，解答时要认真分析所给条件，选择合理、简单的方法进行解答． 57．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据，可得． （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． (2) 小问详解： 略 58．【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，熟练掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 根据，可得，由可得，根据即可得出结论． 【详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 59．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 60．【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等     （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 61．【答案】（1） 证明：， . 在和中， ， ；     （2）      【分析】 （）利用Z证明即可求证； （）利用全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，， ． 62．【答案】（1） 解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）13      【分析】 （1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 63．【答案】（1）20°     （2） ∵点D是中点，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，     （3） ．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， 又∵， 在和中， ∴， ∴．      【分析】 此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据和可得结论； （2）首先根据点D是中点，，可得出，判断出，即可得出； （3）根据垂直的定义得出，再根据，，得出，进而证明出． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 64．【答案】6 【分析】 如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E， PD于QE交于点D，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案. 【详解】 解：如图，先标注各顶点，作垂足分别为P，N，E， PD于QE交于点D，则 A，C的面积分别为9和4， 正方形，A，B，C， 同理可得： 故答案为：6． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键. 65．【答案】（1） 证明：三角形为等腰直角三角形， ，， ， ， ∴， ， ∴， 在和中 ， ；     （2） 证明：， ， D为的中点， ， 在和中 ， ， ∴， ∴， ， ；     （3） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∵，， 垂直平分， ∴， 为等腰三角形．      【分析】 本题考查的是等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意得出，再由全等三角形的判定得出即可； （2）根据，得出，证明，得出，根据，即可证明结论； （3）根据，得出，根据等腰三角形的性质得出， 即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 66．【答案】证明：∵DE=BF， ∴DE+EF=BF+EF； ∴DF=BE； 在Rt△ADF和Rt△BCE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴∠B=∠D， ∴． 【分析】 利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用． 67．【答案】（1）=     （2） 解：猜想．    证明如下： ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴．     （3） 解：过点作于，于，则，    ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ 又∵，， ∴平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、互为“兄弟三角形”的定义，类比推理是关键： （1）根据互为“兄弟三角形”的定义得到，结合图形计算，得到答案； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：=； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 68．【答案】（1）证明：∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴； （2）成立，证明如下： ∵， ∴，且， ∴， 在和中， ， ∴，， ∴，， ∴． （3）8 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）先证明，，然后根据即可证明； （2）先证明，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）同（2）可证，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】 解：（1）略； （2）略； （3）同（2）可证， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴与的面积之和为8． 69．【答案】[模型呈现]； [模型应用]； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，   由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K字”模型全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】 [模型呈现]解：， ． 故答案为：． [模型应用]解：如图2中，    由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：50． [深入探究]略 70．【答案】 【分析】 本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；关键是作垂线构造全等三角形．过C作于点F；由勾股定理建立方程求得的长，从而求得；再证明，则得，证明，得出，设，在中，，建立方程得出，进而勾股定理求得结果． 【详解】 解：如图，过C作于点F； 则， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 由折叠性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 71．【答案】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，． （2） （3），证明 延长交于点， 同（1）法可得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握利用角平分线构造全等三角形是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可； （3）延长交于点，证明，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】 解：（1）略； （2）延长交于点， 同（1）法可得：， ∴， ∵， ∴； （3）略． 72．【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】 （1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】 （1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 73．【答案】（1）C点的坐标为；     （2）点P的坐标为；     （3） 证明：过点C作交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵D恰好为中点， ∴， ∵等腰，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）作轴于点，证明，利用全等三角形的性质即可求解； （2）作轴于点，由（1）知，，再证明，利用全等三角形的性质即可求解； （3）过点C作交y轴于点，证明，求得，推出，再证明，据此即可证明． (1) 小问详解： 解：作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴C点的坐标为； (2) 小问详解： 解：作轴于点， 由（1）知，， ∵轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了坐标与图，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解答时证明三角形的全等是关键． 74．【答案】（1）     （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G，    ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；     （3）的长度不变，      【分析】 （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． (1) 小问详解： 解：如图1，过点C作轴于点F，    ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． 75．【答案】（1）     （2） 解：线段、、之间的数量关系为； 证明：， ， 将绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ， ，即、、三点共线， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 即；         （3）是定值，且      【分析】 （1）根据非负数的性质得到，，进而可得与的长，进一步可求出结果； （2）是等腰直角三角形，将绕点逆时针旋转得到，如图，根据旋转的性质、已知条件和等腰三角形的性质可利用证明，再根据全等三角形的性质和线段的和差关系即可推出结论； （3）是定值，作于，在上截取，连接，如图，证，根据余角的性质可得，进而可根据推出，可得，从而可得，然后根据等腰直角三角形的性质和判定即可得到结论． (1) 小问详解： 解：， ，， ，， 、， ，， 的面积； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 是定值，且； 作于，在上截取，连接，如图，则， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即是定值． 【点睛】 本题考查了图形与坐标、旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．C 2．B 3．D 4．D 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 13．C 14．D 15．【答案】3 【分析】 本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】 解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 16．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质可得，根据、得到，利用三角形内角和定理得到的度数即可． 【详解】 解：， 平分 ． 答：的度数为． 17．【答案】 【分析】 本题考查作图基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图方法及性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答本题的关键．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，，则，，，设，则，由勾股定理得，，求出的值，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ，， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 设，则， 由勾股定理得，， 解得， 的面积为． 故答案为：． 18．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴平分；     （2）12      【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．【答案】① ② ③ 【分析】 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断① ② ；由可得，再由，证得即可判断③ ；分别过A作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④ ． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故① ② 符合题意； 设与交于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，故③ 符合题意； 分别过A作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴平分， ∴， 若平分， ∴， ∴，而， ∴， ∴， 但未必相等， 故④ 不符合题意； 综上，正确的是① ② ③ ， 故答案为：① ② ③ ． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 20．【答案】2 【分析】 本题考查了作角平分线、角平分的性质和等腰直角三角形的性质，过D点作于E点，则为等腰直角三角形，求得DE，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到即可． 【详解】 解：过D点作于E点，如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， 由作法得平分， 而，， ∴， 故答案为：2． 21．【答案】（1） 证明：作于E， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．     （2）4      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的判定即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积． 作于，利用角平分线的性质定理证明，代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】 解：如图，作于H， 平分，，， ， ， 故答案为：． 23．【答案】8 【分析】 本题考查了三角形角平分线的性质定理，面积关系的运用，掌握定理内容是关键；过点P分别作的垂线，垂足分别，连接；由角平分线的性质定理易得，再由的面积为2可求得，根据的面积为6可得四边形的面积，再由面积关系即可求解． 【详解】 解：如图，过点P分别作的垂线，垂足分别为，连接； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵的面积为2，， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：8． 24．【答案】 【分析】 过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分；根据三角形内角和定理可得：，根据角平分线的性质可得：，整理可得：；利用可证，根据全等三角形的性质可得：，同理可证，可证；根据三角形外角的性质可证． 【详解】 解：如下图所示，过点作， 平分， ， 平分， ， ， 平分， 故正确； 在中，， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， 在中，， ， ， 整理可得：， 故正确； 如下图所示，，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， 故正确； 是的外角， ， 平分， ， ， ， 故错误． 综上所述，正确的结论有． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了角平分线的定义及性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质．解决本题的关键是根据角平分线的性质、全等三角形的性质找角与边之间的关系． 25．【答案】（1）见解析     （2）见解析      【分析】 本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． (1) 小问详解： 证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 考点04 定义、命题、定理 1．D 2．D 3．【答案】① 两条直线都垂直于同一条直线    ② 这两条直线平行 【分析】 本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 【详解】 解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 4．【答案】① 两个角是对顶角    ② 这两个角相等 【分析】 把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】 解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 5．【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等 【分析】 命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面． 【详解】 题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等． 【点睛】 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $