精品解析：四川省南充市高坪中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025年秋季初2024级（初二）第二次素质测评 数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ） A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01 【答案】C 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 2. 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 四边形更稳定 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方即可判断选项A、选项D，根据合并同类项即可判断选项B，根据同底数幂的乘法即可判断选项C，即可得． 【详解】解：A、，选项说法错误，不符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方． 4. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的三组对应边相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 若，则a与b互为相反数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题、平行线的判定、全等三角形的判定、等边三角形等知识，正确写出逆命题是解题关键．先写出每个命题的逆命题，再根据平行线的判定、全等三角形的判定、等边三角形、相反数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、逆命题：同位角相等，两直线平行；成立，则此项不符合题意； B、逆命题：三组对应边相等的两个三角形是全等三角形；成立，则此项不符合题意； C、逆命题：锐角三角形是等边三角形；不成立，反例：三个内角分别为的三角形，是锐角三角形，但不是等边三角形，则此项符合题意； D、若与互为相反数，则；成立，则此项不符合题意； 故选：C． 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 6. 如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，由于，即可求出周长的最小值． 【详解】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故周长的最小值是， 故选：C． 9. 如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，故①正确；由得，加之，，得到，所以；故③正确；根据，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；④由，得到，然后结合，即可判断④错误；⑤利用等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，于是，可知⑤正确． 【详解】解：①∵等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴；故①正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴；故③正确； ②∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴．故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识点的运用．正确寻找三角形全等是解答本题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，两个直角三角形，如果斜边和其中一条直角边对应相等，则可以判断这两个三角形全等． 【详解】解：， 在和中，， ， 判断的依据是． 故答案为：． 12. 若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点B的坐标，再结合第二象限点的坐标特征列不等式组，求出整数的值，代入计算得到点的坐标． 【详解】解：∵点关于轴对称的点B坐标为，且点B在第二象限，第二象限点横坐标小于，纵坐标大于， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴， ∵为整数， ∴， 将代入点的坐标，得横坐标，纵坐标， 因此点的坐标为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交、两点，点在的延长线上，平分，平分，则的度数是___________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】利用角平分线的意义和三角形的外角性质，列式计算即可得到答案． 【详解】解：由平面直角坐标系可知：， 平分，平分， ， ， ， 即， 又， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质、角平分线的意义和平面直角坐标系的概念，熟练掌握三角形外角性质的应用是解答此题的关键． 14. 已知，，则 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算规则进行计算． 【详解】解：， ， ． 【点睛】此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算；幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：底数不变，指数相加． 15. 如图，点是平分线上的一点，，则的长取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】在取，然后证明，根据全等三角形对应边相等得到，再根据三角形的任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边即可求解． 【详解】解：在取，连接， ， ， 点P是平分线上的一点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键﹒ 16. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 【答案】2个 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和及角平分线性质计算的度数判断①；其次通过证明得出判断②；再次通过延长构造全等三角形，结合三角形边角关系判断③；最后利用全等三角形面积相等及中线性质进行面积转化判断④． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故①错误；  ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，  ，  ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中，  ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中，  ， ∴， ∴， ∴ ， ∵，平分， ∴是的中线， ∴， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的结论有②④，一共2个． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，，，求证：． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，从而证明，可得，再利用等量代换即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出是解题的关键． 19. 如图，在和中，，，与交于点． （1）证明：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）由得，然后通过等角对等边即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】连接、，过点作，垂足为，由垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，再分别证明，，得到，，从而推出，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点作，垂足为， 为边的中点，， 垂直平分， ， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ． 21. 如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质证明，可得，再证明，然后根据三角形外角的性质求出； （2）先根据直角三角形的性质求出，进而得出，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 22. 如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 证明：延长到点，使得，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，根据等量代换，得；根据，，得，得，根据三角形的外角，得，即证明； （2）延长到点，使得，连接；根据，，，得，得，则，得，；等量代换，根据，，等量代换，根据全等三角形的判定和性质，等量代换，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查三角形，平行线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，三角形的外角． 23. 画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 【答案】 （1）根据两点之间线段最短，连接与直线相交点， 此时最小； （2）作点关于直线的对称点，则 ， 连接与直线相交点即是点，此时最小，即最小； （3）如图3，分别作出点关于，的对称点，， 连接分别交、于点、，此时周长最小； ∵，， ∴，∴， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接，与直线相交点即是点； （2）作点关于直线的对称点，则，连接与直线相交点即是点； （3）分别作出点关于，的对称点，，连接分别交、于点、，根据垂直平分线的定义即可求解． 【详解】解：略． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，轴对称的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 如图，是边长为8的等边三角形，是边上一点（与、不重合），是延长线上一点（与不重合），且，过作于，连接交于． （1）当时，求的长； （2）求证：点到的距离等于； （3）求的值． 【答案】（1）的长为； （2） 证明：如图，延长，过点Q作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点Q到的距离为， ∴点到的距离等于； （3）4 【解析】 【分析】（1）设，则，，再利用直角三角形的性质列式计算即可求解； （2）延长，过点Q作于点证明，得出，即可证明结论； （3）延长，过点Q作于点，根据直角三角形的性质得出，从而得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，过点Q作于点， 根据解析（2）可知：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 25. 在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． （1）如图1，求证： （2）如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：由（1）可知：， ∴，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理以及垂直的判定，角平分线的性质、三角形外角性质以及直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过角度之间的等量代换证明角度关系． （1）根据角度相等，求解由此可证明垂直； （2）由垂直可得，再由角平分线可得，根据角度的等量代换证明即可； （3）根据与，可得，由此可得，由（2）中结论可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季初2024级（初二）第二次素质测评 数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（ ） A. 21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01 2. 如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 四边形更稳定 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 全等三角形的三组对应边相等 C. 等边三角形是锐角三角形 D. 若，则a与b互为相反数 5. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 6. 如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，垂直平分，交于点D，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 9. 如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 12. 若点关于x轴对称的点B在第二象限，且a为整数，则点A的坐标为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交、两点，点在的延长线上，平分，平分，则的度数是___________． 14. 已知，，则 ______ ． 15. 如图，点是平分线上的一点，，则的长取值范围为______． 16. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．有下列结论：①；②是等腰三角形；③；④．其中，正确结论的个数有________． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧，，，，求证：． 19. 如图，在和中，，，与交于点． （1）证明：； （2）求证：． 20. 如图，在中，为边的中点，过点作，交的平分线于点，过点作于点．若，，求的长． 21. 如图，在等边中，，与交于点P，，垂足为Q． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 22. 如图，等腰直角中，，，．点在的延长线上，连接；过点作，使，连接， （1）求证：． （2）如图，若点为的中点，连接、；求证：． 23. 画图探究： （1）如图1，点和点位于直线两侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图1中找出点； （2）如图2，点和点位于直线同侧，是直线上一点，点使的值最小．请你通过画图，在图2中找出点； 实践应用： （3）如图3，在四边形中，，，点在边上，点在边上，点、点使的周长的值最小．请你通过画图，在图3中找出点和点并求的度数． 24. 如图，是边长为8的等边三角形，是边上一点（与、不重合），是延长线上一点（与不重合），且，过作于，连接交于． （1）当时，求的长； （2）求证：点到的距离等于； （3）求的值． 25. 在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． （1）如图1，求证： （2）如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $