第5章 再练一课(范围：§5.1～§5.2)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 聚焦导数概念与运算，以题载知，覆盖定义、几何意义、求导法则及简单应用，逻辑递进培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|单选3/多选9|结合定义判断、新定义应用|从导数定义（极限形式）到“巧值点”等概念辨析，构建概念体系| |几何意义|单选2/4/填空11|切线斜率、倾斜角、切线方程|由导数几何意义（切线斜率）到切线方程求解，体现数形结合| |求导运算|单选5/多选7/解答13|基本公式、复合函数、四则运算|从基本函数求导到复合函数、四则运算求导，形成运算链条| |实际应用|单选1/解答14|瞬时速度、体积变化率|用导数解决物理与实际问题，落实应用意识|

再练一课(范围：§5.1~§5.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.如果一个物体的运动方程为S＝t3，其中S的单位是千米，t的单位是小时，那么物体在第4小时末的瞬时速度是(　　) A.12千米/小时 B.24千米/小时 C.48千米/小时 D.64千米/小时 答案　C 解析　由题意可得v＝S'＝3t2，则当t＝4时，v＝48. 2.曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　) A.2e B.e C.2 D.1 答案　C 解析　y'＝ex－1＋xex－1，故曲线在点(1，1)处切线的斜率为k＝e1－1＋e1－1＝2. 3.设＝－2，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为 ＝2f'＝－2， 所以f'＝－1，则曲线y＝f(x)在点处的切线斜率为－1， 故所求切线的倾斜角为. 4.如图，点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))在函数f(x)的图象上，且x2<x1，f'(x)为f(x)的导函数，则f'(x1)与f'(x2)的大小关系是(　　) A.f'(x1)>f'(x2) B.f'(x1)<f'(x2) C.f'(x1)＝f'(x2) D.不能确定 答案　A 解析　根据题意，得点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，f'(x)为f(x)的导函数， 则f'(x1)为f(x)在点A处切线的斜率，设其斜率为k1，f'(x2)为f(x)在点B处切线的斜率，设其斜率为k2， 由函数的图象可得k1>k2，即有f'(x1)>f'(x2). 5.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(x)＝2exf'(1)＋3ln x，则f'(1)等于(　　) A.－3 B.2e C. D. 答案　D 解析　因为f'(1)为常数，所以f'(x)＝2exf'(1)＋，所以f'(1)＝2ef'(1)＋3，所以f'(1)＝. 6.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是(　　) 答案　D 解析　不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很短，这时给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢； 当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量Δx，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快； 从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快逐渐减慢. 由上可知函数y＝f(x)的图象应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列结论中正确的有(　　) A.若y＝sin 1，则y'＝cos 1 B.若f(x)＝3x2－f'(1)x，则f'(1)＝3 C.若y＝－＋x，则y'＝－＋1 D.若y＝sin x＋cos x，则y'＝cos x＋sin x 答案　BC 解析　选项A中，若y＝sin 1，则y'＝0，故A错误； 选项B中，若f(x)＝3x2－f'(1)x， 则f'(x)＝6x－f'(1)， 令x＝1，则f'(1)＝6－f'(1)，解得f'(1)＝3，故B正确； 选项C中，若y＝－＋x，则y'＝－＋1，故C正确； 选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y'＝cos x－sin x，故D错误. 8.设n∈N*，曲线y＝xn＋1在点(1，1)处切线的斜率为kn，与x轴的交点为(xn，0)，与y轴的交点为(0，yn)，则(　　) A.kn＋yn＝－1 B.yn＝－knxn C.x1x2…xn＝ D.当n≥2时，k1k2…kn－1＝(－1)n－1y1y2…yn 答案　BC 解析　由于y'＝(n＋1)xn，所以kn＝n＋1，切线方程为y＝(n＋1)x－n，从而xn＝，yn＝－n. kn＋yn＝1，A错误； yn＝－knxn，B正确； x1x2…xn＝××…×，C正确； 当n≥2时，k1k2…kn－1＝2×3×…×n，y1y2…yn＝(－1)n×1×2×…×n，D错误. 9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)，若存在x0使得f＝f'，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中存在“巧值点”的函数有(　　) A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－x C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x 答案　AC 解析　A中，f(x)＝x2，f'(x)＝2x，x2＝2x，解得x＝0，x＝2，有“巧值点”； B中，f(x)＝e－x，f'(x)＝－e－x，－e－x＝e－x无解，无“巧值点”； C中，f(x)＝ln x，f'(x)＝，ln x＝，令g(x)＝ln x－，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，由零点存在定理知，在区间(1，e)上必有零点，所以f(x)有“巧值点”； D中，f(x)＝tan x，f'(x)＝，＝tan x，sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，无解，所以f(x)无“巧值点”. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知函数f(x)，g(x)满足f＝5，f'＝3，g＝4，g'＝1，若h(x)＝，则h'＝　　　　.  答案　 解析　∵h(x)＝， ∴h'(x)＝， 由f＝5，f'＝3，g＝4，g'＝1， 得h' ＝. 11.曲线f(x)＝xnex在x＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为，则n＝　　　　.  答案　2或－ 解析　由已知得f'(x)＝(xn＋n)ex， 所以f(1)＝e，f'＝(n＋1)e， 所以切线方程为y－e＝(n＋1)e(x－1). 令x＝0，得y＝－ne；令y＝0，得x＝， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为S＝×e＝，解得n＝2或－. 12.若函数y＝f(x)和y＝g(x)的切线中存在两条切线平行，则称这两个函数具有“局部平行性”.已知函数f(x)＝ax＋sin x与g(x)＝cos x存在“局部平行性”，则a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　由题意得f'(x)＝a＋cos x，g'(x)＝－sin x，设y＝f(x)的切点为(x1，y1)，y＝g(x)的切点为(x2，y2)，则a＋cos x1＝－sin x2有解， x2∈R，－sin x2∈[－1，1]；x1∈R，a＋cos x1∈[a－1，a＋1]，因此[－1，1]∩[a－1，a＋1]≠∅， 所以解得－2≤a≤2. 四、解答题(共37分) 13.(12分)求下列函数的导数： (1)y＝ ；(3分) (2)y＝；(3分) (3)y＝(2x＋1)5；(3分) (4)y＝loga(3x＋2).(3分) 解　(1)令t＝1－2x， 则y＝， 所以y'＝()'＝·t'＝··(－2)＝. (2)y'＝ ＝. (3)y'＝5(2x＋1)4×2＝10(2x＋1)4. (4)y'＝×3＝. 14.(12分)有一个长方体的容器(如图)，它的宽为10 cm，高为100 cm.右侧面为一活塞，容器中装有1 000 mL的水.活塞的初始位置(距左侧面)为x0＝1 cm，水面高度为100 cm.当活塞位于距左侧面x cm的位置时，水面高度为y cm. (1)写出y关于x的函数解析式y＝f(x)，x≤200 cm；(3分) (2)活塞的位置x从1 cm变为2 cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8 cm变为10 cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？(4分) (3)试估计当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率.(5分) 解　(1)水的体积恒定不变， 则10xy＝1 000， ∴y＝(1≤x≤200). (2)活塞位置为1 cm时，y1＝＝100(cm)； 活塞位置为2 cm时，y2＝＝50(cm)， 水面高度改变为Δy＝y2－y1＝50－100＝－50(cm)； 活塞位置为8 cm时，y3＝＝12.5(cm)； 活塞位置为10 cm时，y4＝＝10(cm)； ∴水面高度改变为Δy＝y4－y3＝10－12.5＝－2.5(cm)， 可见，前一个过程水面高度的变化较快. (3)∵ ＝ ＝－， 当Δx趋于0时，趋于－1， ∴当x＝10 cm时，水面高度y的瞬时变化率为－1. 15.(13分)(1)①已知f(x)＝e－x，求f'.(3分) ②已知f(x)＝，求f'；(3分) (2)求过点Q的曲线y＝x3－2x的切线方程.(7分) 解　(1)①f'(x)＝e－x，f'＝5e－2. ②f'(x)＝，f'＝0. (2)设P为切点， 则切线的斜率为f'＝3－2， 故切线方程为y－y0＝(3－2)(x－x0)， 即y－(－2x0)＝(3－2)(x－x0)， 又知切线过点，代入上式得－1－(－2x0)＝(3－2)(1－x0)， 即2－3＋1＝0， 解得x0＝1或x0＝－， 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y－＝－， 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $