周周测15 5.3.1导数的应用-单调性（数学苏教版选择性必修第一册）

2026-2027学年高二上学期数学周周测15 5.3.1导数的应用-单调性 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知定义域为的函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 8．已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．函数的单调递减区间为 ． 10．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是 ． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 5.3.1导数的应用-单调性 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 2．下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】需对每个选项中的函数求导，根据导函数在上的正负来判断函数的单调性，或者直接根据已知函数的单调区间来判断即可. 【解答过程】对于A选项，对于二次函数，对称轴为. 二次函数开口向上时，对称轴右侧为增区间，所以的增区间为. 因为不完全等同于其增区间，所以在上不是单调递增的，故A不满足题意. 对于B选项，对于函数，求导可得. 当时，，所以，即. 根据函数单调性和导数的关系，所以在上单调递减，故B不满足题意.   对于C选项，对于函数，这是对勾函数的形式，其增区间为和. 因为并不完全包含在其增区间内，所以在上不是单调递增的，故C不满足题意.   对于D选项，对于函数，对其求导可得. 当时，，所以，进而，即. 根据函数单调性和导数的关系，当导函数大于时，函数单调递增.所以在上单调递增，故D满足题意.   故选：D. 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 4．已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【解答过程】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B. 5．已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 6．已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【解答过程】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．已知定义域为的函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】由定义判断AB；由导数得出单调性判断C；由特殊值判断D. 【详解】，则为奇函数；，，则为偶函数；当时，，即在上单调递增；，，，即在上不是单调递增，故只有AB正确； 故选：AB 8．已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，则， 因为对任意的都有； 则，则在上单调递增； 因为，所以，，所以A正确； 因为，所以，，所以B错误； 因为，所以，，所以C正确； 因为，所以，，所以D正确； 故选：ACD． 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【详解】函数的定义域为，∵， 令得， ∴函数的单调递减区间是． 故答案为： 10．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是 ． 【答案】 【详解】由题意， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，又， 所以，即实数a的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11. 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 5.3.1导数在研究函数中的应用-单调性 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【解答过程】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 2．下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】需对每个选项中的函数求导，根据导函数在上的正负来判断函数的单调性，或者直接根据已知函数的单调区间来判断即可. 【解答过程】对于A选项，对于二次函数，对称轴为. 二次函数开口向上时，对称轴右侧为增区间，所以的增区间为. 因为不完全等同于其增区间，所以在上不是单调递增的，故A不满足题意. 对于B选项，对于函数，求导可得. 当时，，所以，即. 根据函数单调性和导数的关系，所以在上单调递减，故B不满足题意.   对于C选项，对于函数，这是对勾函数的形式，其增区间为和. 因为并不完全包含在其增区间内，所以在上不是单调递增的，故C不满足题意.   对于D选项，对于函数，对其求导可得. 当时，，所以，进而，即. 根据函数单调性和导数的关系，当导函数大于时，函数单调递增.所以在上单调递增，故D满足题意.   故选：D. 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 4．定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，再求解不等式即得. 【解答过程】令函数，求导得，而， 则，函数在上单调递增，又，则， 不等式，解得， 所以所求解集为. 故选：D. 5．已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得在上恒成立，据此可得答案. 【解答过程】，由题，恒成立， 即在上恒成立， 则. 对于函数， 其在上单调递减，在上单调递增，所以， 则. 故选：B. 6．已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 8．已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【解答过程】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知定义域为的函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】由定义判断AB；由导数得出单调性判断C；由特殊值判断D. 【详解】，则为奇函数；，，则为偶函数；当时，，即在上单调递增；，，，即在上不是单调递增，故只有AB正确； 故选：AB 10．已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，则， 因为对任意的都有； 则，则在上单调递增； 因为，所以，，所以A正确； 因为，所以，，所以B错误； 因为，所以，，所以C正确； 因为，所以，，所以D正确； 故选：ACD． 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为减函数 B．当时， C．若方程有2个不相等的解，则的取值范围为 D．， 【答案】ABD 【分析】用导数求出的单调区间可判断A；构造函数，由的单调性可判断B； 转化为“方程在上有1个解”，求出的范围可判断C；构造不等式可证明D. 【详解】因为，定义域为， 所以， 令， 所以当时，， 当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 则， 所以在单调递减，故A正确； 令对恒成立， 所以在单调递增， 所以当时，，即， 所以成立，故B正确； 因为为偶函数，所以原问题等价于在有1个解， 即，即只用考虑在有1个解， 令， （i）若，在恒成立， 则，则方程无解； （ii）若，令 ，解得， 令 ，解得， 所以在单调递增，单调递减， 则，时，， 即时，，所以在有1个解， （iii）若，在恒成立， 则，则方程无解； 综上，，故C错误； 由C知，若，在恒成立， 所以, 所以 ，故D正确. 故选:ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递减区间为 ． 【答案】/ 【详解】函数的定义域为，∵， 令得， ∴函数的单调递减区间是． 故答案为： 13．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是 ． 【答案】 【详解】由题意， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即，又， 所以，即实数a的最大值是. 故答案为： 14．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】原不等式转化为存在，成立，令，由导数可知函数为增函数，据此可得，转化为成立，分离参数求的最小值即可. 【详解】由题意：存在，使得不等式成立， 即成立，即成立， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以只需时，有成立，即成立， 令，则， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为e．所以a的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在和上单调递增. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【解答过程】（1）易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. （2）令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 16．（15分） 已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【解答过程】（1）， 在处的切线与直线平行， ， （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得 又 所以在上单调递减                又  所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 17.（15分） 已知函数. (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)若在的单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）先根据切线斜率求出切点坐标，再由点斜式写出直线方程即可. （2）由在的单调递增，得在上恒成立，分离参数后得在上恒成立，求出在的最小值，即可求实数a的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，， ，令解得， 又∵，所以切线方程为：即. （2）∵在单调递增，∴时，恒成立， 又，∴在上恒成立， ∴恒成立，即在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， ∴，∴a取值范围是. 18.（17分） 已知函数. (1)判断的单调性； (2)若，恒成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)函数在单调递减，在单调递增 (2) 【解题思路】（1）直接求导判断即可； （2）利用（1）的条件可得，然后两边取对数并作出转化得到，最后构建函数求出最大值判断即可. 【解答过程】（1）由题可知：函数的定义域为 ，令，令， 所以函数在单调递减，在单调递增. （2）因为，所以，由（1）可知函数在单调递增， 所以在恒成立，因为，所以， 令， 若；若， 所以函数在单调递增，在单调递减， 所以有的最大值为，所以. 19.（17分） 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测15 5.3.1导数在研究函数中的应用-单调性 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．定义在上的函数的导函数为，若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知定义域为的函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，下列结论正确的是（    ） A．函数在上为减函数 B．当时， C．若方程有2个不相等的解，则的取值范围为 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的单调递减区间为 ． 13．已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是 ． 14．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 16．（15分） 已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 17.（15分） 已知函数. (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)若在的单调递增，求实数a的取值范围. 18.（17分） 已知函数. (1)判断的单调性； (2)若，恒成立，求正数的取值范围. 19.（17分） 已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $