第02讲 利用导数研究函数的单调性（8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 利用导数研究函数的单调性 目录 题型一：重点考查利用导数判断或证明函数的单调性 1 题型二：重点考查利用导数求函数的单调区间（不含参） 3 题型三：重点考查已知函数在上单调求参数 3 题型四：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数 4 题型五：重点考查已知函数在上不单调求参数 5 题型六：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系 6 题型七：重点考查讨论函数的单调性 7 题型八：重点考查构造函数解不等式 9 题型一：重点考查利用导数判断或证明函数的单调性 典型例题 例题1．（24-25高三·上海·随堂练习）证明：函数在区间上是严格增函数． 例题2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 例题3．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 精练核心考点 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数且.当时，判断的单调性； 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，证明：函数在上单调递减. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)． 题型二：重点考查利用导数求函数的单调区间（不含参） 典型例题 例题1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 精练核心考点 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 题型三：重点考查已知函数在上单调求参数 典型例题 例题1．（2024·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）若函数在上严格减，则a的取值范围是 ． 题型四：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·陕西榆林·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西·期中）已知函数，若函数在存在单调增区间，则实数的范围为 . 题型五：重点考查已知函数在上不单调求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型六：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 2．（24-25高三·上海·随堂练习）题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 题型七：重点考查讨论函数的单调性 典型例题 例题1．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 例题2．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 例题3．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 精练核心考点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 3．（23-24高二下·山东聊城·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点； (2)讨论的单调区间. 题型八：重点考查构造函数解不等式 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为 . 例题3．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 精练核心考点 1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数及其导函数的定义域为，，且，则不等式的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 利用导数研究函数的单调性 目录 题型一：重点考查利用导数判断或证明函数的单调性 1 题型二：重点考查利用导数求函数的单调区间（不含参） 4 题型三：重点考查已知函数在上单调求参数 7 题型四：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数 8 题型五：重点考查已知函数在上不单调求参数 10 题型六：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系 13 题型七：重点考查讨论函数的单调性 15 题型八：重点考查构造函数解不等式 22 题型一：重点考查利用导数判断或证明函数的单调性 典型例题 例题1．（24-25高三·上海·随堂练习）证明：函数在区间上是严格增函数． 【答案】证明见解析 【分析】对函数求导后，通过判断导数大于零证明即可. 【详解】证明：， 由，得， 所以，所以， 所以函数在上是严格增函数． 例题2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用进行放缩，从而证明导数大于0即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）由（1）知，， 因为，， 所以， 所以 设，则导函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增 例题3．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可； （2）令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，即当时，即可得证. 【详解】（1）因为， 所以， 依题意可得，即，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得，则， 令，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，即当时， 所以在上单调递增. 精练核心考点 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数且.当时，判断的单调性； 【答案】在区间上单调递增，在区间上单调递减 【分析】求导，根据导函数的正负，即可求解函数的单调性. 【详解】当时，，则. 令，得. 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，证明：函数在上单调递减. 【答案】证明见解析 【分析】求出函数的导数，判断导数的正负，即可证明结论. 【详解】证明：因为，， 所以， 因为，所以， 所以在上单调递减. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)． 【答案】(1)在上单调递增 (2)在上单调递减 【分析】求导后，根据导函数的正负即可确定的单调性. 【详解】（1）的定义域为，， 令，则当时，， 则，即恒成立， 在上单调递增. （2），当时，，则， 在上单调递减. 题型二：重点考查利用导数求函数的单调区间（不含参） 典型例题 例题1．（24-25高三·上海·随堂练习）函数，其中，则的单调增区间为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，然后对函数求导，由导数大于零可求得函数的递增区间 【详解】定义域为， 由，得， 由，得或， 又函数的定义域是， 所以，即的单调增区间为. 故选：B． 例题2．（23-24高二下·广东广州·期末）已知函数，则单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为且， 令，解得，所以单调递增区间是. 故选：B 例题3．（23-24高二下·上海·期末）已知函数，，则该函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】求导，利用导数求原函数的单调区间. 【详解】因为，，则对恒成立， 所以该函数的严格增区间是. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）若，则的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，令，求解再结合定义域即可． 【详解】由题可知，定义域为， ， 令得，所以的增区间为， 故选：B． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）函数的单调递增区间是（    ） A．和 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，令求解即可． 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得， 所以的单调递增区间是． 故选：D． 3．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】求导，令，求解可得单减区间. 【详解】由的定义域为，， 令，解得， 当，则，所以的单调递减区间为． 故答案为： 题型三：重点考查已知函数在上单调求参数 典型例题 例题1．（2024·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 例题2．（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，再结合给定的单调区间及单调性，列出不等式求解作答. 【详解】函数，求导得， 依题意，，，即恒成立， 显然函数是开口向上的二次函数，因此， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】求导，转化为，参变分离即可得解. 【详解】，求导得， 由在上单调递增，得， 又当，，则， 又时，在上单调递增， 所以实数的最大值为2. 故选：D． 2．（23-24高二下·上海浦东新·阶段练习）若函数在上严格减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导得到，则在恒成立，得到答案. 【详解】由题意知，则在恒成立，即，故. 故答案为： 题型四：重点考查已知函数在上存在单调区间求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 例题2．（23-24高二下·陕西榆林·期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 故选：D 精练核心考点 1．（23-24高三上·河南·阶段练习）若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，由题意知存在使，结合二次函数的性质有，即可求的取值范围. 【详解】由题设，，由存在递减区间，即存在使， ∴，可得或. 故选：B 2．（23-24高二下·山西·期中）已知函数，若函数在存在单调增区间，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】利用导数的性质，结合存在的性质进行求解即可. 【详解】由题可知，则在上有解， 即有解，所以在内有解， ，则. 故答案为： 题型五：重点考查已知函数在上不单调求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·北京海淀·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导数判断的单调性，结合题意可知，即可得结果. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 例题2．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数不是单调函数，则a的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】求出函数的导数，分类讨论解或即可. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得，由，得， 函数在上递减，在上递增，即不是单调函数，因此； 当时，由，得，由，得或， 在上递减，在上递增，不是单调函数，因此； 当时，恒成立，在上递增，不符合题意； 当时，由，得，由，得或， 在上递减，在上递增，不是单调函数，因此， 所以a的取值范围为或. 故答案为：或 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）函数在上不单调则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在上不单调，可得在上 必有零点，利用,构造函数,再求出的取值范围. 【详解】依题意, 因为函数在上不单调， 所以在上有零点， 令，令，得 , 令，则 , 当时，单调递增，又， 所以，故, 所以的取值范围是 故选：D 2．（多选）（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项. 【详解】， 若在上不单调，令， 对称轴方程为，则函数与轴在上有交点． 当时，显然不成立； 当时，有，即，解得或． 四个选项中的范围，为的真子集， ∴在上不单调的一个充分不必要条件是和. 故选：BC． 题型六：重点考查导数图象与原函数图象之间的关系 典型例题 例题1．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·广西玉林·期末）已知上的可导函数的函数图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的单调性，得到导函数的正负，再解不等式即可求解. 【详解】由函数的图象可得，当，时，， 当时，. 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为， 故选：A. 精练核心考点 1．（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解. 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 故选：B. 2．（24-25高三·上海·随堂练习）题图为的图像，下列判断中正确的是（    ）． A．函数在区间上是严格减函数 B．函数在区间上是严格减函数 C．函数在区间上是严格增函数 D．函数在区间上是严格增函数 【答案】AC 【分析】借助导函数的正负即可得原函数的单调性. 【详解】对A：在区间上，则函数在区间是严格减函数，故A正确； 对B：在区间上有正有负，故B错误； 对C：在区间上，则函数在区间是严格增函数，故C正确； 对D：在区间上有正有负，故D错误； 故选：AC. 题型七：重点考查讨论函数的单调性 典型例题 例题1．（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可； （2）对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间. 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 令，得，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2），定义域为， ，令，得或. ①当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ②当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减； ③当时，对恒成立，所以在单调递增； ④当时，当和时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述：当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增； 当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在和单调递增. 例题2．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，可得结果； （2），讨论，，，根据导数正负判断单调性． 【详解】（1） ． （2）由题， 由于，的解为． ①当，即时，，则在上单调递增； ②当，即时， 在区间，上，，在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减； ③当，即时，在区间，上，， 在区间上，， 所以在，上单调递增；在上单调递减． 故当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在，上单调递增；在上单调递减． 例题3．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知函数，，， (1)设曲线在处的切线为，若与曲线相切，求； (2)设函数，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出曲线在处的切线方程，与联立，由解得； （2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可. 【详解】（1），，且， 所以曲线在处的切线为， 则，得， 因为直线与曲线相切， 所以，得（舍），或； （2）的定义域为， ， 因为，令，得或， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，， 所以当和时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减增， 当时，，当时取等号，函数在上单调递增， 综上所述，时，的单调增区间为，， 单调减区间为， 时，的单调增区间为，没有减区间， 时，的单调增区间为，，单调减区间为. 精练核心考点 1．（24-25高二下·全国·课后作业）设函数，其中．讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求导得导数的两个零点为或，对分类讨论即可求解. 【详解】的定义域是， 若，，函数在上单调递增， 当时，， 令，解得或， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分，，，和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 则且， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 3．（23-24高二下·山东聊城·期中）已知函数，. (1)当时，求函数的零点； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1)2和； (2)答案见解析 【分析】（1）令，即，通过解方程，得函数的零点； （2）令，得或，分类讨论的范围，由的正负得的单调区间. 【详解】（1）令，即. 因为，所以. 又，所以，解得，. 所以函数有且只有两个零点2和. （2），令，即， 解得或. 若，则，恒成立，单调递减区间为，无增区间. 当，列表得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，①若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ②若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 综上，当，单调递减区间为，无增区间， 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，. 题型八：重点考查构造函数解不等式 典型例题 例题1．（24-25高二下·全国·课后作业）已知的定义域为R，，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数，再求导函数判断函数的单调性，最后应用单调性解不等式即可. 【详解】令函数，因为，所以在R上单调递增． 因为，所以不等式等价于， 所以． 故选：B. 例题2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. 显然当时，不等式不成立， 故我们只需讨论时，不等式的解集即可； ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时不存在； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 例题3．（23-24高二下·河北·期末）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，以及函数的单调性转化不等式为，即可求解. 【详解】由题可知的定义域为， 因为，所以是偶函数， 当时，， 所以， 所以在上单调递增. 由不等式， 可得，， 所以， 解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，得，再根据不等式恒成立问题转化为，分类讨论，即可求解. 【详解】函数，，所以，所以为偶函数， ，令， 当时，单调递增，则当时，单调递减， 所以不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立， 所以对任意恒成立，等价于，对任意恒成立， 当时，，符合题意，； 当时，等价于， 等价于，即； 当时，等价于， 等价于，即； 综上，对任意恒成立时，实数的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先构造函数，再根据导函数得出函数的单调性，最后应用单调性解不等式. 【详解】设，则， ，，，在R上单调递减， ，， 又，，， 的解集为． 故答案为：. 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数及其导函数的定义域为，，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，根据得到，即可得到的单调性，然后根据的单调性解不等式即可. 【详解】构造函数，则 所以函数在上单调递减， 又由，得， 所以，解得，所以原不等式解集为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$