专题05 一元一次方程（期中真题汇编，辽宁专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）若是方程的解，则m的值是（     ） A. 8 B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元一次方程的解的定义，把代入方程，得到关于m的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】 解：把代入得-， 解得：， 故选：A． 2．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）若是关于的方程的解，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 【答案】B 【分析】 根据一元一次方程的解的定义解决此题． 【详解】 解：由题意得：当时，． ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 3．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）若是关于的方程的解，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解，根据是关于的方程的解，将代入方程中，通过计算求出的值． 【详解】 解：把代入方程， 可得：， 即 ， 解得：． 故答案为：． 4．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）若是关于x的方程的解，则的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了求代数式的值，一元一次方程的解， 将方程的解代入方程得到参数关系，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：因为是方程的解， 所以， 所以． 故答案为：1． 5．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）若是关于的一元一次方程，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是一元一次方程的定义，绝对值的意义，由题意得出且，求解即可，解题关键是熟记一元一次方程的未知数的次数是1． 【详解】 解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：或，且， ∴， 故答案为：． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）根据等式的基本性质，由可得（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，等式两边同时进行相同的加、减、乘或除（除数不为零）运算，等式仍然成立，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】 解：A、由不能得到，故此选项错误； B、由不能得到，故此选项错误； C、当时，由不能得到，故此选项错误； D、等式两边除以2，再同时加上1，结果相等，所以由可得，故此选项正确； 故选：D． 2．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【分析】 本题考查等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质一一判断即可． 【详解】 解：、若，则，原变形错误，故此选项不符合题意； 、原变形正确，故此选项符合题意； 、当时，原变形不成立，故此选项不符合题意； 、应该是：若，则，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【分析】 本题考查了等式的性质，性质1等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断． 【详解】 解：A、当时不成立，不符合题意； B、∵， ，原变形错误，不符合题意； C、等式的两边同时乘以得，，符合题意； D、在等式的两边同时乘以2得，，原变形错误，不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）设x，y，c是实数，（ ） A. 若x=y，则x+c=y﹣c B. 若x=y，则xc=yc C. 若x=y，则 D. 若 ，则2x=3y 【答案】B 【详解】试题分析：根据等式的性质，可得： A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘以不同的数，故D不符合题意； 故选B． 考点：等式的性质 5．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）下列各式进行的变形中，不正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式两边同时加、减、乘、除同一个数（除数不为零）等式仍然成立，判断各选项变形是否正确． 【详解】 解：∵等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立， ∴选项A（加2）和B（减5）正确； ∵从，两边同时除以6，得，即， ∴选项C正确； ∵从，两边同时乘以3，得， ∴选项D不正确． 故选：D． 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（       ） A. 3 B.  C. 7 D.  【答案】A 【分析】 把代入再进行求解即可． 【详解】 解：把代入得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 2．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）下列方程的变形中正确的是（　　） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 【答案】C 【分析】 本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 逐一分析各选项的变形过程，判断是否符合等式的基本性质． 【详解】 选项A：由展开得，，故A错误． 选项B：将移项，应得，故B错误． 选项C：原方程，移项合并同类项：，即，变形正确，故C正确． 选项D：原方程，分子分母同乘10得，故D错误． 故选：C． 3．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】 解：把代入方程，得， ， 故答案为：2． 4．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． (1) 小问详解： 解：去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； (2) 小问详解： 解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 5．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）观察下列三个等式：，， ，我们将使等式成立的一对实数，称为“美好数对”，记为，例如数对，，都是“美好数对”，请回答下列问题： （1）数对是“美好数对”吗？请说明理由． （2）若是“美好数对”，求的值． （3）若是“美好数对”，求代数式的值． 【答案】（1）是，理由入下     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了代数式求值，有理数的计算，解一元一次方程， 对于（1），计算是否相等判断即可； 对于（2），根据定义可得，求出解即可； 对于（3），根据定义得，再求出代数式的值即可． (1) 小问详解： 解：是，理由入下： 因为，得， 所以是“美好数对”； (2) 小问详解： 解：因为是“美好数对”， 所以， 解得； (3) 小问详解： 解：根据定义得， 所以， 即． 6．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）（1）化简：； （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数法化1，进行求解即可． 【详解】 解：（1）原式； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 7．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）小亮学习完《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下． （1）求的值； （2）若的值与的值相等，求m的值； （3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 【答案】（1）     （2）     （3） 不具有交换律，理由如下： 举例： ，， ． 不具有交换律．      【分析】 此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分别利用题中的新定义化简已知两式，使其相等列出方程，求出方程的解即可得的值； （3）不具有交换律，举例说明即可． (1) 小问详解： 解：根据题中的新定义得：； (2) 小问详解： 解：，， ， 解得：； (3) 小问详解： 略 8．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解，将代入原方程，即可求出答案. 【详解】 解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得． 故答案为：． 9．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程： （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减即可得到答案； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可得到答案． 【详解】 （1）解： ； （2）解： 去分母（方程两边乘4），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）     （2）50     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可； （5）移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （6）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ； (6) 小问详解： 解： ． 11．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 12．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. （1）请判断方程与方程是否互为“成双方程”； （2）若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； （3）若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 【答案】（1）方程与方程是“成双方程”     （2）     （3）      【分析】 本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” (2) 小问详解： 解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； (3) 小问详解： 解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 13．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元一次方程的基本求解步骤，关键在于熟练和理解每个步骤对求解的作用． （1）对方程移项、合并同类项，未知数系数化为，即可； （2）对方程去分母，然后去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为，即可． (1) 小问详解： 解：移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 原方程的解为． (2) 小问详解： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 所以原方程的解为． 14．（25-26学年七上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：，把时的多项式的值用来表示．当时，多项式的值记为． 已知，． （1）直接写出的值_______； （2）当时，求的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． （1）根据举例过程，把代入，进行计算即可； （2）把代入，，进行计算即可． （3）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，则，把代入即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：当时， ， ， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：， ∴． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查古代数学问题，涉及列一元一次方程解决应用题，设共有个人，根据等量关系列出方程即可得到答案，读懂题意，由物品总价值不变建立等量关系是解决问题的关键． 【详解】 解：设共有个人，则可列方程为， 故选：A． 2．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 设分配x名工人生产螺钉，则（22-x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】 解：设分配x名工人生产螺钉，则（22-x）人生产螺母， 由题意可得，2×600x=1000（22-x）， 故选：A． 【点睛】 本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 3．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）在2024年巴黎奥运会上中国代表团共获得91枚奖牌，其中金牌数比银牌数多13枚，银牌数比铜牌数多3枚，中国代表团一共获得多少枚银牌？设中国代表团一共获得x枚银牌，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 设中国代表团一共获得x枚银牌，则获得枚金牌，获得枚铜牌，根据“中国代表团共获得91枚奖牌”列出方程即可． 【详解】 解：设中国代表团一共获得x枚银牌，则获得枚金牌，获得枚铜牌， 根据题意得，， 故选A． 4．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是　　 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了有理数的加减混合运算，以及数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确“左减右加”的法则． 点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，根据向右为正方向，向左为负方向，应用“左减右加”的法则，用算式表示上述过程与结果，正确的是． 【详解】 解：点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是：． 故选：C． 5．（25-26学年七上·辽宁沈阳实验学校·期中）为了做一个试管架，在长为a（cm）（a>6）的木板上钻3个小孔（如图），每个小孔的直径为2cm，则x等于（        ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】C 【分析】 根据题意可得4x加上三个圆的直径（6cm）的和是a cm．因而得方程4x+6=a，解关于x的方程． 【详解】 解：根据题意有4x+6=a， 解得cm， 故选C． 【点睛】 本题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，结合图形找出等量关系，列出方程，再求解． 6．（25-26学年七上·辽宁实验中学·期中）数轴上点A表示的数是－4，将点A在数轴上平移8个单位长度得到点B，则点B表示的数是（       ） A. 或12 B. 4或 C. 4 D. －12 【答案】B 【分析】 数轴上点的平移，根据左减右加的方法，即可得出答案． 【详解】 解：点A表示的数是−4，左移8个单位，得−4−8=−12， 点A表示的数是−4，右移8个单位，得−4+8=4， 故点表示的数是4或-12， 故选：B． 【点睛】 本题考查数轴上的点平移法则，理解左减右加是解题关键． 7．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）如图是某月的月历，现用“ ”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“ ”图形的大小，将“ ”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（       ） A. 110 B. 88 C. 107 D. 40 【答案】A 【分析】 设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，求出这5个数的和为，结合选项，列出方程即可解答． 【详解】 解：设中间的数为x，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为． 这5个数的和为， A、，解得，则左上的数为，右上的数为，左下的数为，右下的数为，符合题意 B、，解得，不是正整数，不符合题意； C、，解得，不是正整数，不符合题意； D、，解得，则左上的数为，不符合题意． 8．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）如图,为做一个试管架,在a cm长的木条上钻了4个圆孔,每个孔的直径为2 cm,则x(单位:cm)等于(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】由已知在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个孔的直径为2 cm可得方程5x+2×4=a，解方程求得x的值即可. 【详解】由题意可得，5x+2×4=a,解得x==. 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程5x+2×4=a是解决问题的关键. 9．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）【问题背景】 已知点，，，在数轴上对应的数分别为，，，．线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，设移动时间为秒．例如线段的长度为或． （1）【初步发现】 求线段的长度； （2）【问题解决】 若，回答下列两个问题： ①当点在点的左侧，同时点在点的右侧时，用含的代数式表示线段的值； ②若点，与线段同时移动，点以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向移动，点以每秒1个单位长度的速度向数轴的负方向移动．在移动过程中，求线段的值．（可用含的代数式表示） 【答案】（1）     （2）①　　②或      【分析】 本题考查数轴和整式的加减运算： （1）根据题干信息可得，线段的长度为． （2）① 当时，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，据此即可求得答案；② 点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，分两种情况：当点在点的右侧时和当点在点的左侧时． (1) 小问详解： 线段的长度为． (2) 小问详解： ① 当时，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，． ， ， ； ② 点，，，在数轴上对应的数分别为，，，． ， 当点在点的右侧时， ， ； 当点在点的左侧时， ， ， 综上所述，线段的值为或． 10．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是　　　　． 【答案】1或-7 -7或1 【分析】先根据点A所表示的数，再分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点B表示的数． 【详解】解：∵点表示-3， ∴从点出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点，则点表示的数是． ∴从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是． 【点睛】 此题考查了数轴，解题的关键根据题意列出式子，再根据有理数的加减法法则进行计算，要考虑两种情况，不要漏掉． 11．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）安徽砀山是著名的水果之乡，现有一些箱子用来装苹果，若每只箱子装苹果25千克，则剩余40千克的苹果没有箱子装；若每只箱子装苹果30千克，则余下20只空箱子，请你帮忙计算这些箱子有多少只？ 【答案】128只 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，设这些箱子有x只，根据题意，由两种方式的苹果总重量相等列方程求解即可． 【详解】 解：设这些箱子有x只， 根据题意，得， 解得， 答：这些箱子有128只． 12．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． （1）后甲，乙两船相距多远？ （2）若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； (2) 小问详解： 解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 13．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）综合与实践：利用长方形纸板制作礼品盒 七年一班数学兴趣小组同学制作三种不同形状的礼品盒：长方体礼品盒，圆柱体礼品盒，底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒．请回答下列问题： 【制作长方体礼品盒】 第一小组同学选择长为，宽为的长方形纸板，如图1，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当剪去的小正方形的边长为5时，求该长方体礼品盒的体积． 【制作圆柱体礼品盒】 第二小组同学选择两张长为，宽为的长方形纸板，如图2，一张作圆柱体的侧面，另一张裁出两个大小相等的最大圆． （2）请说明它们能组装成高为的圆柱体礼品盒吗，如果不能，请写出修改方案（取3）． 【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】 如图3，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成．第三小组同学选择长为，宽为的大长方形纸板若干张，其中一张长方形纸板可裁剪2张小长方形侧面或3张等边三角形底面． （3）若所裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，设用x张长方形纸板裁剪侧面，则用　　　张长方形纸板裁剪底面（用含的代数式表示）； （4）若第三小组同学用16张长方形纸板，则能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒的最多个数是　　　． 【答案】（1）； （2）根据题意可得圆柱体的底面圆直径为， 故底面圆周长为， 根据长方形长为，宽为， ∵， ∴不能组装成高为的圆柱体礼品盒． 修改方案如下： 一张作圆柱体的侧面，另一张分成9等份，如图裁出两个大小相等的圆． （3）；（4）7 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意． （1）根据题意算出长方体礼品盒的长、宽、高，再根据体积公式计算即可． （2）根据题意算出底面圆周长，比较即可解答． （3）设用了a张长方形纸板裁剪底面，则可裁剪出张等边三角形底面，用x张长方形纸板裁剪侧面，可裁剪出张小长方形侧面，根据直三棱柱礼品盒中小长方形侧面的个数：等边三角形底面的个数，列式表示即可解答． （4）设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面，故可裁剪出张侧面，张底面，列式算出，即可求解． 【详解】 解：（1）当剪去的小正方形的边长为5时， 长方体礼品盒的高为，长为，宽为的长方形纸板， 故该长方体礼品盒的体积为． （2）略 （3）设用了a张长方形纸板裁剪底面， 则可裁剪出张等边三角形底面， 用x张长方形纸板裁剪侧面，可裁剪出张小长方形侧面， ∵直三棱柱礼品盒中小长方形侧面的个数：等边三角形底面的个数， 故， 则， ∴若所裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，则用张长方形纸板裁剪底面； 故答案为：． （4）∵第三小组同学用16张长方形纸板， 设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面， 故可裁剪出张侧面，张底面， ∴，即， ∵y为正整数，故y最大为11， ∴可以裁剪出张侧面，张底面， ∵一个三棱柱由2个底面，3个侧面， ，取最大整数， 故能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒的最多可剪7个三棱柱纸盒． 故答案为：7． 14．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题 （1）探究一：如图1，将一根绳子折成3段，然后按如图所示方式剪开；如图1-1，剪1刀，绳子变为4段；如图1-2，剪2刀，绳子变为7段；…… ①剪12刀，绳子变为          段； ②有可能正好剪得98段吗？请说明理由 （2）探究二：将一根绳子折成4段，然后按（1）中方式剪开；如图2，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为                    段；剪n刀，绳子变为                              段 （3）归纳：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为                    段（用含m，n的代数式表示） （4）问题解决：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式方式剪n刀，绳子变为100段，则 的值为                                 【答案】（1）①37； ② 没有可能正好剪得98段， 理由：由① 可得，剪n刀，绳子变为段， ， ，不是正整数， 没有可能正好剪得98段；     （2）9；     （3）     （4）或      【分析】 此题主要考查了图形的变化类，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． （1）① 将一根绳子折成3段剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；……依此类推，可得剪12刀，绳子变为段； ② 由① 可得，剪n刀，绳子变为段，解方程即可解答； （2）结合图形，由（1）的规律即可得出答案； （3）由（1）、（2）规律可得出答案； （4）由（3）的规律可得出答案． (1) 小问详解： 解：①剪1刀，绳子变为4段，；剪2刀，绳子变为7段， ；由此可得，剪3刀，绳子变为段，剪4刀，绳子变为段，…… 可得，剪12刀，绳子变为段； 故答案为：37； ② 略 (2) 小问详解： 解∶ 剪1刀，绳子变为5段，；剪2刀，绳子变为，9段；剪n刀，绳子变为段， 故答案为：9；； (3) 小问详解： 解：由（1）、（2）可得，将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为段， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：由（3）可得，将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为段， ， ， ， 又， 时或时， 或， 故答案为：或． 15．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）某学校七年级4名老师带领本班m名学生参加实践活动．已知该活动基地每张门票的票价为30元．现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，师生全部六折优惠． （1）请分别计算两种方案的总费用（请用含m的代数式表示）； （2）当学生数是多少时，两种方案价格一样； （3）当时，请通过计算来说明A、B两种购票方案中哪种更为优惠． 【答案】（1）方案A：元；方案B：元     （2）当学生数是16时，两种方案价格一样     （3）A种购票方案更为优惠      【分析】 本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据优惠方式列代数式即可； （2）根据“两种方案价格一样”列一元一次方程，解方程即可； （3）计算出时，两种方案的费用，比较大小即可． (1) 小问详解： 解：方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）； (2) 小问详解： 解：令， 解得， 即当学生数是16时，两种方案价格一样； (3) 小问详解： 解：当时，方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）， ， 因此A种购票方案更为优惠． 16．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒2个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为　　　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，关键是根据题意找到等量关系式．先将经过t秒后点C和点D表示的数表示出来，再分为三种情况进行讨论：① 当点O为中点时；② 当点D为中点时；③ 当点C为中点时，分别列出方程求出t的值即可解答． 【详解】 解：根据题意得： 经过t秒后，点C表示的数为：，点D表示的数为：； ① 当点O为中点时：， 解得：； ② 当点D为中点时：， 解得：； ③ 当点C为中点时：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为2或． 故答案为：2或． 17．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表： 每月用水量 收费 不超过10吨的部分 水费1.6元/吨 10吨以上至20吨的部分 水费2元/吨 20吨以上的部分 水费2.4元/吨 （1）若小刚家6月份用水18吨，则小刚家6月份应缴水费多少元？ （2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？ （3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费78.8元，其中含2元滞纳金（水费为每月底缴纳，因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明8、9月各用多少吨水？ 【答案】（1）32；（2）16吨；（3）小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 【分析】 （1）根据10吨以上至20吨的部分的水价和用水量列式计算即可； （2）由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，根据题意列出一元一次方程即可； （3）设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨，分两种情况：① 当x≤10时，② 当10＜x＜20时，分别列出方程求解． 【详解】 解：（1）∵小刚家6月份用水18吨， ∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（18-10）×2=32（元）， 故答案为：32； （2）由题意可得小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得： 1.6×10+2（x-10）=1.75x 解得：x=16， ∴小刚家7月份的用水量为16吨 （3）因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨． 设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨， 当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2=78.8 解得：x=9， 当10＜x＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2=78.8 解得：x=8不符合题意，舍去． 综上：小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 【点睛】 此题考查了一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 18．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）小王看到两个商场的促销信息如图所示． （1）当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ （2）当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ （3）小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 【答案】（1）甲超市付款180元，乙超市付款190元     （2）240元     （3）18.1元      【分析】 本题考查一元一次方程的应用． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是200元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元； (2) 小问详解： 由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样； (3) 小问详解： 由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品，需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省18.1元． 19．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． （1）写出数轴上点B表示的数______； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①：若，则______． ②：的最小值为______． （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； （4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 【答案】（1）     （2）①5或11；②22；     （3）当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2；     （4）当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4．      【分析】 （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）① 根据绝对值的性质即可求解； ② 根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，再建立方程即可求解； （4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4，再建立方程即可求解． (1) 小问详解： 解：点B表示的数． (2) 小问详解： ① ∵， ∴， 则或． ② ∵理解为在数轴上表示数的点到表示数与表示数的点之间的距离之和， ∴当数的点在表示数与表示数的点之间时，距离和最小， ∴的最小值为． (3) 小问详解： 设经过 t秒时，A，P之间的距离为2． 此时P点表示的数是， 则， 解得或． 故当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2； (4) 小问详解： 设经过t秒时，P，Q之间的距离为4． 此时P点表示的数是，Q点表示的数， 则，即， 解得或． 故当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4． 【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解． 20．（25-26学年七上·辽宁沈阳和平区一二六中学·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （1）如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则___________；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则___________； （2）若在数轴上点、表示的数分别是、3，且数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的4倍，那么点表示的数是多少； （3）如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数所在点折叠，使表示的点落在这条线段上，然后在重叠部分某处剪开，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 【答案】（1）2；2029     （2）点C表示的数是2或     （3）m的值为2或4      【分析】 本题考查了数轴上的两点之间距离，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的求法，能根据不同的比值进行分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上的两点之间距离，即可求解； （2）设点C表示的数是x，根据数轴上的两点之间距离，分两种情况解答求解； （3）设折痕处对应的点所表示的数是m，点B、点C表示剪痕，则三个线段分别为：，，，设三条线段的长为，，，可得，然后分类讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ∵数b表示的点与数表示的点重合， ∴； 故答案为：2；2029 (2) 小问详解： 解：设点C表示的数是x， 当点C在点A，B之间时，， 解得：， 当点C在点B的右侧时，， 解得：， 综上所述，点C表示的数是2或； (3) 小问详解： 解：由题意可得：， ∵三条线段的长度之比为， 可设三条线段的长为，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ， ∴； 综上所述，m的值为2或4． 21．（25-26学年七上·辽宁沈阳和平区一二六中学·期中）将从1到1800的正整数按一定规律排列如图： （1）探究如图“+”框中的5个数： ①设这5个数中间的数为，这5个数的和是240，求是多少？； ②这5个数的和可能是2005吗？___________（填能或不能） （2）数1240排在第___________行，第___________列； （3）若“+”形框中框住的五个数的和记为“S”，则的最大值与最小值的差等于___________． 【答案】（1）①48② 能     （2）138；7     （3）8895      【分析】 本题主要考查数字的变化规律，列代数式，一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚各数之间的规律． （1）① 用含a的式子表示各个数，再求和，从而可求解； ② 结合① 列方程进行求解即可； （2）不难看出，第n行的最后一个数为，再有，从而可判断1240的位置； （3）根据“+”形框的形状，不难得到“+”形框中最小的数为11，最大的数为1790，从而可求相应的S的值，再求差即可． (1) 小问详解： 解：观察“+”形框中框住的五个数，中间数为时，上下左右的数分别为， 这5个数的和为， 当这5个数的和为240时，， 解得：， 故答案为：； ②， 解得， 所以，这5个数的和能为2005， 故答案为：能； (2) 小问详解： 解：由数表知，每一行都有9个数，则第n行的最后一个数为， 又， 所以，数1240排在第138行，第7列； 故答案为：138；7； (3) 小问详解： 解：根据“+”形框的形状，可得“+”形框中最小的数在第二行第二列为11， 最大的数在第199行第8列，为， ∴当最小的数为11时，则这5个数的和； 当最大的数为1790时，则这5个数的和， ∴S的最大值与最小值的差为：， 故答案为：8895． 22．（25-26学年七上·辽宁沈阳实验学校·期中）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合．这时表示的点与表示的点也重合，则的值是　　　　　　． 【答案】50 【分析】 本题主要考查了数轴的折叠问题，熟练掌握折叠后重合的点关于对称中心对称，利用对称点的数量关系建立等式是解题的关键．先确定折叠后数轴的对称中心，再根据对称点到对称中心的距离相等这一性质，建立关于的等式求解． 【详解】 解：∵ 折叠后表示的点与表示的点重合， ∴ 对称中心为． ∵ 表示的点与表示的点重合， ∴ ， 化简得，即， 解得． 故答案为：． 23．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用，设长方形的宽为，根据长减少、宽增加后，面积保持不变，列出方程求解。 【详解】 解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 24．（25-26学年七上·辽宁丹东·期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们称点C是的妙点，若点C到B的距离是点C到A的距离的2倍，我们称点C是的妙点． （1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D        的妙点，点D        的妙点．（请在横线上填是或不是） （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．则的妙点所表示的数是          ．    （3）如图3， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过        秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点． 【答案】（1）不是，是     （2）2或     （3）      【分析】 （1）根据妙点的定义解答即可； （2）分妙点在点M和点N中间时和妙点在店N的右边时两种情况求解即可； （3）分三种情况根据妙点的定义列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点到点的距离是1，到点的距离是2， ∴， ∴点不是的妙点，点是的妙点； (2) 小问详解： 解：设妙点表示的数为x， 当妙点在M和N之间时，由题意得 ， ∴， 当妙点在N点右侧时，由题意得 ， ∴， ∴的妙点所表示的数是或； (3) 小问详解： 解：设运动时间为t秒， ①若P为的妙点，则， 解得； ②若P为的妙点，则， 解得； ③若A为的秒点或B为的秒点时，此时P为的中点，则， 解得； ∴当t为时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，以及一元一次方程的应用，熟练根据妙点的定义列出方程求解是解题的关键． 25．（25-26学年七上·辽宁阜新实验中学·期中）给出如下定义：A点、点B是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”，例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．    （1）若点C为点A、B的“m级幸运点”，且点C在数轴上表示的数为2，则______； （2）若点D是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点D在点B的右侧，设点D表示的数为x，求x的值； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，直接写出m的值． 【答案】（1）8     （2）3     （3）6或12      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解新定义，是解题的关键： （1）求出的值即可； （2）根据题意，得到，列出方程进行求解即可； （3）分点在之间以及点在点右侧两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点A表示的数是，点B表示的数是1，点C在数轴上表示的数为2， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8； (2) 小问详解： 由题意，得：， 解得：； (3) 小问详解： 当点在之间时，， 此时：， 当点在点右侧时，设之间的距离为，则：，解得：， ∴， 此时：， 综上：或． 26．（25-26学年七上·辽宁本溪·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b．则A，B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：已知数轴上A，B两点对应的数分别为和9，P为数轴上一点，对应的数为x． （1）P，B两点间的距离可表示为______（用含x的式子表示）； （2）当点P在A，B两点之间且时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设A、B、P三点运动时间为t秒，则运动t秒后点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； （3）在（2）的条件下，当时，求t的值． 【答案】（1）     （2）；；     （3）或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和解含有绝对值符号的一元一次方程的一般步骤． （1）根据数轴上两点距离公式，列出算式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出点P对应的数，然后根据题意列出代数式，即可求解； （3）根据列出方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点P为数轴上一点，对应的数为x，B点对应的数为9， ∴P，B两点间的距离可表示为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵A，B两点对应的数分别为和9，， ∴， 解得， ∴点P对应的数为， ∵点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度沿数轴正方向运动， ∴运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：依题意得：， ， ， ， 或， 解得或． 27．（25-26学年七上·辽宁实验中学·期中）【背景知识】． 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：，若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．        （1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为______，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为______；运动t秒后，点A表示的数为______（用含t的式子表示）． （2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；3；     （2）16或1或4     （3）当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为      【分析】 （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； （3）由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，由可知点A在点B的左侧，化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为；A点与C点的中点D表示的数为； 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：4；3；； (2) 小问详解： 解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当点A是点B，C的中点时，， 解得：； 当点B是点A，C的中点时，， 解得：； 当点C是点A，B的中点时，， 解得：； 综上所述，t的值为16或1或4； (3) 小问详解： 解：存在， 由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵， ∴点A在点B的左侧， ∴ ， ∵的值为定值， ∴， 解得：； 综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 28．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“友好点”． （1）如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为线段上一点，且点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为______； （2）如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为数轴上一点，若点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为_______； （3）如图③，若数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，若点C为线段的“友好点”，则点B表示的数为________； （4）如图④，若数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒． 当t为何值时，点P是线段的“友好点”． 【答案】（1）2     （2）或2     （3）或     （4）t的值是或4，点P是线段的“友好点”      【分析】 （1）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据“友好点”的定义计算即可； （2）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可； （3）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可； （4）根据题意，将点表示出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可． (1) 小问详解： 解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为线段上一点，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点表示的数为； (2) 小问详解： 解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为数轴上一点，且，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴点在线段上或在线段的延长线上； 当点在线段上时， ，则，解得； 当点在线段的延长线上时， ，则，解得； 综上所述，点表示的数为或． (3) 小问详解： 解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵数轴上点A表示的数是，点C表示的数是， 当点在线段上时，， 则，解得； 当点在线段的延长线上时，， 则，解得； 综上所述，点表示的数为或． (4) 小问详解： 解：∵动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，点A表示的数是， ∴点所表示的数为， ∵点是线段的“友好点”，点B表示的数是， ∴当点在线段上时， ， ∴，解得； 当点在线段延长线上时， ， ∴，解得； 综上所述，t的值是或4，点P是线段AB的“友好点”． 29．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且点与点的距离为24． （1）写出数轴上点表示的数______； （2）表示6与2之差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： ①若，则______； ②的最小值为______； （3）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当____，点，两点之间的距离为2． 【答案】（1）     （2）①10或2；②16     （3）或      【分析】 本题主要考查了数轴、一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等知识点， （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）① 根据绝对值的性质即可求解；② 根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解； 关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解． (1) 小问详解： 解：根据两点间的距离公式可得：数轴上点B表示的数， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① ∵的几何意义是数轴上表示x的点与6两点之间的距离为4， ∴， ∴或2， 故答案为：10或2； ②的几何意义是数轴上表示x的点到与6两点之间的距离之和， ∴当x在与6之间时最小， ∴最小值为， 故答案为：16； (3) 小问详解： 解：设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是， ∴， 解得，， 故当t为2或时，A，P两点之间的距离为2， 故答案为：2或． 30．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点． （1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是              ； （2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒． ①求当t为何值时，P是的暗点； ②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点． 【答案】（1）2，；（2）①；② 当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时， 【分析】 （1）结合题意，根据数轴、线段、有理数加减法和除法、绝对值的性质计算，即可得到答案； （2）① 根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案； ② 结合题意，分点P为亮点、点P为亮点、点A为亮点、点A为亮点四种情况，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】 （1）根据题意，的亮点表示的数在线段上，即：亮点表示的数 ∵ ∴的亮点表示的数是：2； 根据题意，的暗点表示的数在线段延长线上，即：暗点表示的数，或暗点表示的数 ∵ ∴的暗点表示的数是：； 故答案为：2，； （2）① 根据题意，点P是的暗点，即点P在线段的延长线上 ∴， ∵ ∴ ∴； ② 当点P为亮点时，即P在线段上 ∴， ∴ ∴ 当点P为亮点时，即P在线段上 ∴ ∴； 当点A为亮点时，即A在线段上 ∴， ∴ ∴ 当点A为亮点时，即A在线段上 ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，． 【点睛】 本题考查了有理数、一元一次方程、线段的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 31．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如下表． （1）根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 （2）A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； （3）在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位长度/秒的速度运动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是？ 【答案】（1）-4；-8     （2）3；4     （3）①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②秒或秒或秒      【分析】 本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可； （2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出第二次开始发出提示的时间，进而求出此时点A和点B表示的数，设点C出发的时间为t秒时，再分当点C向左运动时，当点C向右运动时，两种情况分别表示出，进而根据C点到A点的距离与C点到B点的距离比是建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，5秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴7秒时，点A在数轴上的位置为； ∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，7秒时，点B在数轴上的位置为20， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 B点在数轴上的位置 12 20 (2) 小问详解： 解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为： （秒）； 相遇时A、B两点对应的数为； 故答案为：3；4． (3) 小问详解： 解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ② ∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， ∴第二次发出提示时，点A表示的书为，点B表示的数为， 设点C出发的时间为t秒时， 当点C向左运动时， ∴点C表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是， ∴， 解得； 当点C向右运动时， ∴点C表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，当点C出发秒或秒或秒时，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是． 32．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）如图，在长方形中，，，点E在边上且，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以每秒的速度沿运动，再以每秒的速度沿运动，最终到达点设点P运动的时间是t秒，那么当　　　　　　时，的面积等于 【答案】或或 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，分点P在边上，点P在边上，且在点E左侧，点P在边上，且在点E右侧和点P在边上，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：，， ，， ① 如图，当点P在边上时，， ， 解得； ② 如图，当点P在边上，且在点E左侧时， ， ， 解得； ③ 如图，当点P在边上，且在点E右侧时， ， ， 解得， 不符合题意，舍去； ④ 如图，当点P在边上， ，， ， ， ， 则， 解得， 综上，当或或时，的面积等于7平方厘米． 故答案为：或或 33．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）综合与实践 （1）活动一： 研究下列等式，你发现了什么规律？用字母表示这个规律． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 写出第n个等式：______． 活动二： 如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，a是多项式的一次项系数，b是常数项． （2）______， ______； （3）有一动点P从A出发，沿数轴来回移动，其移动方式是第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，第五次向左移动9个单位长度……，按此规律不断左右移动，当移动2025次时，求点P对应的有理数． （4）在（3）的条件下，①经过第______次移动点P对应的数为9； ②当点P对应的数为时，求移动的次数． 【答案】（1）；     （2）；7     （3）；     （4）① 14；② 45      【分析】 （1）分别得出左右两边的规律即可得出等式； （2）根据多项式的定义求解即可； （3）根据题意可知向左移动一次向右移动一次为两次一组，得出2025移动了1012组余1次，且第2025次向左移个单位，则第2024次向右移动4047个单位，再结合（1）的规律求解即可； （4）①利用（1）中的规律求解即可； ②利用（1）中的规律求解即可． (1) 小问详解： 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第n个等式：； (2) 小问详解： 解：∵a是多项式的二次项系数，b是常数项． ∴，； (3) 小问详解： 解：根据题意可知向左移动一次向右移动一次为两次一组， ∴（组）余1次， 且第2025次向左移个单位， 则第2024次向右移动4047个单位， 由（1）知， ∴ ， 故点P对应的有理数为； (4) 小问详解： 解：①设移动了m次， 若m为偶数，设，由规律可知，每移动两次，点P向右移动2个单位， 此时点P对应的数为， 令，解得，即； 若m为奇数，设， 此时点P对应的数为， 因为，所以，不可能等于9 故经过第14次移动点P对应的数为9； ②设移动了m次， 情况一：当m为偶数时，设， 点P对应的数为， 令，得，无正整数解，舍去； 情况二：若m为奇数，设， 此时点P对应的数为， 令， 解得， （次） 则当点P对应的数为时，移动了45次． 34．（25-26学年七上·辽宁沈阳实验学校·期中）数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）的长为________； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 【答案】（1）4     （2）1     （3）或5；     （4）t的值为或4．      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）计算即可； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：① 当点P在点M的左侧时，②P在点M和点N之间时，③ 点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即．点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是．分类讨论① 当点M和点N在点P同侧时，② 当点M和点N在点P异侧时两种情况即可求解； (1) 小问详解： 解：的长为； 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得：； (3) 小问详解： 解：① 当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③ 点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； (4) 小问详解： 解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ① 当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以，解得，符合题意． ② 当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 35．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）【问题背景】 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．将如图的年月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 （1）第一小组的同学们设计了一个如图的形框，若形框覆盖的五个数的和为，求这五个数中最小的数． 【探究二】 （2）第二小组的同学们设计了如图的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，，求的值． 【探究三】 （3）第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；型框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值． 【答案】（1）; （2）； （3）或． 【分析】 本题主要考查了整式的加减、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据月历表中数字排列的规律列出代数式，再根据相等关系列方程． 设这五个数中最小的数为，则另外四个数为，，，，根据这五个数的和为列方程求解； 设，则有这五个数分别为，，，，把这五个数相加即可； 把十字形框中的数用含的代数式表示出来，把形框中的数用含的代数式表示出来，根据可得：，可知一定是的倍数，分情况讨论即可． 【详解】 解：设这五个数中最小的数为，则另外四个数为，，，， 根据题意得：， 解得：， 这五个数中最小的数为； 解：形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，， 设，则，，，， 可得： ； 解：设十字形框的中心数为，则另外四个数分别为，，，， ， 设型框的中心数为，则另外六个数分别为，，，，，， ， ， ， ，都是正整数， 是的倍数， 若， 在月历表的最左侧一列，不能为形框的中心数，舍去； 若，则，，都符合； 若，则，，都符合； 若，则 在月历表的最下一行，不能为十字形框的中心数，舍去； 同理，若或，都不能为形框的中心数，舍去． 综上所述，的值为或． 36．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． （1）点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； （2）在（1）的条件下，点表示的数是，且三点是“均衡点”，求则的值； （3）点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段（为正整数），线段，若三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，直接写出所求的值． 【答案】（1）不是     （2）或或     （3）或或或或      【分析】 本题考查解一元一次方程、数轴上两点之间距离，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用这些知识点． （1）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，再由“均衡点”定义判断即可得到答案； （2）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，，，再由“均衡点”定义分三种情况，列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，，，再由“均衡点”定义分三种情况，作出图形，数形结合分析求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 三点不是“均衡点”， 故答案为：不是； (2) 小问详解： 解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 三点是“均衡点”， 分情况讨论： ① 当时，， 则或， 解得或（与点重合，舍去）； ② 当时，， 则或， 解得（与点重合，舍去）或； ③ 当时，， 则或， 解得； 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或； (3) 小问详解： 解：∵三点是“均衡点”， 点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧， ，，中有两条线段相等， 关于的一元一次方程的解为整数， ， ① 当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 当时，； 即此种情况下，的值为或； ②当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 即此种情况下，的值为； ③ 当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 当时，； 当时，； 即此种情况下，的值为或或； 综上所述：的值为或或或或． 37．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）数形结合是非常重要的数学思想方法． 如图①，在直角三角形中，，，， （1）动点E，F同时从A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，经过______秒两点首次相遇，相遇时它们距点B______个单位长度； （2）如图②，动点K从B出发，沿折线运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，设点K的运动时间为t秒，当的面积最大时，直接写出t的值为______； （3）如图③，将三角形的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边上，得到一条“折线数轴”．动点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动，同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒．在此运动过程中，P，Q均不停止，当时，请直接写出m的值为______． 【答案】（1）8，2     （2）     （3）或或或11      【分析】 本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）用总路程除以两点的速度和，求出相遇时间，进而求出点走的路程，即可得出结果； （2）根据题意，易得当点与点重合时，的面积即为的面积，此时面积最大，进行求解即可； （3）分5种情况进行讨论，分别列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：相遇时间：（秒）， E走的路程为：， 相遇点到B的距离为：， 故答案为：8，2； (2) 小问详解： 解：当K运动到与点C重合时，的面积最大，此时 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：从M到A所用时间：， 从A到C所用时间：， Q从N到C所用时间：， 从C到A所用时间：， 当时，，， ， ， ； 当时，，， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ，符合题意； 当时，，， ，不符合题意； 当时，，， ， ， ， 综上所述，或或或 故答案为：1或或或 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 4大高频考点概览 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）若是方程的解，则m的值是（     ） A. 8 B.  C. 4 D.  2．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）若是关于的方程的解，则的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 2 3．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）若是关于的方程的解，则　　　　　． 4．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）若是关于x的方程的解，则的值为　　　　　　． 5．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）若是关于的一元一次方程，则的值为　　　　　　． 考点02 等式的性质 1．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）根据等式的基本性质，由可得（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（     ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）设x，y，c是实数，（ ） A. 若x=y，则x+c=y﹣c B. 若x=y，则xc=yc C. 若x=y，则 D. 若 ，则2x=3y 5．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）下列各式进行的变形中，不正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 考点03 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（       ） A. 3 B.  C. 7 D.  2．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）下列方程的变形中正确的是（　　） A. 由得 B. 由得 C. 由得 D. 由得 3．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 　　　　　　． 4．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）解方程： （1）； （2）． 5．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）观察下列三个等式：，， ，我们将使等式成立的一对实数，称为“美好数对”，记为，例如数对，，都是“美好数对”，请回答下列问题： （1）数对是“美好数对”吗？请说明理由． （2）若是“美好数对”，求的值． （3）若是“美好数对”，求代数式的值． 6．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）（1）化简：； （2）解方程： 7．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）小亮学习完《有理数》后，对有理数的运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下． （1）求的值； （2）若的值与的值相等，求m的值； （3）试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“”是否具有交换律？请写出你的探究过程． 8．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知关于x的方程的解是，则m的值为　　　　　　　　　 9．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）（1）计算：； （2）解方程：． 10．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 11．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）解方程： （1）． （2）． 12．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“成双方程”，例如：方程和为“成双方程”. （1）请判断方程与方程是否互为“成双方程”； （2）若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值； （3）若关于的方程与互为“成双方程”，求关于的方程的解． 13．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 14．（25-26学年七上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：，把时的多项式的值用来表示．当时，多项式的值记为． 已知，． （1）直接写出的值_______； （2）当时，求的值． （3）若，求的值． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？设共有个人，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）某车间有22名工人，每人每天可以生产600个螺钉或1000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有名工人生产螺钉，可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）在2024年巴黎奥运会上中国代表团共获得91枚奖牌，其中金牌数比银牌数多13枚，银牌数比铜牌数多3枚，中国代表团一共获得多少枚银牌？设中国代表团一共获得x枚银牌，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是　　 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·辽宁沈阳实验学校·期中）为了做一个试管架，在长为a（cm）（a>6）的木板上钻3个小孔（如图），每个小孔的直径为2cm，则x等于（        ） A. cm B. cm C. cm D. cm 6．（25-26学年七上·辽宁实验中学·期中）数轴上点A表示的数是－4，将点A在数轴上平移8个单位长度得到点B，则点B表示的数是（       ） A. 或12 B. 4或 C. 4 D. －12 7．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）如图是某月的月历，现用“ ”图形在月历中框出5个数，它们的和为55，不改变“ ”图形的大小，将“ ”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（       ） A. 110 B. 88 C. 107 D. 40 8．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）如图,为做一个试管架,在a cm长的木条上钻了4个圆孔,每个孔的直径为2 cm,则x(单位:cm)等于(　　) A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）【问题背景】 已知点，，，在数轴上对应的数分别为，，，．线段沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，设移动时间为秒．例如线段的长度为或． （1）【初步发现】 求线段的长度； （2）【问题解决】 若，回答下列两个问题： ①当点在点的左侧，同时点在点的右侧时，用含的代数式表示线段的值； ②若点，与线段同时移动，点以每秒1个单位长度的速度向数轴的正方向移动，点以每秒1个单位长度的速度向数轴的负方向移动．在移动过程中，求线段的值．（可用含的代数式表示） 10．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是　　　　． 11．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）安徽砀山是著名的水果之乡，现有一些箱子用来装苹果，若每只箱子装苹果25千克，则剩余40千克的苹果没有箱子装；若每只箱子装苹果30千克，则余下20只空箱子，请你帮忙计算这些箱子有多少只？ 12．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）甲，乙两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是，水流速度是． （1）后甲，乙两船相距多远？ （2）若甲船从港口顺水航行到达港口；从港口返回港口逆水而行，用了，求水流速度． 13．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）综合与实践：利用长方形纸板制作礼品盒 七年一班数学兴趣小组同学制作三种不同形状的礼品盒：长方体礼品盒，圆柱体礼品盒，底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒．请回答下列问题： 【制作长方体礼品盒】 第一小组同学选择长为，宽为的长方形纸板，如图1，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒． （1）当剪去的小正方形的边长为5时，求该长方体礼品盒的体积． 【制作圆柱体礼品盒】 第二小组同学选择两张长为，宽为的长方形纸板，如图2，一张作圆柱体的侧面，另一张裁出两个大小相等的最大圆． （2）请说明它们能组装成高为的圆柱体礼品盒吗，如果不能，请写出修改方案（取3）． 【制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒】 如图3，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面组成．第三小组同学选择长为，宽为的大长方形纸板若干张，其中一张长方形纸板可裁剪2张小长方形侧面或3张等边三角形底面． （3）若所裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，设用x张长方形纸板裁剪侧面，则用　　　张长方形纸板裁剪底面（用含的代数式表示）； （4）若第三小组同学用16张长方形纸板，则能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒的最多个数是　　　． 14．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）在北师大版教材七年级上册第三章的学习过程中，经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程，归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略，请用归纳策略解答下列问题 （1）探究一：如图1，将一根绳子折成3段，然后按如图所示方式剪开；如图1-1，剪1刀，绳子变为4段；如图1-2，剪2刀，绳子变为7段；…… ①剪12刀，绳子变为          段； ②有可能正好剪得98段吗？请说明理由 （2）探究二：将一根绳子折成4段，然后按（1）中方式剪开；如图2，剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为                    段；剪n刀，绳子变为                              段 （3）归纳：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为                    段（用含m，n的代数式表示） （4）问题解决：将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式方式剪n刀，绳子变为100段，则 的值为                                 15．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）某学校七年级4名老师带领本班m名学生参加实践活动．已知该活动基地每张门票的票价为30元．现有A、B两种购票方案可供选择： 方案A：教师全价，学生半价； 方案B：不分教师与学生，师生全部六折优惠． （1）请分别计算两种方案的总费用（请用含m的代数式表示）； （2）当学生数是多少时，两种方案价格一样； （3）当时，请通过计算来说明A、B两种购票方案中哪种更为优惠． 16．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在数轴上，O为原点，点A对应的数为2，点B对应的数为．在数轴上有两动点C和D，它们同时向右运动，点C从点A出发，速度为每秒2个单位长度，点D从点B出发，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒，当点O，C，D中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为　　　　　　　　． 17．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如表： 每月用水量 收费 不超过10吨的部分 水费1.6元/吨 10吨以上至20吨的部分 水费2元/吨 20吨以上的部分 水费2.4元/吨 （1）若小刚家6月份用水18吨，则小刚家6月份应缴水费多少元？ （2）若小刚家7月份的平均水费为1.75元/吨，则小刚家7月份的用水量为多少吨？ （3）若小刚家8月、9月共用水40吨，9月底共缴水费78.8元，其中含2元滞纳金（水费为每月底缴纳，因8月份的水费未按时缴，所以收取了滞纳金），已知9月份用水比8月份少，求小明8、9月各用多少吨水？ 18．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）小王看到两个商场的促销信息如图所示． （1）当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？ （2）当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？ （3）小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？ 19．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． （1）写出数轴上点B表示的数______； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①：若，则______． ②：的最小值为______． （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．求当为多少秒时？A，P两点之间的距离为2； （4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒2个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？P，Q之间的距离为4． 20．（25-26学年七上·辽宁沈阳和平区一二六中学·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小东在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （1）如图1，在数轴上，两个有理数从左到右依次是，b，折叠这条数轴所在纸面，若使表示的点与5表示的点重合，折痕与数轴的交点表示的数为n，则___________；此时，数b表示的点与数表示的点重合，则___________； （2）若在数轴上点、表示的数分别是、3，且数轴上有点，使点到点的距离是点到点距离的4倍，那么点表示的数是多少； （3）如图2，在数轴上剪下到10共12个单位长度的部分（不考虑宽度），并把这条数轴沿数所在点折叠，使表示的点落在这条线段上，然后在重叠部分某处剪开，展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，直接写出m的值． 21．（25-26学年七上·辽宁沈阳和平区一二六中学·期中）将从1到1800的正整数按一定规律排列如图： （1）探究如图“+”框中的5个数： ①设这5个数中间的数为，这5个数的和是240，求是多少？； ②这5个数的和可能是2005吗？___________（填能或不能） （2）数1240排在第___________行，第___________列； （3）若“+”形框中框住的五个数的和记为“S”，则的最大值与最小值的差等于___________． 22．（25-26学年七上·辽宁沈阳实验学校·期中）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合．这时表示的点与表示的点也重合，则的值是　　　　　　． 23．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年七上·辽宁丹东·期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们称点C是的妙点，若点C到B的距离是点C到A的距离的2倍，我们称点C是的妙点． （1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为2．表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D        的妙点，点D        的妙点．（请在横线上填是或不是） （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4．则的妙点所表示的数是          ．    （3）如图3， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过        秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点． 25．（25-26学年七上·辽宁阜新实验中学·期中）给出如下定义：A点、点B是数轴上的两个点，其中点A表示的数是，点B表示的数是1，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为m（即）则称点P为点A、B的“m级幸运点”，例如图1所示，若点P表示的数为0，有，则称点P为点A、B的“6级幸运点”．    （1）若点C为点A、B的“m级幸运点”，且点C在数轴上表示的数为2，则______； （2）若点D是数轴上点A、B的“10级幸运点”，且点D在点B的右侧，设点D表示的数为x，求x的值； （3）若点E在数轴上（不与A、B重合），满足A、E之间的距离是B、E之间距离的3倍，且此时点E为点A、B的“m级幸运点”，直接写出m的值． 26．（25-26学年七上·辽宁本溪·期中）数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：点A，B在数轴上分别对应的数为a，b．则A，B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题：已知数轴上A，B两点对应的数分别为和9，P为数轴上一点，对应的数为x． （1）P，B两点间的距离可表示为______（用含x的式子表示）； （2）当点P在A，B两点之间且时，点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度、每秒1个单位长度沿数轴正方向运动．设A、B、P三点运动时间为t秒，则运动t秒后点A表示的数为______，点B表示的数为______，点P表示的数为______（用含t的式子表示）； （3）在（2）的条件下，当时，求t的值． 27．（25-26学年七上·辽宁实验中学·期中）【背景知识】． 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：，若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．        （1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为______，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为______；运动t秒后，点A表示的数为______（用含t的式子表示）． （2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； （3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 28．（25-26学年七上·辽宁辽阳第一中学·期中）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段的长度是线段的长度的2倍，那么称点C为线段的“友好点”． （1）如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为线段上一点，且点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为______； （2）如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是，，点C为数轴上一点，若点C为线段的“友好点”，则点C表示的数为_______； （3）如图③，若数轴上点A表示的数是，点C表示的数是，若点C为线段的“友好点”，则点B表示的数为________； （4）如图④，若数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒． 当t为何值时，点P是线段的“友好点”． 29．（25-26学年七上·辽宁大连名校联·期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且点与点的距离为24． （1）写出数轴上点表示的数______； （2）表示6与2之差的绝对值，实际上也可理解为6与2两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离．试探索： ①若，则______； ②的最小值为______； （3）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，当____，点，两点之间的距离为2． 30．（25-26学年七上·辽宁大连第七十九中学·期中）在同一直线上的三点A、B、C，若满足点C到另两个点A、B的距离之比是2，则称点C是其余两点的亮点（或暗点），具体地，当点C在线段AB上时，若，则称点C是[A，B]的亮点：若点C在线段AB延长线上，，则称点C是的暗点，例如，如图1，在数轴上分别表示数，-1，2，1，0，则的点C是的亮点，又是的暗点；点D是的亮点，又是的暗点． （1）如图2，M、N为数轴上的两点，点M表示的数为－2，点N表示的数为4，则的亮点表示的数是 ，的暗点表示的数是              ； （2）如图3，数轴上的点A所表示的数为点所表示的数为－20，点B表示的数为40，一只电子蚂蚁P从点B出发以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒． ①求当t为何值时，P是的暗点； ②求当t为何值时，P、A和B三个点中恰有一个点为其余两点的亮点． 31．（25-26学年七上·辽宁鞍山高新区·期中）A、B两个动点在数轴上同时做匀速运动，运动方向不变，它们的运动时间和在数轴上的位置所对应的数记录如下表． （1）根据题意，填写下列表格： 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 ___________ B点在数轴上的位置 ___________ 12 20 （2）A、B两点在___________秒时相遇，此时A、B点对应的数是___________； （3）在A、B两点上分别安装一个感应器，感应距离为3至8（即当两点距离大于等于3，小于等于8时会一直发出震动提示，距离太远或太近都不提示）． ①A、B两点开始运动后，经过几秒感应器开始发出提示？第一次提示持续多长时间？ ②数轴上有一动点C，在感应器开始发出第二次提示时，从原点出发，沿数轴以3个单位长度/秒的速度运动，C点运动几秒，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是？ 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 B点在数轴上的位置 12 20 32．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）如图，在长方形中，，，点E在边上且，动点P从A点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以每秒的速度沿运动，再以每秒的速度沿运动，最终到达点设点P运动的时间是t秒，那么当　　　　　　时，的面积等于 33．（25-26学年七上·辽宁沈阳第七中学·期中）综合与实践 （1）活动一： 研究下列等式，你发现了什么规律？用字母表示这个规律． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 写出第n个等式：______． 活动二： 如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，a是多项式的一次项系数，b是常数项． （2）______， ______； （3）有一动点P从A出发，沿数轴来回移动，其移动方式是第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，第五次向左移动9个单位长度……，按此规律不断左右移动，当移动2025次时，求点P对应的有理数． （4）在（3）的条件下，①经过第______次移动点P对应的数为9； ②当点P对应的数为时，求移动的次数． 34．（25-26学年七上·辽宁沈阳实验学校·期中）数轴上三点M，O，N对应的数分别为，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x． （1）的长为________； （2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由； （4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值． 35．（25-26学年七上·辽宁大连高新园·期中）【问题背景】 数学活动课上，王老师带领同学们探究月历中的奥秘．将如图的年月的月历复印给同学们，以小组为单位进行探究． 【探究一】 （1）第一小组的同学们设计了一个如图的形框，若形框覆盖的五个数的和为，求这五个数中最小的数． 【探究二】 （2）第二小组的同学们设计了如图的形框，设形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，，求的值． 【探究三】 （3）第三小组的同学们设计了如图4，图5的十字形框和形框，设十字形框的中心数为，覆盖的五个数的和为；型框的中心数为，覆盖的七个数的和为，若，求的值． 36．（25-26学年七上·辽宁大连第三十四中学·期中）对于数轴上三个不同的点，给出如下定义：在线段中，若其中有两条线段相等，则称三点是“均衡点”． （1）点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是三点______（填“是”或“不是”）“均衡点”； （2）在（1）的条件下，点表示的数是，且三点是“均衡点”，求则的值； （3）点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧，线段（为正整数），线段，若三点是“均衡点”，且关于的一元一次方程的解为整数，直接写出所求的值． 37．（25-26学年七上·辽宁沈阳虹桥中学·期中）数形结合是非常重要的数学思想方法． 如图①，在直角三角形中，，，， （1）动点E，F同时从A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，经过______秒两点首次相遇，相遇时它们距点B______个单位长度； （2）如图②，动点K从B出发，沿折线运动，速度为每秒2个单位长度，到达A点停止运动，设点K的运动时间为t秒，当的面积最大时，直接写出t的值为______； （3）如图③，将三角形的顶点A与数轴原点重合，将数轴正半轴部分沿折叠在三角形的两边上，得到一条“折线数轴”．动点P从点M出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点A运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向数轴的正方向运动，同时，点Q从点N出发，以2个单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点C运动到点A期间速度变为个单位/秒，过点A后继续以原来的速度向数轴的负方向运动，设运动时间为m秒．在此运动过程中，P，Q均不停止，当时，请直接写出m的值为______． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 从算式到方程 考点02 等式的性质 考点03 解一元一次方程 考点04 实际问题与一元一次方程 考点01 从算式到方程 1．A 2．B 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解，根据是关于的方程的解，将代入方程中，通过计算求出的值． 【详解】 解：把代入方程， 可得：， 即 ， 解得：． 故答案为：． 4．【答案】1 【分析】 本题主要考查了求代数式的值，一元一次方程的解， 将方程的解代入方程得到参数关系，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：因为是方程的解， 所以， 所以． 故答案为：1． 5．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是一元一次方程的定义，绝对值的意义，由题意得出且，求解即可，解题关键是熟记一元一次方程的未知数的次数是1． 【详解】 解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：或，且， ∴， 故答案为：． 考点02 等式的性质 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 考点03 解一元一次方程 1．A 2．C 3．【答案】2 【分析】 本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】 解：把代入方程，得， ， 故答案为：2． 4．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． (1) 小问详解： 解：去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； (2) 小问详解： 解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 5．【答案】（1）是，理由入下     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了代数式求值，有理数的计算，解一元一次方程， 对于（1），计算是否相等判断即可； 对于（2），根据定义可得，求出解即可； 对于（3），根据定义得，再求出代数式的值即可． (1) 小问详解： 解：是，理由入下： 因为，得， 所以是“美好数对”； (2) 小问详解： 解：因为是“美好数对”， 所以， 解得； (3) 小问详解： 解：根据定义得， 所以， 即． 6．【答案】（1）（2） 【分析】 本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数法化1，进行求解即可． 【详解】 解：（1）原式； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 7．【答案】（1）     （2）     （3） 不具有交换律，理由如下： 举例： ，， ． 不具有交换律．      【分析】 此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）分别利用题中的新定义化简已知两式，使其相等列出方程，求出方程的解即可得的值； （3）不具有交换律，举例说明即可． (1) 小问详解： 解：根据题中的新定义得：； (2) 小问详解： 解：，， ， 解得：； (3) 小问详解： 略 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解，将代入原方程，即可求出答案. 【详解】 解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得． 故答案为：． 9．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程： （1）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减即可得到答案； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可得到答案． 【详解】 （1）解： ； （2）解： 去分母（方程两边乘4），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．【答案】（1）     （2）50     （3）     （4）     （5）     （6）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算、解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法分配律即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （3）直接合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可； （5）移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （6）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ； (5) 小问详解： 解： ； (6) 小问详解： 解： ． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． (1) 小问详解： 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； (2) 小问详解： 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 12．【答案】（1）方程与方程是“成双方程”     （2）     （3）      【分析】 本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． （3）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：方程与方程是“成双方程”，理由如下： 由方程：，可得：， 由方程：，可得：， 方程与方程的两个解的和为： 方程与方程是“成双方程” (2) 小问详解： 解：由方程：，可得：， 由方程：， 可得： 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：； (3) 小问详解： 解：由方程：，可得：， 与互为“成双方程”， 的解为：， 又关于的方程，可化为：， ， 关于的方程的解为：． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查一元一次方程的基本求解步骤，关键在于熟练和理解每个步骤对求解的作用． （1）对方程移项、合并同类项，未知数系数化为，即可； （2）对方程去分母，然后去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为，即可． (1) 小问详解： 解：移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 原方程的解为． (2) 小问详解： 解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 所以原方程的解为． 14．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． （1）根据举例过程，把代入，进行计算即可； （2）把代入，，进行计算即可． （3）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，则，把代入即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：当时， ， ， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得：， ∴． 考点04 实际问题与一元一次方程 1．A 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 7．A 8．D 9．【答案】（1）     （2）①　　②或      【分析】 本题考查数轴和整式的加减运算： （1）根据题干信息可得，线段的长度为． （2）① 当时，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，据此即可求得答案；② 点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，分两种情况：当点在点的右侧时和当点在点的左侧时． (1) 小问详解： 线段的长度为． (2) 小问详解： ① 当时，点，，，在数轴上对应的数分别为，，，． ， ， ； ② 点，，，在数轴上对应的数分别为，，，． ， 当点在点的右侧时， ， ； 当点在点的左侧时， ， ， 综上所述，线段的值为或． 10．【答案】1或-7 -7或1 【分析】先根据点A所表示的数，再分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点B表示的数． 【详解】解：∵点表示-3， ∴从点出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点，则点表示的数是． ∴从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是． 【点睛】 此题考查了数轴，解题的关键根据题意列出式子，再根据有理数的加减法法则进行计算，要考虑两种情况，不要漏掉． 11．【答案】128只 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，设这些箱子有x只，根据题意，由两种方式的苹果总重量相等列方程求解即可． 【详解】 解：设这些箱子有x只， 根据题意，得， 解得， 答：这些箱子有128只． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用，整式加减运算的实际应用，正确掌握船在水中顺流与逆流时的速度关系是解题关键． （1）首先根据题意得出甲船顺水时的航行速度为，乙船逆水时的航行速度为，由此即可得出二者2小时后各自的航行距离，据此进一步计算即可得出答案． （2）根据往返路程相等，列出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得， ， 答：后甲，乙两船相距； (2) 小问详解： 解：根据往返路程相等，列得方程，， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 系数化为1，得， 答：水流的速度为． 13．【答案】（1）； （2）根据题意可得圆柱体的底面圆直径为， 故底面圆周长为， 根据长方形长为，宽为， ∵， ∴不能组装成高为的圆柱体礼品盒． 修改方案如下： 一张作圆柱体的侧面，另一张分成9等份，如图裁出两个大小相等的圆． （3）；（4）7 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意． （1）根据题意算出长方体礼品盒的长、宽、高，再根据体积公式计算即可． （2）根据题意算出底面圆周长，比较即可解答． （3）设用了a张长方形纸板裁剪底面，则可裁剪出张等边三角形底面，用x张长方形纸板裁剪侧面，可裁剪出张小长方形侧面，根据直三棱柱礼品盒中小长方形侧面的个数：等边三角形底面的个数，列式表示即可解答． （4）设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面，故可裁剪出张侧面，张底面，列式算出，即可求解． 【详解】 解：（1）当剪去的小正方形的边长为5时， 长方体礼品盒的高为，长为，宽为的长方形纸板， 故该长方体礼品盒的体积为． （2）略 （3）设用了a张长方形纸板裁剪底面， 则可裁剪出张等边三角形底面， 用x张长方形纸板裁剪侧面，可裁剪出张小长方形侧面， ∵直三棱柱礼品盒中小长方形侧面的个数：等边三角形底面的个数， 故， 则， ∴若所裁剪的侧面和底面两种型号纸板恰好用完，则用张长方形纸板裁剪底面； 故答案为：． （4）∵第三小组同学用16张长方形纸板， 设用了y张纸板裁剪侧面，则用张纸板裁剪底面， 故可裁剪出张侧面，张底面， ∴，即， ∵y为正整数，故y最大为11， ∴可以裁剪出张侧面，张底面， ∵一个三棱柱由2个底面，3个侧面， ，取最大整数， 故能制作底面为等边三角形的直三棱柱礼品盒的最多可剪7个三棱柱纸盒． 故答案为：7． 14．【答案】（1）①37； ② 没有可能正好剪得98段， 理由：由① 可得，剪n刀，绳子变为段， ， ，不是正整数， 没有可能正好剪得98段；     （2）9；     （3）     （4）或      【分析】 此题主要考查了图形的变化类，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． （1）① 将一根绳子折成3段剪1刀，绳子变为4段；剪2刀，绳子变为7段；……依此类推，可得剪12刀，绳子变为段； ② 由① 可得，剪n刀，绳子变为段，解方程即可解答； （2）结合图形，由（1）的规律即可得出答案； （3）由（1）、（2）规律可得出答案； （4）由（3）的规律可得出答案． (1) 小问详解： 解：①剪1刀，绳子变为4段，；剪2刀，绳子变为7段， ；由此可得，剪3刀，绳子变为段，剪4刀，绳子变为段，…… 可得，剪12刀，绳子变为段； 故答案为：37； ② 略 (2) 小问详解： 解∶ 剪1刀，绳子变为5段，；剪2刀，绳子变为，9段；剪n刀，绳子变为段， 故答案为：9；； (3) 小问详解： 解：由（1）、（2）可得，将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为段， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：由（3）可得，将一根绳子折成m（m≥3）段，然后按（1）中方式剪n刀，绳子变为段， ， ， ， 又， 时或时， 或， 故答案为：或． 15．【答案】（1）方案A：元；方案B：元     （2）当学生数是16时，两种方案价格一样     （3）A种购票方案更为优惠      【分析】 本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据优惠方式列代数式即可； （2）根据“两种方案价格一样”列一元一次方程，解方程即可； （3）计算出时，两种方案的费用，比较大小即可． (1) 小问详解： 解：方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）； (2) 小问详解： 解：令， 解得， 即当学生数是16时，两种方案价格一样； (3) 小问详解： 解：当时，方案A的总费用为：（元）， 方案B的总费用为：（元）， ， 因此A种购票方案更为优惠． 16．【答案】2或 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，关键是根据题意找到等量关系式．先将经过t秒后点C和点D表示的数表示出来，再分为三种情况进行讨论：① 当点O为中点时；② 当点D为中点时；③ 当点C为中点时，分别列出方程求出t的值即可解答． 【详解】 解：根据题意得： 经过t秒后，点C表示的数为：，点D表示的数为：； ① 当点O为中点时：， 解得：； ② 当点D为中点时：， 解得：； ③ 当点C为中点时：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为2或． 故答案为：2或． 17．【答案】（1）32；（2）16吨；（3）小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 【分析】 （1）根据10吨以上至20吨的部分的水价和用水量列式计算即可； （2）由题意知小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，根据题意列出一元一次方程即可； （3）设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨，分两种情况：① 当x≤10时，② 当10＜x＜20时，分别列出方程求解． 【详解】 解：（1）∵小刚家6月份用水18吨， ∴小刚家6月份应缴水费为10×1.6+（18-10）×2=32（元）， 故答案为：32； （2）由题意可得小刚家7月份的用水量超过10吨而不超过20吨，设小刚家7月份用水量为x吨，依题意得： 1.6×10+2（x-10）=1.75x 解得：x=16， ∴小刚家7月份的用水量为16吨 （3）因小刚家8月、9月共用水40吨，9月份用水比8月份少，所以8月份的用水量超过了20吨． 设小刚家9月份的用水量为x吨，则8月份的用水量为（40-x）吨， 当x≤10时，依题意可得方程：1.6x+16+20+2.4（40-x-20）+2=78.8 解得：x=9， 当10＜x＜20时，依题意得：16+2（x-10）+16+20+2.4（40-x-20）+2=78.8 解得：x=8不符合题意，舍去． 综上：小刚家8月份用水31吨，9月份用水9吨． 【点睛】 此题考查了一元一次方程的应用，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． 18．【答案】（1）甲超市付款180元，乙超市付款190元     （2）240元     （3）18.1元      【分析】 本题考查一元一次方程的应用． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． (1) 小问详解： 解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是200元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元； (2) 小问详解： 由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样； (3) 小问详解： 由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价98元和150元时，需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品，需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省18.1元． 19．【答案】（1）     （2）①5或11；②22；     （3）当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2；     （4）当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4．      【分析】 （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）① 根据绝对值的性质即可求解； ② 根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，再建立方程即可求解； （4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4，再建立方程即可求解． (1) 小问详解： 解：点B表示的数． (2) 小问详解： ① ∵， ∴， 则或． ② ∵理解为在数轴上表示数的点到表示数与表示数的点之间的距离之和， ∴当数的点在表示数与表示数的点之间时，距离和最小， ∴的最小值为． (3) 小问详解： 设经过 t秒时，A，P之间的距离为2． 此时P点表示的数是， 则， 解得或． 故当t为3或5秒时，A，P两点之间的距离为2； (4) 小问详解： 设经过t秒时，P，Q之间的距离为4． 此时P点表示的数是，Q点表示的数， 则，即， 解得或． 故当t为9或5秒时，P，Q之间的距离为4． 【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解． 20．【答案】（1）2；2029     （2）点C表示的数是2或     （3）m的值为2或4      【分析】 本题考查了数轴上的两点之间距离，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的求法，能根据不同的比值进行分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上的两点之间距离，即可求解； （2）设点C表示的数是x，根据数轴上的两点之间距离，分两种情况解答求解； （3）设折痕处对应的点所表示的数是m，点B、点C表示剪痕，则三个线段分别为：，，，设三条线段的长为，，，可得，然后分类讨论，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得， ∵数b表示的点与数表示的点重合， ∴； 故答案为：2；2029 (2) 小问详解： 解：设点C表示的数是x， 当点C在点A，B之间时，， 解得：， 当点C在点B的右侧时，， 解得：， 综上所述，点C表示的数是2或； (3) 小问详解： 解：由题意可得：， ∵三条线段的长度之比为， 可设三条线段的长为，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴； 当时，，，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ， ∴； 综上所述，m的值为2或4． 21．【答案】（1）①48② 能     （2）138；7     （3）8895      【分析】 本题主要考查数字的变化规律，列代数式，一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚各数之间的规律． （1）① 用含a的式子表示各个数，再求和，从而可求解； ② 结合① 列方程进行求解即可； （2）不难看出，第n行的最后一个数为，再有，从而可判断1240的位置； （3）根据“+”形框的形状，不难得到“+”形框中最小的数为11，最大的数为1790，从而可求相应的S的值，再求差即可． (1) 小问详解： 解：观察“+”形框中框住的五个数，中间数为时，上下左右的数分别为， 这5个数的和为， 当这5个数的和为240时，， 解得：， 故答案为：； ②， 解得， 所以，这5个数的和能为2005， 故答案为：能； (2) 小问详解： 解：由数表知，每一行都有9个数，则第n行的最后一个数为， 又， 所以，数1240排在第138行，第7列； 故答案为：138；7； (3) 小问详解： 解：根据“+”形框的形状，可得“+”形框中最小的数在第二行第二列为11， 最大的数在第199行第8列，为， ∴当最小的数为11时，则这5个数的和； 当最大的数为1790时，则这5个数的和， ∴S的最大值与最小值的差为：， 故答案为：8895． 22．【答案】50 【分析】 本题主要考查了数轴的折叠问题，熟练掌握折叠后重合的点关于对称中心对称，利用对称点的数量关系建立等式是解题的关键．先确定折叠后数轴的对称中心，再根据对称点到对称中心的距离相等这一性质，建立关于的等式求解． 【详解】 解：∵ 折叠后表示的点与表示的点重合， ∴ 对称中心为． ∵ 表示的点与表示的点重合， ∴ ， 化简得，即， 解得． 故答案为：． 23．【答案】4 【分析】 本题主要考查一元一次方程的应用，设长方形的宽为，根据长减少、宽增加后，面积保持不变，列出方程求解。 【详解】 解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 24．【答案】（1）不是，是     （2）2或     （3）      【分析】 （1）根据妙点的定义解答即可； （2）分妙点在点M和点N中间时和妙点在店N的右边时两种情况求解即可； （3）分三种情况根据妙点的定义列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点到点的距离是1，到点的距离是2， ∴， ∴点不是的妙点，点是的妙点； (2) 小问详解： 解：设妙点表示的数为x， 当妙点在M和N之间时，由题意得 ， ∴， 当妙点在N点右侧时，由题意得 ， ∴， ∴的妙点所表示的数是或； (3) 小问详解： 解：设运动时间为t秒， ①若P为的妙点，则， 解得； ②若P为的妙点，则， 解得； ③若A为的秒点或B为的秒点时，此时P为的中点，则， 解得； ∴当t为时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点． 【点睛】 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，以及一元一次方程的应用，熟练根据妙点的定义列出方程求解是解题的关键． 25．【答案】（1）8     （2）3     （3）6或12      【分析】 本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，理解新定义，是解题的关键： （1）求出的值即可； （2）根据题意，得到，列出方程进行求解即可； （3）分点在之间以及点在点右侧两种情况进行讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点A表示的数是，点B表示的数是1，点C在数轴上表示的数为2， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8； (2) 小问详解： 由题意，得：， 解得：； (3) 小问详解： 当点在之间时，， 此时：， 当点在点右侧时，设之间的距离为，则：，解得：， ∴， 此时：， 综上：或． 26．【答案】（1）     （2）；；     （3）或      【分析】 本题主要考查了数轴上两点间的距离，列代数式，一元一次方程的应用，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式和解含有绝对值符号的一元一次方程的一般步骤． （1）根据数轴上两点距离公式，列出算式即可求解； （2）先根据两点间的距离公式求出点P对应的数，然后根据题意列出代数式，即可求解； （3）根据列出方程，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵点P为数轴上一点，对应的数为x，B点对应的数为9， ∴P，B两点间的距离可表示为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：∵A，B两点对应的数分别为和9，， ∴， 解得， ∴点P对应的数为， ∵点A，B，P同时开始在数轴上分别以每秒3个单位长度，每秒2个单位长度，每秒1个单位长度沿数轴正方向运动， ∴运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：依题意得：， ， ， ， 或， 解得或． 27．【答案】（1）4；3；     （2）16或1或4     （3）当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为      【分析】 （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； （3）由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，由可知点A在点B的左侧，化简，即可求解． (1) 小问详解： 解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为；A点与C点的中点D表示的数为； 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：4；3；； (2) 小问详解： 解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 当点A是点B，C的中点时，， 解得：； 当点B是点A，C的中点时，， 解得：； 当点C是点A，B的中点时，， 解得：； 综上所述，t的值为16或1或4； (3) 小问详解： 解：存在， 由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵， ∴点A在点B的左侧， ∴ ， ∵的值为定值， ∴， 解得：； 综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 28．【答案】（1）2     （2）或2     （3）或     （4）t的值是或4，点P是线段的“友好点”      【分析】 （1）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据“友好点”的定义计算即可； （2）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可； （3）将点表示的数设出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可； （4）根据题意，将点表示出来，利用“数轴上两点之间的距离数轴上右边的数数轴上左边的数”将表示出来，根据点在线段上或者在线段的延长线上两种情况分类讨论，再根据“友好点”的定义计算即可． (1) 小问详解： 解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为线段上一点，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴点表示的数为； (2) 小问详解： 解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵点C为数轴上一点，且，数轴上A，B两点所表示的数分别是，， ∴点在线段上或在线段的延长线上； 当点在线段上时， ，则，解得； 当点在线段的延长线上时， ，则，解得； 综上所述，点表示的数为或． (3) 小问详解： 解：根据“友好点”的定义可知，， 设点表示的数为， ∵数轴上点A表示的数是，点C表示的数是， 当点在线段上时，， 则，解得； 当点在线段的延长线上时，， 则，解得； 综上所述，点表示的数为或． (4) 小问详解： 解：∵动点P从点A出发以每秒个单位的速度向右匀速运动，点A表示的数是， ∴点所表示的数为， ∵点是线段的“友好点”，点B表示的数是， ∴当点在线段上时， ， ∴，解得； 当点在线段延长线上时， ， ∴，解得； 综上所述，t的值是或4，点P是线段AB的“友好点”． 29．【答案】（1）     （2）①10或2；②16     （3）或      【分析】 本题主要考查了数轴、一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离等知识点， （1）根据两点间的距离公式可得数轴上点B表示的数； （2）① 根据绝对值的性质即可求解；② 根据两点间的距离公式即可求解； （3）设经过t秒时，A，P之间的距离为2，根据距离的等量关系即可求解； 关键是根据题意找到等量关系，列出方程求解． (1) 小问详解： 解：根据两点间的距离公式可得：数轴上点B表示的数， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：① ∵的几何意义是数轴上表示x的点与6两点之间的距离为4， ∴， ∴或2， 故答案为：10或2； ②的几何意义是数轴上表示x的点到与6两点之间的距离之和， ∴当x在与6之间时最小， ∴最小值为， 故答案为：16； (3) 小问详解： 解：设经过t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是， ∴， 解得，， 故当t为2或时，A，P两点之间的距离为2， 故答案为：2或． 30．【答案】（1）2，；（2）①；② 当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时， 【分析】 （1）结合题意，根据数轴、线段、有理数加减法和除法、绝对值的性质计算，即可得到答案； （2）① 根据题意，列一元一次方程并求解，即可得到答案； ② 结合题意，分点P为亮点、点P为亮点、点A为亮点、点A为亮点四种情况，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】 （1）根据题意，的亮点表示的数在线段上，即：亮点表示的数 ∵ ∴的亮点表示的数是：2； 根据题意，的暗点表示的数在线段延长线上，即：暗点表示的数，或暗点表示的数 ∵ ∴的暗点表示的数是：； 故答案为：2，； （2）① 根据题意，点P是的暗点，即点P在线段的延长线上 ∴， ∵ ∴ ∴； ② 当点P为亮点时，即P在线段上 ∴， ∴ ∴ 当点P为亮点时，即P在线段上 ∴ ∴； 当点A为亮点时，即A在线段上 ∴， ∴ ∴ 当点A为亮点时，即A在线段上 ∴，即 ∴， ∴ ∴ ∴当点P为亮点时，；当点P为亮点时，；当点A为亮点时，；当点A为亮点时，． 【点睛】 本题考查了有理数、一元一次方程、线段的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、有理数运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 31．【答案】（1）-4；-8     （2）3；4     （3）①A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒；②秒或秒或秒      【分析】 本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的应用： （1）根据表格中的数据，得出点A、B运动速度和方向，求出点A在7秒时的位置和点B在0秒时的位置即可； （2）根据A、B两点间的距离和A、B运动速度求出A、B两点相遇时间；根据A、B两点在0秒时的位置，结合运动速度和方向，求出相遇时，A、B点对应的数即可； （3）①根据A、B两点间的距离和A、B运动速度，结合题意列出算式计算即可得出开始运动到发出第一次提示的时间；算出第一次持续振动过程中通过的单位长度，然后根据两个点的速度求出持续振动时间即可；②根据A、B运动速度，开始运动到第二次振动需要运动的总路程，算出第二次开始发出提示的时间，进而求出此时点A和点B表示的数，设点C出发的时间为t秒时，再分当点C向左运动时，当点C向右运动时，两种情况分别表示出，进而根据C点到A点的距离与C点到B点的距离比是建立方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵0秒时，点A在数轴上的位置为10，5秒时，点A在数轴上的位置为0， ∴点A向左运动，且运动速度为个单位/秒， ∴7秒时，点A在数轴上的位置为； ∵5秒时，点B在数轴上的位置为12，7秒时，点B在数轴上的位置为20， ∴点B向右运动，且运动速度为个单位/秒， ∴0秒时，点B在数轴上的位置为， 时间（秒） 0 5 7 A点在数轴上的位置 10 0 B点在数轴上的位置 12 20 (2) 小问详解： 解：根据解析（1）可知，点A向左运动，每秒运动2个单位，点B向右运动，每秒运动4个单位，则A、B两点相遇时间为： （秒）； 相遇时A、B两点对应的数为； 故答案为：3；4． (3) 小问详解： 解：①当A、B两点相距8个单位时，发出提示， ∴感应器开始发出提示的时间为：（秒）； ∵当A、B两点相距3个单位时，停止发出提示， ∴持续个单位， ∴第一次提示持续时间为（秒）， 即A、B两点开始运动后，经过秒感应器开始发出提示，第一次提示持续秒； ② ∵当A、B两点相遇后，再相距3个单位开始第二次提示， ∴A、B两点开始运动后，到第二次发出提示的时间为：（秒）， ∴第二次发出提示时，点A表示的书为，点B表示的数为， 设点C出发的时间为t秒时， 当点C向左运动时， ∴点C表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是， ∴， 解得； 当点C向右运动时， ∴点C表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴，， ∵C点到A点的距离与C点到B点的距离比是， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，当点C出发秒或秒或秒时，C点到A点的距离与C点到B点的距离比是． 32．【答案】或或 【分析】 本题考查一元一次方程的应用，分点P在边上，点P在边上，且在点E左侧，点P在边上，且在点E右侧和点P在边上，四种情况进行讨论求解即可． 【详解】 解：，， ，， ① 如图，当点P在边上时，， ， 解得； ② 如图，当点P在边上，且在点E左侧时， ， ， 解得； ③ 如图，当点P在边上，且在点E右侧时， ， ， 解得， 不符合题意，舍去； ④ 如图，当点P在边上， ，， ， ， ， 则， 解得， 综上，当或或时，的面积等于7平方厘米． 故答案为：或或 33．【答案】（1）；     （2）；7     （3）；     （4）① 14；② 45      【分析】 （1）分别得出左右两边的规律即可得出等式； （2）根据多项式的定义求解即可； （3）根据题意可知向左移动一次向右移动一次为两次一组，得出2025移动了1012组余1次，且第2025次向左移个单位，则第2024次向右移动4047个单位，再结合（1）的规律求解即可； （4）①利用（1）中的规律求解即可； ②利用（1）中的规律求解即可． (1) 小问详解： 解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第n个等式：； (2) 小问详解： 解：∵a是多项式的二次项系数，b是常数项． ∴，； (3) 小问详解： 解：根据题意可知向左移动一次向右移动一次为两次一组， ∴（组）余1次， 且第2025次向左移个单位， 则第2024次向右移动4047个单位， 由（1）知， ∴ ， 故点P对应的有理数为； (4) 小问详解： 解：①设移动了m次， 若m为偶数，设，由规律可知，每移动两次，点P向右移动2个单位， 此时点P对应的数为， 令，解得，即； 若m为奇数，设， 此时点P对应的数为， 因为，所以，不可能等于9 故经过第14次移动点P对应的数为9； ②设移动了m次， 情况一：当m为偶数时，设， 点P对应的数为， 令，得，无正整数解，舍去； 情况二：若m为奇数，设， 此时点P对应的数为， 令， 解得， （次） 则当点P对应的数为时，移动了45次． 34．【答案】（1）4     （2）1     （3）或5；     （4）t的值为或4．      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的求解．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）计算即可； （2）根据题意得：，即可求解； （3）分类讨论：① 当点P在点M的左侧时，②P在点M和点N之间时，③ 点P在点N的右侧时，三种情况即可求解； （4）设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即．点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是．分类讨论① 当点M和点N在点P同侧时，② 当点M和点N在点P异侧时两种情况即可求解； (1) 小问详解： 解：的长为； 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：根据题意得：， 解得：； (3) 小问详解： 解：① 当点P在点M的左侧时． 根据题意得：． 解得：． ②P在点M和点N之间时， 则， 方程无解，即点P不可能在点M和点N之间． ③ 点P在点N的右侧时， ． 解得：． ∴x的值是或5； (4) 小问详解： 解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即． 点P对应的数是，点M对应的数是，点N对应的数是． ① 当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合， 所以，解得，符合题意． ② 当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧）， 故．． 所以，解得，符合题意． 综上所述，t的值为或4． 35．【答案】（1）; （2）； （3）或． 【分析】 本题主要考查了整式的加减、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据月历表中数字排列的规律列出代数式，再根据相等关系列方程． 设这五个数中最小的数为，则另外四个数为，，，，根据这五个数的和为列方程求解； 设，则有这五个数分别为，，，，把这五个数相加即可； 把十字形框中的数用含的代数式表示出来，把形框中的数用含的代数式表示出来，根据可得：，可知一定是的倍数，分情况讨论即可． 【详解】 解：设这五个数中最小的数为，则另外四个数为，，，， 根据题意得：， 解得：， 这五个数中最小的数为； 解：形框覆盖的五个数从小到大依次为，，，，， 设，则，，，， 可得： ； 解：设十字形框的中心数为，则另外四个数分别为，，，， ， 设型框的中心数为，则另外六个数分别为，，，，，， ， ， ， ，都是正整数， 是的倍数， 若， 在月历表的最左侧一列，不能为形框的中心数，舍去； 若，则，，都符合； 若，则，，都符合； 若，则 在月历表的最下一行，不能为十字形框的中心数，舍去； 同理，若或，都不能为形框的中心数，舍去． 综上所述，的值为或． 36．【答案】（1）不是     （2）或或     （3）或或或或      【分析】 本题考查解一元一次方程、数轴上两点之间距离，解决本题的关键是熟练掌握并灵活运用这些知识点． （1）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，再由“均衡点”定义判断即可得到答案； （2）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，，，再由“均衡点”定义分三种情况，列方程求解即可得到答案； （3）根据题意，由数轴上两点之间距离求法，分别表示出，，，再由“均衡点”定义分三种情况，作出图形，数形结合分析求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， ， 三点不是“均衡点”， 故答案为：不是； (2) 小问详解： 解：∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，，， 三点是“均衡点”， 分情况讨论： ① 当时，， 则或， 解得或（与点重合，舍去）； ② 当时，， 则或， 解得（与点重合，舍去）或； ③ 当时，， 则或， 解得； 综上所述：的值为或或， 故答案为：或或； (3) 小问详解： 解：∵三点是“均衡点”， 点表示的数是，点表示的数是，点在点的左侧， ，，中有两条线段相等， 关于的一元一次方程的解为整数， ， ① 当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 当时，； 即此种情况下，的值为或； ②当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 即此种情况下，的值为； ③ 当时，如图所示： 则， ∴，则， 为正整数， ，即， 为整数， 也为整数， 分正与负或负与正讨论，可得取， 又， 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，则； 当时，，符合要求，则； ， ， 当时，； 当时，； 当时，； 即此种情况下，的值为或或； 综上所述：的值为或或或或． 37．【答案】（1）8，2     （2）     （3）或或或11      【分析】 本题考查有理数运算的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）用总路程除以两点的速度和，求出相遇时间，进而求出点走的路程，即可得出结果； （2）根据题意，易得当点与点重合时，的面积即为的面积，此时面积最大，进行求解即可； （3）分5种情况进行讨论，分别列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：相遇时间：（秒）， E走的路程为：， 相遇点到B的距离为：， 故答案为：8，2； (2) 小问详解： 解：当K运动到与点C重合时，的面积最大，此时 故答案为：4； (3) 小问详解： 解：从M到A所用时间：， 从A到C所用时间：， Q从N到C所用时间：， 从C到A所用时间：， 当时，，， ， ， ； 当时，，， ， ， ，符合题意； 当时，，， ， ，符合题意； 当时，，， ，不符合题意； 当时，，， ， ， ， 综上所述，或或或 故答案为：1或或或 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $