第3章 不等式全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版必修第一册

第3章 不等式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、利用作差法与作商法比较大小 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 题型三、利用不等式性质证明不等式 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 题型五、利用基本不等式求简单最值问题 题型六、基本不等式的实际应用 题型七、不含参数的二次不等式 核心提升：重难题型归纳 题型一、利用基本不等式证明不等式 题型二、利用基本不等式求复杂最值问题 题型三、含参数的二次不等式 题型四、根的分布问题 题型五、二次不等式恒成立与能成立问题 题型专练：高频重难特训 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1．已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 2．（2026·高二·山东·学业考试模拟）设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 3．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 4．设，，则（    ）． A． B． C． D． 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 5．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 7．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测），，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·山东·学业考试模拟）对于实数，有下列说法，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型三、利用不等式性质证明不等式 9．（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 10．（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 11．（2026·高一·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 12．（2026·高一·四川广安·阶段检测）（1）已知，，，求证： （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 13．（2026·高一·甘肃平凉·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 14．已知，求的取值范围. 15．已知，，求的取值范围． 16．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 题型五、利用基本不等式求简单最值问题 17．（2026·高三·青海玉树·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值. 18．（2026·高一·江苏徐州·开学考试）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值． 19．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 20．（2026·高三·新疆喀什·阶段检测）已知正实数x，y满足等式. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 题型六、基本不等式的实际应用 21．（2026·高一·江苏徐州·开学考试）徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 22．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 23．（2026·高一·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 24．（2026·高一·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 题型七、不含参数的二次不等式 25．（2026·高一·甘肃白银·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) (4) 26．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 27．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 28．（2026·高一·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 题型一、利用基本不等式证明不等式 1．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 2．，求证：.（已知） 3．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 4．（2026·高一·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 题型二、利用基本不等式求复杂最值问题 5．（2026·高一·广东惠州·期中）（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知，求函数的最大值； （3）若、且，求的最小值. 6．（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 7．（2026·高一·河北保定·阶段检测）（1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 8．（2026·高一·河北衡水·期中）设正数a，b满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值． 题型三、含参数的二次不等式 9．（2026·高三·山西太原·阶段检测）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 10．（2026·高三·河南新乡·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围； (2)当时，解不等式. 11．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知关于的不等式的解集为， (1)求集合； (2)若中有且仅有两个整数，求的取值范围； (3)在问题①和问题②中任选一个作答． 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围． （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 12．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型四、根的分布问题 13．（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 14．已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 15．（2026·高一·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 16．（2026·高一·陕西·期中）已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 题型五、二次不等式恒成立与能成立问题 17．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18．（2026·高二·山西晋中·开学考试）已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 19．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 20．（2026·高二·上海黄浦·期末）命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 1．（江苏省百校大联考2026届高三9月学情检测数学试题）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 2．（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026·高一·河北保定·阶段检测）由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 5．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·贵州黔东南·开学考试）已知，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 8．（多选题）（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 9．（多选题）（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知集合，对于满足集合的所有实数，则使得不等式恒成立的的取值可能为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·高三·北京顺义·阶段检测）设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积为________. 11．（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 12．（2026·高一·山东威海·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 13．（2026·高一·广东惠州·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，，求的最大值. 14．（2026·高三·河南新乡·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 15．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 16．（2026·高一·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一、利用作差法与作商法比较大小 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 题型三、利用不等式性质证明不等式 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 题型五、利用基本不等式求简单最值问题 题型六、基本不等式的实际应用 题型七、不含参数的二次不等式 核心提升：重难题型归纳 题型一、利用基本不等式证明不等式 题型二、利用基本不等式求复杂最值问题 题型三、含参数的二次不等式 题型四、根的分布问题 题型五、二次不等式恒成立与能成立问题 题型专练：高频重难特训 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1．已知，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】D 【解析】作差，即； ①当，时，，即； ②当，时，，即； ③当，中一个小于1，另一个大于1时，，即； ④当，中有一个等于时，，即； 综上，当，或，时，，当，中一个小于1，另一个大于1时，；当，中有一个等于时，. 2．（2026·高二·山东·学业考试模拟）设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为.若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】依题意，， 则，而， 因此，所以. 3．已知，则之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【解析】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 4．设，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 5．（2026·高一·湖北荆州·阶段检测）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，且可得，且 因为，所以 又因为，所以， 所以 6．（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】D 【解析】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，可得，所以取时，不成立，故B错误； 对于C，取满足题意，则不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，所以，故D正确. 7．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测），，，则，，，由大到小的顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 8．（2026·高二·山东·学业考试模拟）对于实数，有下列说法，其中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，的正、负或是否为未知，因而判断与的大小关系缺乏依据，故A错误； 对于B，由，知，故，所以成立，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，若，则，则，则，故D正确． 题型三、利用不等式性质证明不等式 9．（2026·高一·天津河北·阶段检测）（1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【解析】（1）由，， 则， 因为，可得，所以； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 10．（2026·高一·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【解析】（1）；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 11．（2026·高一·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【解析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 12．（2026·高一·四川广安·阶段检测）（1）已知，，，求证： （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【解析】（1） 因为，所以，因为，所以， 所以，因为，所以. （2）充分性：因为， 所以方程的判别式，且， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 13．（2026·高一·甘肃平凉·阶段检测）（1）已知，，求，的取值范围； （2）已知，，求的取值范围. 【解析】（1）由可得，， 故， 即， （2）由于，， 故. 14．已知，求的取值范围. 【解析】设，则，解得， 故. 由，， 得，， 两式相加得，即的取值范围为. 15．已知，，求的取值范围． 【解析】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 16．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【解析】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 题型五、利用基本不等式求简单最值问题 17．（2026·高三·青海玉树·阶段检测）（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为14； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 18．（2026·高一·江苏徐州·开学考试）（1）已知，求的最大值； （2）已知，，且，求的最小值． 【解析】（1）因为，所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （2）因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，所以或，又， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为9. 19．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 【解析】（1）由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （4）由，，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，解得或， 所以，所以的最小值为. 20．（2026·高三·新疆喀什·阶段检测）已知正实数x，y满足等式. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【解析】（1）根据基本不等式可得， ，即，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. （2）法一：， 由（1）得，故， 即的最小值为. 法二：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立. 题型六、基本不等式的实际应用 21．（2026·高一·江苏徐州·开学考试）徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 【解析】（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 因为为正整数，故， 当时，成立， 故的最小值为，此时，. （2）(i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 因为为正整数，故， 当时，成立且， 故的最小值为， 22．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【解析】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 23．（2026·高一·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【解析】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 24．（2026·高一·福建福州·期中）某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【解析】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 题型七、不含参数的二次不等式 25．（2026·高一·甘肃白银·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3) (4) 【解析】（1）由得，故或， 解集为； （2）由得，故，解集为； （3）由得，即，故或， 解集为； （4）由得， 即且，故或， 解集为. 26．（2026·高一·江苏镇江·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1），即，即，解得或， 所以不等式的解集为. （2），即且， 解得且， 所以不等式的解集为. （3），即， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 27．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知关于的不等式． (1)当时，求该不等式的解集； (2)若该不等式的解集为，求实数的值． 【解析】（1） 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为. （2） 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得. 28．（2026·高一·甘肃定西·开学考试）（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【解析】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：，所以 且 ， 代入要求解的不等式中，得：， 因为，所以，解得：或， 故不等式的解集为 . 题型一、利用基本不等式证明不等式 1．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 【解析】（1） ，当且仅当“”时取“=”； （2）因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 2．，求证：.（已知） 【解析】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 3．（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 4．（2026·高一·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【解析】（1） 因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 题型二、利用基本不等式求复杂最值问题 5．（2026·高一·广东惠州·期中）（1）已知，，且，求的最小值； （2）已知，求函数的最大值； （3）若、且，求的最小值. 【解析】（1），，， ， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 又，所以，当，时，取最小值； （2），， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当时，函数的最大值为； （3）由，，， ， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，当，时，取最小值. 6．（2026·高一·江西景德镇·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【解析】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值． 7．（2026·高一·河北保定·阶段检测）（1）已知，，且． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值； （2）求证：若，，，则，并指出等号成立的条件． 【解析】（1）（ⅰ）因为，所以， 令，，则，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1 （ⅱ）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 8．（2026·高一·河北衡水·期中）设正数a，b满足． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)从（ⅰ）（ⅱ）中任选一个问题回答，若回答多个问题，则按第一个问题计分． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【解析】（1）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为； （2），所以， ， 当时，取到最小值； （3）若选（ⅰ）,， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为; 若选（ⅱ），，所以， ， 显然当时取到最小值. 题型三、含参数的二次不等式 9．（2026·高三·山西太原·阶段检测）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 10．（2026·高三·河南新乡·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集是空集，求m的取值范围； (2)当时，解不等式. 【解析】（1）①，即时，解集不是空集，舍去， ②时，即时，， 即，∴， 解得， ∴的取值范围是； （2）∵化简得：， ①时，即时，解集为， ②时，即时，， ，解集为或， ③时，即时，解集为， ∵，∴， ∴， ∴解集为. 综上，时，解集为或； 时，解集为； 时，解集为 11．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知关于的不等式的解集为， (1)求集合； (2)若中有且仅有两个整数，求的取值范围； (3)在问题①和问题②中任选一个作答． 问题①：，都有，求的取值范围； 问题②：，都有，求的取值范围． （注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分） 【解析】（1）当即时，化为，解得； 时，令，得或； 当即时，开口向上，且，解得或； 当时，开口向下， 当即时，不等式为，解得； 当即时，不等式解得； 当即时，不等式解得； 综上可得当时，；当时，或； 当时，；当时，； 当时，. （2）由（1）知，当时，， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 当时，， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （3）若选择问题①：由集合， 对于，都有，则， 即满足不等式，可得， 解得，即实数的取值范围为． 若选择问题②：由集合，若，则，且满足， 由（1）可知，， 因为，都有，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 12．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知二次函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； (3)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 题型四、根的分布问题 13．（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知关于x的方程有两个不相等的实根，． (1)若方程有两个不相等的实根，，，求n的取值范围； (2)若，求k的值； (3)求的取值范围． 【解析】（1）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 故， 解得：，因此，又，， 故的取值范围是． （2）由题意，当，即时， 有，， 故，即， 解得：或． 又，故． （3）由题意，当，即时， 有，， 故， 关于为开口向上的二次函数，对称轴为， 由， 故， 即的取值范围为． 14．已知关于的方程有两个不相等的正实数根． (1)求实数的取值范围； (2)的最大值． 【解析】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. 15．（2026·高一·上海·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设这个一元二次方程两个根为，，求． 【解析】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以． 16．（2026·高一·陕西·期中）已知、且，设的最小值为． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个正实根，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为、，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. （2）由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 题型五、二次不等式恒成立与能成立问题 17．（2026·高一·湖北随州·阶段检测）已知不等式. (1)若不等式的解集不是，求实数m的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由已知，不等式的解集不是， 即不等式在上有解， 则，即. 所以实数m的取值范围是. （2）依题意，在区间上恒成立， 的对称轴为， 因为，， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 18．（2026·高二·山西晋中·开学考试）已知，；，． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若，中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若p为真，在恒成立，即， 时，，故； （2）若q为真，方程有实根，，解得或， 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得； ②p假q真：，解得； 综上： 19．（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知二次函数. (1)若的解集为，解关于的不等式； (2)已知，，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立， ①求的值； ②求的最小值. 【解析】（1）因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或. （2）①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有. ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8. 20．（2026·高二·上海黄浦·期末）命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． (1)若命题甲为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 1．（江苏省百校大联考2026届高三9月学情检测数学试题）已知正实数x、y满足，则的最小值是（     ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【解析】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值是. 2．（2026·高三·湖南娄底·阶段检测）若正实数满足，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【解析】将等式两边同时除以，可得：， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即， 结合，可得时取等号， 故的最小值为4. 3．（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）关于不等式的解集中至少包含两个整数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】将不等式化为． 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则； 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则， 综上所述，实数a的取值范围为或. 4．（2026·高一·河北保定·阶段检测）由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加40升的燃油；第二种方案：每次加300元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案划算 【答案】B 【解析】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 5．（2026·高一·山西大同·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上可知，的取值范围是. 6．（2026·高三·贵州黔东南·开学考试）已知，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知 ， 因为，，所以，， 所以，即 令，， 当时，即时，两个等号同时成立， 故原式取得最小值8. 7．（多选题）（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】ACD 【解析】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 8．（多选题）（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知，，，则下列说法正确的有（    ） A．的最小值为； B．的最大值为； C．的最大值为； D．的最小值为. 【答案】BCD 【解析】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 9．（多选题）（2026·高一·贵州黔西南·阶段检测）已知集合，对于满足集合的所有实数，则使得不等式恒成立的的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由，解得， 即当时，恒成立，即恒成立， 故或，即或恒成立， 因为，所以， 故或. 10．（2026·高三·北京顺义·阶段检测）设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积为________. 【答案】 【解析】由题意知，则. 设，则. 因为，所以，解得. 易知，则. 设，则. 在中，，整理得，即. . 因为，当且仅当，即（满足）时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大面积为. 11．（2026·高一·河北保定·阶段检测）已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 12．（2026·高一·山东威海·期中）已知方程的两根分别是和，且满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 13．（2026·高一·广东惠州·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，，求的最大值. 【解析】（1）由可得：，又，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合，可知：取等条件为，. 因此可得：的最小值为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时取等. 因此可得：函数在上的最小值为. （3） ， 的最大值为. 当且仅当，即，时等号成立. 14．（2026·高三·河南新乡·阶段检测）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【解析】（1）当时，，解，得，解集不是空集，故舍去． 当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点， 即，，即，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）由题意，得，即，整理得，即． 因为，所以． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 15．（2026·高一·湖南衡阳·阶段检测）已知，，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【解析】（1）因为，，， 所以，所以解得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为5. （2），当且仅当， 即，时取等号， 所以的最小值为8. （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为5. 16．（2026·高一·上海松江·期中）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础，两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题.例如此题：已知，为正实数，且，则的最小值为__________.其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题， (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，且，求的最小值以及此时实数，的值； (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为. 原式，当且仅当，即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，，，则的最大值是多少？ 【解析】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7； （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式全章高频重点题型突破参考答案 题型一、利用作差法与作商法比较大小 1．【答案】D 【解析】作差，即； ①当，时，，即； ②当，时，，即； ③当，中一个小于1，另一个大于1时，，即； ④当，中有一个等于时，，即； 综上，当，或，时，，当，中一个小于1，另一个大于1时，；当，中有一个等于时，. 2．【答案】B 【解析】依题意，， 则，而， 因此，所以. 3．【答案】B 【解析】由于， 且， 而， 则，即， 所以，即. 4．【答案】D 【解析】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D 题型二、利用不等式性质判断命题的真假 5．【答案】A 【解析】由，且可得，且 因为，所以 又因为，所以， 所以 6．【答案】D 【解析】对于A：取，满足， 但，故不成立，故A错误； 对于B，若，则，即，可得，所以取时，不成立，故B错误； 对于C，取满足题意，则不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，又，所以，所以，故D正确. 7．【答案】D 【解析】由，得，. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. ， 因为，，故，， 因此，即； 又，故. 综上，即. 8．【答案】A 【解析】对于A，的正、负或是否为未知，因而判断与的大小关系缺乏依据，故A错误； 对于B，由，知，故，所以成立，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，若，则，则，则，故D正确． 题型三、利用不等式性质证明不等式 9．【解析】（1）由，， 则， 因为，可得，所以； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 10．【解析】（1）；证明： 利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 11．【解析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】 （1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 12．【解析】（1） 因为，所以，因为，所以， 所以，因为，所以. （2）充分性：因为， 所以方程的判别式，且， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 题型四、利用不等式性质求代数式的范围 13．【解析】（1）由可得，， 故， 即， （2）由于，， 故. 14．【解析】设，则，解得， 故. 由，， 得，， 两式相加得，即的取值范围为. 15．【解析】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 16．【解析】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 题型五、利用基本不等式求简单最值问题 17．【解析】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为14； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 18．【解析】（1）因为，所以，， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （2）因为，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，所以或，又， 所以，解得，当且仅当时等号成立， 故的最小值为9. 19．【解析】（1）由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （4）由，，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，解得或， 所以，所以的最小值为. 20．【解析】（1）根据基本不等式可得， ，即，即， 所以，当且仅当时等号成立， 即的最大值为3. （2）法一：， 由（1）得，故， 即的最小值为. 法二：， ， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立. 题型六、基本不等式的实际应用 21．【解析】（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 因为为正整数，故， 当时，成立， 故的最小值为，此时，. （2）(i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 因为为正整数，故， 当时，成立且， 故的最小值为， 22．【解析】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 23．【解析】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 24．【解析】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 题型七、不含参数的二次不等式 25．【解析】（1）由得，故或， 解集为； （2）由得，故，解集为； （3）由得，即，故或， 解集为； （4）由得， 即且，故或， 解集为. 26．【解析】（1），即，即，解得或， 所以不等式的解集为. （2），即且， 解得且， 所以不等式的解集为. （3），即， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 27．【解析】（1） 当时，原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为. （2） 由一元二次不等式与对应一元二次方程的关系可知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得. 28．【解析】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：，所以 且 ， 代入要求解的不等式中，得：， 因为，所以，解得：或， 故不等式的解集为 . 题型一、利用基本不等式证明不等式 1．【解析】（1） ，当且仅当“”时取“=”； （2）因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 2．【解析】由题意，， 则， 累加可得：， 除以2可得：. 当且仅当时，等号成立. 3．【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 4．【解析】（1） 因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 题型二、利用基本不等式求复杂最值问题 5．【解析】（1），，， ， 当且仅当时，即当时，上式等号成立， 又，所以，当，时，取最小值； （2），， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当时，函数的最大值为； （3）由，，， ， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，当，时，取最小值. 6．【解析】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值． 7．【解析】（1）（ⅰ）因为，所以， 令，，则，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1 （ⅱ）， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． （2）证明：由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立． 8．【解析】（1）， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为； （2），所以， ， 当时，取到最小值； （3）若选（ⅰ）,， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为; 若选（ⅱ），，所以， ， 显然当时取到最小值. 题型三、含参数的二次不等式 9．【解析】（1）由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 当时，得，不满足题意， 当时，则需满足，解得， 综上所述，. （2）由，可得， ①当时，即，解集为； ②当时，，不等式即为，解集为； ③当时，，不等式即为，解集为； ④当时，可得，解集为； ⑤当时，，不等式即为，解集为. 综上可得，的解集如下， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 10．【解析】（1）①，即时，解集不是空集，舍去， ②时，即时，， 即，∴， 解得， ∴的取值范围是； （2）∵化简得：， ①时，即时，解集为， ②时，即时，， ，解集为或， ③时，即时，解集为， ∵，∴， ∴， ∴解集为. 综上，时，解集为或； 时，解集为； 时，解集为 11．【解析】（1）当即时，化为，解得； 时，令，得或； 当即时，开口向上，且，解得或； 当时，开口向下， 当即时，不等式为，解得； 当即时，不等式解得； 当即时，不等式解得； 综上可得当时，；当时，或； 当时，；当时，； 当时，. （2）由（1）知，当时，， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 当时，， 要使得集合中有且仅有两个整数，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （3）若选择问题①：由集合， 对于，都有，则， 即满足不等式，可得， 解得，即实数的取值范围为． 若选择问题②：由集合，若，则，且满足， 由（1）可知，， 因为，都有，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 12．【解析】（1）因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 （3）当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 题型四、根的分布问题 13．【解析】（1）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 故， 解得：，因此，又，， 故的取值范围是． （2）由题意，当，即时， 有，， 故，即， 解得：或． 又，故． （3）由题意，当，即时， 有，， 故， 关于为开口向上的二次函数，对称轴为， 由， 故， 即的取值范围为． 14．【解析】（1）对于方程，设其两根为. 由韦达定理，，. 因方程有两个不相等的正实数根，需满足，，. ，关于a的二次函数其判别式为，故恒大于0. 由得，解得；由得，解得. 综上所述，的取值范围是. （2） . 因为，所以当时，原式取得最大值为. 15．【解析】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以． 16．【解析】（1）因为、，且， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，故. （2）由（1）可知，方程有两个正实根，设这两个正根分别为、， 由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 题型五、二次不等式恒成立与能成立问题 17．【解析】（1）由已知，不等式的解集不是， 即不等式在上有解， 则，即. 所以实数m的取值范围是. （2）依题意，在区间上恒成立， 的对称轴为， 因为，， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 18．【解析】（1）若p为真，在恒成立，即， 时，，故； （2）若q为真，方程有实根，，解得或， 由p、q一真一假： ①p真q假：，解得； ②p假q真：，解得； 综上： 19．【解析】（1）因为的解集为， 所以为方程的根，且， 则，即， 所以不等式，即为， 则，即，解得或， 所以关于的不等式的解集为或. （2）①当时，， 因为对于一切实数恒成立， 所以， 因为存在，使得成立， 所以，即， 而，所以有. ②因为，，，则， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为8. 20．【解析】（1）若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 1．【答案】B 【解析】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值是. 2．【答案】A 【解析】将等式两边同时除以，可得：， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即， 结合，可得时取等号， 故的最小值为4. 3．【答案】C 【解析】将不等式化为． 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则； 当时，不等式的解集为，由于原不等式至少包含两个整数，则， 综上所述，实数a的取值范围为或. 4．【答案】B 【解析】设第一次油价为元 / 升，第二次油价为元 / 升，， 第一种方案的均价是，第二种方案的均价是， 由，所以第二种方案的均价更低，更划算. 5．【答案】A 【解析】当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上可知，的取值范围是. 6．【答案】D 【解析】由题意知 ， 因为，，所以，， 所以，即 令，， 当时，即时，两个等号同时成立， 故原式取得最小值8. 7．【答案】ACD 【解析】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 8．【答案】BCD 【解析】已知，结合基本不等式逐一判断选项： 选项A ：由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，没有最小值（可趋近于），A错误； 选项B ：由得， 又因为， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 选项C： 因为 当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确； 选项D ：因为 ， 又因为，，，所以，即， 所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得. 因此当时，的最小值为，D正确. 9．【答案】AC 【解析】由，解得， 即当时，恒成立，即恒成立， 故或，即或恒成立， 因为，所以， 故或. 10．【答案】 【解析】由题意知，则. 设，则. 因为，所以，解得. 易知，则. 设，则. 在中，，整理得，即. . 因为，当且仅当，即（满足）时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大面积为. 11．【答案】 【解析】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 12．【答案】 【解析】由题意得，解得或， 又，即，故，解得， 综上，的取值范围是 13．【解析】（1）由可得：，又，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合，可知：取等条件为，. 因此可得：的最小值为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时取等. 因此可得：函数在上的最小值为. （3） ， 的最大值为. 当且仅当，即，时等号成立. 14．【解析】（1）当时，，解，得，解集不是空集，故舍去． 当时，要使的解集为空集，必须满足函数的图象开口向下且与轴最多有一个交点， 即，，即，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）由题意，得，即，整理得，即． 因为，所以． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 15．【解析】（1）因为，，， 所以，所以解得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为5. （2），当且仅当， 即，时取等号， 所以的最小值为8. （3）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为5. 16．【解析】（1）， 当且仅当时取等号， 所以最小值为7； （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $