专题08 含参一元二次不等式问题六类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版高一必修第一册

**基本信息** 以“二次函数-方程-不等式”关系为核心，通过六类题型系统构建含参一元二次不等式分类讨论方法体系，强调根与系数关系及图像分析的迁移应用，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|两条底线原则（根与系数关系、图像分析）|构建“函数-方程-不等式”关联框架| |题型归纳|6题型（每题型1典例+3变式）|根与系数关系应用、二次项系数分类、根大小比较、判别式符号讨论、综合分类步骤、整数解端点分析|从单一参数到综合问题，分层递进形成分类讨论逻辑链| |压轴挑战|10题|复杂参数情境下的多维度讨论|强化模型观念，提升参数问题解决的系统性与严谨性|

专题08 含参一元二次不等式问题六类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 题型二、二次项系数含参讨论问题 题型三、利用方程的根、的大小分类 题型四、利用判别式的符号分类 题型五、分类讨论综合问题 题型六、含参不等式中整数解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 含参不等式问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题、二次项系数含参讨论问题、利用方程的根、的大小分类、利用判别式的符号分类、分类讨论综合问题、含参不等式中整数解问题六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用根与系数关系处理一元二次不等式所对应方程的解；二是借助一元二函数图像分析问题，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 典例1 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（  ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：C. 题型模版 1.特征：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 注：一元二次方程求根公式： 的根为： 韦达定理（根与系数的关系）： 的两根为，；则 2.方法：利用根与系数的关系建立关于参数的方程（组）求解 变式1-1已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 故选：C. 变式1-2（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由不等式的解集的特征判断A；利用解集可得、、间关系，即可判断B；利用、、间关系，计算即可判断C、D. 【解析】对于选项A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对于选项B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对于选项C：，由，故，即， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于选项D：， 由，则该不等式解集为，故D正确 变式1-3已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理从而得出结果. 【解析】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得或， 故答案为：或. 类型二、二次项系数含参讨论问题 典例2 关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【解析】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 题型模版 1.特征：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0系数a系数正负不确定讨论如图： 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 2.方法：根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可。 变式2-1（多选）一元二次不等式的解集可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【解析】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：BCD 变式2-2（多选）（多选）关于的不等式（）的解集可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【解析】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 变式2-3已知二次函数，解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】对参量分类讨论即得。 【解析】由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 题型三、利用方程的根、的大小分类 典例3解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）、（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【解析】（1）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. （2）依题意， ， 解得， 所以不等式的解集为. 题型模版 1.特征：以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤 ⑴计算判别式>0 ⑵根据方程的根、的大小分类讨论：即． 2.方法：若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论。 变式3-1若，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【解析】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 变式3-2已知关于x的不等式，若求关于x的不等式的解集． 【答案】答案见解析 【分析】按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【解析】因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 变式3-3已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 【解析】（1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型四、利用判别式的符号分类 典例4 解下列关于的不等式：； 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． 题型模版 1.特征：以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤： ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 若方程无实根,不等式的解集为. 2.方法：若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论。 变式4-1已知，解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】分别在、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【解析】， 当时，， 方程的两个根分别为 或， 则由，得； 当时，，原不等式化为，得； 当时，，不等式无解， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式4-2解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【解析】当时，不等式为，解得：，则不等式解集为； 当时，； ①当时，且； 令，解得：，； 若，则，的解为， 即不等式的解集为； 若，则，的解为或， 即不等式的解集为； ②当，即时，不等式为，解得：， 即不等式的解集为； ③当，即时，恒成立，即不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 变式4-3解下列关于的不等式； 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【解析】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． 题型五、分类讨论综合问题 典例5已知函数，解关于的不等式； 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】先因式分解，分与讨论然后对两根的大小进行讨论，即可求解； 【解析】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 题型模版 1.特征：含参数的一元二次不等式具有二次项系数含参、、的大小分类以及判别式的符号分类。 2.方法：解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 变式5-1设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1);(2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解析】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 变式5-2求解不等式 【答案】答案见解析 【分析】将不等式左边因式分解可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【解析】因为， 所以， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或； 变式5-3解关于x的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式解集的形式，分类讨论，求不等式的解集. 【解析】原不等式可化为：. 若，则不等式的解为：. 若，则，所以或. 若，则. 当，即时，不等式解集为：； 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解集为：. 综上可知： 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 题型六、含参不等式中整数解问题 典例6已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】首先解一元二次不等式求出集合、，再分中的两个整数是、和中的两个整数是、两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得. 【解析】由，即，解得， 所以； 由，即， 解得， 所以， 若集合中的两个整数是、，则，解得； 若集合中的两个整数是、，则，解得； 综上可得实数a的取值范围是或. 故选：A 题型模版 1.特征：含参数的一元二次不等式解集中恰有几个整数求参数取值范围。 2.方法：（1）根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出不等式的解集，利用解集中恰有几个整数，从而得到不等式（组），求出参数的取值范围； （2）将不等式进行变形为可因式分解，从而利用不等式解集中的整数个数，建立不等式（组），考查解集端点的范围，解出参数的取值范围． 变式6-1已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解. 【解析】由，即， 解得或，由， 即，因为， 不等式的解集为， 结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以. 故选：B. 变式6-2已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【解析】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 变式6-3设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是_____________ 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【解析】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（  ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得. 【解析】令， 则由韦达定理可得，故. 故选：B. 2．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D 3．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【解析】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：C. 4．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【解析】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 5．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整理可得，结合题意分析可知不等式解集为，且，运算求解即可. 【解析】因为， 若不等式有5个负整数解， 则不等式解集为，且，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．若关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分类讨论求解含参数的不等式，进而列式求出的范围. 【解析】不等式， 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，不合题意； 当时，原不等式等价于，解得或，不合题意； 当时，原不等式等价于，解得， 由不等式恰有2个整数解，得，解得； 当时，解得，由不等式恰有2个整数解，得， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 7．（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【解析】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 8．（多选）（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对不等式中的参量讨论分析即得。 【解析】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：ABD 9．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的取值范围是，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理进一步分析选项即得. 【解析】对于A，由题意可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误； 对于B，由题意可知： ，可得 ，. 不等式 化为： ， 由 可得 ，解得 ， 所以不等式 的解集为 ，故B正确； 对于C，因为， ， 可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是，故C正确； 对于D，当 时， ， 则 ， 当 时， 取到最大值1 ， 由 得， 或 ， ，的值域是 ， 因 在 上的最小值为 ，最大值为1， 从而得 或 ， 因此 ，故D正确. 故选：BCD. 10．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为___________- 【答案】 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【解析】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故答案为： 11．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 【答案】1 【分析】由题设可得不等式解集为，根据解集中整数解个数求参数. 【解析】不等式， 因为为正整数，所以不等式的解集为， 又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1， 所以，即，所以正整数. 故答案为：1 12．解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【解析】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 13．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 14．已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)存在，且实数的取值范围是 【分析】（1）分析可知，关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）对实数的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合； （3）由（2）可知，或，然后分情况讨论，求出集合，根据题意可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解析】（1）当时，则关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得. （2）原不等式即为. 当时，原不等式即为，解得，此时，； 当时，方程的解为，， 若，解不等式可得或，此时，； 若，即，则原不等式即为，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，； 若，即，解不等式可得，此时，. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3）解：由（2）可知，若集合恰有三个整数，则或， 当时，，则集合中的三个整数分别为、、， 所以，，解得， 当时，则，，此时，集合中至多一个整数，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 含参一元二次不等式问题六类重难点题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 题型二、二次项系数含参讨论问题 题型三、利用方程的根、的大小分类 题型四、利用判别式的符号分类 题型五、分类讨论综合问题 题型六、含参不等式中整数解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 含参不等式问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题、二次项系数含参讨论问题、利用方程的根、的大小分类、利用判别式的符号分类、分类讨论综合问题、含参不等式中整数解问题六大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用根与系数关系处理一元二次不等式所对应方程的解；二是借助一元二函数图像分析问题，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用根与系数关系处理一元二次不等式解集含参问题 典例1 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（  ） A．4 B． C．2 D．1 题型模版 1.特征：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 注：一元二次方程求根公式： 的根为： 韦达定理（根与系数的关系）： 的两根为，；则 2.方法：利用根与系数的关系建立关于参数的方程（组）求解 变式1-1已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C．或 D． 变式1-2（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（  ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 变式1-3已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 类型二、二次项系数含参讨论问题 典例2 关于的不等式． 题型模版 1.特征：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0系数a系数正负不确定讨论如图： 函数图象 开口方向 向上 向下 对称轴方程 最值 2.方法：根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可。 变式2-1（多选）一元二次不等式的解集可以是（  ） A． B． C． D． 变式2-2（多选）（多选）关于的不等式（）的解集可以是（  ） A． B． C． D． 变式2-3已知二次函数，解关于x的不等式． 题型三、利用方程的根、的大小分类 典例3解下列不等式： (1)； (2)． 题型模版 1.特征：以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤 ⑴计算判别式>0 ⑵根据方程的根、的大小分类讨论：即． 2.方法：若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论。 变式3-1若，则关于的不等式的解集为（  ） A． B． C．或 D．或 变式3-2已知关于x的不等式，若求关于x的不等式的解集． 变式3-3已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 题型四、利用判别式的符号分类 典例4 解下列关于的不等式：； 题型模版 1.特征：以一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a>0）为例求解步骤： ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 若方程无实根,不等式的解集为. 2.方法：若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论。 变式4-1已知，解关于的不等式：. 变式4-2解关于的不等式：． 变式4-3解下列关于的不等式； 题型五、分类讨论综合问题 典例5已知函数，解关于的不等式； 题型模版 1.特征：含参数的一元二次不等式具有二次项系数含参、、的大小分类以及判别式的符号分类。 2.方法：解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 变式5-1设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 变式5-2求解不等式 变式5-3解关于x的不等式. 题型六、含参不等式中整数解问题 典例6已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数a的取值范围是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型模版 1.特征：含参数的一元二次不等式解集中恰有几个整数求参数取值范围。 2.方法：（1）根据二次函数开口方向和根的判别式得到不等式，求出不等式的解集，利用解集中恰有几个整数，从而得到不等式（组），求出参数的取值范围； （2）将不等式进行变形为可因式分解，从而利用不等式解集中的整数个数，建立不等式（组），考查解集端点的范围，解出参数的取值范围． 变式6-1已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式6-2已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 变式6-3设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是_____________ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（  ） A． B．4 C．5 D．6 2．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（  ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式有5个负整数解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．若关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 8．（多选）关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（  ） A． B． C． D． 9．（多选）已知的解集是，则下列说法正确的是（  ） A． B．不等式的解集是 C．的最小值是 D．当时，，的取值范围是，则的取值范围是 10．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为___________- 11．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ． 12．解关于的不等式：． 13．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 14．已知关于的不等式的解集为，其中. (1)若，求的值； (2)求不等式的解集； (3)是否存在实数，使上述不等式的解集中恰有个整数?若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $