专题07 相似（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）已知，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（     ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查线段成比例问题．根据比例线段的定义，由成比例，得，即，代入已知值求解． 【详解】 解：∵ a，b，c，d成比例， ∴， ∴将，，，代入得：，    ∴，即，    ∴， 故选：D． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）已知，若，则（     ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 4 【答案】A 【分析】 本题主要考查等比定理的应用，熟练掌握等比定理是解题的关键；根据题意可得，代入数值即可求解． 【详解】 由题意得， 又， 所以． 故选：A． 4．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：∵这三部分长度的比满足，， ∴， 故选：C． 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），借助“黄金格”书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴； 故选D． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）.则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 【答案】B 【详解】∵正方形纸片大小相同，∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍，∴需要正方形的纸片是 （张）． 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知，那么的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质． 由已知比例 ，可设参数表示和，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵ ， ∴ 设 ，（）， 则， ∴ ， 故选：A． 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可． 【详解】 解：是的黄金分割点， ， ，， ，即， 故选：D． 【点睛】 本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 9．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）已知、满足，那么下列四个选项中不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比例的性质，根据，设，，对每一项进行计算判断即可． 【详解】 解： 设，()， 则有， 故A选项正确； 由，， 可得：， 故B选项正确； 由，， 可知，， ， 故C选项正确； 由，， 可得：，， ， ， 故D选项不正确． 故选：D． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点是解题的关键．根据黄金分割点可直接进行求解． 【详解】 解：由题意得：； 故答案为． 故选：C． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查比例的性质，设，，其中，然后代入计算即可． 【详解】 解：， 设，，其中， ． 故选：A． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 13．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律，如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）． 故选：C． 14．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）已知，则下列结论一定成立的是（） A. ， B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了比例的性质，掌握比例式的变形和运算是关键． 根据比例，得，逐一验证各选项是否符合比例关系． 【详解】 解：选项A：当时，，但，故A不一定成立. 选项B：当时，，但，故B不一定成立. 选项C：当时，，但，两者不相等，故C不一定成立. 选项D：∵，∴，故选项D成立， 故选：D． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）矩形的两边长分别为和6（），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵原矩形ABCD的长为6，宽为x， ∴小矩形的长为x，宽为 =2， ∵小矩形与原矩形相似， ∴ ∴x=2 . 故答案为2 ． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，注意分清对应边是解题的关键． 16．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段．若点是线段的黄金分割点（），银杏叶主脉的长度为，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查黄金分割的定义．根据题意可得，代入即可求出的长度． 【详解】 解：是的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）若，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，将所求分式拆分为1减去已知分式，然后代入已知值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）已知，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由已知等式求出的值，再代入求的值，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 得； 则把代入，得； ∴， 解得； 故答案为：． 19．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）若，则的值为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查比例的性质，根据已知条件，将所求表达式拆分为，再利用分式的加法法则计算。 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：6． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为　　　　　　．（结果保留根号） 【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】 解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图①是商场摆放的花架，图②是其侧面示意图，已知，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】 解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 故选C． 2．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】 解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，已知，，，线段的长为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【详解】 解：∵, ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），解题的关键是能根据平行线分线段成比例定理列出比例式． 根据得到，再代入数据求解即可． 【详解】 解：∵，，，， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 6．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，直线，直线和被直线，，所截，，，，则的长为（     ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】 解：直线， ， ，，， ， ， ． 故选：B． 7．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，平行线等分线段定理，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，，再根据平行线等分线段定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：由作图可知，直线是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：D． 8．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，，，，，则的长为（   ）. A. 5 B. 7 C. 10 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】 解：， ， ，，， ， ， ． 故选B． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，，则下列比例式错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】 解：∵DE//BC， ∴； ∴A错误； 故选：A． 【点睛】 此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】 ，     ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D、E，点F在的延长线上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握相关知识点是解题关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，，由平行线分线段成比例定理，得到，进而得到，再结合，即可证明结论； （2）证明是等边三角形，从而得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，然后再证，从而得出，，从而得出，，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】 如图，过点作于点． 四边形是菱形， ，，， ． ， 由是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ，． 是的中点， ， ． 在和中 ， ∴， ， ， ，， ， ， ， 在中．． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在中，，．点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，过作，垂足为，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求的值； （3）如图3，将沿翻折，若点的对应点落在的延长线上，连接交的延长线于点，求的值． 【答案】（1） 证明：线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ，，    ． ， ， ．        又， ， ， ．     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理即可证明； （2）先过作，进一步证明，可得，再根据等腰三角形的性质得出，因此，根据全等三角形的性质进一步得出，，即可求值； （3）先过作，设，再根据折叠的性质，勾股定理和全等三角形的性质得出，最后根据平行线分线段成比例即可求值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图1， 过作，垂足为， 由（1）得， ． 又， ．        又，， ， ．        ，， ， ．        又， ． ，， ， ， ． (3) 小问详解： 解：如图2， 过作，垂足为． 沿翻折，点的对应点落在的延长线上， ， ，．        设， ，， ，．        ， ．        ， ， ． ， ， ， 即． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，与交于点，且，则下列式子等于与面积比的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查相似比与面积比的关系，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题可知，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 4．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（     ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【详解】 解：连接，如图， 网格的特点可知， ∴ ∴ 故选：C． 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，将沿射线方向平移一定的距离，平移后的三角形记为，边刚好经过边的中点D，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（       ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【分析】 根据点D为边中点，得出，根据平移的性质得出，推出，则，即可求解． 【详解】 解：∵点D为边中点， ∴，则， ∵沿射线方向平移得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为16， ∴的面积为4． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平移前后对应线段平行（或在同一直线上），相似三角形面积比等于相似比的平方． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（       ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 【答案】B 【分析】 由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】 解：∵，， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线间线段成比例，相似三角形的判定与性质，逐项分析判断即可． 【详解】 解：∵， ∴，，故C正确， ∴，，故A，B，D错误． 故选C． 8．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，已知，，与相交于点O，作于点M，点E是的中点，作于点G，交于点F，若，，则的值为（     ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定． 证明，，由相似三角形的性质求出的值，再由点是的中点，得到，最后证明，再由相似三角形的性质求出的值即可． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 点是的中点，， ∴ ∴ ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长是（       ） A.  B.  C.  D. 30 【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】 解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵，高， ∴， ∴， 解得：， ∴正方形边长为， 故选：A． 10．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，连接并延长至点C，过点C作轴于点D．若，则k的值为（     ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，设，，则，，证明，则，进而得，，再根据，得，即可求解． 【详解】 解：设，，则，， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故选：B． 11．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断即可． 【详解】 解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，“① 有两个对应角相等的两个三角形相似；② 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③ 三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】 解：在中，点、分别在的边、上，， A．，能使与相似，故该选项不符合题意； B．，能使与相似，故该选项不符合题意； C．，能使与相似，故该选项符合题意； D．，不能使与相似，故该选项不符合题意． 故选：D． 13．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图，在中，点E为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． 设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，从而得出，即可求解． 【详解】 解：设， ∵在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 故选： B． 14．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则CM的长为（    ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 由题意可得：是的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出，再证明得成比例的线段即可得出答案． 【详解】 解：在中， ， ， 由题意可得：是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 15．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，已知钝角，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，过点D作于点C，过点D作，交于点B．若，，则的长为（     ）． A.  B.  C.  D. 5 【答案】A 【分析】 本题主要考查了基本作图、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．如图，过点B作于点E．先证明，推出，再证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】 解：如图，过点B作于点E． 由作图可知：平分， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴，解得：． 故选：A． 16．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． 根据等边对等角和三角形内角和定理得到，由作法可知，垂直平分，即，，进而求出，得到，即，证明，得到，即，求出，即可求出的长． 【详解】 解：，， ， 由作法可知，垂直平分， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， 即， ∴， ， ， 解得：（负值舍去）， ∴． 故选：D． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，在矩形中，点，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接．若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 3 【答案】A 【分析】 本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：作于点，如图， ∵矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 故选A． 18．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数和相似三角形，先根据点的坐标设出相关线段长度，利用相似三角形得到线段比例关系，建立关于的函数表达式，再根据二次函数的性质求出的取值范围．　 【详解】 解：如图，延长交轴于点，则轴，连接， 在与中， ，， ， ， 设， 则， 设， ， ， ， 抛物线开口向下， 又， 时，有最大值， 此时有最小值，， 当时，有最小值， 此时有最大值，， 的取值范围是． 故选：B． 19．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 20．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明得，代入数据即可求解． 【详解】 解：∵和为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，5， ∴， ∴． 21．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，在中，，，，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出，由可得，推出，即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ，即， ， 故答案为：8． 22．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与的面积比为，则与的周长比为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了作图—尺规作图，相似三角形的判定与性质，由作图可得，证明得出，即可求出，再由相似三角形周长比等于相似比即可得解． 【详解】 解：由作图可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据两组角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质得到，求出，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， 解得：（舍去）或， ． 24．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，求得的长度，据此求解即可． 【详解】 解：如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．         又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：． ∴点的坐标为． 故答案为：． 25．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，为的中点，于点为上一点，且，交的延长线于点，平分，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 本题考查了矩形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识． （1）先根据平行线的判定得，再证明，根据内错角相等两直线平行得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）证明得，进而得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的长为． 26．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；      （2）      【分析】 本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 27．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【分析】 （1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可． 【详解】 （1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10， 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°， ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得，， 即， 解得：CD=3， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， 即， 解得：AD=． 【点睛】 本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 28．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．延长交y轴于E，连接，根据矩形面积求出面积，再利用，求出面积，利用相似求出与的比，求出面积，即可利用几何意义求出k． 【详解】 解：如图，延长交y轴于E，连接， ∵矩形的面积是8， ， ， ， ， ， ， ， 由几何意义得，， ， ， 故答案为：16． 29．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． （1）求过点的直线的函数表达式； （2）过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识． （1）待定系数法求一次函数解析式即可． （2）过点作交轴于，则，再证明，由相似三角形的性质得出，进而求出的值，再根据数轴求出，进而可求出点D的坐标． （3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过点作交轴于， ， ∵， ∴， ∴， 即． ∵，， ， ． 点的坐标为 (3) 小问详解： 解：， ． 1．若，如下图： 则 解得： 2 ．若，如下图： 则 解得： 综上所述：符合要求的的值为或． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在梯形中，，，是延长线上的点，连接，交于点． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）的长为．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，对顶角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，由，通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，得，然后求出，再代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 31．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，已知正五边形的边长为10，对角线、与分别交于点，，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查正多边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正多边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，，，则有，进而求解即可． 【详解】 解：∵五边形是边长为10的正五边形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，即，， ∴， 解得：（负根舍去）； 故答案为． 32．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）这个正方形零件的边长是；     （2）矩形面积最大是．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． (1) 小问详解： 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； (2) 小问详解： 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， 当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：矩形面积最大是． 33．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）（1）解方程：； （2）如图，点在的边上，，求的长． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查解一元二次方程、相似三角形求线段长，熟练掌握一元二次方程的解法、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）先判定，再由相似比得到，将代入得求解即可得到答案． 【详解】 解：（1）， ， 则， ， 则或， 解得，； （2）， ， 则， 将代入得， ， 由于，则． 34．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，在中，中线与高相交于点，，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．作于，由三角形中线的定义可得，证明，得到，，进而根据勾股定理求出，证明，可求出，得到，最后根据即可解决问题． 【详解】 解：如图，作于． 是的中线， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，，且两人相距，求路灯的高度是多少？ 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，设路灯的高度为x，先判定，再根据相似三角形的性质可得=，用含x代数式表示，同理，用含x代数式表示DN，再根据等量关系列方程求解即可． 【详解】 解：设路灯的高度为， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得：， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得：， ∵两人相距， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度是． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）综合与实践 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1，图2的设计加工一个正方形桌面．请从图1，图2中任选一个图形求出正方形桌面的边长；另一个图形直接写出正方形桌面边长的结果即可； （2）丙、丁两人分别按图3，图4的设计加工一个长方形桌面．请从图3，图4中任选一个图形求出长方形桌面的面积与的长之间的函数表达式，并求出面积的最大值（说明：若两个图形都作答，仅对排列在前的答案评分）． 【答案】（1）图1正方形的边长为；（图2的正方形边长为）；     （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为:      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值，进行计算，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． (1) 小问详解： 解：图1：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∴图1正方形的边长为； 图2：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得， ∴图2的正方形边长为． (2) 小问详解： 解：图3：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 38．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）在中，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点C，D在直线的同一侧． （1）当M是的中点时，连接． ①如图1，求的大小； ②如图2，已知点D和边上的点E满足，连接．求证：． （2）如图3，当时，在线段取一点G，连接并延长交的延长线于点F，当四边形是平行四边形时，若的面积为8，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）①； ② 证明：如图，延长，交于点，则，     ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴，即点是斜边的中点． ∴．     （2）8      【分析】 （1）根据旋转的性质和线段中点的定义得到，根据等边对等角得到，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；② 延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）连接，设平行四边形的面积为S，则，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则，进而得到，，由，得到；证明，得到，则，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：如图1， ∵将线段绕点M旋转至位置， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ② 略 (2) 小问详解： 解：如图3，连接，设平行四边形的面积为S， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴平行四边形的面积为8． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 39．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则          度，线段与线段的位置关系是          ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【分析】 （1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】 解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】 本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 40．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点．有如下结论：①；②；③连接，当为直角三角形时，或；④当将分成两部分的面积之比为时，或．以上结论中，正确结论的序号是　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质． ①与为两个等腰三角形，得到，从而证明； ② 证明即可证明结论； ③ 当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ④ 证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：在菱形中，， ， ∵将绕点D按逆时针方向旋转至，使， ， ， ， ， ，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ，故② 正确； 连接，当为直角三角形时， 如图，当时，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，当时，延长交于H，连接交于点O， 设， ， 则，， ， ， 在菱形中，， ， ， ，即， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时， ∴的情况不存在， 综上所述，的值等于8或，故③ 错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或，故④ 正确； 则正确结论的序号是① ② ④ ； 故答案为：① ② ④ ． 41．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）已知矩形，，． （1）如图①，对角线、相交于点O，求证：是等边三角形． （2）点E在直线上，连接，将线段绕点E进行旋转． ①当点E在线段上且，（如图②）将线段绕点E逆时针方向旋转得到线段，连接，猜想线段、、的数量关系并说明理由； ②当点E在直线上（如图③），将线段绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接、，当时，直接写出的面积． 【答案】（1） 证明：矩形，，， ，，，， ， ， ， 是等边三角形．     （2） ①，理由如下： 如图，连接交于点，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， 由（1）可知，是等边三角形． ，， ，即， ， ， ，， ； ②或      【分析】 （1）根据矩形的性质和勾股定理可得，即可证明结论； （2）① 连接交于点，连接，由旋转的性质可得是等边三角形，由（1）可知，是等边三角形，从而证明出，得到，即可得出结论； ② 当点在上时，如图，连接交于点，过点作交于点，过点作分别交、于点、，延长交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，证明，得到，，再利用三角函数，求出，最后根据等高三角形面积比等于底边之比求解；当点在的延长线上时，如图，连接交于点，过点作交于点，延长、交于点，过点作交于点，过点作于点，证明，得到，，再利用三角函数，求出，根据，求出，再利用三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② 当点在上时，如图，连接交于点，过点作交于点，过点作分别交、于点、，延长交于点， 由（1）可知，是等边三角形，， ， ， ，， 在中，， ， 矩形， ，， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， ，， ， 和等底等高， ， 和是等高三角形， ， ； 当点在的延长线上时，如图，连接交于点，过点作交于点，延长、交于点，过点作交于点，过点作于点， 由旋转的性质可知，，， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ，        ， ， 综上可知，的面积为或． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 42．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，是等腰直角三角形，且，，点D是边上动点，连结，将绕点C顺时针旋转得， （1）如图1，延长交延长线于点G，连结，求证：； （2）如图2，连结，若，求的值； （3）如图3，若与交于点N，与交于点M，连结，设，试求出四边形面积（用含m的式子表示）． 【答案】（1） 解：由旋转得：，，， ， ． 四边形是正方形， ， ， 在中，，， ， ， ．     （2）     （3）      【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明四边形是正方形，进一步证明，即可得到结论； （2）证明，得到，，求出．即可得到的值； （3）证明，得到，则，得到，同理，，得到，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在中，， ， ，， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． ． (3) 小问详解： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ． 四边形是正方形， ， ， ， ， 与是同高， ， 同理可得：，， ， ， ， ． 43．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，中，，，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． （1）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． （2）当点D在线段上运动时，求的面积S的最大值． 【答案】（1）     （2）6      【分析】 （1）分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可； （2）利用配方法求解最值即可． (1) 小问详解： 解：① 当（点D在上时） ∵中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∵， ∴ ∴ ② 当（点D在上时）如图； 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴综上所述： (2) 小问详解： 点D在线段上运动时，则 ∴ ∵ ∴当时，最大是6. 【点睛】 本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键． 44．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图1，中，，是中线，，垂足为E，点F在上，． （1）求证：； （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长交于点P，，求的值． 【答案】（1） 证明：设， ， ， ， 又，是中线， ， ， ， ， 又， ， ；     （2） ， 证明：过点C作交的延长线于点M， 是中线， ， ，， ， ，， 又，， ， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）设，得，由直角三角形中线得到，推出，再证，即可求证；         （2）过点C作交的延长线于点M，可得，则，，再证，则，即可求解；                                     （3）过点C作交的延长线于点M，由（2）可知，，，设，则，设，则，，由勾股定理可得，则，证明 ，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点C作交的延长线于点M， 由（2）可知，，， 设，则， ， ， 设， ，， 由（2）可知，， ， ， 解得，（舍去）， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的中线，全等三角形的判定性质，相似三角形，勾股定理等相关知识点，解题关键在于熟练掌握构造辅助线的方法和分式，主要是知识点的综合理解. 45．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在中，，，AD为的中线，过点C作于点E，过点B作交CE的延长线于点H． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴；     （2）2      【分析】 （1）根据垂直得出直角，利用直角三角形的性质得出相等的角，即可证明三角形相似； （2）根据三角形的中线得出线段的长度，根据勾股定理求出三角形斜边长，然后利用等面积法求出的长度，最后利用平行线分线段成比例即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，AD为的中线， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴由等面积法得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 46．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； [深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】 [特例感知]（1）① 根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；② 如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据① 中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ① 略 ② 如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】 本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 47．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）已知在中，，，分别为、上一点，，． （1）如图，求的长； （2）如图，将图中的绕点按顺时针旋转，当时，且点在的内部时，与交点，连接并延长交于点． ①求证：； ②求的长． 【答案】（1）；     （2） ① 证明：过点作于． ∴， ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵即， ∴， ∵，， ∴（）． ∴，即． ②      【分析】 （1）通过证明与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算的长． （2）① 作辅助线，先求出的长度，再证明（），从而得到，证明． ② 作辅助线，利用相似三角形的性质求出相关线段的比例关系，结合勾股定理和方程思想求出的长度，进而求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴．即， 解得； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 过点作交于． ，， ． 由① 知，又，，， ∴， ． ∴， 由（）得， ∴， ． ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ， ， ，即 解得，， ， ， ， 设，则， ， 解得即． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 48．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，在中，是的中线，点E在线段上（不与点C，D重合），过点E作，垂足为F，连接，设． （1）用含x的代数式表示的长； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，相似三角形的判定和性质，求三角形面积最值等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）取中点，连接，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出相关线段长度，证明，利用对应边成比例即可求解； （2）利用相似相似三角形，表示出相关线段的长度，利用作差法表示出三角形的面积，然后利用配方法求最值即可． (1) 小问详解： 解：如图，取中点，连接， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∵是的中线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴当时，的面积最大，最大值为． 49．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图1，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接． （1）①尺规作图：在边上确定点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； ②在①的条件下，求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，点G在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点G的对应点H在内部，过点H作分别交，于点M，N．求的值． 【答案】（1） 解：① 以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，以点A为端点过这交点作射线交于点，连接，则点即为所求作． ② 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）① 作的平分线即可；② 由作图得，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，从而可得； （2）由证明，得,而，设，得，由比例式得，解方程求出的值，确定符合要求的的值即可； （3）连接,设与交于点，证明,根据证明，得，，，可得出，，由得，可得，再证明，运用相似三角形的性质和线段的等量关系可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， 由于线段的长度为正值，所以，， ∴； (3) 小问详解： 解：连接,设与交于点，如图， 由旋转得， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（负值舍去）． 【点睛】 本题主要考查作角平分线，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 50．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）在矩形中，，，点M从点D运动到点C，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是相似三角形判定与性质，勾股定理，矩形性质，两点之间线段最短．延长到E，使，连接，以为一边构造相似比为的相似三角形，得到，再利用两点之间线段最短，勾股定理解决问题． 【详解】 解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， 设点M，点N运动时间为t秒， 由题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 51．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ ∴     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 52．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． （1）【初步感知】如图，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； （2）【探究应用】如图，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； （3）【拓展延伸】如图，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，直接写出的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得出等边三角形，即可求解； （2）连接，根据正方形的性质证明，得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）过点作于点，作于点，连接，根据同高三角形的性质得出底的比，假设，利用勾股定理及面积比求出，然后证明三角形相似，求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解：的面积为，理由如下： 如图，过点作于点，作于点， ∵与为同高的三角形， ∴， 假设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的面积的面积为． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 53．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知为等腰三角形，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点B的对应点为E． （1）如图1，当时，求证：四边形为菱形； （2）连接，直线与直线交于点F，与交于点O．某数学兴趣小组经过交流讨论，发现：无论点D在何位置，的度数始终等于α． ①方法1：如图2，延长到H，使，连接，通过证明得到结论； 方法2：如图3，由可得，再通过证明得到结论； 请你选择其中一种方法，写出证明过程． ②若点D是射线上一动点，且，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：由翻折可知， ， ， ， ， ， 四边形为菱形．     （2） ①选方法1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， 选方法2， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ②或      【分析】 （1）由翻折的性质和等腰三角形的性质即可得证； （2）①选方法1，先证明，再结合翻折的性质证明，再根据三角形的内角和即可得证；选方法2，先证明，再证明，再结合翻折的性质和外角的性质即可得证； ②分两种情况讨论，当D在线段上时，先证明，得，再分别求出，即可；当D在的延长线上时，同理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①略 ②设交于N，交于M， 当D在线段上时，如图， 由①知，， ， ， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D在的延长线上时，如图， 由①知，， ， ， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，翻折的性质，运用分类讨论思想，正确作出辅助线是解题的关键． 54．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接．将沿着BE折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若．求证：； 【拓展】 （3）已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处．连接，延长，交直线于点G，H．若，，直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图1，连接， ∵，可设，令， ∵， ∴, ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去） ∴； （3）或 【详解】 （1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而根据证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由．可设，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，解答即可； （3）分点H在点D左侧，点H在点D右侧两种情况讨论．通过证明，得到，即从而可设出，结合，即可求解得到的值． （1）略 （2）略 （3）解：由，可设，令，则． ① 当点H在点D左侧时，如图3， 由（2）知，． ∵将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴，, 在和中， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ② 当点H在点D右侧时，如图4， 则，， ∴， 同理可得， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 55．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）如图1，是等边三角形，点是外部一点，连接，，与边交于点，， （1）求的度数； （2）如图2，过点作，过点作的垂线，交于点，探究线段与的数量关系，并证明结论； （3）在（2）的条件下，若，求的值. 【答案】（1）；     （2） 解：；证明如下： 延长至，使，连接，， ， ， ， ， ∵ 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）结合等边三角形的性质，得，因为，得，又因为三角形内角和性质，得，代入数值计算，即可作答． （2）先证明是等边三角形，得出，又因为是等边三角形，故，即可证明，运用30度角的直角三角形的性质，得，结合，即可得出； （3）理解题意，延长交的延长线于点，证明，设为，则，，把数值代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 是等边三角形， ， ， ， ，且， ∴， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， 设为，则， ， ， ， ， ， 在中, ， 则， ∴， 得（负值已舍去）， ， 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 56．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在菱形中，，是延长线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点．当，且时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，交于点O，根据菱形的性质和，可得，结合轴对称的性质，推出，进而得到，然后利用勾股定理求得和，接着由可知，从而利用相似三角形的对应边成比例求得，即可解答． 【详解】 解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，平行线的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据轴对称的性质和等腰三角形的判定得到是解题的关键． 57．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． （1）利用图①，求证：； （2）若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； （3）如图②，交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴．     （2）的面积为或     （3）      【分析】 （1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）当时，延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可；当时，过点作于，设，则，， 利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，，根据平行得出，可得，利用三角形面积公式即可得的面积；综上即可得答案； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，当时，延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． 由（1）可得为等腰三角形，， ∵， ∴． 同理，为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，过点作于， 同理可知，，是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． (3) 小问详解： 解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 58．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，与边相交于点F，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点E，连接，当时，的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形全等，尺规作图，及相似三角形的性质，根据尺规作图可知，是角平分线，再由与全等得到对应边相等，再由，列方程即可解答． 【详解】 解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 59．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）在矩形中，动点E从点D开始沿边以的速度运动，动点F从点B开始沿射线以的速度运动，点E和点F同时出发，当点E到达终点A时，点F也随之停止运动，设动点的运动时间为（）． （1）如图1，若，分别连接，交于点O．求证：． （2）如图2，若，，，分别连接，交于点O，沿将四边形翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，当点落在的延长线上时． ①求的长． ②请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵，，且，运动时间相同都是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）①；②      【分析】 本题考查矩形性质，相似三角形，勾股定理等综合应用． （1）根据路程速度时间，得到，利用全等得到结果即可； （2）① 根据勾股定理可得的长度，再根据，即可得到答案； ② 连接，作，垂足为点H，由对称性可得，再由平行线成比例可得和的长度，进而得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵，，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴； ② 如图3，连接，作，垂足为点H， 由折叠可知，与关于所在直线对称， ∴， 由① 知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∴． 60．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ① ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②      【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）根据题意得出为等边三角形，确定，再由平行四边形的性质得出，结合图形求解即可； （2）① 根据题意得出，再由各角之间的等量代换确定，利用全等三角形的判定即可证明； ② 过点C作，延长交于点H，交于点G，作，根据题意得出、均为等边三角形，再由全等三角形的判定确定，得出，，，再由解三角形得出，根据相似三角形的判定得出，，，利用其性质得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 过点C作，延长交于点H，交于点G，作，如图所示： 由（1）得，平行四边形， ∴、均为等边三角形， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 由① 得， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 61．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知：如图1，在平行四边形中，，（），，点是垂足，将绕着点逆时针旋转，使点落在边上的点处，点的对应点为点，延长交所在直线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，与相交于点，试说明点是的中点； 针对（2）问，小明和小亮分别作了不同的辅助线，作法如下： 小明的辅助线：过点作交于点； 小亮的辅助线：过点作交的延长线于点， 小明和小亮的辅助线是否能完成证明，若能，请选择其中一种辅助线，并完成证明过程；若不能，请你找出证明方法，完成证明过程； （3）在（2）问的条件下，将沿翻折，得到，如图3，连接． ①当时，求的值： ②当，时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：按小明的辅助线： 过点作交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； 按小亮的辅助线： 过点作交的延长线于点， 由旋转的性质知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点；     （3）①；②      【分析】 （1）证明，即可得到，即； （2）按小明的辅助线：证明，推出，再证明，得到，即点是的中点； 按小亮的辅助线：方法同按小明的辅助线； （3）① 证明点都在以为直径的圆上，推出，得到，求得，即可得到； ② 过点作交于点，分别过点和作直线的垂线，垂足分别为点和，求得，在中，求得，，再根据四边形的面积，计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴，， 由翻折的性质知，， ∴， ∴点都在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ② 过点作交于点，分别过点和作直线的垂线，垂足分别为点和，如图， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，圆内接四边形，综合运用以上知识是解题的关键． 62．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）【问题背景】 活动课上，张老师和同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．如图1，在正方形中，延长至点是线段上的一个动点，连接，过点F作，交的平分线于点E，连接，交于点． 【探索发现】 （1）在点F运动的过程中，勤学小组发现与始终相等． 下面是两位组员的思考方法： 小李同学：在上取一点N，使得，连接，可以构造出一对全等三角形，即可证明． 小王同学：连接，过点F作交于点N，同样可以构造出一对全等三角形，即可证明． 请你借助任意一位同学的思考方法或运用其他方法，证明：； 【拓展延伸】 （2）张老师连接，分别交于点． ①如图2，善思小组连接，并画出了的情形，请协助他们计算出此时的长； ②如图3，笃行小组画出了的情形，求此时的长． 【答案】（1）∵在正方形中，， ∴，， 小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接， 则， ∴， ∴， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 由正方形可得， ∵， ∴，， ∴，， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①；② 【分析】 （1）小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接，证明和，即可证明，得到； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 先证明，再证明，，得到，得到； （2）① 如图2，把逆时针旋转得到，连接，先证明，得到，再根据旋转得到，，，，接着证明，得到，即可得到是等腰直角三角形，最后根据列方程求解即可； ② 如图3，过作于，由结合，得到，，即可求出，再根据，得到，，把逆时针旋转得到，连接，由① 可得，，，中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）① 如图2，把逆时针旋转得到，连接， ∵， ∴， ∴，即， 由正方形可得，，， ∴， ∴， ∵把逆时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ② 如图3，过作于，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 把逆时针旋转得到，连接，由① 可得，，， ∴，， ∴， 解得． 【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力． 63．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点B的对应点始终落在上，点C的对应点为，折痕与，分别交于点E，F，设直线与直线相交于点P，当时，则的长为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 过点B作于点G，证明四边形是矩形，再求出，∴，结合折叠的性质证明， 则有，，∴，，设，则，分当点P在上时，当点P在延长线上时两种情况求解即可． 【详解】 解：如图，过点B作于点G， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设， 则， 当点P在上时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在延长线上时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴的长为或 【点睛】 本题主要考查了折叠和相似三角形，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，矩形判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论，结合题意画出图形，是解题的关键． 64．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）数学兴趣小组探究了以下几何图形．一个角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转角，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】（1）如图1，连接、交于点，和分别交于点，． ①则的值为_________； ②求证：； 【探究二】（2）把角旋转到如图2所示位置，射线与角两边，分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为12cm，．点为边上一点，若的另一边与相交于点，且满足．若，直接写出线段的长__________． 【答案】（1）①； ② 证明：∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3）或 【分析】 （1）① 证明，利用相似三角形的性质即可求解； ② 先证明，求得，同理，推出，由，即可证明结论成立； （2）先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． （3）分两种情况讨论，当点在的右侧时，如图，在上取一点M，使，过M作于N，根据四边形为菱形，且，证出，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．当点在的左侧时，作于点，证明，求得，设，证明，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 （1）① 解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ② 略 （2）解：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．     ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即； （3）解：当点在的右侧时，如图，在上取一点M，使，过M作于N， 又∵四边形为菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； 当点在的左侧时，如图，作于点，交于点， ∵，， ∴，， 同理，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 解得，即线段的长为； 综上线段的长为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 65．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连接． （1）如图1，证明：； （2）当为直角时，利用图2画出相应图形，并求点的坐标； （3）将沿直线翻折得到，连接，直接写出的最小值为__________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 所作图形如图， 点的坐标为；     （3）2      【分析】 （1）利用等角的余角相等求得，证明，即可证明结论成立； （2）由题意得，推出，得到，求得，，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可； （3）由题意可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点运动到时，的值最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：对于直线， 令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点运动到时，的值最小，其最小值为， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键． 66．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在中，，，垂足为点E，将线段绕点C顺时针旋转到，使．求证：．经过同学们激烈的讨论． ①智慧小组同学从已知条件中得出，想到作平分交于点F，如图2，证明出，进而得出． ②善思小组同学则给出如下的解题思路：延长至点G，如图3，使，连接，证明，进而得出． 请你选择一个小组的解题思路，或者另辟蹊径探究其它方法，写出证明过程． 【类比分析】（2）张老师发现两个小组都运用了转化思想，为了帮助同学们更好地理解转化思想，张老师提出了下面的问题： 如图4，在中，，，D是边上一点，连接，过点A作于点E，在线段上截取，连接交于点G，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，，，，点E在边上，连接，，交于点F．若，求的值． 【答案】（1）证明：智慧小组： ∵ ，， ∴ ，， ∵ ，， ∴， ∵平分，， ∴ ，即， ，， 又∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 善思小组： 延长至点，使，连接， ∵ ，， ∴ ， ∴ ,， ∵ ， ∴ ，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ； （2）证明：如图，过点作，交延长线于点， ∵ ，，， ∴ ，，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，，， ∴ ； （3） 【分析】 （1）智慧小组：通过作角平分线，利用等腰三角形性质和角的关系证明三角形全等，进而得出线段相等；善思小组：通过延长线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明线段关系． （2）通过作垂线构造全等三角形，先证明一组三角形全等得到线段相等，再证明另一组三角形全等得到线段中点关系，结合线段和差证明结论． （3）通过作平行线，利用角的关系证明线段相等，再结合相似三角形的性质求出相关线段长度，进而通过面积公式求解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）过点作，如下图， ∵， ， ∵， ，， ，， ， ∴， ∴， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ，， 设，，则， 解得， ，， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 67．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：________． 【深入探究】 （2）继续沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，折痕为，连接，，延长交于点，连接． ①求证：； ②猜想线段，和的数量关系，直接写出三者关系为________． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下： ①延长交矩形的边于点，若，，直接写出的值________． ②若，当的面积最大时，求的值为________． 【答案】（1）正方形； （2）① 证明：∵折叠， ∴， ∵，正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②； （3）①或； ② 【分析】 （1）可推出，，进而得出结果； （2）①可证得，从而，由，得出进而得出，进而得证结论； ②在上截取，可证得，从而，，进而，从而，进一步得出结果； （3）当交于N时，此时，可推出，，从而，，得出，，求得a的值，进一步得出结果；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，可推出，，从而，，得出，，求得x的值，从而求得，，由得出结果； ② 取中点，则在以为直径的上，过点作交于点，交于点，过作于点，则，故当点与点重合时，取得最大值，即的面积取得最大值，可得点为中点，则，而，则，可求，再由即可求解． 【详解】 （1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）① 略 ② 解：如图1， 在上截取， 由① 知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：如图2， 当交于N时，此时． ∵， ∴，， ∴，， 设，则 ∴，， ∴，（舍去）， ∴， 如图3， 当N在时，延长，，交于点W， 设，则，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，（舍去），， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或， 故答案为：或； ② ∵，，取中点， ∴点在以为直径的上， 过点作交于点，交于点，过作于点， 则， ∴当点与点重合时，取得最大值，即的面积取得最大值，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 68．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在平面内，C为线段外的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，则称C为线段的等腰直角点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，线段的等腰直角点的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，直线l的解析式为． ①如图2，点B在y轴上，C是直线l上的一个动点，若A是线段的等腰直角点，且时，求点C的坐标； ②点P是直线l上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点．若某正方形的中心（对角线的交点）为原点O，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出正方形边长a的取值范围． 【答案】（1）或或或     （2）①；②      【分析】 （1）根据题意，即可确定线段共有4个等腰直角点，分别写出其坐标即可； （2）① 根据题意，设点C的坐标为，分两种情况进行讨论，第一种情况：设点的坐标为，过点作轴于点，过点作于点，过点作于点，先证明，得，，即 ，解得，，则当点C的坐标为时，点的坐标为，即此时点的轨迹为，同理易得，第二种情况：点在的另一侧，当点C的坐标为时，点的坐标为，即此时点的轨迹为，根据题中点B在y轴上，可得点的坐标为，即第一种情况，此时，即可求出点C的坐标为； ② 过点作轴交直线l点，则点的坐标为，第一种情况：作，，点的坐标为，连接，作，，通过证明，得，此时点的轨迹为，第二种情况：同理可得，点的坐标为，此时点的轨迹为，第三种情况：作，，点的坐标为，连接，作，，通过证明，得，此时点的轨迹为，第四种情况：同理可得，点的坐标为，此时点的轨迹为，从而确定直线l关于点A的伴随点的轨迹为和和和，根据该正方形上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，利用临界点和图象，即可确定正方形边长a的取值范围为． (1) 小问详解： 由题意得，线段共有4个等腰直角点，分别为或或或， 故答案为：或或或； (2) 小问详解： ①C是直线l上的一个动点，直线l的解析式为， 设点C的坐标为， 点A的坐标为，点A是线段的等腰直角点，且时， 如图所示，分两种情况， 第一种情况：设点的坐标为，过点作轴于点，过点作于点，过点作于点， ，点A是线段的等腰直角点，，， ，，， ， ， ， ，， ， 把②① 得，，即， 把代入① 得，， 则当点C的坐标为时，点的坐标为， 即此时点的轨迹为， 第二种情况：点在的另一侧，设点的坐标为，过点作轴于点，过点作于点,过点作于点， ，点A是线段的等腰直角点，，， ，，， ， ， ， ，， ， 把①② 得，，即， 把代入① 得，， 则当点C的坐标为时，点的坐标为， 即此时点的轨迹为， 综上所述，当C是直线l上的一个动点，A是线段的等腰直角点，且时，点的轨迹为和，如图， 点B在y轴上， 点的坐标为，即只有第一种情况，此时， ， 点C的坐标为； ② 过点作轴交直线l点， 点的坐标为， 第一种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ，， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 即此时点的轨迹为， 第二种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ，， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 即此时点的轨迹为， 第三种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 此时点的轨迹为，且过点， 即此时点的轨迹为， 第四种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 此时点的轨迹为，且过点， 即此时点的轨迹为， 综上所述，当点P是直线l上的一个动点，所有线段的等腰直角点即直线l关于点A的伴随点的轨迹为和和和，如图， 正方形的中心（对角线的交点）为原点O，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点， 正方形边长a的取值范围为． 【点睛】 本题考查一次函数的性质及图象、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是准确地理解题干中的新定义、通过分类讨论思想灵活运用以上知识点． 69．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质；根据作图可得是的角平分线，则，根据题意得出，进而求得，证明得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：根据作图可得是的角平分线，则 ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵设，，关于的函数图象过点， 当重合时，重合， ∴， 如图，作，延长至，交于点， ∴， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴当时，的最小值为 故答案为：． 70．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以和为边作平行四边形，连接，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：作交的延长线于点L， 交的延长线于点H，证明四边形是矩形，再证明，得到，求出，作交的延长线于点P，于点Q，证明得到，求出，由垂线段最短得到，进而完成解答． 【详解】 解：如图：作交的延长线于点L， 交的延长线于点H， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作交的延长线于点P，于点Q，则， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 故答案为：5． 71．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，在矩形中，，，是上的一个动点． （1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； （2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； （3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的性质和判定即可得． （2）根据矩形的性质和角平分线的性质可得，，利用一线三垂直可得，利用三角形全等的性质可得，，过点作于，可先证明，利用三角形相似的性质和勾股定理可得的长． （3）根据矩形的性质和勾股定理可得，设，则，勾股定理结合折叠的性质可得，进而证明，，利用相似三角形的性质可得，故． (1) 小问详解： 解：如图1，连接， 在矩形中，， 在中，根据勾股定理得， ∵是中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 即． (2) 小问详解： 解：如图2，在矩形中， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图 2，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，． (3) 小问详解： 解：如图3： 在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理得，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质和判定，三角形全等的性质和判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 72．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图，在，，按以下步骤作图： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点； （3）作射线交于点； （4）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点； （5）作直线，交，分别于点．根据以上作图，若，则的长是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了作图-复杂作图，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，由作图可知平分，垂直平分，证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，再证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，判断即可． 【详解】 解：由题意，与的周长之比是； 故选B． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）若，且，的周长为，则的周长为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比． 【详解】 解：，，的周长为， 的周长 ：的周长=， 的周长为， 故选：D． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】 解：∵，对应高的比为， ∴对应面积的比为， 故选：B． 4．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键． 由相似三角形的性质，即面积比等于相似比的平方，代值求解即可得到答案． 【详解】 解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为， ∴面积比为，即， 故选：C． 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应高的比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；相似三角形的对应高的比等于相似比，而相似比等于周长比，然后问题可求解． 【详解】 解：∵两个相似三角形周长的比为， ∴相似比为， 又∵相似三角形对应高的比等于相似比， ∴对应高的比为； 故选B． 6．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，，且，则与的周长比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，由已知条件可得出，由相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴与的周长比为． 故选A． 7．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知，其相似比为，则与的面积之比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似的平方解答． 【详解】 解：，其相似比为，则与的面积之比为 故选：D． 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，直线，是等边三角形，则的大小为（       ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【分析】 此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出解答． 根据等边三角形的性质得出，进而利用平行线的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】 解：如图所示 是等边三角形， ∥ 故选：Ｂ 9．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）如图，，且是中点，则与的周长比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了相似三角形的性质，根据是中点，得，又因为，故与的周长比等于相似比，即可作答． 【详解】 解：∵是中点， ∴， ∵， ∴， 即与的周长比为， 故选：D． 10．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】 解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据正方形和等边三角形的性质得，可求出，再根据等边对等角得出答案． 【详解】 解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 【答案】这两个三角形的周长分别是、． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可． 【详解】 解：∵两个相似三角形的最长边分别是和， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为， ∵这两个相似三角形的周长之和为， ∴较小三角形的周长是， 较大三角形的周长是 答：这两个三角形的周长分别是、． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，； 又为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）某校操场上高6米的旗杆在水平地面上的影子长为9米，此时测得教学楼在水平地面上的影子长为18米，则教学楼的高度为（       ） A. 9米 B. 12米 C. 24米 D. 27米 【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的知识．设教学楼的高度为米，根据题意，则，解出，即可求解． 【详解】 解：设教学楼的高度为米， ∴， ∴． ∴教学楼的高度为12米． 故选：B． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质：依题意，，根据物距为，像距为，得，即可作答． 【详解】 解：如图： 依题意， ∵物距为，像距为 ∴ ∵蜡烛火焰倒立的像的高度是 ∴ ∴ 故选：A 4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】 解：如图所示，    由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 5．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 6．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（     ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】A 【分析】 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 证明，利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可． 【详解】 四边形是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 设正方形的边长为，则， ， 解得， 正方形板材的边长为． 故选A． 7．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】 解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？ 【答案】楼高是9米． 【分析】 先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度． 【详解】 解：∵，， ∴m， ∵，， ∴∥， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴楼高是9米． 【点睛】 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 9．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，强强同学为了测量学校一座高楼的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿方向移动到达点B处（即），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强从点B处沿方向移动到达点C处（即），测得．强强同学的眼睛距地面的高度为，已知点O，A，B，C在同一水平线上，，．求高楼的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】 【分析】 本题考查测高，涉及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和平面镜测高等，熟练掌握是解答本题的关键，由平面镜测高题型的解法，利用，得到相似比，代值求解得到，再由等腰直角三角形的性质列式求解即可得到答案． 【详解】 解：由题意知：， ，， ， ， ， 即， ， ，， ， ， 解得：， ， 答：高楼OE的高度为． 10．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了课后作业：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为．步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 【答案】解：测量一结论：人与太阳的距离约为10万里． 在中，里． 万里 即：人与太阳中心的距离约为10万里． 测量二结论：太阳的直径约为1250里． 由测量一可知，人与太阳中心的距离为10万里 ， ． ， 万里 即：太阳的直径约为1250里． 【分析】 此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先求出万里，证明，利用相似三角形的性质即可求出太阳的直径． 【详解】 略 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： （1）小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； （2）如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 【答案】（1） 图① 中点P，即为所求；      （2）9米      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意画出图形； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 路灯的高为9米． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意画出几何模型如图，米、（米）、米、，可得，即，然后将相关数据代入即可解答． 【详解】 解：构造几何模型如图： 依题意知：米，（米），米， ∵, ∴ ∴ ，即，解得：， 故：灯泡距离桌面3米． 故答案为：3． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． （1）求旗杆的高度； （2）小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）先求出线段的长，再证明，最后利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）可证明，得到，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， 答：的长约为． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】 解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）某校“综合与实践”小组的同学把“测量教学楼顶部旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下实践报告． 活动课题 利用相似三角形的有关知识测量教学楼顶部旗杆的高度 活动方式 分组活动、小组合作交流 活动工具 标杆、皮尺等 测量示意图 测量过程 【步骤一】在地面上，确定合适的点O，使旗杆的端点A，B与点O在一条直线上且与地面垂直，测量标杆的长度；【步骤二】某一时刻，小组的同学们在阳光下，将标杆垂直于地面立在教学楼的影子所在的直线上，调整标杆使其影子恰好为，此时，旗杆的顶端点A的影子落在教学楼前一垂直于地面的建筑物上的点E处，同时，小组成员分别测落在建筑物的影子的长，教学楼的影子的长，随后测和的长；【步骤三】其他同学分别记录测量数据． 测量数据 米，米，米，米，米． 请你根据以上实践报告，帮助该小组完成以下问题． （1）求教学楼的高度； （2）请直接写出教学楼顶部旗杆的高度为________米． 【答案】（1）12米     （2）3      【分析】 本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）证明，得，代入计算即可得解； （2）过点E作于点H，证明四边形是矩形，得米，米，则米，再证明得，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴， ∴米， 即教学楼的高度为12米； (2) 小问详解： 解：如图，过点E作于点H， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴米， 即教学楼顶部旗杆的高度为3米． 故答案为：3． 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意得：，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，， ∴， 根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：， ∴； 故答案为：． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△ABM∽△DCM， ∴===，（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∵MH∥AB， ∴△MDH∽△ADB， ∴==， ∴=， 解得MH=6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为　　　　　　　　　　　米． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】 解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，则点的对应点坐标为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】D 【分析】 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此求解即可 【详解】 解：∵以原点为位似中心，把缩小为原来的， ∴点的对应点坐标为或， 即或； 故选：D． 2．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的相似比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求两个位似图形的相似比，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解题的关键．根据题意可知，与位似，即可得到答案． 【详解】 解：放大后得到， 与位似， 由平面直角坐标系可知，,, ,， 与的相似比是， 故选：C 3．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查位似变换，由题意可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】 解：∵与是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（   ） A. E B. F C. G D. H 【答案】D 【分析】 连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】 解：如图，连接并延长， 以点为位似中心，点D是点C的对应点， 位似比为， 则点A的对应点是H， 故选：D． 【点睛】 本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键． 6．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】 解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 7．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（     ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【分析】 此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出两图形的位似比是解题关键． 【详解】 解：∵点的坐标为，以原点为位似中心，将放大后得到，点的坐标为   ， ∴与的位似比为：，        ∴，则， ∴的周长为：8， 故选：B. 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（       ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 18 【答案】C 【分析】 本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念和相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，再由、，得、，可根据相似三角形的性质得到答案． 【详解】 解：如图，过点A作轴于点M，过点D作轴于点N，则， ∵与是以O为位似中心的位似图形， ∴，，且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D点横坐标为8． 故选：C． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了位似变换和位似图形性质，位似图形必须是相似形，熟练掌握运用位似图形的性质及相似三角形的判定和性质是解题关键． 根据位似的性质得到，得出，利用相似三角形的性质可得，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得． 【详解】 解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 故选：D． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的面积为2，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 18 D. 32 【答案】D 【分析】 本题考查了位似变换．利用位似的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质求解． 【详解】 解：∵， ∴， 与位似，点为位似中心， ，， ， ， ， ． 故选：D． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为，则点P的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】 解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，① 号“E”与② 号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为， ∴点P的坐标为，即． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，则有它们的相似比为，然后分类进行求解即可． 【详解】 解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵， 当点在y轴的右侧时， ∴，即； 当点在y轴的左侧时， ∴，即； 故答案为或． 14．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为          ； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求作，      （2） 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【分析】 本题考查作图一位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． (1) 小问详解： 解：连接，交点即为点，点的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A线段上，若，则与的面积之比为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 则与的面积之比为 故答案为：． 16．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点的坐标为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质得到，则可证明，得到，即点为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】 解：线段和线段关于原点位似， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查位似的性质变换和相似三角形的性质，熟练掌握位似的相似变换和相似三角形面积的性质是解题的关键．先利用位似的性质得到，，推出，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可． 【详解】 解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】 解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或． 19．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）以点O为位似中心，画出与位似的，且点的坐标为； （2）写出与的相似比； （3）写出内的任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可； （2）由图可得答案； （3）根据位似的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）图可知，与的相似比为； (3) 小问详解： 解：∵与的相似比为， 内的任意一点的对应点的坐标为． 20．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点，点，点； （1）将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点坐标； （2）以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 ，使它与的相似比为 【答案】（1） 如图即为所求： 点坐标为；     （2） 如图，即为所求．      【分析】 此题考查了位似图形和旋转的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）找到位似的对应点并顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，在正方形格纸中． （1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，，并写出点坐标； （2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1） 以与点左边相距2个单位长的格线所在的直线为轴，以与点下方3个单位长的格线所在的直线为轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，．      （2）连接并延长使，连接并延长使，连接并延长使，连接，，，如图所示，即为所求，      【分析】 此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用已知点坐标得出各点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位） （1）求的面积； （2）以点为B位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为； （3）请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所求作；      （3） 如图，点即为所求作． 【分析】 本题考查了割补法求面积，作位似图形，一次函数的图象和性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）利用割补法求面积即可； （2）以点为B位似中心，根据位似图形的性质作图即可； （3）由可得，即，画一次函数的图象，与的交点即为点． (1) 小问详解： 解：的面积 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图1，即为所求      （2）① 点；② 点      【分析】 本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得，点， ② 由题意得，点． 24．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应，，； （2）以坐标原点为位似中心，在x轴上方作，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； （3）直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于x轴对称的点，，分，依次连接即可解答； （2）延长到，使，延长到，使，延长到，使，即可解答； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 25．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）①，；②      【分析】 （）根据位似图形的性质画图即可； （）① 根据（）所画图象解答即可；② 根据① 中对应点的坐标变化解答即可； 本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 故答案为：，； ② 由① 可得，边上任意一点的对应点的坐标为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了位似变换，坐标与图形性质，勾股定理等知识，作轴于点，轴于点，根据勾股定理求出，的长，得出相似比，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．A 8．D 9．D 10．C 11．A 12．C 13．C 14．D 15．【答案】 【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵原矩形ABCD的长为6，宽为x， ∴小矩形的长为x，宽为 =2， ∵小矩形与原矩形相似， ∴ ∴x=2 . 故答案为2 ． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，注意分清对应边是解题的关键． 16．【答案】 【分析】 本题考查黄金分割的定义．根据题意可得，代入即可求出的长度． 【详解】 解：是的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，将所求分式拆分为1减去已知分式，然后代入已知值计算即可． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，由已知等式求出的值，再代入求的值，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 得； 则把代入，得； ∴， 解得； 故答案为：． 19．【答案】6 【分析】 本题考查比例的性质，根据已知条件，将所求表达式拆分为，再利用分式的加法法则计算。 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：6． 20．【答案】 【分析】 本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查的是矩形的性质，相似多边形的性质，由矩形的性质可得，由矩形矩形，可得，代数求解即可． 【详解】 解：∵矩形矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 考点02 平行线分线段成比例 1．C 2．C 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．B 9．A 10．【答案】 【分析】 由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】 ，     ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 11．【答案】（1） 证明：垂直平分， ，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形．      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握相关知识点是解题关键． （1）由垂直平分线的性质得到，，，由平行线分线段成比例定理，得到，进而得到，再结合，即可证明结论； （2）证明是等边三角形，从而得出，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 12．【答案】 【分析】 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作于点，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，然后再证，从而得出，，从而得出，，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】 如图，过点作于点． 四边形是菱形， ，，， ． ， 由是的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ，． 是的中点， ， ． 在和中 ， ∴， ， ， ，， ， ， ， 在中．． 故答案为：． 13．【答案】（1） 证明：线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ，，    ． ， ， ．        又， ， ， ．     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质，直角三角形的性质以及全等三角形的判定定理即可证明； （2）先过作，进一步证明，可得，再根据等腰三角形的性质得出，因此，根据全等三角形的性质进一步得出，，即可求值； （3）先过作，设，再根据折叠的性质，勾股定理和全等三角形的性质得出，最后根据平行线分线段成比例即可求值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图1， 过作，垂足为， 由（1）得， ． 又， ．        又，， ， ．        ，， ， ．        又， ． ，， ， ， ． (3) 小问详解： 解：如图2， 过作，垂足为． 沿翻折，点的对应点落在的延长线上， ， ，．        设， ，， ，．        ， ．        ， ， ． ， ， ， 即． 考点03 三角形相似的判定 1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．D 12．D 13．B 14．B 15．A 16．D 17．A 18．B 19．【答案】12 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 20．【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明得，代入数据即可求解． 【详解】 解：∵和为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，5， ∴， ∴． 21．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，先求出，由可得，推出，即可求解． 【详解】 解：，， ， ， ， ，即， ， 故答案为：8． 22．【答案】 【分析】 本题考查了作图—尺规作图，相似三角形的判定与性质，由作图可得，证明得出，即可求出，再由相似三角形周长比等于相似比即可得解． 【详解】 解：由作图可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．【答案】（1） 证明：，， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据两组角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质得到，求出，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ，， ， 解得：（舍去）或， ． 24．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．根据反射角等于入射角推得其余角也相等，从而可证，再推得对应线段成比例，求得的长度，据此求解即可． 【详解】 解：如图，为法线，则入射角等于反射角，即，过B作x轴的垂线，垂足为点C．         又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，设， ∴， ∴， 解得：． ∴点的坐标为． 故答案为：． 25．【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 本题考查了矩形判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定等知识． （1）先根据平行线的判定得，再证明，根据内错角相等两直线平行得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论； （2）证明得，进而得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的长为． 26．【答案】（1） 证明：连接， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；      （2）      【分析】 本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，根据角平分线的定义得到是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，即可得到，然后根据角平分线的定义得到，然后得到即可证明切线； （2）设的半径为，根据，可以求出，然后根据，即可得到结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为，则， ∵，即， 解得， ∴，， 又∵ ∴， ∴，即，解得． 27．【答案】（1）证明见试题解析；（2）． 【分析】 （1）由折叠的性质可知∠C=∠AED=90°，因为∠DEB=∠C，∠B=∠B证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE．在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可． 【详解】 （1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠， ∴∠C=∠AED=90°， ∴∠DEB=∠C=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BDE∽△BAC； （2）由勾股定理得，AB=10， 由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°， ∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4， 在Rt△BDE中，由勾股定理得，， 即， 解得：CD=3， 在Rt△ACD中，由勾股定理得， 即， 解得：AD=． 【点睛】 本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 28．【答案】16 【分析】 本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键．延长交y轴于E，连接，根据矩形面积求出面积，再利用，求出面积，利用相似求出与的比，求出面积，即可利用几何意义求出k． 【详解】 解：如图，延长交y轴于E，连接， ∵矩形的面积是8， ， ， ， ， ， ， ， 由几何意义得，， ， ， 故答案为：16． 29．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识． （1）待定系数法求一次函数解析式即可． （2）过点作交轴于，则，再证明，由相似三角形的性质得出，进而求出的值，再根据数轴求出，进而可求出点D的坐标． （3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：过点作交轴于， ， ∵， ∴， ∴， 即． ∵，， ， ． 点的坐标为 (3) 小问详解： 解：， ． 1．若，如下图： 则 解得： 2 ．若，如下图： 则 解得： 综上所述：符合要求的的值为或． 30．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）的长为．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，对顶角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，由，通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由，得，然后求出，再代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 31．【答案】 【分析】 本题主要考查正多边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正多边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，，，则有，进而求解即可． 【详解】 解：∵五边形是边长为10的正五边形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，即，， ∴， 解得：（负根舍去）； 故答案为． 32．【答案】（1）这个正方形零件的边长是；     （2）矩形面积最大是．      【分析】 本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值等等，解本题的关键是证明出． （1）先证明，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果； （2）设，根据（1）可得，根据，可得，即可得，再根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值． (1) 小问详解： 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形零件的边长为，则， ∴． ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴这个正方形零件的边长是； (2) 小问详解： 解：设，同（1）可得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形面积， ∵， 当时，此时矩形面积最大，最大面积是， 即：矩形面积最大是． 33．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查解一元二次方程、相似三角形求线段长，熟练掌握一元二次方程的解法、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）先判定，再由相似比得到，将代入得求解即可得到答案． 【详解】 解：（1）， ， 则， ， 则或， 解得，； （2）， ， 则， 将代入得， ， 由于，则． 34．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．作于，由三角形中线的定义可得，证明，得到，，进而根据勾股定理求出，证明，可求出，得到，最后根据即可解决问题． 【详解】 解：如图，作于． 是的中线， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 35．【答案】（1） 证明：∵和分别是边上的高， ∴， ∵， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意得，结合，即可得出结论； （2）由，得到，即，再证明，得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，设路灯的高度为x，先判定，再根据相似三角形的性质可得=，用含x代数式表示，同理，用含x代数式表示DN，再根据等量关系列方程求解即可． 【详解】 解：设路灯的高度为， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得：， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得：， ∵两人相距， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度是． 37．【答案】（1）图1正方形的边长为；（图2的正方形边长为）；     （2）在图3中，，当时，长方形的面积有最大值为；在图4中，，当时，长方形的面积有最大值为:      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理算出，再运用正方形的性质分别证明，，，然后代入数值，进行计算，即可作答． （2）与（1）同理证明，则长方形的面积，结合二次函数的图象性质得当时，长方形的面积有最大值为．，然后证明，，再把数值代入长方形的面积，化简得，结合二次函数的图象性质进行作答即可． (1) 小问详解： 解：图1：∵，△ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵ ∴ 得， 即， 解得． ∴图1正方形的边长为； 图2：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得， ∴图2的正方形边长为． (2) 小问详解： 解：图3：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， 当时，长方形的面积有最大值为． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积， ∵ ∴开口向下， ∴当时，长方形的面积有最大值为． 38．【答案】（1）①； ② 证明：如图，延长，交于点，则，     ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵是的中点，， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴是菱形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，即， ∴，即点是斜边的中点． ∴．     （2）8      【分析】 （1）根据旋转的性质和线段中点的定义得到，根据等边对等角得到，在中，根据三角形内角和定理即得出，进而即可求解；② 延长交于点，证明四边形是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，，根据等腰三角形的性质，得出是的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）连接，设平行四边形的面积为S，则，由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则，进而得到，，由，得到；证明，得到，则，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：如图1， ∵将线段绕点M旋转至位置， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ② 略 (2) 小问详解： 解：如图3，连接，设平行四边形的面积为S， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴平行四边形的面积为8． 【点睛】 本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 39．【答案】（1），； （2），理由： 如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或. 【分析】 （1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】 解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）略 （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】 本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 40．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查菱形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质． ①与为两个等腰三角形，得到，从而证明； ② 证明即可证明结论； ③ 当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ④ 证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】 解：在菱形中，， ， ∵将绕点D按逆时针方向旋转至，使， ， ， ， ， ，故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ，故② 正确； 连接，当为直角三角形时， 如图，当时，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，当时，延长交于H，连接交于点O， 设， ， 则，， ， ， 在菱形中，， ， ， ，即， ． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时， ∴的情况不存在， 综上所述，的值等于8或，故③ 错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或，故④ 正确； 则正确结论的序号是① ② ④ ； 故答案为：① ② ④ ． 41．【答案】（1） 证明：矩形，，， ，，，， ， ， ， 是等边三角形．     （2） ①，理由如下： 如图，连接交于点，连接， 由旋转的性质可知，，， 是等边三角形， ，， 由（1）可知，是等边三角形． ，， ，即， ， ， ，， ； ②或      【分析】 （1）根据矩形的性质和勾股定理可得，即可证明结论； （2）① 连接交于点，连接，由旋转的性质可得是等边三角形，由（1）可知，是等边三角形，从而证明出，得到，即可得出结论； ② 当点在上时，如图，连接交于点，过点作交于点，过点作分别交、于点、，延长交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，证明，得到，，再利用三角函数，求出，最后根据等高三角形面积比等于底边之比求解；当点在的延长线上时，如图，连接交于点，过点作交于点，延长、交于点，过点作交于点，过点作于点，证明，得到，，再利用三角函数，求出，根据，求出，再利用三角形面积公式求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② 当点在上时，如图，连接交于点，过点作交于点，过点作分别交、于点、，延长交于点， 由（1）可知，是等边三角形，， ， ， ，， 在中，， ， 矩形， ，， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 在中，，， ， ， ，， ， 和等底等高， ， 和是等高三角形， ， ； 当点在的延长线上时，如图，连接交于点，过点作交于点，延长、交于点，过点作交于点，过点作于点， 由旋转的性质可知，，， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，， ， ， ， ，        ， ， 综上可知，的面积为或． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 42．【答案】（1） 解：由旋转得：，，， ， ． 四边形是正方形， ， ， 在中，，， ， ， ．     （2）     （3）      【分析】 此题考查了相似三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明四边形是正方形，进一步证明，即可得到结论； （2）证明，得到，，求出．即可得到的值； （3）证明，得到，则，得到，同理，，得到，即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在中，， ， ，， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ． ． (3) 小问详解： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ． 四边形是正方形， ， ， ， ， 与是同高， ， 同理可得：，， ， ， ， ． 43．【答案】（1）     （2）6      【分析】 （1）分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可； （2）利用配方法求解最值即可． (1) 小问详解： 解：① 当（点D在上时） ∵中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∵， ∴ ∴ ② 当（点D在上时）如图； 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴综上所述： (2) 小问详解： 点D在线段上运动时，则 ∴ ∵ ∴当时，最大是6. 【点睛】 本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键． 44．【答案】（1） 证明：设， ， ， ， 又，是中线， ， ， ， ， 又， ， ；     （2） ， 证明：过点C作交的延长线于点M， 是中线， ， ，， ， ，， 又，， ， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）设，得，由直角三角形中线得到，推出，再证，即可求证；         （2）过点C作交的延长线于点M，可得，则，，再证，则，即可求解；                                     （3）过点C作交的延长线于点M，由（2）可知，，，设，则，设，则，，由勾股定理可得，则，证明 ，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点C作交的延长线于点M， 由（2）可知，，， 设，则， ， ， 设， ，， 由（2）可知，， ， ， 解得，（舍去）， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的中线，全等三角形的判定性质，相似三角形，勾股定理等相关知识点，解题关键在于熟练掌握构造辅助线的方法和分式，主要是知识点的综合理解. 45．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴；     （2）2      【分析】 （1）根据垂直得出直角，利用直角三角形的性质得出相等的角，即可证明三角形相似； （2）根据三角形的中线得出线段的长度，根据勾股定理求出三角形斜边长，然后利用等面积法求出的长度，最后利用平行线分线段成比例即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵，，AD为的中线， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴由等面积法得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 46．【答案】[特例感知]（1）①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②； [深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【分析】 [特例感知]（1）① 根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；② 如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据① 中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】 解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ① 略 ② 如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 在中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】 本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 47．【答案】（1）；     （2） ① 证明：过点作于． ∴， ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵即， ∴， ∵，， ∴（）． ∴，即． ②      【分析】 （1）通过证明与相似，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算的长． （2）① 作辅助线，先求出的长度，再证明（），从而得到，证明． ② 作辅助线，利用相似三角形的性质求出相关线段的比例关系，结合勾股定理和方程思想求出的长度，进而求出． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴．即， 解得； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 过点作交于． ，， ． 由① 知，又，，， ∴， ． ∴， 由（）得， ∴， ． ∵， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ， ， ，即 解得，， ， ， ， 设，则， ， 解得即． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，相似三角形的判定和性质，求三角形面积最值等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）取中点，连接，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出相关线段长度，证明，利用对应边成比例即可求解； （2）利用相似相似三角形，表示出相关线段的长度，利用作差法表示出三角形的面积，然后利用配方法求最值即可． (1) 小问详解： 解：如图，取中点，连接， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∵是的中线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 整理得， ∴当时，的面积最大，最大值为． 49．【答案】（1） 解：① 以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点间距离一半为半径画弧，两弧交于一点，以点A为端点过这交点作射线交于点，连接，则点即为所求作． ② 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴；     （2）     （3）      【分析】 （1）① 作的平分线即可；② 由作图得，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得，从而可得； （2）由证明，得,而，设，得，由比例式得，解方程求出的值，确定符合要求的的值即可； （3）连接,设与交于点，证明,根据证明，得，，，可得出，，由得，可得，再证明，运用相似三角形的性质和线段的等量关系可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， 由于线段的长度为正值，所以，， ∴； (3) 小问详解： 解：连接,设与交于点，如图， 由旋转得， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴（负值舍去）． 【点睛】 本题主要考查作角平分线，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 50．【答案】 【分析】 本题考查的是相似三角形判定与性质，勾股定理，矩形性质，两点之间线段最短．延长到E，使，连接，以为一边构造相似比为的相似三角形，得到，再利用两点之间线段最短，勾股定理解决问题． 【详解】 解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， 设点M，点N运动时间为t秒， 由题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 故答案为：． 51．【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∴ ∴     （2）      【分析】 本题考查相似三角形的性质和判定：有两个角相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例，两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似； （1）由和公共角相等可得出，进而得出即； （2）由得出和公共角相等可得出，进而得出. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，理由如下： 由（1）得 ∴ 即 又∵ ∴ ∴. 故答案为：. 52．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和翻折的性质得出等边三角形，即可求解； （2）连接，根据正方形的性质证明，得出，假设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （3）过点作于点，作于点，连接，根据同高三角形的性质得出底的比，假设，利用勾股定理及面积比求出，然后证明三角形相似，求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴； (3) 小问详解： 解：的面积为，理由如下： 如图，过点作于点，作于点， ∵与为同高的三角形， ∴， 假设， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的面积的面积为． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 53．【答案】（1） 证明：由翻折可知， ， ， ， ， ， 四边形为菱形．     （2） ①选方法1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， 选方法2， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ， 由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ②或      【分析】 （1）由翻折的性质和等腰三角形的性质即可得证； （2）①选方法1，先证明，再结合翻折的性质证明，再根据三角形的内角和即可得证；选方法2，先证明，再证明，再结合翻折的性质和外角的性质即可得证； ②分两种情况讨论，当D在线段上时，先证明，得，再分别求出，即可；当D在的延长线上时，同理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①略 ②设交于N，交于M， 当D在线段上时，如图， 由①知，， ， ， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D在的延长线上时，如图， 由①知，， ， ， 由翻折可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的判定，翻折的性质，运用分类讨论思想，正确作出辅助线是解题的关键． 54．【答案】（1）证明：∵将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图1，连接， ∵，可设，令， ∵， ∴, ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去） ∴； （3）或 【详解】 （1）根据正方形的性质可得，，根据折叠的性质结合“同角的余角相等”进行等量代换证得，从而根据证明三角形全等，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证； （2）连接，由．可设，令，根据等边对等角结合两直线平行，内错角相等，进行等量代换得到，从而得到，，，最后根据，解答即可； （3）分点H在点D左侧，点H在点D右侧两种情况讨论．通过证明，得到，即从而可设出，结合，即可求解得到的值． （1）略 （2）略 （3）解：由，可设，令，则． ① 当点H在点D左侧时，如图3， 由（2）知，． ∵将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴，, 在和中， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ② 当点H在点D右侧时，如图4， 则，， ∴， 同理可得， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 55．【答案】（1）；     （2） 解：；证明如下： 延长至，使，连接，， ， ， ， ， ∵ 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 （1）结合等边三角形的性质，得，因为，得，又因为三角形内角和性质，得，代入数值计算，即可作答． （2）先证明是等边三角形，得出，又因为是等边三角形，故，即可证明，运用30度角的直角三角形的性质，得，结合，即可得出； （3）理解题意，延长交的延长线于点，证明，设为，则，，把数值代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 是等边三角形， ， ， ， ，且， ∴， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：延长交的延长线于点， ， ， ， ，， ， ， 设为，则， ， ， ， ， ， 在中, ， 则， ∴， 得（负值已舍去）， ， 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和性质，30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 56．【答案】 【分析】 连接，交于点O，根据菱形的性质和，可得，结合轴对称的性质，推出，进而得到，然后利用勾股定理求得和，接着由可知，从而利用相似三角形的对应边成比例求得，即可解答． 【详解】 解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，平行线的判定与性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，根据轴对称的性质和等腰三角形的判定得到是解题的关键． 57．【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴．     （2）的面积为或     （3）      【分析】 （1）通过矩形的性质，求出，得到，再通过平分的性质，最后通过换角得等角对等边即可； （2）当时，延长射线交射线于点，作交于点，先通过矩形的性质得、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再通过相似求出，后通过平行相似得，根据相似比求出边长，计算三角形面积即可；当时，过点作于，设，则，， 利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出，，，根据平行得出，可得，利用三角形面积公式即可得的面积；综上即可得答案； （3）先通过矩形的性质得、、为等腰直角三角形，设，通过勾股定理求出各个边长，通过条件求出，再平行相似得得出的值，最后以点为原点，建立平面直角坐标系，得到点，点，点，运用中点公式得到点，求出直线的解析式，求出点坐标，即可求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，当时，延长射线交射线于点，作交于点 ∵矩形， ∴，，，． 由（1）可得为等腰三角形，， ∵， ∴． 同理，为等腰直角三角形，设，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴， ， 解得：， ∴，，， ∴． ∵，点为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，当时，过点作于， 同理可知，，是等腰直角三角形， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． (3) 小问详解： 解：∵由（2）可得、为等腰直角三角形， 又∵，设， ∴，． ∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵矩形， ∴，， ∴同理：为等腰直角三角形， ∴ ． ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， ∴． ∵以点为原点，建立平面直角坐标系， ∴点，点，点． ∵点为的中点， ∴点，即点． ∵设直线的解析式为：， 代入，， ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，，即点， ∴． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平面直角坐标的建立和中点坐标公式等，能够掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 58．【答案】 【分析】 本题考查三角形全等，尺规作图，及相似三角形的性质，根据尺规作图可知，是角平分线，再由与全等得到对应边相等，再由，列方程即可解答． 【详解】 解：由尺规作图可知，平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 59．【答案】（1） 证明：∵，，且，运动时间相同都是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2）①；②      【分析】 本题考查矩形性质，相似三角形，勾股定理等综合应用． （1）根据路程速度时间，得到，利用全等得到结果即可； （2）① 根据勾股定理可得的长度，再根据，即可得到答案； ② 连接，作，垂足为点H，由对称性可得，再由平行线成比例可得和的长度，进而得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵，，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴； ② 如图3，连接，作，垂足为点H， 由折叠可知，与关于所在直线对称， ∴， 由① 知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∴． 60．【答案】（1） 证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2） ① ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②      【分析】 题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）根据题意得出为等边三角形，确定，再由平行四边形的性质得出，结合图形求解即可； （2）① 根据题意得出，再由各角之间的等量代换确定，利用全等三角形的判定即可证明； ② 过点C作，延长交于点H，交于点G，作，根据题意得出、均为等边三角形，再由全等三角形的判定确定，得出，，，再由解三角形得出，根据相似三角形的判定得出，，，利用其性质得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 过点C作，延长交于点H，交于点G，作，如图所示： 由（1）得，平行四边形， ∴、均为等边三角形， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， 由① 得， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 61．【答案】（1） 证明：∵平行四边形， ∴， 由旋转的性质知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：按小明的辅助线： 过点作交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由旋转的性质知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； 按小亮的辅助线： 过点作交的延长线于点， 由旋转的性质知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点；     （3）①；②      【分析】 （1）证明，即可得到，即； （2）按小明的辅助线：证明，推出，再证明，得到，即点是的中点； 按小亮的辅助线：方法同按小明的辅助线； （3）① 证明点都在以为直径的圆上，推出，得到，求得，即可得到； ② 过点作交于点，分别过点和作直线的垂线，垂足分别为点和，求得，在中，求得，，再根据四边形的面积，计算即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：① 连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴，， 由翻折的性质知，， ∴， ∴点都在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ② 过点作交于点，分别过点和作直线的垂线，垂足分别为点和，如图， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积 ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质，圆内接四边形，综合运用以上知识是解题的关键． 62．【答案】（1）∵在正方形中，， ∴，， 小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接， 则， ∴， ∴， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 由正方形可得， ∵， ∴，， ∴，， ∵过点F作，交的平分线于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①；② 【分析】 （1）小李同学的方法：在上取一点N，使得，连接，证明和，即可证明，得到； 小王同学方法：连接，过点F作交于点N， 先证明，再证明，，得到，得到； （2）① 如图2，把逆时针旋转得到，连接，先证明，得到，再根据旋转得到，，，，接着证明，得到，即可得到是等腰直角三角形，最后根据列方程求解即可； ② 如图3，过作于，由结合，得到，，即可求出，再根据，得到，，把逆时针旋转得到，连接，由① 可得，，，中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：（1）略 （2）① 如图2，把逆时针旋转得到，连接， ∵， ∴， ∴，即， 由正方形可得，，， ∴， ∴， ∵把逆时针旋转得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ② 如图3，过作于，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 把逆时针旋转得到，连接，由① 可得，，， ∴，， ∴， 解得． 【点睛】 本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识，本题十分复杂，解决问题的关键是关注特殊性，添加辅助线，需要十分扎实的基础和很强的能力． 63．【答案】或 【分析】 过点B作于点G，证明四边形是矩形，再求出，∴，结合折叠的性质证明， 则有，，∴，，设，则，分当点P在上时，当点P在延长线上时两种情况求解即可． 【详解】 解：如图，过点B作于点G， 则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设， 则， 当点P在上时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当点P在延长线上时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴的长为或 【点睛】 本题主要考查了折叠和相似三角形，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，矩形判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论，结合题意画出图形，是解题的关键． 64．【答案】（1）①； ② 证明：∵， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3）或 【分析】 （1）① 证明，利用相似三角形的性质即可求解； ② 先证明，求得，同理，推出，由，即可证明结论成立； （2）先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． （3）分两种情况讨论，当点在的右侧时，如图，在上取一点M，使，过M作于N，根据四边形为菱形，且，证出，再证，求出，利用菱形的边长为，求出即可．当点在的左侧时，作于点，证明，求得，设，证明，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 （1）① 解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ② 略 （2）解：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．     ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即； （3）解：当点在的右侧时，如图，在上取一点M，使，过M作于N， 又∵四边形为菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； 当点在的左侧时，如图，作于点，交于点， ∵，， ∴，， 同理，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 解得，即线段的长为； 综上线段的长为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数，掌握等腰直角三角形性质，正方形性质，三角形相似判定与性质，菱形性质，锐角三角形函数是解题关键． 65．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2） 所作图形如图， 点的坐标为；     （3）2      【分析】 （1）利用等角的余角相等求得，证明，即可证明结论成立； （2）由题意得，推出，得到，求得，，证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可； （3）由题意可知点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点运动到时，的值最小，据此求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：对于直线， 令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点运动到时，的值最小，其最小值为， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、一次函数与坐标轴交点问题、轴对称图形特征、动点中的最短距离问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定，采用数形结合，利用相似比列方程求线段长是解题关键． 66．【答案】（1）证明：智慧小组： ∵ ，， ∴ ，， ∵ ，， ∴， ∵平分，， ∴ ，即， ，， 又∵ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 善思小组： 延长至点，使，连接， ∵ ，， ∴ ， ∴ ,， ∵ ， ∴ ，， ∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ； （2）证明：如图，过点作，交延长线于点， ∵ ，，， ∴ ，，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，，， ∴ ； （3） 【分析】 （1）智慧小组：通过作角平分线，利用等腰三角形性质和角的关系证明三角形全等，进而得出线段相等；善思小组：通过延长线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质证明线段关系． （2）通过作垂线构造全等三角形，先证明一组三角形全等得到线段相等，再证明另一组三角形全等得到线段中点关系，结合线段和差证明结论． （3）通过作平行线，利用角的关系证明线段相等，再结合相似三角形的性质求出相关线段长度，进而通过面积公式求解． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）过点作，如下图， ∵， ， ∵， ，， ，， ， ∴， ∴， ， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ，， 设，，则， 解得， ，， ， ， ． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 67．【答案】（1）正方形； （2）① 证明：∵折叠， ∴， ∵，正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②； （3）①或； ② 【分析】 （1）可推出，，进而得出结果； （2）①可证得，从而，由，得出进而得出，进而得证结论； ②在上截取，可证得，从而，，进而，从而，进一步得出结果； （3）当交于N时，此时，可推出，，从而，，得出，，求得a的值，进一步得出结果；当N在时，延长，，交于点W，设，则，，，可推出，，从而，，得出，，求得x的值，从而求得，，由得出结果； ② 取中点，则在以为直径的上，过点作交于点，交于点，过作于点，则，故当点与点重合时，取得最大值，即的面积取得最大值，可得点为中点，则，而，则，可求，再由即可求解． 【详解】 （1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，，， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方形； （2）① 略 ② 解：如图1， 在上截取， 由① 知：， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （3）解：如图2， 当交于N时，此时． ∵， ∴，， ∴，， 设，则 ∴，， ∴，（舍去）， ∴， 如图3， 当N在时，延长，，交于点W， 设，则，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，（舍去），， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或， 故答案为：或； ② ∵，，取中点， ∴点在以为直径的上， 过点作交于点，交于点，过作于点， 则， ∴当点与点重合时，取得最大值，即的面积取得最大值，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴点为中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 68．【答案】（1）或或或     （2）①；②      【分析】 （1）根据题意，即可确定线段共有4个等腰直角点，分别写出其坐标即可； （2）① 根据题意，设点C的坐标为，分两种情况进行讨论，第一种情况：设点的坐标为，过点作轴于点，过点作于点，过点作于点，先证明，得，，即 ，解得，，则当点C的坐标为时，点的坐标为，即此时点的轨迹为，同理易得，第二种情况：点在的另一侧，当点C的坐标为时，点的坐标为，即此时点的轨迹为，根据题中点B在y轴上，可得点的坐标为，即第一种情况，此时，即可求出点C的坐标为； ② 过点作轴交直线l点，则点的坐标为，第一种情况：作，，点的坐标为，连接，作，，通过证明，得，此时点的轨迹为，第二种情况：同理可得，点的坐标为，此时点的轨迹为，第三种情况：作，，点的坐标为，连接，作，，通过证明，得，此时点的轨迹为，第四种情况：同理可得，点的坐标为，此时点的轨迹为，从而确定直线l关于点A的伴随点的轨迹为和和和，根据该正方形上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，利用临界点和图象，即可确定正方形边长a的取值范围为． (1) 小问详解： 由题意得，线段共有4个等腰直角点，分别为或或或， 故答案为：或或或； (2) 小问详解： ①C是直线l上的一个动点，直线l的解析式为， 设点C的坐标为， 点A的坐标为，点A是线段的等腰直角点，且时， 如图所示，分两种情况， 第一种情况：设点的坐标为，过点作轴于点，过点作于点，过点作于点， ，点A是线段的等腰直角点，，， ，，， ， ， ， ，， ， 把②① 得，，即， 把代入① 得，， 则当点C的坐标为时，点的坐标为， 即此时点的轨迹为， 第二种情况：点在的另一侧，设点的坐标为，过点作轴于点，过点作于点,过点作于点， ，点A是线段的等腰直角点，，， ，，， ， ， ， ，， ， 把①② 得，，即， 把代入① 得，， 则当点C的坐标为时，点的坐标为， 即此时点的轨迹为， 综上所述，当C是直线l上的一个动点，A是线段的等腰直角点，且时，点的轨迹为和，如图， 点B在y轴上， 点的坐标为，即只有第一种情况，此时， ， 点C的坐标为； ② 过点作轴交直线l点， 点的坐标为， 第一种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ，， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 即此时点的轨迹为， 第二种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ，， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 即此时点的轨迹为， 第三种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 此时点的轨迹为，且过点， 即此时点的轨迹为， 第四种情况：如图所示， 作，， 点的坐标为， 点P是直线l上的一个动点， 连接，作，， ，，， ， ， ， ， 直线l的解析式为， ， ， 此时点的轨迹为，且过点， 即此时点的轨迹为， 综上所述，当点P是直线l上的一个动点，所有线段的等腰直角点即直线l关于点A的伴随点的轨迹为和和和，如图， 正方形的中心（对角线的交点）为原点O，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点， 正方形边长a的取值范围为． 【点睛】 本题考查一次函数的性质及图象、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是准确地理解题干中的新定义、通过分类讨论思想灵活运用以上知识点． 69．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质；根据作图可得是的角平分线，则，根据题意得出，进而求得，证明得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】 解：根据作图可得是的角平分线，则 ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵设，，关于的函数图象过点， 当重合时，重合， ∴， 如图，作，延长至，交于点， ∴， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴当时，的最小值为 故答案为：． 70．【答案】5 【分析】 本题主要考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：作交的延长线于点L， 交的延长线于点H，证明四边形是矩形，再证明，得到，求出，作交的延长线于点P，于点Q，证明得到，求出，由垂线段最短得到，进而完成解答． 【详解】 解：如图：作交的延长线于点L， 交的延长线于点H， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：作交的延长线于点P，于点Q，则， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即的最小值为5． 故答案为：5． 71．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据矩形的性质和勾股定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，利用相似三角形的性质和判定即可得． （2）根据矩形的性质和角平分线的性质可得，，利用一线三垂直可得，利用三角形全等的性质可得，，过点作于，可先证明，利用三角形相似的性质和勾股定理可得的长． （3）根据矩形的性质和勾股定理可得，设，则，勾股定理结合折叠的性质可得，进而证明，，利用相似三角形的性质可得，故． (1) 小问详解： 解：如图1，连接， 在矩形中，， 在中，根据勾股定理得， ∵是中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， 即． (2) 小问详解： 解：如图2，在矩形中， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图 2，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，． (3) 小问详解： 解：如图3： 在矩形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理得，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，勾股定理，平行线的性质和判定，三角形全等的性质和判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 72．【答案】 【分析】 本题考查了作图-复杂作图，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，由作图可知平分，垂直平分，证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，再证明，得到，即，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：连接，如图： 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 考点04 相似三角形的性质 1．B 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．D 10．A 11．A 12．【答案】这两个三角形的周长分别是、． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可． 【详解】 解：∵两个相似三角形的最长边分别是和， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为， ∵这两个相似三角形的周长之和为， ∴较小三角形的周长是， 较大三角形的周长是 答：这两个三角形的周长分别是、． 13．【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，； 又为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．【答案】树高为 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】 解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 8．【答案】楼高是9米． 【分析】 先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度． 【详解】 解：∵，， ∴m， ∵，， ∴∥， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴楼高是9米． 【点睛】 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 9．【答案】 【分析】 本题考查测高，涉及相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和平面镜测高等，熟练掌握是解答本题的关键，由平面镜测高题型的解法，利用，得到相似比，代值求解得到，再由等腰直角三角形的性质列式求解即可得到答案． 【详解】 解：由题意知：， ，， ， ， ， 即， ， ，， ， ， 解得：， ， 答：高楼OE的高度为． 10．【答案】解：测量一结论：人与太阳的距离约为10万里． 在中，里． 万里 即：人与太阳中心的距离约为10万里． 测量二结论：太阳的直径约为1250里． 由测量一可知，人与太阳中心的距离为10万里 ， ． ， 万里 即：太阳的直径约为1250里． 【分析】 此题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先求出万里，证明，利用相似三角形的性质即可求出太阳的直径． 【详解】 略 11．【答案】（1） 图① 中点P，即为所求；      （2）9米      【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意画出图形； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴，即， 解得：． 路灯的高为9米． 12．【答案】3 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意画出几何模型如图，米、（米）、米、，可得，即，然后将相关数据代入即可解答． 【详解】 解：构造几何模型如图： 依题意知：米，（米），米， ∵, ∴ ∴ ，即，解得：， 故：灯泡距离桌面3米． 故答案为：3． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）先求出线段的长，再证明，最后利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； （2）可证明，得到，据此求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：旗杆的高度为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得（已检验是原方程的解）或（舍去）， 答：的长约为． 14．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的实际应用．画出截面图，过点C作交于点G，交于点F，由，列出等量关系式，即可求解． 【详解】 解：如图所示为沙漏横截面，过点C作交于点G，交于点F， 由题意得：，，， ， ，分别为，边上的高， ， ， 相似三角形对应边的高之比等于相似比， ，即， 解得， 故答案为：． 15．【答案】（1）12米     （2）3      【分析】 本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定和性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）证明，得，代入计算即可得解； （2）过点E作于点H，证明四边形是矩形，得米，米，则米，再证明得，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， ∴， ∴米， 即教学楼的高度为12米； (2) 小问详解： 解：如图，过点E作于点H， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴米， 即教学楼顶部旗杆的高度为3米． 故答案为：3． 16．【答案】3 【分析】 本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意得：，，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，， ∴， 根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：， ∴； 故答案为：． 17．【答案】6 【分析】根据已知易得△ABM∽△DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得△MDH∽△ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△ABM∽△DCM， ∴===，（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∵MH∥AB， ∴△MDH∽△ADB， ∴==， ∴=， 解得MH=6． 故答案为6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例；对应高的比等于相似比；解决本题的突破点是得到BH与HD的比． 18．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】 解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 考点06 位似 1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．A 8．B 9．C 10．D 11．D 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】 解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，① 号“E”与② 号“E”的相似比为2：1，点Q坐标为， ∴点P的坐标为，即． 故答案为：． 13．【答案】或 【分析】 本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，则有它们的相似比为，然后分类进行求解即可． 【详解】 解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵， 当点在y轴的右侧时， ∴，即； 当点在y轴的左侧时， ∴，即； 故答案为或． 14．【答案】（1） 解：如图，点即为所求作，      （2） 当点在第三象限时，如下图所示： 当点在第一象限时，如下图所示： 【分析】 本题考查作图一位似变换，解题的关键是熟练掌握位似的性质．如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上）． （1）对应点连接的交点即为位似中心； （2）利用位似性质作图即可． (1) 小问详解： 解：连接，交点即为点，点的坐标为； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 15．【答案】 【分析】 本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】 解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴， 则与的面积之比为 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了求位似图形对应点坐标，相似三角形的性质与判定，位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质得到，则可证明，得到，即点为的中点，据此根据中点坐标公式求解即可． 【详解】 解：线段和线段关于原点位似， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查位似的性质变换和相似三角形的性质，熟练掌握位似的相似变换和相似三角形面积的性质是解题的关键．先利用位似的性质得到，，推出，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可． 【详解】 解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18．【答案】或 【分析】 本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此求解即可． 【详解】 解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或． 故答案为：或． 19．【答案】（1） 如图，即为所求：      （2）     （3）      【分析】 本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质画图即可； （2）由图可得答案； （3）根据位似的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）图可知，与的相似比为； (3) 小问详解： 解：∵与的相似比为， 内的任意一点的对应点的坐标为． 20．【答案】（1） 如图即为所求： 点坐标为；     （2） 如图，即为所求．      【分析】 此题考查了位似图形和旋转的作图，熟练掌握作图方法是关键． （1）找到旋转后的对应点，顺次连接即可； （2）找到位似的对应点并顺次连接即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1） 以与点左边相距2个单位长的格线所在的直线为轴，以与点下方3个单位长的格线所在的直线为轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，．      （2）连接并延长使，连接并延长使，连接并延长使，连接，，，如图所示，即为所求，      【分析】 此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用已知点坐标得出各点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1）     （2） 如图，即为所求作；      （3） 如图，点即为所求作． 【分析】 本题考查了割补法求面积，作位似图形，一次函数的图象和性质，根据相关知识点正确作图是解题关键． （1）利用割补法求面积即可； （2）以点为B位似中心，根据位似图形的性质作图即可； （3）由可得，即，画一次函数的图象，与的交点即为点． (1) 小问详解： 解：的面积 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 23．【答案】（1） 如图1，即为所求      （2）① 点；② 点      【分析】 本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得，点， ② 由题意得，点． 24．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于x轴对称的点，，分，依次连接即可解答； （2）延长到，使，延长到，使，延长到，使，即可解答； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 25．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）①，；②      【分析】 （）根据位似图形的性质画图即可； （）① 根据（）所画图象解答即可；② 根据① 中对应点的坐标变化解答即可； 本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 故答案为：，； ② 由① 可得，边上任意一点的对应点的坐标为， 故答案为：． 26．【答案】 【分析】 本题考查了位似变换，坐标与图形性质，勾股定理等知识，作轴于点，轴于点，根据勾股定理求出，的长，得出相似比，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：作轴于点，轴于点，如图： ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴，， ∴与的相似比， ∴，即， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）已知，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（     ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）已知，若，则（     ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 4 4．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），借助“黄金格”书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同（相似）但比它大的矩形，则它至少要用张正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开）.则的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知，那么的值为（     ） A. 3 B.  C.  D. 2 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）已知、满足，那么下列四个选项中不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律，如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）已知，则下列结论一定成立的是（） A. ， B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）矩形的两边长分别为和6（），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）黄金分割在生活中处处可见，如图，银杏叶的主脉可看作线段．若点是线段的黄金分割点（），银杏叶主脉的长度为，则的长为　　　　　． 17．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）若，则　　　　　　． 18．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）已知，则　　　　　． 19．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）若，则的值为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为　　　　　　．（结果保留根号） 21．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，已知矩形矩形，点D，C分别在线段上，若，则线段的长为　　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为　　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图①是商场摆放的花架，图②是其侧面示意图，已知，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，已知，，，线段的长为（       ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，直线，直线和被直线，，所截，，，，则的长为（     ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 7．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 2 8．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，，，，，则的长为（   ）. A. 5 B. 7 C. 10 D. 无法确定 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，，则下列比例式错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D、E，点F在的延长线上，且．求证： （1）是等边三角形； （2）四边形是菱形． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，分别是，的中点，连接，交于点，连接．若，则的长为　　　　　． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在中，，．点是边上一动点（不与点，点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）如图1，过作，垂足为，求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求的值； （3）如图3，将沿翻折，若点的对应点落在的延长线上，连接交的延长线于点，求的值． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，与交于点，且，则下列式子等于与面积比的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图在4×1的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从格点、、、中选取一个格点与点、连接成格点三角形，能使该格点三角形与相似的格点是（     ） A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，将沿射线方向平移一定的距离，平移后的三角形记为，边刚好经过边的中点D，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（       ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（       ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，在中，点，分别在，上，且，以下结论正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，已知，，与相交于点O，作于点M，点E是的中点，作于点G，交于点F，若，，则的值为（     ） A. 6 B. 7 C. 9 D. 10 9．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则正方形边长是（       ） A.  B.  C.  D. 30 10．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，连接并延长至点C，过点C作轴于点D．若，则k的值为（     ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 11．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，在中，点、分别在的边、上，不一定能使与相似的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图，在中，点E为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F，连接，若，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则CM的长为（    ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 12 15．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，已知钝角，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，作射线，过点D作于点C，过点D作，交于点B．若，，则的长为（     ）． A.  B.  C.  D. 5 16．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，在矩形中，点，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接．若，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 3 18．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，，，点为线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点，当点从运动到时，点随之运动，设点的坐标为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，求的值． 21．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，在中，，，，，则的长为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与的面积比为，则与的周长比为　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 24．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则点的坐标为　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，为的中点，于点为上一点，且，交的延长线于点，平分，． （1）求证：四边形是矩形； （2）求的长． 26．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，已知是的直径，点C，D在上，且．点E是线段延长线上一点，连接并延长交射线于点F．的平分线交射线于点H，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处． （1）求证：△BDE∽△BAC； （2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度． 28．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． （1）求过点的直线的函数表达式； （2）过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在梯形中，，，是延长线上的点，连接，交于点． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 31．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，已知正五边形的边长为10，对角线、与分别交于点，，则线段的长为　　　　　　　　． 32．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 33．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）（1）解方程：； （2）如图，点在的边上，，求的长． 34．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，在中，中线与高相交于点，，，则　　　　　　． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在中，和分别是边上的高，且相交于F点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高，小华的身高，他们的影子恰巧等于自己的身高，即，，且两人相距，求路灯的高度是多少？ 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）综合与实践 一块直角三角形木板，它的一条直角边长，的面积为． （1）甲、乙两人分别按图1，图2的设计加工一个正方形桌面．请从图1，图2中任选一个图形求出正方形桌面的边长；另一个图形直接写出正方形桌面边长的结果即可； （2）丙、丁两人分别按图3，图4的设计加工一个长方形桌面．请从图3，图4中任选一个图形求出长方形桌面的面积与的长之间的函数表达式，并求出面积的最大值（说明：若两个图形都作答，仅对排列在前的答案评分）． 38．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）在中，是斜边上的一点，将线段绕点旋转至位置，点C，D在直线的同一侧． （1）当M是的中点时，连接． ①如图1，求的大小； ②如图2，已知点D和边上的点E满足，连接．求证：． （2）如图3，当时，在线段取一点G，连接并延长交的延长线于点F，当四边形是平行四边形时，若的面积为8，，求平行四边形的面积． 39．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则          度，线段与线段的位置关系是          ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 40．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点．有如下结论：①；②；③连接，当为直角三角形时，或；④当将分成两部分的面积之比为时，或．以上结论中，正确结论的序号是　　　　　． 41．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）已知矩形，，． （1）如图①，对角线、相交于点O，求证：是等边三角形． （2）点E在直线上，连接，将线段绕点E进行旋转． ①当点E在线段上且，（如图②）将线段绕点E逆时针方向旋转得到线段，连接，猜想线段、、的数量关系并说明理由； ②当点E在直线上（如图③），将线段绕点E顺时针方向旋转得到线段，连接、，当时，直接写出的面积． 42．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，是等腰直角三角形，且，，点D是边上动点，连结，将绕点C顺时针旋转得， （1）如图1，延长交延长线于点G，连结，求证：； （2）如图2，连结，若，求的值； （3）如图3，若与交于点N，与交于点M，连结，设，试求出四边形面积（用含m的式子表示）． 43．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，中，，，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． （1）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． （2）当点D在线段上运动时，求的面积S的最大值． 44．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图1，中，，是中线，，垂足为E，点F在上，． （1）求证：； （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长交于点P，，求的值． 45．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在中，，，AD为的中线，过点C作于点E，过点B作交CE的延长线于点H． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 46．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 47．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）已知在中，，，分别为、上一点，，． （1）如图，求的长； （2）如图，将图中的绕点按顺时针旋转，当时，且点在的内部时，与交点，连接并延长交于点． ①求证：； ②求的长． 48．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，在中，是的中线，点E在线段上（不与点C，D重合），过点E作，垂足为F，连接，设． （1）用含x的代数式表示的长； （2）求面积的最大值． 49．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图1，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于点D，连接． （1）①尺规作图：在边上确定点E，使（保留作图痕迹，不用写作法）； ②在①的条件下，求证：． （2）若，求的长． （3）如图2，点G在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，点G的对应点H在内部，过点H作分别交，于点M，N．求的值． 50．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）在矩形中，，，点M从点D运动到点C，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N从B出发向点A运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则的最小值为　　　　　　． 51．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图，在中，点，点分别是边、上的点，和相交于点，，连接． （1）求证：； （2）如果，求的值． 52．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）在综合实践活动课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在正方形中，，动点P在边上，将沿折痕折叠，得到，点B的对应点为点E． （1）【初步感知】如图，当点E在的垂直平分线上时，求的度数； （2）【探究应用】如图，当P是的中点时，延长交于点Q，求的长； （3）【拓展延伸】如图，延长交边于点F，M是的中点，连接并延长交于点N．若，直接写出的面积． 53．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知为等腰三角形，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线翻折，点B的对应点为E． （1）如图1，当时，求证：四边形为菱形； （2）连接，直线与直线交于点F，与交于点O．某数学兴趣小组经过交流讨论，发现：无论点D在何位置，的度数始终等于α． ①方法1：如图2，延长到H，使，连接，通过证明得到结论； 方法2：如图3，由可得，再通过证明得到结论； 请你选择其中一种方法，写出证明过程． ②若点D是射线上一动点，且，当所在直线与所在直线垂直时，请直接写出的值． 54．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）【探究】如图1，已知四边形是正方形，点E是上一动点，连接．将沿着BE折叠，点C落在四边形内部的点F处，连接并延长，交于点G． （1）求证：； （2）如图2，延长交边于点H，若．求证：； 【拓展】 （3）已知四边形是矩形，点E是上一动点，连接，将沿着折叠，点C落在四边形内部的点F处．连接，延长，交直线于点G，H．若，，直接写出的值． 55．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）如图1，是等边三角形，点是外部一点，连接，，与边交于点，， （1）求的度数； （2）如图2，过点作，过点作的垂线，交于点，探究线段与的数量关系，并证明结论； （3）在（2）的条件下，若，求的值. 56．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在菱形中，，是延长线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点．当，且时，的长为　　　　　　　　　　　． 57．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接、． （1）利用图①，求证：； （2）若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积； （3）如图②，交于点，若，求的长． 58．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，与边相交于点F，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点E，连接，当时，的长为　　　　　　　　． 59．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）在矩形中，动点E从点D开始沿边以的速度运动，动点F从点B开始沿射线以的速度运动，点E和点F同时出发，当点E到达终点A时，点F也随之停止运动，设动点的运动时间为（）． （1）如图1，若，分别连接，交于点O．求证：． （2）如图2，若，，，分别连接，交于点O，沿将四边形翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，当点落在的延长线上时． ①求的长． ②请直接写出的长． 60．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，在平行四边形中，，点E在上（点E不与点A重合，），点F在上，且． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点P在上，且，过点P作，分别交于点M，Q，延长，交延长线于点N． ①求证：； ②若，求的面积． 61．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知：如图1，在平行四边形中，，（），，点是垂足，将绕着点逆时针旋转，使点落在边上的点处，点的对应点为点，延长交所在直线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，，与相交于点，试说明点是的中点； 针对（2）问，小明和小亮分别作了不同的辅助线，作法如下： 小明的辅助线：过点作交于点； 小亮的辅助线：过点作交的延长线于点， 小明和小亮的辅助线是否能完成证明，若能，请选择其中一种辅助线，并完成证明过程；若不能，请你找出证明方法，完成证明过程； （3）在（2）问的条件下，将沿翻折，得到，如图3，连接． ①当时，求的值： ②当，时，请直接写出四边形的面积． 62．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）【问题背景】 活动课上，张老师和同学们以正方形为背景，探究图形运动中的数学结论．如图1，在正方形中，延长至点是线段上的一个动点，连接，过点F作，交的平分线于点E，连接，交于点． 【探索发现】 （1）在点F运动的过程中，勤学小组发现与始终相等． 下面是两位组员的思考方法： 小李同学：在上取一点N，使得，连接，可以构造出一对全等三角形，即可证明． 小王同学：连接，过点F作交于点N，同样可以构造出一对全等三角形，即可证明． 请你借助任意一位同学的思考方法或运用其他方法，证明：； 【拓展延伸】 （2）张老师连接，分别交于点． ①如图2，善思小组连接，并画出了的情形，请协助他们计算出此时的长； ②如图3，笃行小组画出了的情形，求此时的长． 63．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点B的对应点始终落在上，点C的对应点为，折痕与，分别交于点E，F，设直线与直线相交于点P，当时，则的长为　　　　　　． 64．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）数学兴趣小组探究了以下几何图形．一个角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转角，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】（1）如图1，连接、交于点，和分别交于点，． ①则的值为_________； ②求证：； 【探究二】（2）把角旋转到如图2所示位置，射线与角两边，分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为12cm，．点为边上一点，若的另一边与相交于点，且满足．若，直接写出线段的长__________． 65．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，直线分别与轴、轴交于点、，点为线段上一动点（不与、重合），以为顶点作，射线交线段于点，将射线绕点顺时针旋转交射线于点，连接． （1）如图1，证明：； （2）当为直角时，利用图2画出相应图形，并求点的坐标； （3）将沿直线翻折得到，连接，直接写出的最小值为__________． 66．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）【问题初探】（1）数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在中，，，垂足为点E，将线段绕点C顺时针旋转到，使．求证：．经过同学们激烈的讨论． ①智慧小组同学从已知条件中得出，想到作平分交于点F，如图2，证明出，进而得出． ②善思小组同学则给出如下的解题思路：延长至点G，如图3，使，连接，证明，进而得出． 请你选择一个小组的解题思路，或者另辟蹊径探究其它方法，写出证明过程． 【类比分析】（2）张老师发现两个小组都运用了转化思想，为了帮助同学们更好地理解转化思想，张老师提出了下面的问题： 如图4，在中，，，D是边上一点，连接，过点A作于点E，在线段上截取，连接交于点G，求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，，，，，点E在边上，连接，，交于点F．若，求的值． 67．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 （1）如图1，在矩形纸片中，，首先沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，折痕为，连接；此时，就可以得到一个四边形，则四边形的形状是哪种特殊的四边形？答：________． 【深入探究】 （2）继续沿过点的直线翻折，使点落在边上的点处，折痕为，连接，，延长交于点，连接． ①求证：； ②猜想线段，和的数量关系，直接写出三者关系为________． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下： ①延长交矩形的边于点，若，，直接写出的值________． ②若，当的面积最大时，求的值为________． 68．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在平面内，C为线段外的一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，则称C为线段的等腰直角点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，线段的等腰直角点的坐标为______； （2）在平面直角坐标系中，点A的坐标分别为，直线l的解析式为． ①如图2，点B在y轴上，C是直线l上的一个动点，若A是线段的等腰直角点，且时，求点C的坐标； ②点P是直线l上的一个动点，将所有线段的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点．若某正方形的中心（对角线的交点）为原点O，它的各边分别与两坐标轴平行，且该正方形上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出正方形边长a的取值范围． 69．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为　　　　　　　　　　． 70．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，在矩形中，，点是边上的一个动点，连接并延长至点，且，以和为边作平行四边形，连接，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 71．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，在矩形中，，，是上的一个动点． （1）如图1，连接，是对角线的中点，连接．当时，求的长； （2）如图2，连接，，过点作交于点，连接，与交于点．当平分时，求的长； （3）如图3，连接，点在上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，且．求的值． 72．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图，在，，按以下步骤作图： （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点； （3）作射线交于点； （4）分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点； （5）作直线，交，分别于点．根据以上作图，若，则的长是　　　　　　　　　　　． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）已知与相似，且相似比为，则与的周长之比是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）若，且，的周长为，则的周长为（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）若，它们对应高的比为，那么它们面积的比为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应高的比是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，，且，则与的周长比为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知，其相似比为，则与的面积之比为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，直线，是等边三角形，则的大小为（       ） A. 60° B. 70° C. 75° D. 80° 9．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）如图，，且是中点，则与的周长比为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）某校操场上高6米的旗杆在水平地面上的影子长为9米，此时测得教学楼在水平地面上的影子长为18米，则教学楼的高度为（       ） A. 9米 B. 12米 C. 24米 D. 27米 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，是一块板材，长为，边上的高为，从上裁剪出一个正方形板材，正方形板材的一边在上，其余两个顶点E、F分别在、上，则这个正方形板材的边长为（     ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 7．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？ 9．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，强强同学为了测量学校一座高楼的高度，在操场上的点A处放一面平面镜，从点A处沿方向移动到达点B处（即），恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像；强强从点B处沿方向移动到达点C处（即），测得．强强同学的眼睛距地面的高度为，已知点O，A，B，C在同一水平线上，，．求高楼的高度．（平面镜的大小忽略不计） 10．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了课后作业：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论： 测量目标 知道太阳的高低和大小 测量方法 使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径． 测量一 图形 测量过程 已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点 A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）． 计算过程及结论： 图形 测量过程 测量二 已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长 （H到的距离）与竹空直径（） 的长度之比为．步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径． 计算过程及结论： 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）题文（现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知一条小路上有榕树和灯柱．如图所示，在灯柱上有一盏路灯，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子． 根据上述内容，解答下列问题： （1）小问已知榕树在路灯下的影子为，请画出路灯的位置和榕树在路灯下的影子； （2）如图，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，榕树的影长为4米，求路灯的高． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米　　　　　． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）小明决定利用所学数学知识测量出学校旗杆的高度．如图，A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，垂足为B，交于E，，垂足为C，． （1）求旗杆的高度； （2）小明在上取点F，连接，使得，且，求的长（结果精确到，参考数据：）． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图1是液体沙漏的平面示意图，经过一段时间后如图2所示，此时液面　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）某校“综合与实践”小组的同学把“测量教学楼顶部旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下实践报告． 活动课题 利用相似三角形的有关知识测量教学楼顶部旗杆的高度 活动方式 分组活动、小组合作交流 活动工具 标杆、皮尺等 测量示意图 测量过程 【步骤一】在地面上，确定合适的点O，使旗杆的端点A，B与点O在一条直线上且与地面垂直，测量标杆的长度；【步骤二】某一时刻，小组的同学们在阳光下，将标杆垂直于地面立在教学楼的影子所在的直线上，调整标杆使其影子恰好为，此时，旗杆的顶端点A的影子落在教学楼前一垂直于地面的建筑物上的点E处，同时，小组成员分别测落在建筑物的影子的长，教学楼的影子的长，随后测和的长；【步骤三】其他同学分别记录测量数据． 测量数据 米，米，米，米，米． 请你根据以上实践报告，帮助该小组完成以下问题． （1）求教学楼的高度； （2）请直接写出教学楼顶部旗杆的高度为________米． 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，和表示两根立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与的交点为．已知，，则点离地面的高度　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为　　　　　　　　　　　米． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，则点的对应点坐标为（       ） A.  B.  C. 或 D. 或 2．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到，则与的相似比是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积之比为，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（   ） A. E B. F C. G D. H 6．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，以原点为位似中心，将放大后得到，若点的坐标为的周长为4，则的周长为（     ） A. 7 B. 8 C. 12 D. 16 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是第一象限以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，若点A的横坐标为4，则点D的横坐标为（       ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 18 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，与是位似图形，位似中心为点O．若，的面积为2，则的面积为（     ） A. 6 B. 8 C. 18 D. 32 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系的第二象限内，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点P与Q为一组对应点，若点Q坐标为，则点P的坐标为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为　　　　　　． 14．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图所示，小华在学习“位似”时，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． （1）在图①中标出与的位似中心M点的位置（保留作图痕迹，无需说明理由），点M的坐标为          ； （2）若与是以点O为位似中心的位似图形，且与的相似比为2，请你帮小华在图②中给定的网格内画出． 15．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A线段上，若，则与的面积之比为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的一半后得到线段，则端点的坐标为　　　　　　　　. 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点A的对应点的坐标为　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，点C的坐标为． （1）以点O为位似中心，画出与位似的，且点的坐标为； （2）写出与的相似比； （3）写出内的任意一点的对应点的坐标． 20．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别是点，点，点； （1）将 绕点 O 顺时针旋转 得到 ，在坐标系中画出图形，并分别写出对应点坐标； （2）以原点O为位似中心，在点O的异侧，画 ，使它与的相似比为 21．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，在正方形格纸中． （1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，，并写出点坐标； （2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形，并写出点的对应点的坐标． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位） （1）求的面积； （2）以点为B位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为； （3）请用无刻度的直尺在线段上确定一点，使得． 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 24．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应，，； （2）以坐标原点为位似中心，在x轴上方作，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； （3）直接写出点的坐标． 25．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为； （2）在（）的条件下， ①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____； ②边上任意一点的对应点的坐标为_____． 26．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的坐标为，点的坐标为的面积为3，则的面积的值为　　　　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $