专题08 锐角三角函数（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 【答案】C 【分析】 先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】 解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3， ∴sinA＝，故选项A错误； tanA＝，故选项B错误； cosA＝，故选项C正确； tanB＝，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，在中，，，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在中，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的知识点是锐角三角函数的定义．先利用勾股定理求出斜边的长，再求出的值即可． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）在中，，已知，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了求一个角的正弦值，勾股定理．在中，，为斜边，求需先利用勾股定理求，再根据正弦定义计算，即可作答． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）在中，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求得答案． 【详解】 解：已知在中，，，， 则， 故选：B． 7．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】 解：如图： 在中，，， ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在中，，若，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，利用勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）下列各数中，最小的数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值，实数的大小比较，根据特殊角的三角函数值先求出各选项的数值，再根据实数的大小比较方法比较即可求解，熟记特殊角的三角函数值 是解题的关键． 【详解】 解：，，， ∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和之间， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）在中，，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】 解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 11．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】 解：取格点D，连接、，则，A、B、三点共线， 由网格可知，，， 在中，， ， ， 故选：． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】 解：如图：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】 解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，则下列结论正确的是（     ）\ A.  B. 长为 C. 的面积为 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】 解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ∴在中，，故D正确，符合题意； 无法证明，故A错误； 故选：D． 15．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知为锐角，，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】 ∵为锐角，，， ∴ 故答案为：． 16．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）计算：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值，直接计算的结果即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题考查了实数的运算和一元二次方程的解法． （1）需要分别计算特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂以及绝对值，再进行加减运算；（2）可以使用配方法求解一元二次方程． 【详解】 （1）解： ； （2） 解： ，． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）（1）计算：； （2）将网格图中的三角形绕点旋转，画出旋转后的图形． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 本题主要考查特殊角三角函数的混合运算，以及画旋转图形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别代入特殊角三角函数值进行计算即可； （2）分别画出点A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解：将网格图中的三角形绕点旋转，画出旋转后的图形， 如图，则为所求． 19．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）计算： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），．     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程，即可作答． （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方，然后运算乘法，最后运算加减法，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解： ； 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求角的余弦值，利用网格过点A作交的延长线于点M，再利用勾股定理求出，，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】 解：过点A作交的延长线于点M， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴，， 在中，． 故答案为： 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）计算： （1）． （2）公式法解方程：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，公式法解一元二次方程， 对于（1），根据计算即可； 对于（2），先确定a，b，c，再求出，然后根据求根公式解答即可. (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：， 由， ∵， ∴， ∴. 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2）， 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值和解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值和配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 （1）解：原式        （2）解： ∴         ，． 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）（1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）2；（2） 【分析】 本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先进行负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1）原式； （2）， ， 或， 解得． 24．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值混合运算和解一元二次方程，掌握几个特殊角的三角函数值和选择合适的一元二次方程解法解方程是解答本题的关键． （1）将特殊角的三角函数值分别求出再代入求解即可； （2）运用公式法求解一元二次方程，先得出，再用求根公式求解即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ，，， ， ， ∴，． 25．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查分式的混合运算及实数的混合运算，掌握分式的混合运算及实数的混合运算法则是本题的关键． （1）根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、将特殊角的三角函数值代入计算，再合并即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．． 【详解】 （1）解： ． （2）解： ． 26．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，四边形ABCD中，，，对角线平分，且，则的度数为　　　　　． 【答案】30度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值． 作交于E，根据对角线平分得到，证明，得到，即，根据等角的余角相等得到，证明，求出，则，根据特殊角的三角函数值作答即可． 【详解】 解：如图，作交于E， ∵对角线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）（1）解一元二次方程： （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算等知识． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算乘方、化简绝对值和特殊三角函数值，然后进行加减运算即可． 【详解】 （1）解： 整理得， 或， 解得； （2） 28．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、解分式方程，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据和证得，根据相似三角形的性质得出，进而证得，利用证得，根据勾股定理列方程，解得和的长，设点的坐标为，其中，过点作轴于点，根据，列方程，求解的值，最后利用三角形的面积公式求解的面积即可． 【详解】 解：， ，即 、 根据勾股定理得： 即 解得或（舍去） 设点的坐标为，其中，过点作轴于点，如图： 即， 解得： 因此的面积为， 故答案为：． 29．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用绝对值的代数意义，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可求出值； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）0；（2）， 【分析】 本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂以及零指数幂运算法则化简各项后再进行加减运算即可； （2）将原方程转化为一般形式后运用公式法解答即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， 整理得：， 这里， ， ， ∴，． 31．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 或     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值；(1)根据公式法解方程即可； (2)根据特殊角三角函数值进行计算即可； (1) 小问详解： 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴ 或． (2) 小问详解： ． 32．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）计算：； 【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值、求算术平方根、零指数幂、绝对值，先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得解． 【详解】 解： ． 33．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）解方程或计算： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2）0      【分析】 本题考查了解一元二次方程——配方法，特殊角三角函数值的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）用配方法解一元二次方程； （2）先代入特殊三角函数值，再计算乘方、乘法和去掉绝对值，最后计算加减． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， ∴， 即，； (2) 小问详解： 解：原式 ． 34．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）计算和方程： （1）计算：； （2）； （3）． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了实数的运算、含特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，运算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零次幂，再运算乘法，以及化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 则， 整理得， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）化简二次根式，特殊角的三角函数，绝对值后，合并同类项即可． （2）因式分解解一元二次方程即可． 【详解】 （1）解：原式 ． （2）， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和配方法（或公式法）解一元二次方程是解题的关键． （1）先回忆特殊角的三角函数值，再代入进行实数的混合运算． （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ， ， ， ， 所以，． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】(1) ； (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先化为一般形式，再根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2） ． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A. 60 B. 78 C. 120 D. 240 【答案】C 【分析】 本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点H是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 2．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）菱形的边长为2，对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，则的长为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，尺规作线段垂直平分线，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半， 根据作图过程可知直线是的垂直平分线，再根据菱形的性质得，然后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】 解：根据作图过程可知直线是的垂直平分线， ∴点M是的中点． ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在中，，若，则的值是（         ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义可得，据此解答即可． 【详解】 解：如图： 在中，， 、， ， 故答案为：C． 4．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）在中，，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】 解：如图，在中，，， 设，，根据勾股定理得： ， 故选：D． 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）在中，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查余弦三角函数的定义，需明确一个角的余弦为邻边比斜边；先根据勾股定理求的长，再根据余弦的定义求. 【详解】 解：∵ ， ∴， ∴ ， 故选：A. 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（     ）千米 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可． 【详解】 解：， ∴ 是公路的中点， ， ，两点间的距离为； 故选：B 7．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了正方形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，故，即可求解． 【详解】 解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 8．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（       ） A.  B.  C.  D. 8 【答案】A 【分析】 连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD， ∴∠AOB=90°， 又∵AB+BC+CD+AD=32． ∴AB=8， 在Rt△AOB中，OE是斜边上的中线， ∴OE=AB=4． 故选：B． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；设的中点为，连接，由题意易得，为的垂直平分线，则有，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】 解：在中，， ， ， 设的中点为，连接， ∴， 分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线， 为的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 11．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（     ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 由题意易得，然后可证，则有，进而根据勾股定理及直角三角形斜边中线定理可进行求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵点为中点， ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键． 12．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，与交于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；由含30度直角三角形的性质求得，由勾股定理求得，由平行四边形性质求得，最后再由勾股定理及平行四边形的性质即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴； 由勾股定理得； ∵四边形是平行四边形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 故选：A． 13．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（     ） A.  B.  C. 5 D.  【答案】D 【分析】 本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】 解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 14．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】 解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）在中，，，，则的值为　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】 如图 ∵中，，，， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键． 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 故答案为：6． 17．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，已知正方形的边长为6，点为延长线上的一个动点，连接，以为边在下方作等边三角形，连接，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质， 通过构造全等三角形，将的长度转化为与某条固定线段相关的长度，再利用垂线段最短的性质求出的最小值即可． 【详解】 解：以为边在上方作等边三角形，连接，如图， ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短，当时，最小， ∴． 故答案为：3． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图1，在中，，延长至点，使，点是边上一点，且，连接． （1）猜想与的关系，并说明理由． （2）如图2，延长交于点，连接， ①求证：； ②若，求的面积． 【答案】（1）且，见解析     （2）①见解析；②      【分析】 （1）证明，可得，，即可解答； （2）①过点作，交于点，证明，可得，从而得到， 在中，利用勾股定理可得，再证明，可得，从而得到，即可解答；②过点作，垂足为点，由①可知，，在中， 利用锐角三角函数可得到，证明，可得，即可解答． (1) 小问详解： 解：且，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： ①证明：过点作，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点作，垂足为点，如图， 由①可知，， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，在中，，D为中点，E为中点，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点F作于点G，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴是矩形；     （2）2      【分析】 （1）先证明，再证明四边形是平行四边形，最后证明是矩形； （2）设，则，，可得．由勾股定理可得．在中，，可得，再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 设，则，， ∴． 在中，，． ． ∴， ∴， ∴的值为2． 【点睛】 此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是关键． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化．自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 14点 15点 16点 太阳高度角（度） 60 45 30 参考数据：，. 解决问题 （1） 确定影子长度 小明打算在这天16点露营休息，请帮小明求出此时影子GH的长度． （2） 探究影子长度 若某一时刻测得BD＝1.9米，请求出此时影子GH的长度． 【答案】（）米；（）米． 【分析】 （）过作于点，证明四边形是矩形，则有米，点太阳高度角为30°，则米； （）过作于点，过作于点，证明，则，从而，则有米； 此题考查了真实情景下的三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【详解】 （）过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵小明打算在这天点露营休息， ∴太阳高度角为30°， ∴， 则（米）； （）过作于点，过作于点， ∵米，米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∴， 同（）理得四边形是矩形， ∴，米， ∴， ∴米． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在中，，，为的中点，在线段上，且，则　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分如图，取中点，得∴是中位线，然后通过相似三角形的判定与性质即可求解；如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则，先求出，由上得是中位线，所以，所以，，证得是等边三角形，所以，，从而求得，然后代入即可求解． 【详解】 解：如图，取中点， ∵为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴； 如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则， ∵， ∴， ∴，， 由上得是中位线， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 22．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， 又， ， 又， ，即， 是半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆的性质、切线的判定、三角函数以及相似三角形的性质等知识点： （1）连接，由直径所对圆周角为直角及等腰三角形性质，经角度代换证，从而判定是切线； （2）先依三角函数和勾股定理求出相关线段，再借相似三角形对应边成比例列方程，求解得出的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 在中， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）在中，，，则的值为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 在直角三角形中，根据正切值设两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求解角B的正弦值即可． 【详解】 解：在中，，， 设， 则， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，连接，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）相切，见解析     （2）      【分析】 （1）要判断与的位置关系，需证明：连接、，通过证明，得到，从而得出，结合是半径，判定与相切． （2）要求弧的长，先结合求出的度数，利用三角函数算出半径的长度；再通过四边形内角和求出的度数，进而得到的度数，最后代入弧长公式计算弧的长． (1) 小问详解： 解：与相切，理由如下： 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴ ， 在四边形中， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线判定、全等三角形的判定与性质、三角函数的应用以及弧长公式的计算，熟练掌握“切线的判定方法（证明半径与直线垂直）、全等三角形的判定定理及弧长公式的应用”是解题的关键． 25．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，已知中，，点E在边上，，点D在线段上，连接，且．求证：； 小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：要证明，结合条件，这样本题就具备了“一边等，一角等”的图形特征，所以小明在AB上取点F，使，从而得到，构造全等三角形，从而使问题得以解决． 独立思考：（1）请参考小明的思路或自己的思路完成解答； 实践探究：（2）王老师改变了部分条件，并提出新问题，请你借鉴小明做题方法或自己解答思路，完成下题解答．如图2，已知等腰中，，，点E在边上，且，过点A作于点D，求的值； 问题解决：（3）如图3，在中，，点D在边延长线上，点F在边上，连接交于点E，连接．若，，，，求的长度． 【答案】（1）证明：在上取点F，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）在上取点F，使，证明，得出； （2）过点B作于点H，证明，得出，，证明，得出，再根据，即可得出答案； （3）过点E作于点N，过点D作于点M，证明，得出，设，则，证明．得出，，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：过点B作于点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ （3）解：过点E作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图1，在中，，，，点D为边AB上一点，且，以BC，BD为邻边构造矩形DBCE，连接AE，DC． （1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2）如图2，将线段AC绕点A逆时针旋转60°，得到线段AF，连接EF． ①猜想线段EF与BC的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点E顺时针旋转（），得到，点A，F的对应点分别为G，H，当的边与直线CD垂直时，直接写出点H到直线AB的距离． 【答案】（1） 四边形是平行四边形． 证明： 矩形 四边形 是平行四边形．     （2） ① 答：和是相等的关系． 证明： ， 由旋转可知 由四边形是平行四边形可知， ，， ②或或．      【分析】 本题考查了解直角三角形和、平行四边形的性质判定、图形的旋转等问题． （1）由平行且等于即可判定四边形为平行四边形； （2）① 证明即可得到和是相等的关系； ② 将绕着点E旋转将依次得到边、、与垂直，正确画出图形即可求点到直线的距离． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 将绕着点E顺时针旋转，将依次得到边、、与直线垂直， 当时（如图1所示）， 又 点、、三点共线， , 过点作于点M，则 ； 当时（如图2所示），延长交点Q，过点E作于点P，过点H作交直线于点N，延长交直线于点M． ， 易证， 又 ， 由面积法可得 ， ， ； 当时（如图3所示），、、三点共线， ， 延长交直线于点，过点作于点M， 则， ， ． 综上所述，点H到直线AB的距离为：或或． 【点睛】 本题考查了解直角三角形、平行四边形的性质和判定、图形旋转、全等等知识点，根据题意正确画出图形严谨推理、计算是解题的关键． 27．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为　　　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 根据勾股定理可求出AC，然后根据直角三角形的性质可得BD=AD=CD，进而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：当∠DME=90°时，如图1，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；当∠MDE=90°时，如图2，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，根据三角形的内角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，从而可得答案． 【详解】 解：中，∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴BD=AD=CD=， ∴∠DBC=∠C， 由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况： 当∠DME=90°时，如图1，∵以为对称轴折叠得到， ∴∠E=∠C，DE=DC=5， ∴， ∴BM=BD－DM=2， ∴；    当∠MDE=90°时，如图2，， ∴， ∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD， ∴∠BFM=∠MDE=90°， ∴； 综上，的长为1或． 【点睛】 本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相关知识、灵活应用转化的思想是解题的关键． 28．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，的两条直角边，，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为秒．动点到达点时运动终止．连接、、．设运动的时间为秒，解答下列问题： （1）________，________；（用含的代数式表示） （2）求当动点运动时间为多少秒时，与相似； （3）在运动过程中，当值为________时，；当值为________时，；当值为________时，． 【答案】（1），     （2）或秒     （3），，      【分析】 （1）由、的运动过程即可求解； （2）分类讨论：当时，当时，即可求解； （3）过点作交于，由相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，，即可求解； 过点作交于，由正切函数得，求出，由即可求解；过作交于，设，则，由勾股定理得，， 整理得即可求解． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：； 故当动点运动时间或秒时，与相似； (3) 小问详解： 解：过点作交于， ，， ， ， ， ， ∵， ∴ ∴， 即， ∴，， ， ∵ ， 解得； ∴当值为秒时，； 过点作交于， 同理可求， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 解得； 故当值为秒时，； 过作交于， ， ， 设，则， ∴，，， 在和中，，， ，， 整理得， ， ， 整理得， ， 解得，（舍去）， 故当值为秒时，． 故答案为：，，． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等；能添加恰当的辅助线，构建相似三角形进行求解是解题的关键． 29．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）四边形是边长为4的正方形，点E沿路线向C点运动，连接，在的右侧作等腰，，且，交射线于点N． （1）如图1，点E在上时，交于点M，若，则点F到直线的距离为          ；的长为          ； （2）如图2，点E在上时， ①若，求的长； ②连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），     （2）①；②      【分析】 （1）① 过点作，交的延长线于点，证明，得到．② 根据，得到，代入计算即可． （2）① 过点作，交的延长线于点，证明，得到，设，则从而得到，根据，得到，代入计算即可． ② 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，证明，四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，从而得到，根据勾股定理，得到，构造二次函数求最值即可． (1) 小问详解： 解：① 如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． ② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：① 过点作，交的延长线于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 设， 则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴． ② 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 根据勾股定理，得到， ∴当时，有最小值 72 ， ∴有最小值， 故最小值为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练构造一线三直角全等模型，二次函数的最值，三角函数是解题的关键． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）在中，于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，且点落在边上． （1）如图1，点落在边上时，连接． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，点落在内部时，延长交延长线于点，连接．当时，求的面积． 【答案】（1）① 证明：由旋转可知，，， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ； ②的长为     （2）的面积为      【分析】 （1）① 由旋转可得，，，根据平行四边形的性质，进而证明，即可证明；② 先根据题意和勾股定理可求出，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可求出，则，进而证明，根据其性质求解即可； （2）先根据题意和勾股定理可求出，再证明，进而即可证明点为中点，过作于点，过作于点，根据，可求得，根据等腰三角形的性质可得， 在中，运用三角函数可求出的值，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ②， ， 在中，， 过作于点，如图， ∵，且， ∴， ，即， 解得， ， ， ， ，即， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， 在中，， 由（1）方法可得， ， ，， ， ， ，即点为中点， ， 过作于点，过作于点， ，即， ， ∵且， ∴， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 31．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E，F．与交于点O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）填空：若，，则四边形的周长为_______． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴、互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形；     （2）      【分析】 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）根据菱形特点，利用特殊角度，在直角三角形中求出的长，进而求出周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴菱形周长为． 故答案为：． 32．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）如图，四边形和四边形均是正方形，连接，点是的中点，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）将图①的正方形绕点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若，，连接，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，当时，请求出的长． 【答案】（1） 证明：如图① ∵四边形和四边形都是正方形， ，，， ∵点分别在边上， ，， 即， ． ， 又∵点是的中点， 是斜边的中线， ， ．     （2） 成立，证明：延长至点，使，连接． ∵点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 是正方形的对角线， ， 又， 是的垂直平分线． ， 又， ， 是等腰直角三角形，且， ， 又， ， ， ．     （3）或1      【分析】 （1）结合正方形的性质证明，推出，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可证明； （2）延长至点，使，连接．由三角形中位线的性质得，再证是等腰直角三角形，，即可得出； （3）分两种情况：当点在上方，点在下方，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，结合（2）中结论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在上方，时，如图，作于点， 则， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴由（2）问知． 当点在下方，，如图，作交的延长线于点，， ， 同理：，， ， 在中，， ． 【点睛】 本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线，注意分情况讨论是解题的关键． 33．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想之间的数量关系，并说明理由；（结果中用含β的三角函数表示） （4）如图4，在中，，，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），；（2）； （3）， 过点作于点， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． （4）过点作于点，作于点， ，， ， ，， 和为等腰直角三角形， ∴，，， 同理，， ， ， ， ∴，， ∴，即， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ，即， ， ． （4） 【分析】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）先证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，由余弦函数可得，，再根据求解即可； （4）过点作于点，作于点，可证，进而得到，，，再证，得到，接着计算可得． 【详解】 解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 34．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）【问题情境】如图，在中，．点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，直接写出与的关系________________． （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由； 【拓展应用】 （4）当，且点B，E，F三点共线时．若，请直接写出的面积为______________． 【答案】（1）； （2）； （3）； 如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （4） 【分析】 （1）根据题意，由，得到，即是等边三角形，得到，由是等边三角形，得到，再根据，得到，证明，即可得出结论； （2）可证明，从而，进而得出结果； （3）过点A作于点H，可推出，进而证得，从而； （4）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，设，则，由得，从而，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程进一步得出结果． 【详解】 解：（1），， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴； （3）略 （4）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， 线段绕点顺时针旋转得到线段， 是以为底边的等腰三角形，， 设，则， ， 在中， ， 解得 ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）求直线的函数关系式； （3）点为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点，若，求点的坐标； （4）若为抛物线的顶点，平移拋物线使得新顶点为，若点又在原拋物线上，新抛物线与直线交于点，连接，在抛物线平移过程中，当时．直接写出的范围是______________________． 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分别过点E、D作，证明求得，设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，可得，利用待定系数法求得的解析式，进而可得点，结合已知求得m值即可解答； （4）分当点P在对称轴右边时和当点P在对称轴直线的左侧两种情况，根据二次函数的性质及图象平移规则，结合已知、等腰三角形以及锐角三角函数分别求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，分别把代入， 得 ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：设直线的函数关系式为， 将代入，得 ，解得 ， ∴直线的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：由（1）得， 则 令，则， 故， 分别过点E、D作，如图所示： ， ， ， ， 设点的纵坐标为，则点的纵坐标为， 把代入， 得， 设的解析式为， 把分别代入， 得 ， 解得 ， 的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， 点为拋物线上第一象限内一点， 整理得， ， 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； (4) 小问详解： 解：由（2）得， 整理 为拋物线的顶点， 当点P在对称轴右边时，如图所示： 平移抛物线使得新顶点为又在原拋物线上，新拋物线与直线交于点，连接． 平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， 点在， ， ， ， ， ， ， ， 则， 即 是等腰三角形， 过点作， ， ， 则， 令， 即， 即， ， ， 或， （舍去）或， ， 当点P在对称轴直线的左侧，时 通过对称性，点P坐标为 ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象的平移、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想是解答的关键． 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）在中，，于点，点是边的中点，点是线段的垂直平分线与的交点，连接，点是线段上的一点，点是边上的一点，连接，，，，且这两个三角形除顶点外无其他部分重合． （1）如图1，当时， ①求的值； ②求的值； （2）如图2，当，时，请直接写出的长（用含和的式子表示）． 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）① 根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可； ② 过点F作于点M，解直角三角形得出，证明，得出，，证明，得出； （2）过点F作于点M，解直角三角形得出，求出，证明，得出，，证明，得出，即，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：① ∵在中，，， ∴， ∴， ∴在中，； ② 过点F作于点M，如图所示： ∵点为的中点， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：过点F作于点M，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，求余弦值，线段垂直平分线的性质，解题的关键作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）请阅读以下材料，并完成相应的任务： “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”数学家帕普斯（，公元300前后）曾借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法．在探索过程中，有研究者借鉴数学家帕普斯的思路，依托如图1所示的几何图形开展研究． 任务一：请写出下列命题的证明过程． （1）已知：如图1，四边形是矩形，是延长线上一点，连接交边于点，点是的中点，且． 求证：； 任务二：通过任务一的探究，我们发现解决三倍角问题通常与等腰三角形密不可分； （2）如图2，在Rt中，，，请利用任务一中总结的经验与方法求的正弦值； 任务三： （3）如图3，在四边形中，，，直接写出四边形的周长． 【答案】（1） 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故．     （2）的正弦值为     （3）四边形的周长为      【分析】 本题考查的知识点有：等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形性质以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得出，根据三角形外角关系得，结合，得，因此得出； （2）参考（1）中的证明方法，构造出，延长至点，过点作的平行线交延长线于点，取的中点为，连接，过点作交于点，由图易证，根据三角函数关系，得出各边长之间得关系式，即可求出的值，为的正弦值； （3）添加辅助线，尽量构造直角三角形，延长、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，首先由角度关系证三角形为等腰三角形，结合三角函数，得出部分线段的长度，假设，根据，得出的长度关系式，由，，结合（2）中的结论，可得出的长度表达式，依据列的方程，解出的长度，以此发散求出、的长度，最终求出四边形的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：延长至点，过点作的平行线交延长线于点，取的中点为，连接，过点作交于点，如下图： ∵， ∴， ∴， 假设，， ∵， 结合勾股定理可得， ∵，解得， ∵点为直角三角形斜边的中点， ∴，结合， ∴， ∴， ∵，，结合， ∴， 故． (3) 小问详解： 延长、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵, ∴， ∴， 又∵，结合， ∴，解得， 故三角形为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，故，结合， 由勾股定理得，解得，，结合， ∴， ∵、、， 得四边形为矩形，故， 假设，则， ∵， ∴， ∴，结合，得， ∵，， ∴， ∵， 由（2）中可得，即， 故，结合，由勾股定理得， ∵，，， 得方程，解得， 即，则，，， 结合，得， ∴，，，， 故四边形的周长为． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了解直角三角形、三线合一的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由“三线合一”的性质可得，，再根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】 解：如图：设与相交于点E， ∵，对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，的度数为， ∴， ∵ ∴， ∴． 故选：A． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）2米     （2） 依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过．      【分析】 （1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． (1) 小问详解： 解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； (2) 小问详解： 略 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树与山坡的截面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，） 【答案】古树的高度约为米． 【分析】 如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：如图，设与交于，    ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 答：古树的高度约为米． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 【答案】乙楼的高为 【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 5．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为　　　　　　m．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】49 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义求解即可． 【详解】 解：在中，，，， ∴， ∴A处到B处的距离为． 故答案为：49． 6．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）坐落于丹东市振兴区站前广场的毛主席雕塑于2021年3月经辽宁省文物局认定，被确定为辽宁省第一批不可移动革命文物．如图，在某校科技小组实践活动中，小亮借助无人机测量丹东站前广场的毛主席雕塑的高度，采用如下的测量方案；无人机在雕塑正面的水平地面点处起飞，无人机首次悬停在点正上方的点处，此时无人机测得雕塑底座点的俯角为，无人机离地面的高度为，无人机从点处沿平行于的路线匀速飞向雕塑背面的点处，在处无人机测得雕塑顶点的俯角为． （1）求的长度； （2）若无人机水平飞行的速度为，无人机从点飞到点处，用时5秒，求雕塑的高度．（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，，，） 【答案】（1）的长度为；     （2）雕塑的高度为．      【分析】 本题考查解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求解即可； （2）延长交于点，求得，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求出的长． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∵， ∴， 答：的长度为； (2) 小问详解： 解：延长交于点，如图， 此时，四边形是矩形，， 由题意得， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：雕塑的高度为． 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）学校计划对旗杆进行维护升级，某综合实践小组受总务处委托，开展“旗杆高度精准测量与应用”项目研究，过程如下： 活动目标 通过合作探究，测量校园内旗杆的高度 活动准备 测角仪、卷尺、直尺、三角尺等作图工具 活动过程 组建合作团队：布置任务，制定方案 方案构思 三角函数法 相似三角形法 利用测角仪测量旗杆高度 利用影子测量旗杆高度 ①在旗杆前平地上的点处，用测角仪测量观察者（竖直站立）看旗杆顶端的仰角；②测量观察者眼睛到地面的竖直高度；③测量点到旗杆底端的水平距离；④重复上述操作，记录测量数据，取平均值．⑤利用平均值，计算旗杆的高度． ①太阳光平行，同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高和影长及同一时刻旗杆的影长．②多次测量各线段长度，取平均值，计算出旗杆高度． 第一次 第二次 平均值 参考数据 第一次 第二次 平均值                         备注 ①图上所有点均在同一平面内；②均与地面垂直； 请选择一种方法，计算出旗杆的高度．（结果精确到） 【答案】旗杆高度大约 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 法一：三角函数法，过点作，证明四边形是矩形，得出，在中，解直角三角形求出，即可求解． 法二：相似法，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 法一：三角函数法 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， 答：旗杆高度大约． 法二：相似法 解：∵光线平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆高度大约． 8．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，学校在教学楼顶部竖立一块标语牌，小明在距教学楼的点处（即），利用测角仪测得标语牌底部点的仰角为，然后小明向教学楼方向前进到达点处（即），测得标语牌顶部点的仰角为．已知测角仪支架高，图中点，，，，，，在同一平面内． （1）求教学楼的高度； （2）求标语牌的高度． （结果精确到，参考数据：，，，．） 【答案】（1）教学楼的高度约为；     （2）标语牌的高度约为．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题）、矩形的性质，熟练掌握利用三角函数建立直角三角形边的关系是解题的关键． （1）通过延长线构造矩形，利用矩形性质得到直角三角形的直角边长度，结合三角函数计算，再加上仪器高度得到； （2）先根据矩形性质求出，利用三角函数计算，再用得到． (1) 小问详解： 解：如图，延长交于点，则， 四边形是矩形， ，．        在中，，， ．        ．        答：教学楼的高度约为； (2) 小问详解： 解：由题意得，四边形是矩形， ， ， ，        在中，，， ，        ．        答：标语牌的高度约为． 9．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）图1是某市的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图，在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于地面，测角仪、在两侧，，点C与点E相距（点C，B，E在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点A的仰角为，在F处测得铁塔顶点A的仰角为．求铁塔的高度（参考数据：，，，结果精确到1米）． 【答案】铁塔的高度约为 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中得，在中得到，得到方程，解方程得出结果． 【详解】 解：如图，连接交于点G， 由题意得：，，， 设，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即铁塔的高度约为． 10．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离． 【答案】A，B两点间的距离为． 【分析】 此题考查了解直角三角形、含的直角三角形的性质等知识．过点A作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，在中，，即可得到答案． 【详解】 解：过点A作于点H，则，  由题意可得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 即A，B两点间的距离为． 11．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，某山坡上有一电线杆，垂直于水平地面．为了测量电线杆的高度，小明在C处测得杆顶A的仰角为，向前走到达D处，测得杆顶A和杆底B的仰角分别是和，求电线杆的高度． （参考数据：） 【答案】 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长，交的延长线于点E，由题意得：，设为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：如下图，延长，交的延长线于点E， 由题意得：， 设为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：电线杆的高度约为． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）万凤塔位于陕西省延安市洛川县，塔身雕饰富丽，融合唐宋至明代建筑特点，是陕西北宋塔的代表．小辉和几位同学准备测量万凤塔的高度，小辉在点处直立一根2米的标杆，小明在点处发现A，E，C三点共线，经测量的长度为6米，，已知，，并且C，F，B三点在一条水平线上，请你帮助他们求出万凤塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】万凤塔的高度约为米． 【分析】 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，证明，得到，解直角三角形得到，把数据代入求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：，， ， 又， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ， 解得：， (米)， 答：万凤塔的高度约为米． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为　　　　　　　米．（答案可以带根号） 【答案】 【分析】 本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】 解：过点A作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：____________°，______________； （2）求楼的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）75；60     （2）米      【分析】 本题考查了仰角俯角问题，三角函数的应用，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题． (1) 小问详解： 解：， ， 过点作于点， 则， ； (2) 小问详解： 解：由题意可得米，米， 在中，， 解得：米， 米． 答：楼的高度为米． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）① 分别在和中求出和的长，即可求解；② 过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴； 答：的长为； (2) 小问详解： 解：① 在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ② 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 16．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）． （1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）； （2）求房屋的高（结果精确到）．（参考数据） 【答案】（1）3.5米     （2）10米      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． (1) 小问详解： 房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，，， ， ， 答：屋顶到横梁的距离约为3.5米； (2) 小问详解： 如图2，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米，， ， 解得：， 四边形为矩形， 米， （米． 答：房屋的高约为10米． 17．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 【答案】（1）     （2）背垫旋转的度数为      【分析】 此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 (1) 小问详解： 解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． (2) 小问详解： 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，九年一班综合实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌高度的实践活动，测量过程与数据信息如下： ①小亮位于点处，其身高，此时他的影长，同一时刻，的影长； ②小强站在距离建筑物的处，用测角仪测得； ③点在同一条直线上． 请你根据以上数据求出广告牌的高度． （结果精确到．参考数据：） 【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据正切的定义求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】 解：由题意知，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 答：广告牌AB的高度约为． 19．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）阅读下面九年一班数学兴趣小组的实践报告： 活动主题 测量建筑物的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点，，使点，，在同一条水平直线上，在点，处放置测角仪器，测量建筑物的顶端点的仰角和，再测量点与点的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．，，与地面垂直．参考数据：，，；，， 请根据上述数据，计算建筑物的高度（结果精确到）． 【答案】建筑物的高度约米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，在，中，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】 解：如图所示，延长交于点， 依题意，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 答：建筑物的高度约米 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，一艘货轮以海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向． （1）求此时货轮到线段的距离；（结果保留根号） （2）求此时货轮与灯塔的距离（结果精确到海里，参考数据，）． 【答案】（1）货轮到线段的距离为海里；     （2）货轮与灯塔的距离约为海里．      【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义和角度关系的推导是解题的关键． （1）先求的长度，过作的垂线，利用角度关系得为等腰直角三角形，结合长度求． （2）在中，利用角度求出，结合的长度，用三角函数求． (1) 小问详解： 解：∵货轮速度海里/小时，航行分钟， ∴海里， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴货轮到线段的距离为海里； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ ， ∴货轮与灯塔的距离约为海里． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图2是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，座椅长，和展开后的座椅所成，，是没人坐时座椅的位置，且三点共线，图中点在同一平面内．（参考数据：） （1）求线段的长；（结果保留一位小数） （2）求的值．（结果保留整数） 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，由解直角三角形求出，再由即可求解； （2）由解直角三角形求出，再由，，即可求解． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．C 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．A 10．A 11．D 12．A 13．C 14．D 15．【答案】 【分析】 本题考查特殊锐角三角函数值，根据特殊角的三角函数值，余弦值为的锐角是． 【详解】 ∵为锐角，，， ∴ 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值，直接计算的结果即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 17．【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题考查了实数的运算和一元二次方程的解法． （1）需要分别计算特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂以及绝对值，再进行加减运算；（2）可以使用配方法求解一元二次方程． 【详解】 （1）解： ； （2） 解： ，． 18．【答案】（1）；（2）见解析 【分析】 本题主要考查特殊角三角函数的混合运算，以及画旋转图形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）分别代入特殊角三角函数值进行计算即可； （2）分别画出点A、B、C的对应点，再顺次连接即可． 【详解】 （1）解： ； （2）解：将网格图中的三角形绕点旋转，画出旋转后的图形， 如图，则为所求． 19．【答案】（1），．     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程，即可作答． （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方，然后运算乘法，最后运算加减法，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 解得，； (2) 小问详解： 解： ； 20．【答案】 【分析】 本题主要考查了求角的余弦值，利用网格过点A作交的延长线于点M，再利用勾股定理求出，，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】 解：过点A作交的延长线于点M， ∵每个小正方形的边长均为1， ∴，， 在中，． 故答案为： 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值，公式法解一元二次方程， 对于（1），根据计算即可； 对于（2），先确定a，b，c，再求出，然后根据求根公式解答即可. (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：， 由， ∵， ∴， ∴. 22．【答案】（1）（2）， 【分析】 本题考查特殊角的三角函数值和解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值和配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 （1）解：原式        （2）解： ∴         ，． 23．【答案】（1）2；（2） 【分析】 本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先进行负整数指数幂，特殊角的三角函数值，去绝对值，零指数幂的运算，再进行加减运算即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】 解：（1）原式； （2）， ， 或， 解得． 24．【答案】（1）； （2），． 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值混合运算和解一元二次方程，掌握几个特殊角的三角函数值和选择合适的一元二次方程解法解方程是解答本题的关键． （1）将特殊角的三角函数值分别求出再代入求解即可； （2）运用公式法求解一元二次方程，先得出，再用求根公式求解即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ，，， ， ， ∴，． 25．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查分式的混合运算及实数的混合运算，掌握分式的混合运算及实数的混合运算法则是本题的关键． （1）根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、将特殊角的三角函数值代入计算，再合并即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．． 【详解】 （1）解： ． （2）解： ． 26．【答案】30度 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值． 作交于E，根据对角线平分得到，证明，得到，即，根据等角的余角相等得到，证明，求出，则，根据特殊角的三角函数值作答即可． 【详解】 解：如图，作交于E， ∵对角线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算等知识． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先计算乘方、化简绝对值和特殊三角函数值，然后进行加减运算即可． 【详解】 （1）解： 整理得， 或， 解得； （2） 28．【答案】 【分析】 本题考查相似三角形的性质与判定、勾股定理、解分式方程，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据和证得，根据相似三角形的性质得出，进而证得，利用证得，根据勾股定理列方程，解得和的长，设点的坐标为，其中，过点作轴于点，根据，列方程，求解的值，最后利用三角形的面积公式求解的面积即可． 【详解】 解：， ，即 、 根据勾股定理得： 即 解得或（舍去） 设点的坐标为，其中，过点作轴于点，如图： 即， 解得： 因此的面积为， 故答案为：． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用绝对值的代数意义，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，根据实数的运算法则计算即可求出值； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了实数的运算，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂以及特殊角的三角函数值，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． 30．【答案】（1）0；（2）， 【分析】 本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂以及零指数幂运算法则化简各项后再进行加减运算即可； （2）将原方程转化为一般形式后运用公式法解答即可． 【详解】 解：（1） ； （2）， 整理得：， 这里， ， ， ∴，． 31．【答案】（1） 或     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值；(1)根据公式法解方程即可； (2)根据特殊角三角函数值进行计算即可； (1) 小问详解： 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴ 或． (2) 小问详解： ． 32．【答案】 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数值、求算术平方根、零指数幂、绝对值，先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得解． 【详解】 解： ． 33．【答案】（1），     （2）0      【分析】 本题考查了解一元二次方程——配方法，特殊角三角函数值的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）用配方法解一元二次方程； （2）先代入特殊三角函数值，再计算乘方、乘法和去掉绝对值，最后计算加减． (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， ∴， 即，； (2) 小问详解： 解：原式 ． 34．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了实数的运算、含特殊角的三角函数的混合运算，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，运算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零次幂，再运算乘法，以及化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 则， 整理得， ∴； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴． 35．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）化简二次根式，特殊角的三角函数，绝对值后，合并同类项即可． （2）因式分解解一元二次方程即可． 【详解】 （1）解：原式 ． （2）， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 36．【答案】（1）；（2），． 【分析】 本题主要考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和配方法（或公式法）解一元二次方程是解题的关键． （1）先回忆特殊角的三角函数值，再代入进行实数的混合运算． （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】 解：（1） ； （2） ， ， ， ， 所以，． 37．【答案】(1) ； (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算． （1）先化为一般形式，再根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2） ． 考点02 解直角三角形 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．A 9．B 10．B 11．B 12．A 13．D 14．A 15．【答案】 【分析】 先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】 如图 ∵中，，，， ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】 本题考查解直角三角形，熟记余弦的定义是解题的关键． 16．【答案】6 【分析】 本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，故可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 故答案为：6． 17．【答案】3 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的性质， 通过构造全等三角形，将的长度转化为与某条固定线段相关的长度，再利用垂线段最短的性质求出的最小值即可． 【详解】 解：以为边在上方作等边三角形，连接，如图， ∵， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据垂线段最短，当时，最小， ∴． 故答案为：3． 18．【答案】（1）且，见解析     （2）①见解析；②      【分析】 （1）证明，可得，，即可解答； （2）①过点作，交于点，证明，可得，从而得到， 在中，利用勾股定理可得，再证明，可得，从而得到，即可解答；②过点作，垂足为点，由①可知，，在中， 利用锐角三角函数可得到，证明，可得，即可解答． (1) 小问详解： 解：且，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： ①证明：过点作，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点作，垂足为点，如图， 由①可知，， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴是矩形；     （2）2      【分析】 （1）先证明，再证明四边形是平行四边形，最后证明是矩形； （2）设，则，，可得．由勾股定理可得．在中，，可得，再求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可知四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 设，则，， ∴． 在中，，． ． ∴， ∴， ∴的值为2． 【点睛】 此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是关键． 20．【答案】（）米；（）米． 【分析】 （）过作于点，证明四边形是矩形，则有米，点太阳高度角为30°，则米； （）过作于点，过作于点，证明，则，从而，则有米； 此题考查了真实情景下的三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【详解】 （）过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵小明打算在这天点露营休息， ∴太阳高度角为30°， ∴， 则（米）； （）过作于点，过作于点， ∵米，米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∴， 同（）理得四边形是矩形， ∴，米， ∴， ∴米． 21．【答案】或 【分析】 本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，分如图，取中点，得∴是中位线，然后通过相似三角形的判定与性质即可求解；如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则，先求出，由上得是中位线，所以，所以，，证得是等边三角形，所以，，从而求得，然后代入即可求解． 【详解】 解：如图，取中点， ∵为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴； 如图，当与不平行时，在上取一点，使得，则， ∵， ∴， ∴，， 由上得是中位线， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 22．【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， 又， ， 又， ，即， 是半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆的性质、切线的判定、三角函数以及相似三角形的性质等知识点： （1）连接，由直径所对圆周角为直角及等腰三角形性质，经角度代换证，从而判定是切线； （2）先依三角函数和勾股定理求出相关线段，再借相似三角形对应边成比例列方程，求解得出的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， 在中， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， 又， 即， 解得（取正值）， ． 23．【答案】 【分析】 本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 在直角三角形中，根据正切值设两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求解角B的正弦值即可． 【详解】 解：在中，，， 设， 则， ∴． 故答案为：． 24．【答案】（1）相切，见解析     （2）      【分析】 （1）要判断与的位置关系，需证明：连接、，通过证明，得到，从而得出，结合是半径，判定与相切． （2）要求弧的长，先结合求出的度数，利用三角函数算出半径的长度；再通过四边形内角和求出的度数，进而得到的度数，最后代入弧长公式计算弧的长． (1) 小问详解： 解：与相切，理由如下： 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴ ， 在四边形中， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了圆的切线判定、全等三角形的判定与性质、三角函数的应用以及弧长公式的计算，熟练掌握“切线的判定方法（证明半径与直线垂直）、全等三角形的判定定理及弧长公式的应用”是解题的关键． 25．【答案】（1）证明：在上取点F，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）； （3） 【分析】 （1）在上取点F，使，证明，得出； （2）过点B作于点H，证明，得出，，证明，得出，再根据，即可得出答案； （3）过点E作于点N，过点D作于点M，证明，得出，设，则，证明．得出，，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：过点B作于点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ （3）解：过点E作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26．【答案】（1） 四边形是平行四边形． 证明： 矩形 四边形 是平行四边形．     （2） ① 答：和是相等的关系． 证明： ， 由旋转可知 由四边形是平行四边形可知， ，， ②或或．      【分析】 本题考查了解直角三角形和、平行四边形的性质判定、图形的旋转等问题． （1）由平行且等于即可判定四边形为平行四边形； （2）① 证明即可得到和是相等的关系； ② 将绕着点E旋转将依次得到边、、与垂直，正确画出图形即可求点到直线的距离． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 将绕着点E顺时针旋转，将依次得到边、、与直线垂直， 当时（如图1所示）， 又 点、、三点共线， , 过点作于点M，则 ； 当时（如图2所示），延长交点Q，过点E作于点P，过点H作交直线于点N，延长交直线于点M． ， 易证， 又 ， 由面积法可得 ， ， ； 当时（如图3所示），、、三点共线， ， 延长交直线于点，过点作于点M， 则， ， ． 综上所述，点H到直线AB的距离为：或或． 【点睛】 本题考查了解直角三角形、平行四边形的性质和判定、图形旋转、全等等知识点，根据题意正确画出图形严谨推理、计算是解题的关键． 27．【答案】1或 【分析】 根据勾股定理可求出AC，然后根据直角三角形的性质可得BD=AD=CD，进而可得∠DBC=∠C，由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况：当∠DME=90°时，如图1，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，然后解Rt△BMF即可求出BF；当∠MDE=90°时，如图2，解Rt△DME可求出DM，进而可得BM，根据三角形的内角和定理可得∠BFM=∠MDE=90°，再解Rt△BMF即可求出BF，从而可得答案． 【详解】 解：中，∵，，， ∴， ∵点为的中点， ∴BD=AD=CD=， ∴∠DBC=∠C， 由于∠E=∠C≠90°，故分两种情况： 当∠DME=90°时，如图1，∵以为对称轴折叠得到， ∴∠E=∠C，DE=DC=5， ∴， ∴BM=BD－DM=2， ∴；    当∠MDE=90°时，如图2，， ∴， ∵∠DBC=∠C=∠E，∠BMF=∠EMD， ∴∠BFM=∠MDE=90°， ∴； 综上，的长为1或． 【点睛】 本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理以及解直角三角形等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相关知识、灵活应用转化的思想是解题的关键． 28．【答案】（1），     （2）或秒     （3），，      【分析】 （1）由、的运动过程即可求解； （2）分类讨论：当时，当时，即可求解； （3）过点作交于，由相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，，即可求解； 过点作交于，由正切函数得，求出，由即可求解；过作交于，设，则，由勾股定理得，， 整理得即可求解． (1) 小问详解： 解：，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 当时， ， ， 解得：； 当时， ， ， 解得：； 故当动点运动时间或秒时，与相似； (3) 小问详解： 解：过点作交于， ，， ， ， ， ， ∵， ∴ ∴， 即， ∴，， ， ∵ ， 解得； ∴当值为秒时，； 过点作交于， 同理可求， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ， 解得； 故当值为秒时，； 过作交于， ， ， 设，则， ∴，，， 在和中，，， ，， 整理得， ， ， 整理得， ， 解得，（舍去）， 故当值为秒时，． 故答案为：，，． 【点睛】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等；能添加恰当的辅助线，构建相似三角形进行求解是解题的关键． 29．【答案】（1），     （2）①；②      【分析】 （1）① 过点作，交的延长线于点，证明，得到．② 根据，得到，代入计算即可． （2）① 过点作，交的延长线于点，证明，得到，设，则从而得到，根据，得到，代入计算即可． ② 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，证明，四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，从而得到，根据勾股定理，得到，构造二次函数求最值即可． (1) 小问详解： 解：① 如图，过点作，交的延长线于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． ② ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：① 过点作，交的延长线于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， 设， 则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴． ② 如图，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点， ∵四边形是边长为 4 的正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 根据勾股定理，得到， ∴当时，有最小值 72 ， ∴有最小值， 故最小值为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值，正切函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练构造一线三直角全等模型，二次函数的最值，三角函数是解题的关键． 30．【答案】（1）① 证明：由旋转可知，，， ， 在平行四边形中，， ， ， ， ， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ； ②的长为     （2）的面积为      【分析】 （1）① 由旋转可得，，，根据平行四边形的性质，进而证明，即可证明；② 先根据题意和勾股定理可求出，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，根据三角函数可求出，则，进而证明，根据其性质求解即可； （2）先根据题意和勾股定理可求出，再证明，进而即可证明点为中点，过作于点，过作于点，根据，可求得，根据等腰三角形的性质可得， 在中，运用三角函数可求出的值，进而即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ②， ， 在中，， 过作于点，如图， ∵，且， ∴， ，即， 解得， ， ， ， ，即， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， 在中，， 由（1）方法可得， ， ，， ， ， ，即点为中点， ， 过作于点，过作于点， ，即， ， ∵且， ∴， ， ， ， ， 在中，， 即， ， ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形的应用，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 31．【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵垂直平分， ∴、互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形；     （2）      【分析】 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）根据菱形特点，利用特殊角度，在直角三角形中求出的长，进而求出周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（负值舍去）， ∵， ∴菱形周长为． 故答案为：． 32．【答案】（1） 证明：如图① ∵四边形和四边形都是正方形， ，，， ∵点分别在边上， ，， 即， ． ， 又∵点是的中点， 是斜边的中线， ， ．     （2） 成立，证明：延长至点，使，连接． ∵点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 是正方形的对角线， ， 又， 是的垂直平分线． ， 又， ， 是等腰直角三角形，且， ， 又， ， ， ．     （3）或1      【分析】 （1）结合正方形的性质证明，推出，根据直角三角形斜边中线的性质得，即可证明； （2）延长至点，使，连接．由三角形中位线的性质得，再证是等腰直角三角形，，即可得出； （3）分两种情况：当点在上方，点在下方，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，结合（2）中结论即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在上方，时，如图，作于点， 则， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴由（2）问知． 当点在下方，，如图，作交的延长线于点，， ， 同理：，， ， 在中，， ． 【点睛】 本题考查正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线，注意分情况讨论是解题的关键． 33．【答案】（1），；（2）； （3）， 过点作于点， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． （4）过点作于点，作于点， ，， ， ，， 和为等腰直角三角形， ∴，，， 同理，， ， ， ， ∴，， ∴，即， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ，即， ， ． （4） 【分析】 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）先证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，由余弦函数可得，，再根据求解即可； （4）过点作于点，作于点，可证，进而得到，，，再证，得到，接着计算可得． 【详解】 解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 34．【答案】（1）； （2）； （3）； 如图，过点A作于点H， ∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，H为的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． （4） 【分析】 （1）根据题意，由，得到，即是等边三角形，得到，由是等边三角形，得到，再根据，得到，证明，即可得出结论； （2）可证明，从而，进而得出结果； （3）过点A作于点H，可推出，进而证得，从而； （4）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，设，则，由得，从而，进而表示出，在中，由勾股定理列出方程进一步得出结果． 【详解】 解：（1），， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴． ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴； （3）略 （4）如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， 线段绕点顺时针旋转得到线段， 是以为底边的等腰三角形，， 设，则， ， 在中， ， 解得 ． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 35．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分别过点E、D作，证明求得，设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，可得，利用待定系数法求得的解析式，进而可得点，结合已知求得m值即可解答； （4）分当点P在对称轴右边时和当点P在对称轴直线的左侧两种情况，根据二次函数的性质及图象平移规则，结合已知、等腰三角形以及锐角三角函数分别求解即可． (1) 小问详解： 解：依题意，分别把代入， 得 ， 解得 ； (2) 小问详解： 解：设直线的函数关系式为， 将代入，得 ，解得 ， ∴直线的函数关系式为； (3) 小问详解： 解：由（1）得， 则 令，则， 故， 分别过点E、D作，如图所示： ， ， ， ， 设点的纵坐标为，则点的纵坐标为， 把代入， 得， 设的解析式为， 把分别代入， 得 ， 解得 ， 的解析式为， 依题意，把代入， 得， 则， 即点， 点为拋物线上第一象限内一点， 整理得， ， 此时的，故是符合题意的； 当时，则，此时， 当时，则，此时， 综上：或； (4) 小问详解： 解：由（2）得， 整理 为拋物线的顶点， 当点P在对称轴右边时，如图所示： 平移抛物线使得新顶点为又在原拋物线上，新拋物线与直线交于点，连接． 平移后的抛物线的解析式为， 把代入， 得， 点在， ， ， ， ， ， ， ， 则， 即 是等腰三角形， 过点作， ， ， 则， 令， 即， 即， ， ， 或， （舍去）或， ， 当点P在对称轴直线的左侧，时 通过对称性，点P坐标为 ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】 本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、二次函数图象的平移、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想是解答的关键． 36．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 （1）① 根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可； ② 过点F作于点M，解直角三角形得出，证明，得出，，证明，得出； （2）过点F作于点M，解直角三角形得出，求出，证明，得出，，证明，得出，即，求出结果即可． (1) 小问详解： 解：① ∵在中，，， ∴， ∴， ∴在中，； ② 过点F作于点M，如图所示： ∵点为的中点， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：过点F作于点M，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，求余弦值，线段垂直平分线的性质，解题的关键作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 37．【答案】（1） 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， 又∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 故．     （2）的正弦值为     （3）四边形的周长为      【分析】 本题考查的知识点有：等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形性质以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得出，根据三角形外角关系得，结合，得，因此得出； （2）参考（1）中的证明方法，构造出，延长至点，过点作的平行线交延长线于点，取的中点为，连接，过点作交于点，由图易证，根据三角函数关系，得出各边长之间得关系式，即可求出的值，为的正弦值； （3）添加辅助线，尽量构造直角三角形，延长、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，首先由角度关系证三角形为等腰三角形，结合三角函数，得出部分线段的长度，假设，根据，得出的长度关系式，由，，结合（2）中的结论，可得出的长度表达式，依据列的方程，解出的长度，以此发散求出、的长度，最终求出四边形的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：延长至点，过点作的平行线交延长线于点，取的中点为，连接，过点作交于点，如下图： ∵， ∴， ∴， 假设，， ∵， 结合勾股定理可得， ∵，解得， ∵点为直角三角形斜边的中点， ∴，结合， ∴， ∴， ∵，，结合， ∴， 故． (3) 小问详解： 延长、相交于点，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵, ∴， ∴， 又∵，结合， ∴，解得， 故三角形为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，故，结合， 由勾股定理得，解得，，结合， ∴， ∵、、， 得四边形为矩形，故， 假设，则， ∵， ∴， ∴，结合，得， ∵，， ∴， ∵， 由（2）中可得，即， 故，结合，由勾股定理得， ∵，，， 得方程，解得， 即，则，，， 结合，得， ∴，，，， 故四边形的周长为． 考点03 应用举例 1．A 2．【答案】（1）2米     （2） 依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过．      【分析】 （1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． (1) 小问详解： 解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； (2) 小问详解： 略 3．【答案】古树的高度约为米． 【分析】 如图，根据已知条件得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：如图，设与交于，    ， 设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 答：古树的高度约为米． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．【答案】乙楼的高为 【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形为矩形，，，，则，，，然后解求出，再由即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得，四边形为矩形，，，， ∴，，， ∵在中，， ∴， ∴， 答：乙楼的高为． 5．【答案】49 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义求解即可． 【详解】 解：在中，，，， ∴， ∴A处到B处的距离为． 故答案为：49． 6．【答案】（1）的长度为；     （2）雕塑的高度为．      【分析】 本题考查解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求解即可； （2）延长交于点，求得，在中，利用正切函数的定义求得，进一步计算即可求出的长． (1) 小问详解： 解：在中，，， ∵， ∴， 答：的长度为； (2) 小问详解： 解：延长交于点，如图， 此时，四边形是矩形，， 由题意得， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 答：雕塑的高度为． 7．【答案】旗杆高度大约 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角与俯角问题，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 法一：三角函数法，过点作，证明四边形是矩形，得出，在中，解直角三角形求出，即可求解． 法二：相似法，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 法一：三角函数法 解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， 答：旗杆高度大约． 法二：相似法 解：∵光线平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆高度大约． 8．【答案】（1）教学楼的高度约为；     （2）标语牌的高度约为．      【分析】 本题主要考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题）、矩形的性质，熟练掌握利用三角函数建立直角三角形边的关系是解题的关键． （1）通过延长线构造矩形，利用矩形性质得到直角三角形的直角边长度，结合三角函数计算，再加上仪器高度得到； （2）先根据矩形性质求出，利用三角函数计算，再用得到． (1) 小问详解： 解：如图，延长交于点，则， 四边形是矩形， ，．        在中，，， ．        ．        答：教学楼的高度约为； (2) 小问详解： 解：由题意得，四边形是矩形， ， ， ，        在中，，， ，        ．        答：标语牌的高度约为． 9．【答案】铁塔的高度约为 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中得，在中得到，得到方程，解方程得出结果． 【详解】 解：如图，连接交于点G， 由题意得：，，， 设，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即铁塔的高度约为． 10．【答案】A，B两点间的距离为． 【分析】 此题考查了解直角三角形、含的直角三角形的性质等知识．过点A作于点H，则，证明是等腰直角三角形，则，在中，，即可得到答案． 【详解】 解：过点A作于点H，则，  由题意可得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 即A，B两点间的距离为． 11．【答案】 【分析】 本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长，交的延长线于点E，由题意得：，设为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：如下图，延长，交的延长线于点E， 由题意得：， 设为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：电线杆的高度约为． 12．【答案】万凤塔的高度约为米． 【分析】 本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，证明，得到，解直角三角形得到，把数据代入求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：，， ， 又， ， ， ， 在中，，， ∴， ， ， 解得：， (米)， 答：万凤塔的高度约为米． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点A作于点E，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】 解：过点A作于点E，如图所示： 由题意得：， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 14．【答案】（1）75；60     （2）米      【分析】 本题考查了仰角俯角问题，三角函数的应用，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题． (1) 小问详解： 解：， ， 过点作于点， 则， ； (2) 小问详解： 解：由题意可得米，米， 在中，， 解得：米， 米． 答：楼的高度为米． 15．【答案】（1）     （2）①；②      【分析】 本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）① 分别在和中求出和的长，即可求解；② 过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴； 答：的长为； (2) 小问详解： 解：① 在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ② 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 16．【答案】（1）3.5米     （2）10米      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． （1）根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，设，解直角三角形即可得到结论． (1) 小问详解： 房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，，， ， ， 答：屋顶到横梁的距离约为3.5米； (2) 小问详解： 如图2，过作于，设， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 米，， ， 解得：， 四边形为矩形， 米， （米． 答：房屋的高约为10米． 17．【答案】（1）     （2）背垫旋转的度数为      【分析】 此题考查三角函数的实际应用， （1）过点G作于点H，利用正弦公式求出即可； （2）过点G作，交的延长线于点M，由题意得，得到，在中，根据余弦求出，由此得到，进而得到背垫旋转的度数 (1) 小问详解： 解：过点G作于点H， 在中，， ∴， ∴ ∴点G到支撑脚的垂直距离约为． (2) 小问详解： 过点G作，交的延长线于点M， 由题意得 ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴背垫旋转的度数为 18．【答案】 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据正切的定义求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】 解：由题意知，， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 答：广告牌AB的高度约为． 19．【答案】建筑物的高度约米 【分析】 本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，在，中，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】 解：如图所示，延长交于点， 依题意，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 答：建筑物的高度约米 20．【答案】（1）货轮到线段的距离为海里；     （2）货轮与灯塔的距离约为海里．      【分析】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义和角度关系的推导是解题的关键． （1）先求的长度，过作的垂线，利用角度关系得为等腰直角三角形，结合长度求． （2）在中，利用角度求出，结合的长度，用三角函数求． (1) 小问详解： 解：∵货轮速度海里/小时，航行分钟， ∴海里， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴货轮到线段的距离为海里； (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ ， ∴货轮与灯塔的距离约为海里． 21．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了解直角三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，由解直角三角形求出，再由即可求解； （2）由解直角三角形求出，再由，，即可求解． (1) 小问详解： 解：过点作于点，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴； (2) 小问详解： 解：在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. cosA＝ D. tanB＝ 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米． A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，在中，，，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，在中，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）在中，，已知，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）在中，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，的顶点在正方形网格的交点上，则的值为（     ） A. 1 B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在中，，若，，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）下列各数中，最小的数是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）在中，，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，，以为圆心，为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，连接，则下列结论正确的是（     ）\ A.  B. 长为 C. 的面积为 D.  15．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知为锐角，，则的度数是　　　　　　． 16．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）计算：　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）（1）计算：； （2）将网格图中的三角形绕点旋转，画出旋转后的图形． 19．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）计算： （1）解方程：； （2）计算：． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若的顶点都在格点上，则的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）计算： （1）． （2）公式法解方程：． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）（1）计算： （2）解方程： 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）（1）计算：； （2）解方程： 24．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 25．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）（1）计算：； （2）化简：． 26．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，四边形ABCD中，，，对角线平分，且，则的度数为　　　　　． 27．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）（1）解一元二次方程： （2）计算： 28．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接并延长至，连接，若满足，，则的面积为　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）（1）计算： （2）解方程： 31．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 32．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）计算：； 33．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）解方程或计算： （1）； （2）． 34．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）计算和方程： （1）计算：； （2）； （3）． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）（1）解方程：； （2）计算：． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）如图，菱形的对角线，相交于点O，点H是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（　　） A. 60 B. 78 C. 120 D. 240 2．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）菱形的边长为2，对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，则的长为（     ） A. 2 B. 1 C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在中，，若，则的值是（         ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）在中，，若，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）在中，，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图两段公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为千米，则、两点间的距离为（     ）千米 A.  B.  C.  D.  7．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（       ） A.  B.  C.  D. 8 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（       ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）如图，在正方形中，M，N分别为，边上的点，且，与交于点P，连接，Q为中点，连接，若，，则的长为（     ） A.  B.  C. 3 D.  12．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，与交于点，若，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（     ） A.  B.  C. 5 D.  14．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）在中，，，，则的值为　　　　　　　　　　　 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，菱形的对角线与相交于点O，E是的中点，且，则的长是　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，已知正方形的边长为6，点为延长线上的一个动点，连接，以为边在下方作等边三角形，连接，则的最小值是　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图1，在中，，延长至点，使，点是边上一点，且，连接． （1）猜想与的关系，并说明理由． （2）如图2，延长交于点，连接， ①求证：； ②若，求的面积． 19．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）如图，在中，，D为中点，E为中点，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点F作于点G，若，求的值． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化．自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 14点 15点 16点 太阳高度角（度） 60 45 30 参考数据：，. 解决问题 （1） 确定影子长度 小明打算在这天16点露营休息，请帮小明求出此时影子GH的长度． （2） 探究影子长度 若某一时刻测得BD＝1.9米，请求出此时影子GH的长度． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在中，，，为的中点，在线段上，且，则　　　　　　． 22．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）在中，，，则的值为　　　　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，连接，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 25．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，已知中，，点E在边上，，点D在线段上，连接，且．求证：； 小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：要证明，结合条件，这样本题就具备了“一边等，一角等”的图形特征，所以小明在AB上取点F，使，从而得到，构造全等三角形，从而使问题得以解决． 独立思考：（1）请参考小明的思路或自己的思路完成解答； 实践探究：（2）王老师改变了部分条件，并提出新问题，请你借鉴小明做题方法或自己解答思路，完成下题解答．如图2，已知等腰中，，，点E在边上，且，过点A作于点D，求的值； 问题解决：（3）如图3，在中，，点D在边延长线上，点F在边上，连接交于点E，连接．若，，，，求的长度． 26．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图1，在中，，，，点D为边AB上一点，且，以BC，BD为邻边构造矩形DBCE，连接AE，DC． （1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由； （2）如图2，将线段AC绕点A逆时针旋转60°，得到线段AF，连接EF． ①猜想线段EF与BC的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点E顺时针旋转（），得到，点A，F的对应点分别为G，H，当的边与直线CD垂直时，直接写出点H到直线AB的距离． 27．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，中，，，，点为的中点，点为上一个动点，以为对称轴折叠得到，点的对应点为点，交于点，当为直角三角形时，的长为　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，的两条直角边，，，点沿从向运动，速度是秒，同时，点沿从向运动，速度为秒．动点到达点时运动终止．连接、、．设运动的时间为秒，解答下列问题： （1）________，________；（用含的代数式表示） （2）求当动点运动时间为多少秒时，与相似； （3）在运动过程中，当值为________时，；当值为________时，；当值为________时，． 29．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）四边形是边长为4的正方形，点E沿路线向C点运动，连接，在的右侧作等腰，，且，交射线于点N． （1）如图1，点E在上时，交于点M，若，则点F到直线的距离为          ；的长为          ； （2）如图2，点E在上时， ①若，求的长； ②连接，直接写出的最小值． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）在中，于点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，且点落在边上． （1）如图1，点落在边上时，连接． ①求证：； ②求的长； （2）如图2，点落在内部时，延长交延长线于点，连接．当时，求的面积． 31．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）如图，是的角平分线，线段的垂直平分线分别交和于点E，F．与交于点O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）填空：若，，则四边形的周长为_______． 32．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）如图，四边形和四边形均是正方形，连接，点是的中点，连接． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）将图①的正方形绕点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若，，连接，在正方形绕点顺时针旋转的过程中，当时，请求出的长． 33．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想之间的数量关系，并说明理由；（结果中用含β的三角函数表示） （4）如图4，在中，，，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，直接写出线段之间的数量关系． 34．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）【问题情境】如图，在中，．点在边上，将线段绕点顺时针旋转得到线段（旋转角小于），连接，，以为底边在其上方作等腰三角形，使，连接． 【尝试探究】 （1）如图1，当时，直接写出与的关系________________． （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，写出与的数量关系（用含的三角函数表示），并说明理由； 【拓展应用】 （4）当，且点B，E，F三点共线时．若，请直接写出的面积为______________． 35．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点，其中． （1）求b、c的值； （2）求直线的函数关系式； （3）点为抛物线上第一象限内一点，连接，与直线交于点，若，求点的坐标； （4）若为抛物线的顶点，平移拋物线使得新顶点为，若点又在原拋物线上，新抛物线与直线交于点，连接，在抛物线平移过程中，当时．直接写出的范围是______________________． 36．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）在中，，于点，点是边的中点，点是线段的垂直平分线与的交点，连接，点是线段上的一点，点是边上的一点，连接，，，，且这两个三角形除顶点外无其他部分重合． （1）如图1，当时， ①求的值； ②求的值； （2）如图2，当，时，请直接写出的长（用含和的式子表示）． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）请阅读以下材料，并完成相应的任务： “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”数学家帕普斯（，公元300前后）曾借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法．在探索过程中，有研究者借鉴数学家帕普斯的思路，依托如图1所示的几何图形开展研究． 任务一：请写出下列命题的证明过程． （1）已知：如图1，四边形是矩形，是延长线上一点，连接交边于点，点是的中点，且． 求证：； 任务二：通过任务一的探究，我们发现解决三倍角问题通常与等腰三角形密不可分； （2）如图2，在Rt中，，，请利用任务一中总结的经验与方法求的正弦值； 任务三： （3）如图3，在四边形中，，，直接写出四边形的周长． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，排开的遮阳面和的长均为的度数为，则此时“天幕”的宽度是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，在一个坡度（或坡比）的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角（古树与山坡的截面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，） 4．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，甲、乙两栋楼相距，从甲楼处看乙楼顶部的仰角为，到地面的距离为，求乙楼的高（参考数据：，，）． 5．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离约为　　　　　　m．（结果精确到，参考数据：，，）． 6．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）坐落于丹东市振兴区站前广场的毛主席雕塑于2021年3月经辽宁省文物局认定，被确定为辽宁省第一批不可移动革命文物．如图，在某校科技小组实践活动中，小亮借助无人机测量丹东站前广场的毛主席雕塑的高度，采用如下的测量方案；无人机在雕塑正面的水平地面点处起飞，无人机首次悬停在点正上方的点处，此时无人机测得雕塑底座点的俯角为，无人机离地面的高度为，无人机从点处沿平行于的路线匀速飞向雕塑背面的点处，在处无人机测得雕塑顶点的俯角为． （1）求的长度； （2）若无人机水平飞行的速度为，无人机从点飞到点处，用时5秒，求雕塑的高度．（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，，，） 7．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）学校计划对旗杆进行维护升级，某综合实践小组受总务处委托，开展“旗杆高度精准测量与应用”项目研究，过程如下： 活动目标 通过合作探究，测量校园内旗杆的高度 活动准备 测角仪、卷尺、直尺、三角尺等作图工具 活动过程 组建合作团队：布置任务，制定方案 方案构思 三角函数法 相似三角形法 利用测角仪测量旗杆高度 利用影子测量旗杆高度 ①在旗杆前平地上的点处，用测角仪测量观察者（竖直站立）看旗杆顶端的仰角；②测量观察者眼睛到地面的竖直高度；③测量点到旗杆底端的水平距离；④重复上述操作，记录测量数据，取平均值．⑤利用平均值，计算旗杆的高度． ①太阳光平行，同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高和影长及同一时刻旗杆的影长．②多次测量各线段长度，取平均值，计算出旗杆高度． 第一次 第二次 平均值 参考数据 第一次 第二次 平均值                         备注 ①图上所有点均在同一平面内；②均与地面垂直； 请选择一种方法，计算出旗杆的高度．（结果精确到） 8．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图，学校在教学楼顶部竖立一块标语牌，小明在距教学楼的点处（即），利用测角仪测得标语牌底部点的仰角为，然后小明向教学楼方向前进到达点处（即），测得标语牌顶部点的仰角为．已知测角仪支架高，图中点，，，，，，在同一平面内． （1）求教学楼的高度； （2）求标语牌的高度． （结果精确到，参考数据：，，，．） 9．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）图1是某市的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图，在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于地面，测角仪、在两侧，，点C与点E相距（点C，B，E在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点A的仰角为，在F处测得铁塔顶点A的仰角为．求铁塔的高度（参考数据：，，，结果精确到1米）． 10．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以的速度沿与地面成角的方向飞行，后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B处的俯角为，则小山东西两侧A，B两点间的距离． 11．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，某山坡上有一电线杆，垂直于水平地面．为了测量电线杆的高度，小明在C处测得杆顶A的仰角为，向前走到达D处，测得杆顶A和杆底B的仰角分别是和，求电线杆的高度． （参考数据：） 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）万凤塔位于陕西省延安市洛川县，塔身雕饰富丽，融合唐宋至明代建筑特点，是陕西北宋塔的代表．小辉和几位同学准备测量万凤塔的高度，小辉在点处直立一根2米的标杆，小明在点处发现A，E，C三点共线，经测量的长度为6米，，已知，，并且C，F，B三点在一条水平线上，请你帮助他们求出万凤塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）某校学生开展综合实践活动，如图，要测量树的高度，小李同学在离点10米的处利用测倾器测得处的仰角为，（，在同一平面内，，在同一水平面上），已知米，则树的高为　　　　　　　米．（答案可以带根号） 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼AB和楼之间的距离BC为100米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：____________°，______________； （2）求楼的高度（结果保留根号）． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． （1）求的长； （2）设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 16．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图1 是政府给贫困户新建的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上 C点、屋檐上E点、屋顶上 A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点 D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交 于点G（点 C，D，B在同一水平线上）． （1）求屋顶到横梁的距离（结果精确到）； （2）求房屋的高（结果精确到）．（参考数据） 17．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）某地计划为学校添置新型“躺式”课桌椅，以解决学生的午休问题．图①是“躺式”课桌椅的实物图，图②是上课期间椅子的摆放样式．已知座面与支撑脚平行，座面，座面高，背垫，．（结果精确到） （1）求点G到支撑脚的垂直距离． （2）如图③是午休时椅子的摆放样式，此时点G到点A的水平距离为，求背垫旋转的度数． （参考数据：，，，）． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，九年一班综合实践小组开展测量某建筑物顶部广告牌高度的实践活动，测量过程与数据信息如下： ①小亮位于点处，其身高，此时他的影长，同一时刻，的影长； ②小强站在距离建筑物的处，用测角仪测得； ③点在同一条直线上． 请你根据以上数据求出广告牌的高度． （结果精确到．参考数据：） 19．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）阅读下面九年一班数学兴趣小组的实践报告： 活动主题 测量建筑物的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点，，使点，，在同一条水平直线上，在点，处放置测角仪器，测量建筑物的顶端点的仰角和，再测量点与点的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内；2．，，与地面垂直．参考数据：，，；，， 请根据上述数据，计算建筑物的高度（结果精确到）． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，一艘货轮以海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行分钟后到达处，发现灯塔在它北偏东方向． （1）求此时货轮到线段的距离；（结果保留根号） （2）求此时货轮与灯塔的距离（结果精确到海里，参考数据，）． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图2是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，座椅长，和展开后的座椅所成，，是没人坐时座椅的位置，且三点共线，图中点在同一平面内．（参考数据：） （1）求线段的长；（结果保留一位小数） （2）求的值．（结果保留整数） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $