专题02 二次函数（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．【答案】（1）；     （2）围成面积为的花圃，的长为米      【分析】 本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． (1) 小问详解： 解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； (2) 小问详解： 当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．A 7．A 8．D 9．A 10．B 11．B 12．D 13．B 14．B 15．C 16．B 17．D 18．D 19．【答案】 【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位， ∴得到新抛物线的解析式是， 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】 解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．C 3．A 4．D 5．A 6．D 7．B 8．A 9．B 10．A 11．B 12．C 13．C 14．D 15．D 16．B 17．D 18．D 19．A 20．C 21．C 22．C 23．C 24．【答案】2 【分析】 该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线 ， 本题中，函数为 ，因此 ，． 给定对称轴为，代入公式得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：2． 25．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键． 【详解】 解：二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 26．【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】 （1）设直线AB解析式为，代入点A、B的坐标，由待定系数法解题，再将点B代入抛物线的解析式即可解题； （2）图形的交点即是两个解析式方程的公共解，联立两个解析式转化成解一元二次方程，从而确定点C的坐标； （3）观察图象，交点B、C将两个图象分成三个区域，当时，即抛物线在直线的下方，据此解题； （4）设，根据题意，由三角形面积即一元二次方程解题即可． 【详解】 解：（1）设直线的解析式为， 把，代入得 ，解得 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； （2）解方程组 得 或 ， 所以 （3）观察图象，当抛物线在直线的下方时，满足，即 （4）设， ， ，解得或（舍去）， ． 【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合，其中涉及待定系数法求解析式、二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 27．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 28．【答案】（1）     （2）顶点坐标为，对称轴为直线      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及从顶点式直接读取顶点坐标和对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点代入解析式求出参数即可； （2）由顶点式直接得出顶点坐标和对称轴即可． (1) 小问详解： 解：将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 29．【答案】（1），；（2）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】 本题考查解一元二次方程，二次函数的图象和性质： （1）利用公式法解方程即可； （2）根据抛物线的开口方向，对称轴公式，顶点坐标公式进行作答即可． 【详解】 解：（1）， ，，， ，    ， 即，； （2）， ， ∴抛物线开口向下， ， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． 30．【答案】（1）     （2）三根支杆的总造价最大值为2500元．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，且抛物线过点，进行计算，即可作答． （2）设Q点坐标为，的长度之和为L米，整理得，，故，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意知，大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米， ∴抛物线的顶点， 依题意，米，棚宽米，则米， ∴ 设抛物线的解析式为，且抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线的函数表达式 依题意，设Q点坐标为，的长度之和为L米， 则，， ∴， ∵， ∴开口向下． 当时，有最大值，最大值为， ∴三根支杆的长度之和的最大值为米． ∴． 答：三根支杆的总造价最大值为2500元． 31．【答案】9 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；先求二次函数的对称轴，再计算区间端点及顶点处的函数值，根据二次函数的开口方向分类讨论，利用最值列出方程求解即可． 【详解】 解：由二次函数可知对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，； 当时，开口向上，则最小值在处，即， ∵， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小，可知：最大值在处，即， ∴，， 故； 当时，开口向下，则最大值在处，即， 根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大可知：最小值在处，即， 解得，，故； 综上，； 故答案为9． 32．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即① 若，则函数图象开口向上．② 若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； (3) 小问详解： 解：① 若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ② 若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 根据题意得出，，，再结合抛物线的对称性得到，计算即可求出． 【详解】 解：由图可知，，， ． 故答案为：． 34．【答案】（1） 能围成一个面积为的矩形菜园． 理由：设，则， 根据题意，得， 解得，， 墙的最大长度a为， ， 解得， ， 能围成一个面积为的矩形菜园．     （2）AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为      【分析】 先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可； 根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，菜园的面积为， 由题意可得，， 由知：， 当时，该函数取得最大值，此时， 即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 35．【答案】 【分析】 本题考查二次函数在给定区间上的最值，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由于二次项系数为正，抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值，最大值在区间端点处取得，比较端点函数值即可得到最大值． 【详解】 解：二次函数的对称轴为， ， 抛物线开口向上，在对称轴上有最小值， 则在区间内，最小值在处，而最大值为端点函数值较大者， 当时，； 当时，； ， 当自变量满足时，函数的最大值为， 故答案为：． 36．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求最值等内容，解题的关键是掌握函数的图象和性质． （1）根据线段的长度，求出A、B的坐标为、，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点P的坐标可以表示为，然后表示出矩形的长和宽，根据面积公式列出二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出确定最值，求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵米，米，米，米， ∴米，米， 即A、B的坐标为、， 设直线AB的解析式为（）， 则 ， 解得 ， 则直线AB的解析式为； (2) 小问详解： 解：设点P的坐标可以表示为， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，S有最大值． 此时，， ∴． 37．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵轴于点，即， ∴四边形是矩形；     （2）当时，的值最大，最大值是8      【分析】 本题考查了矩形的判定，一次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点，求得关于m的表达式是解题的关键． （1）根据对边相等且平行的四边形为平行四边形，再结合轴，即可证得结论； （2）先求得点C的坐标，根据点P的坐标得到点E的坐标，从而得到点B的坐标，进而得出，然后根据，结合矩形的性质，可得关于m的表达式，最后利用二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，轴，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵直线与轴交于点， 令，则，解得， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∴当时，的值最大，最大值是8． 38．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图像与性质， （1）首先根据题意可知该二次函数的图像的对称轴为，即，求解即可获得答案； （2）结合（1）可知该函数图像开口向下,且对称轴为,顶点坐标为,进而可知在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，故当时，函数均在对称轴的同侧，然后分在对称轴的左侧和在对称轴的右侧两种情况，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，关于的二次函数的顶点横坐标是1， 即该二次函数的图像的对称轴为， ∴，解得， ∴该函数解析式为； (2) 小问详解： 结合（1）可知，， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为，顶点坐标为, ∴在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵当，函数有最大值，且， ∴当时，均在对称轴的同侧， ① 若在对称轴的左侧，可知，即， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）； ② 若在对称轴的右侧，可知， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）． 综上所述，当或时，该二次函数有最大值． 39．【答案】（1），     （2）     （3）①；②或．      【分析】 （1）当时，，故点B的坐标为，令，解得，即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）①，即可求解；② 列出函数表达式，利用函数的增减性求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，故点B的坐标为， 令，解得，故点A的坐标为； (2) 小问详解： 解：把，代入，得 ， 解得 ， ∴； (3) 小问详解： 解：① 设点，点， 则， ② 上式为点P在直线上方的情况，当点P在x轴的上方且在点B的右侧时， 令，解得或3， 故抛物线和x轴另外一个交点坐标， ， 由① 知，当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴； 当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴， 即或． 40．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】 解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 41．【答案】（1）     （2）这根管子的长度够用．      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先根据抛物线的对称性求得坐标轴，再根据二次函数的性质确定b的值即可解答； （2）由原抛物线解析式求得点A坐标，根据左侧抛物线顶点坐标设出解析式，将A坐标代入求得其解析式，再求出时y的值，再与即可解答． (1) 小问详解： 解：∵地面上有两根等长的立柱，，米． ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴对称轴为， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：对于，当时，， ∴点A坐标为， 由题意可知：立柱左侧绳子所在抛物线的顶点为，点E的横坐标为3， 设立柱左侧绳子所在抛物线的解析式为， 把点A坐标为代入得：，解得：， ∴， 当时，， ∴这根管子的长度够用． 42．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查了一次函数的综合、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）将代入可求出m的值，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）由题意可得，，，则，易得面积为，然后根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：将代入得：， ∴， ∴设直线的解析式为， 则 ，解得： ， ∴． (2) 小问详解： 解：如图：∵点在线段上，点在直线上， ∴，，， ∴， ∵面积为． ∴当时，面积取最大值，最大值为． 43．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）或      【分析】 （1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：① 如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．② 如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入抛物线得： ， ， ∴该抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． (3) 小问详解： 解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． (4) 小问详解： 解：① 如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，    ， ， ， ， ， ， ， ， ． ② 如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 44．【答案】（1）     （2）或     （3） ① 证明：将变形，得． 设点的坐标为． 根据平移的性质可知． 可知点的坐标为． ． ． 所以． ② 四边形的形状是正方形，理由： 根据题意可知，点的坐标为． 因为，，可得 ． 解得（舍去），． 所以点的坐标为，点的坐标为． 所以． 所以四边形的形状是正方形．      【分析】 本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时； （3）① 设点的坐标为，根据平移的性质可知，则，；② 因为，，可得 ． (1) 小问详解： 因为抛物线的图象经过点和点，可得 解得 所以抛物线对应的函数表达式为． (2) 小问详解： 抛物线的对称轴为，开口向上． （Ⅰ）当时． 时，取得最大值． 时，取得最小值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅱ）当时，即． 时，取得最小值． 时，取得最大值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅲ）当时，即． 时，取得最小值， 若时，取得最大值，得 ． 解得 ，（舍去）． 若时，取得最大值，得 ． 解得 （舍去），． 综上所述，或． (3) 小问详解： ① 略 ② 略 45．【答案】（1），     （2）时，面积有最大值     （3）     （4） 【分析】 （1）根据题意，抛物线（，为常数）经过点，且对称轴为直线，代入计算，即可求解，的值； （2）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，抛物线与轴的交点是、，求出点、的坐标，推出直线的函数，即可设、，根据得出二次函数，通过二次函数的图象即可求解； （3）根据题意作图，根据对称的性质得、，在中，利用勾股定理，求出，得．设，得，解得的值即可求解； （4）设点，则点和点的纵距为，与轴的交点为、，再分取值范围、、去绝对值符号，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线． 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时， 解得：或， 点在点左边， ，． 设经过点，点的函数解析式为， 得 ， 解得： ， 经过点，点的直线函数为． 设，，则， ， ∵， 当时，的面积最大． (3) 小问详解： 解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 在中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ． (4) 小问详解： 解：设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合运用，用待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，对称图形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中两点距离公式等知识点，理解题意、分类求解是解题关键． 46．【答案】（1）3     （2）①当或时，，当时，；②或      【分析】 （1）分别求出两个函数自变量为的函数值即可得到答案； （2）① 先求出，则当或时，，当时，，分别求出时，两个函数的函数值，再根据定义求解即可；②分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种情形，分别求出临界情形下m的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴与的“界距离”为； (2) 小问详解： 解：①联立 ，解得 或 ， ∴， 由函数图象可得，当或时，，当时，， 在中，当时， 在中，当时，， ∴当或时，， 当时，； ② 如图2-1所示，当时，则，此时与一定没有交点，不符合题意； 如图2-2所示，当，且点M恰好在抛物线的图象上时， ∴此时点Q和点M关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴倍的点Q到对称轴的距离， ∴， 解得或（舍去）； 如图2-3所示，当，且点N恰好在抛物线的图象上时， 同理可得点N的坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵当和时，点P和点Q重合， ∴， ∴当时，与有交点； 如图2-4，当时，且点M恰好在抛物线的图象上时， 同理可得倍的点Q到对称轴的距离， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，与有交点； 综上所述，当或时，与有交点． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，求一次函数和反比例函数值等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 47．【答案】（1）8     （2）c的值是4     （3）h的值为或6      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据题意，先求出，再将函数图象上所有点的“纵横值”表示为，即可列方程求解； （3）现将二次函数的解析式化为，然后将函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，令， 则，再根据对称轴的三种不同位置，分别列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：点的“纵横值”为． 故答案为：8． (2) 小问详解： 解：由已知得，， 解得， 二次函数的解析式为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 最优纵横值为5， ， ； (3) 小问详解： 解：二次函数的顶点在直线上， ， ， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 令， 则， 其对称轴为， 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，即， ， 此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去； 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上所述，h的值为或6． 48．【答案】 【分析】 先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得 ， 解得： ， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 49．【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）     （3）或     （4） 四边形是平行四边形，理由如下： 抛物线上的点平移得到点，由（1）知，抛物线向 左 平 移 个 单 位 ，再 向 上 平 移 个 单 位 得 到抛物线， ，即， 过作轴交抛物线于点， ， 抛物线过点， 抛物线上的点左平移个单位 ，再向上平移个单位得到抛物线上的点， ，， 四边形是平行四边形． 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质以及平移，平行四边形的判定，不等式，解题的关键是掌握相关知识． （1）设平移后的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由可得，根据题意得，，则，结合，即可判断； （3）由题意的，，则，结合，即可求解； （4）根据题意求出，，再根据坐标和抛物线的平移即可求解． (1) 小问详解： 设平移后的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为， 将点， 代入得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ， ， 点，都在抛物线：上， ，， ， ，， ，， ，即， ； (3) 小问详解： 设点的横坐标为，点在抛物线上， ， 轴交抛物线于点， ， ， ， ， 解得或； (4) 小问详解： 略 50．【答案】（1）     （2）①；；②；③或或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，新定义，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． （1）先由待定系数法求出，再由“从属函数”的定义即可求解； （2）① 先求出“从属函数”解析式，再与原函数联立解方程组即可求出交点坐标； ② 过E作轴交于点G，过A作轴交于点H，证明，则，设，则，则得到方程，解方程即可求解坐标； ③ 分三种情况讨论，构造“三垂直相似”进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象交x轴于点和点， ∴ ， 解得 ， ∴该二次函数的“从属函数”的表达式为； (2) 小问详解： 解：①的“从属函数”为                                                                                    ∴联立得 ∴ ， ∴，； ② 过E作轴交于点G，过A作轴交于点H， 对于抛物线，当时，则， 解得或 ∴， 把代入，则 ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴，（不在第二象限，舍去） ∴；        ③ 当时，此时记为点，如图： ∵， ∴， ∴当时，为钝角三角形； 当时，此时记为点 ∵， ∴， ∴当时，为钝角三角形； 当时，此时记为点，如图，过点作的垂线交于点M，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， 即横坐标为，横坐标为， 对于直线，当时，， 解得， ∴直线与轴交点， ∴当或时，为钝角三角形； 综上：的取值范围为：或或或． 51．【答案】（1）     （2）     （3）①；②3或      【分析】 （1）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （2）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （3）① 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，利用待定系数法求得的解析式，利用平移的性质和待定系数法求得点H的坐标，图象N的解析式，得到平移的距离，依据图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积，求得平行四边形的面积即可； ② 利用分类讨论的思想方法分：当直线与图象M只有一个交点时和当直线与图象M只有一个交点时两种情况讨论解答，将直线的解析式与抛物线的解析式分别联立，令即可求得m值． (1) 小问详解： 解：自变量x的“3阶维函数”的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵“1阶2维函数”表达式为、“4阶1维函数”表达式为、与“3阶0维函数”表达式为， ∵函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和， ∴． (3) 小问详解： 解：① 由（2）知：， ∴函数y的图象M上的最低点为， 则直线的解析式为， 令，则， ∴． ∵将图象M向右平移，保持最低点始终在直线上，点A平移到点H， ∴设， ∴图象N的解析式为， ∵点B在图象N上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴图象M向右平移了，向上平移了， ∴． 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，如图， 则图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积． 由题意：，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ② 设直线的解析式为， ∵点和， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 由题意得图像M解析式，图像N解析式， ∵直线与图象M、图象N都相交且只有3个交点， ∴直线与图象M只有一个交点或直线与图象N只有一个交点或经过点， 联立直线与图象M得， ∴， ∴， 联立直线与图象N得， ∴， ∴， 当直线与图象M只有一个交点时， ， ∴或， 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当直线与图象只有一个交点时， ， ∴， 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当直线经过图象和图象的交点时，，此时，直线与图象有两个交点，直线与图象有两个交点，符合题意； 综上，m的值为3或． 【点睛】 本题主要考查了函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，平移的性质，一次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 52．【答案】（1）     （2） ① 点不落在轴上，理由如下： 不妨设直线的表达式为：，代入， ， 解得 ， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∵点的横坐标为，点在线段上， ∴， ∵过作轴于， ∴， 过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点不落在轴上； ②；     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解题即可； （2）① 先求出直线的表达式为：，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，证明，四边形是矩形，推出，得到点坐标，即可判断；② 不妨设，同理，可得到，然后代入求值即可； （3）先求得，其开口向上，对称轴为，当时，取最小值，当时，时，；当时，；当时，时，；当时，，当时，时，；当时，，然后计算出答案即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 可知，直线的表达式为：，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，不妨设，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点落在该抛物线上， ∴， ∴或， ∵当时，点A与点P重合， ∴； (3) 小问详解： 解：∵抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为， ∴， ∴其开口向上，对称轴为，当时，取最小值， ∵当时，， 当时，时，；当时，， 那么有， ∴，， ∵， ∴； 当时，时，；当时，， 那么有， ∴，； 当时，时，；当时，， 那么有，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意； 综上，或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 53．【答案】（1）；     （2）；     （3）或；     （4）①；②或．      【分析】 （1）将，代入，用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式，再设点，，即可求出的长； （3）分别求出，，由求解即可； （4）① 先由对称轴求出点的对称点，再结合图象分类讨论即可； ② 分抛物线经过矩形的边的中点或抛物线经过矩形的边的中点，两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：把，代入中得， ，解得 ， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的函数表达式为，且， 对称轴为直线， ． 设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得 ， 直线的表达式为． 是第一象限抛物线上一点，且点横坐标为， ． 轴， ， ； (3) 小问详解： 解：，， ． 的面积为， ， 解得或， 当时，，； 当时，，． 当的面积为时，点坐标为或； (4) 小问详解： 解：① 点横坐标为，且对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为． i）如图，当时，， 此时，矩形的边与抛物线只有1个交点； ii）如图，当时，， 此时，矩形的边与抛物线只有2个交点； iii）如图，当时，要想矩形的边与抛物线有3个交点， 则，解得， ； iv）当时，则， 此时，矩形的边与抛物线只有2个交点； 综上所述，当矩形的边与抛物线有三个交点时，的取值范围为； ②i）当抛物线经过矩形的边的中点时，如图所示， 设的中点为，的中点为， 由（2）得，， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为． 又轴，且点横坐标为， 点的横坐标为， 点是抛物线上一点， 把代入得， ， ， ， 解得（负值舍去）； ii）当抛物线经过矩形的边的中点时，如图所示， 设的中点为， 由，点横坐标为， 点的横坐标为， 把代入得， ， ． 轴， 点的纵坐标等于点的纵坐标， 即， 解得（负值舍去）； 综上所述，当抛物线经过矩形某一边的中点时，的值为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积、矩形的性质，轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键． 54．【答案】（1）①；②，     （2），      【分析】 （1）① 先求出与轴交点为，，再根据求出面积即可． ② 设点，由，即，可得，即，得，再求出点的坐标即可． （2）先求出平移后的新的抛物线为，抛物线的对称轴为与轴交于S，作对称轴于，作轴于点，可证明 ，得，，得，设，， 得，作于点，，，在中，根据，得，再求出的值即可． (1) 小问详解： 解：① 由题可知：与轴相交于点，， ， 解之得：，， 即，， 当时，， ， ． ② 设抛物线上的点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ∴， (2) 小问详解： 解：化为顶点式 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得新的抛物线 即， ∴抛物线的对称轴为与轴交于S， 如图，作对称轴于，作轴于点， ， ∵四边形是矩形． ，， ， ，同理：， ，， ， ，， ， 设，， ，则，， ，作于点，，， 在中，，即， ∴， ∴， 又∵， 解之得或， ∴，． 【点睛】 本题是二次函数的综合应用题，主要考查了抛物线的平移，求与抛物线有关的三角形面积，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．作垂线构造全等三角形是解决问题的关键． 55．【答案】（1）     （2）     （3）①；② ；③．      【分析】 本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用、二次函数性质、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用“倍差函数”的定义求解即可； （2）设，由“倍差点”的定义可知，再根据点B的纵坐标为，列方程求得m的值，进而确定点A的坐标； （3）① 由题意可得：点，由“关于的倍差点”可得，再根据点与点重合，列关于m的方程求解即可；② 由① 可得：，，再根据二次函数的性质可得的对称轴为，然后分和两种情况，分别根据图形进和题意解答即可；③ 先画出图形，易得点D和点E在，且在，点F在；由二次函数的性质可得，进而得到，再结合，由题意可得，解方程可求得b的值，最后根据b的取值范围确定答案即可． (1) 小问详解： 解：由“倍差函数”定义可得：函数的“倍差函数”的函数表达式为： ，即． (2) 小问详解： 解：设， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点B的纵坐标为， ∴，解得：，即． (3) 小问详解： 解：① 由题意可得：点， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点与点重合， ∴，整理得：，解得：． ② 由① 可得：，， 由题意可得：函数的“倍差函数”， ∴的对称轴为， 如图：当时，则， ， ∴； 如图：当时，则， ， ∴； 综上， ． ③ 如图可知：点D和点E在，且在，点F在 ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵点E在，点F在， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴． 56．【答案】（1），     （2）存在，点P坐标为     （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或      【分析】 （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，将，代入中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ② 当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③ 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 57．【答案】（1），， ，     （2）① 证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ②     （3）      【分析】 （1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）① 先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ② 作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． (1) 小问详解： 解：联立二次函数与直线，得， ， 解得 或 ， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得 或 ， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵ ， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ① 当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴ ， 解得 ，这与矛盾，故舍去； ② 当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴ ， 解得 （负值舍去）， 综上所述，． 58．【答案】（1）抛物线的解析式为：     （2）①关于的解析式为 ② 点的坐标为或 ③或      【分析】 （1）首先根据点A，B在函数上求解点A，B的坐标，再代入抛物线中求解解析式即可； （2）① ：根据向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，写出点C的坐标为，再根据点在抛物线上，代入化简即可得到关于的解析式； ② ：首先根据平移写出点E的坐标，再根据结合勾股定理求解出的长，即可表示出点M的坐标，结合点M在抛物线上即可求解m的值，再求解点的坐标即可； ③ ：首先利用数形结合得到与抛物线只有一个公共点时的情况，当与的顶点相交时，根据抛物线的顶点坐标写出点的纵坐标即可求解此时m的值；当点在抛物线上时，根据平移写出点的坐标，利用点在抛物线上求解m的值，画图发现在范围内边与抛物线只有一个公共点，即可写出此时m的取值范围． (1) 小问详解： 解：对于函数，当时，，当时，, ∴点，， 将点、的坐标代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：① ：∵轴，函数的对称轴为轴， ∴点，关于轴对称， ∵，∴， ∵向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点为， 当点在抛物线上时，将代入得：， ∴，即关于的解析式为； ② ：∵，点，关于轴对称， ∴， ∵以为长构造长方形的宽， ∴， ∴，则，即， 在中，，， ∴， ∴， 将代入，得：，解得：， 又 当时， 当时， 综上：点的坐标为或； ③ ：情况一：当边与抛物线只有一个公共点时，即与的顶点相交， ∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点的纵坐标为5， ∴点的纵坐标为3， ∴，解得：， ∵， ∴此时； 情况二：当点在抛物线上时， ∵，且点在抛物线上， ∴， 即为，解得：， 当时，如图， 当时，如图， ∴当，边与抛物线只有一个公共点， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合题、平移的性质，根据平移的结果写出点的坐标是解题的关键． 59．【答案】（1）     （2）① 8；②或5     （3）或      【分析】 （1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）① 可证明二次函数和二次函数的图象都经过点C，则当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合，根据题意可得，则，据此可得答案；②当时，如图所示，连接， 可证明，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F，可证明都是等腰直角三角形，则可推出，进而得到，则，解得或（舍去）；同理可求出时，； （3）求出二次函数的顶点坐标为；当时， 点H一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧，根据函数的最小值为，得到点之间（含两点）的图象对应函数的最小值为，则点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于；当时，，此时点之间（含两点）的图象对应函数的最大值和最小值分别为点G和点H的纵坐标（二者纵坐标中，一个为最大值，另一个就为最小值），此时不符合题意；当时，此时点G一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧，同理可得点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于，据此求解即可； (1) 小问详解： 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， 在，中，当时，， ∴二次函数和二次函数的图象都经过点C， 又∵两个二次函数的图象都经过点B，且二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下， ∴当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合， 由题意得，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8； ②由（2）① 得， ∴， ∴， 当时，如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 由（2）① 可得， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 解得（舍去）或； 综上所述，或； (3) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，∵点H在函数的图象上， ∴， ∴， ∴此时， ∴此时点H一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧， ∴当时，点之间（含两点）的图象对应函数的最大值为，最小值为， ∵函数的最小值为， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最小值为， 又∵函数的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， ∵点之间（含两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于， ∴， 解得； 当时，， ∴此时点G和点H都在点C和点之间的函数图象上， ∴此时点之间（含两点）的图象对应函数的最大值和最小值分别为点G和点H的纵坐标（二者纵坐标中，一个为最大值，另一个就为最小值），此时不符合题意； 当时，， 此时点G一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧， ∴当时，点之间（含两点）的图象对应函数的最大值为，最小值为， ∵函数的最小值为， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最小值为， 又∵函数的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， ∵点之间（含两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于， ∴， 解得； 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 60．【答案】（1）     （2）①，．②的值为．③或      【分析】 （1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为． 答：． (2) 小问详解： 解：① ∵交轴于点，交轴于点， ∴ ，∴ ， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，．    ② ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为． ③ ∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图：    由题意得： ， ∴； 当，如图：    由题意得： ， ∴， 综上：或． 答：①，．②的值为．③或 【点睛】 本题考查新定义的理解与应用，二次函数解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，函数与方程的综合应用，分段函数的最值与取值范围，准确理解新定义是解题关键． 61．【答案】（1），；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）利用待定系数法，将点、的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解、的值． （2）先求出点坐标和直线的解析式，过作轴交于，通过相似三角形转化为，再将问题转化为求二次函数的最大值，进而确定点坐标． （3）先确定抛物线沿射线的平移规律，得到的解析式，再根据的条件，结合二次函数的性质求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：把，代入，得 ，即 解得，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴得， 令，则，即， 或， ． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 过作轴交于，设，则． ． 轴， ， ． ， ． 对于二次函数，，对称轴为． 当时，有最大值，此时点纵坐标为， ． (3) 小问详解： 解：抛物线， ∴抛物线的顶点为(1,4)， ∵，， ∴点向右平移3个单位，向下平移3个单位得， ∵将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点， ∴新抛物线：， 对称轴为． 当时，． 新抛物线：中，当时，， 解得或， 要使时恒成立，则点要在的下方， ∴或， 解得或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的待定系数法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、抛物线的平移及二次函数的单调性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 62．【答案】（1）；     （2）；     （3）①；②，      【分析】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，解题的关键是根据题意正确画出图形． （1）将，，代入，即可求解； （2）根据，算出的取值范围，即可得的取值范围； （3）① 过点作于点，过点作于点，得，根据对应边成比例，将点的纵坐标表示出来，代入抛物线的表达式中，即可求出点的坐标； ② 根据题意画出图形，判断点的位置即可求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：将，，代入，得 ，解得 ， ∴抛物线对应的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：， 又， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，取最大值，为． 当时，，解得，． ， ． 又∵当时，， ， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：① 如图，过点作于点，过点作于点， ∵点的横坐标为， ∴． ， ． ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得 ， ∴直线的解析式为． ， ． ，， ． ． ． ． ． 点的横坐标为， 在中，当时，， ． ． ． ． 代入，得，解得， ． ② 依题意得， 当时，， 如图，当点在点与之间时，线段与图象有两个交点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为． 抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为， 当时，， 解得， ． ，解得． 当时，，此时线段与图象有一个交点，不符合题意，舍去． 当时，， 如图，当点在点与之间时，线段与图象有两个交点， ，解得． 又， ． 综上所述，的取值范围为，． 63．【答案】（1）；     （2）①；②2或；③．      【分析】 （1）先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）① 作交于，交于点，先用勾股定理求出对应的边，接着运用平行相似证明，证明，得，得到，然后根据当有最大值时，取到最大值进行求解即可； ② 先在在线段上找中点，连接，利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先求出点和，再结合外角性质得到，推出中某角，进行分类讨论：（i），利用两直线平行斜率相等，分别求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程即可求出；（ii），先作交于，利用勾股求出，再利用相似得到，得到，运用距离坐标公式即可求出； ③ 先对配方得到顶点式，根据增减性分类讨论，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵已知直线与、轴交于点、点， ∴当时，，点； 当时，，点． ∵抛物线过点、点、点， ∴ ， 解得：，，． ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： ① 作交于，交于点， ∵点，点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，轴， ∴轴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当有最大值时，取到最大值． ∵点在上，点在上， 又∵点的横坐标为， ∴点，点． ∵点在点上方， ∴ ． ∴当时，有最大值为． ∴的最大值为：． ② ∵， ∴． ∵中某角， ∴分情况讨论：（i）；（ii）． 在线段上找中点，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）① 可得, ∴． ∵、点， ∴点，即点． 情况（i）：， ∵，， ∴． ∵设直线的解析式为：， 代入点，得，即， ∴直线的解析式为：． ∵设直线的解析式为：， 代入点、点， 得： 整理得：． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，解得． 情况（ii）：， 作交于． ∵， ∵，，， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵点，点， ∴， ， ， ， ． ∵由（2）可得，， ∴， ． ∵在和中， ， ∴． ∴， ∴，即． ∴， ， ． 又∵， ∴， ， ， 解得：，（舍）． 综上：或． ③ 对函数配方： ， ， ， ， ∴顶点为，当时，． ∴当点在对称轴的左边时，随的增大而增大； 当点在对称轴的右边时，随的增大而减小． 分情况讨论： 情况（i）：在对称轴的左边，且，即， ∵， ∴． ∵由，得． ∴当时，（舍）； 当时，，代入函数得：， ，即， 解得，即（舍），． 情况（ii）：在对称轴的右边，且，即， ∴当时，； 当时，． 又∵， ∴， ， ， 解得：（舍），（舍）． 综上：． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，包含的考点有二次函数的待定系数法、一次函数的图像与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，掌握数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．B 2．C 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．【答案】 【分析】 本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答． 【详解】 解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为： 9．【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，牢记解一元二次方程得出的值为直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 由方程的解可得出二次函数图象与直线的交点坐标． 【详解】 解：由题意，点在二次函数上， 即当或时，函数值， ∴方程的两个根为和， 故答案为：，． 10．【答案】且 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】 解：当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有两个公共点， ∴， ∴． 故答案为：且． 11．【答案】， 【分析】 此题考查了抛物线与轴的交点，利用了数形结合的数学思想，其中抛物线与轴的交点的横坐标即为抛物线解析式中得到关于的一元二次方程的解，熟练掌握此性质是解本题的关键． 由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，进而可得答案． 【详解】 解：由二次函数的图象可知： 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 则一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得 ， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 13．【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，正确列出方程，结合图象是解题的关键． （1）利用求得点的坐标，将点的坐标代入即可解答； （2）求得抛物线的顶点，根据图象即可解答； （3）① 求得，列方程求得点和点的坐标，利用二次函数的性质列不等式即可解答； ② 得到点M在直线上，即，列方程求得与的交点即可解答． (1) 小问详解： 解：令中，则， ， 把代入得： ， 解得， ； (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 当直线经过两抛物线的顶点时，与函数有两个交点， ∴直线与函数有三个交点时，； (3) 小问详解： 解：①由平移得， 由得， 解得，， 把代入可得， 把代入可得， ∴点，， 当时， 解得：，（舍）， 则当时，直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化 ∴m的取值范围是； ②， ∴点M在直线上，即， 由， 解得：， 把代入， 可得或， 由， 解得，不在B，C两点之间，不合题意， ∴m的取值范围是． 考点05 实际问题与二次函数 1．B 2．D 3．B 4．【答案】（1）这个二次函数的解析式为     （2）这名男同学比赛时的成绩是米      【分析】 （1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解． （2）由（1）求得的函数解析式，令y＝0，求得的x的正值即为铅球推出的距离． (1) 小问详解： 解：（1）设二次函数的解析式为， 由于顶点坐标为， ∴． 又A在抛物线上， ∴， 解得： ． ∴二次函数的解析式为， 整理得：． ∴这个二次函数的解析式是； (2) 小问详解： 解：当时，． ∴， （不合题意，舍去）． 答：这名男同学比赛时的成绩是米． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解答本题的关键． 5．【答案】（1）；     （2）每个飞机模型需要上涨元．      【分析】 本题考查利润问题的实际应用，运用函数建模与方程思想，关键是根据 “利润（售价成本）销量” 建立关系，易错点是售价上涨与销量减少的数量对应错误、利润公式中成本的遗漏； （1）根据售价上涨金额计算销量减少量，再求实际销量与利润； （2）设上涨金额为未知数，结合利润公式列方程，结合 “让顾客实惠” 的条件取较小的上涨值． (1) 小问详解： 解：（1）（个）， （元）． (2) 小问详解： 设：每个飞机模型需要上涨x元．        依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又因为希望让顾客得到更多的实惠 所以， 答：每个飞机模型需要上涨元． 6．【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】 解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 7．【答案】任务一：；任务二：不会撞到障碍物 【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】 解：任务一：将、代入 得： ， 解得： 关于的函数解析式为， 任务二：不会 ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 8．【答案】（1）每件衬衫应降价元     （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． (1) 小问详解： 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． (2) 小问详解： 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 9．【答案】（1）的值为12或24     （2）花园面积的最大值为      【分析】 本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出，根据矩形面积得到，把代入得到，解方程即可； （2）将变形为，利用二次函数求最值． (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴． 由题可知，， ∴． ∴． 当时，， 解得，． 答：的值为12或24． (2) 小问详解： 解：将变形为． 由函数表达式可知，关于的二次函数图象开口向下，当时，随的增大而减小． ∵， ∴当时最大． 把代入得， 答：花园面积的最大值为． 10．【答案】（1）；     （2）该球不能射进球门；     （3）的取值范围是．      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （）当时，求出的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （）该球员带球向正后方移动再射门，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点和点代入求出得的值，从而确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴该球不能射进球门； (3) 小问详解： 解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得（舍去）或， 把点代入，得．解得（舍去）或， ∴的取值范围是． 11．【答案】（1）抛物线的函数解析式为     （2）最多可摆放6个拉杆箱      【分析】 本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． (1) 小问详解： 解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 12．【答案】（1）     （2）见解析     （3）50      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据所给等式可得结论； （2）设其中一个正数为，则另一个正数为，积为，根据二次函数图象与性质可得结论； （3）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意得：积最大的是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设其中一个正数为，则另一个正数为，积为， ∵ ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 即当时，积最大，此时积为， ∴当两个数相等时，乘积最大． (3) 小问详解： 解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵， 根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 13．【答案】（1）抛物线的表达式为；     （2）点的坐标为．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出函数解析式． （1）设抛物线的表达式为，由题意得，再代入求解即可； （2）设，由题意得，四边形为矩形，则，，再由建立方程求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为，由题意得，        代入抛物线表达式为， 解得，        抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：点在抛物线上， 设，由题意得，四边形为矩形，， 轴， ，        由题意得，，        解得，（舍），        当时，， ∴点的坐标为． 14．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据利润等于单个商品的利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【详解】 解：设每个商品降价元，则每个商品的利润为元，每天销量为个， ∴， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 15．【答案】（1）     （2）种植户平整出宽4米的土地不够用，理由： ∵， ， ， ， ∵形状相同且E为顶点， ∴设新棚顶的抛物线解析式为， ， 令，， 解得（舍去）， ， ， ， ∴种植户平整出宽4米的土地不够用．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，根据形状相同，可以求得新棚顶的抛物线解析式，将代入新抛物线解析式，求得点的坐标，即可求得． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ； (2) 小问详解： 略 16．【答案】（1）     （2）小明在这次投掷中得到了满分，理由： 当时, ， 解得： （舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （2）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． (1) 小问详解： 解：由题意可知,抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得： 解得：， ∴ 抛物线的关系式为； (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1）（，且为整数）     （2）存放90天后出售这批大蒜可获得最大利润9900元      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据函数关系式求出以及最值公式求出是解题关键； （1）根据等量关系“销售总金额（市场价格存放天数）（原购入量存放天数）”列出函数关系式； （2）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式并求最大值． (1) 小问详解： 解：由题意与之间的函数关系式为： （，且为整数）； (2) 小问详解： 解：设利润为，由题意得 ， 开口向下，，在对称轴是直线的左侧， 所以，随着的增大而增大， 时，元． 答：存放90天后出售这批大蒜可获得最大利润9900元． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 19．【答案】（1）水面宽度减少值为．     （2）故水面下降，水位变化量为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的建模（建立平面直角坐标系、求解析式）是解题的关键． （1）针对四个小组的建模思路，均通过建立平面直角坐标系，确定抛物线的顶点或过点坐标，求出抛物线解析式，再根据水面上涨后的纵坐标求出对应水面宽度，进而计算宽度减少的值． （2）根据水面宽度求出对应纵坐标，与原水面纵坐标比较判断水位升降并计算变化量． (1) 小问详解： 解：小组一建模（以顶点为原点，抛物线对称轴为轴）， 以为原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系，则，原水面距拱顶，故所在直线，，则，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，水面所在直线，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． （1）小组二建模（以中点为原点，所在直线为轴） 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组三建模（以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴）， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，拱顶． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得或， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴） 以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设， ，则 ， ∵原水面距拱顶，故 ∴原水面所在直线，， ∴，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 又因原水面过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知，即． 水面宽度减少值为． (2) 小问详解： 解：以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为时，，代入得， 原水面，，故水面下降． 水位变化量为． 20．【答案】（1）函数表达式为，自变量x的取值范围     （2） 解：当时，， 整理，得：， ∵， ∴方程没有实数根， 所以矩形花园的面积不能达到．      【分析】 本题考查了二次函数的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解． （1）设的长为，先表示出边长，进而表示面积，得出关系式，再结合求出自变量x的取值范围； （2）把代入关系式求出x值，注意检验根的合理性； (1) 小问详解： 解：设的长为，则， ， ∵由题意得： ， 解得：； (2) 小问详解： 略 21．【答案】（1）     （2） 解：由（1）知， 桥墩之间的距离， 、， 则当时，；当时，； 、， ， 设，则，， 矩形宣传牌的面积为18， ，则， 解得或（舍去）， 即，， 则点的横坐标为， 当时，， ，， 到轴的距离， 故能安装上符合要求的宣传牌．      【分析】 本题考查二次函数解应用题，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的函数解析式，根据题意求出广告牌长与宽，再比较点是否在抛物线型彩虹桥下方，进而确定答案． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 道路的宽为30， ， 则，解得， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1）     （2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆     （3）① 定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；② 售价定为元时，每天能够获得最大利润      售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 【分析】 （1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，进行求解即可； （3）① 设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ② 设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； (3) 小问详解： ① 设：定价应为元，由题意，得： ， 整理得：， 解得：， ∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润； ② 设每天的利润为，由题意，得： ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为元． 答：售价定为元时，每天能够获得最大利润． 【点睛】 本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． 23．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 24．【答案】（1）y关于x的函数表达式为；     （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分．      【分析】 （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 25．【答案】（1）     （2）当一个团队有55人报名时，旅行社收到报名总费用最多，最多是6050元      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，最大利润问题(一次函数的实际应用)，销售问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设当时，y与x之间的函数关系式为，把，代入求得 即可得出y与x之间的函数关系式； （2）设旅行社收到报名总费用为w元，分、两种情况，分别求出w的最大值，比较后作出结论． (1) 小问详解： 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：设旅行社收到报名总费用为w元， 当时，， ∵， ∴当时，w取最大值（元）； 当时，， ∵， ∴当时，w取最大值6050， ∵， ∴当一个团队有55人报名时，旅行社收到报名总费用最多，最多是6050元． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识． ()利用待定系数法求出函数解析式即可； () 求出当时，，，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ∴ 解得：， ∴所在抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： ∵点到的距离均为， 当时，， ， ∴， ∴这两条灯带的总长为． 27．【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设与的函数表达式为，将和代入计算即可得出结果； （2）根据利润（单价进价）销售量即可得出与的函数表达式； （3）根据题意得出利润关于的关系式，再由二次函数的性质即可得出结果． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 将和代入可得 ， 解得： ， ∴与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴与的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：由题意可得， 利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，利润有最大值为， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 解得， 当时，，超出自变量的取值范围，舍去， 当时，，符合题意； 故的值为． 28．【答案】（1）8     （2）当x为米时，苗圃的最大面积为平方米      【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得的长为米；根据题意得，，即可解得x的值； （2）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米， ∴的长为米， 根据题意得，， 解得，或， ∵当时，（不合题意，舍去）； 当时，（符合题意） ∴的值为； (2) 小问详解： 解：设苗圃的面积为， ， ∵， ∴， ∵，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃的最大面积为平方米． 29．【答案】（1）     （2） 一艘宽为，高出水面的货船，能从桥下通过， 理由：∵抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为， ∵一艘宽为，高出水面的货船行驶时航线在正中间， ∴当时， ， 所以一艘宽为，高出水面的货船，能从桥下通过．      【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，熟练地把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键． （1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）先求出该抛物线的对称轴为，再把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为， 把代入抛物线的解析式得 ， 解得 ， 所以抛物线为； (2) 小问详解： 略 30．【答案】0.2 【分析】 本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】 解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 31．【答案】任务一：民宿宣传海报边框的宽为；任务二：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元 【分析】 本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式及一元二次方程是解题的关键． 任务一：设民宿宣传海报边框的宽为，根据长方形面积公式列一元二次方程，解方程即可； 任务二：设每天民宿纯收入为元，列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解． 【详解】 解：任务一：设民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． 任务二：设每天民宿纯收入为元，由题意可得： ． ， 抛物线开口向下，有最大值， 当时，最大，此时每间客房的定价应为（元）． 答：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元． 32．【答案】（1）20% （2）该零件的实际售价应定为元． （3）售价定为元时，月销售利润最大，最大为元． 【分析】 本题主要考查一元二次方程，一次函数和二次函数的图象和性质： （1）设平均增长率为，根据题意可得． （2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，采用待定系数法可求得函数表达式； （3）月销售利润是售价的二次函数，根据二次函数图象的性质即可求得答案． 【详解】 （1）设平均增长率为，根据题意可得 ． 解得 ，（舍去）． 故答案为： （2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，设一次函数表达式为． 因为售价每上涨1元，月销售量将减少10个，则售价为元时，月销量（个），所以，点和在函数图象上，可得 解得 所以，月销售量与零件售价之间的函数表达式为． 所以，月销售利润． 根据题意，得 ． 解得 ，． 因为尽可能让车企得到实惠，所以该零件的实际售价应定为元． 答：该零件的实际售价应定为元． （3）根据题意，得 ． 该二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值，． 答：售价定为元时，月销售利润最大，最大为元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 【答案】（1）；     （2）围成面积为的花圃，的长为米      【分析】 本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用； （1）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出与的函数关系式； （2）根据（1）的函数关系式，将代入其中，求出的值即可． (1) 小问详解： 解：依题意得，， ∴， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴，即，解得：， ∴x的取值范围是：； (2) 小问详解： 当时，，解得：，， ∵， ∴，即， ∴要围成面积为的花圃，的长为米． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）下列对抛物线的描述不正确的是（          ） A. 开口向下 B. y有最大值 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，二次函数开口向上，有最小值，当时，二次函数开口向下，有最大值，据此逐一判断即可． 【详解】 解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴y有最大值， ∴四个选项中只有D选项描述错误，符合题意， 故选D． 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】 解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 3．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）抛物线y＝2（x+4）2+3的顶点坐标是（　　） A. （0，1） B. （1，5） C. （4，3） D. （﹣4，3） 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决. 【详解】抛物线， 该抛物线的顶点坐标为. 故选：. 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答. 4．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，根据抛物线的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 5．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】 解：图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（       ） A. y＝（x＋3）2＋3 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋2）2＋1 D. y＝（x＋3）2＋1 【答案】A 【分析】 根据题意可得向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后为 ，即可求解． 【详解】 解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为 ， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后为 ， ∴将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到抛物线y＝（x＋3）2＋3 故选：A 【点睛】 本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线平移的规律是解题的关键． 7．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式  的顶点坐标为  是解题关键． 根据二次函数的顶点式  的顶点坐标为 ，直接读取函数中的  和  值． 【详解】 ∵ 抛物线为 ，与顶点式  对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 8．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移， 根据二次函数的图象的平移规律解答即可．对于二次函数可根据“上加，下减，左加，右减”平移． 【详解】 将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为． 故选：D． 9．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）抛物线的对称轴是（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【分析】 此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为．变形为顶点式，然后根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴． 【详解】 解：， 对称轴为． 故选：A． 10．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移法则是关键． 根据题意求将抛物线向左平移2个单位长度得到新解析式，再将点代入即可求解． 【详解】 解：抛物线向左平移2个单位长度可得， 把点代入， 可得， 则原抛物线的解析式为， 故选：B． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）对于二次函数的图象，则下列结论不正确的是（     ） A. 顶点坐标为 B. 与轴有两个交点 C. 函数有最小值2 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】 解：∵二次函数 是顶点形式，顶点为 ，∴A正确； 令，得，即，无实数解，∴与x轴无交点，B错误； ∵，开口向上，∴函数有最小值2，C正确； 对称轴为直线，当时，y 随x增大而减小，∵在对称轴左边，∴D正确； 故选：B． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（　　） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向下平移3个单位长度 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，将抛物线向下平移3个单位长度可得到； 故选：D． 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得平移后的解析式． 【详解】 解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为， 即， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律． 14．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可. 【详解】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知， 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位， 则平移后的抛物线的表达式为y＝. 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象与几何变换是解题的关键. 15．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数的顶点式，判断开口方向及对称轴，利用二次函数的性质，通过比较各点横坐标与对称轴的距离即可确定函数值的大小；本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握“开口向下时，距离对称轴越近的点，函数值越大”是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为，， ∴ 抛物线开口向下，顶点为最大值点； ∵点，，的横坐标与对称轴的距离分别为： ，，， ∴， ∵开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大， ∴． 故选： C． 16．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象平移变换，掌握二次函数的平移规律“上加下减、左加右减”是解题的关键． 根据二次函数的平移变换的规律求解即可． 【详解】 解：根据二次函数的平移变换的规律可得：将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为． 故选B． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）把二次函数y=3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是(       ) A. y=3（x-1）2+2 B. y=3（x+1）2-2 C. y=3（x-1）2-2 D. y=3（x+1）2+2 【答案】D 【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题． 【详解】解：∵二次函数y=3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴y=3（x+1）2+2． 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 18．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，根据三个点的横坐标分别计算出它们所对应的纵坐标，根据计算结果比较大小． 【详解】 解： 抛物线， 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； ， ， 即 ． 故选：D． 19．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 20．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】 解：∵将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位， ∴得到新抛物线的解析式是， 故答案为：． 21．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）对于二次函数，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】 解：∵二次函数，，对称轴为y轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】 将二次函数的顶点式化为一般式，确定二次函数的系数，由此即可求解． 【详解】 解：，，，， ∴选项，开口向上，故选项错误； 选项，对称轴为，故选项错误； 选项，顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为，故选项错误； 选项，开口向上，对称轴为，在对称轴坐标时，随的增大而减小，故选项正确． 故选：． 【点睛】 本题主要考查二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数中图像的性质与系数的关系是解题的关键． 2．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象经过点，故把代入，得，解得，即可作答． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入，得， 解得， 故选：C． 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（     ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【详解】 根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 4．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：抛物线的开口向上，；对称轴在轴右侧，，异号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得的符号，根据对称轴在轴的哪侧可得的符号，根据抛物线与轴的交点可得的符号． 【详解】 解：抛物线开口向下 ∴， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴ ， 抛物线与轴交于正半轴， ∴． 故选：D． 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭）如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数综合问题；根据，有，可设点、的坐标为，代入解析式，即可解得答案． 【详解】 解：，则是等腰直角三角形 ， 可设点、， 把代入，得 即， ， ，即． 故选：A． 6．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 此题主要考查二次函数图象与系数的关系．关键是掌握二次函数，①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即)，对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即)，对称轴在y轴右侧（左同右异）；当时，对称轴为y轴；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，据此即可求解． 【详解】 解：因为抛物线开口向上， 所以； 因为对称轴在y轴右侧， 所以，即； 因为抛物线与y轴交于负半轴， 所以． 故选：D． 7．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 8．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】 解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 9．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ） 0 1 2 3 1 3 4 3 A.  B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 【答案】B 【分析】 本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，熟记二次函数图象与性质并逐一分析各选项是解本题的关键． 【详解】 解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，函数值相同，即，故A选项正确，不符合题意； ∵ 当时，， ∴ 顶点坐标为，故C选项正确，不符合题意； ∴当时，函数值， ∴ 抛物线开口向下，故D选项正确，不符合题意； ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误，符合题意； 故选：B 10．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值7，最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，最小值 D. 有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 11．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据对称轴求出顶点坐标． 根据抛物线的图象及性质可知当时，有最大值4，当时，，关于直线的对称点为，据此即可求解． 【详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，有最大值4， 当时，， 关于直线的对称点为， ∵当时，有最大值4，最小值， ∴， 故选：B． 12．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，其对称轴是直线，则以下四个结论中：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．正确的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质即可判断① ② ③ ，再由一元二次方程解的情况可以看作函数图象的交点个数判断④ 即可得到答案． 【详解】 解：① 由于抛物线的开口向下，则，故① 正确； ②抛物线对称轴为直线， ，故② 正确； ③抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，故③ 错误； ④ 关于的一元二次方程解的情况，可以看作抛物线与直线的交点个数， 如图所示： 抛物线与直线有两个不同的交点， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④ 正确； 综上所述，四个结论中正确的是① ② ④ ，共个， 故选：C． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线的对称性和开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先根据抛物线的对称轴和已知点，找到对应的点，再结合抛物线开口方向确定时的范围． 【详解】 解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 14．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】 解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有① ② ③ ④共4个， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 15．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据，利用二次函数的对称性、开口方向及根的存在性判断各结论即可． 【详解】 解：∵当时，，且中时， ∴，故②正确； ∵当和时，，且函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，故③正确； ∵对称轴为直线，且值随增大先减后增（从到，从减至；从到，从增至）， ∴抛物线开口向上，即，故①正确； ∵当时，时， ∴方程 在内有一根，即； ∵当时，时， ∴在内有一根，即，故④正确； 因此，所有结论正确； 故选：D． 16．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；其中正确的有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为x==1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，则m≠1，可判断③ ；根据图象AD=BD，顶点坐标，判断④ ． 【详解】解：① ∵二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）． ∴二次函数的对称轴为x==1，即=1， ∴2a+b=0． 故①正确； ② ∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）． ∴a-b+c=0，9a+3b+c=0． 又∵b=-2a． ∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0． ∴3b=-6a，2c=-6a． ∴2c=3b． 故②错误； ③ ∵抛物线开口向上，对称轴是x=1． ∴x=1时，二次函数有最小值． ∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c． 即a+b＜am2+bm． 故③正确； ④ ∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形． ∴AD2+BD2=42． 解得，AD2=8． 设点D坐标为（1，y）． 则[1-（-1）]2+y2=AD2． 解得y=±2． ∵点D在x轴下方． ∴点D为（1，-2）． ∵二次函数的顶点D为（1，-2），过点A（-1，0）． 设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2． ∴0=a（-1-1）2-2． 解得a=． 故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）二次函数的图像如图所示，其对称轴为，图像经过点，与轴负半轴交于点，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 点的坐标为 D. 若，两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图像可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，，故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故选项B正确，不符合题意； ∵抛物线与的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴点，故选项C正确，不符合题意； 若，两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧， 得到：，，，， A、，，，得，故选项错误，不符合题意； B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意； C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意； D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定． 19．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【分析】 根据抛物线与x轴的交点情况判断① ，根据对称轴判断② ，根据抛物线的对称性判断③ 、④ ． 【详解】 解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故① 正确； 由图象可知：对称轴， ∴，故② 错误； 由图象可知：对称轴为， ∵， ∴可知点C离对称轴的距离比点B离对称轴的距离要远， ∴，故③ 正确； ∵点A(-3，0)，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)， ∴把点(1，0)代入解析式可得，故④ 错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查二次函数图像与各项系数的关系，解题的关键是熟知二次函数图像、性质及各项系数之间的关系． 20．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的最大值， 根据抛物线的对称轴是解答① ；先确定抛物线与x轴的另一个交点是，可得，再根据对称轴可得，进而得出，然后根据解答② ；根据抛物线的开口方向和对称轴可得点离对称轴越近函数值越大，当时，函数值y随着x的增大而增大，解答③ ④ ；根据直线经过点，可得，由上述知，进而得出，再根据可得关系式，再讨论极值即可说明⑤ ，则此可解． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴是， ∴，则① 不正确； ∵抛物线与x的一个交点为且对称轴是， ∴另一个交点是． 当时，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，则② 正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是， ∴点离对称轴越近函数值越大，当时，函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴，则③ ④ 正确； ∵直线经过点， ∴， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值，则⑤ 正确， 所以正确的有4个． 故选：C． 21．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，，其中正确的结论有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点在轴正半轴，可知；根据抛物线的对称轴是，可知；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点坐标是，所以当时，有；根据图象可知当时，抛物线的图象在轴上方，所以当时，． 【详解】 解：抛物线与轴的交点在轴的正半轴， 当时，， 故正确， 抛物线的对称轴是， ， ， 故正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是， 抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 当时，， 故错误； 由图象可知，当时，抛物线的图象在轴上方， 当时，， 故正确； 正确的结论有． 故选：C． 22．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于的方程的一个根．其中正确结论的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与一元二次方程的关系，根据二次函数图象判断式子的符号，抛物线的对称性质等． 由图象可得，，即可判断① ；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断② ；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③ ；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交y轴于正半轴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， 将代入，得：， 故② 正确； ∵， ∴， 将代入，得：， ∴， 将代入，得：， ∴，即， ∴，故③ 错误； ∵抛物线经过点， ∴点D关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ，共3个， 故选：C． 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 24．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）若抛物线的对称轴是直线，则　　　　　　　　　　　； 【答案】2 【分析】 该题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴公式求解． 【详解】 解：对于二次函数，其对称轴为直线 ， 本题中，函数为 ，因此 ，． 给定对称轴为，代入公式得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：2． 25．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）二次函数的对称轴为直线　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质．根据对称轴方程解答即可是解题的关键． 【详解】 解：二次函数的对称轴为直线， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点的坐标为．    （1）求直线的表达式及抛物线的表达式． （2）求点的坐标． （3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出的取值范围． （4）若抛物线上有一点（在第一象限内），使得，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】 （1）设直线AB解析式为，代入点A、B的坐标，由待定系数法解题，再将点B代入抛物线的解析式即可解题； （2）图形的交点即是两个解析式方程的公共解，联立两个解析式转化成解一元二次方程，从而确定点C的坐标； （3）观察图象，交点B、C将两个图象分成三个区域，当时，即抛物线在直线的下方，据此解题； （4）设，根据题意，由三角形面积即一元二次方程解题即可． 【详解】 解：（1）设直线的解析式为， 把，代入得 ，解得 所以直线的解析式为； 把代入得， 所以抛物线解析式为； （2）解方程组 得 或 ， 所以 （3）观察图象，当抛物线在直线的下方时，满足，即 （4）设， ， ，解得或（舍去）， ． 【点睛】 本题考查二次函数与一次函数的综合，其中涉及待定系数法求解析式、二元一次方程组的解法、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 27．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】 解：在中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）     （2）顶点坐标为，对称轴为直线      【分析】 本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及从顶点式直接读取顶点坐标和对称轴，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点代入解析式求出参数即可； （2）由顶点式直接得出顶点坐标和对称轴即可． (1) 小问详解： 解：将点代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 29．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）（1）解方程：； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】（1），；（2）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】 本题考查解一元二次方程，二次函数的图象和性质： （1）利用公式法解方程即可； （2）根据抛物线的开口方向，对称轴公式，顶点坐标公式进行作答即可． 【详解】 解：（1）， ，，， ，    ， 即，； （2）， ， ∴抛物线开口向下， ， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为． 30．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）某蔬菜种植基地计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，其中蔬菜大棚的横截面由抛物线和矩形构成．如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离米，支撑杆米，棚宽米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装两根关于y轴对称的支撑柱，在两根支撑柱上架横梁．已知这种支杆材料的价格是每米200元，求三根支杆的总造价最大值． 【答案】（1）     （2）三根支杆的总造价最大值为2500元．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，且抛物线过点，进行计算，即可作答． （2）设Q点坐标为，的长度之和为L米，整理得，，故，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． (1) 小问详解： 解：依题意知，大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米， ∴抛物线的顶点， 依题意，米，棚宽米，则米， ∴ 设抛物线的解析式为，且抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线的函数表达式 依题意，设Q点坐标为，的长度之和为L米， 则，， ∴， ∵， ∴开口向下． 当时，有最大值，最大值为， ∴三根支杆的长度之和的最大值为米． ∴． 答：三根支杆的总造价最大值为2500元． 31．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；先求二次函数的对称轴，再计算区间端点及顶点处的函数值，根据二次函数的开口方向分类讨论，利用最值列出方程求解即可． 【详解】 解：由二次函数可知对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，； 当时，开口向上，则最小值在处，即， ∵， ∴根据开口向上，离对称轴越近，其对应的函数值也就越小，可知：最大值在处，即， ∴，， 故； 当时，开口向下，则最大值在处，即， 根据开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大可知：最小值在处，即， 解得，，故； 综上，； 故答案为9． 32．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答． （2）先整理，故图象的对称轴为直线，结合．故当时，最小，当时，，列式，即可作答． （3）进行分类讨论，即① 若，则函数图象开口向上．② 若，则函数图象开口向下，再结合二次函数的图象性质，进行分析列式，即可作答． (1) 小问详解： 解： ， 当时，， ， ． 该函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又． 当时，最小， ∵ ∴当时，， ∴． ． ； (3) 小问详解： 解：① 若，则函数图象开口向上． 又对称轴为直线， 当时，随的增大而增大． ∴点在对称轴的右侧． 又对于，都有， ， ． ② 若，则函数图象开口向下， ∴点在对称轴的左侧． 对称轴为直线 当或时函数值相等． 又对于，都有， ， ． 综上：或． 33．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，直线从左至右交抛物线于点．且两条抛物线的顶点都在直线上，均平行于轴．已知，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 根据题意得出，，，再结合抛物线的对称性得到，计算即可求出． 【详解】 解：由图可知，，， ． 故答案为：． 34．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． （1）能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由； （2）的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 【答案】（1） 能围成一个面积为的矩形菜园． 理由：设，则， 根据题意，得， 解得，， 墙的最大长度a为， ， 解得， ， 能围成一个面积为的矩形菜园．     （2）AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为      【分析】 先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可； 根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，菜园的面积为， 由题意可得，， 由知：， 当时，该函数取得最大值，此时， 即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 35．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）已知二次函数，当自变量满足时，函数的最大值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数在给定区间上的最值，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 由于二次项系数为正，抛物线开口向上，函数在对称轴处取得最小值，最大值在区间端点处取得，比较端点函数值即可得到最大值． 【详解】 解：二次函数的对称轴为， ， 抛物线开口向上，在对称轴上有最小值， 则在区间内，最小值在处，而最大值为端点函数值较大者， 当时，； 当时，； ， 当自变量满足时，函数的最大值为， 故答案为：． 36．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． （1）求直线的解析式． （2）设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． （3）求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求最值等内容，解题的关键是掌握函数的图象和性质． （1）根据线段的长度，求出A、B的坐标为、，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点P的坐标可以表示为，然后表示出矩形的长和宽，根据面积公式列出二次函数解析式即可； （3）利用二次函数的性质求出确定最值，求出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵米，米，米，米， ∴米，米， 即A、B的坐标为、， 设直线AB的解析式为（）， 则 ， 解得 ， 则直线AB的解析式为； (2) 小问详解： 解：设点P的坐标可以表示为， ∴，， ∴； (3) 小问详解： 解：由（2）得，， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当时，S有最大值． 此时，， ∴． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵轴于点，即， ∴四边形是矩形；     （2）当时，的值最大，最大值是8      【分析】 本题考查了矩形的判定，一次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点，求得关于m的表达式是解题的关键． （1）根据对边相等且平行的四边形为平行四边形，再结合轴，即可证得结论； （2）先求得点C的坐标，根据点P的坐标得到点E的坐标，从而得到点B的坐标，进而得出，然后根据，结合矩形的性质，可得关于m的表达式，最后利用二次函数的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵，轴，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵直线与轴交于点， 令，则，解得， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∴当时，的值最大，最大值是8． 38．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数有最大值，求的值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图像与性质， （1）首先根据题意可知该二次函数的图像的对称轴为，即，求解即可获得答案； （2）结合（1）可知该函数图像开口向下,且对称轴为,顶点坐标为,进而可知在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，故当时，函数均在对称轴的同侧，然后分在对称轴的左侧和在对称轴的右侧两种情况，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，关于的二次函数的顶点横坐标是1， 即该二次函数的图像的对称轴为， ∴，解得， ∴该函数解析式为； (2) 小问详解： 结合（1）可知，， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为，顶点坐标为, ∴在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵当，函数有最大值，且， ∴当时，均在对称轴的同侧， ① 若在对称轴的左侧，可知，即， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）； ② 若在对称轴的右侧，可知， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）． 综上所述，当或时，该二次函数有最大值． 39．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2． （1）点A坐标为 _____，点B坐标为_____． （2）求此抛物线所对应的函数解析式． （3）点P是抛物线上一点，点P与点B不重合，设点P的横坐标为m，过点P作轴，交直线于点C，设的长为h． ①若点P在直线的上方，求h关于m的函数解析式； ②若点P在x轴的上方，当h随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），     （2）     （3）①；②或．      【分析】 （1）当时，，故点B的坐标为，令，解得，即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）①，即可求解；② 列出函数表达式，利用函数的增减性求解即可． (1) 小问详解： 解：当时，，故点B的坐标为， 令，解得，故点A的坐标为； (2) 小问详解： 解：把，代入，得 ， 解得 ， ∴； (3) 小问详解： 解：① 设点，点， 则， ② 上式为点P在直线上方的情况，当点P在x轴的上方且在点B的右侧时， 令，解得或3， 故抛物线和x轴另外一个交点坐标， ， 由① 知，当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴； 当时，，此时函数h的对称轴为， ∵，故时，当h随m的增大而增大， ∴， 即或． 40．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】 解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 41．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图①，在地面上有两根等长的立柱，，它们之间悬挂了一根抛物线形状的晾衣绳，按照图中的直角坐标系，这条晾衣绳可以用表示，已知米． （1）求抛物线的表达式； （2）现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根管子作为立柱对晾衣绳进行支撑（如图②），现要求立柱到距离为，两旁的晾衣绳也是抛物线形状，且立柱左侧晾衣绳的最低点到的距离为，到地面的距离为．现有一根长米的管子且可加工切割，请你通过计算，判断这根管子的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 【答案】（1）     （2）这根管子的长度够用．      【分析】 本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先根据抛物线的对称性求得坐标轴，再根据二次函数的性质确定b的值即可解答； （2）由原抛物线解析式求得点A坐标，根据左侧抛物线顶点坐标设出解析式，将A坐标代入求得其解析式，再求出时y的值，再与即可解答． (1) 小问详解： 解：∵地面上有两根等长的立柱，，米． ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴对称轴为， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：对于，当时，， ∴点A坐标为， 由题意可知：立柱左侧绳子所在抛物线的顶点为，点E的横坐标为3， 设立柱左侧绳子所在抛物线的解析式为， 把点A坐标为代入得：，解得：， ∴， 当时，， ∴这根管子的长度够用． 42．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与y轴交于点C，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上，求面积的最大值． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题主要考查了一次函数的综合、二次函数的应用等知识点，灵活运用二次函数的性质求最值是解题的关键． （1）将代入可求出m的值，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； （2）由题意可得，，，则，易得面积为，然后根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：将代入得：， ∴， ∴设直线的解析式为， 则 ，解得： ， ∴． (2) 小问详解： 解：如图：∵点在线段上，点在直线上， ∴，，， ∴， ∵面积为． ∴当时，面积取最大值，最大值为． 43．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求点P的坐标； （3）设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； （4）取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）或      【分析】 （1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：① 如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．② 如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：把代入抛物线得： ， ， ∴该抛物线的解析式为． (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． (3) 小问详解： 解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． (4) 小问详解： 解：① 如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，    ， ， ， ， ， ， ， ， ． ② 如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 44．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当时，抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，直接写出的值； （3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，抛物线与抛物线的对称轴相交于点，连接，． ①求证：； ②如图3，若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）     （2）或     （3） ① 证明：将变形，得． 设点的坐标为． 根据平移的性质可知． 可知点的坐标为． ． ． 所以． ② 四边形的形状是正方形，理由： 根据题意可知，点的坐标为． 因为，，可得 ． 解得（舍去），． 所以点的坐标为，点的坐标为． 所以． 所以四边形的形状是正方形．      【分析】 本题主要考查二次函数的图象和性质： （1）采用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时； （3）① 设点的坐标为，根据平移的性质可知，则，；② 因为，，可得 ． (1) 小问详解： 因为抛物线的图象经过点和点，可得 解得 所以抛物线对应的函数表达式为． (2) 小问详解： 抛物线的对称轴为，开口向上． （Ⅰ）当时． 时，取得最大值． 时，取得最小值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅱ）当时，即． 时，取得最小值． 时，取得最大值． 根据题意，得 ． 解得 ． （Ⅲ）当时，即． 时，取得最小值， 若时，取得最大值，得 ． 解得 ，（舍去）． 若时，取得最大值，得 ． 解得 （舍去），． 综上所述，或． (3) 小问详解： ① 略 ② 略 45．（25-26学年九上·辽宁铁岭）抛物线（为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． （1）______，______； （2）若点在上方，当为何值时，的面积最大； （3）点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为，求关于的表达式． 【答案】（1），     （2）时，面积有最大值     （3）     （4） 【分析】 （1）根据题意，抛物线（，为常数）经过点，且对称轴为直线，代入计算，即可求解，的值； （2）作轴交轴于点，交于点，过点作于点，抛物线与轴的交点是、，求出点、的坐标，推出直线的函数，即可设、，根据得出二次函数，通过二次函数的图象即可求解； （3）根据题意作图，根据对称的性质得、，在中，利用勾股定理，求出，得．设，得，解得的值即可求解； （4）设点，则点和点的纵距为，与轴的交点为、，再分取值范围、、去绝对值符号，即可求解． (1) 小问详解： 解：抛物线（，为常数）经过点， 当时，， 其对称轴为直线， ，解得：， ，，抛物线． 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：如图，作轴交轴于点，交于点，过点作于点， 抛物线与轴的交点是、， 当时， 解得：或， 点在点左边， ，． 设经过点，点的函数解析式为， 得 ， 解得： ， 经过点，点的直线函数为． 设，，则， ， ∵， 当时，的面积最大． (3) 小问详解： 解：如图，根据题意，点关于直线的对称点恰好在直线，连接、、， 点与点关于直线对称， ，， ， 在中，， ， 点． 设， ，， ，解得：， ． (4) 小问详解： 解：设点，则点和点的纵距为， 其与轴的交点为，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合运用，用待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，对称图形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中两点距离公式等知识点，理解题意、分类求解是解题关键． 46．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”． 例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”． （1）若，求与的“界距离”； （2）在平面直角坐标系中，的图象如图所示； ①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围； ②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围． 【答案】（1）3     （2）①当或时，，当时，；②或      【分析】 （1）分别求出两个函数自变量为的函数值即可得到答案； （2）① 先求出，则当或时，，当时，，分别求出时，两个函数的函数值，再根据定义求解即可；②分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种情形，分别求出临界情形下m的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴与的“界距离”为； (2) 小问详解： 解：①联立 ，解得 或 ， ∴， 由函数图象可得，当或时，，当时，， 在中，当时， 在中，当时，， ∴当或时，， 当时，； ② 如图2-1所示，当时，则，此时与一定没有交点，不符合题意； 如图2-2所示，当，且点M恰好在抛物线的图象上时， ∴此时点Q和点M关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴倍的点Q到对称轴的距离， ∴， 解得或（舍去）； 如图2-3所示，当，且点N恰好在抛物线的图象上时， 同理可得点N的坐标为，即， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵当和时，点P和点Q重合， ∴， ∴当时，与有交点； 如图2-4，当时，且点M恰好在抛物线的图象上时， 同理可得倍的点Q到对称轴的距离， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，与有交点； 综上所述，当或时，与有交点． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，正方形的性质，求一次函数和反比例函数值等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 47．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为             ； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】（1）8     （2）c的值是4     （3）h的值为或6      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据题意，先求出，再将函数图象上所有点的“纵横值”表示为，即可列方程求解； （3）现将二次函数的解析式化为，然后将函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，令， 则，再根据对称轴的三种不同位置，分别列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：点的“纵横值”为． 故答案为：8． (2) 小问详解： 解：由已知得，， 解得， 二次函数的解析式为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 最优纵横值为5， ， ； (3) 小问详解： 解：二次函数的顶点在直线上， ， ， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 令， 则， 其对称轴为， 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，即， ， 此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去； 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上所述，h的值为或6． 48．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点，为抛物线对称轴上两点（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 先求出抛物线与坐标轴的交点以及对称轴，在轴上取点，连接，可得四边形为平行四边形，则，那么，当点共线时，取得最小值，即为，此时点为与抛物线对称轴的交点，由待定系数法求出直线表达式即可求解点． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴， 在轴上取点，连接， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵抛物线关于直线对称，且点是抛物线与轴交点， ∴， ∴， ∴当点共线时，取得最小值，即为， 此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线表达式为， 代入点，得 ， 解得： ， ∴直线表达式为， 当时，， ∴点E坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 49．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，平移抛物线：后得到抛物线，抛物线过点， ． （1）求抛物线的表达式； （2）点，都在抛物线上，若且，比较与的大小并说明理由； （3）点在抛物线上，过作轴交抛物线于点，设点的横坐标为，若，直接写出的取值范围； （4）若抛物线上的点平移得到点，过作轴交抛物线于点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为     （2）     （3）或     （4） 四边形是平行四边形，理由如下： 抛物线上的点平移得到点，由（1）知，抛物线向 左 平 移 个 单 位 ，再 向 上 平 移 个 单 位 得 到抛物线， ，即， 过作轴交抛物线于点， ， 抛物线过点， 抛物线上的点左平移个单位 ，再向上平移个单位得到抛物线上的点， ，， 四边形是平行四边形． 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质以及平移，平行四边形的判定，不等式，解题的关键是掌握相关知识． （1）设平移后的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由可得，根据题意得，，则，结合，即可判断； （3）由题意的，，则，结合，即可求解； （4）根据题意求出，，再根据坐标和抛物线的平移即可求解． (1) 小问详解： 设平移后的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为， 将点， 代入得 ， 解得 ， 抛物线的解析式为； (2) 小问详解： ， ， 点，都在抛物线：上， ，， ， ，， ，， ，即， ； (3) 小问详解： 设点的横坐标为，点在抛物线上， ， 轴交抛物线于点， ， ， ， ， 解得或； (4) 小问详解： 略 50．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）给出如下定义：对于二次函数（其中a、b、c为常数，且，），一次函数叫作该二次函数的“从属函数”．例如：二次函数的“从属函数”为：． （1）二次函数的图象交x轴于点和点．则该二次函数的“从属函数”的表达式为                 ； （2）如图，设二次函数的图象为，它的“从属函数”的图象为，图象交x轴于A、B两点．图象与相交于C、D两点（点D在点C的左侧）． ①求C、D两点的坐标； ②过点A的直线l交在第二象限的部分于点E，交于F，若，求点E的坐标； ③点P为图象上的动点，设点P的横坐标为t，连接，若为钝角三角形，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）     （2）①；；②；③或或或      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，新定义，相似三角形的判定与性质等知识点，难度较大． （1）先由待定系数法求出，再由“从属函数”的定义即可求解； （2）① 先求出“从属函数”解析式，再与原函数联立解方程组即可求出交点坐标； ② 过E作轴交于点G，过A作轴交于点H，证明，则，设，则，则得到方程，解方程即可求解坐标； ③ 分三种情况讨论，构造“三垂直相似”进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵二次函数的图象交x轴于点和点， ∴ ， 解得 ， ∴该二次函数的“从属函数”的表达式为； (2) 小问详解： 解：①的“从属函数”为                                                                                    ∴联立得 ∴ ， ∴，； ② 过E作轴交于点G，过A作轴交于点H， 对于抛物线，当时，则， 解得或 ∴， 把代入，则 ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则， ∴ ∴，（不在第二象限，舍去） ∴；        ③ 当时，此时记为点，如图： ∵， ∴， ∴当时，为钝角三角形； 当时，此时记为点 ∵， ∴， ∴当时，为钝角三角形； 当时，此时记为点，如图，过点作的垂线交于点M，交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得， 即横坐标为，横坐标为， 对于直线，当时，， 解得， ∴直线与轴交点， ∴当或时，为钝角三角形； 综上：的取值范围为：或或或． 51．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． （1）写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． （2）已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． （3）在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 【答案】（1）     （2）     （3）①；②3或      【分析】 （1）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （2）依据x的“t阶a维函数”的定义解答即可； （3）① 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，利用待定系数法求得的解析式，利用平移的性质和待定系数法求得点H的坐标，图象N的解析式，得到平移的距离，依据图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积，求得平行四边形的面积即可； ② 利用分类讨论的思想方法分：当直线与图象M只有一个交点时和当直线与图象M只有一个交点时两种情况讨论解答，将直线的解析式与抛物线的解析式分别联立，令即可求得m值． (1) 小问详解： 解：自变量x的“3阶维函数”的表达式为； (2) 小问详解： 解：∵“1阶2维函数”表达式为、“4阶1维函数”表达式为、与“3阶0维函数”表达式为， ∵函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和， ∴． (3) 小问详解： 解：① 由（2）知：， ∴函数y的图象M上的最低点为， 则直线的解析式为， 令，则， ∴． ∵将图象M向右平移，保持最低点始终在直线上，点A平移到点H， ∴设， ∴图象N的解析式为， ∵点B在图象N上， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴图象M向右平移了，向上平移了， ∴． 过点A作x轴的平行线，过点H作y轴的平行线，它们交于点，过点H作于点E，过点B作于点F，如图， 则图象M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S等于平行四边形的面积． 由题意：，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ② 设直线的解析式为， ∵点和， ∴ ， ∴ ， ∴直线的解析式为， 由题意得图像M解析式，图像N解析式， ∵直线与图象M、图象N都相交且只有3个交点， ∴直线与图象M只有一个交点或直线与图象N只有一个交点或经过点， 联立直线与图象M得， ∴， ∴， 联立直线与图象N得， ∴， ∴， 当直线与图象M只有一个交点时， ， ∴或， 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当时，，直线与图象没有交点，不合题意； 当直线与图象只有一个交点时， ， ∴， 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当时，，直线与图象有两个交点，符合题意； 当直线经过图象和图象的交点时，，此时，直线与图象有两个交点，直线与图象有两个交点，符合题意； 综上，m的值为3或． 【点睛】 本题主要考查了函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，平移的性质，一次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 52．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在线段上，过作轴于，以为斜边在其右侧作等腰直角三角形． ①若点的横坐标为，请说明点是否落在轴上； ②若点落在该抛物线上，求点的坐标； （3）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为，当时，，求的值． 【答案】（1）     （2） ① 点不落在轴上，理由如下： 不妨设直线的表达式为：，代入， ， 解得 ， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∵点的横坐标为，点在线段上， ∴， ∵过作轴于， ∴， 过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点不落在轴上； ②；     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解题即可； （2）① 先求出直线的表达式为：，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，证明，四边形是矩形，推出，得到点坐标，即可判断；② 不妨设，同理，可得到，然后代入求值即可； （3）先求得，其开口向上，对称轴为，当时，取最小值，当时，时，；当时，；当时，时，；当时，，当时，时，；当时，，然后计算出答案即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 由① 可知，直线的表达式为：，过点作轴于点，过点作轴，交的延长线于点，不妨设，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点落在该抛物线上， ∴， ∴或， ∵当时，点A与点P重合， ∴； (3) 小问详解： 解：∵抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为， ∴， ∴其开口向上，对称轴为，当时，取最小值， ∵当时，， 当时，时，；当时，， 那么有， ∴，， ∵， ∴； 当时，时，；当时，， 那么有， ∴，； 当时，时，；当时，， 那么有，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴不符合题意； 综上，或． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 53．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的长；（用含有的代数式表示） （3）当的面积为时，求点坐标； （4）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求的取值范围； ②在①的条件下，当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出的值． 【答案】（1）；     （2）；     （3）或；     （4）①；②或．      【分析】 （1）将，代入，用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式，再设点，，即可求出的长； （3）分别求出，，由求解即可； （4）① 先由对称轴求出点的对称点，再结合图象分类讨论即可； ② 分抛物线经过矩形的边的中点或抛物线经过矩形的边的中点，两种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：把，代入中得， ，解得 ， 抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：抛物线的函数表达式为，且， 对称轴为直线， ． 设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得 ， 直线的表达式为． 是第一象限抛物线上一点，且点横坐标为， ． 轴， ， ； (3) 小问详解： 解：，， ． 的面积为， ， 解得或， 当时，，； 当时，，． 当的面积为时，点坐标为或； (4) 小问详解： 解：① 点横坐标为，且对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为． i）如图，当时，， 此时，矩形的边与抛物线只有1个交点； ii）如图，当时，， 此时，矩形的边与抛物线只有2个交点； iii）如图，当时，要想矩形的边与抛物线有3个交点， 则，解得， ； iv）当时，则， 此时，矩形的边与抛物线只有2个交点； 综上所述，当矩形的边与抛物线有三个交点时，的取值范围为； ②i）当抛物线经过矩形的边的中点时，如图所示， 设的中点为，的中点为， 由（2）得，， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为． 又轴，且点横坐标为， 点的横坐标为， 点是抛物线上一点， 把代入得， ， ， ， 解得（负值舍去）； ii）当抛物线经过矩形的边的中点时，如图所示， 设的中点为， 由，点横坐标为， 点的横坐标为， 把代入得， ， ． 轴， 点的纵坐标等于点的纵坐标， 即， 解得（负值舍去）； 综上所述，当抛物线经过矩形某一边的中点时，的值为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积、矩形的性质，轴对称等知识，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是本题的关键． 54．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； （2）如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 【答案】（1）①；②，     （2），      【分析】 （1）① 先求出与轴交点为，，再根据求出面积即可． ② 设点，由，即，可得，即，得，再求出点的坐标即可． （2）先求出平移后的新的抛物线为，抛物线的对称轴为与轴交于S，作对称轴于，作轴于点，可证明 ，得，，得，设，， 得，作于点，，，在中，根据，得，再求出的值即可． (1) 小问详解： 解：① 由题可知：与轴相交于点，， ， 解之得：，， 即，， 当时，， ， ． ② 设抛物线上的点的坐标为， ， ， ， 即， ， ， ， ，， ∴， (2) 小问详解： 解：化为顶点式 向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得新的抛物线 即， ∴抛物线的对称轴为与轴交于S， 如图，作对称轴于，作轴于点， ， ∵四边形是矩形． ，， ， ，同理：， ，， ， ，， ， 设，， ，则，， ，作于点，，， 在中，，即， ∴， ∴， 又∵， 解之得或， ∴，． 【点睛】 本题是二次函数的综合应用题，主要考查了抛物线的平移，求与抛物线有关的三角形面积，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等．作垂线构造全等三角形是解决问题的关键． 55．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数“倍差函数”的函数表达式； （2）如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）①；② ；③．      【分析】 本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用、二次函数性质、二次函数的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接运用“倍差函数”的定义求解即可； （2）设，由“倍差点”的定义可知，再根据点B的纵坐标为，列方程求得m的值，进而确定点A的坐标； （3）① 由题意可得：点，由“关于的倍差点”可得，再根据点与点重合，列关于m的方程求解即可；② 由① 可得：，，再根据二次函数的性质可得的对称轴为，然后分和两种情况，分别根据图形进和题意解答即可；③ 先画出图形，易得点D和点E在，且在，点F在；由二次函数的性质可得，进而得到，再结合，由题意可得，解方程可求得b的值，最后根据b的取值范围确定答案即可． (1) 小问详解： 解：由“倍差函数”定义可得：函数的“倍差函数”的函数表达式为： ，即． (2) 小问详解： 解：设， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点B的纵坐标为， ∴，解得：，即． (3) 小问详解： 解：① 由题意可得：点， ∵点“关于的倍差点”是点， ∴，即， ∵点与点重合， ∴，整理得：，解得：． ② 由① 可得：，， 由题意可得：函数的“倍差函数”， ∴的对称轴为， 如图：当时，则， ， ∴； 如图：当时，则， ， ∴； 综上， ． ③ 如图可知：点D和点E在，且在，点F在 ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∵点E在，点F在， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴． 56．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1），     （2）存在，点P坐标为     （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或      【分析】 （1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． (1) 小问详解： 解：由题意知，将，代入中， 得 ，解得： ， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． (2) 小问详解： 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ① 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ② 当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③ 当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】 本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 57．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． （1）求点，的坐标及，的值； （2）直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； （3）若新函数满足 ，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 【答案】（1），， ，     （2）① 证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ②     （3）      【分析】 （1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）① 先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ② 作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． (1) 小问详解： 解：联立二次函数与直线，得， ， 解得 或 ， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：① 略 ② 如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得 ， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得 或 ， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵ ， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ① 当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴ ， 解得 ，这与矛盾，故舍去； ② 当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴ ， 解得 （负值舍去）， 综上所述，． 58．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和2，过点B作轴，与抛物线相交于点C，分别以，的长为边长向上方作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边与抛物线相交于点M，点M在抛物线对称轴的右侧，当时，求点的坐标； ③当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为：     （2）①关于的解析式为 ② 点的坐标为或 ③或      【分析】 （1）首先根据点A，B在函数上求解点A，B的坐标，再代入抛物线中求解解析式即可； （2）① ：根据向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，写出点C的坐标为，再根据点在抛物线上，代入化简即可得到关于的解析式； ② ：首先根据平移写出点E的坐标，再根据结合勾股定理求解出的长，即可表示出点M的坐标，结合点M在抛物线上即可求解m的值，再求解点的坐标即可； ③ ：首先利用数形结合得到与抛物线只有一个公共点时的情况，当与的顶点相交时，根据抛物线的顶点坐标写出点的纵坐标即可求解此时m的值；当点在抛物线上时，根据平移写出点的坐标，利用点在抛物线上求解m的值，画图发现在范围内边与抛物线只有一个公共点，即可写出此时m的取值范围． (1) 小问详解： 解：对于函数，当时，，当时，, ∴点，， 将点、的坐标代入得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：① ：∵轴，函数的对称轴为轴， ∴点，关于轴对称， ∵，∴， ∵向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后点为， 当点在抛物线上时，将代入得：， ∴，即关于的解析式为； ② ：∵，点，关于轴对称， ∴， ∵以为长构造长方形的宽， ∴， ∴，则，即， 在中，，， ∴， ∴， 将代入，得：，解得：， 又 当时， 当时， 综上：点的坐标为或； ③ ：情况一：当边与抛物线只有一个公共点时，即与的顶点相交， ∵抛物线的解析式为：， ∴顶点坐标为， ∴点的纵坐标为5， ∴点的纵坐标为3， ∴，解得：， ∵， ∴此时； 情况二：当点在抛物线上时， ∵，且点在抛物线上， ∴， 即为，解得：， 当时，如图， 当时，如图， ∴当，边与抛物线只有一个公共点， 综上所述：或． 【点睛】 本题主要考查二次函数的综合题、平移的性质，根据平移的结果写出点的坐标是解题的关键． 59．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，直线与两个图象分别交于点P，点，与轴交于点． ①当点在线段上时，求的最大值； ②设点到直线的距离之和为时，求的值． （3）二次函数与二次函数组成新的函数，若该函数图象上有点且点与不重合，点的横坐标为，点的横坐标为，点之间（含两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）① 8；②或5     （3）或      【分析】 （1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）① 可证明二次函数和二次函数的图象都经过点C，则当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合，根据题意可得，则，据此可得答案；②当时，如图所示，连接， 可证明，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F，可证明都是等腰直角三角形，则可推出，进而得到，则，解得或（舍去）；同理可求出时，； （3）求出二次函数的顶点坐标为；当时， 点H一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧，根据函数的最小值为，得到点之间（含两点）的图象对应函数的最小值为，则点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于；当时，，此时点之间（含两点）的图象对应函数的最大值和最小值分别为点G和点H的纵坐标（二者纵坐标中，一个为最大值，另一个就为最小值），此时不符合题意；当时，此时点G一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧，同理可得点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于，据此求解即可； (1) 小问详解： 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：①在中，当时，， 在，中，当时，， ∴二次函数和二次函数的图象都经过点C， 又∵两个二次函数的图象都经过点B，且二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下， ∴当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合， 由题意得，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8； ②由（2）① 得， ∴， ∴， 当时，如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 由（2）① 可得， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 解得（舍去）或； 综上所述，或； (3) 小问详解： 解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，∵点H在函数的图象上， ∴， ∴， ∴此时， ∴此时点H一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧， ∴当时，点之间（含两点）的图象对应函数的最大值为，最小值为， ∵函数的最小值为， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最小值为， 又∵函数的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， ∵点之间（含两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于， ∴， 解得； 当时，， ∴此时点G和点H都在点C和点之间的函数图象上， ∴此时点之间（含两点）的图象对应函数的最大值和最小值分别为点G和点H的纵坐标（二者纵坐标中，一个为最大值，另一个就为最小值），此时不符合题意； 当时，， 此时点G一定在二次函数的对称轴上或在其对称轴的右侧， ∴当时，点之间（含两点）的图象对应函数的最大值为，最小值为， ∵函数的最小值为， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最小值为， 又∵函数的对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， ∵点之间（含两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ∴点之间（含两点）的图象对应函数的最大值一定要小于或等于， ∴， 解得； 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 60．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为．    （1）已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： （2）如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）①，．②的值为．③或      【分析】 （1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为． 答：． (2) 小问详解： 解：① ∵交轴于点，交轴于点， ∴ ，∴ ， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，．    ② ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为． ③ ∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图：    由题意得： ， ∴； 当，如图：    由题意得： ， ∴， 综上：或． 答：①，．②的值为．③或 【点睛】 本题考查新定义的理解与应用，二次函数解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，函数与方程的综合应用，分段函数的最值与取值范围，准确理解新定义是解题关键． 61．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求，的值； （2）点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 【答案】（1），；     （2）；     （3）或．      【分析】 （1）利用待定系数法，将点、的坐标代入二次函数解析式，建立方程组求解、的值． （2）先求出点坐标和直线的解析式，过作轴交于，通过相似三角形转化为，再将问题转化为求二次函数的最大值，进而确定点坐标． （3）先确定抛物线沿射线的平移规律，得到的解析式，再根据的条件，结合二次函数的性质求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：把，代入，得 ，即 解得，； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴得， 令，则，即， 或， ． 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 过作轴交于，设，则． ． 轴， ， ． ， ． 对于二次函数，，对称轴为． 当时，有最大值，此时点纵坐标为， ． (3) 小问详解： 解：抛物线， ∴抛物线的顶点为(1,4)， ∵，， ∴点向右平移3个单位，向下平移3个单位得， ∵将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点， ∴新抛物线：， 对称轴为． 当时，． 新抛物线：中，当时，， 解得或， 要使时恒成立，则点要在的下方， ∴或， 解得或． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的待定系数法、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、抛物线的平移及二次函数的单调性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 62．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，，，均为常数）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式： （2）当时，，则的取值范围是________． （3）点是抛物线上一点，不与点，重合，设点的横坐标为． ①当点在第一象限时，连接，交于点，当时，求点的坐标； ②将抛物线位于轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余部分组成新的图象，当时过点作轴，点的横坐标为，当线段与图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；     （2）；     （3）①；②，      【分析】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，翻折变换的性质，解题的关键是根据题意正确画出图形． （1）将，，代入，即可求解； （2）根据，算出的取值范围，即可得的取值范围； （3）① 过点作于点，过点作于点，得，根据对应边成比例，将点的纵坐标表示出来，代入抛物线的表达式中，即可求出点的坐标； ② 根据题意画出图形，判断点的位置即可求出的取值范围． (1) 小问详解： 解：将，，代入，得 ，解得 ， ∴抛物线对应的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：， 又， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 当时，取最大值，为． 当时，，解得，． ， ． 又∵当时，， ， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：① 如图，过点作于点，过点作于点， ∵点的横坐标为， ∴． ， ． ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得 ， ∴直线的解析式为． ， ． ，， ． ． ． ． ． 点的横坐标为， 在中，当时，， ． ． ． ． 代入，得，解得， ． ② 依题意得， 当时，， 如图，当点在点与之间时，线段与图象有两个交点， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为． 抛物线关于轴对称的抛物线的表达式为， 当时，， 解得， ． ，解得． 当时，，此时线段与图象有一个交点，不符合题意，舍去． 当时，， 如图，当点在点与之间时，线段与图象有两个交点， ，解得． 又， ． 综上所述，的取值范围为，． 63．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点． （1）求二次函数表达式： （2）如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值； ③当时，的取值范围是，且，求的值． 【答案】（1）；     （2）①；②2或；③．      【分析】 （1）先求出一次函数与坐标轴的交点，再用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）① 作交于，交于点，先用勾股定理求出对应的边，接着运用平行相似证明，证明，得，得到，然后根据当有最大值时，取到最大值进行求解即可； ② 先在在线段上找中点，连接，利用直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半先求出点和，再结合外角性质得到，推出中某角，进行分类讨论：（i），利用两直线平行斜率相等，分别求出直线的解析式和直线的解析式，联立方程即可求出；（ii），先作交于，利用勾股求出，再利用相似得到，得到，运用距离坐标公式即可求出； ③ 先对配方得到顶点式，根据增减性分类讨论，求解即可． (1) 小问详解： 解：∵已知直线与、轴交于点、点， ∴当时，，点； 当时，，点． ∵抛物线过点、点、点， ∴ ， 解得：，，． ∴抛物线的解析式为：． (2) 小问详解： ① 作交于，交于点， ∵点，点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，轴， ∴轴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当有最大值时，取到最大值． ∵点在上，点在上， 又∵点的横坐标为， ∴点，点． ∵点在点上方， ∴ ． ∴当时，有最大值为． ∴的最大值为：． ② ∵， ∴． ∵中某角， ∴分情况讨论：（i）；（ii）． 在线段上找中点，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）① 可得, ∴． ∵、点， ∴点，即点． 情况（i）：， ∵，， ∴． ∵设直线的解析式为：， 代入点，得，即， ∴直线的解析式为：． ∵设直线的解析式为：， 代入点、点， 得： 整理得：． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴，解得． 情况（ii）：， 作交于． ∵， ∵，，， ∴ ∵， ∴． ∴． ∵点，点， ∴， ， ， ， ． ∵由（2）可得，， ∴， ． ∵在和中， ， ∴． ∴， ∴，即． ∴， ， ． 又∵， ∴， ， ， 解得：，（舍）． 综上：或． ③ 对函数配方： ， ， ， ， ∴顶点为，当时，． ∴当点在对称轴的左边时，随的增大而增大； 当点在对称轴的右边时，随的增大而减小． 分情况讨论： 情况（i）：在对称轴的左边，且，即， ∵， ∴． ∵由，得． ∴当时，（舍）； 当时，，代入函数得：， ，即， 解得，即（舍），． 情况（ii）：在对称轴的右边，且，即， ∴当时，； 当时，． 又∵， ∴， ， ， 解得：（舍），（舍）． 综上：． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题，包含的考点有二次函数的待定系数法、一次函数的图像与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，掌握数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（     ） A. ②④⑤ B. ③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【分析】 本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，掌握抛物线与轴的交点个数确定△的符号，并利用对称性是解题的关键．根据图象判断二次函数与各项系数符号的关系． 【详解】 解：图象与轴的负半轴相交， ，故①不正确； 当时，， 即， ， ， ， 解得，故②不正确； 对称轴为直线，， ，即，故③正确； 图象与轴有两个交点， ，即， ，故④正确； 二次函数与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上，正确的有：③ ④ ⑤， 故选：B． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（       ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】C 【分析】 根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 【详解】 解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 故选：C． 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（     ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键，根据表格中的数据发现，在到2之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在18和10之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是． 【详解】 解：由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为． 故选． 4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）抛物线与坐标轴的交点个数为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 5．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（） A. 抛物线与x轴没有交点 B. 抛物线有最低点 C. 当时，y随x增大而减小 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 通过计算判别式判断与x轴的交点；由二次项系数为负判断开口向下，有最高点；通过对称轴分析函数的增减性． 【详解】 解：∵二次函数， ∴， 判别式， ∴抛物线与x轴有两个交点，故A错误； ， ∴抛物线开口向下，有最高点，无最低点，故B错误； 对称轴为直线， ∵开口向下， ∴当时，y随x增大而减小，故C正确，D错误， 故选：C． 6．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立 ， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 7．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数性质以及二次函数与方程及不等式的关系．根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与x轴另一交点坐标在，之间，结合图象从而判断① 正确；由对称轴为直线可得，代入即可判断② 正确；由抛物线顶点坐标为，得到有两个相等实数根，可得，从而判断③ 正确；由函数最大值为结合函数图象可得有两个不相等的实数根，可判断④ 错误． 【详解】 解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与x轴的一个交点在和之间， ∴图象与x轴另一交点在，之间， ∴时，， 即， 故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 即， 故②正确，符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴有两个相等实数根， 即方程有两个相等实数根， ∴， ∴ 故③正确，符合题意； ∵的最大函数值为， ∴有两个不相等的实数根， 故④错误，不符合题意． 故选：B 8．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）抛物线与轴的交点坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要查了抛物线与轴的交点坐标．令，求出函数值即可解答． 【详解】 解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为： 9．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）二次函数经过两点，则一元二次方程的两个根是　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，牢记解一元二次方程得出的值为直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 由方程的解可得出二次函数图象与直线的交点坐标． 【详解】 解：由题意，点在二次函数上， 即当或时，函数值， ∴方程的两个根为和， 故答案为：，． 10．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】 解：当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有两个公共点， ∴， ∴． 故答案为：且． 11．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）已知二次函数的图象如图所示，则方程的解为　　　　　　　　. 【答案】， 【分析】 此题考查了抛物线与轴的交点，利用了数形结合的数学思想，其中抛物线与轴的交点的横坐标即为抛物线解析式中得到关于的一元二次方程的解，熟练掌握此性质是解本题的关键． 由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，进而可得答案． 【详解】 解：由二次函数的图象可知： 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 则一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】 解：把点，点代入抛物线得， ， 解得 ， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图1，二次函数与y轴交于点A，二次函数经过点A： （1）求函数的解析式； （2）直线与函数有三个交点，求出m的取值范围； （3）如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于B，C两点，直线与交于点M； ①若直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化，求m的取值范围； ②若点M位于B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，正确列出方程，结合图象是解题的关键． （1）利用求得点的坐标，将点的坐标代入即可解答； （2）求得抛物线的顶点，根据图象即可解答； （3）① 求得，列方程求得点和点的坐标，利用二次函数的性质列不等式即可解答； ② 得到点M在直线上，即，列方程求得与的交点即可解答． (1) 小问详解： 解：令中，则， ， 把代入得： ， 解得， ； (2) 小问详解： 解：， ∴抛物线的顶点为， ∵， ∴抛物线的顶点为， 当直线经过两抛物线的顶点时，与函数有两个交点， ∴直线与函数有三个交点时，； (3) 小问详解： 解：①由平移得， 由得， 解得，， 把代入可得， 把代入可得， ∴点，， 当时， 解得：，（舍）， 则当时，直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化 ∴m的取值范围是； ②， ∴点M在直线上，即， 由， 解得：， 把代入， 可得或， 由， 解得，不在B，C两点之间，不合题意， ∴m的取值范围是． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． 设米，则米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】 解：如图，设米，则米， ， 墙长为25米， ， 解得， 令矩形场地的面积为， ， 所以当时，有最大值， 即围成矩形场地的最大面积是， 故选：B． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（     ） A. 7 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】 解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 3．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．解题时注意分类讨论的数学思想． 根据题意分三部分确定函数解析式：当时，当时，当时，然后结合函数图像求解即可． 【详解】 解：根据题意可知，， ∵， ∴当时，， 当时，，故选项D不合题意； 当时，，此时图象为抛物线，且抛物线的开口向下，故选项B符合题意，选项A、C不合题意． 故选：B． 4．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）请求出这名男同学比赛时的成绩？ 【答案】（1）这个二次函数的解析式为     （2）这名男同学比赛时的成绩是米      【分析】 （1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将代入即可求解． （2）由（1）求得的函数解析式，令y＝0，求得的x的正值即为铅球推出的距离． (1) 小问详解： 解：（1）设二次函数的解析式为， 由于顶点坐标为， ∴． 又A在抛物线上， ∴， 解得： ． ∴二次函数的解析式为， 整理得：． ∴这个二次函数的解析式是； (2) 小问详解： 解：当时，． ∴， （不合题意，舍去）． 答：这名男同学比赛时的成绩是米． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，正确的求出函数解析式是解答本题的关键． 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）月日上午，舰载机梯队飞过天安门广场上空，接受祖国和人民检阅．其由歼、歼、歼和歼四型战机组成，为了让更多人的感受祖国航空航天事业的强大，某电商直播销售一款飞机模型，每个飞机模型的成本为元，当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出个，通过市场调查发现，若售价每上涨元，其月销售量就减少个． （1）当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出               个飞机模型，月销售利润是               元； （2）由于直播平台升级，月销售利润需要达到元才能正常运行，同时还希望让顾客得到更多的实惠，求每个飞机模型需要上涨多少元． 【答案】（1）；     （2）每个飞机模型需要上涨元．      【分析】 本题考查利润问题的实际应用，运用函数建模与方程思想，关键是根据 “利润（售价成本）销量” 建立关系，易错点是售价上涨与销量减少的数量对应错误、利润公式中成本的遗漏； （1）根据售价上涨金额计算销量减少量，再求实际销量与利润； （2）设上涨金额为未知数，结合利润公式列方程，结合 “让顾客实惠” 的条件取较小的上涨值． (1) 小问详解： 解：（1）（个）， （元）． (2) 小问详解： 设：每个飞机模型需要上涨x元．        依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又因为希望让顾客得到更多的实惠 所以， 答：每个飞机模型需要上涨元． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】 解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 7．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间，刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．     素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）；②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：不会撞到障碍物 【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式； （2）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】 解：任务一：将、代入 得： ， 解得： 关于的函数解析式为， 任务二：不会 ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到障碍物． 8．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 【答案】（1）每件衬衫应降价元     （2）每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，销售问题(实际问题与二次函数)， 的最值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设每件衬衫应降价元，用表示出每天多销售的件数，再根据题中的等量关系列出一元二次方程求解； （2）设商场每天的盈利为元，列出二次函数，转化为顶点式，求出最值． (1) 小问详解： 解：设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，由题意，得 ， 解得：，． 要扩大销售，减少库存， 每件衬衫应降价元． (2) 小问详解： 设商场每天的盈利为元，由题意，得 ， 时，最大元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利元． 9．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角（两边足够长）围一个矩形花园，并在上留宽为的门．同学们购买了长的篱笆，设，花园的面积为．完成下列作答． （1）当时，求的值． （2）如图，点处有一棵树与墙的距离是，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1）的值为12或24     （2）花园面积的最大值为      【分析】 本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出，根据矩形面积得到，把代入得到，解方程即可； （2）将变形为，利用二次函数求最值． (1) 小问详解： 解：∵四边形为矩形， ∴． 由题可知，， ∴． ∴． 当时，， 解得，． 答：的值为12或24． (2) 小问详解： 解：将变形为． 由函数表达式可知，关于的二次函数图象开口向下，当时，随的增大而减小． ∵， ∴当时最大． 把代入得， 答：花园面积的最大值为． 10．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； （3）已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 【答案】（1）；     （2）该球不能射进球门；     （3）的取值范围是．      【分析】 本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，读懂题意、把实际问题转化为数学问题解决是解题的关键． （）先求出抛物线的顶点坐标，设出抛物线的顶点式，用待定系数法求解即可； （）当时，求出的值再与比较，即可判断球能不能射进球门； （）该球员带球向正后方移动再射门，则可用含的式子表示移动后的抛物线解析式，把点和点代入求出得的值，从而确定的取值范围． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴该球不能射进球门； (3) 小问详解： 解：由题意得该球员带球向正后方移动后，球射向球门的抛物线的表达式为， 把点代入，得，解得（舍去）或， 把点代入，得．解得（舍去）或， ∴的取值范围是． 11．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． （1）【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； （2）【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】（1）抛物线的函数解析式为     （2）最多可摆放6个拉杆箱      【分析】 本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． (1) 小问详解： 解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 12．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算中，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 （1）请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． （2）用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） （3）如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1）     （2）见解析     （3）50      【分析】 本题主要考查了二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据所给等式可得结论； （2）设其中一个正数为，则另一个正数为，积为，根据二次函数图象与性质可得结论； （3）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． (1) 小问详解： 解：根据题意得：积最大的是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设其中一个正数为，则另一个正数为，积为， ∵ ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 即当时，积最大，此时积为， ∴当两个数相等时，乘积最大． (3) 小问详解： 解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵， 根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）在劳动课上，同学们参观了菜农的蔬菜大棚，并帮助菜农安装蔬菜大棚的支撑架，为此，数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为蔬菜大棚安装支撑架 活动准备 准备皮尺等测量工具 采集数据 蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱墙，构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为，支柱墙，． 任务要求 如图2，为了安全，需对蔬菜大棚进行加固，准备在蔬菜大棚抛物线上安装三根钢管作为支撑架，分别为，，，其中，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上．菜农提供的钢管总长为，要求全部用完．请同学们确定支撑架的安装位置． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，则点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式，根据，求出点的坐标，从而确定支撑架的安装位置． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为；     （2）点的坐标为．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，求出函数解析式． （1）设抛物线的表达式为，由题意得，再代入求解即可； （2）设，由题意得，四边形为矩形，则，，再由建立方程求解． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为，由题意得，        代入抛物线表达式为， 解得，        抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：点在抛物线上， 设，由题意得，四边形为矩形，， 轴， ，        由题意得，，        解得，（舍），        当时，， ∴点的坐标为． 14．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价（元），每天获得利润（元），当时，与的函数关系式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据利润等于单个商品的利润乘以销售量列出函数关系式即可． 【详解】 解：设每个商品降价元，则每个商品的利润为元，每天销量为个， ∴， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图1，某农业种植户维修蔬菜大棚，准备在已有大棚的另一侧增加一个与原有大棚形状相同的育苗矮棚，经测试，原大棚立柱（）高为3米，以所在的直线为y轴，以水平地面为x轴建立如图所示坐标系（如图2），大棚靠近立柱一侧由三角形（）支架固定，另一侧由立柱（）固定，已知，，棚顶主体结构符合某二次函数抛物线，且C是最高点： （1）请求出该抛物线解析式，并注明取值范围； （2）如图2，新修建的育苗棚在靠近立柱的一侧同样由三角形支架（）固定，且，外侧固定的立柱，若棚顶是点E为最高点且形状相同的抛物线，种植户在立柱的左侧平整出宽的土地是否够用？通过计算说明． 【答案】（1）     （2）种植户平整出宽4米的土地不够用，理由： ∵， ， ， ， ∵形状相同且E为顶点， ∴设新棚顶的抛物线解析式为， ， 令，， 解得（舍去）， ， ， ， ∴种植户平整出宽4米的土地不够用．      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练求得二次函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，根据形状相同，可以求得新棚顶的抛物线解析式，将代入新抛物线解析式，求得点的坐标，即可求得． (1) 小问详解： 解：∵抛物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， 把代入解析式得， 解得， ； (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·辽宁铁岭）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式． （2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】（1）     （2）小明在这次投掷中得到了满分，理由： 当时, ， 解得： （舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质． （1）设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式； （2）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． (1) 小问详解： 解：由题意可知,抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得： 解得：， ∴ 抛物线的关系式为； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·辽宁铁岭）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其铁岭种植大蒜历史悠久，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元／千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． （1）若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； （2）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）（，且为整数）     （2）存放90天后出售这批大蒜可获得最大利润9900元      【分析】 本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据函数关系式求出以及最值公式求出是解题关键； （1）根据等量关系“销售总金额（市场价格存放天数）（原购入量存放天数）”列出函数关系式； （2）根据等量关系“利润销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式并求最大值． (1) 小问详解： 解：由题意与之间的函数关系式为： （，且为整数）； (2) 小问详解： 解：设利润为，由题意得 ， 开口向下，，在对称轴是直线的左侧， 所以，随着的增大而增大， 时，元． 答：存放90天后出售这批大蒜可获得最大利润9900元． 18．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 19．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 【答案】（1）水面宽度减少值为．     （2）故水面下降，水位变化量为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的建模（建立平面直角坐标系、求解析式）是解题的关键． （1）针对四个小组的建模思路，均通过建立平面直角坐标系，确定抛物线的顶点或过点坐标，求出抛物线解析式，再根据水面上涨后的纵坐标求出对应水面宽度，进而计算宽度减少的值． （2）根据水面宽度求出对应纵坐标，与原水面纵坐标比较判断水位升降并计算变化量． (1) 小问详解： 解：小组一建模（以顶点为原点，抛物线对称轴为轴）， 以为原点，抛物线对称轴为轴建立平面直角坐标系，则，原水面距拱顶，故所在直线，，则，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，水面所在直线，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． （1）小组二建模（以中点为原点，所在直线为轴） 以中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组三建模（以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴）， 以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，拱顶． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 水面上涨后，，代入解析式得 ， 解得或， ∴ 此时水面宽度． 水面宽度减少值为． 小组四建模（以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴） 以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设， ，则 ， ∵原水面距拱顶，故 ∴原水面所在直线，， ∴，． 设抛物线解析式为． ∵ 抛物线过， ∴ ， 解得， ∴ 抛物线解析式为． 又因原水面过，且原抛物线在小组二建模中解析式为，其对称性可知，即． 水面宽度减少值为． (2) 小问详解： 解：以小组二坐标系为例，抛物线解析式． 当水面宽度为时，，代入得， 原水面，，故水面下降． 水位变化量为． 20．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，准备在校园里利用长的旧围墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为，矩形花园的面积为． （1）求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； （2）矩形花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）函数表达式为，自变量x的取值范围     （2） 解：当时，， 整理，得：， ∵， ∴方程没有实数根， 所以矩形花园的面积不能达到．      【分析】 本题考查了二次函数的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解． （1）设的长为，先表示出边长，进而表示面积，得出关系式，再结合求出自变量x的取值范围； （2）把代入关系式求出x值，注意检验根的合理性； (1) 小问详解： 解：设的长为，则， ， ∵由题意得： ， 解得：； (2) 小问详解： 略 21．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）学校准备在大连理工大学西北门的彩虹桥上悬挂宣传牌，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在彩虹桥上悬挂宣传牌 活动准备 1．到大学基建处查阅彩虹桥框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是位于大连理工大学西北门，在道路上方搭建的一座抛物线型彩虹桥．道路的宽为30，桥拱最高处距离路面的距离为9．为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩和进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱的对称轴对称．桥墩之间的距离．在两个桥墩上搭一个限高横杆． 设计方案 如图2，准备在桥拱下方，横杆上方安装矩形宣传牌，且在上，矩形宣传牌关于桥拱的对称轴对称． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的解析式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决相关问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）若学校要求矩形宣传牌的面积为18，且，请你通过计算，判断能否安装上符合要求的宣传牌． 【答案】（1）     （2） 解：由（1）知， 桥墩之间的距离， 、， 则当时，；当时，； 、， ， 设，则，， 矩形宣传牌的面积为18， ，则， 解得或（舍去）， 即，， 则点的横坐标为， 当时，， ，， 到轴的距离， 故能安装上符合要求的宣传牌．      【分析】 本题考查二次函数解应用题，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的函数解析式，根据题意求出广告牌长与宽，再比较点是否在抛物线型彩虹桥下方，进而确定答案． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 道路的宽为30， ， 则，解得， 抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 【答案】（1）     （2）售价每涨价2元，日销售量少卖4盆     （3）① 定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；② 售价定为元时，每天能够获得最大利润      售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 【分析】 （1）按照从小到大的顺序进行排列即可； （2）根据表格数据，进行求解即可； （3）① 设定价应为元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； ② 设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； (3) 小问详解： ① 设：定价应为元，由题意，得： ， 整理得：， 解得：， ∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润； ② 设每天的利润为，由题意，得： ， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为元． 答：售价定为元时，每天能够获得最大利润． 【点睛】 本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用．从表格中有效的获取信息，正确的列出方程和二次函数，是解题的关键． 23．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 24．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为；     （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分．      【分析】 （1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． (1) 小问详解： 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 25．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）人民生活水平日益提高，周末短途旅游日趋火爆．我市某旅行社推出“淮安一日游”项目，报名费用y（元/人）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，其中每个团队人数不超过60人． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到报名总费用最多？最多是多少元？ 【答案】（1）     （2）当一个团队有55人报名时，旅行社收到报名总费用最多，最多是6050元      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，最大利润问题(一次函数的实际应用)，销售问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）设当时，y与x之间的函数关系式为，把，代入求得 即可得出y与x之间的函数关系式； （2）设旅行社收到报名总费用为w元，分、两种情况，分别求出w的最大值，比较后作出结论． (1) 小问详解： 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 把，代入得： ， 解得 ， ∴； (2) 小问详解： 解：设旅行社收到报名总费用为w元， 当时，， ∵， ∴当时，w取最大值（元）； 当时，， ∵， ∴当时，w取最大值6050， ∵， ∴当一个团队有55人报名时，旅行社收到报名总费用最多，最多是6050元． 26．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识． ()利用待定系数法求出函数解析式即可； () 求出当时，，，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ∴ 解得：， ∴所在抛物线的函数表达式为； (2) 小问详解： ∵点到的距离均为， 当时，， ， ∴， ∴这两条灯带的总长为． 27．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）某旅游景点超市购入一批进价为10元/个的冰箱贴进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值，设这批冰箱贴日销售利润为元． 销售单价元 … 12 14 16 18 20 … 销售量个 … 56 52 48 44 40 … （1）求与的函数表达式； （2）求与的函数表达式； （3）为增加销量，该超市决定对购买这种冰箱贴的顾客，每购买一个冰箱贴，赠送成本价为元的一本纪念册，在这种促销模式下，若该超市这种冰箱贴日销售获得的最大利润为338元，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）4      【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设与的函数表达式为，将和代入计算即可得出结果； （2）根据利润（单价进价）销售量即可得出与的函数表达式； （3）根据题意得出利润关于的关系式，再由二次函数的性质即可得出结果． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 将和代入可得 ， 解得： ， ∴与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：由题意可得：， ∴与的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：由题意可得， 利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，利润有最大值为， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 解得， 当时，，超出自变量的取值范围，舍去， 当时，，符合题意； 故的值为． 28．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）若苗圃的面积为96平方米，求的值； （2）求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）8     （2）当x为米时，苗圃的最大面积为平方米      【分析】 本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得的长为米；根据题意得，，即可解得x的值； （2）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为米， ∴的长为米， 根据题意得，， 解得，或， ∵当时，（不合题意，舍去）； 当时，（符合题意） ∴的值为； (2) 小问详解： 解：设苗圃的面积为， ， ∵， ∴， ∵，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃的最大面积为平方米． 29．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的函数表达式： （2）一艘宽为，高出水面的货船，请通过计算说明这艘货船能否从桥下通过？ 【答案】（1）     （2） 一艘宽为，高出水面的货船，能从桥下通过， 理由：∵抛物线为， ∴该抛物线的对称轴为， ∵一艘宽为，高出水面的货船行驶时航线在正中间， ∴当时， ， 所以一艘宽为，高出水面的货船，能从桥下通过．      【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，熟练地把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键． （1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）先求出该抛物线的对称轴为，再把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为， 把代入抛物线的解析式得 ， 解得 ， 所以抛物线为； (2) 小问详解： 略 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　　　　　　m． 【答案】0.2 【分析】 本题考查了二次函数的应用，求得球出手时运动员的横坐标是解题的关键．求得当时，x的值，进而根据题意求得运动员所在的横坐标，即可求得篮球出手时的高度，进而求得运动员跳离地面的高度． 【详解】 解：令，即， 解得，（舍）， 运动员所在的横坐标为：， 当时，， 运动员跳离地面的高度为：， 故答案为：0.2． 31．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）项目学习 背景 近年来，抚顺市坚持“产业兴农、质量兴农、绿色兴农”打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元／天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的整数倍） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报四周所加边框的宽； 任务2 要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为多少元？ 【答案】任务一：民宿宣传海报边框的宽为；任务二：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元 【分析】 本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式及一元二次方程是解题的关键． 任务一：设民宿宣传海报边框的宽为，根据长方形面积公式列一元二次方程，解方程即可； 任务二：设每天民宿纯收入为元，列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解． 【详解】 解：任务一：设民宿宣传海报边框的宽为， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或（不合题意，舍去）． 答：民宿宣传海报边框的宽为． 任务二：设每天民宿纯收入为元，由题意可得： ． ， 抛物线开口向下，有最大值， 当时，最大，此时每间客房的定价应为（元）． 答：要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为260元． 32．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化驱动下，针对特定车型的零部件开展一体化加工，促使生产效率得以提升，负责生产该零件的车间4月份产量是100个，6月份产量是144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．该厂生产的零件向车企进行销售． 问题解决 任务1 （1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为___________； 任务2 （2）为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 （3）假设该厂所取得的月销售利润为元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）20% （2）该零件的实际售价应定为元． （3）售价定为元时，月销售利润最大，最大为元． 【分析】 本题主要考查一元二次方程，一次函数和二次函数的图象和性质： （1）设平均增长率为，根据题意可得． （2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，采用待定系数法可求得函数表达式； （3）月销售利润是售价的二次函数，根据二次函数图象的性质即可求得答案． 【详解】 （1）设平均增长率为，根据题意可得 ． 解得 ，（舍去）． 故答案为： （2）根据题意，可知月销售量(单位：个)是零件售价(单位：元)的一次函数，设一次函数表达式为． 因为售价每上涨1元，月销售量将减少10个，则售价为元时，月销量（个），所以，点和在函数图象上，可得 解得 所以，月销售量与零件售价之间的函数表达式为． 所以，月销售利润． 根据题意，得 ． 解得 ，． 因为尽可能让车企得到实惠，所以该零件的实际售价应定为元． 答：该零件的实际售价应定为元． （3）根据题意，得 ． 该二次函数的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值，． 答：售价定为元时，月销售利润最大，最大为元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）如图，有长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为米，面积为． （1）求与的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，的长是多少米？ 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）下列对抛物线的描述不正确的是（          ） A. 开口向下 B. y有最大值 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标为 2．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 3．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）抛物线y＝2（x+4）2+3的顶点坐标是（　　） A. （0，1） B. （1，5） C. （4，3） D. （﹣4，3） 4．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）将抛物线y＝x2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（       ） A. y＝（x＋3）2＋3 B. y＝（x﹣3）2＋1 C. y＝（x＋2）2＋1 D. y＝（x＋3）2＋1 7．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）抛物线的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）抛物线的对称轴是（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 10．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）对于二次函数的图象，则下列结论不正确的是（     ） A. 顶点坐标为 B. 与轴有两个交点 C. 函数有最小值2 D. 当时，随增大而减小 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）将抛物线平移后得到抛物线，平移的方法可以是（　　） A. 向左平移3个单位长度 B. 向右平移3个单位长度 C. 向上平移3个单位长度 D. 向下平移3个单位长度 13．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么所得的解析式为（     ）． A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）把二次函数y=3x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是(       ) A. y=3（x-1）2+2 B. y=3（x+1）2-2 C. y=3（x-1）2-2 D. y=3（x+1）2+2 18．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式是　　　　　． 21．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）对于二次函数，当时，的取值范围是　　　　　　　　　　　 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）二次函数，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 2．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（     ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 4．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）抛物线的图象如图所示，则a，b，c的值分别满足（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭）如图，拋物线与轴交于点、，与轴交于点，，则下列各式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ） 0 1 2 3 1 3 4 3 A.  B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 10．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A. 有最大值7，最小值 B. 有最大值，最小值 C. 有最大值，最小值 D. 有最大值7，最小值 11．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，其对称轴是直线，则以下四个结论中：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．正确的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，当时，的取值范围是（     ） A.  B. 或 C.  D.  14．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 15．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）抛物线上，部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： …… 0 1 2 3 …… …… 1 1 …… 则下列结论：①；②；③抛物线的对称轴为直线；④方程的两个根满足，．其中正确的有（　　） A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 16．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a=；其中正确的有（　　）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）二次函数的图像如图所示，其对称轴为，图像经过点，与轴负半轴交于点，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 点的坐标为 D. 若，两点都在抛物线的图像上，则 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 20．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 21．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：；；；当时，，其中正确的结论有（     ） A.  B.  C.  D.  22．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于的方程的一个根．其中正确结论的个数是（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 23．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）若抛物线的对称轴是直线，则　　　　　　　　　　　； 25．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）二次函数的对称轴为直线　　　　　　． 26．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点的坐标为．    （1）求直线的表达式及抛物线的表达式． （2）求点的坐标． （3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出的取值范围． （4）若抛物线上有一点（在第一象限内），使得，直接写出点的坐标． 27．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴． 29．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）（1）解方程：； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 30．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）某蔬菜种植基地计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，其中蔬菜大棚的横截面由抛物线和矩形构成．如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离米，支撑杆米，棚宽米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装两根关于y轴对称的支撑柱，在两根支撑柱上架横梁．已知这种支杆材料的价格是每米200元，求三根支杆的总造价最大值． 31．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知二次函数，当时，y有最小值7，最大值11，则的值为　　　　　　． 32．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知关于x的二次函数 （1）若时，求该函数的解析式； （2）当时，该函数的最大值与最小值的差为18，求a的值； （3）若是该函数图象上的两点，且对于都有，求a的取值范围． 33．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，直线从左至右交抛物线于点．且两条抛物线的顶点都在直线上，均平行于轴．已知，则　　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． （1）能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由； （2）的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 35．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）已知二次函数，当自变量满足时，函数的最大值为　　　　　　． 36．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知：，，米，米，米，米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O． （1）求直线的解析式． （2）设点P的横坐标为m，矩形的面积为S，求S关于m的函数关系式． （3）求当矩形的面积S取得最大值时点P的坐标． 37．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交线段于点．过点作轴于点，延长至点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，和的面积分别表示为和，求当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 38．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数有最大值，求的值． 39．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2． （1）点A坐标为 _____，点B坐标为_____． （2）求此抛物线所对应的函数解析式． （3）点P是抛物线上一点，点P与点B不重合，设点P的横坐标为m，过点P作轴，交直线于点C，设的长为h． ①若点P在直线的上方，求h关于m的函数解析式； ②若点P在x轴的上方，当h随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 40．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 41．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图①，在地面上有两根等长的立柱，，它们之间悬挂了一根抛物线形状的晾衣绳，按照图中的直角坐标系，这条晾衣绳可以用表示，已知米． （1）求抛物线的表达式； （2）现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根管子作为立柱对晾衣绳进行支撑（如图②），现要求立柱到距离为，两旁的晾衣绳也是抛物线形状，且立柱左侧晾衣绳的最低点到的距离为，到地面的距离为．现有一根长米的管子且可加工切割，请你通过计算，判断这根管子的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）． 42．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与y轴交于点C，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上，求面积的最大值． 43．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求点P的坐标； （3）设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； （4）取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 44．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）如图1，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）当时，抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，直接写出的值； （3）如图2，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧，抛物线与抛物线的对称轴相交于点，连接，． ①求证：； ②如图3，若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 45．（25-26学年九上·辽宁铁岭）抛物线（为常数）经过点，与轴的交点是点，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． （1）______，______； （2）若点在上方，当为何值时，的面积最大； （3）点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标； （4）在平面直角坐标系中，我们把两点纵坐标差的绝对值叫作这两点的纵距．点和点的纵距记为，求关于的表达式． 46．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）已知分别是关于自变量x的函数，点在的图象上，点在的图象上．定义：我们把称为与的“m界距离”． 例如：若函数，当时，时，，则把2称为与的“2界距离”． （1）若，求与的“界距离”； （2）在平面直角坐标系中，的图象如图所示； ①设与，的“m界距离”为d，求d与m的表达式，并写出m的取值范围； ②连接，以为边作正方形（点按逆时针顺序排列），当与有交点时，求m的取值范围． 47．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为             ； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 48．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点，为抛物线对称轴上两点（点在点下方），且．当的值最小时，点的坐标是　　　　　． 49．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，平移抛物线：后得到抛物线，抛物线过点， ． （1）求抛物线的表达式； （2）点，都在抛物线上，若且，比较与的大小并说明理由； （3）点在抛物线上，过作轴交抛物线于点，设点的横坐标为，若，直接写出的取值范围； （4）若抛物线上的点平移得到点，过作轴交抛物线于点，判断四边形的形状，并说明理由． 50．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）给出如下定义：对于二次函数（其中a、b、c为常数，且，），一次函数叫作该二次函数的“从属函数”．例如：二次函数的“从属函数”为：． （1）二次函数的图象交x轴于点和点．则该二次函数的“从属函数”的表达式为                 ； （2）如图，设二次函数的图象为，它的“从属函数”的图象为，图象交x轴于A、B两点．图象与相交于C、D两点（点D在点C的左侧）． ①求C、D两点的坐标； ②过点A的直线l交在第二象限的部分于点E，交于F，若，求点E的坐标； ③点P为图象上的动点，设点P的横坐标为t，连接，若为钝角三角形，直接写出t的取值范围． 51．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）已知是自变量x的函数，若（为常数且为整数），则称是x的“a维函数”，例如：x的“1维函数”为；称（t为常数且为整数）是x的“t阶a维函数”，例如：x的“2阶1维函数”为． （1）写出自变量x的“3阶维函数”的表达式． （2）已知函数y是“1阶2维函数”、“4阶1维函数”与“3阶0维函数”的和，请写出y的表达式． （3）在满足（2）的条件下，设函数y的图像M上的最低点为A，与y轴交点为B，点C为图像M上一定点，若将图像M向右平移，保持最低点始终在直线上，记平移后得到的图像为N．当点A平移到点H时，此时图像M上的点C移至B点． ①求在平移过程中，图像M上的两点A、C间所夹的曲线扫过的区域的面积S． ②如果过点和的直线与图像M、图像N都相交且只有3个交点，请直接写出m的值． 52．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在线段上，过作轴于，以为斜边在其右侧作等腰直角三角形． ①若点的横坐标为，请说明点是否落在轴上； ②若点落在该抛物线上，求点的坐标； （3）将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得新函数记为，当时，，求的值． 53．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，直线与轴相交于点，是第一象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求的长；（用含有的代数式表示） （3）当的面积为时，求点坐标； （4）作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形． ①当矩形的边与抛物线有三个交点时，求的取值范围； ②在①的条件下，当抛物线经过矩形某一边的中点时，请直接写出的值． 54．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）如图1，点是抛物线第一象限的一点，连接，且与交于点． ①求的面积； ②设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标； （2）如图2，将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在新抛物线对称轴上找一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点且为对角线的四边形是矩形，请求出点的坐标． 55．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）定义：已知是关于自变量的函数，当时，称函数为函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“倍差函数”在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数“倍差函数”的函数表达式； （2）如图，点在函数（）的图象上，当点“关于的倍差点”的纵坐标为时，求点的坐标； （3）点在函数的图象上，点“关于的倍差点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②当时，过点作轴的平行线，与函数的“倍差函数”的图象交于点，连接，设的和为，求关于的函数表达式，并写出自变量取值范围； ③在②的条件下，当直线与函数的图象有3个交点时，从左到右依次记为点，，横坐标分别为，当时，求的值． 56．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 57．（2026·辽宁沈阳虹桥中学教育集团虹桥初级中学·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． （1）求点，的坐标及，的值； （2）直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； （3）若新函数满足 ，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 58．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线（b，c为常数）相交于点A，B，点A，B的横坐标分别为和2，过点B作轴，与抛物线相交于点C，分别以，的长为边长向上方作矩形． （1）求抛物线的解析式； （2）将矩形先向右平移m个单位长度，再向下平移n个单位长度，得到矩形，点C的对应点在抛物线上． ①求n关于m的函数解析式； ②若边与抛物线相交于点M，点M在抛物线对称轴的右侧，当时，求点的坐标； ③当边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m的值或取值范围． 59．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，直线与两个图象分别交于点P，点，与轴交于点． ①当点在线段上时，求的最大值； ②设点到直线的距离之和为时，求的值． （3）二次函数与二次函数组成新的函数，若该函数图象上有点且点与不重合，点的横坐标为，点的横坐标为，点之间（含两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 60．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为．    （1）已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： （2）如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 61．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，其中，． （1）求，的值； （2）点为抛物线的第一象限上一动点，连接，交于点，当取最大值时，求点的坐标； （3）将抛物线沿射线平移得到新抛物线，当抛物线经过点时，抛物线存在两点，，若对于满足的任意实数，总有，求的取值范围． 62．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，，，均为常数）与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式： （2）当时，，则的取值范围是________． （3）点是抛物线上一点，不与点，重合，设点的横坐标为． ①当点在第一象限时，连接，交于点，当时，求点的坐标； ②将抛物线位于轴下方的部分沿轴向上翻折，得到的图象与剩余部分组成新的图象，当时过点作轴，点的横坐标为，当线段与图象有两个交点时，直接写出的取值范围． 63．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图①，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点，与轴交于另一点． （1）求二次函数表达式： （2）如图②，点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接． ①求的最大值； ②当中某个角的度数等于的倍时，请直接写出此时的值； ③当时，的取值范围是，且，求的值． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的是（     ） A. ②④⑤ B. ③④⑤ C. ②③④⑤ D. ①③④⑤ 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（       ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（     ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）抛物线与坐标轴的交点个数为（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）二次函数图象的性质，下列叙述正确的是（） A. 抛物线与x轴没有交点 B. 抛物线有最低点 C. 当时，y随x增大而减小 D. 当时，y随x增大而增大 6．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）如图所示是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）抛物线与轴的交点坐标为　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）二次函数经过两点，则一元二次方程的两个根是　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）已知二次函数的图象如图所示，则方程的解为　　　　　　　　. 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图1，二次函数与y轴交于点A，二次函数经过点A： （1）求函数的解析式； （2）直线与函数有三个交点，求出m的取值范围； （3）如图2，将函数向右平移8个单位得到函数，且函数与函数交于B，C两点，直线与交于点M； ①若直线与的交点的最大值与最小值均不随m的变化而变化，求m的取值范围； ②若点M位于B，C两点之间的封闭曲线内，求m的取值范围． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图，利用一面墙，用40米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25米，那么围成矩形场地的最大面积是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（     ） A. 7 B.  C.  D.  3．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）在运动会比赛时，九年级的一名男同学推铅球，已知铅球经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图所示），如果这名男同学的出手处A点的坐标为，铅球路线的最高处B点的坐标为． （1）求出这个二次函数的解析式； （2）请求出这名男同学比赛时的成绩？ 5．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）月日上午，舰载机梯队飞过天安门广场上空，接受祖国和人民检阅．其由歼、歼、歼和歼四型战机组成，为了让更多人的感受祖国航空航天事业的强大，某电商直播销售一款飞机模型，每个飞机模型的成本为元，当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出个，通过市场调查发现，若售价每上涨元，其月销售量就减少个． （1）当每个飞机模型的售价为元时，平均每月售出               个飞机模型，月销售利润是               元； （2）由于直播平台升级，月销售利润需要达到元才能正常运行，同时还希望让顾客得到更多的实惠，求每个飞机模型需要上涨多少元． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则　　　　　　． 7．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）根据以下素材，探索并完成任务． 探究汽车刹车性能 “道路千万条，安全第一条”，刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车性能的相关问题（反应时间忽略不计）． 素材1 刹车时间：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的时间，刹车距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止，汽车所行驶的距离．     素材2 汽车研发中心设计一款新型汽车，某兴趣小组成员记录了模拟汽车在公路上以某一速度匀速行驶时的刹车性能测试数据，具体如下： 刹车后汽车行驶时间（s） 1 2 3 4 刹车后汽车行驶距离（m） 18 32 42 48 素材3 该兴趣小组成员发现：①刹车后汽车行驶距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间具有函数关系（为常数）；②刹车后汽车行驶距离随行驶时间的增大而增大，当汽车刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 问题解决：请根据以上信息，完成下列任务． 任务一：求关于的函数解析式； 任务二：汽车司机发现正前方处有一个障碍物在路面，立刻刹车，判断该车在不变道的情况下是否会撞到障碍物？请说明理由． 8．（25-26学年九上·西藏辽阳第一中学·期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件，求： （1）若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元 （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 9．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角（两边足够长）围一个矩形花园，并在上留宽为的门．同学们购买了长的篱笆，设，花园的面积为．完成下列作答． （1）当时，求的值． （2）如图，点处有一棵树与墙的距离是，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 10．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）如图，在一次足球训练中，某球员从球门（原点处）正前方的处射门，球射向球门的路线可近似成一条抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为，通过计算判断该球能否射进球门（忽略其他因素的影响）； （3）已知点为上一点，，若该球员带球向正后方移动再射门（射门路线的形状、球的最大高度均保持不变），球恰好经过区域（含点和点），求的取值范围． 11．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． （1）【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； （2）【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 12．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算中，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 （1）请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． （2）用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） （3）如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 13．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）在劳动课上，同学们参观了菜农的蔬菜大棚，并帮助菜农安装蔬菜大棚的支撑架，为此，数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为蔬菜大棚安装支撑架 活动准备 准备皮尺等测量工具 采集数据 蔬菜大棚的横截面是由抛物线和支柱墙，构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为，支柱墙，． 任务要求 如图2，为了安全，需对蔬菜大棚进行加固，准备在蔬菜大棚抛物线上安装三根钢管作为支撑架，分别为，，，其中，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上．菜农提供的钢管总长为，要求全部用完．请同学们确定支撑架的安装位置． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，则点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式，根据，求出点的坐标，从而确定支撑架的安装位置． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求点的坐标． 14．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出30个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出2个，设每个商品降价（元），每天获得利润（元），当时，与的函数关系式为　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）如图1，某农业种植户维修蔬菜大棚，准备在已有大棚的另一侧增加一个与原有大棚形状相同的育苗矮棚，经测试，原大棚立柱（）高为3米，以所在的直线为y轴，以水平地面为x轴建立如图所示坐标系（如图2），大棚靠近立柱一侧由三角形（）支架固定，另一侧由立柱（）固定，已知，，棚顶主体结构符合某二次函数抛物线，且C是最高点： （1）请求出该抛物线解析式，并注明取值范围； （2）如图2，新修建的育苗棚在靠近立柱的一侧同样由三角形支架（）固定，且，外侧固定的立柱，若棚顶是点E为最高点且形状相同的抛物线，种植户在立柱的左侧平整出宽的土地是否够用？通过计算说明． 16．（25-26学年九上·辽宁铁岭）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． （1）求满足条件的抛物线的关系式． （2）根据中学生体育测试评分标准(男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 17．（25-26学年九上·辽宁铁岭）大蒜是我国重要蔬菜品种，尤其铁岭种植大蒜历史悠久，大蒜刚上市时，张经理按市场价格6元／千克在生产基地收购了2000千克大蒜存放入冷库储存，据预测，大蒜的市场价格每天每千克将上涨元，但冷库存放这批蒜时每天需要支出各种费用合计170元，而且大蒜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有5千克的大蒜损坏不能出售． （1）若存放天后，将这批大蒜一次性出售，设这批大蒜的销售总金额为元，试写出与之间的函数解析式； （2）张经理将这批大蒜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 18．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 19．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）根据以下内容，完成问题 探究主题 拱桥水位的变化 呈现问题 某景区有一座抛物线形石拱桥，工作人员需研究水位变化对桥面下水面宽度的影响．测量发现：当拱顶离水面时，水面宽，当水面上涨3m时，水面宽度减少多少? 数学抽象 从实际问题抽象出数学问题为：已知抛物线顶点为，，垂足为，交于点，，，，求． 自主建模 求线段长，需要先求点的坐标，就需要建立平面直角坐标系． 小组展示对比优化 小组一：以顶点为原点，抛物线的对称轴为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组二：以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系． 小组三：以原水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 小组四：以上涨后水面左侧端点为原点，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系． 问题解决： （1）选择一种建模思路求出水面上涨，水面宽度减少多少？ （2）把呈现问题中的“当水面上涨时”改为“当水面宽度为时”，水面是下降还是上涨?水位变化是多少? 20．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）如图，准备在校园里利用长的旧围墙，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为，矩形花园的面积为． （1）求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； （2）矩形花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 21．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）学校准备在大连理工大学西北门的彩虹桥上悬挂宣传牌，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在彩虹桥上悬挂宣传牌 活动准备 1．到大学基建处查阅彩虹桥框架结构的图纸；2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是位于大连理工大学西北门，在道路上方搭建的一座抛物线型彩虹桥．道路的宽为30，桥拱最高处距离路面的距离为9．为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩和进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱的对称轴对称．桥墩之间的距离．在两个桥墩上搭一个限高横杆． 设计方案 如图2，准备在桥拱下方，横杆上方安装矩形宣传牌，且在上，矩形宣传牌关于桥拱的对称轴对称． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的解析式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决相关问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）若学校要求矩形宣传牌的面积为18，且，请你通过计算，判断能否安装上符合要求的宣传牌． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）综合与实践 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓广应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 23．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 25．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）人民生活水平日益提高，周末短途旅游日趋火爆．我市某旅行社推出“淮安一日游”项目，报名费用y（元/人）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，其中每个团队人数不超过60人． （1）当时，求y与x之间的函数关系式； （2）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到报名总费用最多？最多是多少元？ 26．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线形，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带，来增加夜景效果，，均与垂直，点，分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 27．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）某旅游景点超市购入一批进价为10元/个的冰箱贴进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值，设这批冰箱贴日销售利润为元． 销售单价元 … 12 14 16 18 20 … 销售量个 … 56 52 48 44 40 … （1）求与的函数表达式； （2）求与的函数表达式； （3）为增加销量，该超市决定对购买这种冰箱贴的顾客，每购买一个冰箱贴，赠送成本价为元的一本纪念册，在这种促销模式下，若该超市这种冰箱贴日销售获得的最大利润为338元，求的值． 28．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开（木栏的占地面积忽略不计），分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为米． （1）若苗圃的面积为96平方米，求的值； （2）求当为何值时，苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 29．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的函数表达式： （2）一艘宽为，高出水面的货船，请通过计算说明这艘货船能否从桥下通过？ 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）一身高的篮球运动员在距篮板处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手．按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为　　　　　　m． 31．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）项目学习 背景 近年来，抚顺市坚持“产业兴农、质量兴农、绿色兴农”打造新农村建设．某校组织学生开展“我为家乡民宿代言”的实践活动，学生们通过设计宣传资料、协助民宿计算定价方案等方式，助力家乡民宿发展． 素材1 活动中，某小组为家乡的一家民宿设计宣传海报．海报原是长、宽的矩形，为了贴在民宿的接待区墙面更美观，学生们决定给海报加一个“上下左右宽度相等”的边框，且添加边框后的整个图形的面积为． 素材2 这家民宿共有30间客房．学生们协助民宿老板做定价调研：旅游旺季时，若客房定价为200元／天，所有客房都会住满；每将定价提高10元，就会空出1间客房．另外，对于有人入住的客房，民宿要给每间客房每天花费20元的用品费．现设每间客房的定价提高了元．（是10的整数倍） 解决问题 任务1 求民宿宣传海报四周所加边框的宽； 任务2 要使这家民宿每天纯收入最大，则每间客房的定价应为多少元？ 32．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 智能化驱动下，针对特定车型的零部件开展一体化加工，促使生产效率得以提升，负责生产该零件的车间4月份产量是100个，6月份产量是144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．该厂生产的零件向车企进行销售． 问题解决 任务1 （1）该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为___________； 任务2 （2）为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 （3）假设该厂所取得的月销售利润为元，请问当售价定为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $