专题01 一元二次方程（期中真题汇编，辽宁专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．A 7．C 8．A 9．B 10．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 11．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】 解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 13．【答案】10 【分析】 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．根据题意，是方程的一个根，得出，化简代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】 解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 15．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】 解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 16．【答案】2028 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是熟练应用整体代入法．根据方程根的定义，将已知条件代入代数式，通过代数变形求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 17．【答案】-7 【分析】 把方程的根代入方程可以求出字母系数的值． 【详解】 解：把2代入方程有：5×4+2k﹣6＝0 解得：k＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 18．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，直接代入求解即可． 将代入方程求解即可． 【详解】 解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 19．【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的根，利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵是方程 的一个根， ∴， ∴． ∴． 故答案为：11． 20．【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”．     （2）     （3）m的值为1或      【分析】 本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组 ，解得 ， ∴该方程为． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后通过代数变形求解的值即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 考点02 配方法 1．C 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】 解：， 配方得：， 整理得：， ∵即为形式， ∴， 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 5．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程求解的方法是解题的关键． （1）利用配方法，把方程左边配成完全平方形式，并将常数项移至右边，直接开平方，最终完成求解； （2）先移项，然后利用配方法，把左边配成完全平方形式，右边加上相应的常数，开平方，最终完成求解． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴，． (2) 小问详解： 解： ∴ ∴，． 考点03 公式法 1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．A 8．D 9．D 10．C 11．C 12．B 13．D 14．B 15．D 16．C 17．A 18．B 19．C 20．D 21．A 22．C 23．A 24．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解． (1) 小问详解： 解： ，． (2) 小问详解： 解： ∴，， ∴ ，． 25．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．当判别式时，方程有两个相等的实数根． 【详解】 解：∵ 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 26．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 其中，，，， ， ， ，． (2) 小问详解： 解： ， ， 解得：，． 27．【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）证明，进而可得； （2）由题意可得，，，则，由勾股定理得，，可求，则，设正方形的边长为，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形的边长为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形的边长为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 28．【答案】且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式． 方程有两个不相等的实数根，需满足一元二次方程的条件（二次项系数不为零）且判别式大于零． 【详解】 解：关于x的方程有两个不相等的实数根， ，， ，， 的取值范围为且， 故答案为：且． 29．【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， 这里，，， ， 无论k取何值，这个方程总有实数根．     （2）这个等腰三角形的周长为21或18      【分析】 本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定k，最后求出三角形的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 将代入方程，得， 解得， 将代入方程，得， 解得，， 所以这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以，即， 所以方程为，解得， 所以这个等腰三角形的周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 考点04 因式分解法 1．C 2．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ，； (2) 小问详解： 解： ， ． 3．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： 或 解得，； (2) 小问详解： 解： ，， 解得，． 4．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ∴，． 5．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法中的公式法，以及因式分解法．解题关键在于准确使用一元二次方程的求根公式．熟练掌握因式分解的方法，将方程左边化为两个因式乘积的形式，且使方程右边为． （1）方程的各项系数通过根的判别式判断根的情况，根据求根公式求解即可． （2）对于方程，先将所有项移到等号一边，使方程右边为，然后对左边的式子进行因式分解，根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”的原理求解方程． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ， (2) 小问详解： 解：， ， ，． 6．【答案】6 【分析】 本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】 解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 7．【答案】（1）13     （2）      【分析】 本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， 解得：． 8．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟记因式分解法、配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 则， ， 则， 解得，． 9．【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）先移项，然后系数化为1，再利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴或， ∴，． 10．【答案】 【分析】 先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 12．【答案】x1＝0，x2＝2 【分析】 利用因式分解法求解即可． 【详解】 移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据直接开平方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， 开方得：， 解得：，． 14．【答案】（1）是     （2）或．      【分析】 本题考查解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先因式分解法解一元二次方程，再根据题中定义判断即可； （2）先根据因式分解法求得方程的解，再根据题中定义列方程解答即可． (1) 小问详解： 解：解方程， 因式分解得， ∴或， ∴，， ∵， ∴是“差2方程”； 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：由， ∴或， 解得，， ∵方程（n是常数）是“差2方程”， ∴或， ∴或． 15．【答案】（1），；（2）， 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键． （1）直接利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：（1） 这里，，． ， ， 即，． （2）， 原方程可变形为， ， ， ， ，或． ，． 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． （1）利用公式法即可解答； （2）利用因式分解法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，， ， ∴，； (2) 小问详解： 解： 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 17．【答案】（1）②     （2）或      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键； （1）分别求出两方程的根，根据“3倍根方程”的定义判断即可； （2）求出方程的根，根据“3倍根方程”的定义求出、的关系，进而代入计算即可． (1) 小问详解： 解：①， ， 即或， 解得：，， ， 不是3倍根方程； ②， ， 即或， 解得：，， ， 是3倍根方程； 所以是3倍根方程的有② ． 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：， 即或， 解得， 是3倍根方程， 或， 即或， 或． 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，关键是灵活应用； （1）先提取公因式，再用十字相乘法进行因式分解； （2）用提公因式法进行因式分解. (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 即：； (2) 小问详解： ， ， ， ∴， 即：. 19．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用十字相乘法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 或， ，； (2) 小问详解： 解： ， 或， ，． 20．【答案】x1=1, x2=2. 【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得. 【详解】x(x-2)-(x-2)=0， ， x-1=0或x-2=0， 所以x1=1， x2=2， 故答案为x1=1， x2=2. 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键. 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．A 3．【答案】5 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用韦达定理即可求解． 【详解】 解：由题可知， ∴， 故答案为：5． 4．【答案】0 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，熟知是解题的关键． 由题知，，，代入计算即可． 【详解】 解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：0． 5．【答案】 【分析】 此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 由根与系数的关系得和，再通过恒等变换求，最后利用勾股定理求斜边． 【详解】 解：根据根与系数的关系，得，， 则， 在直角三角形中，斜边， 故答案为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．A 2．A 3．B 4．D 5．C 6．A 7．D 8．B 9．A 10．B 11．A 12．D 13．D 14．C 15．B 16．D 17．A 18．D 19．A 20．B 21．B 22．B 23．B 24．【答案】x（x+12）=864 【分析】 利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案． 【详解】 解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864． 故答案为：x（x+12）=864． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键． 25．【答案】12元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，设销售单价定为元，则平均每天可售出千克，根据该商贩想要平均每天获利680元，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：设销售单价定为元， 则平均每天可售出千克， 依题意，， 解得 ∵尽快减少库存， ∴销售单价应定为12元． 26．【答案】米 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设，则有，然后可列方程进行求解． 【详解】 解：设，则有，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，即， ∴； 故答案为． 27．【答案】 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据连续两次降价的比例关系列出方程． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元． 根据题意，第二次降价后售价为100元，因此可得方程， 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，设页边距为，由题意得：，即可求解； 【详解】 解：设页边距为， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴页边距为 29．【答案】（1）人     （2）人      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． (1) 小问详解： 设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； (2) 小问详解： 第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 30．【答案】宽为8m，长为10m 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设苗圃的宽为，长为，再根据面积列出方程，求出解，并舍去不合题意的解，即可得出答案． 【详解】 解：设苗圃的宽为，长为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 则， 所以这个苗圃的长为，宽为． 31．【答案】（1）该长方体盒子的高为     （2）每个无盖长方体盒子应降价2元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为．分别表示出底面长、宽，再列出一元二次方程求解； （2）设每个盒子降价y元，分别表示出新售价、新利润、新销量再列出一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为． 原硬纸板长，剪去左右两个边角后，底面长变为． 原硬纸板宽，剪去上下两个边角后，底面宽变为． 可列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：该长方体盒子的高为； (2) 小问详解： 解：设每个盒子降价y元，则： 新售价元， 新利润（元/个）， 新销量（个/天）， 可列方程：， 解得：， 答：每个无盖长方体盒子应降价2元． 32．【答案】（1）每次上调的百分率为     （2）营养液每瓶降低元，刚好用完元的采购预算      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设每次上调的百分率为，根据两次上调后每盆的售价为元，列方程求解即可； (2)设营养液每瓶降低元，根据刚好用完元的采购预算，可列方程，解方程求出营养液降低的钱数． (1) 小问详解： 解：设每次上调的百分率为， 根据题意得： 解方程得：，（不合题意，舍去）， 答：每次上调的百分率为； (2) 小问详解： 解：设营养液每瓶降低元， 根据题意得：， 解方程得：，（不合题意，舍去）， 答：营养液每瓶降低元，刚好用完元的采购预算． 33．【答案】（1）22米     （2）不能，理由： ， 化简得， ，方程没有实数根， 不能围成的矩形花园．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意正确列方程是解题关键． （1）设，根据长方形面积列一元二次方程求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式求解即可． (1) 小问详解： 解：设，则， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当矩形的长BC为22米时，矩形花园的面积为； (2) 小问详解： 略 34．【答案】（1）该芯片公司生产量的季度平均增长率为；     （2） 该目标不能实现，理由：该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ， ∴该目标不能实现．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意计算出该公司第四季度的芯片生产量，即可解答． (1) 小问详解： 解：设该芯片公司生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为 (2) 小问详解： 略 35．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 36．【答案】168（1﹣x）2=128 【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128； 考点：一元二次方程的应用 37．【答案】（1）400；12000     （2）50      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 1）利用月销售量每个水杯售价上涨的钱数，可求出月销售量，再利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）设每个水杯售价上涨x元，则每个水杯的销售利润为元，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得： （个）， （元）， ∴当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出400个水杯，利润是12000． 故答案为：400；12000． (2) 小问详解： 解：设每个水杯售价上涨x元（），则每个水杯的销售利润为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ， 又∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴， 答：每个水杯的售价为50元． 38．【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）① 根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；② 根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】 解：（1）① ∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ② 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 39．【答案】（1）每件配件的材料成本、人力成本和其他成本分别是元、元和元；     （2）12.5      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设人力成本元，则材料成本元，其他成本元，根据总成本合计880元列一元一次方程求解即可； （2）根据题意得出2025年，这种配件每件的材料成本为元，人力成本为元，其他成本为元，销售单价为，月均销售，再根据销售利润为500万元列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设人力成本元，则材料成本元，其他成本元， 由题意得：， 解得：， 则（元），（元）， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本分别是元、元和元； (2) 小问详解： 解：2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变 2025年，这种配件每件的材料成本为元，人力成本为元，其他成本为元， 每件的材料总成本合计（元）， 与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加． 2025年的销售单价为，月均销售， 2025年一月份销售利润为500万元， ， 整理得：， 解得：，（舍）， a的值为． 40．【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 41．【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】 解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 42．【答案】（1），     （2）天      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解； （1）由销售单价=成本单价+每千克上涨价格；完好水果的质量=总质量-损坏的水果的质量可得出结论； （2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵价格每天每千克上涨元， ∴天之后销售单价为：元； 完好的水果还有：千克. (2) 小问详解： 解：， 整理得：， 解得：（舍）， 答：存放天后一次性出售所得利润为元. 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． (1) 小问详解： 解：设该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率， ∵某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． ∴   ， 解得： 或（舍去）， ∴    答：该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率为； (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每天可售出箱， ∵当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱． ∴， 整理，得 ：， 解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴，（元）， 答：售价应为元． 44．【答案】40 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】 解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 45．【答案】（1）32     （2）每件商品应降价25元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用； （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，（件）， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价元， ， ， 或， 要尽快减少库存， ， 答：每件商品应降价25元． 46．【答案】（1）；；     （2）不能， 理由：根据题意，可列方程为：，整理得：，                根据判别式得：，即无实数解； 故不能达到；      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种文创产品每天获利3300元，进行列方程，再整理，即可作答． (1) 小问详解： 解：根据题意：∵每天可销售40件，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件；设每件文创产品降价元． ∴每天多卖出去； 故每天销售量为件， ∵进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，每件文创产品降价元． ∴每件盈利元，即元； 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 47．【答案】需设置页边距为． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先设页边距为，再根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，最后解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设页边距为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：需设置页边距为． 48．【答案】（1）     （2）不能      【分析】 本题考查列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量； （2）列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． (1) 小问详解： 解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：依题意，得， 整理，得， ， ∴原方程无解． 答：该商场销售这种台灯不能实现平均每月13000元的销售利润． 49．【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为     （2）最少购进甲种商品40件      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； (2) 小问详解： 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 50．【答案】（1）① 证明：正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ，， 又， ， ； ②； （2） 【分析】 本题考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，巧妙运用折叠的性质构造特殊图形是解题关键， （1）① 根据正方形和折叠的性质，证明，即可得到结论； ② 由折叠的性质可知，，同理可证，，设，在中，利用勾股定理列方程，求出，从而得到，即可求出的面积； （2）将沿所在直线翻折，得到，将沿所在直线翻折，得到，延长和交于点G．由题意可得，，根据折叠的性质，证明四边形是正方形，得到，，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：（1）① 略 ② 在正方形中，， ，， ， ， 由折叠的性质可知，， 同理可证，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 的面积； （2）如图，将沿所在直线翻折，得到，将沿所在直线翻折，得到，延长和交于点G． 为边上的高， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，，，，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ，， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，（舍）， 即的长为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若是一元二次方程的一个根，则a的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D.  2．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）若关于的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A. m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0 6．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（        ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期末）若是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）已知关于的方程的一个根是，则的值为　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为　　　　　． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）若是方程的一个根，则的值是　　　　　． 19．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期末）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）若是方程的根，则　　　　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期末）一元二次方程x2＝1的解是（        ） A. x＝1 B. x＝－1 C. x1＝1，x2＝－1 D. x＝0 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）一元二次方程配方后，结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）若方程可以配方成，则的值为　　　　　　． 5．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）解方程： （1） （2） 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 4．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）一元二次方程根的判别式的值是（     ） A.  B.  C. 1 D.  6．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  7．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（       ） A. 且 B.  C.  且 D.  8．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）若关于的方程没有实数根，则的值可以是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）下列一元二次方程无实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）下列一元二次方程，有两个相等实数根的是 （     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 无法判断 D. 有两个相等的实数根 13．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 16．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 17．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 不确定 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A. 4 B. 1 C.  D.  19．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D.  21．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 （       ） A.  B. 或 C.  D.  22．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（       ）． A.  B. 且 C. 且 D.  23．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  24．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）解方程： （1） （2） 25．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）解下列方程 （1）； （2）． 27．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，过点E作交于点P，连接． （1）求证：； （2）若，，求正方形的边长． 28．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）一元二次方程的解为（    ） A.  B.  C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期末）解下列方程： （1）； （2）． 3．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）解方程 （1）； （2）． 4．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 5．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）解方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）若，则　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： （1）求的值； （2）若， 求x的值． 8．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）解下列方程： （1）； （2）． 9．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 10．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）因式分解：　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）解下列方程： （1） （2） 12．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）一元二次方程x2＝2x的解为　　　　　　　　． 13．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 14．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如果一元二次方程的两根相差2，那么称该方程为“差2方程”，例如：是“差2方程”． （1）判断方程_____“差2方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于的方程（是常数）是“差2方程”，求的值． 15．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 16．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）解方程： （1） （2）． 17．（25-26学年九上·辽宁铁岭）如果关于的一元二次方程有两个实数根，并且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：下列方程①；②中，是3倍根方程的有______（填序号即可）； （2）若是3倍根方程，求的值． 18．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）解方程： （1）； （2）． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）一元二次方程的根是　　　　　. 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 2．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）一元二次方程的一个根是，则另一个根是（       ） A. 4 B. -1 C. -3 D. -2 3．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）已知，是方程的实数根，则　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个根，若以a，b为两条直角边作直角三角形，则斜边c的值是　　　　　　　　． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）方程术是我国传统数学著作《九章算术》中的重要数学成就，其中有记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意为：有一扇门的形状是矩形，其长比宽多6尺8寸，对角线长1丈，问门的长与宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）．设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）某校八年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，求八年级共有多少个班？若设八年级共有个班，根据题意列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）某商品原售价100元，经过连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）电影《731》以侵华日军731部队的细菌战和人体实验为背景，通过影像还原了这段残酷历史，它提醒观众，历史的伤痛不应被遗忘，那些在战争中遭受迫害的生命需要被铭记．某地第一天票房约3000万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达2.4亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（   ） A. 1轮后共有名同学会做这个模型 B. 第2轮又增加名同学会做这个模型 C. 依题意可得方程 D. 不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）某公司在2025年末公示年度报告，第一、二季度利润保持平稳，均为40万元，从第三季度开始收益逐渐提升，到第四季度利润达90万元，如果设第三、第四两季度利润平均增长率为x，根据题意，可列方程为（） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  21．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有个火车停靠站，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程　　　　　　． 25．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 26．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　　　　　　． 27．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元.设平均每次降价的百分率为，根据题意，可以列方程为　　　　　　　　　　　　． 28．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 29．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m．求这个苗圃的长和宽． 31．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 爱心义卖活动今天，我参加了学校的爱心义卖活动，我和同学们制作手工制品参加义卖．我们准备了一些矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图①）后，折叠成一个无盖的长方体盒子（如图②），则该长方体盒子的底面面积是，我想知道该长方体盒子的高是多少厘米？ 在随后的义卖活动中，我了解到每块矩形硬纸板的成本为20元，若无盖长方体盒子以30元/个售出，则每天可售出12个．在义卖过程中发现，每个无盖的长方体盒子每降1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利128元，则每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 任务： （1）根据笔记内容，求出该长方体盒子的高； （2）根据笔记内容，求每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 32．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）年，某初中为持续打造“绿色校园”，逐年优化绿植种植方案，相关绿植采购及养护费用的变化如下： （1）年学校采购观赏绿植幼苗，单价为元/盆，受绿植培育成本上涨影响，年、年的采购单价连续两年上调，每次上调的百分率相同，年的采购单价涨到元/盆，求每次上调的百分率． （2）绿植种植后需定期采购专用营养液，年月学校计划采购一批营养液．经调研发现：当营养液市场售价为元/瓶时，可采购瓶；若售价每降低元，可多采购瓶．为高效使用预算，学校与供应商协商调整售价，求营养液每瓶降低多少元，刚好用完元的采购预算（总费用调整后单价采购数量） 33．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．计划砌墙长． （1）当矩形的一边为多少米时，矩形花园的面积为； （2）能否围成的矩形花园？请通过计算说明理由． 34．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． （1）求该芯片公司生产量的季度平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 35．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）某市交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 36．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得　　　　　　　　　　　　　　　． 37．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出            个水杯，月销售利润是            元； （2）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价？ 38．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 39．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）2024年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． （1）求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ （2）2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2025年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2025年一月份销售利润为500万元，请求出a的值． 40．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 41．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 42．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格元/千克在该市收购了千克该水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①该水果的市场价格每天每千克上涨元； ②平均每天有千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④该水果最多保存天． （1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为          元；可以出售的完好水果还有          千克； （2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为元？ 43．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）沈阳鸡架以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商沈阳鸡架的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则每箱售价应为多少元？ 44．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　　　　　　． 45．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售数量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1050元，求每件商品应降价多少元． 46．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）某商店购进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，那么每天可销售40件．为尽快减少库存，现降价以促进销售，经试销发现，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件．设每件文创产品降价元． （1）每天销售量为___________件，每件盈利___________元；（用含x的代数式表示） （2）按这样的降价措施，该商店销售这种文创产品每天获利能否达到3300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 47．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图所示，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），考虑到整体的美观性，要求各页边距相等．若纸张大小为，要使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 48．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设每个台灯涨价x元． （1）每个台灯涨价x元后，该商场平均每月可售出________个台灯（用含x的代数式表示）； （2）该商场销售这种台灯能否实现平均每月13000元的销售利润？如果能，求出每个台灯售价；如果不能，请说明理由． 49．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 50．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）（1）问题情境 在正方形中，，点E为射线上一动点，将沿所在直线翻折，得到，延长，射线与射线交于点G，连接． ①如图1，当点E在线段上时，求证：； ②如图2，当点E在线段延长线上，且时，求的面积； （2）思维深化 如图3，在中，为边上的高，且，，求的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若是一元二次方程的一个根，则a的值为（     ） A.  B. 0 C. 1 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将代入方程，然后解关于a的方程即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得 故选：D． 2．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】 解：A、方程化为，是一元二次方程，故该选项符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、当时，方程是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】 解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． A：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意； B：方程中含有分式项 ，不是整式方程，故本选项不符合题意； C：方程中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，故本选项符合题意； D：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）若关于的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义， 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，因此令二次项系数即可求解． 【详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：A． 5．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A. m≠2 B. m=2 C. m≥2 D. m≠0 【答案】A 【详解】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1=0是一元二次方程，∴m-2≠0，解得：m≠2．故选A． 6．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键． 根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程”进行判断即可． 【详解】 解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意； B、不是整式方程，故此选项不符合题意； C、，当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是一元三次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．（25-26学年九上·辽宁辽阳第一中学·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项． 【详解】 解：∵ 一元二次方程是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程， 选项A: 中含有分式，不是整式方程，∴ 不符合； 选项B: 中，a可能为0，当时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程； 选项C: 可化为，是整式方程，只含x且最高次数为2，∴ 符合； 选项D: 中含有两个未知数x和y，∴ 不是一元二次方程． 故选：C． 8．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（        ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，将所有的项都移到方程的左边，方程的右边为0，再得出二次项系数，一次项系数． 【详解】 解：， ∴ 二次项系数为，一次项系数为． 故选：A． 9．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程整理成一般式，再根据一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：方程整理成一般式为， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是， 故选：． 10．（25-26学年九上·第一中学·期末）若是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）已知关于的方程的一个根是，则的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】 解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】 解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键．根据题意，是方程的一个根，得出，化简代入计算即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 14．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】 解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】 解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）已知a是方程的一个根，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】2028 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，解题的关键是熟练应用整体代入法．根据方程根的定义，将已知条件代入代数式，通过代数变形求解即可． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：． 17．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）已知方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则k的值为　　　　　． 【答案】-7 【分析】 把方程的根代入方程可以求出字母系数的值． 【详解】 解：把2代入方程有：5×4+2k﹣6＝0 解得：k＝﹣7． 故答案为：﹣7． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）若是方程的一个根，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，直接代入求解即可． 将代入方程求解即可． 【详解】 解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 19．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）若是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的根，利用方程根的定义，将根代入方程得到关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】 解：∵是方程 的一个根， ∴， ∴． ∴． 故答案为：11． 20．（25-26学年九上·第一中学·期末）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； （2）已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； （3）已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】（1） 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”．     （2）     （3）m的值为1或      【分析】 本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组 ，解得 ， ∴该方程为． 故答案为：． (3) 小问详解： 解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）若是方程的根，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后通过代数变形求解的值即可． 【详解】 解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·第一中学·期末）一元二次方程x2＝1的解是（        ） A. x＝1 B. x＝－1 C. x1＝1，x2＝－1 D. x＝0 【答案】C 【分析】 根据平方根的定义解一元二次方程； 【详解】 解：若x2＝1，则 , 即x1＝1，x2＝－1； 故选C． 2．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）一元二次方程配方后，结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一元二次方程的配方法即可求出答案． 【详解】 移项，得， 方程两边同时加上4，得， 配方得， 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的步骤是解题的关键． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】 解：， 配方得：， 整理得：， ∵即为形式， ∴， 故答案为：． 4．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）若方程可以配方成，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】 解：， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·第一中学·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程求解的方法是解题的关键． （1）利用配方法，把方程左边配成完全平方形式，并将常数项移至右边，直接开平方，最终完成求解； （2）先移项，然后利用配方法，把左边配成完全平方形式，右边加上相应的常数，开平方，最终完成求解． (1) 小问详解： 解： ∴ ∴，． (2) 小问详解： 解： ∴ ∴，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；将方程化为一般形式后，计算判别式的值，根据判别式的正负判断根的情况即可． 【详解】 解：将方程化为一般形式：， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 2．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根求解即可． 【详解】 解：，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【分析】 根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】 解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 5．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）一元二次方程根的判别式的值是（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．直接计算一元二次方程的判别式即可 【详解】 解：∵ 一元二次方程 中， ，，， ∴ 判别式 ． 故选：C． 6．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ 故选：B． 7．（25-26学年九上·第一中学·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（       ） A. 且 B.  C.  且 D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】 解：由题意可得： ， 解得：且 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 8．（25-26学年九上·辽宁大连·期末）若关于的方程没有实数根，则的值可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】 解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． 9．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：D． 10．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）下列一元二次方程无实数根的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根．当时，方程无实数根． 【详解】 解：A：，∵，∴，有实数根； B：，∵，∴，有实数根； C：，∵，∴，无实数根； D：，∵，∴，有实数根； 故选：C． 11．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）下列一元二次方程，有两个相等实数根的是 （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 通过计算每个一元二次方程的判别式，若则有两个相等实数根． 【详解】 解：选项A：，，，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项B：，，，则方程没有实数根，不符合题意； 选项C： ，，，则方程有两个相等的实数根，符合题意； 选项D：，，，则方程有两个不相等的实数根，不符合题意， 故选：C． 12．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 无法判断 D. 有两个相等的实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的情况，由判别式决定：有两个不等实根，有两个相等实根，没有实根．通过计算一元二次方程的判别式的值，判断根的情况． 【详解】 解：一元二次方程为 ， ， ， ， 方程没有实数根， 故选：B． 13．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）下列关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的情况，准确的计算是解决本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、在中，， ∴， ∴无实数根，不符合题意； B、在中，， ∴， ∴有两个相等实数根，不符合题意； C、在中，， ∴， ∴无实数根，不符合题意； D、在中，， ∴， ∴有两个不相等的实数根，符合题意； 故选D． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】 解：由题意得： ， 解得：； 故选B． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】 解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 16．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A.  B.  C. 1 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 17．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实根 D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意求出，即可得解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A． 18．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（       ） A. 4 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】 解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 19．（25-26学年九上·辽宁沈阳大东区·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】 解：根据题意，得：， 解得， 故选：C． 20．（25-26学年九上·第一中学·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 分和两种情况，结合根的判别式求解即可． 【详解】 解：分和两种情况讨论如下： ① 当时，方程化为，解得，原方程有实数根，符合题意； ② 当时， ∵关于的方程有实数根， ∴，即， ∴当且时，原方程有实数根，符合题意； 综上所述，满足条件的的取值范围为， 故选：D． 21．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 （       ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的个数与判别式的关系．解题的关键在于明确当时，一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得， 故选：A． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（       ）． A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】C 【分析】 根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可解答． 【详解】 解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上：k的取值范围是且， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 23．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】A 【分析】 根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 24．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解； （2）根据公式法可进行求解． (1) 小问详解： 解： ，． (2) 小问详解： 解： ∴，， ∴ ，． 25．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式．当判别式时，方程有两个相等的实数根． 【详解】 解：∵ 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， 移项得：， 其中，，，， ， ， ，． (2) 小问详解： 解： ， ， 解得：，． 27．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）如图，在正方形中，点E为对角线上一点，过点E作交于点P，连接． （1）求证：； （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）证明，进而可得； （2）由题意可得，，，则，由勾股定理得，，可求，则，设正方形的边长为，则，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 设正方形的边长为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴正方形的边长为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形是解题的关键． 28．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式． 方程有两个不相等的实数根，需满足一元二次方程的条件（二次项系数不为零）且判别式大于零． 【详解】 解：关于x的方程有两个不相等的实数根， ，， ，， 的取值范围为且， 故答案为：且． 29．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）试说明：无论k取何值，这个方程总有实数根； （2）若一个等腰三角形的一边长为8，另两边的长度恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， 这里，，， ， 无论k取何值，这个方程总有实数根．     （2）这个等腰三角形的周长为21或18      【分析】 本题考查了一元二次方程和等腰三角形，掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、等腰三角形的性质和三角形成立的条件等知识点是解决本题的关键． （1）先计算根的判别式，再利用完全平方式的非负性得结论； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质确定k，最后求出三角形的周长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：当等腰三角形的腰长为8时，则方程的一个根为8， 将代入方程，得， 解得， 将代入方程，得， 解得，， 所以这个等腰三角形的周长为：， 当等腰三角形的底长为8时，则方程有两个相等的实数根， 所以，即， 所以方程为，解得， 所以这个等腰三角形的周长为：， 综上所述，这个等腰三角形的周长为21或18． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）一元二次方程的解为（    ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】 解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 2．（25-26学年九上·第一中学·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： ， ，； (2) 小问详解： 解： ， ． 3．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： 或 解得，； (2) 小问详解： 解： ，， 解得，． 4．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用配方法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ∴，． 5．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法中的公式法，以及因式分解法．解题关键在于准确使用一元二次方程的求根公式．熟练掌握因式分解的方法，将方程左边化为两个因式乘积的形式，且使方程右边为． （1）方程的各项系数通过根的判别式判断根的情况，根据求根公式求解即可． （2）对于方程，先将所有项移到等号一边，使方程右边为，然后对左边的式子进行因式分解，根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”的原理求解方程． (1) 小问详解： 解：，，， ， ， ， (2) 小问详解： 解：， ， ，． 6．（25-26学年九上·第一中学·期中）若，则　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】 解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 7．（25-26学年九上·第一中学·期中）定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： （1）求的值； （2）若， 求x的值． 【答案】（1）13     （2）      【分析】 本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 即， 解得：． 8．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟记因式分解法、配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， 则， ， 则， 解得，． 9．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ，     （2） ，      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键； （1）先移项，然后系数化为1，再利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解： ， ， ， ∴或， ∴，． 10．（25-26学年九上·辽宁本溪·期中）因式分解：　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解： 或 ∴； (2) 小问详解： 解： 或 ∴． 12．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）一元二次方程x2＝2x的解为　　　　　　　　． 【答案】x1＝0，x2＝2 【分析】 利用因式分解法求解即可． 【详解】 移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据直接开平方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， 开方得：， 解得：，． 14．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）如果一元二次方程的两根相差2，那么称该方程为“差2方程”，例如：是“差2方程”． （1）判断方程_____“差2方程”；（填“是”或“不是”） （2）已知关于的方程（是常数）是“差2方程”，求的值． 【答案】（1）是     （2）或．      【分析】 本题考查解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． （1）先因式分解法解一元二次方程，再根据题中定义判断即可； （2）先根据因式分解法求得方程的解，再根据题中定义列方程解答即可． (1) 小问详解： 解：解方程， 因式分解得， ∴或， ∴，， ∵， ∴是“差2方程”； 故答案为：是； (2) 小问详解： 解：由， ∴或， 解得，， ∵方程（n是常数）是“差2方程”， ∴或， ∴或． 15．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）（1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【分析】 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法、因式分解法是解题的关键． （1）直接利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：（1） 这里，，． ， ， 即，． （2）， 原方程可变形为， ， ， ， ，或． ，． 16．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）解方程： （1） （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练运用不同方法解方程是解题的关键． （1）利用公式法即可解答； （2）利用因式分解法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：在中，， ， ∴，； (2) 小问详解： 解： 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 17．（25-26学年九上·辽宁铁岭）如果关于的一元二次方程有两个实数根，并且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：下列方程①；②中，是3倍根方程的有______（填序号即可）； （2）若是3倍根方程，求的值． 【答案】（1）②     （2）或      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程是解题的关键； （1）分别求出两方程的根，根据“3倍根方程”的定义判断即可； （2）求出方程的根，根据“3倍根方程”的定义求出、的关系，进而代入计算即可． (1) 小问详解： 解：①， ， 即或， 解得：，， ， 不是3倍根方程； ②， ， 即或， 解得：，， ， 是3倍根方程； 所以是3倍根方程的有② ． 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：， 即或， 解得， 是3倍根方程， 或， 即或， 或． 18．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，关键是灵活应用； （1）先提取公因式，再用十字相乘法进行因式分解； （2）用提公因式法进行因式分解. (1) 小问详解： 解：， ， ， ∴， 即：； (2) 小问详解： ， ， ， ∴， 即：. 19．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用十字相乘法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ， 或， ，； (2) 小问详解： 解： ， 或， ，． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）一元二次方程的根是　　　　　. 【答案】x1=1, x2=2. 【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得. 【详解】x(x-2)-(x-2)=0， ， x-1=0或x-2=0， 所以x1=1， x2=2， 故答案为x1=1， x2=2. 【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键. 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞-2且k≠1 B. k＜2 C. k＞2 D. k＜2且k≠1 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系即可得出答案. 【详解】∵（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根 ∴且k-1≠0 解得：.k＜2且k≠1 故答案选择D. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的个数与判别式的关系：① 当时，有两个不等实根；② 当时，有两个相等实根；③ 当时，无实数根. 2．（25-26学年九上·第一中学·期中）一元二次方程的一个根是，则另一个根是（       ） A. 4 B. -1 C. -3 D. -2 【答案】A 【分析】 设方程的另一个根为m，由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设方程的另一个根为m， 则有m×（-1）=-4， 解得：m=4． 故选：A． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记两根之积等于是解题的关键． 3．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）已知，是方程的实数根，则　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用韦达定理即可求解． 【详解】 解：由题可知， ∴， 故答案为：5． 4．（25-26学年九上·第一中学·期中）已知是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题主要考查根与系数的关系，熟知是解题的关键． 由题知，，，代入计算即可． 【详解】 解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：0． 5．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）已知a，b是一元二次方程的两个根，若以a，b为两条直角边作直角三角形，则斜边c的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 由根与系数的关系得和，再通过恒等变换求，最后利用勾股定理求斜边． 【详解】 解：根据根与系数的关系，得，， 则， 在直角三角形中，斜边， 故答案为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先用x表示出另一边的长，再根据矩形面积算法列出方程即可． 【详解】 解：设矩形的一边长为x米， 则另一边长为米， 根据题意可列方程为， 故选：A． 2．（25-26学年九上·辽宁葫芦岛·期末）方程术是我国传统数学著作《九章算术》中的重要数学成就，其中有记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意为：有一扇门的形状是矩形，其长比宽多6尺8寸，对角线长1丈，问门的长与宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）．设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，列一元二次方程． 根据勾股定理，矩形的宽、高和对角线满足关系式宽高对角线．设宽为x尺，则高为尺，对角线为10尺，代入即可得方程． 【详解】 解：由题意得，6尺8寸尺，1丈尺 ∵门宽为x尺，高比宽多尺， ∴高为尺． ∵对角线长10尺， ∴根据勾股定理可得． 故选：A． 3．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）某校八年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了21场，求八年级共有多少个班？若设八年级共有个班，根据题意列出的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用-比赛问题．设共有x个班级，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】 解：设八年级共有x个班，每个班都要赛场， 但两班之间只有一场比赛，一共有场比赛， 故， 故选：B． 4．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）某商品原价为100元，第一次降价打折，第二次又在第一次的基础上打折出售，此时的价格为64元，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次打折后的售价为元，则第二次打折后的售价为元，据此列方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：D． 5．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）如图，在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，则满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意是解题关键．设金色纸边的宽为，根据“整个挂图的面积是”列方程即可． 【详解】 解：设金色纸边的宽为， 由题意得：， 故选：C． 6．（25-26学年九上·辽宁本溪·期末）某商品原售价100元，经过连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为x，则连续两次降价后的售价为原价乘以的平方，据此列出方程． 【详解】 解：∵经过连续两次降价，每次降价率为x，根据题意，得 ∴． 故选：A． 7．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）电影《731》以侵华日军731部队的细菌战和人体实验为背景，通过影像还原了这段残酷历史，它提醒观众，历史的伤痛不应被遗忘，那些在战争中遭受迫害的生命需要被铭记．某地第一天票房约3000万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达2.4亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，第一天票房为3000万元，三天累计票房为2.4亿元（即24000万元），每天增长率相同为x．累计票房包括第一天、第二天和第三天的票房之和，其中第二天票房为万元，第三天票房为万元，因此列方程即可． 【详解】 解：根据题意得：． 故选：D． 8．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）温州是盛产瓯柑之乡，某超市将进价为每千克5元的瓯柑按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了减少库存且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售瓯柑的利润为120元，则可列方程为（ 　 ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为（3-x）元，平均每天的销售量为（50+10x）千克，利用超市每天销售瓯柑获得的利润=每千克的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：当售价下降x元时，每千克瓯柑的销售利润为8-x-5=（3-x）元， 平均每天的销售量为（50+10x）千克， 依题意得：（3-x）（50+10x）=120． 故选：B． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．（25-26学年九上·第一中学·期中）2025世界人形机器人运动会于8月在国家速滑馆举办，旨在通过各项比赛展示机器人应用技术的多样性和创新性．某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组x个机器人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 根据每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】 解：每组x个机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，则每个机器人参加场比赛，则共有场比赛， 所以： 故选：A． 10．（25-26学年九上·第一中学·期中）由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，根据今年月份售价为万元，月均下降率是，可得：今年月份的售价为万元，又因为月份售价为万元，可列方程：. 【详解】 解：今年月份售价为万元，月均下降率是， 今年月份的售价为万元， 今年月份的售价为万元， 又月份售价为万元， 可列方程：. 故选：B． 11．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：A． 12．（25-26学年九上·辽宁沈阳东北育才学校·期中）《九章算术》是中国古代最重要的数学经典之一，其中记载：“今有衰分，各以差次分之．”“衰分”就是指按照一定比例增加或减少的分配方法，堪称世界上最早的增长率计算理论．根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势，年1月新能源汽车国内月销量达到万辆，年第一季度新能源汽车国内总销量达到万辆，若设年第一季度新能源汽车国内销量的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2025年2月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率），2025年3月新能源汽车国内月销量月新能源汽车国内月销量月平均增长率，再根据第一季度总销量达到万辆即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：根据题意得：． 故选：D． 13．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型．若设1名同学每次都能教会x名同学，下列结论错误的是（   ） A. 1轮后共有名同学会做这个模型 B. 第2轮又增加名同学会做这个模型 C. 依题意可得方程 D. 不考虑其他因素，经过三轮一共会有180名同学会做这个模型 【答案】D 【分析】 该题考查了一元二次方程的应用，根据题意求得x的值是解题的关键．第一轮后总人数为，第二轮后总人数为，且该值等于36，可解出；然后据此求得第三轮后总人数，即可解答． 【详解】 解：∵第一轮后总人数：， ∴第二轮后总人数：， 简化得：， 解得：（负值已舍去）， ∴第三轮后总人数为， ∴选项A、B、C均正确，选项D，错误． 故选：D． 14．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比赛，则可列的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用．根据每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，列出方程即可． 【详解】 解：设邀请x个球队参加比赛， 由题意，得：； 故选：C． 15．（25-26学年九上·辽宁沈阳铁西区·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】 设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 16．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理．设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程． 【详解】 解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺， ∴由勾股定理得， 故选：D． 17．（25-26学年九上·辽宁鞍山·期末）某公司在2025年末公示年度报告，第一、二季度利润保持平稳，均为40万元，从第三季度开始收益逐渐提升，到第四季度利润达90万元，如果设第三、第四两季度利润平均增长率为x，根据题意，可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利润从第三季度开始增长，经过两个季度的相同增长率x增长后达到第四季度利润90万元． 【详解】 解：第二季度利润为40万元，则第三季度利润为，第四季度利润为， 故可得， 故选：A． 18．（25-26学年九上·辽宁大连高新园·期中）九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】 解：由题意得 故选：D． 19．（25-26学年九上·辽宁盘锦双台子区·期末）如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为米，的长为米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键． 利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】 解：由题意可得：白色长方形的长为：， 三个白色长方形的宽之和为：， 三个白色长方形的面积为：， ∴， 故选：A． 20．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）某戏院举办文艺演出，经调研，当票价为每张30元时，1200张门票可以全部售出；票价每增加1元，售出的门票就减少20张．若涨价后，门票总收入达到38500元．设票价每张x元，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设票价每张x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程． 【详解】 解：设票价每张x元，由题意可得， 故选：B． 21．（2026·辽宁抚顺新抚区·二模）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．班主任赠送每位学生一张贺卡，共张；学生互赠贺卡，每位学生送出张，总互赠贺卡数为张；总贺卡数为两者之和． 【详解】 解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． 22．（25-26学年九上·辽宁沈阳沈河区·期末）在北京与沈阳之间往返的一趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、沈阳站），针对此动车有72种不同行程的火车票，每张火车票都标有始发站和终点站，设一共有个火车停靠站，下列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 火车票有方向性，从x个站中选2个站排列，计算排列数，再列方程即可． 【详解】 解：∵ 共有x个停靠站，每张火车票需选择始发站和终点站，且始发站与终点站不同， ∴ 始发站有x种选择，终点站有种选择， ∴ 总票数为， ∵ 有72种不同行程的火车票， ∴． 故选B． 23．（2026·辽宁抚顺新宾满族自治县·二模）古算趣题：“愚人持竿欲入门，怎奈门框把竹阻，横余五尺竖余三，焦急无措泪潸潸．有位邻居智慧高，教其斜竿对两角，愚人依言行一试，不多不少正合适，试问竿长是几何，能解此题我点赞．”大意是：“一人拿着一根竹竿进屋内，竹竿比门宽多5尺，比门高多3尺，如果竹竿斜着进门，恰好通过．若设竹竿的长为x尺，则可列方程为 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹竿的长为x尺，则由题意得，门宽为尺，门高为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：因为设竹竿长为x尺，由题意可知门宽为尺，门高为尺． ∴可列方程为：． 故选：B． 24．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程　　　　　　． 【答案】x（x+12）=864 【分析】 利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案． 【详解】 解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864． 故答案为：x（x+12）=864． 【点睛】 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键． 25．（25-26学年九上·辽宁锦州·期末）锦州地处北纬，属北温带半干旱季风气候，日照充足、昼夜温差大，且土壤富含矿物质，是优质苹果的“黄金种植区”．某商贩购进一批锦州苹果销售，进价为每千克8元，若按每千克15元销售，平均每天可售出80千克．经市场调查发现，销售单价每降低1元，平均每天的销售量可增加30千克．若该商贩想要平均每天获利680元，并尽快减少库存，销售单价应定为多少元？ 【答案】12元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，先理解题意，设销售单价定为元，则平均每天可售出千克，根据该商贩想要平均每天获利680元，进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：设销售单价定为元， 则平均每天可售出千克， 依题意，， 解得 ∵尽快减少库存， ∴销售单价应定为12元． 26．（25-26学年九上·辽宁铁岭·期中）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　　　　　　． 【答案】米 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设，则有，然后可列方程进行求解． 【详解】 解：设，则有，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，即， ∴； 故答案为． 27．（25-26学年九上·辽宁大连第三十四中学·期中）某种商品原来每件售价为144元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为100元.设平均每次降价的百分率为，根据题意，可以列方程为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据连续两次降价的比例关系列出方程． 【详解】 解：设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元． 根据题意，第二次降价后售价为100元，因此可得方程， 故答案为：． 28．（25-26学年九上·第一中学·期中）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张总面积的，求应设置的页边距． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，设页边距为，由题意得：，即可求解； 【详解】 解：设页边距为， 由题意得：， 解得：（舍去）， ∴页边距为 29．（25-26学年九上·辽宁大连·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）人     （2）人      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． (1) 小问详解： 设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； (2) 小问详解： 第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 30．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m．求这个苗圃的长和宽． 【答案】宽为8m，长为10m 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设苗圃的宽为，长为，再根据面积列出方程，求出解，并舍去不合题意的解，即可得出答案． 【详解】 解：设苗圃的宽为，长为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 则， 所以这个苗圃的长为，宽为． 31．（25-26学年九上·辽宁丹东·期末）阅读与思考 下面是小华同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 爱心义卖活动今天，我参加了学校的爱心义卖活动，我和同学们制作手工制品参加义卖．我们准备了一些矩形硬纸板，每块硬纸板的长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）把一块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图①）后，折叠成一个无盖的长方体盒子（如图②），则该长方体盒子的底面面积是，我想知道该长方体盒子的高是多少厘米？ 在随后的义卖活动中，我了解到每块矩形硬纸板的成本为20元，若无盖长方体盒子以30元/个售出，则每天可售出12个．在义卖过程中发现，每个无盖的长方体盒子每降1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利128元，则每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 任务： （1）根据笔记内容，求出该长方体盒子的高； （2）根据笔记内容，求每个无盖长方体盒子应降价多少元？ 【答案】（1）该长方体盒子的高为     （2）每个无盖长方体盒子应降价2元      【分析】 本题考查了营销问题(一元二次方程的应用)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为．分别表示出底面长、宽，再列出一元二次方程求解； （2）设每个盒子降价y元，分别表示出新售价、新利润、新销量再列出一元二次方程求解． (1) 小问详解： 解：设剪去的正方形边长为，则折叠后盒子的高为． 原硬纸板长，剪去左右两个边角后，底面长变为． 原硬纸板宽，剪去上下两个边角后，底面宽变为． 可列方程为：， 解得：，（舍去）， 答：该长方体盒子的高为； (2) 小问详解： 解：设每个盒子降价y元，则： 新售价元， 新利润（元/个）， 新销量（个/天）， 可列方程：， 解得：， 答：每个无盖长方体盒子应降价2元． 32．（25-26学年九上·辽宁辽阳·期末）年，某初中为持续打造“绿色校园”，逐年优化绿植种植方案，相关绿植采购及养护费用的变化如下： （1）年学校采购观赏绿植幼苗，单价为元/盆，受绿植培育成本上涨影响，年、年的采购单价连续两年上调，每次上调的百分率相同，年的采购单价涨到元/盆，求每次上调的百分率． （2）绿植种植后需定期采购专用营养液，年月学校计划采购一批营养液．经调研发现：当营养液市场售价为元/瓶时，可采购瓶；若售价每降低元，可多采购瓶．为高效使用预算，学校与供应商协商调整售价，求营养液每瓶降低多少元，刚好用完元的采购预算（总费用调整后单价采购数量） 【答案】（1）每次上调的百分率为     （2）营养液每瓶降低元，刚好用完元的采购预算      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设每次上调的百分率为，根据两次上调后每盆的售价为元，列方程求解即可； (2)设营养液每瓶降低元，根据刚好用完元的采购预算，可列方程，解方程求出营养液降低的钱数． (1) 小问详解： 解：设每次上调的百分率为， 根据题意得： 解方程得：，（不合题意，舍去）， 答：每次上调的百分率为； (2) 小问详解： 解：设营养液每瓶降低元， 根据题意得：， 解方程得：，（不合题意，舍去）， 答：营养液每瓶降低元，刚好用完元的采购预算． 33．（25-26学年九上·辽宁阜新·期末）如图，利用一面墙（墙最长可利用），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．计划砌墙长． （1）当矩形的一边为多少米时，矩形花园的面积为； （2）能否围成的矩形花园？请通过计算说明理由． 【答案】（1）22米     （2）不能，理由： ， 化简得， ，方程没有实数根， 不能围成的矩形花园．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意正确列方程是解题关键． （1）设，根据长方形面积列一元二次方程求解即可； （2）根据题意列一元二次方程，利用根的判别式求解即可． (1) 小问详解： 解：设，则， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：当矩形的长BC为22米时，矩形花园的面积为； (2) 小问详解： 略 34．（25-26学年九上·辽宁大连高新园区·期末）高新技术产业园区某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片64万个，第三季度生产芯片100万个． （1）求该芯片公司生产量的季度平均增长率； （2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到130万个，该目标能否实现？请说明理由． 【答案】（1）该芯片公司生产量的季度平均增长率为；     （2） 该目标不能实现，理由：该公司第四季度的芯片生产量为（万个）， ， ∴该目标不能实现．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意计算出该公司第四季度的芯片生产量，即可解答． (1) 小问详解： 解：设该芯片公司生产量的季度平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该芯片公司生产量的季度平均增长率为 (2) 小问详解： 略 35．（25-26学年九上·辽宁大连七十九中学·期中）某市交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可． 【详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 36．（25-26学年九上·第一中学·期中）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降到128元，已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】168（1﹣x）2=128 【详解】试题分析：由题意可得方程为168（1-x）2=128； 考点：一元二次方程的应用 37．（25-26学年九上·第一中学·期中）直播购物已经逐渐走进了人们的生活，某电商直播销售一款水杯，每个水杯的成本为30元．当每个水杯的售价为40元时，平均每月售出600个，若售价每上涨1元，其月销售量就减少10个． （1）当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出            个水杯，月销售利润是            元； （2）若月销售利润恰好为10000元，且尽可能让顾客得到实惠，求每个水杯的售价？ 【答案】（1）400；12000     （2）50      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 1）利用月销售量每个水杯售价上涨的钱数，可求出月销售量，再利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）设每个水杯售价上涨x元，则每个水杯的销售利润为元，利用月销售利润＝每个水杯的销售利润×月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得： （个）， （元）， ∴当每个水杯的售价为60元时，平均每月售出400个水杯，利润是12000． 故答案为：400；12000． (2) 小问详解： 解：设每个水杯售价上涨x元（），则每个水杯的销售利润为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ， 又∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴， 答：每个水杯的售价为50元． 38．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度） ①设的长为，用含x的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案） 【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）① 根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；② 根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】 解：（1）① ∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ② 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米； （2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 39．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）2024年某新能源汽车的配件销售单价为1200元，月均销售2万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本，其中材料成本是人力成本的16倍，人力成本比其他成本多20元，总成本合计880元． （1）求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ （2）2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变．从2025年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加．这样，2025年一月份销售利润为500万元，请求出a的值． 【答案】（1）每件配件的材料成本、人力成本和其他成本分别是元、元和元；     （2）12.5      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设人力成本元，则材料成本元，其他成本元，根据总成本合计880元列一元一次方程求解即可； （2）根据题意得出2025年，这种配件每件的材料成本为元，人力成本为元，其他成本为元，销售单价为，月均销售，再根据销售利润为500万元列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设人力成本元，则材料成本元，其他成本元， 由题意得：， 解得：， 则（元），（元）， 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本分别是元、元和元； (2) 小问详解： 解：2025年，这种配件每件的材料成本下降了40元，人力成本增加了，其他成本保持不变 2025年，这种配件每件的材料成本为元，人力成本为元，其他成本为元， 每件的材料总成本合计（元）， 与2024年相比，销售单价降低，实现月均销售量增加． 2025年的销售单价为，月均销售， 2025年一月份销售利润为500万元， ， 整理得：， 解得：，（舍）， a的值为． 40．（25-26学年九上·辽宁沈阳实验中学·期中）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同． （1）求每月盈利的平均增长率； （2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 【答案】（1）20%；（2）4147．2元． 【详解】试题分析：（1）设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． （2）5月份盈利=4月份盈利×增长率． 试题解析：（1）设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 2400（1+x）2=3456， 解得：x1=20%，x2=-2．2（舍去）． （2）由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为20%，则5月份盈利为： 3456×（1+20%）=4147．2（元）． 答：（1）该商店的每月盈利的平均增长率为20%． （2）5月份盈利为4147．2元． 考点：一元二次方程的应用． 41．（25-26学年九上·辽宁大连金普新区·期中）为丰富学生校园生活，学校计划组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式，计划安排45场比赛，共有多少支球队参加比赛? 【答案】10 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数计算公式（其中为球队数量）是解题的关键．通过设球队数量为未知数，根据单循环赛制的比赛场数计算公式建立方程，进而求解球队数量． 【详解】 解：设共有支球队参加比赛．由题意可得 ， ， 解得，（球队数量不能为负数，舍去）， 答：共有支球队参加比赛. 42．（25-26学年九上·辽宁阜新实验中学·期中）某市正大力发展绿色农产品，有一种有机水果特别受欢迎，某超市以市场价格元/千克在该市收购了千克该水果，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题： ①该水果的市场价格每天每千克上涨元； ②平均每天有千克的该水果损坏，不能出售； ③每天的冷藏费用为元； ④该水果最多保存天． （1）若将这批水果存放天后一次性出售，则天后这批水果的销售单价为          元；可以出售的完好水果还有          千克； （2）将这批水果存放多少天后一次性出售所得利润为元？ 【答案】（1），     （2）天      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解； （1）由销售单价=成本单价+每千克上涨价格；完好水果的质量=总质量-损坏的水果的质量可得出结论； （2）按照等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用”列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵价格每天每千克上涨元， ∴天之后销售单价为：元； 完好的水果还有：千克. (2) 小问详解： 解：， 整理得：， 解得：（舍）， 答：存放天后一次性出售所得利润为元. 43．（25-26学年九上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）沈阳鸡架以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． （1）求该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率； （2）该电商市场调查发现，当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱．为了推广宣传，该电商决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该电商沈阳鸡架的平均成本价为50元/箱，若每天获利2160元，则每箱售价应为多少元？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出关系式是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可； （2）设售价应降元，根据题意列出关于的一元二次方程，解出即可． (1) 小问详解： 解：设该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率， ∵某电商从2022年开始销售沈阳鸡架，当年销售额为200万元，到2024年沈阳鸡架的销售额达到450万元． ∴   ， 解得： 或（舍去）， ∴    答：该电商这两年沈阳鸡架销售额的平均年增长率为； (2) 小问详解： 解：设售价应降低元，则每天可售出箱， ∵当某规格沈阳鸡架的售价为60元/箱时，每天能售出200箱，售价每降价1元，每天可多售出40箱． ∴， 整理，得 ：， 解得：或， ∵要尽量减少库存， ∴，（元）， 答：售价应为元． 44．（25-26学年九上·辽宁阜新太平区·期末）习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】 解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 45．（25-26学年九上·辽宁大连普兰店区·期末）超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销量，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间后，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售数量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1050元，求每件商品应降价多少元． 【答案】（1）32     （2）每件商品应降价25元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用； （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，（件）， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：设每件商品应降价元， ， ， 或， 要尽快减少库存， ， 答：每件商品应降价25元． 46．（25-26学年九上·辽宁沈阳于洪区·期末）某商店购进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，那么每天可销售40件．为尽快减少库存，现降价以促进销售，经试销发现，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件．设每件文创产品降价元． （1）每天销售量为___________件，每件盈利___________元；（用含x的代数式表示） （2）按这样的降价措施，该商店销售这种文创产品每天获利能否达到3300元？若能，求此时的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；；     （2）不能， 理由：根据题意，可列方程为：，整理得：，                根据判别式得：，即无实数解； 故不能达到；      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）充分理解题意，根据尽快减少库存取较大值即可． （2）理解题意，根据销售这种文创产品每天获利3300元，进行列方程，再整理，即可作答． (1) 小问详解： 解：根据题意：∵每天可销售40件，这种文创产品的销售单价每降价1元，其销售量增加2件；设每件文创产品降价元． ∴每天多卖出去； 故每天销售量为件， ∵进一批单价为20元的文创产品，如果按每件80元出售，每件文创产品降价元． ∴每件盈利元，即元； 故答案为：；； (2) 小问详解： 略 47．（25-26学年九上·辽宁沈阳皇姑·期末）如图所示，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），考虑到整体的美观性，要求各页边距相等．若纸张大小为，要使打印区域的面积占纸张的，则需如何设置页边距？ 【答案】需设置页边距为． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．先设页边距为，再根据打印区域的面积占纸张面积的，列出一元二次方程，最后解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：设页边距为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：需设置页边距为． 48．（25-26学年九上·辽宁沈阳和平区·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设每个台灯涨价x元． （1）每个台灯涨价x元后，该商场平均每月可售出________个台灯（用含x的代数式表示）； （2）该商场销售这种台灯能否实现平均每月13000元的销售利润？如果能，求出每个台灯售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）不能      【分析】 本题考查列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量； （2）列出一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． (1) 小问详解： 解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：依题意，得， 整理，得， ， ∴原方程无解． 答：该商场销售这种台灯不能实现平均每月13000元的销售利润． 49．（25-26学年九上·辽宁沈阳浑南区·期末）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为     （2）最少购进甲种商品40件      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； (2) 小问详解： 解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 50．（25-26学年九上·辽宁沈阳南昌初级中学·期中）（1）问题情境 在正方形中，，点E为射线上一动点，将沿所在直线翻折，得到，延长，射线与射线交于点G，连接． ①如图1，当点E在线段上时，求证：； ②如图2，当点E在线段延长线上，且时，求的面积； （2）思维深化 如图3，在中，为边上的高，且，，求的长． 【答案】（1）① 证明：正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ，， 又， ， ； ②； （2） 【分析】 本题考查了正方形的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，巧妙运用折叠的性质构造特殊图形是解题关键， （1）① 根据正方形和折叠的性质，证明，即可得到结论； ② 由折叠的性质可知，，同理可证，，设，在中，利用勾股定理列方程，求出，从而得到，即可求出的面积； （2）将沿所在直线翻折，得到，将沿所在直线翻折，得到，延长和交于点G．由题意可得，，根据折叠的性质，证明四边形是正方形，得到，，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】 解：（1）① 略 ② 在正方形中，， ，， ， ， 由折叠的性质可知，， 同理可证，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 的面积； （2）如图，将沿所在直线翻折，得到，将沿所在直线翻折，得到，延长和交于点G． 为边上的高， ， ，， ， 由折叠的性质可知，，，，，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ，， 设，则， ，， 在中，， ， 解得：，（舍）， 即的长为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $