精品解析：辽宁丹东市振兴区2025-2026学年九年级上学期期中教学质量监测数学试题

振兴区初中2025—2026学年度（上）期中教学质量监测九年级数学试卷 （满分：120分，考试时长：120分钟） ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法把方程变形即可. 【详解】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17， 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 3. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、两条对角线是否分别平分两组内角可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； B、四个内角是否相等不能判定四边形是不是菱形，故符合题意； C、两条对角线是否互相垂直且平分可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； D、四条边是否相等可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：①邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形．熟记菱形的判定定理是解题的关键． 4. 关于x的方程有实数根，k的取值范围是（    ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 分两种情况：当时，方程为一元一次方程，有实数根，当时，根据一元二次方程根的判别式得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：； 当时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得：且； 综上所述，k的取值范围是． 故选：D． 5. 若＝，则下列各式不成立的是（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后代入比例式对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k， A．，正确，故本选项错误； B．，正确，故本选项错误； C．，正确，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解更加简便． 6. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为， 由已知得：长方形面积为， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知， 综上有：， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 7. 如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴AD：AB=AE：AC=1：3， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3，故A错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误； ∵△ADE∽△ABC， ∴∠ADE=∠B， ∴DE∥BC．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 8. 如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可知，∠B是△ABC与△ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹∠B的两边成比例即可判断． 【详解】解：A．∵AB2=BD•BC， ∴ ， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故A不符合题意； B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故B不符合题意； C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B， ∴∠C=∠BAD， ∵∠B=∠B， ∴△BAD∽△BCA， 故C不符合题意； D．∵AD•BC=AB•AC， ∴， ∵∠B≠∠BAD， ∴不能判定△ABC与△ABD相似， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由菱形的面积得可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，根据菱形的性质求得是解题的关键． 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可判断A；由等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质，即可求出的度数，即可判断B；由题意可以证明，再由相似三角形的性质即可判断C；由，，即可判断D． 【详解】解：A. 由作图可知，是的垂直平分线， ． A选项的说法是正确的，不符合题意； B. ， ． , ． ， ． 由作图可知，， ， . 在中，， ． ， ， ， ． B选项的说法是正确的，不符合题意； C. ， ， ， ， C选项的说法是正确的，不符合题意； D. ，， ，， D选项的说法是错误的，符合题意． 综上所述，故选：D． 【点睛】本题主要考查了作线段的垂直平分线和作相等线段，还考查了垂直平分线的性质，等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是解题关键． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分．请用0.5mm签字笔将正确答案写在答题卡对应的位置上） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根． 【详解】解： 移项，得， 提取公因式，得， ∴ 或 ， 解得，． 12. 已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再结合相似三角形对应中线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 相似三角形对应中线的比等于相似比， 与的对应中线之比为． 13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为，根据矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， ∵建成的饲养室面积为， ∴或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质得到对角线，结合题意推出，并由正方形的性质推出∠BPQ＝∠BQP，得到，从而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形OABC是边长为1的正方形， ∴根据勾股定理，得对角线， ∵OQ＝OC， ∴，∠OCQ＝∠OQC， ∵OC//AB， ∴∠OCQ＝∠BPQ， ∵∠OQC＝∠BQP（对顶角相等）， ∴∠BPQ＝∠BQP， ∴， ∴， 又 ∵OA＝1， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质以及坐标与图形，理解正方形的基本性质，以及平面直角坐标系中点的基本特征是解题关键． 15. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，边交于点，当点的对应点恰好落在边上时，的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识，先根据矩形和角平分线得到，则，，，再由旋转得到，，然后证明，求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴， 当点的对应点恰好落在边上时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 请用指定方法解下列方程： （1）（因式分解法）． （2）（公式法）． （3）（配方法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ， ，； 【小问3详解】 解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 17. 有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由． 【答案】（1） （2）游戏不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可． （2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，由概率公式得出小亮获胜的概率和小明获胜的概率，得出游戏不公平． 【小问1详解】 解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种， 从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 游戏不公平，理由如下： 列表得： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种， ∴P（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形）＝， ∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为， ∴游戏不公平． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角： （1）由等边对等角，得，结合，即可作答； （2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴ 解得 19. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应定为70元； 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确列出函数关系式和一元二次方程是解题的关键． （1）明确题意，找到等量关系，列出函数关系式即可； （2）根据题意，根据利润、售价、成本、销量的关系列出方程，求解即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得， 所以y与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：依题意得：，即， 解得：，， ， 当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B．我们定义点的五步平移变换点为点Q．当时，点Q的坐标为，当时，点Q的坐标为． （1）点的五步平移变换点的坐标为______； （2）若点的五步平移变换点在直线l上，求a的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点中，，则的五步平移变换点的坐标为，解答即可． （2）分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵点中，， ∴的五步平移变换点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：当时，点的五步平移变换点， ∵点在上， ，解得； 当时，点的五步平移变换点． ∵点在上，， 解得；不符合题意，舍去， 故． 答：a的值为． 21. 如图，为菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，正确掌握菱形的性质及矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，证得．证明．得到，进而推出．再根据三个直角的三角形是矩形，得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，．由勾股定理求出．设，则，．在中，由勾股定理，得．列得．求出． 【小问1详解】 证明：∵是菱形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵， ∴，． ∵，在中，由勾股定理，得． ∴． ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理，得． 即．解得． ∴． 22. 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】大雁塔的高度为64米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可． 【详解】解：设米． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 答：大雁塔的高度为64米． 23. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2）①四边形为菱形；理由见解析；②；理由见解析 （3）或5 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 证明：①四边形为菱形；理由如下： 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②；理由如下： ∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点M作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 根据解析（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在； 综上分析可知：或5． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 振兴区初中2025—2026学年度（上）期中教学质量监测九年级数学试卷 （满分：120分，考试时长：120分钟） ※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应的位置上） 1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 4. 关于x的方程有实数根，k的取值范围是（    ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 若＝，则下列各式不成立的是（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 6. 如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（　　） A. DE：BC＝1：2 B. ADE与ABC的面积比为1：3 C. ADE与ABC的周长比为1：2 D. DEBC 8. 如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点E，连接．若，菱形的面积为54，则的长为（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分．请用0.5mm签字笔将正确答案写在答题卡对应的位置上） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 已知，且面积比为，则与的对应中线之比为______． 13. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，若建成的饲养室面积为．求垂直于墙的一边长为多少？设垂直于墙的一边长为，可列方程为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为1的正方形，顶点分别在轴的正半轴上．点Q在对角线上，且，连接并延长交边于点P，则点P的坐标为________． 15. 如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，边交于点，当点的对应点恰好落在边上时，的长是_____． 三、解答题（本题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 请用指定方法解下列方程： （1）（因式分解法）． （2）（公式法）． （3）（配方法）． 17. 有四张反面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上． （1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______． （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由． 18. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）若，求的长度． 19. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式（不需要求自变量的取值范围）． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴交于点A，B．我们定义点的五步平移变换点为点Q．当时，点Q的坐标为，当时，点Q的坐标为． （1）点的五步平移变换点的坐标为______； （2）若点的五步平移变换点在直线l上，求a的值； 21. 如图，为菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 23. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $