精品解析：上海市松江一中2025届高三上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期 9月月考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 函数的定义域是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数有意义得，解不等式即可求解. 【详解】解：由题意得：， 即， 即， 解得：或， 定义域是. 故答案为：. 2. 已知集合，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解. 【详解】，， 则或， 解得或， 当时，集合中有两个相同元素，（舍去）， 所以. 故答案为： 3. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由复数的加减法运算法则求得，再由模的定义计算． 【详解】由题意，∴． 故答案为：2. 4. 若，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得，再结合诱导公式即可得到答案. 【详解】，，， . 故答案为：. 5. 若，用表示_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据求解即可. 【详解】解：因为， 所以 故答案为： 6. 函数的严格增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的法则，即可求解. 【详解】设，， 函数的定义域需满足，得， 根据复合函数“同增异减”的法则，可知，外层函数为单调递减函数， 要求复合函数的单调增区间，只需内层函数单调递减，即 ， 综上可知，，即函数的严格增区间为. 故答案为： 7. 已知向量则的最大值为 ． 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，由于向量则可知=，那么可知当取得最大值时，即可知当=-1时，满足题意，最大值为3，故可知答案为3. 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题． 8. 若存在实数 使得不等式成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 10. 如图， 为 外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出外接圆半径,设，其中是在上的投影，再利用数形结合分析得解. 【详解】由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆半径， 所以，其中是在上的投影， 过点作交圆于点 ，如图所示， 则， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由题得，其中是在上的投影，再利用数形结合分析得解. 11. 已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为______． 【答案】2 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可. 【详解】对于，可以把的图象看作： 由的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到； 对于的图象可看作由 的图象向上平移1个单位长度得到， 而的图象可看作由的图象向右平移1个单位长度得到． 易知与都为奇函数， 则易知与的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0． 因为将函数图象向右平移不改变与两函数图象交点处函数值的大小， 所以与的图象交点的纵坐标之和为0， 又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1， 则与的图象的两个交点的纵坐标与与的图象两个交点的纵坐标相比都增加1， 故与的图象交点的纵坐标之和为2． 故答案为：2 12. 正实数x，y满足：存在和，使得，，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知构造，则可得，设，则，利用三角恒等变换化简计算可得结果. 【详解】构造， 结合题意可得，则， 即，所以, 则，即， 问题转化为一个等腰直角三角形绕着点转动， 因为，所以点位于点的左上方， 过点P作x轴垂线，垂足为M，过点Q作y轴垂线，垂足为N， 设，则， 所以， 所以， 其中为辅助角，， 所以最大值为，当且仅当时等号成立， 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 14. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为，再进行判断. 【详解】， 它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，所以D正确. 故选：D. 15. 设集合(其中常数)，(其中常数)，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 讨论的取值范围，求出集合，进而求出集合 ，再根据充分条件、必要条件即可求解. 【详解】当时，， 若，则， 此时， 当时，， 若，则， 此时， 故“”是“”的充分条件； 当时，若， ，可得， 当时，，若， ，可得， 所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 16. 定义域均为 的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为 ，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据“对称函数”的定义，求出，利用导数可求出的值域；也可求出在 上的值域；“对任意，都存在，使得成立”等价于“的值域包含于的值域”，解之即可. 【详解】解：函数，，是关于的“对称函数”， 可得，，，， 可判断在单调递减，由可解得， 所以在上，在上, 所以在递增，递减， 又因为，，， 的最小值为，最大值为1， 所以的值域为， 而在递增，可得的值域为， 由题意可得， 即有，即为， 解得或， 则的范围是 故选：D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数、； （2）若向量满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则有，解得， 即， ； 【小问2详解】 设，则有，解得或， 故或. 18. 已知，函数. （1）当时，求的值域； （2）已知 的内角的对边分别为，若，求 的面积的最大值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到，再求其值域即可. （2）首先根据得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，再求面积的最大值即可. 【小问1详解】 因为函数. 所以， 因为，所以， 可得：. 【小问2详解】 因为，可得：， 因为，可得：，解得：. 因为，可得. （当且仅当时取等号） 则，即. . 因为，所以 当且仅当时，取等号. 因此， 面积的最大值为. 19. 已知． （1）当时，解不等式； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）当时,可得,由，解对数不等式即可求出; （2）由在上单调递减,可得函数在区间上的最大值与最小值的差为,将转化为对任意恒成立,利用二次函数的性质即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时， ，， ，，则不等式的解集为. （2）因为在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值的差为， 因此 即对任意恒成立， 因为，所以在上单调递增， 所以 因此，. 【点睛】本题考查对数不等式的解法,借助二次函数恒成立求未知参数范围问题,难度较难. 20. 已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点． 求椭圆的方程； 若A为椭圆的上顶点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值． 若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】先根据已知条件可求出a、c的值，结合a、b、c的值可得出b的值，进而可求出椭圆的标准方程； 先得出直线l的方程为，将直线l的方程代入椭圆方程可求出点B的坐标，利用中点坐标公式可得出点M的坐标，根据已知条件可得出点N的坐标，再将点N的坐标代入椭圆的方程，即可求出k的值； 利用原点O到直线l的距离可得出，将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入，结合的取值范围可得出的取值范围，并求出线段AB的长度的表达式，可求出的取值范围，再利用三角形的面积公式可求出S的取值范围． 【详解】由题意可知，，于是得到， 因为右顶点到左焦点的距离为，所以，，则， 因此，椭圆的方程为； 当点A为椭圆的上顶点时，点A的坐标为，则，直线l的方程为， 将直线l的方程代入椭圆的方程并化简得，解得，， 所以点B的坐标为， 由于点M为线段AB的中点，则点M的坐标为， 由于，所以，点N的坐标为， 将点N的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得； 由于点O到直线l的距离为1，则有，所以，． 设点、，将直线l的方程代入椭圆方程并化简得， 由韦达定理可得，， ， 由于，即，解得， 线段AB的长为 ， 所以，． 因此，的面积S的取值范围是． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆中的应用，考查计算能力与推理能力，属于难题． 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】（1） 区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集且两集合交集非空， 所以区间不是函数的“美好区间” （2） （3） 对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【解析】 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市松江一中高三年级上学期 9月月考数学试卷 2024.9 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分． 1. 函数的定义域是_________. 2. 已知集合，若，则___________. 3. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的模为__________. 4. 若，，则_________. 5. 若，用表示_____________． 6. 函数的严格增区间为__________. 7. 已知向量则的最大值为 ． 8. 若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是__________． 9. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 10. 如图， 为 外接圆上一个动点，若，则的最大值为__________. 11. 已知函数，则与的图象交点的纵坐标之和为______． 12. 正实数x，y满足：存在和，使得，，，则的最大值为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 15. 设集合(其中常数)，(其中常数)，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 定义域均为的三个函数，，满足条件：对任意，点与点都关于点对称，则称是关于的“对称函数”．已知函数，，是关于的“对称函数”，记的定义域为，若对任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知坐标平面内，向量，，． （1）求满足的实数 、； （2）若向量满足，且，求的坐标． 18. 已知，函数. （1）当时，求的值域； （2）已知 的内角的对边分别为，若，求 的面积的最大值. 19. 已知． （1）当时，解不等式； （2）设 ，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 20. 已知椭圆：的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线l：与椭圆交于A，B两点． 求椭圆的方程； 若A为椭圆的上顶点，M为AB中点，O为坐标原点，连接OM并延长交椭圆于N，，求k的值． 若原点O到直线l的距离为1，，当时，求的面积S的范围． 21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． （1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； （2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数 的取值范围； （3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $