专题10 一次函数（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题10 一次函数 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）一种英语本每本2元，买x本共付y元，则x和y的关系式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）函数中自变量的取值范围是（　　　） A.  B. 且 C. 且 D.  4．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）函数 中自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 6．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　． 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． [特例感知] （1）如图1，当点D落在上时，写出的长________； [类比迁移] （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； [拓展提升] （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出的长________； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式________． 考点02 函数的表示 1．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）下列各图象中，不能表示是函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（       ） A. 乙用11分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C. 甲乙两人之间的最远距离是300米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 3．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）下列各曲线中表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，根据这个图象求出y与t之间的函数关系式为y=﹣7.5t+25，那么函数y=﹣7.5t+25中的常数﹣7.5表示的实际意义是　　　　　． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是　　　　　　．（填序号） 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系：折线BCDA表示小亮与甲地的距离y2（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）小明步行的速度是　     　米/分钟，小亮骑自行车的速度是　     　米/分钟； （2）线段OA与BC相交于点E，求点E坐标； （3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值． 考点03 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）下列函数中，为正比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（     ） A. 圆的周长C随半径r的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长a的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若函数是关于的正比例函数，则的值是（     ） A.  B. 1 C. 2 D.  4．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 5．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）下列函数中，是正比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）若函数是关于的正比例函数，则　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）当k=　　　　　　时，关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数． 8．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）点、都在同一个正比例函数图象上，则　　　　　　　 ． 考点04 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）函数的图象为(       ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知是直线（为常数）上的两个点，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 不确定 4．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）下列关于一次函数的图象说法中，正确的是（       ） A. 函数图象经过第一、三、四象限 B. 值随着值的增大而增大 C. 当时， D. 函数图象与轴的交点坐标为 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）． A. （1，2） B. （，） C. （2，） D. （1，） 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）已知点都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在点、、、中，一次函数（）的图象不可能经过的点是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）已知一次函数，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（） A. 函数图象必经过 B. y的值随着x值的增大而减小 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 当时， 14．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）已知一次函数，那么下列结论正确的是（       ） A. y的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当时， 15．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）若点在第四象限，则函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·期中）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. y随x增大而增大 B. 图象经过第三象限 C. ， D. 当时， 17．（25-26学年八上·期中）某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）在平面直角坐标系中，一次函数：（m、n是常数且、）和一次函数：的图象可能为（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）下列关于直线的说法不正确的是（       ） A. 一定经过点 B. 与轴交于点 C. 随的增大而增大 D. 图像过一，三，四象限 21．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（       ） A.      B.      C.      D.      22．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 25．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）下列有关一次函数的说法中，正确的是（       ） A. y的值随着x值的增大而增大 B. 函数图象与x轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第二、三、四象限 26．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 28．（25-26学年八上·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若点，都在一次函数图象上，则　　　　　　(填“”“”或“”) 31．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过，两点，则　　　　　　　　　　（填“”或“”或“”）． 33．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，写出的坐标_________； （2）计算：的面积是________，边上的高是________； （3）若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标________． 34．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； （3）若点Q是y轴上一点，当最小时，点Q的坐标为________； （4）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标为________． 4     （2）     （3）     （4）或      35．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． （1）点坐标为_____，点坐标为_____。 （2）求正比例函数的表达式； （3）点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 36．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，将函数图象向下平移1个单位长度后，得到直线，则原函数表达式为　　　　　　． 37．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价[元 第一档 第二档 第三档 根据以上提供信息解答下列问题： （1）当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是1518元，求该户去年一年的用电量． 38．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在平面直角坐标系中，函数 ，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； （2）图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； （3）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 39．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数 为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 40．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）已知：在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴正半轴上，，且． （1）如图1，当点在轴负半轴上，若，求直线的函数表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作轴交轴于点，交于点， ①求点的坐标； ②求线段的长； （3）如图3，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过点作轴交轴于点，猜想是否是定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组 的解是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 6．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为　　　　． 考点06 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（       ） … 0 1 2 3 … … … A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C.  D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长　　　　　． 4．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，点在第一象限，且，点A的坐标为．设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）若，求P点坐标． 5．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． （2）安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 6．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析是，请根据相关信息，解答下列问题： （1）求关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 9．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，分别表示甲、乙两人离开A的距离s（km）与时间t（h），回答下列问题： （1）甲乙两人中，　　　　先出发 　　　h； （2）甲的速度是 　　　km/h，乙的速度是 　　　　km/h； （3）在乙出发 　　　h后，甲超过乙； （4）甲到达B地时，乙还需 　　　　h到达B． 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． （1）求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； （2）小时后，两车相距多少千米？ （3）点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求，的值； （2）点为轴上一点，是以为底的等腰三角形，求点的坐标． （3）点在直线上，点在直线上，轴，．请直接写出点的坐标． 12．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表所示的一组数据： 时间（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …… 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …… （1）根据上表中的数据，能正确反映总水量与时间的函数关系是一次函数（，、为常数），请求出关于的函数表达式； （2）若一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天？ 13．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为　　　　　　　　　　　万元． 14．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，在长方形中，，点是中点，连接、，，．动点从点出发，沿以个单位长度每秒的速度运动，到达点时停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． （1）在点运动的过程中，当点在上时，；当点在上时，______(用含的代数式表示) （2）试求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （3）请在直角坐标系中直接画出的函数图象，通过观察图象可知，函数的最小值是______． （4）若一次函数的图象与（3）的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 15．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有　　　　　　　　　　　个． 16．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 17．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用与包装盒数满足如图1所示的函数关系. 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒满足如图2所示的函数关系. 根据图像回答下列问题：    （1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？ （2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？ （3）请分别求出与的函数关系式. （4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由. 18．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）“变装穿越”火出圈．近年来，西安以沉浸体验盛唐文化为依托，带火了西安旅游业的同时也掀起了穿汉服，游西安的热潮．某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是120元/件、160元/件，十一期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠． 设该旅行团需要租用x件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于x的函数关系式； （2）若该旅行团租用40件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 19．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为　　　　　． 20．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映了该公司的销售成本与销售量的关系，观察图象，回答下列问题． （1）当销售量为6吨时，销售收入为_____元，销售成本为_____元； （2）求，对应的函数表达式； （3）求利润（元）与销售量（吨）之间的函数关系式（利润销售收入销售成本）． 21．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为　　　　　　． 22．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． （1）两地相距______，快车返回时速度为______； （2）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； （3）慢车出发多长时间后，两车相距． 23．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 24．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 25．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是               米，乙的步行速度是               米/分； （2）图中a=               ，b=               ，c=               ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 26．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 0.55 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6 超过400千瓦时的部分 0.8 （1）设我市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式； （2）某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； （3）某户居民八月份交电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时? 27．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点A、B的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点A、B的“和谐点”． （1）直接写出点，的“和谐点”C的坐标： （2）点，点，点是点D、E的“和谐点”． ①求y与x之间的函数关系式； ②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标． 28．（25-26学年八上·期中）小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线和线段分别表示小明和观光车离开景区入口的距离与小明步行时间之间的关系．根据图象解决下列问题： （1）观光车的行驶速度为 　　，点D的坐标为 　　； （2）求线段对应的函数表达式； （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 29．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． （1）求一次函数的表达式； （2）如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； （4）如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标． 30．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）直线与轴和轴分别交于点和点，过点的直线与轴的负半轴交于点． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图1，过轴正半轴上的点作，交直线于点，且点在过点的直线上，若线段平分线段，求点的坐标； （3）如图2，若点与原点关于点对称，过点作直线直线于点，在直线上取一点，使，请直接写出直线的表达式． 31．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接、． （1）直线的表达式为 　     　，点D的坐标为 　     　； （2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； （3）当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标． 32．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留小时，然后以原速继续向地行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车掉头的时间忽略不计），到达地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：    （1）乙车的速度为　　　　　千米/时，在图中的（       ）内应填上的数是　　　　　． （2）求甲车从地返回地的过程中，与的函数关系式． （3）两车出发后几小时相距千米，请直接写出答案：　　　　　时． 33．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．例如：“原函数”的“相关函数”为． 【理解运用】 （1）直接写出当“原函数”为的“相关函数”的表达式； （2）若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象相交于点， ①求点的坐标； ②若直线与一次函数的“原函数”的图象和它的“相关函数”的图象分别交于点，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，将“原函数”的图象位于轴上方部分与它的“相关函数”的图象位于轴上方部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，的最大值为_____，的最小值为_____． 34．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； （1）直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 36．（25-26学年八上·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 37．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． （1）点的关联点的坐标为　　； （2）点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； （3）如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； （4）已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的取值范围． 38．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．若成为等腰直角三角形，点D的坐标为　　　　　． 39．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标； （3）如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 6大高频考点概览 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）一种英语本每本2元，买x本共付y元，则x和y的关系式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了列关系式． 根据总价单价数量，每本2元，买x本，总价y元，因此． 【详解】 解：∵单价为2元，数量为x本， ∴总价． 故选：C． 2．（25-26学年八上·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，平均耗油量为．当时，y与x的函数解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由剩余的油量等于原来的油量减去耗油量，从而可得函数解析式． 【详解】 解：由题意可得： 即 故选B 【点睛】 本题考查的是列函数关系式，掌握“剩余油量=原来油量-耗油量”是解本题的关键． 3．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）函数中自变量的取值范围是（　　　） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】A 【分析】 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为零，据此解题． 【详解】 解：由题意得：，，解得：． 故选：A． 【点睛】 本题考查函数自变量的取值范围，涉及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）函数 中自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑∶当函数表达式是整式时自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为当函数表达式是二次根式时被开方数非负根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可 【详解】 解∶根据题意得 解得且 故答案为∶且 5．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）在函数中，自变量的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，． 故答案为：． 6．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】 解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解， 【详解】 根据题意，则， ，解得， 综上自变量x的取值范围是且． 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． [特例感知] （1）如图1，当点D落在上时，写出的长________； [类比迁移] （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； [拓展提升] （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出的长________； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式________． 【答案】（1）；（2）；（3）①或9；② 【分析】 （1）利用勾股定理可得，根据折叠的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理求解即可得； （2）延长，交于点，先求出，利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，则，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得； （3）① 先求出，再分两种情况：① 当时，过点作于点，则，证出，根据全等三角形的性质可得；② 当四边形为正方形时，则，得出，则此时点在上，为等腰三角形，根据正方形的性质可得；由此即可得； ②由点是边上一动点（不与、重合）可得，当时，由① 知P、D、E共线，；当点D在的右侧时，，过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据的面积可得与的函数关系式；同理求出当点D在的左侧时的与的函数关系式，进而可得答案． 【详解】 解：（1）∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故答案为：． （2）如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． （3）① 由旋转的性质得：， ∵在中，， ∴， 则分以下两种情况： 如图1，当时，为等腰三角形， 过点作于点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，当四边形为正方形时，则， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴此时点在上，为等腰三角形， ∴由正方形的性质得：； 综上，的长为或9， 故答案为：或9． ②∵点是边上一动点（不与、重合），且，， ∴， 当时，由① 知P、D、E共线，； 当点D在的右侧时，， 如图，连接，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴的面积 ， 当点D在的左侧时，，如图， 同理可证， ∴， ∴， ∴的面积 ， 综上， ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、函数关系式、二次根式的应用等知识，熟练掌握折叠和旋转的性质是解题关键． 考点02 函数的表示 1．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）下列各图象中，不能表示是函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了函数的定义，根据其定义：在变化过程中，若两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即存在一一对应关系，则称是的函数，为自变量，为因变量，结合图形即可求解． 【详解】 解：A、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； B、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； C、对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，符合函数的定义，即是的函数，不符合题意； D、对于的每一个确定的值，的值不唯一，不符合函数的定义，即不是的函数，符合题意； 故选：D ． 2．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法正确的是（       ） A. 乙用11分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走1440米才到达终点 C. 甲乙两人之间的最远距离是300米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了7分钟 【答案】B 【分析】 本题主要考查函数的图象，能从函数的图象中获取相关信息解决问题是解答的关键． 根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】 解：（分）， 乙用12分钟追上甲，故A选项错误，不符合题意； 甲的速度为（米/分）， 乙追上甲时，二人离起点的距离为（米）， 乙追上甲后，再走1440米才到达终点，故B选项正确，符合题意； 乙的速度为（米/分）， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为（米）， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为（米），故C选项错误，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要（分）到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故D选项错误，不符合题意； 故选：B 3．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）下列各曲线中表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数． 【详解】 解：根据函数的意义可知：对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，所以A正确． 故选：A． 4．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）张师傅驾车从甲地到乙地匀速行驶，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系用如图的线段AB表示，根据这个图象求出y与t之间的函数关系式为y=﹣7.5t+25，那么函数y=﹣7.5t+25中的常数﹣7.5表示的实际意义是　　　　　． 【答案】表示每小时耗油7.5升 【分析】根据图像可知出发时油箱内有油25升，当行驶2小时时剩油10升，可求出每小时耗油量为7.5升. 所以﹣7.5表示表示每小时耗油7.5升. 【详解】由图象可知，t=0时，y=25，所以汽车出发时油箱原有油25， 又经过2小时，汽车油箱剩余油量10升，即2小时耗油25-10=15升， 15÷ 2=7.5升， 故答案为表示每小时耗油7.5升 【点睛】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义与性质是解题关键. 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）周末，甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发骑行前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟．乙骑行25分钟后，甲以原速的继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地，在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示．下列说法：①乙的速度为300米/分钟；②甲出发50分钟时追上乙；③A、B两地相距32400米，其中正确的是　　　　　　．（填序号） 【答案】① 【分析】 本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②． 【详解】 解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误． 故答案为：①． 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）甲、乙两地之间有一条笔直的公路，小明从甲地出发步行前往乙地，同时小亮从乙地出发骑自行车前往甲地，小亮到达甲地没有停留，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地．如图，线段OA表示小明与甲地的距离y1（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系：折线BCDA表示小亮与甲地的距离y2（米）与行走的时间x（分钟）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）小明步行的速度是　     　米/分钟，小亮骑自行车的速度是　     　米/分钟； （2）线段OA与BC相交于点E，求点E坐标； （3）请直接写出小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值． 【答案】（1）50，150；（2）（7.5，375）；（3）7，8或14 【分析】 （1）根据题意和图象中的数据，可以得到小明步行的速度和小亮骑车的速度； （2）根据（1）中的结果，可以计算出点E坐标； （3）根据题意，可知有三种情况，两人相距100米，然后分别计算出x的值即可． 【详解】 （1）由图可知， 小明步行的速度为1500÷30＝50（米/分钟）， 小亮骑车的速度为1500÷10＝150（米/分钟）， 故答案为：50，150； （2）点E的横坐标为：1500÷（50+150）＝7.5，纵坐标为：50×7.5＝375， 即点E的坐标为（7.5，375）； （3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14． 理由：两人相遇前，（50+150）x+100＝1500，得x＝7， 两人相遇后，（50+150）x﹣100＝1500，得x＝8， 小亮从甲地到追上小明时，50x﹣100＝150（x﹣10），得x＝14， 即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14． 【点睛】 本题主要考查了函数的图象，解答的关键是从函数的图象中获取有效信息. 考点03 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）下列函数中，为正比例函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查正比例函数的概念，正确理解正比例函数的概念是解题的关键． 根据正比例函数定义为形如（k为常数，）的函数，据此逐项判断即可． 【详解】 解： 选项A、含常数项，不符合正比例函数的概念，则不是正比例函数； 选项B、为二次函数，则不是正比例函数； 选项C、为反比例函数，则不是正比例函数； 选项D、满足形式且，则是正比例函数； 故选：D． 2．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（     ） A. 圆的周长C随半径r的变化而变化 B. 用长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C. 正方形的面积S随边长a的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【答案】A 【分析】 本题考查了正比例函数的定义，熟知形如（是常数，）的函数叫做正比例函数是解题的关键．分别写出各选项的解析式，逐一判断即可． 【详解】 解：A. ，C与r成正比，故选项符合题意； B. ，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C. ，S与a不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D. （为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项不符合题意． 故选：A． 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若函数是关于的正比例函数，则的值是（     ） A.  B. 1 C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．根据正比例函数的定义列出式子计算求出参数的值． 【详解】 解：∵函数是关于的正比例函数， ∴且 ∴， 故选：D． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 2 【答案】A 【分析】 本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：； 故选A． 5．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）下列函数中，是正比例函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接根据正比例函数的定义进行逐项判断即可得到答案． 【详解】 解：A.，是正比例函数，故该选项正确，符合题意； B.，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； C.，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； D.，不是正比例函数，故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了正比例函数的定义，两个变量之间的关系式可以表示成形如（为常数，且）的函数，那么就叫做的正比例函数，熟练掌握该定义是解题的关键． 6．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）若函数是关于的正比例函数，则　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴，， ∴， 故答案为：1． 7．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）当k=　　　　　　时，关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数． 【答案】-2 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义可知k-2≠0，-4+k2=0，从而可解得k的值． 【详解】解：∵关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数， ∴k-2≠0，-4+k2=0． 解得：k=-2． 故答案为k=-2． 【点睛】一次函数：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数； 正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 8．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）点、都在同一个正比例函数图象上，则　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，设正比例函数解析式为，把点代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值，熟练掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】 设正比例函数解析式为， 将点代入中， 得：， 解得：， ∴正比例函数解析式为， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点04 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）函数的图象为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】 解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．    令，则，解得，即函数与x轴的交点为；    令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 2．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】 解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 3．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）已知是直线（为常数）上的两个点，则的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 不确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质由可得随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】 解：一次函数（为常数），， 随的增大而减小， 是直线上的两个点，， ， 故选：A． 4．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）一次函数的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【详解】根据一次函数的性质即可得到结果． ， 图象经过一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B. 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）下列关于一次函数的图象说法中，正确的是（       ） A. 函数图象经过第一、三、四象限 B. 值随着值的增大而增大 C. 当时， D. 函数图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，根据和的值判断图象所经象限、增减性，以及特定条件下的函数值． 【详解】 解：一次函数中，，， 图象经过第一、二、四象限，故A错误； ， 值随着值的增大而减小，故B错误； 当时，，解得， 与轴交点为，故D错误； 当时，，且随增大而减小， 当时，，故C正确； 故选：C． 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）若正比例函数的图象经过点（，2），则这个图象必经过点（ ）． A. （1，2） B. （，） C. （2，） D. （1，） 【答案】D 【详解】 设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， 因为正比例函数y=kx的图象经过点（-1，2）， 所以2=-k， 解得：k=-2， 所以y=-2x， 把这四个选项中的点的坐标分别代入y=-2x中，等号成立的点就在正比例函数y=-2x的图象上， 所以这个图象必经过点（1，-2）． 故选：D． 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键． 先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可． 【详解】 解：令，则， 解得：， 即点为， 则点A关于y轴的对称点是． 故选：A． 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，此题得解． 【详解】 解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，． 故选：B． 9．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图像大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据题意得出，进而得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】 解：∵一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）已知点都在函数的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的图象性质，根据的，得随的增大而减小，因为，所以a与b的关系为，据此即可作答． 【详解】 解：∵的， ∴随的增大而减小， ∵，且， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】 解：因为正比例函数的比例系数是， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以． 故选：B． 12．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在点、、、中，一次函数（）的图象不可能经过的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据经过点，结合两点确定一条直线，可判断P，Q,M在一条直线上可能大，故不经过点N，本题考查了一次函数图象分布，掌握分布规律是解题的关键． 【详解】 根据经过点，时，图象过一、三、四象限， 结合两点确定一条直线，可判断P，Q,M在一条直线上可能大，故不经过点N， 故选B． 13．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）已知一次函数，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（） A. 函数图象必经过 B. y的值随着x值的增大而减小 C. 图象经过第一、二、四象限 D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】 解：一次函数为， 选项A、当时，，图象经过点，故A正确； 选项B、斜率，所以随的增大而减小，故B正确； 选项C、，，∴图象经过第一、二、四象限，故C正确； 选项D、当时，；当时，，故D错误； 综上，错误的是D． 故选：D． 14．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）已知一次函数，那么下列结论正确的是（       ） A. y的值随x的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当时， 【答案】C 【分析】 根据一次函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】 解：A.由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项错误，不符合题意； B.由于一次函数的，，所以图象经过第一、二、四象限，故该选项错误，不符合题意； C.将代入中得，等式成立，所以图象必经过点，故该选项正确，符合题意； D. 由于一次函数的，所以y的值随x的值增大而减小，所以当时，，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 15．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）若点在第四象限，则函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了坐标与图形，一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．根据点为第四象限内的点，可得 ，进而得到一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】 解：∵点为第四象限内的点， ∴ ， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：C． 16．（25-26学年八上·期中）如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A. y随x增大而增大 B. 图象经过第三象限 C. ， D. 当时， 【答案】C 【分析】 本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得，能正确的识图是解本题的关键． 【详解】 解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C、由图象可得y随x增大而减小，所以，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则，原说法正确，符合题意； D、由图象可得，当时，，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 17．（25-26学年八上·期中）某物体在力的作用下，沿力的方向移动的距离为，力对物体所做的功与的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意及图象可设该函数解析式为，然后把代入求解即可． 【详解】 解：由题意及图象可设该函数解析式为，则把代入得： ，解得：， ∴该函数解析式为； 故选C． 【点睛】 本题主要考查正比例函数的实际应用，熟练掌握正比例函数的实际应用是解题的关键． 18．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）一次函数与正比例函数（k，b为常数，）在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正比例函数和一次函数的图象，根据一次函数与图象的位置关系确定、，再去对照正比例函数的图象与的关系，逐项判断即可． 【详解】 解：A、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项A不符合题意； B、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项B不符合题意； C、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象满足这一关系，故选项C不符合题意； D、由一次函数图象位置确定，，，故，正比例函数图象不满足这一关系，故选项D符合题意； 故选：D． 19．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）在平面直角坐标系中，一次函数：（m、n是常数且、）和一次函数：的图象可能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的图象．分情况讨论的符号，逐一判断一次函数图象所经过的象限即可解答． 【详解】 解：当时，则， 一次函数：的图象经过第一、二、四象限，一次函数：的图象经过第一、三、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第一、三、四象限，一次函数：的图象经过第一、二、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第一、二、三象限，一次函数：的图象经过第二、三、四象限， 当时，则， 一次函数：的图象经过第二、三、四象限，一次函数：的图象经过第一、二、三象限， 综上，只有选项D符合题意， 故选：D． 20．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）下列关于直线的说法不正确的是（       ） A. 一定经过点 B. 与轴交于点 C. 随的增大而增大 D. 图像过一，三，四象限 【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数的图像与性质，理解并掌握一次函数的图像与性质是解题关键．对于直线，当，可得，易知直线一定经过点，即可判断选项A； 当，可得，，可知该直线与轴交于点，即可判断选项B；因为，易知随的增大而增大，即可判断选项C；结合，，可知该函数图像过一，三，四象限，即可判断选项D． 【详解】 解：A. 对于直线，当，可得，即该直线一定经过点，本选项正确，不符合题意； B. 对于直线，当，可得，，即该直线与轴交于点，本选项不正确，符合题意； C. 对于直线，因为，所以随的增大而增大，本选项正确，不符合题意； D. 因为，，所以该函数图像过一，三，四象限，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 21．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 先看一个直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案． 【详解】 解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误； B、反映，，反映，，则，故本选项错误； C、反映，，反映，，则，故本选项错误； D、反映，，反映，，则，故本选项错误； 故选：D． 【点睛】 此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴． 22．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）函数（a、b为常数，且）的图象如图所示，则函数的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的性质，关键是根据一次函数的图象的性质确定和的符号．根据一次函数的图象的性质确定和的符号，进而解答即可． 【详解】 解：由函数的图象可得：，， ， 所以函数的大致图象经过第一、二、四象限， 故选：A． 23．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的性质、点的坐标特征，根据点在第三象限，可以得到、的取值范围，然后根据一次函数的性质，可以得到直线经过的象限．解题的关键是求出、的正负，然后利用一次函数的性质解答． 【详解】 解：∵点在第三象限， ∴，， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 24．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（       ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. 图象与x轴交于点 C. 函数值y随自变量x的增大而减小 D. 当时， 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式逐一判断选项，即可解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得， 图象经过第一、二、三象限，故A正确； 函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误； 当，可得，解得， 图象与x轴交于点，故B错误； 函数值y随自变量x的增大而增大， 当时，，故D错误， 故选：A． 25．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）下列有关一次函数的说法中，正确的是（       ） A. y的值随着x值的增大而增大 B. 函数图象与x轴的交点坐标为 C. 当时， D. 函数图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【分析】 根据一次函数的性质，图象分布，与坐标轴的交点计算，解答即可． 本题考查了一次函数的性质和应用，图象分布，与坐标轴的交点，熟练掌握性质和应用是解题的关键． 【详解】 解：一次函数，得函数图象与轴的交点坐标是，图象分布在第三，二，四象限，且y随x的增大而减小，时， A. y的值随着x值的增大而减小，错误，不符合题意； B. 函数图象与轴的交点坐标是，错误，不符合题意； C. 当时，，错误，不符合题意 D. 函数图象经过第二、三、四象限，正确，符合题意， 故选：D． 26．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查了一次函数和正比例函数图象与性质，先根据正比例函数图象判断的正负，再根据一次函数的图象判断a和b，即可判断答案． 【详解】 解：．由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项正确，符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ． 由正比例函数可知，由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； ．由正比例函数可知， 由一次函数可知且，该选项错误，不符合题意； 故选：． 27．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）关于函数，给出下列结论： ①当时，此函数是一次函数； ②无论k取什么值，函数图象必经过点； ③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是； ④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是． 其中正确结论的序号是（       ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【分析】 本题考查根据交点坐标确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，① 根据一次函数定义即可求解；② 根据即可求解；③ 图象经过二、三、四象限，则，，即可求解；④ 函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，即可求解． 【详解】 解：① 根据一次函数定义：函数为一次函数，故正确； ②， 当时，， 故函数过，故正确； ③ 图象经过二、三、四象限，则，，解得：，故正确； ④ 函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则，解得：，故正确． 故选：D． 28．（25-26学年八上·期中）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则直线的函数解析式是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先求出点的坐标，从而得出的长度，运用勾股定理求出的长度，然后根据折叠的性质可知，，则，，运用勾股定理列方程得出的长度，即点的坐标已知，运用待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】 解：当时，，即， 当时，，即， 所以，即， 设，则，， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， 又， 设直线的解析式为， 则 ， 解得 ， ∴直线的解析式为． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，根据题意得出的坐标是解本题的关键． 29．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）将直线向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：将直线向上平移2个单位长度后的直线的解析式为． 故答案为 ． 30．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若点，都在一次函数图象上，则　　　　　　(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据所给一次函数解析式，得出随的增大而增大，据此可解决问题． 【详解】 解：中，， 随的增大而增大． 又， ． 故答案为：． 31．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则把代入，得，故，又因为，得，结合，算出，即可作答． 【详解】 解：依题意，把代入，得 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 32．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过，两点，则　　　　　　　　　　（填“”或“”或“”）． 【答案】> 【分析】根据k=-2结合一次函数的性质可得出为减函数，在根据-1<2即可得出>. 【详解】∵一次函数中，k<0， ∴y随x增大而减小， ∵-1<2， ∴>. 故答案为> 【点睛】本题考查了根据一次函数的性质比较大小的问题，根据一次函数解析式确定函数的增减性是解题的关键. 33．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，写出的坐标_________； （2）计算：的面积是________，边上的高是________； （3）若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标________． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积，再利用勾股定理求出的长，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）连接，交轴于点，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 的面积为， 由勾股定理得：， 设边上的高为， 则， 解得：． 故答案为：，； (3) 小问详解： 连接，交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入， 得 ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； （3）若点Q是y轴上一点，当最小时，点Q的坐标为________； （4）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标为________． 【答案】（1） 如下图所示， 4     （2）     （3）     （4）或      【分析】 本题考查平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，利用轴对称求最值，求一次函数解析式等． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，利用网格求面积； （2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； （3）由可得：当点Q在上时，最小，求出直线与y轴的交点即可；- （4）根据即可求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：若点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：点D与点关于y轴对称， ， 当点Q在上时，最小，如图， 设直线解析式为， 将和代入，得： ， 解得 ， 直线解析式为， 当时，， 点Q的坐标为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 故答案为：或． 35．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． （1）点坐标为_____，点坐标为_____。 （2）求正比例函数的表达式； （3）点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】（1），；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求正比例函数的表达式； （3）根据题意得出，，由得出，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：把代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， 解得： ∴； (3) 小问详解： 解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 36．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，将函数图象向下平移1个单位长度后，得到直线，则原函数表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的平移得到直线的表达式为，结合图象，再利用待定系数法求出的值，即可得出答案． 【详解】 解：将函数图象向下平移1个单位长度后得到， ∴直线的表达式为， 代入和，得 ， 解得 ， ∴原函数表达式为 故答案为：． 37．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）为鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是用户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价[元 第一档 第二档 第三档 根据以上提供信息解答下列问题： （1）当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是1518元，求该户去年一年的用电量． 【答案】（1）；     （2）2138元；     （3）．      【分析】 本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据题意得到户的用电量处于第三档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用电量处于第二档，代入（1）中关系式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：（元） 答：该户这一年的电费2138元； (3) 小问详解： 解：， ∵ ∴该户去年一年的电费属于第二档 设该户去年一年的用电量为 ， 解得：， 答：该户去年一年的用电量为． 38．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在平面直角坐标系中，函数 ，其中m为常数，该函数的图象记为G． （1）当时， ①若点在图象G上，则a的值为_______； ②若点在图象G上，则b的值为______； （2）图象G过点时，求图象G与x轴交点的坐标； （3）当时，函数的最大值记为，最小值记为，当时，求m的取值范围． 【答案】（1）①；②1或     （2）图象G与x轴交点的坐标为     （3）满足条件的m的取值范围是      【分析】 （1）① 把点代入得出a的值即可； ② 分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴把代入得： ； ② 当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． (2) 小问详解： 解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数 ， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； (3) 小问详解： 解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 39．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数 为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） ； （2）① 0；； ②或； （3）或者． 【分析】 （1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）① 把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为 ，根据不等式即可得结论． 【详解】 解：（1）∵函数 为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为 ； 故答案为： ； （2）① 当时，，当时，， ∴补全表格如下： 作图如下， x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … ② 联立和得 ，解得 ， ∴ 联立和得 ， 解得 ， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴ ， 解得 ， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为 ． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】 此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 40．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）已知：在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴正半轴上，，且． （1）如图1，当点在轴负半轴上，若，求直线的函数表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，过点作轴交轴于点，交于点， ①求点的坐标； ②求线段的长； （3）如图3，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过点作轴交轴于点，猜想是否是定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）①；②；     （3） 解：是定值 过点作轴，垂足为点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了一次函数的表达式求解、坐标与几何图形的综合应用、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用坐标特征和函数性质建立关系． （1）根据已知条件确定点A、C的坐标，设直线的函数表达式为 ，代入坐标求解参数； （2）① 过点作轴，垂足为，证明，结合已知条件求点F的坐标；② 利用轴的性质确定点E的纵坐标，代入直线解析式求横坐标，进而计算线段长度； （3）过点作轴，垂足为点，证明，通过全等性质推导与的数量关系，得出定值结论． (1) 小问详解： 解：， ， ， 设直线的函数表达式为， 把分别代入得 ， 解得： ， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：① 过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② ∵轴，， ∴点的纵坐标为1， ∵点在直线上， ∴将代入中得：，解得：， ∴ ∴； (3) 小问详解： 略 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组 的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题要明确：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题根据两直线的交点与二元一次方程组的解知识，进行作答，即可求解； 【详解】 解：关于x，y的方程组 的解， 即为一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， ∴， 故关于x，y的方程组 的解是 ． 故选：A． 2．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】 解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标解答． 【详解】 解：由图知：直线与轴交于点， 即当时，； 因此关于的方程的解为：． 故答案为：． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据图象意义，得直线与x轴交点的横坐标就是方程的解，解答即可． 本题考查了一元一次方程的解与一次函数的关系，熟练掌握直线与x轴交点的横坐标就是方程的解，是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得一次函数的图像与x轴交点的横坐标3， 故关于x的方程的解是． 故答案为：3． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 【答案】（1）证明：① ∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）①，，②或；（3） 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）设直线与轴交于点，设，先求出，，根据，在中利用勾股定理建立方程求出的坐标，再由待定系数法求解函数解析式． 【详解】 （1）略 （2）解：① ∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：，； ② 如图所示，当点M在原点右边时，连接，， 由题意得， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：设直线与轴交于点，设， 对于直线：，当；，， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线，代入，， 则 ， 解得 ， ∴直线． 6．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题．求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】 解：当时，，当时，， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 考点06 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为10时，对应的高度h为（       ） … 0 1 2 3 … … … A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．设水位与时间的关系式，用待定系数法求出解析式即可． 【详解】 解：设水位与时间的关系式， 把和代入表中数据得 ， 解得： ， ∴水位与时间的关系式． 把代入中，得， 故选：D． 2．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C.  D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】 解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得 ，解得 ， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得 ，解得 ， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，，的平分线与轴相交于点M、则线段的长　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，作，由题意得,；证，得，推出，设，则,根据，即可求解； 【详解】 解：作，如图所示：    令，则；令，则； ∴,； ∵平分，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， 故答案为： 4．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，点在第一象限，且，点A的坐标为．设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）若，求P点坐标． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 此题考查了一次函数和几何的综合、求函数值和自变量的值，根据题意正确求出S关于x的函数解析式是关键． （1）根据题意得到，，再利用三角形面积公式即可求出S关于x的函数解析式； （2）根据求出，再得到即可得到P点坐标． (1) 小问详解： 解： 点A的坐标为， (2) 小问详解： 当时， 5．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． （2）安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． (1) 小问详解： 解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， (2) 小问详解： 解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 6．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】（1），     （2）方案一      【分析】 本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． (1) 小问详解： 解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． （1）求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； （2）由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】（1）24万元， 16万元     （2）购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆；350万元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元， 由题意得： 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； (2) 小问详解： 设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽车辆， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， 当，取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应品牌的收费方式对应，小明同学求出与x的函数解析是，请根据相关信息，解答下列问题： （1）求关于x的函数解析式； （2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__________品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） （3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？请写出过程． 【答案】（1）     （2）A     （3）当x的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元      【分析】 本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． （1）用待定系数法即可求解； （2）先根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：由图象可得，， 设， 将点代入得， 解得：， ； (2) 小问详解： 解：由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； 故答案为：A； (3) 小问详解： 解：当时，， ， 解得：， 当时，为或， 或， 解得：（舍去）或， 答：当x的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 9．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，分别表示甲、乙两人离开A的距离s（km）与时间t（h），回答下列问题： （1）甲乙两人中，　　　　先出发 　　　h； （2）甲的速度是 　　　km/h，乙的速度是 　　　　km/h； （3）在乙出发 　　　h后，甲超过乙； （4）甲到达B地时，乙还需 　　　　h到达B． 【答案】（1）乙；1；     （2）40；；     （3）；     （4）.      【分析】 本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键. （1）由题意可知表示甲，表示乙，由图象可知，甲出发时，乙已经先出发了，且出发的时间易知； （2）根据函数图象可知甲2h行驶的路程是80km，从而可以求得甲的速度，根据乙3小时行驶的路程是40km，可以求得乙行驶的速度； （3）根据函数图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，根据“时间=路程÷速度”即可求出甲追上乙时，乙出发了多长时间； （4）根据函数图象可知甲到达地时，乙离开A地的距离，由此可得出乙离地的距离，根据“时间=路程÷速度”即可求出乙到达地还需的时间. (1) 小问详解： 解：由图象可知，甲、乙两人中，乙先出发1小时， 故答案为：乙；1； (2) 小问详解： 由图象可知，甲2小时行驶的路程是80km，故甲的速度为：， 乙3小时行驶的路程是40km，故乙的速度为：， 故答案为：40；； (3) 小问详解： 由图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，， 所以在乙出发后，甲超过乙， 故答案为：； (4) 小问详解： 由图象可知，甲到达地时，乙离开A地40km， 则乙距离点， 所以还需的时间为. 故答案为：. 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）甲、乙两辆汽车同时从相距千米的，两地沿同一条公路相向而行（甲由到，乙由到），（千米）表示汽车离地的距离，（分钟）表示汽车行驶的时间，如图，，分别表示两辆汽车的与之间的关系． （1）求、分别表示的两辆汽车的与之间的关系式； （2）小时后，两车相距多少千米？ （3）点的实际意义是什么？此时甲车行驶的路程是多少千米？ 【答案】（1）的解析式为，的解析式为     （2）小时后，两车相距千米     （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线、的函数值即可得到答案； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，两者相遇时，距离地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设的解析式为，把点代入得， ， 的解析式为； 设的解析式为，把点、代入得 ， 解得 ， 的解析式为； (2) 小问详解： 分钟， 在中，当时，， 在中，当时，， （千米）， 答：小时后，两车相距千米； (3) 小问详解： 点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇， 当甲、乙两辆汽车相遇时，汽车离地的距离相同， 联立 ， 解得 ， （千米）， 答：点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米． 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． （1）求，的值； （2）点为轴上一点，是以为底的等腰三角形，求点的坐标． （3）点在直线上，点在直线上，轴，．请直接写出点的坐标． 【答案】（1），     （2）点的坐标为或     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将点分别代入直线、的解析式即可求解； （2）由（1）知，直线的解析式为，求出，设， 可得，，根据等腰三角形的性质列方程求出，即可求解； （3）先求出，得到，进而得到，设，则，得到，列方程求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 设， ，， 是以为底的等腰三角形， ， 则， 即， 解得， 点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：由（1）知，直线的解析式为，直线的解析式为， 令， 解得， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 12．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表所示的一组数据： 时间（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …… 总水量（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …… （1）根据上表中的数据，能正确反映总水量与时间的函数关系是一次函数（，、为常数），请求出关于的函数表达式； （2）若一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用多少天？ 【答案】（1）     （2）144      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解即可； （2）将天转化为分钟，再根据函数表达式，求出这个水龙头一个月的漏水量，再除以一个人一天大约的饮用辆，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得： ， 关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：天分钟， 当时，， 即这个水龙头一个月的漏水量为毫升， （天）， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用144天． 13．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为　　　　　　　　　　　万元． 【答案】4500 【分析】 本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】 解：设， 把，代入，得 ， 解得 ， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 14．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，在长方形中，，点是中点，连接、，，．动点从点出发，沿以个单位长度每秒的速度运动，到达点时停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． （1）在点运动的过程中，当点在上时，；当点在上时，______(用含的代数式表示) （2）试求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围． （3）请在直角坐标系中直接画出的函数图象，通过观察图象可知，函数的最小值是______． （4）若一次函数的图象与（3）的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），     （2）     （3） 如图所示，      （4）且      【分析】 （1）根据勾股定理得到，分两种情况，当点在上时，；当点在上时，； （2）当点在上时，当点在上时，如图，过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意画出函数的图象由图象得到函数y的最小值是0； （4）把代入得到，把代入得到，于是得到结论． (1) 小问详解： 解：，点是中点， ， ，， ， 当点在上时，；当点在上时，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 当点在上时，如图，过作于， ∵， ∴ ∴， 当点在上时，， ∴ ； (3) 小问详解： 解：通过观察图象可知，函数的最小值是 故答案为：． (4) 小问详解： 当直线经过时，即， 解得， 当直线经过时，即， ， 若一次函数的图象与（3）的函数图象有两个交点，的取值范围为且． 【点睛】 本题考查一次函数的图象与性质、画一次函数图象，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，列代数式，勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 15．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有　　　　　　　　　　　个． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 【详解】 ，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ， 解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 16．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下： 方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售； 方案乙：按购买金额打9折付款． 学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒． （1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式． （2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？ （3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？ 【答案】（1）     （2）方案甲更省钱     （3）学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球      【分析】 本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可； （2）将分别代入，计算求解，然后比较作答即可； （3）当元，当元，分别计算对应的的值，然后比较作答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， ， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意知，当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案甲更省钱； (3) 小问详解： 解：由题意知，当元时，，解得：， 当元时，， 解得：， ∵， ∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 17．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用与包装盒数满足如图1所示的函数关系. 方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒满足如图2所示的函数关系. 根据图像回答下列问题：    （1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？ （2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？ （3）请分别求出与的函数关系式. （4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由. 【答案】（1）5     （2），     （3）     （4）当 则 即当购买包装盒的数量为8000盒时，方案一与方案二所需费用一样；当 则 即当购买包装盒的数量大于8000盒时，方案二更省钱；当 则 即当购买包装盒的数量小于8000盒时，方案一更省钱      【分析】 （1）根据图一得出答案； （2）根据图二得出租赁机器的费用和盒子的单价； （3）利用待定系数法分别求出两个函数的解析式； （4）首先求出两个相等时的值，然后得出答案． (1) 小问详解： 解： ∴方案一中每个包装盒的价格是元 (2) 小问详解： 根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为元， 盒子的单价为，   故盒子的单价为元； (3) 小问详解： 设图象一的函数解析式为：， 由图象知函数经过点(100,500)， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； 设图象二的函数关系式为 由图象知道函数的图象经过点和 ∴ ， 解得： ， ∴函数的解析式为； (4) 小问详解： 令，   解得， ∴当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案一；当时，选择方案二． 【点睛】 本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 18．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）“变装穿越”火出圈．近年来，西安以沉浸体验盛唐文化为依托，带火了西安旅游业的同时也掀起了穿汉服，游西安的热潮．某旅行团计划租用若干件汉服供游客体验，已知甲、乙两个汉服体验店租用单价分别是120元/件、160元/件，十一期间为吸引更多的顾客，甲、乙两店各自推出了不同的优惠方案，具体如下： 甲汉服体验店：按原价的八折进行优惠； 乙汉服体验店：若租用不超过6件时，按原价收取租金；若租用6件以上，超出6件的部分可按原价的五折进行优惠． 设该旅行团需要租用x件汉服，选择甲店总租金为元，选择乙店总租金为元． （1）请分别求出，关于x的函数关系式； （2）若该旅行团租用40件汉服，选择哪家汉服体验店总租金更便宜？ 【答案】（1）；     （2）选择乙家汉服体验店总租金更便宜      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）根据甲、乙两店的租用方式即可用x式表示和的函数解析式； （2）分别计算出租用40件汉服时，甲、乙两店的租金，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：； 当时，； 当时，． ∴ ； ∴关于x的函数解析式为；关于x的函数解析式为 ； (2) 小问详解： 解：当时，， ， ∵， ∴选择乙家汉服体验店总租金更便宜． 19．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】 解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映了该公司的销售成本与销售量的关系，观察图象，回答下列问题． （1）当销售量为6吨时，销售收入为_____元，销售成本为_____元； （2）求，对应的函数表达式； （3）求利润（元）与销售量（吨）之间的函数关系式（利润销售收入销售成本）． 【答案】（1）6000；5000     （2）；     （3）      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息和处理信息，求函数解析式，掌握从函数图像获取信息和处理信息，会用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）从函数图像获取信息得出当时，销售收入为6000元，销售成本为5000元即可； （2）通过待定系数法即可求得的函数解析式； （3）根据销售收入销售成本利润，进行列式即可得解． (1) 小问详解： 解：当销售量为6吨时，销售收入为6000元，销售成本为5000元； (2) 小问详解： 解：设的解析式为：，由图象，得：， 解得：， 的解析式为：， 设的解析式为，由图象，得 ， 解得： ， 的解析式为：； (3) 小问详解： 解：设销售利润为w元，则有： ． 利润与销售量间的函数关系表达式为：． 21．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，直线分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且，在x轴上方有一点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与全等，此时点D的坐标为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ① 当时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴，， ∴， ∴， 综上：点D的坐标为或， 故答案为：或． 22．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时，结束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇．已知慢车的速度为，两车之间的距离与慢车行驶的时间的函数关系如图所示． （1）两地相距______，快车返回时速度为______； （2）两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，则还需______到达甲地； （3）慢车出发多长时间后，两车相距． 【答案】（1）330；100     （2）2.8     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． (1) 小问详解： 解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； (2) 小问详解： 解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； (3) 小问详解： 解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得 ， 解得 ， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 23．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同． 【答案】（1），     （2）当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同      【分析】 本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． (1) 小问详解： 解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得： ， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）联立函数解析式得： ，解得： ， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 24．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准： 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 （1）当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费； （3）某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量． 【答案】（1）     （2）该户这一年的燃气费为1147元     （3）该户去年一年的用气量为      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． (1) 小问详解： 解： 由表格可知，当时，． (2) 小问详解： 解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． (3) 小问详解： 解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 25．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y （米）与出发时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图像解答下列问题： （1）A、B两地之间的距离是               米，乙的步行速度是               米/分； （2）图中a=               ，b=               ，c=               ； （3）求线段MN的函数解析式； （4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米?（直接写出答案即可） 【答案】（1）1200，60     （2）900，800，15     （3）y =-20x+1200（15≤x≤20）     （4）8分钟，分钟      【分析】 （1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． (1) 小问详解： 由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； (2) 小问详解： 由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； (3) 小问详解： 由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） (4) 小问详解： 设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 26．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格/（元/千瓦时） 不超过200千瓦时的部分 0.55 超过200千瓦时，但不超过400千瓦时的部分 0.6 超过400千瓦时的部分 0.8 （1）设我市一户居民某月用电量x千瓦时，当月的电费y元，直接写出y与x的关系式； （2）某户居民七月份用电量为260千瓦时，求该户这个月的电费； （3）某户居民八月份交电费170元，那么该户居民八月份用电量为多少千瓦时? 【答案】（1）当时，；当时，；当时，     （2）146元     （3）300千瓦时      【分析】 本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）把代入中，求出y的值即可得到答案； （3）可证明该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，则把代入中，求出x的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，当时，； 当时，； 当时，； (2) 小问详解： 解：在中， 当时，， 答：该户这个月的电费为146元； (3) 小问详解： 解：∵，， 且， ∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时， 在中，当时，， 答：该户居民八月份用电量为300千瓦时． 27．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足，，那么称点是点A、B的“和谐点”． 例如，，当点满足，，则称点是点A、B的“和谐点”． （1）直接写出点，的“和谐点”C的坐标： （2）点，点，点是点D、E的“和谐点”． ①求y与x之间的函数关系式； ②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，求点E的坐标． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】 （1）由 “和谐点”定义．代入计算，即可求出“和谐点”C的坐标： （2）① 由点是点D、E的“和谐点”．按定义求出，，用含x的式子表示t得，消去t则， ② 直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，由TD⊥x轴说明T、D两点横坐标相同得，求出t即可． 【详解】 （1）由点，与“和谐点”定义． ，， “和谐点”C的坐标：C（，）； （2）① 点，点，点是点D、E的“和谐点”． ，， ， ， ， ② 直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时， TD⊥x轴， ， ， ， E． 【点睛】 本题考查平面直角坐标系中新定义问题，掌握新定义的坐标关系，会根据新定义规则进行计算抓住T、D和坐标关系是解题关键． 28．（25-26学年八上·期中）小明到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发，沿相同路线与小明先后到达观景点．如图折线和线段分别表示小明和观光车离开景区入口的距离与小明步行时间之间的关系．根据图象解决下列问题： （1）观光车的行驶速度为 　　，点D的坐标为 　　； （2）求线段对应的函数表达式； （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有多远？ 【答案】（1）300，     （2）     （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有      【分析】 本题考查一次函数的应用、函数的图象． （1）根据速度路程时间求出观光车的行驶速度，再由时间路程速度求出观光车从景区入口到达观景点所用的时间，从而求出点D的坐标； （2）利用待定系数法解答并写出自变量x的取值范围即可； （3）将代入线段对应的函数表达式，求出对应y的值，即小明已走的路程，再根据“景区入口与观景点的距离当观光车到达观景点时小明已走的路程”列式计算即可． (1) 小问详解： 解：观光车的行驶速度为， ， ， ∴点D的坐标为， 故答案为：300，； (2) 小问详解： 解：设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得 ， 解得 ， ∴线段对应的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，， ． 答：当观光车到达观景点时，小明距观景点还有． 29．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为3． （1）求一次函数的表达式； （2）如图2，过点作直线轴，为射线上一动点，若为以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由； （4）如图3，为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．当是直角三角形时，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1）     （2）或     （3）存在；或     （4）6或      【分析】 （1）先求出点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出点，勾股定理求得，进而分两种情况讨论，即可求解； （3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵点的横坐标为3．且在正比例函数的图象上 ∴， 将，代入 ∴ 解得： ∴一次函数解析式为： (2) 小问详解： 解：由，当时，， 解得： ∴ ∵ ∴ 当时，则 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∴ ∵轴， ∴， 综上所述，为以为腰的等腰三角形，点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵， ∴ 如图所示，当在点的左侧时， ∴ 依题意， 解得：，则 当在点的右侧时，如图所示， 依题意， 解得：，则 综上所述，点的坐标为或 (4) 小问详解： 当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当时，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， 综上分析可知，点N的横坐标为：6或 【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解一元二次方程；解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 30．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）直线与轴和轴分别交于点和点，过点的直线与轴的负半轴交于点． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图1，过轴正半轴上的点作，交直线于点，且点在过点的直线上，若线段平分线段，求点的坐标； （3）如图2，若点与原点关于点对称，过点作直线直线于点，在直线上取一点，使，请直接写出直线的表达式． 【答案】（1），，     （2）     （3）或．      【分析】 （1）对于，分别令和，可求出点A，C的坐标；对于，令，可求出点B的坐标； （2）设点，求出，该函数解析式为，从而得到点，再求出直线的解析式为，可得点，然后根据线段平分线段，即可求解； （3）求出点，设直线的解析式为，，可得到直线的解析式为，然后分两种情况：当点N在点M的上方时；当点N在点M的下方时，即可求解． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，； ∴， 当时， 解得：， ∴， 对于， 当时，， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：设点， ∵点在直线上， ∴， ∴该函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴点， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∵线段平分线段， ∴点； (3) 小问详解： 解：∵点与原点关于点对称，， ∴点， ∴可设直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当点N在点M的上方时，如图，过点M作轴，分别过点A，N作，垂足分别为点L，K，则，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点N的坐标为， 把代入得： ， 解得：（舍去）， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为； 当点N在点M的下方时，同理直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 31．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线平行于y轴，交直线于点D，点P是直线上一动点（异于点D），连接、． （1）直线的表达式为 　     　，点D的坐标为 　     　； （2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； （3）当的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角，请直接写出点C的坐标． 【答案】（1）；     （2）     （3）满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，）或（3，2）或（5，）      【分析】 （1）利用待定系数法求出函数解析式，求出直线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标即可； （2）根据进行求解即可； （3）分和，两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：交x轴于点B（4，0）， ∴． ∴． ∴直线：， ∵过点E（2，0）的直线平行于y轴， ∴直线：， 联立，的解析式得： ，解得： ∴点D的坐标为（2，）， 故答案为：；（2，）； (2) 小问详解： 解：∵D（2，），P（2，m），点P在点D的下方， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当点在点D的上方时，， 此时：； 结合（2）可知： ， 当时， 解得：， ∴点P（2，2）， ∵E（2，0）， ∴， ∴， ① 如图2，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 过点C作轴于点F， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴； ② 如图，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴C（2，）， ∴以点B为直角顶点作等腰直角，点C的坐标是（6，2）或（2，）． 当时，，可得P（2，）， 同法可得C（3，2）或（5，）． 综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，）或（3，2）或（5，）． 【点睛】 本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 32．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留小时，然后以原速继续向地行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车掉头的时间忽略不计），到达地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题：    （1）乙车的速度为　　　　　千米/时，在图中的（       ）内应填上的数是　　　　　． （2）求甲车从地返回地的过程中，与的函数关系式． （3）两车出发后几小时相距千米，请直接写出答案：　　　　　时． 【答案】（1），；     （2）与的函数解析式为；     （3）或或．      【分析】 ()结合函数图象，根据行程问题的数量关系：速度=路程时间，路程速度时间就可以求解； ()由()的结论可以求出点的坐标，再由题意可得点的坐标，由待定系数法求出的解析式； ()分当两车第一次相遇前相距千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距千米的路程；当甲车到达地后返回地，两车第二次相遇后，甲车到地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米；分别求解即可． (1) 小问详解： 由函数图象可得：，两地相距路程是千米， 乙车行驶的速度是（千米/时）， 图中括号内的数为：， 故答案为：，； (2) 小问详解： ，甲车的速度为千米/时， 甲车从地到地需（小时），故点坐标， 设甲车从地返回地过程中与的函数解析式为， 将，代入上式，得 ， 解得 ， ∴与的函数解析式为； (3) 小问详解： 设两车出发后小时相距千米的路程， 当两车第一次相遇前相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当甲车到达地后返回甲地，两车第二次相遇时相距千米的路程， ∵， ∴乙在停留时两车第二次相遇时相距120千米， 根据题意，得， 解得：， 当甲车到达地后返回地，两车第二次相遇后，甲车到地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米； 综上，两车出发后小时或小时或小时相距千米的路程． 故答案为：2或或． 【点睛】 此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数图象，一次函数与一元一次方程的运用，解答时从函数图象获取信息是解题的关键． 33．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．例如：“原函数”的“相关函数”为． 【理解运用】 （1）直接写出当“原函数”为的“相关函数”的表达式； （2）若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象相交于点， ①求点的坐标； ②若直线与一次函数的“原函数”的图象和它的“相关函数”的图象分别交于点，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标． 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，将“原函数”的图象位于轴上方部分与它的“相关函数”的图象位于轴上方部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，的最大值为_____，的最小值为_____． 【答案】（1）；（2）①；② 点的坐标为或；（3）； 【分析】 本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题； （1）根据定义将一次项系数取相反数，常数项取相反数，即可求解； （2）① 根据定义函数与相关函数的交点，联立方程，即可求解； ② 分别求得的坐标，根据的面积为6，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出“原函数”的“相关函数”为，则和都经过点，画出图形，找到临界值，代入的坐标，即可求解． 【详解】 解：（1）原函数为，根据定义，其相关函数为 答案：； （2）① 原函数与相关函数的交点， 解得：，代入原函数得，故A点坐标为． ② 原函数与直线联立： ， 解得：代入得，故点B为． 相关函数与直线联立： ， 解得：代入得，故点C为 设． ∵的面积为6， ∴ 代入， ， ： 解得： 或 解得：或 故点的坐标为或． （3）“原函数”的“相关函数”为， 当时，， ∴和都经过点， 如图， 当经过点时，取得最小值， ∴，解得： 当经过点时，取得最大值， ∴，解得： 故答案为：；． 34．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）【概念引入】新定义：平面直角坐标系中，对于点和若满足时，时；则称是限变点．例如：的限变点是的限变点是． 【理解运用】 （1）点的限变点的坐标为__________；点的限变点的坐标为__________； （2）点中有一个点的可变点在函数图象上，这个点是__________；（填“”或“”） 【拓展延伸】 （3）若的限变点在函数的图象直线上，直线交轴于点，交轴于点． ①求直线的函数表达式； ②在x轴上是否存在一点，使是以为底的等腰三角形，若存在，求出点的限变点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）①② 存在， 【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）① 根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；② 求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）① ∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ② ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 35．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）例如：在平面直角坐标系中，点到x轴和y轴的距离相等，故是x轴和y轴的关联点．在平面直角坐标系中，直线 ：交x轴于点，交y轴于点A，点C为x轴上一个点； （1）直线经过点， ①______，若在直线上，则比较t与6的大小：t_____6； ②如图1，当点C坐标为时，点B恰好为的关联点，求直线的解析式； （2）若，D为中点，点P为线段上一点，且为x轴和y轴的关联点，将绕点P逆时针旋转至，求证:轴． 【答案】（1）①6，；②     （2） 证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 轴．      【分析】 本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键． （1）将代入，求的值，将代入中，可得； 作于，则，由等积法可得，求出，得到点，将点代入中，求出的值即可求解析式； （2）由题意可得，，将点代入中，求得，则直线的解析式为：，设，求出，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，可知轴． (1) 小问详解： 解：将代入， ， 将代入中， ， ， ， 故答案为：6，； ，， ， 作于， 点恰好为的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ； (2) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 【答案】（1）①；②，；（2）；（3）或 【分析】 （1）① 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ② 如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】 （1）解：① ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ② 如图2，     过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．     ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则， 同理可得 ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴，， ∴， 当在点的位置时， 综上所述，或 37．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，对于图形给出如下定义：将图形上的一点变为点（称点为点的关联点．图形上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图形记为图形，称图形为图形的关联图形． （1）点的关联点的坐标为　　； （2）点在直线上，点的关联点在直线，求点的坐标； （3）如图1，若点在第一象限，且，点的关联点，判断的形状并证明； （4）已知，点，，，若四边形与其关联图形重合部分的面积为2，直线经过点，且与该关联图形有交点、请直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3） 解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点， 则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形；     （4）      【分析】 （1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，根据三垂直证明三角形全等即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． (1) 小问详解： 解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 则，故， 直线为， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即取值范围为． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 38．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．若成为等腰直角三角形，点D的坐标为　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点．分三种情况：① 如图，时；② 如图，，此时P与A重合；③ 如图5，，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D的坐标． 【详解】 解：① 如图，时，过P作轴，过D作轴，和交于H，     ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵点D是直线上的动点且在第四象限内． ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ② 如图，，此时P与A重合，过D作轴于E， ∵是等腰直角三角形， 同理得， ∴，， ∴点D的坐标为； ③ 如图，，过点D作轴，延长交于Q，则， ∵是等腰直角三角形， 同理得， ∴，， 设，则，， ∴， ∵点D是直线上的动点且在第四象限内， ∴， 解得： ， ∴点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 故答案为：或或． 39．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线交y轴正半轴于点D，且． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，点是线段上一点，连接，作交于点N，连接，求点N的坐标； （3）如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 【答案】（1）；     （2）点N的坐标为；     （3）Q点的坐标为或．      【分析】 （1）先求出，，由全等三角形的性质可得点，点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点，点， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵直线对应的函数表达式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，则是等腰直角三角形； 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； (3) 小问详解： 解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ① 当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，     ∵，， ∴轴，，点M的纵坐标为3，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴点； ② 当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点． 则， ∵，， ∴N点的横坐标为， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【点睛】 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数 考点01 函数的概念 考点02 函数的表示 考点03 一次函数的概念 考点04 一次函数的图象和性质 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 考点06 实际问题与一次函数 考点01 函数的概念 1．C 2．B 3．A 4．【答案】且 【分析】 本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑∶当函数表达式是整式时自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为当函数表达式是二次根式时被开方数非负根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可 【详解】 解∶根据题意得 解得且 故答案为∶且 5．【答案】 【分析】 本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】 解：由题意得，． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】 解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 7．【答案】且 【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解， 【详解】 根据题意，则， ，解得， 综上自变量x的取值范围是且． 8．【答案】（1）；（2）；（3）①或9；② 【分析】 （1）利用勾股定理可得，根据折叠的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理求解即可得； （2）延长，交于点，先求出，利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，则，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得； （3）① 先求出，再分两种情况：① 当时，过点作于点，则，证出，根据全等三角形的性质可得；② 当四边形为正方形时，则，得出，则此时点在上，为等腰三角形，根据正方形的性质可得；由此即可得； ②由点是边上一动点（不与、重合）可得，当时，由① 知P、D、E共线，；当点D在的右侧时，，过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据的面积可得与的函数关系式；同理求出当点D在的左侧时的与的函数关系式，进而可得答案． 【详解】 解：（1）∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故答案为：． （2）如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． （3）① 由旋转的性质得：， ∵在中，， ∴， 则分以下两种情况： 如图1，当时，为等腰三角形， 过点作于点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，当四边形为正方形时，则， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴此时点在上，为等腰三角形， ∴由正方形的性质得：； 综上，的长为或9， 故答案为：或9． ②∵点是边上一动点（不与、重合），且，， ∴， 当时，由① 知P、D、E共线，； 当点D在的右侧时，， 如图，连接，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴的面积 ， 当点D在的左侧时，，如图， 同理可证， ∴， ∴， ∴的面积 ， 综上， ． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、函数关系式、二次根式的应用等知识，熟练掌握折叠和旋转的性质是解题关键． 考点02 函数的表示 1．D 2．B 3．A 4．【答案】表示每小时耗油7.5升 【分析】根据图像可知出发时油箱内有油25升，当行驶2小时时剩油10升，可求出每小时耗油量为7.5升. 所以﹣7.5表示表示每小时耗油7.5升. 【详解】由图象可知，t=0时，y=25，所以汽车出发时油箱原有油25， 又经过2小时，汽车油箱剩余油量10升，即2小时耗油25-10=15升， 15÷ 2=7.5升， 故答案为表示每小时耗油7.5升 【点睛】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义与性质是解题关键. 5．【答案】① 【分析】 本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． 由图象，乙5分钟行驶的路程为1500米，进而求出乙的速度，判断①；根据25分钟两人相距2500米，求出甲原来的速度，进而求出甲追上乙所用的时间判断②． 【详解】 解：由题意得，乙的速度为米分；故①正确； 设甲的速度为米分．则有： ， 解得， 即甲出发时速度是米分， 分钟后甲的速度为（米分）， （分） （分） ∴当乙出发50分钟时，甲追上乙；故②错误； 由题意得，、两地相距（米）故③错误． 故答案为：①． 6．【答案】（1）50，150；（2）（7.5，375）；（3）7，8或14 【分析】 （1）根据题意和图象中的数据，可以得到小明步行的速度和小亮骑车的速度； （2）根据（1）中的结果，可以计算出点E坐标； （3）根据题意，可知有三种情况，两人相距100米，然后分别计算出x的值即可． 【详解】 （1）由图可知， 小明步行的速度为1500÷30＝50（米/分钟）， 小亮骑车的速度为1500÷10＝150（米/分钟）， 故答案为：50，150； （2）点E的横坐标为：1500÷（50+150）＝7.5，纵坐标为：50×7.5＝375， 即点E的坐标为（7.5，375）； （3）小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14． 理由：两人相遇前，（50+150）x+100＝1500，得x＝7， 两人相遇后，（50+150）x﹣100＝1500，得x＝8， 小亮从甲地到追上小明时，50x﹣100＝150（x﹣10），得x＝14， 即小亮从乙地出发到追上小明的过程中，与小明相距100米时x的值是7，8或14． 【点睛】 本题主要考查了函数的图象，解答的关键是从函数的图象中获取有效信息. 考点03 一次函数的概念 1．D 2．A 3．D 4．A 5．A 6．【答案】1 【分析】 本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】 解：∵函数是关于x的正比例函数， ∴，， ∴， 故答案为：1． 7．【答案】-2 【分析】根据一次函数和正比例函数的定义可知k-2≠0，-4+k2=0，从而可解得k的值． 【详解】解：∵关于x的一次函数y=（k-2）x-4+k2又是正比例函数， ∴k-2≠0，-4+k2=0． 解得：k=-2． 故答案为k=-2． 【点睛】一次函数：一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数； 正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 8．【答案】 【分析】 此题考查了用待定系数法求正比例函数的解析式，设正比例函数解析式为，把点代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值，熟练掌握待定系数法求正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】 设正比例函数解析式为， 将点代入中， 得：， 解得：， ∴正比例函数解析式为， ∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点04 一次函数的图象和性质 1．A 2．C 3．A 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．A 11．B 12．B 13．D 14．C 15．C 16．C 17．C 18．D 19．D 20．B 21．D 22．A 23．D 24．A 25．D 26．A 27．D 28．C 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了正比例函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：将直线向上平移2个单位长度后的直线的解析式为． 故答案为 ． 30．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的性质，根据所给一次函数解析式，得出随的增大而增大，据此可解决问题． 【详解】 解：中，， 随的增大而增大． 又， ． 故答案为：． 31．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据一次函数的图象分别与，轴交于，两点，若，，则把代入，得，故，又因为，得，结合，算出，即可作答． 【详解】 解：依题意，把代入，得 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 32．【答案】> 【分析】根据k=-2结合一次函数的性质可得出为减函数，在根据-1<2即可得出>. 【详解】∵一次函数中，k<0， ∴y随x增大而减小， ∵-1<2， ∴>. 故答案为> 【点睛】本题考查了根据一次函数的性质比较大小的问题，根据一次函数解析式确定函数的增减性是解题的关键. 33．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）；     （3）      【分析】 本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，一次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积，再利用勾股定理求出的长，再结合三角形的面积公式可得答案； （3）连接，交轴于点，连接，此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再令，求出的值，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：的坐标为． 故答案为：． (2) 小问详解： 的面积为， 由勾股定理得：， 设边上的高为， 则， 解得：． 故答案为：，； (3) 小问详解： 连接，交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入， 得 ， 解得： ， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 故答案为：． 34．【答案】（1） 如下图所示， 4     （2）     （3）     （4）或      【分析】 本题考查平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，利用轴对称求最值，求一次函数解析式等． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，利用网格求面积； （2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； （3）由可得：当点Q在上时，最小，求出直线与y轴的交点即可；- （4）根据即可求解． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：4； (2) 小问详解： 解：若点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：点D与点关于y轴对称， ， 当点Q在上时，最小，如图， 设直线解析式为， 将和代入，得： ， 解得 ， 直线解析式为， 当时，， 点Q的坐标为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：设点P的坐标为， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 故答案为：或． 35．【答案】（1），；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求正比例函数的表达式； （3）根据题意得出，，由得出，解方程，即可求解． (1) 小问详解： 解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：把代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， 解得： ∴； (3) 小问详解： 解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 36．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的平移、求一次函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的平移得到直线的表达式为，结合图象，再利用待定系数法求出的值，即可得出答案． 【详解】 解：将函数图象向下平移1个单位长度后得到， ∴直线的表达式为， 代入和，得 ， 解得 ， ∴原函数表达式为 故答案为：． 37．【答案】（1）；     （2）2138元；     （3）．      【分析】 本题主要考查分段函数的运用，理解表格中每档的费用，正确列式求解是关键． （1）根据题意得到第一档的费用，结合分段函数列式求解即可； （2）根据题意得到户的用电量处于第三档，代入计算即可求解； （3）根据题意得到该用户的用电量处于第二档，代入（1）中关系式计算即可求解． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：（元） 答：该户这一年的电费2138元； (3) 小问详解： 解：， ∵ ∴该户去年一年的电费属于第二档 设该户去年一年的用电量为 ， 解得：， 答：该户去年一年的用电量为． 38．【答案】（1）①；②1或     （2）图象G与x轴交点的坐标为     （3）满足条件的m的取值范围是      【分析】 （1）① 把点代入得出a的值即可； ② 分两种情况求出b的值即可； （2）先分当时，当时，求出m的值，然后根据m的值，求出图象与x轴的交点坐标即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴把代入得： ； ② 当时，把代入得：， 解得：； 当时，把代入得：， 解得：， 综上分析可知：b的值为1或． (2) 小问详解： 解：当时，把点代入得： ， 解得：不符合题意； 当时，把点代入得： ， 解得：符合题意， ∴此时函数 ， 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴没有交点； 当时，的函数值， ∴当时，的函数图象与x轴有交点， 把代入得：， 解得：， ∴图象G与x轴交点的坐标为； (3) 小问详解： 解：当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵ ∴不符合题意； 当，时，函数的最大值为，最小值为， ∴， ∵， ∴不符合题意； 当时， 时，， 时，， ∵当时，， ∴此时最大值为：，最小值， ∴， ∵， ∴， 解得：， 综上分析可知：． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的性质，解不等式组，求一次函数与坐标轴的交点，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论． 39．【答案】（1） ； （2）① 0；； ②或； （3）或者． 【分析】 （1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）① 把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为 ，根据不等式即可得结论． 【详解】 解：（1）∵函数 为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为 ； 故答案为： ； （2）① 当时，，当时，， ∴补全表格如下： 作图如下， x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … ② 联立和得 ，解得 ， ∴ 联立和得 ， 解得 ， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴ ， 解得 ， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为 ． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】 此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 40．【答案】（1）；     （2）①；②；     （3） 解：是定值 过点作轴，垂足为点， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查了一次函数的表达式求解、坐标与几何图形的综合应用、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用坐标特征和函数性质建立关系． （1）根据已知条件确定点A、C的坐标，设直线的函数表达式为 ，代入坐标求解参数； （2）① 过点作轴，垂足为，证明，结合已知条件求点F的坐标；② 利用轴的性质确定点E的纵坐标，代入直线解析式求横坐标，进而计算线段长度； （3）过点作轴，垂足为点，证明，通过全等性质推导与的数量关系，得出定值结论． (1) 小问详解： 解：， ， ， 设直线的函数表达式为， 把分别代入得 ， 解得： ， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：① 过点作轴，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ② ∵轴，， ∴点的纵坐标为1， ∵点在直线上， ∴将代入中得：，解得：， ∴ ∴； (3) 小问详解： 略 考点05 一次函数与方程（组）、不等式 1．A 2．B 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与轴的交点横坐标解答． 【详解】 解：由图知：直线与轴交于点， 即当时，； 因此关于的方程的解为：． 故答案为：． 4．【答案】3 【分析】 根据图象意义，得直线与x轴交点的横坐标就是方程的解，解答即可． 本题考查了一元一次方程的解与一次函数的关系，熟练掌握直线与x轴交点的横坐标就是方程的解，是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得一次函数的图像与x轴交点的横坐标3， 故关于x的方程的解是． 故答案为：3． 5．【答案】（1）证明：① ∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）①，，②或；（3） 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）设直线与轴交于点，设，先求出，，根据，在中利用勾股定理建立方程求出的坐标，再由待定系数法求解函数解析式． 【详解】 （1）略 （2）解：① ∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：，； ② 如图所示，当点M在原点右边时，连接，， 由题意得， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：设直线与轴交于点，设， 对于直线：，当；，， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线，代入，， 则 ， 解得 ， ∴直线． 6．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题．求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】 解：当时，，当时，， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 考点06 实际问题与一次函数 1．D 2．C 3．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，作，由题意得,；证，得，推出，设，则,根据，即可求解； 【详解】 解：作，如图所示：    令，则；令，则； ∴,； ∵平分，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则, ∵， ∴，解得：； ∴， ∴， 故答案为： 4．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 此题考查了一次函数和几何的综合、求函数值和自变量的值，根据题意正确求出S关于x的函数解析式是关键． （1）根据题意得到，，再利用三角形面积公式即可求出S关于x的函数解析式； （2）根据求出，再得到即可得到P点坐标． (1) 小问详解： 解： 点A的坐标为， (2) 小问详解： 当时， 5．【答案】（1）     （2）生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元      【分析】 本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． (1) 小问详解： 解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， (2) 小问详解： 解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 6．【答案】（1），     （2）方案一      【分析】 本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． (1) 小问详解： 解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． (2) 小问详解： 解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 7．【答案】（1）24万元， 16万元     （2）购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆；350万元      【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． (1) 小问详解： 解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元， 由题意得： 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； (2) 小问详解： 设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽车辆， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， 当，取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 8．【答案】（1）     （2）A     （3）当x的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元      【分析】 本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式、解一元一次方程，利用待定系数法正确求出函数解析式，并学会利用分类讨论思想解决问题． （1）用待定系数法即可求解； （2）先根据“时间路程速度”求出小明从家骑行到工厂所需时间，再分别求出选择A和B品牌共享电动车所需费用，比较即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，；当时，或．以此列出方程，求解即可． (1) 小问详解： 解：由图象可得，， 设， 将点代入得， 解得：， ； (2) 小问详解： 解：由图象可知，当时，， 小明从家骑行到工厂所需时间为， A品牌所需费用为元， B品牌所需费用为元， ， 选择A品牌共享电动车更省钱； 故答案为：A； (3) 小问详解： 解：当时，， ， 解得：， 当时，为或， 或， 解得：（舍去）或， 答：当x的值为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 9．【答案】（1）乙；1；     （2）40；；     （3）；     （4）.      【分析】 本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键. （1）由题意可知表示甲，表示乙，由图象可知，甲出发时，乙已经先出发了，且出发的时间易知； （2）根据函数图象可知甲2h行驶的路程是80km，从而可以求得甲的速度，根据乙3小时行驶的路程是40km，可以求得乙行驶的速度； （3）根据函数图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，根据“时间=路程÷速度”即可求出甲追上乙时，乙出发了多长时间； （4）根据函数图象可知甲到达地时，乙离开A地的距离，由此可得出乙离地的距离，根据“时间=路程÷速度”即可求出乙到达地还需的时间. (1) 小问详解： 解：由图象可知，甲、乙两人中，乙先出发1小时， 故答案为：乙；1； (2) 小问详解： 由图象可知，甲2小时行驶的路程是80km，故甲的速度为：， 乙3小时行驶的路程是40km，故乙的速度为：， 故答案为：40；； (3) 小问详解： 由图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，， 所以在乙出发后，甲超过乙， 故答案为：； (4) 小问详解： 由图象可知，甲到达地时，乙离开A地40km， 则乙距离点， 所以还需的时间为. 故答案为：. 10．【答案】（1）的解析式为，的解析式为     （2）小时后，两车相距千米     （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米      【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求代入分别求出直线、的函数值即可得到答案； （3）点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，两者相遇时，距离地距离相同，即两直线函数值相同，则联立两直线解析式求出交点坐标，即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设的解析式为，把点代入得， ， 的解析式为； 设的解析式为，把点、代入得 ， 解得 ， 的解析式为； (2) 小问详解： 分钟， 在中，当时，， 在中，当时，， （千米）， 答：小时后，两车相距千米； (3) 小问详解： 点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇， 当甲、乙两辆汽车相遇时，汽车离地的距离相同， 联立 ， 解得 ， （千米）， 答：点的实际意义是甲、乙两辆汽车相遇，此时甲车行驶的路程是千米． 11．【答案】（1），     （2）点的坐标为或     （3）点的坐标为或      【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）将点分别代入直线、的解析式即可求解； （2）由（1）知，直线的解析式为，求出，设， 可得，，根据等腰三角形的性质列方程求出，即可求解； （3）先求出，得到，进而得到，设，则，得到，列方程求出，即可求解． (1) 小问详解： 解：将点代入得， 解得， 将点代入得， 解得； (2) 小问详解： 解：由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 设， ，， 是以为底的等腰三角形， ， 则， 即， 解得， 点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：由（1）知，直线的解析式为，直线的解析式为， 令， 解得， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 12．【答案】（1）     （2）144      【分析】 本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法求解即可； （2）将天转化为分钟，再根据函数表达式，求出这个水龙头一个月的漏水量，再除以一个人一天大约的饮用辆，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ， 解得： ， 关于的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：天分钟， 当时，， 即这个水龙头一个月的漏水量为毫升， （天）， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一个人饮用144天． 13．【答案】4500 【分析】 本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】 解：设， 把，代入，得 ， 解得 ， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 14．【答案】（1），     （2）     （3） 如图所示，      （4）且      【分析】 （1）根据勾股定理得到，分两种情况，当点在上时，；当点在上时，； （2）当点在上时，当点在上时，如图，过作于，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据题意画出函数的图象由图象得到函数y的最小值是0； （4）把代入得到，把代入得到，于是得到结论． (1) 小问详解： 解：，点是中点， ， ，， ， 当点在上时，；当点在上时，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 当点在上时，如图，过作于， ∵， ∴ ∴， 当点在上时，， ∴ ； (3) 小问详解： 解：通过观察图象可知，函数的最小值是 故答案为：． (4) 小问详解： 当直线经过时，即， 解得， 当直线经过时，即， ， 若一次函数的图象与（3）的函数图象有两个交点，的取值范围为且． 【点睛】 本题考查一次函数的图象与性质、画一次函数图象，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，列代数式，勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 15．【答案】3 【分析】 本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 【详解】 ，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ， 解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 16．【答案】（1）     （2）方案甲更省钱     （3）学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球      【分析】 本题考查了一次函数的应用．熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据购买费用=单价×数量，建立关系表示的函数关系式即可； （2）将分别代入，计算求解，然后比较作答即可； （3）当元，当元，分别计算对应的的值，然后比较作答即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， ， ∴； (2) 小问详解： 解：由题意知，当时，（元）， （元）， ∵， ∴方案甲更省钱； (3) 小问详解： 解：由题意知，当元时，，解得：， 当元时，， 解得：， ∵， ∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球． 17．【答案】（1）5     （2），     （3）     （4）当 则 即当购买包装盒的数量为8000盒时，方案一与方案二所需费用一样；当 则 即当购买包装盒的数量大于8000盒时，方案二更省钱；当 则 即当购买包装盒的数量小于8000盒时，方案一更省钱      【分析】 （1）根据图一得出答案； （2）根据图二得出租赁机器的费用和盒子的单价； （3）利用待定系数法分别求出两个函数的解析式； （4）首先求出两个相等时的值，然后得出答案． (1) 小问详解： 解： ∴方案一中每个包装盒的价格是元 (2) 小问详解： 根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为元， 盒子的单价为，   故盒子的单价为元； (3) 小问详解： 设图象一的函数解析式为：， 由图象知函数经过点(100,500)， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； 设图象二的函数关系式为 由图象知道函数的图象经过点和 ∴ ， 解得： ， ∴函数的解析式为； (4) 小问详解： 令，   解得， ∴当时，两种方案同样省钱；当时，选择方案一；当时，选择方案二． 【点睛】 本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 18．【答案】（1）；     （2）选择乙家汉服体验店总租金更便宜      【分析】 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）根据甲、乙两店的租用方式即可用x式表示和的函数解析式； （2）分别计算出租用40件汉服时，甲、乙两店的租金，即可求解． (1) 小问详解： 解：根据题意得：； 当时，； 当时，． ∴ ； ∴关于x的函数解析式为；关于x的函数解析式为 ； (2) 小问详解： 解：当时，， ， ∵， ∴选择乙家汉服体验店总租金更便宜． 19．【答案】 【分析】 本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】 解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 20．【答案】（1）6000；5000     （2）；     （3）      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息和处理信息，求函数解析式，掌握从函数图像获取信息和处理信息，会用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）从函数图像获取信息得出当时，销售收入为6000元，销售成本为5000元即可； （2）通过待定系数法即可求得的函数解析式； （3）根据销售收入销售成本利润，进行列式即可得解． (1) 小问详解： 解：当销售量为6吨时，销售收入为6000元，销售成本为5000元； (2) 小问详解： 解：设的解析式为：，由图象，得：， 解得：， 的解析式为：， 设的解析式为，由图象，得 ， 解得： ， 的解析式为：； (3) 小问详解： 解：设销售利润为w元，则有： ． 利润与销售量间的函数关系表达式为：． 21．【答案】或 【分析】 本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先求出，则为等腰直角三角形，则，可得，则，然后分两种情况讨论，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵直线分别与x轴交于A，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ① 当时，如图： ∴， ∴， ∴； 当时，如图： ∴，， ∴， ∴， 综上：点D的坐标为或， 故答案为：或． 22．【答案】（1）330；100     （2）2.8     （3）或      【分析】 本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式、一元一次方程的应用，读懂函数图象获取必要的信息是解题的关键． （1）根据图象求出快车和慢车的速度差，结合慢车的速度为，求出快车的速度，再利用公式：路程速度时间，求出两地的距离；设快车返回时速度为，根据图象的信息列出方程，求出的值即可解答； （2）计算出两车相遇时慢车行驶的距离，再用此时的距离除以快车返回的速度即可求解； （3）根据图象可知两车有2次相距的情况，故分2种情况并利用一次函数的知识求解即可． (1) 小问详解： 解：由图可得，快车和慢车的速度差为， ∵慢车的速度为， ∴快车的速度为， ∴两地相距； ， 设快车返回时速度为， 则， 解得， ∴快车返回时速度为； 故答案为：330；100； (2) 小问详解： 解：两车相遇时，慢车行驶的距离为， ∴快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需时间为， 故答案为：2.8； (3) 小问详解： 解：两车第一次相距时，慢车出发时间为； 快车到达乙地卸装货物结束时，和慢车的距离为， ∴点的坐标为， 设线段的解析式为， 代入和，得 ， 解得 ， ∴线段的解析式为， 令，则， 解得， ∴当慢车出发后，两车第二次相距； 答：慢车出发或后，两车相距． 23．【答案】（1），     （2）当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同      【分析】 本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由图象可知，分别过点，然后根据待定系数法求解即可； （2）联立（1）中函数解析式即可求解． (1) 小问详解： 解：设直线，由图象可把点代入得： ，解得： ， ∴， 设直线，把点代入得：， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）联立函数解析式得： ，解得： ， 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同． 24．【答案】（1）     （2）该户这一年的燃气费为1147元     （3）该户去年一年的用气量为      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， （1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式； （2）直接将代入（1）关系式，可得答案； （3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可． (1) 小问详解： 解： 由表格可知，当时，． (2) 小问详解： 解：， 当时，， 所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元． (3) 小问详解： 解：当时，（元）， 当时，（元）， ， 所以，该户用气量属于第二档， 当时，， 解得，， 所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为． 25．【答案】（1）1200，60     （2）900，800，15     （3）y =-20x+1200（15≤x≤20）     （4）8分钟，分钟      【分析】 （1）分析图像，出发前两人之间的距离即为A、B两地之间的距离，为1200米，乙经过20分钟时到达A地，所以乙的速度为可计算出来； （2）由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，则可求出a，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米，利用甲乙的速度即可算出b； （3）由（2）可知M、N的坐标，设出MN的一般解析式，将M、N的坐标代入即可求出； （4）设经过x分钟两人相距80米，根据两人相遇前和相遇后都可相距80米分别列方程即可求出． (1) 小问详解： 由函数图像可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从A地出发，乙从B地出发，两人最开始时的距离就是A、B两地之间的距离， 所以A、B两地之间距离为1200米； 由图像可知乙经过20分时到达A地， ∴乙的步行速度为（米/分）； 故答案为：1200，60； (2) 小问详解： 由函数图像可知，经过分钟时两人相遇，经过c分钟时两人距离重新达到最大，此时甲到达B地，乙未到达A地，经过20分钟时乙到达A地，此时两人相距b米， 设甲的步行速度为x米/分，则， 解得：x=80（米/分） ∴（分）， （米）， （米）． 故答案为：900，800，15； (3) 小问详解： 由（2）可知，M、N的坐标分别为M（15，900），N（20，800）， 设线段MN的解析式为y=kx+b（）， 则有 ， 解得： ∴线段MN的函数解析式是y =-20x+1200（15≤x≤20） (4) 小问详解： 设经过x分钟两人相距80米，两人相遇前和相遇后都可相距80米， 相遇前：1200-（60+80）x=80，解得：x=8； 相遇后：（60+80）x-1200=80，解得：x=， 所以经过8分钟和分钟时两人相距80米． 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图像分析出各个点对应的情况． 26．【答案】（1）当时，；当时，；当时，     （2）146元     （3）300千瓦时      【分析】 本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值和求函数值，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费方案列式求解即可； （2）把代入中，求出y的值即可得到答案； （3）可证明该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时，则把代入中，求出x的值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，当时，； 当时，； 当时，； (2) 小问详解： 解：在中， 当时，， 答：该户这个月的电费为146元； (3) 小问详解： 解：∵，， 且， ∴该户居民八月份用电量超过200千瓦时，但不超过400千瓦时， 在中，当时，， 答：该户居民八月份用电量为300千瓦时． 27．【答案】（1）；（2）①；② 【分析】 （1）由 “和谐点”定义．代入计算，即可求出“和谐点”C的坐标： （2）① 由点是点D、E的“和谐点”．按定义求出，，用含x的式子表示t得，消去t则， ② 直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时，由TD⊥x轴说明T、D两点横坐标相同得，求出t即可． 【详解】 （1）由点，与“和谐点”定义． ，， “和谐点”C的坐标：C（，）； （2）① 点，点，点是点D、E的“和谐点”． ，， ， ， ， ② 直线ET交x轴于点H，当∠TDH＝90°时， TD⊥x轴， ， ， ， E． 【点睛】 本题考查平面直角坐标系中新定义问题，掌握新定义的坐标关系，会根据新定义规则进行计算抓住T、D和坐标关系是解题关键． 28．【答案】（1）300，     （2）     （3）当观光车到达观景点时，小明距观景点还有      【分析】 本题考查一次函数的应用、函数的图象． （1）根据速度路程时间求出观光车的行驶速度，再由时间路程速度求出观光车从景区入口到达观景点所用的时间，从而求出点D的坐标； （2）利用待定系数法解答并写出自变量x的取值范围即可； （3）将代入线段对应的函数表达式，求出对应y的值，即小明已走的路程，再根据“景区入口与观景点的距离当观光车到达观景点时小明已走的路程”列式计算即可． (1) 小问详解： 解：观光车的行驶速度为， ， ， ∴点D的坐标为， 故答案为：300，； (2) 小问详解： 解：设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得 ， 解得 ， ∴线段对应的函数表达式为； (3) 小问详解： 解：当时，， ． 答：当观光车到达观景点时，小明距观景点还有． 29．【答案】（1）     （2）或     （3）存在；或     （4）6或      【分析】 （1）先求出点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出点，勾股定理求得，进而分两种情况讨论，即可求解； （3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵点的横坐标为3．且在正比例函数的图象上 ∴， 将，代入 ∴ 解得： ∴一次函数解析式为： (2) 小问详解： 解：由，当时，， 解得： ∴ ∵ ∴ 当时，则 当时，如图所示，过点作于点， ∴ ∴ ∵轴， ∴， 综上所述，为以为腰的等腰三角形，点的坐标为或； (3) 小问详解： 解：∵， ∴ 如图所示，当在点的左侧时， ∴ 依题意， 解得：，则 当在点的右侧时，如图所示， 依题意， 解得：，则 综上所述，点的坐标为或 (4) 小问详解： 当时，过点C作轴于点M，并延长，过点D作于点，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 当时，如图所示： 设点，则， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中根据勾股定理得：， 即， 解得：， 综上分析可知，点N的横坐标为：6或 【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，三角形面积的计算，解一元二次方程；解题的关键是根据题意作出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． 30．【答案】（1），，     （2）     （3）或．      【分析】 （1）对于，分别令和，可求出点A，C的坐标；对于，令，可求出点B的坐标； （2）设点，求出，该函数解析式为，从而得到点，再求出直线的解析式为，可得点，然后根据线段平分线段，即可求解； （3）求出点，设直线的解析式为，，可得到直线的解析式为，然后分两种情况：当点N在点M的上方时；当点N在点M的下方时，即可求解． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，； ∴， 当时， 解得：， ∴， 对于， 当时，， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 解：设点， ∵点在直线上， ∴， ∴该函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴点， ∵， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∵线段平分线段， ∴点； (3) 小问详解： 解：∵点与原点关于点对称，， ∴点， ∴可设直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当点N在点M的上方时，如图，过点M作轴，分别过点A，N作，垂足分别为点L，K，则，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴点N的坐标为， 把代入得： ， 解得：（舍去）， ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为； 当点N在点M的下方时，同理直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 31．【答案】（1）；     （2）     （3）满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，）或（3，2）或（5，）      【分析】 （1）利用待定系数法求出函数解析式，求出直线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标即可； （2）根据进行求解即可； （3）分和，两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，进行求解即可． (1) 小问详解： 解：∵直线：交x轴于点B（4，0）， ∴． ∴． ∴直线：， ∵过点E（2，0）的直线平行于y轴， ∴直线：， 联立，的解析式得： ，解得： ∴点D的坐标为（2，）， 故答案为：；（2，）； (2) 小问详解： 解：∵D（2，），P（2，m），点P在点D的下方， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：当点在点D的上方时，， 此时：； 结合（2）可知： ， 当时， 解得：， ∴点P（2，2）， ∵E（2，0）， ∴， ∴， ① 如图2，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 过点C作轴于点F， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴； ② 如图，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴C（2，）， ∴以点B为直角顶点作等腰直角，点C的坐标是（6，2）或（2，）． 当时，，可得P（2，）， 同法可得C（3，2）或（5，）． 综上所述，满足条件的点C坐标为（6，2）或（2，）或（3，2）或（5，）． 【点睛】 本题考查一次函数与几何的综合应用，同时考查了，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 32．【答案】（1），；     （2）与的函数解析式为；     （3）或或．      【分析】 ()结合函数图象，根据行程问题的数量关系：速度=路程时间，路程速度时间就可以求解； ()由()的结论可以求出点的坐标，再由题意可得点的坐标，由待定系数法求出的解析式； ()分当两车第一次相遇前相距千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距千米的路程；当甲车到达地后返回地，两车第二次相遇后，甲车到地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米；分别求解即可． (1) 小问详解： 由函数图象可得：，两地相距路程是千米， 乙车行驶的速度是（千米/时）， 图中括号内的数为：， 故答案为：，； (2) 小问详解： ，甲车的速度为千米/时， 甲车从地到地需（小时），故点坐标， 设甲车从地返回地过程中与的函数解析式为， 将，代入上式，得 ， 解得 ， ∴与的函数解析式为； (3) 小问详解： 设两车出发后小时相距千米的路程， 当两车第一次相遇前相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当甲车到达地后返回甲地，两车第二次相遇时相距千米的路程， ∵， ∴乙在停留时两车第二次相遇时相距120千米， 根据题意，得， 解得：， 当甲车到达地后返回地，两车第二次相遇后，甲车到地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米； 综上，两车出发后小时或小时或小时相距千米的路程． 故答案为：2或或． 【点睛】 此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数图象，一次函数与一元一次方程的运用，解答时从函数图象获取信息是解题的关键． 33．【答案】（1）；（2）①；② 点的坐标为或；（3）； 【分析】 本题考查了一次函数的性质，两直线交点问题，一次函数与坐标轴交点问题； （1）根据定义将一次项系数取相反数，常数项取相反数，即可求解； （2）① 根据定义函数与相关函数的交点，联立方程，即可求解； ② 分别求得的坐标，根据的面积为6，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意得出“原函数”的“相关函数”为，则和都经过点，画出图形，找到临界值，代入的坐标，即可求解． 【详解】 解：（1）原函数为，根据定义，其相关函数为 答案：； （2）① 原函数与相关函数的交点， 解得：，代入原函数得，故A点坐标为． ② 原函数与直线联立： ， 解得：代入得，故点B为． 相关函数与直线联立： ， 解得：代入得，故点C为 设． ∵的面积为6， ∴ 代入， ， ： 解得： 或 解得：或 故点的坐标为或． （3）“原函数”的“相关函数”为， 当时，， ∴和都经过点， 如图， 当经过点时，取得最小值， ∴，解得： 当经过点时，取得最大值， ∴，解得： 故答案为：；． 34．【答案】（1）（2）（3）①② 存在， 【分析】 本题考查一次函数与几何的综合应用，新定义，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出，的可变点，代入函数解析式，进行判断即可； （3）① 根据新定义，求出，代入解析式进行求解即可；② 求出点的坐标，作的中垂线，交轴于点，连接，设，利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，根据新定义，求出点的坐标即可． 【详解】 解：（1）∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， ∴点在直线上， 故这个点是； （3）① ∵，， ∴，即， 把代入，得，解得， ∴； ② ∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 作的中垂线，交轴于点，连接，则， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 35．【答案】（1）①6，；②     （2） 证明：， ， 为的中点， ， 将点代入中，， 解得， 直线的解析式为：， 设， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接， ，， 绕点逆时针旋转至， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 轴．      【分析】 本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，图形旋转的性质，弄懂定义是解题的关键． （1）将代入，求的值，将代入中，可得； 作于，则，由等积法可得，求出，得到点，将点代入中，求出的值即可求解析式； （2）由题意可得，，将点代入中，求得，则直线的解析式为：，设，求出，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，连接，证明，得到，可知轴． (1) 小问详解： 解：将代入， ， 将代入中， ， ， ， 故答案为：6，； ，， ， 作于， 点恰好为的关联点， ， ，， ， ， ， ， ， 将点代入中，， 解得， ； (2) 小问详解： 略 36．【答案】（1）①；②，；（2）；（3）或 【分析】 （1）① 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ② 如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】 （1）解：① ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ② 如图2，     过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．     ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则， 同理可得 ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴，， ∴， 当在点的位置时， 综上所述，或 37．【答案】（1）     （2）     （3） 解：为等腰直角三角形，证明如下： ， 点和点在坐标系中的位置如图所示， 过作轴，交轴于点，过作于点， 则， ， ， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形；     （4）      【分析】 （1）直接根据关联点的定义代入求解即可； （2）先根据点所在直线解析式设出点坐标，再根据关联点定义求出点坐标，进而代入点所在直线的解析式求解即可； （3）画出图形，根据图形很容易猜想为等腰直角三角形，则可作垂直，将坐标转化为线段长度，证全等，根据三垂直证明三角形全等即可得证； （4）先求出各点的关联点，在坐标系中画出图形可发现重叠部分为等腰直角三角形，进而求出值，继而发现当直线经过时，倾斜程度最小，即值最小，代入坐标即可得解． (1) 小问详解： 解：根据关联点的定义可知：，， 点的关联点的坐标为， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：点在直线上， 可设点的坐标为， 又，， 点的关联点的坐标为， 点在直线， ， 解得， ， 点的坐标为； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：，，，， 点关联点，点关联点，点关联点，点关联点， 如图，在平面直角坐标系画出图形， 由图易知，重叠部分为等腰直角三角形， ， 解得（负值舍去）， ，，， 直线经过点， 则，故， 直线为， 若直线与该关联图形有交点，则两个临界点为和， 当该直线经过点时，可有，解得， 当该直线经过点时，可有，解得， 即取值范围为． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形、一次函数的点的坐标特征、全等三角形的判定和性质、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 38．【答案】或或 【分析】 本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点．分三种情况：① 如图，时；② 如图，，此时P与A重合；③ 如图5，，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可得点D的坐标． 【详解】 解：① 如图，时，过P作轴，过D作轴，和交于H，     ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵点D是直线上的动点且在第四象限内． ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； ② 如图，，此时P与A重合，过D作轴于E， ∵是等腰直角三角形， 同理得， ∴，， ∴点D的坐标为； ③ 如图，，过点D作轴，延长交于Q，则， ∵是等腰直角三角形， 同理得， ∴，， 设，则，， ∴， ∵点D是直线上的动点且在第四象限内， ∴， 解得： ， ∴点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或． 故答案为：或或． 39．【答案】（1）；     （2）点N的坐标为；     （3）Q点的坐标为或．      【分析】 （1）先求出，，由全等三角形的性质可得点，点，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． (1) 小问详解： 解：把代入得：， ∴点， ∴， 把代入得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点，点， 设直线的函数表达式为， 则， 解得， ∴直线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵直线对应的函数表达式为， 当时，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， 即， ∴， ∴， ∴，则是等腰直角三角形； 分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，     ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； (3) 小问详解： 解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形． ∵为直线上的点， ∴， ∴， ① 当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，     ∵，， ∴轴，，点M的纵坐标为3，， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴点； ② 当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点． 则， ∵，， ∴N点的横坐标为， 则， ∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴M点的纵坐标为， ∴Q点的纵坐标为， 把代入中得：， ∴； 综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或． 【点睛】 本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $