专题09 勾股定理（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题09 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D 7．A 8．D 9．A 10．A 11．B 12．C 13．D 14．B 15．D 16．A 17．B 18．A 19．A 20．D 21．A 22．D 23．C 24．C 25．B 26．D 27．C 28．D 29．B 30．B 31．D 32．C 33．C 34．C 35．A 36．C 37．D 38．B 39．B 40．【答案】16 【分析】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．【答案】 【分析】 此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 42．【答案】130 【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 43．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 44．【答案】10 【分析】 本题主要考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握“将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面的线段长度问题，再用勾股定理求解”是解题的关键． 将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】 解：将圆柱侧面展开如图所示，过作于， 由题意可得，， 在中，由勾股定理得，斜边． 故答案为：． 45．【答案】13 【分析】 本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】 解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 46．【答案】2 【分析】 本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 47．【答案】289或161 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：① 当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ② 当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 48．【答案】14.5尺 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】 解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 49．【答案】 【分析】 根据题意，分三种情况展开，在平面图形中由勾股定理求出长比较大小即可得到答案． 【详解】 解：长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，则， 根据题意，分三种情况： 将上面和前面展开，如图所示： 由勾股定理可得，； 将前面和右面展开，如图所示： 由勾股定理可得，； 将右面和下面展开，如图所示： 由勾股定理可得，； ， 一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为， 故答案为：． 【点睛】 分三种情况解答，比较三种情况的结果． 50．【答案】 【分析】 本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，利用两点间的距离公式，求出点对应的数即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由作图可知：， ∴点对应的数是； 故答案为：． 51．【答案】 【分析】 本题考查三线合一，勾股定理，根据三线合一，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 52．【答案】（1）长方形     （2） 如图：      （3）      【分析】 本题考查立体几何中最短路线问题，把曲面上的最短路径问题转化为平面上的最短路径问题是解题的关键． （1）由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为长方形； （2）观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接即可； （3）根据（2）中的位置，根据勾股定理进行求解计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为：长方形， 故答案为：长方形； (2) 小问详解： 解：观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接； (3) 小问详解： 解：、、 ． 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程为． 53．【答案】50 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】 解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 54．【答案】5 【分析】 本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，可得，，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：侧面展开图如图所示，    ∵圆柱的底面周长为6， ∴， ∵， ∴在中，． 故一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是5． 55．【答案】（1）36cm；     （2）变化了，长度增加了4cm．      【分析】 （1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图1，过点D作于点F， 由题意知， ∴，， ∴． (2) 小问详解： 如图2，过点D作于M，过点E作于点N， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中， ，， 在中，， ∴由勾股定理可得， 则， 原来， ， ∴变形前后两轴心的长度增加了． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 56．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （）由，则，由平分，则，再由圆周角定理和等边对等角可得，所以，从而证明，通过平行线的性质证明，最后根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； （）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理求出，证明求出，，证明求出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 57．【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴，     （2） ① ∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②     （3）或      【分析】 本题考查了折叠变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键． （1）由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解； （2）① 利用矩形的性质可得； ② 利用全等三角形的性质可得，设，由（1）可得，，再利用勾股定理即可求解； （3）当时，设，分为两种情况：第一种情况，点E在线段上，，，第二种情况，点E在线段的延长线上，，，利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； (3) 小问详解： 解：当时，设，应分为两种情况： 第一种情况，如图，点E在线段上， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，如图，点E在线段的延长线上， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为21； 综上，当时，的长为或21． 58．【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【分析】 （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，     ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图，     由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 59．【答案】20 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】 解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开， 由题意得， 在中，由勾股定理得， ∵两点之间线段最短， ∴蜘蛛所走最短路径长度为， 故答案为：20． 60．【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理求最短路径问题，将立体图形问题转化成平面问题，作出长方体展开图是求解的关键；将长方体展开，分情况讨论，第一种是蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点，连接展开图的点求出长度；第二种情况是，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点，连接展开图点，求出长度，再对比最小距离即可求解． 【详解】 解：① 如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ② 如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ∵ ∴最短路径为10， 故答案是：10． 61．【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． (1) 小问详解： 解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； (2) 小问详解： 解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 62．【答案】30 【分析】 由折叠的性质可得DC = DF，CE=EF=5cm，∠C=∠DFE= 90°，由勾股定理可求BF、AB的长，即可求解． 【详解】 ∵四边形ABCD是长方形， ∴ AD= BC= 8(cm)，AB= CD， ∴CE= BC- BE=8-3= 5 (cm)， ∵将长方形ABCD沿直线DE折叠， ∴DC= DF，CE= EF= 5 (cm)，∠C=∠DFE= 90°， ∴ ∴AD2 + AF2= DF2 ∴64+(AB-4)2 = AB2 ∴AB=10(cm)， ∴AF=6(cm)， ∴阴影部分的面积＝×6×8+×3×4= 30(cm2) 故答案为：30 【点睛】 本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求出AB的长是解题的关键． 63．【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图所示，      （2），     （3）如图所示，      （4）      【分析】 本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是； (2) 小问详解： 解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：体育馆的位置是，教学楼的位置是； (4) 小问详解： 解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，图书馆的位置为，大门的位置为， ∵1个单位长度表示， ∴从大门到图书馆的最短距离为， 故答案为：． 64．【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 65．【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】 （1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 66．【答案】5或20 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】 解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：5或20． 67．【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，先证明，得出，，然后在证是等腰直角三角形，求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】 解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，则， 在等腰直角中，是斜边的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 68．【答案】（1）2.5 （2）小狗能将小球捡回来，理由如下： 当C、M重合时，作于点E，如图，则米，米， ∵米， ∴米， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴小狗能将小球捡回来． 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）作于点E，在直角三角形中，由勾股定理求解即可； （2）当C、M重合时，作于点E，如图，则米，求解米，再在直角三角形中，由勾股定理求解，进而求解． 【详解】 解：（1）作于点E，如图，则米，米， ∵米， ∴米， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴米， 故答案为：2.5； （2）略 69．【答案】（1）D     （2）     （3） 证明：连接，如图所示： ， ∴和均为直角三角形， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得， ， ， ∴是“加倍三角形”．      【分析】 本题考查了勾股定理、新定义的理解和利用平方根解方程等知识，解决本题的关键是理解题中所给出的新定义． （1）由选项中的各类三角形，结合“加倍三角形”定义判断即可得到答案； （2）根据正方形的性质可求得正方形和正方形两边的边长，再根据新定义即可求得正方形的边长，进而即可求得面积； （3）连接，如图所示，根据勾股定理和新定义判断求解即可得证． (1) 小问详解： 解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意； 故选：D； (2) 小问详解： 解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24， ， ∵是“加倍三角形”，且， ， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 70．【答案】（1） 建立平面直角坐标系如下： ，     （2） 如图所示，即为所求：      （3）      【分析】 本题考查了坐标与图形变化—轴对称、勾股定理、三角形的面积公式、二次根式的运算，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据点C的坐标确定平面直角坐标系，再结合写出A，B两点的坐标即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）先利用割补法求出的面积，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求出边上的高． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积， ， ∴中边上的高是． 故答案为：． 71．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）设物体C升高了，则滑块B移动距离为，进而表示出和的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，，， ∴， ∴绳子的总长度为， 答：绳子的总长度为； (2) 小问详解： 解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为， 则，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， 答：物体C升高了． 72．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先利用勾股定理可得，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ (秒)； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)； 综上，出发秒或秒，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 73．【答案】（1）证明： 即 （2）；（3）6 【分析】 （1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为，根据题意得出方程解答即可． 【详解】 （1）略 （2） 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为 ，， 【点睛】 本题考查了勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答． 74．【答案】（1）旗杆的高度为12米；     （2）该同学前进的距离的长为米．      【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，设旗杆的高度为米，即可求解； （2）过点作于点，由勾股定理得，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题知，，，米 在中，； 由勾股定理得：， 设旗杆的高度为米，则米， ， 解得：， 所以旗杆的高度为12米； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ， 由条件可知四边形是矩形，米， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ； 故该同学前进的距离的长为米． 75．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）；；     （3）      【分析】 本题考查坐标与轴对称，勾股定理与网格问题，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点在坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积，勾股定理求出的长，等积法求出边上的高即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：；；； 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：作， 由勾股定理，得：， 由网格可知：， ∵， ∴． 76．【答案】（1）     （2）8或      【分析】 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （2）根据题意进行分类讨论：① 当时，② 当时，即可解答． (1) 小问详解： 解：如图，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； (2) 小问详解： 解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即① ． 在中，根据勾股定理得，， 即② ． 结合① 和② 得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 77．【答案】站应建在离站处． 【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．根据使得，两村到站的距离相等，则，再利用勾股定理得出的长． 【详解】 解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 答：站应建在离站处． 78．【答案】或3. 【分析】 “有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．或另一条直角边为3，利用勾股定理求出即可． 【详解】 “有趣中线”有三种情况： 若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意； 若“有趣中线”BD=AC=3； 若“有趣中线”为BD，如图所示， BC=3， 设BD=2x，则CD=x， 在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=32+x2， 解得：x=， 则△ABC的“有趣中线”的长等于或3． 【点睛】 此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论． 79．【答案】（1） 证明：设， ， ， ， 又，是中线， ， ， ， ， 又， ， ；     （2） ， 证明：过点C作交的延长线于点M， 是中线， ， ，， ， ，， 又，， ， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）设，得，由直角三角形中线得到，推出，再证，即可求证；         （2）过点C作交的延长线于点M，可得，则，，再证，则，即可求解；                                     （3）过点C作交的延长线于点M，由（2）可知，，，设，则，设，则，，由勾股定理可得，则，证明 ，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点C作交的延长线于点M， 由（2）可知，，， 设，则， ， ， 设， ，， 由（2）可知，， ， ， 解得，（舍去）， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的中线，全等三角形的判定性质，相似三角形，勾股定理等相关知识点，解题关键在于熟练掌握构造辅助线的方法和分式，主要是知识点的综合理解. 80．【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 即， ，， 四边形的面积的求法一：， 四边形的面积的求法二：， ， 化简得； （2）①；② 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）根据四边形的面积的求法一：，四边形的面积的求法二：，即可求解； （2）① 设，则，根据勾股定理列方程即可求解；② 在上取一点，使得，连接，结合等腰三角形的判定与性质可推出，，证明得到，进而得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）① 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ； ② 如图3，在上取一点，使得，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 在中，． 81．【答案】（1） ； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得： ， ，由于为正数， ； （3） 【分析】 本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】 解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2）略 （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 82．【答案】 【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中图形的性质、折叠的性质、勾股定理以及长方形的性质．解题关键在于利用折叠的性质找出相等的线段，再结合长方形的性质和勾股定理建立方程求解，其中找到合适的直角三角形并运用勾股定理是解题的关键．由点的坐标为得出的长度，再结合以及长方形的性质，设未知数表示出相关线段的长度．根据折叠的性质得到，．在中，利用勾股定理建立方程，进而求解的长度． 【详解】 解：∵点的坐标为， ∴， 设，那么， 已知点的坐标为，则， 由折叠性质可知，， 在中，由勾股定理可知： 解得， 则，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ，且， 在中，由勾股定理可知： 解得， 故答案为：5． 83．【答案】（1） ①是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②；     （2）；     （3）的长是或．      【分析】 （1）① 根据等腰直角三角形和平行线的性质即可解答； ② 设，由勾股定理列方程即可解答； （2）正确画图，同理利用勾股定理即可解答； （3）设，如图，当是的中位线时，，取（包括在射线上），确定符合条件的点的位置：点符合条件的范围要在图中的线段上（不包含，两点），分两种情况：① 当点在边上时，如图，② 当点在射线上时，如图，根据勾股定理得：，即可解答． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 如图，设， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图， ∵，， ∴，， 同（）② 得：， ∴； (3) 小问详解： 解：设， 如图，当是的中位线时，，取（包括在射线上）， ∵当时，点符合条件的范围要在图中的线段上（不包含，两点）， ① 当点在边上时，如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 当点在射线上时，如图， 同理得：，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上，的长是或． 【点睛】 本题是三角形的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，正确画图和计算是解题的关键，属于中考常考题型． 84．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键． 利用全等三角形的性质得到对应边和角的关系，连接，通过角度推导证明，再结合等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求解AD的长度． 【详解】 解：连接． ， ，，，，， ，即， 是等腰直角三角形，， ∴， 又，， 是等腰直角三角形，， 在中，，， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，，且，即， ， ∴（负值舍去）， 故答案为： 85．【答案】（1）解：如图：      （2）沿第① 种方式爬行路程最短，最短路程是5     （3）蚂蚁需爬行的最短路程是      【分析】 本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①； ②； ③； 可知沿第① 种方式爬行路程最短，最短路程是5； (3) 小问详解： 解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 86．【答案】（1）；（2），正方形的边长是 【分析】 根据旋转得出，求出，得到等边，推出，求出即可求出； （2）求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；过点 B 作，交 的延长线于点 F ，求出，，根据勾股定理即可求出 ． 【详解】 解：（1）∵等边， ， 将绕点逆时针旋转得出， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到， 与（1）类似：可得， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， 在中，由勾股定理，得． 答：的度数是，正方形的边长是． 【点睛】 本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． 87．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．延长，取点F，使，连接，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】 解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 88．【答案】（1） ①证明：是等边三角形， ，， 又， ； ②     （2） 证明1（选择小龙同学思路）： 沿折叠得到， 是等边三角形， ，， 在上方作，交延长线于H， ， 由（1）②得，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 又，， ， ， ，且， ； 证明2（选择小辉同学思路）： 在延长线上截取，连接， 沿折叠得到， 是等边三角形． ，， 由（1）②得，， ， ， ， ， ， 又，， ． ，， ， ，即， 是等边三角形， ；     （3）或      【分析】 （1）①利用等边三角形边相等、角相等的性质，结合已知，通过证明全等；②由全等得对应角相等，借助三角形外角性质转化角度，得的度数； （2）选择小龙同学思路： 在上方作，交延长线于H，得，由，可判断是等边三角形，进而判定，得，从而证明； 选择小辉思路，在延长线上截取，连接，先证明，进而证明是等边三角形，得，从而证明； （3）分点E在线段上和延长线上两种情况，过点作于点，利用等面积法及的度数，即可求解． (1) 小问详解： ① 略 ②解：， ， 是的外角， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：分两种情况： 第一种情况：E在线段上，点D在上． 是等边三角形，，， ，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， ， ； 第二种情况：点E在延长线上，点D在的延长线上． 是等边三角形，，， ，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】 本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、折叠的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，能添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 89．【答案】 【分析】 本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质、勾股定理和基本作图，解题的关键是通过作图得出角的关系和线段长度关系，再利用等腰直角三角形性质与勾股定理求解． 先判定和为等腰直角三角形，结合作图得出，再用勾股定理列方程求解． 【详解】 如图，过点作，交延长线于点，连接， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由作图可知： ， 是等腰直角三角形， ， （负值舍去）． 故答案为：． 90．【答案】（1）； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）；（4）6 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】 （1）解：， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 91．【答案】或或或 【分析】 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．分三种情况讨论，当、和，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：设与交于点，由折叠知是线段的垂直平分线，，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论， 当时， ，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（舍去负值），即； 当时，如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即； 当时，点在线段的垂直平分线上， ∵点、都在线段的垂直平分线上， ∴点、重合， 此时，； 当点在的延长线上时，过点作，的延长线交于点，如图所示： 同理可证明：四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上，的长是或或或， 故答案为：或或或． 92．【答案】（1）①；②； （2）； 证明如下：过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ， ， ， ； （3）9 【分析】 （1）观察推理过程可得答案； （2）仿照（1）可得； （3）延长到，使，连接，，可得，证明，知，，由为锐角，可得，故，从而得长的最大整数值为9． 【详解】 解：（1）如图1，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ； 故答案为：；； （2）略 （3）延长到，使，连接，， 如图： ，， 是的垂直平分线， ， 为中点， ， 又，， ， ， 为锐角， ， 即为钝角， 由（2）的结论得：， ， ， 长的最大整数值为9． 【点睛】 本题考查三角形综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 93．【答案】或 【分析】 当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【详解】 解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】 此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 94．【答案】（1） 证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）     （3）①；②      【分析】 （1）证明，根据全等三角形的性质即可解答． （2）如图，延长至点使得，连接，根据倍长中线证明，得出，，根据（1）中，得出．等量代换得，等边对等角得，从而得，根据，得出，推出，根据平角定义得出，即可得出． （3）①根据题意，当，，结合，，得出，勾股定理求出，过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，延长至点使得，连接，得出，证明，得出，结合，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，证出是等腰直角三角形，过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，结合，根据三角形面积公式即可求解． ② 如图，连接，根据点为的中点，，得出，根据点是的中点，点为的中点，得出是的中位线，则，根据平行线性质得，设，则，，根据，得出，则，由（2）知，根据三角形内角和定理得出，证出，结合，得出，则，表示出，，即可得，结合即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，延长至点使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：若， 则， ①当，， ∵，， ∴， ∴， 过点作， 则， 延长至点使得，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 过点作， ∴， 又， ∴的面积． ② 如图，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∵点是的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 95．【答案】（1），     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，设，则由等面积法列式求解，可得答案； （2）延长交于，设，，则，由勾股定理可得 ，结合面积法可得，可得，可得，由可得三角形面积，结合，从而可得答案； （3）分两种情况讨论：由是以为腰的等腰三角形，当′时，过作于，证明，可得，易得；当时，同理，设，可得，利用勾股定理可得，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：∵四边形是长方形，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，如下图，连接，    则由等面积法可得， 即， 解得， ∴． 故答案为：，； (2) 小问详解： ∵四边形是长方形，，是边中点， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴， 如图2，延长交于，设，，    ∴， ∴由勾股定理可得 ， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， 解得 ，经检验符合题意； ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵是以为腰的等腰三角形， 当时，如图3，过作于， ∴，    由折叠可得，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 当时，同理， 设，， ∴， ∴由勾股定理可得， 解得，即． 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等面积法的应用、二元一次方程组的解法等知识，难度较大，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． 96．【答案】（1）（1）     （2） 结论：． 理由：如图 2中，过点作交的延长线于，连接．    ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ．     （3）的长为或1      【分析】 （1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．构建方程求解即可． (1) 小问详解： 解：结论：． 理由：如图1中，    ，， 垂直平分， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ． 如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．    ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或1． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．B 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．B 13．B 14．C 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； (2) 小问详解： 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 16．【答案】米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 17．【答案】（1）     （2） 学校会受噪声影响． 理由：如图，过点作于，则， ， ， 施工作业周围的以内为受噪声影响区域，， 学校会受噪声影响． 【分析】 本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点作于，根据等面积法求出的长，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是直角三角形，且； (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． (2) 小问详解： ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】 解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 20．【答案】（1）25米     （2）46800元      【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出和的面积，得到四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． (1) 小问详解： 解：，米，米， （米）， 的长度为25米． (2) 小问详解： 解：由（1）得，米， 又米，米， ， ， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 运动型塑胶地板每平方米200元， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）． 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 21．【答案】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【分析】 先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 22．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：连接， ，，， ， 答：这条小路的最短长度是； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ， ， 答：这块绿化用地的面积是． 23．【答案】（1）5     （2）是直角三角形， 证明：由（1）知，， ∵， ∴是直角三角形．      【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据勾股定理求出 的长即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． (1) 小问详解： 解：∵, ∴； (2) 小问详解： 略 24．【答案】-度 【分析】 先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】 解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点到的距离为，由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积求出即可． 【详解】 解：设点到的距离为， 由勾股定理得： ， 是直角三角形，且， ， ， 即点到的距离等于； 故答案为：． 26．【答案】（1）     （2） 如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， ∴着火点能被扑灭．      【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（       ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 2．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）下列各组数中，是勾股数的一组为（     ） A.  B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的大正方形图案．若较短直角边y为3，较长直角边x为5，则图中大正方形与小正方形面积之比为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（   ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 5．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在中，，，，则下列等式成立的是（     ）． A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，在中，，D是线段上的动点（不与点重合）．当的面积为时，的长为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（       ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 17 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）下列说法中，正确的个数是（     ） ①点和点关于y轴对称；       ②立方根等于它本身的数是0和1； ③，，是勾股数；       ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点．连接，作关于直线的对称图形，得到交轴于点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，为修公路需建桥，测得，，，若每天搭建桥，则把桥搭建完需要（     ） A. 48天 B. 49天 C. 50天 D. 51天 13．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（     ） A.  B. 2 C.  D.  14．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE=3，AB=4，BE=5，则重叠部分的面积是(        ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 15．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）下列为勾股数的是（       ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 5，12，13 16．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且，则等于（     ） A. 144 B. 289 C. 306 D. 441 19．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）下列各组数是勾股数的是（       ） A. 8，15，17 B.  C.  D. 2，12，14 20．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）下面三组数中是勾股数的一组是（       ） A. 6，7，8 B. 20，28，35 C. 1.5，5，2.5 D. 5，12，13 21．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 22．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，点，点B在y轴的正半轴上，，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为(　　) A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，在矩形中，，，在边上取一点，将折叠，使点恰好落在边上的点．则等于（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 26．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁处(距杯子上沿)发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿)，则蚂蚁从处爬到处的最短距离为(       ) A. 10 B. 28 C. 20 D. 24 28．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(       ) A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 6 33．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（     ） A.  B. 5 C.  D.  34．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 35．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A. 28 B. 25 C. 30 D. 24 36．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（       ）米． A.  B.  C.  D.  38．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点与重合，若，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，，，于点，若，求的长． 41．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如图，数轴上点表示的数为　　　　　　． 42．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架　　　　　　 ． 43．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 　　　　　　　　　 44．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　　． 45．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要　　　　　　厘米． 46．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了　　　　　　． 47．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 49．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为　　　　　　． 50．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，直角三角形ABO在数轴上，，点在数轴上的0处，以点为圆心，以OA为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是　　　　　　　　　　． 51．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，在中，是边上的高，则的长为　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，；（2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置；（3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： （1）圆柱的侧面展开图是__________； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； （3）求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 53．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为　　　　　　　　米． 54．（25-26学年八上·期中）如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 55．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．    （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； （2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 56．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，求的长． 57．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． （1）求证：； （2）当点E是边的中点时， ①求证 ②求的长； （3）当时，直接写出的长． 58．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 59．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是　　　　　　． 60．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为　　　　　　． 61．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 62．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处．已知AD＝8cm，BE＝3cm，则图中阴影部分的面积为　　　 cm2． 63．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． （1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）用坐标表示位置：食堂是            ，大门是            ； （3）已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； （4）若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为            ． 64．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 65．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 66．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为　　　　　　. 67．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则　　　　　　． 68．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）生活与应用 课题 小区遛狗捡球问题 生活情景 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） 情景示意图 问题1 （1）此时，牵狗绳的长为______米； 问题2 （2）子涵将手上的小球扔至3米远的处（米），若她站着不动，将牵狗绳放长至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 69．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． （1）下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形             B．等腰三角形             C．等腰直角三角形             D．等边三角形 （2）如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，则正方形的面积是_____； （3）如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 70．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）的位置如图所示，已知点C坐标为． （1）建立适当的平面直角坐标系并写出图中A，B两点的坐标； （2）画出关于x轴对称的； （3）中边上的高是______． 71．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 72．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发　　　　　　秒后，是以为腰的等腰三角形． 73．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 74．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中BC的长度 1 图②中BD的长度 5 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． （2）如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）． 75．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． （1）将关于y轴对称，得到，请画出； （2）写出的坐标为__________；的坐标为__________；的坐标为__________； （3）求中边上的高． 76．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． （1）当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． （2）当为直角三角形时，求出t的值． 77．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 78．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于　　　　　　　　． 79．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图1，中，，是中线，，垂足为E，点F在上，． （1）求证：； （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长交于点P，，求的值． 80．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）阅读： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”．它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： 方法迁移： （1）已知：，如图2放置，其三边长分别为，，，，连接，延长与延长线交于点，四边形是正方形，根据图示探究四边形的面积，写出一种验证勾股定理的方法． 应用拓展： （2）如图3，在中，是边上的高，，，， ①求的长． ②点为上一点，，为上一点，连接，，，点为平面内一点，，且，，请直接写出的长． 81．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 82．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形和长方形的边，在轴上，边在轴上，且，点的坐标为，点在边上，将沿所在直线折叠，点落在点处．若点的坐标为，求的长． 83．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）在中，；，点是直线上任意一点，过点作交直线于点，延长到点，使．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，连接交直线于点，连接． （1）如图，当点在边上时， ①请判断的形状，并说明理由； ②若，，求的长； （2）当点在边的延长线上时，若，，请根据题意在图中画出图形，并直接写出此时的长； （3）当时，请直接写出的长（用含，的式子表示）． 84．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，已知，，点在线段上，若，，则的长为　　　　　　． 85．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． （1）图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； （2）若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ （3）如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 86．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，求∠BPC的大小． 李明同学的思路是： 将绕点B旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，只要证得是等边三角形，是直角三角形，进而求得∠BPC的度数，使问题得到解决． 问题（1）：请直接写出的度数； 问题（2）：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点P，且，，．求的度数和正方形的边长． 87．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，四边形中，，，垂足为，，平分，则　　　　　． 88．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知，在等边中，点，分别是射线，射线上的动点，且，连接，直线与直线相交于点． （1）如图1，点，分别在线段，上， ①求证：； ②求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，将沿折叠，得到，连接，求证：； ①如图3，小龙同学从的度数出发，给出如下解题思路：在的上方作，交延长线于点，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图4，小辉同学从结论的角度出发，给出另一种解题思路：在延长线上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.（也可用自己的方法证明） （3）在等边中，，若，直接写出的长． 89．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长（小于）为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点F，作射线；④以点A为圆心，以长为半径画弧，交射线于H．根据以上作法，如果，则的长为　　　　　　． 90．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到    ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有    （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为             ． 91．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是　　　　　　． 92．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设．∵在中，，在中，①，①．化简得，．，，∴②．．． 其中，①是                  ；②是                       ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 93．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为　　　　． 94．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图1，在和中，，，．直线、相交于点，且点为的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若． ①当，，求出的面积（用含有，的式子表示）； ②连接，，取的中点，连接，若，，请直接写出的度数为__________（用含有的式子表示）． 95．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．    （1）如图1，点落在边上，若，则______，______； （2）如图2，若，是边中点，连接，求的面积； （3）如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 96．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．        （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，请直接写出线段AF的长． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6．其中能构成直角三角形的有（　　） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 2．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）在中，，，，则下列结论正确的是（     ） A. 是直角三角形，且 B. 是直角三角形，且 C. 是直角三角形，且 D. 不是直角三角形 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（       ） A. ，， B. 5，12，13 C. ，， D. 1，2， 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 5．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）以下列各组数作为三边的长，不能围成直角三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三条边长度的一组是（     ） A. 9，13，15 B. 6，8，10 C. 12，35，36 D. 14，36，39 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·期中）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（       ） A.  B.  C. ，， D.  11．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）下列选项中，正确的是（     ） A. 在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B. 若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C. 的三边分别为，，，若，则是直角 D. 在中，若，则是直角三角形 13．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 14．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A. ，， B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 16．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 17．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）施工队正在沿公路修路，学校在公路附近的点处，点距离点，分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ 18．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．    （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 19．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则　　　　　　是直角． 20．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． （1）求的长度； （2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 21．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 22．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ （2）这块绿化用地的面积是多少？ 23．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，四边形中，, （1）求线段的长； （2）请判断的形状并证明你的判断． 24．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为　　　　　　　　． 25．（25-26学年八上·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于　　　　　　． 26．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（       ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【分析】 根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】 解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 2．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）下列各组数中，是勾股数的一组为（     ） A.  B. 6，8，10 C. 1，，2 D. 2，2，3 【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】 解：、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； ，故是勾股数，符合题意； 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：． 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图是用四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的大正方形图案．若较短直角边y为3，较长直角边x为5，则图中大正方形与小正方形面积之比为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果． 【详解】 解：∵直角三角形的两条直角边的长分别是3和5， ∴小正方形的边长为， 根据勾股定理得：大正方形的边长， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（   ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 25 【答案】D 【分析】 根据勾股定理和正方形的面积求解即可． 【详解】 解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积， ∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144， ∴另一条直角边的平方为， ∴最⼩正⽅形A的⾯积是25， 故选：D． 【点睛】 此题考查了勾股定理，关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来. 5．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在中，，，，则下列等式成立的是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出，进而求出、，由勾股定理证得，以及即可． 【详解】 解：在中，，， ，， ， ∴， ∴， ，故选项A不成立； ， ，故选项B成立； 由勾股定理得，，故选项C不成立； ， ，故选项D不成立； 故选：B． 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，在中，，D是线段上的动点（不与点重合）．当的面积为时，的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形性质，勾股定理，过作交于，先由，可求出，再表示出面积即可求出的长. 【详解】 解：过作交于 ∵ ∴为中点 ∵ 在中 ∴ ∴ ∴ 故选：D 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，将一根长的筷子，置于一个底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的值最小为（       ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 17 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用．当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短．然后利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】 解：如图所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，     在中，，， ， 此时， 的值最小为是． 故选：A． 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】 解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 9．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）下列说法中，正确的个数是（     ） ①点和点关于y轴对称；       ②立方根等于它本身的数是0和1； ③，，是勾股数；       ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【分析】 本题考查了点坐标与轴对称、立方根、勾股数、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键．根据点坐标与轴对称、立方根、勾股数、等边三角形的判定逐个判断即可得． 【详解】 解：① 点和点关于轴对称（横坐标相同、纵坐标互为相反数）；则原说法错误； ② 立方根等于它本身的数是0，和，则原说法错误； ③，，都不是正整数，所以它们不是勾股数，则原说法错误； ④ 有一个角是的等腰三角形是等边三角形（理由：由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得三角形另外两个内角的度数也都等于），则原说法正确； 综上，在这些说法中，正确的个数是1个， 故选：A． 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 【答案】A 【分析】 由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS＝6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【详解】 解：沿着S所在的母线展开，如图， 连接AS，则AB＝×16＝8，BS＝BC＝6， 在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2＋BS2＝AS2，即82＋62＝AS2， 解得AS＝10． ∵A，S两点之间线段AS最短， ∴点A到点S移动的最短距离为AS＝10cm． 故选：A． 【点睛】 本题考查的是平面展开−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴于点．连接，作关于直线的对称图形，得到交轴于点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了坐标与图形的变化-对称，平行线的判定，勾股定理，过点作轴于点，根据题意得，得到，得出，根据勾股定理求出的值，即可得到点的坐标. 【详解】 解：如图，过点作轴于点， 由题可知， 点的坐标为，轴， ，，， ， ， ， ， 在中， ， ∴， 点的坐标为， 故选：B. 12．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，为修公路需建桥，测得，，，若每天搭建桥，则把桥搭建完需要（     ） A. 48天 B. 49天 C. 50天 D. 51天 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得，进而根据每天搭建桥，用的长除以，即可求解． 【详解】 解：在中，，，， ∴ （天） 故选：C． 13．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，正方形的边长为1，，则数轴上点E所表示的数是（     ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了在数轴上表示实数，勾股定理．根据勾股定理得出，然后得到，结合图形即可得出结果． 【详解】 解：由图可得：正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴点E表示的数为， 故选：D． 14．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中那样折叠，若AE=3，AB=4，BE=5，则重叠部分的面积是(        ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】B 【详解】 如图，∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB， 而AE=3，AB=4，BE=5，∴DE=5，∴重叠部分的面积= •5•4=10．故选B． 15．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）下列为勾股数的是（       ） A. ，， B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【分析】 本题考查勾股数，欲判断是否为勾股数，首先判断是否为正整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】 解：观察可知，只有选项D的三个数均为正整数，且，是勾股数；其他选项中数都不是正整数，不是勾股数； 故选：D． 16．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）市面上有许多自带勺子的水杯，为了方便用户使用，勺子一般需要漏出杯子一部分．如图是某款自带勺子的水杯的简化图，杯身是一个圆柱形，水杯的内径是，水杯的内侧高度为，若勺子的长度为，则勺子漏出杯子的部分至少为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先找出当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短，再利用勾股定理求出的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】 解：如图，当恰好是水杯的内径，时，勺子在水杯内的长度最长，勺子漏出杯子的部分最短． 由题意得：， ∴在中，， ∴， ∴勺子漏出杯子的部分至少为， 故选：A． 17．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】 解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 18．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正方形，且，则等于（     ） A. 144 B. 289 C. 306 D. 441 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理，根据正方形面积计算公式可得，再由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】 解：如图所示，由正方形面积计算公式可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 19．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）下列各组数是勾股数的是（       ） A. 8，15，17 B.  C.  D. 2，12，14 【答案】A 【分析】 此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．利用勾股数的定义进行分析即可． 【详解】 解：A、，是勾股数，符合题意； B、、、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 20．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）下面三组数中是勾股数的一组是（       ） A. 6，7，8 B. 20，28，35 C. 1.5，5，2.5 D. 5，12，13 【答案】D 【分析】 此题考查的知识点是勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【详解】 解：A、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B、，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； C、1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D、，能构成勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 21．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ） A. 2＋ B. 2 C. 3＋ D. 3 【答案】A 【详解】设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=x， 所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x， 在Rt△ACD中，tan∠DAC=， 故选A. 22．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据三角函数的定义即可求得结果. 【详解】. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键. 23．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，点，点B在y轴的正半轴上，，将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时，点的坐标为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，过作轴于C，先判定是等边三角形，从而利用“与都是含30度角的直角三角形求解即可”，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】 解：过作轴于C， ∵将绕原点O顺时针旋转后得到，当点恰好落在上时， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 故选：C． 24．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是，过点作，且，以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点表示的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴到原点的距离是． ∴点所表示的数是 ． 故选：C． 25．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，在矩形中，，，在边上取一点，将折叠，使点恰好落在边上的点．则等于（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解决此题关键． 根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质得到，，在中，利用勾股定理易得，则，设，则，，在中，利用勾股定理可求出的值，即可求解． 【详解】 解：∵矩形， ，， 又将折叠使点恰好落在边上的点， ，， 在中，，， ， ， 设，则，， 在中，，即，解得， 即的长为5， ． 故选：B． 26．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可． 【详解】 解：如图，过点A作， ∵是以边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴点A的坐标是， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为． 故选：D． 27．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）圆柱形杯子的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁处(距杯子上沿)发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿)，则蚂蚁从处爬到处的最短距离为(       ) A. 10 B. 28 C. 20 D. 24 【答案】C 【分析】 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】 解：如图所示，将杯子侧面展开，作关于的对称点，    连接，则即为最短距离， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理、最短路径等知识．将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出关于的对称点是解题的关键． 28．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据题意得出OA=8，OC=2，再根据勾股定理计算即可 【详解】 解：由题意可知：AC=AB ∵， ∴OA=8，OC=2 ∴AC=AB=10 在Rt△OAB中， ∴B(0，6) 故选：D 【点睛】 本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 29．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理、实数与数轴，先由勾股定理可求得的长，从而得到的长，即可得出结论． 【详解】 解：由题意可知，，，，， ， ， ， 由勾股定理得：． ． 则点表示的数是， 故选：B． 30．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． 设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：由题意得， ∵ ∴． 设的长为， 则， ∴． 在中，由勾股定理， 得， 即， 解得：． 故选：B． 31．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】 解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 32．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D. 6 【答案】C 【分析】 本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】 解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为， 故选：C． 33．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（     ） A.  B. 5 C.  D.  【答案】C 【分析】 先由折叠性质得到，，再由矩形性质得到，，结合全等三角形的判定与性质得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】 解：由折叠性质可得，， 在矩形中，，， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即， ，则， 则重叠部分的面积为， 故选：C． 【点睛】 本题考查求三角形面积，涉及折叠性质、矩形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关几何性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 34．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，则边上的高的长为（　　） A. 4 B. 4.4 C. 4.8 D. 5 【答案】C 【分析】 过作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理可解得，然后根据三角形面积公式计算求解即可． 【详解】 解：过作于点，如下图，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积为， ∴，即， 解得． 故选：C． 【点睛】 本通主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，正确作出辅助线是解题关键． 35．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　） A. 28 B. 25 C. 30 D. 24 【答案】A 【分析】 首先证明出，得到，然后证明出，得到，，然后，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】 如图所示，设，交于点M ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 36．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）如图，在中，，，将边沿翻折，使点C落在延长线上的点D处，折痕与边交于点E，则线段的长为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称的性质，勾股定理，根据勾股定理构造方程是解题的关键． 设，则，由折叠可得，，，根据勾股定理在中有，在中有，因此，代入求解得到，从而，，再由线段的和差即可解答． 【详解】 解：设，则， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴，， ∴． 故选：C 37．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（       ）米． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图，过P作于G，连接， （米），（米）， （米）， （米）， （米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 38．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：过点作的延长线于点，则， ∵，， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 39．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，将一块长方形纸片沿翻折后，点与重合，若，，则的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． 根据长方形的性质和翻折的性质得出相等的边和角以及角的度数，然后利用含角的直角三角形的性质及勾股定理，进行求解即可． 【详解】 解：根据长方形的性质得以及翻折的性质得， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得， 故选：B． 40．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，，，于点，若，求的长． 【答案】16 【分析】 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 先根据正切的定义得出的长，再利用的正切值得出的长，再计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如图，数轴上点表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了勾股定理、实数与数轴的关系等知识，由勾股定理得：，，从而有，则得到数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图， 由勾股定理得：，， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架　　　　　　 ． 【答案】130 【分析】 本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 43．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】 解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 44．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了圆柱的侧面展开图与勾股定理的应用，熟练掌握“将圆柱侧面展开，把曲面问题转化为平面的线段长度问题，再用勾股定理求解”是解题的关键． 将圆柱侧面展开为矩形，利用“两点之间线段最短”，把蚂蚁爬行的最短路程转化为矩形中直角三角形的斜边长度，需先计算矩形的长（底面半圆的弧长）和宽（圆柱的高），再用勾股定理求解． 【详解】 解：将圆柱侧面展开如图所示，过作于， 由题意可得，， 在中，由勾股定理得，斜边． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，圆柱底面圆的周长是12厘米，高是5厘米，现要从圆柱下底面的点A处，沿圆柱的侧面把一条彩带绕到上底面的点B处，则彩带最短需要　　　　　　厘米． 【答案】13 【分析】 本题考查平面展开﹣最短路径问题，两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度． 【详解】 解：如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ∵，由题意得厘米．厘米， 由勾股定理得，即， 解得（负值已舍）． 故答案为：13． 46．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】 解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 47．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则 　　　　　　　　． 【答案】289或161 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论． 分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：① 当第三边为斜边时， 由勾股定理得，； ② 当第三边为直角边时， 由勾股定理得，； 综上，的值为289或161， 故答案为：289或161． 48．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【分析】 本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】 解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 49．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）如图，长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，分三种情况展开，在平面图形中由勾股定理求出长比较大小即可得到答案． 【详解】 解：长方体的长、宽、高分别是，，，点是长方体的顶点，点是棱的中点，则， 根据题意，分三种情况： 将上面和前面展开，如图所示： 由勾股定理可得，； 将前面和右面展开，如图所示： 由勾股定理可得，； 将右面和下面展开，如图所示： 由勾股定理可得，； ， 一只蚂蚁由点处沿长方体表面爬到点处，最短路程为， 故答案为：． 【点睛】 分三种情况解答，比较三种情况的结果． 50．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，直角三角形ABO在数轴上，，点在数轴上的0处，以点为圆心，以OA为半径画弧，交数轴于点，则点对应的数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，利用两点间的距离公式，求出点对应的数即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由作图可知：， ∴点对应的数是； 故答案为：． 51．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，在中，是边上的高，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三线合一，勾股定理，根据三线合一，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 52．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，；（2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置；（3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： （1）圆柱的侧面展开图是__________； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； （3）求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 【答案】（1）长方形     （2） 如图：      （3）      【分析】 本题考查立体几何中最短路线问题，把曲面上的最短路径问题转化为平面上的最短路径问题是解题的关键． （1）由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为长方形； （2）观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接即可； （3）根据（2）中的位置，根据勾股定理进行求解计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为：长方形， 故答案为：长方形； (2) 小问详解： 解：观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接； (3) 小问详解： 解：、、 ． 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程为． 53．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为　　　　　　　　米． 【答案】50 【分析】 本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可． 【详解】 解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离， （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为50（米）． 故答案为：50． 54．（25-26学年八上·期中）如图，圆柱的底面周长为6，是底面圆的直径，点P是上一点，且，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是多少？（请画出示意图） 【答案】5 【分析】 本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，可得，，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：侧面展开图如图所示，    ∵圆柱的底面周长为6， ∴， ∵， ∴在中，． 故一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短路程是5． 55．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆的长为60cm，点D是的中点，前支撑板，后支撑板，车杆与所成的．    （1）如图2，当支撑点E在水平线上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离的长； （2）如图3，当座板与地面保持平行时，问变形前后两轴心的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：，，） 【答案】（1）36cm；     （2）变化了，长度增加了4cm．      【分析】 （1）如图1，过点D作于点F，由题意知，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）如图2，过点D作于M，过点E作于点N，由题意知四边形是矩形，求得，解直角三角形即可得到结论． (1) 小问详解： 解：如图1，过点D作于点F， 由题意知， ∴，， ∴． (2) 小问详解： 如图2，过点D作于M，过点E作于点N， 由题意知四边形是矩形， ∴， 在中， ，， 在中，， ∴由勾股定理可得， 则， 原来， ， ∴变形前后两轴心的长度增加了． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用． 56．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，是的直径，C，D是上两点，平分，过点作，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （）由，则，由平分，则，再由圆周角定理和等边对等角可得，所以，从而证明，通过平行线的性质证明，最后根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明； （）根据圆周角定理得到 ，根据勾股定理求出，证明求出，，证明求出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 57．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在矩形中，，点E是射线上一个动点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M． （1）求证：； （2）当点E是边的中点时， ①求证 ②求的长； （3）当时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质可得：， ∴， ∴，     （2） ① ∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②     （3）或      【分析】 本题考查了折叠变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，分类讨论的思想是解题的关键． （1）由折叠的性质和等腰三角形的判定即可求解； （2）① 利用矩形的性质可得； ② 利用全等三角形的性质可得，设，由（1）可得，，再利用勾股定理即可求解； （3）当时，设，分为两种情况：第一种情况，点E在线段上，，，第二种情况，点E在线段的延长线上，，，利用勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ② ∵， ∴， 设， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； (3) 小问详解： 解：当时，设，应分为两种情况： 第一种情况，如图，点E在线段上， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，如图，点E在线段的延长线上， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为21； 综上，当时，的长为或21． 58．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【分析】 （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】 （1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，     ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图，     由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 59．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】 解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开， 由题意得， 在中，由勾股定理得， ∵两点之间线段最短， ∴蜘蛛所走最短路径长度为， 故答案为：20． 60．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了勾股定理求最短路径问题，将立体图形问题转化成平面问题，作出长方体展开图是求解的关键；将长方体展开，分情况讨论，第一种是蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点，连接展开图的点求出长度；第二种情况是，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点，连接展开图点，求出长度，再对比最小距离即可求解． 【详解】 解：① 如图所示，蚂蚁从A出发经过左侧面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ② 如图所示，蚂蚁从A出发，经过正面和上底面到达B点时： 最短路径为：； ∵ ∴最短路径为10， 故答案是：10． 61．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    （1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ （2）如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】（1）米     （2）米      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． (1) 小问详解： 解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； (2) 小问详解： 解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 62．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处．已知AD＝8cm，BE＝3cm，则图中阴影部分的面积为　　　 cm2． 【答案】30 【分析】 由折叠的性质可得DC = DF，CE=EF=5cm，∠C=∠DFE= 90°，由勾股定理可求BF、AB的长，即可求解． 【详解】 ∵四边形ABCD是长方形， ∴ AD= BC= 8(cm)，AB= CD， ∴CE= BC- BE=8-3= 5 (cm)， ∵将长方形ABCD沿直线DE折叠， ∴DC= DF，CE= EF= 5 (cm)，∠C=∠DFE= 90°， ∴ ∴AD2 + AF2= DF2 ∴64+(AB-4)2 = AB2 ∴AB=10(cm)， ∴AF=6(cm)， ∴阴影部分的面积＝×6×8+×3×4= 30(cm2) 故答案为：30 【点睛】 本题考查了翻折变换，勾股定理，利用勾股定理求出AB的长是解题的关键． 63．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．为发展几何直观，感悟数形结合的思想，数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． （1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）用坐标表示位置：食堂是            ，大门是            ； （3）已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置； （4）若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为            ． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如图所示，      （2），     （3）如图所示，      （4）      【分析】 本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验室的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据坐标表示地理位置的方法即可求解； （4）根据平面直角坐标系的特点，确定宿舍楼与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． (1) 小问详解： 解：已知旗杆的位置是，实验室的位置是； (2) 小问详解： 解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：体育馆的位置是，教学楼的位置是； (4) 小问详解： 解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，图书馆的位置为，大门的位置为， ∵1个单位长度表示， ∴从大门到图书馆的最短距离为， 故答案为：． 64．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 65．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】 （1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 66．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为　　　　　　. 【答案】5或20 【分析】 本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】 解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：5或20． 67．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，先证明，得出，，然后在证是等腰直角三角形，求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】 解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，则， 在等腰直角中，是斜边的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 68．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）生活与应用 课题 小区遛狗捡球问题 生活情景 傍晚，子涵同学去小区遛狗，她观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与子涵的距离米．（绳子一直是直的） 情景示意图 问题1 （1）此时，牵狗绳的长为______米； 问题2 （2）子涵将手上的小球扔至3米远的处（米），若她站着不动，将牵狗绳放长至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．（假设小狗碰到球就能将球捡回来） 【答案】（1）2.5 （2）小狗能将小球捡回来，理由如下： 当C、M重合时，作于点E，如图，则米，米， ∵米， ∴米， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴小狗能将小球捡回来． 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）作于点E，在直角三角形中，由勾股定理求解即可； （2）当C、M重合时，作于点E，如图，则米，求解米，再在直角三角形中，由勾股定理求解，进而求解． 【详解】 解：（1）作于点E，如图，则米，米， ∵米， ∴米， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴米， 故答案为：2.5； （2）略 69．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“加倍三角形”． （1）下列三角形一定是“加倍三角形”的是_____； A．直角三角形             B．等腰三角形             C．等腰直角三角形             D．等边三角形 （2）如图1，是“加倍三角形”，且．若正方形和正方形的面积分别是8和24，则正方形的面积是_____； （3）如图2，在四边形中，，．E是四边形外一点，且，．求证：是“加倍三角形”． 【答案】（1）D     （2）     （3） 证明：连接，如图所示： ， ∴和均为直角三角形， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得， ， ， ∴是“加倍三角形”．      【分析】 本题考查了勾股定理、新定义的理解和利用平方根解方程等知识，解决本题的关键是理解题中所给出的新定义． （1）由选项中的各类三角形，结合“加倍三角形”定义判断即可得到答案； （2）根据正方形的性质可求得正方形和正方形两边的边长，再根据新定义即可求得正方形的边长，进而即可求得面积； （3）连接，如图所示，根据勾股定理和新定义判断求解即可得证． (1) 小问详解： 解：A、设的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； B、设等腰三边长分别为，则三边平方分别为，他们不一定满足两边的平方和等于第三边平方的2倍，比如某一等腰三角形三边长分别，则就不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； C、设等腰的三边长分别为，，则由勾股定理可得，不满足“加倍三角形”定义，不符合题意； D、设等边的边长为，则，满足“加倍三角形”定义，符合题意； 故选：D； (2) 小问详解： 解：∵正方形和正方形的面积分别是8和24， ， ∵是“加倍三角形”，且， ， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 70．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）的位置如图所示，已知点C坐标为． （1）建立适当的平面直角坐标系并写出图中A，B两点的坐标； （2）画出关于x轴对称的； （3）中边上的高是______． 【答案】（1） 建立平面直角坐标系如下： ，     （2） 如图所示，即为所求：      （3）      【分析】 本题考查了坐标与图形变化—轴对称、勾股定理、三角形的面积公式、二次根式的运算，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据点C的坐标确定平面直角坐标系，再结合写出A，B两点的坐标即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）先利用割补法求出的面积，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求出边上的高． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积， ， ∴中边上的高是． 故答案为：． 71．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）设物体C升高了，则滑块B移动距离为，进而表示出和的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，，，， ∴， ∴绳子的总长度为， 答：绳子的总长度为； (2) 小问详解： 解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为， 则，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， 答：物体C升高了． 72．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒．当点在边上运动时，出发　　　　　　秒后，是以为腰的等腰三角形． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，先利用勾股定理可得，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】 解：∵，，， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ (秒)； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴(秒)； 综上，出发秒或秒，是以为腰的等腰三角形， 故答案为：或． 73．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 【答案】（1）证明： 即 （2）；（3）6 【分析】 （1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为，根据题意得出方程解答即可． 【详解】 （1）略 （2） 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为 ，， 【点睛】 本题考查了勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答． 74．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中BC的长度 1 图②中BD的长度 5 … … （1）根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． （2）如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度（结果保留根号）． 【答案】（1）旗杆的高度为12米；     （2）该同学前进的距离的长为米．      【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，设旗杆的高度为米，即可求解； （2）过点作于点，由勾股定理得，即可求解． (1) 小问详解： 解：由题知，，，米 在中，； 由勾股定理得：， 设旗杆的高度为米，则米， ， 解得：， 所以旗杆的高度为12米； (2) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ， 由条件可知四边形是矩形，米， ， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ； 故该同学前进的距离的长为米． 75．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上． （1）将关于y轴对称，得到，请画出； （2）写出的坐标为__________；的坐标为__________；的坐标为__________； （3）求中边上的高． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）；；     （3）      【分析】 本题考查坐标与轴对称，勾股定理与网格问题，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据点在坐标系中的位置，直接写出点的坐标即可； （3）借助网格求面积，勾股定理求出的长，等积法求出边上的高即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可知：；；； 故答案为：；；； (3) 小问详解： 解：作， 由勾股定理，得：， 由网格可知：， ∵， ∴． 76．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． （1）当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． （2）当为直角三角形时，求出t的值． 【答案】（1）     （2）8或      【分析】 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （2）根据题意进行分类讨论：① 当时，② 当时，即可解答． (1) 小问详解： 解：如图，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； (2) 小问详解： 解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即① ． 在中，根据勾股定理得，， 即② ． 结合① 和② 得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 77．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）如图，铁路上A，B两点相距，C，D两点为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A点多少千米处？ 【答案】站应建在离站处． 【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用，利用，得出是解决问题的关键．根据使得，两村到站的距离相等，则，再利用勾股定理得出的长． 【详解】 解：，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 答：站应建在离站处． 78．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知中，，一条直角边为3，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于　　　　　　　　． 【答案】或3. 【分析】 “有趣中线”分别三种情况，两个直角边跟斜边，而直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不符合；两个直角边，有一种情况有趣中线为3．或另一条直角边为3，利用勾股定理求出即可． 【详解】 “有趣中线”有三种情况： 若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意； 若“有趣中线”BD=AC=3； 若“有趣中线”为BD，如图所示， BC=3， 设BD=2x，则CD=x， 在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=32+x2， 解得：x=， 则△ABC的“有趣中线”的长等于或3． 【点睛】 此题考查了勾股定理、新定义；熟练掌握新定义，由勾股定理得出方程是解本题的关键，注意分类讨论． 79．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图1，中，，是中线，，垂足为E，点F在上，． （1）求证：； （2）探究线段，的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长交于点P，，求的值． 【答案】（1） 证明：设， ， ， ， 又，是中线， ， ， ， ， 又， ， ；     （2） ， 证明：过点C作交的延长线于点M， 是中线， ， ，， ， ，， 又，， ， ， ， ， 又， ；     （3）      【分析】 （1）设，得，由直角三角形中线得到，推出，再证，即可求证；         （2）过点C作交的延长线于点M，可得，则，，再证，则，即可求解；                                     （3）过点C作交的延长线于点M，由（2）可知，，，设，则，设，则，，由勾股定理可得，则，证明 ，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点C作交的延长线于点M， 由（2）可知，，， 设，则， ， ， 设， ，， 由（2）可知，， ， ， 解得，（舍去）， ， ，， ， ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的中线，全等三角形的判定性质，相似三角形，勾股定理等相关知识点，解题关键在于熟练掌握构造辅助线的方法和分式，主要是知识点的综合理解. 80．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）阅读： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”．它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： 方法迁移： （1）已知：，如图2放置，其三边长分别为，，，，连接，延长与延长线交于点，四边形是正方形，根据图示探究四边形的面积，写出一种验证勾股定理的方法． 应用拓展： （2）如图3，在中，是边上的高，，，， ①求的长． ②点为上一点，，为上一点，连接，，，点为平面内一点，，且，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， 即， ，， 四边形的面积的求法一：， 四边形的面积的求法二：， ， 化简得； （2）①；② 【分析】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）根据四边形的面积的求法一：，四边形的面积的求法二：，即可求解； （2）① 设，则，根据勾股定理列方程即可求解；② 在上取一点，使得，连接，结合等腰三角形的判定与性质可推出，，证明得到，进而得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）① 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ； ② 如图3，在上取一点，使得，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 在中，． 81．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1） ； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得： ， ，由于为正数， ； （3） 【分析】 本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】 解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2）略 （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 82．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形和长方形的边，在轴上，边在轴上，且，点的坐标为，点在边上，将沿所在直线折叠，点落在点处．若点的坐标为，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查平面直角坐标系中图形的性质、折叠的性质、勾股定理以及长方形的性质．解题关键在于利用折叠的性质找出相等的线段，再结合长方形的性质和勾股定理建立方程求解，其中找到合适的直角三角形并运用勾股定理是解题的关键．由点的坐标为得出的长度，再结合以及长方形的性质，设未知数表示出相关线段的长度．根据折叠的性质得到，．在中，利用勾股定理建立方程，进而求解的长度． 【详解】 解：∵点的坐标为， ∴， 设，那么， 已知点的坐标为，则， 由折叠性质可知，， 在中，由勾股定理可知： 解得， 则，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ，且， 在中，由勾股定理可知： 解得， 故答案为：5． 83．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）在中，；，点是直线上任意一点，过点作交直线于点，延长到点，使．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，连接交直线于点，连接． （1）如图，当点在边上时， ①请判断的形状，并说明理由； ②若，，求的长； （2）当点在边的延长线上时，若，，请根据题意在图中画出图形，并直接写出此时的长； （3）当时，请直接写出的长（用含，的式子表示）． 【答案】（1） ①是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②；     （2）；     （3）的长是或．      【分析】 （1）① 根据等腰直角三角形和平行线的性质即可解答； ② 设，由勾股定理列方程即可解答； （2）正确画图，同理利用勾股定理即可解答； （3）设，如图，当是的中位线时，，取（包括在射线上），确定符合条件的点的位置：点符合条件的范围要在图中的线段上（不包含，两点），分两种情况：① 当点在边上时，如图，② 当点在射线上时，如图，根据勾股定理得：，即可解答． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 如图，设， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图， ∵，， ∴，， 同（）② 得：， ∴； (3) 小问详解： 解：设， 如图，当是的中位线时，，取（包括在射线上）， ∵当时，点符合条件的范围要在图中的线段上（不包含，两点）， ① 当点在边上时，如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ② 当点在射线上时，如图， 同理得：，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 综上，的长是或． 【点睛】 本题是三角形的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，正确画图和计算是解题的关键，属于中考常考题型． 84．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，已知，，点在线段上，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键． 利用全等三角形的性质得到对应边和角的关系，连接，通过角度推导证明，再结合等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求解AD的长度． 【详解】 解：连接． ， ，，，，， ，即， 是等腰直角三角形，， ∴， 又，， 是等腰直角三角形，， 在中，，， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，，且，即， ， ∴（负值舍去）， 故答案为： 85．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图1所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，要想使路程较短，有三种不同的方式：①沿面和而爬行；②沿面和而爬行；③沿面和面爬行． （1）图2为按第①种方式展成的平面图形，请你画出另两种方式展成的平面图形； （2）若，请通过计算，判断第几种方式所走路程最短？最短路程为多少？ （3）如图是一个长方体盒子（尺寸如图所示），在长方体下底面的M点有一只蚂蚁，它想吃到上底面N点的食物（是长方体的顶点，），请根据上面探究的结论求蚂蚁需爬行的最短路程是多少． 【答案】（1）解：如图：      （2）沿第① 种方式爬行路程最短，最短路程是5     （3）蚂蚁需爬行的最短路程是      【分析】 本题考查了勾股定理的应用． （1）根据爬行方式作图即可； （2）根据勾股定理求出三种方式的路程，比较即可； （3）根据（2）画出最短路径，进而计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①； ②； ③； 可知沿第① 种方式爬行路程最短，最短路程是5； (3) 小问详解： 解：由（2）可知，最短路径的两条直角边应为最长边及较短两边和， 如图： 则蚂蚁需爬行的最短路程是． 86．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，求∠BPC的大小． 李明同学的思路是： 将绕点B旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，只要证得是等边三角形，是直角三角形，进而求得∠BPC的度数，使问题得到解决． 问题（1）：请直接写出的度数； 问题（2）：请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题： 如图3，在正方形内有一点P，且，，．求的度数和正方形的边长． 【答案】（1）；（2），正方形的边长是 【分析】 根据旋转得出，求出，得到等边，推出，求出即可求出； （2）求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；过点 B 作，交 的延长线于点 F ，求出，，根据勾股定理即可求出 ． 【详解】 解：（1）∵等边， ， 将绕点逆时针旋转得出， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到， 与（1）类似：可得， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， 在中，由勾股定理，得． 答：的度数是，正方形的边长是． 【点睛】 本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． 87．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，四边形中，，，垂足为，，平分，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，余角的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．延长，取点F，使，连接，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】 解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 88．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）已知，在等边中，点，分别是射线，射线上的动点，且，连接，直线与直线相交于点． （1）如图1，点，分别在线段，上， ①求证：； ②求的度数； （2）如图2，在（1）的条件下，将沿折叠，得到，连接，求证：； ①如图3，小龙同学从的度数出发，给出如下解题思路：在的上方作，交延长线于点，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图4，小辉同学从结论的角度出发，给出另一种解题思路：在延长线上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.（也可用自己的方法证明） （3）在等边中，，若，直接写出的长． 【答案】（1） ①证明：是等边三角形， ，， 又， ； ②     （2） 证明1（选择小龙同学思路）： 沿折叠得到， 是等边三角形， ，， 在上方作，交延长线于H， ， 由（1）②得，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 又，， ， ， ，且， ； 证明2（选择小辉同学思路）： 在延长线上截取，连接， 沿折叠得到， 是等边三角形． ，， 由（1）②得，， ， ， ， ， ， 又，， ． ，， ， ，即， 是等边三角形， ；     （3）或      【分析】 （1）①利用等边三角形边相等、角相等的性质，结合已知，通过证明全等；②由全等得对应角相等，借助三角形外角性质转化角度，得的度数； （2）选择小龙同学思路： 在上方作，交延长线于H，得，由，可判断是等边三角形，进而判定，得，从而证明； 选择小辉思路，在延长线上截取，连接，先证明，进而证明是等边三角形，得，从而证明； （3）分点E在线段上和延长线上两种情况，过点作于点，利用等面积法及的度数，即可求解． (1) 小问详解： ① 略 ②解：， ， 是的外角， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：分两种情况： 第一种情况：E在线段上，点D在上． 是等边三角形，，， ，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， ， ； 第二种情况：点E在延长线上，点D在的延长线上． 是等边三角形，，， ，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得，， ， 在中，， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】 本题考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、折叠的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，能添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 89．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以任意长（小于）为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于G；③以点G为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点F，作射线；④以点A为圆心，以长为半径画弧，交射线于H．根据以上作法，如果，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质、勾股定理和基本作图，解题的关键是通过作图得出角的关系和线段长度关系，再利用等腰直角三角形性质与勾股定理求解． 先判定和为等腰直角三角形，结合作图得出，再用勾股定理列方程求解． 【详解】 如图，过点作，交延长线于点，连接， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由作图可知： ， 是等腰直角三角形， ， （负值舍去）． 故答案为：． 90．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到    ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有    （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为             ． 【答案】（1）； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）；（4）6 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】 （1）解：， ，， 故答案为：； （2）略 （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 91．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）如图，长方形中：，．点E为射线上的一动点，将沿折叠，得到（点A的对应点为）并连接、，当为等腰三角形，的长是　　　　　　． 【答案】或或或 【分析】 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．分三种情况讨论，当、和，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：设与交于点，由折叠知是线段的垂直平分线，，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论， 当时， ，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得（舍去负值），即； 当时，如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即； 当时，点在线段的垂直平分线上， ∵点、都在线段的垂直平分线上， ∴点、重合， 此时，； 当点在的延长线上时，过点作，的延长线交于点，如图所示： 同理可证明：四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上，的长是或或或， 故答案为：或或或． 92．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）【问题背景】 在中，，，，且．若为直角，则；若为锐角或钝角，则与之间有怎样的大小关系呢？ 【探究结论】 （1）当是锐角三角形时，小明猜想：．以下是他的证明过程： 如图1，过点A作，垂足为D．设．∵在中，，在中，①，①．化简得，．，，∴②．．． 其中，①是                  ；②是                       ． （2）如图2，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，为锐角，点D是的中点，点E在上，点F在上．若，，，求长的最大整数值． 【答案】（1）①；②； （2）； 证明如下：过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ， ， ， ； （3）9 【分析】 （1）观察推理过程可得答案； （2）仿照（1）可得； （3）延长到，使，连接，，可得，证明，知，，由为锐角，可得，故，从而得长的最大整数值为9． 【详解】 解：（1）如图1，过点作，垂足为，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ； 故答案为：；； （2）略 （3）延长到，使，连接，， 如图： ，， 是的垂直平分线， ， 为中点， ， 又，， ， ， 为锐角， ， 即为钝角， 由（2）的结论得：， ， ， 长的最大整数值为9． 【点睛】 本题考查三角形综合应用，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 93．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为　　　　． 【答案】或 【分析】 当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【详解】 解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】 此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 94．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图1，在和中，，，．直线、相交于点，且点为的中点． （1）求证：； （2）求的度数； （3）如图2，若． ①当，，求出的面积（用含有，的式子表示）； ②连接，，取的中点，连接，若，，请直接写出的度数为__________（用含有的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2）     （3）①；②      【分析】 （1）证明，根据全等三角形的性质即可解答． （2）如图，延长至点使得，连接，根据倍长中线证明，得出，，根据（1）中，得出．等量代换得，等边对等角得，从而得，根据，得出，推出，根据平角定义得出，即可得出． （3）①根据题意，当，，结合，，得出，勾股定理求出，过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，延长至点使得，连接，得出，证明，得出，结合，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，则，证出是等腰直角三角形，过点作，根据等腰直角三角形的性质得出，结合，根据三角形面积公式即可求解． ② 如图，连接，根据点为的中点，，得出，根据点是的中点，点为的中点，得出是的中位线，则，根据平行线性质得，设，则，，根据，得出，则，由（2）知，根据三角形内角和定理得出，证出，结合，得出，则，表示出，，即可得，结合即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，延长至点使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴． (3) 小问详解： 解：若， 则， ①当，， ∵，， ∴， ∴， 过点作， 则， 延长至点使得，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 过点作， ∴， 又， ∴的面积． ② 如图，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∵点是的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形中位线定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 95．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．    （1）如图1，点落在边上，若，则______，______； （2）如图2，若，是边中点，连接，求的面积； （3）如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1），     （2）     （3）或      【分析】 （1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，设，则由等面积法列式求解，可得答案； （2）延长交于，设，，则，由勾股定理可得 ，结合面积法可得，可得，可得，由可得三角形面积，结合，从而可得答案； （3）分两种情况讨论：由是以为腰的等腰三角形，当′时，过作于，证明，可得，易得；当时，同理，设，可得，利用勾股定理可得，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：∵四边形是长方形，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，如下图，连接，    则由等面积法可得， 即， 解得， ∴． 故答案为：，； (2) 小问详解： ∵四边形是长方形，，是边中点， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴， ∴， 如图2，延长交于，设，，    ∴， ∴由勾股定理可得 ， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ， 解得 ，经检验符合题意； ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴； (3) 小问详解： ∵是以为腰的等腰三角形， 当时，如图3，过作于， ∴，    由折叠可得，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 当时，同理， 设，， ∴， ∴由勾股定理可得， 解得，即． 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、等面积法的应用、二元一次方程组的解法等知识，难度较大，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． 96．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．        （1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系：______． （2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，，请直接写出线段AF的长． 【答案】（1）（1）     （2） 结论：． 理由：如图 2中，过点作交的延长线于，连接．    ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ．     （3）的长为或1      【分析】 （1）结论：．利用线段的垂直平分线的性质证明即可． （2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，可得结论． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．构建方程求解即可． (1) 小问详解： 解：结论：． 理由：如图1中，    ，， 垂直平分， ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图中，当点在线段上时，设，则． ，， ， ， ， ， ． 如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．    ，， ， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的长为或1． 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6．其中能构成直角三角形的有（　　） A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 【答案】B 【分析】 判断是否可以构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】 解：（1）32+42=52，能构成直角三角形； （2）52+122=132，能构成直角三角形； （3）82+152=172，能构成直角三角形； （4）52+42≠62，不能构成直角三角形； 则能构成直角三角形的有3组． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理逆定理，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 2．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）在中，，，，则下列结论正确的是（     ） A. 是直角三角形，且 B. 是直角三角形，且 C. 是直角三角形，且 D. 不是直角三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是计算三角形三边的平方，判断是否满足“两条较短边的平方和等于最长边的平方”，进而确定直角三角形及直角的位置． 先计算三边的平方，即，，；观察发现，根据勾股定理的逆定理，可知最长边所对的角为直角，即，由此判断选项． 【详解】 解：A、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； B、若，则需满足，计算得，符合勾股定理的逆定理，此选项符合题意； C、若，则需满足，计算得，此选项不符合题意； D、由B的分析可知，满足勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（       ） A. ，， B. 5，12，13 C. ，， D. 1，2， 【答案】A 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可． 分别计算每一组中较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就能构成直角三角形，否则就不能构成直角三角形． 【详解】 解：A、因为，所以不能构成直角三角形，此选项符合题意； B、因为，所以能构成直角三角形，此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，此选项不符合题意； D、因为，所以能构成直角三角形，此本选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）在△ABC中，∠B＝35°，BC2﹣AC2＝AB2，则∠C的大小为（　　） A. 35° B. 55° C. 65° D. 90° 【答案】B 【分析】 根据BC2﹣AC2＝AB2，可得△ABC为直角三角形，∠A＝90°，从而求得∠C． 【详解】 解：∵BC2﹣AC2＝AB2，即BC2＝AB2+AC2， ∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°， ∴， 故选：B. 【点睛】 此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，求得∠A＝90°． 5．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）以下列各组数作为三边的长，不能围成直角三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【分析】 根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】 解：A．，， ， ，，作为三边的长，能围成直角三角形， 选项正确，不符合题意； B．，， ， ，，作为三边的长能围成直角三角形， 选项正确，不符合题意； C．，， ， ，，作为三边的长不能围成直角三角形， 选项错误，符合题意； D．，， ， ，，作为三边的长能围成直角三角形， 选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）下列各组数中，能作为直角三角形三条边长度的一组是（     ） A. 9，13，15 B. 6，8，10 C. 12，35，36 D. 14，36，39 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组数是否满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，从而确定能否作为直角三角形的三边长度． 【详解】 解：选项A：，不满足勾股定理的逆定理； 选项B：，满足勾股定理的逆定理； 选项C：，不满足勾股定理的逆定理； 选项D：，不满足勾股定理的逆定理； 故选：B． 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】 解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 8．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）满足下列条件的，不是直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题关键． 分别根据直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、若，则， 由三角形内角和得， ∴，则为直角三角形，不符合题意； B、若，则最大的角，则为不是直角三角形，符合题意； C、若， 设，，， ∵，则为直角三角形，不符合题意； D、若，则，则为直角三角形，不符合题意； 故选：B． 9．（25-26学年八上·期中）下列条件中，不能确定是直角三角形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理；根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析判断即可． 【详解】 解：A. 若，则有，则，故是直角三角形，该选项不符合题意； B. 若，设，则，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意； C. 若，设，，，则有，解得，则，，，故不是直角三角形，该选项符合题意； D. 若，则有， 由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不符合题意． 故选：C． 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）在中，下列条件中，不能判是直角三角形的是（       ） A.  B.  C. ，， D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握“当三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形”是解题的关键．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐选项判断即可． 【详解】 A．设，，， ，， ， 是直角三角形，故选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， 是直角三角形，故选项B不符合题意； C．，，，， 不是直角三角形，故选项C符合题意； D．，， ， 是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】 解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）下列选项中，正确的是（     ） A. 在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5 B. 若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形 C. 的三边分别为，，，若，则是直角 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理；根据勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】 解：A、在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，故本选项不符合题意； B、三边之比为，设三边为、、，则，满足勾股定理逆定理，故该三角形是直角三角形，故本选项符合题意； C、的三边长分别为，若，则，故本选项不符合题意； D、在中，由，最大角，则不是直角三角形，故本选项不符合题意， 故选：B． 13．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）下列各组数中，是勾股数的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】 解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，所以不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 14．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A. ，， B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理的应用是解题关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，则，， ∵， ∴，解得 ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 15．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）山青林场准备对一块四边形空地进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，从点A修一条垂直的小路(垂足为点E)， ，点E恰好是的中点． （1）求边的长； （2）求空地的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂线的定义，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． (1)利用勾股定理求出即可求解； (2)连接AC，由线段垂直平分线的性质得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴； (2) 小问详解： 如图，连接AC， ∵，E是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形，， ∴， 答：空地ABCD的面积为． 16．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，求出两点间的距离． 【答案】米 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确得出三角形是直角三角形是解题的关键．先判定三角形为直角三角形，推出三角形为直角三角形，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】 解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ， 米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 17．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）施工队正在沿公路修路，学校在公路附近的点处，点距离点，分别为和，，施工作业周围的以内为受噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】（1）     （2） 学校会受噪声影响． 理由：如图，过点作于，则， ， ， 施工作业周围的以内为受噪声影响区域，， 学校会受噪声影响． 【分析】 本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键： （1）利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）过点作于，根据等面积法求出的长，进行判断即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， 是直角三角形，且； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了．    （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． (1) 小问详解： 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． (2) 小问详解： ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 19．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则　　　　　　是直角． 【答案】 【分析】 本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考查了勾股定理的逆定理，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 【详解】 解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角． 故答案为：． 20．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，四边形中，，米，米，米，米． （1）求的长度； （2）已知运动型塑胶地板每平方米200元，请计算在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，购买运动型塑胶地板的费用需要多少元？ 【答案】（1）25米     （2）46800元      【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出和的面积，得到四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． (1) 小问详解： 解：，米，米， （米）， 的长度为25米． (2) 小问详解： 解：由（1）得，米， 又米，米， ， ， （平方米）， （平方米）， （平方米）， 运动型塑胶地板每平方米200元， 购买运动型塑胶地板的费用为：（元）． 答：购买运动型塑胶地板的费用需要46800元． 21．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【分析】 先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】 略 【点睛】 本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 22．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． （1）为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ （2）这块绿化用地的面积是多少？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算即可求解． (1) 小问详解： 解：连接， ，，， ， 答：这条小路的最短长度是； (2) 小问详解： 解：∵，， ， ， ， 答：这块绿化用地的面积是． 23．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，四边形中，, （1）求线段的长； （2）请判断的形状并证明你的判断． 【答案】（1）5     （2）是直角三角形， 证明：由（1）知，， ∵， ∴是直角三角形．      【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． （1）根据勾股定理求出 的长即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行判断即可． (1) 小问详解： 解：∵, ∴； (2) 小问详解： 略 24．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在“”的正方形网格中，的度数为　　　　　　　　． 【答案】-度 【分析】 先标注格点，连接，，证明，，，再进一步解答即可． 【详解】 解：标注格点，连接，， 由网格特点可得：， ∴， 由勾股定理可得： ，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 本题考查的是平行线的性质，勾股定理及其逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25．（25-26学年八上·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点到的距离为，由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积求出即可． 【详解】 解：设点到的距离为， 由勾股定理得： ， 是直角三角形，且， ， ， 即点到的距离等于； 故答案为：． 26．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】（1）     （2） 如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， ∴着火点能被扑灭．      【分析】 本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． (1) 小问详解： 解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； (2) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $