专题06 轴对称（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题06 轴对称 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．A 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．B 8．D 9．C 10．C 11．C 12．B 13．C 14．A 15．B 16．B 17．A 18．B 19．D 20．C 21．C 22．B 23．A 24．C 25．C 26．B 27．【答案】 【分析】 本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．由旋转的性质可得旋转角为，由平角的性质可求解． 【详解】 解：根据题意可得，，， ∴， ∴， ∵直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上， ∴三角板旋转的度数是． 故答案为：． 28．【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 29．【答案】C 【分析】 本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题． 利用轴对称的性质，将其中一点关于直线对称，根据“两点之间线段最短”确定点的位置． 【详解】 解：①作对称点： 作点关于直线l的对称点． ②确定点： 连接，与直线交于点，由“两点之间线段最短”可知，此时最短．观察图形可知，点应选在点处． 故答案为：． 30．【答案】9 【分析】 本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，将已知数据代入即可求解． 【详解】 解：∵沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∵，，， ∴的周长为 ． 故答案为：9． 31．【答案】或 【分析】 当是直角三角形时，分两种情况求解，根据题意作图，然后分别根据三角形内角和定理、外角的性质、翻折的性质等计算求解即可． 【详解】 解：根据题意，当是直角三角形时，分两种情况讨论： ① 当时，如图1， 由翻折的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴ ② 当时，如图2， ∴， ∴， 综上所述，的大小为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 考点02 线段的垂直平分线 1．D 2．C 3．B 4．C 5．B 6．D 7．B 8．【答案】假 【详解】 解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】 本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 9．【答案】7 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质可得：，，再利用周长公式即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为24， ∴，即， ∴． 故答案为：7． 10．【答案】（1） 证明： 是的平分线， ， 、 、 在和中 ．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定、角平分线定理、垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题中给出的结论，结合已知条件可得和，利用全等三角形的判定方法，进行证明即可； （2）过点作直线于点，根据角平分线定理得到，由垂直平分线的性质得到，进而得到 ，是的外角，据此进行计算求解的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点作直线于点，如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 点为线段的垂直平分线与的交点， ，， 由结论2得：， ， 是的外角， ， ， ． 11．【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 过点作，交延长线于点， ∵， ∴． ∵于点，于点． ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；解题关键是利用垂直平分线得线段相等，通过作辅助线构造全等三角形实现线段的转化． （1）由作图得是的垂直平分线，利用垂直平分线性质得． （2）作延长线，先证得，再证得，最后通过线段和转化得． (1) 小问详解： 由作图方法可知，直线是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴点在上， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1）见解析；     （2），理由见解析．      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． (1) 小问详解： 证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． (2) 小问详解： 解∶，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 13．【答案】26 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】 解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 14．【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质得到，，即，可得，进而根据可得． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 15．【答案】（1） 解：如图为所求作；      （2） 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．【答案】真 【分析】 逆命题就是原命题的假设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为每个内角都是60°，互换即可判断命题是真是假； 【详解】 ∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°， ∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形 ∴ 逆命题为真命题； 故答案为：真． 【点睛】 本题考查了命题的真假，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键； 17．【答案】（1） 如图所示DE为所求；                                              （2）90°      【分析】 （1）依据垂直平分线的作图方法，即可得到边AB的垂直平分线DE； （2）依据垂直平分线的性质， 即可得到∠BAE=∠B， 再根据三角形外角性质， 即可得到∠AEC的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，                                                                ∴∠EAB＝∠B＝45°， ∵是的外角，                                                   ∴∠AEC＝∠EAB﹢∠B＝90°． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 18．【答案】（1）； （2）如图所示，直线即为所作： 【分析】 本题考查了三角形内角和，作线段的垂直平分线． （1）根据三角形内角和作答即可； （2）要使得点与点关于直线对称，则应连接，使直线为的垂直平分线即可，所以作的垂直平分线即可． 【详解】 （1）解： 比大 ． （2）略 考点03 画轴对称的图形 1．B 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．D 11．C 12．A 13．A 14．A 15．B 16．A 17．C 18．B 19．B 20．A 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的两个点“横坐标互为相反数，纵坐标相同”即可解答． 【详解】 解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 22．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解m和n，再计算它们的和即可． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 24．【答案】（1） 如图：即为所求；      （2）．      【分析】 （1）根据轴对称的性质，即可得出； （2）由正方形的面积减出3个直角三角形的面积即可求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质与作图，格点三角形求面积，割补法是解决问题的关键． 25．【答案】10 【分析】 本题考查了坐标系对称知识点，根据点 和点关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出a和b的值. 【详解】 解：点 和点关于y轴对称 则 所以 故答案为：10. 26．【答案】（1） 如下图，即为所求，      （2）y轴     （3）40      【分析】 本题考查了平面直角坐标系作图，利用网格求三角形面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）描出点，依次连接即可； （2）由图即可得到解答； （3）利用网格法即可求解的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，点B与点C关于y轴对称； (3) 小问详解： 解：由图可得，的面积 ． 27．【答案】（1） 如图所示： 5     （2） 如图所示：      （3）存在，或      【分析】 本题考查了坐标与图形以及画轴对称图形，掌握相关结论即可． （1）利用“割补法”即可求解； （2）确定各顶点关于x轴的对称点即可完成作图； （3）设点P坐标为，由题意得，，即可求解； (1) 小问详解： 解：的面积， 故答案为： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点P坐标为， 由题意得，， 解得或 ∴点P的坐标为或 28．【答案】（1），     （2） 如图，和即为所求． 【分析】 本题考查作图——轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据题意可求点的坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征可求点的坐标； （2）根据、、三点的坐标在直角坐标系中找到对应位置，依次连接可得，然后根据轴对称的性质，得出、、的各个对应点，再依次连接即可． (1) 小问详解： 解：点在轴正半轴上，到轴距离为， ， 点与点关于轴对称， ； (2) 小问详解： 略 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标变化规律是解题的关键．先根据错误坐标还原A、B两点的正确坐标，再通过坐标关系判断对称轴． 【详解】 解：∵ 点A横、纵坐标次序颠倒后为 ∴ 点A原来的坐标为 ∵ 点B被误写为关于轴对称的点 ∴ 点B原来的坐标为 ∵ 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数 ∴ 两点关于轴对称 故答案为： 30．【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 31．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）；；      【分析】 （）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）点的坐标为或      【分析】 本题考查了直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，解题的关键是数形结合． （1）根据关于轴轴对称的特点，找到各个点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 点的坐标为或． 33．【答案】（1）见解析，、、     （2）      【分析】 本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图，确定点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的特点求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求： 、、； (2) 小问详解： ∵与关于y轴对称， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 34．【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵点与关于x轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 35．【答案】-5 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得m、n的值，代入m+n进行计算即可得答案. 【详解】解：∵A（2，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝﹣2， ∴m+n＝﹣3﹣2＝﹣5． 故答案为﹣5． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征、有理数的加减等，根据题意求出m、n的值是解本题的关键. 36．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求．      （2）     （3）如图，      【分析】 本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出答案； （2）根据关于轴对称点的性质得出关于点C关于轴的对称点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：连接交轴于点，此时的周长最小． 点的坐标为． 故答案为：． 37．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3） 如图，连接交x轴于点P， 【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形； （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标； （3）连接交x轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：此时周长最小， ∴点即为所求． 38．【答案】（1） 如图，即为所作图形：      （2）     （3）7     （4）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）根据轴对称的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系得点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积； (4) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∴ ∵是定值， ∴当最小时，的周长最小，即三点共线时，最小，最小值为， ∴的周长最小值, ∵， ∴，， ∴的周长最小值． 39．【答案】（1）解：如图，即为所求．      （2）     （3）解：如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）直接利用割补法求得面积即可； （3）连接，交轴于点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积； (3) 小问详解： 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 40．【答案】（1） 如图，为所求；      （2）     （3）4     （4）      【分析】 （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积，去计算的面积； （4）点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后计算和，从而得到周长的最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积； (4) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求， ， 此时的值最小，周长最小， ，， 周长的最小值为． 【点睛】 本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题． 41．【答案】（1）     （2） 如图，即为所作；      （3）存在，或或      【分析】 本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据全等三角形的判定定理画图即可解答． (1) 小问详解： 解：根据对称性得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，与全等，此时点的坐标为或或 42．【答案】（1）     （2）10      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰三角形的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）先以点B为圆心，的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点C为圆心、的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求，则； (2) 小问详解： 解：如图所示，一共有10个点满足题意； 43．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中三角形面积的割补法计算、关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握割补法求面积的思路以及关于、轴对称的点的坐标变化规律是解题的关键． （1）利用割补法，通过构造包含的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征画出，再根据关于轴对称的点的坐标特征求出点₂的坐标． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为： (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变． ∴关于轴对称的点，关于轴对称的点，关于轴对称的点 连接、、，得到 ∵ ∴点关于轴对称的点的坐标为 故答案为： 44．【答案】（1） 画出如图所示． ，，；     （2）．      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征以及关于垂直于轴的直线对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），求出对称点坐标，再画出图形． （2）根据关于直线对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标到直线的距离相等），计算对称点坐标． (1) 小问详解： 解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴关于轴对称的点； 关于轴对称的点； 关于轴对称的点． (2) 小问详解： 解：设的坐标为， ∵点与关于直线对称， ∴， 解得， ∴． 45．【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）如图，点即为所求，      【分析】 本题考查了作图－轴对称变换，轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：此时，此时周长最小． 46．【答案】（1） 如图，即为所求； 点关于轴的对称点的坐标为；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，三角形全等的判定和性质，平面直角坐标系中的点，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，作出对应点的位置． （1）作出点、、三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可； （2）连接，先求出的解析式，从而求出点； （3）分两种情况：当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，分别画出图形，求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得 ∴直线为：， 当时，得， ∴． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当点C为直角顶点时，过点C作轴，过点Q作于点D，过点B作于点E，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴此时点Q的坐标为； 当点B为直角顶点时，过点B作轴，过点Q作于点D，过点C作于点E，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为或． 47．【答案】（1） 解：如图，即为所求， ；     （2） 解：如图， 即为所求， ．      【分析】 本题考查作轴对称图形及作中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，作出顶点关于轴对称的对称点连接起来即可得到答案； （2）根据关于点对称的点：横坐标与纵坐标变为其相反数，作出顶点的对称点连接起来即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 48．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征． （1）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：点A，B关于轴对称， 解得； (2) 小问详解： 解：点A，B关于轴对称， 解得， ． 49．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）     （3）如图所示：       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据题意可得直线l即为直线，再根据轴对称的性质可得点C和点到直线l的距离相等，且两点的纵坐标相同，据此求解即可； （3）根据，即可得当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 50．【答案】（1） 如图，即为所求作：      （2）     （3）1      【分析】 本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求作： (2) 小问详解： 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； (3) 小问详解： 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 51．【答案】（1） 如图，即为所作， ；；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查轴对称变换，轴对称的性质，等腰三角形的性质． （1）根据轴对称的性质找到点关于x轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的特点，求得和的值，再代入求解即可； （3）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点P即可． (1) 小问详解： 解：其中，；；； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 52．【答案】（1） 如图所示，即为所求， ，     （2）     （3） 如图所示，点即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：，．      【分析】 （）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，交轴于点，由轴对称性可得，进而得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求，再根据图形写出点的坐标即可； 本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 由图可得，点的坐标为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：的面积， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 53．【答案】（1）如图，即为所求作的三角形；     （2） 如图，即为所求作的三角形；      （3）      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据“关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 54．【答案】（1）见解答     （2）见解答     （3）      【分析】 （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系，然后描出点即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得的最小值；利用待定系数法求出直线的解析式再令，求出的值，即可得点坐标． (1) 小问详解： 解：建立平面直角坐标系以及描出点如图所示． (2) 小问详解： 解：如图，即为所求． (3) 小问详解： 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴设直线的解析式为， 令，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 55．【答案】（1）     （2） 如图，即为所求．      （3）     （4）      【分析】 （1）由图可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可得出答案． 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． (1) 小问详解： 解：由图可得，， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的面积=． 故答案为：． (4) 小问详解： ∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 56．【答案】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求；     （2）11     （3）110      【分析】 （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； (3) 小问详解： 解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 考点04 等腰三角形 1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．B 9．D 10．B 11．B 12．D 13．C 14．D 15．B 16．D 17．D 18．C 19．B 20．D 21．A 22．A 23．C 24．B 25．D 26．B 27．D 28．C 29．D 30．D 31．C 32．C 33．【答案】 【分析】 本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 34．【答案】（1）以为圆心，以任意长为半径画弧交、于两点 分别以为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，交于点，如下图： （2） 【分析】 （1）根据尺规作图的方法，作的角平分线即可； （2）通过三角形全等，得到，即为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：（1） 略 （2）∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴为等腰三角形 由（1）得平分 ∴． 【点睛】 此题考查了尺规作图（作角平分线），全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质． 35．【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】 略 36．【答案】见解析 【分析】 本题考查等腰三角形三线合一的性质．熟悉等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高以及顶角平分线重合，是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质，过点作于点，即等腰和等腰的高，证明，，继而证明． 【详解】 证明：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 37．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 38．【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．由于的角可能是顶角或底角，需分情况讨论． 【详解】 解：若是底角，则底角为； 若是顶角，则根据三角形内角和定理，底角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 39．【答案】证明：过A点作，交于点D，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】 过A点作，交于点D，则由等腰三角形的性质可得，，利用线段的和差可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，过顶点作底边上的高得到垂足是底边的中点是解题的关键． 40．【答案】已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】 略 41．【答案】或 【分析】 本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况：若角为顶角或角为底角，即可求解． 【详解】 解：若角为顶角，此时它的顶角是； 若角为底角，此时它的顶角是； 综上所述，它的顶角是或． 故答案为：或 42．【答案】，或，． 【分析】 分两种情况：当顶角为时，当底角为时，根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】 解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴当顶角为时，两个底角都为， 当底角为时，另一底角为，顶角为， 故答案为：，或，． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形两个底角相等的性质是解题的关键． 43．【答案】（1）30海里     （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．      【分析】 （1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 44．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得两个底角相等，再结合三角形内角和定理，列方程求解即可． 【详解】 解：设等腰三角形的一个底角为，则另一个底角也为， 由三角形内角和定理得：，即 ， 解得 故答案为：． 45．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 46．【答案】（1）5；     （2）．      【分析】 本题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．线段、角的等量代换在做题中起到非常重要的作用． （1）由是的垂直平分线得到，所以的周长，而，由此即可求出长； （2）由可以得到，而，利用三角形的内角和即可求出∠，又由可以推出，而，由此即可求出． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 47．【答案】∠BAC=108°． 【分析】 由AB=AC，DC=CA，得到AB=AC=CD，且AD=BD，利用等边对等角得到∠B=∠C=∠BAD，∠DAC=∠ADC，设∠B=∠C=∠BAD=x°，由外角性质得到∠ADC=∠DAC=∠B +∠BAD=2x°，在三角形ABC中，利用三角形的内角和定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出∠DAC与∠ADC的度数，由∠BAD+∠DAC即可求出∠BAC的度数． 【详解】 解：∵AB=AC=DC，AD=BD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠DAC=∠ADC， 设∠B=∠C=∠BAD=x°，则∠ADC=∠DAC=∠B+∠BAD=2x°， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，即x+x+2x+x=180， 解得x=36， ∴∠B=∠C=∠BAC=36°， ∴∠DAC=∠ADC=72°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=72°+36°=108°． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，利用了方程的思想，等边对等角是解题关键． 48．【答案】（1） 证明：， ， ，，， ， ， ；     （2） 证明：， ， ， 设，则， ， ， ；     （3） 解：① 如图所示 ②． 在上取点，使， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ．      【分析】 （1）根据，得出，根据，，，得出，从而得，即可证明； （2）根据，得出，设，则，则，根据三角形内角和定理求出，即可得； （3）① 根据尺规作图方法作图即可． ② 在上取点，使，根据作图得出，证明，得出，，再证明，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 49．【答案】25 【分析】 设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可． 【详解】 解：∵AC＝AD＝DB， ∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C， 设∠ADC＝α， ∴∠B＝∠BAD＝ ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠DAC＝105°﹣， 在△ADC中， ∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°， ∴2α+105°﹣＝180°， 解得：α＝50°， ∴∠B＝∠BAD＝＝25°， 故答案为：25． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 50．【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；     （2） 证明：过作于， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用等腰三角形的三线合一进行证明是解本题的关键． （1）证明，可得，再证明，即可得结论； （2）过作于，证明，可得，则，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．【答案】4 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质进行作答． 【详解】 解：∵平分， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， 又 ∵， ， ， ， 的周长 ， ， 的周长， 平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴的周长， ∴与的周长差． 故答案为：4． 52．【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，三角形内角和，等边对等角． 作D关于的对称点，连接，，则，，，可知的周长，则最小时的周长最小，此时在一条直线上，即构成，根据等边对等角得到，即，根据三角形内角和得到，即可得到． 【详解】 解：如图，作D关于的对称点，连接，， 由对称性可知，，， ∴的周长， ∵D是的中点， ∴是定值， ∴最小时的周长最小， 此时在一条直线上， 即构成， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 53．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴（）， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边对等角． （1）根据证明，即可得到； （2）根据得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和求出，进而可知． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 54．【答案】（1） 证明：∵是线段的中点， ∴， ∵ ， ∴．     （2） ， 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴．     （3） 证明：设，的交点为M， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分．      【分析】 （1）利用证明即可； （2）根据得到；结合，得到，利用线段之差解答即可； （3）设，的交点为M，证明，利用等腰三角形的三线合一性质证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 55．【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）① 证明：由（1）， ∴，BD， ， ， ∵， ； 5 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）① 由，可得，BD，结合，可得，最后根据，可得结论；② 在上截取，连接，先证明，可得，再证明，从而得到，那么有． 【详解】 （1） 略 （2）① 略 如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 56．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线上的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长即可； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． (1) 小问详解： 解： 分别垂直平分和， ， ， 的周长为， ， ， 即的长为； (2) 小问详解： 解：在中，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 57．【答案】（1）；小     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． (1) 小问详解： 解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； (2) 小问详解： 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； (3) 小问详解： 解：当为或时，是等腰三角形， ① 当时， ， ； ② 当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③ 当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 58．【答案】（1） 证明：∵，  ∴.  在  和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，证明是解此题的关键． （1）利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的判定与性质得出，求出的度数，最后根据计算即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ∴，  ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴． 59．【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质，需分类讨论哪一边为腰，并利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否构成三角形． 【详解】 解：因为等腰三角形的两边分别为和7，所以有两种情况： 当腰为时，底为7，三边分别为、、7， 此时， ∵， ∴， ∴不满足三角形三边关系，故不成立； 当腰为7时，底为，三边分别为7、7、， 此时，， 满足三角形三边关系，故周长为， 故答案为：． 60．【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的运用和等边对等角，理解作图的意义是解决本题的关键． 由图可知，分别是的垂直平分线，则，最后通过角的转换即可求解． 【详解】 解：由作图可知，分别是的垂直平分线， ∴， ∴ ． 故答案为：． 61．【答案】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ∴ ∴，， ∵在中，， ∴ ∴ （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． （1）证明，得到，，再证明，得到，，最后根据在中，，即可得到结论； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 62．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形；     （2）7.5      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，然后根据等角对等边即可得证； （2）证明，得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ∵． ∴ ∴， ， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴． 63．【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所求；      （2） 解：∵， ∴， ∴ ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查平行线的作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定，作的内错角，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，推出，再由角平分线的定义得到，最后利用平行线的性质即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 64．【答案】$度 【分析】 本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 根据可得，得，根据，得，即得． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 65．【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 66．【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，作C点关于的对称点，过作交于点E，交于点F，的最小值的长． 【详解】 解：平分， 作C点关于的对称点，点在上， 如图：过作交于点E，交于F， ∴， ∴的最小值的长， C点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 67．【答案】（1） 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 68．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 69．【答案】度 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 70．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，是解题关键： （1）根据中垂线的性质，结合等边对等角即可得出结果； （2）根据等边对等角，三角形的外角，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长． 71．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 由（1）可知：， ∴， ∴． 72．【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又点为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， 连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：6． 73．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的证明及基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 在上截取，连接，可证得，再通过全等三角形性质以及线段的和差关系得到，进而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】 解：如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 74．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．根据等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质、三角形内角和为180，用表示出，再根据求出即可． 【详解】 解：， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 75．【答案】（1） 解：如图所示即可；      （2） 解：∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴．      【分析】 本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角和垂线，角平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握尺规作图作已知角； （1）根据尺规作图作一个角等于已知角的步骤和作垂线的步骤作出图形即可； （2）先根据角平分线的定义得到角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到等腰三角形即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 76．【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 77．【答案】（1）     （2）     （3）8      【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含直角三角形性质； （1）由即可求解； （2）先由得出，然后分别表示出长方形的面积与四边形面积，求出比值即可； （3）延长至点H，使，过点E作于点M，先证，得到，再由等腰三角形的性质得，即，由含直角三角形性质得，利用即可求解. (1) 小问详解： 解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴. (2) 小问详解： 解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴长方形的面积与四边形面积的比值为. (3) 小问详解： 解：延长至点H，使，过点E作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴. 78．【答案】 【分析】 本题主要考查了通过图形求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 过点作轴于点，则，根据等腰直角三角形的性质得出直角和相等边，然后证明，得出相等的线段，即可求出点的坐标． 【详解】 解：如图，过点作轴于点，则， 由点和点得，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 79．【答案】（1） 解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ，， ． ． 是等腰三角形．     （2）     （3）8      【分析】 本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质． （1）通过角平分线定义、外角定义，得出，可得是等腰三角形； （2）在上取，连接，先证，则，．通过角度关系得出，可求的度数； （3）在上取，连接，在上取，连接．由，可证，，由角得，可得出的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在上取，连接，设 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ，． 即． ． 由（1）知，． (3) 小问详解： 解：在上取，连接，在上取，连接． 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． 在和中 ． ， ， ． ． ， ． ，， ． ． 由（1）知． ． ． ， ． 【点睛】 本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，正确转换角度关系是解题的关键． 80．【答案】（1）证明：，， ，， ， ， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线； （2）如下图所示，过点作，， ， 平分， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 是等腰三角形，且点、在的异侧， 和是对合等腰三角形； （3）或． 【分析】 根据等边对等角可证，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证直线是线段的垂直平分线； 过点作，，可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据和是对合等腰三角形，可证，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得，分情况求出的长度即可． 【详解】 略 略 解：如下图所示， 和是对合等腰三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质． 81．【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等．找着角的关系列出关系式正确解答本题的关键． 由已知的许多线段相等，根据等边对等角，找出图中相等的角，由，根据三角形的内角和是180°，列式求解． 【详解】 解∶ ， ． ， ． ， ， ， 解得． 故答案为∶． 82．【答案】（1）①； ②解：， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2） 解：，理由如下： 如下图所示，在上截取一点，使，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ， ， ， ．      【分析】 根据三角形内角和定理可知，根据可得：，根据即可求出结果； 根据等腰三角形的性质可得，根据等边对等角可以求出，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 当点在的内部时，在上截取一点，使，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得，设，则，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边可证，根据线段的和与差可得：． (1) 小问详解： 解：在中，， ， ， ， ， ， 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形全等的判定和性质． 83．【答案】（1） 如图所示，射线即为所求；      （2） 证明：， 平分，平分， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了用尺规作图作已知角的平分线、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，射线即为所求； 根据等边对等角可知，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． (1) 小问详解： 解：以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧， 两弧交于点，作射线交于点， 射线即为所求； (2) 小问详解： 略 84．【答案】（1）相等，平行     （2） 解：猜想：，， 证明：延长交于点，        绕点逆时针旋转得到， ，，        ，，，        又，， ，， ，        ， ，        ．      【分析】 本题考查旋转的性质及平行线的判定，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）根据旋转得到，，，，结合平行线判定即可得到证明； （2）延长交于点，根据旋转得到，，，，从而得到，即可得到证明； (1) 小问详解： 解：相等，平行，理由如下， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：相等，平行； (2) 小问详解： 略 85．【答案】（1）； （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接，    ∵，， ∴，        在中， ∵，        . ； （3） 【分析】 （1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】 解：（1）；      （2）略 （3）延长至点，使，连接，        ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即        ， ，        ，， ． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 86．【答案】[模型应用] （2）证明：由（1）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作于点 则， ∴， ， ， ， ，， ， ，， ，，， ，，， ， ， ， ， ； [模型拓展]（4）8 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： [模型应用] （2）由（1）可得，，证明是等腰直角三角形，得出，则，根据等式性质可得出，即可得证； （3）过点作于点，证明，得出，，然后证明和都是等腰直角三角形，则可得出，即可得证； [模型拓展]（4）过点作，垂足为点，证明，得出，证明，，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 [模型应用]（2）略 （3）略 [模型拓展]（4）解：过点作，垂足为点， 同理可证， 同理可证 ． 87．【答案】（1） 证明：∵点C关于直线的对称点是E ∴垂直平分 ∴     （2） 证明：如图；连接， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴由勾股定理得： ， ∵点C关于的对称点是E ∴， ∴是等边三角形               ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴         ∴在中， ∴ ∴.      【分析】 本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）根据对称垂直定义即可求证； （2）根据是等腰直角三角形，得，，在证 ，然后 ，可得在中，，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点05 等边三角形 1．A 2．D 3．B 4．C 5．D 6．B 7．【答案】2 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，先证明是线段的垂直平分线，得，，再证明是等边三角形得，由此可得出的长． 【详解】 解：∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．【答案】（1）等边三角形；     （2） 解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形．     （3）的长为3．      【分析】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，以及平行线的性质． （1）由折叠的性质求出，进而可证明是等边三角形； （2）由是等边三角形得，由平行线的性质得，进而可证是等边三角形； （3）由等边三角形的性质得，再证明求出，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知，由（2）可知， ∴ ∴， ∴． ∴，即的长为3． 9．【答案】（1）见解析，     （2）5     （3）见解析      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 解：即为所作： 则； (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 10．【答案】船从处到达处所用的时间为2h，船从处到达处所用的时间为4h 【分析】 根据题意推出，推出 ，然后根据船航行的速度，即可推出从点到点用了多长时间，即可推出到达点的具体时间，根据点观测海岛在北偏西方向，即可推出为等边三角形，即 ，即可推出点到达点船所用的时间，即可推出船到达点的时间． 【详解】 解：∵在处观测海岛在北偏东方向， ∴， ∵点观测海岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴ ∵点观测海岛在北偏西方向， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵船以每小时10 的速度从点航行到处，又以同样的速度继续航行到处， ∴船从点到达点所用的时间为：（小时），船从点到达点所用的时间为：（小时），船从点到达点所用的时间为：（小时）． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算． 11．【答案】3 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；     （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴．      【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，先根据等边三角形的性质得，又是等边三角形的高线，则，再通过等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的高线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点；     （2）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 15．【答案】（1）如图，即为所求作；     （2） 如图，点P即为所求作；      （3）      【分析】 本题考查作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积． 16．【答案】4cm 【分析】 如图，连接OC、OD，先根据轴对称的性质得出OC=OD=OP，∠COD=2∠AOB=60°，进一步即可判定△OCD是等边三角形，从而可得CD=OC，而易证CD的长就是△PMN的周长，于是问题得解. 【详解】 解：如图，连接OC、OD，∵C、D分别是点P关于OA、OB的对称点， ∴PM=CM、PN=DN，OC=OD=OP，∠AOP=∠AOC，∠BOP=∠BOD， ∵∠AOB=30°， ∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOD+∠BOP=2∠AOB=2×30°=60°， ∴△OCD是等边三角形， ∵OP=4cm， ∴CD=OC=4cm， ∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=4cm． 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，连接OC、OD，根据轴对称的性质证得△OCD是等边三角形是解题的关键. 17．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （2）．      【分析】 本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解； （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形进行论证即可； （2）利用全等可得平分，进而可得，从而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18．【答案】度 【分析】 此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练利用相关性质计算角度是解本题的关键． 根据是等边三角形求得，即可得到，再利用等腰三角形的性质可得，利用角度的计算即可解答． 【详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E 到点 B，D的距离相等， ， ， ， ． 故答案为：． 19．【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】 解：① 当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ② 当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 20．【答案】或 【分析】 证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 21．【答案】15 【分析】 此题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质．先求出，再根据含角的直角三角形的性质得到，，则，即可得到答案． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵于点，于点， ∴都是直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：15 22．【答案】（1）证明：∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得结论． 【详解】 略 23．【答案】（1）； （2）证明：如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME， ∵DE=DM+ME， ∴DE=AD+CD； （3） 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质先求解，再求∠ABD的大小，证明AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，求解，再根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可得到答案； （2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD，即可求得ME=CD，于是证得结论； （3）如图2延长EF与BA延长线交于H，证明，再证明：Rt△ANE≌Rt△APB，可得：，再证明BF是△BEN的中线，从而可得答案． 【详解】 解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=， ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； 故答案为： （2）略 （3）延长EF交BA的延长线于点N， 由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形， ， EF⊥BP， ∴∠ABF=∠NEA， 又AB=AE， ∴Rt△ANE≌Rt△APB（ASA）， ∴BP=EN， ∵BF既是△BEN的角平分线又是高， ∴BF是△BEN的中线， 即： 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线构建三角形的全等是解题的关键． 24．【答案】（1） 解：在等边三角形中，， ， ∵在等边中， ∴是等边三角形；     （2） 解：与相等．理由如下： 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定和性质进行求解即可； （2）证明，得出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等边三角形的性质和补角的知识，结合已知条件可得到；然后在和中，利用得到两个三角形全等，结合全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得到，根据可得到，再结合即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴． 26．【答案】 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，根据等边三角形的性质得，，，则，进而得，在中，根据得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的面积是：． 故答案为：． 27．【答案】（1） 证明：∵平分， ， 又，， ， ， 又，， ， ， ， 又， ；     （2） ．理由如下： 在BE上截取，如图所示： ，， ∴为等边三角形， ， 又， ∴为等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）证明，得出，证明，得出，证明，根据，结合三角形内角和定理，即可证明结论； （2）在BE上截取，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 28．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）8      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 29．【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2），5      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得； （2）① 由，得，结合，求解即可；② 过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，得到，即可得出结果； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ② 如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 30．【答案】证明：是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是等边三角形可得，，推出，证明，得到，，求出，即可得证． 【详解】 略 31．【答案】等边三角形． 【分析】根据已知条件得出OA=OC=AC，根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点， ∴OA＝OC， ∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C， ∴AC＝AO， ∴OC＝AC＝OA， ∴△AOC的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 32．【答案】４ 【分析】 本题考查了等边三角形和含30度的直角三角形．熟练掌握等边三角形和含30度的直角三角形的性质，是解题的关键． 由已知条件可得，，则，得，得，即得． 【详解】 解：∵，， ∴． ∵等边三角形中，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：4 33．【答案】（1）∠DBC； （2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°； （3）解：AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE. 证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE， ∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=， ∴△CME是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE， ∴， ∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE， ∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE， ∵AE=DE， ∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE. 【分析】 （1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断； （3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系. 【详解】 解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=， ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠BCD=，BC=DC， ∴∠DBC=∠BDC； （2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°. 理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D， ∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE， ∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°， 即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°； （3）略 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键. 34．【答案】6或8或9 【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】 解：过点D作交于点E， ① 当时，如图（1）， ∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ② 当时，如图（2） 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴． ③ 当时，如图（3） 同理可证， ∴ ∴． ∴． ④ 当时，如图（4） 同理可证， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 35．【答案】（1）①证明：∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴ ②的长为6；（2） 【分析】 （1）①由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得，由全等三角形的性质即可得出． ②在取点G，使得，连接．同（1）得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出，设 则，，．由含30度直角三角形的性质得出，代入即可求出x． （2）延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接．先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】 证明：（1）① 略 ②解：在取点G，使得，连接． 同（1）得， ∴，， ∵，且． ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 同理可证∶，， ∴，， ∵， 设，，， 则，，， ∵，，， ∴， ∴，， 即 ， 解得： ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键 36．【答案】（1）相等     （2） 证明：∵和是等腰三角形， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；      （3）      【分析】 （1）由全等即可得到结论； （2）由全等可得，再由三角形内角和可得，进而可以论证结论； （3）通过构造等边三角形，可得全等三角形，进而将线段进行转换得到，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：∵≌ ∴ 故答案为：相等； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，关键是论证三角形全等； 37．【答案】① ② ③ ④ 【分析】 由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，可判断① ；由等边三角形的性质和三角形的外角性质可判断② ；根据∠AFE=60°可判断③ ；由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判断④ ；根据∠DAC的度数的范围可得∠DAC≠45°，可判断⑤ ． 【详解】 解：① ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC， 又∵AE=BD， 在△AEC与△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（SAS）， ∴AD=CE，故正确； ② ∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA， ∠AFE= ∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°， ∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°， ∴∠BEC=∠CDA，故正确； ③ ∵∠AFE=60°， ∴∠AFC=120°，故正确； ④ ∵∠AFE =60°， ∴∠CFM=∠AFE=60°， ∵CM⊥AD， ∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°， ∴MF=CF，故正确； ⑤ 要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可， ∴AM=CM不成立，故错误； 故答案为：① ② ③ ④ ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 38．【答案】（1） 解：如图所示：      （2）40     （3） 解：，证明如下： 在上截取，如图： ∵是等边三角形， ∴， 由对称可知：，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；     （4）或      【分析】 （1）根据要求画出图形即可； （2）根据轴对称的性质得出，，求出 ，根据等腰三角形的性质得出结果即可； （3）在上截取，则是等边三角形，证明，推出，根据，即可得出； （4）① 当时，② 当时，③ 当时，根据等边三角形的性质，和线段垂直平分线的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、，则交直线于点E； (2) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴，， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：① 当时，如图： 根据轴对称可知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，延长交于点E，如图所示： ， ∴垂直平分，即垂直平分， ∵为等边三角形， ∴， ， 根据轴对称可知：； ③ 当时，如图： ， ∴垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， ∴，，三点在同一条直线上， (不合题意，舍去)， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 39．【答案】（1）2     （2） 证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD， ∵， ∴ ∵AC＝AC，BC=DC， ∴．    ∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）， 又∵AB=2BC=BD， ∴AB=AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=60°， 又∵AC⊥BD， ∴；      （3） 证明：如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，BC=BA， 又∵BD=BM， ∴△BDM是等边三角形， ∴∠B=∠M=60°，BD=MD， ∵BD=BM，AD=BE， ∴AB=ME=BC， ∴△DCB≌△DEM（SAS）， ∴DC=DE． 【分析】 （1）根据题目所证明的结论即可得到答案； （2）如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明．推出AB＝AD 进而证明△ABD是等边三角形，由此即可证明结论； （3）如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM，证明△BDM是等边三角形，得到∠B=∠M=60°，BD=MD，再证明AB=ME=BC，即可证明△DCB≌△DEM得到DC=DE． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 故答案为：2； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键． 40．【答案】（1）8     （2） 解：，证明如下： 如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．     （3）3      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． （1）先求出，再证出是等边三角形，则可得，然后根据线段的和差求解即可得； （2）过点作，交于点，先证出是等边三角形，则可得，根据线段和差可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，最后根据和等量代换即可得证； （3）过点作，交于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的周长公式可得和周长之和为，根据垂线段最短可得当时，的长最小，利用含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． (1) 小问详解： 解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，点是中点，， ∴，，， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴由三角形的外角性质可知，点在线段上， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴和周长之和为 ， ∴当的长最小时，和周长之和最小， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， 此时在中，，则， 即当和周长之和最小时，的长为3． 41．【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】 （1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 42．【答案】（1）周长的最小值为     （2）的最小值为7      【分析】 本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． （1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可； （2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，连接，， ，为边中点， ，， ， ， ． 是的垂直平分线， ． ， 当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4． 为中点， ． ． 周长的最小值为； (2) 小问详解： 解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小． 是等边三角形，是边上的高， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 是等边三角形，边长为10， ． ， ， ， ， ． 又， ， ． 是等边三角形， ， ∴是等边三角形． ， 的最小值为7． 43．【答案】 【分析】 本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 44．【答案】（1） 证明：， ， ∴， ， ， ， ， ；     （2） 证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ；      （3） 是等边三角形，证明如下： 证明：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形．      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 45．【答案】（1） ① 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②     （2） 解：（）中② 的结论变化，新结论为：． 证明：过点作，交的延长线于， ∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （）① 由等边三角形的性质得，进而可得，再利用平行线的性质可得，进而由“”即可求证；② 由全等三角形及等边三角形的性质可证，即可证明，得到，进而由即可求证； （）过点作，交的延长线于，同理（）① 可证，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： ① 略 ② ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 46．【答案】（1） 证明：如图1，设，， 则， ， ，， ， ， ．     （2）①是等腰直角三角形，证明如下： 如图2，过点作， ， ，，由（1）知， ，，， 根据旋转可得， ， ， 又， ， ， ∵， ， ， ，， 是等边三角形， ∴， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ∴， 是等腰直角三角形． ②      【分析】 （1）如图1，设，，则，根据，得出，，从而得，根据四边形内角和定理求出，即可证明． （2）① 如图2，过点作，则，根据，，得出，，，结合，得出，则，证明，得出，证明是等边三角形，根据，，，得出垂直平分，则，从而得，，则，即可证明是等腰直角三角形． ② 如图3，由① 可知，点在的垂直平分线上运动，且点与点关于直线对称，，所以当，，三点共线时，最小值，因为，，可得，则，由是等边三角形，得到，可求，则，故，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ②． 理由如下： 如图3，由① 可知，， ∴点在的垂直平分线上，且点与点关于直线对称， ∴点共线，， ∴当，，三点共线时，，为最小值，如图4： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】 该题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，四边形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 47．【答案】（1） 证明：如图中， ∵都是等边三角形 ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴；     （2） ① 证明：如图中，延长到，使得，连接，     ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同法可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ② 结论：． 证明：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴．      【分析】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）证明，可得结论； （2）① 如图中，延长到，使得，连接．证明，推出，，，再证明，可得结论； ② 根据得到，设，根据列出方程，求出，可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 48．【答案】（1）① 证明：和都是等边三角形， ，，，        ， 即， 在和中， ， ，        ；    ② 证明：在上取点，使得， ， ， 即， 为等边三角形， ，，    是等边三角形， ，， ， 即，      ， ， ； （2）点和点的位置如图所示： 说明如下： 以为边作等边， 在上任取一点，连接，以为边作等边， 连接，，交点为，由上题的经验， 可得， 所以， 而点在上， 所以当时，根据垂线段最短，可得最短距离， 所以过作于，点即为所求， 连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【分析】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）① 根据证明，再根据全等三角形的性质可得结论； ② 在上取点，使得，证明为等边三角形，得，，再由证明，得，进而可得结论； （2）以为边作等边，根据垂线段最短，可得最短距离，所以过作于，点即为所求，连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【详解】 解：（1）① 略 ② 略 （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】 解：轴对称图形是: 故选：A． 2．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要查了轴对称图形． 根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解． 【详解】 解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，故本选项符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）中国传统文化中蕴含着丰富的轴对称美学，下列具有轴对称图形特征的图案是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，关键是根据定义进行识别； 轴对称图形的关键是寻找对称轴，利用图形两部分沿对称轴折叠后可重合进行判断． 【详解】 解：A：该图形不是轴对称图形，故不符合题意； B：该图形不是轴对称图形，故不符合题意； C：该图形是轴对称图形，故符合题意； D：该图形不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C ． 4．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（   ） A. 直角三角形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 梯形 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形定义，解决本题的关键是掌握轴对称的判断方法：把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够完全重合，那么这个图形是轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】 解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，不符合题意； B、平行四边形不一定是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、梯形不一定是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 5．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）下列四个图案中，是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 6．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）2025年9月3日在北京天安门广场举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式尽显大国威仪．这盛大的活动背后是国富民强的生动写照．“国富民强”这四个汉字中，从数学角度可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：根据轴对称图形的定义可知， B是轴对称图形，A、C、D不是轴对称图形． 故选：B． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】 解：A、“诚”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、“信”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、“自”不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、“由”是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 9．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】 A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：C． 10．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，轴对称图形可以找到至少一条直线，使得图形沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】 解：选项A、该图形为“人”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 选项B、该图形为“人在骑车”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 选项C、该图形为“人举哑铃”的图形，沿着中间竖直的一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则是轴对称图形； 选项D、该图形为“人拍球”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 故选：C． 11．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形，把一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，解决本题的关键是根据轴对称图形的定义进行判断． 【详解】 解：A、把图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合，这个图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、把图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合，这个图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、把图形沿虚线所在的直线折叠直线两旁的部分能重合，这个图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D、把图形沿任何一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合，这个图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选： C． 12．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项B能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 13．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）下列数字图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】 解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 14．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）下列交通标志对应的图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了轴对称图形的定义，解决此题的关键是熟练掌握轴对称图形是一个图形沿着一条直线对折两边部分能完全重合的图形；根据轴对称图形的定义一一判断即可； 【详解】 解：A．是轴对称图形，故正确； B．不是轴对称图形，故错误； C．不是轴对称图形，故错误； D．不是轴对称图形，故错误； 故选：A． 15．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】 解：选项B能找到这样的一条直线，使得这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故B是轴对称图形； 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：B． 16．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 按照轴对称图形和中心对称图形的定义去判断即可. 【详解】 ∵平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形, ∴圆与平行四边形组合图形是中心对称图形， ∴选项A错误； ∵正方形，圆是中心对称图形,也是轴对称图形, ∴圆与正方形的组合图形是中心对称图形，也是轴对称图形， ∴选项B正确； ∵等边三角形不是中心对称图形,是轴对称图形, ∴圆与等边三角形的组合图形是轴对称图形， ∴选项C错误； 两个三角形组成的图形是中心对称图形， ∴选项D错误. 故选B. 【点睛】 本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握两种对称的基本概念，并能灵活运用是解题的关键. 17．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】 解：B，C，D选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 18．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】 解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 19．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的定义分别判断即可． 【详解】 解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 20．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）下列几何图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握这些知识点是解题的关键．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据这些概念逐一判断即可． 【详解】 解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误； C．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C正确； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故D错误． 故选：C． 21．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）下列说法错误的是（    ） A. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B. 轴对称图形至少有一条对称轴 C. 全等三角形一定能关于某条直线对称 D. 角是关于它的平分线对称的图形 【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的定义和性质逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】 解：A、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确，故本选项不符合题意； B、轴对称图形至少有一条对称轴，正确，故本选项不符合题意； C、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误，故本选项符合题意； D、角是关于它的平分线对称的图形，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 22．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】 解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 23．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，，点是内部一点，点分别是点关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③上述结论中正确结论的序号是（     ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【分析】 本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，得；由垂直平分线的性质得，由四边形内角和定理得；根据对称性得，，，可得． 【详解】 解：连接，如图， 根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线， ∴，， ∴，故① 正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴， 又， ∴，故② 正确； 根据对称性得，，， 又， ∴， ∴故③ 错误． ∴正确的结论是① ② ， 故选：A． 24．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）在四边形纸片中，将纸片沿折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了对顶角性质，折叠的性质，结合图形求解是解题的关键． 根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】 解：如图所示： ∵四边形纸片沿折叠， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C 25．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（     ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称的性质及三角形内角和定理．根据轴对称的性质判断三角形的周长、对应点连线与对称轴的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后逐一分析选项即可． 【详解】 解：A项：∵与关于直线l对称， ∴, 由全等三角形的对应边相等可知，的三边与的三边分别相等， ∴它们的周长也相等，故A正确，不符合题意； B项：∵与关于直线l对称，A与是一对对应点， ∴对称轴l是线段的垂直平分线， 即且，故B正确，不符合题意； C项：连接，，∵与关于直线l对称， ∴，，三条线段都垂直于对称轴l， 在同一平面内，垂直于同一条直线的多条直线互相平行， ∴， 又∵对称轴l是对应点所连线段的垂直平分线， ∴，，三条线段被对称轴l垂直平分，但，，三条线段不相等，故C错误，符合题意； D项：∵与关于直线l对称， ∴， 在中，，，根据三角形内角和定理，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 26．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是轴对称的性质，三角形的三边关系的应用，如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，即可得到结论． 【详解】 解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则， ∴， 此时最大． 故选：B 27．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上，则三角板旋转的度数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．由旋转的性质可得旋转角为，由平角的性质可求解． 【详解】 解：根据题意可得，，， ∴， ∴， ∵直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上， ∴三角板旋转的度数是． 故答案为：． 28．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后求出的周长，即可得出答案． 【详解】 解：由折叠的性质得：，， ， 的周长， 故答案为：7． 29．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点　　　　　． 【答案】C 【分析】 本题主要考查了利用轴对称求最短路径问题． 利用轴对称的性质，将其中一点关于直线对称，根据“两点之间线段最短”确定点的位置． 【详解】 解：①作对称点： 作点关于直线l的对称点． ②确定点： 连接，与直线交于点，由“两点之间线段最短”可知，此时最短．观察图形可知，点应选在点处． 故答案为：． 30．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，在中，，，，沿过点及边上点的直线折叠，使点 落在边上的点处，则的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，将已知数据代入即可求解． 【详解】 解：∵沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点E处， ∴，， ∵，，， ∴的周长为 ． 故答案为：9． 31．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在的纸片中，，，点D在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 当是直角三角形时，分两种情况求解，根据题意作图，然后分别根据三角形内角和定理、外角的性质、翻折的性质等计算求解即可． 【详解】 解：根据题意，当是直角三角形时，分两种情况讨论： ① 当时，如图1， 由翻折的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴ ② 当时，如图2， ∴， ∴， 综上所述，的大小为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，若，的周长为，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长计算公式得到，进而推出，求出的长，即可求出的长． 【详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于（       ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】C 【分析】 根据垂直平分线的性质得出，再利用即可得到答案，此题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长等于， 故选：C． 3．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解． 【详解】 解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∵的周长为， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 19 D. 26 【答案】C 【分析】 本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】 解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，与，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，取大于长为半径作弧，交于点； ③作射线，连接，，. 下列结论中不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 利用基本作图可知，为的平分线，又，，可得出，从而可得出；由，，得出垂直平分，根据已知条件不能判断，进而可以解决问题． 【详解】 解：由作图步骤可得：是的角平分线，则，故C选项正确，不合题意； 又，， ， ，故A正确，不合题意； ，， 垂直平分，则，故D选项正确，不合题意； 没有条件能得出，故B选项错误，符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 全等三角形的周长相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】 本题考查了命题的逆命题、判断逆命题的真假、全等三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分别写出各选项的逆命题，然后再判断其真假即可． 【详解】 解： A的逆命题：周长相等的三角形是全等三角形，假命题（反例：周长相等的非全等三角形），故不符合题意； B的逆命题：如果，那么，假命题（反例：）； C的逆命题：相等的角是对顶角，假命题（反例：两个直角相等但不是对顶角）； D的逆命题：两直线平行，同位角相等，真命题（平行线的性质）． 故选D． 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接，先根据两点之间线段最短，，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】 解：连接，,       由作图得：是的垂直平分线， ， ， ，为的中点， ， 的面积为，， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 8．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　　命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【详解】 解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【点睛】 本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 9．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，的垂直平分线交、于点E、D，，的周长为24，则　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质可得：，，再利用周长公式即可求解． 【详解】 解：∵垂直平分，， ∴，， ∵的周长为24， ∴，即， ∴． 故答案为：7． 10．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）在《全等三角形》和《轴对称》这两章的学习中，我们探究了两个重要结论： 结论1：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，当平分，，时，垂足分别为D、E，则有：． 结论2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当，垂足为O，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． （1）试说明：； （2）若，点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明： 是的平分线， ， 、 、 在和中 ．     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定、角平分线定理、垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题中给出的结论，结合已知条件可得和，利用全等三角形的判定方法，进行证明即可； （2）过点作直线于点，根据角平分线定理得到，由垂直平分线的性质得到，进而得到 ，是的外角，据此进行计算求解的值即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点作直线于点，如图所示： 在中，，， ， 是的平分线， ， 点为线段的垂直平分线与的交点， ，， 由结论2得：， ， 是的外角， ， ， ． 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）【再现作图】如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同长度（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点． 【提出问题】 （1）在直线上取一点，连接，则这两条线段的数量关系是_______． （2）连接，当时，过点作于点，尝试探究三条线段之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）     （2） 解：，理由如下： 过点作，交延长线于点， ∵， ∴． ∵于点，于点． ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴      【分析】 本题考查了垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质；解题关键是利用垂直平分线得线段相等，通过作辅助线构造全等三角形实现线段的转化． （1）由作图得是的垂直平分线，利用垂直平分线性质得． （2）作延长线，先证得，再证得，最后通过线段和转化得． (1) 小问详解： 由作图方法可知，直线是线段的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴点在上， ∴． 故答案为：； (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；     （2），理由见解析．      【分析】 本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确找出全等三角形是解题关键． （1）连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． (1) 小问详解： 证明：如图，连接， 且平分， ， 平分，于E，于F， ，， 在与中， ， ， ． (2) 小问详解： 解∶，理由如下∶ 平分，于E，于F， ，， ， ， ， ， ， ， ． 13．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为　　　　　　　　　　　． 【答案】26 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质和作图．由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】 解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故答案为：26． 14．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，且，则，　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了垂直平分线的性质． 根据垂直平分线的性质得到，，即，可得，进而根据可得． 【详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 15．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，在中，，，垂足为． （1）尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）：作，垂足为； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 解：如图为所求作；      （2） 证明：， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）证明，即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 16．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是　　　　　命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】 逆命题就是原命题的假设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为每个内角都是60°，互换即可判断命题是真是假； 【详解】 ∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°， ∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形 ∴ 逆命题为真命题； 故答案为：真． 【点睛】 本题考查了命题的真假，正确掌握原命题与逆命题之间的关系是解题的关键； 17．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝45°，求∠AEC的度数． 【答案】（1） 如图所示DE为所求；                                              （2）90°      【分析】 （1）依据垂直平分线的作图方法，即可得到边AB的垂直平分线DE； （2）依据垂直平分线的性质， 即可得到∠BAE=∠B， 再根据三角形外角性质， 即可得到∠AEC的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，                                                                ∴∠EAB＝∠B＝45°， ∵是的外角，                                                   ∴∠AEC＝∠EAB﹢∠B＝90°． 【点睛】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及基本作图，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 18．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）（1）在中，，比大，求的度数； （2）如图，已知，点为上一点．尺规作图：作直线，（保留作图痕迹，关于直线对称，直线交直线于，交直线于．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】（1）； （2）如图所示，直线即为所作： 【分析】 本题考查了三角形内角和，作线段的垂直平分线． （1）根据三角形内角和作答即可； （2）要使得点与点关于直线对称，则应连接，使直线为的垂直平分线即可，所以作的垂直平分线即可． 【详解】 （1）解： 比大 ． （2）略 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标；根据关于x轴对称的点的特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，解答即可． 【详解】 解：点关于x轴对称的点是：， 故选：B． 2．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标．利用关于x轴的对称点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”可得答案． 【详解】 解：∵点A的坐标为， ∴点A关于x轴的对称点的坐标为， 故选：D． 3．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称的点的坐标的变化规律． 4．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征的知识，解题的关键是理解关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出和的值； 【详解】 解：若，关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 横坐标关系：； 纵坐标关系：， 因此，，，对应选项C， 故选：C． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】 解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，    已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 6．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）点关于x轴对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】 解：点关于x轴对称点的坐标为， 故选：A． 7．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）点关于轴对称的点的坐标是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】 解：点P（-1，3）关于x轴对称的点的坐标是（-1，-3）， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 8．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】 解：与点关于轴对称的点是， 故选A． 【点睛】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数是解题的关键． 9．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）点（-3，2）关于Y轴的对称点是【          】 A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 【答案】B 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出点（-3，2）关于y轴的对称点的坐标． 【详解】解：点（-3，2）关于y轴的对称点的坐标是（3，2）． 故选B. 【点睛】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容． 10．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若与点关于轴对称，则（　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查了点关于轴对称，根据关于轴对称，不变，互为相反数，即可求解，解题的关键熟练掌握关于轴对称，不变，互为相反数，关于轴对称，不变，互为相反数． 【详解】 解：∵若与点关于轴对称， ∴，， 故选：． 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据点的坐标确定原点位置，进而求出点的坐标，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出点的坐标即可． 【详解】 解：由题意，建立平面直角坐标系如图，    由图可知：， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； 故选C． 12．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数进一步求解即可. 【详解】∵y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 13．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）已知点与点关于轴对称，则的值是（   ） A.  B. 4 C. 2 D.  【答案】A 【分析】 该题考查了点的对称，两点关于x轴对称时，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于x轴对称， ∴，且， ∴． 故选：A． 14．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）点关于y轴对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标与图形的轴对称变换，根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数作答即可． 【详解】 解：点关于y轴对称点的坐标是， 故选：A． 15．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此解题． 【详解】 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】 本题考查象限与点坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（     ） A. 第二象限 B. 第四象限 C. 第一象限 D. 第三象限 【答案】A 【分析】 本题考查关于y轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此求出a和b的值，再确定点M的象限． 【详解】 解：∵ 点与点关于y轴对称， ∴，， ∴ 点， ∵ 横坐标，纵坐标， ∴ 点M在第二象限． 故选：A． 17．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）点关于y轴对称的点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称与坐标变化．熟练掌握关于y轴对称的特征是解题的关键； 关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】 ∵点和点B关于y轴对称， ∴点B的横坐标为2（的相反数），纵坐标为（不变）， ∴点B的坐标为． 故选：C． 18．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查坐标与图形变化——轴对称． 先判断出图中剪纸的对称轴为y轴，再根据关于y轴对称的点的坐标特点求解． 【详解】 解：∵图中剪纸的对称轴为y轴， ∴ 点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：B． 19．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】 解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】 本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 20．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（       ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 【答案】A 【分析】 根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得、的值． 【详解】 解：∵点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 21．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征， 根据关于y轴对称的两个点“横坐标互为相反数，纵坐标相同”即可解答． 【详解】 解：点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 23．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）点关于轴的对称点，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相同，列出方程求解m和n，再计算它们的和即可． 【详解】 解：∵点关于轴的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，3），点的坐标为（，2），点的坐标为（，1），完成下列问题： （1）画出关于轴对称的； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图：即为所求；      （2）．      【分析】 （1）根据轴对称的性质，即可得出； （2）由正方形的面积减出3个直角三角形的面积即可求出的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：． 【点睛】 本题主要考查了轴对称的性质与作图，格点三角形求面积，割补法是解决问题的关键． 25．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）若点 和点关于y轴对称，则ab=　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了坐标系对称知识点，根据点 和点关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出a和b的值. 【详解】 解：点 和点关于y轴对称 则 所以 故答案为：10. 26．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均为网格线的交点，其中点A，B，C的坐标分别为． （1）请在网格中作出； （2）请直接写出点B与点C关于哪条直线对称； （3）求的面积． 【答案】（1） 如下图，即为所求，      （2）y轴     （3）40      【分析】 本题考查了平面直角坐标系作图，利用网格求三角形面积，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）描出点，依次连接即可； （2）由图即可得到解答； （3）利用网格法即可求解的面积． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，点B与点C关于y轴对称； (3) 小问详解： 解：由图可得，的面积 ． 27．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）已知在平面直角坐标系中有三点，请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，则的面积是             ； （2）画出关于x轴对称的； （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 如图所示： 5     （2） 如图所示：      （3）存在，或      【分析】 本题考查了坐标与图形以及画轴对称图形，掌握相关结论即可． （1）利用“割补法”即可求解； （2）确定各顶点关于x轴的对称点即可完成作图； （3）设点P坐标为，由题意得，，即可求解； (1) 小问详解： 解：的面积， 故答案为： (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：设点P坐标为， 由题意得，， 解得或 ∴点P的坐标为或 28．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在格点上，其中点，点在轴正半轴上，到轴距离为．点与点关于轴对称． （1）请写出点和点的坐标； （2）请画出以及关于轴对称的． 【答案】（1），     （2） 如图，和即为所求． 【分析】 本题考查作图——轴对称图形，关于轴对称的点的坐标特征，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据题意可求点的坐标，根据关于轴对称的点的坐标特征可求点的坐标； （2）根据、、三点的坐标在直角坐标系中找到对应位置，依次连接可得，然后根据轴对称的性质，得出、、的各个对应点，再依次连接即可． (1) 小问详解： 解：点在轴正半轴上，到轴距离为， ， 点与点关于轴对称， ； (2) 小问详解： 略 29．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）在同一直角坐标系中，一个学生误将点的横、纵坐标的次序颠倒，写为，另一个学生误将点的坐标看成关于轴对称的点的坐标，写为，则，两点原来的位置关系是关于　　　　　　轴对称．（填“”或“”） 【答案】 【分析】 本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于轴、轴对称的点的坐标变化规律是解题的关键．先根据错误坐标还原A、B两点的正确坐标，再通过坐标关系判断对称轴． 【详解】 解：∵ 点A横、纵坐标次序颠倒后为 ∴ 点A原来的坐标为 ∵ 点B被误写为关于轴对称的点 ∴ 点B原来的坐标为 ∵ 点与点横坐标相同，纵坐标互为相反数 ∴ 两点关于轴对称 故答案为： 30．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）已知在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 31．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（        ），（        ），（        ）． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）；；      【分析】 （）根据轴对称图形的性质画图即可； （）根据所画图形写出点的坐标即可； 本题考查了画轴对称图形，点的坐标，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2）点的坐标为或      【分析】 本题考查了直角坐标系中点的坐标，画轴对称图形，解题的关键是数形结合． （1）根据关于轴轴对称的特点，找到各个点的对应点，再依次连接即可； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ， 点的坐标为或． 33．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出、、三点的坐标； （2）若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是________． 【答案】（1）见解析，、、     （2）      【分析】 本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图，确定点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点的特点求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求： 、、； (2) 小问详解： ∵与关于y轴对称， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）若点与关于x轴对称，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】 解：∵点与关于x轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． 35．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于y轴对称，则m+n的值是　　　　　． 【答案】-5 【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可得m、n的值，代入m+n进行计算即可得答案. 【详解】解：∵A（2，m）和B（n，﹣3）关于y轴对称， ∴m＝﹣3，n＝﹣2， ∴m+n＝﹣3﹣2＝﹣5． 故答案为﹣5． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征、有理数的加减等，根据题意求出m、n的值是解本题的关键. 36．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点C关于轴的对称点的坐标______； （3）点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求．      （2）     （3）如图，      【分析】 本题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出答案； （2）根据关于轴对称点的性质得出关于点C关于轴的对称点的坐标； （3）利用轴对称求最短路径的方法得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点C关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：连接交轴于点，此时的周长最小． 点的坐标为． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：______； （3）在轴上找一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3） 如图，连接交x轴于点P， 【分析】 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形； （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标； （3）连接交x轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得周长最小． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴点关于轴的对称点的坐标， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：此时周长最小， ∴点即为所求． 38．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在正方形网格中（图中每个正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． （1）画出关于x轴对称的． （2）写出点的坐标_______． （3）求的面积． （4）在轴上有一点，使的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】（1） 如图，即为所作图形：      （2）     （3）7     （4）      【分析】 本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）根据轴对称的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由平面直角坐标系得点的坐标为， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积； (4) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， ∴ ∵是定值， ∴当最小时，的周长最小，即三点共线时，最小，最小值为， ∴的周长最小值, ∵， ∴，， ∴的周长最小值． 39．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． （3）在y轴上找出点Q，使的周长最小． 【答案】（1）解：如图，即为所求．      （2）     （3）解：如图，点即为所求． 【分析】 本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）直接利用割补法求得面积即可； （3）连接，交轴于点即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 的面积； (3) 小问详解： 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 40．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标______； （3）的面积______； （4）在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值． 【答案】（1） 如图，为所求；      （2）     （3）4     （4）      【分析】 （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征得到点的坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积，去计算的面积； （4）点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，然后计算和，从而得到周长的最小值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点关于轴的对称点的坐标为； 故答案为：； (3) 小问详解： 解：的面积； (4) 小问详解： 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求， ， 此时的值最小，周长最小， ，， 周长的最小值为． 【点睛】 本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了最短路径问题． 41．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）写出点关于轴对称的点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所作；      （3）存在，或或      【分析】 本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据全等三角形的判定定理画图即可解答． (1) 小问详解： 解：根据对称性得； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，与全等，此时点的坐标为或或 42．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出△ABC关于x轴对称的 （其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）并写出的坐标； （2）点P在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的P点有____个． 【答案】（1）     （2）10      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，等腰三角形的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）先以点B为圆心，的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，再以点C为圆心、的长为半径画圆得到与坐标轴的交点，然后将两圆的交点连接可得的垂直平分线，从而可得到与坐标轴的交点，由此即可得出答案． (1) 小问详解： 解：如图所示，即为所求，则； (2) 小问详解： 解：如图所示，一共有10个点满足题意； 43．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，． （1）的面积______； （2）画出关于轴对称的，并直接写出点关于轴对称的点的坐标：______． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中三角形面积的割补法计算、关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握割补法求面积的思路以及关于、轴对称的点的坐标变化规律是解题的关键． （1）利用割补法，通过构造包含的矩形，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征画出，再根据关于轴对称的点的坐标特征求出点₂的坐标． (1) 小问详解： 解： ， 故答案为： (2) 小问详解： 解：关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变． ∴关于轴对称的点，关于轴对称的点，关于轴对称的点 连接、、，得到 ∵ ∴点关于轴对称的点的坐标为 故答案为： 44．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的（与，与，与分别为对称点），并写出，，的坐标； （2）点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）的对称点为，直接写出的坐标． 【答案】（1） 画出如图所示． ，，；     （2）．      【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征以及关于垂直于轴的直线对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），求出对称点坐标，再画出图形． （2）根据关于直线对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标到直线的距离相等），计算对称点坐标． (1) 小问详解： 解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴关于轴对称的点； 关于轴对称的点； 关于轴对称的点． (2) 小问详解： 解：设的坐标为， ∵点与关于直线对称， ∴， 解得， ∴． 45．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，连接、，使得周长最小． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，      （2）如图，点即为所求，      【分析】 本题考查了作图－轴对称变换，轴对称——最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：此时，此时周长最小． 46．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：_____； （2）点为轴上一动点，且使得周长最小，则点的坐标为_____； （3）点是直线上方第二象限内的动点，当为以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； 点关于轴的对称点的坐标为；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了轴对称变换，画轴对称图形，三角形全等的判定和性质，平面直角坐标系中的点，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，作出对应点的位置． （1）作出点、、三个顶点的对称点、、，然后顺次连接，最后根据平面直角坐标系写出点关于轴的对称点的坐标即可； （2）连接，先求出的解析式，从而求出点； （3）分两种情况：当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，分别画出图形，求出结果即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交y轴于点P，则点即为所求． ∵点关于轴的对称点， ∴， ∴， ∴当、、在同一直线上时，最小， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 设直线为：，把，代入得 解得 ∴直线为：， 当时，得， ∴． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当点C为直角顶点时，过点C作轴，过点Q作于点D，过点B作于点E，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴此时点Q的坐标为； 当点B为直角顶点时，过点B作轴，过点Q作于点D，过点C作于点E，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为或． 47．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的图形； （2）请画出与关于点对称的图形． （建议：先用铅笔画图，确定无误后再用黑色水性笔画在答题卡上，确保答题卡上无涂改） 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ；     （2） 解：如图， 即为所求， ．      【分析】 本题考查作轴对称图形及作中心对称图形，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的性质是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点：横坐标不变，纵坐标变为其相反数，作出顶点关于轴对称的对称点连接起来即可得到答案； （2）根据关于点对称的点：横坐标与纵坐标变为其相反数，作出顶点的对称点连接起来即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 48．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）已知点． （1）若点A，B关于轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于x轴对称，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，代数式求值，解决本题的关键是掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征． （1）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求解即可； （2）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：点A，B关于轴对称， 解得； (2) 小问详解： 解：点A，B关于轴对称， 解得， ． 49．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； （3）在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求；      （2）     （3）如图所示：       【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）根据题意可得直线l即为直线，再根据轴对称的性质可得点C和点到直线l的距离相等，且两点的纵坐标相同，据此求解即可； （3）根据，即可得当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长，利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线l即为直线， ∵， ∴点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：∵， ∴当P、C、B三点共线时，有最大值，最大值为的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 50．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作：      （2）     （3）1      【分析】 本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． （1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形； （2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标； （3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，即为所求作： (2) 小问详解： 解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小， 由图知，； (3) 小问详解： 解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴． 51．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，已知． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点与点关于y轴对称，直接写出__________． （3）格点是以为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为__________． 【答案】（1） 如图，即为所作， ；；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查轴对称变换，轴对称的性质，等腰三角形的性质． （1）根据轴对称的性质找到点关于x轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的特点，求得和的值，再代入求解即可； （3）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点P即可． (1) 小问详解： 解：其中，；；； 故答案为：；；； (2) 小问详解： 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：如图，格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 52．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点),请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点为（___________，___________）； （2）求出的面积为___________； （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为（___________，___________）． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， ，     （2）     （3） 如图所示，点即为所求，由图可得，点的坐标为， 故答案为：，．      【分析】 （）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，交轴于点，由轴对称性可得，进而得，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，故点即为所求，再根据图形写出点的坐标即可； 本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 由图可得，点的坐标为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：的面积， 故答案为：； (3) 小问详解： 略 53．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形；     （2） 如图，即为所求作的三角形；      （3）      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）将的三个顶点分别向下平移4个单位长度，再首尾顺次连接即可； （3）根据“关于轴对称点的横坐标互为相反数、纵坐标不变”及“右加左减、上加下减”求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 经过第一次变换后的坐标为：， 再经过第二次变换后的坐标为：， ∴线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是． 54．（25-26学年八上·期中）如图，点A，B在边长为1的正方形网格中的位置如图所示． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，并描出点； （2）连接点A，B，C，作出关于x轴对称的； （3）在y轴上找点P，使最小，最小值为______，此时点P坐标为______． 【答案】（1）见解答     （2）见解答     （3）      【分析】 （1）根据点的坐标建立平面直角坐标系，然后描出点即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得的最小值；利用待定系数法求出直线的解析式再令，求出的值，即可得点坐标． (1) 小问详解： 解：建立平面直角坐标系以及描出点如图所示． (2) 小问详解： 解：如图，即为所求． (3) 小问详解： 解：取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得 ， ∴设直线的解析式为， 令，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 55．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点B的坐标为                 ，点C的坐标为                 ； （2）画出关于y轴对称的； （3）的面积为                 ； （4）已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为                 ． 【答案】（1）     （2） 如图，即为所求．      （3）     （4）      【分析】 （1）由图可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． （4）使的周长最小，即最小，连接，交y轴于点P，连接，此时满足最小，最小值为的长，利用勾股定理分别求出，的长，即可得出答案． 本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． (1) 小问详解： 解：由图可得，， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 的面积=． 故答案为：． (4) 小问详解： ∵使的周长最小， ∴最小， ∵，为定值， ∴使最小， 连接，交y轴于点P，连接， 此时满足最小，最小值为的长， ∵， ∴的周长最小值为． 故答案为：． 56．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求；     （2）11     （3）110      【分析】 （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； (3) 小问详解： 解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】A 【分析】 根据旋转的性质可得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°，从而得到∠E=∠CAE=40°，即可求解． 【详解】 解：根据题意得：AC=EC，∠E=∠BAC＝40°， ∴∠E=∠CAE=40°， ∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=40°+40°=80°． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得到AC=EC，∠E=∠BAC是解题的关键． 2．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A.  B.  C. 平分 D.  【答案】B 【分析】 根据等腰三角形的性质即可确定答案． 【详解】 解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形． 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． 3．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”性质是解答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 4．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）在中，，，斜边的长为4，则长为（       ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查含角的直角三角形的性质．根据角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】 ∵在中，， ∴是所对的直角边，是斜边， ， ， ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为（     ） A.  B. 或 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论，① 当该角为顶角时；② 当该角为底角时；分别求解即可． 【详解】 解：等腰三角形的一个角为，则该角可能为顶角或底角， 分两种情况讨论： ① 当该角为顶角时， 则该等腰三角形的顶角为； ② 当该角为底角时， 则该等腰三角形的顶角为：； 综上，该等腰三角形的顶角为或， 故选：． 6．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（       ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．证明，可得，再结合等腰直角三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴的面积为． 故选：C 7．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由中，，为边上的高，根据等角对等边与三线合一的性质，即可求得答案． 【详解】 解：∵，为边上的高， ∴，，． 无法确定． 故A、C、D正确，B错误． 故选：B． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【分析】 该题考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义得出，根据，得出，等量代换得到，则，根据，，结合的周长，即可求解． 【详解】 解：∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴， 故选：B． 9．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形中“三线合一”是解题关键．由三线合一知，由等腰三角形两底角相等即可求解． 【详解】 解：∵，是的中点，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，，D，E分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 首先由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等求出，进而得出，再利用等腰三角形的性质求得的度数，即可求得的度数； 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 11．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质及含角的直角三角形的特征，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”性质是解题的关键． 过点A作于点E，在中，利用含角的直角三角形的性质可以求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可得的长． 【详解】 解：过点A作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 12．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】 解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 13．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 14．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）是等腰三角形，， 则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质，由于较大，可判断为顶角，底角和相等，再利用三角形内角和定理求解。 【详解】 解：∵是等腰三角形，且， ∴为顶角（若为底角，则另一底角也为，内角和超过，矛盾）， ∴ 设两腰，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 15．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(        )        A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据角平分线的性质可得，由于是公共边，利用三角形全等的判定定理，从而可得；利用全等三角形的性质即可解得． 【详解】 解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴，故选项A正确，不符合题意； 过点H作于点G，如图所示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，故选项B不正确，符合题意； ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意． 故选：B． 16．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）在中，，，的垂直平分线交于点D，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】 解：如图， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故选：D． 17．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（       ）． A.  B.  C.  D. 或 【答案】D 【分析】 本题重点考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是熟知相关概念； 等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等于；要注意分情况讨论； 【详解】 解：本题可分两种情况：①为顶角；②为底角，则顶角为：； 故选：D 18．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了轴对称图形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出，，根据，可得，，根据等边对等角可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】 解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴ 故选：C． 19．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，已知中，，点在上，连接，、是两点上，连接延长线交于点，当，且时，的长为（     ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.2 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选B． 20．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，若，，则的长为（     ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】D 【分析】 本题主要考查了三角形内角和定理的应用、三角形的高和等腰直角三角形的性质和判定，熟知性质定理、准确作出辅助线是正确解答此题的关键． 连接并延长，交于，证明，，即可求解． 【详解】 解：连接并延长，交于， 、为的高， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴， 故选：D． 21．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大． 利用等边对等角求得，然后利用线段的垂直平分线的性质与三角形外角的性质求得答案即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵由作图可得：的垂直平分线交于， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 22．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 23．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，直线交于点，连接，以为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于，再分别以为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，是的平分线，，，，设，,根据三角形内角和定理求得，根据三角形外角定理即可得到答案． 【详解】 解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 由作图过程可知，是的平分线， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，在中，，E为上一点，连接，D为的中点，，若，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形的性质求出，由D为的中点，知，得，由直角三角形两锐角互余得，从而可得结论． 【详解】 解：∵，且， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 故选：B． 25．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（       ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，由直角三角形锐角互余可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 26．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 【答案】B 【分析】 由角平分线可求，则，可判断① 的正误；则，证明，则，，，可求，即，可判断② 的正误；由，，，证明，可判断③ 的正误；由，，可知当时，即时，，，由的大小未知，可判断④ 的正误；由，可判断⑤ 的正误． 【详解】 解：∵，的角平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴，① 正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即，② 正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴，③ 正确，故符合要求； ∴， 由题意知，，， 当时，即时，，， ∵的大小未知， ∴④ 错误，故不符合要求； 由题意知，，⑤ 正确，故符合要求； 故选：B． 【点睛】 本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边是解题的关键． 27．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，，，，且．下列结论：①是等边三角形；②；③．其中正确的有（  ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，求出相关角的度数，根据有两个内角为的三角形是等边三角形，然后利用同位角相等，得出两直线平行． 【详解】 解：因为，， 所以． 因为， 所以， 又因为， 所以，． 所以， 所以是等边三角形，故① ③ 正确． 因为， 所以， 所以，故② 正确． 综上，正确选项为① ② ③ ， 故选：D． 28．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在中，，是上一点，过点作交于点，交A的延长线于点，连接，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，关键是等角对等边进行线段的转换； 通过论证是等边三角形可得，进而得到，所以，又，则的长可求． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 29．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 由，，可得，从而得出，判断① 正确与否；通过证明，得出，判断② 正确与否；先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断③ 正确与否；先证明，再证明，得出，判断④ 正确与否． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故① 正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故② 正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故③ 正确； ∵， ∴， 由① ② 知，， ∴， ∴， 由② 知，， ∴， ∴， 故④ 正确； ∴正确的有① ② ③ ④ ， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键． 30．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为（     ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查等腰三角形、直角三角形的性质．利用平行线找出等角等边，灵活运用直角三角形性质是解题关键． 根据是等腰三角形，且为中线，平分，可得，再由，则，，根据和直角三角形性质可求解． 【详解】 是等腰三角形，且为底边中点， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 31．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短可知当点、、三点共线时，的值最小，根据等腰三角形的三线合一性质可知是边上的高，利用三角形面积求出的长，即可得到的周长的最小值． 【详解】 解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 点为边的中点， ， 当的值最小时，的周长的最小， 当点、、三点共线时，的值最小， ，点是的中点， ， ， ， 的周长最小值为． 故选：C． 32．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（     ） A. 过点作的垂直平分线 B. 作的平分线，使 C. 取的中点，连接 D. 作的平分线，使之经过的中点 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形两底角相等性质的证明，根据三角形边边边判定直接选即可得到答案； 【详解】 解：过线外一点不能作线的垂直平分线，说法错误，故A错误，不符合题意， 作一个角的平分线不一定垂直于角的对边，说法错误，故B错误，不符合题意， 取的中点，连接，可以得到，，，从而得到，即可得到，故C正确， 作一个角的平分线不一定经过角对边的中点，说法错误，故D错误，不符合题意， 故选：C． 33．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】 解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 34．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，点C在线段AB上，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED． （1）尺规作图：过点C作射线CF平分∠DCE交DE于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在第（1）问已作出射线CF的条件下，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）以为圆心，以任意长为半径画弧交、于两点 分别以为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接，交于点，如下图： （2） 【分析】 （1）根据尺规作图的方法，作的角平分线即可； （2）通过三角形全等，得到，即为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：（1） 略 （2）∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴为等腰三角形 由（1）得平分 ∴． 【点睛】 此题考查了尺规作图（作角平分线），全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质． 35．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】 略 36．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查等腰三角形三线合一的性质．熟悉等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高以及顶角平分线重合，是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一的性质，过点作于点，即等腰和等腰的高，证明，，继而证明． 【详解】 证明：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；     （2）6      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的底角的度数为　　　　　　　　　　　 【答案】或 【分析】 本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．由于的角可能是顶角或底角，需分情况讨论． 【详解】 解：若是底角，则底角为； 若是顶角，则根据三角形内角和定理，底角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 39．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）已知，如图在中，，点、在上，且，求证：． 【答案】证明：过A点作，交于点D，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】 过A点作，交于点D，则由等腰三角形的性质可得，，利用线段的和差可得出结论． 【详解】 略 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，过顶点作底边上的高得到垂足是底边的中点是解题的关键． 40．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】已知：如图，是中边的中线，． 求证：是直角三角形． 证明：∵是中边的中线， ∴． ∵， ∴． ∴．． ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴． 即是直角三角形． 【分析】 本题考查了等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据是中边的中线，．得，再结合等边对等角，得，，根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】 略 41．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是　　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况：若角为顶角或角为底角，即可求解． 【详解】 解：若角为顶角，此时它的顶角是； 若角为底角，此时它的顶角是； 综上所述，它的顶角是或． 故答案为：或 42．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）等腰三角形的一个角是50°，那么它的另外两个角分别为　　　　　　　　　　． 【答案】，或，． 【分析】 分两种情况：当顶角为时，当底角为时，根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】 解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴当顶角为时，两个底角都为， 当底角为时，另一底角为，顶角为， 故答案为：，或，． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记等腰三角形两个底角相等的性质是解题的关键． 43．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】（1）30海里     （2） 有触礁的危险，理由如下： 过C作交AB的延长线于点D， ，， ， ∵， 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．      【分析】 （1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得； （2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知条件可得：，，， ， ， ， B处到灯塔C的距离为30海里； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键． 44．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得两个底角相等，再结合三角形内角和定理，列方程求解即可． 【详解】 解：设等腰三角形的一个底角为，则另一个底角也为， 由三角形内角和定理得：，即 ， 解得 故答案为：． 45．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴；     （2）      【分析】 （1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 46．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点． （1）若的周长为12，求的长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）5；     （2）．      【分析】 本题主要考查线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．线段、角的等量代换在做题中起到非常重要的作用． （1）由是的垂直平分线得到，所以的周长，而，由此即可求出长； （2）由可以得到，而，利用三角形的内角和即可求出∠，又由可以推出，而，由此即可求出． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）（多选）如图，已知：△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，求∠BAC的度数． 【答案】∠BAC=108°． 【分析】 由AB=AC，DC=CA，得到AB=AC=CD，且AD=BD，利用等边对等角得到∠B=∠C=∠BAD，∠DAC=∠ADC，设∠B=∠C=∠BAD=x°，由外角性质得到∠ADC=∠DAC=∠B +∠BAD=2x°，在三角形ABC中，利用三角形的内角和定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出∠DAC与∠ADC的度数，由∠BAD+∠DAC即可求出∠BAC的度数． 【详解】 解：∵AB=AC=DC，AD=BD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠DAC=∠ADC， 设∠B=∠C=∠BAD=x°，则∠ADC=∠DAC=∠B+∠BAD=2x°， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°，即x+x+2x+x=180， 解得x=36， ∴∠B=∠C=∠BAC=36°， ∴∠DAC=∠ADC=72°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=72°+36°=108°． 【点睛】 此题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，利用了方程的思想，等边对等角是解题关键． 48．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； （3）在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：， ， ，，， ， ， ；     （2） 证明：， ， ， 设，则， ， ， ；     （3） 解：① 如图所示 ②． 在上取点，使， 平分， ， ， ， ，， ，， ， ， ．      【分析】 （1）根据，得出，根据，，，得出，从而得，即可证明； （2）根据，得出，设，则，则，根据三角形内角和定理求出，即可得； （3）① 根据尺规作图方法作图即可． ② 在上取点，使，根据作图得出，证明，得出，，再证明，即可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 该题考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 49．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，D是上一点，，则　　　　　　　　°． 【答案】25 【分析】 设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可． 【详解】 解：∵AC＝AD＝DB， ∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C， 设∠ADC＝α， ∴∠B＝∠BAD＝ ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠DAC＝105°﹣， 在△ADC中， ∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°， ∴2α+105°﹣＝180°， 解得：α＝50°， ∴∠B＝∠BAD＝＝25°， 故答案为：25． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 50．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，，为延长线上一点，于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形；     （2） 证明：过作于， ， ， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ， ， ．      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用等腰三角形的三线合一进行证明是解本题的关键． （1）证明，可得，再证明，即可得结论； （2）过作于，证明，可得，则，即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质进行作答． 【详解】 解：∵平分， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， 又 ∵， ， ， ， 的周长 ， ， 的周长， 平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴的周长， ∴与的周长差． 故答案为：4． 52．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在中，，，E是边上的一个动点，D是的中点，连接，，当的周长最小时，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了轴对称的性质，三角形内角和，等边对等角． 作D关于的对称点，连接，，则，，，可知的周长，则最小时的周长最小，此时在一条直线上，即构成，根据等边对等角得到，即，根据三角形内角和得到，即可得到． 【详解】 解：如图，作D关于的对称点，连接，， 由对称性可知，，， ∴的周长， ∵D是的中点， ∴是定值， ∴最小时的周长最小， 此时在一条直线上， 即构成， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 53．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图，这是一款风筝骨架的示意图，其中，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴（）， ∴；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边对等角． （1）根据证明，即可得到； （2）根据得到，根据等边对等角得到，根据三角形内角和求出，进而可知． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 54．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，是线段的中点，． （1）求证：； （2）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）分别连接，，求证垂直平分． 【答案】（1） 证明：∵是线段的中点， ∴， ∵ ， ∴．     （2） ， 证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴．     （3） 证明：设，的交点为M， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分．      【分析】 （1）利用证明即可； （2）根据得到；结合，得到，利用线段之差解答即可； （3）设，的交点为M，证明，利用等腰三角形的三线合一性质证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 55．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 在和中， ； （2）① 证明：由（1）， ∴，BD， ， ， ∵， ； 5 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）① 由，可得，BD，结合，可得，最后根据，可得结论；② 在上截取，连接，先证明，可得，再证明，从而得到，那么有． 【详解】 （1） 略 （2）① 略 如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ． ． 56．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了线段垂直平分线上的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长即可； （2）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． (1) 小问详解： 解： 分别垂直平分和， ， ， 的周长为， ， ， 即的长为； (2) 小问详解： 解：在中，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 57．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）；小     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：① 当时，② 当时，③ 当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． (1) 小问详解： 解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； (2) 小问详解： 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； (3) 小问详解： 解：当为或时，是等腰三角形， ① 当时， ， ； ② 当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③ 当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 58．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图， 在 中，， ，为延长线上一点，点在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，  ∴.  在  和中， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，证明是解此题的关键． （1）利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的判定与性质得出，求出的度数，最后根据计算即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ∴，  ∵， ∴是等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴． 59．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）已知等腰的两边长分别为和7，则等腰的周长是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 根据等腰三角形的性质，需分类讨论哪一边为腰，并利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断是否构成三角形． 【详解】 解：因为等腰三角形的两边分别为和7，所以有两种情况： 当腰为时，底为7，三边分别为、、7， 此时， ∵， ∴， ∴不满足三角形三边关系，故不成立； 当腰为7时，底为，三边分别为7、7、， 此时，， 满足三角形三边关系，故周长为， 故答案为：． 60．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的运用和等边对等角，理解作图的意义是解决本题的关键． 由图可知，分别是的垂直平分线，则，最后通过角的转换即可求解． 【详解】 解：由作图可知，分别是的垂直平分线， ∴， ∴ ． 故答案为：． 61．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）根据以下操作，探索完成任务． 探索生活中的全等三角形 素材背景 的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”，小英同学从风筝中抽象出“筝型”支架，完成了如下操作． 操作一 如图1，已知四边形，，，沿所在直线对折，经过观察发现左右两侧对折后能完全重合，可以得到． 操作二 对折后，小英将图1中的风筝纸片沿剪成两个三角形和，且，并将剪成的两个三角形摆放成了如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点，与相交于点． 操作三 根据以上操作，小英同学又有了新的想法，她又将剪成的两个三角形和，摆放成了如图3所示的图形，且点，，，在同一条直线上． 问题解决 任务一 （1）根据操作二，当，，时，求证：． 任务二 （2）根据操作三，连接，交于点，求证：． 【答案】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ∴ ∴，， ∵在中，， ∴ ∴ （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵， ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，证明，是解题的关键． （1）证明，得到，，再证明，得到，，最后根据在中，，即可得到结论； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得到结论． 【详解】 （1）略 （2）略 62．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，平分，点，分别在边，上，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形；     （2）7.5      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，然后根据等角对等边即可得证； （2）证明，得出，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ∴， ∵． ∴ ∴， ， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴． 63．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，点，分别是边和延长线上的点，平分． （1）尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求证：． 【答案】（1） 解：如图所示，直线即为所求；      （2） 解：∵， ∴， ∴ ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查平行线的作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定，作的内错角，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到，推出，再由角平分线的定义得到，最后利用平行线的性质即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 64．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，点为上一点，，，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】$度 【分析】 本题考查了等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，是解题的关键． 根据可得，得，根据，得，即得． 【详解】 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 65．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，在中，，，平分，若，则的长度为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由直角三角形的性质可得，，进而由角平分线的定义得，即得，，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 66．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，平分交于点，点、分别是线段，上的动点，则的最小值是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了轴对称-最短路线的问题、角平分线的性质以及含30度直角三角形的性质等知识点，作C点关于的对称点，过作交于点E，交于点F，的最小值的长． 【详解】 解：平分， 作C点关于的对称点，点在上， 如图：过作交于点E，交于F， ∴， ∴的最小值的长， C点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 67．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图： ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形；     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到，再根据平行线得到，，则，即可证明； （2）根据三合一得到，结合三角形内角和定理以及等边对等角即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：如上图：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， 由（1）可知， ∴． 68．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 69．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】 解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 70．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质，是解题关键： （1）根据中垂线的性质，结合等边对等角即可得出结果； （2）根据等边对等角，三角形的外角，推出，再根据三角形的周长公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解：∵垂直平分， ∴， ∴； (2) 小问详解： ∵， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长． 71．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 由（1）可知：， ∴， ∴． 72．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理求出，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，则是的垂直平分线，连接，则，根据等边对等角求出，进而求出，根据等角对等边得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又点为中点， ∴， ∴是的垂直平分线， 连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故答案为：6． 73．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，，于点，且，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的证明及基本性质，能够正确作出辅助线是解题关键； 在上截取，连接，可证得，再通过全等三角形性质以及线段的和差关系得到，进而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】 解：如图，在上截取，连接， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 74．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，点D在上，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理．根据等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角的性质、三角形内角和为180，用表示出，再根据求出即可． 【详解】 解：， ， ． ， ， ． ， ， ， ． 75．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图， 是 的外角． （1）请过点A作射线 （点D在点A的右侧）；过点A作BC的垂线，垂足为 M；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若平分 求证：． 【答案】（1） 解：如图所示即可；      （2） 解：∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴．      【分析】 本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角和垂线，角平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此题的关键是熟练掌握尺规作图作已知角； （1）根据尺规作图作一个角等于已知角的步骤和作垂线的步骤作出图形即可； （2）先根据角平分线的定义得到角相等，再根据平行线的性质得到角相等，进而得到等腰三角形即可得到答案； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 76．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． (1) 小问详解： 解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 77．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在长方形中，，E，F分别是，上的一点，且，连接，． （1）如图①，若，，且，当时，则          ；（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的条件下，若F是的中点，求长方形的面积与四边形面积的比值； （3）如图②，若，当时，求的面积． 【答案】（1）     （2）     （3）8      【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含直角三角形性质； （1）由即可求解； （2）先由得出，然后分别表示出长方形的面积与四边形面积，求出比值即可； （3）延长至点H，使，过点E作于点M，先证，得到，再由等腰三角形的性质得，即，由含直角三角形性质得，利用即可求解. (1) 小问详解： 解：∵四边形为长方形， ∴，，， ∴. (2) 小问详解： 解：∵F是的中点， ∴， ∵， ∴即， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴长方形的面积与四边形面积的比值为. (3) 小问详解： 解：延长至点H，使，过点E作于点M，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴. 78．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，点，点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了通过图形求点的坐标，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 过点作轴于点，则，根据等腰直角三角形的性质得出直角和相等边，然后证明，得出相等的线段，即可求出点的坐标． 【详解】 解：如图，过点作轴于点，则， 由点和点得，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 79．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． （1）判断的形状并证明； （2）若，求的度数； （3）若，求的值． 【答案】（1） 解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ，， ． ． 是等腰三角形．     （2）     （3）8      【分析】 本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质． （1）通过角平分线定义、外角定义，得出，可得是等腰三角形； （2）在上取，连接，先证，则，．通过角度关系得出，可求的度数； （3）在上取，连接，在上取，连接．由，可证，，由角得，可得出的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：在上取，连接，设 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ，． 即． ． 由（1）知，． (3) 小问详解： 解：在上取，连接，在上取，连接． 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． 在和中 ． ， ， ． ． ， ． ，， ． ． 由（1）知． ． ． ， ． 【点睛】 本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，正确转换角度关系是解题的关键． 80．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）【理解定义】 如图1，在和中，，，点，在底的异侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做对合等腰三角形．在对合等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小强通过测量、折纸的方法猜想对合等腰三角形有以下性质：对合等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小强利用图1给出已知、求证，请帮助小强完成证明． （1）已知：如图1，和是对合等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，平分，点为的延长线上一点，分别连接，，且．求证：和是对合等腰三角形． 【拓展应用】 （3）和是对合等腰三角形，过点作交直线于点，已知，，请直接写出BD的长． 【答案】（1）证明：，， ，， ， ， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线； （2）如下图所示，过点作，， ， 平分， ，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形， 是等腰三角形，且点、在的异侧， 和是对合等腰三角形； （3）或． 【分析】 根据等边对等角可证，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证直线是线段的垂直平分线； 过点作，，可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 根据和是对合等腰三角形，可证，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得，分情况求出的长度即可． 【详解】 略 略 解：如下图所示， 和是对合等腰三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 综上所述，或． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质． 81．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在中，，D为上一点，且，，则　　　　　　　 度． 【答案】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．等腰三角形的两条腰相等，两个底角相等．找着角的关系列出关系式正确解答本题的关键． 由已知的许多线段相等，根据等边对等角，找出图中相等的角，由，根据三角形的内角和是180°，列式求解． 【详解】 解∶ ， ． ， ． ， ， ， 解得． 故答案为∶． 82．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）在中，，点在边上，，点是平面内一点，连接，，，． （1）如图1，当点在边上时，连接． 求的度数； 求证：； （2）如图2，当点在的内部时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①； ②解：， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 在和中， ， ， ；     （2） 解：，理由如下： 如下图所示，在上截取一点，使，连接， 在和中， ， ， ， 设，则， ， 在中，，，， ， ， ， ， ．      【分析】 根据三角形内角和定理可知，根据可得：，根据即可求出结果； 根据等腰三角形的性质可得，根据等边对等角可以求出，从而可得，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 当点在的内部时，在上截取一点，使，连接，利用可证，根据全等三角形的性质可得，设，则，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边可证，根据线段的和与差可得：． (1) 小问详解： 解：在中，， ， ， ， ， ， 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形全等的判定和性质． 83．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在中，，平分． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 如图所示，射线即为所求；      （2） 证明：， 平分，平分， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题主要考查了用尺规作图作已知角的平分线、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质． 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、，分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，射线即为所求； 根据等边对等角可知，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． (1) 小问详解： 解：以点为圆心，任意长度为半径画弧，交、于点、， 分别以点、为圆心大于的长度为半径画弧， 两弧交于点，作射线交于点， 射线即为所求； (2) 小问详解： 略 84．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知中，，；点是边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点）． （1）如图1，当点与点重合时，请判断线段与的数量关系是________，位置关系是________；（直接写出答案） （2）如图2，当点不与，重合时，猜想并证明线段与的关系． 【答案】（1）相等，平行     （2） 解：猜想：，， 证明：延长交于点，        绕点逆时针旋转得到， ，，        ，，，        又，， ，， ，        ， ，        ．      【分析】 本题考查旋转的性质及平行线的判定，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）根据旋转得到，，，，结合平行线判定即可得到证明； （2）延长交于点，根据旋转得到，，，，从而得到，即可得到证明； (1) 小问详解： 解：相等，平行，理由如下， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：相等，平行； (2) 小问详解： 略 85．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？ 【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）； （2）证明：作线段的中垂线交于，于，连接，    ∵，， ∴，        在中， ∵，        . ； （3） 【分析】 （1）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （2）作线段的中垂线交于，于，连接，根据垂直平分线得到，结合三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，根据垂直平分线性质得到，结合三角形内外角关系得到，最后根据三角形三边关系即可得到答案； 【详解】 解：（1）；      （2）略 （3）延长至点，使，连接，        ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 即        ， ，        ，， ． 【点睛】 本题考查了三角形三边关系，垂直平分线的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是作出辅助线． 86．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）通过对下面图形的学习，解决下列问题： [模型建立]（1）如图1，在直线上有一点，作，且，分别过点、作、，由，得，又，可以推理得出．我们把这个模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． [模型应用]（2）如图2，在（1）得条件下，在上取点，当时，求证：． （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，，过点作且，连接，求证：． [模型拓展]（4）如图4，在中，，延长至点，使，过点作，在上找一点，连接，过点作交延长线于点，当，，时，求的面积． 【答案】[模型应用] （2）证明：由（1）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作于点 则， ∴， ， ， ， ，， ， ，， ，，， ，，， ， ， ， ， ； [模型拓展]（4）8 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： [模型应用] （2）由（1）可得，，证明是等腰直角三角形，得出，则，根据等式性质可得出，即可得证； （3）过点作于点，证明，得出，，然后证明和都是等腰直角三角形，则可得出，即可得证； [模型拓展]（4）过点作，垂足为点，证明，得出，证明，，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 [模型应用]（2）略 （3）略 [模型拓展]（4）解：过点作，垂足为点， 同理可证， 同理可证 ． 87．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，在 中， 过点A作射线，使 作点C关于直线的对称点E， 连接交射线于点 F， 连接． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1） 证明：∵点C关于直线的对称点是E ∴垂直平分 ∴     （2） 证明：如图；连接， ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴由勾股定理得： ， ∵点C关于的对称点是E ∴， ∴是等边三角形               ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴         ∴在中， ∴ ∴.      【分析】 本题考查了等腰三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题关键在于熟练掌握其相关知识点； （1）根据对称垂直定义即可求证； （2）根据是等腰直角三角形，得，，在证 ，然后 ，可得在中，，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，是边上一点，于点，若，则的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【分析】 本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键．先求解，可得，从而可得答案． 【详解】 解：∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，将一个等边三角形绕其三边垂直平分线的交点旋转一定的角度后，依然与原图形重合，则这个旋转的角度可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了旋转对称图形的性质，熟练掌握等边三角形的旋转对称角的计算方法是解题的关键．先确定等边三角形三边垂直平分线的交点（即中心），再根据旋转对称图形的性质，求出最小旋转角，进而判断符合条件的旋转角度． 【详解】 解：等边三角形三边垂直平分线的交点是其中心，等边三角形的旋转角是， 所以旋转的整数倍时，图形能与原图形重合， 故选：D． 3．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是利用证明．根据题干条件：，可以判定，即可得到，又知，可得答案． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的定义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】 解：是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】 解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 6．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，等边中，，点D是高上一点，过点D作，分别交于点E，F，连接，当时，（     ） A.  B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了本题考查等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得，根据，可得，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，根据，可得，求出，设，则，求出，再求出，得到，从而得到，求解即可． 【详解】 解：∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故选：B． 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，，若，则的长度为　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，先证明是线段的垂直平分线，得，，再证明是等边三角形得，由此可得出的长． 【详解】 解：∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    （1）根据轴对称的性质易证是________． （2）直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． （3）若，求的长． 【答案】（1）等边三角形；     （2） 解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴    ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形．     （3）的长为3．      【分析】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，以及平行线的性质． （1）由折叠的性质求出，进而可证明是等边三角形； （2）由是等边三角形得，由平行线的性质得，进而可证是等边三角形； （3）由等边三角形的性质得，再证明求出，然后根据求解即可． (1) 小问详解： 解：由折叠的性质得，， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）可知，由（2）可知， ∴ ∴， ∴． ∴，即的长为3． 9．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析，     （2）5     （3）见解析      【分析】 本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． (1) 小问详解： 解：即为所作： 则； (2) 小问详解： 解：的面积：； (3) 小问详解： 解：作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为点． 10．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图所示，某海监船在海域处巡逻，观测到岛礁在北偏东方向，该船以每小时10nmile的速度向正东方向航行到处，观测岛礁在北偏东方向，处恰与岛礁相距20nmile，继续以相同的速度向正东方向航行到处时，再观测到岛礁在北偏西方向，请你分别确定该海监船从处到达处和处所用的时间分别为多少？ 【答案】船从处到达处所用的时间为2h，船从处到达处所用的时间为4h 【分析】 根据题意推出，推出 ，然后根据船航行的速度，即可推出从点到点用了多长时间，即可推出到达点的具体时间，根据点观测海岛在北偏西方向，即可推出为等边三角形，即 ，即可推出点到达点船所用的时间，即可推出船到达点的时间． 【详解】 解：∵在处观测海岛在北偏东方向， ∴， ∵点观测海岛在北偏东方向， ∴， ∴， ∴ ∵点观测海岛在北偏西方向， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∵船以每小时10 的速度从点航行到处，又以同样的速度继续航行到处， ∴船从点到达点所用的时间为：（小时），船从点到达点所用的时间为：（小时），船从点到达点所用的时间为：（小时）． 【点睛】 本题主要考查等边三角形的判定与性质、外角的性质、余角的性质等知识点，关键在于通过求相关角的度数，推出相关边的关系，熟练运用航程、时间、速度的关系式，认真地进行计算． 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形的性质，由是等边三角形得，由得，可得，可得，从而可求出． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 12．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；     （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴．      【分析】 此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，是等边三角形的高线，，则　　　　　　． 【答案】度 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，先根据等边三角形的性质得，又是等边三角形的高线，则，再通过等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的高线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：G为中点； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分， 又∵， ∴， 即G为的中点；     （2）      【分析】 本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）与交于点M，由（1）可得，然后可得，进而问题可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，与交于点M， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 15．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，在边长为单位1的正方形网格中有． （1）在图中画出关于直线成轴对称的图形； （2）在直线上有一点P使得的值最小，请在图中标出点P的位置； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求作；     （2） 如图，点P即为所求作；      （3）      【分析】 本题考查作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法求面积即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：的面积． 16．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一点，且OP＝4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN，则△PMN的周长为　　　　　　　　． 【答案】4cm 【分析】 如图，连接OC、OD，先根据轴对称的性质得出OC=OD=OP，∠COD=2∠AOB=60°，进一步即可判定△OCD是等边三角形，从而可得CD=OC，而易证CD的长就是△PMN的周长，于是问题得解. 【详解】 解：如图，连接OC、OD，∵C、D分别是点P关于OA、OB的对称点， ∴PM=CM、PN=DN，OC=OD=OP，∠AOP=∠AOC，∠BOP=∠BOD， ∵∠AOB=30°， ∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOD+∠BOP=2∠AOB=2×30°=60°， ∴△OCD是等边三角形， ∵OP=4cm， ∴CD=OC=4cm， ∴△PMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+ND=CD=4cm． 故答案为4cm． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，连接OC、OD，根据轴对称的性质证得△OCD是等边三角形是解题的关键. 17．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；     （2）．      【分析】 本题考查了等边三角形、全等三角形的性质和判定，关键是灵活运用知识点进行论证求解； （1）根据三个角都是的三角形是等边三角形进行论证即可； （2）利用全等可得平分，进而可得，从而得到． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图， 已知等边三角形， 作， 点D是延长线上一点， 点E 到点 B，D的距离相等， 且， 则的度数是　　　　　　　　　　　． 【答案】度 【分析】 此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练利用相关性质计算角度是解本题的关键． 根据是等边三角形求得，即可得到，再利用等腰三角形的性质可得，利用角度的计算即可解答． 【详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ， ， 点E 到点 B，D的距离相等， ， ， ， ． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当　　　　　　　　　　　　　　　s时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】 解：① 当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ② 当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 故答案为：或． 20．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 证明，则，得到，则，求出，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵以为边向右侧作等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴， 当时，， ∴， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或 【点睛】 此题考查了全等三角形的判定和性质、多边形内角和、等边对等角、等边三角形的性质等知识，证明是解题的关键． 21．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，，，则的长是　　　　　　　　． 【答案】15 【分析】 此题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质．先求出，再根据含角的直角三角形的性质得到，，则，即可得到答案． 【详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵于点，于点， ∴都是直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：15 22．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：； 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【答案】（1）证明：∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得结论． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　     　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长． 【答案】（1）； （2）证明：如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME， ∵DE=DM+ME， ∴DE=AD+CD； （3） 【分析】 （1）利用等腰三角形的性质先求解，再求∠ABD的大小，证明AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，求解，再根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可得到答案； （2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM，证明△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根据BD=CD，即可求得ME=CD，于是证得结论； （3）如图2延长EF与BA延长线交于H，证明，再证明：Rt△ANE≌Rt△APB，可得：，再证明BF是△BEN的中线，从而可得答案． 【详解】 解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=， ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； 故答案为： （2）略 （3）延长EF交BA的延长线于点N， 由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形， ， EF⊥BP， ∴∠ABF=∠NEA， 又AB=AE， ∴Rt△ANE≌Rt△APB（ASA）， ∴BP=EN， ∵BF既是△BEN的角平分线又是高， ∴BF是△BEN的中线， 即： 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线构建三角形的全等是解题的关键． 24．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，过点作，与交于点． （1）求证：是等边三角形． （2）当为的中点时，；当不是的中点时，与还相等吗？请说明理由． 【答案】（1） 解：在等边三角形中，， ， ∵在等边中， ∴是等边三角形；     （2） 解：与相等．理由如下： 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， ， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定和性质进行求解即可； （2）证明，得出答案即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图：是等边三角形，点、分别在、的延长线上，，的延长线交于． （1）求证：； （2）求度数． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）      【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据等边三角形的性质和补角的知识，结合已知条件可得到；然后在和中，利用得到两个三角形全等，结合全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得到，根据可得到，再结合即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴． 26．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，，垂足为．若，，则的面积是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，根据等边三角形的性质得，，，则，进而得，在中，根据得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】 解：∵是等边三角形，， ∴，， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的面积是：． 故答案为：． 27．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）在中，，是AC右侧的线段，且，如图，的平分线AE与BD交于点E，与交于点F． （1）证明：； （2）若，则线段，，之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由． 【答案】（1） 证明：∵平分， ， 又，， ， ， 又，， ， ， ， 又， ；     （2） ．理由如下： 在BE上截取，如图所示： ，， ∴为等边三角形， ， 又， ∴为等边三角形， ，， 又， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）证明，得出，证明，得出，证明，根据，结合三角形内角和定理，即可证明结论； （2）在BE上截取，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 28．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴；     （2）8      【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 29．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． （1）求证：； （2）延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．     （2），5      【分析】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得； （2）① 由，得，结合，求解即可；② 过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，得到，即可得出结果； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ② 如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 30．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，已知等边三角形，点是边延长线上一点，连接，作 且，求证：是等边三角形． 【答案】证明：是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， 是等边三角形． 【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是等边三角形可得，，推出，证明，得到，，求出，即可得证． 【详解】 略 31．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　　　　　． 【答案】等边三角形． 【分析】根据已知条件得出OA=OC=AC，根据等边三角形的判定得出即可． 【详解】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点， ∴OA＝OC， ∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C， ∴AC＝AO， ∴OC＝AC＝OA， ∴△AOC的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 32．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，点是等边三角形边上一点，于点，于点，若，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】４ 【分析】 本题考查了等边三角形和含30度的直角三角形．熟练掌握等边三角形和含30度的直角三角形的性质，是解题的关键． 由已知条件可得，，则，得，得，即得． 【详解】 解：∵，， ∴． ∵等边三角形中，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：4 33．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）（多选）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE. （1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小； （3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明. 【答案】（1）∠DBC； （2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°； （3）解：AE，BD，CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE. 证明：如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE， ∵∠BEC=∠BDC+∠DCE=， ∴△CME是等边三角形，∴∠MCE=60°，ME=CE， ∴， ∴∠BCM=∠DCE，又∵BC=DC，CM=CE， ∴△BCM≌△DCE（SAS），∴BM=DE， ∵AE=DE， ∴BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE. 【分析】 （1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=，由△ABC是等边三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=，BC=DC，然后利用三角形的内角和定理即可求出结果； （2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断； （3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出∠BEC，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系. 【详解】 解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=， ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°， ∴∠BCD=，BC=DC， ∴∠DBC=∠BDC； （2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°. 理由：设AC、BD相交于点H，如图2，∵点A关于射线CP的对称点为点D， ∴AC=DC，AE=DE，又∵CE=CE，∴△ACE≌△DCE（SSS），∴∠CAE=∠CDE， ∵∠DBC=∠BDC，∴∠DBC=∠CAE，又∵∠BHC=∠AHE，∴∠AEB=∠BCA=60°， 即∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°； （3）略 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键. 34．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是　　　　　　　　． 【答案】6或8或9 【分析】 本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】 解：过点D作交于点E， ① 当时，如图（1）， ∵是等边三角形，， ∴，，即是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ② 当时，如图（2） 同理可得，， ∴，即， ∴， ∴． ③ 当时，如图（3） 同理可证， ∴ ∴． ∴． ④ 当时，如图（4） 同理可证， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长是6或8或9． 故答案为：6或8或9． 35．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）（1）在中，点D，E，F分别在边上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值． 【答案】（1）①证明：∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴ ②的长为6；（2） 【分析】 （1）①由等边三角形的性质得出，再由三角形外角的定义得出，即可证得，由全等三角形的性质即可得出． ②在取点G，使得，连接．同（1）得，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形性质得出，由三角形外角的定义和性质可得出，由等角对等边可得出，设 则，，．由含30度直角三角形的性质得出，代入即可求出x． （2）延长至点E，连接，使得，延长，交于点F，连接．先证明和为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由全等三角形的性质可得出，，同理可证，，则，，设，，，，则，，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】 证明：（1）① 略 ②解：在取点G，使得，连接． 同（1）得， ∴，， ∵，且． ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． （2）延长至点E，连接，使得，延长，与交于点F，连接，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， 同理可证∶，， ∴，， ∵， 设，，， 则，，， ∵，，， ∴， ∴，， 即 ， 解得： ， ∴． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键 36．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）【问题提出】 如图，和是等腰直角三角形，其中，，．连接，你有什么发现？ 【方法启迪】 这两个三角形有着公共的顶点，而且两个三角形都是等腰直角三角形，虽然两个三角形的位置发生了变化，但始终存在着一对全等三角形，即≌． （1）如图①，当点在上时，和的数量关系是　　　　　　　　； 【综合应用】 （2）如图②，当点在上时，过点作垂足为点，求证：； （3）如图③，是等边三角形，点是的外部一点，且，连接，若，，求的长． 【答案】（1）相等     （2） 证明：∵和是等腰三角形， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；      （3）      【分析】 （1）由全等即可得到结论； （2）由全等可得，再由三角形内角和可得，进而可以论证结论； （3）通过构造等边三角形，可得全等三角形，进而将线段进行转换得到，即可求得答案． (1) 小问详解： 解：∵≌ ∴ 故答案为：相等； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，关键是论证三角形全等； 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论正确的有　　　　　　　　． ①；②；③；④；⑤． 【答案】① ② ③ ④ 【分析】 由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，可判断① ；由等边三角形的性质和三角形的外角性质可判断② ；根据∠AFE=60°可判断③ ；由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，可判断④ ；根据∠DAC的度数的范围可得∠DAC≠45°，可判断⑤ ． 【详解】 解：① ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC， 又∵AE=BD， 在△AEC与△BDA中， ， ∴△AEC≌△BDA（SAS）， ∴AD=CE，故正确； ② ∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，△AEC≌△BDA， ∠AFE= ∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°， ∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°， ∴∠BEC=∠CDA，故正确； ③ ∵∠AFE=60°， ∴∠AFC=120°，故正确； ④ ∵∠AFE =60°， ∴∠CFM=∠AFE=60°， ∵CM⊥AD， ∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°， ∴MF=CF，故正确； ⑤ 要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可， ∴AM=CM不成立，故错误； 故答案为：① ② ③ ④ ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 38．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点B关于射线的对称点为点D，连接，则交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）当，______； （3）当时，用等式表示之间的数量关系，并证明； （4）若为等腰三角形，直接写出的度数______． 【答案】（1） 解：如图所示：      （2）40     （3） 解：，证明如下： 在上截取，如图： ∵是等边三角形， ∴， 由对称可知：，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对称可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；     （4）或      【分析】 （1）根据要求画出图形即可； （2）根据轴对称的性质得出，，求出 ，根据等腰三角形的性质得出结果即可； （3）在上截取，则是等边三角形，证明，推出，根据，即可得出； （4）① 当时，② 当时，③ 当时，根据等边三角形的性质，和线段垂直平分线的性质即可得到结论． (1) 小问详解： 解：过点作的垂线，交于点，截取，则点是点关于射线的对称点，连接、，则交直线于点E； (2) 小问详解： 解：∵为等边三角形， ∴，， 根据轴对称可知：，， ∴， ∴； (3) 小问详解： 略 (4) 小问详解： 解：① 当时，如图： 根据轴对称可知：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当时，延长交于点E，如图所示： ， ∴垂直平分，即垂直平分， ∵为等边三角形， ∴， ， 根据轴对称可知：； ③ 当时，如图： ， ∴垂直平分， 根据轴对称可知，垂直平分， ∴，，三点在同一条直线上， (不合题意，舍去)， 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 39．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）（多选）本学期，我们利用“构造轴对称图形——等边三角形”证明了定理： 定理   在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明过程如下： 已知：如图（1），△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：． 证朋：如图（2），延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，∵，，∴，．∵AC＝AC，∴．∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）．∴． （1）【知识运用】如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AB＝4，则BC＝______； （2）【类比证明】如图（3），请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝2BC，则∠A＝30°； （3）【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题． 如图（4），等边△ABC中，延长BA，BC，使AD＝BE，连接DC，DE．求证：DC＝DE． 【答案】（1）2     （2） 证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD， ∵， ∴ ∵AC＝AC，BC=DC， ∴．    ∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）， 又∵AB=2BC=BD， ∴AB=AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠BAD=60°， 又∵AC⊥BD， ∴；      （3） 证明：如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，BC=BA， 又∵BD=BM， ∴△BDM是等边三角形， ∴∠B=∠M=60°，BD=MD， ∵BD=BM，AD=BE， ∴AB=ME=BC， ∴△DCB≌△DEM（SAS）， ∴DC=DE． 【分析】 （1）根据题目所证明的结论即可得到答案； （2）如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，证明．推出AB＝AD 进而证明△ABD是等边三角形，由此即可证明结论； （3）如图所示，延长BE到M使得BM=BD，连接DM，证明△BDM是等边三角形，得到∠B=∠M=60°，BD=MD，再证明AB=ME=BC，即可证明△DCB≌△DEM得到DC=DE． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 故答案为：2； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键． 40．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）在等边三角形中，，点在射线上运动． （1）如图1，当点是的三等分点时，过点作交于点，则________； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，以点为圆心，为半径作弧，交于点，请你探究线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点是中点，点，分别在，上，且，当和周长之和最小时，直接写出的长． 【答案】（1）8     （2） 解：，证明如下： 如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴．     （3）3      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键． （1）先求出，再证出是等边三角形，则可得，然后根据线段的和差求解即可得； （2）过点作，交于点，先证出是等边三角形，则可得，根据线段和差可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，最后根据和等量代换即可得证； （3）过点作，交于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的周长公式可得和周长之和为，根据垂线段最短可得当时，的长最小，利用含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． (1) 小问详解： 解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，点是中点，， ∴，，， ∵， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴由三角形的外角性质可知，点在线段上， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴和周长之和为 ， ∴当的长最小时，和周长之和最小， 由垂线段最短可知，当时，的长最小， 此时在中，，则， 即当和周长之和最小时，的长为3． 41．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】 （1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 42．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 （1）如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； （2）如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 【答案】（1）周长的最小值为     （2）的最小值为7      【分析】 本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． （1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可； （2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解． (1) 小问详解： 解：如图，连接，， ，为边中点， ，， ， ， ． 是的垂直平分线， ． ， 当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4． 为中点， ． ． 周长的最小值为； (2) 小问详解： 解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小． 是等边三角形，是边上的高， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 是等边三角形，边长为10， ． ， ， ， ， ． 又， ， ． 是等边三角形， ， ∴是等边三角形． ， 的最小值为7． 43．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查轴对称一最短路径，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意，作点E关于的对称点，连接，当点，P，F三点共线，时，的值最小，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ， ， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 44．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， ， ， ， ， ；     （2） 证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ；      （3） 是等边三角形，证明如下： 证明：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形．      【分析】 （1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 45．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）已知等边三角形，点是直线上一点，连接， ，且，连接交直线于点 ． （1）如图，当点在的延长线上时，过点作，交于点， ①求证： ； ②试确定线段的数量关系___________； （2）如图，当点在的延长线上时，（）中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出结论并证明． 【答案】（1） ① 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②     （2） 解：（）中② 的结论变化，新结论为：． 证明：过点作，交的延长线于， ∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （）① 由等边三角形的性质得，进而可得，再利用平行线的性质可得，进而由“”即可求证；② 由全等三角形及等边三角形的性质可证，即可证明，得到，进而由即可求证； （）过点作，交的延长线于，同理（）① 可证，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． (1) 小问详解： ① 略 ② ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 46．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，，为延长线上一点，，都为等腰三角形，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，，点是边上动点，以为中心，将逆时针旋转得到线段，连接； ①当，，三点共线，且时，连接，判断的形状并证明． ②如图3，，当取最小值时，直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：如图1，设，， 则， ， ，， ， ， ．     （2）①是等腰直角三角形，证明如下： 如图2，过点作， ， ，，由（1）知， ，，， 根据旋转可得， ， ， 又， ， ， ∵， ， ， ，， 是等边三角形， ∴， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ∴， 是等腰直角三角形． ②      【分析】 （1）如图1，设，，则，根据，得出，，从而得，根据四边形内角和定理求出，即可证明． （2）① 如图2，过点作，则，根据，，得出，，，结合，得出，则，证明，得出，证明是等边三角形，根据，，，得出垂直平分，则，从而得，，则，即可证明是等腰直角三角形． ② 如图3，由① 可知，点在的垂直平分线上运动，且点与点关于直线对称，，所以当，，三点共线时，最小值，因为，，可得，则，由是等边三角形，得到，可求，则，故，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 略 ②． 理由如下： 如图3，由① 可知，， ∴点在的垂直平分线上，且点与点关于直线对称， ∴点共线，， ∴当，，三点共线时，，为最小值，如图4： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 【点睛】 该题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，四边形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 47．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）都是等边三角形．    （1）如图，求证：； （2）如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：如图中， ∵都是等边三角形 ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴；     （2） ① 证明：如图中，延长到，使得，连接，     ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同法可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ② 结论：． 证明：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴．      【分析】 本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）证明，可得结论； （2）① 如图中，延长到，使得，连接．证明，推出，，，再证明，可得结论； ② 根据得到，设，根据列出方程，求出，可得结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 略 ② 略 48．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）（1）如图1，在中，为锐角，以，为边作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，交于点，连接．求证：①；②． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把转换为），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有，两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线，先在河岸上找一点建引水站，再在图中阴影区域找一点建分水站，从而把河水引到，两村．请在图中找到，的位置，使全程管道部分用料最少． 请你在先图2中找到点和点的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 【答案】（1）① 证明：和都是等边三角形， ，，，        ， 即， 在和中， ， ，        ；    ② 证明：在上取点，使得， ， ， 即， 为等边三角形， ，，    是等边三角形， ，， ， 即，      ， ， ； （2）点和点的位置如图所示： 说明如下： 以为边作等边， 在上任取一点，连接，以为边作等边， 连接，，交点为，由上题的经验， 可得， 所以， 而点在上， 所以当时，根据垂线段最短，可得最短距离， 所以过作于，点即为所求， 连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【分析】 本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）① 根据证明，再根据全等三角形的性质可得结论； ② 在上取点，使得，证明为等边三角形，得，，再由证明，得，进而可得结论； （2）以为边作等边，根据垂线段最短，可得最短距离，所以过作于，点即为所求，连接，以为边作等边，连接交于点，点即为所求． 【详解】 解：（1）① 略 ② 略 （2）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称 5大高频考点概览 考点01 轴对称及其性质 考点02 线段的垂直平分线 考点03 画轴对称的图形 考点04 等腰三角形 考点05 等边三角形 考点01 轴对称及其性质 1．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）我们生活在一个充满对称的世界中．许多建筑、艺术作品、动植物、中国的方块字中也具有对称性，对称给我们带来美的感受！这是生活之美，也是数学之美！下列运动项目的图标，属于轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）中国传统文化中蕴含着丰富的轴对称美学，下列具有轴对称图形特征的图案是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）下列图形中，属于轴对称图形的是（   ） A. 直角三角形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 梯形 5．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）下列四个图案中，是轴对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）2025年9月3日在北京天安门广场举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式尽显大国威仪．这盛大的活动背后是国富民强的生动写照．“国富民强”这四个汉字中，从数学角度可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）汉字是博大精深的文化传承，也是美轮美奂的象形文字．作为中国人，我们感到无比自豪和光荣．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）下列图案中，是轴对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）下列数字图案是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）下列交通标志对应的图形中，属于轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）下列四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）下列道路交通安全标志牌中，是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）下列几何图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）下列说法错误的是（    ） A. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B. 轴对称图形至少有一条对称轴 C. 全等三角形一定能关于某条直线对称 D. 角是关于它的平分线对称的图形 22．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，，点是内部一点，点分别是点关于直线的对称点，给出下面三个结论： ①；②；③上述结论中正确结论的序号是（     ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 24．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）在四边形纸片中，将纸片沿折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，与关于直线l对称，连接交对称轴l于点M，若，，则下列说法不正确的是（     ） A. 三角形与三角形的周长相等 B. 且 C. 连接，，则，，三条线段不仅平行而且相等 D.  26．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，将一个含角的直角三角板绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在所在的直线上，则三角板旋转的度数是　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为　　　　． 29．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在直线上的点　　　　　． 30．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，在中，，，，沿过点及边上点的直线折叠，使点 落在边上的点处，则的周长为　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在的纸片中，，，点D在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是　　　　　　　　　　　． 考点02 线段的垂直平分线 1．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，若，的周长为，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于（       ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 3．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 19 D. 26 5．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，任意长为半径作弧，与，分别交于点，； ②分别以点，为圆心，取大于长为半径作弧，交于点； ③作射线，连接，，. 下列结论中不一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（     ） A. 全等三角形的周长相等 B. 如果，那么 C. 对顶角相等 D. 同位角相等，两直线平行 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为(       ) A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　　　　　命题．（填入“真”或“假”） 9．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，的垂直平分线交、于点E、D，，的周长为24，则　　　　　． 10．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）在《全等三角形》和《轴对称》这两章的学习中，我们探究了两个重要结论： 结论1：角平分线上的点到角两边的距离相等．如图，当平分，，时，垂足分别为D、E，则有：． 结论2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．如图，当，垂足为O，时，则有：． 请利用上述结论，解决下列问题： 如图，在中，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点． （1）试说明：； （2）若，点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数（用含的式子表示）． 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）【再现作图】如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同长度（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点． 【提出问题】 （1）在直线上取一点，连接，则这两条线段的数量关系是_______． （2）连接，当时，过点作于点，尝试探究三条线段之间的数量关系，并写出证明过程． 12．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，中，平分且平分，于E，于F． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 13．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，则的周长为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，若，且，则，　　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，在中，，，垂足为． （1）尺规作图（不用写作法，保留作图痕迹）：作，垂足为； （2）在（1）的条件下，求证：． 16．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是　　　　　命题．（填“真”或“假”） 17．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝45°，求∠AEC的度数． 18．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）（1）在中，，比大，求的度数； （2）如图，已知，点为上一点．尺规作图：作直线，（保留作图痕迹，关于直线对称，直线交直线于，交直线于．（保留作图痕迹．不写作法） 考点03 画轴对称的图形 1．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）在直角坐标系中，点关于x轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）已知点A的坐标为，点A关于x轴的对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为(     ) A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）点关于x轴对称点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）点关于轴对称的点的坐标是（ ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·期中）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）点（-3，2）关于Y轴的对称点是【          】 A. （-3，-2） B. （3，2） C. （-3，2） D. （3，-2） 10．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若与点关于轴对称，则（　） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）已知点与点关于轴对称，则的值是（   ） A.  B. 4 C. 2 D.  14．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）点关于y轴对称点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点所在的象限是（     ） A. 第二象限 B. 第四象限 C. 第一象限 D. 第三象限 17．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）点关于y轴对称的点B的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于对称轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）已知点A（2，a）关于x轴的对称点为点B（b，﹣3），则a＋b的值为（       ） A. 5 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣5 21．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为　　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）点关于轴的对称点，则　　　　　． 24．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（，3），点的坐标为（，2），点的坐标为（，1），完成下列问题： （1）画出关于轴对称的； （2）求的面积． 25．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）若点 和点关于y轴对称，则ab=　　　　　　　　． 26．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均为网格线的交点，其中点A，B，C的坐标分别为． （1）请在网格中作出； （2）请直接写出点B与点C关于哪条直线对称； （3）求的面积． 27．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）已知在平面直角坐标系中有三点，请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置，连接，则的面积是             ； （2）画出关于x轴对称的； （3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为5．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5     （2） 如图所示： 28．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知的顶点都在格点上，其中点，点在轴正半轴上，到轴距离为．点与点关于轴对称． （1）请写出点和点的坐标； （2）请画出以及关于轴对称的． 29．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）在同一直角坐标系中，一个学生误将点的横、纵坐标的次序颠倒，写为，另一个学生误将点的坐标看成关于轴对称的点的坐标，写为，则，两点原来的位置关系是关于　　　　　　轴对称．（填“”或“”） 30．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）已知在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则　　　　　　． 31．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． （1）在图中画出关于轴对称的 （2）直接写出三点的坐标：（        ），（        ），（        ）． 32．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）画出关于轴对称的图形． （2）已知为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 33．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）作出关于y轴对称的，并写出、、三点的坐标； （2）若点是内一点，则其在内的对应点的坐标是________． 34．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）若点与关于x轴对称，则代数式的值为　　　　　　． 35．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于y轴对称，则m+n的值是　　　　　． 36．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）在图中作，使和关于轴对称； （2）写出点C关于轴的对称点的坐标______； （3）点Q是轴上的一个动点，当的周长最小时，在图中画出点Q的位置，并写出点的坐标为______． 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标：______； （3）在轴上找一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 38．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）如图，在正方形网格中（图中每个正方形的边长均为1个单位长度），在平面直角坐标系中，已知． （1）画出关于x轴对称的． （2）写出点的坐标_______． （3）求的面积． （4）在轴上有一点，使的周长最小，求出此时周长的最小值． 39．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． （3）在y轴上找出点Q，使的周长最小． 40．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出点关于轴的对称点的坐标______； （3）的面积______； （4）在轴上找一点，使得周长最小，并求出周长的最小值． 41．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）写出点关于轴对称的点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在平面直角坐标系中，是否存在点，使得与全等，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 42．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）请画出△ABC关于x轴对称的 （其中分别是A，B，C的对应点，不写画法）并写出的坐标； （2）点P在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的P点有____个． 43．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，． （1）的面积______； （2）画出关于轴对称的，并直接写出点关于轴对称的点的坐标：______． 44．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的（与，与，与分别为对称点），并写出，，的坐标； （2）点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）的对称点为，直接写出的坐标． 45．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，连接、，使得周长最小． 46．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并写出点关于轴的对称点的坐标：_____； （2）点为轴上一动点，且使得周长最小，则点的坐标为_____； （3）点是直线上方第二象限内的动点，当为以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 47．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的图形； （2）请画出与关于点对称的图形． （建议：先用铅笔画图，确定无误后再用黑色水性笔画在答题卡上，确保答题卡上无涂改） 48．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）已知点． （1）若点A，B关于轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于x轴对称，求的值． 49．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）直线过点且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：_____； （3）在（2）中的直线上找一点，使得的值最大，则最大值为_____． 50．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴对称的； （2）在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法） （3）若点与点关于轴对称，求的值． 51．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，已知． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点与点关于y轴对称，直接写出__________． （3）格点是以为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为__________． 52．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上(小正方形的顶点称为格点),请解答下列问题： （1）画出关于轴对称的，并写出点为（___________，___________）； （2）求出的面积为___________； （3）在轴上存在一点使得最小，在图中画出点的位置，则点为（___________，___________）． 53．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）画出沿轴向下平移4个单位长度后得到的； （3）若线段上有一点经过上述两次变换，则对应的点的坐标是______． 54．（25-26学年八上·期中）如图，点A，B在边长为1的正方形网格中的位置如图所示． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为，并描出点； （2）连接点A，B，C，作出关于x轴对称的； （3）在y轴上找点P，使最小，最小值为______，此时点P坐标为______． 55．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点B的坐标为                 ，点C的坐标为                 ； （2）画出关于y轴对称的； （3）的面积为                 ； （4）已知点P为y轴上一点，若使得的周长最小，周长最小值为                 ． 56．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 考点04 等腰三角形 1．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠BAC＝40°，则∠BAE的度数为（　　） A. 80° B. 60° C. 65° D. 70° 2．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（　　） A.  B.  C. 平分 D.  3．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图．屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D．这就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 三角形具有稳定性 D. 等腰三角形“三线合一” 4．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）在中，，，斜边的长为4，则长为（       ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 5．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为（     ） A.  B. 或 C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，中，，，为平面上一点，连接，点为中点，连接，，，，，且，若，则的面积为（       ） A. 3 B. 2 C.  D.  7．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，中，，为边上的高，下列结论中不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，的周长为19，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 9．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，，D，E分别是边，上的点，连接，，且垂直平分．若，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在中，，，D为边上一点，连接，且，若，则的长为（     ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 12．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，在中，，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）是等腰三角形，， 则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(        )        A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）在中，，，的垂直平分线交于点D，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）已知等腰三角形有一个角是，则其顶角的度数为（       ）． A.  B.  C.  D. 或 18．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，点D在的边上，点E是点D关于的对称点，交于点F．（点G在AC右侧），且，交于点H．若，用含有α的式子表示的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，已知中，，点在上，连接，、是两点上，连接延长线交于点，当，且时，的长为（     ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.2 20．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，与相交于点，若，，则的长为（     ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 14 21．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，在中，，，延长 到点D，连接．若通过尺规作图所得直线恰好经过点 C，则的度数为（   ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  23．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，在中，分别以点和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，直线交于点，连接，以为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于，再分别以为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，在中，，E为上一点，连接，D为的中点，，若，则的大小是（     ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，若．则（       ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 26．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，中，，的角平分线相交于点P，延长至F，使，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有（　　） A. ①②④⑤ B. ①②③⑤ C. ①②③ D. ①②⑤ 27．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，，，，且．下列结论：①是等边三角形；②；③．其中正确的有（  ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 28．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在中，，是上一点，过点作交于点，交A的延长线于点，连接，若，，，则的长为（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （　　）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为（     ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 31．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图,，在中，，，，的垂直平分线分别交， 边于点，，若为边的中点，为线段 上一动点，则的周长的最小值为（        ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）在学习完等腰三角形的定义之后，同学们探索并证明了“等腰三角形的两个底角相等”这个性质，证明时需要添加辅助线，下面作辅助线的叙述中，正确的是（     ） A. 过点作的垂直平分线 B. 作的平分线，使 C. 取的中点，连接 D. 作的平分线，使之经过的中点 33．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为　　　　　　　　　　． 34．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，点C在线段AB上，AC＝BE，AD＝BC，∠ADE＝∠BED． （1）尺规作图：过点C作射线CF平分∠DCE交DE于点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在第（1）问已作出射线CF的条件下，试探索CF与DE的位置关系，并说明理由． 35．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，，．求证：． 36．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：． 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 38．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）若等腰三角形的一个角等于，则它的底角的度数为　　　　　　　　　　　 39．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）已知，如图在中，，点、在上，且，求证：． 40．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形（不要求尺规作图）后写出已知、求证并进行证明． 已知： 求证： 证明： 41．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是　　　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）等腰三角形的一个角是50°，那么它的另外两个角分别为　　　　　　　　　　． 43．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向． （1）求B处到灯塔C的距离； （2）已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 44．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是　　　　　　　　　　　． 45．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 46．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点． （1）若的周长为12，求的长． （2）若，求的度数． 47．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）（多选）如图，已知：△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，求∠BAC的度数． 48．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）已知在中，，点是边上一点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．求证：； （3）在（2）的条件下， ①尺规作图：作的平分线，与边相交于点；（要求保留作图痕迹，不用写作图过程） ②在①的基础上，探索，，之间的数量关系，并证明． 49．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，D是上一点，，则　　　　　　　　°． 50．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，，为延长线上一点，于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 51．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线交于点，交于点，点，在边上，，，则与的周长差为　　　　　　　　　　　． 52．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在中，，，E是边上的一个动点，D是的中点，连接，，当的周长最小时，则　　　　　　　　． 53．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图，这是一款风筝骨架的示意图，其中，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 54．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，是线段的中点，． （1）求证：； （2）请判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）分别连接，，求证垂直平分． 55．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，分别连接，求证：； 延伸探究： （2）如图2，和是顶角相等的等腰三角形，即，且，若，延长交线段于点． ①求证：； ②若，求的长． 56．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 57．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 58．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图， 在 中，， ，为延长线上一点，点在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 59．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）已知等腰的两边长分别为和7，则等腰的周长是　　　　　　　　　　　　． 60．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，，，，则的度数为　　　　　　　　． 61．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）根据以下操作，探索完成任务． 探索生活中的全等三角形 素材背景 的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”，小英同学从风筝中抽象出“筝型”支架，完成了如下操作． 操作一 如图1，已知四边形，，，沿所在直线对折，经过观察发现左右两侧对折后能完全重合，可以得到． 操作二 对折后，小英将图1中的风筝纸片沿剪成两个三角形和，且，并将剪成的两个三角形摆放成了如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点，与相交于点． 操作三 根据以上操作，小英同学又有了新的想法，她又将剪成的两个三角形和，摆放成了如图3所示的图形，且点，，，在同一条直线上． 问题解决 任务一 （1）根据操作二，当，，时，求证：． 任务二 （2）根据操作三，连接，交于点，求证：． 62．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，平分，点，分别在边，上，，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的长． 63．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，点，分别是边和延长线上的点，平分． （1）尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，求证：． 64．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，点为上一点，，，则的度数为　　　　　　　　． 65．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，在中，，，平分，若，则的长度为　　　　　　． 66．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，平分交于点，点、分别是线段，上的动点，则的最小值是　　　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 68．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为　　　　　　． 69．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　　　　　　． 70．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，垂足为点D，连接． （1）求的度数； （2）若，求的周长． 71．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线与底边交于点D，垂足为点E． （1）求的度数； （2）若，求的长． 72．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在等腰中，，，，，，交于点，点为中点．连接交于点，若，则　　　　　． 73．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，，于点，且，求的度数． 74．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，点D在上，，，求的度数． 75．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图， 是 的外角． （1）请过点A作射线 （点D在点A的右侧）；过点A作BC的垂线，垂足为 M；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若平分 求证：． 76．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 77．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在长方形中，，E，F分别是，上的一点，且，连接，． （1）如图①，若，，且，当时，则          ；（用含a，b的式子表示） （2）在（1）的条件下，若F是的中点，求长方形的面积与四边形面积的比值； （3）如图②，若，当时，求的面积． 78．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，点，点，以点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为　　　　　　　　． 79．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． （1）判断的形状并证明； （2）若，求的度数； （3）若，求的值． 80．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）【理解定义】 如图1，在和中，，，点，在底的异侧．我们把具有这种位置关系的两个等腰三角形叫做对合等腰三角形．在对合等腰三角形中，两个三角形中腰的夹角叫做腰角，顶角顶点的连线叫做轴线．图1中和是腰角，线段是轴线． 【探究性质】 小强通过测量、折纸的方法猜想对合等腰三角形有以下性质：对合等腰三角形的两个腰角相等，轴线所在的直线垂直平分底边． 小强利用图1给出已知、求证，请帮助小强完成证明． （1）已知：如图1，和是对合等腰三角形，连接．求证：，直线是线段的垂直平分线． 【辨析理解】 （2）如图2，在中，平分，点为的延长线上一点，分别连接，，且．求证：和是对合等腰三角形． 【拓展应用】 （3）和是对合等腰三角形，过点作交直线于点，已知，，请直接写出BD的长． 81．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在中，，D为上一点，且，，则　　　　　　　 度． 82．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）在中，，点在边上，，点是平面内一点，连接，，，． （1）如图1，当点在边上时，连接． 求的度数； 求证：； （2）如图2，当点在的内部时，猜想线段，和的数量关系，并说明理由． 83．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，在中，，平分． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：． 84．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知中，，；点是边上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到（点，分别是，的对应点）． （1）如图1，当点与点重合时，请判断线段与的数量关系是________，位置关系是________；（直接写出答案） （2）如图2，当点不与，重合时，猜想并证明线段与的关系． 85．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）【问题提出】 学习了等腰三角形之后，我们知道：在一个三角形中，相邻的边所对的角相等；反过来，相等的角所对的边也相等，那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系如何呢？大边所对的角也大吗？ 【问题探究】 问题1，在中，如果，则与的关系如何？ 直观猜想：． 操作验证：如图1，在中，如果，就可以将折叠，使边落在边上，点落在边上的点处，折痕交于点，则，由，可得． 推理证明：作的角平分线，交于点，在边上取点，使.．又，，.，．． 【类比探究】 问题2，如图2，在中，如果，则与的关系如何？ 请你参考问题1的探究过程，完成问题2的探究． （1）直观猜想的结论是__________； （2）请利用图2进行证明． 【深入探究】 （3）如图3，中，点是上的点，若，，．求的长．（用含，的代数式表示） 86．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）通过对下面图形的学习，解决下列问题： [模型建立]（1）如图1，在直线上有一点，作，且，分别过点、作、，由，得，又，可以推理得出．我们把这个模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． [模型应用]（2）如图2，在（1）得条件下，在上取点，当时，求证：． （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，，过点作且，连接，求证：． [模型拓展]（4）如图4，在中，，延长至点，使，过点作，在上找一点，连接，过点作交延长线于点，当，，时，求的面积． 87．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，在 中， 过点A作射线，使 作点C关于直线的对称点E， 连接交射线于点 F， 连接． （1）求证：； （2）求证： 考点05 等边三角形 1．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，是等边三角形，是边上一点，于点，若，则的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，将一个等边三角形绕其三边垂直平分线的交点旋转一定的角度后，依然与原图形重合，则这个旋转的角度可以是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，在等边中，D、E分别在边上，且，与相交于点P，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，点P，M，N分别在等边的各边上，且于点P，于点M，点N，若，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，等边中，，点D是高上一点，过点D作，分别交于点E，F，连接，当时，（     ） A.  B.  C. 1 D.  7．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，，若，则的长度为　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，已知纸片，，将沿直线折叠得到，连接，过点作交于点，交于点．    （1）根据轴对称的性质易证是________． （2）直接利用（1）的结论判断的形状，并写出证明过程． （3）若，求的长． 9．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标． （2）求的面积． （3）在轴上画出点，使最小．（保留作图痕迹） 10．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图所示，某海监船在海域处巡逻，观测到岛礁在北偏东方向，该船以每小时10nmile的速度向正东方向航行到处，观测岛礁在北偏东方向，处恰与岛礁相距20nmile，继续以相同的速度向正东方向航行到处时，再观测到岛礁在北偏西方向，请你分别确定该海监船从处到达处和处所用的时间分别为多少？ 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，点为等边中边上一点，于点，，求的长为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 13．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，是等边三角形的高线，，则　　　　　　． 14．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点F，连接交于点G． （1）求证：G为中点； （2）若，求的度数． 15．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，在边长为单位1的正方形网格中有． （1）在图中画出关于直线成轴对称的图形； （2）在直线上有一点P使得的值最小，请在图中标出点P的位置； （3）求的面积． 16．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一点，且OP＝4cm，C、D分别是P关于OA、OB的对称点，连结CD、PM、PN，则△PMN的周长为　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，是等边三角形外部一点，连接，，且，过点作交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）连接，若，，求的长． 18．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图， 已知等边三角形， 作， 点D是延长线上一点， 点E 到点 B，D的距离相等， 且， 则的度数是　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当　　　　　　　　　　　　　　　s时，是等腰三角形． 20．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，是等边三角形，点是内部一点，连接，，，以为边向右侧作等边三角形，连接，当是以为腰的等腰三角形，且时，则的度数为　　　　　　　　． 21．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点，，，则的长是　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：； 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 23．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　     　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长． 24．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，过点作，与交于点． （1）求证：是等边三角形． （2）当为的中点时，；当不是的中点时，与还相等吗？请说明理由． 25．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图：是等边三角形，点、分别在、的延长线上，，的延长线交于． （1）求证：； （2）求度数． 26．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，，垂足为．若，，则的面积是　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）在中，，是AC右侧的线段，且，如图，的平分线AE与BD交于点E，与交于点F． （1）证明：； （2）若，则线段，，之间存在怎样的数量关系，并写出你的理由． 28．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 29．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． （1）求证：； （2）延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 30．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，已知等边三角形，点是边延长线上一点，连接，作 且，求证：是等边三角形． 31．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为　　　　　． 32．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，点是等边三角形边上一点，于点，于点，若，，则　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）（多选）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE. （1）求∠DBC的大小（用含的代数式表示）； （2）在（0°<<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小； （3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明. 34．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）（1）在中，点D，E，F分别在边上，且满足，． ①如图（1），若为等边三角形，求证：； ②如图（2），若，，且，求的长； （2）如图（3），在四边形中，，．过点C分别作的垂线，垂足分别为M，N．若，求的值． 36．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）【问题提出】 如图，和是等腰直角三角形，其中，，．连接，你有什么发现？ 【方法启迪】 这两个三角形有着公共的顶点，而且两个三角形都是等腰直角三角形，虽然两个三角形的位置发生了变化，但始终存在着一对全等三角形，即≌． （1）如图①，当点在上时，和的数量关系是　　　　　　　　； 【综合应用】 （2）如图②，当点在上时，过点作垂足为点，求证：； （3）如图③，是等边三角形，点是的外部一点，且，连接，若，，求的长． 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论正确的有　　　　　　　　． ①；②；③；④；⑤． 38．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点B关于射线的对称点为点D，连接，则交直线于点E． （1）依题意补全图形； （2）当，______； （3）当时，用等式表示之间的数量关系，并证明； （4）若为等腰三角形，直接写出的度数______． 39．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）（多选）本学期，我们利用“构造轴对称图形——等边三角形”证明了定理： 定理   在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明过程如下： 已知：如图（1），△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：． 证朋：如图（2），延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD，∵，，∴，．∵AC＝AC，∴．∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）．∴△ABD是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）．∴． （1）【知识运用】如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，AB＝4，则BC＝______； （2）【类比证明】如图（3），请类比以上证明过程，证明：在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AB＝2BC，则∠A＝30°； （3）【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题的数学证明中常见的思路．请你尝试解决以下问题． 如图（4），等边△ABC中，延长BA，BC，使AD＝BE，连接DC，DE．求证：DC＝DE． 40．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）在等边三角形中，，点在射线上运动． （1）如图1，当点是的三等分点时，过点作交于点，则________； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接，以点为圆心，为半径作弧，交于点，请你探究线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点是中点，点，分别在，上，且，当和周长之和最小时，直接写出的长． 41．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 42．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）综合与实践 【问题提出】 如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 【解决问题】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短． 证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小． 【学以致用】 （1）如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值； （2）如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值． 43．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为　　　　　． 44．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． （1）初步探究：当时，求证：； （2）解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； （3）类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 45．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）已知等边三角形，点是直线上一点，连接， ，且，连接交直线于点 ． （1）如图，当点在的延长线上时，过点作，交于点， ①求证： ； ②试确定线段的数量关系___________； （2）如图，当点在的延长线上时，（）中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出结论并证明． 46．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，在中，，为延长线上一点，，都为等腰三角形，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，，点是边上动点，以为中心，将逆时针旋转得到线段，连接； ①当，，三点共线，且时，连接，判断的形状并证明． ②如图3，，当取最小值时，直接写出的度数． 47．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）都是等边三角形．    （1）如图，求证：； （2）如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 48．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）（1）如图1，在中，为锐角，以，为边作等边和等边，连接，交于点，连接，交于点，交于点，连接．求证：①；②． （2）小明发现，题中通过作两个等边三角形，实现了“线段转换”的目的（把转换为），结合综合与实践课上《最短路径问题》的学习经验，他和小组同学一起解决了下面一道实际问题． 如图2，在一条河的附近有，两个村庄，靠近村庄的一侧河岸可看成直线，先在河岸上找一点建引水站，再在图中阴影区域找一点建分水站，从而把河水引到，两村．请在图中找到，的位置，使全程管道部分用料最少． 请你在先图2中找到点和点的位置，再说明此时全程管道部分用料最少．（不用写具体的尺规作图作法，但要保留画图痕迹） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $