专题08 二次根式（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题08 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）已知函数，那么不能取的数是（     ） A.  B.  C.  D. 0 【答案】A 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，进而判断即可． 【详解】 解：∵有意义， ∴， 即， ∴不能取的数是． 故选：A． 2．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】x≥－1且x≠1 【分析】 根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】 根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】 解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 4．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）化简：　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）函数中，自变量的取值范围是　　　　． 【答案】且 【分析】 根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】 由可得： ， 解得：且． 【点睛】 此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键． 6．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据二次根式有意义的条件求出，得到，即可得到的值． 【详解】 由可知， ， 解得， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 此题考查了二次根式有意义的条件、求代数式的值等知识，根据二次根式有意义的条件求出是解题的关键． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了最简二次根式的判断；最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母；根据定义逐一分析各选项即可． 【详解】 解：A. ：，其中为完全平方数，故A不是最简二次根式； B. ：，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C. ：分母含根号，故C不是最简二次根； D. ：，无完全平方因数，且被开方数不含分母，满足最简二次根式的条件； 故选D． 2．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】 因为是最简二次根式，所以A符合题意； 因为，所以B不符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：A． 3．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）计算的结果是（     ） A. 3 B. 6 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】 解：， 故选：B． 4．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】 解：A、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误； B、，原选项计算错误； C、，原选项计算正确； D、，原选项计算错误； 故选C． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数为整数且不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断各选项． 【详解】 解：A、被开方数含分母，可化简为，不是最简； B、被开方数含分母，可化简为，不是最简； C、，含平方因子，不是最简； D、，为质数，无平方因子，是最简二次根式； 故选：D． 6．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）下列根式是最简二次根式的（             ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 当二次根式满足：① 被开方数不含开的尽方的数或式；② 根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解． 【详解】 解：A选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意； B选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选:A． 【点睛】 此题考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的性质． 7．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）计算的结果是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可． 【详解】 解：A、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； B、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 2．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据二次根式的运算的知识进行作答，需逐一验证各选项的正确性，然后即可求解； 【详解】 选项A：， 合并同类项，系数相加：，但结果误写为，故错误； 选项B：， 化简：，但结果误写为，故错误， 选项C：， 利用根式除法法则：，计算正确， 选项D：， 被开方数为，故，但结果误写为，故错误， 故选：C； 3．（25-26学年八上·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和乘法法则． 根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质、立方根的定义、同类二次根式，分别判断即可． 【详解】 解：A．∵， ∴此选项的计算正确，故此选项符合题意； B．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； D．∵不是同类二次根式，不能合并， ∴此选项的计算不正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先证明，得出，再根据已知条件，结合等腰三角形的性质、正方形的性质求得，进而证明，得出，设，得到，进而求解. 【详解】 解：∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴， ∵四个全等的直角三角形拼成大正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∴； 故选：C. 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键. 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）的倒数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由倒数的定义可得的倒数，然后利用分母有理化的知识求解即可求得答案． 【详解】 解：的倒数是，即， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了倒数和分母有理化的知识．此题难度不大，注意分母有理化的方法． 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： （1）①化简            ． ②当时，求的值． （2）化简． 【答案】（1）①；②2     （2）22      【分析】 本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）① 根据题中所给方法可进行求解； ② 根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． (1) 小问详解： 解：（1）①； ② ； (2) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）     （2）5     （3）4      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （3）利用二次根式的混合运算法则即可求解； (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）实数的倒数是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了倒数的定义，二次根式的分母有理化，根据倒数的定义得到的倒数，并分母有理化即可． 【详解】 解：的倒数为， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）第个等式：______． （2）根据以上规律，计算的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． (1) 小问详解： 解：第个等式：； 故答案为： (2) 小问详解： 解： 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了利用二次根式的性质化简，合并同类项，二次根式的混合运算计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先计算除法，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘法，再计算加减，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）1     （4）      【分析】 本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的运算规则以及乘法公式的应用． （1）分别计算平方根、立方根，再进行加减运算； （2）先分别进行二次根式的除法和乘法运算，再进行减法运算； （3）利用积的乘方逆运算和平方差公式进行简便计算； （4）分别计算乘方、绝对值、立方根，再进行加减运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 12．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方式进行化简计算即可． 【详解】 解： ． 13．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的加减法计算； （2）先算二次根式的乘法，再根据二次根式的加减法计算； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可； （4）先算乘方，并去掉绝对值，然后去掉括号，再合并同类二次根式. (1) 小问详解： 解：； =； (2) 小问详解： 解：； ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解：． ． 14．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简及运算规则． （1）将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先对分子进行化简，再分别计算二次根式的除法、立方根和算术平方根，最后进行加减运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： - ． 15．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2；     （2）．      【分析】 本题考查的是二次根式的混合运算与化简，平方差公式，掌握知识点是解本题的关键． (1)先化简二次根式及进行平方差公式运算，再合并即可； (2)先化简二次根式，再进行乘法运算，最后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 16．（25-26学年八上·期中）计算 （1）． （2）． 【答案】（1）2     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的混合运算，实数的混合运算； （1）根据二次根式的除法，平方差公式进行计算即可求解； （2）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质，再根据实数的加减进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 17．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，有理数的乘方，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再算加减即可； （2）先计算算术平方根、乘方，负整数指数幂和绝对值，再算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）先阅读，再解答：由看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例，请完成下列问题： （1）的有理化因式是___________； （2）化去式子分母中的根号：___________；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分母有理化，二次根式的运算； （1）根据有理化因式的定义可直接得出答案； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，然后计算即可； （3）先进行分母有理化，然后计算二次根式的加减，再利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：的有理化因式是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原式 ． 19．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）计算 （1） （2） （3）； 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的运算，立方根，乘法公式，指数运算，绝对值的化简，是综合计算题，解题关键在于分步化简，公式灵活应用，以及掌握正确的运算顺序；其中绝对值的处理，去括号的处理，乘法公式的混淆都是易错点． （1）先化简，再计算，然后逐项进行加减计算即可； （2）化简，用完全平方公式展开，用平方差公式，最后合并同类项即可； （3）其中，，逐步计算乘方、零指数、绝对值、负指数，注意符号． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ． 20．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先去绝对值并化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 21．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①；   ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分子分母都乘以（），即可得出答案； （2）根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式= ． = = =. 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相等．找出分母的有理化因式是解本题的关键． 22．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． （1）化简：               ，               （为正整数）； （2）请根据上面的结论，计算下列算式的结果：． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）通过分母有理化化简表达式； （2）利用第（1）小题的结论将每一项裂项，通过求和相消计算结果； (1) 小问详解： ； ； 故答案是：；． (2) 小问详解： 由（1）可得：，其中为奇数且从到， 原式 ． 23．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2     （2）2      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用除法法则，平方差公式进行计算即可； （2）先进行开方，二次根式的乘法，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可. (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式. 【点睛】 24．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）8     （2）2028      【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，运用整体思想准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 25．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别利用平方差公式和完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，负整数指数幂、零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的加减法，二次根式的乘法，实数的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，正确进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后相乘即可求解； （2）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 27．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简为最简二次根式，再进行乘除法运算，最后计算加法运算即可； （2）先去绝对值、化简二次根式，再进行加减法运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 28．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 29．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：          ； （2）计算：          ； （3）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ，即， ． 30．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2） （3）与不是关于1的平衡数 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】 (1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得 ， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 31．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）阅读材料：像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化． 例如：， 解答下列问题： （1）与__________互为有理化因式，将分母有理化得__________； （2）计算：． 【答案】（1）；；     （2）．      【分析】 本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空利用平方差公式求解即可；对于第二空，分子和分母同时乘以后约分即可； （2）先分母有理化和计算绝对值，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解：， ∴与互为有理化因式； ； 故答案为：；． (2) 小问详解： 解： ． 32．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 【答案】（1）   （2）     （3） 【分析】 本题考查了平方法、分母有理化、倒数比较实数的大小，解题的关键是求出． （1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （3）可利用分子有理数比较大小即可． 【详解】 解：（1）， ； （2）， ， ； （3），又 ， ． 33．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据零指数幂，负指数幂，算术平方根以及化简绝对值进行计算即可； （5）根据二次根式的除法法则计算即可． (1) 小问详解： 解：， 原式， ； (2) 小问详解： 解：， 原式， ； (3) 小问详解： 解：， 原式＝ =； (4) 小问详解： 解：， 原式 = ； (5) 小问详解： 解：， 原式 ． 34．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ （1）填空：的整数部分是            ； （2）a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 【答案】（1）n     （2）①，；②      【分析】 （1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分； （2）① 估算出，得到整数部分和小数部分即可；② 将① 中结果代入计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 的整数部分为； (2) 小问详解： ① ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是：， 小数部分是：； ② ． 【点睛】 本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 35．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； （2）计算：的值． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用前面4个等式的规律，找出序号数与被开方数的关系写出第6个和第n个等式； （2）直接合并同类二次根式即可． (1) 小问详解： 解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴； ； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）已知函数，那么不能取的数是（     ） A.  B.  C.  D. 0 2．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　　　． 3．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）化简：　　　　　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）函数中，自变量的取值范围是　　　　． 6．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）计算的结果是（     ） A. 3 B. 6 C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）下列根式是最简二次根式的（             ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）计算的结果是　　　　　　　． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形，中空的部分是小正方形，连接相交于点O，与相交于点P，若，则直角三角形的边与之比是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）的倒数是　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）小辰在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据小辰的分析过程，解决如下问题： （1）①化简            ． ②当时，求的值． （2）化简． 7．（25-26学年八上·辽宁丹东凤城·期中）计算： （1） （2） （3） 8．（25-26学年八上·辽宁沈阳浑南区·期中）实数的倒数是　　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… （1）第个等式：______． （2）根据以上规律，计算的值． 10．（25-26学年八上·辽宁沈阳铁西区·期中）计算 （1）； （2）． 11．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 12．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）计算：． 13．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 14．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）计算： （1）； （2）． 15．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 16．（25-26学年八上·期中）计算 （1）． （2）． 17．（25-26学年八上·辽宁沈阳第四十三中学·期中）计算： （1）； （2）． 18．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）先阅读，再解答：由看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例，请完成下列问题： （1）的有理化因式是___________； （2）化去式子分母中的根号：___________；（直接写结果） （3）利用你发现的规律计算下列式子的值：. 19．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）计算 （1） （2） （3）； 20．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）计算 （1） （2） 21．（25-26学年八上·辽宁沈阳沈北新区·期中）阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如： ①；   ② 等运算都是分母有理化，根据上述材料， （1）化简： （2）计算： 22．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． （1）化简：               ，               （为正整数）； （2）请根据上面的结论，计算下列算式的结果：． 23．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一三四中学·期中）计算： （1）； （2）． 24．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式的值． 25．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）计算： （1）； （2） 26．（25-26学年八上·辽宁沈阳第一二六中学·期中）计算： （1）； （2）． 27．（25-26学年八上·辽宁丹东东港·期中）计算 （1）； （2）． 28．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 29．（25-26学年八上·辽宁丹东第八中学·期中）【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： （1）计算：          ； （2）计算：          ； （3）若，求的值． 30．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 31．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）阅读材料：像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．把分母中的根号化去叫分母有理化． 例如：， 解答下列问题： （1）与__________互为有理化因式，将分母有理化得__________； （2）计算：． 32．（25-26学年八上·辽宁实验中学·期中）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方．，则． 请利用“平方法”解决下面问题： （1）比较大小，c______d（填写“>”“<”或“=”）． （2）猜想之间的大小，并说明理由． 【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如， 比较和的大小，可以先将它们分子有理化如下：，．，． （3）根据材料，请选择合适的方法比较与的大小，写出具体比较过程． 33．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 34．（25-26学年八上·辽宁锦州凌海·期中）先阅读理解，再回答问题： ①∵，，∴的整数部分为1． ②∵，，∴的整数部分为2． ③∵，，∴的整数部分为3． ⋯⋯ （1）填空：的整数部分是            ； （2）a，b分别是的整数部分和小数部分； ①分别写出a、b的值； ②求的值． 35．（25-26学年八上·辽宁铁岭昌图县·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… （1）按照上述规律，第6个等式：______；第 n个等式：______； （2）计算：的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．A 2．【答案】x≥－1且x≠1 【分析】 根据二次根式的性质和分式有意义的条件可知，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围． 【详解】 根据题意得：x+1≥0且x-1≠0， 解得：x≥-1且x≠1． 故答案为：x≥-1且x≠1 【点睛】 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3．【答案】 【分析】 根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】 解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 4．【答案】 【分析】 利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】 解：， ∵， ∴， ∴． 5．【答案】且 【分析】 根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】 由可得： ， 解得：且． 【点睛】 此题考查了函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为是解题的关键． 6．【答案】 【分析】 根据二次根式有意义的条件求出，得到，即可得到的值． 【详解】 由可知， ， 解得， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】 此题考查了二次根式有意义的条件、求代数式的值等知识，根据二次根式有意义的条件求出是解题的关键． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．【答案】 【分析】 本题考查的是二次根式的乘法运算，直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】 解：， 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．D 2．C 3．A 4．C 5．【答案】 【分析】 由倒数的定义可得的倒数，然后利用分母有理化的知识求解即可求得答案． 【详解】 解：的倒数是，即， 故答案为：． 【点睛】 此题考查了倒数和分母有理化的知识．此题难度不大，注意分母有理化的方法． 6．【答案】（1）①；②2     （2）22      【分析】 本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意． （1）① 根据题中所给方法可进行求解； ② 根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． (1) 小问详解： 解：（1）①； ② ； (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】（1）     （2）5     （3）4      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （3）利用二次根式的混合运算法则即可求解； (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： ． (3) 小问详解： 解： 8．【答案】 【分析】 本题考查了倒数的定义，二次根式的分母有理化，根据倒数的定义得到的倒数，并分母有理化即可． 【详解】 解：的倒数为， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． (1) 小问详解： 解：第个等式：； 故答案为： (2) 小问详解： 解： 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了利用二次根式的性质化简，合并同类项，二次根式的混合运算计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先计算除法，再计算加减，即可求解； （2）先计算乘法，再计算加减，即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 11．【答案】（1）     （2）     （3）1     （4）      【分析】 本题考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的运算规则以及乘法公式的应用． （1）分别计算平方根、立方根，再进行加减运算； （2）先分别进行二次根式的除法和乘法运算，再进行减法运算； （3）利用积的乘方逆运算和平方差公式进行简便计算； （4）分别计算乘方、绝对值、立方根，再进行加减运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 12．【答案】 【分析】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方式进行化简计算即可． 【详解】 解： ． 13．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的加减法计算； （2）先算二次根式的乘法，再根据二次根式的加减法计算； （3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可； （4）先算乘方，并去掉绝对值，然后去掉括号，再合并同类二次根式. (1) 小问详解： 解：； =； (2) 小问详解： 解：； ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解：． ． 14．【答案】（1）     （2）2      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简及运算规则． （1）将各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先对分子进行化简，再分别计算二次根式的除法、立方根和算术平方根，最后进行加减运算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： - ． 15．【答案】（1）2；     （2）．      【分析】 本题考查的是二次根式的混合运算与化简，平方差公式，掌握知识点是解本题的关键． (1)先化简二次根式及进行平方差公式运算，再合并即可； (2)先化简二次根式，再进行乘法运算，最后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 原式 ． 16．【答案】（1）2     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的混合运算，实数的混合运算； （1）根据二次根式的除法，平方差公式进行计算即可求解； （2）根据立方根，化简绝对值，二次根式的性质，再根据实数的加减进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，有理数的乘方，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式． （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再算加减即可； （2）先计算算术平方根、乘方，负整数指数幂和绝对值，再算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 18．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了分母有理化，二次根式的运算； （1）根据有理化因式的定义可直接得出答案； （2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，然后计算即可； （3）先进行分母有理化，然后计算二次根式的加减，再利用平方差公式计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：的有理化因式是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原式 ． 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的运算，立方根，乘法公式，指数运算，绝对值的化简，是综合计算题，解题关键在于分步化简，公式灵活应用，以及掌握正确的运算顺序；其中绝对值的处理，去括号的处理，乘法公式的混淆都是易错点． （1）先化简，再计算，然后逐项进行加减计算即可； （2）化简，用完全平方公式展开，用平方差公式，最后合并同类项即可； （3）其中，，逐步计算乘方、零指数、绝对值、负指数，注意符号． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： ． 20．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算． （1）先去绝对值并化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先计算乘法，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 21．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据二次根式的乘法，分子分母都乘以（），即可得出答案； （2）根据分母有理化，可得实数的减法，根据实数的减法运算，可得答案． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式= ． = = =. 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相等．找出分母的有理化因式是解本题的关键． 22．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）通过分母有理化化简表达式； （2）利用第（1）小题的结论将每一项裂项，通过求和相消计算结果； (1) 小问详解： ； ； 故答案是：；． (2) 小问详解： 由（1）可得：，其中为奇数且从到， 原式 ． 23．【答案】（1）2     （2）2      【分析】 本题考查二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用除法法则，平方差公式进行计算即可； （2）先进行开方，二次根式的乘法，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可. (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式. 【点睛】 24．【答案】（1）8     （2）2028      【分析】 本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，运用整体思想准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． (1) 小问详解： 解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 25．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别利用平方差公式和完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，负整数指数幂、零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的加减法，二次根式的乘法，实数的混合运算，零指数幂与负整数指数幂，正确进行计算是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后相乘即可求解； （2）根据负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简为最简二次根式，再进行乘除法运算，最后计算加法运算即可； （2）先去绝对值、化简二次根式，再进行加减法运算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 28．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，然后合并即可； （2）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简绝对值，然后合并即可； （3）首先计算二次根式的除法和乘法，然后化简二次根式，然后计算减法即可； （4）首先计算二次根式的乘法，然后合并即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ； (4) 小问详解： 解： ． 29．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：， ， ，即， ． 30．【答案】（1），（2） （3）与不是关于1的平衡数 【分析】 本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】 (1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案为：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得 ， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 31．【答案】（1）；；     （2）．      【分析】 本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合计算，二次根式的乘法计算，正确理解题意是解题的关键． （1）对于第一空利用平方差公式求解即可；对于第二空，分子和分母同时乘以后约分即可； （2）先分母有理化和计算绝对值，再计算加减法即可． (1) 小问详解： 解：， ∴与互为有理化因式； ； 故答案为：；． (2) 小问详解： 解： ． 32．【答案】（1）   （2）     （3） 【分析】 本题考查了平方法、分母有理化、倒数比较实数的大小，解题的关键是求出． （1）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （2）模仿题干中的“平方法”比较大小即可； （3）可利用分子有理数比较大小即可． 【详解】 解：（1）， ； （2）， ， ； （3），又 ， ． 33．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）     （5）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可求解； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据零指数幂，负指数幂，算术平方根以及化简绝对值进行计算即可； （5）根据二次根式的除法法则计算即可． (1) 小问详解： 解：， 原式， ； (2) 小问详解： 解：， 原式， ； (3) 小问详解： 解：， 原式＝ =； (4) 小问详解： 解：， 原式 = ； (5) 小问详解： 解：， 原式 ． 34．【答案】（1）n     （2）①，；②      【分析】 （1）依据题干中的方法估算的范围，即可得到整数部分； （2）① 估算出，得到整数部分和小数部分即可；② 将① 中结果代入计算即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 的整数部分为； (2) 小问详解： ① ∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是：， 小数部分是：； ② ． 【点睛】 本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 35．【答案】（1）；     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． （1）利用前面4个等式的规律，找出序号数与被开方数的关系写出第6个和第n个等式； （2）直接合并同类二次根式即可． (1) 小问详解： 解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … ∴； ； 故答案为：；； (2) 小问详解： 解： 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $