专题05 全等三角形（期中真题汇编，辽宁专用）八年级数学上学期

专题05 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，，，，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的性质得到∠A=∠D=65°，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】 解：∵△ABC≌△DBE， ∴∠A=∠D=65°， ∴∠C=180°-∠ABC -∠A=35°， 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（       ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【分析】 根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】 解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°， 则∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠1=∠C=60°， 故选：B． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 3．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，若，且，，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长，即可得到的长． 【详解】 解：，， ， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，交于点，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形、三角形内角和、三角形外角的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质；结合题意，根据全等三角形的性质，得，，再通过三角形内角和计算得，最后利用三角形外角性质计算，即可完成求解． 【详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和定理求出，再根据三角形全等的性质求解即可得到答案； 【详解】 解：由图形可得， ， ∵两个三角形全等， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则这样的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 要使△ABP△ABC全等，AB是公共边，则P到AB的距离与C到AB的距离相等，进行分析即可． 【详解】 如图所示： 共3个点， 故选：C． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质，全面考虑所有满足条件的点是解题关键． 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，，在同一直线上，且，， 则的长（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵在同一直线上， ∴， 故选：． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，，点在上，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了三角形全等的性质和平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据，得，再根据全等三角形的性质可得，进而有则可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 9．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A. 经过平移可与重合，平移的距离为的长 B. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D. 将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，旋转与平移的性质，无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的． 【详解】 解：∵， ∴，，， A、经过平移距离为的长，和重合，点A不重合，故不能与重合，故A选项错误，符合题意； B、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； C、将沿的垂直平分线翻折，可与重合，正确，不符合题意； D、将绕的中点逆时针旋转，和重合，点A不重合，故不能与重合，正确，不符合题意． 故选：A． 10．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在中，于点D，E是上一点．若，，，则的周长为（       ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 26 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出 ，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴ ，， ∴的周长为， 故选C 11．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A(-3，0)，B(0,2)，，在x轴上，则点的坐标是　　　　　. 【答案】（3，-2）. 【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出OA=OA′=3，OB=A′B′=2，即可得出答案． 【详解】解：∵A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB， ∴OA=OA′=3，OB=A′B′=2， ∴点B′的坐标是（3，-2）， 故答案为（3，-2）． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，全等三角形的性质，解题的关键是求出OA=OA′=3，OB=A′B′=2，数形结合思想的运用． 12．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，，，若，则等于　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，已知，若使，则需使的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定．先求得，再由全等三角形的性质推出． 【详解】 解：∵， ∴， 要使， 则， 故选：C． 2．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】 解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 3．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，得到根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】 解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，． ． ． 与的面积比为， 与的相似比为，即． ． 故选：D 4．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定及性质，关键是熟练应用知识点解决问题； 根据由三边相等得两三角形全等，即由判定三角形全等． 【详解】 解：∵角尺两边的刻度相同， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． 故答案为：B． 5．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意可得，，，再证明，得到，，进而即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，利用全等三角形对应边相等，即可作答． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 故， 故选：B． 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】 解：∵， ∴，即 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，，可以根据证明，故C不符合题意； 添加条件，结合条件，，不可以根据证明，故D符合题意； 故选D． 8．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定可作出选择. 【详解】 解：在△ADC和△ABC中， ， ∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE． ∴AE是∠PRQ的平分线 故选D． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键. 9．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定．根据“边角边”证明，可推出，，可判断① ② ③ 正确，根据三角形中线的性质可判断④ 正确． 【详解】 解：是的中线， ，和面积相等．故④ 正确； 在和中， ，故① 正确； ，，故② 正确； ，故③ 正确； 综上可知，正确的有4个， 故选：D． 10．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，，，即可确定答案． 【详解】 解：， ， 在和中， ， ，，， 综上所述，A，B，C均是正确的，不正确的是D， 故选：D． 11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据，可证，然后作答即可． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：A． 12．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用全等三角形的判定方法，“”即角边角对应相等，只需找出一对对应角相等即可，进而得出答案． 【详解】 解：需要补充的条件是， 在和中， ， ． 故选：B． 【点睛】 本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 13．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，，，，则（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 14．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，若，，则，判定的根据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．由，，，则可依据判定，由此可得出答案． 【详解】 解：在和中， ， ∴． 故选：B． 15．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．利用“边角边”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等可得到． 【详解】 证明：在和中， ， ， ． 故选：A． 16．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】 解：在和中， ， ， 故选：D． 17．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（       ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【分析】 由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】 ∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】 本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 18．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，已知，，增加下列条件，不能肯定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，由得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、和中， ∴，此选项不符合题意； 、添加不能判定，此选项符合题意； 故选：． 19．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 20．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法、、、和是解题的关键，注意和不能判定两个三角形全等． 由图形可知有一对公共角，再加上，结合全等三角形的判定方法，逐项判定即可． 【详解】 解：A、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； B、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， ，正确，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出和全等，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 21．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，三角形面积计算；在上截取，连接，易得，得到，即可求出. 【详解】 解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：B. 22．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，点是边的中点，，，，若，，则的长是（     ） A.  B. 3 C.  D. 5 【答案】A 【分析】 本题考查三角形中求线段长，涉及三角形全等的判定与性质、含直角三角形性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质、含直角三角形性质是解决问题的关键． 延长，交于点，如图所示，先证明，得到，再证明，从而有，在中，由含直角三角形性质直接求解即可得到答案． 【详解】 解：延长，交于点，如图所示： ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在中，，则，从而有， ， ， 故选：A． 23．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，即可证明得到，即可判断① ②；设与的交点为，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③；过点作于，于，先证明得到，即可证明得到，假设平分，则可证得到，这与矛盾，即可判断④． 【详解】 解：， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ，故②正确； 设于的交点为， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ， ，故③正确； 过点作于，于， ， 又，， ， ， 又， ， ， 假设平分， ， ，即， 又， ， ，这与矛盾， 不平分，故④错误， 故正确的有：① ② ③． 故选：B． 24．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 已知是中点，可得，且（对顶角相等）．根据全等三角形判定定理（、、），逐一分析添加各选项条件后能否判定．本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）是解题的关键． 【详解】 解：是的中点， ， 又（对顶角相等）． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 ，，， ，故项正确，不符合题意． 若添加 此时是“边边角”的情况，不能判定，故项错误，符合题意． 故选：． 25．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，在中，，是延长线上的点，过点作，垂足为，交于点，若，，，则的长为（     ） A. 0.8 B. 1 C. 1.6 D. 1.8 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 26．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A. （2，3） B. （-3，2） C. （-3，-2） D. （-2，3） 【答案】B 【分析】 过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．证明△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是OD长的相反数，B的纵坐标就是OC长的绝对值，由此可得出B的坐标． 【详解】 解：作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D． 则∠ACO=∠ODB=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°． 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90° ∴∠OAC=∠BOD． 在△ACO和△ODB中 ∴△ACO≌△ODB（AAS）． ∴OD=AC=3，DB=OC=2． ∴点B的坐标为（-3，2）． 故选B. 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 27．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，、相交于点，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、等）是解题的关键． 本题需根据全等三角形的判定定理（、、等），对每个选项逐一分析，判断能否判定． 【详解】 解：在和中， ， ，故选项A能判定，不符合题意； 在和中， ， ，故选项B能判定，不符合题意； 虽然，，，但这属于“”，不符合全等三角形的判定定理，不能判定，故选项C不能判定； ，， ，即 在和中， ， ， 故选项D能判定，不符合题意； 故选： 28．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，，．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键。 先证明，，得到，继而证明，得到，，则，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 则． 故选：B． 29．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点，通过点的坐标和条件证明，即可得出答案． 【详解】 解：如图，过点作轴，交轴于点，过点作轴，交轴于点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：B． 30．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查三角形全等的判定，已知两边，若要证明，只需添加夹角相等，由此可求解． 【详解】 A．∵， 若，则， ∵， ∴， 故A正确； B．当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故B不正确； C，当时， ∵， ∴已知两边对应相等，一个角对应相等，但不是夹角， ∴不能判断， 故C不正确； D．当与不可能相等， ∴不能判断， 故D不正确； 故选：A． 31．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据平行线的性质得出，，，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质得出，，根据，，即可求出线段的长． 【详解】 解：， ，， 在和中， , ， ， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键． 32．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，可证明得到，则可判断①；由角平分线的定义和三角形内角和定理可推出，则由三角形外角的性质可得，进而可求出，由周角的定义可得，据此可判断②；证明，得到，据此可判断④；根据现有条件无法证明，故③错误． 【详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵的角平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； ∴正确的有3个， 故选：C． 33．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，已知，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了三角形全等的判定方法．由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】 解：， ， 即， A、添加不能证明，该选项符合题意； B、添加可利用定理证明，该选项不符合题意； C、添加可利用证明，该选项不符合题意； D、添加可利用证明，该选项不符合题意； 故选：A． 34．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】 解：∵，，， ∴，故② 正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，故① 正确； 在和中， ， ∴， ∴，，故③ 正确； ∵，， ∴，， ∴的面积≠面积的2倍，故④ 错误， 综上所述，正确的结论有① ② ③ ． 故选：C． 35．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，已知，，请添加一个条件　　　　　　，使．并且判定方法为． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加条件：，可利用定理判定． 【详解】 解：添加条件：， 在和中， ， ， 故答案为：． 36．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，，，点是的中点，若，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据SSS证明，再根据全等的性质即可求解． 【详解】 是的中点， , 在和中， ， ， ． 故答案为：． 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）11      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，，，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．先证明，得出，再求出，即可得出． 【详解】 解：， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 39．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，，，，，，则的长为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查三角形中求线段长，涉及两个三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出的长求值即可得到答案． 【详解】 解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 40．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，直线与相交于点A，平分． （1）利用尺规：过点B作直线，交于点D； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：，如图所示；      （2）      【分析】 本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 41．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为　　　　　　　　米． 【答案】15 【分析】 本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 【详解】 解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 42．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，点E在上，点F在上，，． （1）求证：； （2）判断与是否相等，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴；     （2） 解：相等，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用证明即可； （2）由推出，由线段的和差求得，再利用证明，即可推出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，已知，只要再添加一个条件：　　　　　　，就能使．（填一个即可） 【答案】或者（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可． 【详解】 解：所添加条件为：或； ① ∵，，为公共边， ∴； ② ∵，，为公共边， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 44．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】 解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 45．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，，相交于点．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得，再根据等边对等角可得结论． 【详解】 略 46．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，某地有两棵树与相距，某人沿方向从A点走向B，一段时间后他到达点，此时他抬头看两树的顶端点和，若两次视线的夹角，树的高为，该人的运动速度为，求这个人从点走到点用了多长时间． 【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得的长，再利用的长除以运动速度即可得． 【详解】 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵该人的运动速度为， ∴这个人从点走到点所用时间为， 答：这个人从点走到点用了时间． 47．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等，若，求线段的长度． 【答案】线段长度为 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】 解：由题意知， 在和中， ， ， ， ， ． 答：线段的长度为． 48．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，平分，，，垂足分别为B，D． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：平分， ， 、 在和中， ；     （2）28      【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义可得，由垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得和，根据三角形的面积公式计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知： ， ． 答：四边形的面积是． 49．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点，已知．，，求的长度． 【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据，对顶角相等，即可证明；根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 50．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 【答案】（1） 如图，即为所求作的角；      （2） 证明：（已知） 在和中       【分析】 本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD． （1）求证：BD=CE； （2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即∠BAD=∠CAE， 在和中， ， ∴， ∴BD=EC；                                                                                                                            （2）BD⊥DE． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【分析】 （1）求出∠BAD=∠CAE，根据SAS推出，根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据求出即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：① 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，② 全等三角形的对应角相等，对应边相等． 52．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，和放在正方形网格内，则　　　　　　　　　　　°． 【答案】90 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，证明，得出，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 53．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余；②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，余角，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】 解：由题意知，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 54．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 55．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． （1）请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； （2）小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； （3）丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 【答案】（1） 方法一可行，理由如下： 在和中， ， ， ； 方法二可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ；     （2）（答案不唯一）     （3） 不可行，可添加条件为，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）方法一利用定理证明可得；方法二利用定理证明可得； （2），可得，利用定理证明可得； （3）添加条件为，利用证明三角形全等，即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：只需即可， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：略． 56．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，，，点，则点B的坐标是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 过C和B分别作轴于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】 解：过C和B分别作轴于D，于E， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案为：． 57．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案     （2）见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． (1) 小问详解： 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， (2) 小问详解： 解：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 58．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即， ， 在和中， ．     （2）4      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 59．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，已知在中，，，是过点A的直线，，，垂足分别是D、E，若，，则　　　　． 【答案】4 【分析】 根据，得，根据证， 可求得，，再利用线段的和差可求得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质，解题的关键时掌握并灵活运用这些知识点． 60．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）（多选）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究： 已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：        ． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由． （3）在（2）的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数． 【答案】（1）AD=BE． （2）成立， 证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形 ∴EC=AC，BC=DC， ∠ACE=∠BCD=60°， ∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD； 在△ECB和△ACD中， ， ∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD． （3）∠APE=60°． 【分析】 （1）直接写出答案即可． （2）证明△ECB≌△ACD即可． （3）由（2）得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论，借助内角和定理即可解决问题． 【详解】 解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形， ∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD， ∴∠ACD=∠ECB； 在△ACD与△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（SAS）， ∴AD=BE， 故答案为AD=BE． （2略 ） （3））∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°． 如图2，设BE与AC交于Q， 由（2）可知△ECB≌△ACD， ∴∠BEC=∠DAC 又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180° ∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°． 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 61．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，平分，于点，．求证：． 【答案】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】 略 62．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）已知：在中，，点在直线上，连接，在的右侧作．    （1）如图1，①点在边上，线段和线段关系是________； ②直接写出线段之间的数量关系________； （2）如图2，点在右侧．请写出线段之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①；②     （2） ，理由如下： 如图，连接， AI    ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ．     （3）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）① 先证出，再根据全等三角形的性质即可得出结论； ② 在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）连接，先证出，再在中，根据勾股定理即可得出结论； （3）过点作的垂线，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再在中，利用勾股定理可得，从而可得，在中，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． (1) 小问详解： 解：①， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴线段和线段关系是， 故答案为：； ② 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为： AD2+BD2=DE2 ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点作的垂线，交于点，    ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以线段的长为． 63．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E． （1）求证：BC＝DC； （2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中 ， ， ；     （2）∠ACB＝140°      【分析】 （1）根据“”证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：， ． ， ． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质知识． 64．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗?请说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 解：同意，理由如下： 由题意可知，，， ∴ ∴，， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再根据同角的余角相等即可得解； （2）证明，得出，，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 65．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）综合与实践 同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．八年级数学兴趣小组利用活动课时间开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 项目主题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在教学楼外选定一点C；②测量教学楼顶点A视线与地面夹角；③测量的长度；④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；⑤测量标杆顶部E视线与地面夹角；⑥测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】 解：由题可知， ， ， 在与中， （AAS）， ， 答：教学楼高度为． 66．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作，垂足为，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中的、、、在同一平面上），过点作，垂足为，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， 在中，， ；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质求解． （1）利用垂直的性质和角的和差关系，证明； （2）证明，利用全等三角形的性质得出对应边相等，进而求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，， 在和中， ，， ， ， ， ， ． 67．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，已知点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：AC＝DF． 【答案】证明： 即： 在和中 【详解】 试题分析：由判定得到 试题解析：略． 68．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，求证：． 【答案】证明：， ， 即． 在和中， ， ∴． ． 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，证明即可． 【详解】 略 69．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案 【详解】 如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则 ，的面积分别为和， 正方形，，， 同理可得： 故答案为：． 70．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ∵ ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质，先证，再根据角边角判定得到，即可得到证明． 【详解】 略 71．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图．于于，延长交的延长线于点，连接． （1）试判断，，的数量关系．并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： 过作交于，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质； （1）过作交于，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （2）先求出，则，由（1）得，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 72．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 【答案】证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】 略 73．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 C；（2）测量教学楼顶点A 的视线与地面夹角；（3）测的长度；（4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；（5）测量标杆顶部E的视线与地面夹角． 测量数据 ， ， ， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【分析】 本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 74．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图， 于E， 于F，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等判定的方法；根据垂直得到角相等，根据线段和差得到边相等，进而判断三角形全等即可得到答案； 【详解】 略 75．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在与中，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ；     （2）2．      【分析】 本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法即可证明； （2）由全等三角形的性质可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即． 76．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 【答案】（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）选择② 为条件，① 为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择① 为条件，② 为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）4 【分析】 （1）利用证明即可； （2）选择② 为条件，① 为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； 选择① 为条件，② 为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）延长交的延长线于点，先证明，可得，再由平分得出，再证明，从而可以解答． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）证明：如图，延长交的延长线于点， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 平分 又 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 77．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，的面积为，平分，过点作于点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】9 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，作出合适的辅助线证明是解题的关键．延长交于点E，根据题意利用可证，从而得到，进而推出，，即可得到． 【详解】 解：延长交于点E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴． 故答案为：9． 78．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； （2）连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）     （2） ① 证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； ②或      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）① 作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ② 当在线段上时，由① 得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点，求出，得到． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中 ， ， ； (2) 小问详解： ① 略 ② 解：当在线段上时， 由① 得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点，同① 得，， ，，， ， ， ，即， ， ， ， ， 综上所述的长为或． 79．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在四边形中连接，其中平分，且于点，当的边长满足时，请求出面积的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 通过构造辅助线，利用角平分线、垂直的性质证明线段相等，结合中位线定理确定的高的最大值，进而求出面积最大值． 【详解】 解：延长交的延长线于点，取的中点，连接． ∵平分，， ∴∠ACM=∠ACD，∠MAC=∠DAC=90°， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，是中点， ∴， 当时，的面积最大， ∵， 的最大面积， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及中位线定理是解题的关键． 80．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）在数学活动课上，老师给出如下问题，如图1，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，连接．求证：． （1）小丹和小明两位同学从结论的角度分析，都认为通过证明三角形全等，就可以得出结论，但两位同学作了不同的辅助线； ①小丹同学的思路：过点作的垂线交于点，证明； ②小明同学的思路：过点作的垂线交延长线于点，证明； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）在（1）基础上，两名同学继续进行拓展探究，并提出了如下问题： ①如图2，当点在的延长线上运动时，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，若，，直接写出长． 【答案】（1） 解：① 小丹的思路； 证明：过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ② 小明的思路； 证明：过点作的垂线交延长线于点， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）①；②      【分析】 （1）① 小丹的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，，证明，进而得出． ② 小明的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，进而得出，可证． （2）① 根据等腰直角三角形得性质和判定，可得，是等腰直角三角形，进而得出，，证明，得出，从而求得，． ② 根据等腰直角三角形的性质可得，，，再利用三线合一可得，，，进而得出，，再利用等腰三角形的性质可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图，当点在的延长线上运动时，过点作，交 延长线于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ② 当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】 解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【详解】 解：∵点在的平分线上，点到边的距离等于5， ∴点到的距离为5， ∵点是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】 解：作于， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵的面积是10，若， ∴， ∴， ∴，即点到的距离是4， 故选：C． 4．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于（   ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD． 【详解】解：∵BC=12，BD=2CD， ∴CD=4， 由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=4． 故选B． 【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键． 5．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，仔细观察尺规作图的痕迹，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线的性质、尺规作图作一个角等于已知角及作已知角的平分线，关键是熟练掌握作图方法并识别应用； 根据作图痕迹判断角及边的关系，从而计算出结果． 【详解】 解：由图形可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   故选：B ． 6．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 　　　　　 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P作于点F，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】 解：过点P作于点F，如图所示： ∵平分，于点D，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴根据“垂线段最短”得：， ∴当点E与点F重合时，为最小，最小值为． 故答案为：3． 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，平分，，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：过点D作于点E，于点F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，平分，点A，B是射线上的点，连接，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作射线，交于点P． 若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据作图方法可得平分，据此求出，根据平分求出，进而利用即可求出答案． 【详解】 解：由作图方法可得平分 ， ∵平分， ∴ ， ， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，已知，用尺规作出的角平分线．（保留作图的痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，即为所求． ． 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．根据角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线即可得． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，点A、B分别在轴、轴上，，分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，第四象限的角平分线上的点的坐标特点，由作图方法可知，点C在第四象限的角平分线上，则点C的横纵坐标互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：由作图方法可知，点C在的角平分线上，即点C在第四象限的角平分线上， ∴点C的横纵坐标互为相反数， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，连接，的面积为12，的面积是17，若，则的值为　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式可证得，进而得到，由角平分线性质可得，求解计算即可． 【详解】 解： 的面积是17 过点分别向、边作垂线，垂足分别为点、，如图： 是的平分线 ，即 ． 故答案为：10． 12．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，则点D到的距离为　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识解决问题是关键． 如图：过点D作于点H．利用角平分线的性质判断出即可． 【详解】 解：如图：过点D作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴． ∴点D到的距离是3． 故答案为：3． 13．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了角平分线的判定与性质．此题比较简单，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解． 【详解】 解：∵，点P在上， ∴平分， ，， ． 故答案为：． 14．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 【答案】（1）（）；（2）；（3）． 【分析】 本题主要考查角平分线性质，全等三角形的判定与定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由角平分线性质定理得，根据三角形面积可得结论； （2）分别过点作轴于点，轴于点，根据证明可得，进而可求出的值； （3）分别过点作轴于点，轴于点， 根据角平分线性质定理得，由（2）得可得，即可求出． 【详解】 解：∵平分交于点，过点分别作， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分别过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵点， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 （3）分别过点作轴于点，轴于点，如图， ∵， 由（1）可知，∴， ∴， 由（2）可知， ∴，      ∴． 15．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）尺规作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，在边上作一点P，使P到的两边的距离相等． （2）如图2，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求：      （2） 解：如图所示，即为所作： ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可；然后证明，则，即可证明平行． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了尺规作图-作角平分线，作一个角等于已知角，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是正确作图． 16．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】 证明：∵平分，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【详解】 17．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，， （1）在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求，      （2）14      【分析】 （1）作的角平分线：先以点B为圆心，一定长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与两弧的交点，交于点D，根据角平分线的性质定理可知，此时点到边的距离与到边的距离相等； （2）过点D作，由作图可知，再根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如（1）图，过点D作， 由（1）可知，点D到边的距离与到边的距离相等， ∵，， ∴， ∵， ∴ ． 18．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】 解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 19．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，作于，于，于，连接，由角平分线的性质结合的面积是2可得，再由的面积是6可得，从而得到，计算即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于，于，于，连接， ， 平分，，， ， 同理可得：， ， ，的面积是2， ， ， ， 的面积是6， ， ， ， 故答案为：8． 20．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 【答案】证明：∵， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，， ∴是的平分线， 即平分． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定、等角对等边等知识，证明是关键．证明，得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】 略 21．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，四边形中，，，于D． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：作于E， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．     （2）4      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的判定即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DEAB于点E，DE=2，AB=4，则AC长是　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【详解】 解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2， ∵AB×DE×4×2=4， ∵△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10-4=6， ∴AC×DF=6， ∴AC=6． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 23．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，四边形中，，连接，，垂足是，且，点是边上的一动点，则的最小值是　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查角平分线的性质，垂线段最短，根据等角的余角相等，得到，根据垂线段最短以及角平分线的性质，得到当时，最短，此时，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为的角平分线， ∵点是边上的一动点， ∴当时，最短， ∵为的角平分线，， ∴； ∴的最小值是5； 故答案为：5． 24．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． （1）求证：为的平分线． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，过点作，，， 分别是外角和的平分线， ，， ， ，， 为的平分线；     （2） 解：是的外角，是的外角， ，， 分别是外角和的平分线， ，， ， 为的平分线， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）过点作，，，根据角平分线的性质，得出，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，再结合，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，垂足分别为点 B 和点 E，与相交于点 F，连接，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． 先证，可得，再证，可得结论． 【详解】 证明：，平分， ， ， ， ， ，， ， ． 26．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，，点为的延长线上的一点． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法），作的角平分线； （2）在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 【答案】（1）图见解析；     （2）．      【分析】 （1）以点为圆心、任意长度为半径，画弧交、，再分别以两交点为圆心，以相同半径画弧相交，连接点与该交点即为角平分线； （2）由两直线平行内错角相等可得，再结合角平分线定义、外角性质即可求得． (1) 小问详解： 解：作的角平分线如下图： (2) 小问详解： 解：， ， 是的角平分线， ， 是的外角， ， ． 【点睛】 本题考查的知识点是尺规作图—角平分线，平行线性质、角平分线的相关计算、外角性质，解题关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法． 27．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图1，的两个外角的平分线相交于点． （1）与的数量关系是________．（直接写出答案） （2）如图2，连接．求证：平分． 【答案】（1）     （2） 证明：过点分别作于，于，于，        ，分别是外角的平分线，，，， ，，        ，        ∵，， 在的平分线上， 平分．      【分析】 （1）先根据内外角关系得到，，结合内角和定理得到，再根据角平分线得到，最后根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）过点分别作于，于，于，根据角平分线性质得到， (1) 小问详解： 解：，理由如下， ∵、是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是外角的平分线， ∴ ， ∵， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了三角形内外角关系，三角形内角和定理，角平分线性质定理及判定，解题的关键是熟练掌握各知识点及作出辅助线． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．B 3．B 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 11．【答案】（3，-2）. 【分析】根据全等三角形的性质和点的坐标得出OA=OA′=3，OB=A′B′=2，即可得出答案． 【详解】解：∵A（-3，0），B（0，2），△OA′B′≌△OAB， ∴OA=OA′=3，OB=A′B′=2， ∴点B′的坐标是（3，-2）， 故答案为（3，-2）． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，全等三角形的性质，解题的关键是求出OA=OA′=3，OB=A′B′=2，数形结合思想的运用． 12．【答案】4 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 考点02 三角形全等的判定 1．C 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．D 8．D 9．D 10．D 11．A 12．B 13．C 14．B 15．A 16．D 17．A 18．D 19．C 20．D 21．B 22．A 23．B 24．D 25．A 26．B 27．C 28．B 29．B 30．A 31．B 32．C 33．A 34．C 35．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加条件：，可利用定理判定． 【详解】 解：添加条件：， 在和中， ， ， 故答案为：． 36．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据SSS证明，再根据全等的性质即可求解． 【详解】 是的中点， , 在和中， ， ， ． 故答案为：． 37．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴；     （2）11      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．【答案】的长为 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．先证明，得出，再求出，即可得出． 【详解】 解：， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 39．【答案】 【分析】 本题考查三角形中求线段长，涉及两个三角形全等的判定与性质，熟记三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合表示出的长求值即可得到答案． 【详解】 解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 40．【答案】（1） 解：，如图所示；      （2）      【分析】 本题考查了与角平分线有关的计算，作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在点处作，根据内错角相等，两直线平行，得出，即可作答． （2）先结合平行线的性质得，根据角平分线的定义得，因为两直线平行，内错角相等得，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 41．【答案】15 【分析】 本题考查全等三角形的应用，证明得到即可解答． 【详解】 解：由题意，，， 在和中， ， ∴， ∴． ∵的长是15米， ∴A，B两点间的距离为15米． 故答案为：15． 42．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴；     （2） 解：相等，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用证明即可； （2）由推出，由线段的和差求得，再利用证明，即可推出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 43．【答案】或者（答案不唯一） 【分析】 本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可． 【详解】 解：所添加条件为：或； ① ∵，，为公共边， ∴； ② ∵，，为公共边， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 44．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定．利用“”证明三角形全等的方法即可． 【详解】 解∶∵，， ∴和均为直角三角形， ∵ 若用“”证明，则需要添加的条件是． 故答案为：． 45．【答案】证明：在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得，再根据等边对等角可得结论． 【详解】 略 46．【答案】 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得的长，再利用的长除以运动速度即可得． 【详解】 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵该人的运动速度为， ∴这个人从点走到点所用时间为， 答：这个人从点走到点用了时间． 47．【答案】线段长度为 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．先根据定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出． 【详解】 解：由题意知， 在和中， ， ， ， ， ． 答：线段的长度为． 48．【答案】（1） 证明：平分， ， 、 在和中， ；     （2）28      【分析】 本题考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义可得，由垂直的性质可得，根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得和，根据三角形的面积公式计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知： ， ． 答：四边形的面积是． 49．【答案】 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据，对顶角相等，即可证明；根据得出相似比，再根据相似比求出的长度，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 50．【答案】（1） 如图，即为所求作的角；      （2） 证明：（已知） 在和中       【分析】 本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，掌握基本作图是解本题的关键； （1）作即可； （2）根据得出，进而证明，得出即可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 51．【答案】（1）证明：∵， ∴，即∠BAD=∠CAE， 在和中， ， ∴， ∴BD=EC；                                                                                                                            （2）BD⊥DE． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 【分析】 （1）求出∠BAD=∠CAE，根据SAS推出，根据全等三角形的性质推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据求出即可． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：① 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，② 全等三角形的对应角相等，对应边相等． 52．【答案】90 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，证明，得出，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． 53．【答案】教学楼顶部宣传牌的高度为 【分析】 本题考查了全等三角形的应用，余角，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．根据三角形内角和定理和余角的性质可得出，根据证明，得出，即可求解． 【详解】 解：由题意知，， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 答：教学楼顶部宣传牌的高度为． 54．【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ；     （2）4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）先由平行线的性质可得，最后再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，从而即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）可得：， ，， ∵，， ，， ． 55．【答案】（1） 方法一可行，理由如下： 在和中， ， ， ； 方法二可行，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ；     （2）（答案不唯一）     （3） 不可行，可添加条件为，证明如下： ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）方法一利用定理证明可得；方法二利用定理证明可得； （2），可得，利用定理证明可得； （3）添加条件为，利用证明三角形全等，即可解答． (1) 小问详解： 解：略； (2) 小问详解： 解：只需即可， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． (3) 小问详解： 解：略． 56．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 过C和B分别作轴于D，于E，利用已知条件可证明，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【详解】 解：过C和B分别作轴于D，于E， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴则B点的坐标是． 故答案为：． 57．【答案】（1）甲方案、乙方案     （2）见解析      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． (1) 小问详解： 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， (2) 小问详解： 解：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 58．【答案】（1） 证明：， ， 即， ， 在和中， ．     （2）4      【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，然后根据证明即可； （2）由（1）得，那么，进而得出，证明，则，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 59．【答案】4 【分析】 根据，得，根据证， 可求得，，再利用线段的和差可求得． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质，解题的关键时掌握并灵活运用这些知识点． 60．【答案】（1）AD=BE． （2）成立， 证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形 ∴EC=AC，BC=DC， ∠ACE=∠BCD=60°， ∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD； 在△ECB和△ACD中， ， ∴△ECB≌△ACD（SAS）， ∴BE=AD． （3）∠APE=60°． 【分析】 （1）直接写出答案即可． （2）证明△ECB≌△ACD即可． （3）由（2）得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论，借助内角和定理即可解决问题． 【详解】 解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形， ∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD， ∴∠ACD=∠ECB； 在△ACD与△ECB中， ， ∴△ACD≌△ECB（SAS）， ∴AD=BE， 故答案为AD=BE． （2略 ） （3））∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°． 如图2，设BE与AC交于Q， 由（2）可知△ECB≌△ACD， ∴∠BEC=∠DAC 又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180° ∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°． 考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 61．【答案】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】 略 62．【答案】（1）①；②     （2） ，理由如下： 如图，连接， AI    ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ．     （3）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）① 先证出，再根据全等三角形的性质即可得出结论； ② 在中，根据勾股定理即可得出结论； （2）连接，先证出，再在中，根据勾股定理即可得出结论； （3）过点作的垂线，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再在中，利用勾股定理可得，从而可得，在中，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． (1) 小问详解： 解：①， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴线段和线段关系是， 故答案为：； ② 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为： AD2+BD2=DE2 ． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，过点作的垂线，交于点，    ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， 在中，， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以线段的长为． 63．【答案】（1） 证明：， ， 即． 在和中 ， ， ；     （2）∠ACB＝140°      【分析】 （1）根据“”证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：， ． ， ． 【点睛】 本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质知识． 64．【答案】（1） 解：同意，理由如下： 由题意可知，，， ∴ ∴，， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再根据同角的余角相等即可得解； （2）证明，得出，，即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由题意可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即的长为． 65．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】 解：由题可知， ， ， 在与中， （AAS）， ， 答：教学楼高度为． 66．【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， 在中，， ；     （2）．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过角度关系证明三角形全等，进而利用全等三角形的性质求解． （1）利用垂直的性质和角的和差关系，证明； （2）证明，利用全等三角形的性质得出对应边相等，进而求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意得，， 在和中， ，， ， ， ， ， ． 67．【答案】证明： 即： 在和中 【详解】 试题分析：由判定得到 试题解析：略． 68．【答案】证明：， ， 即． 在和中， ， ∴． ． 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，证明即可． 【详解】 略 69．【答案】 【分析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案 【详解】 如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则 ，的面积分别为和， 正方形，，， 同理可得： 故答案为：． 70．【答案】证明：， ， 在和中， ∵ ， ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质，先证，再根据角边角判定得到，即可得到证明． 【详解】 略 71．【答案】（1） 解：，理由如下： 过作交于，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质； （1）过作交于，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （2）先求出，则，由（1）得，则． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 72．【答案】证明：是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，证明，推出，证明，即可推出． 【详解】 略 73．【答案】教学楼的高度为． 【分析】 本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴教学楼的高度为． 74．【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中 ∴ ∴ 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等判定的方法；根据垂直得到角相等，根据线段和差得到边相等，进而判断三角形全等即可得到答案； 【详解】 略 75．【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ；     （2）2．      【分析】 本题考查平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件． （1）直接利用全等三角形的判定方法即可证明； （2）由全等三角形的性质可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 即． 76．【答案】（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）选择② 为条件，① 为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择① 为条件，② 为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）4 【分析】 （1）利用证明即可； （2）选择② 为条件，① 为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； 选择① 为条件，② 为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到即可解答； （3）延长交的延长线于点，先证明，可得，再由平分得出，再证明，从而可以解答． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）证明：如图，延长交的延长线于点， ， ， 又， ， 在和中 ， ， ， 平分 又 【点睛】 本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 77．【答案】9 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，作出合适的辅助线证明是解题的关键．延长交于点E，根据题意利用可证，从而得到，进而推出，，即可得到． 【详解】 解：延长交于点E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴． 故答案为：9． 78．【答案】（1）     （2） ① 证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ； ②或      【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）① 作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ② 当在线段上时，由① 得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点，求出，得到． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中 ， ， ； (2) 小问详解： ① 略 ② 解：当在线段上时， 由① 得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点，同① 得，， ，，， ， ， ，即， ， ， ， ， 综上所述的长为或． 79．【答案】7 【分析】 通过构造辅助线，利用角平分线、垂直的性质证明线段相等，结合中位线定理确定的高的最大值，进而求出面积最大值． 【详解】 解：延长交的延长线于点，取的中点，连接． ∵平分，， ∴∠ACM=∠ACD，∠MAC=∠DAC=90°， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，是中点， ∴， 当时，的面积最大， ∵， 的最大面积， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及中位线定理是解题的关键． 80．【答案】（1） 解：① 小丹的思路； 证明：过点作的垂线交于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ② 小明的思路； 证明：过点作的垂线交延长线于点， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．     （2）①；②      【分析】 （1）① 小丹的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，，证明，进而得出． ② 小明的思路：利用等腰直角三角形的性质和判定，得出，，证明，得出，，证明是等腰直角三角形，进而得出，可证． （2）① 根据等腰直角三角形得性质和判定，可得，是等腰直角三角形，进而得出，，证明，得出，从而求得，． ② 根据等腰直角三角形的性质可得，，，再利用三线合一可得，，，进而得出，，再利用等腰三角形的性质可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 如图，当点在的延长线上运动时，过点作，交 延长线于点， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ② 当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．C 2．B 3．C 4．B 5．B 6．【答案】3 【分析】 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P作于点F，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】 解：过点P作于点F，如图所示： ∵平分，于点D，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴根据“垂线段最短”得：， ∴当点E与点F重合时，为最小，最小值为． 故答案为：3． 7．【答案】 【分析】 本题考查了角平分线的性质，过点D作于点E，于点F，根据角平分线的性质可得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】 解：过点D作于点E，于点F， ∵平分， ∴， 又，， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，三角形外角的性质，根据作图方法可得平分，据此求出，根据平分求出，进而利用即可求出答案． 【详解】 解：由作图方法可得平分 ， ∵平分， ∴ ， ， 故答案为：． 9．【答案】解：如图，即为所求． ． 【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图是解题关键．根据角平分线的尺规作图的方法作出的角平分线即可得． 【详解】 略 10．【答案】 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图，第四象限的角平分线上的点的坐标特点，由作图方法可知，点C在第四象限的角平分线上，则点C的横纵坐标互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】 解：由作图方法可知，点C在的角平分线上，即点C在第四象限的角平分线上， ∴点C的横纵坐标互为相反数， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 11．【答案】10 【分析】 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形的面积公式可证得，进而得到，由角平分线性质可得，求解计算即可． 【详解】 解： 的面积是17 过点分别向、边作垂线，垂足分别为点、，如图： 是的平分线 ，即 ． 故答案为：10． 12．【答案】3 【分析】 本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质等知识点，读懂图形信息、灵活运用所学知识解决问题是关键． 如图：过点D作于点H．利用角平分线的性质判断出即可． 【详解】 解：如图：过点D作于点H． 由作图可知平分， ∵，， ∴． ∴点D到的距离是3． 故答案为：3． 13．【答案】 【分析】 此题考查了角平分线的判定与性质．此题比较简单，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可求解． 【详解】 解：∵，点P在上， ∴平分， ，， ． 故答案为：． 14．【答案】（1）（）；（2）；（3）． 【分析】 本题主要考查角平分线性质，全等三角形的判定与定理，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由角平分线性质定理得，根据三角形面积可得结论； （2）分别过点作轴于点，轴于点，根据证明可得，进而可求出的值； （3）分别过点作轴于点，轴于点， 根据角平分线性质定理得，由（2）得可得，即可求出． 【详解】 解：∵平分交于点，过点分别作， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分别过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵点， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 （3）分别过点作轴于点，轴于点，如图， ∵， 由（1）可知，∴， ∴， 由（2）可知， ∴，      ∴． 15．【答案】（1） 解：如图，点即为所求：      （2） 解：如图所示，即为所作： ∵， ∴， ∴， ∴．      【分析】 （1）作出的角平分线与交点即为点，根据角平分线的判定即可； （2）根据作一个角等于已知角的方法先作，再按照题意作图即可；然后证明，则，即可证明平行． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了尺规作图-作角平分线，作一个角等于已知角，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是正确作图． 16．【答案】见解析 【分析】 本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质．根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论． 【详解】 证明：∵平分，，， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【详解】 17．【答案】（1） 解：如图，点D即为所求，      （2）14      【分析】 （1）作的角平分线：先以点B为圆心，一定长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与两弧的交点，交于点D，根据角平分线的性质定理可知，此时点到边的距离与到边的距离相等； （2）过点D作，由作图可知，再根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如（1）图，过点D作， 由（1）可知，点D到边的距离与到边的距离相等， ∵，， ∴， ∵， ∴ ． 18．【答案】 【分析】 本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】 解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 19．【答案】8 【分析】 本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，作于，于，于，连接，由角平分线的性质结合的面积是2可得，再由的面积是6可得，从而得到，计算即可得到答案． 【详解】 解：如图，作于，于，于，连接， ， 平分，，， ， 同理可得：， ， ，的面积是2， ， ， ， 的面积是6， ， ， ， 故答案为：8． 20．【答案】证明：∵， ∴． ∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵，， ∴是的平分线， 即平分． 【分析】 此题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定、等角对等边等知识，证明是关键．证明，得到，再根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】 略 21．【答案】（1） 证明：作于E， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．     （2）4      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）作于E，易得；再证明可得，最后根据角平分线的判定即可证明结论； （2）由全等三角形的性质以及已知条件可得，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．【答案】6 【分析】 根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【详解】 解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2， ∵AB×DE×4×2=4， ∵△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10-4=6， ∴AC×DF=6， ∴AC=6． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 23．【答案】5 【分析】 本题考查角平分线的性质，垂线段最短，根据等角的余角相等，得到，根据垂线段最短以及角平分线的性质，得到当时，最短，此时，即可得出结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为的角平分线， ∵点是边上的一动点， ∴当时，最短， ∵为的角平分线，， ∴； ∴的最小值是5； 故答案为：5． 24．【答案】（1） 证明：如图，过点作，，， 分别是外角和的平分线， ，， ， ，， 为的平分线；     （2） 解：是的外角，是的外角， ，， 分别是外角和的平分线， ，， ， 为的平分线， ， ．      【分析】 本题考查了角平分线的判定和性质性质，三角形外角的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）过点作，，，根据角平分线的性质，得出，即可证明结论； （2）由三角形外角的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，再结合，即可证明结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 25．【答案】见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． 先证，可得，再证，可得结论． 【详解】 证明：，平分， ， ， ， ， ，， ， ． 26．【答案】（1）图见解析；     （2）．      【分析】 （1）以点为圆心、任意长度为半径，画弧交、，再分别以两交点为圆心，以相同半径画弧相交，连接点与该交点即为角平分线； （2）由两直线平行内错角相等可得，再结合角平分线定义、外角性质即可求得． (1) 小问详解： 解：作的角平分线如下图： (2) 小问详解： 解：， ， 是的角平分线， ， 是的外角， ， ． 【点睛】 本题考查的知识点是尺规作图—角平分线，平行线性质、角平分线的相关计算、外角性质，解题关键是熟练掌握角平分线的尺规作图方法． 27．【答案】（1）     （2） 证明：过点分别作于，于，于，        ，分别是外角的平分线，，，， ，，        ，        ∵，， 在的平分线上， 平分．      【分析】 （1）先根据内外角关系得到，，结合内角和定理得到，再根据角平分线得到，最后根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）过点分别作于，于，于，根据角平分线性质得到， (1) 小问详解： 解：，理由如下， ∵、是的外角， ∴，， ∵， ∴， ∵，分别是外角的平分线， ∴ ， ∵， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了三角形内外角关系，三角形内角和定理，角平分线性质定理及判定，解题的关键是熟练掌握各知识点及作出辅助线． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，，，，则的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 2．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（       ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，若，且，，则的长为（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，交于点，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）已知图中的两个三角形全等，其中的字母表示边长，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则这样的点P有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，，在同一直线上，且，， 则的长（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，，点在上，，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，点，在的边上，且，下列说法错误的是（     ） A. 经过平移可与重合，平移的距离为的长 B. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 C. 将沿的垂直平分线翻折，可与重合 D. 将绕的中点逆时针旋转，不能与重合 10．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在中，于点D，E是上一点．若，，，则的周长为（       ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 26 11．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A(-3，0)，B(0,2)，，在x轴上，则点的坐标是　　　　　. 12．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，，，若，则等于　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，已知，若使，则需使的长为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 2．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为的值为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图所示，是一个任意角在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法的道理是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长度为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 9．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．下列说法：①；②；③；④和面积相等．其中正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，，，则下列结论不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，可证，那么测量出的长就是池塘两端A，B的距离．证明的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，，如果根据“”判断，那么需要补充的条件是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，，，，则（          ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，若，，则，判定的根据是（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（       ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 18．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，已知，，增加下列条件，不能肯定的是（     ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，已知，添加下列条件仍无法证明的是（　　） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，在四边形中，平分，，若，，则的长为（       ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 22．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，点是边的中点，，，，若，，则的长是（     ） A.  B. 3 C.  D. 5 23．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，在和中，，，，直线，交于点，连接．下列结论：①，②，③，④平分，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 24．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，与相交于点，且是的中点，添加下列条件，不能说明的是（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，在中，，是延长线上的点，过点作，垂足为，交于点，若，，，则的长为（     ） A. 0.8 B. 1 C. 1.6 D. 1.8 26．（25-26学年八上·辽宁沈阳辽中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3）且AO=BO，∠AOB=90°则点B的坐标为（　　） A. （2，3） B. （-3，2） C. （-3，-2） D. （-2，3） 27．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，、相交于点，，下列条件中，添加后仍不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，，．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 29．（25-26学年八上·辽宁本溪·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 30．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，已知，要使，则可以添加下列哪一个条件（　　） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 32．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 33．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，已知，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件是（       ） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，平分，P为上一点，且于点D，于点E，，给出下列结论：①；②；③；④的面积是面积的2倍，其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 35．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，已知，，请添加一个条件　　　　　　，使．并且判定方法为． 36．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，，，点是的中点，若，则　　　　　　. 37．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 38．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，，，，，，求的长． 39．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，，，，，，则的长为　　　　　　　　． 40．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，直线与相交于点A，平分． （1）利用尺规：过点B作直线，交于点D； （2）若，求的度数． 41．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，则A，B两点间的距离为　　　　　　　　米． 42．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）如图，点E在上，点F在上，，． （1）求证：； （2）判断与是否相等，并证明你的结论． 43．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，已知，只要再添加一个条件：　　　　　　，就能使．（填一个即可） 44．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据证明，则需添加的一个条件是　　　　　　． 45．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，，相交于点．求证：． 46．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，某地有两棵树与相距，某人沿方向从A点走向B，一段时间后他到达点，此时他抬头看两树的顶端点和，若两次视线的夹角，树的高为，该人的运动速度为，求这个人从点走到点用了多长时间． 47．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等，若，求线段的长度． 48．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，平分，，，垂足分别为B，D． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 49．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，为四边形边上一点，连接并延长交延长线于点，已知．，，求的长度． 50．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，点在边的延长线上，过点作射线，点是射线上一个定点． （1）用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与的延长线交于点．（保留作图痕迹，不写过程和结论） （2）在（1）问条件下，若，求证： 51．（25-26学年八上·辽宁鞍山千山区·期中）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E在同一直线上，连结BD． （1）求证：BD=CE； （2）BD与CE有何位置关系？请证明你的猜想． 52．（25-26学年八上·辽宁大连·期中）如图，和放在正方形网格内，则　　　　　　　　　　　°． 53．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）数学老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，第一小组的任务为测量教学楼顶部宣传牌的高度．他们制定了测量方案进行实地测量，测量方案如表： 课题 测量教学楼顶部宣传牌的高度 工具 皮尺、测角仪、激光笔等 测量方案及示意图 ①第一小组在地面上的点C处安装一测角仪，测得的度数，然后沿方向走到点E处，在点E处安装一测角仪，测得的度数，发现与互余；②测得，，利用激光笔测得点A，Q，P在一条直线上． 说明 已知图中所有点均在同一平面内，，测角仪与地面的距离忽略不计． 请根据测量方案求出教学楼顶部宣传牌的高度． 54．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 55．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，最后测出的长即为的距离． 乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离． （1）请你在甲同学和乙同学的方案中任选一种进行证明； （2）小明说：“在方案2中，并不一定需要，将“”换成条件___________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上； （3）丙同学给出了第三种解决方案：如图③，先确定直线，过点作射线，在射线上找可直接到达点的点，连接，作，交直线于点，则测出的长即为间的距离．你认为他的方案可行吗？如果可行请证明；如果不可行，请你添加一个条件使方案可行，并尝试证明． 56．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）如图，，，点，则点B的坐标是　　　　　　　　． 57．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 58．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）延长至点使得，连接交于点，若，求的长． 59．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，已知在中，，，是过点A的直线，，，垂足分别是D、E，若，，则　　　　． 60．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）（多选）在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究： 已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，连接AD、BE交于点P． （1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是：        ． （2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由． （3）在（2）的条件下，∠APE的大小是否随着∠ACB的大小的变化而发生变化，若变化，写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数． 61．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，平分，于点，．求证：． 62．（25-26学年八上·辽宁阜新彰武县·期中）已知：在中，，点在直线上，连接，在的右侧作．    （1）如图1，①点在边上，线段和线段关系是________； ②直接写出线段之间的数量关系________； （2）如图2，点在右侧．请写出线段之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，，请直接写出线段的长． 63．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E． （1）求证：BC＝DC； （2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数． 64．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗?请说明理由； （2）求的长． 65．（25-26学年八上·辽宁鞍山岫岩满族自治县·期中）综合与实践 同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．八年级数学兴趣小组利用活动课时间开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 项目主题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在教学楼外选定一点C；②测量教学楼顶点A视线与地面夹角；③测量的长度；④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；⑤测量标杆顶部E视线与地面夹角；⑥测量的长度． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度的值． 66．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）小强同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，表示小球静止时的位置．如图2，当小强用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作，垂足为，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中的、、、在同一平面上），过点作，垂足为，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 67．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，已知点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：AC＝DF． 68．（25-26学年八上·辽宁大连金普新区·期中）如图，，求证：． 69．（25-26学年八上·辽宁沈阳第七中学·期中）如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为　　　　　． 70．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图，，，．求证：． 71．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图．于于，延长交的延长线于点，连接． （1）试判断，，的数量关系．并说明理由； （2）若，求的度数． 72．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，是的平分线，是上一点，于，于，是上的另外一点，连接，．求证：． 73．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）红星学校兴趣小组开展了测量学校教学楼高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 C；（2）测量教学楼顶点A 的视线与地面夹角；（3）测的长度；（4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面；（5）测量标杆顶部E的视线与地面夹角． 测量数据 ， ， ， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼的高度． 74．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图， 于E， 于F，．求证：． 75．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，在与中，点在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 76．（25-26学年八上·辽宁鞍山台安县·期中）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，在中，，，平分，与交于点E，过点作于点，若，求的值． 77．（25-26学年八上·辽宁大连高新技术产业园区·期中）如图，的面积为，平分，过点作于点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 78．（25-26学年八上·辽宁盘锦兴隆台区·期中）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． （1）如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； （2）连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 79．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在四边形中连接，其中平分，且于点，当的边长满足时，请求出面积的最大值为　　　　　　　　　　　． 80．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）在数学活动课上，老师给出如下问题，如图1，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，连接．求证：． （1）小丹和小明两位同学从结论的角度分析，都认为通过证明三角形全等，就可以得出结论，但两位同学作了不同的辅助线； ①小丹同学的思路：过点作的垂线交于点，证明； ②小明同学的思路：过点作的垂线交延长线于点，证明； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． （2）在（1）基础上，两名同学继续进行拓展探究，并提出了如下问题： ①如图2，当点在的延长线上运动时，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，延长，交于点，当为中点，且点，，在同一条直线上时，若，，直接写出长． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）点P在的平分线上，点P到边的距离等于5，D是边上的任意一点，则下列选项正确的是 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，是的角平分线，于点，的面积是10，若，则点到的距离是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）如图，在中，，，，平分，则点到的距离等于（   ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 5．（25-26学年八上·辽宁抚顺东洲区·期中）如图，仔细观察尺规作图的痕迹，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·辽宁大连西岗区第三十七中学·期中）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 　　　　　 ． 7．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，平分，，，则　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，平分，点A，B是射线上的点，连接，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D； ②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E； ③作射线，交于点P． 若，则的度数为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，已知，用尺规作出的角平分线．（保留作图的痕迹，不写作法） 10．（25-26学年八上·辽宁铁岭开原·期中）如图，点A、B分别在轴、轴上，，分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点．若点的坐标为，则的值为　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，连接，的面积为12，的面积是17，若，则的值为　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·辽宁大连中山区·期中）如图，在中，．用尺规作图法作出射线，交于点D，，则点D到的距离为　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛龙港·期中）【定理再现】 角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等． 【定理应用】 （1）如图1在中，平分交于点，过点分别作，垂足分别为点，，请直接写出与的比值___________．（三角形面积记为） 【数学感悟】 如图2，在平面直角坐标系中，点点，连接，过点作的垂线交轴正半轴于点． （2）当时，求的值． （3）连接与相交于点，若，求的值． 15．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）尺规作图，要求保留作图痕迹． （1）如图1，已知，在边上作一点P，使P到的两边的距离相等． （2）如图2，在的边上方作，在射线上截取，连接，并证明：． 16．（25-26学年八上·辽宁鞍山海城·期中）中，是它的角平分线，D是的中点，，，垂足分别为E、F．求证：． 17．（25-26学年八上·辽宁鞍山高新区·期中）如图，在中，， （1）在边上找一点D，使得点D到边的距离与到边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）在（1）的条件下，若，，求的面积． 18．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　　　　　　． 19．（25-26学年八上·辽宁铁岭铁岭县·期中）如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 　　　　　　　． 20．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛）如图，在中，点是内部一点，连接，，，过点分别作，，垂足分别为，，，．求证：平分． 21．（25-26学年八上·辽宁葫芦岛绥中县·期中）如图，四边形中，，，于D． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22．（25-26学年八上·辽宁大连第三十四中学·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DEAB于点E，DE=2，AB=4，则AC长是　　　　　． 23．（25-26学年八上·辽宁鞍山立山区·期中）如图，四边形中，，连接，，垂足是，且，点是边上的一动点，则的最小值是　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·辽宁营口盖州·期中）如图，在中，分别是外角和的平分线，它们交于点． （1）求证：为的平分线． （2）求证：． 25．（25-26学年八上·辽宁鞍山铁东区·期中）如图，垂足分别为点 B 和点 E，与相交于点 F，连接，平分．求证：． 26．（25-26学年八上·辽宁抚顺新宾满族自治县·期中）如图，，点为的延长线上的一点． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不用写作法），作的角平分线； （2）在（1）的条件下，若，恰好与平行，求的度数． 27．（25-26学年八上·辽宁大连甘井子·期中）如图1，的两个外角的平分线相交于点． （1）与的数量关系是________．（直接写出答案） （2）如图2，连接．求证：平分． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $