专题05 一元一次方程（期中真题汇编，吉林专用）七年级数学上学期

专题05 一元一次方程 3大高频考点概览 考点01 等式的性质 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 等式的性质 1．（25-26学年七上·吉林四平第三中学校·期中）下列等式变形正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【分析】 本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】 解：A.如果，那么，故原说法错误，不符合题意； B.如果，那么，故原说法错误，不符合题意； C.如果，那么，说法正确，符合题意； D.如果，那么，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·吉林长春·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元一次方程的解法，通过去括号、移项和系数化为1等步骤求解即可． 【详解】 解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 解得：； 故选：B． 2．（25-26学年七上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）数轴上一动点向右平移6个单位长度后到达点，再向左平移3个长度单位后达到点，若点表示的数的绝对值是1，则点表示的数是（       ） A. 2 B.  C. 或 D. 或2 【答案】C 【详解】 解：设点A表示的数为x．    ∵ 点A向右移动6个单位到达点B， ∴ 点B表示的数为．    ∵ 点B向左移动3个单位到达点C， ∴ 点C表示的数为．    又∵ 点C表示的数的绝对值为1， ∴．    ∴或．    解得： 或．    ∴ 点A表示的数为或， 故选C． 3．（25-26学年七上·吉林松原长岭县·期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查数轴上两点间的距离，关键是找到刻度尺上“”对应数轴上的数与 3 之间的距离． 设刻度尺上“”对应数轴上的数为 x ，利用 x 与 3 相距个单位长度，列方程求解即可． 【详解】 解：设刻度尺上“”对应数轴上的数为 x， ∵“”与“”相距， ∴x与3相距个单位长度， ∴，解得：， 故选：D． 4．（25-26学年七上·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 5．（25-26学年七上·吉林四平双辽·期中）若与是同类项，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了同类项的定义，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义求出的值，代入中计算即可． 【详解】 解：与是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 6．（25-26学年七上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）已知两个多项式，，以下结论正确的有　　　　　　（填序号）． ①若，则； ②； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，则满足等式的x的值有3个． 【答案】① ③ ④ 【分析】 对于结论①，计算得到，令其等于4解得；对于结论②，计算得到，与给定不符；对于结论③，将表达式化简后令x的系数为0，解得a和b的值，求和为；对于结论④，解绝对值方程得到三个不同的x值． 本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握整式的加减运算，及解一元一次方程是解题关键． 【详解】 解：① ， 由得， 故①正确； ② ， ， 故②错误； ③ ， ∵的值与x无关， ∴且， 解得，，， 故③正确； 由， 得， 即， 解得或2， 当时，， 当时，或，共三个值， 故④正确． 故答案为① ③ ④． 7．（25-26学年七上·吉林长春第五十二中学·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如，把某数时的多项式的值用（某数）来表示． 例如时多项式的值记为， 已知， （1）求的值； （2）若，直接写出的值为______． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查代数式求值，解一元一次方程． （1）把代入求解即可； （2）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代入计算即可． (1) 小问详解： 解：当时，多项式的值记为 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 整理得：， 解得， ∴ 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 【答案】【课本再现】亏损，8；【解决问题】小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于探究1，根据原价降低等于60得出方程，求出解，进而得出盈亏情况； 对于解决问题，先设小书包进价为x元，则大书包进价为元，根据利润相同列出方程，求出解即可． 【详解】 【课本再现】 探究1：根据题意，得， 解得． ∴， 由此可知卖这两件衣服共亏损了8元； 故答案为：亏损，8； 【详解】【解决问题】 解：设小书包进价为x元，则大书包进价为（x+10）元，根据题意，得 ， 解得． ∴． 答：小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 2．（25-26学年七上·吉林长春九台区城子街片区·期中）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则点C表示的数是　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 画出对应数轴，设点C表示的数是，分类讨论① 当点在点的右边② 当点在点之间即可求解． 【详解】 解：设点C表示的数是 ① 当点在点的右边，如图：    由题意得： 解得： ② 当点在点之间，如图：    由题意得： 解得： 故点C表示的数是或 故答案为：或 【点睛】 本题考查了一元一次方程、数轴上两点之间的距离．分类讨论是解题关键． 3．（25-26学年七上·吉林吉林昌邑区·期中）【阅读理解】表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可以理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）可以理解为_____与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）利用如图所示的数轴求出所有符合条件的整数，使得； 【解决问题】已知数轴上两点、对应的数分别为－8和3，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： （3）当点在点、两点之间时，则有；当点不在点、两点之间时，若，则点表示的数为_____；由此可得，点到、两点的距离之和的最小值为11，若表示的为整数，且点不与、两点重合，这样的点有_____个； （4）当点到点的距离等于点到点的距离的2倍时，直接写出的值． 【答案】（1），－3；（2）或；（3）－9或4．（4）或14． 【分析】 本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离，解一元一次方程； （1）根据题意即可得出结果； （2）可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于，即可求解； （3）根据题意分两种情况分析：当时，当时，然后化为一元一次方程求解即可； （4）由（3）得点A表示的数为，点B表示的数为3，根据题意得：，然后求解绝对值方程即可． 【详解】 解：（1）可以理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，－3； （2）因为， 所以可以理解为：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5， 结合数轴可得：或； （3）表示x到和到3的距离之和为13， ∵点不在点、两点之间， ∴当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得：； ∴点表示的数为或4； 当时，， ∴这样的点有共计10个； 故答案为：或4；10； （4）由（3）得点A表示的数为，点B表示的数为3， 根据题意得：， 解得：或． 4．（25-26学年七上·吉林长春·期中）甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营的一号营地出发，每小时行进；乙队从距大本营的二号营地出发，每小时行进．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 【答案】后，甲队在途中追上乙队 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设两队行进的时间为，根据“路程速度时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为和从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为和．甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程乙队距大本营的路程，列出方程求解即可． 【详解】 解：设两队行进的时间为，根据题意： ． 解得： 答：后，甲队在途中追上乙队． 5．（25-26学年七上·吉林长春·期中）阅读材料： 材料一：对实数a，b，定义的含义：当时，，当时，． 例如：，． 材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯提出了下面的问题：据说，当其他同学忙于把100个数逐渐相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确的答案：． 也可以这样理解：令①，则②， 由①+②，得，即． 请你根据上述材料，解答下列问题． （1）______，______； （2）计算：； （3）解方程：； （4）当，且时，直接写出的值． 【答案】（1）1，4     （2）8     （3）或     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的求解，正确理解题意是解题关键； （1）根据材料一即可求解； （2）根据材料一即可求解； （3）分类讨论若，若，即可求解； （4）根据，推出；求得；确定一般规律，即可对所求式子展开求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：，； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：若，则， ∴原方程为：，解得； 若，则， ∴原方程为：，解得； ∴原方程的解为：或； (4) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵， ∴，解得：； ∵， ∴； 则， ∵ ∴ ． 6．（25-26学年七上·吉林长春五十二·期中）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游7天，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为每人7天共2000元，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措；甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠. （1）如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为                 元，乙旅行社的费用为     元；（用含的式子表示，并化简） （2）假如这个单位有20名员工参加旅游，该单位选择哪一家旅行社比较合算？并说明理由. （3）假如这7天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程） 【答案】（1）1500a；（1600a-1600）； （2）解：甲旅行社更优惠，理由： 将a=20代入得，甲旅行社的费用=1500×20=30000（元）； 乙旅行社的费用=1600×20-1600=30400（元） ∵30000＜30400元 ∴甲旅行社更优惠； （3）解：设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：a-3，a-2，a-1，a，a+1，a+2，a+3 ∴这七天的日期之和=（a-3）+（a-2）+（a-1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）=7a， ① 当7a =63×1时，则x=9，故9−3=6，他们6号出发； ② 当7a =63×2时，则x=18，故18−3=15，他们15号出发； ③ 当7a =63×3时，则x=27，故27−3=24，他们24号出发； ④ 当7a =63×4时，则x=36；因为五月最多有31天可知，不合实际； 则他们可能是6号或15号或24号出发. 【分析】 （1）由题意得，甲旅行社的费用=2000×0.75a；乙旅行社的费用=2000×0.8（a-1），再对两个式子进行化简即可； （2）将a=20代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠； （3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可． 【详解】 （1）由题意得，甲旅行社的费用=2000×0.75a=1500a； 乙旅行社的费用=2000×0.8（a-1）=1600a-1600， 故答案为：1500a；（1600a-1600）； （2）略 （3）略 【点睛】 此题考查列代数式和代数式的求值，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 7．（25-26学年七上·吉林第二实验学校·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： （1）操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示7的点重合的点表示的数是          ；此时表示数a的点与表示数          的点重合（用a的代数式表示）； （2）操作2：在数轴上剪下一条个单位长度（从到）的线段，并把这条线段沿某点进行折叠，然后沿着折痕剪一刀得到两条线段，若这两条线段的长度之比为，设折痕处对应的点表示的数为，求的值． （3）操作3：若点、表示的数分别是、，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为秒， 写出秒后，点所表示的数是_______，点所表示的数是______． 在运动过程中，是否存在时间，使得点与点到原点的距离相等，如果存在求出时间的值，如果不存在请说明理由． 【答案】（1），     （2）的值为或．     （3） ，． 在运动过程中，存在时间，使得点与点到原点的距离相等，时间的值为．      【分析】 本题考查数轴，列代数式，一元一次方程的应用． （1）先求出折痕点表示的数，然后列式求解即可； （2）根据题意分两种情况，分别求解即可； （3）根据题意即可得点，点所表示的数，根据运动过程可知，当点与点到原点的距离相等时，点与点都在原点右侧，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：折叠纸带，数轴上表示的点与表示的点重合， 设折痕表示的数为，则， 解得， ∴设折痕表示的数为， ∴与表示的点重合的点表示的数是，与表示的点重合的点表示的数是． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：根据题意可得，或， ∴或， ∴的值为或． (3) 小问详解： 解：根据题意可得，秒后，点所表示的数是，点所表示的数是． 故答案为：，． 在运动过程中，存在时间，使得点与点到原点的距离相等， 根据运动过程可知点与点都在原点右侧， ∴， 解得， ∴在运动过程中，存在时间，使得点与点到原点的距离相等，时间的值为． 8．（25-26学年七上·吉林第二实验学校·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． （1）如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． （2）如图，若，求长方形与的面积差． （3）两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 【答案】（1）     （2）     （3）小时或小时      【分析】 本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键． （1）利用整体思想，将原式化为，即可求值； （2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可； （3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由图可得长方形与的面积差为： 答：长方形与的面积差为． (3) 小问详解： 解：由题意得，， ． 设经过小时甲、乙两人相距千米， 则或， 即或， 解得，或． 答：甲、乙两人相距千米的时间为小时或小时． 9．（25-26学年七上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）“无限循环小数能化成分数吗？”受到教材中这个数学活动的启发，某同学对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究．以下是他以和为例进行的纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设，则．因为，所以，解得，所以． 由左侧推导可知，所以． （1）请仿照上述推导过程，将纯无限循环小数化为分数；（写出推导过程） （2）将混无限循环小数化为分数为___________； （3）计算：___________． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了无限循环小数化为分数，一元一次方程的应用； （1）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （2）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （3）根据（1）的方法，分别将无限循环小数化为分数，再进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解：设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴  (2) 小问详解： 解：设 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴  故答案为：． (3) 小问详解： 解：同（1）可得，， ∴ 。 故答案为：． 10．（25-26学年七上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，数轴上点为原点，点表示，点表示，点表示8．动点，同时出发，点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍；点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半．设运动时间为秒． （1）点从点运动至点时，的值为___________秒； （2）当秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是___________；（用含的代数式表示，无需写出的取值范围） （3）当两点相遇时，相遇点所表示的数是___________； （4）当线段与的长度相等时，的值为___________． 【答案】（1）     （2），     （3）     （4）1或或14      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题． （1）分别求出点从点运动至点B、点从点B运动至点C所用时间，进而相加即可； （2）由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度，进而可知当秒时，点在数轴上表示的数；求出点从点出发，沿数轴负方向运动至点的时间，进而可知点在线段上运动时，它在数轴上表示的数； （3）先表示出点P表示的数是，点Q表示的数是，然后根据当两点相遇时，求解即可； （4）分当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时三种情况列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍， ∴点从点出发，运动至点用时（秒），点到点后速度变为每秒2个单位长度， ∴点从点B运动至点用时（秒）， ∴点从点运动至点时，的值为秒． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度， ∴当秒时，点在数轴上表示的数是； ∵点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半， ∴点从点出发，沿数轴负方向运动至点，用时（秒），速度变为每秒1个单位长度， ∴当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是． 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：∵点从点运动至点B需要秒，点从点运动至点需要秒， ∴两点在线段上相遇时， 此时点P表示的数是，点Q表示的数是， 当两点相遇时，，解得， ∴相遇点所表示的数是． 故答案为：； (4) 小问详解： 解：当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 故答案为：1或或14． 11．（25-26学年七上·吉林长春朝阳区·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造；把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如，求的值． 我们将作为一个整体代入，得原式． 【教材原题】如图，若，求长方形与的面积差． 【尝试应用】当时，代数式的值为，当时，求代数式的值：（用含的代数式表示） 【拓展应用】、两地相距，甲以每小时的速度从地出发匀速驶往地：同时，乙以每小时的速度从地出发匀速驶往地．经过小时，甲、乙两人相遇．直接写出甲、乙两人相距的时间． 【答案】【教材原题】；；【尝试应用】；【拓展应用】甲、乙两人出发小时或小时相距千米 【分析】 本题考查的是整式的加减运算的应用，方程的应用，整体思想法，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【教材原题】先表示长方形与的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； 【尝试应用】由条件得到，再把代入可得，再整体代入计算即可； 【拓展应用】由小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距千米，当两人相遇后，相距千米，再列式计算即可． 【详解】 【教材原题】解：根据题意可知长方形与的面积差为： ， 将代入，原式． 【尝试应用】解：当时，， 即， ∴； 当时，， 故将代入， 则 ． 【拓展应用】解：由题意可得：， 即； 当两人相遇前，相距千米， 故（小时）， 当两人相遇后，相距千米， 故（小时）， 综上：当甲、乙两人出发小时或小时相距千米． 12．（25-26学年七上·吉林延边朝鲜族·期中）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是______；数轴上表示5和的两点之间的距离是______； 【独立思考】 （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______； （3）试利用数轴探究：当时，求m的值； 【实践应用】 （4）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，已知．若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时另一只蚂蚁从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向右运动，它们在点E处相遇，求点E对应的数． 【答案】（1）4；6；（2）；（3）或4；（4）点E对应的数是7 【分析】 （1）计算2和6的差的绝对值，5和的差的绝对值即可； （2）计算x和的差的绝对值即可； （3）根据题意可得表示数轴上表示和1的两点之间距离为3，即可解答； （4）根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a，b的值，设两只蚂蚁运动t秒相遇，根据题意列方程求出t即可． 【详解】 解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是， 数轴上表示5和的两点之间的距离是， 故答案为：4，6； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）∵表示数轴上表示和1的两点之间距离为3， ∴或， 即m的值为：4或； （4）∵． ∴，， ∴， 设两只蚂蚁运动t秒相遇， ∴（秒） ∴点对应的数是． 【点睛】 本题主要考查了绝对值的性质，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 13．（25-26学年七上·吉林松原宁江区·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M、N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． （1）点到原点的距离是____________，A、C两点之间的距离是____________； （2）已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，求点表示的数； （3）已知动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点运动的时间为秒． ①当点M、N相遇时，求的值； ②当点M、N相距4个单位长度时，直接写出的值． 【答案】（1）3；9     （2）     （3）①；②或      【分析】 本题考查数轴上的动点问题．理解数轴上两点间距离可以用这两点在数轴上所对应的数的差的绝对值来表示是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）① 当点M、N相遇时，点M、N走过的路程之和为A、C两点之间的距离，据此列方程求解即可； ② 先根据题意得点表示的数为，点表示的数为，当点M、N相距4个单位长度时，则，解方程即可． (1) 小问详解： 解：点A到原点的距离是：， A，C两点之间的距离是：， 故答案为：3，9； (2) 小问详解： 解：由题意得：点B表示的数是， 点P的运动路程为：个单位长度， 此时点P表示的数为：， 即点P表示的数是； (3) 小问详解： 解：① 根据题意得：， 解得， 即当点M、N相遇时，求的值为； ② 点表示的数为，点表示的数为， ∵点M、N相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 即当点M、N相距4个单位长度时，的值为或1． 14．（25-26学年七上·吉林松原长岭县·期中）点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，满足，且a是绝对值最小的有理数． （1）          ，             ，          ． （2）数轴上标出点 A，B，C，并写出点 B，C 之间的距离． （3）已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为1个单位/秒． ①若在点P出发的同时点Q向左运动，几秒后点P和点Q在数轴上相遇？ ②若在点P出发的同时点Q向右运动，几秒后点P和点Q之间的距离为2个单位？（直接写出答案） 【答案】（1）0，，5     （2）数轴，如图所示； 8         （3）①秒；② 6秒或10秒      【分析】 （1）利用非负性质求出b，c，利用绝对值最小的有理数是0，求出a即可； （2）①设时点P和点Q相遇，根据题意列出方程求解即可； ②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，分点P追上点Q前或点P超过点Q后两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ，， ，， 是绝对值最小的有理数， ， (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 解：①设时点P和点Q相遇， 根据题意得：， 解得； 故秒后点P和点Q在数轴上相遇； ②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，点P表示的数为，点Q表示的数为， 在点P追上点Q前，两点之间的距离为2个单位， 得：， 解得， 在点P追上点Q后，两点之间的距离为2个单位， 得：， 解得， 故P运动秒或秒后这两点之间的距离为2个单位． 【点睛】 本题主要考查的是绝对值，绝对值的非负性，数轴上两点间距离，偶次方的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论 15．（25-26学年七上·吉林松原长岭县·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： （1）若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； （2）若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键． （1）将代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可； （2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当输入时，则， ，即输出． (2) 小问详解： 解：由题意可得： 直接一次计算得到2：由题意可得，解得：； 经过一次循环后得到2，由题意可得：，解得：． 综上，a的可能值为或． 16．（25-26学年七上·吉林实验中学·期中）综合运用： “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【答案】（1）①，；② 当或时，；（2）当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】 本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）① 先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，结合数轴用t表示出M、N表示的数即可； ② 先根据题意表示出，，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （2）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】 （1）① 解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． 设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； 故答案为：；； ② ∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴，， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：． 综上，当或时，； （2）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ① 当时，， 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：； ② 当时，， 当时，有， 解得：，不符合题意； 当时，有， 解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 17．（25-26学年七上·吉林吉林蛟河·期中）已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别是a，b，c，若，且满足． （1）求a，b，c的值； （2）动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以4个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点Q以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． ①当时，点P对应的数为______；当点Q到达原点时，t的值为______； ②求t取何值时，P，Q两点相遇？ ③直接写出P，Q两点中有一点到达点B时，P，Q两点之间的距离． 【答案】（1），，     （2）①0；5；②；③2或1      【分析】 （1）根据绝对值的非负性可得，，进而可得，，再由 ，可求得． （2）由题意得t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为．① 将时 代入求值即可得点P对应的数当时，点P对应的数；由即可得出 当点Q到达原点时t的值．② 根据相遇时P，Q两点所对应的数相同列方程求解即可．③ 分两种情况，Q点到达B点时，和P点到达B点时，分别先求出t的值，再求出另外一点所对应的数，即可求出P，Q两点之间的距离． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意得t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ① 当时，点P对应的数为， 当点Q到达原点时，， 解得， 故答案为：0，5． ② 当P，Q两点相遇时， 解得． ③ 当Q点到达B点时， 解得， 此时P点对应的数为， 则P，Q两点之间的距离为； 当P点到达B点时， 解得， 此时Q点对应的数为， 则P，Q两点之间的距离为． ∴P，Q两点中有一点到达点B时，P，Q两点之间的距离为2或1． 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题，以及一元一次方程解应用题．利用数形结合，正确的表示出t秒时，P、Q两点所对应的数是解题的关键． 18．（25-26学年七上·吉林长春五十二·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点、、在数轴上对应的数为、、0，且满足． （1）直接写出_____；线段的中点表示的数为_____． （2）设点在数轴上对应的数，当时，直接写出的值_____． （3）点、分别从、出发，同时向左匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为秒（）． ①求当为何值时，点与点重合． ②直接写出当为何值时，、、三点中恰好有一点是另外两点的中点． 【答案】（1），     （2）或     （3）①8；②或或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离，中点公式，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性列方程求解出的值，再利用两点间的距离公式即可解答； （2）分点C在点A在左侧或点B在右侧，两种情况讨论即可； （3）① 根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为，根据相遇时，两点表示的数相同，列出方程进行求解即可； ② 易得线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，分点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， 解得：，， ，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴点C在点A左侧或点B右侧， 当点C在点A左侧时，， ∵， ∴，解得； 当点C在点B右侧时，， ∵， ∴，解得； 综上，x的值为或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为， ∴当点与点重合时，，解得； ② ∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 综上，当t为或或时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点． 19．（25-26学年七上·吉林松原·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离可用AB表示，，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8． （1）填空：______，______； 【构建联系】 （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若，求t的值； 【深入探究】 （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间，且的值始终是一个定值，直接写出m的值． 【答案】（1）10，16；（2）①，；② 8或2；（3） 【分析】 本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）① 根据两点间的距离公式列出代数式即可；② 分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据两点间的距离公式表示出和，根据整式加减中的无关型问题即可得出结果． 【详解】 解：（1）； 故答案为：10，16； （2）① 由题意，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：或； ② 由题意，或， 解得或； （3）由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵点D始终在A、C两点之间， ∴，， ∴ ， ∵的值始终是一个定值， ∴， ∴． 20．（25-26学年七上·吉林长春九台区城子街片区·期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． （1）求a，b，c的值； （2）当　            　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； （3）记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】（1），，14     （2）22，11     （3）或15      【分析】 （1）根绝绝对值的非负性求解； （2）根据数轴上两点间距离公式计算出，根据线段的运动速度及方式确定点P与点C重合时点N所在位置； （3）在运动过程中：点P所表示数为：，点Q的起始位置所表示数为：，分，，三个阶段，表示出点Q所表示的数，根据列绝对值方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14， ∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒）， 故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； (3) 小问详解： 解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）； ② 当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：， 即：， 解得或； ③ 当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 【点睛】 本题考查数轴上的动点问题，解一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性等，难度较大，用含t的式子表示出不同阶段点Q所表示的数是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 考点01 等式的性质 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 等式的性质 1．C 考点02 解一元一次方程 1．B 2．C 3．D 4．【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解决问题的关键． 先去分母、再去括号、移项、合并同类项即可得到答案． 【详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 5．【答案】 【分析】 本题考查了同类项的定义，解一元一次方程，代数式求值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义求出的值，代入中计算即可． 【详解】 解：与是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 6．【答案】① ③ ④ 【分析】 对于结论①，计算得到，令其等于4解得；对于结论②，计算得到，与给定不符；对于结论③，将表达式化简后令x的系数为0，解得a和b的值，求和为；对于结论④，解绝对值方程得到三个不同的x值． 本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握整式的加减运算，及解一元一次方程是解题关键． 【详解】 解：① ， 由得， 故①正确； ② ， ， 故②错误； ③ ， ∵的值与x无关， ∴且， 解得，，， 故③正确； 由， 得， 即， 解得或2， 当时，， 当时，或，共三个值， 故④正确． 故答案为① ③ ④． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查代数式求值，解一元一次方程． （1）把代入求解即可； （2）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代入计算即可． (1) 小问详解： 解：当时，多项式的值记为 (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 整理得：， 解得， ∴ 考点03 实际问题与一元一次方程 1．【答案】【课本再现】亏损，8；【解决问题】小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于探究1，根据原价降低等于60得出方程，求出解，进而得出盈亏情况； 对于解决问题，先设小书包进价为x元，则大书包进价为元，根据利润相同列出方程，求出解即可． 【详解】 【课本再现】 探究1：根据题意，得， 解得． ∴， 由此可知卖这两件衣服共亏损了8元； 故答案为：亏损，8； 【详解】【解决问题】 解：设小书包进价为x元，则大书包进价为（x+10）元，根据题意，得 ， 解得． ∴． 答：小书包的进价为20元/个和大书包的进价30元/个． 2．【答案】或 【分析】 画出对应数轴，设点C表示的数是，分类讨论① 当点在点的右边② 当点在点之间即可求解． 【详解】 解：设点C表示的数是 ① 当点在点的右边，如图：    由题意得： 解得： ② 当点在点之间，如图：    由题意得： 解得： 故点C表示的数是或 故答案为：或 【点睛】 本题考查了一元一次方程、数轴上两点之间的距离．分类讨论是解题关键． 3．【答案】（1），－3；（2）或；（3）－9或4．（4）或14． 【分析】 本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离，解一元一次方程； （1）根据题意即可得出结果； （2）可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离等于，即可求解； （3）根据题意分两种情况分析：当时，当时，然后化为一元一次方程求解即可； （4）由（3）得点A表示的数为，点B表示的数为3，根据题意得：，然后求解绝对值方程即可． 【详解】 解：（1）可以理解为x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：，－3； （2）因为， 所以可以理解为：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5， 结合数轴可得：或； （3）表示x到和到3的距离之和为13， ∵点不在点、两点之间， ∴当时， ∴， 解得：； 当时， ∴， 解得：； ∴点表示的数为或4； 当时，， ∴这样的点有共计10个； 故答案为：或4；10； （4）由（3）得点A表示的数为，点B表示的数为3， 根据题意得：， 解得：或． 4．【答案】后，甲队在途中追上乙队 【分析】 本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设两队行进的时间为，根据“路程速度时间”，甲队和乙队的行进路程可以分别表示为和从而甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为和．甲队追上乙队时，他们处于同一位置，此时甲队距大本营的路程乙队距大本营的路程，列出方程求解即可． 【详解】 解：设两队行进的时间为，根据题意： ． 解得： 答：后，甲队在途中追上乙队． 5．【答案】（1）1，4     （2）8     （3）或     （4）      【分析】 本题考查了有理数的混合运算以及一元一次方程的求解，正确理解题意是解题关键； （1）根据材料一即可求解； （2）根据材料一即可求解； （3）分类讨论若，若，即可求解； （4）根据，推出；求得；确定一般规律，即可对所求式子展开求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：，； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：若，则， ∴原方程为：，解得； 若，则， ∴原方程为：，解得； ∴原方程的解为：或； (4) 小问详解： 解：∵， ∴； ∵， ∴，解得：； ∵， ∴； 则， ∵ ∴ ． 6．【答案】（1）1500a；（1600a-1600）； （2）解：甲旅行社更优惠，理由： 将a=20代入得，甲旅行社的费用=1500×20=30000（元）； 乙旅行社的费用=1600×20-1600=30400（元） ∵30000＜30400元 ∴甲旅行社更优惠； （3）解：设最中间一天的日期为a，则这七天分别为：a-3，a-2，a-1，a，a+1，a+2，a+3 ∴这七天的日期之和=（a-3）+（a-2）+（a-1）+a+（a+1）+（a+2）+（a+3）=7a， ① 当7a =63×1时，则x=9，故9−3=6，他们6号出发； ② 当7a =63×2时，则x=18，故18−3=15，他们15号出发； ③ 当7a =63×3时，则x=27，故27−3=24，他们24号出发； ④ 当7a =63×4时，则x=36；因为五月最多有31天可知，不合实际； 则他们可能是6号或15号或24号出发. 【分析】 （1）由题意得，甲旅行社的费用=2000×0.75a；乙旅行社的费用=2000×0.8（a-1），再对两个式子进行化简即可； （2）将a=20代入（1）中的代数式，比较费用较少的比较优惠； （3）设最中间一天的日期为a，分别用含有a的式子表示其他六天，然后求和即可． 【详解】 （1）由题意得，甲旅行社的费用=2000×0.75a=1500a； 乙旅行社的费用=2000×0.8（a-1）=1600a-1600， 故答案为：1500a；（1600a-1600）； （2）略 （3）略 【点睛】 此题考查列代数式和代数式的求值，一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 7．【答案】（1），     （2）的值为或．     （3） ，． 在运动过程中，存在时间，使得点与点到原点的距离相等，时间的值为．      【分析】 本题考查数轴，列代数式，一元一次方程的应用． （1）先求出折痕点表示的数，然后列式求解即可； （2）根据题意分两种情况，分别求解即可； （3）根据题意即可得点，点所表示的数，根据运动过程可知，当点与点到原点的距离相等时，点与点都在原点右侧，列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：折叠纸带，数轴上表示的点与表示的点重合， 设折痕表示的数为，则， 解得， ∴设折痕表示的数为， ∴与表示的点重合的点表示的数是，与表示的点重合的点表示的数是． 故答案为：，． (2) 小问详解： 解：根据题意可得，或， ∴或， ∴的值为或． (3) 小问详解： 解：根据题意可得，秒后，点所表示的数是，点所表示的数是． 故答案为：，． 在运动过程中，存在时间，使得点与点到原点的距离相等， 根据运动过程可知点与点都在原点右侧， ∴， 解得， ∴在运动过程中，存在时间，使得点与点到原点的距离相等，时间的值为． 8．【答案】（1）     （2）     （3）小时或小时      【分析】 本题主要考查列代数式，求解代数式的值，正确理解题意是做题的关键． （1）利用整体思想，将原式化为，即可求值； （2）先根据图形列出代数式，再整体代入即可； （3）根据题意列方程，再整体代入解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，， ， ． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由图可得长方形与的面积差为： 答：长方形与的面积差为． (3) 小问详解： 解：由题意得，， ． 设经过小时甲、乙两人相距千米， 则或， 即或， 解得，或． 答：甲、乙两人相距千米的时间为小时或小时． 9．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了无限循环小数化为分数，一元一次方程的应用； （1）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （2）仿照例题推导过程，设未知数，列出方程，解方程，即可求解； （3）根据（1）的方法，分别将无限循环小数化为分数，再进行计算即可求解． (1) 小问详解： 解：设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴  (2) 小问详解： 解：设 ， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴  故答案为：． (3) 小问详解： 解：同（1）可得，， ∴ 。 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2），     （3）     （4）1或或14      【分析】 本题考查了数轴上的动点问题． （1）分别求出点从点运动至点B、点从点B运动至点C所用时间，进而相加即可； （2）由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度，进而可知当秒时，点在数轴上表示的数；求出点从点出发，沿数轴负方向运动至点的时间，进而可知点在线段上运动时，它在数轴上表示的数； （3）先表示出点P表示的数是，点Q表示的数是，然后根据当两点相遇时，求解即可； （4）分当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时；当P在段上，Q在段上时三种情况列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍， ∴点从点出发，运动至点用时（秒），点到点后速度变为每秒2个单位长度， ∴点从点B运动至点用时（秒）， ∴点从点运动至点时，的值为秒． 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由（1）可知，点前7秒速度为每秒1个单位长度，之后速度为每秒2个单位长度， ∴当秒时，点在数轴上表示的数是； ∵点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半， ∴点从点出发，沿数轴负方向运动至点，用时（秒），速度变为每秒1个单位长度， ∴当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是． 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：∵点从点运动至点B需要秒，点从点运动至点需要秒， ∴两点在线段上相遇时， 此时点P表示的数是，点Q表示的数是， 当两点相遇时，，解得， ∴相遇点所表示的数是． 故答案为：； (4) 小问详解： 解：当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 当P在段上，Q在段上时：，解得：； 故答案为：1或或14． 11．【答案】【教材原题】；；【尝试应用】；【拓展应用】甲、乙两人出发小时或小时相距千米 【分析】 本题考查的是整式的加减运算的应用，方程的应用，整体思想法，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【教材原题】先表示长方形与的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； 【尝试应用】由条件得到，再把代入可得，再整体代入计算即可； 【拓展应用】由小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距千米，当两人相遇后，相距千米，再列式计算即可． 【详解】 【教材原题】解：根据题意可知长方形与的面积差为： ， 将代入，原式． 【尝试应用】解：当时，， 即， ∴； 当时，， 故将代入， 则 ． 【拓展应用】解：由题意可得：， 即； 当两人相遇前，相距千米， 故（小时）， 当两人相遇后，相距千米， 故（小时）， 综上：当甲、乙两人出发小时或小时相距千米． 12．【答案】（1）4；6；（2）；（3）或4；（4）点E对应的数是7 【分析】 （1）计算2和6的差的绝对值，5和的差的绝对值即可； （2）计算x和的差的绝对值即可； （3）根据题意可得表示数轴上表示和1的两点之间距离为3，即可解答； （4）根据绝对值的非负性及偶次方的非负性求出a，b的值，设两只蚂蚁运动t秒相遇，根据题意列方程求出t即可． 【详解】 解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是， 数轴上表示5和的两点之间的距离是， 故答案为：4，6； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）∵表示数轴上表示和1的两点之间距离为3， ∴或， 即m的值为：4或； （4）∵． ∴，， ∴， 设两只蚂蚁运动t秒相遇， ∴（秒） ∴点对应的数是． 【点睛】 本题主要考查了绝对值的性质，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法． 13．【答案】（1）3；9     （2）     （3）①；②或      【分析】 本题考查数轴上的动点问题．理解数轴上两点间距离可以用这两点在数轴上所对应的数的差的绝对值来表示是解题的关键． （1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可； （2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解； （3）① 当点M、N相遇时，点M、N走过的路程之和为A、C两点之间的距离，据此列方程求解即可； ② 先根据题意得点表示的数为，点表示的数为，当点M、N相距4个单位长度时，则，解方程即可． (1) 小问详解： 解：点A到原点的距离是：， A，C两点之间的距离是：， 故答案为：3，9； (2) 小问详解： 解：由题意得：点B表示的数是， 点P的运动路程为：个单位长度， 此时点P表示的数为：， 即点P表示的数是； (3) 小问详解： 解：① 根据题意得：， 解得， 即当点M、N相遇时，求的值为； ② 点表示的数为，点表示的数为， ∵点M、N相距4个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 即当点M、N相距4个单位长度时，的值为或1． 14．【答案】（1）0，，5     （2）数轴，如图所示； 8         （3）①秒；② 6秒或10秒      【分析】 （1）利用非负性质求出b，c，利用绝对值最小的有理数是0，求出a即可； （2）①设时点P和点Q相遇，根据题意列出方程求解即可； ②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，分点P追上点Q前或点P超过点Q后两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ，， ，， 是绝对值最小的有理数， ， (2) 小问详解： ； (3) 小问详解： 解：①设时点P和点Q相遇， 根据题意得：， 解得； 故秒后点P和点Q在数轴上相遇； ②设P点运动时，这两点之间的距离为2个单位，点P表示的数为，点Q表示的数为， 在点P追上点Q前，两点之间的距离为2个单位， 得：， 解得， 在点P追上点Q后，两点之间的距离为2个单位， 得：， 解得， 故P运动秒或秒后这两点之间的距离为2个单位． 【点睛】 本题主要考查的是绝对值，绝对值的非负性，数轴上两点间距离，偶次方的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论 15．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键． （1）将代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可； （2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：当输入时，则， ，即输出． (2) 小问详解： 解：由题意可得： 直接一次计算得到2：由题意可得，解得：； 经过一次循环后得到2，由题意可得：，解得：． 综上，a的可能值为或． 16．【答案】（1）①，；② 当或时，；（2）当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】 本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）① 先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，结合数轴用t表示出M、N表示的数即可； ② 先根据题意表示出，，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （2）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】 （1）① 解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． 设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； 故答案为：；； ② ∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴，， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：． 综上，当或时，； （2）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ① 当时，， 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：； ② 当时，， 当时，有， 解得：，不符合题意； 当时，有， 解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 17．【答案】（1），，     （2）①0；5；②；③2或1      【分析】 （1）根据绝对值的非负性可得，，进而可得，，再由 ，可求得． （2）由题意得t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为．① 将时 代入求值即可得点P对应的数当时，点P对应的数；由即可得出 当点Q到达原点时t的值．② 根据相遇时P，Q两点所对应的数相同列方程求解即可．③ 分两种情况，Q点到达B点时，和P点到达B点时，分别先求出t的值，再求出另外一点所对应的数，即可求出P，Q两点之间的距离． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴． (2) 小问详解： 解：由题意得t秒时，点P对应的数为，点Q对应的数为， ① 当时，点P对应的数为， 当点Q到达原点时，， 解得， 故答案为：0，5． ② 当P，Q两点相遇时， 解得． ③ 当Q点到达B点时， 解得， 此时P点对应的数为， 则P，Q两点之间的距离为； 当P点到达B点时， 解得， 此时Q点对应的数为， 则P，Q两点之间的距离为． ∴P，Q两点中有一点到达点B时，P，Q两点之间的距离为2或1． 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题，以及一元一次方程解应用题．利用数形结合，正确的表示出t秒时，P、Q两点所对应的数是解题的关键． 18．【答案】（1），     （2）或     （3）①8；②或或      【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，两点之间距离，中点公式，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性列方程求解出的值，再利用两点间的距离公式即可解答； （2）分点C在点A在左侧或点B在右侧，两种情况讨论即可； （3）① 根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为，根据相遇时，两点表示的数相同，列出方程进行求解即可； ② 易得线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，分点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点，三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， 解得：，， ，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴点C在点A左侧或点B右侧， 当点C在点A左侧时，， ∵， ∴，解得； 当点C在点B右侧时，， ∵， ∴，解得； 综上，x的值为或， 故答案为：或； (3) 小问详解： 解：①根据题意得到点M表示的数为，点N表示的数为， ∴当点与点重合时，，解得； ② ∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 线段的中点表示的数为， 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 当点是线段的中点时， 则，解得； 综上，当t为或或时，M、N、O三点中恰好有一点是另外两点的中点． 19．【答案】（1）10，16；（2）①，；② 8或2；（3） 【分析】 本题考查有理数与数轴，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）① 根据两点间的距离公式列出代数式即可；② 分两种情况进行讨论求解即可； （3）根据两点间的距离公式表示出和，根据整式加减中的无关型问题即可得出结果． 【详解】 解：（1）； 故答案为：10，16； （2）① 由题意，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：或； ② 由题意，或， 解得或； （3）由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵点D始终在A、C两点之间， ∴，， ∴ ， ∵的值始终是一个定值， ∴， ∴． 20．【答案】（1），，14     （2）22，11     （3）或15      【分析】 （1）根绝绝对值的非负性求解； （2）根据数轴上两点间距离公式计算出，根据线段的运动速度及方式确定点P与点C重合时点N所在位置； （3）在运动过程中：点P所表示数为：，点Q的起始位置所表示数为：，分，，三个阶段，表示出点Q所表示的数，根据列绝对值方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，； (2) 小问详解： 解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14， ∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒）， 故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； (3) 小问详解： 解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）； ② 当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：， 即：， 解得或； ③ 当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 【点睛】 本题考查数轴上的动点问题，解一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性等，难度较大，用含t的式子表示出不同阶段点Q所表示的数是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次方程 3大高频考点概览 考点01 等式的性质 考点02 解一元一次方程 考点03 实际问题与一元一次方程 考点01 等式的性质 1．（25-26学年七上·吉林四平第三中学校·期中）下列等式变形正确的是（       ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 考点02 解一元一次方程 1．（25-26学年七上·吉林长春·期中）方程的解是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年七上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）数轴上一动点向右平移6个单位长度后到达点，再向左平移3个长度单位后达到点，若点表示的数的绝对值是1，则点表示的数是（       ） A. 2 B.  C. 或 D. 或2 3．（25-26学年七上·吉林松原长岭县·期中）如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·吉林长春·期中）解方程：． 5．（25-26学年七上·吉林四平双辽·期中）若与是同类项，则　　　　　． 6．（25-26学年七上·吉林长春朝阳区长春外国语学校·期中）已知两个多项式，，以下结论正确的有　　　　　　（填序号）． ①若，则； ②； ③若的值与x的取值无关，则； ④若，则满足等式的x的值有3个． 7．（25-26学年七上·吉林长春第五十二中学·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如，把某数时的多项式的值用（某数）来表示． 例如时多项式的值记为， 已知， （1）求的值； （2）若，直接写出的值为______． 考点03 实际问题与一元一次方程 1．（25-26学年七上·吉林长春·期中）【课本再现】下面是新人教版数学教材七年级上册135页探究1的部分内容． 探究1销售中的盈亏 一商店以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ 解：设盈利的那件衣服的进价是x元， 根据题意，得，解得， 设亏损的那件衣服的进价是y元， ， 由此可知卖这两件衣服共________（填“盈利”或“亏损”）了________元． 【解决问题】某商店有两种书包．每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同，其中，每个小书包的利润率为，每个大书包的利润率为．试求两种书包的进价． 2．（25-26学年七上·吉林长春九台区城子街片区·期中）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是0，9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A的对应点落在射线上，且，则点C表示的数是　　　　　　　　． 3．（25-26学年七上·吉林吉林昌邑区·期中）【阅读理解】表示3与1的差的绝对值，也可以理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可以理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）可以理解为_____与_____两数在数轴上所对应的两点之间的距离； （2）利用如图所示的数轴求出所有符合条件的整数，使得； 【解决问题】已知数轴上两点、对应的数分别为－8和3，数轴上另有一个点对应的数为，试探索： （3）当点在点、两点之间时，则有；当点不在点、两点之间时，若，则点表示的数为_____；由此可得，点到、两点的距离之和的最小值为11，若表示的为整数，且点不与、两点重合，这样的点有_____个； （4）当点到点的距离等于点到点的距离的2倍时，直接写出的值． 4．（25-26学年七上·吉林长春·期中）甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发，甲队从距大本营的一号营地出发，每小时行进；乙队从距大本营的二号营地出发，每小时行进．多长时间后，甲队在途中追上乙队？ 5．（25-26学年七上·吉林长春·期中）阅读材料： 材料一：对实数a，b，定义的含义：当时，，当时，． 例如：，． 材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯提出了下面的问题：据说，当其他同学忙于把100个数逐渐相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确的答案：． 也可以这样理解：令①，则②， 由①+②，得，即． 请你根据上述材料，解答下列问题． （1）______，______； （2）计算：； （3）解方程：； （4）当，且时，直接写出的值． 6．（25-26学年七上·吉林长春五十二·期中）某单位在五月份准备组织部分员工到北京旅游7天，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为每人7天共2000元，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠举措；甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位员工的费用，其余员工八折优惠. （1）如果设参加旅游的员工共有人，则甲旅行社的费用为                 元，乙旅行社的费用为     元；（用含的式子表示，并化简） （2）假如这个单位有20名员工参加旅游，该单位选择哪一家旅行社比较合算？并说明理由. （3）假如这7天的日期之和为63的倍数，则他们可能于五月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程） 7．（25-26学年七上·吉林第二实验学校·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究： （1）操作1：折叠纸带，若数轴上表示的点与表示的点重合，则与表示7的点重合的点表示的数是          ；此时表示数a的点与表示数          的点重合（用a的代数式表示）； （2）操作2：在数轴上剪下一条个单位长度（从到）的线段，并把这条线段沿某点进行折叠，然后沿着折痕剪一刀得到两条线段，若这两条线段的长度之比为，设折痕处对应的点表示的数为，求的值． （3）操作3：若点、表示的数分别是、，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动．设运动时间为秒， 写出秒后，点所表示的数是_______，点所表示的数是______． 在运动过程中，是否存在时间，使得点与点到原点的距离相等，如果存在求出时间的值，如果不存在请说明理由． 8．（25-26学年七上·吉林第二实验学校·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式． （1）如果代数式的值为，那么代数式的值为_______． （2）如图，若，求长方形与的面积差． （3）两地相距千米，某日，甲从地出发前往地，同时，乙从地出发前往地．已知甲每小时行千米，乙每小时行千米，经过小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距千米的时间． 9．（25-26学年七上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）“无限循环小数能化成分数吗？”受到教材中这个数学活动的启发，某同学对无限循环小数转化成分数的过程进行了探究．以下是他以和为例进行的纯无限循环小数和混无限循环小数转化成分数的探究： 设，则．因为，所以，解得，所以． 由左侧推导可知，所以． （1）请仿照上述推导过程，将纯无限循环小数化为分数；（写出推导过程） （2）将混无限循环小数化为分数为___________； （3）计算：___________． 10．（25-26学年七上·吉林长春东北师范大学附属中学·期中）如图，数轴上点为原点，点表示，点表示，点表示8．动点，同时出发，点从点出发，沿数轴正方向运动至点，出发时速度为每秒1个单位长度，到点后速度变为原来的2倍；点从点出发，沿数轴负方向运动至点，出发时速度为每秒2个单位长度，到点后速度变为原来的一半．设运动时间为秒． （1）点从点运动至点时，的值为___________秒； （2）当秒时，点在数轴上表示的数是___________；当点在线段上运动时，它在数轴上表示的数是___________；（用含的代数式表示，无需写出的取值范围） （3）当两点相遇时，相遇点所表示的数是___________； （4）当线段与的长度相等时，的值为___________． 11．（25-26学年七上·吉林长春朝阳区·期中）【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造；把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如，求的值． 我们将作为一个整体代入，得原式． 【教材原题】如图，若，求长方形与的面积差． 【尝试应用】当时，代数式的值为，当时，求代数式的值：（用含的代数式表示） 【拓展应用】、两地相距，甲以每小时的速度从地出发匀速驶往地：同时，乙以每小时的速度从地出发匀速驶往地．经过小时，甲、乙两人相遇．直接写出甲、乙两人相距的时间． 12．（25-26学年七上·吉林延边朝鲜族·期中）【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是______；数轴上表示5和的两点之间的距离是______； 【独立思考】 （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______； （3）试利用数轴探究：当时，求m的值； 【实践应用】 （4）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，已知．若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上以每秒3个单位长度的速度向右运动；同时另一只蚂蚁从点B出发，在数轴上以每秒1个单位长度的速度向右运动，它们在点E处相遇，求点E对应的数． 13．（25-26学年七上·吉林松原宁江区·期中）【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点M、N之间的距离为． 【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是． （1）点到原点的距离是____________，A、C两点之间的距离是____________； （2）已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，求点表示的数； （3）已知动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设点运动的时间为秒． ①当点M、N相遇时，求的值； ②当点M、N相距4个单位长度时，直接写出的值． 14．（25-26学年七上·吉林松原长岭县·期中）点A，B，C在数轴上表示的数分别为a，b，c，满足，且a是绝对值最小的有理数． （1）          ，             ，          ． （2）数轴上标出点 A，B，C，并写出点 B，C 之间的距离． （3）已知点P，点Q是数轴上的两个动点，点P从点B出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点C出发，速度为1个单位/秒． ①若在点P出发的同时点Q向左运动，几秒后点P和点Q在数轴上相遇？ ②若在点P出发的同时点Q向右运动，几秒后点P和点Q之间的距离为2个单位？（直接写出答案） 15．（25-26学年七上·吉林松原长岭县·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： （1）若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； （2）若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 16．（25-26学年七上·吉林实验中学·期中）综合运用： “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且．点C是线段AB的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止．设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 17．（25-26学年七上·吉林吉林蛟河·期中）已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别是a，b，c，若，且满足． （1）求a，b，c的值； （2）动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以4个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点Q以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． ①当时，点P对应的数为______；当点Q到达原点时，t的值为______； ②求t取何值时，P，Q两点相遇？ ③直接写出P，Q两点中有一点到达点B时，P，Q两点之间的距离． 18．（25-26学年七上·吉林长春五十二·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律；若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离为：，线段的中点表示的数为．已知，点、、在数轴上对应的数为、、0，且满足． （1）直接写出_____；线段的中点表示的数为_____． （2）设点在数轴上对应的数，当时，直接写出的值_____． （3）点、分别从、出发，同时向左匀速运动，的速度为每秒1个单位长度，的速度为每秒3个单位长度，设运动的时间为秒（）． ①求当为何值时，点与点重合． ②直接写出当为何值时，、、三点中恰好有一点是另外两点的中点． 19．（25-26学年七上·吉林松原·期中）【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离可用AB表示，，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是、、8． （1）填空：______，______； 【构建联系】 （2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．设点P运动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是________，点Q表示的数是________（用含t的代数式表示）； ②若，求t的值； 【深入探究】 （3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度向左运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间，且的值始终是一个定值，直接写出m的值． 20．（25-26学年七上·吉林长春九台区城子街片区·期中）如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． （1）求a，b，c的值； （2）当　            　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； （3）记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $