专题08 平面几何（期中真题汇编，贵州专用）高三数学上学期

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08平面解析几何 考点01直线与圆 考点02椭圆及其性质 考点03双曲线及其性质 考点04抛物线及其性质 》 考点01直线与圆 1.D 》 考点02椭圆及其性质 1.D 2.BCD x2,y2 t3 1 3.【答案11)18)1：(D ,或y=x-3 【分析】(I)根据题意，并借助a=b+c2,即可求出椭圆的方程： (II)利用直线与圆相切，得到CP⊥AB,设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标， 进而求出P点坐标，再根据CP L AB,求出直线AB的斜率，从而得解. x2y2 【详解】(I)椭圆京+京=1(a>b>0)的一个顶点为40，-3)： .b=3 由04=0r,得c=b=3 又由a2=b2+c2,得a2=32+32=18, x2 y2 所以，椭圆的方程为8+)山： (IⅡ)直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以CP⊥AB, 根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在， 设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y+3=,即y=c-3, 116 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y=x-3 很号-1，的去y+小-12x=0:解将复-0或 x2 2k2+1 12k 将x= 22+代入y=收-3，得y=k 12k-3-6k-3 2k2+1 2k2+11 12k6k2-3 所以，点B的坐标为2k2+1'2k2+1, 因为P为线段B的中点，点4的坐标为0,3)， 6k-3） 所以点P的坐标为2k2+1'2k2+1. 由30C=0F,得点C的坐标为，0)， -3 所以，直线的斜率为22+10 3 2+1122-6f+1, 6k CP 3 又因为CP1AB,所以k2K-6+-1 1 整理得2K2-3张+1=0解得k=2或k=1 所以，直发B的方程为方-成)=-3 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标 公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题当看到题目中出现直线与圆锥 曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 考点03双曲线及其性质 1.D 2.C 3.A 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) 四因为4），可得8（化），.（火），22，≥3 则点=3，线ay-g=4-小即y-3玩+ y=-3x+3x+ym 联立方程组 ，整理得6x2+63x,+y)x-(3x,+-3=0 则A=[6B+y-46×[3++]=12(3+y-72>0恒废立， 所以+=3+以，即=2，+，0 又因为月，-满足直线方程y=-3r+3,+儿， 所以=-3+3玩+%=-6-3+3x+y=-3x-2. 即m-3+2y② 设1=(-c,) 由0、②得3x+2%-(2,+y)=0,-c,) [3-2k=-kM 所以2-k=t,解得k=±5， 当=5时，1=2+5 所以数列.+B是以3+25为首项，以2+5为公比的等比数列 s.3-2+3-(+2-5”-2 【分析】（山）根据题意，得到=1，设42A）,8(亿么），代入双曲线的方程，求得=3，即可 316 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得到双曲线的方程： (②)（①因为(y ,求得18y=-3x+3x+儿，联立方程组，得到=2x,+儿，再由 B(任)满足直线方程"=-3c+3戏+儿，得到=3，+2以，联立得到，求得的值，进而得 到数列{似.+5x}为等比数列：()由①)知以+5，=V5(2+,得到数列{-V5x}为等比 数列，又由%-5x,=5亿-，整理得，2+5+2-5]， 结合等比数列的求和公式， 即可求解 x2 y2 【详解】(1)设C的方程为a6=1a,b>0) 因C的右顶点A旋转成的圆半径为lm,上口圆的半径为2m,下口圆的半径为7m, 则a=1,设42A).B(3）,则4>0>么 4、3 =1 b2 代入方程可得 ,解得 h-h2=15 b2=3h=3,h2=-12 2_y2 =1 故该双曲线的标准方程为 3 (2)(i)略 由④知%+3x=(3+25)2+5=5(2+5,® 当=5时，=2-5 所以数列以，-VBx}是以3-25为首项，2-V5为公比的等比数列， 又由.-5x,=3-2(2-5=-5(2-5,④ 由®减去④整理得到2++2-门， 416 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得5.=5-2+5”-（+2-”-2] 考点04抛物线及其性质 1.⑤ 3 2.【答案】)2 |CD1814 (2)AB7 【分析】(1)设直 AB:x-2=m0-),A(,),B(:为），联立直线与抛物线方程，消元、列出韦 达定理，可得m的值，从而得解： (2)利用弦长公式进行求解 AB:x-2=m(0y-1)A(x,y)B(x2,y2) 【详解】(1)设直线 x=1y-m+2 联立y2=4x,得y2-4my+4m-8=0, 1 所以y+为=4m=2,解得m=2 2, 所以直线4的斜率名=2，直线的斜率与=片， 3 所以直线，，的斜率之和k+k 2 (2)由(1)可得B外m+D0-为P=V5 设直线C0:=-2y+4.C)Dxy) [x=-2y+4 联立y=4x,得y2+8y-16=0, 516 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以少+y=-8为y=-16 可得CD50y-yP=80 ICDI 814 故AB7· 616函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08平面解析几何 4大高频考点概览 考点01直线与圆 考点02椭圆及其性质 考点3双曲线及其性质 考点04抛物线及其性质 》 考点01直线与圆 1. （25-26高三上贵州贵阳期中)直线+y+3= 被圆+-4x+6y+9=0 截得的弦长为 √2 A.2 B.5 C.2 D.2N2 考点02椭圆及其性质 1.(25-26高三上贵州贵阳·期中)已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后， x2 y 其反射光线必经过椭圆的另一焦点设椭圆C:京+-1(a>b>0 的左、右焦点分别为F,F,从 F发出的光线，经C上的点4反射后，反射光线再经C上的点8反射若经过这两次反射后， AF⊥BF 4 且CoS∠ABF= 5,则C的离心率为() √2 5 2 5 A.5 B.5 c.5 D.5 22526商上州阳强一中学y多)已周号+养a>0传点e0 x12 B(c,0c>0):过F的直线1和圆4x2 +y2=2c2 相切于点B，并与椭圆在第一象限 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 交于点P,且 PF⊥x 轴，则() A.该直线的斜率是2 3-2√2 B.椭圆的离心率是 C.三角形 PF,5与三角形 ABF 面积比为16 D.当C=2时，四边形 ABPE 的面积是15v2 x2,y2 3.（25-26高三上贵州师范大学附属中学期中)已知能圆口+云-1a>b>0 的一个顶点为40，-3)，右 焦点为F,且OAHOF1,其中O为原点 (I)求椭圆的方程： 30C=OF (Ⅱ)已知点满足 ”,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线1B与以C为圆心的圆相切于 点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程. 》 考点03双曲线及其性质 x2 y2 =1 1.(25-26高三上·贵州凯里第一中学期中)双曲线45的左焦点到右顶点的距离为( A.1 B.2 C.4 D.5 x2 y2 2,(25-26高三上贵州费阳第一中学期中)双曲线a=1(a>0,b>0) 的离心率为2√2，则其 渐近线方程为() A.y=±V2x B.=+3x C.y=±V7x D.y=+2v2x 3.(25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中)已知0为直角坐标系的坐标原点，双曲线 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c号茶-0a> 上有一点PV5,叫)(m心0)，点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过 点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB的面积为 1,则双曲线的标准方程是 x2 y2 =1 A.x2-y2」 B.x2 y2 231 C.x2 61 D.37 22 AB 4.(25-26高三上贵州贵阳期中)双曲线冷知塔模型的外形如图1，是由双曲线C的右支的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面〈如图2)，其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由C的右支上的点4、 点8旋转成的圆，C的右顶点4旋转成的圆半径为1m,上口圆的半径为2m,下口圆的半径为7m,高 B. 为l5m. B 图1 图2 图3 (1)如图3所示，在C所在的平面内，以C的实轴所在的直线为x轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐 标系xO,求C的方程； (2)按照如下方式依次构造点 4仙=23)）A为点8关于轴的对称点，过作与48平行的直线与 C的右支交于点8，记4的坐标为怎，） ①求证：数列以+B}为等比数列 (求数列的前”项和5， 3/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04抛物线及其性质 1.(2526高三上贵州贵阳期中)若点P是抛物线C:y=2x上的动点，点P是直线5x-2y+4=0上 PO 的动点，则的最小值为 2.(25-26高三上贵州贵阳第一中学·期中)如图，抛物线 :y2=4x,M(2,1) 是抛物线内一点，过点M作 两条斜率存在且互相垂直的动直线 ,设与抛物线「相交于点4 点1B马与抛物线Γ相交于点CD, 当M恰好为线段AB的中点时： A A C M(2,1) OXB D 12 (1)求直线 的斜率之和： CD (②)求AB的值， 414 专题08 平面解析几何 4大高频考点概览 考点01 直线与圆 考点02 椭圆及其性质 考点03 双曲线及其性质 考点04 抛物线及其性质 考点01 直线与圆 1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）直线被圆所截得的弦长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用弦，弦心距和半径的关系可求得结果. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 故直线被圆所截弦长为. 故选：D. 考点02 椭圆及其性质 1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆：的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知条件，结合椭圆的定义得， 然后在中，利用余弦定理构造齐次式，从而得到. 【详解】，，， 设，则，， ，，，，，， ，， ，，， 在中，，，， ， ，，， 的离心率为. 故选：D.    2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）（多选）已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（   ） A．该直线的斜率是 2 B．椭圆的离心率是 C．三角形 与三角形 面积比为 16 D．当 时，四边形 的面积是 【答案】BCD 【分析】由圆的圆心、半径以及切线关系即可求出即可判断A；由 轴表示出点坐标，由，以及椭圆中的关系，整理得关于的方程，求解即可判断B；由三角形与三角形相似，可求其面积比来判断C；由C结合割补法求面积即可判断D. 【详解】A选项，由题意可得，，， 由勾股定理可得， 故直线的斜率为，故A错误； B选项，设，将P点坐标代入，解得，即； 又，以及，可得， 解得或（舍去），所以椭圆的离心率为，故B正确； C选项，由于三角形与三角形相似，则其面积比为； D选项，； 故选：BCD． 3．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或． 【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程； （Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解. 【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为， ， 由，得， 又由，得， 所以，椭圆的方程为； （Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或. 将代入，得， 所以，点的坐标为， 因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为， 由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为， 又因为，所以， 整理得，解得或. 所以，直线的方程为或. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程. 考点03 双曲线及其性质 1．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）双曲线的左焦点到右顶点的距离为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】从标准方程中求出 基本量后可得题设中的距离. 【详解】左焦点到右顶点的距离为. 故选：D. 2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可得解. 【详解】双曲线的离心率， ，， 因为双曲线的渐近线方程为，即为. 故选：C． 3．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（m>0），点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设平行线方程为，由，解得，则，又点到直线的距离，化简得：，又，又，解得，所以方程是，故选A. 【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 4．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线的右支的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由的右支上的点、点旋转成的圆，的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为，高为. (1)如图3所示，在所在的平面内，以的实轴所在的直线为轴，虚轴所在的直线为轴，建立直角坐标系，求的方程； (2)按照如下方式依次构造点，为点关于轴的对称点，过作与平行的直线与的右支交于点，记的坐标为. （i）求证：数列为等比数列. （ii）求数列的前项和. 【答案】(1) (2) （i）因为，可得，，，， 则，直线，即， 联立方程组，整理得， 则恒成立， 所以，即，① 又因为满足直线方程， 所以， 即，② 设， 由①、②得， 所以，解得， 当时，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （ii） 【分析】（1）根据题意，得到，设，，代入双曲线的方程，求得，即可得到双曲线的方程； （2）（i）因为，求得，联立方程组，得到，再由满足直线方程，得到，联立得到，求得的值，进而得到数列为等比数列；（ii）由（i）知，得到数列为等比数列，又由，整理得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设的方程为， 因的右顶点旋转成的圆半径为，上口圆的半径为，下口圆的半径为， 则，设，，则， 代入方程可得，且，解得， 故该双曲线的标准方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）知，③ 当时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 又由，④ 由③减去④整理得到， 所以， 整理得. 考点04 抛物线及其性质 1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）若点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，则的最小值为________. 【答案】 【分析】不妨设点，利用二次函数的基本性质求出点到直线的距离的最小值，即为的最小值. 【详解】不妨设点，则点到直线的距离为， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点，当恰好为线段的中点时:    (1)求直线的斜率之和； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，可得的值，从而得解； （2）利用弦长公式进行求解. 【详解】（1）设直线，，， 联立，得，     所以，解得，           所以直线的斜率，直线的斜率， 所以直线的斜率之和． （2）由（1）可得， 设直线，，， 联立，得， 所以，， 可得， 故． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $