专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，贵州专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 考点02 三角恒等变换 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）已知为第一象限角，，则=______． 【答案】 【分析】利用正切和角公式得到方程，结合所在象限求出，再由正切二倍角公式进行求解. 【详解】由，得，解得或． 又为第一象限角，所以，所以． 故答案为： 2．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知，则_________. 【答案】## 【分析】由两角差的正弦结合同角的三角函数关系得到，再利用二倍角的余弦公式计算可得. 【详解】由可得， 化简可得， 又，所以， 所以. 故答案为：##. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）（多选）已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的值域为 C．将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于原点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据周期公式即可判断A正确，对选项B，根据定义域为，，即可判断B正确，对选项C，根据题意得到平移后的解析式为，再判断其不是奇函数，即可判断C错误，对选项D，根据，即可判断D正确. 【详解】对选项A，，周期，故A正确. 对选项B，，定义域为，， 所以，即的值域为，故B正确. 对选项C，将的图象向左平移个单位长度得到 ，定义域为， ， 所以不是奇函数，不关于原点对称，故C错误. 对选项D，，故的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD 2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称中心即可得解. 【详解】因为函数的对称中心为，， 所以的对称中心为，， 所以，，又，所以a的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：      则，解得，即． 故选：C． 4．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）（多选）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数关于点中心对称 C．函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D．函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由三角恒等变换化简函数.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得的取值范围判断D选项. 【详解】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确. 故选：ACD. 5．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）已知函数. (1)求的对称中心及的单调减区间； (2)求在区间上的最值及取得最值时的的值. 【答案】(1)； (2)时，；或时， 【分析】（1）根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）对于函数， 令，解得， 所以的对称中心为， 由，解得， 所以的单调减区间为； （2）当时，， 所以，所以 所以当，即时，取得最小值，即； 所以当或，即或时，取得最大值， 即. 6．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)已知，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图像，结合所给点得到，进而求，代入点得到即可； （2）根据题意，进而得到，再由二倍角公式求，最后用和差公式求解即可． 【详解】（1）设的最小正周期为，由图象可得， ， 所以， 所以， 又， 所以，，即，， 又，所以，所以； （2）， 因为，所以， 可得，， 因此． 考点04 解三角形 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由正弦定理得， 则， 又，， 所以，解得． 故选：B 2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦定理可知. 故选：C 3．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）在中，若，且，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由，可得角；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得，即可得解． 【详解】由，得，， ． 由题，由正弦定理有， 故，即，故，即， 由正弦定理有，故． 故选：D． 4．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，则______． 【答案】## 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理可得出，进而得出，再约束出，最后利用即可. 【详解】因，，， 可得，则， 因，则，则， 所以. 故答案为： 5．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     6．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角： (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得. 因为， 所以，即. 又，所以，即， 因为，所以. （2）因为，所以. 由余弦定理得，即， 即，可得， 所以的周长为. 7．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知中角所对的边分别为，满足，且 (1)求的值； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角形三个角的关系及正弦定理化简，解得，利用余弦定理化简求得； （2）由正弦定理化简，由三角函数的性质求得其最大值. 【详解】（1）因为在中，， 所以由，得， 于是由正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，，所以， 所以，. 于是由，得， 再由正弦定理、余弦定理得， 化简得. （2）由正弦定理可得, ， 其中锐角满足，， 所以当，，即，时， 所以取得最大值为． 8．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）记的内角所对的边分别是，且满足. (1)证明：； (2)若的面积为，求； 【答案】(1)由得， 则， 得， 若，则， 则均为直角，与题设矛盾， 故，故， 故，故. (2) 【分析】（1）根据两角和、差的正弦公式化简后可证. （2）根据正弦定理可将面积转化为角的三角函数关系式，化简后可得，结合（1）中结果可求. 【详解】（1）略 （2）， 所以，则， ， 从而， 又，从而，， 所以. 9．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知的三个内角所对的边分别为a，b，c，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正切的两角和公式计算可得答案； （2）利用余弦定理和已知可得，再用三角形面积公式计算可得答案. 【详解】（1） 由，得，所以， 又在，， 则，所以； （2）因为，所以①， 又， 则根据余弦定理，②， 由①②得， . 10．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知，，. (1)求函数单调递增区间； (2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可. 利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值. 【详解】（1）首先，根据题意，可得到： ， ， ， 令，， 得：， 即：， 所以的单调递增区间为，. （2）由 ，得， ，解得：，， 可得，由于，所以； 利用余弦定理可得，， ， 由不等式 ，得： ， ，当且仅当“”时取“=”， 所以. 的面积， 当 取最大值 3 时，面积最大，. 11．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）在中，若角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且，，. (1)求角； (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换构造正弦函数求角； （2）结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. 【详解】（1）对变形，得，即. 因，故，所以，解得. （2）由，，得. 由余弦定理，代入，， 得，即. 则，故. 因此，△ABC的周长为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02三角恒等变换 考点3三角函数的图象、性质与实际应用 考点04解三角形 》 考点01同角三角函数的基本关系及诱导公式 cosa+4 1,(25-26高三上贵州黔西南州顶兴高级中学期中)若0气3厂5，则如(“ 3 3 A.5 B.5 4 4 C.5 D.-5 》 考点02三角恒等变换 ana+）-2 = -tan a 1.(25-26高三上贵州黔西南州顶兴高级中学期中)己知α为第一象限角， 4 3 则 tan 2a=. 26高三上贵州黔西南州金成实验学校期中)己已知V2sina=sn(Q-4,则c03 》 考点03三角函数的图象、性质与实际应用 1.(25-26高三上贵州黔西南州顶兴高级中学期中)（多选）已知函数 f(x)=2sin x+3), 则下列选项 正确的是( A2π是f(四)的一个周期 B.(四的值域为 [-2,2] C.将f(x)的图象向左平移3个单位长度后，得到的图象关于原点对称 115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.f(x)的图象关于直线x=6对称 2.(25-26高三上贵州贵阳第一中学期中)已知点(a.0(a>0)是函数” 的图象的一个 对称中心，则a的最小值为() A.12 2 B.6 5π C.4 D.12 3.(25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校期中)设函数 =smo+3在区间0，)恰有三个极 值点、两个零点，则⊙的取值范围是( ) 513 519 138 1319 A.36 B.3'6 c.（6'3 D.(6’6 4,(25-26商三上：贵州黔西南州金成实验学校期中)（多选）已知函数f()=2N5 sine0x+2c0sx】 则 A.函数(x) 的最小正周期为π (元，0 B.函数f()关于点12)中心对称 C.函数y=f(x)的图像向左平移6个单位，得到的函数图像关于y轴对称 π2π D.函数8()=f()-ar在12'3上不单调，则a的取值范围为(-4,2) 5.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学期中)已知函数 =m2x}月 ①)求/()的对称中心及()的单调减区间： 215 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 [π元 ②)求∫(x)在区间2'6上的最值及取得最值时的x的值， 6.(25-26高三上·贵州贵阳期中)已知函数 ()Asim(or+)(其中4>0，®>0,0<0<不)的部 分图象如图所示 5π 12 12 2 (1)求函数 (的解析式： f引-25..来 4的值 考点04解三角形 1.(25-26高三上：贵州黔西南州顶兴高级中学·期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a=6,bsinA=3,则sinB=() B.5 e 1 D.6 之（25,26商三上：费州费阳期巾)在。4BC中，角A”gC的对边分别为g:b,Q:若0s4=- 4, sinB=15 8,b=2,则a=() A.3 B.5 C.4 D.5 3sin4 Cos4 cosC sinBsinC 3.(25-26高三上·贵州遵义航天高级中学期中)在△ABC中，若 ,且 315 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3sinC+cosC= 2,则c=( B V3 C.3 D.2 4.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学期中)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若aABC的面积为a2+c2-B2-acsin B,则cos 5.(25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中)已知△ABC中，点D在边BC上， AC ∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当AB取得最小值时，BD=一 6.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 2b-c=2 acosC」 (1)求角A: 23 (2)若 =4,△ABC 的面积为2V3,求△1BC。 的周长 7.(25-26高三上贵州贵阳第一中学期中)己知△ABC中角4B,C所对的边分别为a,b,C,满足 asn4+C=bsinA, cos A cos B sin Bsin C 2 a+ b 3sin A. (1)求b的值； (2)求2a+3c的最大值， 8.(25-26高三上·贵州遵义航天高级中学期中)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,C，且满足 2sinC=3sin(A-B) (I)证明：tanA=5tanB: a活。1BC的重积为，求mCc: 9.(25-26高三上贵州师范大学附属中学期中)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, tan Btan C-3(tan B+tan C)=1 415 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求角A的大小： 2)若a=1,2c-(5+1b=0 求△MBC的面积 10。(25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校期中)已知a=(5sinx-cos,万=((cosx.c0sx)】 f(x)=a-B (1)求函数 (④单调递增区间： (②)设。ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若f(B)互且万=V5求。1BC面积的最大值 11.(25-26高三上贵州黔西南州金成实验学校期中)在△ABC中，若角A,B,C的对应边分别为a, b,c,sin4+3c0s4=2 a=2 S.c=3 (1)求角A: (2)求△ABC的周长 515函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05三角函数与解三角形 考点01同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02三角恒等变换 考点03三角函数的图象、性质与实际应用 考点04解三角形 ①考点01同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.D D考点02三角恒等变换 3 1.- 4 1 2.2#0.5 考点03三角函数的图象、性质与实际应用 1.ABD 2.A 3.C 4.ACD ；,【米1m径8ce,[目+a+e (2)x=- 6时，fy=； 6或r、 2时，f(x)nx=1 【分析】(1)根据正弦函数的性质计算可得： (2)由x的范围求出2x一6的范围，再根据正弦函数的性质计算可得 【详解】(1)对于函数 wf(x)=sin 2x1 -6十2， 令2-君a低e),解得x经e2, 119 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +元(keZ） 所以f()的对称中心为212'2八 经+2s2r+2ae，期得号+e. 62 6 所以f()的单调减区间为L3 [+a+e, ua副，所剖 所以当2音豆，日6时，内版得袋小道，以f(=。 66或2x-元.7m 所以当2x-”=卫 66,即x 6或x=一2时，f(x)取得最大值， oemf得)到- 6【若案10/=n2+】 (2)5 〔分标】山根提图像42，合所金点得到7，进丽求@，代入点2动 得到P即可； (2)根据题意sina= 5，进而得到 5,再由二倍角公式求sin2a,cos2a,最后用和差公式求 解即可 【详解】(1)设)的最小正周期为了，由图象可得A=2, 召8*音分1= 219 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以T-25.0=2. 所以f(x=2sin(2x+p） 又}2m+p-2 所以-名+p=2+受keZ即9-否+2a,ke工 2π 又0<0<元，所以0=3，所以 2/径引2ma-25a5 5 5, 因为0引 所以cosa=2 5, 可得os2a=2cosa-1=3,5n2a=2 2imcos4 , 3,47 因此 考点04解三角形 1.B 2.C 3.D 2525 4.5#5 .5-#1+5 6.【答案14-胃 (②)4+210 319 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)利用正弦定理进行边角转化，再利用两角和的正弦公式进行化简即可求解； (2)利用三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】(1)由正弦定理得2sinB-sinC=2sin4cosC, sinB sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC 因为 所以2 sinAcosC+2 cosAsinC-sinC=2sin4cosC,即2cos4sinC-sinC=0, 1 又sinC>0:所以2cosA-1=0,即cosA=2, 因为A∈(0，，所以A=文 3 (2)因为5c= sA=2+ 2 =25 所以bc=8. 由余弦定理得a=6+c2-2bc×),即16=仍+c2-3bC 即6+cy'=16+24=40 b+c=2v10 ,可得 所以△1BC的周长为 4+2W10 7【答案1025 2© 【分折1山通时二角形三个角的关系及弦定程化筒sm4生=加n4,解得月：利用会孩定理化 2 cosA cos B sin BsinC 简a b 3sinA求得b; (2)由正弦定理化简2a+3C,由三角函数的性质求得其最大值. 【详解】山因为在。ABC中，sn4 =sinπ-B、mnB -=c0S 2 2 2’ 所以由asin《生C-sin,得acos9-bsin, 2 2 B 于是由正弦定理得sin Acos-,=sin Bsin A, 2 419 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以sinAcos B=2sin B( 因为48=o动.则号〔0引. cos号+0，所以sin号 B 1 所以sinA≠0 2 22 9-五，B= 所以2=6， 3 于是由os,osB_s咖Bsinc cos 4 cosB3sin C a b 3sinA，得a+b=6sinA, 再由正弦定理、余弦定理得 +c2-a+2+c-b-5c 2abe 2abc 6a =2W3 化简得 a c25 -=4 (2)由正弦定理可得sinA sinC sin 2a+3c=8sin A+12sin C=8sin A+12sin 2π -A =8sin 4+6/3cos 4+6sin 4 3 =14sin 4+6v3cos 4=4v19 sin(A+0) 38,sin0=357 其中锐角9满足c0s0=7,9 38 所以当4+0-至，4-至-0，周如4=m0- 2 38, cos 4=sin=357 38时， 所以20+C取得最大位为4丽 2sinC=3sin(A-B)2sin(A+B)=3sin(A-B) 8.【答案】(1)由 得 2sinAcosB +2cosAsinB=3sinAcosB-3cosAsinB, 得sinAcosB=5 cosAsinB,若cosA=0,则cosB=0, 则A,B均为直角，与题设矛盾，故CosA≠0，故CosB≠0， 故cos Acos B≠0，故tanA=5tanB 519 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3 (2)tanC= 2 【分析】(1)根据两角和、差的正弦公式化简后可证tan4=5tanB (2)根据正弦定理可将面积传化为角的三角函数关系式，化简后可得tandin-（a4+em),结合 6 (1)中结果可求tanC. 【详解】(1)略 (2)S.mc =absinC=5e 1 2 12 所以nininC=专snC,则sn4sinB=sinC=n(A+a). 6 6 6 5 5 sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB 6 6 5 从而tanAtanB=二(tanA+tanB) 6 又tanA=5tanB,从而tanB=l,tanA=5, tan 4+tan B 3 所以tanC=-ian(A+B)=-tan tan2 9.【答案】)4= 6 V3+1 (2）4 【分析】(1)利用正切的两角和公式计算可得答案： (2)利用余弦定理和已知可得b、C,再用三角形面积公式计算可得答案. 【详解】(1) tanB+tanC√3 由tan Btan C-V3(tanB+tanC)=l,得l-tan Btan C3,所以 n(B+C)-_ 3 又在△ABC,0<A<π， 则an1=-tan(B+C)=5 3,所以a6 6/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5+1b (2)因为2c-(W5+1b=0,所以=2b①， 又1=30，a=1 则根据余弦定理， 1=b+c2-2bc. 2②， 由①② b=V2,c=6+2 2, 5.weesind 2 24. k-工m+ 10.【答案】(1)6 3,k∈Z 3v3 (2)4 【分析】 (0通过向数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数 单调性，整体代换计算即可 (②)利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值 【详解】(1)首先，根据题意，可得到： f(x)=a.b=v3sinxcosx-cos2x sin 2x-1+cos 2x 3 c0s2x-1 2=2sin 2x-Ic 2, =sin2x-）-1 62， 令2<2x名2+.kez 6 得：2-骨<2x<2a+2号， 3 7/9 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即：-名x<a+学keZ, 61 所以/因的单湖莲带医同为a-。红+引 3,keZ 。sin2B-π-1=1 （2)由B)=2.得622 sin2B- 1 6),解得 2B--买+2，keZ. 62 可得B=π ,由于B∈(0，，所以B= 3 3: 利用余弦定理可得，b2=a2+c2-2 accos B, 3=a2+c2-ac 由不等式a2+c2≥2ac,得： 3≥2ac-ac=ac, ac≤3，当且仅当“a=C”时取“=”， 所以(ac)=3 S-2acsin B-1ac. 1 △ABC的面积2 2 2x335 当aC取最大值3时，面积最大 4 4 1.【客案10后 ②4+25 【分析】(1)通过三角恒等变换构造正弦函数求角； (2)结合面积公式与余弦定理，利用完全平方公式配方法求边长和，进而得周长. 819 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解1球4=2变，2如写引-2.Bm(4引 ,即( 因0.食4写到后气.以4号。解-君 。A= (2)白ecn4=5,m4分得e=45 由余弦定理a2=b2+c2-2 bccos,4,代入a=2cos1=V3 2, 得4=b2+c2-12,即b2+c2=16 则6+c=+c+2bc=16+85=45+,故b+c=2(V5+1 因此，△ABC的周长为2+2(5+1=4+2V5 919