专题07 立体几何与空间向量（期中真题汇编，贵州专用）高三数学上学期

专题07 立体几何与空间向量 3大高频考点概览 考点01 空间几何体 考点02 点、直线、平面间的位置关系 考点03 空间向量的应用 考点01 空间几何体 1．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积与球面面积相等 C．圆锥的侧面积为 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】D 【分析】根据圆柱、圆锥、球体的表面积公式即可求解. 【详解】对A，圆柱的侧面积等于,正确； 对B，球面面积为， 所以圆柱的侧面积与球面面积相等，B正确； 对C，圆锥的母线长为, 所以圆锥的侧面积为,C正确； 对D，圆柱的表面积, 圆锥的表面积, 球的表面积为, 所以圆锥的表面积最小，D错误； 故选:D. 2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）（多选）已知某圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆，则下列说法正确的是（   ） A．该圆锥的母线长是 B．该圆锥的高是 C．该圆锥的表面积是 D．该圆锥的体积是 【答案】ABD 【分析】圆锥的母线长为侧面展开图的半圆的半径，由侧面展开图的面积即可得解；由圆锥的底面周长为侧面展开图的半圆的弧长即可求得底面半径；由即可求得该圆锥的高；由圆锥的表面积公式及体积公式可求得其表面积及体积. 【详解】设圆锥的母线长为l，则母线长l为侧面展开图的半圆的半径，又圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，所以，则；设圆锥的底面半径为，则；该圆锥的高；该圆锥的表面积，该圆锥的体积为， 故选：ABD 3．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）（多选）三棱锥的各棱长均为2，其内切球半径为，外接球半径为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．内切球与各面相切于重心 D．该三棱锥的体积为 【答案】BCD 【分析】首先根据已知条件判断该三棱锥是正四面体，然后结合正四面体的结构特征和性质逐一判断选项即可. 【详解】因为三棱锥的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体. 所以根据勾股定理，底面的高为.则底面三角形的外接圆半径为， 所以该四面体的高为. 所以根据勾股定理可得 所以正四面体的外接球半径为，故B正确. 因为正四面体的外接球球心和内切球球心重合，正四面体的高为顶点到底面的距离且经过球心，正四面体外接圆半径是顶点到球心的距离，而内切圆半径是球心到底面的距离，所以有，那么内切球半径为.故A错误. 因为正面体的内切球是切于各面的重心的，所以C正确. 因为，所以该三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BCD. 4．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）（多选）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，则.根据棱锥的体积公式分别计算出，将题中多面体补成正方体，可求得，然后依次判断各选项即可. 【详解】因为平面，，所以平面. 设，则. 所以，. 把多面体补成如图正方体：    则. ，. 所以. 所以，，，. 故选：CD. 5．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）（多选）在一个半径为4的大球内放入个半径相同的小球，则（   ） A．当时，小球半径最大为2 B．当时，小球半径最大为 C．当时，小球半径最大为 D．当时，小球半径最大为 【答案】AC 【分析】根据球的内接外切问题逐项求解判断即可． 【详解】对于A，当时，两小球外切与大球内切，此时小球半径最大， 则，解得，故A正确； 对于B，当时，设小球半径最大为,则截面图如下：    三个球心组成边长为的等边三角形，球心是的中心， 则，， 解得，故B错误； 对于C，当时，如图所示：    四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体， 该正四面体的边长为，如图在正四面体中，在底面的投影为重心，    则， 正四面体的高为， 易知正四面体的外接球心在高上， 则，又, 解得正四面体的外接球半径为， ，解得，故C正确； 对于D，当时，设小球半径最大为，如图： 六个球心组成边长为的正八面体，    则正八面体的外接球半径为， ，解得，故D错误； 故选：AC． 考点02 点、直线、平面间的位置关系 1．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 【答案】A 【分析】通过四棱锥 的所有棱长都等于 5，确定其为正四棱锥，再结合余弦定理求得，即可求解. 【详解】四棱锥 的所有棱长都等于 5， 所以四棱锥为正四棱锥， 所以是正方形， 因为；又平面，平面， 所以平面； 又平面平面， 所以，所以； 因为，所以，所以； 中，，所以； 同理， 所以四边形DEFC的周长为， 故选：A． 考点03 空间向量的应用 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1) 连接BD交AC于O，连接OE.易得O为BD中点， 又为的中点，则， 又平面，平面，则平面； (2) ； (3) . 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，据此可得，可完成证明； （2）如图做，由题可得平面，连接，则为与平面所成的角，据此可得答案； （3）如图建立空间直角坐标系，可得平面的法向量，然后由空间向量知识可得答案. 【详解】（1）略 （2）如图作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，， 则. （3）如图，取CD中点为，连接AH，易得. 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系.则. ,. 设平面法向量为，则. 令，则，故取. 则点到平面的距离为.    2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面底面，平面底面，，点在线段上，. (1)证明：底面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 在矩形中，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以；同理； 又，平面，， 因此平面. (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质、结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知、、两两垂直，以为原点， 、、所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，因为， 所以， 可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 所以，且， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面夹角的正弦值为. 3．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 取中点，连接，由为中点，为中点，得， 又，则，因此四边形为平行四边形， 于是，而平面平面， 所以平面. (2) 过作于点，连接，由，得≌， 则，即，而， 因此，又平面，则平面，平面， 所以平面平面. (3). 【分析】（1）取中点，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得. （2）过作于点，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得. （3）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量，则，令，得， 设与平面所成角为，， 所以与平面所成角的正弦值是. 4．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知与都是等边三角形，平面平面，平面，，. (1)证明：平面. (2)证明：平面. (3)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明：取的中点，连接，， 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)证明：因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 由（1）得， 所以平面. (3) 【分析】（1）取的中点，连接，，根据等边三角形性质及面面垂直的性质定理，可证平面，结合条件，可得，求得长度，可得四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证. （2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，结合，即可得证. （3）方法一：如图建系，求得各点坐标，分别求得平面的法向量和平面的一个法向量，根据夹角公式，即可得答案；方法二：连接，分析可得即为平面与平面的夹角，求得各个长度，根据三角函数的定义，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）（方法一）：由（1）、（2）可得两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令 则， 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，由图可得为锐角， 则， 所以，即平面与平面的夹角为. （方法二）：连接. 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以即为平面与平面的夹角， 易得，， 所以， 得，即平面与平面的夹角为. 5．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）如图，在正三棱柱 中， ，点 在线段 上 (不含端点).    (1)当 时，求证 平面 ； (2)求三棱锥 与三棱锥 的体积之和； (3)求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【答案】(1) 设的中点为，是等边三角形，则， 由于底面，所以，因此，平面， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系。 则，，，，，，    设，则， 因为，所以。 因此，的坐标为： 所以，，即， 所以，，即， 因为，且平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）要证明，我们通过建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量垂直数量积为零，分别验证和； （2）采用等体积转换法，将转化为，将转化为，通过求解各自底面的法向量并计算点到相应底面的距离； （3）首先求出平面的法向量，然后利用线面角的正弦公式，建立关于参数的函数，通过变量代换将问题转化为求函数在区间上的值域进而求 与平面 所成角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）三棱锥的体积为：， 其中，为点到平面的距离， 已知点在线段上，则， ， 平面上两个不共线向量：， 设平面法向量，满足：， ，点到平面的距离：平面上取点，， 距离公式：，， ，， 所以：， 平面上两个不共线向量：， 设平面法向量，满足：， 底面的面积：，， 点到平面的距离：平面上取点，， 距离公式：，， ，， 所以：， 故， （3），，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，得，， 设与平面所成角为，， ， 则， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，，， 故，则， ， 故． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07立体几何与空间向量 3大高频考点概览 考点01空间几何体 考点2点、直线、平面间的位置关系 考点3空间向量的应用 》 考点01空间几何体 1.(25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个 球的直径2R相等，下列结论不正确的是( A.圆柱的侧面积为4πR2 B.圆柱的侧面积与球面面积相等 5πR2 C.圆锥的侧面积为 D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小 2.(25-26高三上贵州贵阳第一中学~期中)（多选）已知某圆锥的侧面展开图是面积为9π的半圆，则 下列说法正确的是( ) 3v2 A.该圆锥的母线长是 3v6 B.该圆锥的高是 2 25π C.该圆锥的表面积是 2 9√6π D.该圆锥的体积是4 3.(25-26高三上贵州凯里第一中学期中)（多选)三棱锥P-ABC的各棱长均为2，其内切球半径为”， 外接球半径为R,下列说法正确的是( 115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A. 12 B R=V6 2 2W2 C.内切球与各面相切于重心 D.该三棱锥的体积为3 4.(25-26高三上·贵州师范大学附属中学期中)（多选）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面 ABCD FB//ED,AB=ED=2FB 3,记三棱锥E-4CD,F-ABC,F-ACE的体积分别为 ,','g 则( => A.%=25 B.5=2 C.%=g+5 2Y=3 D 5.(25-26高三上贵州贵阳期中)（多选）在一个半径为4的大球内放入n个半径相同的小球，则 () A.当n=2时，小球半径最大为2 B.当n=3 时，小球半径最大为 V5-7 C.当n=4 ，小球半径最大为4√6-8 D.当”=6时小球半径最大为25-2 考点02点、直线、平面间的位置关系 1.(25-26高三上·贵州贵阳第一中学期中)如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于5，点E在线 段SM上，且满足SE=SM,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 215 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S D A 8+2V19 A B.16 C.14 D.8+V9 D 考点03空间向量的应用 1.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学期中)（多选）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°且PA=AB=2,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点 0 (I)证明：PB‖平面AEC: (2)求EC与平面PAD所成的角： 3)求点B到平面AEC的距离. 2.(25-26高三上·贵州贵阳期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥底面 ABCD 6,点F在线段PD上，PE=2ED PADL ABCD PA=AB=2AD=6 E ,平面 底面 315 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P A (I)证明：PA⊥底面ABCD: (2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值 3.(25-26高三上·贵州师范大学附属中学期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的 菱形，ADCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB= 4,点M'N分别为DP和AB的中点 P A 少 B I)求证：MNII平面PBC: (2)求证：平面PBC⊥平面ABCD: 3)求CM与平面PAD所成角的正弦值： 4.(25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校期中)已知△ABC与△ABE都是等边三角形，平面ABE⊥ 平面1BC,CDL平面1BC,AB=2,CD=5 D E (I)证明：DE∥平面ABC (2)证明：DE⊥平面ABE (3)求平面ABE与平面ABD夹角的大小 415 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ABC-ABG中， AA=AB=2 5.(25-26高三上贵州贵阳第一中学期中)如图，在正三棱柱 ,点 P在线段 BC 上（不含端点）： B CP 1 (I)当CB3时，求证AB,⊥平面BPA,; (2)求三棱锥 B-PAB C-PAC 与三棱锥 的体积之和： AC 3)求 与平面 ABP 所成角的正弦值的取值范围. 515函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07立体几何与空间向量 考点01空间几何体 考点2点、直线、平面间的位置关系 考点3空间向量的应用 》 考点01空间几何体 1.D 2.ABD 3.BCD 4.CD 5.AC 》 考点02点、直线、平面间的位置关系 1.A 列 考点03空间向量的应用 1.【答案】) 连接BD交AC于O,连接OE.易得O为BD中点， 又E为PD的中点，则PB/IOE, 又PB￠平面AEC,OEC平面AEC,则PB‖l平面AEC: (2) 3 (3) 221 7 【分析】(1)连接BD交AC于O,连接OE,据此可得PB/IOE,可完成证明： (2)如图做CF⊥AD,由题可得CF⊥平面PAD,连接FE,则∠CEF为EC与平面PAD所成的角， 据此可得答案： (3)如图建立空间直角坐标系，可得平面AEC的法向量，然后由空间向量知识可得答案， 【详解】(1)略 1/12 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图作CF⊥AD,因PA⊥平面ABCD,CFC平面ABCD, 则CF⊥PA,又PA,ADC平面PAD,PAOAD=A,则CF⊥平面PAD 连接FE,则∠CEF为EC与平面PAD所成的角. 由腿可得CF=5,E=4P=,CF1FE, 则m∠CEF-E-5s∠CEr FE 3 (3)如图，取CD中点为H,连接AH,易得AB⊥AH 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间直角坐标系则 8eao叭4 ow).c(.J5.o吵pr@a2y1i.o号 丽=2a0孤个小c-80 n-+ 2 y*20 设平面4EC法向量为万=(k,)则n:AC=+5v=0 AEC 令x=5,则=-h=5,故取i=N5,-l列 BA列25_22 则点B到平面AEC的距离为d 7 2.【答案】1) 在矩形ABCD中，AB⊥AD, 2/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,ABc平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD,又PAC平面PAD, 所以AB⊥PA;同理AD⊥PA: 又AB,ADC平面ABCD,ABAD=A, 因此PA⊥平面ABCD. ②g 【分析】(1)根据面面垂直的性质、结合线面垂直的判定定理即可证明 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可： 【详解】(1)略 (2)由(I)可知AB、AD、AP两两垂直，以A为原点， AB、AD、AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A-z, Z 则1(0，0)，P(0,06).C63,0)D03,0) 则PD=(0,36),因为PE=2ED 所PE=号P历=(Q24), 可得E0,22）,E=(0,22).4C=(6,30) 设平面CE的一个法向量为=(，八) ii.AE=2y+2z=0 则万.4C=6x+3y=0,取y=-2,则2=2'x=1' 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以i=,-22),问=3aPc=(6,3-6) 设直线PC与平面ACE所成的角为B, 则sin8=|cosPC, Pc.月6×1+3x(-2)+2×(-6_4 PC 9×3 故直线PC与平面4CE夹角的正弦值为g 3.【答案】1) 取PC中点E,连接ME,BE,由M为Dp中点，N为AB中点，得ME11DC,ME=DC 2 又BN/CD,BN-CD,则ME//BN,.ME=BN,因此四边形BEN为平行四边形， 于是MNIIBE,而MNC平面PBC,BEc平面PBC, 所以MNII平面PBC. (2) 过p作P0LBC于点Q,连接D0,由∠DcB=∠PCB=年cD-PC,QC=QC,得AQCD≌AQCP. 则DOC=∠POC= 2,即DQ⊥BC,而PQ=DQ=V2,PQ2+DQ2=4=PD2, 因此PO⊥DO,又onBc=O,DO,BCc平面ABCD,则POL平面ABCD,POc平面PBC, 所以平面PBC⊥平面ABCD, D 5 3)3. 【分析】(I)取PC中点E,由已知条件，结合线面平行的判断推理即得 (2)过P作PQ1BC于点Q,借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得 4/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】(1)略 (2)略 (3)由(2)知，直线C,QD,QP两两垂直， 以点2为原点，直线QC,QD,QP分别为x,y,2轴建立空间直角坐标系， CV2,00.P0.0,2,D0,V2.0,M0,￥，)4-2，V2.0 则 -599而-a0m-0-返西 i·AD=2x=0 设平面p4D的一个法向量元=（化，y,)则万-DP=-√2y+V2z=0,令y=1,得万=0,1，）： 设CM与平面PAD所成角为0， sino-cos(CM,)ICM |CM√5√23， 所以CM与平面PAD所成角的正弦值是3· 4.【答案】(1)证明：取AB的中点O,连接OE,OC, D 因为△ABE是等边三角形，所以OE⊥AB, 因为平面ABE⊥平面ABC,平面ABEO平面ABC=AB, 所以OE⊥平面ABC, 因为CD⊥平面ABC,所以OEIICD, xOE=VAE-A0-4-1=3-CD 5/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以四边形OCDE是平行四边形， 所以OCIlDE, 因为OCC平面ABC,DEC平面ABC, 所以DE∥平面ABC, (2)证明：因为△ABC是等边三角形，所以OC⊥AB, 因为平面ABE⊥平面ABC,平面ABEO平面ABC=AB, 所以OC⊥平面ABE, 由(1)得OC/DE, 所以DE⊥平面ABE. 3)4 【分析】(1)取AB的中点O,连接OE，OC,根据等边三角形性质及面面垂直的性质定理，可证 OE⊥平面ABC,结合条件，可得OEIICD,求得OE长度，可得四边形OCDE是平行四边形，根据线 面平行的判定定理，即可得证 (2)根据面面垂直的性质定理，可证OC⊥平面ABE,结合OCDE,即可得证. (3)方法一：如图建系，求得各点坐标，分别求得平面ABD的法向量和平面ABE的一个法向量，根 据夹角公式，即可得答案；方法二：连接OD,分析可得∠EOD即为平面ABE与平面ABD的夹角，求 得各个长度，根据三角函数的定义，即可得答案， 【详解】(1)略 (2)略 (3)(方法一)：由(1)、(2)可得0B、OC、OE两两垂直， 以O为坐标原点，OB,OC,OE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA 则0(0,0，o),B(0,0),D0,5,3.c05,0】 6/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则OB=(10,0).BD=(1v5,3) 设平面ABD的法向量为 m=(x,y,2) [m.0B=0「x=0 则m.BD=0,即-x+V3y+V3z=0,令y=1 则i=(01-） 易得Oc=(0,v5,)为平面4BE的-个法向量。 设平面ABE与平面ABD的夹角为B,由图可得B为锐角， 则cos0= OC.m3 2 OC2x3 2, 所以0= 4,即平面ABE与平面ABD的夹角为4 (方法二)：连接OD D E 因为OC⊥AB,OE⊥AB,OCnOE=0. 所以AB⊥平面OCDE, 因为ODC平面OCDE, 所以AB⊥OD. 所以∠EOD即为平面ABE与平面ABD的夹角， 易得OE=DE=V5.DE1OE 所以an∠EoD=D华=1 7/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得∠BOD-子，即平面ABE与平面ABD的夹角为4 5.【答案】1) 设BC的中点为O,ABC是等边三角形，则OA1BC, BB,⊥ BB⊥OA CBBC 由 底面ABC,所以 A,因此，OA上平面 以O为原点， 0C所在直线为轴，O4所在直线为'轴，过平行于68的直线为轴，建立空间直角 BB 坐标系。 则40，v5.,0.-00,C0,00).40.5,2).B(-10,2)Ca0,2 设Px）,则乎=r-山y2C丽=(20,2) gg5.-国-2a-号引 因t,P的生标：-(0}→PG0引 西12即-目1-信引-1-2 6BP=-145)-0+2.2-4+4=0 333 所以， 丽上即.即81B即， AB·AB=-1(-1)+(V5)(-3)+2(-2)=1+3-4=0. 8/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以， 8上AB,即B上4B Pn48=R,且R4BC平面BPA,所 AB,⊥BPA 因 ,且 平面 平面 (2) 5 (3) 2 【分析】(1)要证明AB⊥平面BP4,我们通过建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量 AB⊥BPAB⊥BA 垂直数量积为零，分别验证 和 (2)采用等体积转换法，将 P8转化为 pAa,将 GPAC转化为 pG,通过求解各自底面的法向量 并计算点P到相应底面的距离： AC· (3)首先求出平面 ABP 的法向量，然后利用线面角的正弦公式si6 AC同，建立关于参数，的函 (2-1)2 数，通过变量代换1=21-1将问题转化为求函数(2)= 722-82+4在区间(0,1)上的值域进而求AC 与平面ABP所成角的正弦值的取值范围。 【详解】(1)略 1 (2)三棱锥B-PAB的体积为：'A-Pa=s-3X5,B×d, 其中S×4B×4=×2×2=2,d为点p到平面8B的距离， 1 已知点P在线段BC上，则BP=BC0<2<), BP=B,C=(22,0,-22)→P(22-1,0,-21+2) 9/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 平面ABB上两个不共线向量： AB=（-1,-5,0,BB=(0,0,2) 设平面法向量元=(：，，4)满足：五BB=0 ,点P到平面88的距离：平面上取点(-L0,0),即-(2A,02-2）, 距离公式：4 BP. 网.p可-2105e-2刘02， 424=2v 问=+ 2W3 33， 3 a-写x5mx4=×2x5a-25 1 所以： 3 3 平面4CG上两个不共线向量：4C=(-5,0),CC=(0,02) 设平面法向量历=(x,2,2）满足： 层。停 底面A4CC的面积：MC-2问-2，C.C-0.5am分×2x2=2. 点P到平面1CG的距离：平面上取 C=(1,0,0)CP=(-2+2,0,2-2) CP.n2 距离公式：4= ，.m=(-2+21+05+2-220-2+22, 马后.小0刘 所以：e×5a42x50-)-25-刘】 故4w+=25+25 3 (1-)=23 3 10112 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)AC=(-5,2),B-（l,-5,0.P=(22,02-2). 设平面ABP的一个法向量为 m=(x,y,2) mBP=21x+(2-2)z=0 由m:AB=-x-V3y=0, 4同台香-m严 31-, 设AC与平面ABP所成角为0， 4C=1+3+4=22 mAC=1+1- 22(1-22) -元1-元 2(1-2) 则sino、 AC 1-元 51-2 AC网 2N2.V4-81+7V2V72-82+4, √51-刘 (1-22) fa=20-22)2-4) 令f)=7元-8元+40<元<) (722-8+4), 专》.a0.网平用。 专，0，@本. ,⑩，- a网 m0语@9】 11/12 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故sine 0, 2 12/12