专题03 导数及其应用（期中真题汇编，贵州专用）高三数学上学期

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03导数及其应用 3大高频考点概览 考点01导数的概念、运算及其几何意义 考点02导数在研究函数中的应用 考点3导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 》 考点01导数的概念、运算及其几何意义 1.（25-26高三上贵州凯里第一中学期中)若直线'= 线”=oe相切，则实数=( 与曲 A.eln3 elog;e B. 1 C. e D.log e 考点02导数在研究函数中的应用 1.（25-26高三上贵州黔西南州项兴高级中学期中)函数/()2r-6r+ 的极小值为() A.-33 B.-7 c.-1 D.7 2.(25-26高三上资州凯里第一中学期中)若函数f)--ar+7x-0不存在极值，则n的取值范 围是( A.（45,45) B.（221,2W21 c.[45,45] D.[-221,221 3.（25-26高三上·贵州贵阳期中)（多选）函数（冈=r-3 ,下列说法正确的是() A.f(在区间[，3刊上是增函数 B.f(x+1)+2是奇函数 c.f()在区间-上的值域为4,2到 115 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若方程(m=0在R上有三个不同实根，则实数m的取值范围为 -4,0) 4.(25.26商三上费州凯里第中学期中)已知函数f()=anr+-2x,若f)在0，+四)上单调递 增，则实数a的取值范围为( A.(0,1 B.(1,+∞) c.(0) D.[1+) 5,(25-26商三上：费州凯里第一中学期中)已知/0是定义在1+) 上的可导函数，且满足 f)<-),则不等式-l>+f-D 的解集是( ) A.（1) B.[L+∞) (0,1 D.(0,+o) 6,(25.26高三上贵州费阳第中学期中)若西数=心-2x在0，上单调递指，则实数a 的取值范围为() A.[0,5] B.[0,+∞) c.[2,+∞) D.[0,2] 7.(2526高三上贵州连义航天高级中学期中)（多选)已知函数)=(：+1：++3)，则 A.当a=0时，f(四在R上单调递增 y=f(x) B.曲线 总存在两条斜率为1的切线 C.存在唯一的实数a,使得点 》为曲线=的对称中心 D.存在实数“，使得（有三个零点，西西且5+5+。=0 8.(25-26商三上资州师范大学附属中学期中)《多选）已知图数()=n4+a在-3处取得极大 215 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值，的导函数为()，则() Aa号 B.当0<x<l时，f()>f(x) c.f(2+)=(2-x) D.当1≤555s3且+54时，)+化)9 9.(25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校期中)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其 定理陈述如下：如果函数f(x)在闭区间[a,]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存 在一个点e(a,),使得0)f@=f代6-x=称为函数'=f四在闭区何la,上的中值点. 若关于函数 在区间上的“中值点”个数为m,函数8)=心” f(x)=sinx [0,π [1,2] 在区间上的“中值 点”的个数为n,则有m+n=()(参考数据：π≈3.14，e≈2.72) A.1 B.2 C.0 D.3 10.(25-26高三上费州费阳第一中学期中)已知函数f()(+0)m州，若f四拾有4个极值 点，则a的取值范围为一 1.(25-26高三上贵州黔西南州顶兴高级中学期中)已知商数f()心+“在x=1处取得极大值2 )求/（四的解折式： ②求在区间4,2列上的最值 f(x)=e*-ax-a 12.(25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校期中)已知函数 )当a=1时，求曲线y=f在点f0 处的切线方程 315 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)若()有极小值，且极小值小于0，求ā的取值范围. 13.(25-26高三上贵州黔西南州金成实验学校·期中)己知函数 f(x)=In(x+l)+ax'-x(aER). (1)当a=1时，讨论f()的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 14.(25-26高三上·贵州贵阳第一中学期中)已知函数 f(x)=x3-3.x2+(3-2a)x-b )求证：f的图象关于，1-b-20对称 ②若过点2m）可作出曲线8)=+2r+b的三条切线，求m的取值范围， ③若(0存在极值点，且飞)=)，其中≠5，求5+2x的值 15。（25,26商三上贵州遵义航天商级中学期中)已知的数)=ahx-r+b,8)-氵-ac>0) (I)若曲线y=f(x)与曲线y=g()在它们的交点(，c)处具有公共切线，求实数a,b的值： (2)若函数(x)无零点，求实数a的取值范围： B)当a=b时，函数F()=f()+g()在x=1处取得极小值，求实数a的取值范围 考点03导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学期中)已知 ()=e-ax(a为常数) Q)当a=-1时，求f(在r=0处的切线 ②讨论/（四的单调性： 3)证明：当x>0时，x2<e; 415 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(25-26高三上·贵州师范大学附属中学期中)己知函数)= j- (1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程： 2)当x∈[-2,4]时，求证：x-6≤f()≤x: )没F()-V()-(x+aa∈R）,记F)在区间-24上的最大值为M(@,当M(@最小时，求a的值. 3.(25-26高三上贵州贵阳期中)已知函数)=(x+)e,g()=e2+a()-(ar+2)e-x ①求曲线（☒在点0，f0》处的切线方程， ②若函数8有两个零点，求实数“的取值范国： 3)当a>0时，求证：g()>21na-e-1+3 515 专题03 导数及其应用 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 考点02 导数在研究函数中的应用 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 1．D 考点02 导数在研究函数中的应用 1．C 2．D 3．BD 4．D 5．D 6．C 7．AC 8．ACD 9．B 10． 11．【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得，得到结果注意检验； （2）得到函数在上的单调性后结合极值定义计算即可得. 【详解】（1），由题意可得，解得， 则； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，故成立； 故； （2）由（1）知，当时， 在、上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 12．【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 13．【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导，解不等式，即可； （2）令，根据即可得出，再检验的合理性即可. 【详解】（1）当时，，则且， 由，得或；，得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题知，令，则， 因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，a的取值范围为. 14．【答案】(1) 由， 令， 又，所以的图象关于原点对称， 且的图象是的图象向左平移1个单位，再向上平移个单位而得到. 所以的图象关于对称． (2)； (3). 【分析】（1）构造函数，进而证明的图象关于原点对称可得； （2）将曲线的三条切线问题转化为与有三个交点问题可得； （3）由存在极值点得及可得. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 设切点为， 则切线的斜率， 切线方程为 因切线过点，可得， 令， 由条件可知与有三个交点， 令， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 当，，所以在上单调递减， 当时，取得极小值；当时，取得极大值．如图： 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以． （3）解：， 当，在R上单调递增，无极值； 当，由，解得或； 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，因为存在极值点，所以，得， 由，即 ，， ， ， 因为，得，即. 所以. 15．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出两个函数的导数，由题可知，求出即可； （2）设，求出导数，讨论的范围根据单调性可得出； （3）求出的导数，讨论的范围，根据单调性即可得出. 【详解】（1）因为函数，， 所以，. 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 所以. 则，解得. （2）由题意，， 设. ①当时，，在上单调递增，且， 所以，所以在上无零点. ②当时，令，得． 当，即时，，在上单调递增，且， 所以，所以在上无零点. 当时，， 符号变化如下， 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以. 当，即时，， 所以，所以在上无零点. 当，即时，由，，所以至少存在一个零点，所以至少存在一个零点. 综上，若无零点，实数的取值范围为. （3）当时，，定义域为． 则． 由（2）可知，当时，， 当时， ， 所以当时，在上恒成立. 此时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值． 当时，， 当时，，， 所以，单调递减. 此时不是极小值点．即时，不合题意． 综上，满足条件的的取值范围为． 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．【答案】(1) (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增.· (3)证明：构造函数. 设，则，函数在上单调递增，且， 当时，，在上单调递减，所以在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以在上单调递增. ∴当时，的最小值为· ∴当时，， ∴在单调递增， ∴当时 ∴当时，· 【分析】（1）当时，求出，再由点斜式求解即可； （2）对求导，分和，判断与的大小即可得出单调性； （3）构造函数，对求导，结合（2）中的结论，可证得，即可证出当时，. 【详解】（1）当时，. ，∴切点为· ，∴切线斜率. ∴切线方程为，即.· （2）， 当时，恒成立，∴在单调递增； 当时，由，由 ∴在单调递减，在单调递增.· 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增.· （3）略 2．【答案】(1)和 (2)设，， 令得或者， 所以当时，，为增函数； 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 而，所以，即； 同理令，可求其最小值为， 所以，即，综上可得. (3) 【分析】（1）首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； （2）由题意分别证得和即可证得题中的结论； （3）由题意结合（2）中的结论分类讨论即可求得a的值. 【详解】（1），令得或者. 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即； 综上可得所求切线方程为和； （2）略 （3）由（2）知， 所以是中的较大者， 若，即时，； 若，即时，； 所以当最小时，，此时. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．【答案】(1) (2) (3) 当时，， 设， 所以在上单调递增， 又，， 故，使，即，进而， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立， 所以成立， 故． 【分析】（1）根据导数几何意义求切线方程即可； （2）由题得，求导，根据导数和讨论函数单调性，得到，结合函数有两个零点，则，再令，易知在单调递增，且，进而解得，最后检验即可； （3）由（2）知，设，再求导证明即可． 【详解】（1），，，， 所以切线斜率为， 切线方程为； （2）， 所以， 当时，，在上单调递减，不符合题意， 当时，，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以必有. 设在上单调递增， 又，解得； 当时，有， 则，且， 而，所以在上存在唯一零点； 又有，则， 且， 所以在上存在唯一零点； 当时，在上存在两个零点为，. 综上所述，有两个零点时，实数的取值范围为； （3）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 3大高频考点概览 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 考点02 导数在研究函数中的应用 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数的概念、运算及其几何意义 1．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）若直线与曲线相切，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可. 【详解】设切点为，由可得，则， 所以，解得，即. .故选：D. 考点02 导数在研究函数中的应用 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C 2．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）若函数不存在极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，依题意恒成立，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为的定义域为， 且， 又函数不存在极值， 则没有变号零点， 所以恒成立，则，解得， 即的取值范围是. 故选：D 3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）（多选）函数，下列说法正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．是奇函数 C．在区间上的值域为 D．若方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】利用求导来判断三次函数的单调区间，从而可判断A,利用的解析式可判断B，利用三次函数的单调性求值域可判断C，利用函数零点个数可判断D. 【详解】对于A，由， 当，得或，即在上单调递增， 当，得，即在上单调递减， 从而可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A错误； 对于B，由， ，所以是奇函数，故B正确； 对于C，由在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且， 所以在区间上的值域为，故C错误； 对于D，由在上单调递增，在上单调递减， 且，当，，当，， 所以方程在上有三个不同实根，则实数的取值范围为，故D正确； 故选：BD 4．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 5．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案. 【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义， 需满足，解得. 因为，所以，即， 设函数，则在定义域上单调递减. 要求，则 当，即时，，即， 所以，解得或，所以； 当，即时，，即， 所以，解得； 在中，令得， 而在中，当时，有，显然成立； 综上，的解集为. 故选：D. 6．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定单调区间及单调性，利用导数建立恒成立的不等式求解. 【详解】由函数在上单调递增， 得，，即恒成立， 令，而函数在上单调递减，则，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C 7．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）（多选）已知函数，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．曲线总存在两条斜率为1的切线 C．存在唯一的实数，使得点为曲线的对称中心 D．存在实数，使得有三个零点且 【答案】AC 【分析】对于A，利用导数证明即可；对于B，令，由二次方程根的判别式即可判断；对于C，根据求即可判断；对于D，不妨设，则是方程的两个根，且，根据韦达定理即可判断. 【详解】对于A，当时，， 则. 方程的判别式， 所以恒成立，即在上单调递增，故A正确； 对于B，， ， 令，则， 其判别式 当时，， 所以方程无解，此时曲线不存在斜率为1的切线，故B错误； 对于C，若点为曲线的对称中心， 则. ， ， 所以 ， 所以，解得， 所以存在唯一的实数，使得点为曲线的对称中心，故C正确； 对于D，假设存在实数，使得有三个零点且， 令，得或. 不妨设，则是方程的两个根，且， 则，解得或，且. 因为，所以，解得,与或矛盾， 所以不存在实数，使得有三个零点且，故D错误. 故选:AC. 8．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）（多选）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（   ） A． B．当时， C． D．当且时， 【答案】ACD 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令，得或； 令，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 9．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点．若关于函数在区间上的“中值点”个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（   ）（参考数据：） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用拉格朗日中值定理应用导函数得出方程解的个数即可判断求解． 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即， 而，则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，，在上单调递增， ，， 则在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，所以． 故选:B． 10．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知函数 ，若 恰有 4 个极值点，则 的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据题目条件判断函数是偶函数，要使其恰有4个极值点，只需考虑时存在2个极值点，通过求导分析，令辅助函数，其零点与相同，当参数时，在处取得最小值，为使有两个零点，需要该最小值小于零，由此可确定参数的取值范围. 【详解】的定义域，对任意，都有， ，所以为偶函数， 故恰有4个极值点等价于在上恰有2个极值点，下面只考虑的情形，此时，， 令，与在上的零点相同， 当时，在上是增函数，至多有一个零点， 则至多1个极值点，不符合题意； 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 因为有两个极值点，所以有两个零点，则，解得， 因为，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以，即， 所以，又因为， 结合函数零点存在性定理可知，当时， 在，上各有一个零点，记为，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 故为的极大值点，为的极小值点，满足题意， 综上，a的取值范围为． 故答案为： 11．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求导后结合极值定义计算即可得，得到结果注意检验； （2）得到函数在上的单调性后结合极值定义计算即可得. 【详解】（1），由题意可得，解得， 则； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，故成立； 故； （2）由（1）知，当时， 在、上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 12．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 13．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知函数（）. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导，解不等式，即可； （2）令，根据即可得出，再检验的合理性即可. 【详解】（1）当时，，则且， 由，得或；，得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题知，令，则， 因当时，恒成立，且， 则必有，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，a的取值范围为. 14．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知函数. (1)求证：的图象关于对称； (2)若过点可作出曲线的三条切线，求的取值范围； (3)若存在极值点，且，其中，求的值. 【答案】(1) 由， 令， 又，所以的图象关于原点对称， 且的图象是的图象向左平移1个单位，再向上平移个单位而得到. 所以的图象关于对称． (2)； (3). 【分析】（1）构造函数，进而证明的图象关于原点对称可得； （2）将曲线的三条切线问题转化为与有三个交点问题可得； （3）由存在极值点得及可得. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 设切点为， 则切线的斜率， 切线方程为 因切线过点，可得， 令， 由条件可知与有三个交点， 令， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 当，，所以在上单调递减， 当时，取得极小值；当时，取得极大值．如图： 因为过点可作出曲线的三条切线， 所以． （3）解：， 当，在R上单调递增，无极值； 当，由，解得或； 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，因为存在极值点，所以，得， 由，即 ，， ， ， 因为，得，即. 所以. 15．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知函数，. (1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值； (2)若函数无零点，求实数的取值范围； (3)当时，函数在处取得极小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出两个函数的导数，由题可知，求出即可； （2）设，求出导数，讨论的范围根据单调性可得出； （3）求出的导数，讨论的范围，根据单调性即可得出. 【详解】（1）因为函数，， 所以，. 因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线， 所以. 则，解得. （2）由题意，， 设. ①当时，，在上单调递增，且， 所以，所以在上无零点. ②当时，令，得． 当，即时，，在上单调递增，且， 所以，所以在上无零点. 当时，， 符号变化如下， 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以. 当，即时，， 所以，所以在上无零点. 当，即时，由，，所以至少存在一个零点，所以至少存在一个零点. 综上，若无零点，实数的取值范围为. （3）当时，，定义域为． 则． 由（2）可知，当时，， 当时， ， 所以当时，在上恒成立. 此时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值． 当时，， 当时，，， 所以，单调递减. 此时不是极小值点．即时，不合题意． 综上，满足条件的的取值范围为． 考点03 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）已知(为常数) (1)当时，求在处的切线. (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，； 【答案】(1) (2)当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增.· (3)证明：构造函数. 设，则，函数在上单调递增，且， 当时，，在上单调递减，所以在上单调递减， 当时，，在上单调递增，所以在上单调递增. ∴当时，的最小值为· ∴当时，， ∴在单调递增， ∴当时 ∴当时，· 【分析】（1）当时，求出，再由点斜式求解即可； （2）对求导，分和，判断与的大小即可得出单调性； （3）构造函数，对求导，结合（2）中的结论，可证得，即可证出当时，. 【详解】（1）当时，. ，∴切点为· ，∴切线斜率. ∴切线方程为，即.· （2）， 当时，恒成立，∴在单调递增； 当时，由，由 ∴在单调递减，在单调递增.· 综上，当时，在单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增.· （3）略 2．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知函数. (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)当时，求证：； (3)设，记在区间上的最大值为，当最小时，求a的值． 【答案】(1)和 (2)设，， 令得或者， 所以当时，，为增函数； 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 而，所以，即； 同理令，可求其最小值为， 所以，即，综上可得. (3) 【分析】（1）首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程； （2）由题意分别证得和即可证得题中的结论； （3）由题意结合（2）中的结论分类讨论即可求得a的值. 【详解】（1），令得或者. 当时，，此时切线方程为，即； 当时，，此时切线方程为，即； 综上可得所求切线方程为和； （2）略 （3）由（2）知， 所以是中的较大者， 若，即时，； 若，即时，； 所以当最小时，，此时. 【点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2) (3) 当时，， 设， 所以在上单调递增， 又，， 故，使，即，进而， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立，但，所以等号不成立， 所以成立， 故． 【分析】（1）根据导数几何意义求切线方程即可； （2）由题得，求导，根据导数和讨论函数单调性，得到，结合函数有两个零点，则，再令，易知在单调递增，且，进而解得，最后检验即可； （3）由（2）知，设，再求导证明即可． 【详解】（1），，，， 所以切线斜率为， 切线方程为； （2）， 所以， 当时，，在上单调递减，不符合题意， 当时，，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以必有. 设在上单调递增， 又，解得； 当时，有， 则，且， 而，所以在上存在唯一零点； 又有，则， 且， 所以在上存在唯一零点； 当时，在上存在两个零点为，. 综上所述，有两个零点时，实数的取值范围为； （3）略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $