专题06 数列（期中真题汇编，贵州专用）高三数学上学期

专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）满足条件的等差数列共有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解. 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知等差数列 满足 ，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由等差数列下标和性质即可求解. 【详解】已知等差数列，则， 可得， 故选：B． 3．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）（多选）已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．时，取最大值 【答案】ABCD 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，求出，再结合等差数列的性质，求出，再结合等差数列前项和的定义，即可求解． 【详解】， 则， 故， 所以，故AB正确， ， 则，即，故C正确； 由， 则时，取最大值，故D正确． 故选：ABCD． 4．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知等差数列的首项为1，公差，其前n项和满足. (1)求公差d； (2)是否存在正整数m，k使得. 【答案】(1) (2) 法一：由（1）得，， ， 时； 时； 时； 时（舍）， 当时，，不合题意； 满足条件的有三组. 法二：由（1）得，， 故， 所以，且， 所以，所以，，. 存在满足条件的有三组. 【分析】（1）由等差数列求和公式列出方程，求出公差； （2）在第一问的基础上，得到通项公式，利用求和公式得到，法一：由m，k为正整数，列出符合要求的解；法二：得到，且，从而得到，写成符合要求的解. 【详解】（1）因为，，所以， 所以，即，解得：或. 因为，所以. （2）略 考点02 等比数列 1．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）（多选）已知数列的前4项成等比数列，其前项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由已知得，设，，求导，分析导函数的符号，得出所设函数的单调性和最值，从而由等比数列的通项公式判断可得选项. 【详解】解：数列的前4项成等比数列，且，，即， 设，，，令，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 又，， ，，且，，， ． 故选：AD． 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知数列 中， ，记 为 的前 项和， ，则 _____. 【答案】 【分析】利用数列前项和与的关系得到，然后由累乘法即可求得. 【详解】因为，当时，， 则，即， 可得：． 故答案为：12. 2．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则______，______． 【答案】 15 【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到即可得解． 【详解】由题意可知，， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：15，． 3．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知等差数列的前项的和为. (1)求的通项公式; (2)求数列的前项和.并证明. 【答案】(1). (2) 令，由（1）有： ， 所以 ， ，，， . 【分析】（1）利用基本量法以及等差数列的性质求解. （2） 利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明. 【详解】（1）设的公差为d，由题意得： ，解得， 所以. （2）略 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数列的前项和为，，，.若，有恒成立，则实数的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的应用可知是以1为首项的等差数列，进而求出，代入题意中的不等式可得，设，根据对勾函数的性质计算即可求解. 【详解】由， 知数列是以1为首项的等差数列， 又，所以公差， 得. 由，得， 即，设， 由对勾函数的图象与性质知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时，取得最小值. 所以，即t的最大值为. 故选：C 2．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）已知数列的前项和为，数列的前项和为，且，则使得恒成立的实数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再利用等比数列前项和公式求出即可得解. 【详解】数列中，，，当时，，两式相减得， 即，整理得，而， 因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，，不满足上式， 则，当时，，， 而，依题意，，所以实数的最小值为. 故选：C 【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求. 3．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知数列满足．若有无穷多个项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑时，显然成立，当时，利用放缩变形，得到，累加可知定会存在某项． 【详解】∵，即； 令，则，易证：当时，， 所以当时，，所以， 当时，，易得， 即，此时有无穷多个项，故合题； 当时，则， 设，则， 则， 所以为单调递减数列，故， 即， 令，，当时，， 即在上单调递增，因为， 所以， 不妨令，显然，即， 即，累加可得，即， 故当时，，此时不存在，不是无穷多个项，故不合题； 综上：． 故选：B． 【点睛】本题难点在于时，应该怎么处理，先证明是递减数列，然后通过变形得到，累加可得，当足够大时，显然存在． 考点05 数列新定义 1．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为，均为奇数的“正整数分拆”的个数为. (1)写出整数4的所有“正整数分拆”； (2)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; (3)对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. （注:对于的两个“正整数分拆” 与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.） 【答案】(1)，，，， (2)当为偶数时，；当为奇数时，； (3)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故； 综上所述：. 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，； 当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为， 故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故. 综上所述：使成立的为：或. 【分析】（1）根据题意直接写出答案； （2）讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案； （3）讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案. 【详解】（1）因为， 所以整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，. （2）当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：当为偶数，最大为；当为奇数时，最大为. （3）略 【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 2．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）定义：设数列为无穷整数数列，若对于任意，都满足，其中，则称为“r-可表数列”． (1)若为“1-可表数列”， ，求的所有可能值； (2)若为“2，3-可表数列”，证明：为等差数列； (3)若为“k，-可表数列”，且仅能为等差数列，求k的取值集合． 【答案】(1)的所有可能值为或或或 (2)由题意得，， 所以，， 所以，若， 则，， 所以，，， 因为，， 所以，同理， 所以， 若，则， 假设时，当时， ，， 所以，所以归纳证明， 若，同理可证明； (3)的取值集合为全体正奇数 【分析】（1）由题意得，根据求出的所有可能值； （2）证明，分和并结合数学归纳法即可证明； （3）利用两个绝对值等式去逼迫数列每一项的取值，当为奇数时，由于和互素，这种逼迫可以延伸到所有项，而为偶数时，偶数项和奇数项相互独立，各自内部制约，所以不能逼迫出等差数列. 【详解】（1）由题意得，所以， 所以或，因为， 所以或或，因为， 所以或或或； （2）略 （3）当为偶数时，若为“k，-可表数列”，且仅能为等差数列， 则仍是“k，-可表数列”，其中任取， 但时数列不是等差数列， 故不符合题意，当为奇数时，类似（2）， 因为与互素，所以， 当时，对和成立， 引理：若对和成立，则对和成立（证明略，在（2）中已使用）， 下面证明对均成立， 利用上述引理来递归地扩大范围， 该图示意了从小到大方向的一轮递推，图中所有数字都作为满足， 只看已证的奇数，包含了和的所有奇数， 对于，可用逼迫出， 所以的所有奇数都作为满足， 偶数同理，所以可以证明对均成立， 再利用引理归纳证明，， 所以必为等差数列，所以取值于全体正奇数. 【点睛】关键点点睛：本题（2）（3）关键在于正确使用数学归纳法. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06数列 5大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点3数列的通项公式与求和 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05数列新定义 》 考点01等差数列 1,(25-26高三上贵州凯里第一中学期中)满足条件4-14-2,4，-3e2,3}的等差数列a共有 ( )个 A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26高三上贵州贵阳第一中学·期中)已知等差数列 {a.} 满足a+a,+a,=12,neN ’则 () A.2 B.4 C.5 D.6 3。(2526高三上贵州凯里第一中学期中)《多选)已知数列a,}是公差为‘的等差数列，其前”项和 为，若8>0<0 ,则下列说法正确的有( ) A.4<0 B.>0 c.lal<lal D.n=7时，S取最大值 4.(25-26高三上贵州遵义航天高级中学期中)已知等差数列a,}的首项为1，公差d>0,其前n项和 Sn满足 S2S3=18 (1)求公差d; (2)是否存在正整数m,k使得 am+0m+2+0m+4+…+am+2k=30 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点02等比数列 1.(25-26高三上贵州逆义航天高级中学期中)《多选)已知数列@，的前4项成等比数列，其前”项和 为，且5 S =In S3 a>1 ,则( 4.4<g B.aa<a C.4>a D.a>a D考点03数列的通项公式与求和 1,(2526高三上货州贵阳第一中学期中)已知数列a,}中，a=3,记9，为a}的前”顶和， 2S.=(n+la.,则a= 2.(25-26高三上贵州凯里第一中学·期中)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商 功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球… 设各层球数构成一个数列a},则=， a= 3.(25-26高三上贵州师范大学附属中学期中)已知等差数列a,}的前”项的和为9,4+3=20,4，=14 )求a,}的通项公式 [1 1 ②)求数列aa,j的前n项和工并证明。< ①考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(25-26高三上贵州贵阳期中)己知数列 ,的前”项和为5,4,4=5,2a=a:+0若 neN,有，+a+8≥1瓦恒成立，则实数的最大值为() 22 15 A.3 B.2√7+2 C.3 D.2 2.(2526高三上贵州师范大学附属中学期中)已知数列a,的前”项和为5，数列么}的前”项和为 =8，+%4=16= Tn,且 an+1,则使得T,<M恒成立的实数M的最小值为( ) A.1 B.2 C.6 D.2 3。(25-26高三上贵州遵义航天高级中学期中)已知数列a,满足4=2，a,1-1=血(a.+b)-b∈N)） 若a}有无穷多个项，则( ) A.b≥0 B.b≥-1 C.b≥1 D.b2-2 D考点05数列定义 1.(25-26高=上费州肌里第中学期中)对于正整数”，如果(keN)个整数4,4,4满足 1≤a≤a2≤…≤ak≤n 且A+a++a,=川，则称数组(a,a,a,)为”的一个“正整数分拆”记4,4，“均为偶数的“正整数 分拆”的个数为“， 人，4,4,4均为奇数的“正整数分拆”的个数为8 (1)写出整数4的所有“正整数分拆”： (2)对于给定的整数 (之4)，设a,a,,）是”的一个“正整数分拆”，且4=2， ,求的最大值： ③)对所有的正整数”，证明： 厂≤8，并求出使得等号成立的”的值 314 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (注对于”的两个“正整数分拆” (a,4,a,)与a,b,）.当且仅当k=m且 a=,4=b,a,=b时，称这两个“正整数分拆”是相同的，） 2.《2526高三上贵州遵义航天高级中学期中)定义：设数列a,}为无穷整数数列，若对于任意N, 都满足风，-4=，其中reN,则称a为“-可表数列” ①若a}为“1可表数列”，a=0, ,求“4的所有可能值： 2若a,为“2,3可表数列”，证明：a,为等差数列： B)若a}为k,k+2可表数列”，且a仅能为等差数列，求k的取值集合. 414可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06数列 考点01等差数列 考点02等比数列 考点3数列的通项公式与求和 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05数列新定义 》 考点01等差数列 1.D 2.B 3.ABCD 4.【答案】(1)d=1 (2) 法-：由(1)得，a,=a+(n-1)d=n a.+aa++aa4=6+00,+al_k+l*m+2）-(k+lm+k)=30, 2 k=1时m=14； k=2时m=8; k=4时m=2: k=5时m=0(舍)， 当k≥6时，m<0,不合题意； k,m 满足条件的有三组 法二：由(1)得，a,=a+(n-)d=n 故a。+02++0n24 k+1a.+a2)_k+m+m+2k=(k+10m+k)=30, 2 所以m+k=30。 十∈N,且m+k≥k+1, k=1 [k=2「k=4 所以k+1=2,3,5,所以m=14,m=8,m=2. 117 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 存在满足条件的K,m有三组。 【分析】(1)由等差数列求和公式列出方程，求出公差： (②)在第一问的基陆上，得到通项公式，利用求和公式得到依+1加+)=30，法：由m,k为正 整数，列出符合要求的解：法二：得到m+k=30 =中∈N,且m+k≥k+1从而得到k+1=2,35,写成 符合要求的解 【解】因%8S=184=,所以a+a)x36+d=13 所以2+d1+)-=6,即4+3d-4=0,解得：d=1或d=4 因为d>0,所以d=1. (2)略 》 考点02等比数列 1.AD 》 考点03数列的通项公式与求和 1.12 n(n+1) 2.15 2 3.【答案】，=3n-1 (2) 令”aa+1,由(1)有： 1=1-1 b=6m-3n+2)33n-13n+2), n=b+b2+b+…+b 所以 2/7 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 指 11 十…十 3n-13n+2 设动 N,0,， 【分析】(1)利用基本量法以及等差数列的性质求解. (2)利用裂项相消法以及不等式的性质求解证明. 【详解】(1)设a,的公差为d,由思意得： 4a1+4d=20 a=2 a,+4d=14,解得d=3, 所以8，=4+m-0d=3n-1 (2)略 》 考点04数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1.C 2.C 3.B 》 考点05数列新定义 1.【答案】a,111,01,2)（,3)(2,2)(4 ②当n为偶数时，大-2；当n为奇数时.长=” 2 (3)当”为奇数时， =0 至少存在一个全为1的拆分，放<8 当”为偶数时，设a,44 是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则它至少对应了1和（1,4-14-14-)。 和 的均为奇数的“正整数分拆”， ≤gn 故 fn≤8n 综上所述： 当1=2时，饵数“正整数分拆”为②)，奇数“正整数分拆”为1)，万=8，=1 当=4时，闾数“正整数分拆”为22），④，奇数“正整数分拆”为L1山，L3) 故58,2 当≥6时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的 fn<gn “正整数分拆”，故 综上所述：使人=8，成立的”为：n=2或”=4 【分析】(1)根据题意直接写出答案： （2)讨论当n为偶数时，最大为=分，当n为奇数时，k最大为=”2 2,得到答案： (3)讨论当”为奇数时，人 0,至少有在一个全为1的拆分，故人<8，当”为佣数时，根据对应 关系得到万≤8，再计算万=81，方=8=2 ,得到答案 【详解】(1)因为4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2， 所以整数4的所有“正整数分拆”为：11,11，，1,2），1,3)2,2)(4 (②当n为偶数时，4=4，=4=…=4=2时，k最大为=2： 当n为奇数时，日=4=4=…=44=24，=3时，k最大为k=" 2: 综上所述：当n为偶数：最大为=：当n为奇数时，人最大为长-" 2 (3)略 417 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力 2。【答案】)的所有可能值为3或或'或3 (2)由题意得 a42-a=2|a+3-a,=3 所以46-0=(a6-a）+(a4-42)+(a-a)ef6,-2,26 a+6-a,=(a6-a+3)+(a+3-a,)∈{-6,0,6 所以268e-6,6,若04=6. 则06-44=44a2=4-4=2a6-43=43-a,=3 所以42=0+2.0，=8+344=4+4 因为 a+3-a1=2|a44-a1=3 所以1g+1 同理，=4+5 所以2t=0+kk=0,1,6 若4-4=6 =41+(i-10i=1,2,…,7) ,则 假设≤k时4=a+(-) D,当=k+时， |ak1-a上2|ak1-ak-2=3 所以1=g+ ，所以归纳证明=4+1~1 若4-g=6 ,=a1-(i-1) ，同理可证明 (3)k的取值集合为全体正奇数 【分析】(1)由题意得 a-a,=1 ,根据”一0求出”的所有可能值， 517 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明4=a+k=0,1, a,-41=6a,-a1=-6 ,分 和 并结合数学归纳法即可证明； (3)利用两个绝对值等式去逼迫数列每一项的取值，当k为奇数时，由于k和k+2互素，这种逼迫可 以延伸到所有项，而k为偶数时，偶数项和奇数项相互独立，各自内部制约，所以不能逼迫出等差数列， 【详解】(1)由题意得 ，所以a4卡1 a+-a,=1 或因为4a,卡1 所以 所以4-2欧°或2，因为 a4-43=1 所以23 或或1或3： (2)略 (3)当为偶数时，若a为k,k+2可表数列”，且a仅能为等差数列。 n=A,+cn为奇数 则 an,n为偶数仍是“k,k+2-可表数列”，其中c任取， 但c≠0时数列b}不是等差数列， 故不符合题意，当k为奇数时，类似(2)， 因为与+2互素，所以0-0∈+2-k(k+2》 当0-a-a=+2》时，8。-4=”对”=0k+2和”=k+22k+2%-+2 成立， 引理：若-0=”对”=m和=m+2成立，则对”=m-大和m=m+2+水成立《证明略，在(2)中 已使用)， 下面证明w-4=n对”=0,1，，kk+2) 对 均成立， 利用上述引理来递归地扩大范围， 617 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 衣 Ak k-1)k+2 (k-1)k+2 14k+2 2k13k+2 (k-1)+42+4 422 2+4>3+4 >4k+4 3+6>4k+6 4+8 k1k+4.)小K+4k-1) k2+4k 该图示意了从小到大方向的一轮递推，图中所有数字都作为”满足，一4=”， 只看已证的奇数，包含了k,+2知[2-2k,2-4幻。 和4 的所有奇数， 对于n=-2,可用，卡 逼迫出2-2-0=k2-2 所以k2-2%,+2 的所有奇数都作为”满足，0=n, 偶数同理，所以可以证明，-a=”对”=0，…，+2八均成立， 再利用引理归纳证明 ditn-ai=n YneN 所以a, ’必为等差数列，所以取值于全体正奇数. 【点睛】关键点点睛：本题(2)(3)关键在于正确使用数学归纳法 717