专题02 函数概念与基本初等函数（期中真题汇编，贵州专用）高三数学上学期

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数概念与基本初等函数 考点01函数及其表示 考点02函数的基本性质 考点03指、对、幂函数 考点04函数与方程 考点05函数的新定义 》 考点01函数及其表示 1.18 考点02函数的基本性质 1.D 2.AC 3.A 4.D 2202 5.2023! 6.【答案】山奇函数：(2)-1a51:(3)1<1< . 【分析】(1)若0=0，写出函数( 的解析式，可判断出该函数的奇偶性： (2)根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围： (3)根据方程/(-f(a)=0 三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论. 【详解】(1)当a=0时，f()=x+x 奇函数： x2+(1-a)x,x≥a 2)f(={-++xx<a 函数y=产+-a)x的对称轴为直线x=, a+1 2,函数y=-x2+(a+1)x的对称轴为直线x= 2 若函数()在R上是指函数，则”2sa≤生 a-1 2,解得-1≤a<1: 114 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)方)W@-0的解即为方柱)=@的解. ①当1≤a≤1时，函数/在R上是增函数。 所以，关于‘的方程/(=(@)不可能有三个不相等的实数根， ②当。>1时，即a>牛4 2 2 a+1 上单调递增，在2，上单调递减，在a,+)上单调递增， 当oka小水告）同，于程-y回有三个不相等的突发照 即4<a<(a+ 4,即4a<4a<(a+1)°=a2+2a+1, 1<t< 因为a>1,所以， 设 +。+),存在ae[-2,3]使得关于x的方程f()=f(@有三个不相等的实数根，所以， 1<1<h(a) 下证函数 4e4a国o)-+g习 a]62 4a,a2, 因为<a<4≤3，则2-a<0,aa,>1,所以，ha)kha,) 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故函数 所以当aeL3]时，ho),救l<1 3 ③当a<-1时，即a<a<+1 2 2 函数=了四在∞，上单调递增，在a,2上单调递减，在2+切 上单调递增， 当sa 时，关于x的方程f(x)=f(@)有三个不相等的实数根 (a-1)2 即4 我o=-+片-下正而黄回r名-》上头运数 取42-Ha,则2ea)-a+女小+女- (a-a)(aa2-1) 4a,a2 因为2≤4<a<-1,则4-a,<0,44>1,所以，8(a)>8(a,） 因为存在ac[-2,3使得关于x的方程/()=(@)有三个不相等的实数根， 所以.1r<go=8(2)-8,i以，1k1号 综上1<1< 【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： 314 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围： (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图 象，利用数形结合的方法求解 D考点3指、对、幂函数 1.A 2.AC 3.D 4.2,3] 》 考点04函数与方程 1.D 2.D 3.（5,-u) 列】 考点05函数的新定义 1.[-e,e] 414 专题02 函数概念与基本初等函数 5大高频考点概览 考点01 函数及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 指、对、幂函数 考点04 函数与方程 考点05 函数的新定义 考点01 函数及其表示 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）已知函数，则=______． 【答案】18 【分析】根据解析式直接求解. 【详解】由题意知． 故答案为：18 考点02 函数的基本性质 1．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性与对数函数，二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以，即. 所以实数的取值范围是. 故选：D 2．（25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中）（多选）已知定义在上的可导函数的导函数为，若为奇函数，，则（   ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．是函数的一个周期 D． 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质及中心对称的性质即可判断选项A；结合选项A有，再两边求导，结合轴对称的性质即可判断选项B；根据选项B中轴对称及题意中的中心对称即可推导出的一个周期，进而即可判断选项C；先用赋值法求出，再结合的对称性及周期性即可得到，从而即可求出，进而即可判断选项D． 【详解】对于选项A，因为函数为奇函数， 则，即， 所以函数的图象关于点对称，故A正确； 对于选项B，由选项A有，则， 又，则，所以的图象关于直线对称，故B错误； 对于选项C，由，即，则， 又结合选项B有，则，即， 则，所以是函数的一个周期，故C正确； 对于选项D，由，令，则，得， 又结合选项B有，结合选项C有，即，， 所以，故D错误． 故选：AC． 3．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）已知函数 ，则 是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断 【答案】A 【分析】首先根据表达式可得，定义域为，定义域关于原点对称，这是奇偶性的前提条件，再利用奇偶性的定义和表达式可得：，最终判断为偶函数. 【详解】由题意得的定义域为，定义域关于原点对称，所以可能具有奇偶性； 由表达式得：时，；时，； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，，此时； 综上所述：在时，均有，所以为偶函数. 故选：A. 4．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 5．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，，且对任意，均有，则________． 【答案】 【分析】要利用数列的递推思想和累乘法来求出，然后再构造为二项式系数来求和，利用二项式系数的性质就可以求出结果. 【详解】令，则由题意知， 又因是定义在R上的奇函数，则， 所以，化简可得， 则，所以， 用累乘法得， 当时，，所以也满足上式，则，所以， 因为，所以上式可化为， 由于， 由二次项性质可得， 则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：(1)关键是利用数列的递推思想和运用累乘法来求出通项公式； (2)关键是把阶乘的乘法转化为二项式系数，再利用二项式系数的性质来求和. 6．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知函数，. （1）若，判断函数的奇偶性（不需要给出证明）； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数；（2）；（3）． 【分析】（1）若，写出函数的解析式，可判断出该函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数的取值范围； （3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论． 【详解】（1）当时，为奇函数； （2）. 函数的对称轴为直线，函数的对称轴为直线. 若函数在上是增函数，则，解得； （3）方程的解即为方程的解． ①当时，函数在上是增函数， 所以，关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ②当时，即， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，关于的方程有三个不相等的实数根， 即，即， 因为，所以，． 设，存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，所以，， 下证函数在上单调递增． 任取、且，则 ， 因为，则，，所以，， 故函数在上单调递增． 所以当时，，故； ③当时，即， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，关于的方程有三个不相等的实数根. 即，，所以，， 设，下证函数在上为减函数， 任取、且，则 ， 因为，则，，所以，， 故函数在上单调递减． 因为存在使得关于的方程有三个不相等的实数根， 所以，，所以，. 综上：． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 考点03 指、对、幂函数 1．（25-26高三上·贵州凯里第一中学·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果. 【详解】因为，，即， 又，所以. 故选：A 2．（25-26高三上·贵州贵阳第一中学·期中）（多选）已知函数，则（   ） A． B． C．对任意实数， D．对任意实数， 【答案】AC 【分析】化简函数，由函数解析式得到函数的单调性，从而判断AB选项，由函数解析式计算，，判断CD选项. 【详解】因为函数，所以在上单调递增， 因为，所以，， 所以， . 故选：AC． 3．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）正实数，满足和（其中是自然对数的底数），则的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】首先由得出和，然后由得出，最后构造函数，证明其单调性可得到即可得出答案. 【详解】由题意， ①， ②，显然， 联立①②可得③， 考察函数，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 结合③式可得， 所以. 故选：D 4．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由复合函数单调性可知，在上单调递减，且恒成立，再通过对称轴和函数的最值的限定，列出不等式求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，且恒成立， 即，解得. 故答案为：. 考点04 函数与方程 1．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 而， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 2．（25-26高三上·贵州黔西南州金成实验学校·期中）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有三个零点，可转化为与图象有三个不同的交点，作出图象，可得a的范围，根据韦达定理可得，，根据对数的性质，可得，即可得的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案. 【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线， 因为有三个零点，不妨令， 所以有三个不相等的根， 即与图象有三个不同的交点， 作出图象，如图所示    所以， 因为为方程，即的两个不相等实根， 所以， 因为为方程的根，所以， 所以， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以. 故选：D 3．（25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 考点05 函数的新定义 1．（25-26高三上·贵州师范大学附属中学·期中）若函数满足在定义域内的某个集合A上，对任意，都有是一个常数a，则称在A上具有M性质．设是在区间上具有M性质的函数，且对于任意，都有成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得在区间上单调递增，根据a的符号分类讨论研究函数的单调性即可求解. 【详解】由得， 由题意知在区间上单调递增. ①时，在区间上单调递增，符合题意； ②时，在区间上单调递增， 若在区间上单调递增，则，即对恒成立， 所以成立，故，即； ③时，对恒成立，此时， 函数由，复合而成，在上单调递增且， 而函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若在上单调递增，则，即. 综合①②③可知a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复合函数的增减性问题，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论以及结合复合函数单调性“同增异减”法则判断，从而求解. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数概念与基本初等函数 5大高频考点概览 考点01函数及其表示 考点02函数的基本性质 考点03指、对、幂函数 考点04函数与方程 考点05函数的新定义 D考点01函数及其表示 3+9,x≥0， 1.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中)已知函数 (x)= 1x+7,x<0,则f(2)=— 考点02函数的基本性质 -x2+2ax+4,x<0 1.(25-26高三上·贵州黔西南州顶兴高级中学·期中)已知函数 f(x)= n(x+1)+a,x≥0，在R上单调 递增，则实数a的取值范围是() A.（∞，0) B.[4,0] c.04 D.[4,+∞) 2.(25-26高三上贵州黔西南州顶兴高级中学期中)（多选）已知定义在R上的可导函数 的导函数 为8(，若2x+2)为奇函数，8(+)+80-)2，则（) A.函数四的图象关于点 0对称 B.函数8( 的图象关于直线x=5对称 C.4是函数8（四的一个用期 D. e2k-l0=20 f(x)= x3,x≥0 3.(25-26高三上贵州贵阳第一中学期中)已知函数 -x,x<0,则f(x)是() 1/4 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.无法判断 4.(2526高三上货州黔西南州金成实验学校期中)己知函数因的定义域为R/(2x+)为奇西数， f(x)+f(x+2)=2fI ,则( A.儿四为奇函数 B.(的图象关于直线x=3对称 C.(2x)的最小正周期为4 1 0 D.f(2x)的图象关于点2对称 5.(25-26高三上贵州遵义航天高级中学期中)己知f(w是定义在R上的奇函数，四=1，且对任意 x<0,均有 =(,芝r动 6.(25-26高三上·贵州遵义航天高级中学·期中)已知函数 f(x)=xx-a+x aeR (1)若0=0，判断函数=/闪 的奇偶性（不需要给出证明）； (2)若函数 (~)在R上是增函数，求实数的取值范围： (3)若存在实数0c[-2,3到 使得关于的方程()f(a)=0 三个不相等的实数根，求实数的取值范 围 考点03指、对、幂函数 1.(25-26高三上贵州凯里第一中学期中)已知a=e2,b=0.2°，c=n0.2,则( A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a 214 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(25-26高三上贵州贵阳第一中学期中)（多选）已知函数 3+3,则( A.f(血5)>fm3) B.f(血3)<f(m2) C.对任意实数，（刘+/(）号 D.对任意实数x,f()f()号 3.(25,26高三上费州费阳期)正实数“，b清是c1=e”和b-)=e(其中°是自然对数的底 数)，则lna+lnb的值为() A.9 B.10 C.11 D.12 4.(2526高三上贵州黔西南州金成实验学校期中)已知函数)=6e:(-2ar+8)在L2)上单调递减， 则实数a的取值范围为 》 考点04函数与方程 f(x)= x3,x.0, 1.(25-26高三上贵州遵义航天高级中学期中)已知函数 -x,x<0.若函数 g)=f)-kx2-2依∈R)恰有4个零点，则k的取值范国是（ B C.（←∞，0U(0,2V2) D.（∞，0)U(2V2,+∞) -x2-2x,x≤0 2.(25-26高三上贵州黔西南州金成实验学校期中)已知函数)={ lnx,x>0,函数 8(=()“有三个零点，，心，则的取值范围是（ ) 314 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.[0,1) a. D.[0,e) 3.(25-26高=上贵州造义航天高级中学期中)设aeR,函数f(=2N?-m-r-2+1若f()恰有 一个零点，则a的取值范围为一 》 考点05函数的新定义 1.(25-26高三上贵州师范大学附属中学期中)若函数=/ 满足在定义域内的某个集合A上，对任意 xEA,都有[/()e]是一个常数a,则称（在A上具有M性质.设'=80）是在区同2，习上 具有M性质的函数，且对于任态2,2习，都有s(:s(,川：-)>0成立，则a的取值范 围为 414