精品解析：贵州省凯里市第一中学2025-2026学年高三上学期期中检测数学试题

凯里市第一中学2025-2026学年高三上学期期中检测 数学试卷 命题学校：凯里市第一中学 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液等． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积与球面面积相等 C. 圆锥的侧面积为 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 3. 双曲线的左焦点到右顶点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 满足条件的等差数列共有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 10. 三棱锥的各棱长均为2，其内切球半径为，外接球半径为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 内切球与各面相切于重心 D. 该三棱锥的体积为 11. 对于 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 5 项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式中的常数项是 15 D. 展开式的各二项式系数之和为 32 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则__________． 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则______，______． 14. 已知复数（为虚数单位），则____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若是的真子集，求实数a的取值范围. 16. 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个等级，以下是实验结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 乙校 200 合计 270 400 （1）请根据以上信息，完成列联表； （2）根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？ 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中，是总样本数. 17. 某学校有两个学生食堂，学生在就餐时，一食堂有2种套餐选择，二食堂有4种套餐选择；一食堂距离教学楼相比于二食堂要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生在选择食堂就餐时，有如下表格： 男 女 在一食堂就餐 40 20 在二食堂就餐 15 25 （1）某天甲、乙两名同学选择同一套餐的概率是多少？ （2）能否有的把握认为性别与选择食堂之间有关系？ 附; 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.已知两个实验水塘的构成如下： 绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 6 6 6 6 6 12 4 3 6 5 （1）若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i）比较的多样性大小； （ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素. 19. 对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为，均为奇数的“正整数分拆”的个数为. （1）写出整数4的所有“正整数分拆”； （2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; （3）对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. （注:对于的两个“正整数分拆” 与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凯里市第一中学2025-2026学年高三上学期期中检测 数学试卷 命题学校：凯里市第一中学 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名､班级､考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名､准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液等． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 2. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积与球面面积相等 C. 圆锥的侧面积为 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱、圆锥、球体的表面积公式即可求解. 【详解】对A，圆柱的侧面积等于,正确； 对B，球面面积为， 所以圆柱的侧面积与球面面积相等，B正确； 对C，圆锥的母线长为, 所以圆锥的侧面积为,C正确； 对D，圆柱的表面积, 圆锥的表面积, 球的表面积为, 所以圆锥的表面积最小，D错误； 故选:D. 3. 双曲线的左焦点到右顶点的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】从标准方程中求出 基本量后可得题设中的距离. 【详解】左焦点到右顶点的距离为. 故选：D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果. 【详解】因为，，即， 又，所以. 故选：A 5. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义建立方程求解即可. 【详解】设切点为，由可得，则， 所以，解得，即. .故选：D. 6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意恒成立，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为的定义域为， 且， 又函数不存在极值， 则没有变号零点， 所以恒成立，则，解得， 即的取值范围是. 故选：D 7. 满足条件的等差数列共有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解. 【详解】由，得. 设等差数列的公差为，由题意知①， 当时，由①，得或2，此时或； 当时，由①，得，此时； 当时，由①，得或1，此时或. 所以满足题意的等差数列共有5个. 故选：D 8. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案. 【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义， 需满足，解得. 因为，所以，即， 设函数，则在定义域上单调递减. 要求，则 当，即时，，即， 所以，解得或，所以； 当，即时，，即， 所以，解得； 在中，令得， 而在中，当时，有，显然成立； 综上，的解集为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 时，取最大值 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，求出，再结合等差数列的性质，求出，再结合等差数列前项和的定义，即可求解． 【详解】， 则， 故， 所以，故AB正确， ， 则，即，故C正确； 由， 则时，取最大值，故D正确． 故选：ABCD． 10. 三棱锥的各棱长均为2，其内切球半径为，外接球半径为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 内切球与各面相切于重心 D. 该三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据已知条件判断该三棱锥是正四面体，然后结合正四面体的结构特征和性质逐一判断选项即可. 【详解】因为三棱锥的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体. 所以根据勾股定理，底面的高为.则底面三角形的外接圆半径为， 所以该四面体的高为. 所以根据勾股定理可得 所以正四面体的外接球半径为，故B正确. 因为正四面体的外接球球心和内切球球心重合，正四面体的高为顶点到底面的距离且经过球心，正四面体外接圆半径是顶点到球心的距离，而内切圆半径是球心到底面的距离，所以有，那么内切球半径为.故A错误. 因为正面体的内切球是切于各面的重心的，所以C正确. 因为，所以该三棱锥的体积为，故D正确. 故选：BCD. 11. 对于 的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有 5 项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式中的常数项是 15 D. 展开式的各二项式系数之和为 32 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式展开式的性质即可求解A，利用赋值法即可求解B，由二项式系数和的性质即可求解D，根据通项特征即可求解C. 【详解】对于A，，故展开式共有6项，A错误， 对于B，令，则，B正确， 对于C，展开式中的通项是，令，则，故常数项为，C错误， 对于D，展开式的二项式系数和为，D正确， 故选：BD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式定理分别求出展开式中含项的系数以及常数项，根据已知建立方程，由此即可求解． 【详解】二项式的展开式中含项的系数为，展开式的常数项为， 则由已知可得，解得， 故答案为：10． 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列，则______，______． 【答案】 ①. 15 ②. 【解析】 【分析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到即可得解． 【详解】由题意可知，， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：15，． 14. 已知复数（为虚数单位），则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若是的真子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）当时，满足；当时，根据子集关系列式可得结果； （2）根据真子集关系列式可求出结果. 【详解】（1）当时，，即时，满足； 当时，由可得，解得， 综上所述：实数a的取值范围是. （2）因为是的真子集，所以，解得. 16. 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀（550分及以上）和非优秀（550分以下）两个等级，以下是实验结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 乙校 200 合计 270 400 （1）请根据以上信息，完成列联表； （2）根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？ 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ，其中，是总样本数. 【答案】（1） 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 50 200 乙校 120 80 200 合计 270 130 400 （2）有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关.【解析】 【分析】（1）分析数据，完善列联表，得到答案； （2）计算出卡方，与7.879比较后得到答案. 【小问1详解】 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 150 50 200 乙校 120 80 200 合计 270 130 400 【小问2详解】根据列联表中的数据，得到 ， 故有99.5%的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关. 17. 某学校有两个学生食堂，学生在就餐时，一食堂有2种套餐选择，二食堂有4种套餐选择；一食堂距离教学楼相比于二食堂要近很多，经调查发现，100名不同性别的学生在选择食堂就餐时，有如下表格： 男 女 在一食堂就餐 40 20 在二食堂就餐 15 25 （1）某天甲、乙两名同学选择同一套餐的概率是多少？ （2）能否有的把握认为性别与选择食堂之间有关系？ 附; 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有的把握认为性别与选择食堂之间有关系 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式，即可求解； （2）首先根据表格的信息计算，再和临界值比较，即可判断. 【小问1详解】 一共有6种套餐，甲和乙选择一种，共有种方法， 甲和乙两名同学选择同一种套餐有6种方法， 所以甲、乙两名同学选择同一套餐的概率； 【小问2详解】 ， 所以有的把握认为性别与选择食堂之间有关系. 18. 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值.在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数.当越大时，表明该群落的多样性越高.已知两个实验水塘的构成如下： 绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 6 6 6 6 6 12 4 3 6 5 （1）若从中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率； （2）（i）比较的多样性大小； （ii）根据（i）的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素. 【答案】（1） （2）（i）的多样性大于； （ii）在（i）中两群落物种数目相同，各物种数量不同，而中各物种数量均相同， 即物种均匀度更大，分析可得物种均匀度也会影响群落多样性. 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的求法可得答案； （2）根据给出求出，然后比较即可. 【小问1详解】 记事件为“两个生物个体为同一物种”， 则发生的概率为. 【小问2详解】 （i）由表可知 所以，； 即，故的多样性大于； （ii）略 19. 对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为，均为奇数的“正整数分拆”的个数为. （1）写出整数4的所有“正整数分拆”； （2）对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值; （3）对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值. （注:对于的两个“正整数分拆” 与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.） 【答案】（1），，，， （2）当为偶数时，；当为奇数时，； （3）当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故； 综上所述：. 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，； 当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为， 故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故. 综上所述：使成立的为：或. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出答案； （2）讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案； （3）讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；当为偶数时，根据对应关系得到，再计算，，得到答案. 【小问1详解】 因为， 所以整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，. 【小问2详解】 当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：当为偶数，最大为；当为奇数时，最大为. 【小问3详解】 略 【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $