专题07 相似三角形重难点十大题型突破-2026-2027学年浙教版九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题07 相似三角形重难点十大题型突破 【题型01：比例线段】 【题型02：比例的性质】 【题型03：黄金分割】 【题型04：平行线分线段成比例】 【题型05：相似多边形】 【题型06：相似三角形的性质】 【题型07：相似三角形的判定】 【题型08：相似三角形的性质与判定】 【题型09：相似三角形的应用】 【题型10：位似变换】 【题型01：比例线段】 1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 2．已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ）    A． B． C． D． 【题型02：比例的性质】 4．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 5．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 6．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【题型03：黄金分割】 8．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 9．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 10．如图，生活中到处可见黄金分割的美，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 11．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 12．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【题型04：平行线分线段成比例】 13．如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 14．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 16．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【题型05：相似多边形】 17．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 18．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 19．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 20．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【题型06：相似三角形的性质】 21．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似之比为（     ） A． B． C． D． 22．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 23．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 24．如图，点D是中边上的一点，点E在射线上．若，则以A，D，E为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A．2或 B．6或 C． D． 【题型07：相似三角形的判定】 25．如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 26．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 27．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 28．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 29．如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 30．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 31．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 32．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【题型08：相似三角形的性质与判定】 33．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 34．如图，中，，点在边上，且交于点． (1)求证：； (2)若，，是中点，求的长． 35．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 36．如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 37．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 38．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型09：相似三角形的应用】 39．如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 40．如图，为测量电视塔的高度，在点D和点F处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，且，和在同一平面内．从标杆退后到点G处，点G与塔顶A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆退后到点H处，点H与塔顶A和标杆顶端E在一条直线上．求电视塔的高度． 41．如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 42．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 43．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 44．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【题型10：位似变换】 45．下列相似图形不是位似图形的是(     ) A．B．C． 46．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 47．如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 48．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C．D． 49．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 50．要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为（     ） A．3 B． C．2 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 相似三角形重难点十大题型突破 【题型01：比例线段】 【题型02：比例的性质】 【题型03：黄金分割】 【题型04：平行线分线段成比例】 【题型05：相似多边形】 【题型06：相似三角形的性质】 【题型07：相似三角形的判定】 【题型08：相似三角形的性质与判定】 【题型09：相似三角形的应用】 【题型10：位似变换】 【题型01：比例线段】 1．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 2．已知线段，，线段是线段，的比例中项，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例中项的概念，熟练掌握比例中项的性质并结合线段长度为正的性质是解题的关键．根据比例中项的定义建立等式，代入数值计算并结合线段长度为正的性质确定结果． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∵，， ∴， ∴ 故选：C． 3．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键；设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型02：比例的性质】 4．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 5．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 6．已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 7．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质和分式的化简，正确掌握比例的性质是解题的关键． 根据比值为3，可得，，，再代入原式的倒数，化简为1，即可求解． 【详解】解： ，，， ， 与互为倒数， 的值为1． 故选：A． 【题型03：黄金分割】 8．已知C是线段的黄金分割点，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用黄金分割的性质可直接得到对应比值． 【详解】∵ 点是线段的黄金分割点，且， 根据黄金分割的定义可得 ， ∴ ． 9．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 10．如图，生活中到处可见黄金分割的美，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感，若图中是米，则大约是（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的定义与应用．熟悉黄金分割比的数值为： ，是解题的关键． 根据雕像腰部以下高度与全身高度的比值接近黄金比，即，代入已知条件得到的值． 【详解】解：∵米，且， ∴， ． 故选：． 11．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 12．宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可知，结合可求得；由折叠的性质可得四边形是正方形，即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵黄金矩形纸片，， ∴，即，解得：． 根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴． 【题型04：平行线分线段成比例】 13．如图，直线分别交直线于点A，B，C，D，E，F，已知，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 14．如图，在中，点D，E分别在边上，且，则下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴，，，， 不能得到， 故只有C选项符合题意. 15．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 16．如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 【题型05：相似多边形】 17．下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 18．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 19．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例求出缩小后的宽，再利用矩形面积公式计算即可． 【详解】设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 20．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 【题型06：相似三角形的性质】 21．若两个相似三角形的面积之比为，则它们的相似之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果. 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴它们的相似之比为. 22．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 23．如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 24．如图，点D是中边上的一点，点E在射线上．若，则以A，D，E为顶点的三角形与相似时，的长度为（ ） A．2或 B．6或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，分和两种情况，分别利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：当时，则，即， ∴， ∴； 当时，则，即， ∴， ∴； 综上所述，的长度为2或， 故选：A． 【题型07：相似三角形的判定】 25．如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 26．如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 27．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 28．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案】证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 29．如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】证明： ，，， ， 又 ， ． 【分析】根据两边成比例切夹角相等证明相似即可． 【详解】略 30．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 31．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】略 32．如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形有公共顶点A，且，，点E恰好落在边上（与点不重合），与相交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的定义． （1）根据得到，即，证明，即可证明； （2）根据和是等腰直角三角形可知，，进而得到，，即，根据，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型08：相似三角形的性质与判定】 33．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，连接，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的应用．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴． 34．如图，中，，点在边上，且交于点． (1)求证：； (2)若，，是中点，求的长． 【答案】(1) 证明，如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． (2)的长为． 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，进行解答，即可． （1）根据相似三角形的判定，即可； （2）根据勾股定理求出；根据相似三角形的判定和性质，则，求出． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 35．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 36．如图，在和中，，，点D在边上（不与点B，C重合），且． (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得，再证，，根据两组对角相等，可证； （2）作于点G．由等腰三角形三线合一，可得，再由勾股定理计算出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且，，，， ，． ． （2）解：如图，作于点G． ，， ． 由勾股定理得． ， ． 由（1）得， ， ． 37．如图，的顶点C在的边上，，，现以点A为圆心，为半径画弧，交于点F． (1)求证：； (2)已知，，求边的长． 【答案】(1)证明：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴ (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，根据平行线的性质可知，进而问题可求证； （2）由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 38．如图，四边形中，为边上一点，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）由，两边同时加，推得；结合已知边的比例关系，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证得； （2）由得对应角，结合对顶角，可证．根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型09：相似三角形的应用】 39．如图是一个照相机成像的示意图，像高，景物高为，为水平视线，根据物体成像原理可知：． (1)当焦距是时，能拍摄外（物距）高为多少的景物? (2)若要完整地拍摄高为的景物，物距为，像高不变，则照相机的焦距应调整为多少毫米? 【答案】(1)能拍摄外高为的景物 (2)相机的焦距应调整为 【分析】（1）先证明，可得，将相关数据代入求解即可； （2）由（1）的关系式，将相关数据代入求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． ∵像高，焦距是，物距为， 解得， ∴能拍摄外高为的景物； （2）解：∵拍摄高为的景物，物距为，像高不变， ∴由（1）可得， 解得， ∴相机的焦距应调整为． 40．如图，为测量电视塔的高度，在点D和点F处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，且，和在同一平面内．从标杆退后到点G处，点G与塔顶A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆退后到点H处，点H与塔顶A和标杆顶端E在一条直线上．求电视塔的高度． 【答案】电视塔的高度为． 【分析】根据题意可得出，，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ，， ，， ，， ，， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， ， 答：电视塔的高度为． 41．如图，为一块铁板余料．已知，高．要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形的边长为多少厘米？ 【答案】48厘米 【分析】设这个正方形的边长为厘米，可证明四边形是矩形，得到，则，证明，得到，据此建立比例式求解即可． 【详解】解：设这个正方形的边长为厘米， ∵四边形是正方形， ∴； ∵是的高，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴，即， 解得， 答：这个正方形的边长为48厘米． 42．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 43．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 44．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 【题型10：位似变换】 45．下列相似图形不是位似图形的是(     ) A． B． C．D． 【答案】D 【分析】判断是否是位似图形时注意：①两个图形必须是相似图形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行（或共线），据此逐项判断即可求得答案． 【详解】解：根据位似图形的定义，选项A，B，C是位似图形，位似中心是交点，不符合题意； 选项D中，对应边、不平行，故不是位似图形，符合题意． 46．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．如图，与是位似图形，位似中心为点O，且，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得到，然后证明，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵与是位似图形，位似中心为点O， ∴ ∴ ∴ ∴与的周长比为． 48．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 49．如图，与位似，位似中心为点O，若，的面积为18，则的面积为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 与位似， ， ∴， ， 的面积为18， ． 50．要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先表示出放大后的矩形的长和宽，再由位似图形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵原矩形的长和宽分别为和， ∴由图形知，放大后的矩形宽为，长为， ∵矩形位似于矩形， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $