专题05 圆常考十一大题型突破-2026-2027学年浙教版九年级数学全册高频考点题型归纳与满分必刷题
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内容正文：
专题05 圆常考十一大题型突破
【题型01 ：垂径定理及应用】
【题型02 ：点与圆的位置关系】
【题型03：三角形的外接圆】
【题型04：圆心角】
【题型05 ：圆周角定理】
【题型06：圆内接四边形】
【题型07 ：正多边形与圆的综合】
【题型08 ：弧长和扇形的面积】
【题型09 ：弓形面积】
【题型10 ：不规则图形的阴影面积】
【题型11：求图形旋转后扫过的面积】
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
2．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
4．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？
5．一座拱型桥，桥下水面宽度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．则水面宽度是多少？
（1）如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求的长；
（2）如图②，若把桥拱看作是圆的一部分，求的长．
【题型02 ：点与圆的位置关系】
6．点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
7．所在平面内有一点P，若，半径为5，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法判断
8．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（ ）
A．6 B．2 C．2或3 D．4或6
9．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（ ）
A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2
【题型03：三角形的外接圆】
10．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
12．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【题型04：圆心角】
14．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
17．如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
19．如图，是的直径，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型05 ：圆周角定理】
20．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
23．如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
25．如图，是的直径，点，在上，交于点．若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型06：圆内接四边形】
26．如图，是半圆的直径，，则等于（ ）
A． B． C． D．
27．如图，点，，，在圆上，若四边形是菱形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
28．如图，四边形内接于，为的直径．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
30．如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【题型07 ：正多边形与圆的综合】
31．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B． C．D．
32．如图，点O为正八边形的中心，连接、，则（ ）度．
A．45 B．30 C．22.5 D．90
33．如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
34．凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（ ）
A． B． C．D．
36．如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型08：弧长和扇形的面积】
37．如图，点A，B，C在上，且为直径，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
38．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是（ ）
A． B． C． D．
39．一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
40．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
41．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
42．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，点B和点D分别是和的中点，，图中阴影部分的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
43．如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型09 ：弓形面积】
44．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
45．如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
46．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
47．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π-1 B．π-2 C．π-3 D．4
48．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【题型10 ：不规则图形的阴影面积】
49．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
50．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．π
51．如图，在中，，，分别以点为圆心作扇形、扇形，且点在边上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
52．如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【题型11：求图形旋转后扫过的面积】
53．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
54．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
55．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上．
(1)将绕点顺时针旋转得到，画出；
(2)在（1）中，求线段扫过部分的面积．
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专题05 圆常考十一大题型突破
【题型01 ：垂径定理及应用】
【题型02 ：点与圆的位置关系】
【题型03：三角形的外接圆】
【题型04：圆心角】
【题型05 ：圆周角定理】
【题型06：圆内接四边形】
【题型07 ：正多边形与圆的综合】
【题型08 ：弧长和扇形的面积】
【题型09 ：弓形面积】
【题型10 ：不规则图形的阴影面积】
【题型11：求图形旋转后扫过的面积】
【题型01 ：垂径定理及应用】
1．如图，是的弦，半径于点D．若，，则的长是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【答案】B
【分析】连接，由垂径定理求出，由勾股定理即可求出的长，再求出的长即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵半径于点D，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】C
【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：过点 O作 于点 E，交 于点 F，连接 ，
∵，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得：，
，
即的半径为10．
3．某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由垂径定理可得，连接，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：由题意可得：，
∵经过圆心，
∴，
如图，连接，
，
设，则，
由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴的半径是．
4．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺的圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出 ，求圆形工件的半径为多少？
【答案】圆形工件的半径为
【分析】假设圆心为点，连接，由题意得出，设半径为，在中，根据勾股定理列方程求出即可．
【详解】解：假设圆心为点，连接，
∵作的垂直平分线交于点，
∴点在直线上，
∴，
设半径为，
则在中，
，
即，
解得：．
∴圆形工件的半径为．
5．一座拱型桥，桥下水面宽度是20米，拱高是4米．若水面上升3米至．则水面宽度是多少？
（1）如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求的长；
（2）如图②，若把桥拱看作是圆的一部分，求的长．
【答案】（1）EF＝10米；（2）米
【分析】（1）根据题意得：AB=20米，则AC＝10米，拱高CD=4米．则A，D的坐标分别是（﹣10，0），（0，4），可设抛物线的表达式为y＝ax2+c，将这两点的坐标代入解析式，即可求解；
（2）根据题意得： 米， ，EF＝2GF，设圆的半径是r米，则米 ， 米，在Rt△OCB中，由勾股定理可得r＝14.5，再在Rt△OGF中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：AB=20米，则AC＝10米，拱高CD=4米．
∴A，D的坐标分别是（﹣10，0），（0，4），
设抛物线的表达式为y＝ax2+c，
把这两点的坐标代入解析式得到：，
解得：，
∴解析式是y＝﹣x2+4，
把y＝3代入解析式，得：
解得：x＝±5，
∴EF＝10米；
（2）根据题意得： 米， ，EF＝2GF，
设圆的半径是r米，则米 ， 米，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：
r2＝（r－4）2+102，
解得：r＝14.5，
当水面上升3米至EF时，在Rt△OGF中，OF＝14.5米，OG＝14.5－4+3＝13.5（米），
∴ ，
∴EF＝2GF＝（米）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，垂径定理的应用，熟练掌握二次函数的性质，垂径定理是解题的关键．
【题型02 ：点与圆的位置关系】
6．点O为坐标原点，若的半径为10，则点与的位置关系是（ ）
A．点A在圆内 B．点A在圆上 C．点A在圆外 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了坐标与图形的性质．先计算点A到坐标原点O的距离，再将该距离与的半径比较，依据点与圆的位置关系判定规则得出结论
【详解】∵点的坐标为，为坐标原点，
∴，
又∵的半径，
∴，
∴点在上，
故选：B
7．所在平面内有一点P，若，半径为5，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径r的大小关系即可判断．
【详解】解：∵ ，半径为5，且，
∴ 点P在内．
故选：A
8．已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（ ）
A．6 B．2 C．2或3 D．4或6
【答案】C
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离．
【详解】解：分为两种情况：
①当点在圆内时，如图1，
∵点到圆上的最小距离，最大距离，
∴直径，
即半径为3；
②当点在圆外时，如图2，
∵点到圆上的最小距离，最大距离，
∴直径，
即半径为2．
故选：C．
9．在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．若点B在圆上，则a值为（ ）
A．2或3 B．或3 C．或1 D．或2
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点A的坐标和圆A的半径以及两点之间的距离即可求出答案．
【详解】，圆A的半径为2，
，
，
解得或3．
故选：B．
【题型03：三角形的外接圆】10．如图，在平面直角坐标系中，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外心、垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点⑩解题的关键．
分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心，然后直接写出坐标即可解答．
【详解】解：如图：分别作出的垂直平分线，其交点P即为的外心．
易得点P的坐标为，即的外心坐标为．
故选D．
11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心．
【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
作图得：
与的垂直平分线交点即为的外心，
的外心坐标是，
故选：D．
12．边长为的等边三角形的外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等边三角形外心的性质，结合勾股定理即可求解.
【详解】解：设等边边长为，为其外接圆圆心，连接，过作于点，
∵是等边三角形，外接圆圆心在三角形的高上，
∴，.
设外接圆半径，在中，.
∵，
∴，
由勾股定理得 ，
代入得 ，
整理得 ，
，
∵，
∴.
13．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵中，，，，
，
斜边上的中线长，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长.
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．
【题型04：圆心角】
14．如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴都是等边三角形，
∴，
∴．
15．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：，都是的半径，
，
，
，
所对的圆心角等于．
16．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长．
【详解】解：∵ ，的半径为4，
∴，是直角三角形，
∴，
∴弦的长为．
17．如图，是半圆的直径，，是弧的中点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，根据是弧的中点，即可求得的度数．
【详解】解：如图，连接、，
∵，
∴
∵是弧的中点，
∴
故选：D．
18．如图，已知是的弦，且，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．
根据弧、弦、圆心角之间的关系，可得，从而得到，再根据等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
故选：B．
19．如图，是的直径，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点．
先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【题型05 ：圆周角定理】
20．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
21．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
22．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论．
【详解】解：∵是的直径，
∴．
∴，
∴．
23．如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据直径所对的圆周角为直角，得出，最后求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
24．如图，是的半径，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由作图可知，垂直平分，则，进而得到是等边三角形，则，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接，
根据作图可知，垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
25．如图，是的直径，点，在上，交于点．若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵ ，
∴，
∵，
∴．
【题型06：圆内接四边形】
26．如图，是半圆的直径，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：四边形是圆的内接四边形，
，
，
．
27．如图，点，，，在圆上，若四边形是菱形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质可得，根据圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补可得，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
28．如图，四边形内接于，为的直径．若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆内接四边形的性质得，利用弧、弦、圆心角的关系得，即得是等边三角形，得到，再证明，得到，进而利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
29．如图，四边形内接于，是的直径，点在上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角相等求出，根据直径所对的圆周角是直角求出，进而求出，最后利用圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】如图，连接，
∵ 与对着同一条弧，
∴ ，
∵ 是的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形内接于，
∴，
∴．
30．如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，由旋转的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型07 ：正多边形与圆的综合】
31．下列图形是由圆及其内接正多边形组成的，将其绕圆心旋转后，能与原图形完全重合的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的旋转对称性，正边形绕中心旋转的整数倍能与自身重合，分别计算各选项图形的最小旋转角进行判断即可．
【详解】解：A． 正三角形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合；
B． 正方形，，最小旋转角为，是的整数倍，能重合；
C． 正五边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合；
D． 正六边形，，最小旋转角为，不是的整数倍，不能重合．
32．如图，点O为正八边形的中心，连接、，则（ ）度．
A．45 B．30 C．22.5 D．90
【答案】C
【分析】本题考查的是正多边形的角度计算，掌握正多边形的中心角的计算方法是解题的关键．
连接、，由于正八边形各顶点共圆，先得出，再利用圆周角定理得出的度数．
【详解】解：连接、，如下图所示：
∵为正八边形，
∴，
∴，
故选C．
33．如图，是内接正边形的一条边，，这个正边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用等腰三角形的定义结合三角形内角和定理求出，即可求出，再利用多边形内角和公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴这个正边形的内角和是．
34．凉亭是自然与人文的交汇点，它不仅是遮阳避雨的休憩之所，更是园林的诗眼、山水的情怀，体现了天人合一、虚实相生的传统哲学意境．如图1，有一个凉亭，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为的圆内接正六边形，则这个正六边形地基的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，正多边形和圆的综合，先求出，再证明是等边三角形，从而可求得正六边形地基的周长．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴这个正六边形地基的周长为，
故选：A．
35．如图，正六边形的中心为原点O，顶点B，E在轴上，半径为4，则顶点F的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形与圆，掌握直角三角形的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识是解决此题的关键．
连接，与轴的交点为，根据正多边形的性质求出圆心角，证明为等边三角形，然后利用直角三角形的角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标即可．
【详解】解：如图，连接，与轴的交点为，
∵六边形为正六边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴点F的坐标为，
故选：B．
36．如图，有一个亭子，它的地基是正六边形，其外接圆的半径为，则该亭子地基的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，连接、，过点作于，由正六边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，即得到，进而求出，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，过点作于，则，
∵是正六边形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【题型08 ：弧长和扇形的面积】
37．如图，点A，B，C在上，且为直径，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆周角定理，求出所对圆心角的度数，再根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵，
由圆周角定理，可知，
∴．
38．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积．
【详解】解：半径转过的面积．
39．一个扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式求出圆心角的度数，即可得到正确答案．
【详解】解：设扇形半径为，圆心角度数为，
∵扇形弧长，面积，
∵，
解得
∵，
∴，
即圆心角为．
40．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解．
【详解】解：设半径为，
弧长公式，其中，，
，
，故半径为，
故选：D．
41．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可．
【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l，
由题意得：，即，
解得：，
又由可得：，
解得：，
故选：D．
42．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，点B和点D分别是和的中点，，图中阴影部分的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：该阴影部分的面积为，
解得：．
43．如图，正方形内接于，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，扇形面积的求解，解题的关键是熟练掌握正方形的性质以及扇形面积公式．
根据正方形得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，正方形内接于，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【题型09 ：弓形面积】
44．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点
∵折叠，
∴，，
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
∴
故选：C．
45．如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解．
【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，
∴，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积是．
故选：B．
46．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化．
图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积．
【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示：
图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，
图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示：
四边形的面积，
弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示：
扇形的面积，
三角形面积，
弓形的面积，
图形1的面积，
图中阴影部分的面积图形1的面积．
故选：A．
47．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧OD，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π-1 B．π-2 C．π-3 D．4
【答案】B
【分析】根据阴影部分形状为不规则图形，连接BD，EF，将阴影部分面积转化可得阴影部分面积等于扇形面积减去三角形面积即可．
【详解】解：连接BD，EF，如图，
∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴，
∴，，
∴弓形OB＝弓形OD，
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查计算不规则图形面积，作出辅助线，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解是解题关键．
48．如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，若，且，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【分析】根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∵S1＋S2＝7，
∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC−×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
【题型10 ：不规则图形的阴影面积】
49．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可．
【详解】解：连接，如图，
阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积，
∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即，
∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点，
∴，,矩形面积，
在中，，，，
∴根据勾股定理得，
∴，，，
∴的面积，
∴，，
∴,
∴扇形面积，
∵空白区域面积矩形面积 的面积扇形面积，
∴，
∴，
∵扇形面积，
∴空白区域面积矩形面积扇形面积，
∴，
∴，
∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即，
∴，
∴．
50．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．π
【答案】A
【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出， 据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴．
∵，
∴．
∵绕顶点A顺时针旋转度后得到，
∴．
∴ ．
51．如图，在中，，，分别以点为圆心作扇形、扇形，且点在边上，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理逆定理判断是等腰直角三角形，推出，再利用图中阴影部分的面积为计算即可求解．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
52．如图，四边形是正方形，，分别以点A，B为圆心，半径为1作和，两弧交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，由题意可得为等边三角形，先求出扇形的面积，再求出等边三角形的面积，即可求解．
【详解】解：连接，，如图，
由题意可得，为等边三角形，则，，
则底边上的高为，
则扇形的面积为，
，
则阴影部分的面积为两个扇形的面积减去等边三角形的面积，
即.
【题型11：求图形旋转后扫过的面积】
53．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可．
【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为，
从点到点半，经过了30分钟，即小时，
时针转过的圆心角，
时针长，即扇形半径，
时针扫过的面积．
54．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可.
【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与，
∴扫过的面积为：.
55．如图是网格，网格中每个小正方形的边长均为，的顶点都在格点上．
(1)将绕点顺时针旋转得到，画出；
(2)在（1）中，求线段扫过部分的面积．
【答案】(1)如图，即为所求；
(2)
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点、，再顺次连接即可；
（2）利用勾股定理求出的长，再根据列式计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：根据题意可得：，
由旋转可得，，
线段扫过部分的面积为：
．
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