第4章 相似三角形 专题培优-线段的比例关系与相似三角形 专项练习 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦相似三角形判定与性质，以题载法构建从基础比例到动态综合的完整方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-2、填空11|比例性质、黄金分割|从比例线段到黄金分割，构建相似预备知识| |判定应用|选择3-5、填空12|平行截相似、AA/SAS判定|结合网格、直角三角形情境，强化判定条件应用| |性质应用|选择6-8、填空13-15|比例转化、辅助线构造（如作平行线）|通过菱形、矩形等图形，深化性质与比例计算融合| |综合拓展|解答21-24|动态问题变量表示、跨知识综合（圆/矩形）|从静态证明到动态探究，培养模型意识与创新思维|

第4章 相似三角形 专题培优-线段的比例关系与相似三角形 一选择题(每题3分，共30分) 1.已知 则 ( ) B. C. 2.大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”。如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长为8cm,那么BP的长为( ) 3.如图,DE∥AC,DF∥BC, BE=9,则DF的长为 ( ) A. B.5 C.6 D.15 4.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 5.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 6.如图,在△ABC中,D为AB上一点,过点D作DE∥BC,DH∥AC分别交AC,BC于点E,H，F是BC延长线上一点，连结FD交AC于点G，则下列结论中错误的是( ) 7.如图，从一个五角星中分离出来等腰三角形ABC，已知∠A=36°，AB=AC, BD平分∠ABC,则 的值为 ( ) A. B. C. D. 8.如图,在菱形ABCD中,EF⊥AC,垂足为点H,分别交AD,AB及CB的延长线于点E,M,F,且AE:FB=1:2,则AH:AC的值为 ( ) A. B. C. D. 9.如图,在△ABC中,E,F是BC边上的三等分点,BM是AC边上的中线,AE,AF分BM为三段的长分别是x,y,z,若这三段有x>y>z,则x:y:z等于 ( ) A.3:2:1 B.4:2:1 C.5:2:1 D.5:3:2 10.数学课上,小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片:∠A=90°,AD=2cm,AB=4cm,斜边重合拼成四边形,如图2。接着在CB,CD上取点E,F,连结AE,BF,使AE⊥BF,则 的值为 ( ) A. B. C. D.1 二填空题(每题3分，共18分) 11.已知线段a=4,c=9,则a和c的比例中项b= 。 12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是AC的中点，BD交AC于点E，请找出一个与△BDC相似的三角形： 。(写出一个即可) 13.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,若 则 14.如图,在△ABC中,D是AC的中点,点F在BD上,连结AF并延长交BC于点E,若BF:FD=3:1,BC=8,则CE的长为 。 15.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,M为对角线BD上的一点(不与点B,D重合),连结AM,过点M作MN⊥AM交边CD于点N,连结AN。若BM:BD=2:5,则DN的长为 。 16.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为点A(-3,0),B(0,3),C(-1,4),在x轴正半轴上有一个点D(1，0)，连结BD，请填写下列空白： (1)△ABC是 三角形。 (2)在坐标轴上找一个点P，使得以B，D，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标为 。 三解答题(共72分) 17.(6分)已知a:b:c=2:3:5。 (1)求代数式 的值。 (2)如果3a-b+c=24,求a,b,c的值。 18.(6分)如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点。△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F。求证： (1)△ACB∽△DCE。 (2)EF⊥AB。 19.(8分)如图,F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点,BF分别交CD,AC于点G,E。 (1)求证: (2)若EF=12,GE=4,求EB的长。 20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C运动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C运动,过点P作PE∥BC交AD于点E,连结EQ,设动点运动时间为t(s)(t>0)。 (1)CP= cm,CQ= cm。(用含t的代数式表示) (2)连结PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么? 21.(10分)如图,已知AB是⊙O的直径,C,E是⊙O上的点,CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,过点E作EG⊥OC于点G,延长EG交OA于点H。求证: (1)HO·HF=HG·HE。 (2)CD=FG。 22.(10分)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在AB边上,点E在AC边上(点E不与点A,C重合),且∠AED=∠B。 (1)求证:AD·AB=AE·AC。 (2)若AE=EC=2AD,求 的值。 (3)若AB=6,AC=4,求AD长的取值范围。 23.(12分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BOC=108°。过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D,E,连结OE, (1)求∠CDB的度数。 (2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比 ①写出图中所有的“黄金三角形”，选一个说明理由。 ②求弦CE的长。 ③在直线AB或CD上是否存在点P(点C，D除外)，使△POE是“黄金三角形”?若存在，请画出点P，并简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，请说明理由。 24.(12分)已知在矩形ABCD中,AD=6,DC=8。矩形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连结CF,设AE=x, (1)如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值。 (2)如图2，E为AB上的动点，请回答下列问题： ①求y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围。 ②连结AC,当EF∥AC时,求x和y的值。 ③当△CFG是直角三角形时，求x和y的值。 1. C 2. D 3. C 4. C 5. C 6. B 7. B 【解析】∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC= ∵BD平分∠ABC, =36°。∴DA=DB。∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠ACB=72°。∴BD=BC。∴AD=BD=BC。 ∵顶角为36°的等腰三角形是黄金三角形，∴△ABC是黄金三角形。 故选B。 8. B 9. D 10. C 【解析】如图,连结AC,BD交于点G,设BD与AE交于点O。 由题意得,AB=BC=4cm,AD=CD=2cm,∴BD垂直平分AC。 在Rt△ABD中, 2⋅AG,解得 ∵AE⊥BF, BD⊥AC, ∴∠DBF+∠EOB=90°,∠CAE+∠DOA=90°,∠CDB+∠DCA=90°。又∵∠EOB=∠DOA,∴∠DBF=∠CAE。 ∵∠DCB=90°,∴∠ACE+∠DCA=90°。 ∴∠ACE=∠CDB。∴△BDF∽△ACE。 故选C。 11.6 12.△CDE(答案不唯一) 13. 【解析】∵AB∥CD,∴△ABG∽△CDG。 ∵GH∥CD,∴△BGH∽△BDC。 【解析】过点D作DH∥AE,交BC于点H, ∵BC=8, 15. 【解析】如图，过点 M作 BMG⊥AB于点 G,延长GM交CD于点H,∴∠AGH=90°。 ∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CCD,∠BAD=∠ADC=90°,AD=BC=3,AB=CD=4。∴GH⊥CD,四边形AGHD为矩形。∴AG=DH,GH=AD=3,GM∥AD。∴△BGM∽△BAD。 即 ∴AG=HD=AB-BG=4-=,MH ∵MN⊥AM,∴∠AMN=90°。∴ ∠AMG+ ∠HMN=90°。 ∵ ∠AMG+∠MAG=90°, ∴∠HMN=∠MAG。∵∠AGM=∠MHN=90°,∴△AGM∽△MHN。 即 解得 ∴DN=HD-HN= 16.(1)直角 (2)(0,0)或(-9,0)或 17.(1)∵a:b:c=2:3:5,∴设a=2k,b=3k,c=5k(k≠0)。 (2)设a=2k,b=3k,c=5k(k≠0),则6k-3k+5k=24,解得k=3。∴a=2k=6,b=3k=9,c=5k=15。 又∵∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB∽△DCE。 (2)∵△ACB∽△DCE,∴∠ABC=∠DEC。 又∵∠ABC+∠A=90°,∴∠DEC+∠A=90°。 ∴∠EFA=90°。∴EF⊥AB。 19.(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥BC,AB∥CD。∴△AEF∽△CEB。 (2)∵AB∥CD,∴△ABE∽△CGE。 ∵EF=12,GE=4,∴EB²=12×4。∴EB=4\sqrt{3} 20.(1)4-t 5-1.25t (2)如图,连结PQ。∵点P以1cm/s的速度从点A沿AC向终点C运动,点Q以1.25cm/s的速度从点B沿BC向终点C运动,∴AP=t,BQ=1.25t。∴PC=AC-AP=4-t,QC=BC-BQ=5-1.25t。 ∴PQ∥AB。 21.(1)∵EF⊥AB,EG⊥OC,∴∠OGH=∠EFH=90°。又∵∠OHG=∠EHF,∴△OGH∽△EFH。 即HO•HF=HG•HE。 (2)如图,延长CD,EG,EF交⊙O于点P,N,M,连结MN。由垂径定理得CD=DP,EG=NG,EF=MF,∴FG是△EMN的中位线。 由(1)得∠AOC=∠NEM,∴MN=CP。∴FG=CD。 22.(1)∵∠AED=∠B,∠A=∠A , ∴△AED∽ △ABC。∴AD:AC=AE:AB,即AD·AB=AE·AC。 (2)设AD=k,则AE=EC=2k。∴AC=AE+EC=4k。∵AD・AB=AE・AC, ∴k・AB=2k・4k。∴AB=8k。 (3)∵AD·AB=AE·AC,AB=6,AC=4,∴6·AD=4·AE。 ∵点E在AC边上,AC=4,∴0<AE<4。 即 23.(1)∵AB是⊙O的直径, =OE=DE,则∠EOD=∠CDB,∠OCE=∠OEC。设∠CDB=x,则∠EOD=x,∠OCE=∠OEC=2x。又∠BOC=108°,∴∠CDB+∠OCD=108°。 ∴x+2x=108°,x=36°。∴∠CDB=36°。 (2)①有三个:△DOE,△COE,△COD。∵OE=DE,∠CDB=36°,∴△DOE是黄金三角形。∵OC=OE,∠COE=180°-∠OCE-∠OEC=36°。 ∴△COE是黄金三角形。∵∠COB=108°,∴∠COD=72°。又∵∠OCD=2x=72°,∴∠OCD=∠COD。 ∴OD=CD,∴△COD是黄金三角形。②∵△COD是黄金三角形， ∵OD=2,∴OC ∴CE ③存在，有三个符合条件的点P₁,P₂,P₃,如图所示,(i)以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB,CD得到点P₁,P₂。(ii)以OE为腰的黄金三角形：点P₃与点A重合。 24.(1)如图1,作FM⊥CD于点M。∵四边形EFGH为正方形，∴易证 AE=DH=MG=6-2=4,DG=AH=MF=2。∴y (2)①如图2,过点F作FM⊥GC于点M,由题意易证△AHE≌△MFG,△AEH∽△DHG,∴MF=AH=即 ②连结AC,如图2,∵EF∥AC,∴HG∥AC。 ∴△DHG∽△DAC。 即 ③当∠GFC=90°时,E,F,C三点在一条直线上, ∴△AEH∽△BCE。∴=,即 =解得x=2或x=6。∴y=4或 当∠GCF=90°时,此时点F正好落在边BC上,则△HAE∽△GDH,则HA=GDDH.即=解得 或4-2，对应的 或 当∠CGF=90°时,C,G,H共线,∴不可能。 综上可得,当x=2时,y=4;当x=6时, 当x=4+2时， 当 时,y=4-2 学科网（北京）股份有限公司 $